Правила смежных углов: Урок 6. смежные и вертикальные углы. аксиомы и теоремы — Геометрия — 7 класс

Содержание

Урок 6. смежные и вертикальные углы. аксиомы и теоремы — Геометрия — 7 класс

Геометрия

7 класс

Урок № 6

Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Понятие смежных и вертикальных углов
  • Свойства смежных и вертикальных углов
  • Отличие аксиомы от теоремы

Тезаурус

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Свойства смежных углов:

  • Сумма смежных углов равна 1800.
  • Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
  • Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.

Аксиома– положение, принимаемое без доказательств.

Основная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7 – 9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

  1. Погорелов А. В. Геометрия: 7 – 9 класс. // Погорелов А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 224 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте построим развёрнутый угол АОС и проведём в нём луч ОВ. В результате у нас получилось два угла ∠АОВ – острый угол и ∠ВОС– тупой угол. Стороны АО и ОС – продолжают друг друга, ВО– общая сторона. Углы АОВ и ВОС – это смежные углы. На основании этого сформулируем определение смежных углов.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Обратите, внимание, что смежные углы АОВ и ВОС лежат на развёрнутом угле АОС. Отсюда можно сделать вывод: сумма смежных углов равна 180

о.

Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180о.

Давайте докажем это свойство.

Доказательство. Пусть углы ∠АОВ и ∠ВОС – смежные, луч ОВ – проходит между сторонами развёрнутого угла ∠АОС. Поэтому, сумма углов ∠АОВ и ∠ВОС равна ∠АОС, а этот угол развёрнутый, он равен 180о. Свойство доказано.

Укажем ещё одно свойство смежных углов.

  • Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.

Сейчас давайте вспомним определение прямого угла: угол, равный 900, называется прямым углом. Опираясь на свойство суммы смежных углов, можно сделать вывод: угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Теперь построим две пересекающиеся прямые, АС и BD. Посмотрите, при пересечении прямых у нас получилось четыре угла: ∠АОВ, ∠АОD, ∠CОD, ∠BОC. Из них попарно являются смежными углы: ∠АОВ и ∠АОD, ∠АОD и ∠CОD, ∠CОD и ∠BОC, ∠АОВ и ∠BОC.

Углы, которые не являются смежными:

∠АОВ и ∠CОD; ∠АОD и ∠BОC. Пары этих углов называются вертикальными углами.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Убедимся в справедливости этого свойства, докажем его.

Доказательство. Посмотрим на чертёж: пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1– смежные углы. Угол 2 одновременно является смежным с углом 1 и с углом 3. По свойству смежных углов

∠1+ ∠2= 1800 и ∠3+ ∠2= 1800. Получаем, что ∠1+ ∠2= ∠3+ ∠2, значит, ∠1= ∠3. Углы ∠1 и ∠3 – вертикальные. Мы доказали справедливость этого свойства.

Свойства смежных и вертикальных углов, которые мы сегодня рассмотрели– в геометрии называются теоремами. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется

теоремой.

На предыдущих уроках вы познакомились с понятием аксиомы.

В чём же различие между аксиомой и теоремой? Ответ на этот вопрос таков: аксиома – положение, принимаемое без доказательств.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Используя чертёж, найдите угол ∠ВОК.

Ответ: ∠ВОК=____0

Решение. Воспользуемся свойством смежных углов: сумма смежных углов равна 1800. По условию задачи ∠АОК= 110, то ∠ВОК+ ∠АОК= 1800

∠ВОК+ 110= 1800

∠ВОК= 1800– 110= 1690

.

Ответ: ∠ВОК= 1690

№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.

Используя чертёж, найдите угол ∠AOD.

Варианты ответов:

  1. 1120
  2. 640
  3. 1160
  4. 680

Решение. На чертеже указано, что углы ∠СОЕ= ∠DOE. Значит, ∠COD= ∠СОЕ+ ∠DOE= 320+ 320= 640. ∠AOD смежный с углом ∠COD, по свойству смежных углов: ∠AOD= 1800–∠COD= 1800– 640=1160.

Ответ: 1160

№3. Тип задания: выделение цветом.

Используя чертёж, найдите градусную меру угла ∠BMD, если ∠AMD= 1250, ∠BMC= 1150.

∠BМD=____0.

Выделите верный ответ из списка:

600; 300; 750; 900

Решение. По чертежу можно увидеть, что ∠BМD является частью ∠AMD и ∠BMC. Рассмотрим ∠DMC и ∠AMD. Эти углы – смежные, т.е. их сумма равна 180

0. Значит, зная градусную меру ∠AMD, мы сможем найти градусную меру ∠DMC= 1800–∠AMD= 1800-–1250= 550. Теперь рассмотрим ∠BMC= ∠BMD+ ∠DMC. Мы знаем градусные меры ∠BMC и ∠DMC, значит, мы сможем найти градусную меру ∠BMD.

∠BMD= ∠BMC–∠DMC= 1150– 550= 600.

Верный ответ: 600

Смежные углы | Треугольники

Что такое смежные углы? Какие у них свойства?

Определение.

Смежные углы — это углы, у которых одна сторона — общая, а другие стороны лежат на одной прямой.

 

∠1 и ∠2 — смежные углы

 

Сколько смежных углов образуется при пересечении двух прямых?

При пересечении двух прямых образуется четыре пары смежных углов:

∠1 и ∠2, ∠3 и ∠4,

∠1 и ∠3,  ∠2 и ∠4

Но, так как ∠1 =∠4,  ∠2=∠3 (как вертикальные), то достаточно рассмотреть только одну из этих пар.

Свойство смежных углов.

Сумма смежных углов равна 180º.

Задачи.

1) Даны два смежных угла. Один на 42 градуса больше другого. Найти эти углы.

Дано:

∠AOC и ∠BOC — смежные,

∠AOC на 42º  больше, чем ∠BOC

Найти: ∠AOC и ∠BOC.

Решение:

Пусть ∠BOC=хº, тогда ∠AOC= х+42º. Так как сумма смежных углов равна 180º, то ∠BOC+∠AOC=180º.

Имеем уравнение:

х+х+42=180

2х=180-42

2x=138

x=69

Значит, ∠BOC= 69º, ∠AOC=69+42=111º.

Ответ: 69º и 111º.

2) Найти смежные углы, если их градусные меры относятся как 4:5.

Дано:

∠1 и ∠2 — смежные,

∠1 : ∠2= 4:5

Найти:∠1 и ∠2

Решение:

Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда ∠2 =4kº , ∠1=5kº. Так как сумма смежных углов равна 180º, ∠1 +∠2=180º.

Имеем уравнение:

4k+5k=180

9k=180

k=20

Значит, смежные углы равны 4∙20=80º и 5∙20=100º.

Ответ: 80º и 100º.

3) Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, в 5 раз больше другого. Найти эти углы.

Дано: AB и CD — прямые, O — точка их пересечения,

∠AOD  в 5 раз больше, чем ∠BOD

Найти: ∠AOD, ∠BOD

Решение:

При пересечении двух прямых образуются смежные и вертикальные углы. Так как вертикальные углы равны между собой, то углы∠AOD и ∠BOD —  смежные. Пусть ∠BOD=xº, тогда ∠AOD=5xº. Так как сумма смежных углов равна 180º, ∠AOD +∠BOD=180º.

Имеем уравнение:

x+5x=180

6x=180

x=30

Значит, ∠BOD=30º, ∠AOD=5∙30=150º.

Ответ: 30º и 150º.

Могут ли смежные углы быть равными?

Да. Если смежные углы равны между собой, то, так как сумма смежных углов равна 180º, каждый из них равен половине суммы, то есть 90º.

Вывод:

угол, смежный с прямым, есть прямой угол.

Могут ли два смежных угла быть тупыми? Острыми?

Нет. Так как градусная мера тупого угла больше 90º, то сумма двух тупых углов больше 180º. А сумма смежных углов равна 180º.

Градусная мера острого угла меньше 90º. Значит, сумма двух острых углов меньше 180º.

Таким образом, в паре смежных углов один — тупой, другой — острый (или оба прямые).

Углы смежные вертикальные. Н.Никитин Геометрия

Геометрия — это весьма многогранная наука. Она развивает логику, воображение и интеллект. Конечно, из-за своей сложности и огромного количества теорем и аксиом, она не всегда нравится школьникам. Кроме этого, существует необходимость постоянно доказывать свои выводы, используя общепринятые стандарты и правила.

Смежные и вертикальные углы — это неотъемлемая составляющая геометрии. Наверняка многие школьники просто обожают их по той причине, что их свойства понятны и просты в доказательстве.

Образование углов

Любой угол образуется путем пересечения двух прямых или проведения двух лучей из одной точки. Они могут называться либо одной буквой, либо тремя, которые последовательно обозначают точки построения угла.

Углы измеряются в градусах и могут (в зависимости от их значения) по-разному называться. Так, существует прямой угол, острый, тупой и развернутый. Каждому из названий соответствует определенная градусная мера или ее промежуток.

Острым называется угол, мера которого не превышает 90 градусов.

Тупым является угол, превышающий 90 градусов.

Угол называется прямым в том случае, когда его градусная мера равна 90.

В том случае, когда он образован одной сплошной прямой, и его градусная мера равна 180, его называют развернутым.

Углы, имеющие общую сторону, вторая сторона которых продолжает друг друга, называются смежными. Они могут быть как острыми, так и тупыми. Пересечение линией образует смежные углы. Свойства их следующие:

  1. Сумма таких углов будет равна 180 градусам (существует теорема, доказывающая это). Поэтому можно легко вычислить один из них, если известен другой.
  2. Из первого пункта следует, что смежные углы не могут быть образованы двумя тупыми или двумя острыми углами.

Благодаря этим свойствам, можно всегда вычислить градусную меру угла, имея значение другого угла или, по крайней мере, отношение между ними.

Вертикальные углы

Углы, стороны которых являются продолжением друг друга, называются вертикальными. В качестве такой пары могут выступать любые их разновидности. Вертикальные углы всегда равны между собой.

Они образуются при пересечении прямых. Совместно с ними всегда присутствуют и смежные углы. Угол может быть одновременно смежным для одного и вертикальным для другого.

При пересечении произвольной линией также рассматривают еще несколько видов углов. Такая линия называется секущей, она и образует соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Они равны между собой. Их можно рассматривать в свете свойств, которые имеют вертикальные и смежные углы.

Таким образом, тема углов представляется довольно простой и понятной. Все их свойства легко запомнить и доказать. Решение задач не представляется сложным до тех пор, пока углам соответствует числовое значение. Уже дальше, когда начнется изучение sin и cos, придется запоминать множество сложных формул, их выводов и следствий. А до того времени можно просто наслаждаться легкими задачками, в которых необходимо найти смежные углы.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

Сумма смежных углов равна 180°

Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Вертикальные углы равны

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

АН — перпендикуляр к прямой

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Чертежный угольник

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны.

Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».

Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

Решение. Обозначим градусную меру другого угла через x , тогда согласно теореме 1.
44° + х = 180°.
Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.

Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

Решение. Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.
∠ АОС = 180° — ∠ COD = 180° — 45° = 135°.

Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.
Значит, смежные углы равны 45° и 135°.

Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180° — 50° = 130°.

Смежные углы – два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой.

Сумма смежных углов равна 180°

Вертикальные углы — это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжение сторон другого.

Вертикальные углы равны.

2. Признаки равенства треугольников:

I признак : Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

II признак : Если стороны и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

III признак : Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

3. Признаки параллельности двух прямых: односторонние углы, накрест лежащие и соответственные:

Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.

Накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

Односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6; рис. Стр55

Соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;

Теорема : Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Теорема : Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Теорема : Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Теорема : если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны

Теорема : если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны

Теорема : если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°

4. Сумма углов треугольника:

Сумма углов треугольника равна 180°

5. Свойства равнобедренного треугольника:

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теорема: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, являетсямедианой и высотой (медиана наоборот), (биссектриса делит угол пополам, медиана делит сторону пополам, высота образует угол 90°)

Признак: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Сумма углов четырёхугольника равна 2 π = 360°.

Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, сумма противоположных углов равна 180°

10. Признаки подобия треугольников:

I признак : если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны

II признак : если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

III признак : если три стороны одного треугольника порциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны

11. Формулы:

· Теорема Пифагора: a 2 +b 2 =c 2

· Теорема sin:

· Теорема cos:

· 3 формулы площади треугольника:

· Площадь прямоугольного треугольника: S= S=

· Площадь равностороннего треугольника:

· Площадь параллелограмма: S = ah

· Площадь квадрата: S = a2

· Площадь трапеции:

· Площадь ромба:

· Площадь прямоугольника: S=ab

· Равносторонний треугольник. Высота: h=

· Тригонометрическая единица: sin 2 a+cos 2 a=1

· Средняя линия треугольника: S=

· Средняя линия трапеции : МК=

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-12

Г Л А В А I.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

§11. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ.

1. Смежные углы.

Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (черт. 72): / А ВС и / СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие АВи ВD составляют прямую линию.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.

Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.
Например, / АDF и / FDВ — углы смежные (черт. 73).

Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (черт. 74).

Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 2d.

Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.

Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.

Например, если один из смежных углов равен 3 / 5 d , то второй угол будет равен:

2d — 3 / 5 d = l 2 / 5 d .

2. Вертикальные углы.

Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На чертеже 75 углы EOF и АОС- вертикальные; углы АОЕ и СОF — также вертикальные.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

Пусть / 1 = 7 / 8 d (черт. 76). Смежный с ним / 2 будет равен 2d — 7 / 8 d , т. е. 1 1 / 8 d .

Таким же образом можно вычислить, чему равны / 3 и / 4.
/ 3 = 2d — 1 1 / 8 d = 7 / 8 d ; / 4 = 2d — 7 / 8 d = 1 1 / 8 d (черт. 77).

Мы видим, что / 1 = / 3 и / 2 = / 4.

Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.

Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.

Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём рассуждения, путём доказательства.

Доказательство можно провести следующим образом (черт. 78):

/ a + / c = 2d ;
/ b + / c = 2d ;

(так как сумма смежных углов равна 2d ).

/ a + / c = / b + / c

(так как и левая часть этого равенства равна 2d , и правая его часть тоже равна 2d ).

В это равенство входит один и тот же угол с .

Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится: / a = / b , т. е. вертикальные углы равны между собой.

При рассмотрении вопроса о вертикальных углах мы сначала объяснили, какие углы называются вертикальными, т. е. дали определение вертикальных углов.

Затем мы высказали суждение (утверждение) о равенстве вертикальных углов и в справедливости этого суждения убедились путём доказательства. Такие суждения, справедливость которых надо доказывать, называются теоремами . Таким образом, в данном параграфе мы дали определение вертикальных углов, а также высказали и доказали теорему об их свойстве.

В дальнейшем при изучении геометрии нам постоянно придётся встречаться с определениями и доказательствами теорем.

3. Сумма углов, имеющих общую вершину.

На чертеже 79 / 1, / 2, / 3 и / 4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d .

На чертеже 80 / 1, / 2, / 3, / 4 и / 5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d .

Упражнения.

1. Один из смежных углов равен 0,72 d. Вычислить угол, составленный биссектрисами этих смежных углов.

2. Доказать, что биссектрисы двух смежных углов образуют прямой угол.

3. Доказать, что если два угла равны, то равны и их смежные углы.

4. Сколько пар смежных углов на чертеже 81?

5. Может ли пара смежных углов состоять из двух острых углов? из двух тупых углов? из прямого и тупого угла? из прямого и острого угла?

6. Если один из смежных углов прямой, то что можно сказать о величине смежного с ним угла?

7. Если при пересечении двух прямых линий один угол прямой, то что можно сказать о величине остальных трёх углов?

Смежные углы и их свойства. Вертикальные и смежные углы

Смежные углы – два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой.

Сумма смежных углов равна 180°

Вертикальные углы — это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжение сторон другого.

Вертикальные углы равны.

2. Признаки равенства треугольников:

I признак : Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

II признак : Если стороны и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

III признак : Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

3. Признаки параллельности двух прямых: односторонние углы, накрест лежащие и соответственные:

Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.

Накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

Односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6; рис. Стр55

Соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;

Теорема : Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Теорема : Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Теорема : Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Теорема : если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны

Теорема : если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны

Теорема : если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°

4. Сумма углов треугольника:

Сумма углов треугольника равна 180°

5. Свойства равнобедренного треугольника:

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теорема: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, являетсямедианой и высотой (медиана наоборот), (биссектриса делит угол пополам, медиана делит сторону пополам, высота образует угол 90°)

Признак: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

6. Прямоугольный треугольник:

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90 градусов)

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета

1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°

2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы

3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°

7.

Сумма углов четырёхугольника равна 2 π = 360°.

Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, сумма противоположных углов равна 180°

10. Признаки подобия треугольников:

I признак : если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны

II признак : если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

III признак : если три стороны одного треугольника порциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны

11. Формулы:

· Теорема Пифагора: a 2 +b 2 =c 2

· Теорема sin:

· Теорема cos:

· 3 формулы площади треугольника:

· Площадь прямоугольного треугольника: S= S=

· Площадь равностороннего треугольника:

· Площадь параллелограмма: S = ah

· Площадь квадрата: S = a2

· Площадь трапеции:

· Площадь ромба:

· Площадь прямоугольника: S=ab

· Равносторонний треугольник. Высота: h=

· Тригонометрическая единица: sin 2 a+cos 2 a=1

· Средняя линия треугольника: S=

· Средняя линия трапеции : МК=

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-12

1. Смежные углы.

Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (рис. 72): ∠АВС и ∠СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие, АВ и ВD, составляют прямую линию.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.

Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.

Например, ∠АDF и ∠FDВ — углы смежные (рис. 73).

Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (рис. 74).

Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 180°

Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.

Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.

Например, если один из смежных углов равен 54°, то второй угол будет равен:

180° — 54° = l26°.

2. Вертикальные углы.

Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На рисунке 75 углы EOF и АОС- вертикальные; углы АОЕ и СОF — также вертикальные.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

Пусть ∠1 = \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°(рис. 76). Смежный с ним ∠2 будет равен 180° — \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°, т. е. 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90°.

Таким же образом можно вычислить, чему равны ∠3 и ∠4.

∠3 = 180° — 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90° = \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° — \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90° = 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90° (рис. 77).

Мы видим, что ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4.

Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.

Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.

Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём доказательства.

Доказательство можно провести следующим образом (рис. 78):

a + c = 180°;

b + c = 180°;

(так как сумма смежных углов равна 180°).

a + c = ∠b + c

(так как и левая часть этого равенства равна 180°, и правая его часть тоже равна 180°).

В это равенство входит один и тот же угол с .

Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится: a = ∠b , т. е. вертикальные углы равны между собой.

3. Сумма углов, имеющих общую вершину.

На чертеже 79 ∠1, ∠2, ∠3 и ∠4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

На чертеже 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 и ∠5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Другие материалы

Геометрия — это весьма многогранная наука. Она развивает логику, воображение и интеллект. Конечно, из-за своей сложности и огромного количества теорем и аксиом, она не всегда нравится школьникам. Кроме этого, существует необходимость постоянно доказывать свои выводы, используя общепринятые стандарты и правила.

Смежные и вертикальные углы — это неотъемлемая составляющая геометрии. Наверняка многие школьники просто обожают их по той причине, что их свойства понятны и просты в доказательстве.

Образование углов

Любой угол образуется путем пересечения двух прямых или проведения двух лучей из одной точки. Они могут называться либо одной буквой, либо тремя, которые последовательно обозначают точки построения угла.

Углы измеряются в градусах и могут (в зависимости от их значения) по-разному называться. Так, существует прямой угол, острый, тупой и развернутый. Каждому из названий соответствует определенная градусная мера или ее промежуток.

Острым называется угол, мера которого не превышает 90 градусов.

Тупым является угол, превышающий 90 градусов.

Угол называется прямым в том случае, когда его градусная мера равна 90.

В том случае, когда он образован одной сплошной прямой, и его градусная мера равна 180, его называют развернутым.

Углы, имеющие общую сторону, вторая сторона которых продолжает друг друга, называются смежными. Они могут быть как острыми, так и тупыми. Пересечение линией образует смежные углы. Свойства их следующие:

  1. Сумма таких углов будет равна 180 градусам (существует теорема, доказывающая это). Поэтому можно легко вычислить один из них, если известен другой.
  2. Из первого пункта следует, что смежные углы не могут быть образованы двумя тупыми или двумя острыми углами.

Благодаря этим свойствам, можно всегда вычислить градусную меру угла, имея значение другого угла или, по крайней мере, отношение между ними.

Вертикальные углы

Углы, стороны которых являются продолжением друг друга, называются вертикальными. В качестве такой пары могут выступать любые их разновидности. Вертикальные углы всегда равны между собой.

Они образуются при пересечении прямых. Совместно с ними всегда присутствуют и смежные углы. Угол может быть одновременно смежным для одного и вертикальным для другого.

При пересечении произвольной линией также рассматривают еще несколько видов углов. Такая линия называется секущей, она и образует соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Они равны между собой. Их можно рассматривать в свете свойств, которые имеют вертикальные и смежные углы.

Таким образом, тема углов представляется довольно простой и понятной. Все их свойства легко запомнить и доказать. Решение задач не представляется сложным до тех пор, пока углам соответствует числовое значение. Уже дальше, когда начнется изучение sin и cos, придется запоминать множество сложных формул, их выводов и следствий. А до того времени можно просто наслаждаться легкими задачками, в которых необходимо найти смежные углы.

по теме: Смежные и вертикальные углы, их свойства.

(3 занятия)

В результате изучения темы нужно:

УМЕТЬ:

Понятия: смежных и вертикальных углов, перпендикулярных прямых

Различать понятия смежные и вертикальные углы

Теоремы смежных и вертикальных углов

Решать задачи с использованием свойств смежных и вертикальных углов

Свойства смежных и вертикальных углов

Строить смежные и вертикальные углы, перпендикулярные прямые

ЛИТЕРАТУРА:

1. Геометрия. 7 класс. Ж. Кайдасов, Г. Досмагамбетова, В. Абдиев. Алматы «Мектеп». 2012

2. Геометрия. 7 класс. К.О.Букубаева, А.Т. Миразова. Алматы « Атамұра ». 2012

3. Геометрия. 7 класс. Методическое руководство. К.О.Букубаева. Алматы « Атамұра ». 2012

4. Геометрия. 7 класс. Дидактический материал. А.Н.Шыныбеков. Алматы « Атамұра ». 2012

5. Геометрия. 7 класс. Сборник задач и упражнений. К.О.Букубаева, А.Т.Миразова. Алматы « Атамұра ». 2012

Помни, что работать нужно по алгоритму!

Не забывай проходить проверку, делать пометки на полях,

Пожалуйста, не оставляй без ответа, возникшие у тебя вопросы.

Будь объективен во время взаимопроверки, это поможет и тебе, и тому,

кого ты проверяешь.

ЖЕЛАЮ УСПЕХА!

ЗАДАНИЕ №1.

    Прочитай определение и выучи (2б):

Определение. Углы, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются дополнительными лучами, называются смежными.

2) Выучи и запиши в тетрадь теорему: (2б)

Сумма смежных углов равна 180.

Дано:

∠ АОД и ∠ ДОВ –данные смежные углы

ОД — общая сторона

Доказать:

∠ АОД + ∠ ДОВ = 180

Доказательство:

На основе аксиомы III 4:

∠ АОД + ∠ ДОВ = ∠ АОВ.

∠ АОВ — развернутый. Следовательно,

∠ АОД + ∠ ДОВ = 180

Теорема доказана.

3) Из теоремы следует: (2б)

1) Если два угла равны, то смежные с ними углы равны;

2) если смежные углы равны, то градусная мера каждого из них равна 90°.

Запомни!

Угол, равный 90°, называется прямым углом.

Угол, меньше 90°, называется острым углом.

Угол, больше 90° и меньше 180°, называется тупым углом.

Прямой угол Острый угол Тупой угол

Так как сумма смежных углов равна 180°, то

1) угол, смежный с прямым углом, прямой;

2) угол, смежный с острым углом, тупой;

3) угол, смежный с тупым углом, острый.

4) Рассмотри образец решения з адачи:

а) Дано: ∠ h k и ∠ kl — смежные; ∠ h k больше ∠ kl на 50° .

Найти: ∠ h k и ∠ kl .

Решение: Пусть ∠ kl = х, тогда ∠ h k = х + 50°. По свойству о сумме смежных углов ∠ kl + ∠ h k = 180°.

х + х + 50° = 180°;

2х = 180° — 50°;

2х = 130°;

х = 65°.

∠ kl = 65°; ∠ h k = 65°+ 50° = 115°.

Ответ: 115° и 65°.

б) Пусть ∠ kl = х, тогда ∠ h k = 3х

х + 3х = 180°; 4х = 180°; х = 45°; ∠ kl = 45°; ∠ hk = 135°.

Ответ: 135° и 45°.

5) Работа с определением смежных углов: (2 б)

6) Найди ошибки в определениях: (2б)

Пройди проверку №1

Задание №2

1)Построй 2 смежных угла так, чтобы их общая сторона проходила через точку C и сторона одного из углов совпадала с лучом AB.(2б)

2). Практическая работа на открытие свойства смежных углов: (5б)

Ход работы

1. Построй угол смежный углу а , если а : острый, прямой, тупой.

2. Измерь величины углов.

3.Данные измерений занеси в таблицу.

4. Найди соотношение между величинами углов а и .

5. Сделай вывод о свойстве смежных углов.

Пройди проверку №2

Задание №3

    Начертите неразвернутый ∠ АОВ и назовите лучи, являющиеся сторонами этого угла.

    Проведите луч О, являющийся продолжение луча ОА, и луч ОД, являющийся продолжение луча ОВ.

    Запишите в тетради: углы ∠ АОВ и ∠ СОД называются вертикальными. (3б)

    Выучи и запиши в тетрадь: (4б)

Определение: Углы, у которых стороны одного из них являются дополнительными лучами другого, называются вертикальными углами.

1 и вертикальные углы

Лучи OF и OA , OC и OE являются попарно дополнительными лучами.

Теорема: Вертикальные углы равны.

Доказательство.

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Пусть прямые а и b пересекаются в точке О. ∠ 1 и ∠ 2 –вертикальные углы.

∠ АОС-развернутый, значит ∠ АОС= 180°. Однако ∠ 1+ ∠ 2= ∠ АОС, т. е.

∠ 3+ ∠ 1= 180°, отсюда имеем:

1= 180 — 3. (1)

Также имеем, что ∠ ДОВ= 180°, отсюда ∠ 2+ ∠ 3= 180°, или 2= 180°- 3. (2)

Так как в равенствах (1) и (2) прямые части равны, то ∠ 1= ∠ 2.

Теорема доказана.

5). Работа с определением вертикальных углов:(2б)

6) Найди ошибку в определении:(2б).

Пройди проверку №3

Задание №4

1)Практическая работа на открытие свойства вертикальных углов:(5б)

Ход работы:

1.Построй угол β вертикальный углу α , если α :

острый, прямой, тупой.

2.Измерь величины углов.

3.Данные измерений занеси в таблицу

4.Найди соотношение между величинами углов α и β.

5.Сделай вывод о свойстве вертикальных углов.

2)Доказательство свойств смежных и вертикальных углов. (3б)

2) Рассмотри образец решения з адачи.

Задача. Прямые АВ и СД пересекаются в точке О так, что ∠ AOД = 35°. Найдите углы АОС и ВОС.

Решение:

1) Углы АОД и АОС смежные, поэтому ∠ BOC = 180° — 35° = 145°.

2) Углы АОС и ВОС также смежные, поэтому ∠ BOC = 180° — 145° = 35°.

Значит, ∠ BOC = ∠ АОД = 35°, причем эти углы являются вертикальными. Вопрос: верно ли утверждение, что любые вертикальные углы равны?

3) Решение задач на готовых чертежах: (3б)

1. Найти углы АОВ, АОD, COD.

3) Найти углы BOC, FOA.: (3б)

3. Найди на рисунке смежные и вертикальные углы. Пусть известны величины двух углов, отмеченных на чертеже, 28? и 90?. Можно ли найти величины остальных углов, не выполняя измерений (2б)

Пройди проверку №4

Задание №5

Проверь свои знания, выполнив проверочную работу №1

Задание №6

1) Самостоятельно докажи свойства вертикальных углов и запиши эти доказательства в тетрадь. (3б)

Учащиеся самостоятельно, используя свойства вертикальных и смежных углов, должны обосновать тот факт, что если при пересечении двух прямых один из образовавшихся углов прямой, то остальные углы также прямые.

2) Реши на выбор две задачи:

1.Градусные меры смежных углов относятся как 7:2. Найдите эти углы.(2б)

2.Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в 11 раз меньше другого.Найдите каждый из углов.(3б)

3.Найдите смежные углы,если их разность и их сумма относятся как 2:9.(3б)

Задание №7

Молодец! Можешь приступать к проверочной работе №2.

Проверочная работа №1.

Реши на выбор любой из вариантов (10б)

Вариант 1

г)

Смежные

д) Начертите (на глаз) угол в 30° и ABC , смежный с данным

е) Какие углы называются вертикальными?

Два угла называются вертикальными, если орни равны.

ж) Из точки А провести две прямые, перпендикулярные прямой

а

Можно провести только одну прямую.

Вариант 2

1.Ученик, отвечая на вопросы учителя, дал соответствующие ответы. Проверьте, верны ли они, пометив в третьем столбике словом «ДА», «НЕТ», «НЕ ЗНАЮ». В случает «НЕТ» запишите там же верный ответ или добавьте недостающее.

Д)

Нет. Они вертикальные

Е) Какие прямые называются перпендикулярными?

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом

Ж) Начертите вертикальные углы так, чтобы их стороны были перпендикулярными прямыми.

2. Назовите вертикальные углы на данном рисунке.

Итого:10 баллов

«5»-10баллов;

«4»-8-9 баллов;

«3»-5-7 баллов.

Проверочная работа №2.

Реши на выбор любой вариант

Вариант I

    Найдите смежные углы, если их разность и их сумма относятся как 2:9. (4б)

    Найдите все неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если один из них на 240°, меньше суммы двух других. (6б)

Вариант II

1) Найдите смежные углы, если их разность и их сумма относятся как 5:8(4б)

2) Найдите все неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если один из них на 60°, больше суммы двух других.(6б)

Итого:10 баллов

«5»-10баллов;

«4»-8-9 баллов;

«3»-5-7 баллов.

Равна двум прямым углам.

Даны два смежных угла : АОВ и ВОС . Требуется доказать, что:

∠АОВ+∠ВОС= d+ d = 2d

Восставим из точки О к прямой АС перпендикуляр OD . Мы разделили угол АОВ на две части AOD и DOB так, что можно написать:

∠AO B = AO D+∠ D OB

Прибавим к обеим частям этого равенства по одному и тому же углу BOС , отчего равенство не нарушится:

AO B + BO С = ∠ AOD + D OB + BO С

Так как сумма D OB + BOС составляет прямой угол DO С , то

AO B+ BO С = AO D + DO С = d + d = 2 d,

что и требовалось доказать.

Следствия .

1. Сумма углов (AO B, BOС , СOD , DOE ), расположенных вокруг общей вершины (O ) по одну сторону прямой (AE ) равна 2 d = 180 0 , потому что эта сумма составляет сумму двух смежных углов , например таких: АОС + СОЕ

2. Сумма углов , расположенных вокруг общей вершины (O ) по обе стороны какой-нибудь прямой равна 4 d=360 0 ,

Обратная теорема.

Если сумма двух углов , имеющих общую вершину и общую сторону и не покрывающих друг друга, равна двум прямым углам (2d), то такие углы — смежные , т.е. две другие их стороны составляют прямую линию .

Если из одной точки (O) прямой (AB) восстановить к ней, по каждую ее сторону, перпендикуляры, то эти перпендикуляры образуют одну прямую (СD). Из всякой точки вне прямой можно опустить на эту прямую перпендикуляр и притом только один. С D .

Два угла называются вертикальными , если стороны одного составляют продолжение сторон другого.

Так, при пересечении двух прямых AB и С D образуются две пары вертикальных углов: AO D и СOB ; AOС и D OB .

Теорема.

Два вертикальных угла равны.

Пусть даны два вертикальных угла: AOD и С OB т.е. OB есть продолжение OA , а O С продолжение OD .

Требуется доказать, что AOD = С OB.

По свойству смежных углов можем написать:

AO D + D OB = 2 d

DOB + BOС = 2d

Значит: AOD + DOB = DOB + BOС.

Если вычесть из обеих частей этого равенства по углу D OB , получим:

AO D = BOС , что и требовалось доказать.

Аналогично докажем, что AOС = D OB .

Смежные и вертикальные углы. Их свойства

1. Смежные углы.

Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (рис. 72): ∠АВС и ∠СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие, АВ и ВD, составляют прямую линию.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.

Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.

Например, ∠АDF и ∠FDВ — углы смежные (рис. 73).

Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (рис. 74).

Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 180°

Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.

Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.

Например, если один из смежных углов равен 54°, то второй угол будет равен:

180° — 54° = l26°.

2. Вертикальные углы.

Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На рисунке 75 углы EOF и АОС- вертикальные; углы АОЕ и СОF — также вертикальные.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

Пусть ∠1 = \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°(рис. 76). Смежный с ним ∠2 будет равен 180° — \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°, т. е. 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90°.

Таким же образом можно вычислить, чему равны ∠3 и ∠4.

∠3 = 180° — 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90° = \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° — \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90° = 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90° (рис. 77).

Мы видим, что ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4.

Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.

Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.

Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём доказательства.

Доказательство можно провести следующим образом (рис. 78):

a + c = 180°;

b + c = 180°;

(так как сумма смежных углов равна 180°).

a + c = ∠b + c

(так как и левая часть этого равенства равна 180°, и правая его часть тоже равна 180°).

В это равенство входит один и тот же угол с .

Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится: a = ∠b , т. е. вертикальные углы равны между собой.

3. Сумма углов, имеющих общую вершину.

На чертеже 79 ∠1, ∠2, ∠3 и ∠4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

На чертеже 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 и ∠5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Другие материалы

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

Сумма смежных углов равна 180°

Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Вертикальные углы равны

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

АН — перпендикуляр к прямой

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Чертежный угольник

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны.

Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».

Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

Решение. Обозначим градусную меру другого угла через x , тогда согласно теореме 1.
44° + х = 180°.
Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.

Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

Решение. Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.
∠ АОС = 180° — ∠ COD = 180° — 45° = 135°.

Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.
Значит, смежные углы равны 45° и 135°.

Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180° — 50° = 130°.

Геометрия — это весьма многогранная наука. Она развивает логику, воображение и интеллект. Конечно, из-за своей сложности и огромного количества теорем и аксиом, она не всегда нравится школьникам. Кроме этого, существует необходимость постоянно доказывать свои выводы, используя общепринятые стандарты и правила.

Смежные и вертикальные углы — это неотъемлемая составляющая геометрии. Наверняка многие школьники просто обожают их по той причине, что их свойства понятны и просты в доказательстве.

Образование углов

Любой угол образуется путем пересечения двух прямых или проведения двух лучей из одной точки. Они могут называться либо одной буквой, либо тремя, которые последовательно обозначают точки построения угла.

Углы измеряются в градусах и могут (в зависимости от их значения) по-разному называться. Так, существует прямой угол, острый, тупой и развернутый. Каждому из названий соответствует определенная градусная мера или ее промежуток.

Острым называется угол, мера которого не превышает 90 градусов.

Тупым является угол, превышающий 90 градусов.

Угол называется прямым в том случае, когда его градусная мера равна 90.

В том случае, когда он образован одной сплошной прямой, и его градусная мера равна 180, его называют развернутым.

Углы, имеющие общую сторону, вторая сторона которых продолжает друг друга, называются смежными. Они могут быть как острыми, так и тупыми. Пересечение линией образует смежные углы. Свойства их следующие:

  1. Сумма таких углов будет равна 180 градусам (существует теорема, доказывающая это). Поэтому можно легко вычислить один из них, если известен другой.
  2. Из первого пункта следует, что смежные углы не могут быть образованы двумя тупыми или двумя острыми углами.

Благодаря этим свойствам, можно всегда вычислить градусную меру угла, имея значение другого угла или, по крайней мере, отношение между ними.

Вертикальные углы

Углы, стороны которых являются продолжением друг друга, называются вертикальными. В качестве такой пары могут выступать любые их разновидности. Вертикальные углы всегда равны между собой.

Они образуются при пересечении прямых. Совместно с ними всегда присутствуют и смежные углы. Угол может быть одновременно смежным для одного и вертикальным для другого.

При пересечении произвольной линией также рассматривают еще несколько видов углов. Такая линия называется секущей, она и образует соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Они равны между собой. Их можно рассматривать в свете свойств, которые имеют вертикальные и смежные углы.

Таким образом, тема углов представляется довольно простой и понятной. Все их свойства легко запомнить и доказать. Решение задач не представляется сложным до тех пор, пока углам соответствует числовое значение. Уже дальше, когда начнется изучение sin и cos, придется запоминать множество сложных формул, их выводов и следствий. А до того времени можно просто наслаждаться легкими задачками, в которых необходимо найти смежные углы.

Смежные углы – два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой.

Сумма смежных углов равна 180°

Вертикальные углы — это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжение сторон другого.

Вертикальные углы равны.

2. Признаки равенства треугольников:

I признак : Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

II признак : Если стороны и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

III признак : Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

3. Признаки параллельности двух прямых: односторонние углы, накрест лежащие и соответственные:

Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.

Накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

Односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6; рис. Стр55

Соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;

Теорема : Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Теорема : Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Теорема : Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Теорема : если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны

Теорема : если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны

Теорема : если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°

4. Сумма углов треугольника:

Сумма углов треугольника равна 180°

5. Свойства равнобедренного треугольника:

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теорема: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, являетсямедианой и высотой (медиана наоборот), (биссектриса делит угол пополам, медиана делит сторону пополам, высота образует угол 90°)

Признак: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

6. Прямоугольный треугольник:

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90 градусов)

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета

1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°

2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы

3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°

7.

Сумма углов четырёхугольника равна 2 π = 360°.

Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, сумма противоположных углов равна 180°

10. Признаки подобия треугольников:

I признак : если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны

II признак : если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

III признак : если три стороны одного треугольника порциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны

11. Формулы:

· Теорема Пифагора: a 2 +b 2 =c 2

· Теорема sin:

· Теорема cos:

· 3 формулы площади треугольника:

· Площадь прямоугольного треугольника: S= S=

· Площадь равностороннего треугольника:

· Площадь параллелограмма: S = ah

· Площадь квадрата: S = a2

· Площадь трапеции:

· Площадь ромба:

· Площадь прямоугольника: S=ab

· Равносторонний треугольник. Высота: h=

· Тригонометрическая единица: sin 2 a+cos 2 a=1

· Средняя линия треугольника: S=

· Средняя линия трапеции : МК=

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-12

по теме: Смежные и вертикальные углы, их свойства.

(3 занятия)

В результате изучения темы нужно:

УМЕТЬ:

Понятия: смежных и вертикальных углов, перпендикулярных прямых

Различать понятия смежные и вертикальные углы

Теоремы смежных и вертикальных углов

Решать задачи с использованием свойств смежных и вертикальных углов

Свойства смежных и вертикальных углов

Строить смежные и вертикальные углы, перпендикулярные прямые

ЛИТЕРАТУРА:

1. Геометрия. 7 класс. Ж. Кайдасов, Г. Досмагамбетова, В. Абдиев. Алматы «Мектеп». 2012

2. Геометрия. 7 класс. К.О.Букубаева, А.Т. Миразова. Алматы « Атамұра ». 2012

3. Геометрия. 7 класс. Методическое руководство. К.О.Букубаева. Алматы « Атамұра ». 2012

4. Геометрия. 7 класс. Дидактический материал. А.Н.Шыныбеков. Алматы « Атамұра ». 2012

5. Геометрия. 7 класс. Сборник задач и упражнений. К.О.Букубаева, А.Т.Миразова. Алматы « Атамұра ». 2012

Помни, что работать нужно по алгоритму!

Не забывай проходить проверку, делать пометки на полях,

Пожалуйста, не оставляй без ответа, возникшие у тебя вопросы.

Будь объективен во время взаимопроверки, это поможет и тебе, и тому,

кого ты проверяешь.

ЖЕЛАЮ УСПЕХА!

ЗАДАНИЕ №1.

    Прочитай определение и выучи (2б):

Определение. Углы, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются дополнительными лучами, называются смежными.

2) Выучи и запиши в тетрадь теорему: (2б)

Сумма смежных углов равна 180.

Дано:

∠ АОД и ∠ ДОВ –данные смежные углы

ОД — общая сторона

Доказать:

∠ АОД + ∠ ДОВ = 180

Доказательство:

На основе аксиомы III 4:

∠ АОД + ∠ ДОВ = ∠ АОВ.

∠ АОВ — развернутый. Следовательно,

∠ АОД + ∠ ДОВ = 180

Теорема доказана.

3) Из теоремы следует: (2б)

1) Если два угла равны, то смежные с ними углы равны;

2) если смежные углы равны, то градусная мера каждого из них равна 90°.

Запомни!

Угол, равный 90°, называется прямым углом.

Угол, меньше 90°, называется острым углом.

Угол, больше 90° и меньше 180°, называется тупым углом.

Прямой угол Острый угол Тупой угол

Так как сумма смежных углов равна 180°, то

1) угол, смежный с прямым углом, прямой;

2) угол, смежный с острым углом, тупой;

3) угол, смежный с тупым углом, острый.

4) Рассмотри образец решения з адачи:

а) Дано: ∠ h k и ∠ kl — смежные; ∠ h k больше ∠ kl на 50° .

Найти: ∠ h k и ∠ kl .

Решение: Пусть ∠ kl = х, тогда ∠ h k = х + 50°. По свойству о сумме смежных углов ∠ kl + ∠ h k = 180°.

х + х + 50° = 180°;

2х = 180° — 50°;

2х = 130°;

х = 65°.

∠ kl = 65°; ∠ h k = 65°+ 50° = 115°.

Ответ: 115° и 65°.

б) Пусть ∠ kl = х, тогда ∠ h k = 3х

х + 3х = 180°; 4х = 180°; х = 45°; ∠ kl = 45°; ∠ hk = 135°.

Ответ: 135° и 45°.

5) Работа с определением смежных углов: (2 б)

6) Найди ошибки в определениях: (2б)

Пройди проверку №1

Задание №2

1)Построй 2 смежных угла так, чтобы их общая сторона проходила через точку C и сторона одного из углов совпадала с лучом AB.(2б)

2). Практическая работа на открытие свойства смежных углов: (5б)

Ход работы

1. Построй угол смежный углу а , если а : острый, прямой, тупой.

2. Измерь величины углов.

3.Данные измерений занеси в таблицу.

4. Найди соотношение между величинами углов а и .

5. Сделай вывод о свойстве смежных углов.

Пройди проверку №2

Задание №3

    Начертите неразвернутый ∠ АОВ и назовите лучи, являющиеся сторонами этого угла.

    Проведите луч О, являющийся продолжение луча ОА, и луч ОД, являющийся продолжение луча ОВ.

    Запишите в тетради: углы ∠ АОВ и ∠ СОД называются вертикальными. (3б)

    Выучи и запиши в тетрадь: (4б)

Определение: Углы, у которых стороны одного из них являются дополнительными лучами другого, называются вертикальными углами.

1 и вертикальные углы

Лучи OF и OA , OC и OE являются попарно дополнительными лучами.

Теорема: Вертикальные углы равны.

Доказательство.

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Пусть прямые а и b пересекаются в точке О. ∠ 1 и ∠ 2 –вертикальные углы.

∠ АОС-развернутый, значит ∠ АОС= 180°. Однако ∠ 1+ ∠ 2= ∠ АОС, т.е.

∠ 3+ ∠ 1= 180°, отсюда имеем:

1= 180 — 3. (1)

Также имеем, что ∠ ДОВ= 180°, отсюда ∠ 2+ ∠ 3= 180°, или 2= 180°- 3. (2)

Так как в равенствах (1) и (2) прямые части равны, то ∠ 1= ∠ 2.

Теорема доказана.

5). Работа с определением вертикальных углов:(2б)

6) Найди ошибку в определении:(2б).

Пройди проверку №3

Задание №4

1)Практическая работа на открытие свойства вертикальных углов:(5б)

Ход работы:

1.Построй угол β вертикальный углу α , если α :

острый, прямой, тупой.

2.Измерь величины углов.

3.Данные измерений занеси в таблицу

4. Найди соотношение между величинами углов α и β.

5.Сделай вывод о свойстве вертикальных углов.

2)Доказательство свойств смежных и вертикальных углов. (3б)

2) Рассмотри образец решения з адачи.

Задача. Прямые АВ и СД пересекаются в точке О так, что ∠ AOД = 35°. Найдите углы АОС и ВОС.

Решение:

1) Углы АОД и АОС смежные, поэтому ∠ BOC = 180° — 35° = 145°.

2) Углы АОС и ВОС также смежные, поэтому ∠ BOC = 180° — 145° = 35°.

Значит, ∠ BOC = ∠ АОД = 35°, причем эти углы являются вертикальными. Вопрос: верно ли утверждение, что любые вертикальные углы равны?

3) Решение задач на готовых чертежах: (3б)

1. Найти углы АОВ, АОD, COD.

3) Найти углы BOC, FOA.: (3б)

3. Найди на рисунке смежные и вертикальные углы. Пусть известны величины двух углов, отмеченных на чертеже, 28? и 90?. Можно ли найти величины остальных углов, не выполняя измерений (2б)

Пройди проверку №4

Задание №5

Проверь свои знания, выполнив проверочную работу №1

Задание №6

1) Самостоятельно докажи свойства вертикальных углов и запиши эти доказательства в тетрадь. (3б)

Учащиеся самостоятельно, используя свойства вертикальных и смежных углов, должны обосновать тот факт, что если при пересечении двух прямых один из образовавшихся углов прямой, то остальные углы также прямые.

2) Реши на выбор две задачи:

1.Градусные меры смежных углов относятся как 7:2. Найдите эти углы.(2б)

2.Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в 11 раз меньше другого.Найдите каждый из углов.(3б)

3.Найдите смежные углы,если их разность и их сумма относятся как 2:9.(3б)

Задание №7

Молодец! Можешь приступать к проверочной работе №2.

Проверочная работа №1.

Реши на выбор любой из вариантов (10б)

Вариант 1

г)

Смежные

д) Начертите (на глаз) угол в 30° и ABC , смежный с данным

е) Какие углы называются вертикальными?

Два угла называются вертикальными, если орни равны.

ж) Из точки А провести две прямые, перпендикулярные прямой

а

Можно провести только одну прямую.

Вариант 2

1.Ученик, отвечая на вопросы учителя, дал соответствующие ответы. Проверьте, верны ли они, пометив в третьем столбике словом «ДА», «НЕТ», «НЕ ЗНАЮ». В случает «НЕТ» запишите там же верный ответ или добавьте недостающее.

Д)

Нет. Они вертикальные

Е) Какие прямые называются перпендикулярными?

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом

Ж) Начертите вертикальные углы так, чтобы их стороны были перпендикулярными прямыми.

2. Назовите вертикальные углы на данном рисунке.

Итого:10 баллов

«5»-10баллов;

«4»-8-9 баллов;

«3»-5-7 баллов.

Проверочная работа №2.

Реши на выбор любой вариант

Вариант I

    Найдите смежные углы, если их разность и их сумма относятся как 2:9. (4б)

    Найдите все неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если один из них на 240°, меньше суммы двух других. (6б)

Вариант II

1) Найдите смежные углы, если их разность и их сумма относятся как 5:8(4б)

2) Найдите все неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если один из них на 60°, больше суммы двух других.(6б)

Итого:10 баллов

«5»-10баллов;

«4»-8-9 баллов;

«3»-5-7 баллов.

Угол 1 и угол 3 смежные. Что такое смежные углы

угол до развернутого, то есть равного 180°, поэтому для их нахождения вычтите из этого известную величину основного угла α₁ = α₂ = 180°-α.

Из этого имеются . Если два угла одновременно являются и смежными, и равными, то они прямые. Если один из смежных углов является прямым, то есть составляет 90 градусов, то другой угол тоже прямой. Если один из смежных углов острый, то другой будет тупым. Аналогично, если один из углов тупой, то второй, соответственно, будет острым.

Острый угол – это такой, градусная мера которого меньше 90 градусов, но больше 0. Тупой угол имеет градусную меру больше 90 градусов, но меньше 180.

Другое свойство смежных углов формулируется так: если два угла равны, то углы, смежные с ними, также равны. Это , что если есть два угла, градусная мера для которых совпадает (например, она составляет 50 градусов) и при этом из них имеет смежный угол, то значения этих смежных углов тоже совпадают (в примере их градусная мера будет равна 130 градусам).

Источники:

Слово « » имеет различные толкования. В геометрии угол – это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки – вершины. Когда речь идет о прямых, острых, развернутых углах, то подразумеваются именно геометрические углы.

Как и любые фигуры в геометрии, углы можно сравнивать. Равенство углов определяется с помощью движения. Угол нетрудно разделить на две равные части. Разделить на три части немного сложнее, но все же это можно сделать с помощью линейки и циркуля. Кстати, эта задача казалась довольно трудной. Описать, что один угол больше или меньше другого, геометрически несложно.

В качестве единицы измерения углов принят – 1/180

    Два угла размещнные на одной прямой и имеющие одну вершину называются смежными.

    Иначе — если сумма двух углов на одной прямой равна 180 градусам и одна сторона у них общая, то это смежные углы.

    1 смежный угол + 1 смежный угол = 180 градусов.

    Смежные углы -это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны в целом образуют прямую линию.

    Сумма двух смежных углов всегда равна 180 градусам. К примеру, если один угол 60 градусов, то второй обязательно будет равен 120 градусам (180-60).

    Углы АОС и ВОС являются смежными углами, потому что соблюдается все условия характеристики смежных углов:

    1.ОС -общая сторона двух углов

    2.АО -сторона угла АОС, ОВ -сторона угла ВОС. Вместе эти стороны образуют прямую линию АОВ.

    3.Угла два и сумма их равна 180 градусов.

    Вспоминая школьный курс геометрии, про смежные углы мы можем сказать следующее:

    у смежных углов — одна сторона общая, а другие две стороны принадлежат одной прямой, то есть находятся на одной прямой. Если по рисунку, то углы СОВ и ВОА — это смежные углы, сумма которых всегда равна 180 , так как они разделяют развернутый угол, а развернутый угол всегда равен 180 .

    Смежные углы понятие легкое в геометрии. Смежные углы, угол плюс угол дают 180 градусов в общей сумме.

    Два смежных угла — это будет один развернутый угол.

    Есть еще несколько свойств. Со смежными углами задачи решать и теоремы доказывать легко.

    Смежные углы образуются при проведении луча из произвольной точки прямой. Тогда эта произвольная точка оказывается вершиной угла, луч — общей стороной смежных углов, а прямая от которой проведен луч — двумя оставшимися сторонами смежных углов. Смежные углы могут быть как одинаковыми в случае перпендикуляра, так и отличатся при наклонном луче. Легко понять, что сумма смежных углов равна 180 градусов или попросту прямой линии. По другому этот угол можно объяснить простым примером — вы сперва шли в одном направлении по прямой, потом передумали, решили вернуться назад и развернувшись на 180 градусов отправились по той же прямой в обратном направлении.

    Итак, что же такое смежный угол? Определение:

    Смежными называются два угла с общей вершиной и одной общей стороной, причем две другие стороны этих углов лежат на одной прямой.

    И небольшой видео урок, где толково показано про смежные углы, вертикальные углы, плюс про перпендикулярные прямые, которые являются частным случаем смежных и вертикальных углов

    Смежные углы — это углы, у которых одна сторона общая, а вторая является одной линией.

    Смежные углы — это углы, зависящие друг от друга. То есть если общую строну слегка повернуть, то один угол уменьшится на сколько-то градусов и автоматически второй угол увеличится на столько же градусов. Это свойство смежных углов позволяет в Геометрии решать различные задачи и осуществлять доказательства различных теорем.

    Общая же сумма смежных углов всегда равна 180 градусов.

    Из курса геометрии, (насколько я помню за 6 класс) смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными лучами, сумма смежных углов равна 180. Каждый из двух смежных углов, дополняет другой до развернутого угла. Пример смежных углов:

    Смежные углы это два угла с общей вершиной, одна из сторон которых общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна ста восьмидесяти градусам. А вообще все это очень легко находится в гугле или учебнике геометрии.

1. Смежные углы.

Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (рис. 72): ∠АВС и ∠СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие, АВ и ВD, составляют прямую линию.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.

Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.

Например, ∠АDF и ∠FDВ — углы смежные (рис. 73).

Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (рис. 74).

Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 180°

Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.

Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.

Например, если один из смежных углов равен 54°, то второй угол будет равен:

180° — 54° = l26°.

2. Вертикальные углы.

Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На рисунке 75 углы EOF и АОС- вертикальные; углы АОЕ и СОF — также вертикальные.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

Пусть ∠1 = \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°(рис. 76). Смежный с ним ∠2 будет равен 180° — \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°, т. е. 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90°.

Таким же образом можно вычислить, чему равны ∠3 и ∠4.

∠3 = 180° — 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90° = \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° — \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90° = 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90° (рис. 77).

Мы видим, что ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4.

Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.

Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.

Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём доказательства.

Доказательство можно провести следующим образом (рис. 78):

a + c = 180°;

b + c = 180°;

(так как сумма смежных углов равна 180°).

a + c = ∠b + c

(так как и левая часть этого равенства равна 180°, и правая его часть тоже равна 180°).

В это равенство входит один и тот же угол с .

Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится: a = ∠b , т. е. вертикальные углы равны между собой.

3. Сумма углов, имеющих общую вершину.

На чертеже 79 ∠1, ∠2, ∠3 и ∠4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

На чертеже 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 и ∠5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Другие материалы

Геометрия — это весьма многогранная наука. Она развивает логику, воображение и интеллект. Конечно, из-за своей сложности и огромного количества теорем и аксиом, она не всегда нравится школьникам. Кроме этого, существует необходимость постоянно доказывать свои выводы, используя общепринятые стандарты и правила.

Смежные и вертикальные углы — это неотъемлемая составляющая геометрии. Наверняка многие школьники просто обожают их по той причине, что их свойства понятны и просты в доказательстве.

Образование углов

Любой угол образуется путем пересечения двух прямых или проведения двух лучей из одной точки. Они могут называться либо одной буквой, либо тремя, которые последовательно обозначают точки построения угла.

Углы измеряются в градусах и могут (в зависимости от их значения) по-разному называться. Так, существует прямой угол, острый, тупой и развернутый. Каждому из названий соответствует определенная градусная мера или ее промежуток.

Острым называется угол, мера которого не превышает 90 градусов.

Тупым является угол, превышающий 90 градусов.

Угол называется прямым в том случае, когда его градусная мера равна 90.

В том случае, когда он образован одной сплошной прямой, и его градусная мера равна 180, его называют развернутым.

Углы, имеющие общую сторону, вторая сторона которых продолжает друг друга, называются смежными. Они могут быть как острыми, так и тупыми. Пересечение линией образует смежные углы. Свойства их следующие:

  1. Сумма таких углов будет равна 180 градусам (существует теорема, доказывающая это). Поэтому можно легко вычислить один из них, если известен другой.
  2. Из первого пункта следует, что смежные углы не могут быть образованы двумя тупыми или двумя острыми углами.

Благодаря этим свойствам, можно всегда вычислить градусную меру угла, имея значение другого угла или, по крайней мере, отношение между ними.

Вертикальные углы

Углы, стороны которых являются продолжением друг друга, называются вертикальными. В качестве такой пары могут выступать любые их разновидности. Вертикальные углы всегда равны между собой.

Они образуются при пересечении прямых. Совместно с ними всегда присутствуют и смежные углы. Угол может быть одновременно смежным для одного и вертикальным для другого.

При пересечении произвольной линией также рассматривают еще несколько видов углов. Такая линия называется секущей, она и образует соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Они равны между собой. Их можно рассматривать в свете свойств, которые имеют вертикальные и смежные углы.

Таким образом, тема углов представляется довольно простой и понятной. Все их свойства легко запомнить и доказать. Решение задач не представляется сложным до тех пор, пока углам соответствует числовое значение. Уже дальше, когда начнется изучение sin и cos, придется запоминать множество сложных формул, их выводов и следствий. А до того времени можно просто наслаждаться легкими задачками, в которых необходимо найти смежные углы.

В процессе изучения курса геометрии понятия “угол”, “вертикальные углы”, “смежные углы” встречаются достаточно часто. Понимание каждого из терминов поможет разобраться в поставленной задаче и правильно ее решить. Что такое смежные углы и как их определять?

Смежные углы – определение понятия

Термин “смежные углы” характеризует два угла, образованных общим лучом и двумя дополнительными полупрямыми, лежащими на одной прямой. Все три луча выходят из одной точки. Общая полупрямая является одновременно стороной как одного, так и второго угла.

Смежные углы – основные свойства

1. Исходя из формулировки смежных углов, нетрудно заметить, что сумма таких углов всегда образует развернутый угол, градусная мера которого равна 180°:

  • Если μ и η являются смежными углами, то μ + η = 180°.
  • Зная величину одного из смежных углов (например, μ), можно легко вычислить градусную меру второго угла (η), используя выражение η = 180° – μ.

2. Данное свойство углов позволяет сделать следующий вывод: угол, являющийся смежным прямому углу, также будет прямым.

3. Рассматривая тригонометрический функции (sin, cos, tg, ctg), основываясь на формулах приведения для смежных углов μ и η справедливо следующее:

  • sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
  • cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
  • tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
  • ctgη = ctg(180° – μ) = -ctgμ.


Смежные углы – примеры

Пример 1

Задан треугольник с вершинами M, P, Q – ΔMPQ. Найти углы, смежные углам ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

  • Продлим каждую из сторон треугольника прямой.
  • Зная о том, что смежные углы дополняют друг друга до развернутого угла, выясняем, что:

смежным для угла ∠QMP будет ∠LMP,

смежным для угла ∠MPQ будет ∠SPQ,

смежным для угла ∠PQM будет ∠HQP.


Пример 2

Величина одного смежного угла составляет 35°. Чему равна градусная мера второго смежного угла?

  • Два смежных угла в сумме образуют 180°.
  • Если ∠μ = 35°, то смежный ему ∠η = 180° – 35° = 145°.

Пример 3

Определить величины смежных углов, если известно, что градусная мера одного из низ втрое больше градусной меры другого угла.

  • Обозначим величину одного (меньшего) угла через – ∠μ = λ.
  • Тогда, согласно условию задачи, величина второго угла будет равна ∠η = 3λ.
  • Исходя из основного свойства смежных углов, μ + η = 180° следует

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Значит первый один угол ∠μ = λ = 45°, а второй угол ∠η = 3λ = 135°.


Умение апеллировать терминологией, а также знание основных свойств смежных углов поможет справиться с решением многих геометрических задач.

КСП «Смежные углы»

Работа в группах: задание в конвертах  для групп.

ФО  проходит в виде выдачи положительных смайликов.

 

2.Изучение нового материала

 

К вашим знаниям об углах сегодня уже  добавились еще два вида:

вертикальные и смежные углы. Сегодня мы определим свойства этих углов.

Задание в конвертах для каждой группы: группа №1 смежные углы, группа №2 вертикальные углы. Представитель из микрогруппы защищает свое задание у доски. Производится взаимооценивание.

Задание группы Смежные углы.

Вывод свойства смежных углов.

1.       Сколько углов изображено на рисунке? Какие это углы?  (А)

2.       Существует ли какая-нибудь взаимосвязь между этими углами? (Вспомните свойство сложения углов).(В)

 

3. Учащиеся Сумма смежных углов    равна ……. . (С)

Дано: ÐAOC и ÐBOC – смежные.

Доказать: ÐAOC + ÐBOC = 180°.

Доказательство. 1) Так как ÐAOC и ÐBOC – ………, то лучи ОА и ОВ – противоположные, то есть, ÐAOB – ……………, следовательно, ÐAOB = ……. .

2) Луч OC проходит между сторонами ÐAOB, значит, ÐAOC + ÐBOC = ÐAOB = 180°

Задание группы Вертикальные углы.

Вывод свойства вертикальных углов.

1. Найдите    вертикальные углы (А).

2. Постройте вертикальный угол. Измерьте градусную меру всех получившихся углов (В).

3.Вывод свойства вертикальных углов (С).

Теорема. Вертикальные углы ……….. .

Дано: ÐAOD и ÐCOB –вертикальные углы.

Доказать: ÐAOD=ÐCOB

Доказательство. ÐAOD и ÐCOB –……………  ÐAOB. По свойству смежных углов: ÐAOB + ÐAOD = …….. .

и ÐCOВ + ÐAOD = …………. .Имеем: ÐAOB = 180°ÐAOD и ÐCOD = 180°ÐAOD, значит, ÐAOB ……….. ÐCOD .

Физминутка «Музыкальная»

Решение задач на применение свойств вертикальных и смежных углов.

Задания для взаимопроверки. Учащимся группы Смежные углы, даются задания на применение свойств вертикальных углов, а учащимся из группы Вертикальные углы, даются задачи на применение свойств смежных углов. Затем спикеры от каждой группы идут в другие группы и проверяют решение.

Задачи для группы  Смежные углы.

Задача №1  Найдите неизвестный угол. (А)

Дескрипторы:

-определяет вид угла.

-применяет свойства вертикальных углов.

-находит неизвестный угол.

Задача №2 Найдите Ð1 и   Ð2 (В).

   

Дескрипторы:

-определяет вид угла.

-применяет свойства вертикальных углов.

-находит неизвестный угол, на основании  данных задачи.

Задача №3 Решите задачу, оформив ее.  

Найдите величину каждого из двух вертикальных углов, если их сумма равна 98°.

Дескрипторы:

-применяет свойства вертикальных углов.

-находит неизвестный угол, на основании  данных задачи.

-оформляет решение задачи.

 

         Задачи для группы  Вертикальные углы

Задача №1. Найдите неизвестный угол. (А)

 

 

Дескрипторы:

-определяет вид угла.

-применяет свойства смежных углов.

-находит неизвестный угол.

Задача №2 Найдите Ð1 и   Ð2 (В).

 

 

Дескрипторы:

-определяет вид угла.

-применяет свойства смежных углов.

-находит неизвестный угол, на основании  данных задачи.

Задача №3 Решите задачу, оформив ее.   (С)

Чему равны смежные углы, если один из них на 30 ° больше другого?

Дескрипторы:

-применяет свойства вертикальных углов.

-находит неизвестный угол, на основании  данных задачи.

-оформляет решение задачи.

 

Что такое смежные углы? | Определение и примеры

Смежные углы — важное понятие для понимания в математике. Они являются ключевым понятием в геометрии и обычно вводятся в математике 4-го класса. Несмотря на то, что дети изучают углы на математических курсах на протяжении всего обучения в школе, часто бывает трудно понять эту концепцию. Если вашему ребенку трудно понять не только углы, но и любые другие понятия в математике, вы можете подумать о курсах репетиторства.

Чтобы помочь вам или вашему ребенку в вашем путешествии к пониманию углов, мы составили это небольшое руководство, которое проведет вас по ключевым понятиям, определениям и часто задаваемым вопросам, касающимся смежных углов.

Нужна помощь с домашним заданием?

Определение смежных углов

Смежные углы — это два угла, которые имеют общую сторону и общую вершину (угловую точку), но никак не пересекаются. Когда вы разбиваете фразу на смежные углы, становится легко визуализировать, что это такое; это два угла, которые находятся рядом друг с другом.

 

Как определить смежные углы?

Способность идентифицировать общую сторону и общую вершину — самый простой способ идентифицировать смежный угол.Если два угла имеют одну сторону и оба исходят из одной точки угла (вершины), то они являются смежными углами.

Важно помнить, что смежных угла должны иметь ОБЕ общую сторону и общую вершину . Поэтому, если вы видите два угла, которые выходят из одного угла, но есть другой угол посередине, это означает, что у них нет общих сторон. Это означает, что они не являются смежными углами, поскольку у них нет общих сторон и вершин.

С практикой становится легче определять смежные углы, а примеры помогут вам понять, что вы ищете.

 

В чем разница между вертикальным и смежным углами?

Определение разницы между соседними углами и вертикальными углами является важным навыком в геометрии. Лучший способ визуализировать разницу между этими двумя типами углов — представить две прямые линии, пересекающиеся друг с другом, образуя крест.

При формировании креста образуются четыре угла. Мы знаем, как определить смежные углы, потому что они имеют общую сторону и общую вершину.Но как определить вертикальный угол? Определить вертикальный угол так же просто, как найти смежный угол. Подобно соседним углам, набор вертикальных углов будет иметь общую точку вершины. Однако им не обязательно иметь общую сторону.

Когда мы думаем о кресте, вертикальные углы — это углы, которые противоположны друг другу. Вот почему их иногда называют вертикально противоположными углами .

 

Какими свойствами обладают смежные углы?

Чтобы еще больше помочь вам визуализировать, как выглядят смежные углы, вот краткий список их свойств:

  1. Они имеют общую сторону
  2. Они имеют общую вершину
  3. Углы не перекрываются
  4. Хотя они имеют общую сторону в центре, другая сторона не является общей
  5. У них нет общей внутренней точки
  6. Они могут быть дополнительными или дополнительными

 

Каковы примеры смежных углов?

 

Линейная пара

Чтобы понять, как выглядит линейная пара, нужно представить себе крест. При пересечении двух прямых образуются четыре угла.

Если вы посмотрите на картинку справа, то увидите, что есть четыре угла, обозначенных цифрами 1, 2, 3 и 4. На этом изображении линейные углы равны 1 и 3, 3 и 2, 2 и 4. , 4 и 1.

Вы можете трижды проверить, что два угла являются линейной парой, посмотрев, составляют ли они в сумме 180 градусов. Все линейные пары углов являются дополнительными, поэтому сумма всегда дает 180 градусов . Если углы смежные и в сумме дают 180 градусов, можно с уверенностью утверждать, что они представляют собой линейную пару смежных углов.

 

Вертикально противоположные углы

Вертикально противоположные углы технически не являются смежными углами, но там, где вы найдете смежные углы, вы, вероятно, также найдете некоторые вертикально противоположные углы.

Вертикальные углы уже были изучены, но для уточнения, вертикальные углы имеют одну и ту же вершину, но не имеют общих сторон. Если мы возьмем приведенную выше картинку, 3 и 4 и 1 и 2 считаются вертикально противоположными углами.

Ключевое свойство противоположных по вертикали углов состоит в том, что они измеряют в точности одно и то же .Например, если угол 1 равен 30 градусам, угол 2 также будет равен 30 градусам.

 

Часто задаваемые вопросы

1. Что такое смежные углы?

Проще говоря, смежные углы — это углы, имеющие общую сторону и общую вершину (угловую точку).

 

2. Смежные углы равны 180?

В некоторых случаях это ВЕРНО! Дополнительные смежные углы всегда дают в сумме 180. Это потому, что два угла расположены рядом друг с другом на прямой линии, а сумма всех углов на прямой составляет 180.

Однако, если смежные углы не являются линейными парами, а другой угол находится в смеси, сумма двух смежных углов не будет равна 180.

 

3. Могут ли вертикальные углы быть смежными?

Поскольку вертикальные и смежные углы часто могут существовать вместе на небольшой площади, многие люди считают, что вертикальные углы также могут быть смежными углами. Это ЛОЖЬ. Вертикальные углы не имеют одной и той же стороны, то есть они не могут быть смежными.

 

4.Могут ли смежные углы быть линейными парами?

ДА! Смежные углы могут быть линейными парами. Поскольку линейные пары имеют общую сторону и общую вершину, их можно считать смежными углами. Однако не все смежные углы являются линейными парами.

 

Это был краткий обзор смежных углов, чтобы помочь вам разобраться с этой неотъемлемой частью программы по геометрии. Тем не менее, вы всегда можете сделать больше, чтобы получить желаемую оценку.

 

Домашнее репетиторство

Нужна помощь с домашним заданием?

советов, чтобы выиграть Отелло | UltraBoardGames

  • Уголки

    Диски, играемые по углам, нельзя переворачивать.Если вы не можете взять угол, вы можете снизить его эффективность, заняв соседние с ним клетки.

    Если ваш противник помещает свою фигуру в место, которое непосредственно примыкает к углу и находится по диагонали, и это находится в начале или середине игры, все, что вам нужно, это чтобы любая фигура на этой диагональной линии была вашего цвета, чтобы вы могли прыгнуть на нее. угол.

    Однако эффективность углового может быть снижена из-за того, что противник маневрирует против него надежной защитой. Хотя угловой, несомненно, является сильной позицией, получение одного или нескольких угловых не обязательно гарантирует победу в игре.

    Квадраты, непосредственно примыкающие к углам, также важны. Заняв эти позиции, можно победить силу углов.

  • Минимизация диска

    В большинстве случаев побеждает игрок с наименьшим количеством дисков. Как следствие, хорошие игроки в Отелло часто выбирают ходы, которые переворачивают как можно меньше дисков, предпочтительно только один.

  • X Квадраты

    Вы защищаете углы, избегая квадратов «X».Это квадраты, окружающие угол.

  • Держите сбалансированные края

    Следующими по важности клетками после углов и прилегающих к ним клеток являются края доски.

    Краевые ряды всегда можно использовать для обхода внутренних рядов.

    Неуравновешенный край может быть атакован умелым игроком, который подаст вам угол, чтобы занять другой угол и весь край между ними.

  • Остерегайтесь «опасной зоны»

    Следующие ряды из четырех крайних рядов могут считаться «опасной зоной», поскольку диск в этих рядах может быть мостиком вашего противника в угол или внешней крайней позицией.

    Более темные точки на доске обозначают эту «опасную зону».

  • Сохранить ходы на потом

    Ходы, которые вы можете сделать, но которых не может коснуться ваш противник, должны сохраняться до последнего.

  • Диагонали

    Попробуйте контролировать диагонали в эндшпиле. Это позволит вам играть квадрат X, не теряя угол.

  • Сначала помалкивай

    В начале игры не переворачивайте слишком много фишек.

    Это секрет того, как лучше играть Отелло. Громкие ходы (ходы, которые переворачивают много дисков) дают вашему противнику много вариантов для следующего хода.

    Занятие наименьшего количества клеток в начале игры оставляет вам больше возможностей, а вашим противникам меньше возможностей для выбора.

  • Оставайтесь в центре

    Старайтесь оставаться в центре и держать свои фигуры в окружении противников, потому что самый важный фактор в мидшпиле «Отелло» — мобильность.

  • Изолированные C-образные квадраты могут создавать проблемы

    C-квадрата (B1, G1, A2, h3, A7, H7, B8 и G8) расположены по краям и находятся рядом с углами. Размещение диска там без какого-либо диска рядом с ним может создать проблемы для новичка, поскольку эта позиция может быть атакована более опытным игроком.

  • Минимизируйте возможности вашего противника

    В мидгейме основная стратегия состоит в том, чтобы максимизировать количество доступных ходов, минимизируя при этом ходы противника.Когда ваши фигуры сгруппированы, у вашего противника меньше возможностей.

  • Избегайте «ползучего края»

    Если вы играете по краям, у вашего новичка или игрока среднего уровня могут не хватить ходов, но вы просто играете на руку продвинутому игроку.

  • Избегайте стен

    Стены — это длинные непрерывные линии дисков одного цвета, закрывающие одну сторону игрового поля.

  • Принудительный плохой ход

    Если вы вынуждены сделать плохой ход в конце игры, обычно хорошей идеей будет играть в области, где осталось нечетное количество пустых клеток.

  • Победные ходы

    Хотя ход, при котором переворачивается как можно больше дисков, может показаться наиболее привлекательным, иногда менее драматичный ход оказывается более мудрым.

    Сплошной блок одного цвета, особенно приставленный к углу или стороне, часто является ключом к победе в игре. С другой стороны, агрессивное проникновение в сплошной блок одного цвета часто может изменить ход игры.

  • Зонирование: О зонировании — Глоссарий терминов зонирования

    Использование аксессуаров*
    Сопутствующее использование – это использование, случайное и обычно связанное с основным использованием. Дополнительное использование должно проводиться на том же зонированном участке, что и основное использование, к которому оно относится, если только правила округа не разрешают другое место для дополнительного использования. (Например, дополнительные парковочные места за пределами территории разрешены в определенных районах зонирования.)
    Воздушные права (см. Права на разработку)
    Бонус искусств (см. Поощрительное зонирование)
    Правовая разработка
    Правовая застройка соответствует всем применимым правилам зонирования и не требует каких-либо дискреционных действий со стороны Комиссии по городскому планированию или Совета по стандартам и апелляциям.Большинство застроек и расширений в городе являются правильными.
    Пристроенное здание* (см. Здание)
    Пособие на чердак

    Пособие на чердак

    Надбавка на чердак — это увеличение до 20 процентов максимального коэффициента площади пола (FAR) для обеспечения скатной крыши. Пособие доступно в округах R2X и во всех округах R3 и R4 (кроме R4B).

    Пособие на чердак в зонах управления с низкой плотностью застройки

    За пределами зон управления ростом с низкой плотностью (LDGMA) увеличенная площадь пола должна находиться непосредственно под скатной крышей и иметь высоту потолка от пяти до восьми футов.
    Авторизация
    Авторизация — это дискреционное действие, предпринимаемое Комиссия по городскому планированию, часто после неофициального направления соответствующему(им) совету(ам) сообщества, который изменяет определенные требования зонирования, если определенные выводы был встречен.
    Базовая высота
    Базовая высота здания – это максимально допустимая высота передней стены здания без учета требуемого отступа. Здание должно соответствовать минимальной высоте основания только в том случае, если высота здания превысит максимальную высоту основания.
    Базовая плоскость*
    Базовая плоскость — это горизонтальная плоскость, от которой отмеряется высота здания. Он используется в большинстве малонаселенных и контекстуальных районов, а также для объектов, подлежащих зонированию на набережной.Часто базовая плоскость находится на уровне бордюра; на участках с уклоном вверх или вниз от улицы или на больших участках, где здания находятся далеко от улицы, базовая плоскость корректируется для более точного отражения уровня, на котором здание касается земли.
    Подвал*
    Подвал — это этаж здания, высота которого от пола до потолка не менее половины находится над уровнем бордюра или базовой плоскостью. Напротив, в подвале по крайней мере половина его высоты от пола до потолка находится ниже уровня бордюра или базовой плоскости.Подвал входит в расчет площади дома.
    Биосвале
    Биосвал – элемент ландшафта, предназначенный для улавливания ливневых стоков с прилегающих участков поверхности. Он имеет перевернутые наклонные стороны, которые позволяют дождевой воде стекать в него, и содержит растительность и мульчу, предназначенные для удаления загрязняющих веществ до того, как вода просочится в почву. Они необходимы на некоторых парковках, используемых в коммерческих и общественных целях.
    Блок*
    Квартал – участок земли, со всех сторон ограниченный улицами или комбинацией улиц, общественных парков, полос отвода железных дорог, линий пирса или границ аэропорта.
    Блокфронт
    Блочный фасад — это часть квартала, состоящая из всех участков зонирования, выходящих на одну улицу.
    Совет по стандартам и апелляциям (BSA)
    BSA, состоящее из пяти уполномоченных, назначаемых мэром, рассматривает и выдает заявки на получение специальных разрешений, как это предусмотрено в Постановлении о зонировании, для определенных предлагаемых застроек и видов использования. BSA также предоставляет отклонения для зонирования участков с нестандартными физическими условиями, где в противном случае строительство было бы невозможно.Кроме того, Совет заслушивает и принимает решения по апелляциям на решения Департамента строительства.
    Бонус (см. Поощрительное зонирование)
    Здание*

    Здание представляет собой сооружение, имеющее один или несколько этажей и крышу, постоянно прикрепленное к земле и ограниченное открытыми площадками или линиями земельного участка.

    Пристроенное здание * примыкает к двум боковым линиям участка или является одним из ряда примыкающих зданий.

    Отдельностоящее здание * представляет собой отдельно стоящее здание, которое не примыкает ни к какому другому зданию и все стороны которого окружены дворами или открытыми площадками в пределах зонирующегося участка.

    Смежное здание * представляет собой здание, которое примыкает или разделяет стену на боковой линии участка с другим зданием на соседнем зонированном участке и где остальные стороны здания окружены открытыми площадками или уличными линиями. . Здание нулевой линии * является отдельно стоящим зданием, которое примыкает к одной боковой линии зонирующего участка и не примыкает ни к какому другому зданию на соседнем зонирующем участке.
    Конверт здания
    Оболочка здания — это максимальное трехмерное пространство на зонированном участке, в пределах которого может быть построено сооружение, как это разрешено применимыми правилами высоты, отступа и двора.
    Высота здания
    Высота здания относится к высоте здания, измеренной от уровня бордюра или базовой плоскости до крыши здания (за исключением разрешенных препятствий, таких как перегородки лифта).
    Строительный сегмент*
    Сегмент здания – это часть здания, каждая часть которой имеет одну или несколько жилых единиц, обслуживаемых отдельным входом. Например, ряд пристроенных таунхаусов состоит из сегментов здания.
    оптом
    Массовые правила представляют собой комбинацию элементов управления (размер участка, соотношение площади пола, покрытие участка, открытое пространство, ярды, высота и отступ), которые определяют максимальный размер и размещение здания на участке зонирования.
    Переборка
    Переборка представляет собой закрытую конструкцию на крыше здания, которая может включать в себя механическое оборудование, резервуары для воды. и выход на крышу с внутренних лестничных клеток. Она не считается площадью пола и может превышать требования зонирования по высоте и отступам в пределах, указанных в Постановлении о зонировании.
    Линия переборок (см. Прибрежный район)
    Подвал
    Подвал – это уровень здания, высота которого по крайней мере наполовину от пола до потолка находится ниже уровня бордюра или базовой плоскости. Напротив, в подвале по крайней мере половина высоты от пола до потолка находится над уровнем бордюра или базовой плоскостью. Подвал не входит в расчет площади дома.
    Сертификация
    Сертификация — это недискриминационное действие, предпринимаемое Комиссией по городскому планированию или ее председателем и информирующее Департамент строительства о том, что правовая застройка соответствует конкретным условиям, изложенным в соответствии с положениями Постановления о зонировании.Сертификация также является началом процесса ULURP, указывающим на то, что Департамент городского планирования определил, что заявка заполнена и готова к официальному общественному рассмотрению.
    Обзор качества окружающей среды города (CEQR)

    В соответствии с законодательством штата процесс проверки качества окружающей среды города (CEQR) выявляет и оценивает потенциальное воздействие на окружающую среду дискреционных действий, предлагаемых государственными или частными заявителями. Дискреционное действие, такое как поправка к карте зонирования, не может начать публичное рассмотрение до тех пор, пока не будет выпущено «условно-отрицательное заявление» или «отрицательное заявление», в котором говорится, что не было выявлено значительных воздействий на окружающую среду или, если были выявлены какие-либо потенциальные воздействия, завершен проект отчета о воздействии на окружающую среду, в котором оценивается значимость выявленных воздействий и предлагаются соответствующие меры по его смягчению.

    Обозначение буквой «Е», присвоенное зонирующему участку, указывает на участок, где экологические требования должны быть удовлетворены, прежде чем может быть выдано разрешение на строительство для любой застройки, расширения или изменения использования.

    Карта города
    Карта города представляет собой набор карт, на которых показаны разрешенные улицы, уклоны, парки, линии причалов и перегородок, общественные места и другие установленные законом элементы карты. Это официальная карта Нью-Йорка и основа для карт зонирования в Резолюции о зонировании. В офисе президента каждого района есть карты города для этого района.
    Градостроительная комиссия (ГПК)
    Комиссия по городскому планированию, созданная в 1936 году, представляет собой комиссию из 13 членов, отвечающую за проведение планирования, связанного с упорядоченным ростом и развитием города.Комиссия регулярно собирается для проведения общественных слушаний, рассмотрения и голосования по заявлениям, связанным с использованием и улучшением земель, в соответствии с городским регулированием и рассмотрением воздействия на окружающую среду. Мэр назначает председателя, который также является директором Департамента городского планирования (DCP), и еще шесть членов; каждый президент округа назначает одного члена, а один член назначается общественным адвокатом. DCP обеспечивает техническую поддержку работы Комиссии.
    Коммерческое здание*
    Коммерческое здание — это любое здание, предназначенное только для коммерческого использования, как указано в группах использования с 5 по 16.
    Коммерческий район *
    Коммерческий район, обозначаемый буквой C (например, C1-2, C3, C4-7), является районом зонирования, в котором разрешено коммерческое использование. Также может быть разрешено использование жилых и общественных помещений.
    Коммерческая накладка

    Коммерческое наложение — это район C1 или C2, нанесенный на карту в пределах жилых районов для обслуживания местных розничных потребностей (например, продуктовых магазинов, химчисток, ресторанов).Коммерческие наложенные районы, обозначенные буквами от C1-1 до C1-5 и от C2-1 до C2-5, показаны на картах зонирования как шаблон, наложенный на жилой район.

    Если на картах зонирования не указано иное, глубина наложенных районов С1, измеренная от ближайшей улицы, составляет 200 футов для районов С1-1, 150 футов для районов С1-2, С1-3, С2-1, С2-2 и Районы C2-3 и 100 футов для районов C1-4, C1-5, C2-4 и C2-5. При отображении на длинном измерении блока коммерческие наложения простираются до середины этого блока.

    Коммерческое использование
    Коммерческое использование — это любое использование в розничной торговле, обслуживании или офисе, указанное в группах использования с 5 по 16 или разрешенное специальным разрешением.
    Общественный округ (CD)
    Нью-Йорк разделен на 59 общественных округов. Каждый CD представлен общественным советом, состоящим из членов сообщества-добровольцев, назначаемых президентом района, которые помогают жителям района и консультируют по вопросам планирования и обслуживания района и города.
    Общественное здание
    Здание общественного учреждения – это любое здание, занимаемое только общественными учреждениями.
    Общественное использование объекта
    Объект общественного пользования предоставляет образовательные, медицинские, рекреационные, религиозные или другие важные услуги для сообщества, которое он обслуживает. Использование общественных объектов указано в группах использования 3 и 4.
    Контекстное зонирование
    Контекстное зонирование регулирует высоту и объем новых зданий, их отступ от линии улицы и их ширину вдоль фасада улицы, чтобы создавать здания, соответствующие характеру существующего района.Жилые и коммерческие районы с суффиксом A, B, D или X являются районами контекстуального зонирования.
    Преобразование
    Переоборудование – это изменение использования здания на другое использование.
    Суд
    Корт – это любая открытая площадка, кроме двора или части двора, которая свободна от самого нижнего уровня до неба и ограничена стенами зданий или стенами зданий и одной или несколькими линиями земельного участка.
    Бордюрный рез
    Бордюрный вырез — это угловой вырез на краю бордюра, который обеспечивает доступ транспортных средств с улицы к подъездной дорожке, гаражу, парковке или погрузочной платформе. В жилых районах правила ширины и расстояния между бордюрами обеспечивают достаточную парковку у бордюра.
    Бордюр Уровень
    Уровень бордюра — это средний уровень бордюра, примыкающего к зонирующему участку. В целом, это основа для контроля высоты и отступа зданий в неконтекстных и производственных районах со средней и высокой плотностью застройки.
    Плотность
    Плотность относится к максимальному количеству жилых единиц, разрешенных на участке зонирования.Коэффициенты для каждого района представляют собой приближенные значения среднего размера единицы плюс допуски на любые общие территории. Специальные правила плотности применяются к зданиям смешанного типа, в которых используются как жилые, так и общественные объекты.
    Отдельно стоящее здание* (см. Здание)
    Разработка
    Застройка включает строительство нового здания или другой постройки на участке зонирования, перемещение существующего здания на другой участок зонирования или создание нового открытого использования на участке земли.
    Права на разработку

    Права на застройку обычно относятся к максимально допустимой площади пола на участке зонирования. Когда фактическая площадь застроенного этажа меньше максимально разрешенной площади, разница называется «неиспользованными правами на застройку». Неиспользованные права на разработку часто называют правами на эфир.

    Слияние зональных участков — это объединение двух или более смежных зонирующих участков в один новый зонирующий участок.Неиспользованные права на застройку могут быть перемещены с одного участка на другой по праву только путем слияния участков.

    A передача прав на застройку (TDR) позволяет передавать неиспользованные права на застройку с одного участка зонирования на другой в ограниченных обстоятельствах, обычно для сохранения исторических зданий, открытого пространства или уникальных культурных ресурсов. Для таких целей TDR может быть разрешен, если передача не может быть осуществлена ​​путем слияния зонирующих участков.Например, в случае знакового здания по специальному разрешению КТК может быть осуществлен перенос с участка зонирования, содержащего обозначенный памятник, на соседний участок зонирования или тот, который находится непосредственно через улицу, или, для углового участка, на другой угол. участок на том же перекрестке.

    Дискреционное действие
    Дискреционное действие требует рассмотрения и одобрения Городской плановой комиссией или Советом по стандартам и апелляциям.Поправки к зонированию, специальные разрешения, разрешения и отклонения являются дискреционными действиями.
    Журнал
    Журнал представляет собой официальное описание Департамента городского планирования предлагаемого действия по землепользованию. Описание досье включено в резолюцию об утверждении Комиссии и городского совета и, за исключением действий на карте города, является юридическим и обязательным описанием действия.
    Мансардное окно

    Мансардное окно — это допустимое препятствие в пределах требуемой зоны отступа, которое может превышать высоту здания.В районах с низкой плотностью населения это часто окно, выступающее из наклонной крыши, чтобы обеспечить свет и воздух на верхние этажи домов. В контекстуальных районах с R6 по R10 слуховые окна представляют собой части зданий, которым разрешено проходить через требуемый отступ выше максимальной высоты основания, чтобы обеспечить разнообразие высоты основания зданий вдоль улицы. Оба типа слуховых окон имеют ограничения по размеру.

    Жилая единица
    Жилая единица состоит из одной или нескольких комнат, в которых есть разрешенные законом кухонные и санитарные помещения, в которых проживает одно или несколько лиц, проживающих вместе и ведущих общее домашнее хозяйство, в жилом здании или жилой части здания.
    Расширение
    Пристройка – это пристройка к существующему зданию. что увеличивает площадь здания.
    Внутренний номер
    Пристройка — это расширение существующей площади пола. занято существующим использованием.
    Забор
    В жилых районах максимальная высота забора, возводимого вдоль линии фронта, составляет четыре фута над уровнем земли.Максимальная высота забора вдоль боковой или задней линии участка составляет шесть футов. В большинстве случаев заборы считаются разрешенными препятствиями.
    Площадь этажа
    Площадь здания представляет собой сумму общей площади каждого этажа здания, исключая технические помещения, подвалы, площади открытых балконов, лифтов или лестничных перегородок и, в большинстве районов зонирования, площади, используемые для вспомогательных помещений. парковка, расположенная на высоте менее 23 футов над уровнем бордюра.
    Соотношение площади пола (FAR)
    Соотношение площади пола является основным общим правилом, регулирующим размеры зданий. FAR – отношение общей площади этажа здания к площади его зонирующего участка. Каждый район зонирования имеет FAR, который при умножении на площадь участка зонирования дает максимально допустимую площадь пола на этом участке зонирования. Например, на зонированном участке площадью 10 000 квадратных футов в районе с максимальным FAR, равным 1,0, площадь зонирующего участка не может превышать 10 000 квадратных футов.
    Магазин свежих продуктов*
    СВЕЖИЙ продовольственный магазин — это продуктовый магазин полного ассортимента, созданный в районах с недостаточным уровнем обслуживания благодаря стимулам зонирования, который способствует продаже свежих продуктов питания.
    Передний двор* (см. Двор)
    Линия переднего двора*
    Линия переднего двора — это линия, проведенная параллельно линии переднего участка на глубине требуемого переднего двора.
    Групповая парковка
    Групповая автостоянка – это здание, сооружение или участок, используемые для парковки, которые обслуживают более одной жилой единицы.
    Коэффициент высоты
    Коэффициент высоты здания равен общей площади этажа здания, деленной на площадь участка (в квадратных футах). Как правило, коэффициент высоты равен количеству этажей в здании, построенном без уступов.
    Высота здания
    Здание с коэффициентом высоты представляет собой здание, содержащее жилые помещения, жилая площадь которого определяется дополнительным диапазоном коэффициентов высоты, коэффициентов площади пола и коэффициентов открытого пространства, и расположено в плоскости экспозиции неба.Правила фактора высоты поощряют высокие здания, окруженные открытым пространством. Здания с коэффициентом высоты разрешены только в неконтекстных районах с R6 по R9.
    Домашнее занятие
    Домашнее занятие – это бизнес, управляемый жильцом (жилищами) жилой единицы, который является дополнением к жилому использованию. Как правило, это не более 25 процентов площади жилого помещения (максимум 500 квадратных футов). Занятия, которые могут создавать чрезмерный шум, запахи или движение пешеходов, не допускаются.
    Поощрительное зонирование
    Поощрительное зонирование дает бонус, обычно в виде дополнительной площади, в обмен на предоставление общественных удобств или доступного жилья. Существуют поощрительные бонусы за предоставление общественных площадей (частных общественных мест), мест для изобразительного или исполнительского искусства, усовершенствование метро, ​​консервацию театров, продуктовых магазинов FRESH и доступного жилья (Программа инклюзивного жилья).
    Программа инклюзивного жилья

    Программа инклюзивного жилья предусматривает два дополнительных поощрения за площадь в обмен на создание или сохранение доступного жилья, на территории или за ее пределами, преимущественно для домохозяйств с низким доходом.

    Первоначальная программа R10 предусматривает увеличение площади до 20 процентов, увеличивая максимальный FAR с 10,0 до 12,0 для предоставления доступного жилья в соответствующих жилых и коммерческих районах с плотностью R10.

    В инклюзивном жилье, обозначенном как районы * , нанесенные на карту в жилых кварталах со средней и высокой плотностью населения и коммерческих районах с эквивалентной плотностью, можно получить бонус в размере 33 процентов площади пола за предоставление 20 процентов в качестве доступного жилья.Базовый FAR в обозначенных районах в большинстве случаев ниже, чем максимальный FAR, разрешенный в том же районе зонирования, расположенном за пределами обозначенного района.

    Единица жилья с ограниченным доходом
    Жилая единица, которая соответствует определению единицы доступного жилья в рамках одной из программ инклюзивного жилья, или любая другая жилая единица с юридически обязывающим ограничением дохода семьи на уровне 80 процентов или ниже среднего дохода по району.
    Заливной дом (см. Преимущественно застроенные районы)
    Совместные жилые и рабочие помещения для художников*
    Совместные жилые и рабочие помещения для творческих работников – это помещения в нежилых зданиях, используемые в качестве жилых и рабочих помещений творческими работниками и членами их домохозяйств.
    Крупномасштабная разработка

    Крупномасштабная застройка — это застройка, обычно включающая несколько участков зонирования, запланированных как единое целое.Правила крупномасштабной застройки позволяют вносить изменения в различные правила зонирования, такие как распределение площади без учета линий зонирования, по усмотрению КТК. Такие модификации могут обеспечить гибкость дизайна для достижения превосходного плана участка.

    А крупномасштабное общее развитие * является развитием или расширение для любого использования, разрешенного базовым районные правила в коммерческих районах (кроме районов C1, C2, C3 и C4-1) и во всех производственных районы. Развитие должно идти по пути земельный участок площадью не менее 1,5 акра и может включать в себя существующие постройки.

    A крупномасштабная жилая застройка * представляет собой застройку, предназначенную преимущественно для проживания в жилых районах и в районах С1, С2, С3 и С4-1. Застройка должна располагаться на участке земли площадью не менее трех акров (130 680 кв. Футов) с минимум 500 жилыми единицами или не менее 1,5 акра (65 340 кв. Футов) с минимум тремя основными жилыми домами.Существующие здания не могут быть частью крупномасштабной жилой застройки.

    Крупномасштабная застройка общественных объектов * — это застройка или расширение преимущественно для использования в качестве общественных объектов в жилых районах и районах C1, C2, C3 и C4-1. Застройка должна располагаться на участке земли площадью не менее трех акров (130 680 кв. Футов) и может включать существующие здания.

    Район ограниченной высоты
    Район ограниченной высоты может быть наложен на территорию, обозначенную Комиссией по сохранению памятников как исторический район.Он нанесен на карту в районах Верхнего Ист-Сайда, парка Грамерси, Бруклин-Хайтс и Коббл-Хилл. Максимальная высота здания составляет 50 футов в районе LH-1, 60 футов в районе LH-1A, 70 футов в районе LH-2 и 100 футов в районе LH-3.
    Лофт
    Чердак – это здание или помещение внутри здания, предназначенное для коммерческого или производственного использования, как правило, построенное до 1930 года. В некоторых производственных районах чердаки могут быть преобразованы в жилые помещения по специальному разрешению КТК.
    Участок или участок зонирования

    Участок или участок зонирования представляет собой участок земли, состоящий из одного налогового участка или двух или более смежных налоговых участков в пределах квартала. Например, многоквартирный дом на одном участке зонирования может содержать отдельные единицы кондоминиума, каждая из которых занимает свой налоговый участок. Точно так же здание, содержащее ряд таунхаусов, может занимать несколько отдельных налоговых участков в пределах одного зонирующего участка, или два или более отдельных дома на одном зонирующем участке могут иметь каждый свой собственный налоговый участок.

    Земельный участок является базовой единицей для правил зонирования и может быть разделен на два или более зональных участка, а два или более смежных зональных участка в одном блоке могут быть объединены при условии, что все получившиеся зональные участки соответствуют применимым правилам.

    A угловой участок * — земельный участок, примыкающий к точке пересечения двух и более улиц; это также участок зонирования, полностью ограниченный улицами.

    Внутренний участок * — это любой зонирующий участок, который не является ни угловым, ни сквозным.

    A сквозной участок * любой зонирующий участок, который соединяет две в целом параллельные улицы и не является угловым участком.

    Площадь участка
    Площадь участка — это площадь (в квадратных футах) зонированного участка.
    Покрытие партии
    Покрытие участка — это часть зонированного участка, которая, если смотреть сверху, закрыта зданием.Разрешенные препятствия не учитываются при расчете покрытия участка.
    Глубина партии
    Глубина участка — это среднее расстояние по горизонтали между передней и задней линиями зонирующего участка.
    Линия лота или Линия зонирования

    Линия участка или линия зонирующего участка является границей зонирующего участка.

    A Линия переднего участка *, также известная как линия улицы, представляет собой часть линии зонирующего участка, которая выходит на улицу.

    A тыльная линия участка * любая линия участка, которая обычно параллельна линии улицы, ограничивающей зонирующий участок, и не пересекает линию улицы.

    A боковая линия участка * любая линия участка, которая не является ни передней, ни задней линией участка.

    Ширина лота
    Ширина участка — это среднее расстояние по горизонтали между боковыми линиями участка зонирования.
    Зона управления ростом низкой плотности
    Зона управления ростом с низкой плотностью населения — это специально отведенная зона, которая обычно удалена от общественного транспорта и характеризуется быстрым ростом и большим количеством автомобилей, например Статен-Айленд или район Трогс-Нек в Бронксе. В новых застройках должно быть больше внеуличных парковок, больше дворов и больше открытого пространства, чем в противном случае требовалось бы в нанесенных на карту районах зонирования.
    Манхэттенское ядро ​​
    Ядро Манхэттена простирается от южной оконечности Манхэттена в Бэттери до Западной 110-й улицы в Вест-Сайде и Восточной 96-й улицы в Ист-Сайде.Это территория, охватываемая муниципальными округами Манхэттена с 1 по 8.
    Производственный район
    Производственный район, обозначенный буквой M (например, M1-1, M2-2), является районом зонирования, в котором разрешены производственные, большинство коммерческих и некоторых общественных объектов. Промышленное использование регулируется рядом стандартов производительности. Жилая застройка не допускается, за исключением районов от M1-1D до M1-5D по разрешению CPC, а также в районах M1-6D по праву или по сертификации CPC.
    Использование в производстве
    Использование в производстве — это любое использование, указанное в группе использования 17 или 18, или промышленное использование, разрешенное только по специальному разрешению.
    Смешанное здание*

    Смешанное здание — это здание в коммерческом районе, используемое частично для жилых помещений и частично для общественных или коммерческих целей.

    Когда здание имеет более одного использования, максимальный FAR, разрешенный для участка зонирования, является самым высоким FAR, разрешенным для любого из видов использования, при условии, что FAR для каждого использования не превышает максимально допустимого FAR для этого использования.Например, в районе C1-8A, где максимальный коммерческий FAR составляет 2,0, а максимальный жилой FAR — 7,52, общий допустимый FAR для смешанного жилого/коммерческого здания будет составлять 7,52, из которых может применяться не более 2,0 FAR. к коммерческому помещению.

    Район смешанного использования *
    Район смешанного использования — это район специального назначения, в котором один набор правил применяется ко многим различным областям, обозначенным на картах зонирования как MX с числовым индексом (например, MX-8). В районах MX район M1 объединяется с жилым районом (например, M1-2/R6), и новые жилые и нежилые помещения разрешены по праву в пределах одного здания. В этом районе здание, в котором есть жилое и любое другое назначение, является зданием смешанного назначения.
    Узкая улица* (см. улица)
    Несоответствие или несоответствие
    Несоответствующее здание — это любое здание, которое больше не соответствует одному или нескольким основным правилам применимого района зонирования.Степень несоответствия не может быть увеличена. Правила, регулирующие несоответствующие здания, можно найти в статье V, глава 4, Постановления о зонировании.
    Несоответствие или несоответствие
    Несоответствующее использование — это любое использование, которое больше не соответствует одному или нескольким правилам использования применимого зонирования. Степень несоответствия не может быть увеличена. Положения, регулирующие несоответствующее использование, можно найти в статье V, главах 2 и 3, Постановления о зонировании.
    Открытое пространство*
    Открытое пространство – это часть жилого зонирования (которая может включать дворы или дворы), открытая и беспрепятственная от самого нижнего уровня до неба, за исключением конкретных разрешенных препятствий, и доступная для всех лиц, занимающих жилые помещения на участок зонирования. В зависимости от района количество необходимого открытого пространства определяется коэффициентом открытого пространства, правилами минимального двора или максимальным охватом участка.
    Коэффициент открытого пространства (OSR)
    Коэффициент свободного пространства — это количество открытого пространства, необходимого на жилом зонированном участке в неконтекстных районах, выраженное в процентах от общей площади на зонирующем участке. Например, если здание площадью 20 000 квадратных футов имеет OSR 20, на участке зонирования потребуется 4 000 квадратных футов открытого пространства (0,20 × 20 000 квадратных футов).
    Оверлейный район
    Наложенный округ — это округ, наложенный на другой округ, который заменяет, изменяет или дополняет лежащие в его основе правила.Районы с ограниченной высотой и коммерческие наложенные районы являются примерами наложенных районов.
    Парные районы
    Парный район соответствует району M1 с районом от R3 до R10 (например, M1-5/R10), чтобы разрешить сочетание жилых и нежилых помещений (коммерческих, общественных объектов, легкой промышленности) в одном районе зонирования, блок или здание. Парные районы отображаются в специальных районах смешанного использования и в специальном районе смешанного использования Лонг-Айленд-Сити.
    Парапет
    Парапет представляет собой невысокую стену или защитное ограждение, выступающее вертикально над крышей здания или другой конструкции. Стена парапета высотой не более четырех футов является разрешенным препятствием и может пересекать максимальный предел высоты или требуемую зону отступа.
    Категория требований к парковке (PRC)
    Требования к парковке для коммерческого использования сгруппированы в девять категорий требований к парковке в зависимости от совместимости использования и объема генерируемого трафика.
    Стандарт производительности
    Стандарт производительности — это минимальное требование или максимально допустимый предел шума, вибрации, дыма, запаха и других эффектов промышленного использования, перечисленных в группах использования 17 и 18.
    Стена по периметру
    Стены по периметру — это самые внешние стены здания в районе с низкой плотностью, которые охватывают площадь пола и поднимаются от базовой плоскости до заданной максимальной высоты.
    Разрешенное препятствие
    Разрешенное препятствие — это конструкция или объект, который может располагаться в требуемом дворе или на открытом пространстве или пересекать ограничение по высоте, отступ или плоскость, выходящую на небо. Балкон, решетка, кондиционер, желоб или забор являются разрешенным препятствием в необходимых дворах или на открытом пространстве. Определенные конструкции на крыше, такие как переборки лифтов, водонапорные башни или парапеты, являются разрешенными препятствиями, которые могут пересекать ограничения по высоте, отступы или плоскости, выходящие на небо.
    Линия Пирхед (см. Набережную)
    Посадочные полосы
    Посадочные полосы — это покрытые травой участки вдоль края бордюра, внутри которых высажены уличные деревья в районах с R1 по R5.Посадочные полосы являются необходимым улучшением городского пейзажа в некоторых районах.
    Преимущественно застроенная территория
    Преимущественно застроенная территория представляет собой квартал, расположенный полностью в пределах района R4 или R5 (без суффикса), в котором могут использоваться необязательные правила, допускающие более высокие коэффициенты площади пола и более низкие требования к парковке для создания точечной застройки. Не менее 50 процентов площади квартала должны занимать участки зонирования, застроенные зданиями, а количество участков зонирования, которые будут застроены точечной застройкой, не может превышать 1.5 акров (65 340 квадратных футов). Правила заполнения не могут использоваться для перепланировки участка, занятого одно- или двухквартирным отдельно стоящим или сдвоенным домом, за исключением случаев, когда фасад квартала застроен преимущественно пристроенным или многоквартирным домом.
    Частная дорога
    Частная дорога – это полоса отвода, обеспечивающая доступ транспортных средств к застройкам с пятью или более жилыми единицами, расположенными не менее чем в 50 футах от общественной улицы в районах R1–R5. Застройки на частных дорогах должны соответствовать особым правилам проектирования.В районах с низкой плотностью застройки полоса отчуждения, которая обеспечивает доступ к трем или более жилым единицам, является частной дорогой.
    Частное общественное пространство
    Общественное пространство, находящееся в частной собственности, — это благоустройство, предоставляемое и обслуживаемое владельцем собственности для общественного пользования, как правило, в обмен на дополнительную площадь. Расположенные в основном в центральных деловых районах Манхэттена с высокой плотностью населения, эти пространства обычно имеют форму аркады или общественной площади с местами для сидения и ландшафтным дизайном и могут быть расположены внутри или снаружи здания.
    Общественный парк
    Общественный парк — это любой парк, игровая площадка, пляж, бульвар или проезжая часть, находящийся в государственной собственности и находящийся под юрисдикцией и контролем Комиссара по паркам и зонам отдыха г. Нью-Йорка. Как правило, общественные парки не подпадают под действие правил зонирования.
    Общественный гараж
    Общественный гараж — это здание или часть здания, которое ежедневно используется для общественной парковки. Общественный гараж может включать в себя несколько дополнительных парковочных мест во дворе для использования на том же зонированном участке.
    Общественная парковка
    Общественная автостоянка – это участок земли, который ежедневно используется для общественной парковки и не является дополнением к использованию на том же или другом участке зонирования.
    Общественная площадь
    Общественная площадь — это частная открытая площадка, примыкающая к зданию и доступная для публики. Как правило, он должен быть на уровне тротуара, к которому примыкает, и не иметь препятствий к небу, за исключением мест для сидения и других разрешенных удобств.В некоторых районах с высокой плотностью зонирования предоставляется бонус за площадь за предоставление общественной площади.
    Первый этаж
    Первый этаж застройки или расширения здания Quality Housing, где начало второго этажа находится на высоте 13 футов или более над уровнем тротуара и, в некоторых случаях, где соблюдаются дополнительные дополнительные условия использования. В некоторых районах зонирования зданиям с соответствующим цокольным этажом разрешается иметь более высокое максимальное основание и общую высоту.
    Программа качественного жилья
    Программа качественного жилья, обязательная для контекстуальных жилых районов с R6 по R10 и необязательная для неконтекстных районов с R6 по R10, поощряет развитие в соответствии с характером многих устоявшихся районов. Его массовые правила устанавливают ограничения по высоте и позволяют строить здания с большим охватом участков, которые установлены на линии улицы или рядом с ней. Программа «Качественное жилье» также требует благоустройства внутренних помещений, зон отдыха и благоустройства.
    Железная дорога или транзитное воздушное пространство
    Железнодорожное или транзитное воздушное пространство – это пространство непосредственно над открытой железной дорогой или транзитной полосой отвода или двором, существовавшее 27 сентября 1962 года или после этой даты. Застройка может быть разрешена только по специальному разрешению КТК.
    Задний двор* (см. Двор)
    Эквивалент заднего двора (см. Двор)
    Место жительства*

    Жилище состоит из одной или нескольких жилых единиц или комнатных единиц, а также любых мест общего пользования, включая дома на одну и две семьи, многоквартирные дома или апарт-отели.

    A Односемейный дом * — здание на зонированном участке, содержащее одну жилую единицу, занимаемую одним домохозяйством.

    A двухквартирный жилой дом * — здание на зонированном участке, состоящее из двух жилых единиц, занимаемых двумя домохозяйствами. В районах R3-1, R3A, R3X, R4-1 и R4A двухквартирные дома, как отдельно стоящие, так и сблокированные, должны иметь не менее 75% одной жилой единицы непосредственно над или под другой.

    Многоквартирный жилой дом представляет собой здание на зонированном участке, содержащее не менее трех жилых единиц.

    Жилой район
    Жилой район, обозначаемый буквой R (например, R3-2, R5, R10A), является районом зонирования, в котором разрешены только жилые дома и общественные объекты.
    Жилой район Эквивалент
    Эквивалент жилого района — это обозначение жилого района, присвоенное районам C1, C2, C3, C4, C5 или C6, которое устанавливает правила жилой застройки в пределах района. Любая жилая застройка в районе C4-4, например, должна соответствовать основным правилам своего жилого эквивалента, района R7.
    Жилое использование
    Жилое использование – это любое использование, указанное в Группе использования 1 (отдельные жилые дома на одну семью) или в Группе использования 2 (все другие типы жилой застройки).
    Декларация об ограничениях
    Ограничительная декларация — это договор с землей, который связывает настоящих и будущих владельцев собственности.Ограничительные декларации используются для выполнения условий разрешения на землепользование или обеспечения реализации компонентов проекта и смягчения воздействия на окружающую среду.
    Изменение зонирования
    Изменение зонирования или перекартирование происходит, когда обозначение (обозначения) зонирования области изменяется на карте зонирования, чтобы облегчить политические инициативы, такие как сохранение районов и содействие экономическому развитию вокруг транзитных узлов. Поправка к карте зонирования подлежит рассмотрению в ULURP.
    Смежное здание* (см. Здание)
    Неудача, Здание
    Отступ — это часть здания, выступающая над высота основания (или уличной стены, или стены по периметру) перед достигнута общая высота здания. Позиция отступ здания в районах с коэффициентом высоты контролируется плоскостями экспозиции неба, а в контекстуальных районах — заданные расстояния от уличных стен.
    Неудачи, передний двор или уровень земли

    Передние дворы требуются в районах с R1 по R5; правила, регулирующие глубину открытых площадок на уровне земли между передней стеной здания и линией улицы, применяются в районах с R6 по R10. Передние дворы и открытые площадки должны быть озеленены и иметь минимальную глубину, соответствующую следующим требованиям:

    R2A, R3A, R3X, R4A, R4-1 и R5A

    В районах R2A, R3A, R3X, R4A, R4-1 и R5A, если прилегающие передние дворы глубже минимально необходимого переднего двора, новое здание должно иметь передний двор не менее глубины, чем один из соседних дворов, но это не должно быть глубже, чем 20 футов.

    Р4Б, Р5Б и Р5Д

    В районах R4B, R5B и R5D, если глубина прилегающих передних дворов превышает минимально требуемый передний двор, то передний двор новостройки должен быть не глубже одного соседнего переднего двора и не глубже другого, но это не должно быть глубже, чем 20 футов.

    Р6Б, Р7Б и Р8Б

    В районах R6B, R7B и R8B уличная стена новостройки на любом участке шириной до 50 футов должна быть такой же глубины, как одна соседняя стена, и не глубже другой.На участках шириной более 50 футов уличная стена нового здания может быть не ближе к уличной линии, чем уличная стена соседнего здания. Уличная стена не обязательно должна располагаться дальше от линии улицы, чем на 15 футов.

    R6A, R7A и R7X

    В районах R6A, R7A, 7D и R7X уличная стена нового здания может быть расположена не ближе к уличной линии, чем уличная стена любого здания в пределах 150 футов от того же квартала, но не обязательно должна быть расположена дальше от улицы. линии, чем 15 футов.
    Береговая общественная дорожка* (см. зону общественного доступа на набережной)
    Береговая линия (см. Прибрежный район)
    Лента для боковой части
    Лента бокового участка представляет собой полосу шириной от 8 до 10 футов, которая проходит вдоль линии бокового участка зонирующего участка. Он не обязательно должен быть открыт небу и может проходить через пристроенный дом, расположенный вдоль боковой линии участка.В районах R3, R4 и R5, если зонирующий участок имеет ширину менее 35 футов, парковка должна располагаться на ленте бокового участка.
    Боковой двор* (см. Двор)
    Тротуарное кафе

    Тротуарное кафе — это часть заведения, где можно поесть или выпить, расположенное на общественном тротуаре. Правила уличных кафе находятся в ведении Департамента по делам потребителей.

    Закрытое уличное кафе * — это уличное кафе, которое находится внутри строения.

    Неогороженное уличное кафе * содержит легкосъемные столы, стулья или перила, без покрытия над головой, кроме зонтов или выдвижного навеса.

    A маленькое уличное кафе * представляет собой открытое уличное кафе, содержащее не более одного ряда столов и стульев на расстоянии не более 4½ футов от линии улицы, без барьера между кафе и тротуаром.

    Знак

    Знак — это любая надпись — слова, изображения или символы — которая находится на здании или другом сооружении или прикреплена к нему.

    Дополнительный знак * обращает внимание на бизнес, профессию, товар, услугу или развлечение, которые проводятся, продаются или предлагаются на одном и том же зонированном участке.

    Рекламный знак * обращает внимание на бизнес, профессию, товар, услугу или развлечение, которые проводятся, продаются или предлагаются на другом земельном участке.

    A мигающий знак * любой световой знак, стационарный, вращающийся или вращающийся, меняющий свет или цвет.

    Световой знак * использует искусственный свет или отраженный свет от искусственного источника.

    Эскизные карты
    Карта-схема — это иллюстрация предлагаемого изменения карты зонирования или карты города, на которой представлена ​​графическая, легко читаемая версия изменения. Карта-схема прилагается к Уведомлению о сертификации (NOC), когда заявка на изменение Карты зонирования или Карты города сертифицируется как завершенная Департаментом городского планирования и распространяется для всеобщего ознакомления. Эскизные карты ограничены по объему и масштабу, чтобы включать только область, затронутую предлагаемым действием, и не обязательно отображать окончательное действие.
    Самолет для наблюдения за небом
    Плоскость экспозиции неба представляет собой виртуальную наклонную плоскость, которая начинается на определенной высоте над линией улицы и поднимается внутрь над зонирующимся участком в соотношении расстояния по вертикали к расстоянию по горизонтали, как указано в правилах округа. Здание не может выходить за плоскость экспозиции неба, которая предназначена для обеспечения света и воздуха на уровне улицы, в первую очередь в районах со средней и высокой плотностью населения.
    Щепочное здание
    Высокое здание или пристройка шириной 45 футов или менее в районах R7-2, R7X, R8, R9 или R10 обычно называют узким зданием. Такие здания обычно имеют высоту, равную ширине прилегающей улицы или 100 футов, в зависимости от того, что меньше.
    Специальное разрешение
    Специальное разрешение — это дискреционное действие Комиссии по городскому планированию (CPC), подлежащее рассмотрению ULURP, или Совета по стандартам и апелляциям (BSA), которое может изменить правила использования, массовых скоплений или парковки, если определенные условия и выводы указаны в Резолюция по зонированию соблюдена.Заявки на получение специальных разрешений в соответствии с юрисдикцией CPC обычно касаются использования или массовых модификаций, которые могут иметь большее воздействие на землепользование, чем те, которые рассматриваются BSA.
    Район особого назначения
    Правила для районов специального назначения предназначены для дополнения и изменения основного зонирования, чтобы реагировать на особые районы с конкретными проблемами и целями. Районы специального назначения показаны в виде наложений на карты районирования и в статьях VIII–XIII Постановления.
    Сплит Лот
    Раздельный участок – это участок зонирования, расположенный в двух или более районах зонирования и разделенный границей района зонирования. В большинстве случаев правила зонирования для каждого района должны применяться отдельно для каждой части участка. Специальные правила зонирования участков, которые существовали до 1961 года или до любого изменения зонирования, которое разделяет участок, можно найти в статье VII, главе 7 Постановления о зонировании.
    25-футовая линейка
    Правило 25 футов применяется к существующему зонированному участку, разделенному между двумя или более районами зонирования, которые разрешают различное использование или имеют разные правила для массовых участков (например, C1-9 и R8B).Когда ширина одного района составляет 25 футов или менее в каждой точке, правила использования и объемов более крупного района могут применяться ко всему зонированному участку.
    История
    Этаж — это часть здания между поверхностью одного этажа и потолком непосредственно над ним. Подвал не считается историей.
    улица

    Улица – это любая дорога (кроме частной дороги), шоссе, бульвар, проспект, переулок или другой путь, указанный на карте города, или путь шириной не менее 50 футов, предназначенный для общественного пользования, который соединяет путь, указанный на карте города. Карта города к другому такому же пути или к зданию или сооружению.Под улицей понимается вся общественная полоса отчуждения (включая общественные тротуары).

    A узкая улица * улица длиной менее 75 футов широкий.

    A широкая улица * улица шириной 75 футов и более. Большинство общих правил, применимых к широким улицам, также применимы к зданиям на пересекающихся улицах в пределах 100 футов от широкой улицы.

    Уличная линия*
    Линия улицы – это передняя линия участка, отделяющая зонирующий участок от улицы.
    Уличная стена
    Уличная стена – это стена или часть стены здания, выходящая на улицу.
    Дополнительная зона общественного доступа* (см. Зона общественного доступа на набережной)
    Налоговый лот
    Налоговый участок — это участок земли, идентифицированный с уникальным номером района, квартала и участка для целей налогообложения имущества. Земельный участок включает в себя один или несколько смежных налоговых участков внутри квартала.
    Башня

    Башня — это часть здания, которая выходит за пределы плоскости неба и разрешена только в определенных районах города с высокой плотностью населения. Башня может быть занята жилыми, коммерческими или общественными объектами.

    Стандартные правила для башен обычно разрешают, чтобы башенная часть здания занимала не более 40 процентов площади зонируемого участка или до 50 процентов на участках площадью менее 20 000 квадратных футов.Башенная часть здания должна быть удалена не менее чем на 10 футов от широкой улицы и не менее чем на 15 футов от узкой улицы. Эти правила изменены для различных целей и районов.

    башня-на-основании требуется контекстное основание высотой от 60 до 85 футов, которое простирается непрерывно вдоль линии улицы. Высота башни регулируется требованием минимального покрытия участка и правилом, согласно которому не менее 55 процентов площади пола на зонированном участке должно быть расположено ниже высоты 150 футов.На широкой улице в районах R9 и R10 и их эквивалентах C1 или C2 здание, включающее в себя жилую башню, должно соответствовать правилам для башен на основании в дополнение к стандартным правилам для башен.

    Передача прав на разработку (см. права)
    Транзитная зона
    Район, в котором к различным типам доступного жилья, включая жилье с ограниченным доходом, применяются особые более низкие требования к вспомогательной парковке.Как правило, это районы города за пределами Manhattan Core в пределах полумили от станции метро, ​​где уровень владения автомобилями является одним из самых низких в городе.
    Единая процедура проверки землепользования (ULURP)
    Единая процедура проверки землепользования (ULURP) — это предусмотренный Уставом города процесс публичного рассмотрения всех предлагаемых поправок к картам зонирования, специальных разрешений и других действий, таких как выбор и приобретение участков для столичных проектов города и отчуждение городской собственности. ULURP устанавливает временные рамки и другие требования для участия общественности на уровне Совета Сообщества, Совета района и Президента района, а также для общественных слушаний и решений Советов Сообщества, Президентов районов, Комиссии по городскому планированию (CPC) и городского совета. Поправки к тексту о зонировании следуют аналогичному процессу рассмотрения, но без ограничения времени для рассмотрения CPC.
    Upland Connection* (см. Зону общественного доступа на набережной)
    Использовать
    Использование – это любая деятельность, занятие, бизнес или операция, перечисленные в группах использования с 1 по 18 или указанные в специальном разрешении, которые осуществляются в здании или на участке земли.Некоторые виды использования разрешены только по специальному разрешению CPC или BSA.
    Использовать группу
    Виды использования, которые имеют схожие функциональные характеристики и/или мешающие воздействия и в целом совместимы друг с другом, перечислены в одной или нескольких из 18 групп, которые классифицируются как использование в жилых помещениях (группы использования 1–2), использование в общественных учреждениях (группы использования 3–2). 4), использование в розничной торговле и сфере услуг (группы использования 5–9), использование в региональных коммерческих центрах/развлекательных центрах (группы использования 10–12), использование набережной/рекреации (группы использования 13–15), использование в тяжелых автомобилях (группа использования 16) и промышленное использование (группы использования 17–18).Таблицы групп использования можно найти в Главе 2 Статей II, III и IV Постановления о зонировании.
    Дисперсия
    Отклонение — это дискреционное действие Совета по стандартам и апелляциям, которое освобождает от использования и общих положений Постановления о зонировании в той мере, в какой это необходимо для обеспечения разумного или практического использования земли. Отклонение может быть предоставлено после публичных слушаний, когда уникальные условия на конкретном земельном участке могли бы вызвать у владельца собственности практические трудности и чрезмерные трудности, если бы он был разработан в соответствии с применимыми положениями.
    План доступа к набережной (WAP)
    План доступа к береговой линии представляет собой подробную структуру, изложенную в Постановлении о зонировании, которая адаптирует правила общей береговой линии и требования к общественному доступу к конкретным условиям конкретной береговой линии. Развитие отдельных участков береговой линии в соответствии с планом требует создания и обслуживания зон общественного доступа в соответствии с WAP.
    Район набережной

    Район береговой линии — это географическая зона, примыкающая к водоему шириной не менее 100 футов, включающая все блоки между линией пирса и параллельной линией на расстоянии 800 футов от береговой линии.Кварталы в прибрежной зоне подпадают под действие правил зонирования береговой линии.

    Линия переборки — это линия, показанная на картах зонирования, которая разделяет нагорную и обращенную к морю части прибрежных участков зонирования.

    Линия пирса — это линия, показанная на картах зонирования, которая определяет крайнюю морскую границу района, регулируемого Постановлением о зонировании.

    Береговая линия * – линия среднего прилива.

    A прибрежный квартал*, прибрежный общественный парк* или прибрежный зонирующий участок* — это квартал, общественный парк или зонирующий участок в прибрежной зоне, примыкающий к береговой линии или пересекаемый ею.

    Зона общественного доступа на набережной*

    Зона общественного доступа на береговой линии (WPAA) — это часть участка зонирования на береговой линии, где открытое пространство, доступное для публики, предусмотрено до береговой линии и вдоль нее.Все WPAA должны быть улучшены за счет озеленения и деревьев, сидений и других удобств. WPAA могут включать в себя общественный проход на берегу, выход на возвышенность, дополнительную зону общего доступа, зону общего доступа на пирсе или плавучем сооружении или любую дополнительную зону, улучшенную для общественного пользования. Минимальная необходимая площадь общественного доступа на набережной составляет определенный процент для участка зонирования.

    A Береговая общественная дорожка* – это линейная зона общественного доступа, проходящая вдоль берега.

    Наземное соединение * представляет собой пешеходную дорожку между общественным местом (например, улицей, тротуаром или парком) и береговой общественной дорожкой. Нагорные соединения могут быть обеспечены по частной дороге.

    A дополнительная зона общего доступа * является зоной общего доступа, необходимой для выполнения минимального процента WPAA, необходимого для участка зонирования береговой линии после того, как были обеспечены общественный проход на берегу и выход на возвышенность.

    Двор на набережной*
    Прибрежный двор – это часть прибрежного зонирования, протянувшаяся по всей длине береговой линии, которая должна быть открытой и беспрепятственной от самого нижнего уровня до неба, за исключением некоторых разрешенных препятствий. В зависимости от района зонирования минимальная глубина обычно составляет от 30 до 40 футов. Береговые общественные пешеходные дорожки должны быть расположены во дворе с видом на воду.
    Широкая улица* (см. Улица)
    Окно, требуется по закону*
    Предусмотренные законом окна в жилых единицах должны обеспечивать необходимый свет, воздух и вентиляцию.Законодательно требуемые окна не могут быть расположены на или ближе 30 футов к линии участка.
    Двор

    Двор – это необходимая открытая площадка вдоль линий участка зонирования, которая не должна иметь препятствий от самого нижнего уровня до неба, за исключением некоторых разрешенных препятствий. Правила двора обеспечивают свет и воздух между строениями.

    A Двор перед домом * проходит по всей ширине линии участка перед домом.В случае углового участка любой двор, проходящий по всей длине улицы, считается передним двором. (См. также Неудачи, Передний двор или Уровень земли)

    A задний двор * простирается на всю ширину линии заднего участка. В жилых районах минимальная глубина заднего двора составляет 30 футов, за исключением районов R2X. В коммерческих, производственных и R2X районах минимальная глубина заднего двора составляет 20 футов. Угловой участок не обязательно должен иметь задний двор.В коммерческих и производственных районах, а также в некоторых общественных зданиях в жилых районах задний двор может быть полностью занят одноэтажным зданием высотой до 23 футов.

    A Эквивалент заднего двора * — это открытая площадка на сквозном участке, необходимая для соблюдения правил заднего двора.

    A боковой двор * проходит вдоль боковой линии от требуемого переднего двора или от передней линии участка, если передний двор не требуется, до требуемого заднего двора или до задней линии участка, если задний двор отсутствует требуется для.В случае углового участка любой двор, не являющийся передним, считается боковым.

    Здание с нулевой линией* (см. Здание)
    Зональный округ
    Район зонирования представляет собой жилой, коммерческий или производственный район города, в пределах которого правила зонирования регулируют землепользование и объем застройки. Районы специального назначения имеют отличительные особенности, когда правила адаптированы к району.Районные районы показаны на картах районирования.
    Зонирование лота* (см. лот)
    Слияние земельных участков (см. Права на разработку)
    Карты зонирования
    126 карт зонирования города Нью-Йорка указывают расположение и границы районов зонирования и являются частью Постановления о зонировании. Каждая карта покрывает территорию площадью примерно 8000 футов (север/юг) на 12 500 футов (восток/запад). Поправки к карте зонирования или изменение зонирования подлежат рассмотрению ULURP.

    Углы и стабильные диски — Отелло: Минута обучения … Вся жизнь, чтобы стать мастером — Стратегия

    Пожалуй, самая основная стратегия в «Отелло» — брать углы. По правилам игры невозможно перевернуть диск в углу, поэтому, если вы сможете взять угол, этот диск будет вашим до конца игры. На диаграмме 2-1 диск на h8 должен быть белым в конце игры: даже если позже черные перейдут и на g8, и на h7, они не смогут взять диск на h8.Более того, если у вас есть угол, часто можно построить большое количество дисков, которые защищены углом и никогда не могут быть перевернуты. Такие диски называются стабильными дисками .


    Диаграмма 2-1

    На диаграмме 2-2 диски в нижнем ряду являются устойчивыми дисками, а на диаграмме 2-3 все 21 белый диск являются устойчивыми дисками. Если это не очевидно для вас, то потратьте некоторое время, чтобы убедить себя. Установите позиции на доске, а затем попробуйте перевернуть устойчивые диски, поставив черные диски туда, куда вам нравится.У черных просто нет возможности «отстать» от этих дисков, окружить и перевернуть их. Возможность создания стабильных дисков обычно делает угловые очень ценными, особенно в начале игры.


    Диаграмма 2-2
    Диаграмма 2-3

    Если подавать угловые так хорошо, то должно быть очевидно, что вы обычно не хотите отдавать их сопернику! Учитывая правила игры, единственный способ для вашего противника взять угловой — это сыграть на одном из квадратов рядом с угловым, т.е.е., C-квадраты или X-квадраты. Квадраты X особенно опасны, и ход в квадрат X в начале игры почти наверняка приведет к отказу от соседнего угла. Например, на Д. 2-4 белые только что перешли на X-поле g7. Хотя черные не могут сразу взять угол h8, но если они смогут установить хотя бы одну пешку на диагонали с3-f6, то черные смогут взять угол.


    Диаграмма 2-4: Ход черных

    Одна из возможностей для черных — сыграть b5, захватив диск на e5, как показано на диаграмме 2-5.Где бы белые ни играли, они не смогут отбить диск е5, а черные смогут занять угол h8 на своем следующем ходу. Как только черный получает угол, все его диски в ряду 8 становятся устойчивыми дисками, а позже в игре он, вероятно, сможет создавать устойчивые диски и на правом краю. В общем, чем раньше в игре взят угол, тем он ценнее, так как больше потенциал для создания стабильных дисков вокруг угла. В большинстве случаев ход на X-квадрат в начале игры оказывается фатальной ошибкой, хотя позже в книге мы рассмотрим некоторые исключительные обстоятельства, при которых ранние X-квадраты полезны.


    Диаграмма 2-5: Ход белых

    В то время как ходы в клетку X обычно позволяют противнику занять соседний угол, для клеток C степень опасности во многом зависит от остальных клеток на том же ребре. Например, на диаграммах 2-6, 2-7 и 2-8 черные быстро потеряют угол h2. На диаграмме 2-6 белые просто берут угол следующим ходом. На диаграмме 2-7 белые могут сыграть h4; У черных нет возможности захватить диск h4, и белые смогут сыграть h2 на своем следующем ходу.Вы видите, как белые могут захватить угол h2 на Д. 2-8?


    Диаграмма 2-6: Ход белых
    Диаграмма 2-7: Ход белых
    Диаграмма 2-8: Ход белых

    Начиная с Д. 2-8, белые должны играть h4, получая доступ к углу h2. Даже если черные захватят диск h4, сыграв h5, как на Д. 2-9, белые все еще имеют доступ к углу, как показано на Д. 2-10. Как видно из этих диаграмм, квадраты C часто бывают наиболее опасными, когда соседний квадрат A пуст, что позволяет противнику атаковать угол, играя в квадрат A.В следующих главах мы увидим еще много подобных примеров.


    Диаграмма 2-9
    Диаграмма 2-10: Ход белых

    Хотя при многих обстоятельствах C-поля являются плохими ходами, они довольно часто являются совершенно хорошими ходами, и часто они не несут опасности отказа от угла, несмотря на то, что находятся рядом с ним. На диаграммах 2-11, 2-12 и 2-13 показаны примеры, когда у черных есть хороший ход тюрьмой на h3. На диаграмме 2-11 ход h3 основывается на стабильных дисках черных и не дает белым шансов занять угол h2.На диаграмме 2-12 черные должны сыграть h3, чтобы белые не захватили угол h8. Как только он это сделает, ему не грозит немедленная потеря углового. На диаграмме 2-13 черные могут сыграть h3, а позже сыграть еще одно C-поле на h7, и все это без риска потерять угловой. Как показывают эти диаграммы, лучшее время для взятия квадрата C часто бывает, когда у вас есть фишки вашего цвета в других квадратах по краю.


    Диаграмма 2-11: Ход черных
    Диаграмма 2-12: Ход черных
    Диаграмма 2-13: Ход черных

    Упражнения

    На каждой диаграмме найдите лучший ход.Ответы начинаются отсюда.


    Упражнение 2-1. Ход белых
    Упражнение 2-2. Ход черных
    Упражнение 2-3. Ход белых
    Упражнение 2-4. Ход черных
    Упражнение 2-5. Ход черных
    Упражнение 2-6. Ход белых

    Заборы | Сан-Матео, Калифорния

    Обзор Раздел 27 Муниципального кодекса — это наш Кодекс зонирования. Вы можете найти в нашем кодексе (https://sanmateo.ca.us.open.law/) раздел 27.84, который касается заборов, деревьев и живых изгородей. В этом разделе регламентируется высота и расположение заборов и живых изгородей.

    Индивидуальные жилые кварталы

    • Передний двор : разрешены заборы или живые изгороди высотой до трех (3) футов.
    • Задний и боковой двор: ограждения могут быть высотой шесть (6) футов или до восьми (8) футов , если ваш сосед по соседству согласен, и конструкция забора на участке от шести (6) футов до восьми ( 8) ножка открыта не менее чем на 50%, с использованием решетчатого материала.
    • Угловые участки : заборы или живые изгороди в боковом дворе, примыкающем к улице, не могут быть выше трех (3) футов. Заборы или насаждения в пределах 45-футового треугольника от перекрестка также ограничены максимальной высотой в три (3) фута, чтобы они не мешали обзору.

    Что включает в себя боковой двор?

    Двор со стороны улицы включает территорию в пределах 7,5 футов (семь футов, шесть дюймов) от границы участка, примыкающей к боковой улице, или 15% ширины участка, в зависимости от того, что больше, но не более 15 футов в большинстве случаев. односемейные районы.

    Максимальная длина двора со стороны улицы составляет 25 футов для объектов недвижимости в районе: San Mateo Park, Grammercy Drive Area и Crystal Springs Estates.

    Как измеряется высота забора?

    Высота забора измеряется от земли до верха забора или столба. Для заборов между двумя участками, которые расположены террасами, высота забора измеряется от уровня земли верхнего участка.

    Какие ограждения требуют разрешений?

    Разрешение на строительство требуется для заборов высотой более семи (7) футов над землей.

    Какие заборы не требуют разрешений?

    Заборы высотой семь (7) футов или ниже, соответствующие правилам ограждения, не требуют разрешений.

    Как собрать кубик Рубика 2×2


    Введение

    Кубик Рубика 2x2x2 или его официальное название Pocket Cube — еще одна головоломка из серии кубиков Рубика, придуманная Эрно Рубиком. Считается «легкой» версией кубика Рубика. Вы обнаружите, что собрать кубик 2×2 намного проще, чем собрать классический кубик 3x3x3.

    Если вы уже умеете собирать кубик Рубика 3×3..

    Если вы уже можете собрать классический кубик Рубика, то вам повезло — вы уже знаете, как собрать кубик 2×2! Вот хорошая перспектива головоломки: куб 2×2 на самом деле является обычным кубом 3×3, без краев и центральных частей.Таким образом, в основном сборка куба 2×2 будет идентична сборке только углов куба 3×3. Вы будете удивлены тем, что некоторые из алгоритмов, которые вам нужно знать, на идентичны тем, которые вам понадобятся для решения куба 2×2, и вы уже знаете их все, если знакомы с методом быстрого решения.

    Прежде чем приступить к руководству по решению, убедитесь, что вы знаете обозначения ходов кубика Рубика. Для 2×2 обозначения точно такие же (те же грани, те же буквы, те же повороты куба, только без «ходов среднего слоя» — их нет в кубе 2×2)

    Сборка кубика Рубика 2×2

    Шаг 1: Решение первого слоя

    Этот шаг идентичен шагу 2 решения куба 3×3.Выберите цвет для начала (самый популярный цвет для начала — белый или желтый — в этом руководстве я выбрал желтый ). Выберите угол этого цвета (в нашем случае желтый) и поднесите к нему остальные 3 уголка. Убедитесь, что вы правильно собрали угловые элементы по отношению друг к другу (также боковые цвета угловых элементов должны соответствовать друг другу, а не только желтый. См. изображение — правильное/неправильное).

    Есть 3 разных случая, чтобы установить угловой элемент в правильное положение, не повреждая другие углы:

    Ф Д Ф’

    Р’Д’Р

    R’ D2 R D R’ D’ R

    Шаг 2: Ориентация деталей последнего слоя

    Переверните куб вверх дном (теперь решенный слой должен оказаться внизу). На этом этапе цель состоит в том, чтобы сориентировать последние части слоя. В результате должен получиться цвет, противоположный цвету, с которого мы начали (в нашем случае: цвет, противоположный желтому, — белый). Обратите внимание, что в отличие от первого шага здесь перестановка углов не имеет значения , а это означает, что их не нужно правильно решать относительно друг друга (боковые наклейки не должны совпадать).

    Существует 7 возможных случаев ориентации последнего слоя (не считая уже ориентированного случая):
    (Серый цвет означает, что наклейка не соответствует цвету верхней части лица.Полосы по бокам показывают, где находится цвет верхней грани. В нашем случае это белый, а не желтый. Не важно конечно.)

    Дело №1

    R’ U’ R U’ R’ U2 R

    Кейс №2

    L U L’ U L U2 L’

    Чемодан №3

    R2 U2 R U2 R2

    Дело №4

    F [RU R’ U’] [RU R’ U’] F’

    Дело № 5

    F [RU R’ U’] F’

    Дело № 6

    [RU U R’ U’] [R’ F R F’]

    Дело № 7

    [F R U’ R’ U’ R U R’ F’]


    Лучше всего выучить все 7 алгоритмов. Однако полностью решить этот шаг можно, используя только 1 алгоритм — первый алгоритм. Идея состоит в том, чтобы выполнить этот алгоритм с разных сторон, пока не появится подходящий случай, затем выполнить его еще раз и решить шаг. Все возможные кейсы можно решить за 3 исполнения или 2, если использовать еще и его зеркальный алгоритм (кейс №2).

    Первый алгоритм ориентирует 3 угла против часовой стрелки и оставляет 4-й угол нетронутым (его зеркальный алгоритм, случай №2, делает то же самое, но по часовой стрелке).Перед выполнением попробуйте подумать, под каким углом выполнение этого алгоритма оставит только 1 ориентированный угол (можно сделать за 1 выполнение из всех случаев), чем просто применить подходящий алгоритм (случай №1 или №2). Вы можете выполнить алгоритм № 1 дважды вместо использования алгоритма № 2, когда это необходимо (в случае, если требуется вращение по часовой стрелке (случай № 2). Выполнение дважды против часовой стрелки для углов будет таким же, как выполнение ориентации по часовой стрелке, которая будет решить их. )

    Обратите внимание, что 6 из этих 7 алгоритмов точно такие же, как алгоритмы, используемые в методе быстрого решения кубика Рубика.Вы можете видеть, что это те же самые 7 возможных случаев, когда все ребра 3×3 ориентированы: Страница алгоритмов OLL. Однако, поскольку ребер для сохранения нет, мы можем использовать более короткие алгоритмы из других случаев традиционного ОЛЛ кубика Рубика 3х3, лишь бы они поворачивали углы так, как нам нужно:

    • Для первого случая лучшим алгоритмом является анти-Sune (алгоритм OLL #26)
    • Для второго случая лучшим алгоритмом является Sune (алгоритм OLL #27)
    • Третий случай особенный: можно применить более короткий алгоритм, который существует в OLL 3×3, однако алгоритм OLL #21 очень хорош)
    • Для четвертого случая лучшим алгоритмом является самый простой L (алгоритм OLL #48)
    • Для пятого случая лучшим алгоритмом является первый T (алгоритм OLL #45)
    • Для шестого случая лучшим алгоритмом является второй T (алгоритм OLL #33)
    • Для седьмого случая лучшим алгоритмом является первая рыба (алгоритм OLL #37)

    Шаг 3 (и последний): перестановка частей последнего слоя

    На этом этапе цель состоит в том, чтобы переставить части последнего слоя, чтобы они также были правильно решены по отношению друг к другу, а не только правильно ориентированы. Этот шаг очень похож на шаг 5 решения 3×3 (метод для начинающих) (также можно применить тот же алгоритм, просто тот, который я здесь показываю, переставляет углы по часовой стрелке, а не против часовой стрелки).

    Способ решения этого метода заключается в поиске 2 углов, которые правильно переставлены по отношению друг к другу (можно легко распознать по тому факту, что 2 правильно решенных угла по отношению друг к другу имеют одинаковый цвет на их общей грани . Ищите одинаковый цвет в 2 соседних углах).Если у вас нет 2 углов, которые правильно переставлены, просто выполните следующий алгоритм ниже под любым углом, который вы хотите. После этого выполнения появятся 2 правильно переставленных угла.

    Тогда:

    • Сделайте несколько разворотов, чтобы 2 соседних одинаковых цвета выстроились в линию с их цветом на нижнем слое. Поверните куб так, чтобы полученный цвет оказался на правой грани — см. изображение выше.
    • Сделай U один раз .
      Результатом этого движения является то, что передний левый угол теперь станет «решенным», а 3 других угла потребуют поворота между ними по часовой стрелке.Это именно то, что делает следующий алгоритм.
    • Выполнить следующий алгоритм : (Это алгоритм Aa-perm. l’ заменено на L’, поскольку нет промежуточного слоя)

    L’ U R’ D2 R U’ R’ D2 R2

    Вот и все! Вы только что собрали кубик Рубика 2 на 2! Поздравляем! Продолжайте практиковаться в решении первого слоя и выучите алгоритмы наизусть, чтобы вы могли решить куб 2×2, не нуждаясь в том, чтобы они записывались вокруг вас (они также полезны для спидкубинга 3×3!).Если вы еще не собрали кубик Рубика 3×3, самое время начать, у вас уже есть основные основы! Поздравляем!

    Добавить Rubiksplace.com в Избранное!
    Прочтите мой лучший путеводитель по кубикам скорости 2×2
    Где я просматриваю лучшие кубы 2×2 на сегодняшний день, текущие мировые рекорды, выбор лучших куберов и где их взять. Они намного быстрее и приятнее решать и стоят около 10$.

    2×2 Кубик Рубика — Учебное пособие по решению для начинающих с алгоритмами

    Кубик Рубика 2x2x2 (также называемый карманным кубиком или мини-кубиком) представляет собой двухслойную версию кубика Рубика.Эта головоломка была изобретена Рубиком Эрно до 80-х годов и была запатентована 29 марта 1983 года. На первый взгляд может показаться, что это простая головоломка, но приятно знать, что она имеет более 3,6 миллионов возможных перестановок, так что это невозможно решить ее, просто случайным образом скручивая лица.

    Куб 2×2 является официальным соревнованием WCA, самое быстрое решение которого составляет менее 2 секунд.

    Запустите симулятор и решатель Pocket Cube

    Модификации Pocket Cube

    2x2x2 вдохновил многих дизайнеров, и с 1981 года было выпущено множество вариаций и модификаций формы, как показано на картинке выше.

    Начиная сверху слева двухцветный со смещением по центру Карманный куб Мефферта от Джастина Эплетта, который в основном представляет собой 2×2 в 2×2. Pyramorphix — это не 2×2 Pyraminx, а фактически умный мод, в котором вам нужно беспокоиться об ориентации только 4 частей. Головоломка в форме додекаэдра Киломинкс — младший брат Мегаминкса. Справа член зомби-серии Mad Heads , что доказывает, что на ядре этого куба можно построить любую форму.Головоломки 2×2 доступны в виде мультяшных фигурок, наиболее распространенной из которых является голова Гомера Симпсона.

    Призрачный куб и Зеркальный куб во втором ряду, которые, вероятно, являются самыми популярными модификациями формы кубов NxNxN. Следующая неизвилистая скользящая головоломка Inside out 2x2x2 (или Vadász Kocka), которая работает как 3D-головоломка 15. Небольшая сиамская (триамская) головоломка, в которой три кубика делят свои угловые части.

    Цветовые узоры

    Если вам надоело просто собирать кубик традиционным способом, попробуйте несколько красивых цветовых узоров. Попробуйте дотянуться до схем на картинках или придумать новые. Имея только четыре наклейки на лицо, возможности ограничены по сравнению с цветовыми узорами кубика Рубика. Найдите алгоритмы ниже, если вы застряли.

    • Четверти: U F2 U2 R2 U
    • Зигзаг: R2 F2 R2 U2
    • Куб в кубе: R F U’ R2 U F’ R U F2 R2
    • Шахматная доска: U R F2 U R F2 R U F’ R
    • Стойка: U R U’ R2 U’ R’ F’ U F2 R F’
    • Спираль: U2 F2 R2 U2

    Как собрать Pocket Cube?

    Кубик 2×2 — это, по сути, кубик Рубика без центральной и краевой частей, имеющий только 8 угловых частей.Если вы можете решить классическую 3x3x3, то вы сможете разобрать и эту.

    Вы можете встретить два случая, которые вы никогда не увидите на 3x3x3: когда на последнем слое переключаются две фигуры.

    Поменяйте местами две детали
    рядом друг с другом:

    L F’ L’ D’ L’ D F Поменяйте местами два
    противоположных угла:

    F L F L’ D’ L’ D

    Для решения этой проблемы используйте один из алгоритмов. Если вы не знаете, что означают буквы, прочтите обозначения кубика Рубика.

    Метод решения для начинающих

    Если вы никогда не собирали кубик Рубика, вот самый простой метод сборки для начинающих.

    Чтобы решить головоломку, нам нужно вращать грани, поэтому обозначим их буквами: F (спереди), R (справа), L (слева), D (снизу). Одна буква означает вращение по часовой стрелке, в то время как обратные повороты отмечены апострофом ( F’ ), а двойные повороты отмечены цифрой 2 ( F2 ).

    Пример алгоритма: F R’ U2 (повернуть лицевой стороной по часовой стрелке, затем правой против часовой стрелки и сделать поворот лицевой стороной вверх на 180°)

    Шаг 1: белое лицо

    Начните с белого лица. Это самая простая часть, поэтому вы можете попытаться сделать это без использования алгоритмов.

    Нам нужно разместить белые части рядом друг с другом, убедившись, что цвета сторон совпадают, как показано на первом изображении. Вот алгоритмы перемещения детали с задней стороны на переднюю.Есть три возможных ориентации фигуры, поэтому нам нужны три алгоритма для размещения белых фигур.

    Вариант 1: D’ R’ D
    Вариант 2: RBR’
    Вариант 3: RD B2 D’ R’
    задний слой и выполните один из трех вышеописанных случаев ( D’RD ).

    Шаг 2: Размещение желтых углов

    Переверните куб белой стороной вниз, потому что нам больше не нужно с ним работать.Поверните верхний слой, чтобы увидеть, сколько частей можно переместить в их конечное положение. Ориентация на данном этапе не имеет значения.

    1. В конечное положение можно переместить только одну фигуру: выполните  У Р У’ Л’ У Р’ У’ Л , удерживая правильную фигуру в переднем правом верхнем положении, чтобы прокрутить остальные три угла.
    2. Поменяйте местами две детали верхней передней части: L F’ L’ D’ L’ D F
    3. Поменяйте местами два диагональных угла:  F L F L’ D’ L’ D

    Шаг 3. Ориентация желтых углов

    В этот момент все фигуры находятся на своих окончательных позициях, нам просто нужно сориентировать желтые углы.

    Держите головоломку в руках с неразгаданной желтой частью в положении FRU (спереди справа вверху), затем повторите алгоритм R’ D’ RD дважды или четыре раза, пока эта конкретная деталь не будет правильно сориентирована. Делая U’  ходов, перенесите еще одну нерешенную фигуру на место FRU и повторяйте R’ D’ R D , пока эта конкретная фигура не будет в порядке. На каждом шаге алгоритм нужно выполнить дважды, чтобы повернуть угол против часовой стрелки, и четыре раза, чтобы повернуть его по часовой стрелке.

    Примеры

    1.Фары: Две желтые наклейки, обращенные вперед: (R’ D’ RD)x4 U’ (R’ D’ RD)x2
    2. Желтые по бокам в переднем слое: (R’ D’ RD) x2 U’ (R’ D’ RD)x4
    3.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *