Первообразная 4x: Mathway | Популярные задачи

2

Содержание

Систематизация и обобщение знаний учащихся по теме «Первообразная»

Интегральные когнитивные стили

Дифференциальные когнитивные стили

Руководство по усвоению учебного содержания

Содержание учебного материала (ИТ, ИД, ИЭ)

Содержание учебного материала (ДТ, ДЭ, ДД)

Руководство по усвоению учебного содержания

УЭ1. Обобщить и систематизировать знания по теме.
Выяснить непонятные моменты

ЧДЦ: Выяснить смысл первообразной.

Учитель:

Здравствуйте уважаемые гости, ученики. Мне приятно вас видеть, надеюсь, что наш урок будет результативным! Сегодня обобщающий урок по теме “Первообразная”.

 Цель урока: совершенствовать свои умения в нахождении производной и первообразной функций. Материал этого урока поможет вам успешно выполнить задания при итоговой аттестации. На сегодняшнем уроке вы повторите, закрепите и расширите знания по этим темам, выполните тестовую работу, а итогом урока вам будет предложена работа, составленная по образцам контрольно измерительных материалов 2010, 2011 годов единого государственного экзамена. Мне бы хотелось взять эпиграфом к нашему уроку высказывание Конфуция

Эпиграф:

Три пути ведут к знанию:
путь размышления – это путь
самый благородный,
путь подражания – это путь
самый легкий и
путь опыта – это путь
самый горький.

То есть на уроке мы будем размышлять, подражать, т.е. делать по образцу и набираться опыта.

  • Сначала вы самостоятельно проверьте домашнее задание по образцу на доске и оцените себя.
  • № 342 (а) № 343 (а) № 344 (б)

    ФРОНТАЛЬНЫЙ ОПРОС:КАЖДЫЙ ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ– 1 БАЛЛ В ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ

  • Исправьте ошибку в определении:
  • Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F(x)=f(x)

  • Назовите номера формулировок, которые являются правилами нахождения первообразной
  • :
  • Первообразная суммы есть сумма первообразных
  • Первообразная произведения есть произведение первообразных
  • Постоянный множитель можно выносить за знак первообразной.
  • Обратите внимание: на доске записаны формулы некоторые функции:
  • 1) f(x) = x – 2; 2) f(x) = 2cosx ; 3) f(x) = 8 – 5x + 10х2; 4) f(x

    ) = 3 + x

    5) f(x) = (4 – 3х)9; 6) f(x) = -4sin3x; 7) f(x) = 12 + 15x; 8) f(x) = 4x;

    Назовите номера тех примеров, первообразная которых находится только по одному из правил:

    а) по правилу суммы;

    б) по правилу умножения на постоянный множитель;

    в) по правилу сложной функции.

    И почему? Поясните свой ответ.

    Учитель:

    А какие правила нужны для функции под номером три?

    Учитель:

    А какие правила нужны для функции под номером шесть?

    Учитель:

    А какие правила нужны для функции под номером семь?

    Учитель:

    Итак, давайте ещё раз вспомним, в каких случаях решаем по первому правилу?

    Учитель:

    Попробуйте проговорить это правило словами.

    Учитель:

    В каких случаях решаем по второму правилу?

    Учитель:

    Попробуйте проговорить это правило словами.

    Учитель:

    В каких случаях решаем по третьему правилу?

    Учитель:

    Попробуйте проговорить это правило словами.
  • Среди заданных функций выберите первообразную для функций у = – 7х ?
  • 1. G(x) = – 21x? 2. F(x) = – 7x 4 3. H(x) = – 7/4x4

    УЭ2. Актуализация знаний по теме

    ЧДЦ Обратить внимание на решение “типичных” задач по теме.

Ответьте на вопрос, воспользовавшись опорным конспектом:
  • Процесс отыскания функции по заданной производной называется
:

а) дифференцированием;

б) интегрированием;

в) отысканием экстремума.

1 балл Ответ: б

  • Чему равна производная и первообразная числа?
  • 1 балл.

    Ответ: 0 и кх,

  • Кто первым ввёл понятие интегрирования?
  • 1 балл.

    ИТ, ИД, ИЭ, ДТ, ДЭ, ДД.

    Определение первообразной и производной по картам с заданиям на парте / мультимедийные презентации.

    ПРАВИЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ ПРОВЕРЯЮТ КОНСУЛЬТАНТЫ, КОТОРЫЕ СНАЧАЛА ВЫПОЛНЯЮТ СВОИ ЗАДАНИЯ ИХ ПРОВЕРЯЕТ УЧИТЕЛЬ, А ПОТОМ СЛЕДЯТ ЗА ВЫПОЛНЕНИЕМ ЗАДАНИЙ УЧЕНИКАМИ И ВНЕСЕНИЕМ ИМИ БАЛЛОВ В ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ.

    ЕСЛИ ЗАДАНИЕ НЕВЕРНО ВЫПОЛНЕНО – 0 БАЛЛОВ.

    Верно ли рассуждение? Если да, то укажите правило, которым вы пользуетесь. Если нет, то укажите, в чём ошибка.
    • Найдём первообразную функции y=2cosx. Первообразная для 2 это 2х, для cosx это sinx. Значит первообразной для функции y=2cosx будет служить функция
      y=2х
      sinx.
    • а) Да, используем правило _________________________

      б) Нет, т.к

      1 балл.

    • Графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга …….
    • 1 балл.

    • В каком случае производная функции равна нулю?
    • 1 балл

    УЭ3. Предварительное определение уровня знаний

    ЧДЦ Контроль учителя и самоконтроль учебных достижений по теме

     

    У ДОСКИ

     
    Найдите общий вид первообразных для функции f

    a) f(x)=2– х4

    2 балла.

    Найдите общий вид первообразных данных функций на R.

    а) ; б) ;

    в f(x) = -2sin4x; г f(x) = -3;

    д) ) f(x) =.; е) f(x) = (3x – 1)2;.

    Является ли функция F первообразной для функции f на указанном промежутке:

    a) F(x) = 3-sinx, f(x) = cosx, x () ?

    2 балла.

    УЭ4. Обучающая самостоятельная работа

    ЧДЦ Самоконтроль учебных достижений по теме.

    Система оценивания: 5 заданий – 5 баллов, 4 задания – 4 балла, 3 задания – 3 балл, 2 – 2 балла, 1 задание – 1 балл

    Проверка

    10

     

     

     

     

    На решение самостоятельной работы дается 5 минут.

    Во время работы уч-ся получают дозированную помощь учителя или смотрят за решением на доске.

    ( 2 ученика у доски)

    25

     

     

     

     

    УЭ5. Решение нового типа заданий: нахождение первообразной, график которой проходит через данную точку

    ЧДЦ: усвоить понятие первообразной.

    3. Нахождение первообразной, график которой проходит через данную точку.

    Учитель:

    Теперь наша задача разобраться, умеем ли мы решать более сложные задания. Откройте учебники и посмотрите № 345. Что требуется в этих заданиях?

    Учитель:

    Как решаются задания данного вида?

    Учащийся на доске рисует кластер: – 1 балл

    Учитель:

    Чем отличается это задание от тех, которые мы выполняли ранее?

    Учитель:

    Поднимите руку, кто может выполнить эти задания самостоятельно. Проверьте потом себя и оцените (в случае правильного ответа – 1 балл), сверив свои решения с нашими. Итак, задание (а) №345 решаем у доски (один человек у доски), проговаривая каждый шаг.

    Учитель:

    Далее выполняем №345(б):

    (Один ученик без комментариев выполняет задание у доски). – 1 балл

    Учитель:

    Кто выполнял задания самостоятельно и не допустил ошибок? (учащиеся встают и садятся).
    • У кого были ошибки при самостоятельной работе? (учащиеся встают и перечисляют).
    • Что надо делать, чтобы избежать в будущем подобных ошибок? (учащиеся дают советы самим себе или друг другу). Кто не смог без помощи доски выполнить задание? В чем были трудности? (учащиеся встают)
    УЭ 6. Выходной контроль

    ЧДЦ: проверить усвоение учебных элементов

    Дифференцированные индивидуальные задания по выявлению уровня усвоения содержания учебных элементов М2

    Система оценивания: 5 заданий – 5 баллов, 4 задания – 4 балла, 3 задания – 3 балла, 2 задания – 2 балла, 1 задание – 1 балл (Приложение 2)

    Сопоставьте функцию и её первообразную:
    УЭ7Постановка домашнего задания и подведение итогов урока.
    Учитель: № 345(в, г), № 346(а,б)
    • Проверить свои итоги урока вы можете при решении домашнего задания.

    Чему равна первообразная 1. Что такое первообразная? Понятие первообразной

    Урок и презентация на тему: «Первообразная функция. График функции»

    Дополнительные материалы
    Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

    Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 11 класса
    Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
    «Интерактивные задания на построение в пространстве для 10 и 11 классов»

    Первообразная функция. Введение

    Ребята, вы умеем находить производные функций, используя различные формулы и правила. Сегодня мы будем изучать операцию, обратную вычислению производной. 2}{2})»+c»=g*t+0=g*t$.

    Ребята, обратите внимание: наша задача имеет бесконечное множество решений!
    Если в задаче не задано начальное или какое-то другое условие, не забывайте прибавлять константу к решению. Например, в нашей задаче может быть задано положение нашего тела в самом начале движения. Тогда вычислить константу не трудно, подставив ноль в полученное уравнение, получим значение константы.

    Как называется такая операция?
    Операция обратная дифференцированию называется – интегрированием.
    Нахождение функции по заданной производной – интегрирование.
    Сама функция будет называться первообразной, то есть образ, то из чего была получена производная функции.
    Первообразную принято записывать большой буквой $y=F»(x)=f(x)$.

    Определение. Функцию $y=F(x)$ называется первообразной функции $у=f(x)$ на промежутке Х, если для любого $хϵХ$ выполняется равенство $F’(x)=f(x)$.

    Давайте составим таблицу первообразных для различных функции. Ее надо распечатать в качестве памятки и выучить. {\frac{3x+1}{6}}$.
    3. По заданному закону изменения скорости тела от времени $v=4cos(6t)$ найти закон движения $S=S(t)$, если в начальный момент времени тело имело координату равную 2.

    Решение интегралов — задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы? Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись.

    Изучаем понятие «интеграл»

    Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась. Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Именно эти фундаментальные сведения о Вы найдете у нас в блоге.

    Неопределенный интеграл

    Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .

    Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .

    Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.

    Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

    Простой пример:

    Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями:

    Определенный интеграл

    Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

    В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции. Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции?

    С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:


    Точки а и b называются пределами интегрирования.

    Бари Алибасов и группа «Интеграл»

    Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

    Правила вычисления интегралов для чайников

    Свойства неопределенного интеграла

    Как решать неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

    • Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

    • Константу можно выносить из-под знака интеграла:

    • Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

    Свойства определенного интеграла

    • Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

    • При любых точках a , b и с :

    Мы уже выяснили, что определенный интеграл — это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

    Примеры решения интегралов

    Ниже рассмотрим несколько примеров нахождения неопределенных интегралов. Предлагаем Вам самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

    Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Спросите , и они расскажут вам о вычислении интегралов все, что знают сами. С нашей помощью любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

    Первообразная.

    Первообразную легко понять на примере.

    Возьмем функцию у = х 3 . Как мы знаем из предыдущих разделов, производной от х 3 является 3х 2:

    (х 3)» = 3х 2 .

    Следовательно, из функции у = х 3 мы получаем новую функцию: у = 3х 2 .
    Образно говоря, функция у = х 3 произвела функцию у = 3х 2 и является ее «родителем». В математике нет слова «родитель», а есть родственное ему понятие: первообразная.

    То есть: функция у = х 3 является первообразной для функции у = 3х 2 .

    Определение первообразной:

    В нашем примере (х 3)» = 3х 2 , следовательно у = х 3 – первообразная для у = 3х 2 .

    Интегрирование.

    Как вы знаете, процесс нахождения производной по заданной функции называется дифференцированием. А обратная операция называется интегрированием.

    Пример-пояснение :

    у = 3х 2 + sin x .

    Решение :

    Мы знаем, что первообразной для 3х 2 является х 3 .

    Первообразной для sin x является –cos x .

    Складываем два первообразных и получаем первообразную для заданной функции:

    у = х 3 + (–cos x ),

    у = х 3 – cos x .

    Ответ :
    для функции у = 3х 2 + sin x у = х 3 – cos x .

    Пример-пояснение :

    Найдем первообразную для функции у = 2 sin x .

    Решение :

    Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x .

    Следовательно, для функции у = 2 sin x первообразной является функция у = –2 cos x .
    Коэффициент 2 в функции у = 2 sin x соответствует коэффициенту первообразной, от которой эта функция образовалась.

    Пример-пояснение :

    Найдем первообразную для функции y = sin 2x .

    Решение :

    Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x .

    Применяем нашу формулу при нахождении первообразной для функции y = cos 2x :

    1
    y = — · (–cos 2x ),
    2

    cos 2x
    y = – —-
    2

    cos 2x
    Ответ : для функции y = sin 2x первообразной является функция y = – —-
    2


    (4)

    Пример-пояснение .

    Возьмем функцию из предыдущего примера: y = sin 2x .

    Для этой функции все первообразные имеют вид:

    cos 2x
    y = – —- + C .
    2

    Пояснение .

    Возьмем первую строчку. Читается она так: если функция y = f(x )равна 0, то первообразной для для нее является 1. Почему? Потому что производная единицы равна нулю: 1″ = 0.

    В таком же порядке читаются и остальные строчки.

    Как выписывать данные из таблицы? Возьмем восьмую строчку:

    (-cos x )» = sin x

    Пишем вторую часть со знаком производной, затем знак равенства и производную.

    Читаем: первообразной для функции sin x является функция -cos x .

    Или: функция -cos x является первообразной для функции sin x .

    Существует три основных правила нахождения первообразных функций. Они очень похожи на соответствующие правила дифференцирования.

    Правило 1

    Если F есть первообразная дл некоторой функции f, а G есть первообразная для некоторой функции g, то F + G будет являться первообразной для f + g.

    По определению первообразной F’ = f. G’ = g. А так как эти условия выполняются, то по правилу вычисления производной для суммы функций будем иметь:

    (F + G)’ = F’ + G’ = f + g. 4)). Теперь воспользовавшись третьим правилом, получим.

    Первообразная функция и неопределённый интеграл

    Факт 1. Интегрирование — действие, обратное дифференцированию, а именно, восстановление функции по известной производной этой функции. Восстановленная таким образом функция F (x ) называется первообразной для функции f (x ).

    Определение 1. Функция F (x f (x ) на некотором промежутке X , если для всех значений x из этого промежутка выполняется равенство F «(x )=f (x ), то есть данная функция f (x ) является производной от первообразной функции F (x ). .

    Например, функция F (x ) = sin x является первообразной для функции f (x ) = cos x на всей числовой прямой, так как при любом значении икса (sin x )» = (cos x ) .

    Определение 2. Неопределённым интегралом функции f (x ) называется совокупность всех её первообразных . При этом употребляется запись

    f (x )dx

    ,

    где знак называется знаком интеграла, функция f (x ) – подынтегральной функцией, а f (x )dx – подынтегральным выражением.

    Таким образом, если F (x ) – какая-нибудь первообразная для f (x ) , то

    f (x )dx = F (x ) +C

    где C — произвольная постоянная (константа).

    Для понимания смысла множества первообразных функции как неопределённого интеграла уместна следующая аналогия. Пусть есть дверь (традиционная деревянная дверь). Её функция — «быть дверью». А из чего сделана дверь? Из дерева. Значит, множеством первообразных подынтегральной функции «быть дверью», то есть её неопределённым интегралом, является функция «быть деревом + С», где С — константа, которая в данном контексте может обозначать, например, породу дерева. Подобно тому, как дверь сделана из дерева при помощи некоторых инструментов, производная функции «сделана» из первообразной функции при помощи формулы, которую мы узнали, изучая производную .

    Тогда таблица функций распространённых предметов и соответствующих им первообразных («быть дверью» — «быть деревом», «быть ложкой» — «быть металлом» и др.) аналогична таблице основных неопределённых интегралов, которая будет приведена чуть ниже. В таблице неопределённых интегралов перечисляются распространённые функции с указанием первообразных, из которых «сделаны» эти функции. В части задач на нахождение неопределённого интеграла даны такие подынтегральные функции, которые без особых услилий могут быть проинтегрированы непосредственно, то есть по таблице неопределённых интегралов. В задачах посложнее подынтегральную функцию нужно предварительно преобразовать так, чтобы можно было использовать табличные интегралы.

    Факт 2. Восстанавливая функцию как первообразную, мы должны учитывать произвольную постоянную (константу) C , а чтобы не писать список первообразной с различными константами от 1 до бесконечности, нужно записывать множество первообразных с произвольной константой C , например, так: 5x ³+С . Итак, произвольная постоянная (константа) входит в выражение первообразной, поскольку первообразная может быть функцией, например, 5x ³+4 или 5x ³+3 и при дифференцировании 4 или 3, или любая другая константа обращаются в нуль.

    Поставим задачу интегрирования: для данной функции f (x ) найти такую функцию F (x ), производная которой равна f (x ).

    Пример 1. Найти множество первообразных функции

    Решение. Для данной функции первообразной является функция

    Функция F (x ) называется первообразной для функции f (x ), если производная F (x ) равна f (x ), или, что одно и то же, дифференциал F (x ) равен f (x ) dx , т.е.

    (2)

    Следовательно, функция — первообразная для функции . Однако она не является единственной первообразной для . Ими служат также функции

    где С – произвольная постоянная. В этом можно убедиться дифференцированием.

    Таким образом, если для функции существует одна первообразная, то для неё существует бесконечное множество первообразных, отличающихся на постоянное слагаемое. Все первообразные для функции записываются в приведённом выше виде. Это вытекает из следующей теоремы.

    Теорема (формальное изложение факта 2). Если F (x ) – первообразная для функции f (x ) на некотором промежутке Х , то любая другая первообразная для f (x ) на том же промежутке может быть представлена в виде F (x ) + C , где С – произвольная постоянная.

    В следующем примере уже обращаемся к таблице интегралов, которая будет дана в параграфе 3, после свойств неопределённого интеграла. Делаем это до ознакомления со всей таблицей, чтобы была понятна суть вышеизложенного. А после таблицы и свойств будем пользоваться ими при интегрировании во всей полносте.

    Пример 2. Найти множества первообразных функций:

    Решение. Находим множества первообразных функций, из которых «сделаны» данные функции. При упоминании формул из таблицы интегралов пока просто примите, что там есть такие формулы, а полностью саму таблицу неопределённых интегралов мы изучим чуть дальше.

    1) Применяя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 3, получим

    2) Используя формулу (10) из таблицы интегралов при n = 1/3, имеем

    3) Так как

    то по формуле (7) при n = -1/4 найдём

    Под знаком интеграла пишут не саму функцию f , а её произведение на дифференциал dx . Это делается прежде всего для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная. Например,

    , ;

    здесь в обоих случаях подынтегральная функция равна , но её неопределённые интегралы в рассмотренных случаях оказываются различными. В первом случае эта функция рассматривается как функция от переменной x , а во втором — как функция от z .

    Процесс нахождения неопределённого интеграла функции называется интегрированием этой функции.

    Геометрический смысл неопределённого интеграла

    Пусть требуется найти кривую y=F(x) и мы уже знаем,что тангенс угла наклона касательной в каждой её точке есть заданная функция f(x) абсциссы этой точки.

    Согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла наклона касательной в данной точке кривой y=F(x) равен значению производной F»(x) . Значит, нужно найти такую функцию F(x) , для которой F»(x)=f(x) . Требуемая в задаче функция F(x) является первообразной от f(x) . Условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а семейство кривых. y=F(x) — одна из таких кривых, а всякая другая кривая может быть получена из неё параллельным переносом вдоль оси Oy .

    Назовём график первообразной функции от f(x) интегральной кривой. Если F»(x)=f(x) , то график функции y=F(x) есть интегральная кривая.

    Факт 3. Неопределённый интеграл геометрически представлен семеством всех интегральных кривых , как на рисунке ниже. Удалённость каждой кривой от начала координат определяется произвольной постоянной (константой) интегрирования C .

    Свойства неопределённого интеграла

    Факт 4. Теорема 1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.

    Факт 5. Теорема 2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции f (x ) равен функции f (x ) с точностью до постоянного слагаемого , т.е.

    (3)

    Теоремы 1 и 2 показывают, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно-обратными операциями.

    Факт 6. Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла , т.е.

    Тест по математике «Первообразная», 11 класс

    Тест  поматематике   (алгебра   и  н.   м.   а.)   «Первообразная»,   11   класс

    Вариант 1

    1.   Найдите производную функции y = 3sin3xв точке

    1)   4,5;

    2)   -9;

    3)   -4,5;

    4)   свой   ответ.

    2.   Найдите промежутки убывания функции

    1)   (-∞; 0)(6; +∞);

    2)   (0; 6);

    3)   (0; 3)(3; 6);

    4)   свой   ответ.

    3.   Какая из данных функций является первообразной для функцииy=3x3–2x?

    1)   x4x2+1;

    2)   x4x2;

    3)   x4–2x2+3;

    4)   таких   нет.

    4.    Какая из данныхфункций является первообразной для функции y=1–2cos2x?

    1)   xcos3x;

    2)   x+cos3x;

    3)   sin2x+1;

    4)   2–sin2x.

     

    5.   На каком из указанных промежутков функцияF(x)=2sinx––3является первообразной для функцииf(x)= 2cosx?

    1)   [0;  π);

    2)   (-π;  0);

    3)   (-∞;  0];

    4)   (-∞;  0).

    6.   Для функции y=3+4x3найдитепервообразную, график которой проходит через точку М(1; 1)

    1)   y=x4+3x–3;

    2)   y=x4;

    3)   y=4x4+3x–7;

    4)   свой   ответ.

    7.   Известно, что F1, F2,F3– первообразные дляf(x)=3x5–5на R, графикикоторых проходят через точкиM(1; –3), N(–1; 6),K(2; –4)соответственно. Перечислите, в каком порядке (сверху вниз) графики этих функций пересекают ось ординат?

    1)   F3,   F1   ,F2;

    2)   F3,   F2,  F1;

    3)   F1,   F3,   F2;

    4)   F1,   F2,   F3.

    8.   Материальная точка движется прямолинейно со скоростьюv(t)=6t2–4t. Найдите закон движения точки, если в момент времени t=0она была в начале координат.

    1)   s(t)=4t3–6t2–2;

    2)   s(t)=2t3–2t2;

    3)   s(t)=t3t2;

    4)   свой   ответ.

    9.   Какое расстояние пройдет материальная точка (см. задание 8) за первые 2 секунды своего движения?

    1)   32 м;

    2)   8 м;

    3)   4 м;

    4)   свой   ответ.

     

    10.   Найдите наименьшее значение первообразной функции y=4x–3, проходящей через точку(1; 1).

    1)   0,875;

    2)   0,625;

    3)   0,425;

    4)   свой   ответ.

     

    Ключ  к  тесту:

     

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Тест  поматематике   (алгебра   и  н.    м.   а.)«Первообразная»,   12   класс

    Вариант 2

    1.   Найдите   производную   функции   y = ctg  в   точке    .

    1)   –;

    2)   -1;

    3)   ;

    4)   свой   ответ.

    2.   Найдите   промежутки   возрастания   функции  

    1)   (-∞; 0](2; +∞);

    2)   (0; 2);

    3)   (0; 1)(1; +∞);

    4)   свой   ответ.

    3.   Какая   из   данных   функций   является   первообразной   для   функции   y=7x6–15x4?

    1)   2x7–5x3;

    2)   x7x5–1;

    3)   x7–3x5–5,5;

    4)   таких   нет.

    4.   Какая   из   данных  функций   является   первообразной   для   функции  

    y=–4sin2x?

    1)   2cos2x+2;

    2)   2cos2x+2;

    3)   sin4x;

    4)   1–2cos2x.

    5.   На   каком   из   указанных   промежутков   функция   F(x)=ctgx–2x–2является   первообразной   для   функции   f(x)= –2–?

    1)   ;

    2)   ;

    3)   (0;  2π);

    4)   .

    6.   Для   функции   y=–3x2+2    найдите  первообразную,   график   которой   проходит   через   точку   М(1; 5)

    1)   y= –3x2+2x+4;

    2)   y= –3x3+2x+5;

    3)   y= –x3+2x+4;

    4)   свой   ответ.

    7.   Известно,   что   F1,   F2,   F3–   первообразные   для   f(x)=4x3+2x+1   на   R, графики   которых   проходят   через   точки  M(0; 0),   N(2; -5),   K(1; 4)   соответственно.    Перечислите,   в   каком   порядке   (сверху   вниз)   графики   этих  функций   пересекают   ось  ординат?

    1)   F1,   F2   ,F3;

    2)   F1,   F3,  F2;

    3)   F3,   F1,   F2;

    4)   свой ответ.

    8.   Материальная   точка   движется   прямолинейно   со   скоростью   v(t)=8t–4. Найдите   закон   движения   точки,   если   в   момент   времени   t=2cпройденный путь составил 4 м.

    1)   s(t)=4t2–4t–4;

    2)   s(t)=t2–t+2;

    3)   s(t)=8t2–4t–20;

    4)   свой   ответ.

    9.   Какое   расстояние   пройдет   материальная   точка   (см.   задание   8)   за первые   3   секунды   своего   движения?

    1)   24 м;

    2)   20 м;

    3)   16 м;

    4)   свой   ответ.

    10.   Найдите наименьшее значение первообразной функции y=6–2xпроходящей   через   точку   (3; 1).

    1)   10;

    2)   1;

    3)   12;

    4)   свой   ответ.

    Ключ  к  тесту:

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     


     

    Задание № 6.

    Производная функции. ЕГЭ . Математика. 3

          БАЗА ЗАДАНИЙ

    Задание № 6. Производная функции.

    51. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 4; 6). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y=3x или совпадает с ней.

    52. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) и отмечены десять точек на оси абсцисс. В скольких из этих точек функция f(x) положительна?

    53. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) и отмечены восемь точек на оси абсцисс:  x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна?

    54. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) и  отмечены  десять  точек на оси абсцисс. В скольких из этих точек функция f(x) положительна?

    55. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (− 7; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [− 5; 2].

    56. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (− 8; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [− 5; 5].

    57. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (1;13). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x)=0 на отрезке [2;11].

    58. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой).  Пользуясь рисунком, вычислите F(−1)−F(−8), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

    59. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой).  Пользуясь рисунком, вычислите F(−1)−F(−9), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

    60. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция 

    — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

    61. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция 

    — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

    62. Прямая y=7x-5 параллельна касательной к графику функции y=x2+6x-8.  Найдите абсциссу точки касания.

    63. Прямая y=4x11 является касательной к графику функции y= x3 +7x2 +7x-6. Найдите абсциссу точки касания.

    64. Прямая y=3xявляется касательной к графику функции  y=x2+7x+c.  Найдите c.

    65. Прямая  y=3x+1 является касательной к графику функции  y=ax2+2x+3. Найдите a.

    66. Прямая y=5x+8 является касательной к графику функции y=28x2+bx+15. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

    67. Материальная точка движется прямолинейно по закону

    где — расстояние от точки отсчёта в метрах, — время в секундах, измеренное с момента начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 96 м/с?

    68. Материальная точка движется прямолинейно по закону

    где — расстояние от точки отсчёта в метрах, — время в секундах, измеренное с момента начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 48 м/с?

    69. Материальная точка движется прямолинейно по закону

    где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t=6 с.

    70. Материальная точка движется прямолинейно по закону

    где x — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t=3 с.

    Урок 4. Первообразная функция | Уроки математики и физики для школьников и родителей

    ВИДЕО УРОК

    Что такое первообразная и как она считается ?
    Найдём производную:
    Находим её, пользуясь формулой:
    Откуда
    Это и есть определение первообразной.
    Аналогично запишем и такое выражение:
    Обобщим это правило и выведем следующую формулу:
    При   n = –1  первообразная функция определяется следующим образом:
    Учитывая, что
    а производная
    Первообразной функции называется такая функция, производная которой равна исходной функции.

    называется первообразной функции
    на промежутке  Х, если для любого  х Х  выполняется равенство:
    Таблица первообразных функций.
    К каждому выражению в правой части таблицы необходимо прибавить константу.

    Правила нахождения первообразных функций.
    1. Первообразная функция суммы (разности) равна сумме (разности) первообразных функций.
    F(x + у) = F(x) + F(у),

    F(x – у) = F(x) – F(у).


    Найти первообразную для функции
    Первообразная суммы равна сумме первообразных, тогда надо найти первообразную для каждой из представленных функций. f(x) = cos xF(x) = sin x.
    Тогда первообразная исходной функции будет
    или любая функция вида
    2. Если  F(x) – первообразная для  f(x), то k F(x)– первообразная для функции  k f(x). (Коэффициент можно выносить за функцию).
    Найти первообразную для функции
    Первообразной для  sin x  служит минус  cos x. Тогда первообразная исходной функции примет вид:
    Найти первообразную для функции
    Первообразной для  x2  служит
    Первообразной для  x  служит
    Первообразной для  1  служит  x.
    Тогда первообразная исходной функции примет вид:
    3. Если  y = F(x) – первообразная для функции
    то первообразная для функции
    служит функция
    Найти первообразную для функции
    Первообразной для  cos x  служит  sin x. Тогда первообразная для функции
    будет функция
    ПРИМЕР:

    Найти первообразную для функции
    Первообразной для  sin x  служит минус  cos x. Тогда первообразная для функции
    будет функция
    ПРИМЕР:

    Найти первообразную для функции
    Первообразной для  x3  служитТогда первообразная для исходной функции

    будет функция
    ПРИМЕР:


    Найти первообразную для функции
    РЕШЕНИЕ:

    Сначала упростим выражение в степени:
    Первообразной экспоненциальной функции является сама экспоненциальная функция. Первообразной исходной функции будет:
    Если  y = F(x) – первообразная для функции
    y = f(x)  на промежутке  Х, то у функции  y = f(x)  бесконечно много первообразных, и все они имеют вид:
    Если во всех примерах, которые были рассмотрены выше, потребовалось бы найти множество всех первообразных, то везде следовало бы прибавить константу  С. Для функции  у = cos (7x)  все первообразные имеют вид:
    Для функции  у = (–2х + 3)3  все первообразные имеют вид:
    ПРИМЕР:

    По заданному закону изменения скорости тела от времени
    найти закон движения
    если в начальный момент времени тело имело координату равную  
    1,75.
    Так как  v = S(t), нам надо найти первообразную для заданной скорости.
    S = –3 1/4 (–cos 4t) + C = 3/4 cos 4t + C.
    В этой задаче дано дополнительное условие – начальный момент времени. Это значит, что  t = 0.
    S(0)= 3/4 (–cos 40) + C = 7/4,
    Тогда закон движения описывается формулой:
    Формул для нахождения частного и произведения первообразной функции не существует.
    Найти первообразную для функции
    РЕШЕНИЕ:

    Так как формул для нахождения частного и произведения первообразной функции не существует, то поступаем следующим образом. Разобьём дробь на сумму двух дробей.
    Найдём первообразные каждого слагаемого и их сумму.

    F(x) = 1∙ х + ln x = х + ln x.
    Решение выражений со степенью с рациональным показателем.
    Многие конструкции и выражения, которые, на первый взгляд, не имеют никакого отношения к
    могут быть представлены в виде степени с рациональным показателем, а именно:
    ПРИМЕР:  Найти первообразную для функции
    РЕШЕНИЕ:

    Посчитаем каждый корень отдельно:
    Итого:
    Решение задач на нахождение первообразных с заданной точкой.

    Иногда необходимо из множества всех первообразных найти одну-единственную такую, которая проходила бы через заданную точку. Все первообразные данной функции отличаются лишь тем, что они сдвинуты по вертикали на какое-то число. А это значит, что какую бы точку на координатной плоскости мы не взяли, обязательно пройдёт одна первообразная, и причём, только одна. Поэтому примеры, приведённые ниже, сформулированы следующим образом: Надо не просто найти первообразную, зная формулу исходной функции, а выбрать именно такую из них, которая проходит через заданную точку, координаты которой будут даны в условии задачи.
    Найти первообразную для функции
    f(x) = 5x4 + 6x3 – 2x + 6 в точке  М (–1; 4).
    Посчитаем каждое слагаемое:
    Найдём первообразную:
    Эта функция должна проходить через точку  М (–1; 4). Что значит, что она проходит через точку ? Это значит, что если вместо  х  поставить  –1, а вместо  F(x) – 4, то получится верное числовое равенство:
    Получилось уравнение относительно  С. Найдём  С.
    Подставим в общее решение  С = 10,5  и получим ответ: ПРИМЕР:

    Найти первообразную для функции

    в точке  М (2; –1).


    В первую очередь необходимо раскрыть квадрат разности по формуле сокращённого умножения.
    Посчитаем каждое слагаемое:
    Найдём первообразную:
    Найдём  С, подставив координаты точки  М.
    Осталось отобразить итоговое выражение.
    Решение тригонометрических задач.

    Найти первообразную для функции
    в точке  М (π/4; –1).

    Воспользуемся формулой:
    Тогда

    Подставляем координаты точки  М
    Осталось отобразить итоговое выражение.
    Найти первообразную для функции
    в точке  М (π/4; 2). 3 + 2, где f(0) = 5?

    Марк Х.ответил • 23.10.19

    Репетиторство по математике и естественным наукам на всех уровнях

    f(0) равно 2

    Я думаю, может быть, вы имеете в виду, что антипроизводная равна 5 для x = 0. Если это так, то просто найдите антипроизводную и добавьте константу интегрирования 5

    Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ, быстро.

    ИЛИ
    Найдите онлайн-репетитора сейчас

    Выберите эксперта и встретьтесь онлайн. Никаких пакетов или подписок, платите только за то время, которое вам нужно.


    ¢ € £ ¥ ‰ µ · • § ¶ SS ‹ › « » < > ≤ ≥ – — ¯ ‾ ¤ ¦ ¨ ¡ ¿ ˆ ˜ ° − ± ÷ ⁄ × ƒ ∫ ∑ ∞ √ ∼ ≅ ≈ ≠ ≡ е ∉ ∋ ∏ ∧ ∨ ¬ ∩ ∪ ∂ ∀ ∃ ∅ ∇ * ∝ ∠ ´ ¸ ª º † ‡ А А Â Ã Ä Å Æ Ç Э Э Ê Ë Я Я Я Я Ð С Ò О Ô Õ О Ø О Ш Ù Ú Û О Ý Ÿ Þ а а â г ä å æ ç э э э ë я я я я ð с ò о ô х ö ø œ ш ù ú û ü ý þ ÿ А В Г Δ Е Ζ Η Θ я Κ Λ М N Ξ О Π Р Σ Т Υ Φ Χ Ψ Ом α β γ дельта ε ζ η θ я κ λ мю ν ξ о π р ς о т υ ф х ψ ю ℵ ϖ ℜ ϒ ℘ ℑ ← ↑ → ↓ ↔ ↵ ⇐ ⇑ ⇒ ⇓ ⇔ ∴ ⊂ ⊃ ⊄ ⊆ ⊇ ⊕ ⊗ ⊥ ⋅ ⌈ ⌉ ⌊ ⌋ 〈 〉 ◊

    Антипроизводная и неопределенное интегрирование | Brilliant Math & Science Wiki

    В исчислении первопроизводная функции f(x)f(x)f(x) представляет собой функцию F(x)F(x)F(x) такую, что ddx(F( х)+С)=f(х). 2 + 2016, x2,x2+1,×2+2, х2+2016 и т.д.{56}+C, ∫56x55dx=56∫x55dx=55+156​x55+1+C=x56+C,

    , где ССС — постоянная интегрирования. □_\квадрат□​

    Если f(x)=cos⁡xf(x)=\cos xf(x)=cosx, какова первообразная f(x)?f(x)?f(x)?


    Из предельного определения производной мы знаем, что ddxsin⁡x=cos⁡x\frac{d}{dx}\sin x=\cos xdxd​sinx=cosx. Поскольку cos⁡x\cos xcosx является производной sin⁡x\sin xsinx, по определению первообразной первообразная cos⁡x\cos xcosx должна быть sin⁡x\sin xsinx плюс некоторая константа CCC.Таким образом, интеграл от cos⁡x\cos xcosx должен быть равен sin⁡x\sin xsinx. □_\квадрат□​

    Найдите первообразную 3x+12sin⁡x.\frac 3{\sqrt x}+\frac{1}{2}\sin x.x​3​+21​sinx.


    Мы видим, что производная от 2×2\sqrt x2x​ равна 1x\frac{1}{\sqrt x}x​1​. Следовательно,

    ∫3x dx=3×(2x)+C=6x+C,\displaystyle\int \dfrac 3{\sqrt x}\, dx= 3\times\big(2\sqrt x\big)+C=6 \sqrt x + C,∫x​3​dx=3×(2x​)+C=6x​+C,

    , где ССС — постоянная интегрирования. {2} x + \sec x \tan x \right) dx= \tan x + \sec x + C, ∫(sec2x+secxtanx)dx=tanx+secx+C,

    , где ССС — постоянная интегрирования. □_\квадрат□​

    Вычислите ∫xcos⁡x dx. \инт х \cos х \, дх. ∫xcosxdx.


    Для этого неопределенного интеграла нам нужно использовать интегрирование по частям. В соответствии с LIATE положим u=x  ⟹  dudx=1 u = x \имплицитно \frac{du}{dx} =1u=x⟹dxdu​=1 и v=sin⁡x  ⟹  dvdx=cos⁡xv = \sin x \ подразумевает \frac{dv}{dx}=\cos x. v=sinx⟹dxdv​=cosx.{2} + 3x + 2 } ∫x2+3x+2dx​.


    Для этой задачи мы должны выполнить разложение на неполные дроби.

    Подынтегральная функция равна 1(x+1)(x+2)=Ax+1+Bx+2, \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+ 1} + \frac{B}{x+2}, (x+1)(x+2)1​=x+1A​+x+2B​, что дает A(x+2)+B(x+ 1)=1. А(х+2) + В(х+1) = 1. А(х+2)+В(х+1)=1.

    Пусть x=−2 x = -2 x=−2, тогда B=−1. В = -1. В=-1.
    Пусть x=−1x = -1 x=−1, тогда A=1. А = 1.А=1.
    Тогда мы можем переписать подынтегральную функцию как 1x+1−1x+2 \frac{1}{x + 1} — \frac{1}{x+2} x+11​−x+21​.

    Используя uuu-подстановку, мы можем получить ответ ln⁡∣x+1∣−ln⁡∣x+2∣+C \ln \left| х+ 1 \право| — \лн\влево| х+2 \справа| + C ln∣x+1∣−ln∣x+2∣+C, что можно записать как

    пер⁡∣x+1x+2∣+C, \ln \left| \dfrac{x+1}{x+2}\right| +C,ln∣∣∣∣​x+2x+1​∣∣∣∣​+C,

    , где ССС — постоянная интегрирования. □_\квадрат□​

    Интеграл против антипроизводной | математика это весело

    Большинство людей имеют неправильное представление о взаимосвязи между «интеграцией» и «взятием первообразной»; они склонны произносить эти слова как синонимы, но есть небольшая разница.

    В общем, «Интеграл» — это функция, связанная с исходной функцией, которая определяется процессом ограничения. Давайте сузим «интегрирование» точнее на две части: 1) неопределенный интеграл и 2) определенный интеграл. Неопределенный интеграл означает интегрирование функции без какого-либо предела, но в определенном интеграле есть верхний и нижний пределы, другими словами, мы назвали это интервалом интегрирования.

    А первообразная как раз и означает, что нужно найти функции, производная которых будет нашей исходной функцией.Существует очень небольшая разница между определенным интегралом и первообразной, но явно большая разница между неопределенным интегралом и первообразной. Рассмотрим пример:

     

    f(x) = x²

     

    Первообразная x² равна F(x) = ⅓ x³.

     

    Неопределенный интеграл равен ∫ x² dx = F(x) = ⅓ x³ + C, что является почти первообразной, за исключением c. (где «C» — постоянное число.)

     

    С другой стороны, пару недель назад мы узнали об основной теореме исчисления, где нам нужно применить вторую часть этой теоремы к «определенному интегралу».4/4 + 2 также является одной из первообразных. Несмотря на это, когда мы берем неопределенный интеграл, мы на самом деле находим «все» возможные первообразные сразу (поскольку разные значения C дают разные первообразные). Таким образом, между ними есть тонкая разница, но это явно две разные вещи. Кроме того, мы бы сказали, что определенный интеграл — это число, к которому мы могли бы применить вторую часть основной теоремы исчисления; но первообразная — это функция, к которой мы могли бы применить первую часть основной теоремы исчисления.

    Антидифференциация — Концепция — Исчисление Видео от Brightstorm

    Чтобы найти первообразные функции, нужно немного подумать в обратном направлении. Поскольку производная искомой первообразной является заданной функцией, проверить правильность несложно. Вы просто берете производную и смотрите, является ли она заданной функцией. Кроме того, первообразные функций — это не одна функция, а целое семейство функций. Это семейство можно записать в виде многочлена плюс с, где с обозначает любую константу.

    Я хочу поговорить о том, как находить первообразные, поэтому давайте вспомним, что такое первообразная заглавная буква F от x является первообразной малой f от x означает, что заглавная буква F равна малой f. Итак, когда вы смотрите на это соотношение, маленькая f является производной большой f, большая F является первообразной маленькой f, так что вы в основном угадываете и проверяете, чтобы найти первообразную, которая является одним из способов сделать это.Таким образом, найдя первообразные этой функции, например, f от x, немного f от x равно 10x+4, вам придется подумать о функции, производная которой равна 10+4. Теперь я могу думать о том, что х в квадрате имеет производную 2х, так что я должен сделать х в квадрате, чтобы производная 10х умножила ее на 5, чтобы я мог начать с заглавной буквы F, которая равна 5х в квадрате плюс и какая функция является производной как 4 ? Что ж, 4x имеет производную от 4, поэтому заглавная буква F равна 5x в квадрате плюс 4x.
    Теперь, когда вы проверите это, дифференцируя заглавную букву F, это будет 2, выпадающее перед вами, вы получите 10x, производная 4x равна 4, и вот мы идем, это работает, так что это будет первообразная 10x+4.Но это не единственное, 5x в квадрате плюс 4x-60, производная части минус 60 равна 0, поэтому производная по-прежнему будет 10x+4, а еще одна 5x в квадрате плюс 4x+100 любая константа, которую вы хотите добавить к производной будет равно 0, поэтому производная по-прежнему будет 10x+4, и вы можете видеть, что я могу продолжать и продолжать в том же духе до бесконечности. Я могу продолжать придумывать функции и просто вводить разные значения для этой константы, и у меня будет много-много первообразных 10x плюс 4.
    Но обычно мы не так пишем наш ответ, мы пишем наш ответ красивым конденсированная форма.Любая функция вида 5x в квадрате плюс 4x+c является первообразной функции 10x+4. Таким образом, мы обычно пишем наш ответ, и здесь важно понимать, что когда я пришел к первому ответу 5x в квадрате плюс 4x любая константа, которую я хотел добавить, это все равно дало бы мне первообразную. И это приводит меня к следующей важной теореме: если заглавная буква F от х является первообразной маленькой f от х, то заглавная буква F от х плюс с являются первообразными маленькой f от х. Это означает, что любая функция этой формы будет первообразной, и это все, что есть.Так что это действительно мощно, и, как я только что сказал, в первом примере я получил 5x в квадрате плюс 4x, как только я нашел первообразную 10x+4. Я сделал все, что мне нужно сделать, это добавить +c, и это все первообразные 10x+4 очень мощная теорема, как только вы найдете одну первообразную, добавьте +c, и вы нашли их все.

    Обзор экзамена по математическому анализу AP: Антидифференциация — Блог Magoosh

    Антидифференциация — важный инструмент для вычисления интегралов.На самом деле можно сказать, что антидифференцирование — это почти то же самое, что нахождение неопределенного интеграла.

    Когда мы антидифференцируем функцию, мы просто находим другую функцию, производная которой равна той, с которой мы начали.

    Что такое антидифференциация?

    Антидифференциация является противоположностью дифференцировки . Точно так же, как дифференцирование — это процесс нахождения производной, дифференцирование против — это всеобъемлющий термин для любой формулы, техники или метода нахождения производной против .

    Если f является функцией, то мы говорим, что F является первообразной для f , если F ‘( x ) = x ).

    Сколько первообразных может иметь функция?

    Если функция имеет одну первообразную, то она имеет бесконечно первообразных. Это потому, что производная любой константы равна 0. Таким образом, если F ( x ) является производной от f ( x ) и C является любой константой, то

    [ F ( x ) + C ]’ = F  ‘( x ) + [C]’ = f ( x ) + 0 = f ( x ).

    Следовательно, F ( x ) + C равно , а также является первообразной для f . Мы называем C константой интегрирования .

    Обозначения и связь с интегралом

    Неопределенный интеграл функции f по определению является наиболее общей первообразной f . Обозначения для неопределенного интеграла показаны ниже.

    Всякий раз, когда мы вычисляем неопределенный интеграл, мы делаем антидифференцирование.

    Формулы антидифференцировки

    Существует множество других формул и методов антидифференцировки. К счастью, вам нужно знать только основы для экзаменов AB и BC.

    Экзамен AP Calculus AB охватывает основные формулы антидифференцирования и замену переменных.

    Экзамен AP Calculus BC включает не только базовые формулы и подстановку, но и интегрирование по частям (IBP) и простые дроби (PF). Этот тест также имеет более сложные задачи в целом.

    Обратите внимание, что все эти правила написаны в терминах неопределенных интегралов.

    Основные правила

    «Основные» правила относятся к тем правилам, которые следуют непосредственно из правил дифференцирования. Некоторые из наиболее распространенных правил включают правило степени, правило суммы/разности и правило постоянного множителя. Существуют также правила для некоторых тригонометрических, экспоненциальных и других элементарных функций.

    Правило замещения

    Правило замещения , или U -Substition, является правилом, что «меняет» правило цепочки.

    Интегрирование по частям

    Интегрирование по частям (IBP) — это мощный метод, который можно использовать, когда в подынтегральном выражении присутствуют определенные виды продуктов. На самом деле, вы можете думать о IBP как о способе «обратить» правило продукта.

    Предположим, что u и v являются дифференцируемыми функциями от x . Тогда формула IBP утверждает, что:

    Частные дроби

    Метод частичных дробей (PF) является специализированным методом для рациональных функций .Основная идея состоит в том, чтобы разбить дробь на сумму более простых дробей.

    К счастью, даже на экзамене БК нужно знать только самые простые случаи ПФ. В простейших случаях знаменатель разлагается на уникальные линейных множителей.

    • Шаг 1. Фактор знаменателя. Каждый из этих факторов станет знаменателем своей дроби.

    • Шаг 2. Затем вам нужно будет определить постоянные числители.Существуют различные алгебраические способы сделать это. Возможно, самый быстрый и простой способ — это метод сокрытия Хевисайда .

      Когда имеются только линейные множители, метод сокрытия Хевисайда работает следующим образом:

      Для каждого множителя ( x c ) закройте этот множитель в выражении. Затем подставьте корень этого множителя (то есть x = c ) в оставшееся выражение. Результатом является правильное значение константы A , соответствующее этому коэффициенту.

    • Шаг 3. Наконец, проинтегрируйте каждую более простую дробь. В самых простых случаях это предполагает простую замену и правило для 1/ x . Каждый дробный член следует одному и тому же основному правилу:

    Практические задачи

    Давайте проведем антидифференцирование!

    Пример 1

    Найдите первообразную 4 x 3 – 8 x + 7.

    Это задание для основных правил, включая правило мощности.

    Теперь давайте проверим нашу работу. Помните, что антидифференцировка — это противоположность дифференцировке. Поэтому все, что вам нужно сделать, это найти производную вашего ответа и убедиться, что она совпадает с исходным подынтегральным выражением.

    Пример 2

    Это задание для частичных дробей. Во-первых, убедитесь, что числитель имеет меньшую степень, чем знаменатель. (Если бы он имел ту же или большую степень, то вам пришлось бы сначала переписать интеграл, используя полиномиальное деление .Посмотрите это видео, чтобы узнать больше о делении многочленов в длину.)

    Первый множитель знаменателя. х 2 – 7 х + 12 = ( х – 3)( х – 4).

    Затем перепишите подынтегральное выражение в виде суммы дробей с каждым множителем в качестве знаменателя и неизвестной константой в числителе.

    Теперь используйте метод сокрытия Хевисайда для каждого фактора.

    Наконец, подключите свои константы и интегрируйте.

    Резюме

    Антидифференцировка — это противоположность дифференцировки. Это то же самое, что найти первообразную функции. Неопределенный интеграл является наиболее общей первообразной. Методы антидифференцирования, требуемые на экзаменах, включают:

    • Основные формулы
    • Подстановка
    • Интегрирование по частям (только BC)
    • Частичные дроби (только BC)
    Гарантированное улучшение результатов SAT или ACT.Начните свою 1-недельную бесплатную пробную версию Magoosh SAT Prep или 1-недельную бесплатную пробную версию Magoosh ACT Prep сегодня!

    • Шон получил докторскую степень по математике в Университете штата Огайо в 2008 году (вперёд!). В 2002 году он получил степень бакалавра математики со специализацией в области компьютерных наук в Оберлинском колледже. Кроме того, Шон получил степень бакалавра музыки. в том же году окончил Оберлинскую консерваторию по специальности «музыкальная композиция».

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск