Постройте график функции y 6 x с помощью графика найдите: Помогите прошу Вас!!! Постройте график функции у=-6/х с помощью графика найдите

Posted on by alexxlab

Содержание

Функция y = корень квадратный из x, ее свойства и график

Основные цели:

1) сформировать представление о целесообразности обобщённого исследования зависимостей реальных величин на примере величин, связанных отношением у=

2) формировать способность к построению графика у= и его свойства;

3) повторить и закрепить приёмы устных и письменных вычислений, возведение в квадрат, извлечение квадратного корня.

Оборудование, демонстрационный материал: раздаточный материал.

1. Алгоритм:

2. Образец для выполнения задания в группах:

3. Образец для самопроверки самостоятельной работы:

4. Карточка для этапа рефлексии:

1) Я понял, как построить график функции у=.

2) Я могу по графику перечислить его свойства.

3) Я не допустил ошибок в самостоятельной работе.

4) Я допустил ошибки в самостоятельной работе (перечислить эти ошибки и указать их причину).

Ход урока

1. Самоопределение к учебной деятельности

Цель этапа:

1) включить учащихся в учебную деятельность;

2) определить содержательные рамки урока: продолжаем работать с действительными числами.

Организация учебного процесса на этапе 1:

– Что мы изучали на прошлом уроке? (Мы изучали множество действительных чисел, действия с ними, построили алгоритм для описания свойств функции, повторяли функции изученные в 7 классе).

– Сегодня мы продолжим работать с множеством действительных чисел, функцией.

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности

Цель этапа:

1) актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала: функция, независимая переменная, зависимая переменна, графики

y = kx + m, y = kx, y =c, y =x2, y = — x2 ,

2) актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала: сравнение, анализ, обобщение;

3) зафиксировать все повторяемые понятия и алгоритмы в виде схем и символов;

4) зафиксировать индивидуальное затруднение в деятельности, демонстрирующее на личностно значимом уровне недостаточность имеющихся знаний.

Организация учебного процесса на этапе 2:

1. Давайте вспомним как можно задать зависимости между величинами? (С помощью текста, формулы, таблицы, графика)

2. Что называется функцией? (Зависимость между двумя величинами, где каждому значению одной переменной соответствует единственное значение другой переменной y = f(x)).

Как называется х? (Независимая переменная - аргумент)

Как называется у? (Зависимая переменная).

3. В 7- м классе мы изучили функции? (y = kx + m, y = kx, y =c, y =x2, y = — x2 , ).

Индивидуальное задание:

Что является графиком функций y = kx + m, y =x2, y = ?

3. Выявление причин затруднений и постановка цели деятельности

Цель этапа:

1) организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности;

2) согласовать цель и тему урока.

Организация учебного процесса на этапе 3:

– Что особенного в этом задании? (Зависимость задана формулой y = с которой мы еще не встречались).

– Какая цель урока? (Познакомиться с функцией y = , ее свойствами и графиком. Функцией в таблице определять вид зависимости, строить формулу и график.)

– Можно сформулировать тему урока? (Функция у=, ее свойства и график).

– Запишите тему в тетради.

4. Построение проекта выхода из затруднения

Цель этапа:

1) организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;

2) зафиксировать новый способ действия в знаковой, вербальной форме и с помощью эталона.

Организация учебного процесса на этапе 4:

Работу на этапе можно организовать по группам, предложив группам построить график y = , затем проанализировать получившиеся результаты.

Также группам можно предложить по алгоритму описать свойства данной функции.

5. Первичное закрепление во внешней речи

Цель этапа: зафиксировать изученное учебное содержание во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе 5:

Постройте график у= — и опишите его свойства.

Свойства у= — .

1.Область определения функции.

D(y) =

2.Область значений функции.

E(y) =

3. y = 0, y> 0, y<0.

y =0, если x = 0.

y<0, если х(0;+)

4.Возрастания, убывания функции.

Функция убывает при х [0;+ )

5. Ограниченность функции.

Функция ограничена сверху, и не ограничена снизу.

6.Наибольшее, наименьшее значения функции.

у наиб. = нет у наим. = 0.

7.Непрерывность функции.

Функция непрерывна на все области определения.

№13.2(в)

Используя график функции у=, найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [1; 9].

Построим график у=.

Выделим его часть на отрезке [1;9]. Заметим, что у наим. = 1 при х = 1, а у наиб. =3 при х = 9.

Ответ: у наим. = 1, у наиб. =3

6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Цель этапа: проверить своё умение применять новое учебное содержание в типовых условиях на основе сопоставления своего решения с эталоном для самопроверки.

Организация учебного процесса на этапе 6:

№ 13.1(в)

Учащиеся выполняют задание самостоятельно, проводят самопроверку по эталону, анализируют, исправляют ошибки.

Построим график у=.

С помощью графика найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [0; 4].

7. Включение в систему знаний и повторение

Цель этапа: тренировать навыки использования нового содержания совместно с ранее изученным: 2) повторить учебное содержание, которое потребуется на следующих уроках.

Организация учебного процесса на этапе 7:

Решите графически уравнение: = х – 6.

Ответ: 9.

Один ученик у доски остальные в тетрадях.

8. Рефлексия деятельности

Цель этапа:

1) зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;

2) оценить собственную деятельность на уроке;

3) поблагодарить одноклассников, которые помогли получить результат урока;

4) зафиксировать неразрешённые затруднения как направления будущей учебной деятельности;

5) обсудить и записать домашнее задание.

Организация учебного процесса на этапе 8:

– Ребята, какая цель стояла сегодня перед нами? (Изучить функцию у=, ее свойства и график).

– Какие знания нам помогли в достижении цели? (Умение искать закономерности, умение читать графики.)

– Проанализируйте свою деятельность на уроке. (Карточки с рефлексией)

Домашнее задание

п. 13 (до примера 2) № 13.3, 13.4

Решите графически уравнение:

Постройте график функции и опишите его свойства:

По графику функции найти x по y

Мы уже рассмотрели нахождение значения аргумента по заданному значению функции.

Теперь выясним, как по графику функции найти x по y.

Рисунок 1

1) Пользуясь графиком линейной функции, изображенной на рисунке 1, найдите значение аргумента, если значение функции равно —1; 2; 0; 3.

Решение:

Аргумент — это x, функция — y.

Найти значение аргумента по значению функции — значит, по данному значению y найти x.

Начнём с y= -1. На оси Oy найдём точку с ординатой y= -1. Чтобы найти значение x, надо из точки на оси Oy попасть на график. Для этого нужно пойти либо влево, либо вправо. От точки y= -1 график находится слева, поэтому идём влево. Достигнув точки на графике, идём к оси Ox (в данном случае — вверх). Попадаем в точку с абсциссой x= -4. (Стрелочки помогают увидеть путь).

Следовательно, при y= -1 x= -4.

Если y=2, чтобы попасть из точки на оси Oy с ординатой y=2 на график, следует двигаться вправо. Идём вправо до графика. Достигнув точки графика, в которой y=2, идём вниз, до оси Ox. Попадаем в точку с абсциссой x=2.

Записываем: при y=2  x=2.

Если y=0, чтобы попасть на график функции, движемся влево. Дальше ни вверх, ни вниз двигаться не нужно, поскольку уже находимся на графике, в точке с абсциссой x= -2.

Записываем: при y=0  x= -2.

При y=3 идем вправо до графика, затем — вниз и получаем x=4.

Пишем: при y=3  x=4.

2) На рисунке 2 изображен график функции y=f(x).

Рисунок 2

Пользуясь графиком, найдите значение аргумента, если значение функции равно 6; -3; 2; 4; -5; 7.

Решение:

Чтобы найти значение аргумента по заданному значению функции y= 6, от точки на оси Oy с ординатой y=6 идем вправо до пересечения с графиком функции. Достигнув точки на графике, идём вниз, к оси Ox. На оси абсцисс попали в точку с абсциссой x=2.

Записываем: при y=6  x=2.

При y= -3 график есть и слева, и справа от оси Oy. Идём влево и вверх, получаем x= -5. Идём вправо и вверх, получаем x=6,5.

Записываем: при y= -3 x= -5 и x=6,5.

Аналогично, при y=2 x= -2 и x=5.

Точка с ординатой  y=4 лежит на графике, идти никуда не надо, x=0.

При y= -5 идём вправо и вверх, приходим в точку с абсциссой x=7.

Пишем: при y= -5  x=7.

При y=7 идём вправо и вниз, получаем x=3.

Как построить функции в Excel — Построение в Excel графиков математических и тригонометрических функций

Построение графиков в Excel. Практическая работа

  • Житкова Ольга Алексеевна, учитель информатики
  • Лебо Александра Ивановна, учитель информатики

Разделы: Информатика

Цель работы:

  • научиться строить графики в Excel;
  • развить самостоятельность;
  • развить навыки мыслительной деятельности, включая каждого учащегося в учебно — познавательный процесс и создавая условия для работы каждого в индивидуальном темпе;

Оборудование:

  • ПЭВМ, сеть, проектор;
  • опорный конспект, план практической работы, варианты для самостоятельной работы учащихся.

Опорный конспект

Построение совмещенных графиков в Microsoft Office Excel −2007.

Для построения графиков функций Y(X) в Microsoft Office Excel используется тип диаграммы Точечная:

Для этого требуется два ряда значений: Х и Y значения, которые должны быть соответственно расположены в левом и правом столбцах. Можно совместить построение нескольких графиков. Такая возможность используется для графического решения систем уравнений с двумя перемен­ными, при проведении сравнения анализа значений y при одних и тех же значениях x.

ПРИМЕР. (Используется при объяснении материала через проектор.) Построить графики функций y1= x 2 и y2= x 3 на интервале [- 3 ; 3] с шагом 0,5. Алгоритм выполнения задания: 1. Заполнить таблицу значений:

2. Выделить таблицу и указать тип диаграммы Точечная. 3. Выбрать формат точечной диаграммы с гладкими кривыми. 4. В Макете указать название диаграммы «Графики», дать название осей: X и Y

5. Должен получиться график:

P.S. В версии 97-2003 для получения графика, представленного на рисунке надо провести редактирование.

Раздаточный материал

Варианты

ВАРИАНТ 1 Построить графики функций y1= x 2 −1, y2= x 2+1 иy=К·(y1/ y2)на интервале [- 3 ; 3] с шагом 0,3.

ВАРИАНТ 2 Построить графики функций y1= и y2= 2х на интервале [- 3 ; 3] с шагом 0,5.

ВАРИАНТ 3 Построить графики функций y1= , y2=на интервале [- 0,5 ; 9] с шагом 0,5.

ВАРИАНТ 4 Построить графики функций y1=, y2= на интервале [- 5 ; −0,5] с шагом 0,5.

ВАРИАНТ 5 Построить графики функций y1= , y2=на интервале [0,5 ; 5] с шагом 0,5.

Поиск линейных уравнений

Для любой точки на прямой и ее наклона мы можем найти уравнение для этой прямой. Начните с применения формулы наклона к заданной точке (x1, y1) и переменной точке (x, y).

Уравнение y − y1 = m (x − x1) называется формой точечного уклона линии Любую невертикальную прямую можно записать в форме y − y1 = m (x − x1), где м — наклон. и (x1, y1) — любая точка на прямой .. Любое невертикальное линейное уравнение может быть записано в этой форме. Это полезно для нахождения уравнения прямой с учетом наклона и любого упорядоченного парного решения.

Пример 7: Найдите уравнение прямой с наклоном m = 12, проходящей через (4, −1).

Решение: Используйте форму «точка-наклон», где m = 12 и (x1, y1) = (4, −1).

На этом этапе мы должны выбрать представление уравнения нашей линии либо в стандартной форме, либо в форме пересечения наклона.

В этом учебнике мы представим наши линии в форме пересечения уклона. Это облегчает построение графиков в будущем.

Пример 8: Найдите уравнение прямой, проходящей через (−5, 3) с наклоном m = −25.

Решение: Подставьте (−5, 3) и m = −25 в форму точечного уклона.

Всегда важно понимать, что происходит геометрически. Сравните ответ для последнего примера с соответствующим графиком ниже.

Понимание геометрии важно, потому что вам часто будут предлагать графики, по которым вам нужно будет определить точку на линии и наклон.

Решение: Между точками (1, 1) и (3, 0) мы можем видеть, что подъем равен -1 единице, а пробег равен 2 единицам.Наклон линии равен m = riserun = −12 = −12. Используйте это и точку (3, 0), чтобы найти следующее уравнение:

Пример 10: Найдите уравнение прямой, проходящей через (-1, 1) и (7, -1).

Решение: Начните с вычисления наклона по формуле наклона.

Затем подставьте в форму «точка-уклон», используя одну из заданных точек; не имеет значения, какая точка используется. Используйте m = −14 и точку (−1, 1).

Попробуй! Найдите уравнение прямой, проходящей через (4, −5) и (−4, 1).

Тематические упражнения

Часть A: Форма пересечения уклона

Определите наклон и y -пересечение.

1. 5x − 3y = 18

2. −6x + 2y = 12

3. x − y = 5

4. −x + y = 0

5. 4x − 5y = 15

6. −7x + 2y = 3

7. y = 3

8. y = −34

9.15x − 13y = −1

10. 516x + 38y = 9

11. −23x + 52y = 54

12. 12x − 34y = −12

Часть B: Поиск уравнений в форме пересечения уклона

Учитывая наклон и y -пересечение, определите уравнение прямой.

13. м = 1/2; (0, 5)

14. м = 4; (0, -1)

15. м = −2/3; (0, −4)

16. м = −3; (0, 9)

17. м = 0; (0, -1)

18. м = 5; (0, 0)

По графику найдите уравнение в форме углового пересечения.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

Найдите уравнение, учитывая наклон и точку.

25. м = 2/3; (−9, 2)

26. м = −1/5; (5, −5)

27. м = 0; (−4, 3)

28. м = 3; (−2, 1)

29. м = −5; (−2, 8)

30. м = −4; (1/2, −3/2)

31. м = −1/2; (3, 2)

32. м = 3/4; (1/3, 5/4)

33. м = 0; (3, 0)

34. м undefined; (3, 0)

Дайте две точки, найдите уравнение прямой.

35. (−6, 6), (2, 2)

36. (−10, −3), (5, 0)

37. (0, 1/2), (1/2, -1)

38.(1/3, 1/3), (2/3, 1)

39. (3, −4), (−6, −7)

40. (−5, 2), (3, 2)

41. (−6, 4), (−6, −3)

42. (−4, −4), (−1, −1)

43. (3, −3), (−5, 5)

44. (0, 8), (−4, 0)

Часть C: Уравнения с использованием формы точечного уклона

Найдите уравнение, учитывая наклон и точку.

45. м = 1/2; (4, 3)

46. м = −1/3; (9, −2)

47. м = 6; (1, −5)

48. м = −10; (1, −20)

49. м = −3; (2, 3)

50. м = 2/3; (−3, −5)

51. м = −3/4; (−8, 3)

52. м = 5; (1/5, −3)

53. м = −3; (-1/9, 2)

54. м = 0; (4, −6)

55. м = 0; (−5, 10)

56. м = 5/8; (4, 3)

57. м = −3/5; (−2, −1)

58. м = 1/4; (12, −2)

59. м = 1; (0, 0)

60. м = −3/4; (0, 0)

Учитывая график, используйте формулу угла наклона точки, чтобы найти уравнение.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

Используйте формулу угла наклона точки, чтобы найти уравнение прямой, проходящей через две точки.

67.(−4, 0), (0, 5)

68. (-1, 2), (0, 3)

69. (−3, −2), (3, 2)

70. (3, −1), (2, −3)

71. (−2, 4), (2, −4)

72. (−5, −2), (5, 2)

73. (−3, −1), (3, 3)

74. (1, 5), (0, 5)

75. (1, 2), (2, 4)

76. (6, 3), (2, −3)

77. (10, −3), (5, −4)

78.(−3, 3), (−1, 12)

79. (4/5, -1/3), (-1/5, 2/3)

80. (5/3, 1/3), (−10/3, −5/3)

81. (3, -1/4), (4, -1/2)

82. (0, 0), (−5, 1)

83. (2, −4), (0, 0)

84. (3, 5), (3, −2)

85. (−4, 7), (−1, 7)

86. (−8, 0), (6, 0)

Часть D: Приложения

87. Джо отслеживал свои счета за сотовый телефон в течение последних двух месяцев.Счет за первый месяц составил 38 долларов США за 100 минут использования. Счет за второй месяц составил 45,50 долларов за 150 минут использования. Найдите линейное уравнение, которое дает общий ежемесячный счет, основанный на минутах использования.

88. Компания за первый год своей деятельности выпустила 150 учебных пособий на общую сумму 2 350 долларов США. В следующем году компания выпустила еще 50 руководств по цене 1450 долларов. Используйте эту информацию, чтобы найти линейное уравнение, которое дает общую стоимость производства учебных пособий из количества выпущенных руководств.

89. Фермер, выращивающий кукурузу в Калифорнии, смог произвести 154 бушеля кукурузы с акра через 2 года после начала своей работы. В настоящее время после 7 лет эксплуатации он увеличил урожайность до 164 бушелей с акра. Используйте эту информацию, чтобы написать линейное уравнение, которое дает общую урожайность с акра на основе количества лет эксплуатации, и используйте его для прогнозирования урожайности на следующий год.

90. Веб-мастер заметил, что количество зарегистрированных пользователей неуклонно растет с начала рекламной кампании.До того, как начать рекламировать, у него было 1200 зарегистрированных пользователей, а после 3 месяцев рекламы у него теперь 1590 зарегистрированных пользователей. Используйте эти данные, чтобы написать линейное уравнение, которое дает общее количество зарегистрированных пользователей с учетом количества месяцев после начала рекламы. Используйте уравнение, чтобы спрогнозировать количество пользователей через 7 месяцев рекламной кампании.

91. Автомобиль, купленный новым, стоил 22 000 долларов и был продан 10 лет спустя за 7 000 долларов. Напишите линейное уравнение, определяющее стоимость автомобиля с учетом его возраста в годах.

92. Старинные часы были куплены в 1985 году за 1 500 долларов и проданы на аукционе в 1997 году за 5 700 долларов. Составьте линейное уравнение, моделирующее значение часов в годах с 1985 года.

Часть E: Темы дискуссионной доски

93. Обсудите достоинства и недостатки формы «точка-наклон» и формы « y «.

94. Изучите и обсудите линейную амортизацию. Что представляют собой наклон и пересечение y в линейной модели амортизации?

% PDF-1.4 5 0 объект > эндобдж 8 0 объект (I. Числа, точки, линии и кривые) эндобдж 9 0 объект > эндобдж 12 0 объект (1. Что такое число?) эндобдж 13 0 объект > эндобдж 16 0 объект (Еще одна причина верить в 2) эндобдж 17 0 объект > эндобдж 20 0 объект (Почему настоящие числа называются настоящими?) эндобдж 21 0 объект > эндобдж 24 0 объект (Упражнения) эндобдж 25 0 объект > эндобдж 28 0 объект (2. Реальные числа и интервалы) эндобдж 29 0 объект > эндобдж 32 0 объект (2.1. Интервалы) эндобдж 33 0 объект > эндобдж 36 0 объект (2.2. Обозначение набора) эндобдж 37 0 объект > эндобдж 40 0 объект (Упражнения) эндобдж 41 0 объект > эндобдж 44 0 объект (3.Наборы точек на плоскости) эндобдж 45 0 объект > эндобдж 48 0 объект (3.1. Декартовы координаты) эндобдж 49 0 объект > эндобдж 52 0 объект (3.2. Наборы) эндобдж 53 0 объект > эндобдж 56 0 объект (3.3. Линии) эндобдж 57 0 объект > эндобдж 60 0 объект (Упражнения) эндобдж 61 0 объект > эндобдж 64 0 объект (4. Функции) эндобдж 65 0 объект > эндобдж 68 0 объект (4.1. Пример: найти область и диапазон f \ (x \) = 1 / x2) эндобдж 69 0 объект > эндобдж 72 0 объект (4.2. Функции в « реальной жизни ») эндобдж 73 0 объект > эндобдж 76 0 объект (5.График функции) эндобдж 77 0 объект > эндобдж 80 0 объект (5.1. Свойство вертикальной линии) эндобдж 81 0 объект > эндобдж 84 0 объект (5.2. Пример) эндобдж 85 0 объект > эндобдж 88 0 объект (6. Обратные функции и неявные функции) эндобдж 89 0 объект > эндобдж 92 0 объект (6. 1. Пример) эндобдж 93 0 объект > эндобдж 96 0 объект (6.2. Другой пример: область неявно определенной функции) эндобдж 97 0 объект > эндобдж 100 0 объект (6.3. Пример: одно уравнение не определяет функцию) эндобдж 101 0 объект > эндобдж 104 0 объект (6.4. Зачем использовать неявные функции?) эндобдж 105 0 объект > эндобдж 108 0 объект (6.5. Обратные функции) эндобдж 109 0 объект > эндобдж 112 0 объект (6.6. Примеры) эндобдж 113 0 объект > эндобдж 116 0 объект (6.7. Обратные тригонометрические функции) эндобдж 117 0 объект > эндобдж 120 0 объект (Упражнения) эндобдж 121 0 объект > эндобдж 124 0 объект (II. Производные \ (1 \)) эндобдж 125 0 объект > эндобдж 128 0 объект (7. Касательная к кривой) эндобдж 129 0 объект > эндобдж 132 0 объект (8. Пример — касательная к параболе) эндобдж 133 0 объект > эндобдж 136 0 объект (9.Мгновенная скорость) эндобдж 137 0 объект > эндобдж 140 0 объект (10. Скорость изменения) эндобдж 141 0 объект > эндобдж 144 0 объект (Упражнения) эндобдж 145 0 объект > эндобдж 148 0 объект (III. Пределы и непрерывные функции) эндобдж 149 0 объект > эндобдж 152 0 объект (11. Неофициальное определение пределов) эндобдж 153 0 объект > эндобдж 156 0 объект (11.1. Пример) эндобдж 157 0 объект > эндобдж 160 0 объект (11.2. Пример: подставляем числа, чтобы угадать предел) эндобдж 161 0 объект > эндобдж 164 0 объект (11.3. Пример: подстановка чисел может подсказать неправильный ответ) эндобдж 165 0 объект > эндобдж 168 0 объект (Упражнение) эндобдж 169 0 объект > эндобдж 172 0 объект (12.Формальное, авторитетное, определение лимита) эндобдж 173 0 объект > эндобдж 176 0 объект (12.1. Покажите, что limx33x + 2 = 11) эндобдж 177 0 объект > эндобдж 180 0 объект (12.2. Покажите, что limx1x2 = 1) эндобдж 181 0 объект > эндобдж 184 0 объект (12.3. Покажите, что limx41 / x = 1/4) эндобдж 185 0 объект > эндобдж 188 0 объект (Упражнения) эндобдж 189 0 объект > эндобдж 192 0 объект (13. Вариации на тему предела) эндобдж 193 0 объект > эндобдж 196 0 объект (13.1. Левый и правый пределы) эндобдж 197 0 объект > эндобдж 200 0 объект (13. 2.Пределы на бесконечности. ) эндобдж 201 0 объект > эндобдж 204 0 объект (13.3. Пример — Предел 1 / x) эндобдж 205 0 объект > эндобдж 208 0 объект (13.4. Пример — Предел 1 / x \ (снова \)) эндобдж 209 0 объект > эндобдж 212 0 объект (14. Свойства предела) эндобдж 213 0 объект > эндобдж 216 0 объект (15. Примеры предельных вычислений) эндобдж 217 0 объект > эндобдж 220 0 объект (15.1. Найдите limx2x2) эндобдж 221 0 объект > эндобдж 224 0 объект (15.2. Попробуйте примеры 11.2 и 11.3, используя свойства limit) эндобдж 225 0 объект > эндобдж 228 0 объект (15.3. Пример — найти limx2x) эндобдж 229 0 объект > эндобдж 232 0 объект (15.4. Пример — найти limx2x) эндобдж 233 0 объект > эндобдж 236 0 объект (15.5. Пример — производная x при x = 2.) эндобдж 237 0 объект > эндобдж 240 0 объект (15.6. Предел как x рациональных функций) эндобдж 241 0 объект > эндобдж 244 0 объект (15.7. Другой пример с рациональной функцией) эндобдж 245 0 объект > эндобдж 248 0 объект (16. Когда ограничения не существуют) эндобдж 249 0 объект > эндобдж 252 0 объект (16. 1. Знаковая функция около x = 0) эндобдж 253 0 объект > эндобдж 256 0 объект (16.2. Пример обратного синуса) эндобдж 257 0 объект > эндобдж 260 0 объект (16.3. Попытка разделить на ноль с использованием предела) эндобдж 261 0 объект > эндобдж 264 0 объект (16.4. Использование предельных свойств, чтобы показать, что предела не существует) эндобдж 265 0 объект > эндобдж 268 0 объект (16.5. Пределы в \ 040, которых не существует) эндобдж 269 ​​0 объект > эндобдж 272 0 объект (17. Что в имени?) эндобдж 273 0 объект > эндобдж 276 0 объект (18. Пределы и неравенства) эндобдж 277 0 объект > эндобдж 280 0 объект (18.1. Сэндвич с обратным косинусом) эндобдж 281 0 объект > эндобдж 284 0 объект (19.Преемственность) эндобдж 285 0 объект > эндобдж 288 0 объект (19.1. Многочлены непрерывны) эндобдж 289 0 объект > эндобдж 292 0 объект (19.2. Рациональные функции непрерывны) эндобдж 293 0 объект > эндобдж 296 0 объект (19.3. Некоторые разрывные функции) эндобдж 297 0 объект > эндобдж 300 0 объект (19.4. Как сделать функции прерывистыми) эндобдж 301 0 объект > эндобдж 304 0 объект (19.5. Бутерброд в галстуке-бабочке) эндобдж 305 0 объект > эндобдж 308 0 объект (20. Замена в лимитах) эндобдж 309 0 объект > эндобдж 312 0 объект (20.1. Вычислить limx3x3-3×2 + 2) эндобдж 313 0 объект > эндобдж 316 0 объект (Упражнения) эндобдж 317 0 объект > эндобдж 320 0 объект (21. Два предела в тригонометрии) эндобдж 321 0 объект > эндобдж 324 0 объект (Упражнения) эндобдж 325 0 объект > эндобдж 328 0 объект (IV. Производные \ (2 \)) эндобдж 329 0 объект > эндобдж 332 0 объект (22. Определение деривативов) эндобдж 333 0 объект > эндобдж 336 0 объект (22.1. Прочие обозначения) эндобдж 337 0 объект > эндобдж 340 0 объект (23. Прямое вычисление производных) эндобдж 341 0 объект > эндобдж 344 0 объект (23.1. Пример. Производная f \ (x \) = x2 равна f ‘\ (x \) = 2x) эндобдж 345 0 объект > эндобдж 348 0 объект (23.2. Производная g \ (x \) = x равна g ‘\ (x \) = 1) эндобдж 349 0 объект > эндобдж 352 0 объект (23. 3. Производная любой постоянной функции равна нулю) эндобдж 353 0 объект > эндобдж 356 0 объект (23.4. Производная xn для n = 1, 2, 3, \ 203) эндобдж 357 0 объект > эндобдж 360 0 объект (23.5. Дифференцируемость влечет непрерывность) эндобдж 361 0 объект > эндобдж 364 0 объект (23.6. Некоторые недифференцируемые функции) эндобдж 365 0 объект > эндобдж 368 0 объект (Упражнения) эндобдж 369 0 объект > эндобдж 372 0 объект (24.Правила дифференциации) эндобдж 373 0 объект > эндобдж 376 0 объект (24.1. Правила суммы, произведения и частного) эндобдж 377 0 объект > эндобдж 380 0 объект (24.2. Доказательство правила суммы) эндобдж 381 0 объект > эндобдж 384 0 объект (24.3. Подтверждение правила продукта) эндобдж 385 0 объект > эндобдж 388 0 объект (24.4. Доказательство правила частного) эндобдж 389 0 объект > эндобдж 392 0 объект (24.5. Более короткий, но не совсем идеальный вывод правила частных) эндобдж 393 0 объект > эндобдж 396 0 объект (24.6. Дифференцирование постоянного кратного функции) эндобдж 397 0 объект > эндобдж 400 0 объект (24. 7. Изображение правила продукта) эндобдж 401 0 объект > эндобдж 404 0 объект (25. Дифференцирующие полномочия функций) эндобдж 405 0 объект > эндобдж 408 0 объект (25.1. Правило произведения с более чем одним фактором) эндобдж 409 0 объект > эндобдж 412 0 объект (25.2. Правило власти) эндобдж 413 0 объект > эндобдж 416 0 объект (25.3. Правило мощности для отрицательных целочисленных показателей) эндобдж 417 0 объект > эндобдж 420 0 объект (25.4. Правило мощности для рациональных экспонентов) эндобдж 421 0 объект > эндобдж 424 0 объект (25.5. Производная xn для целого n) эндобдж 425 0 объект > эндобдж 428 0 объект (25.6. Пример — дифференцировать многочлен) эндобдж 429 0 объект > эндобдж 432 0 объект (25.7. Пример — дифференцировать рациональную функцию) эндобдж 433 0 объект > эндобдж 436 0 объект (25.8. Производная квадратного корня) эндобдж 437 0 объект > эндобдж 440 0 объект (Упражнения) эндобдж 441 0 объект > эндобдж 444 0 объект (26. Высшие производные) эндобдж 445 0 объект > эндобдж 448 0 объект (26. 1. Производная — это функция) эндобдж 449 0 объект > эндобдж 452 0 объект (26.2. Обозначения оператора) эндобдж 453 0 объект > эндобдж 456 0 объект (Упражнения) эндобдж 457 0 объект > эндобдж 460 0 объект (27.Дифференцирующие тригонометрические функции) эндобдж 461 0 объект > эндобдж 464 0 объект (Упражнения) эндобдж 465 0 объект > эндобдж 468 0 объект (28. Цепное правило) эндобдж 469 0 объект > эндобдж 472 0 объект (28.1. Состав функций) эндобдж 473 0 объект > эндобдж 476 0 объект (28.2. Пример из реального мира) эндобдж 477 0 объект > эндобдж 480 0 объект (28.3. Формулировка правила цепочки) эндобдж 481 0 объект > эндобдж 484 0 объект (28.4. Первый пример) эндобдж 485 0 объект > эндобдж 488 0 объект (28.5. Пример, когда вам действительно нужно правило цепочки) эндобдж 489 0 объект > эндобдж 492 0 объект (28.6. Правило силы и правило цепочки) эндобдж 493 0 объект > эндобдж 496 0 объект (28.7. Объем растущей дрожжевой клетки) эндобдж 497 0 объект > эндобдж 500 0 объект (28.8. Более сложный пример) эндобдж 501 0 объект > эндобдж 504 0 объект (28. 9. Цепное правило и составление более двух функций) эндобдж 505 0 объект > эндобдж 508 0 объект (Упражнения) эндобдж 509 0 объект > эндобдж 512 0 объект (29. Неявное дифференцирование) эндобдж 513 0 объект > эндобдж 516 0 объект (29.1. Рецепт) эндобдж 517 0 объект > эндобдж 520 0 объект (29.2. Работа с уравнениями вида F1 \ (x, y \) = F2 \ (x, y \)) эндобдж 521 0 объект > эндобдж 524 0 объект (29.3. Пример — производная от [4] 1-x4) эндобдж 525 0 объект > эндобдж 528 0 объект (29.4. Другой пример) эндобдж 529 0 объект > эндобдж 532 0 объект (29.5. Производные от дуги синуса и тангенса дуги) эндобдж 533 0 объект > эндобдж 536 0 объект (Упражнения по неявному дифференцированию) эндобдж 537 0 объект > эндобдж 540 0 объект (Упражнения по темпам изменения) эндобдж 541 0 объект > эндобдж 544 0 объект (V. Построение эскизов графиков и задачи Max-Min) эндобдж 545 0 объект > эндобдж 548 0 объект (30.Касательные и Нормальные линии к графику) эндобдж 549 0 объект > эндобдж 552 0 объект (31. Теорема о промежуточном значении) эндобдж 553 0 объект > эндобдж 556 0 объект (Пример — квадратный корень из 2) эндобдж 557 0 объект > эндобдж 560 0 объект (Пример — уравнение + sin = 2) эндобдж 561 0 объект > эндобдж 564 0 объект (Пример — решение 1 / x = 0) эндобдж 565 0 объект > эндобдж 568 0 объект (32. Обнаружение смены знака функции) эндобдж 569 0 объект > эндобдж 572 0 объект (32.1. Пример) эндобдж 573 0 объект > эндобдж 576 0 объект (33. Возрастающие и убывающие функции) эндобдж 577 0 объект > эндобдж 580 0 объект (34.Примеры) эндобдж 581 0 объект > эндобдж 584 0 объект (34.1. Пример: парабола y = x2) эндобдж 585 0 объект > эндобдж 588 0 объект (34.2. Пример: гипербола \ 040y = 1 / x) эндобдж 589 0 объект > эндобдж 592 0 объект (34.3. График кубической функции) эндобдж 593 0 объект > эндобдж 596 0 объект (34.4. Функция, касательная к которой бесконечно часто меняется вверх и вниз вблизи начала координат) эндобдж 597 0 объект > эндобдж 600 0 объект (35. Максимумы и минимумы) эндобдж 601 0 объект > эндобдж 604 0 объект (35.1. Где найти локальные максимумы и минимумы) эндобдж 605 0 объект > эндобдж 608 0 объект (35.2. Как определить, является ли стационарная точка максимальной, минимальной или ни одной) эндобдж 609 0 объект > эндобдж 612 0 объект (35.3. Пример — локальные максимумы и минимумы f \ (x \) = x3-x) эндобдж 613 0 объект > эндобдж 616 0 объект (35. 4. Точка покоя, которая не является ни максимумом, ни минимумом) эндобдж 617 0 объект > эндобдж 620 0 объект (36. Всегда ли должен быть максимум?) эндобдж 621 0 объект > эндобдж 624 0 объект (37. Примеры — функции с максимумами и минимумами и без них) эндобдж 625 0 объект > эндобдж 628 0 объект (38. Общий метод построения графика функции) эндобдж 629 0 объект > эндобдж 632 0 объект (38.1. Пример — график рациональной функции) эндобдж 633 0 объект > эндобдж 636 0 объект (39. Выпуклость, вогнутость и вторая производная) эндобдж 637 0 объект > эндобдж 640 0 объект (39.1. Пример — кубическая функция f \ (x \) = x3-x) эндобдж 641 0 объект > эндобдж 644 0 объект (39.2. Тест второй производной) эндобдж 645 0 объект > эндобдж 648 0 объект (39.3. Пример — снова эта кубическая функция) эндобдж 649 0 объект > эндобдж 652 0 объект (39.4. Когда второй тест производной не работает) эндобдж 653 0 объект > эндобдж 656 0 объект (40.Доказательства некоторых теорем) эндобдж 657 0 объект > эндобдж 660 0 объект (40. 1. Доказательство теоремы о среднем значении) эндобдж 661 0 объект > эндобдж 664 0 объект (40.2. Доказательство теоремы 33.1) эндобдж 665 0 объект > эндобдж 668 0 объект (40.3. Доказательство теоремы 33.2) эндобдж 669 0 объект > эндобдж 672 0 объект (Упражнения) эндобдж 673 0 объект > эндобдж 676 0 объект (41. Проблемы оптимизации) эндобдж 677 0 объект > эндобдж 680 0 объект (41.1. Пример — прямоугольник с наибольшей площадью и заданным периметром) эндобдж 681 0 объект > эндобдж 684 0 объект (41.2. Упражнения) эндобдж 685 0 объект > эндобдж 688 0 объект (VI. Показатели и логарифмы) эндобдж 689 0 объект > эндобдж 692 0 объект (42. Показатели) эндобдж 693 0 объект > эндобдж 696 0 объект (42.1. Проблема со степенями отрицательных чисел) эндобдж 697 0 объект > эндобдж 700 0 объект (43. Логарифмы) эндобдж 701 0 объект > эндобдж 704 0 объект (44. Свойства логарифмов) эндобдж 705 0 объект > эндобдж 708 0 объект (45. Графики экспонент и логарифмы) эндобдж 709 0 объект > эндобдж 712 0 объект (46. Производная от ax и определение e) эндобдж 713 0 объект > эндобдж 716 0 объект (47.Производные логарифмов) эндобдж 717 0 объект > эндобдж 720 0 объект (48. Пределы экспонент и логарифмов) эндобдж 721 0 объект > эндобдж 724 0 объект (49. Экспоненциальный рост и распад) эндобдж 725 0 объект > эндобдж 728 0 объект (49.1. Половина времени и время удвоения) эндобдж 729 0 объект > эндобдж 732 0 объект (49.2. Определение X0 и k) эндобдж 733 0 объект > эндобдж 736 0 объект (Упражнения) эндобдж 737 0 объект > эндобдж 740 0 объект (VII. Интеграл) эндобдж 741 0 объект > эндобдж 744 0 объект (50. Площадь под графиком) эндобдж 745 0 объект > эндобдж 748 0 объект (51.Когда f меняет знак) эндобдж 749 0 объект > эндобдж 752 0 объект (52. Основная теорема исчисления) эндобдж 753 0 объект > эндобдж 756 0 объект (52.1. Терминология) эндобдж 757 0 объект > эндобдж 760 0 объект (Упражнения) эндобдж 761 0 объект > эндобдж 764 0 объект (53. Неопределенный интеграл) эндобдж 765 0 объект > эндобдж 768 0 объект (53. 1. Вы всегда можете проверить ответ) эндобдж 769 0 объект > эндобдж 772 0 объект (53.2. О « + C ») эндобдж 773 0 объект > эндобдж 776 0 объект (53.3. Стандартные интегралы) эндобдж 777 0 объект > эндобдж 780 0 объект (54.Свойства интеграла) эндобдж 781 0 объект > эндобдж 784 0 объект (55. Определенный интеграл как функция его границ интегрирования) эндобдж 785 0 объект > эндобдж 788 0 объект (56. Способ замены) эндобдж 789 0 объект > эндобдж 792 0 объект (56.1. Пример) эндобдж 793 0 объект > эндобдж 796 0 объект (56.2. Обозначения Лейбница для подстановки) эндобдж 797 0 объект > эндобдж 800 0 объект (56.3. Подстановка определенных интегралов) эндобдж 801 0 объект > эндобдж 804 0 объект (56.4. Пример подстановки в определенный интеграл) эндобдж 805 0 объект > эндобдж 808 0 объект (Упражнения) эндобдж 809 0 объект > эндобдж 812 0 объект (VIII.Приложения интеграла) эндобдж 813 0 объект > эндобдж 816 0 объект (57. Области между графиками) эндобдж 817 0 объект > эндобдж 820 0 объект (Упражнения) эндобдж 821 0 объект > эндобдж 824 0 объект (58. Принцип Кавальери и объемы твердых тел) эндобдж 825 0 объект > эндобдж 828 0 объект (58.1. Пример — Объем пирамиды) эндобдж 829 0 объект > эндобдж 832 0 объект (58.2. Общий случай) эндобдж 833 0 объект > эндобдж 836 0 объект (58.3. Принцип Кавальери) эндобдж 837 0 объект > эндобдж 840 0 объект (58.4. Тела вращения) эндобдж 841 0 объект > эндобдж 844 0 объект (59.Примеры объемов тел вращения) эндобдж 845 0 объект > эндобдж 848 0 объект (59.1. Задача 1: повернуть R вокруг оси Y) эндобдж 849 0 объект > эндобдж 852 0 объект (59.2. Задача 2: поверните R вокруг линии x = -1) эндобдж 853 0 объект > эндобдж 856 0 объект (59.3. Задача 3: поверните R вокруг линии y = 2) эндобдж 857 0 объект > эндобдж 860 0 объект (60. Объемы по цилиндрическим оболочкам) эндобдж 861 0 объект > эндобдж 864 0 объект (60.1. Пример — твердое тело, полученное вращением R вокруг оси y, снова) эндобдж 865 0 объект > эндобдж 868 0 объект (Упражнения) эндобдж 869 0 объект > эндобдж 872 0 объект (61.Расстояние от скорости, скорость от ускорения) эндобдж 873 0 объект > эндобдж 876 0 объект (61. 1. Движение по линии) эндобдж 877 0 объект > эндобдж 880 0 объект (61.2. Скорость от ускорения) эндобдж 881 0 объект > эндобдж 884 0 объект (61.3. Свободное падение в постоянном гравитационном поле) эндобдж 885 0 объект > эндобдж 888 0 объект (61.4. Движение в плоскости — параметрические кривые) эндобдж 889 0 объект > эндобдж 892 0 объект (61.5. Скорость объекта, движущегося в плоскости) эндобдж 893 0 объект > эндобдж 896 0 объект (61.6. Пример — два движения по окружности из \ 24761.4) эндобдж 897 0 объект > эндобдж 900 0 объект (62. Длина кривой) эндобдж 901 0 объект > эндобдж 904 0 объект (62.1. Длина параметрической кривой) эндобдж 905 0 объект > эндобдж 908 0 объект (62.2. Длина графика функции) эндобдж 909 0 объект > эндобдж 912 0 объект (62.3. Примеры вычисления длины) эндобдж 913 0 объект > эндобдж 916 0 объект (63. Работа, совершаемая силой) эндобдж 917 0 объект > эндобдж 920 0 объект (63.1. Работа как интеграл) эндобдж 921 0 объект > эндобдж 924 0 объект (63.m *; lsdf = 4X% rz-cuSŽc%] Օ dZ ޛ Yokt [H / ILɹ9h ‘ ) c + 0m $ QW конечный поток эндобдж 930 0 объект> endobj 933 0 объект> endobj 934 0 объект> endobj 931 0 объект> / ProcSet [/ PDF / Text] >> endobj 947 0 объект> ручей x ڥ VKFWP> ev0 @ rZ; T \ * T> 4Z

4.

1 Функции нескольких переменных — Объем расчетов 3

Цели обучения

  • 4.1.1 Распознайте функцию двух переменных и определите ее область и диапазон.
  • 4.1.2 Нарисуйте график функции двух переменных.
  • 4.1.3 Нарисуйте несколько кривых или кривых уровня функции двух переменных.
  • 4.1.4 Распознайте функцию трех или более переменных и определите ее поверхности уровня.

Наш первый шаг — объяснить, что такое функция более чем одной переменной, начиная с функций двух независимых переменных. Этот шаг включает в себя определение области и диапазона таких функций и обучение их построению в виде графиков. Мы также исследуем способы связать графики функций в трех измерениях с графиками более знакомых плоских функций.

Функции двух переменных

Определение функции двух переменных очень похоже на определение функции одной переменной. Основное отличие состоит в том, что вместо сопоставления значений одной переменной значениям другой переменной мы сопоставляем упорядоченные пары переменных с другой переменной.

Определение

Функция двух переменных z = f (x, y) z = f (x, y) отображает каждую упорядоченную пару (x, y) (x, y) в подмножестве DD реальной плоскости ℝ2ℝ2 в уникальное действительное число. z.z. Набор DD называется доменом функции. Диапазон ff — это набор всех действительных чисел zz, который имеет хотя бы одну упорядоченную пару (x, y) ∈D (x, y) ∈D такую, что f (x, y) = zf (x, y) = z, как показано на следующем рисунке.

Фигура 4.2 Область определения функции двух переменных состоит из упорядоченных пар (x, y). (X, y).

Определение области определения функции двух переменных включает в себя учет любых ограничений области, которые могут существовать. Давайте взглянем.

Пример 4.1

Домены и диапазоны функций двух переменных

Найдите домен и диапазон каждой из следующих функций:

  1. f (x, y) = 3x + 5y + 2f (x, y) = 3x + 5y + 2
  2. г (x, y) = 9 − x2 − y2g (x, y) = 9 − x2 − y2
Решение
  1. Это пример линейной функции от двух переменных. Нет значений или комбинаций xx и yy, которые заставляют f (x, y) f (x, y) быть неопределенным, поэтому область определения ff равна 2.ℝ2. Чтобы определить диапазон, сначала выберите значение для z.z. Нам нужно найти решение уравнения f (x, y) = z, f (x, y) = z или 3x − 5y + 2 = z.3x − 5y + 2 = z. Одно такое решение может быть получено, если сначала задать y = 0, y = 0, что дает уравнение 3x + 2 = z.3x + 2 = z. Решением этого уравнения является x = z − 23, x = z − 23, что дает упорядоченную пару (z − 23,0) (z − 23,0) как решение уравнения f (x, y) = zf (x, y) = z для любого значения zz Следовательно, диапазон функции — это все действительные числа или ℝ.ℝ.
  2. Чтобы функция g (x, y) g (x, y) имела действительное значение, величина под квадратным корнем должна быть неотрицательной:
    9-х2-у2≥0.9-х2-у2≥0.
    Это неравенство можно записать в виде

    Следовательно, область определения g (x, y) g (x, y) равна {(x, y) ∈ℝ2 | x2 + y2≤9}. {(X, y) ∈ℝ2 | x2 + y2≤9}. График этого набора точек можно описать как диск радиуса 33 с центром в начале координат. Область включает граничный круг, как показано на следующем графике.
    Фигура 4.3 Область определения функции g (x, y) = 9 − x2 − y2g (x, y) = 9 − x2 − y2 — замкнутый круг радиуса 3.
    Чтобы определить диапазон значений g (x, y) = 9 − x2 − y2g (x, y) = 9 − x2 − y2, мы начнем с точки (x0, y0) (x0, y0) на границе области, которое определяется соотношением x2 + y2 = 9.х2 + у2 = 9. Отсюда следует, что x02 + y02 = 9×02 + y02 = 9 и
    g (x0, y0) = 9 − x02 − y02 = 9− (x02 + y02) = 9−9 = 0. g (x0, y0) = 9 − x02 − y02 = 9− (x02 + y02) = 9− 9 = 0.
    Если x02 + y02 = 0x02 + y02 = 0 (другими словами, x0 = y0 = 0), x0 = y0 = 0), то
    g (x0, y0) = 9 − x02 − y02 = 9− (x02 + y02) = 9−0 = 3. g (x0, y0) = 9 − x02 − y02 = 9− (x02 + y02) = 9− 0 = 3.
    Это максимальное значение функции. Учитывая любое значение c между 0 и 3,0 и 3, мы можем найти весь набор точек внутри области gg, таких что g (x, y) = c: g (x, y) = c:
    9 − x2 − y2 = c9 − x2 − y2 = c2x2 + y2 = 9 − c2. 9 − x2 − y2 = c9 − x2 − y2 = c2x2 + y2 = 9 − c2.
    Поскольку 9 − c2> 0,9 − c2> 0, это описывает круг радиуса 9 − c29 − c2 с центром в начале координат. Любая точка на этой окружности удовлетворяет уравнению g (x, y) = c.g (x, y) = c. Следовательно, диапазон этой функции может быть записан в обозначении интервала как [0,3]. [0,3].

Контрольно-пропускной пункт 4.1

Найдите область определения и диапазон функции f (x, y) = 36−9×2−9y2.f (x, y) = 36−9×2−9y2.

Графические функции двух переменных

Предположим, мы хотим построить график функции z = (x, y).г = (х, у). Эта функция имеет две независимые переменные (xandy) (xandy) и одну зависимую переменную (z). (Z). При построении графика функции y = f (x) y = f (x) одной переменной мы используем декартову плоскость. Мы можем построить график любой упорядоченной пары (x, y) (x, y) на плоскости, и каждая точка на плоскости имеет связанную с ней упорядоченную пару (x, y) (x, y). С функцией двух переменных каждая упорядоченная пара (x, y) (x, y) в области определения функции отображается в действительное число z.z. Следовательно, график функции ff состоит из упорядоченных троек (x, y, z).(х, у, г). График функции z = (x, y) z = (x, y) двух переменных называется поверхностью.

Чтобы более полно понять концепцию построения набора упорядоченных троек для получения поверхности в трехмерном пространстве, представьте плоскую систему координат (x, y) (x, y). Тогда каждая точка в области определения функции ff имеет уникальное z-значение, связанное с ней. Если zz положительно, то графическая точка расположена выше xy-плоскости, xy-plane, если zz отрицательна, то графическая точка расположена ниже xy-плоскости.xy-плоскость. Набор всех нанесенных на график точек становится двумерной поверхностью, которая является графиком функции f.f.

Пример 4.2

Графические функции двух переменных

Создайте график каждой из следующих функций:

  1. г (x, y) = 9 − x2 − y2g (x, y) = 9 − x2 − y2
  2. f (x, y) = x2 + y2f (x, y) = x2 + y2
Решение
  1. В примере 4. 1 мы определили, что область определения g (x, y) = 9 − x2 − y2g (x, y) = 9 − x2 − y2 равна {(x, y) ∈ℝ2 | x2 + y2≤9 } {(x, y) ∈ℝ2 | x2 + y2≤9}, а диапазон равен {z∈ℝ2 | 0≤z≤3}.{z∈ℝ2 | 0≤z≤3}. Когда x2 + y2 = 9×2 + y2 = 9, мы имеем g (x, y) = 0. G (x, y) = 0. Следовательно, любая точка на окружности радиуса 33 с центром в начале координат в x, y-planex, y-плоскости отображается в z = 0z = 0 в ℝ3.ℝ3. Если x2 + y2 = 8, x2 + y2 = 8, то g (x, y) = 1, g (x, y) = 1, поэтому любая точка на окружности радиуса 2222 с центром в начале координат x, y -planex, y-плоскость отображается в z = 1z = 1 в ℝ3.ℝ3. Когда x2 + y2x2 + y2 приближается к нулю, значение z приближается к 3. Когда x2 + y2 = 0, x2 + y2 = 0, тогда g (x, y) = 3.g (x, y) = 3. Это начало координат в плоскости x, y.x, y-плоскость. Если x2 + y2x2 + y2 равно любому другому значению между 0 и 9,0 и 9, то g (x, y) g (x, y) равно некоторой другой константе между 0 и 3,0 и 3. Поверхность, описываемая этой функцией, представляет собой полусферу с центром в начале координат с радиусом 33, как показано на следующем графике.

    Фигура 4.4 График полушария представлен заданной функцией двух переменных.

  2. Эта функция также содержит выражение x2 + y2.x2 + y2. Приравнивая это выражение к различным значениям, начиная с нуля, мы получаем круги увеличивающегося радиуса.Минимальное значение f (x, y) = x2 + y2f (x, y) = x2 + y2 равно нулю (достигается, когда x = y = 0.). X = y = 0.). Когда x = 0, x = 0, функция принимает вид z = y2, z = y2, а когда y = 0, y = 0, функция становится z = x2.z = x2. Это сечения графика и параболы. Напомним из Введение в векторы в космосе, что имя графика f (x, y) = x2 + y2f (x, y) = x2 + y2 — это параболоид . График ff представлен на следующем графике.

    Фигура 4.5 Параболоид — это график заданной функции двух переменных.

Пример 4.3

Гайки и болты

Функция прибыли для производителя оборудования задается

f (x, y) = 16− (x − 3) 2− (y − 2) 2, f (x, y) = 16− (x − 3) 2− (y − 2) 2,

, где xx — количество гаек, проданных в месяц (в тысячах), а yy — количество болтов, проданных за месяц (в тысячах). Прибыль измеряется тысячами долларов. Нарисуйте график этой функции.

Решение

Эта функция является полиномиальной функцией от двух переменных.Область ff состоит из пар координат (x, y) (x, y), которые дают неотрицательную прибыль:

16− (x − 3) 2− (y − 2) 2≥0 (x − 3) 2+ (y − 2) 2≤16− (x − 3) 2− (y − 2) 2≥0 (x −3) 2+ (y − 2) 2≤16.

Это диск радиуса 44 с центром в точке (3,2). (3,2). Еще одно ограничение состоит в том, что оба xandyxandy должны быть неотрицательными. Когда x = 3x = 3 и y = 2, y = 2, f (x, y) = 16. f (x, y) = 16. Обратите внимание, что любое значение может быть нецелым числом; Например, в месяц можно продать 2,5–2,5 тыс. орехов. Таким образом, область содержит тысячи точек, поэтому мы можем рассматривать все точки в пределах диска.Для любых z <16, z <16 мы можем решить уравнение f (x, y) = z: f (x, y) = z:

16− (x − 3) 2− (y − 2) 2 = z (x − 3) 2+ (y − 2) 2 = 16 − z. 16− (x − 3) 2− (y − 2) 2 = z (x − 3) 2+ (y − 2) 2 = 16 − z.

Поскольку z <16, z <16, мы знаем, что 16 − z> 0,16 − z> 0, поэтому предыдущее уравнение описывает круг радиуса 16 − z16 − z с центром в точке (3,2). ( 3,2). Следовательно. диапазон f (x, y) f (x, y) равен {z∈ℝ | z≤16}. {z∈ℝ | z≤16}. График f (x, y) f (x, y) также является параболоидом, и этот параболоид направлен вниз, как показано.

Фигура 4.6 График данной функции двух переменных также является параболоидом.

Кривые уровня

Если туристы идут по пересеченным тропам, они могут использовать топографическую карту, показывающую, насколько круто меняются маршруты. Топографическая карта содержит изогнутые линии, называемые горизонтальными линиями . Каждая горизонтальная линия соответствует точкам на карте, имеющим одинаковую высоту (рис. 4.7). Линия уровня функции двух переменных f (x, y) f (x, y) полностью аналогична контурной линии на топографической карте.

Фигура 4,7 а) Топографическая карта Башни Дьявола, штат Вайоминг. Линии, расположенные близко друг к другу, указывают на очень крутой рельеф. (б) Перспективное фото Башни Дьявола показывает, насколько круты ее стены. Обратите внимание, что вершина башни имеет ту же форму, что и центр топографической карты.

Определение

Для данной функции f (x, y) f (x, y) и числа cc в диапазоне f, af кривая уровня функции двух переменных для значения cc определяется как набор точек, удовлетворяющих уравнение f (x, y) = c.е (х, у) = с.

Возвращаясь к функции g (x, y) = 9 − x2 − y2, g (x, y) = 9 − x2 − y2, мы можем определить кривые уровня этой функции. Диапазон gg — это закрытый интервал [0,3]. [0,3]. Сначала мы выбираем любое число в этом отрезке, например c = 2.c = 2. Кривая уровня, соответствующая c = 2c = 2, описывается уравнением

9 − x2 − y2 = 2,9 − x2 − y2 = 2.

Для упрощения возведем в квадрат обе части этого уравнения:

9-х2-у2 = 4,9-х2-у2 = 4.

Теперь умножьте обе части уравнения на −1−1 и прибавьте 99 к каждой стороне:

Это уравнение описывает окружность с центром в начале координат и радиусом 5. 5. Использование значений cc между 0 и 30 и 3 дает другие круги с центром в начале координат. Если c = 3, c = 3, то круг имеет радиус 0,0, поэтому он состоит исключительно из начала координат. Рисунок 4.8 представляет собой график кривых уровня этой функции, соответствующих c = 0,1,2 и 3.c = 0,1,2 и3. Обратите внимание, что в предыдущем выводе возможно, что мы ввели дополнительные решения, возведя обе части в квадрат. Здесь дело обстоит не так, потому что диапазон функции квадратного корня неотрицателен.

Фигура 4.8 Кривые уровня функции g (x, y) = 9 − x2 − y2, g (x, y) = 9 − x2 − y2, используя c = 0,1,2, c = 0,1,2 и 33 (c = 3 (c = 3 соответствует началу координат).

График различных кривых уровня функции называется контурной картой.

Пример 4.4

Создание контурной карты

Для функции f (x, y) = 8 + 8x − 4y − 4×2 − y2, f (x, y) = 8 + 8x − 4y − 4×2 − y2 найти кривую уровня, соответствующую c = 0. c = 0. Затем создайте контурную карту для этой функции. Каковы домен и диапазон f? F?

Решение

Чтобы найти кривую уровня для c = 0, c = 0, мы полагаем f (x, y) = 0f (x, y) = 0 и решаем.Это дает

0 = 8 + 8x − 4y − 4×2 − y2.0 = 8 + 8x − 4y − 4×2 − y2.

Затем возводим обе части в квадрат и умножаем обе части уравнения на −1: −1:

. 4×2 + y2−8x + 4y − 8 = 0,4×2 + y2−8x + 4y − 8 = 0.

Теперь мы переставляем члены, складывая члены xx вместе и члены yy вместе, и добавляем 88 к каждой стороне:

4×2−8x + y2 + 4y = 8.4×2−8x + y2 + 4y = 8.

Затем мы группируем пары терминов, содержащих одну и ту же переменную в круглых скобках, и множим 44 из первой пары:

4 (x2−2x) + (y2 + 4y) = 8,4 (x2−2x) + (y2 + 4y) = 8.

Затем мы заполняем квадрат в каждой паре круглых скобок и добавляем правильное значение в правую часть:

4 (x2−2x + 1) + (y2 + 4y + 4) = 8 + 4 (1) +4,4 (x2−2x + 1) + (y2 + 4y + 4) = 8 + 4 (1) +4.

Затем мы факторизуем левую часть и упрощаем правую:

4 (x − 1) 2+ (y + 2) 2 = 16,4 (x − 1) 2+ (y + 2) 2 = 16.

Наконец, делим обе стороны на 16:16:

(x − 1) 24+ (y + 2) 216 = 1. (x − 1) 24+ (y + 2) 216 = 1.

(4.1)

Это уравнение описывает эллипс с центром в точке (1, −2). (1, −2). График этого эллипса представлен на следующем графике.

Фигура 4.9 Кривая уровня функции f (x, y) = 8 + 8x − 4y − 4×2 − y2f (x, y) = 8 + 8x − 4y − 4×2 − y2, соответствующая c = 0.c = 0.

Мы можем повторить тот же вывод для значений cc меньше 4.4. Тогда уравнение 4.1 принимает вид

. 4 (x − 1) 216 − c2 + (y + 2) 216 − c2 = 14 (x − 1) 216 − c2 + (y + 2) 216 − c2 = 1

для произвольного значения c.c. На рисунке 4.10 показана контурная карта для f (x, y) f (x, y) с использованием значений c = 0,1,2 и 3.c = 0,1,2 и 3. Когда c = 4, c = 4, кривая уровня представляет собой точку (−1,2). (- 1,2).

Фигура 4.10 Контурное отображение функции f (x, y) = 8 + 8x − 4y − 4×2 − y2f (x, y) = 8 + 8x − 4y − 4×2 − y2 с использованием значений c = 0,1,2,3 и 4 . c = 0,1,2,3 и 4.

Контрольно-пропускной пункт 4.2

Найдите и изобразите линию уровня функции g (x, y) = x2 + y2−6x + 2yg (x, y) = x2 + y2−6x + 2y, соответствующую c = 15.c = 15.

Еще один полезный инструмент для понимания графика функции двух переменных называется вертикальной трассой. Кривые уровня всегда отображаются в плоскости xy, плоскости xy, но, как следует из их названия, вертикальные кривые отображаются в плоскостях xzxz или yz.yz-самолеты.

Определение

Рассмотрим функцию z = f (x, y) z = f (x, y) с областью определения D⊆ℝ2.D⊆ℝ2. Вертикальный след функции может быть либо набором точек, который решает уравнение f (a, y) = zf (a, y) = z для данной константы x = ax = a, либо f (x, b) = zf (x, b) = z для данной константы y = by = b.

Пример 4.5

Поиск вертикальных следов

Найдите вертикальные следы для функции f (x, y) = sinxcosyf (x, y) = sinxcosy, соответствующей x = −π4,0, и π4, x = −π4,0, и π4, и y = −π4,0, и π4. y = −π4,0 и π4.

Решение

Сначала установите x = −π4x = −π4 в уравнении z = sinxcosy: z = sinxcosy:

z = sin (−π4) cosy = −2cosy2≈ − 0,7071cosy. z = sin (−π4) cosy = −2cosy2≈ − 0,7071cosy.

Это описывает косинусный граф в плоскости x = −π4.x = −π4. Остальные значения zz представлены в следующей таблице.

куб.см Вертикальный след для x = cx = c
−π4 − π4 z = −2cosy2z = −2cosy2
00 z = 0z = 0
π4π4 z = 2cosy2z = 2cosy2
Таблица 4. 1 Вертикальные трассы, параллельные плоскости xz, xz, для функции f (x, y) = sinxcosyf (x, y) = sinxcosy

Аналогичным образом мы можем подставить значения y-значения в уравнение f (x, y) f (x, y), чтобы получить трассы в плоскости yz, плоскости yz, как указано в следующей таблице. .

dd Вертикальный след для y = dy = d
−π4 − π4 z = 2sinx2z = 2sinx2
00 z = sinxz = sinx
π4π4 z = 2sinx2z = 2sinx2
Таблица 4. 2 Вертикальные трассы, параллельные плоскости yz-Planeyz для функции f (x, y) = sinxcosyf (x, y) = sinxcosy

Три следа в плоскости xz-planexz являются косинусоидальными функциями; три следа в плоскости yz-planeyz являются синусоидальными функциями. Эти кривые появляются на пересечениях поверхности с плоскостями x = −π4, x = 0, x = π4x = −π4, x = 0, x = π4 и y = −π4, y = 0, y = π4y = — π4, y = 0, y = π4, как показано на следующем рисунке.

Фигура 4.11 Вертикальные следы функции f (x, y) f (x, y) являются косинусоидальными кривыми в плоскостях xz, плоскостях xz (a) и синусоидальными кривыми в плоскостях yz, плоскостях yz (b).

Контрольно-пропускной пункт 4.3

Определите уравнение вертикального следа функции g (x, y) = — x2 − y2 + 2x + 4y − 1g (x, y) = — x2 − y2 + 2x + 4y − 1, соответствующего y = 3, y = 3, и описать его график.

Функции двух переменных могут создавать поразительно выглядящие поверхности. На следующем рисунке показаны два примера.

Фигура 4,12 Примеры поверхностей, представляющих функции двух переменных: (а) комбинация степенной функции и синусоидальной функции и (б) комбинация тригонометрических, экспоненциальных и логарифмических функций.

Функции более двух переменных

До сих пор мы рассматривали только функции двух переменных. Однако полезно кратко рассмотреть функции более чем двух переменных. Два таких примера:

f (x, y, z) = x2−2xy + y2 + 3yz − z2 + 4x − 2y + 3x − 6 (многочлен от трех переменных) f (x, y, z) = x2−2xy + y2 + 3yz− z2 + 4x − 2y + 3x − 6 (многочлен от трех переменных)

и

g (x, y, t) = (x2−4xy + y2) sint− (3x + 5y) cost. g (x, y, t) = (x2−4xy + y2) sint− (3x + 5y) cost.

В первой функции (x, y, z) (x, y, z) представляет точку в пространстве, а функция ff сопоставляет каждую точку в пространстве с четвертой величиной, такой как температура или скорость ветра.Во второй функции (x, y) (x, y) может представлять точку на плоскости, а tt может представлять время. Функция может сопоставлять точку на плоскости с третьей величиной (например, давлением) в данный момент времени t.t. Метод поиска области определения функции более двух переменных аналогичен методу для функций одной или двух переменных.

Пример 4.6

Домены для функций трех переменных

Найдите домен каждой из следующих функций:

  1. f (x, y, z) = 3x − 4y + 2z9 − x2 − y2 − z2f (x, y, z) = 3x − 4y + 2z9 − x2 − y2 − z2
  2. г (x, y, t) = 2t − 4×2 − y2g (x, y, t) = 2t − 4×2 − y2
Решение
  1. Для определения функции f (x, y, z) = 3x − 4y + 2z9 − x2 − y2 − z2f (x, y, z) = 3x − 4y + 2z9 − x2 − y2 − z2 (и реальное значение) должны выполняться два условия:
    1. Знаменатель не может быть нулевым.
    2. Подкоренное выражение не может быть отрицательным.
    Комбинирование этих условий приводит к неравенству
    9 − x2 − y2 − z2> 0,9 − x2 − y2 − z2> 0.
    Перемещение переменных на другую сторону и изменение неравенства дает домен как
    область (f) = {(x, y, z) ∈ℝ3 | x2 + y2 + z2 <9}, область (f) = {(x, y, z) ∈ℝ3 | x2 + y2 + z2 <9},
    который описывает шар радиуса 33 с центром в начале координат. ( Примечание : Поверхность шара не включена в этот домен.)
  2. Чтобы функция g (x, y, t) = 2t − 4×2 − y2g (x, y, t) = 2t − 4×2 − y2 была определена (и была действительным значением), должны выполняться два условия:
    1. Подкоренное выражение не может быть отрицательным.
    2. Знаменатель не может быть равен нулю.
    Поскольку подкоренное выражение не может быть отрицательным, отсюда следует 2t − 4≥0,2t − 4≥0 и, следовательно, t≥2.t≥2. Поскольку знаменатель не может быть нулевым, x2 − y2 ≠ 0, x2 − y2 ≠ 0 или x2 ≠ y2, x2 ≠ y2, которые можно переписать как y ≠ ± xy ≠ ± x, которые являются уравнениями двух прямых, проходящих через Происхождение. Следовательно, домен gg равен
    область (g) = {(x, y, t) | y ≠ ± x, t≥2}. область (g) = {(x, y, t) | y ≠ ± x, t≥2}.

Контрольно-пропускной пункт 4.4

Найти область определения функции h (x, y, t) = (3t − 6) y − 4×2 + 4.ч (х, у, т) знак равно (3т-6) у-4х2 + 4.

Функции двух переменных имеют кривые уровня, которые показаны как кривые на плоскости xy-plane.xy-plane. Однако, когда функция имеет три переменных, кривые становятся поверхностями, поэтому мы можем определить поверхности уровня для функций трех переменных.

Определение

Для функции f (x, y, z) f (x, y, z) и числа cc в диапазоне f, f поверхность уровня функции трех переменных определяется как набор точек, удовлетворяющих уравнение f (x, y, z) = c.е (х, у, г) = с.

Пример 4,7

Поиск ровной поверхности

Найдите поверхность уровня для функции f (x, y, z) = 4×2 + 9y2 − z2f (x, y, z) = 4×2 + 9y2 − z2, соответствующей c = 1.c = 1.

Решение

Поверхность уровня определяется уравнением 4×2 + 9y2 − z2 = 1,4×2 + 9y2 − z2 = 1. Это уравнение описывает гиперболоид из одного листа, как показано на следующем рисунке.

Фигура 4,13 Гиперболоид из одного листа с некоторыми его плоскими поверхностями.

Контрольно-пропускной пункт 4.5

Найдите уравнение поверхности уровня функции

g (x, y, z) = x2 + y2 + z2−2x + 4y − 6zg (x, y, z) = x2 + y2 + z2−2x + 4y − 6z.

, что соответствует c = 2, c = 2, и, если возможно, опишите поверхность.

Раздел 4.1 Упражнения

В следующих упражнениях оцените каждую функцию по указанным значениям.

1 .

W (x, y) = 4×2 + y2.W (x, y) = 4×2 + y2. Найдите W (2, −1), W (2, −1), W (−3,6) .W (−3,6).

2 .

Вт (х, у) = 4×2 + y2.W (х, у) = 4х2 + у2. Найдите W (2 + h, 3 + h). W (2 + h, 3 + h).

3 .

Объем правого кругового цилиндра вычисляется функцией двух переменных: V (x, y) = πx2y, V (x, y) = πx2y, где xx — радиус правого кругового цилиндра, а yy — высота. цилиндра. Оцените V (2,5) V (2,5) и объясните, что это означает.

4 .

Кислородный баллон состоит из правого цилиндра высотой yy и радиуса xx с двумя полусферами радиуса xx, установленными наверху и внизу цилиндра.Выразите объем резервуара как функцию двух переменных, xandy, xandy, найдите V (10,2), V (10,2) и объясните, что это означает.

Для следующих упражнений найдите домен функции.

5 .

V (x, y) = 4×2 + y2 V (x, y) = 4×2 + y2.

6 .

f (x, y) = x2 + y2−4f (x, y) = x2 + y2−4

7 .

f (x, y) = 4ln (y2 − x) f (x, y) = 4ln (y2 − x).

8 .

g (x, y) = 16−4×2 − y2g (x, y) = 16−4×2 − y2.

9 .

z (x, y) = y2 − x2z (x, y) = y2 − x2

Найдите диапазон функций.

11 .

g (x, y) = 16−4×2 − y2g (x, y) = 16−4×2 − y2.

12 .

V (x, y) = 4×2 + y2 V (x, y) = 4×2 + y2.

Для следующих упражнений найдите кривые уровня каждой функции при указанном значении cc, чтобы визуализировать данную функцию.

14 .

z (x, y) = y2 − x2, z (x, y) = y2 − x2, c = 1c = 1

15 .

z (x, y) = y2 − x2, z (x, y) = y2 − x2, c = 4c = 4

16 .

g (x, y) = x2 + y2; c = 4, c = 9 g (x, y) = x2 + y2; c = 4, c = 9

17 .

g (x, y) = 4 − x − y; c = 0,4 g (x, y) = 4 − x − y; c = 0,4

18 .

f (x, y) = xy; c = 1; c = −1 f (x, y) = xy; c = 1; c = −1

19 .

h (x, y) = 2x − y; c = 0, −2,2 h (x, y) = 2x − y; c = 0, −2,2

20 .

f (x, y) = x2 − y; c = 1,2 f (x, y) = x2 − y; c = 1,2

21 год .

g (x, y) = xx + y; c = −1,0,2 g (x, y) = xx + y; c = −1,0,2

22 .

g (x, y) = x3 − y; c = −1,0,2 g (x, y) = x3 − y; c = −1,0,2

23 .

g (x, y) = exy; c = 12,3 g (x, y) = exy; c = 12,3

24 .

f (x, y) = x2; c = 4,9 f (x, y) = x2; c = 4,9

25 .

f (x, y) = xy − x; c = −2,0,2 f (x, y) = xy − x; c = −2,0,2

26 .

h (x, y) = ln (x2 + y2); c = −1,0,1 h (x, y) = ln (x2 + y2); c = −1,0,1

27 .

g (x, y) = ln (yx2); c = −2,0,2 g (x, y) = ln (yx2); c = −2,0,2

28 год .

z = f (x, y) = x2 + y2, z = f (x, y) = x2 + y2, c = 3c = 3

29 .

f (x, y) = y + 2×2, f (x, y) = y + 2×2, c = c = любая константа

Для следующих упражнений найдите вертикальные кривые функций при указанных значениях xx и y и постройте кривые.

30 .

z = 4 − x − y; x = 2z = 4 − x − y; x = 2

31 год .

f (x, y) = 3x + y3, x = 1 f (x, y) = 3x + y3, x = 1

32 .

z = cosx2 + y2z = cosx2 + y2 x = 1x = 1

Найдите область применения следующих функций.

33 .

z = 100−4×2−25y2z = 100−4×2−25y2

35 год .

f (x, y, z) = 136−4×2−9y2 − z2f (x, y, z) = 136−4×2−9y2 − z2.

36 .

f (x, y, z) = 49 − x2 − y2 − z2f (x, y, z) = 49 − x2 − y2 − z2.

37 .

f (x, y, z) = 16 − x2 − y2 − z23f (x, y, z) = 16 − x2 − y2 − z23.

38 .

f (x, y) = cosx2 + y2f (x, y) = cosx2 + y2.

Постройте график функции для следующих упражнений.

39 .

z = f (x, y) = x2 + y2z = f (x, y) = x2 + y2.

41 год .

Используйте технологию для построения графика z = x2y.z = x2y.

Нарисуйте следующее, найдя кривые уровня. Проверить график, используя технологию.

42 .

f (x, y) = 4 − x2 − y2f (x, y) = 4 − x2 − y2.

43 год .

f (x, y) = 2 − x2 + y2f (x, y) = 2 − x2 + y2.

44 .

z = 1 + e − x2 − y2z = 1 + e − x2 − y2

47 .

Опишите изолинии для нескольких значений cc для z = x2 + y2−2x − 2y.z = x2 + y2−2x − 2y.

Найдите поверхность уровня для функций трех переменных и опишите ее.

48 .

w (x, y, z) = x − 2y + z, c = 4 w (x, y, z) = x − 2y + z, c = 4

49 .

w (x, y, z) = x2 + y2 + z2, c = 9 w (x, y, z) = x2 + y2 + z2, c = 9

50 .

w (x, y, z) = x2 + y2 − z2, c = −4w (x, y, z) = x2 + y2 − z2, c = −4

51 .

w (x, y, z) = x2 + y2 − z2, c = 4 w (x, y, z) = x2 + y2 − z2, c = 4

52 .

w (x, y, z) = 9×2−4y2 + 36z2, c = 0 w (x, y, z) = 9×2−4y2 + 36z2, c = 0

Для следующих упражнений найдите уравнение кривой уровня ff, которое содержит точку P.P.

53 .

f (x, y) = 1−4×2 − y2, P (0,1) f (x, y) = 1−4×2 − y2, P (0,1)

54 .

g (x, y) = y2arctanx, P (1,2) g (x, y) = y2arctanx, P (1,2)

55 .

g (x, y) = exy (x2 + y2), P (1,0) g (x, y) = exy (x2 + y2), P (1,0)

56 .

Напряженность EE электрического поля в точке (x, y, z) (x, y, z), возникающего из-за бесконечно длинного заряженного провода, лежащего вдоль оси y, определяется как E (x, y, z) = k / x2 + y2, E (x, y, z) = k / x2 + y2, где kk — положительная постоянная. Для простоты положим k = 1k = 1 и найдем уравнения поверхностей уровня для E = 10 и E = 100, E = 10 и E = 100.

57 .

Тонкая пластина из железа расположена в плоскости xy.xy-плоскость. Температура TT в градусах Цельсия в точке P (x, y) P (x, y) обратно пропорциональна квадрату ее расстояния от начала координат. Выразите TT как функцию от xandy.xandy.

58 .

Обратитесь к предыдущей проблеме. Используя найденную там температурную функцию, определите константу пропорциональности, если температура в точке P (1,2) составляет 50 ° C, P (1,2) составляет 50 ° C. Используйте эту константу, чтобы определить температуру в точке Q (3,4) .Q (3,4).

59 .

Обратитесь к предыдущей проблеме.Найдите кривые уровня для T = 40 ° C и T = 100 ° C, T = 40 ° C и T = 100 ° C и опишите, что представляют собой кривые уровня.

Калькулятор уклона

Использование калькулятора

Наклон линии — это изменение по вертикали, деленное на изменение по горизонтали, также известное как подъем за пробегом. Когда у вас есть 2 точки на линии на графике, наклон — это изменение y, деленное на изменение x.

Уклон линии — это показатель ее крутизны.

Решения для расчета уклона

Введите две точки, используя числа, дроби, смешанные числа или десятичные дроби. Калькулятор уклона показывает работу и дает следующие решения уклона:

  • Уклон м с двумя точками
  • График прямой для y = mx + b
  • Форма уклона точки y — y 1 = m (x — x 1 )
  • Форма пересечения наклона y = mx + b
  • Стандартная форма Ax + By = C
  • Y-пересечение, когда x = 0
  • x-точка пересечения, когда y = 0

Вам также будет предоставлена ​​настраиваемая ссылка на Калькулятор средней точки, который решит и покажет работу, чтобы найти среднюю точку и расстояние для ваших данных двух точек.

Как рассчитать наклон прямой

Рассчитать уклон, м , используя формулу для уклона:

Формула уклона

\ [m = \ dfrac {(y_ {2} — y_ {1})} {(x_ {2} — x_ {1})} \] \ [m = \ dfrac {rise} {run} = \ dfrac { \ Delta y} {\ Delta x} = \ dfrac {y_2 — y_1} {x_2 — x_1} \]

Здесь вам нужно знать координаты двух точек на линии (x 1 , y 1 ) и (x 2 , y 2 ).

Как найти наклон прямой

  1. Найдите разницу между координатами y, Δy — это изменение y

    2. Δy = y 2 — y 1

  2. Найдите разницу между координатами x, Δx — это изменение x

    3. Δx = x 2 — x 1

  3. Разделите Δy на Δx, чтобы найти наклон

    4. м = Δy / Δx

Пример: найти уклон

Допустим, вам известны две точки на прямой, и их координаты (2, 5) и (9, 19).Найдите наклон, найдя разницу в точках y, и разделите это на разницу в точках x.

  1. Разница между координатами y Δy составляет

    2. Δy = y 2 — y 1

    Δy = 19 — 5

    Δy = 14

  2. Разница между координатами x Δx составляет

    3. Δx = x 2 — x 1

    Δx = 9 — 2

    Δx = 7

  3. Разделите Δy на Δx, чтобы найти уклон м

\ (m = \ dfrac {14} {2} \)

\ (м = 7 \)

Линейные уравнения с наклоном

Есть 3 распространенных способа написать линейные уравнения с наклоном:

  • Точечный откос
  • Форма пересечения откоса
  • Стандартная форма

Форма углового откоса записывается как

y — y 1 = м (x — x 1 )

Используя координаты одной из точек на линии, вставьте значения в точки x1 и y1, чтобы получить уравнение линии в форме наклона точки.

Давайте использовать точку из исходного примера выше (2, 5) и наклон, который мы вычислили как 7. Поместите эти значения в формат угла наклона точки, чтобы получить уравнение этой линии в форме наклона точки:

у — 5 = 7 (х — 2)

Если вы упростите приведенное выше уравнение наклона точки, вы получите уравнение линии в форме пересечения наклона.

Форма пересечения наклона записывается как

y = м x + b

Возьмите уравнение формы наклона точки и умножьте 7 на x и 7 на 2.

у — 5 = 7 (х — 2)

г — 5 = 7х — 14

Продолжайте работать с уравнением так, чтобы y находилось по одну сторону от знака равенства, а все остальное — по другую сторону.

Добавьте 5 к обеим частям уравнения, чтобы получить уравнение в форме пересечения наклона:

y = 7x — 9

Стандартная форма уравнения для линии записывается как

Ax + By = C

В некоторых ссылках вы также можете увидеть стандартную форму, записанную как Ax + By + C = 0.

Воспользуйтесь формулой точечного уклона или формулой пересечения уклона и выполните математические вычисления, чтобы преобразовать уравнение в стандартную форму. Обратите внимание, что уравнение не должно включать дроби или десятичные дроби, а коэффициент x должен быть только положительным.

Форма пересечения наклона: y = 7x — 9

Вычтем y из обеих частей уравнения, чтобы получить 7x — y — 9 = 0

Добавьте 9 к обеим частям уравнения, чтобы получить 7x — y = 9

Форма пересечения наклона y = 7x — 9 превращается в 7x — y = 9, записанную в стандартной форме.

Найти наклон по уравнению

Если у вас есть уравнение для линии, вы можете преобразовать его в форму пересечения уклона. Коэффициент при x будет наклоном.

Пример

У вас есть уравнение прямой, 6x — 2y = 12, и вам нужно найти наклон.

Ваша цель — преобразовать уравнение в формат пересечения наклона y = mx + b

  1. Начните с уравнения 6x — 2y = 12
  2. Добавьте 2y к обеим сторонам, чтобы получить 6x = 12 + 2y
  3. Вычтем 12 из обеих частей уравнения, чтобы получить 6x — 12 = 2y
  4. Вы хотите получить y отдельно от одной стороны уравнения, поэтому вам нужно разделить обе стороны на 2, чтобы получить y = 3x — 6
  5. Это форма пересечения наклона, y = 3x — 6.Наклон — это коэффициент при x, поэтому в данном случае наклон = 3
    6. .

Как найти точку пересечения оси Y

Пересечение оси y линии — это значение y, когда x = 0. Это точка, в которой линия пересекает ось y.

Используя уравнение y = 3x — 6, установите x = 0, чтобы найти точку пересечения оси y.

у = 3 (0) — 6

г = -6

Угол пересечения оси Y равен -6

Как найти точку пересечения x

Пересечение линии по оси x — это значение x, когда y = 0. Это точка, в которой линия пересекает ось x.

Используя уравнение y = 3x — 6, установите y = 0, чтобы найти точку пересечения с x.

0 = 3x — 6

3x = 6

х = 2

Х-точка пересечения равна 2

Наклон параллельных линий

Если вам известен наклон линии, любая параллельная ей линия будет иметь такой же наклон, и эти линии никогда не будут пересекаться.

Уклон перпендикулярных линий

Если вам известен наклон линии, любая линия, перпендикулярная к ней, будет иметь наклон, равный отрицательному обратному значению известного наклона.

«Перпендикуляр» означает, что линии пересекаются под углом 90 °.

Допустим, у вас есть линия с наклоном -4. Каков наклон перпендикулярной к нему линии?

  • Сначала возьмите отрицательное значение наклона вашей линии.
    — (- 4) = 4
  • Во-вторых, возьмите обратное число.4 — целое число, поэтому его знаменатель равен 1. Число, обратное 4/1, равно 1/4.
  • Отрицательная величина, обратная наклону -4, равна наклону 1/4.
  • Линия, перпендикулярная исходной линии, имеет наклон 1/4.

Дальнейшее изучение

Брайан Маклоган (2014) Определение уклона между двумя точками в виде дробей, 10 июня. На https://www.youtube.com/watch?v=Hz_eapwVcrM

. .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *