Показательная функция

1.Показательная функция – это функция вида у(х) =а^х  , зависящая от показателя степени х, при постоянном значении основания степени a , где а > 0, a ≠ 0, xϵR (R – множество действительных чисел).

Рассмотрим график функции, если основание не будет удовлетворять условию: а>0
a) a < 0
Если a < 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
а = -2

х	-1	0	1	2	3	4	5	6
у	-0,5	1	-2	4	-8	16	-32	64

б) a = 0

Если а = 0 – функция у =  определена и имеет постоянное значение 0

x	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
y	0	0	0	0	0	0	0	0	0

 

в) а =1
Если а = 1 – функция у =  определена и имеет постоянное значение 1

2. Рассмотрим подробнее показательную функцию:

0 <a< 1

 

a > 1

x	-1	0	1	2	3	4	5	6
y	0,5	1	2	4	8	16	32	64

1. X ϵ R

Область определения функции (ООФ)

D(y) = R

2. y > 0

Область допустимых значений функции (ОДЗ)

3. Нули функции (у = 0)

Нет

4. Точки пересечения с осью ординат oy  (x = 0)

Y = 1

5. Возрастания, убывания функции

Если  , то функция f(x) возрастает
Если   , то функция f(x) убывает

Функция y= , при 0 <a< 1 монотонно убывает
Функция у = , при a> 1 монотонно возрастает
Это следует из свойств монотонности степени с действительным показателем.

6. Чётность, нечётность функции

Функция у =  не симметрична относительно оси 0у и относительно началу координат, следовательно не является ни чётной, ни нечётной. (Функция общего вида)

7. Функция у =  экстремумов не имеет

8. Свойства степени с действительным показателем:

Пусть а > 0; a≠1
b> 0; b≠1

Тогда для xϵR; yϵR:

Свойства монотонности степени:

если , то
Например:

Если a> 0,  , то .
Показательная функция непрерывна в любой точке  ϵ R.

9. Относительное расположение фунцкции

Чем больше основание а, тем ближе к осям ох и оу

a > 1, a = 20

x	-1	0	1	2	3
y	0,05	1	20	400	8000

Чем меньше основание а, тем дальше от осей ох и оу

0 <a< 1

х	-1	0	1	2	3	4	5
у	1,25	1	0,8	0,64	0,512	0,4096	0,32768

Если а 0, то показательная функция принимает вид близкий к y = 0.
Если а 1, то дальше от осей ох и оу и график принимает вид близкий к функции у = 1.

Пример 1.
Построить график у =

Решение:

x	-2	-1	0	1	2
y	0,111111	0,333333	1	3	9

Основание степени больше 1, следовательно, функция строго возрастает

Пример 2.

Решение:

x	-2	-1	0	1	2
y	9	3	1	0,333333	0,111111

Основание степени меньше 1, следовательно функция сторого убывает

Пример 3.
Используя график, найти корни уравнения:

Решение:
Построим на одной координатной плоскости графики функции    и у = х + 3

x	-2	-1	0	1	2
	4	2	1	0,5	0,25
	1	2	3	4	5

Пример 4.
Какие значения аргумента допустимы для функции:

Решение:

Условия существования корня:

Условие существования дроби:

Автор статьи: Дьяков Александр Дмитриевич

Редакторы статьи: Гаврилина Анна Викторовна, Агеева Любовь Александровна

www.teslalab.ru

Показательная функция

Введем сначала определение показательной функции.

Определение 1

Функция $f\left(x\right)=a^x$, где $a>0,\ a\ne 1$, называется показательной функцией.

Далее будем рассматривать два отдельных случая: когда $01$.

Показательная функция $f\left(x\right)=a^x$, где $a >1$.

Введем свойства показательной функции, при $a >1$.

1. Область определения — все действительные числа.

2. $f\left(-x\right)=a^{-x}=\frac{1}{a^x}$ — функция ни четна, ни нечетна.

3. $f(x)$ — непрерывна на всей области определения.

4. Область значения — интервал $(0,+\infty )$.

5. $f'(x)=\left(a^x\right)’=a^xlna$

   \[a^xlna=0\] \[корней\ нет.\] \[f’\left(x\right) >0\]

   Функция возрастает на всей области определения.

6. $f(x)\ge 0$ на всей области определения.

7. Пересечение с осями координат. Функция не пересекает ось $Ox$, но пересекает ось $Oy$ в точке $(0,1)$.

8. $f»\left(x\right)={\left(a^xlna\right)}’=a^x{ln}^2a$

   \[a^x{ln}^2a=0\] \[корней\ нет.\] \[f»\left(x\right) >0\]

   Функция выпукла на всей области определения.

9. Поведение на концах области определения:

   \[{\mathop{lim}_{x\to -\infty } a^x\ }=0\] \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } a^x\ }=+\infty \]

10. График (рис. 1).

Рисунок 1. График функции $f\left(x\right)=a^x,\ при\ a >1$.

Показательная функция $f\left(x\right)=a^x$, где $0

Введем свойства показательной функции, при $0

1. Область определения — все действительные числа.

2. $f\left(-x\right)=a^{-x}=\frac{1}{a^x}$ — функция ни четна, ни нечетна.

3. $f(x)$ — непрерывна на всей области определения.

4. Область значения — интервал $(0,+\infty )$.

5. $f'(x)=\left(a^x\right)’=a^xlna$

   \[a^xlna=0\] \[корней\ нет.\] \[f’\left(x\right)Функция убывает на всей области определения.

6. $f(x)\ge 0$ на всей области определения.

7. Пересечение с осями координат. Функция не пересекает ось $Ox$, но пересекает ось $Oy$ в точке ($0,1)$.

8. $f»\left(x\right)={\left(a^x{ln}^2a\right)}’=a^x{ln}^3a$

   \[a^x{ln}^3a=0\] \[корней\ нет.\] \[f»\left(x\right)>0\]

   Функция выпукла на всей области определения.

9. Поведение на концах области определения:

   \[{\mathop{lim}_{x\to -\infty } a^x\ }=+\infty \] \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } a^x\ }=0\]

10. График (рис. 2).

Пример задачи на построение показательной функции

Исследовать и построить график функции $y=2^x+3$.

Решение.

Проведем исследование по примеру схемы выше:

1. Область определения — все действительные числа.

2. $f\left(-x\right)=2^{-x}+3$ — функция ни четна, ни нечетна.

3. $f(x)$ — непрерывна на всей области определения.

4. Область значения — интервал $(3,+\infty )$.

5. $f’\left(x\right)={\left(2^x+3\right)}’=2^xln2>0$

   Функция возрастает на всей области определения.

6. $f(x)\ge 0$ на всей области определения.

7. Пересечение с осями координат. Функция не пересекает ось $Ox$, но пересекает ось $Oy$ в точке ($0,4)$

8. $f»\left(x\right)={\left(2^xln2\right)}’=2^x{ln}^22>0$

   Функция выпукла на всей области определения.

9. Поведение на концах области определения:

   \[{\mathop{lim}_{x\to -\infty } a^x\ }=0\] \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } a^x\ }=+\infty \]

10. График (рис. 3).

Рисунок 3. График функции $f\left(x\right)=2^x+3$

spravochnick.ru

Элементарные функции. Показательная функция | Подготовка к ЕГЭ по математике

Категория: Справочные материалыФункции и графики

Елена Репина 2013-05-15 2019-08-13

Показательная функция – функция , , где – основание степени, а – показатель степени.

Логарифмическая функция является обратной для показательной.

Для примера, построим график функции

Заполняем таблицу:

Мы вольны брать любые значения . Заметим, что и . Получаем следующие пары :

Наносим полученные точки на координатную плоскость, плавной линией соединяем их. Понимаем, что при стремлении к , будет стремиться к

А график функции, например,   будет выглядеть так:

Мы уже можем заметить следующее:

У графика показательной функции есть особая точка: , – он обязательно через нее проходит.

В зависимости от основания, показательная функция возрастает или убывает  (в первом случае – возрастание, во втором случае – убывание ).

Вам очень могут  пригодиться следующие правила:

 

Значение не определено

Если и , то .

Значение при не определено.

,

Автор: egeMax | Нет комментариев | Метки: графики функций, функции

egemaximum.ru

Функция y=logax, ее свойства и график. Решение задач. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

Напомним, что логарифмической называется функция вида , где , . Здесь  – независимая переменная, аргумент;  – зависимая переменная, фунция;  – основание, фиксированное число.

Рис. 1 – график логарифмической функции при  (черный) и  (красный)

Основные свойства логарифмической функции:

1) Область определения: , ;

2) Область значений: , ;

3) ;

4) при  функция возрастает,  при  – убывает;

Итак, под знаком логарифма может стоять только положительное число, причем любое. Сам же логарифм может принимать абсолютно любые значения. Логарифм единицы при любом основании равен нулю, то есть все логарифмические кривые проходят через фиксированную точку .

Мы многократно указывали на монотонность логарифмической функции, но никогда не доказывали этот факт. Рассмотрим на конкретном примере и тогда станет понятно, как для любой логарифмической функции доказать факт ее монотонного возрастания или убывания.

Задача:

Доказать, что функция  монотонно возрастает.

Доказательство:

Напомним, что  (выражение 1) является корнем уравнения  (выражение 2). Подставим значение  из выражения 1 вместо  в выражение 2 и получим основное логарифмическое тождество:

Напомним, что здесь , ,

Утверждение, что функция монотонно возрастает, означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции: . Запишем  и  с помощью основного логарифмического тождества:

,

Мы выбрали  и  из области определения, то есть оба эти числа положительны, так, что :

Имеем:

Получили показательное неравенство, в котором основания степеней равны и больше единицы, значит, имеем право сравнить показатели, сохранив при этом знак неравенства:

Что и требовалось доказать.

Перейдем к решению типовых задач.

Пример 1 – решить уравнение, неравенство:

а)

б)

в)

Рассмотрим график логарифмической функции :

Рис. 2 – график функции

Очевидно, что функция возрастает.

Решим уравнение:

Пример а) решен.

Итак, заданная функция имеет единственный корень и вся область определения разбивается этим корнем на два интервала: первый интервал , здесь функция отрицательна, кривая находится под осью; второй интервал , здесь функция положительна, кривая находится над осью. Ответ очевиден.

Ответ: а) ; б) ; в)

Решим аналогичную задачу.

Пример 2:

а) 

б) 

в) 

Рассмотрим график логарифмической функции :

Рис. 3 – график функции 

Очевидно, что функция убывает.

Решим уравнение: 

Пример а) решен.

Итак, заданная функция имеет единственный корень и вся область определения разбивается этим корнем на два интервала: первый интервал , здесь функция положительна, кривая находится над осью; второй интервал , здесь функция отрицательна, кривая находится под осью. Ответ очевиден.

Ответ: а) ; б); в)

Важной типовой задачей является оценка логарифмических констант.

Пример 3 – оценить числа:

а) ;

а) ;

Рассмотрим логарифмическую функцию с основнаием 2:

Рис. 4 – график функции

При  функция равна нулю. Покажем некоторые степени двойки. Например,  (первая степень), при этом ;  (вторая степень), при этом ;  (третья степень), при этом

Аргумент  расположен между  и , отсюда значение функции  расположено между двойкой и тройкой.

Аналогично аргумент  расположен между  и , отсюда значение функции  расположено между единицей и двойкой.

Ответ: а) ; б)

Пример 4 – решить неравенство:

 

Очевидно, что решение сводится к оценке логарифмических констант.

Итак, оценим первый логарифм, второй логарифм, а затем всю скобку.

, т.к.

, т.к.

Таким образом, первый логарифм лежит в пределах от двух до трех, а второй – от трех до четырех, очевидно, что их разность  меньше либо равна нулю. Таким образом, чтобы выполнялось заданное неравенство необходимо чтобы  был отрицательным.

Ответ:

Пример 5 – построить график функции: 

Чтобы уверенно решать подобные задачи, нужно знать внешний вид графика логарифмической функции и знать правила преобразования графиков. В данном случае первым действием мы строим граик функции , а вторым сдвигаем его на две единицы вправо.

Рис. 5 – решение примера 5

В следующих задачах важно учитывать область определения.

Пример 6 – построить график функции:

а)

Найдем область определения. Заданный логарифм существует, когда аргумент больше нуля и не равен единице:

,

, т.к.

Получаем график функции:

Рис. 6 – решение примера 6.а

б)

Заданная функция определена, когда аргумент строго больше нуля:

, согласно основному логарифмическому тождеству.

Имеем график функции:

Рис. 7 – решение примера 6.б

Пример 7 – найти область значений функции: 

Изучим функцию

Это квадратичная функция,

Теперь задача сводится к нахождению области значений следующей функции:

Данная функция нам знакома, мы знаем, что логарифмическая функция с основанием 2 монотонно возрастает, исходя из этого, нам достаточно найти значение функции при :

Ответ:

 

Итак, мы достаточно подробно изучили логарифмическую функцию, ее совйства и графики, научились решать основные типовые задачи. Далее мы перейдем к рассмотрению свойств логаримфа.

 

Список рекомендованной литературы.
1) Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. М.: Мнемозина
2) Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. М.: Дрофа. 
3) Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. М.: Просвещение.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет:

1) Интернет-сайт «ГлавСправ» (Источник)

2) Интернет-сайт Nado5.ru (Источник)

3) Интернет-сайт UzTest.ru (Источник)

 

Рекомендованное домашнее задание.

1. Алгебра и начала анализа, 10—11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, №502,503,507;

2. Найдите область значений функции:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

3. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

interneturok.ru

Показательная функция, её свойства и график.

Просмотр содержимого документа
«Показательная функция, её свойства и график.»

Показательная функция, её свойства и график.

При изучении степенной функции мы говорили, что аргументом у этой функции является основание степени. А что происходит, когда аргументом будет показатель степени? В этом случае рассматривается уже другая функция – показательная.

Показательной называется функция вида , где – некоторое число, причём .

Поясним условия выбора основания степени. Аргумент этой функции является произвольным вещественным числом, которое может равняться, например, или . Значит, число, которое мы возводим в эту степень должно быть неотрицательным (по определению степени с рациональным показателем). Если , то , а это есть линейная функция и графиком её является ось абсцисс. Если , то , а это тоже линейная функция и графиком её является прямая, проходящая через точку , параллельная оси абсцисс. Значит, показательная функция рассматривается только для значений .

Свойства и график показательной функции зависят от значений . Мы знаем, что возводя число, меньшее 1 (но большее нуля), в какую-либо степень, само число уменьшается. А если возводим число, большее 1, в какую-либо степень, само число увеличивается. Поэтому, рассматривая показательную функцию, всегда делают акцент на основание .

Свойства показательной функции.

1. Область определения – множество всех действительных чисел:

2. Область значений – множество всех положительных чисел: .

3. . Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной и график этой функции не обладает симметричностью ни относительно Оу, ни относительно начала координат.

4. Функция возрастает на всей области определения, если

функция убывает на всей области определения, если .

1. Функция непрерывна на всей области определения.

2. Асимптотой функции является ось абсцисс.

График показательной функции не имеет собственного названия. Он проходит через точку при любом допустимом значении , не пересекает ось Ох и возрастает, если , убывает, если .

Как и ко всем, ранее изученным, к графику показательной функции можно применять геометрические преобразования, т.е. растяжение, сжатие, смещение вдоль осей Оу и Ох.

На рисунке изображён схематический график показательной функции.

Приведём примеры показательных функций.

1. – показательная функция, график её располагается выше оси Ох, проходит через точку , возрастает, т.к. . Возьмём несколько дополнительных точек: .

1. – показательная функция, график её располагается выше оси Ох, проходит через точку , убывает, т.к. . Возьмём несколько дополнительных точек: .
   

1. Среди заданных функций указать те, которые являются показательными:

2. Найти значение показательной функции при заданных значениях аргумента:

1. Найти значение аргумента, при котором функция принимает заданное значение:

2. Найти значение аргумента, при котором функция принимает заданное значение:

3. В одной системе координат построить графики функций:

4. Определить, какое из чисел больше, если:

5. Сравнить значения , если:

6. Сравнить значения , если:

7. Сравнить значения , если:

8. Определить, какое из чисел больше, если:

1. Построить графики функций и опишите их свойства:

2. Найти область определения функции:

3. Найти область значений функции:

4. Найти область определения и область значений функции:

5. Найти область значений функции на заданном отрезке:

6. Исследовать функцию на чётность:

7. Исследовать на монотонность функцию:

multiurok.ru

Показательная функция, ее свойства и график

Вопросы занятия:

·     ввести показательную функцию как обратную к степенной;

·     рассмотреть свойства и графики показательной функции, в зависимости от основания.

Материал урока

До сегодняшнего урока мы с вами рассматривали степенные функции, основанием которых была переменная x, а показателем произвольное число а. Эти функции мы рассмотрели с различными показателями и изучили их свойства, посмотрели, как себя ведут графики этих функций.

А сегодня давайте попробуем поменять местами основание и показатель степени и рассмотрим выражение: a^x. Поскольку каждому x ставится в соответствие единственное выражение a^x, то можно сказать, что задана функция:

Такую функцию называют показательной. Давайте теперь попробуем определить, для любого ли а можно задать такую функцию?

Напомним, что степенную функцию мы определяли только на промежутке [0; + ∞), причём, в случае отрицательного а, 0 исключался из этого промежутка. Это мы обосновывали тем, что отрицательное число можно возвести лишь в некоторые рациональные степени, а 0 нельзя возводить в неположительную степень. Такие же ограничения накладываются на основание показательной функции, то есть в качестве а можно брать только положительные числа. Причём ещё исключается число 1. Потому что единица в любой степени равна единице.

Теперь давайте определим множество, которое будет являться областью определения данной функции.

Мы сказали, что функция определена на множестве рациональных чисел, но ещё есть иррациональные числа, как же быть с ними?

Давайте рассмотрим частный случай показательной функции:

И попробуем вычислить значение выражения:

Мы знаем, что:

С помощью калькулятора несложно вычислить приближенное значение этого выражения:

Как же вычислить значение степени с иррациональным показателем? Рассмотрим последовательность рациональных чисел:

И будем находить значение выражения 2^x для каждого из этих чисел:

Мы получили возрастающую последовательность приближений, соответственно возрастает и вторая последовательность. Все члены этой последовательности – это положительные числа, меньшие два в квадрате, то есть последовательность ограничена. По теореме Вейерштрасса, если последовательность возрастает и ограничена, то она имеет предел. Этот предел и будет значением числового выражения:

Подводя итог нашим рассуждений, можно записать определение.

Определение.

Пусть a > 1 и α = a, a₁a₂a₃…a_n… – положительное иррациональное число (бесконечная непериодическая дробь). Составим последовательность десятичных приближений числа a по недостатку:

Тогда предел последовательности

обозначают

и называют степенью с иррациональным показателем.

Если a > 1 и α < 0 – иррациональное число, то под выражением:

будем понимать выражение:

Если 0 < α < 1, то под выражением:

будем понимать выражение:

.

Таким образом, показательная функция определена на множестве действительных чисел.

D(y = a^x) = ( – ∞; + ∞)

Вернёмся к рассмотренной выше функции:

Построим график этой функции.

Для этого построим таблицу значений этой функции, отметим полученные точки на координатной плоскости, соединим полученные точки и получим график функции:

Такой же вид будет иметь и график функции вида:

С помощью графика легко записать основные свойства функции.

Областью определения будет вся числовая прямая.

Областью значений будет промежуток (0; + ∞).

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

Функция возрастает на всей области определения.

Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу.

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Функция непрерывна на всей области определения.

Функция выпукла вниз.

Рассмотрим теперь функцию:

Построим график этой функции.

Для этого построим таблицу значений этой функции, отметим полученные точки на координатной плоскости, соединим полученные точки и получим график функции.

Такой же вид будет иметь и график функции:

С помощью графика легко записать основные свойства функции.

Областью определения будет вся числовая прямая.

Областью значений будет промежуток от нуля до плюс бесконечности.

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

Функция убывает на всей области определения.

Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу.

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Функция непрерывна на всей области определения.

Функция выпукла вниз.

Если мы построим графики функций на одном графике,

то заметим, что графики этих функций симметричны относительно Oy.

Аналогично будут симметричны и графики функций:

Теперь давайте дадим чёткое определение показательной функции и выделим наиболее важные её свойства.

Функцию вида:

называют показательной функцией.

Запишем основные свойства показательной функции.

График функции и саму функцию называют экспонентой.

По графику легко увидеть, что ось Ox будет являться горизонтальной асимптотой экспоненты.

С показательными функциями связаны многие экономические, биологические, физические законы.

Сделаем важное замечание: не будем путать понятия степенная и показательная функция. Напомним, что функция вида y = x^a называется степенной, а функция y = a^x – это показательная функция.

А функцию y =x^x не считают ни показательной, ни степенной (её иногда называют показательно-степенной).

Рассмотрим пример.

Сформулируем теоремы.

Теорема 1.

Если a > 1, то равенство a^t = a^s справедливо тогда и только тогда, когда t = s.

Теорема 2.

Если a > 1, то неравенство a^x > 1 справедливо тогда и только тогда, когда x > 0; неравенство a^x < 1, справедливо тогда и только тогда, когда x < 0.

Доказывать эти теоремы мы не будем.

Рассмотрим ещё один пример.

Сформулируем ещё две теоремы.

Теорема 1.

Если 0 < a < 1, то равенство a^t = a^s справедливо тогда и только тогда, когда t = s.

Теорема 2.

Если 0 < a < 1, то неравенство a^x > 1 справедливо тогда и только тогда, когда

x < 0; неравенство a^x < 1, справедливо тогда и только тогда, когда x > 0.

Давайте повторим главное.

Функцию вида:

называют показательной функцией.

Запишем основные свойства показательной функции.

График функции и саму функцию называют экспонентой.

videouroki.net

Производная степенно показательной функции — примеры вычисления

Определение и формулы

Степенно-показательная функция

– это функция, имеющая вид степенной функции
y = u^v,
у которой основание u и показатель степени v являются некоторыми функциями от переменной x:
u = u(x);   v = v(x).
Эту функцию также называют показательно-степенной или сложной показательной функцией.

Заметим, что степенно-показательную функцию можно представить в показательном виде:
.
Поэтому ее также называют сложной показательной функцией.

Далее мы покажем, что производная степенно-показательной функции определяется по формуле:
(1)   .

Производная степенно-показательной функции

Вычисление с помощью логарифмической производной

Найдем производную степенно-показательной функции
(2)   ,
где и есть функции от переменной .
Для этого логарифмируем уравнение (2), используя свойство логарифма:
.
Дифференцируем по переменной x:
(3)   .
Применяем правила дифференцирования сложной функции и произведения:
;
.

Подставляем в (3):
.
Отсюда
.

Итак, мы нашли производную степенно-показательной функции:
(1)   .
Если показатель степени являются постоянной, то . Тогда производная равна производной сложной степенной функции:
.
Если основание степени являются постоянной, то . Тогда производная равна производной сложной показательной функции:
.
Когда и являются функциями от x, то производная степенно-показательной функции равна сумме производных сложной степенной и показательной функций.

Вычисление производной приведением к сложной показательной функции

Теперь найдем производную степенно-показательной функции
(2)   ,
представив ее как сложную показательную функцию:
(4)   .

Дифференцируем произведение:
.
Применяем правило нахождения производной сложной функции:

.
И мы снова получили формулу (1).

Пример 1

Найти производную следующей функции:
.

Решение

Вычисляем с помощью логарифмической производной. Логарифмируем исходную функцию:
(П1.1)   .

Из таблицы производных находим:
;
.
По формуле производной произведения имеем:
.
Дифференцируем (П1.1):
.
Поскольку
,
то
.

Ответ

.

Пример 2

Найдите производную функции
.

Решение

Логарифмируем исходную функцию:
(П2.1)   .
Из таблицы производных находим:
;
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции:

.
Дифференцируем (П2.1), применяя формулу производной произведения двух функций:

.
Поскольку
,
то
.

Ответ

.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 29-11-2016

1cov-edu.ru