Параметр алгебра: Параметр — Википедия – Решение задач с параметрами в курсе алгебры. 7–9-е классы

Что такое параметр

 

Анна Малкова (автор книги для подготовки к ЕГЭ, ведущая годового Онлайн-курса подготовки к ЕГЭ на 100 баллов, руководитель компании «ЕГЭ-студия» (Курсы ЕГЭ))

Приветствую будущих студентов!

Я заметила, что на своем YouTube- канале я разбирала несколько задач с параметрами, но так и не рассказала, что такое параметр.

А что же это?

Толковый словарь русского языка, куда полезно иногда заглядывать, дает следующее определение: «Параметр – это величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство устройства, системы, явления или процесса». Что же это значит? Давайте разберемся.

Вот ракете выводит космический корабль в околоземное пространство. Если спутник запустить с первой космической скоростью, приближенно равной 7,9 км/с, он выйдет на круговую орбиту. Первый искусственный спутник Земли, СССР, 1957 год. Вторая космическая скорость, приближенно равная 11,2 км/с, и космический корабль преодолевает поле тяжести Земли. Третья космическая скорость, приближенно 16,7 км/с, дает космическому кораблю возможность выйти за пределы Солнечной системы и преодолеть гравитационное притяжение Земли и Солнца. Например, такой космический корабль, который назывался «Вояджер-1», был запущен в 1977 году, и в 2012 году вышел за пределы Солнечной системы, и теперь будет вечно бороздить просторы космоса. Этот корабль передал на Землю сигналы и снимки отдаленных планет. Кроме аппаратуры, он несет на своем борту золотой диск. На этом диске записаны звуковые и видеосигналы. Например, схема излучения атома водорода, местоположение Солнца, человек и его строение, земные пейзажи, шум моря, звук шагов, песни птиц, приветствие на разных языках, музыка, даже грузинский хор; плач ребенка, голос мамы, которая его успокаивает. Это подарок неизвестным существам от маленького, затерянного во Вселенной, мира нашей планеты. И может быть когда-нибудь они обнаружат этот корабль, расшифруют наше послание и узнают о нас.

Значит скорость космического корабля – это параметр, от которого зависит его дальнейшая траектория и судьба, и конечно, это не единственный параметр. При запуске космического корабля таких параметров десятки и сотни.

Реальные задачи науки и техники используют функции не одной, а многих переменных: и первые-вторые, и энные производные этих функций.

А что же будет если какой-то параметр рассчитан неправильно?

Помните, как появилось выражение «Кажется, что-то пошло не так»? Эти слова вырвались у комментатора, который вел прямую трансляцию о запуске космического корабля, и через несколько секунд после старта увидел, что ракета, вместо того, чтобы устремиться к звездам, по параболе направилась к Земле.

Но, конечно, мы начнем не со сложных функций многих переменных, а с чего-то очень-очень простого.

На картинке мы видим параболу и ее формулу, С – это параметр. На что он влияет? Посмотрите, здесь С равно 0, и парабола проходит через начало координат. С равно 2, и парабола поднимается на 2 вверх по вертикале. С равно – 3, и парабола опускается по вертикале на 3 единицы.

Значит параметр – это такая переменная в уравнении, которая может принимать разные значения, и при разных значениях этой переменной мы получаем разные уравнения.

В заданиях ЕГЭ у вас есть задачи с параметром. Это задача №18 профильного раздела.

И сейчас я покажу самую простую иллюстративную задачу. Проще тех, которые будут на ЕГЭ, но зато ее можно красиво нарисовать.

При каком значении параметра с уравнение, которое вы видите на экране имеет ровно 6 корней?

Давайте нарисуем график левой части этого уравнения. Начнем с графика функции. Сначала сдвигаем его на 2 вправо. Затем вычитаем 3, график сдвигается на 3 единицы вниз. Снова берем модуль от получившегося выражения. Все, что было ниже оси абсцисс, переворачивается вверх. Далее все, что получилось, мы сдвигаем на 1 единицу вниз. И снова берем модуль. Все, что было ниже абсцисс, переворачивается вверх. И получаем график функции, похожий на Кавказские горы.

При каком же значении параметра с это уравнение имеет ровно 6 корней? Проведем горизонтальную прямую. Следовательно, с равно 1.

Это была самая простая задача с параметром. Чтобы научиться решать такие задачи, нужно отлично знать графики основных элементарных функций, преобразование графиков, базовые элементы для решения задач с параметрами и еще множество приемов и секретов.

Подписывайтесь на мой канал и переходите по ссылкам в описании!

С Вами Анна Малкова!

Задачи с параметрами. Использование четности функций.

Материал для повторения:

Четные и нечетные функции
Что такое параметр. Простые задачи с параметром.
Графический метод в решении задач с параметрами.

Встречались ли вам в задаче 18 Профильного ЕГЭ по математике страшные-престрашные уравнения с параметрами? Такие, на которые смотришь – и вообще не понимаешь, что делать?

Есть множество «инструментов» для решения задач с параметрами — методов, приемов, больших и маленьких секретов. Конечно, эти приемы лучше не изобретать на экзамене, а изучить заранее.

Например, использование четности функций, входящих в уравнение.

1. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень

Откроем секрет. Есть два универсальных способа для решения задач с параметрами. Вот они:

1) Если задачу с параметром можно решить графически — решаем графически.

2) Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной — делаем замену переменной.

Второй из этих полезных советов — как раз для нашей задачи. Сделаем замену . Получим:

Конечно, можно решать уравнение графически, построив графики левой и правой его частей. Однако у этого способа есть недостаток: как мы узнаем, пересекаются ли графики в одной точке, или у них еще есть точки касания? Все равно без аналитического исследования не обойтись.

Поэтому выберем другой способ. Обозначим функции в левой и правой частях уравнения как f(x) и g(x):

Заметим, что f(x) и g(x) — четные относительно х, так как их области определения симметричны относительно нуля и , .

Значит, если — корень уравнения, то и
— тоже его корень. Поэтому единственное решение может быть только если . В этом и состоит идея решения таких задач.

Обратите внимание, как аккуратно мы сформулировали: «единственное решение может быть только если ». Ведь может быть еще и такой случай, что — один из корней уравнения, и при этом есть еще решения. Тогда общее количество решений уравнения нечетно.

Давайте подставим в уравнение и посмотрим, что получится.

. Решив это уравнение, получим:

, или , или .

Каждое из найденных значений параметра надо проверить. Подставим их по очереди в исходное уравнение и найдем, сколько решений оно будет иметь при каждом таком

b.

1) . При этом .

У этого уравнения три решения:

, или , или . Такое значение параметра нам не подходит.

2)

Уравнение решается методом интервалов для модулей (ССЫЛКА). На числовой прямой отмечаем точки -2 и 2 и решаем уравнение на каждом промежутке.

Получим единственное решение . Нам это подходит. При этом .

При уравнение получится таким же. Эта ветвь решения дает в результате:

.

Ответ: -9,-5

Это была простая задача. А вот следующая… Только не пугаться! Мы справимся!

2. При каких значениях параметра a система имеет единственное решение

Найти это значение a. Найти решение.

Перед нами система из двух уравнений, в которой есть две переменныех и у, а также параметр а.

Решать такую систему, выражая, например, у через х и подставляя во второе уравнение? — Страшно даже думать об этом!

Для начала запишем ОДЗ — область допустимых значений системы.

ОДЗ:

Заметим, что все функции, входящие в уравнения системы, четны относительно х. А вот это уже что-то. Это значит, что если — решения, то
– тоже решение. Единственное решение возможно, если .

Подставим в уравнения системы.

Получим:

, отсюда , следовательно

1)Если , то

Получаем:

– единственное решение, так как .

Подставив в уравнения, из первого уравнения получили, что .

2) Если , то

– 3 решения. Это нам не подходит.

Ответ: . При этом система имеет единственное решение .

«Базовые элементы» для решения задач с параметрами

В задачах с параметрами Профильного ЕГЭ по математике вам встретятся не только графики функций (в школьном смысле этого слова), но и множества точек на плоскости.

Вот несколько уравнений и неравенств, задающих окружность, круг, ромбик, отрезок. Заметим, что окружность или ромбик, хотя и задаются уравнениями, не являются графиками функций в школьном смысле этого слова. Чтобы лучше почувствовать эту разницу, повторите тему «Что такое функция».

Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике считаются одними из самых сложных. Однако на самом деле они похожи на конструктор, где вы собираете решение из готовых элементов. Чтобы уверенно решать задачи с параметрами, необходимо отлично знать 5 типов элементарных функций и их графики. Преобразования графиков функций. И вот эти базовые элементы:

1. Уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом

\left

2. Уравнение задает окружность с центром в точке (a;b) и радиусом

\left

3. Неравенство задает круг вместе с границей.

{(x-a)}^2 + {(y-b)}^2 = R^2

4. Уравнение задает верхнюю полуокружность с центром в начале координат и радиусом

\left

5. Уравнение задает нижнюю полуокружность с центром в начале координат и радиусом

\left

6. Уравнение задает верхнюю полуокружность центром в точке и радиусом

\left

7. Уравнение при положительных и задает ромбик, симметричный относительно начала координат.

c

8. Уравнение (сумма модулей) задает график следующего вида:

y =  x+a + x+b

9. Расстояние между точками и находится по формуле:

Координаты середины М отрезка АВ находятся по формуле:

Уравнение отрезка концы отрезка и

В левой части уравнения сумма расстояний от точки P с координатами до точек и В правой расстояние между точками и

Пара чисел соответствует координатам любой точки этого отрезка.

Кратко это можно записать так: Это значит, что точка P лежит на отрезке

Статья о задачах с параметрами в школьном курсе математики

Задачи с параметром в школьном курсе математики 8-го класса

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры учащихся. Они имеют принципиально исследовательский характер, и с этим связаны как методическое значение таких задач, так и трудности выработки навыков их решения. Важность понятия параметра связана с тем, что, как правило, именно в терминах параметров происходит описание свойств математических объектов: функций, уравнений, неравенств. Под параметрами мы понимаем входящие в алгебраические выражения величины, численные значения которых явно не заданы, однако считаются принадлежащими определенным числовым множествам. Учащимся 8 класса известны линейная функция и ее частный случай – прямая пропорциональность:

hello_html_55404ec4.gif

(параметры hello_html_11e97c01.gifи hello_html_m7b71c9ca.gifопределяют расположение графика функции на плоскости и точки пересечения с осями), а также линейное и квадратное уравнение и соответствующие неравенства:

hello_html_7be71448.gif

(параметры hello_html_6b3979b5.gif, hello_html_m7b71c9ca.gifи hello_html_m18564739.gifопределяют, вообще говоря, не только существование и количество корней, но и степень уравнения).

Решение задач с параметрами требует исследования, даже если это слово не упомянуто в формулировке задачи. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание закономерностей, навыки анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, системность и последовательность в решении, умение объединить рассматриваемые частные случаи в единый результат. Этим обусловлены трудности, возникающие у учащихся при решении таких задач, и этим же объясняется справедливое включение задач с параметрами в экзаменационные работы в школе и на вступительных экзаменах в вузы.

Таким образом, очевидна необходимость отработки приемов решения различных задач с параметрами. Ниже приводится система упражнений по решению и исследованию квадратных уравнений и неравенств с одним параметром в курсе 8 класса.

 Квадратные уравнения с параметром

1. При каких значениях hello_html_6b3979b5.gifуравнение hello_html_385e3a94.gifимеет единственное решение?

Решение.

Ошибочно считать данное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй. Исходя из этого соображения, рассмотрим следующие случаи:

а) hello_html_5f0219af.gif. При этом уравнение принимает вид hello_html_21378bb6.gif, откуда hello_html_m2d9f35c5.gif, т.е. решение единственно.

б) hello_html_433387d8.gif, тогда hello_html_385e3a94.gif– квадратное уравнение, дискриминант hello_html_105120c6.gif. Для того, чтобы уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы hello_html_34faa848.gif, откуда hello_html_4aa0ae78.gif.

Ответ: hello_html_5f0219af.gifили hello_html_4aa0ae78.gif.

2. При каких значениях hello_html_6b3979b5.gifуравнение hello_html_m74d7549.gifимеет единственное решение?

Решение.

1) При hello_html_m78def5ce.gifисходное уравнение не имеет решения.

2) hello_html_m64ef6bbb.gif, тогда данное уравнение является квадратным и принимает вид hello_html_m330c37bb.gif. Искомые значения параметра – это корни дискриминанта, который обращается в нуль при hello_html_m23f4f5db.gif.

Ответ: hello_html_m23f4f5db.gif.

3. При каких значениях hello_html_6b3979b5.gifуравнение hello_html_m132d2dd9.gifимеет более одного корня?

Решение.

1) При hello_html_5f0219af.gifуравнение имеет единственный корень hello_html_150fb18f.gif.

2) При hello_html_433387d8.gifисходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант положителен, т.е. hello_html_m1de97e14.gif. Решая неравенство, получаем hello_html_m57143a5b.gif. Из этого промежутка следует исключить число нуль.

Ответ: hello_html_225356bd.gifили hello_html_7a5cc49b.gif.

4. При каких значениях hello_html_6b3979b5.gifуравнения hello_html_m59a06179.gifи hello_html_m57fa2372.gifравносильны?

Решение.

1) При hello_html_m3ca013fb.gif: hello_html_m59a06179.gifимеет два различных корня, hello_html_m57fa2372.gifимеет один корень. Равносильности нет.

2) При hello_html_5f0219af.gifрешения уравнений совпадают.

3) При hello_html_m67c79d7.gif

ни первое, ни второе уравнения решений не имеют. Как известно, такие уравнения считаются равносильными.

Ответ: hello_html_70fba4a8.gif.

5. При каких значениях hello_html_m7b71c9ca.gifуравнения hello_html_6ee7cec3.gifи hello_html_4f92d01.gifравносильны?

6. При каких значениях параметра hello_html_6b3979b5.gifуравнение hello_html_43cb2f04.gifимеет одно решение?

7. При каких значениях hello_html_m4672e4e2.gif

ровно один из корней уравнения равен нулю?

8. При каких значениях hello_html_m4672e4e2.gifкорни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку: 9. При каких значениях hello_html_m4672e4e2.gifоба корня уравнения равны нулю?

а) hello_html_m1e168cb8.gif; б) hello_html_1c6702dd.gif

10. Решите уравнения:

I.

II. III. IV. V. 11. При каких значениях hello_html_11e97c01.gifпроизведение корней квадратного уравнения hello_html_494328fc.gif
равно нулю?

12. При каких значениях hello_html_11e97c01.gifсумма корней квадратного уравнения hello_html_m6cfbb1c3.gifравна нулю?

13. В уравнении hello_html_m176911b.gifсумма квадратов корней равна 16. Найти hello_html_6b3979b5.gif.

14. В уравнении hello_html_m4fdf38e0.gifквадрат разности корней равен 16. Найти hello_html_6b3979b5.gif.

15. При каких значениях hello_html_6b3979b5.gifсумма корней уравнения hello_html_mcdd7e85.gifравна сумме квадратов корней?

16. При каком значении параметра hello_html_m4672e4e2.gifсумма квадратов корней уравнения hello_html_m6dcf2924.gifнаименьшая?

17. При каком значении параметра hello_html_m4672e4e2.gifсумма квадратов корней уравнения hello_html_m62174be6.gifнаибольшая?

18. При каких значениях параметра hello_html_6b3979b5.gifодин из корней квадратного уравнения hello_html_m1fb1baa6.gifв два раза больше другого?

19. Известно, что корни уравнения hello_html_m73f5d848.gifна 1 меньше корней уравнения hello_html_m3d4bf53.gif. Найдите hello_html_6b3979b5.gifи корни каждого из уравнений.

20. Найдите наименьшее целое значение hello_html_6b3979b5.gif, при котором уравнение hello_html_m2cf0ccd0.gifимеет два различных действительных корня.

21. При каких значениях hello_html_6b3979b5.gifуравнение hello_html_m60c9fe67.gifимеет более двух корней?

22. При каких значениях hello_html_6b3979b5.gifуравнение hello_html_7a473a2f.gifимеет хотя бы один общий корень с уравнением hello_html_m648b66e7.gif?

23. При каком соотношении между hello_html_6b3979b5.gif, hello_html_m7b71c9ca.gif, hello_html_m18564739.gifуравнение hello_html_15b30522.gifимеет один корень? Может ли данное уравнение иметь два действительных различных корня?

24. При каком значении параметра hello_html_6b3979b5.gifуравнение hello_html_m728af15b.gifимеет три корня?

 Неравенства с параметром

1. Решите неравенство, где hello_html_6b3979b5.gif– параметр:

2. Найдите все значения hello_html_6b3979b5.gif, при которых квадратное уравнение имеет два действительных различных корня: 3. Найдите все значения hello_html_6b3979b5.gif, при которых квадратное уравнение не имеет действительных корней: 4. При каких значениях hello_html_6b3979b5.gifуравнение hello_html_m2c7fb378.gifимеет положительное решение?

5. При каких значениях hello_html_6b3979b5.gifуравнение hello_html_m771d7e02.gifимеет отрицательное решение?

6. При каких значениях hello_html_6b3979b5.gifуравнение hello_html_62cf8030.gifимеет одно положительное решение?

7. При каких значениях hello_html_6b3979b5.gifуравнение hello_html_m7691f1ac.gifимеет решения, удовлетворяющее условию hello_html_m1344ccb2.gif?

8. При каких значениях hello_html_6b3979b5.gifсистема неравенств имеет хотя бы одно решение:

а) hello_html_m55ee50a8.gif

б) hello_html_c7f456b.gif

в) hello_html_m520f727c.gif

г) hello_html_m237371a6.gif

9. При каких значениях hello_html_6b3979b5.gifсистема неравенств не имеет решений:

а) hello_html_33c25f69.gif

б) hello_html_m2c4cca60.gif

в) hello_html_m35fca6c1.gif

г) hello_html_5b910278.gif

10. При каких значениях hello_html_6b3979b5.gifсистема неравенств имеет хотя бы одно решение?

hello_html_42fb494f.gif

11. При каких значениях hello_html_6b3979b5.gifуравнение hello_html_m676f610.gifимеет корни разных знаков?

12. При каких значениях hello_html_6b3979b5.gifуравнение hello_html_m72cfaafd.gifимеет корни hello_html_3917d1aa.gifи hello_html_m6ad28223.gifтакие, что hello_html_m278c2a49.gif?

13. Найдите все значения hello_html_6b3979b5.gif, при которых корни уравнения hello_html_63f7f16f.gifменьше, чем 1.

14. Найдите все значения hello_html_6b3979b5.gif, при которых один из корней уравнения hello_html_m56caa0d1.gifменьше 1, а другой больше 1.

15. При каких значениях hello_html_6b3979b5.gifсистема уравнений

hello_html_m2af2db7a.gif

имеет решение hello_html_m59e44258.gif?

16. При каких значениях hello_html_6b3979b5.gifсистема уравнений

hello_html_m5ba02cd8.gif

имеет решение hello_html_3987f961.gif?

17. Для каждого hello_html_6b3979b5.gifрешите неравенство:

I.

II. III. IV.

Задание 18. Задача с параметрами

Задание 18 Профильного ЕГЭ по математике — это уравнение, система уравнений или неравенство с параметром. Или несколькими параметрами.

Конечно, за один день научиться решать такие задачи невозможно. И все-таки мы немного расскажем о том, как научиться решать задачи с параметрами. С чего начать. И какие вообще есть методы решения задач с параметрами.

Начнем с хорошей новости. Задача 18 (с параметром) оценивается в целых 4 первичных балла ЕГЭ, которые отлично пересчитываются в тестовые.

Если вы полны решимости получить на ЕГЭ заветные 4 первичных балла за задачу 18 (с параметром), не стоит начинать с реальных экзаменационных задач. Ведь мы хотим получить результат, а не разочарование! Поэтому сначала необходимо повторить следующие темы:

1. Элементарные функции и их графики. Парабола, синус, логарифм, арктангенс и все остальные — всех их надо знать «в лицо».

2. Преобразование графиков функций.

3. Построение графиков функций.

4. Базовые элементы для решения задач с параметрами. Да, мы будем рисовать не только привычные функции. Но еще и окружности, ромбики, полуплоскости и всевозможные их комбинации.

5. Что такое параметр. Простые задачи с параметрами.

Только после этого можно переходить к самому простому и наглядному способу решения задач с параметрами — графическому.

Читайте статью, смотрите видеокурс. И помните, что графический метод — хороший, но не единственный.

Потому что, кроме него, есть и другие:

- Квадратные уравнения и неравенства с параметрами

- Задачи с параметрами. Условия касания

- Метод оценки в задачах с параметрами

- Использование четности функций в задачах с параметрами

И не думайте, что это все возможные методы решения задач с параметрами. Их намного больше! Мы дали ссылки на те, которые встречаются чаще всего в задачах ЕГЭ.

Несколько мудрых советов о том, как и зачем решать задачи с параметрами.

1. Чтобы на ЕГЭ уверенно справиться с заданием 18, нужно решить не менее 50 задач с параметрами.

2. Настанет момент, когда вы увидите, что задача с параметром похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов.

3. Два самых главных секрета решения задач с параметрами. Готовы узнать? Вот они:

- Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной — сделайте замену.

- Если задачу с параметром можно решить графически — решите графически.

4. Сколько бы вы ни занимались задачами с параметрами, каким бы отличником ни стали — всегда найдется задача, над которой вы задумаетесь. Вот такая, например:

Задача 1. При каких значениях a системы  и равносильны?

Две системы уравнений с двумя переменными называются равносильными, если они имеют одни и те же решения, или обе системы не имеют решений.

1) При — системы равносильны, так как обе не имеют решений

2) При — второе уравнение имеет решение которое является решением первой системы.

3) При 

Система уравнений

Уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом

Решениями системы

являются две точки, в которых прямая пересекает окружность, заданную уравнением

А вот уравнение задает семейство параллельных прямых

Мы хотим, чтобы две системы были равносильны, то есть чтобы окружность, заданная уравнением , пересекала только одну из этого семейства прямых, а именно прямую , и не имела общих точек с другими прямыми из этого семейства.

\left\{ \begin{array}{c}x+y= \pi n,\ n\in {\mathbb Z}{\rm \ } \\x^2+y^2=a \end{array}\right.

Меняя параметр а, мы можем менять радиус окружности. Мы хотим, чтобы окружность радиуса не имела общих точек с прямыми, параллельными прямой , то есть лежала ниже прямой, проходящей через точку А на рисунке, и выше прямой, проходящей через точку В.

Когда же происходит касание в точках A и B?

В случае касания радиус окружности Мы легко находим это из треугольника прямоугольного треугольника СОА, где О — начало координат.

Значит, в случае касания , а если — касания не происходит.

Объединяя случаи, получим, что системы равносильны, если

Легко? Если справились — вот еще одна интересная задача:

Задача 2. При каких значениях параметра a найдется такое значение параметра , что система уравнений  имеет ровно три различных решения?

Вот решение этой задачи.

Лучше всего осваивать эту непростую тему на нашем Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ на 100 баллов. Или на интенсивах ЕГЭ-Студии в Москве. Удачи, друзья!

 

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *