Построение графиков сдвигами: параллельный перенос (сдвиг), отображение, растяжение, сжатие, отражение. Курсы по математике — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 26.03.197315.01.2022 by alexxlab

Содержание

параллельный перенос (сдвиг), отображение, растяжение, сжатие, отражение. Курсы по математике

Тестирование онлайн

Преобразование графиков

Параллельный перенос

График функции y=f(x)+B получается параллельным переносом графика функции y=f(x) в положительном направлении вдоль оси Оу на расстояние В, если В>0 и в отрицательном направлении вдоль оси Оу, если B.

График функции y=f(x+b) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) в положительном направлении вдоль оси Оx на расстояние b, если b и в отрицательном направлении вдоль оси Оx, если b>0.

Отображение

График функции y=-f(x) получается симметричным отображением графика y=f(x) относительно оси Ох.

График функции y=f(-x) получается симметричным отображением графика y=f(x) относительно оси Оу.

Деформация (растяжение и сжатие) графика

График функции y=Af(x), получается растяжением графика y=f(x) вдоль оси Оу от оси Ох в A раз при A>1 или сжатием вдоль оси Оу к оси Ох в раз при

График функции y=f(ax), получается сжатием графика y=f(x) вдоль оси Ох к оси Оу в а раз при а>1 или растяжением вдоль оси Ох к оси Оу в раз при а.

Отражение

График функции получается из графика функции y=f(x) следующим образом: часть графика функции y=f(x), лежащая над осью Ох и на оси, остается без изменений, а часть графика, лежащая под осью Ох, отражается симметрично относительно оси Ох на верхнюю полуплоскость.

График функции получается из графика функции y=f(x) следующим образом: часть графика функции y=f(x), соответствующая неотрицательным значениям аргумента , остается без изменений, а отрицательным значениям аргумента будет соответствовать график, полученный путем симметричного относительно оси Оy отображения части графика, оставленной без изменений.

Примеры

Урок на тему «Построение графиков функций путем преобразования»

Презентация на тему: Построение графиков функций путем преобразования

Цели урока:

Повторить способы преобразования графиков функций.

Проверить знания учащихся.

Преобразования:

1. y = f(x – a)

2. y = f(x) + b

3. y = — f(x)

4. y = f(-x) 5. y = kf(x), где k>0

6. y = f(kx), где k>0

7. y = |f(x)|

8. y = f(|x|)

Запишите уравнение параболы с координатами вершины (x0 ;y)

Параллельный перенос (сдвиг). Рассмотрим параллельный перенос вдоль оси абсцисс. Пусть дан график функции y = f(x). Как по отношению к нему будет расположен график функции y = f(x – a), a>0 ?

График функции y = f (x — a), a > 0, получается из графика функции y = f(x) сдвигом (переносом) вдоль оси Ох на а единиц вправо.

Ясно, что если а<0, то график функции y = f (x — a) получается из графика функции y = f(x) сдвигом (переносом) вдоль оси Ох на а единиц влево.

Пример 1. График функции получается из графика функции сдвигом (переносом) вдоль оси Ох на 4 единицы влево.

Пример 2. График функции получается из графика функции сдвигом (переносом) вдоль оси Ох на 2 единицы вправо.

Рассмотрим теперь параллельный перенос вдоль оси ординат. В этом случае график функции y = f(x) + b получается из графика функции y=f(x) при b > 0 смещением на b единиц вверх, а при b < 0 – на |b| единиц вниз.

Пример 3. Чтобы построить график функции , сначала строим график функции , а затем сдвигаем его вниз на единицу.

Пример 4. Чтобы построить график функции , сначала строим график функции , а затем сдвигаем его вверх на единицу. Тест

Тест. Вопрос 1. График функции (зеленый) получен из графика функции с помощью параллельного переноса. Выберите соответствующую формулу.

Вопрос 2. График функции (зеленый) получен из графика функции с помощью параллельного переноса. Выберите соответствующую формулу.

Вопрос 3. График функции получен из данного с помощью параллельного переноса и симметричного отображения относительно прямой Ох. Напишите соответствующую формулу.

2. Деформация (растяжение и сжатие) графика. График функции у = f(ω·x), ω>0, получается из графика функции у = f(x), «сжатием» к оси у в ω раз при ω>1 и «растяжением» от оси у в раз при 0<ω<1. График функции у = k·f(x), k>0, получается из графика функции у = f(x), «растяжением» от оси х в k раз при k>1 и «сжатием» к оси х в раз при 0< k<1.

Пример 5. График функции y =sin 2x получается из графика функций y = sin x «сжатием» к оси у в 2 раза.

Пример 6. График функции получается из графика функции «растяжением» от оси у в 2 раза.

Пример 7. График функции y = 2·f(x) получается из графика функции y = f(x) «растяжением» от оси х в 2 раза.

Пример 8. График функции получается из графика функции «сжатием» к оси х в 2 раза.

3. Отражение. График функции получается зеркальным отражением графика функции относительно оси х.

График функции получается зеркальным отражением графика функции относительно оси у.

График функции получается из графика функции следующим образом:

а) Часть графика, лежащую над осью x, оставляем без изменения;

б) Часть графика, лежащую под осью x, отражаем симметрично относительно оси x. Таким образом, ниже оси Ox графика нет.

;

– четная функция, ее график получится отражением ветви при x≥0 графика функции симметрично относительно оси Оу. Ветвь графика при х < 0 пропадает.

Замечание. Нетрудно показать, что если периодическая функция с периодом , то функция , , является периодической с периодом. В самом деле, так как функция имеет период , то при любом x выполняется равенство . Положим ; тогда для любого х получим

и, следовательно, функция имеет период . Например, функция имеет период , а функция — период .

Список использованной литературы:

1. Бахтина Т. П. «Таблетки» и «компрессы» при построении графиков. // Математика в школе. 2000. № 8.

2. Игудисман О. С. Математика на устном экзамене. Пособие для поступающих в вузы с повышенными требованиями по математике. ─ М: «Московский Лицей», 1997.

3. Райхмист Р. Б. Графики функций: задачи и упражнения. ─ М: Школа-Пресс, 1997. — 384с. (Cерия «ШАНС» — «Школа Абитуриента: Научись Сам»).

Построение графиков функций путем преобразования
PPT / 659. 5 Кб

растяжение и сжатие, параллельный перенос, общее уравнение синусоиды, тангенцоиды

Общие принципы преобразования графиков функций изучались нами в главе 8, (см. §47, §48, §50 справочника для 8 класса). В этом параграфе мы рассмотрим особенности тригонометрических функций при использовании этих преобразований.

п.1. Растяжение и сжатие графиков тригонометрических функций по оси

Общие принципы растяжения и сжатия графиков по оси OX:

При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x),\ \ y_2=f(px),\ \ p\gt 1 $$ график второй функции сжимается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x),\ \ y_2=f(\frac{x}{p}),\ \ p\gt 1 $$ график второй функции растягивается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
Тригонометрические функции являются периодическими: синус и косинус с периодом 2π, тангенс и котангенс – с периодом π.

Получаем следствие общих принципов:

При сравнении двух тригонометрических функций $$ y_1=f(x),\ \ y_2=f(px),\ \ p\gt 1 $$ период второй функции уменьшается в p раз: $$ T_2=\frac{T_1}{p} $$

При сравнении двух тригонометрических функций $$ y_1=f(x),\ \ y_2=f(\frac{x}{p}),\ \ p\gt 1 $$ период второй функции увеличивается в p раз: $$ T_2=pT_1 $$

Например:

Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx,\ \ g(x)=sin2x,\ \ h(x)=sin\frac{x}{2} $$
Период колебаний функции $g(x)=sin2x$ в 2 раза меньше: $T_g=\frac{2\pi}{2}=\pi$.
Период колебаний функции $h(x)=sin\frac{x}{2}$ в 2 раза больше: $T_h=2\cdot 2\pi=4\pi$.

п.2. Растяжение и сжатие графиков тригонометрических функций по оси

Общие принципы растяжения и сжатия графиков по оси OY:

При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x),\ \ y_2=Af(x),\ \ A\gt 1 $$ график второй функции растягивается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

Общий принцип сжатия графиков:

При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x),\ \ y_2=\frac{1}{A}f(x),\ \ A\gt 1 $$ график второй функции сжимается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
Т.к. для графиков синуса и косинуса (синусоиды) характерна амплитуда колебаний, то также говорят, что:

умножение на параметр $A\gt 1$ увеличивает амплитуду колебаний в $A$ раз;
деление на параметр $A\gt 1$ уменьшает амплитуду колебаний в $A$ раз.

Например:

1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=cosx,\ \ g(x)=2cosx,\ \ h(x)=\frac{1}{2}cosx $$
Умножение на $A=2$ увеличивает амплитуду колебаний в 2 раза.
Область значений функции $g(x)=2cosx:\ y\in[-2;2]$. График растягивается по оси OY.
Деление на $A=2$ уменьшает амплитуду колебаний в 2 раза. Область значений функции $h(x)=\frac12 cosx:\ y\in\left[-\frac12; \frac12\right]$.

График сжимается по оси OY.

2) Теперь построим $$ f(x)=tgx,\ \ g(x)=2tgx,\ \ h(x)=\frac{1}{2}tgx $$
В этом случае хорошей иллюстрацией растяжения по оси OY при умножении и сжатия по оси OY при делении на $A=2$ служит поведение функции при $x=\frac\pi4$. $$ f\left(\frac\pi4\right)=tg\left(\frac\pi4\right)=1,\ \ g\left(\frac\pi4\right)=2tg\left(\frac\pi4\right)=2,\ \ h\left(\frac\pi4\right)=\frac12 tg\left(\frac\pi4\right)=\frac12 $$ Аналогично – для любого другого значения аргумента x.

п.3. Параллельный перенос графиков тригонометрических функций по оси

Общие принципы переноса по оси OX:

При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x),\ \ y_2=f(x+a),\ \ a\gt 0 $$ график второй функции смещается влево на a по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x),\ \ y_2=f(x-a),\ \ a\gt 0 $$ график второй функции смещается вправо на

a по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
При этом параметр x называют начальной фазой колебаний.
При сравнении двух тригонометрических функций $y_1=f(x)$ и $y_2=f(x\pm a)$ говорят, что у второй функции сдвиг по фазе равен $\pm a$.

Например:

1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx,\ \ g(x)=sin\left(x+\frac\pi4\right),\ \ h(x)=sin\left(x-\frac\pi4\right) $$
Функция $g(x)=sin\left(x+\frac\pi4\right)$ сдвинута на $\frac\pi4$ влево по сравнению с $f(x)$
Функция $h(x)=sin\left(x-\frac\pi4\right)$ сдвинута на $\frac\pi4$ вправо по сравнению с $f(x)$

п.4. Параллельный перенос графиков тригонометрических функций по оси

Общие принципы переноса по оси OY:

При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x),\ \ y_2=f(x)+a,\ \ a\gt 0 $$ график второй функции смещается вверх на

a по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x),\ \ y_2=f(x)-a,\ \ a\gt 0 $$ график второй функции смещается вниз на a по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.

Например:

1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx,\ \ g(x)=sinx+1,\ \ h(x)=sinx-1 $$
Функция $g(x)=sinx+1$ сдвинута на 1 вверх по сравнению c $f(x)$
Функция $h(x)=sinx-1$ сдвинута на 1 вниз по сравнению с $f(x)$

п.5. Общее уравнение синусоиды

Синусоида – плоская кривая, которая задается в прямоугольной системе координат уравнением: $$ y(x)=Asin(cx+d)+B $$ где
A — амплитуда, характеризует растяжение графика по оси OY
B – вертикальный сдвиг, характеризует сдвиг графика по оси

OY (вверх/вниз)
c — циклическая частота, характеризует период колебаний и растяжение графика по оси OX
d- начальная фаза, характеризует сдвиг графика по оси OX(влево/вправо)

График $y(x)=Acos(cx+d)+B$ также называют синусоидой. Термин «косинусоида» употребляется относительно редко.
Поскольку график косинуса получается из графика синуса сдвигом по фазе на π/2 влево, вводить термин «косинусоида» излишне.

Например:

Построим график $g(x)=3sin\left(2x+\frac\pi2\right)-1$
По сравнению с $f(x)=sinx$:

$A=3$ — график растянут по оси OY в 3 раза
$c=2$ — период меньше в 2 раза T=π, график сжат в 2 раза по оси OX
$d=\frac\pi2$ – начальная фаза положительная, график сдвинут на $\frac{\pi}{2\cdot 2}=\frac\pi4$ влево
$B=-1$ — график сдвинут по оси OY на 1 вниз

п.6. Общее уравнение тангенцоиды

Tангенцоидa – плоская кривая, которая задается в прямоугольной системе координат уравнением: $$ y(x)=Atg(cx+d)+B $$ где
A — амплитуда, характеризует растяжение графика по оси OY
B – вертикальный сдвиг, характеризует сдвиг графика по оси OY (вверх/вниз)
c — циклическая частота, характеризует период колебаний и растяжение графика по оси OX
d- начальная фаза, характеризует сдвиг графика по оси OX(влево/вправо)

График $y(x)=Actg(cx+d)+B$ также называют тангенцоидой.

Например:

Построим график $g(x)=\frac12 tg\left(\frac{x}{2}-\frac\pi3\right)+1$
По сравнению с $f(x)=tgx$:

$A=\frac12$ — график сжат по оси OY в 2 раза
$c=\frac12$ — период больше в 2 раза T=2π, расстояние между асимптотами 2π, график растянут в 2 раза по оси
OX
$d=-\frac\pi3$ – начальная фаза отрицательная, график сдвинут на $\frac{\pi}{3\cdot 1/2}=\frac{2\pi}{4}$ вправо
$B=1$ — график сдвинут по оси OY на 1 вверх

п.7. Примеры

Пример 1.Постройте в одной системе координат графики: $$ f(x)=sinx,\ \ g(x)=-sinx,\ \ h(x)=cosx $$ Найдите сдвиг по фазе для $g(x)$ и $h(x)$ в сравнении с $f(x)$.

Сдвиг по фазе удобно определять по главной арке синусоиды.
Для $f(x)=sin⁡x$ главная арка определена на отрезке $0\leq x\leq \pi$
Для $g(x)=-sin⁡x$ главная арка определена на отрезке $-\pi\leq x\leq 0$, т.е. сдвинута на π влево от $f(x)$. Это означает, что: $$ f(x)=g(x+\pi),\ \ sin⁡x=-sin⁡(x+\pi) $$ Для $h(x)=cos⁡x$ главная арка определена на отрезке $-\frac\pi2\leq x\leq \frac\pi2$, т.е. сдвинута на $\frac\pi2$ влево от $f(x)$. Это означает, что: $$ f(x)=h\left(x+\frac\pi2\right),\ \ sinx=cos\left(x+\frac\pi2\right) $$

Пример 2. Найдите наименьшие положительные периоды функций:
a) $y=sin5x$
Период синуса $2\pi$ уменьшается в 5 раз. Получаем: $T=\frac{2\pi}{5}$

б) $y=cos\pi x$
Период косинуса $2\pi$ уменьшается в $\pi$ раз. Получаем: $T=\frac{2\pi}{\pi}=2$

в) $y=tg\frac{x}{4}$
Период тангенса $\pi$ увеличивается в 4 раза. Получаем: $T=4\pi$

г) $y=tg\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$
Период тангенса $\pi$ уменьшается в 2 раза. Получаем: $T=\frac\pi2$

Пример 3. Используя правила преобразования графиков функций, постройте график $$ f(x)=2ctg\left(3x+\frac\pi6\right) $$ По сравнению с $g(x)=tg⁡x$:

$A=2$ — график растянут по оси OY в 2 раза
$c=3$ — период меньше в 3 раза $T=\frac\pi3$, расстояние между асимптотами $\frac\pi3$, график сжат в 3 раза по оси OX
$d=-\frac\pi6$ – начальная фаза положительная, график сдвинут на $\frac{\pi}{6\cdot 3}=\frac{\pi}{18}$ влево

Расположение нулей: $$ tg\left(3x+\frac\pi6\right)=0\Rightarrow 3x+\frac\pi6=\pi k\Rightarrow 3x=-\frac\pi6+\pi k\Rightarrow x =-\frac{\pi}{18}+\frac{\pi k}{3} $$ Вертикального сдвига нет, нули расположены на оси OX.
Расположение асимптот: $$ 3x+\frac\pi6\ne\frac\pi2+\pi k\Rightarrow 3x\ne\frac\pi3+\pi k\Rightarrow x\ne\frac\pi9+\frac{\pi k}{3} $$ Пересечение главной ветви с осью OY: $x=0,\ y=2tg\frac\pi6=\frac{2}{\sqrt{3}}$
С учетом периода $\frac\pi3$ получаем семейство дополнительных точек для построения графика $\left(\frac{\pi k}{3}; \frac{2}{\sqrt{3}}\right)$.

Пример 4. Определите графически, сколько корней имеет уравнение на отрезке: a) $sinx=sin2x$ при $0\leq x\leq 3\pi$

Ответ: 7 корней

б) $cos\frac{x}{2}=cos2x$ при $-2\pi\leq x\leq 2\pi$

Ответ: 7 корней

Урок 4. свойства и график функции y=sinx — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №4. Свойства и график функции .

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Глоссарий по теме

Синусоидой называется множество точек плоскости, которое в некоторой системе координат является графиком функции , где a≠0.

Число │a│ называется амплитудой.

Основная литература:

Колягин М.В. Ткачева Ю.М., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. М.: Просвещение, 2010.–336 с.

Дополнительная литература:

Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: http://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На прошлом уроке мы говорили о свойствах графика косинуса:

1) область определения функции – множество R всех действительных чисел;

2) Множество значений функции – отрезок [–1;1];

3) Функция косинуса периодическая, ;

4) Функция чётная;

5) Функция принимает:

значение, равное 0, при ;
наименьшее значение, равное –1, при

;

наибольшее значение, равное 1, при ;

6) Функция

возрастает на отрезке и на отрезках, получаемых сдвигами этого интервала на .

Давайте сравним их со свойствами графика синуса, а для начала определим следующие моменты:

При движении точки до первой четверти ордината увеличивается;
При движении точки по второй четверти ордината постепенно уменьшается;
Функция возрастает на отрезке и убывает на отрезке .

Свойства функции :

1) D(y) =R;

2) E (y) =[–1;1];

3) Период функции равен ;

4) Функция чётная/нечётная;

5) Функция принимает:

6) Функция

возрастает на отрезке и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на ;
убывает на отрезке и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на .

Изменяя амплитуду и значение аргумента функции синуса график ведет себя следующим образом (рис.1)

Рис. 1 – графики синуса

Сдвиг графика влево/вправо вдоль оси абсцисс

Если к аргументу функции добавляется постоянная, то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси Ох.

Правило:
1) чтобы построить график функции , нужно сдвинуть график вдоль оси Ох на b единиц влево;

2) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть вдоль оси ОХ на b единиц вправо.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Актуализация знаний

1. На следующие утверждения нужно ответить верно/неверно.

1) Тригонометрическая функция определена на всей числовой прямой.

2) График нечетной функции можно построить с помощью преобразования симметрии относительно оси Оу.

3) График тригонометрической функции можно построить, используя одну главную полуволну.

Ответ: верно, неверно, верно.

2. Вспомним, что мы уже знаем о функции , ответив на вопросы:

1) Какие значения может принимать переменная х. Какова область определения этой функции?

2) В каком промежутке заключены значения выражения . Назови наибольшее и наименьшее значения функции .

3) Функция синуса чётная или нечётная?

Ответ:1) 𝑥∈𝑅; 2) [–1;1]; 𝑦𝑚𝑎𝑥=3, 𝑦𝑚𝑖𝑛=–3; 3) чётная;

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:

Пример 1. Найдем все корни уравнения , принадлежащие отрезку .

Построим графики функций и (рис. 6)

Рис. 7 – графики функций и .

Графики пересекаются в четырёх точках, абсциссы которых являются корнями уравнения . На выбранном отрезке от корни уравнения симметричны: и . Из рисунка видно, что симметричность корней объясняется периодичностью функции: аналогично для

Ответ: ; .

Пример 2.Найти все решения неравенства , принадлежащие отрезку .

Из рисунка 7 видно, что график функции лежит выше графика функции на промежутках и и

Ответ: , ,

Конспект урока по Алгебре «Построение графика квадратичной функции с использованием сдвигов по осям координат» 8 класс

МБОУ Чистопольская СОШ

Урок алгебры в 8 классе.

Тема «Построение графика квадратичной функции с использованием сдвигов по осям координат».

(открытый урок в рамках месячника методической работы по теме «Современный урок» с применением элементов системно-деятельностного метода обучения)

Автор: ТиховаЮ. К.

учитель математики

МБОУ Чистопольской СОШ

20 февраля 2013 год

Цели урока:

Образовательные:

Развивающие:

развивать математическую зоркость и математическую речь, умение сравнивать, выделять характерные признаки, классифицировать;

Воспитательные:

формировать навыки сотрудничества, организации работы в группе, повышение мотивации изучения математики.

Задачи урока:

повторить основной материал, связанный с квадратичной функцией;
продолжить отработку и закрепление навыка построения графиков квадратичных функций с помощью таблицы;
создать условия (подвести) для учащихся к открытию ими алгоритмов построения графиков функций;
выявить уровень усвоения алгоритмов;
выработка компетенций:

1) общеобразовательных:

-умения самостоятельно и мотивированно организовывать свою познавательную деятельность;

-умения использовать элементы причинно-следственного анализа, определять существенные характеристики изучаемого объекта;

-умения оценивать и корректировать своё поведение в окружающей среде, выполнять требования в практической деятельности.

2) предметно-ориентированных:

-развивать познавательные интересы в процессе самостоятельного приобретения математических знаний;

-воспитывать убежденность в позитивной роли математики в жизни современного общества.

Формы работы на уроке:

Оборудование урока:

интерактивная доска;
карточки-задания;
карточки-шаблоны;
буклеты.

Планируемые результаты обучения:

Обучаемый должен знать:

Определение квадратичной функции, график квадратичной функции и его элементы, алгоритм построения графика с использованием сдвигов по осям координат.

Обучаемый должен уметь:

Узнавать квадратичную функцию, определять направление ветвей параболы по старшему коэффициенту, строить график функции у=х², строить график квадратичной функции, определяя направление и величину сдвига по формуле.

Личностные:

Стараться ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной речи; понимать смысл поставленной задачи; учиться контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.

Метапредметные:

Видеть математические объекты «квадратичную функцию», «параболу» в окружающей жизни; формулировать гипотезы при решении математических задач; применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений.

План урока.

1. Организационный момент.

2. Мотивация (просмотр презентации) + стихотворение.

3. Актуализация знаний:

Задание 1. Из данных функций выбрать те, которые являются квадратичными (соединить стрелками или вычеркнуть).

Задание 2. Из графиков функций, выбрать те, которые являются графиками квадратичной функции.

Задание 3. Назвать основные элементы параболы.

Задание 4. Определить направление ветвей

параболы по формуле, задающей функцию.

4. Работа в группах.

Группа 1 (учащиеся, имеющие низкий уровень математической

подготовки)

Группы 2 и 3 (учащиеся, имеющие средний и хороший уровень

математической подготовки)

5. Анализ полученных результатов (презентация).

6. Систематизация полученных результатов: заполнение сводной

таблицы, оформление результатов в виде буклета.

7. Домашнее задание.

8. Первичный контроль (самостоятельная работа) с последующей

проверкой.

9. Рефлексия.

Ход урока.

1. Организационный момент:

Начать урок я хочу словами Конфуция о трёх путях ведущих к знаниям…..

Перед человеком к разуму три пути: путь размышления – это самый благородный путь, путь подражания – это самый лёгкий; путь личного опыта – это самый тяжёлый.

Я думаю, каждый из вас уже определил для себя свой путь к знанию и уровень, на котором вы будете сегодня работать.

Итак начнем.

На уроке можно ошибаться, сомневаться, консультироваться.

Если вам что-то непонятно помните: «Я всегда рядом».

2. Мотивация:

Сегодня мы с вами продолжим изучение одной из основных видов функций в курсе алгебры – квадратичной.

— Сформулируйте определение квадратичной функции (функция вида …..)

— Как называется график квадратичной функции? (парабола).

И сейчас мне бы хотелось обратить ваше внимание на то, что квадратичная функция и её график являются не только алгебраическими понятиями, а реально существуют вокруг нас (презентация).

Параболу можно встретить везде и не только в объектах, созданных человеком, как, например, в фонтанах, но и в самой природе, где не касалась рука человека: в виде горных хребтов, морских заливов и в другом большом количестве знакомых нам объектов.

Термин парабола не только математический, но и литературный.

Парабола — термин, обозначающий близкую притче жанровую разновидность в драме и прозе XX века.

Послушайте отрывок из стихотворения, его автор Михаил Зимогляд:

Отдохнуть не пора бы ли, щелкнув автопилот?
Я по жизни параболе совершаю полет.

Ввысь однажды отправленный, катапультой-судьбой,
подымался не плавно я, а летел, как шальной.

Под холодными звездами знаний клад отыскал.
Что людьми было создано, словно губка, впитал.

Испытал наслаждение от житейских страстей.
Только в небо движение становилось трудней.

Подо мной даль бескрайняя. Ах, какой чудный миг!
И восторг осознания — я вершины достиг!

Но недолго парение продолжалось, и вот,
незаметно в падение превратился полет.,,,

Жизнь острижена наголо, смято время в комок.
Вниз уходит парабола, приближая мой срок.

Ведь кривой той симметрия — скоротечности знак.
И Творца геометрию не отменишь никак.

На какой ординате я, кувыркаясь, лечу?
Не имею понятия, одного лишь хочу,

разглядеть с облегчением, камнем падая вниз,
точку пересечения на оси, что абсцисс.

Что сравнивает автор с изучаемой нами кривой?

3. Актуализация знаний.

А теперь повторим основные моменты, связанные с квадратичной функцией, которые нам сегодня пригодятся:

Задание 1.

Из данных функций выбрать те, которые являются квадратичными (соединить стрелками или вычеркнуть).

Задание 2.

Из графиков функций, выбрать те, которые являются графиками квадратичной функции.

Задание 3.

Назвать основные элементы параболы.

Задание 4. Определить направление ветвей параболы:

по формуле, задающей функцию.

4. Работа в группах.

Повторив основной материал, перейдем к главной части урока. На предыдущем уроке вы установили зависимость между внешним видом параболы и коэффициентом перед икс в квадрате. Сегодня вы попытаетесь установить зависимость между расположением параболы в системе координат и добавлением в формулу, задающую функцию, чисел в виде слагаемых.

Сначала вы установите эти зависимости при выполнении практических заданий на построение графиков функций с помощью заполнения таблиц значений, а затем после обобщения полученных результатов, попробуете сформулировать алгоритмы построения графиков без применения таблиц, а только пользуясь шаблоном параболы у=х².

Каждая группа начинает работу по заданиям из желтого конверта. Внимательно ознакомьтесь с заданиями и выполняйте их в указанном порядке.

Разъяснить задания каждой группе.

Задание группе 1.

ШАГ 1.

Постройте графики функций:

ШАГ 2.

Сравните полученные графики с графиком функции у = х²

ШАГ 3.

Заполните пропуски:

(укажите направление и число)

1) у = х² – 4 2) у = х² + 2

3) у = (х + 2)² 4) у = (х – 3)²

5) у = (х -2)² + 1 6) у = (х + 3)² -2

Парабола графика 1) может быть получена