Квадратный корень
Предварительные навыкиОсновные сведения
Чтобы найти площадь квадрата, нужно длину его стороны возвести во вторую степень.
Найдём площадь квадрата, длина стороны которого 3 см
S = 32 = 9 см2
Теперь решим обратную задачу. А именно, зная площадь квадрата определим длину его стороны. Для этого воспользуемся таким инструментом как кóрень. Корень бывает квадратный, кубический, а также n-й степени.
Сейчас наш интерес вызывает квадратный корень. По другому его называют кóрнем второй степени.
Для нахождения длины стороны нашего квадрата, нужно найти число, вторая степень которого равна 9. Таковым является число 3. Это число и является кóрнем.
Введём для работы с корнями новые обозначения.
Символ кóрня выглядит как . Это по причине того, что слово корень в математике употребляется как радикал
Под корнем располагáют подкореннóе выражение. В нашем случае подкоренным выражением будет число 9 (площадь квадрата)
Нас интересовал квадратный корень (он же корень второй степени), поэтому слева над корнем указываем число 2. Это число называют показателем корня (или степенью корня)
Получили выражение, которое читается так: «квадратный корень из числа 9». С этого момента возникает новая задача по поиску самогó корня.
Если число 3 возвести во вторую степень, то получится число 9. Поэтому число 3 и будет ответом:
Значит квадрат площадью 9 см2 имеет сторону, длина которой 3 см. Приведённое действие называют извлечéнием квадрáтного кóрня.
Нетрудно догадаться, что квадратным корнем из числа 9 также является отрицательное число −3. При его возведении во вторую степень тоже получается число 9
Получается, что выражение имеет два значения: 3 и −3. Но длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом, поэтому для нашей задачи ответ будет только один, а именно 3.
Вообще, квадратный корень имеет два противоположных значения: положительное и отрицательное.
Например, извлечём квадратный корень из числа 4
Это выражение имеет два значения: 2 и −2, поскольку при возведении этих чисел во вторую степень, получится один и тот же результат 4
Поэтому ответ к выражению вида записывают с плюсом и минусом. Плюс с минусом означает, что квадратный корень имеет два противоположных значения.
Запишем ответ к выражению с плюсом и минусом:
Определения
Дадим определение квадратному корню.
Квадратным корнем из числа a называют такое число b, вторая степень которого равна
То есть число b должно быть таким, чтобы выполнялось равенство b2 = a. Число b (оно же корень) обозначается через радикал так, что . На практике левая и правая часть поменяны местами и мы видим привычное выражение
Например, квадратным корнем из числá 16 есть число 4, поскольку число 4 во второй степени равно 16
42 = 16
Корень 4 можно обозначить через радикал так, что .
Также квадратным корнем из числá 16 есть число −4, поскольку число −4 во второй степени равно 16
(−4)2 = 16
Если при решении задачи интересует только положительное значение, то корень называют не просто квадратным, а арифметическим квадратным.
Арифметический квадратный корень из числá a — это неотрицательное число b (b ≥ 0), при котором выполняется равенство b2 = a.
В нашем примере квадратными корнями из числá 16 являются корни 4 и −4, но арифметическим из них является только корень 4.
В разговорном языке можно использовать сокращение. К примеру, выражение полностью читается так: «квадратный корень из числá шестнадцать», а в сокращённом варианте можно прочитать так: «корень из шестнадцати».
Не следует путать понятия корень и квадрат. Квадрат это число, которое получилось в результате возведения какого-нибудь числá во вторую степень. Например, числа 25, 36, 49 являются квадратами, потому что они получились в результате возведения во вторую степень чисел 5, 6 и 7 соответственно.
Корнями же являются числа 5, 6 и 7. Они являются теми числами, которые во второй степени равны 25, 36 и 49 соответственно.
Чаще всего в квадратных корнях показатель кóрня вообще не указывается. Так, вместо записи можно использовать запись. Если в учебнике по математике встретится корень без показателя, то нужно понимать, что это квадратный корень.
Квадратный корень из единицы равен единице. То есть справедливо следующее равенство:
Это по причине того, что единица во второй степени равна единице:
12 = 1
и квадрат, состоящий из одной квадратной единицы, имеет сторону, равную единице:
Квадратный корень из нуля равен нулю. То есть справедливо равенство , поскольку 02 = 0.
Выражение вида смысла не имеет. Например, не имеет смысла выражение , поскольку вторая степень любого числа есть число положительное. Невозможно найти число, вторая степень которого будет равна −4.
Если выражение вида возвести во вторую степень, то есть если записать , то это выражение будет равно подкореннóму выражению a
Например, выражение равно 4
Это потому что выражение равно значению 2. Но это значение сразу возвóдится во вторую степень и получается результат 4.
Еще примеры:
Корень из квадрата числá равен модулю этого числá:
Например, корень из числá 5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá 5
Если во вторую степень возвóдится отрицательное число, ответ опять же будет положительным. Например, корень из числá −5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá −5. А модуль числа −5 равен 5
Действительно, если не пользуясь правилом , вычислять выражение обычным методом — сначала возвести число −5 во вторую степень, затем извлечь полученный результат, то полýчим ответ 5
Не следует путать правило с правилом . Правило верно при любом a, тогда как правило верно в том случае, если выражение имеет смысл.
В некоторых учебниках знак корня может выглядеть без верхней линии. Выглядит это так:
Примеры: √4, √9, √16.
Мéньшему числу соответствует мéньший корень, а бóльшему числу соответствует бóльший корень.
Например, рассмотрим числа 49 и 64. Число 49 меньше, чем число 64.
49 < 64
Если извлечь квадратные корни из этих чисел, то числу 49 будет соответствовать меньший корень, а числу 64 — бóльший. Действительно, √49 = 7, а √64 = 8,
√49 < √64
Отсюда:
7 < 8
Примеры извлечения квадратных корней
Рассмотрим несколько простых примеров на извлечение квадратных корней.
Пример 1. Извлечь квадратный корень √36
Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 36. Таковым является число 6, поскольку 62 = 36
√36 = 6
Пример 2. Извлечь квадратный корень √49
Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 49. Таковым является число 7, поскольку 72 = 49
√49 = 7
В таких простых примерах достаточно знать таблицу умножения. Так, мы помним, что число 49 входит в таблицу умножения на семь. То есть:
7 × 7 = 49
Но 7 × 7 это 7 2
72 = 49
Отсюда, √49 = 7.
Пример 3. Извлечь квадратный корень √100
Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 100. Таковым является число 10, поскольку 102 = 100
√100 = 10
Число 100 это последнее число, корень которого можно извлечь с помощью таблицы умножения. Для чисел, бóльших 100, квадратные корни можно находить с помощью таблицы квадратов.
Пример 3. Извлечь квадратный корень √256
Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 256. Чтобы найти это число, воспользуемся таблицей квадратов.
Нахóдим в таблице квадратов число 256 и двигаясь от него влево и вверх определяем цифры, которые образуют число, квадрат которого равен 256.
Видим, что это число 16. Значит √256 = 16.
Пример 4. Найти значение выражения 2√16
В данном примере число 2 умножается на выражение с корнем. Сначала вычислим корень √16, затем перемнóжим его с числом 2
Пример 7. Решить уравнение
В данном примере нужно найти значение переменной x, при котором левая часть будет равна 4.
Значение переменной x равно 16, поскольку . Значит корень уравнения равен 16.
Примечание. Не следует путать корень уравнения и квадратный корень. Корень уравнения это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. А квадратный корень это число, вторая степень которого равна выражению, находящемуся под радикалом .
Подобные примеры решают, пользуясь определением квадратного корня. Давайте и мы поступим так же.
Из определения мы знаем, что квадратный корень равен числу b, при котором выполняется равенство b2 = a.
Применим равенство b2 = a к нашему примеру . Роль переменной b у нас играет число 4, а роль переменной a — выражение, находящееся под корнем , а именно переменная x
В выражении 42 = x вычислим левую часть, полýчим 16 = x. Поменяем левую и правую часть местами, полýчим x = 16. В результате приходим к тому, что нашлось значение переменной x.
Пример 8. Решить уравнение
Перенесем −8 в правую часть, изменив знак:
Возведем правую часть во вторую степень и приравняем её к переменной x
Вычислим правую часть, полýчим 64 = x. Поменяем левую и правую часть местами, полýчим x = 64. Значит корень уравнения равен 64
Пример 9. Решить уравнение
Воспользуемся определением квадратного корня:
Роль переменной b играет число 7, а роль переменной a — подкореннóе выражение 3 + 5x. Возведем число 7 во вторую степень и приравняем его к 3 + 5
В выражении 72 = 3 + 5x вычислим левую часть полýчим 49 = 3 + 5x. Получилось обычное линейное уравнение. Решим его:
Корень уравнения равен . Выполним проверку, подставив его в исходное уравнение:
Пример 10. Найти значение выражения
В этом выражении число 2 умножается на квадратный корень из числа 49.
Сначала нужно извлечь квадратный корень и перемножить его с числом 2
Приближённое значение квадратного корня
Не каждый квадратный корень можно извлечь. Извлечь квадратный корень можно только в том случае, если удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению.
Например, извлечь квадратный корень можно, потому что удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению. Таковым является число 8, поскольку 82 = 64. То есть
А извлечь квадратный корень нельзя, потому что невозможно найти число, вторая степень которого равна 3. В таком случае говорят, что квадратный корень из числа 3 не извлекается.
Зато можно извлечь квадратный корень из числа 3 приближённо. Извлечь квадратный корень приближённо означает найти значение, которое при возведении во вторую степень будет максимально близко к подкореннóму выражению.
Приближённое значение ищут с определенной точностью: с точностью до целых, с точностью до десятых, с точностью до сотых и так далее.
Найдём значение корня приближённо с точностью до десятых. Словосочетание «с точностью до десятых» говорит о том, что приближённое значение корня будет представлять собой десятичную дробь, у которой после запятой одна цифра.
Для начала найдём ближайшее меньшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 1. Корень из этого числа равен самому этому числу:
√1 = 1
Аналогично находим ближайшее бóльшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 4. Корень из этого числа равен 2
√4 = 2
√1 меньше, чем √4
√1 < √4
А √3 больше, чем √1 но меньше, чем √4. Запишем это в виде двойного неравенства:
√1 < √3 < √4
Точные значения корней √1 и √4 известны. Это числа 1 и 2
1 < √3 < 2
Тогда очевидно, что значение корня √3 будет представлять собой десятичную дробь, потому что между числами 1 и 2 нет целых чисел.
Для нахождения приближённого значения квадратного корня √3 будем проверять десятичные дроби, располагающиеся в интервале от 1 до 2, возводя их в квадрат. Делать это будем до тех пор пока не полýчим значение, максимально близкое к 3. Проверим к примеру дробь 1,1
1,12 = 1,21
Получился результат 1,21, который не очень близок к подкореннóму выражению 3. Значит 1,1 не годится в качестве приближённого значения квадратного корня √3, потому что оно малó.
Проверим тогда дробь 1,8
1,82 = 3,24
Получился результат 3,24, который близок к подкореннóму выражению, но превосходит его на 0,24. Значит 1,8 не годится в качестве приближенного значения корня √3, потому что оно великó.
Проверим тогда дробь 1,7
1,72 = 2,89
Получился результат 2,89, который уже близок к подкореннóму выражению. Значит 1,7 и будет приближённым значением квадратного корня √3. Напомним, что знак приближенного значения выглядит как ≈
√3 ≈ 1,7
Значение 1,6 проверять не нужно, потому что в результате получится число 2,56, которое дальше от трёх, чем значение 2,89. А значение 1,8, как было показано ранее, является уже большим.
В данном случае мы нашли приближенное значение корня √3 с точностью до десятых. Значение можно получить ещё более точно. Для этого его следует находить с точностью до сотых.
Чтобы найти значение с точностью до сотых проверим десятичные дроби в интервале от 1,7 до 1,8
1,7 < √3 < 1,8
Проверим дробь 1,74
1,742 = 3,0276
Получился результат 3,0276, который близок к подкореннóму выражению, но превосходит его на 0,0276. Значит значение 1,74 великó для корня √3.
Проверим тогда дробь 1,73
1,732 = 2,9929
Получился результат 2,9929, который близок к подкореннóму выражению √3. Значит 1,73 будет приближённым значением квадратного корня √3 с точностью до сотых.
Процесс нахождения приближённого значения квадратного корня продолжается бесконечно. Так, корень √3 можно находить с точностью до тысячных, десятитысячных и так далее:
√3 = 1,732 (вычислено с точностью до тысячных)
√3 = 1,7320 (вычислено с точностью до десятитысячных)
√3 = 1,73205 (вычислено с точностью до ста тысячных).
Ещё квадратный корень можно извлечь с точностью до целых. Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых равно единице:
√3 ≈ 1
Значение 2 будет слишком большим, поскольку при возведении этого числа во вторую степень получается число 4, которое больше подкоренного выражения. Нас же интересуют значения, которые при возведении во вторую степень равны подкореннóму выражению или максимально близки к нему, но не превосходят его.
В зависимости от решаемой задачи допускается находить значение, вторая степень которого больше подкоренного выражения. Это значение называют приближённым значением квадратного корня с избытком. Поговорим об этом подробнее.
Приближенное значение квадратного корня с недостатком или избытком
Иногда можно встретить задание, в котором требуется найти приближённое значение корня с недостатком или избытком.
В предыдущей теме мы нашли приближённое значение корня √3 с точностью до десятых с недостатком. Недостаток понимается в том смысле, что до значения 3 нам недоставало ещё некоторых частей. Так, найдя приближённое значение √3 с точностью до десятых, мы получили 1,7. Это значение является значением с недостатком, поскольку при возведении этого числа во вторую степень полýчим результат 2,89. Этому результату недостаёт ещё 0,11 чтобы получить число 3. То есть, 2,89 + 0,11 = 3.
С избытком же называют приближённые значения, которые при возведении во вторую степень дают результат, который превосходит подкореннóе выражение. Так, вычисляя корень √3 приближённо, мы проверили значение 1,8. Это значение является приближённым значением корня √3 с точностью до десятых с избытком, поскольку при возведении 1,8 во вторую степень, получаем число 3,24. Этот результат превосходит подкореннóе выражение на 0,24. То есть 3,24 − 3 = 0,24.
Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых тоже был найден с недостатком:
√3 ≈ 1
Это потому что при возведении единицы в квадрат получаем единицу. То есть до числа 3 недостаёт ещё 2.
Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых можно найти и с избытком. Тогда этот корень приближённо будет равен 2
√3 ≈ 2
Это потому что при возведении числа 2 в квадрат получаем 4. Число 4 превосходит подкореннóе выражение 3 на единицу. Извлекая приближённо квадратный корень с избытком желательно уточнять, что корень извлечен именно с избытком:
√3 ≈ 2 (с избытком)
Потому что приближённое значение чаще всего ищется с недостатком, чем с избытком.
Дополнительно следует упомянуть, что в некоторых учебниках словосочетания «с точностью до целых», «с точностью до десятых», с «точностью до сотых», заменяют на словосочетания «с точностью до 1», «с точностью до 0,1», «с точностью до 0,01» соответственно.
Так, если в задании сказано извлечь квадратный корень из числа 5 с точностью до 0,01, то это значит что корень следует извлекать приближённо с точностью до сотых:
√5 ≈ 2,23
Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 1
√51 ≈ 7
Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,1
√51 ≈ 7,1
Пример 4. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,01
√51 ≈ 7,14
Границы, в пределах которых располагаются корни
Если исходное число принадлежит промежутку [1; 100], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [1; 10].
Например, пусть исходным числом будет 64. Данное число принадлежит промежутку [1; 100]. Сразу делаем вывод, что квадратный корень из числа 64 будет принадлежать промежутку [1; 10]. Теперь вспоминаем таблицу умножения. Какое перемножение двух одинаковых сомножителей даёт в результате 64? Ясно, что перемножение 8 × 8, а это есть 82 = 64. Значит квадратный корень из числа 64 есть 8
Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 49
Число 49 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 7, поскольку 72 = 49
√49 = 7
Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 1
Число 1 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 1, поскольку 12 = 1
√1 = 1
Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 100
Число 100 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 10, поскольку 102 = 100
√100 = 10
Понятно, что промежуток [1; 100] содержит ещё и числа, квадратные корни из которых не извлекаются. Для таких чисел корень нужно извлекать приближённо. Тем не менее, приближённый корень тоже будет располагаться в пределах промежутка [1; 10].
Например, извлечём квадратный корень из числа 37. Нет целого числа, вторая степень которого была бы равна 37. Поэтому извлекать квадратный корень следует приближённо. Извлечём его к примеру с точностью до сотых:
√37 ≈ 6,08
Для облегчения можно находить ближайшее меньшее число, корень из которого извлекается. Таковым в данном примере было число 36. Квадратный корень из него равен 6. И далее отталкиваясь от числа 6, можно находить приближённое значение корня √37, проверяя различные десятичные дроби, целая часть которых равна 6.
Квадраты чисел от 1 до 10 обязательно нужно знать наизусть. Ниже представлены эти квадраты:
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102 = 100
И обратно, следует знать значения квадратных корней этих квадратов:
Если к любому числу от 1 до 10 в конце дописать ноль (или несколько нулей), и затем возвести это число во вторую степень, то в полученном числе будет в два раза больше нулей.
Например, 62 = 36. Допишем к числу 6 один ноль, полýчим 60. Возведём число 60 во вторую степень, полýчим 3600
602 = 3600
А если к числу 6 дописать два нуля, и возвести это число во вторую степень, то полýчим число, в котором четыре нуля. То есть в два раза больше нулей:
6002 = 360000
Тогда можно сделать следующий вывод:
Если исходное число содержит знакомый нам квадрат и чётное количество нулей, то можно извлечь квадратный корень из этого числа. Для этого следует извлечь корень из знакомого нам квадрата и затем записать половину количества нулей из исходного числа.
Например, извлечём квадратный корень из числа 900. Видим, что в данном числе есть знакомый нам квадрат 9. Извлекаем из него корень, получаем 3
Теперь из исходного числа записываем половину от количества нулей. В исходном числе 900 содержится два нуля. Половина этого количества нулей есть один ноль. Записываем его в ответе после цифры 3
Пример 2. Извлечём квадратный корень из числа 90000
Здесь опять же имеется знакомый нам квадрат 9 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 9 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе содержится четыре нуля. Половиной же этого количества нулей будет два нуля:
Пример 3. Извлечем квадратный корень из числа 36000000
Здесь имеется знакомый нам квадрат 36 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 36 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе шесть нулей. Половиной же будет три нуля:
Пример 4. Извлечем квадратный корень из числа 2500
Здесь имеется знакомый нам квадрат 25 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 25 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе два нуля. Половиной же будет один ноль:
Если подкореннóе число увеличить (или уменьшить) в 100, 10000 то корень увеличится (или уменьшится) в 10, 100 раз соответственно.
Например, . Если увеличим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень увеличится в 10 раз:
И наоборот, если в равенстве уменьшим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень уменьшится в 10 раз:
Пример 2. Увеличим в равенстве подкореннóе число в 10000, тогда квадратный корень 70 увеличиться в 100 раз
Пример 3. Уменьшим в равенстве подкореннóе число в 100 раз, тогда квадратный корень 70 уменьшится в 10 раз
Эта закономерность позволяет извлечь квадратный корень из десятичной дроби, если в данной дроби после запятой содéржатся две цифры, и эти две цифры образуют знакомый нам квадрат. В таких случаях данную десятичную дробь следует умножить на 100. Затем извлечь квадратный корень из получившегося числа и уменьшить подкореннóе число в сто раз.
Например, извлечём квадратный корень из числа 0,25. В данной десятичной дроби после запятой содержатся две цифры и эти две цифры образуют знакомый нам квадрат 25.
Умнóжим десятичную дробь 0,25 на 100, полýчим 25. А из числа 25 квадратный корень извлекается легко:
Но нам изначально нужно было извлечь корень из 0,25, а не из 25. Чтобы исправить ситуацию, вернём нашу десятичную дробь. Если в равенстве подкореннóе число уменьшить в 100 раз, то полýчим под корнем 0,25 и соответственно ответ уменьшится в 10 раз:
Обычно в таких случаях достаточно уметь передвигáть запятую. Потому что сдвинуть в числе запятую вправо на две цифры это всё равно что умножить это число на 100.
В предыдущем примере в подкоренном числе 0,25 можно было сдвинуть запятую вправо на две цифры, а в полученном ответе сдвинуть её влево на одну цифру.
Например, извлечем корень из числа 0,81. Мысленно передвинем запятую вправо на две цифры, полýчим 81. Теперь извлечём квадратный корень из числа 81, полýчим ответ 9. В ответе 9 передвинем запятую влево на одну цифру, полýчим 0,9. Значит, .
Это правило работает и в ситуации, когда после запятой содержатся четыре цифры и эти цифры образуют знакомый нам квадрат.
Например, десятичная дробь 0,1225 содержит после запятой четыре цифры. Эти четыре цифры образуют число 1225, квадратный корень из которого равен 35.
Тогда можно извлечь квадратный корень и из 0,1225. Умнóжим данную десятичную дробь на 10000, полýчим 1225. Из числа 1225 квадратный корень можно извлечь с помощью таблицы квадратов:
Но нам изначально нужно было извлечь корень из 0,1225, а не из 1225. Чтобы исправить ситуацию, в равенстве подкореннóе число уменьшим в 10000 раз. В результате под корнем образуется десятичная дробь 0,1225, а правая часть уменьшится в 100 раз
Эта же закономерность будет работать и при извлечении корней из дробей вида 12,25. Если цифры из которых состоит десятичная дробь образуют знакомый нам квадрат, при этом после запятой содержится чётное количество цифр, то можно извлечь корень из этой десятичной дроби.
Умнóжим десятичную дробь 12,25 на 100, полýчим 1225. Извлечём корень из числа 1225
Теперь в равенстве уменьшим подкореннóе число в 100 раз. В результате под корнем образуется число 12,25, и соответственно ответ уменьшится в 10 раз
Если исходное число принадлежит промежутку [100; 10000], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [10; 100].
В этом случае применяется таблица квадратов:
Например, пусть исходным числом будет 576. Данное число принадлежит промежутку [100; 10000]. Сразу делаем вывод, что квадратный корень из числа 576 будет принадлежать промежутку [10; 100]. Теперь открываем таблицу квадратов и смотрим какое число во второй степени равно 576
Видим, что это число 24. Значит .
Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 432.
Число 432 принадлежит промежутку [100; 10000]. Значит квадратный корень следует искать в промежутке [10; 100]. Открываем таблицу квадратов и смотрим какое число во второй степени равно 432. Обнаруживаем, что число 432 в таблице квадратов отсутствует. В этом случае квадратный корень следует искать приближённо.
Извлечем квадратный корень из числа 432 с точностью до десятых.
В таблице квадратов ближайшее меньшее число к 432 это число 400. Квадратный корень из него равен 20. Отталкиваясь от числа 20, будем проверять различные десятичные дроби, целая часть которых равна 20.
Проверим, например, число 20,8. Для этого возведём его в квадрат:
20,82 = 432,64
Получилось число 432,64 которое превосходит исходное число 432 на 0,64. Видим, что значение 20,8 великó для корня √432. Проверим тогда значение 20,7
20,72 = 428,49
Значение 20,7 годится в качестве корня, поскольку в результате возведения этого числа в квадрат получается число 428,49, которое меньше исходного числа 432, но близко к нему. Значит √432 ≈ 20,7.
Необязательно запоминать промежутки чтобы узнать в каких границах располагается корень. Можно воспользоваться методом нахождения ближайших квадратов с чётным количеством нулей на конце.
Например, извлечём корень из числа 4225. Нам известен ближайший меньший квадрат 3600, и ближайший больший квадрат 4900
3600 < 4225 < 4900
Извлечём квадратные корни из чисел 3600 и 4900. Это числа 60 и 70 соответственно:
Тогда можно понять, что квадратный корень из числа 4225 располагается между числами 60 и 70. Можно даже найти его методом подбора. Корни 60 и 70 исключаем сразу, поскольку это корни чисел 3600 и 4900. Затем можно проверить, например, корень 64. Возведём его в квадрат (или умнóжим данное число само на себя)
Корень 64 не годится. Проверим корень 65
Получается 4225. Значит 65 является корнем числа 4225
Тождественные преобразования с квадратными корнями
Над квадратными корнями можно выполнять различные тождественные преобразования, тем самым облегчая их вычисление. Рассмотрим некоторые из этих преобразований.
Квадратный корень из произведения
Квадратный корень из произведения это выражение вида , где a и b некоторые числа.
Например, выражение является квадратным корнем из произведения чисел 4 и 9.
Чтобы извлечь такой квадратный корень, нужно по отдельности извлечь квадратные корни из множителей 4 и 9, представив выражение в виде произведения корней . Вычислив по отдельности эти корни полýчим произведение 2 × 3, которое равно 6
Конечно, можно не прибегать к таким манипуляциям, а вычислить сначала подкореннóе выражение 4 × 9, которое равно 36. Затем извлечь квадратный корень из числа 36
Но при извлечении квадратных корней из больших чисел это правило может оказаться весьма полезным.
Допустим, потребовалось извлечь квадратный корень из числа 144. Этот корень легко определяется с помощью таблицы квадратов — он равен 12
Но предстáвим, что таблицы квадратов под рукой не оказалось. В этом случае число 144 можно разложить на простые множители. Затем из этих простых множителей составить числа, квадратные корни из которых извлекаются.
Итак, разлóжим число 144 на простые множители:
Получили следующее разложение:
В разложéнии содержатся четыре двойки и две тройки. При этом все числа, входящие в разложение, перемнóжены. Это позволяет предстáвить произведения одинаковых сомножителей в виде степени с показателем 2.
Тогда четыре двойки можно заменить на запись 22 × 22, а две тройки заменить на 32
В результате будем иметь следующее разложение:
Теперь можно извлекáть квадратный корень из разложения числа 144
Применим правило извлечения квадратного корня из произведения:
Ранее было сказано, что если подкореннóе выражение возведенó во вторую степень, то такой квадратный корень равен модулю из подкореннóго выражения.
Тогда получится произведение 2 × 2 × 3, которое равно 12
Простые множители представляют в виде степени для удобства и короткой записи. Допускается также записывать их под кóрнем как есть, чтобы впоследствии перемнóжив их, получить новые сомножители.
Так, разложив число 144 на простые множители, мы получили разложение 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3. Это разложение можно записать под кóрнем как есть:
затем перемнóжить некоторые сомножители так, чтобы получились числа, квадратные корни из которых извлекаются. В данном случае можно дважды перемнóжить две двойки и один раз перемнóжить две тройки:
Затем применить правило извлечения квадратного корня из произведения и получить окончательный ответ:
С помощью правила извлечения квадратного корня из произведения можно извлекать корень и из других больших чисел. В том числе, из тех чисел, которых нет в таблице квадратов.
Например, извлечём квадратный корень из числа 13456. Этого числа нет в таблице квадратов, поэтому воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения, предварительно разложив число 13456 на простые множители.
Итак, разложим число 13456 на простые множители:
В разложении имеются четыре двойки и два числа 29. Двойки дважды предстáвим как 22. А два числа 29 предстáвим как 292. В результате полýчим следующее разложение числа 13456
Теперь будем извлекать квадратный корень из разложения числа 13456
Итак, если a ≥ 0 и b ≥ 0, то . То есть корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.
Докажем равенство . Для этого воспользуемся определением квадратного корня.
Согласно определению, квадратным корня из числа a есть число b, при котором выполняется равенство b2 = a.
В нашем случае нужно удостовериться, что правая часть равенства при возведении во вторую степень даст в результате подкореннóе выражение левой части, то есть выражение ab.
Итак, выпишем правую часть равенства и возведём ее во вторую степень:
Теперь воспользуемся правилом возведения в степень произведения. Согласно этому правилу, каждый множитель данного произведения нужно возвести в указанную степень:
Ранее было сказано, что если выражение вида возвести во вторую степень, то получится подкореннóе выражение. Применим это правило. Тогда полýчим ab. А это есть подкореннóе выражение квадратного корня
Значит равенство справедливо, поскольку при возведéнии правой части во вторую степень, получается подкореннóе выражение левой части.
Правило извлечения квадратного корня из произведения работает и в случае, если под кóрнем располагается более двух множителей. То есть справедливым будет следующее равенство:
, при a ≥ 0 и b ≥ 0, c ≥ 0.
Пример 1. Найти значение квадратного корня
Запишем корень в виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения:
Пример 2. Найти значение квадратного корня
Предстáвим число 250 в виде произведения чисел 25 и 10. Делать это будем под знáком корня:
Теперь под кóрнем образовалось два одинаковых множителя 10 и 10. Перемнóжим их, полýчим 100
Далее применяем правило извлечения квадратного кóрня из произведения и получáем окончательный ответ:
Пример 3. Найти значение квадратного корня
Воспользуемся правилом возведения степени в степень. Степень 114 предстáвим как (112)2.
Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного кóрня из квадрата числа:
В нашем случае квадратный корень из числа (112)2 будет равен 112. Говоря простым языком, внешний показатель степени 2 исчезнет, а внутренний останется:
Далее возводим число 11 во вторую степень и получаем окончательный ответ:
Этот пример также можно решить, воспользовавшись правилом извлечения квадратного корня из произведения. Для этого подкореннóе выражение 114 нужно записать в виде произведения 112 × 112. Затем извлечь квадратный корень из этого произведения:
Пример 4. Найти значение квадратного корня
Перепишем степень 34 в виде (32)2, а степень 56 в виде (53)2
Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из произведения:
Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из квадрата числа:
Вычислим произведение получившихся степеней и полýчим окончательный ответ:
Сомножители, находящиеся под корнем, могут быть десятичными дробями. Например, извлечём квадратный корень из произведения
Запишем корень в виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения:
Пример 6. Найти значение квадратного корня
Пример 7. Найти значение квадратного корня
Если первый сомножитель умножить на число n, а второй сомножитель разделить на это число n, то произведение не изменится.
Например, произведение 8 × 4 равно 32
8 × 4 = 32
Умнóжим сомножитель 8 скажем на число 2, а сомножитель 4 раздéлим на это же число 2. Тогда получится произведение 16 × 2, которое тоже равно 32.
(8 × 2) × (4 : 2) = 32
Это свойство полезно при решении некоторых задач на извлечение квадратных корней. Сомножители подкореннóго выражения можно умнóжить и разделить так, чтобы корни из них извлекались.
Например, извлечём квадратный корень из произведения . Если сразу воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из произведения, то не полýчится извлечь корни √1,6 и √90, потому что они не извлекаются.
Проанализировав подкореннóе выражение 1,6 × 90, можно заметить, что если первый сомножитель 1,6 умножить на 10, а второй сомножитель 90 разделить на 10, то полýчится произведение 16 × 9. Из такого произведения квадратный корень можно извлечь, пользуясь правилом извлечения квадратного корня из произведения.
Запишем полное решение данного примера:
Процесс умножения и деления можно выполнять в уме. Также можно пропустить подробную запись извлечения квадратного корня из каждого сомножителя. Тогда решение станóвится короче:
Пример 9. Найти значение квадратного корня
Умнóжим первый сомножитель на 10, а второй раздéлим на 10. Тогда под кóрнем образуется произведение 36 × 0,04, квадратный корень из которого извлекается:
Если в равенстве поменять местами левую и правую часть, то полýчим равенство . Это преобразовáние позволяет упрощáть вычисление некоторых корней.
Например, узнáем чему равно значение выражения .
Квадратные корни из чисел 10 и 40 не извлекаются. Воспользуемся правилом , то есть заменим выражение из двух корней на выражение с одним корнем, под которым будет произведение из чисел 10 и 40
Теперь найдём значение произведения, находящегося под корнем:
А квадратный корень из числа 400 извлекается. Он равен 20
Сомножители, располагáющиеся под корнем, можно расклáдывать на множители, группировáть, представлять в виде степени, а также перемножáть для получения новых сомножителей, корни из которых извлекаются.
Например, найдём значение выражения .
Воспользуемся правилом
Сомножитель 32 это 25. Предстáвим этот сомножитель как 2 × 24
Перемнóжим сомножители 2 и 2, полýчим 4. А сомножитель 24 предстáвим в виде степени с показателем 2
Теперь воспóльзуемся правилом и вычислим окончательный ответ:
Пример 12. Найти значение выражения
Воспользуемся правилом
Сомножитель 8 это 2 × 2 × 2, а сомножитель 98 это 2 × 7 × 7
Теперь под кóрнем имеются четыре двойки и две семёрки. Четыре двойки можно записать как 22 × 22, а две семёрки как 72
Теперь воспользуемся правилом и вычислим окончательный ответ:
Квадратный корень из дроби
Квадратный корень вида равен дроби, в числителе которой квадратный корень из числа a, а в знаменателе — квадратный корень из числа b
Например, квадратный корень из дроби равен дроби, в числителе которой квадратный корень из числа 4, а в знаменателе — квадратный корень из числа 9
Вычислим квадратные корни в числителе и знаменателе:
Значит, квадратный корень из дроби равен .
Докáжем, что равенство является верным.
Возведём правую часть во вторую степень. Если в результате полýчим дробь , то это будет означать, что равенство верно:
Пример 1. Извлечь квадратный корень
Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:
Пример 2. Извлечь квадратный корень
Переведём подкореннóе выражение в неправильную дробь, затем воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:
Пример 3. Извлечь квадратный корень
Квадратным корнем из числа 0,09 является 0,3. Но можно извлечь этот корень, воспользовавшись правилом извлечения квадратного корня из дроби.
Предстáвим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби. 0,09 это девять сотых:
Теперь можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби:
Пример 4. Найти значение выражения
Извлечём корни из 0,09 и 0,25, затем сложим полученные результаты:
Также можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби:
В данном примере первый способ оказался проще и удобнее.
Пример 5. Найти значение выражения
Сначала вычислим квадратный корень, затем перемнóжим его с 10. Получившийся результат вычтем из 4
Пример 6. Найти значение выражения
Сначала найдём значение квадратного корня . Он равен 0,6 поскольку 0,62 = 0,36
Теперь вычислим получившееся выражение. Согласно порядку действий, сначала надо выполнить умножение, затем сложение:
Вынесение множителя из-под знака корня
В некоторых задачах может быть полезным вынесение множителя из-под знака корня.
Рассмотрим квадратный корень из произведения . Согласно правилу извлечения квадратного корня из произведения, нужно извлечь квадратный корень из каждого множителя данного произведения:
В нашем примере квадратный корень извлекается только из множителя 4. Его мы извлечём, а выражение оставим без изменений:
Это и есть вынесение множителя из-под знака корня.
На практике подкореннóе выражение чаще всего требуется разложить на множители.
Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня в выражении
Разлóжим подкореннóе выражение на множители 9 и 2. Тогда полýчим:
Теперь воспользуемся правило извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 9. Множитель 2 остáвим под кóрнем:
Пример 3. Вынести множитель из-под знака корня в выражении
Разлóжим подкореннóе выражение на множители 121 и 3. Тогда полýчим:
Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 121. Выражение √3 остáвим под корнем:
Пример 4. Вынести множитель из-под знака корня в выражении
Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения:
Квадратный корень извлекается только из числа 121. Извлечём его, а выражение √15 оставим без изменений:
Получается, что множитель 11 вынесен из-под знака корня. Вынесенный множитель принято записывать до выражения с корнем. Поменяем выражения √15 и 11 местами:
Пример 5. Вынести множитель из-под знака корня в выражении
Разлóжим подкореннóе выражение на множители 4 и 3
Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения:
Извлечём корень из числа 4, а выражение √3 остáвим без изменений:
Пример 6. Упростить выражение
Предстáвим второе слагаемое в виде . А третье слагаемое предстáвим в виде
Теперь в выражениях и вынесем множитель из-под знака корня:
Во втором слагаемом перемнóжим числа −4 и 4. Остальное перепишем без изменений:
Замечáем, что получившемся выражении квадратный корень √3 является общим множителем. Вынесем его за скобки:
Вычислим содержимое скобок, полýчим −1
Если множителем является −1, то записывают только минус. Единица опускается. Тогда полýчим окончательный ответ −√3
Внесение множителя под знак корня
Рассмотрим следующее выражение:
В этом выражении число 5 умнóжено на квадратный корень из числа 9. Найдём значение этого выражения.
Сначала извлечём квадратный корень, затем перемнóжим его с числом 5.
Квадратный корень из 9 равен 3. Перемнóжим его с числом 5. Тогда полýчим 15
Число 5 в данном случае было множителем. Внесём этот множитель под знак корня. Но сделать это нужно таким образом, чтобы в результате наших действий значение исходного выражения не изменилось. Проще говоря, после внесения множителя 5 под знак корня, получившееся выражение по-прежнему должно быть равно 15.
Значение выражения не изменится, если число 5 возвести во вторую степень и только тогда внести его под корень:
Итак, если данó выражение , и нужно внести множитель a под знак корня, то надо возвести во вторую степень множитель a и внести его под корень:
Пример 1. Внести множитель под знак корня в выражении
Возведём число 7 во вторую степень и внесём его под знак корня:
Пример 2. Внести множитель под знак корня в выражении
Возведём число 10 во вторую степень и внесем его под знак корня:
Пример 3. Внести множитель под знак корня в выражении
Вносить под знак корня можно только положительный множитель. Ранее было сказано, что выражение вида не имеет смысла.
Однако, если перед знаком кóрня располагается отрицательный множитель, то минус можно оставить за знáком корня, а самó число внести под знак корня.
Пример 4. Внести множитель по знак корня в выражении
В этом примере под знак корня внóсится только 3. Минус остаётся за знáком корня:
Пример 5. Выполнить возведéние в степень в следующем выражении:
Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Роль переменной a в данном случае играет выражение √3, роль переменной b — выражение √2. Тогда полýчим:
Теперь необходимо упростить получившееся выражение.
Для выражений и применим правило . Ранее мы говорили, что если выражение вида возвести во вторую степень, то это выражение будет равно подкореннóму выражению a.
А в выражении для множителей и применим правило . То есть заменим произведение корней на один общий корень:
Приведём подобные слагаемые. В данном случае можно сложить слагаемые 3 и 2. А в слагаемом вычислить произведение, которое под кóрнем:
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 2. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 3. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 4. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 5. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 6. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 7. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 8. Найдите значения следующих выражений:
Решение:
Задание 9. Извлеките квадратный корень из числа 4624
Решение:
Задание 10. Извлеките квадратный корень из числа 11025
Решение:
Задание 11. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 12. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 13. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 14. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 15. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 16. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 17. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 18. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 19. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 20. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 21. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 22. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 23. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 24. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 25. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 26. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 27. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 28. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 29. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 30. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 31. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 32. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 33. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 34. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 35. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 36. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 37. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 38. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 39. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 40. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 41. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 42. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 43. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 44. Вынести множитель из-под знака корня в следующих выражениях:
Решение:
Задание 45. Внести множитель под знак корня:
Решение:
Задание 46. Внести множитель под знак корня:
Решение:
Задание 47. Внести множитель под знак корня:
Решение:
Задание 48. Внести множитель под знак корня:
Решение:
Задание 49. Внести множитель под знак корня:
Решение:
Задание 50. Внести множитель под знак корня в следующих выражениях:
Решение:
Задание 51. Упростить выражение:
Решение:
Задание 52. Упростить выражение:
Решение:
Задание 53. Упростить выражение:
Решение:
Задание 54. Упростить выражение:
Решение:
Задание 55. Упростить выражение:
Решение:
Задание 56. Упростить выражение:
Решение:
Задание 57. Упростить выражение:
Решение:
Задание 58. Упростить выражение:
Решение:
Задание 59. Упростить выражение:
Решение:
Задание 60. Упростить выражение:
Решение:
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Навигация по записям
Алгебра – 8 класс.2$. Если квадраты двух неотрицательных чисел равны, то значит и сами числа равны, что и требовалось доказать.
Из нашего свойства следует, что, например, $\sqrt{5}*\sqrt{3}=\sqrt{15}$.
Замечание 1. Свойство справедливо и для случая, когда под корнем более двух неотрицательных множителей.
Свойство 2. Если $а≥0$ и $b>0$, то справедливо следующее равенство: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
То есть корень из частного равен частному корней.
Доказательство.
Воспользуемся таблицей и кратко докажем наше свойство.
Примеры использования свойств квадратных корней
Пример 1.
Вычислить: $\sqrt{81*25*121}$.
Решение.
Конечно, мы можем взять калькулятор, перемножить все числа под корнем и выполнить операцию извлечения корня квадратного. А если под рукой нет калькулятора, как быть тогда?
$\sqrt{81*25*121}=\sqrt{81}*\sqrt{25}*\sqrt{121}=9*5*11=495$.
Ответ: 495.
Пример 2. Вычислить: $\sqrt{11\frac{14}{25}}$.2-4·3·2=1-24=-23\)
Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(x_1=\frac{-b — \sqrt{D}}{2a}\).
\(x_1=\frac{-1 + \sqrt{-23}}{2·3}\)
\(x_2=\frac{-1- \sqrt{-23}}{2·3}\)
Оба корня невычислимы, так как арифметический квадратный корень из отрицательного числа не извлекается.
Ответ: нет корней.
Обратите внимание, в первом уравнении у нас два корня, во втором – один, а в третьем – вообще нет корней. Это связано со знаком дискриминанта (подробнее смотри тут).
Также многие квадратные уравнения могут быть решены с помощью обратной теоремы Виета. Это быстрее, но требует определенного навыка.2 + b*x + c = 0,где x- переменная, a,b,c – константы; a<>0. Задача состоит в отыскании корней уравнения.
Геометрический смысл квадратного уравнения
Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения — это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х). Из этого следует, что есть три возможных случая:
1) парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).
2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох. Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).
3) Последний случай на практике интересный больше — существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс.2 и осуществим преобразование
Отсюда находим
Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения
Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле
Теорема Виета
Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p, взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q. Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета.2+x-6=0.
Решение: В случаях когда есть малые коэффициенты при х целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения
С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6. Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2}. С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
Корни уравнения равны
Задача 5. Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18 см, а площадь 77 см2.
Решение: Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х – большую сторону, тогда 18-x меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
х(18-х)=77;
или
х2-18х+77=0.
Найдем дискриминант уравнения
Вычисляем корни уравнения
Если х=11, то 18-х=7, наоборот тоже справедливо (если х=7 , то 21-х=9).
Задача 6. Разложить квадратное 10x2-11x+3=0 уравнения на множители.
Решение: Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант
Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем
Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями
Раскрыв скобки получим тождество.
Квадратное уравнение с параметром
Пример 1. При каких значениях параметра а, уравнение (а-3)х2+(3-а)х-1/4=0 имеет один корень?
Решение: Прямой подстановкой значения а=3 видим, что оно не имеет решения. Далее воспользуемся тем, что при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень кратности 2. Выпишем дискриминант
упростим его и приравняем к нулю
Получили квадратное уравнение относительно параметра а, решение которого легко получить по теореме Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение 12. Простым перебором устанавливаем, что числа 3,4 будут корнями уравнения. Поскольку решение а=3 мы уже отвергли в начале вычислений, то единственным правильным будет — а=4. Таким образом, при а=4 уравнение имеет один корень.2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?
Решение:Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0 и а=-3. При а=0 уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2 и будет один корень. При а= -3 получим тождество 0=0.
Вычислим дискриминант
и найдем значения а при котором оно положительно
С первого условия получим а>3. Для второго находим дискриминант и корни уравнения
Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0 получим 3>0. Итак, за пределами промежутка (-3;1/3) функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0, которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.
В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи
Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.
Урок 3. квадратные уравнения, неравенства и их системы — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №3. Квадратные уравнения, неравенства и их системы.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- систематизация знаний учащихся о решении квадратных уравнений и неравенств;
- установление зависимости количества и расположения корней квадратного уравнения от его коэффициентов и значения дискриминанта;
- способы решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами.
Глоссарий по теме:
Параметр — (от греч. parametron — отмеривающий) в математике, величина, числовые значения которой позволяют выделить определенный элемент из множества элементов того же рода.
Основная литература:
Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. — М.: Просвещение, 2017.
Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10 класс. Базовый и профильный уровни. 2016.
Шабунин М. И., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Профильный уровень. 2016.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
В курсе средней школы будут рассматриваться показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства. Чтобы облегчить дальнейшее изучение специальных уравнений, нужно уметь решать квадратные уравнения и неравенства, устанавливать и объяснять зависимость вида решения от его коэффициентов и дискриминанта, представлять геометрическую интерпретацию задач.
Квадратные уравнения.
На уроке будем рассматривать различные способы решения квадратных уравнений.
Как определить, сколько корней имеет уравнение, подскажет дискриминант.
Дискриминант – это число, которое находим по формуле
Если D <0 корней нет, если D = 0 один корень, если D> 0 два корня.
Если дискриминант D> 0 , корни можно найти по формуле:
Если D = 0 , то
Рассмотрите пример. Решить уравнение
Шаг 1. Выпишем коэффициенты a, b, c.
Шаг 2. Найдем дискриминант. D=16.
Шаг 3. Запишем формулу корней и подставим значения. Вычислим значения корней:
Заметим:
1.Перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду.
2. Избавьтесь от минуса перед . Для этого надо умножить всё уравнение на -1.
3. Если в уравнении есть дробные коэффициенты, умножьте уравнение на общий знаменатель.
4. Проверяйте корни по теореме Виета. Это просто, когда a=1.
Рассмотрите другие формулы:
, где второй коэффициент b=2k – четное число.
Приведенное квадратное уравнение , старший коэффициент равен a= 1, проще решать по теореме Виета.
Уравнение (х-3) (х+5) =0 является квадратным. Для его решения воспользуйтесь свойством: произведение равно 0, когда один из множителей равен 0.
Осталось вспомнить, как решаются неполные квадратные уравнения. Неполные — значит один или два коэффициента равны нулю.
Для решения систем уравнений применяются все методы решения: подстановки, сложения, графический.
Рассмотрим несколько примеров:
Пример 1.
Если из одного из уравнений можно выразить х или у, применяем метод подстановки. Выразите х из первого уравнения и подставьте во второе. Решите и найдите корни.
Пример 2.
Применяем метод сложения. Выполнив сложение, получаем уравнение , далее x= ±5. Находим у= ±2. Составляем возможные пары чисел.
Записываем ответ: (5; 2), (5; -2), (-5; 2), (- 5; -2).
Пример 3. Иногда проще ввести новые переменные.
Пусть xy=u, x+y=v. Тогда систему можно записать в более простом виде:
Решение смотри в примере 1.
Часть 2. Квадратные неравенства.
Теперь, когда мы разобрали решение квадратных уравнений, переходим к решению квадратных неравенств
ax^2+ bx + c больше или меньше нуля.
Шаг 1. Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение и найдем его корни. Отметим корни на оси OХ и схематично покажем расположение ветвей параболы «вверх» или «вниз».
Шаг 2. Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там, где парабола выше оси, ставим +, а там, где ниже –.
Шаг 3. Выписываем интервалы, соответствующие знаку неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое не входят.
Вспомните возможные случаи расположения корней на оси и ветвей параболы в зависимости от коэффициента а и дискриминанта.
Метод интервалов упрощает схему решения. По-прежнему находим корни квадратного трехчлена, расставляем на числовой прямой. Определяем знаки на интервалах + или – по схеме:
если а>0 + — +, если а <0 — + -. Или путём подстановки произвольного значения квадратный трехчлен.
Рассмотрим несколько примеров:
D=0 все точки параболы выше оси и только одна х=2 на оси ОХ -нет решений.
D<0 коэффициент а=2>0 ветви вверх. Парабола выше оси, все значения положительны, значит х- любое число. Неравенство не имеет решений.
Далее рассмотрим схему решения системы неравенств.
Алгоритм решения системы неравенств.
1.Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x.
2.Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x.
3.Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.
Часть 3
Теперь, когда мы разобрали решение квадратных уравнений и неравенств переходим к решению самых сложных заданий с параметрами. Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а само уравнение или неравенство параметрическим.
Первый шаг в решении — найти особое значение параметра.
Второй шаг – определить допустимые значения.
Если в задаче требуется определить знаки корней квадратного уравнения, то, как правило, удобнее использовать теорему Виета.
Но прежде, чем применять теорему Виета, обязательно нужно проверить, что уравнение имеет корни! Для этого вычисляем дискриминант.
Рассмотрите примеры решения неравенства с параметром.
Графический метод решения обладает несомненным преимуществом – можно представить решение наглядно.
Для любого свойства, сформулированного на алгебраическом языке, нужно уметь давать геометрическую интерпретацию и, наоборот, по поведению графика параболы дать общую оценку коэффициентов квадратного трехчлена и его корней.
Например, если старший коэффициент квадратного трехчлена меньше 0, то ветви параболы направлены вниз. Если дискриминант больше 0, то трехчлен имеет различные действительные корни и парабола пересекает ось абсцисс в двух точках и т.д.
Мы рассмотрели лишь некоторые примеры, иллюстрирующие применение графического метода к решению квадратных уравнений и неравенств. Более подробно с методами решения квадратных уравнений, неравенств, их систем вы можете, поработав с интерактивными моделями.
Задания тренировочного модуля с разбором.
Пример 1.
При каких значениях параметра, а квадратное уравнение
имеет только один корень?
Находим дискриминант D=25-4∙2∙5a=25-40a. Уравнение имеет один корень, если D=0, т.е. 25-40a=0, а=5/8.
Пример 2.
Определите, на каком интервале значения квадратного трехчлена отрицательны?
Решаем неравенство: . Находим дискриминант квадратного трехчлена D= 1-4∙2∙ (-1) =1+8=9. Находим корни . Расставляем точки на числовой прямой.
Старший коэффициент а=2 ветви параболы вверх. Знаки чередуются + — +. Записываем ответ: — 0,5< х <1.
Решить квадратное уравнение онлайн
Предлагаем вам удобный бесплатный онлайн калькулятор для решения квадратных уравнений. Вы сможете быстро получить решение квадратного уравнения онлайн и разобраться, как они решаются, на понятных примерах.Чтобы произвести решение квадратного уравнения онлайн, вначале приведите уравнение к общему виду:
ax2 + bx + c = 0
Заполните соответственно поля формы:
Как решить квадратное уравнение
| Как решить квадратное уравнение: | Виды корней: |
| 1. Привести квадратное уравнение к общему виду: Общий вид Аx2+Bx+C=0 Пример : 3х — 2х2+1=-1 Приводим к -2х2+3х+2=0 2. Находим дискриминант D. 3. Находим корни уравнения. | 1. Действительные корни. Причем. x1 не равно x2 Ситуация возникает, когда D>0 и A не равно 0. 2. Действительные корни совпадают. x1 равно x2 3. Два комплексных корня. x1=d+ei, x2=d-ei, где i=-(1)1/2 4. Уравнение имеет одно решение. 5. Уравнение имеет бесчисленное множество решений. 6. Уравнение решений не имеет. |
Для закрепления алгоритма, вот еще несколько показательных примеров решений квадратных уравнений.
Пример 1. Решение обычного квадратного уравнения с разными действительными корнями.
x2 + 3x -10 = 0
В этом уравнении
А=1, B = 3, С=-10
D=B2-4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
квадратный корень будем обозначать, как число1/2!
x1=(-В+D1/2)/2А = (-3+7)/2 = 2
x2=(-В-D1/2)/2А = (-3-7)/2 = -5
Для проверки подставим:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10
Пример 2. Решение квадратного уравнения с совпадением действительных корней.
х2 – 8x + 16 = 0
А=1, B = -8, С=16
D = k2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4
Подставим
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X2 – 8x + 16
Пример 3. Решение квадратного уравнения с комплексными корнями.
13х2 – 4x + 1 = 0
А=1, B = -4, С=9
D = b2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 — 52 = -36
Дискриминант отрицательный – корни комплексные.
x1=(-В+D1/2)/2А = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-В-D1/2)/2А = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, где I – это квадратный корень из -1
Вот собственно все возможные случаи решения квадратных уравнений.
Надеемся, что наш онлайн калькулятор окажется весьма полезным для вас.
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
Решение квадратных уравнений по формуле: алгоритм решения
Квадратным уравнением называют уравнение вида a*x^2 +b*x+c=0, где a,b,c некоторые произвольные вещественные (действительные) числа, а x – переменная.2-4*a*c.
2. В зависимости от значения дискриминанта вычислить корни по формулам:
D<0, корней нет.
D=0, x=(-b/(2*a)
D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)
Данный алгоритм универсален и подходит для решения любых квадратных уравнений. Полных и не полных, приведенных и неприведенных.
Нужна помощь в учебе?
Предыдущая тема: Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
Следующая тема:   Решение задач с помощью квадратных уравнений: алгоритм и примеры
Решайте уравнения с квадратными корнями — элементарная алгебра
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
- Решите радикальные уравнения
- Использование квадратного корня в приложениях
Перед тем, как начать, пройдите тест на готовность.
- Упростить: ⓐ ⓑ.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (Рисунок) и (Рисунок). - Решить:.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок). - Решить:.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
Решите радикальные уравнения
В этом разделе мы будем решать уравнения, в которых переменная находится в подкоренном выражении квадратного корня. Уравнения этого типа называются радикальными уравнениями.
Радикальное уравнение
Уравнение, в котором переменная находится в корневом выражении квадратного корня, называется радикальным уравнением.
Как обычно, при решении этих уравнений, то, что мы делаем с одной стороной уравнения, мы должны делать и с другой стороной.Поскольку возведение величины в квадрат и извлечение квадратного корня являются «противоположными» операциями, мы возведем в квадрат обе стороны, чтобы удалить знак корня и найти переменную внутри.
Но помните, что когда мы пишем, мы имеем в виду главный квадратный корень. Так всегда. Когда мы решаем радикальные уравнения, возводя обе части в квадрат, мы можем получить алгебраическое решение, которое будет отрицательным. Это алгебраическое решение не было бы решением исходного радикального уравнения; это постороннее решение. Мы видели посторонние решения и при решении рациональных уравнений.
Для уравнения:
ⓐ Есть решение? Ⓑ Есть решение?
Для уравнения:
ⓐ Есть решение? Ⓑ Есть решение?
ⓐ нет ⓑ
Для уравнения:
ⓐ Есть решение? Ⓑ Есть решение?
ⓐ нет ⓑ
Теперь посмотрим, как решить радикальное уравнение. Наша стратегия основана на соотношении извлечения квадратного корня и возведения в квадрат.
Как решать радикальные уравнения
Решить:.
Решить:.
Решить:.
Решите радикальное уравнение.
- Выделите радикал на одной стороне уравнения.
- Возведите обе части уравнения в квадрат.
- Решите новое уравнение.
- Проверьте ответ.
Решить:.
Решить:.
Решить:.
Решить:.
Решить:.
Решить:.
Когда мы используем знак корня, мы имеем в виду главный или положительный корень. Если в уравнении квадратный корень равен отрицательному числу, это уравнение не будет иметь решения.
Решить:.
Решение
| Чтобы изолировать радикал, вычтите 1 с обеих сторон. | |
| Упростить. | |
| Поскольку квадратный корень равен отрицательному числу, уравнение не имеет решения. |
Решить:.
Решить:.
Если одна сторона уравнения является биномом, мы используем формулу биномиальных квадратов, когда возводим ее в квадрат.
Биномиальные квадраты
Не забывайте про средний семестр!
Решить:.
Решить:.
Решить:.
Решить:.
Решить:.
Решить:.
Когда перед радикалом стоит коэффициент, мы также должны возвести его в квадрат.
Решить:.
Решить:.
Решить:.
Решить:.
Решение
Решить:.
Решить:.
Иногда после возведения в квадрат обеих частей уравнения внутри радикала остается переменная.Когда это произойдет, мы повторяем шаги 1 и 2 нашей процедуры. Выделяем радикал и снова возводим обе части уравнения в квадрат.
Решить:.
Решение
Решить:.
Решить:.
Решить:.
Решение
Решить:.
Решить:.
Использование квадратного корня в приложениях
По мере прохождения курсов в колледже вы будете сталкиваться с формулами, включающими квадратные корни во многих дисциплинах.Мы уже использовали формулы для решения геометрических приложений.
Мы будем использовать нашу стратегию решения проблем для геометрических приложений с небольшими изменениями, чтобы дать нам план решения приложений с формулами из любой дисциплины.
Решайте приложения с помощью формул.
- Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. При необходимости нарисуйте фигуру и пометьте ее данной информацией.
- Определите то, что мы ищем.
- Назовите то, что мы ищем, выбрав переменную для его представления.
- Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для ситуации. Подставьте в данную информацию.
- Решите уравнение , используя хорошие методы алгебры.
- Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
- Ответьте на вопрос полным предложением.
Мы использовали формулу, чтобы найти площадь прямоугольника длиной L и шириной W .Квадрат — это прямоугольник, у которого длина и ширина равны. Если мы допустим s как длину стороны квадрата, площадь квадрата равна.
Формула дает нам площадь квадрата, если мы знаем длину стороны. Что, если мы хотим найти длину стороны для данной области? Затем нам нужно решить уравнение для s .
Мы можем использовать формулу, чтобы найти длину стороны квадрата для заданной площади.
Площадь квадрата
Мы покажем это в следующем примере.
Кэти хочет посадить квадратный газон перед своим двором. У нее достаточно дерна, чтобы покрыть площадь в 370 квадратных футов. Используйте формулу, чтобы найти длину каждой стороны ее газона. Округлите ответ до ближайшей десятой доли фута.
Серджио хочет сделать квадратную мозаику в качестве инкрустации для стола, который он строит. У него достаточно плитки, чтобы покрыть площадь в 2704 квадратных сантиметра. Используйте формулу, чтобы найти длину каждой стороны его мозаики. Округлите ответ до ближайшей десятой доли фута.
Еще одно применение квадратных корней связано с гравитацией.
Падающие предметы
На Земле, если объект падает с высоты футов, время в секундах, которое потребуется, чтобы достичь земли, определяется по формуле
Например, если объект падает с высоты 64 фута, мы можем вычислить время, необходимое для достижения земли, подставив его в формулу.
| Извлеките квадратный корень из 64. | |
| Упростим дробь. |
Чтобы объект, упавший с высоты 64 фута, достиг земли, потребуется 2 секунды.
Кристи уронила свои солнцезащитные очки с моста на высоте 400 футов над рекой. Используйте формулу, чтобы определить, сколько секунд потребовалось солнцезащитным очкам, чтобы добраться до реки.
Вертолет сбросил спасательный пакет с высоты 1296 футов. Используйте формулу, чтобы определить, сколько секунд потребовалось, чтобы пакет достиг земли.
Мойщик окон сбросил ракель с платформы на высоте 196 футов над тротуаром. Используйте формулу, чтобы определить, сколько секунд прошло, чтобы ракель достиг тротуара.
Сотрудники полиции, расследующие автомобильные аварии, измеряют длину следов заноса на тротуаре. Затем они используют квадратные корни, чтобы определить скорость в милях в час, с которой машина ехала до того, как затормозила.
Следы заноса и скорость автомобиля
Если длина пятен заноса составляет d футов, то скорость автомобиля с до того, как были применены тормоза, можно определить по формуле
.После автомобильной аварии следы заноса одной машины достигли 190 футов.Воспользуйтесь формулой, чтобы определить скорость автомобиля до того, как были задействованы тормоза. Округлите ответ до ближайшей десятой.
Следователь ДТП измерил следы заноса автомобиля. Длина следов заноса составляла 76 футов. Воспользуйтесь формулой, чтобы определить скорость автомобиля до того, как были задействованы тормоза. Округлите ответ до ближайшей десятой.
Следы заноса автомобиля, попавшего в аварию, были длиной 122 фута. Используйте формулу, чтобы найти скорость автомобиля до того, как были задействованы тормоза.Округлите ответ до ближайшей десятой.
Ключевые концепции
- Для решения радикального уравнения:
- Выделите радикал на одной стороне уравнения.
- Возведите обе части уравнения в квадрат.
- Решите новое уравнение.
- Проверьте ответ. Некоторые полученные решения могут не работать в исходном уравнении.
- Решение приложений с помощью формул
- Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны.При необходимости нарисуйте фигуру и пометьте ее данной информацией.
- Определите то, что мы ищем.
- Назовите то, что мы ищем, выбрав переменную для его представления.
- Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для ситуации. Подставьте в данную информацию.
- Решите уравнение , используя хорошие методы алгебры.
- Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
- Ответьте на вопрос полным предложением.
- Площадь квадрата
- Падающие предметы
- На Земле, если объект падает с высоты футов, время в секундах, которое потребуется, чтобы достичь земли, определяется по формуле.
- Следы заноса и скорость автомобиля
- Если длина следов заноса составляет d футов, то скорость с автомобиля до того, как были задействованы тормоза, можно определить по формуле.
Письменные упражнения
Объясните, почему уравнение вида не имеет решения.
- ⓐ Решите уравнение.
- ⓑ Объясните, почему одно из найденных «решений» на самом деле не было решением уравнения.
Самопроверка
ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.
ⓑ Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы стать уверенным в достижении всех целей?
Глоссарий
- радикальное уравнение
- Уравнение, в котором переменная находится в корневом выражении квадратного корня, называется радикальным уравнением
Основы квадратного корня (примеры и ответы)
Обновлено 8 декабря 2020 г.
Ли Джонсон
Квадратные корни часто встречаются в задачах по математике и естествознанию, и любой ученик должен овладеть основами квадратного корня для решения эти вопросы.Квадратные корни спрашивают, «какое число при умножении само на себя дает следующий результат», и поэтому их вычисление требует, чтобы вы относились к числам немного по-другому. Однако вы можете легко понять правила извлечения квадратного корня и ответить на любые вопросы, связанные с ними, независимо от того, требуют ли они прямого вычисления или просто упрощения.
TL; DR (слишком долго; не читал)
Квадратный корень спрашивает вас, какое число при умножении на само себя дает результат после символа √.Итак, √9 = 3 и √16 = 4. Технически каждый корень имеет положительный и отрицательный ответ, но в большинстве случаев положительный ответ — это тот, который вас заинтересует.
Вы можете множить квадратные корни на множители, как и обычные числа , поэтому √ ab = √ a √ b , или √6 = √2√3.
Что такое квадратный корень?
Квадратные корни — это противоположность возведения числа в квадрат или его умножения на само себя. Например, три в квадрате равно девяти (3 2 = 9), поэтому квадратный корень из девяти равен трем.2 = 9 \ text {и} \ sqrt {9} = ± 3
, где ± вместо «плюс или минус». Во многих случаях вы можете игнорировать отрицательные квадратные корни чисел, но иногда важно помнить, что каждое число имеет два корня.
Вас могут попросить извлечь «кубический корень» или «корень четвертой степени» из числа. Кубический корень — это число, которое при двойном умножении на себя равно исходному числу. Корень четвертой степени — это число, которое при трехкратном умножении на себя равно исходному числу.{1/3}
Упрощение квадратных корней
Одна из самых сложных задач, которые вам, возможно, придется выполнить с квадратными корнями, — это упрощение больших квадратных корней, но вам просто нужно следовать некоторым простым правилам, чтобы ответить на эти вопросы. Вы можете разложить на множители квадратные корни так же, как и обычные числа. Так, например, 6 = 2 × 3, поэтому
\ sqrt {6} = \ sqrt {2} × \ sqrt {3}
Упрощение больших корней означает выполнение факторизации шаг за шагом и запоминание определения квадратного корня.Например, √132 — большой корень, и может быть трудно понять, что делать. Однако вы можете легко увидеть, что оно делится на 2, поэтому вы можете написать
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {66}
Однако 66 также делится на 2, поэтому вы можете написать:
\ sqrt {2} \ sqrt {66} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33}
В этом случае квадратный корень из числа, умноженный на другой квадратный корень, просто дает исходное число ( из-за определения квадратного корня), поэтому
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33} = 2 \ sqrt {33}
Короче говоря, вы можете упростить квадратные корни используя следующие правила
\ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} × \ sqrt {b} \\ \ sqrt {a} × \ sqrt {a} = a
Что такое квадратный корень…
Используя приведенные выше определения и правила, вы можете найти квадратные корни из большинства чисел.Вот несколько примеров, которые стоит рассмотреть.
Квадратный корень из 8
Его нельзя найти напрямую, потому что это не квадратный корень из целого числа. Однако использование правил для упрощения дает:
\ sqrt {8} = \ sqrt {2} \ sqrt {4} = 2 \ sqrt {2}
Квадратный корень из 4
. простой квадратный корень из 4, который равен √4 = 2. Задача может быть решена точно с помощью калькулятора, а √8 = 2,8284 ….
Квадратный корень из 12
Используя тот же подход, попробуйте найдите квадратный корень из 12.Разделите корень на факторы, а затем посмотрите, сможете ли вы снова разделить его на факторы. Попробуйте это как практическую задачу, а затем посмотрите на решение ниже:
\ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {6} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {3} = 2 \ sqrt {3}
Опять же, это упрощенное выражение может либо использоваться в задачах по мере необходимости, либо точно рассчитываться с помощью калькулятора. Калькулятор показывает, что
\ sqrt {12} = 2 \ sqrt {3} = 3.4641….
Квадратный корень из 20
Квадратный корень из 20 можно найти таким же образом:
\ sqrt {20} = \ sqrt {2} \ sqrt {10} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 2 \ sqrt {5} = 4.4721….
Квадратный корень из 32
Наконец, возьмите квадратный корень из 32, используя тот же подход:
\ sqrt {32} = \ sqrt {4} \ sqrt {8}
Здесь, обратите внимание, что мы уже вычислил квадратный корень из 8 как 2√2, а √4 = 2, поэтому:
\ sqrt {32} = 2 × 2 \ sqrt {2} = 4 \ sqrt {2} = 5,657 ….
Квадратный корень отрицательного числа
Хотя определение квадратного корня означает, что отрицательные числа не должны иметь квадратного корня (поскольку любое число, умноженное на само по себе, дает в результате положительное число), математики сталкивались с ними как с частью задач по алгебре и разработал решение.«Мнимое» число i используется для обозначения «квадратного корня из минус 1», а любые другие отрицательные корни выражаются как кратные i . Итак,
\ sqrt {-9} = \ sqrt {9} × i = ± 3i
Эти задачи более сложные, но вы можете научиться решать их, основываясь на определении i и стандартных правилах для корнеплоды.
Примеры вопросов и ответов
Проверьте свое понимание квадратных корней, упростив по мере необходимости, а затем вычислив следующие корни:
\ sqrt {50} \\ \ sqrt {36} \\ \ sqrt {70} \\ \ sqrt {24} \\ \ sqrt {27}
Попытайтесь решить их, прежде чем смотреть ответы ниже:
\ sqrt {50} = \ sqrt {2} \ sqrt {25} = 5 \ sqrt {2} = 7.071 \\ \ sqrt {36} = 6 \\ \ sqrt {70} = \ sqrt {7} \ sqrt {10} = \ sqrt {7} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 8,637 \\ \ sqrt {24} = \ sqrt {2} \ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {6} = 2 \ sqrt {6} = 4,899 \\ \ sqrt {27} = \ sqrt { 3} \ sqrt {9} = 3 \ sqrt {3} = 5,196
Решение задач, содержащих два квадратных корня
Решение задач, содержащих два квадратных корня Вот шаги, необходимые для решения задач, содержащих два квадратных корня:| Шаг 1 : | Выделите один из двух квадратных корней на одной стороне уравнения, переместив все остальные члены в противоположную сторону уравнения. |
| Шаг 2 : | Возведите в квадрат каждую сторону уравнения. Возведение квадратного корня в квадрат приводит к тому, что один из квадратных корней исчезает, оставляя выражение, которое было внутри квадратного корня. |
| Шаг 3 : | Упростите уравнение, найденное на шаге 2, распределяя (или FOILing), чтобы удалить круглые скобки, а затем объединив похожие термины. |
| Шаг 4 : | На данный момент в задаче должен остаться только один квадратный корень.Итак, выделите квадратный корень, переместив все остальные члены в противоположную часть уравнения. |
| Шаг 5 : | Возведите в квадрат каждую сторону уравнения. Возведение квадратного корня в квадрат приводит к тому, что квадратный корень исчезает, оставляя выражение, которое было внутри квадратного корня. |
| Шаг 6 : | Решите уравнение, найденное на шаге 5. На этом шаге может потребоваться распределение (или FOIL), объединение одинаковых членов, выделение переменной или решение путем разложения на множители в зависимости от оставшихся членов. |
| Шаг 7 : | Проверьте свой ответ. При решении задач извлечения квадратного корня иногда вы получаете неправильные ответы, поэтому убедитесь, что вы подставили свой ответ в исходный вопрос, чтобы убедиться, что он правильный. |
Пример 1 — Решить:
Пример 2 — Решить:
Щелкните здесь для практических задач
Пример 3 — Решить:
Щелкните здесь для практических задач
Пример 4 — Решить:
Щелкните здесь для практических задач
Решение квадратных уравнений методом квадратного корня
Это «лучший» метод, если квадратное уравнение только содержит {x ^ 2} членов. 2} с левой стороны, добавив обе стороны на +1.Затем решите значения x, извлекая квадратные корни из обеих частей уравнения. Как я упоминал ранее, нам нужно прикрепить символ плюс или минус к квадратному корню из константы.
Итак, у меня x = 5 и x = — \, 5 в качестве окончательных ответов , поскольку оба этих значения удовлетворяют исходному квадратному уравнению. Я оставлю это на ваше усмотрение.
Пример 2 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.
Эта проблема очень похожа на предыдущий пример.2}, по одному с каждой стороны уравнения. Мой подход состоит в том, чтобы собрать все квадраты x с левой стороны и объединить все константы с правой стороны. Затем решите относительно x как обычно, как в примерах 1 и 2.
Решения этой квадратной формулы: x = 3 и x = — \, 3.
Пример 4 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.
Две круглые скобки не должны вас беспокоить. Факт остается фактом: все переменные имеют квадратную форму, чего мы и хотим.2} термины слева и константы справа. Наконец, примените операцию извлечения квадратного корня с обеих сторон, и все готово!
Неплохо, правда?
Пример 5 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.
Поскольку член x дважды возводится во вторую степень, это означает, что мне нужно выполнить две операции извлечения квадратного корня, чтобы найти x.
Первый шаг — получить что-то вроде этого: () 2 = константа .2} = \ pm \, 6 + 10 на два случая из-за «плюс» или «минус» в 6.
- Решите первый случай, когда 6 — это положительное значение .
- Решите второй случай, когда 6 — это отрицательное значение .
Решения этого квадратного уравнения: x = 4, x = — \, 4, x = 2 и x = — \, 2. Да, у нас есть четыре значения x, которые могут удовлетворять исходному квадратному уравнению.
Пример 6 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.
Решение :
Пример 7 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.
Раствор:
Практика с рабочими листами
Возможно, вас заинтересует:
Решение квадратных уравнений методом факторинга
Решение квадратных уравнений по квадратичной формуле
Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата
Упрощение квадратного корня — методы и примеры
Квадратный корень — это операция, обратная возведению в квадрат числа .Квадратный корень числа x обозначается знаком корня √x или x 1/2 . Квадратный корень из числа x таков, что число y является квадратом x, упрощенно записывается как y 2 = x.
Например, квадратный корень из 25 представлен как √25 = 5. Число, квадратный корень которого вычисляется, называется подкоренным выражением. В этом выражении √25 = 5, число 25 — подкоренное выражение.
Иногда вы получаете сложные выражения с несколькими радикалами, и вас просят упростить их.
Для этого существует множество методов, в зависимости от количества радикалов и значений под каждым радикалом. Мы увидим их одного за другим.
Как упростить квадратный корень?
Чтобы упростить выражение, содержащее квадратный корень, мы находим множители числа и группируем их в пары.Например, число 16 имеет 4 копии множителей, поэтому мы берем число два из каждой пары и помещаем его перед радикалом, окончательно отброшенным, т.е. √16 = √ (2 x 2 x 2 x 2) = 4.
Для упрощения извлечения квадратного корня из числа используются несколько методов.В этой статье описаны некоторые из этих методов.
Упрощение, когда радикалы одинаковы
Вы можете складывать или вычитать сами квадратные корни, только если значения под знаком радикала равны. Затем сложите или вычтите коэффициенты (числа перед знаком корня) и сохраните исходное число знака корня.
Пример 1
Выполните следующие операции
- 2√3 + 3√3 = (2 +3) √3
= 5√3
- 4√6 — 2√6 = (4 — 2) √6
= 2√6
- 5√2 + √2 = (5+ 1) √2
= 6√2
Упрощение под одним радикальным знаком
Можно упростить извлечение квадратного корня, когда целые числа находятся под одним знаком, путем сложения, вычитания и умножения целых чисел под знаком.
Пример 2
Упростите следующие выражения:
= √100
= 10
= √36
= 6
= √25
= 5
= √911 Simplification = √911 когда радикальные значения различаются
Если радикалы не совпадают, упростите возведение в квадрат числа путем сложения или вычитания различных квадратных корней.
Пример 3
Выполните следующие операции:
= √ (25 x 2) + 3√2
= 5√2 + 3√2
= 8√2
= √ (100 x 3) + √ (4 x 3)
= 10√3 + 2√3
= 12√3
Упрощение путем умножения неотрицательных корней
Пример 4
Умножение:
= 4
= √x 8 = x 4
Пример 5
Найдите значение числа n, если квадратный корень из суммы числа с 12 равен 5 .
Решение
Напишите выражение этой задачи, квадратный корень из суммы n и 12 равен 5
√ (n + 12) = квадратный корень из суммы.
√ (n + 12) = 5
Наше уравнение, которое теперь необходимо решить:
√ (n + 12) = 5
Каждая сторона уравнения возводится в квадрат:
[√ (n + 12)] ² = 5²
[√ (n + 12)] x [√ (n + 12)] = 25
√ [(n + 12) x √ (n + 12)] = 25
√ (n + 12) ² = 25
n + 12 = 25
Вычтем 12 из обеих частей выражения
n + 12-12 = 25-12
n + 0 = 25-12
n = 13
Пример 6
Упростить
- √4,500
- √72
Решение
Аргумент 4500 имеет множители 5, 9 и 100.Теперь можно вычислить квадратный корень. Вычислите квадратный корень из полных квадратных чисел
√4500 = √ (5 x 9 x 100)
= 30√5
2.
Число 72 равно 2 x 36, а поскольку 36 — полный квадрат, вычислить его квадратный корень.
√ (2 x 36)
= 6√2
Практические вопросы
- Упростите следующие выражения:
a) √5x 2
b) √18a
c) √12 2 y
d) √5y 3
e) √ x 7 y 2
- Вычислите выражение корня ниже.
a) 2 + 9 –√15-2
b) 3 x 4 + √169
c) √25 x √16 + √36
d) √81 x 12 + 12
e) √36 + √47 — √16
f) 6 + √36 + 25−2
g) 4 (5) + √9-2
h) 15 + √16 + 5
i) 3 (2 ) + √25 + 10
j) 4 (7) + √49 — 12
k) 2 (4) + √9 — 8
l) 3 (7) + √25 + 21
m) 8 (3) — √27
- Вычислите площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой длиной 100 см и шириной 6 см.
- Ахмед и Том встретились для встречи. Ровно в 16:00 они разошлись: Том едет на юг со скоростью 60 миль в час, а Ахмед едет на восток со скоростью 30 миль в час. Как далеко был Том от Ахмеда в 16.30?
- Вычислите длину куба с площадью грани x см 2 .
- Рассчитайте диаметр круга с площадью A = 300 см².
- Квадратный школьный сад имеет длину 11 м.Допустим, каждая сторона сада увеличена на 5 м. Как увеличить площадь сада?
- Прямоугольный мат имеет длину 4 метра и ширину √ (x + 2) метра. Вычислите значение x, если периметр равен 24 метрам.
- Каждая сторона куба составляет 5 метров. Паук соединяется от вершины угла куба к противоположному нижнему углу. Рассчитайте общую длину паутины.
- Квадратный сад площадью 144 м 2 .Какова длина каждой стороны сада?
- В городе будет построена большая детская площадка квадратной формы. Предположим, что игровая площадка имеет площадь 400 и должна быть разделена на четыре равные зоны для различных занятий спортом. Сколько зон можно разместить в одном ряду детской площадки, не выходя за него?
- Воздушный змей закреплен на земле веревкой. Ветер дует так, что тетива натянута, и кайт помещается прямо на 30-футовый флагшток.Найдите высоту флагштока, если длина веревки составляет 110 футов.
Решение радикальных уравнений
Как решать уравнения с квадратными корнями, кубическими корнями и т. Д.
Радикальные уравнения
Решение радикальных уравнений
Мы можем избавиться от квадратного корня возведением в квадрат. (Или кубические корни кубиками и т. Д.)
Но предупреждение: иногда это может создавать «решения», которые на самом деле не работают, когда мы помещаем их в исходное уравнение.Так что нам нужно проверить!
Выполните следующие действия:
- выделите квадратный корень с одной стороны уравнения
- возвести в квадрат обе части уравнения
Тогда продолжайте наше решение!
Пример: решить √ (2x + 9) — 5 = 0
вычлените квадратный корень: √ (2x + 9) = 5
квадрат с обеих сторон: 2x + 9 = 25
Теперь решать должно быть проще!
Переместите 9 вправо: 2x = 25 — 9 = 16
Разделить на 2: x = 16/2 = 8
Ответ: x = 8
Проверка: √ (2 · 8 + 9) — 5 = √ (25) — 5 = 5 — 5 = 0
Тот работал отлично.
Более одного квадратного корня
Что делать, если есть два или более квадратных корня? Легко! Просто повторите процесс для каждого.
займет больше времени (намного больше шагов) … но ничего особенного.
Пример: решить √ (2x − 5) — √ (x − 1) = 1
выделить один из квадратных корней: √ (2x − 5) = 1 + √ (x − 1)
квадрат с обеих сторон: 2x − 5 = (1 + √ (x − 1)) 2
Мы удалили один квадратный корень.
развернуть правую часть: 2x − 5 = 1 + 2√ (x − 1) + (x − 1)
упростить: 2x − 5 = 2√ (x − 1) + x
вычтем x из обеих частей: x − 5 = 2√ (x − 1)
Теперь снова вычислим квадратный корень:
выделите квадратный корень: √ (x − 1) = (x − 5) / 2
квадрат с обеих сторон: x − 1 = ((x − 5) / 2) 2
Мы успешно удалили оба квадратных корня.
Давайте продолжим решение.
Развернуть правую часть: x − 1 = (x 2 — 10x + 25) / 4
Это квадратное уравнение! Так что давайте представим это в стандартной форме.
Умножьте на 4, чтобы удалить деление: 4x − 4 = x 2 — 10x + 25
Переместите все налево: 4x — 4 — x 2 + 10x — 25 = 0
Объедините похожие термины: −x 2 + 14x — 29 = 0
Поменять местами все знаки: x 2 — 14x + 29 = 0
Использование квадратичной формулы (a = 1, b = −14, c = 29) дает решения:
2.53 и 11,47 (с точностью до 2 знаков после запятой)
Проверим решения:
2,53: √ (2 × 2,53−5) — √ (2,53−1) ≈ −1 Ой! Должно быть плюс 1.
11,47: √ (2 × 11,47−5) — √ (11,47−1) ≈ 1 Да, это работает.
Есть реально только одно решение :
Ответ: 11,47 (с точностью до 2 знаков после запятой)
Видите? Этот метод может иногда давать решения, которые на самом деле не работают!
Корень, который казался работоспособным, но был неправильным, когда мы его проверили, называется «Посторонний корень»
Итак: Проверка важна.
квадратов и квадратных корней в алгебре
Вы можете сначала прочитать наше Введение в квадраты и квадратные корни.
Квадраты
Чтобы возвести число в квадрат, просто умножьте его само на себя …
Пример: Что такое 3 в квадрате?
| 3 Квадрат | = | = 3 × 3 = 9 |
«В квадрате» часто записывают как две маленькие цифры:
Здесь говорится, что «4 в квадрате равно 16»
(маленькая 2 означает
число появляется дважды при умножении, поэтому 4 × 4 = 16)
Квадратный корень
квадратный корень идет в другом направлении:
3 в квадрате равно 9, поэтому квадратный корень из 9 это 3
Это как спросить:
Что можно умножить само на себя, чтобы получить это?
Определение
Вот определение:
Квадратный корень из x равен , число r , квадрат которого равен x:
r 2 = x
r — квадратный корень из x
Символ квадратного корня
Это специальный символ, означающий «квадратный корень», это как галочка, Он называется радикальным и всегда делает математику важной! |
Мы можем использовать это так:
мы говорим, что «квадратный корень из 9 равен 3»
Пример: Что такое √36?
Ответ: 6 × 6 = 36, поэтому √36 = 6
Отрицательные числа
Мы также можем возводить в квадрат отрицательные числа.
Пример: что такое
минус 5 в квадрате ?Но подождите… что означает «минус 5 в квадрате»?
- квадрат 5, тогда минус?
- или квадрат (−5)?
Непонятно! И получаем разные ответы:
- возвести в квадрат 5, затем вычислить минус: — (5 × 5) = −25
- квадрат (−5): (−5) × (−5) = +25
Итак, давайте проясним это с помощью «()».
Это было интересно!
Когда мы возводим в квадрат отрицательное число , мы получаем положительный результат .
Точно так же, как при возведении в квадрат положительного числа:
Теперь помните наше определение квадратного корня?
Квадратный корень из x равен , число r , квадрат которого равен x:
r 2 = x
r — квадратный корень из x
И мы только что обнаружили, что:
(+5) 2 = 25
(−5) 2 = 25
Итак, и +5, и −5 являются квадратными корнями из 25
.Два квадратных корня
Может быть положительный и отрицательный квадратный корень!
Это важно помнить.
Пример: Решите w
2 = aОтвет:
w = √a и w = −√a
Главный квадратный корень
Итак, если на самом деле есть два квадратных корня, почему люди говорят √25 = 5?
Потому что √ означает главный квадратный корень … тот, который не является отрицательным!
— это два квадратных корня, но символ √ означает просто главный квадратный корень .
Пример:
Квадратные корни из 36 равны 6 и −6
.Но √36 = 6 (не −6)
Главный квадратный корень иногда называют положительным квадратным корнем (но он может быть нулевым).
Знак плюс-минус
| ± | — специальный символ, означающий «плюс или минус», |
| поэтому вместо записи: | w = √a и w = −√a | |
| можно написать: | Вт = ± √a |
В двух словах
Когда имеем: r 2 = x
, тогда: r = ± √x
Почему это важно?
Почему этот «плюс-минус» важен? Потому что мы не хотим упустить решение!
Пример: Решить x
2 — 9 = 0Начать с: x 2 — 9 = 0
Переместите 9 вправо: x 2 = 9
Квадратный корень: x = ± √9
Ответ: x = ± 3
Знак «±» говорит нам также включить ответ «−3».
Пример: найти x в (x — 3)
2 = 16Начать с: (x — 3) 2 = 16
Квадратный корень: x — 3 = ± √16
Вычислить √16: x — 3 = ± 4
Добавьте 3 к обеим сторонам: x = 3 ± 4
Ответ: x = 7 или −1
Чек: (7−3) 2 = 4 2 = 16
Чек: (−1−3) 2 = (−4) 2 = 16
Квадратный корень xy
Когда два числа умножаются на квадратный корень, мы можем разделить это на умножение двух квадратных корней следующим образом:
√xy = √x√y
, но только если x и y оба больше или равны 0
Пример: Что такое
√ (100 × 4) ?√ (100 × 4) = √ (100) × √ (4)
= 10 × 2
= 20
и √x√y = √xy :
Пример: Что такое
√8√2 ?√8√2 = √ (8 × 2)
= √16
= 4
Пример: Что такое
√ (−8 × −2) ?√ (−8 × −2) = √ (−8) × √ (−2)
= ???
Похоже, мы здесь попались в какую-то ловушку!
Мы можем использовать мнимые числа, но это приводит к неправильному ответу : −4
Да, верно…
Правило работает, только если x и y оба больше или равны 0
Итак, мы не можем использовать это правило здесь.
Вместо этого просто сделайте это так:
√ (−8 × −2) = √16 = +4
Почему √xy = √x√y?
Мы можем использовать тот факт, что возведение квадратного корня в квадрат снова возвращает нам исходное значение:
(√a) 2 = a
Предполагая, что , не отрицательное!
Мы можем сделать это для xy: (√xy) 2 = xy
А также к x и y по отдельности: (√xy) 2 = (√x) 2 (√y) 2
Используйте a 2 b 2 = (ab) 2 : (√xy) 2 = (√x√y) 2
Убрать квадрат с обеих сторон : √xy = √x√y
Показатель половины
Квадратный корень можно также записать в виде дробной степени от половины:
, но только для x больше или равно 0
Как насчет квадратного корня негативов?
Результат — мнимое число.