Примеры уравнения касательной: график функции, алгоритм построения, примеры

Содержание

Касательная плоскость и нормаль к явно заданной поверхности.

Касательной плоскостью к поверхности в ее точке $M_0$ (точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.

Если уравнение поверхности имеет вид $$F(x,y,z)=0,$$ то уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ есть $$F_x'(x_0, y_0, z_0)(x-x_0)+F_y'(x_0, y_0, z_0)(y-y_0)+F_z'(x_0, y_0, z_0)(z-z_0)=0.$$

Уравнение нормали $$\frac{x-x_0}{F_x'(x_0, y_0, z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y'(x_0, y_0, z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z'(x_0, y_0, z_0)}.$$

В случае задания поверхности в явной форме $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0),$$ а уравнение нормали $$\frac{x-x_0}{f_x'(x_0, y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y'(x_0, y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}.

$$

Примеры:

7.229. а) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $z=\sin x\cos y$ в точке $(\pi/4, \pi/4, \pi/4).$

Решение.

Для поверхности $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0),$$ а уравнение нормали $$\frac{x-x_0}{f_x'(x_0, y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y'(x_0, y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}.$$

Находим частные производные:

$z’_x=(\sin x\cos y)’_x=\cos x\cos y;$

$z’_x(\pi/4, \pi/4)=\cos \frac{\pi}{4}\cos \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt 2}\cdot\frac{1}{\sqrt 2}=\frac{1}{2};$ 

$z’_y=(\sin x\cos y)’_y=-\sin x\sin y;$

$z’_y(\pi/4, \pi/4)=-\sin \frac{\pi}{4}\sin \frac{\pi}{4}=-\frac{1}{\sqrt 2}\cdot\frac{1}{\sqrt 2}=-\frac{1}{2};$

Таким образом, уравнение касательной плоскости: $$z-\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}(x-\frac{\pi}{4})-\frac{1}{2}(y-\frac{\pi}{4})\Rightarrow$$ $$\frac{1}{2}x -\frac{1}{2}y-z+\frac{\pi}{4}=0.

2-2x+6y=4$ найти уравнение нормали, параллельной прямой $\frac{x+2}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{4}.$

 

 

Аналитическая геометрия

3.9 Касательные

&nbsp

Пусть на плоскости задана кривая уравнением $F(x,y)=0$ (т.е. неявным образом). Пусть точка $(x_0, y_0)$ принадлежит этой кривой. Выпишем уравнение касательной к кривой в этой точке. Напомним, что если кривая задана уравнением $y=f(x)$, то, как известно из курса дифференциального исчисления, угловой коэффициент касательной в точке $(x_0,y_0)$, лежащей на кривой, равен значению производной $f(x)$ в этой точке, т.е. $k=f'(x_0)$. Таким образом, уравнение касательной (уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку) имеет вид: \[ y-y_0=f'(x_0)(x-x_0). \] Если кривая задана неявно, то производная $f'(x_0)$ вычисляется согласно соотношению \[ f'(x_0)=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}|_{x_0, y_0}.

2=8x$.

&nbsp &nbsp

Угловой коэффициент производной. Касательная к графику функции

Инструкция

Определяем угловой коэффициент касательной к кривой в точке М.
Кривая, представляющая собой график функции y = f(x), непрерывна в некоторой окрестности точки М (включая саму точку М).

Если значения f‘(x0) не существует, то либо касательной нет, либо она проходит вертикально. Ввиду этого, наличие производной функции в точке х0 обусловлено существованием невертикальной касательной, соприкасающейся с графиком функции в точке (х0, f(х0)). В этом случае угловой коэффициент касательной равен будет f»(х0). Таким образом, становится ясен геометрический смысл производной – расчет углового коэффициента касательной.

Найдите значение абсциссы точки касания, которую обозначаются буквой «а». Если она совпадает с заданной точкой касательной, то «а» будет ее х-координате. Определите значение функции f(a), подставив в уравнение функции величину абсциссы.

Определите первую производную уравнения функции f’(x) и подставьте в него значение точки «а».

Возьмите общее уравнение касательной, которое определяется как y = f(a) = f (a)(x – a), и подставьте в него найденные значения a, f(a), f «(a). В результате будет найдено решение графика и касательной.

Решите задачу иным способом, если заданная точка касательной не совпала с точкой касания. В этом случае необходимо в уравнение касательной вместо цифр подставить «а». После этого вместо букв «х» и «у» подставьте значение координат заданной точки. Решите получившееся уравнение, в котором «а» является неизвестной. Поставьте полученное значение в уравнение касательной.

Составьте уравнение касательной с буквой «а», если в условии задачи задано уравнение функции и уравнение параллельной линии относительно искомой касательной. После этого необходимо производную функции , чтобы координату у точки «а». Подставьте соответствующее значение в уравнение касательной и решите функцию.

В этой статье мы разберем все типы задач на нахождение

Вспомним геометрический смысл производной : если к графику функции в точке проведена касательная, то коэффициент наклона касательной (равный тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ) равен производной функции в точке .


Возьмем на касательной произвольную точку с координатами :


И рассмотрим прямоугольный треугольник :


В этом треугольнике

Отсюда

Это и есть уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке .

Чтобы написать уравнение касательной, нам достаточно знать уравнение функции и точку, в которой проведена касательная. Тогда мы сможем найти и .

Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.

1. Дана точка касания

2. Дан коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции в точке .

3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.

Рассмотрим каждый тип задач.

1 . Написать уравнение касательной к графику функции в точке .

.

б) Найдем значение производной в точке . Сначала найдем производную функции

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим:

Ответ: .

2 . Найти абсциссы точек, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс.

Если касательная параллельна оси абсцисс, следовательно угол между касательной и положительным направлением оси равен нулю, следовательно тангенс угла наклона касательной равен нулю. Значит, значение производной функции в точках касания равно нулю.

а) Найдем производную функции .

б) Приравняем производную к нулю и найдем значения , в которых касательная параллельна оси :

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

Ответ: 0;3;5

3 . Написать уравнения касательных к графику функции , параллельных прямой .

Касательная параллельна прямой . Коэффициент наклона этой прямой равен -1. Так как касательная параллельна этой прямой, следовательно, коэффициент наклона касательной тоже равен -1. То есть

мы знаем коэффициент наклона касательной , а, тем самым, значение производной в точке касания .

Это второй тип задач на нахождение уравнения касательной.

Итак, у нас дана функция и значение производной в точке касания.

а) Найдем точки, в которых производная функции равна -1.

Сначала найдем уравнение производной.

Приравняем производную к числу -1.

Найдем значение функции в точке .

(по условию)

.

б) Найдем уравнение касательной к графику функции в точке .

Найдем значение функции в точке .

(по условию).

Подставим эти значения в уравнение касательной:

.

Ответ:

4 . 2}»>. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и не является точкой касания.

Это последний тип задач на нахождение уравнения касательной. Первым делом нам нужно найти абсциссу точки касания .

Найдем значение .

Пусть — точка касания. Точка принадлежит касательной к графику функции . Если мы подставим координаты этой точки в уравнение касательной, то получим верное равенство:

.

Значение функции в точке равно .

Найдем значение производной функции в точке .

Сначала найдем производную функции . Это .

Производная в точке равна .

Подставим выражения для и в уравнение касательной. Получим уравнение относительно :

Решим это уравнение.

Сократим числитель и знаменатель дроби на 2:

Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю. Получим:

Упростим числитель дроби и умножим обе части на — это выражение строго больше нуля.

2} {8-3x_0>=0} }}{ }»>

Решим первое уравнение.

Решим квадратное уравнение, получим

Второй корень не удовлетворяет условию title=»8-3x_0>=0″>, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .

Напишем уравнение касательной к кривой в точке . Для этого подставим значение в уравнение — мы его уже записывали.

Ответ:
.

Прямая y = f(x) будет являться касательной к графику, изображенному на рисунке в точке х0 при том условии, если она проходит через данную точку с координатами (х0; f(x0)) и имеет угловой коэффициент f»(x0). Найти этот коэффициент, учитывая особенности касательной, несложно.

Вам понадобится

  • — математический справочник;
  • — тетрадь;
  • — простой карандаш;
  • — ручка;
  • — транспортир;
  • — циркуль.

Инструкция

  • Примите к сведению, что график дифференцируемой функции f(x) в точке х0 не имеет различий с отрезком касательной.
    Поэтому он является достаточно близким к отрезку l, к проходящему через точки (х0; f(х0)) и (х0+Δx; f(x0 + Δx)). Чтобы задать прямую, проходящую через точку А с коэффициентами (х0; f(х0)), укажите ее угловой коэффициент. При этом он равен Δy/Δx секущей касательной (Δх→0) , а также стремится к числу f‘(x0).
  • Если значений f‘(x0) не существует, то, возможно, касательной нет, или же она проходит вертикально. Исходя из этого, присутствие производной функции в точке х0 объясняется существованием невертикальной касательной, которая соприкасается с графиком функции в точке (х0, f(х0)). В данном случае угловой коэффициент касательной равняется f»(х0). Становится понятен геометрический смысл производной, то есть расчет углового коэффициента касательной.
  • То есть для того чтобы найти угловой коэффициент касательной, нужно найти значение производной функции в точке касания. Пример: найти угловой коэффициент касательной к графику функции у = х³ в точке с абсциссой Х0 = 1. Решение: Найдите производную данной функции у΄(х) = 3х²; найдите значение производной в точке Х0 = 1. у΄(1) = 3 × 1² = 3. Угловой коэффициент касательной в точке Х0 = 1 равен 3.
  • Начертите на рисунке дополнительные касательные таким образом, чтобы они соприкасались с графиком функции в следующих точках: x1, х2 и х3. Отметьте углы, которые образуются данными касательными с осью абсцисс (угол отсчитывается в положительном направлении — от оси до касательной прямой). Например, первый угол α1 будет острым, второй же (α2) – тупой, ну а третий (α3) будет равняться нулю, так как проведенная касательная прямая является параллельной оси ОХ. В этом случае тангенс тупого угла есть отрицательное значение, а тангенс острого угла – положительное, при tg0 и результат равен нулю.

Пусть дана функция f , которая в некоторой точке x 0 имеет конечную производную f (x 0). Тогда прямая, проходящая через точку (x 0 ; f (x 0)), имеющая угловой коэффициент f ’(x 0), называется касательной.

А что будет, если производная в точке x 0 не существует? Возможны два варианта:

  1. Касательная к графику тоже не существует. Классический пример — функция y = |x | в точке (0; 0).
  2. Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π /2).

Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b , где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x 0 , достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

Итак, пусть дана функция y = f (x ), которая имеет производную y = f ’(x ) на отрезке . Тогда в любой точке x 0 ∈ (a ; b ) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0)

Здесь f ’(x 0) — значение производной в точке x 0 , а f (x 0) — значение самой функции.

Задача. Дана функция y = x 3 . Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x 0 = 2.

Уравнение касательной: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Точка x 0 = 2 нам дана, а вот значения f (x 0) и f ’(x 0) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Теперь найдем производную: f ’(x ) = (x 3)’ = 3x 2 ;
Подставляем в производную x 0 = 2: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 · 2 2 = 12;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Это и есть уравнение касательной.

Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f (x ) = 2sin x + 5 в точке x 0 = π /2.

В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие — укажем лишь ключевые шаги. Имеем:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x ) = (2sin x + 5)’ = 2cos x ;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Уравнение касательной:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет — просто мы наткнулись на точку экстремума.

Касательная — это прямая , которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.

Уравнение касательной выводится из уравнения прямой .

Выведем уравнение касательной, а затем — уравнение нормали к графику функции.

y = kx + b .

В нём k — угловой коэффициент.

Отсюда получаем следующую запись:

y y 0 = k (x x 0 ) .

Значение производной f «(x 0 ) функции y = f (x ) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f (x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной .

Таким образом, можем заменить k на f «(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции :

y y 0 = f «(x 0 )(x x 0 ) .

В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде . Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.

Теперь об уравнении нормали. Нормаль — это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали :

(x x 0 ) + f «(x 0 )(y y 0 ) = 0

Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет «холодным душем».

Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке M (1, 1) .

Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Найдём производную функции:

Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем

В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:

На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.

Следующий пример — тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг — приведение уравнения к общему виду.

Пример 2.

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Подставляем все полученные данные в «формулу-болванку» и получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):

Составляем уравнение нормали:

Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Находим уравнение касательной:

Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного «причесать»: умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали — не заметить, что функция, данная в примере, — сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры — уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).

Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Внимание! Данная функция — сложная, так как аргумент тангенса (2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции.

Найти уравнение горизонтальных касательных к графику функции. Уравнение касательной к графику функции

Пример 1. Дана функция f (x ) = 3x 2 + 4x – 5. Напишем уравнение касательной к графику функции f (x ) в точке графика с абсциссой x 0 = 1.

Решение. Производная функции f (x ) существует для любого x R . Найдем ее:

= (3x 2 + 4x – 5)′ = 6x + 4.

Тогда f (x 0) = f (1) = 2; (x 0) = = 10. Уравнение касательной имеет вид:

y = (x 0) (x x 0) + f (x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Ответ. y = 10x – 8.

Пример 2. Дана функция f (x ) = x 3 – 3x 2 + 2x + 5. Напишем уравнение касательной к графику функции f (x ), параллельной прямой y = 2x – 11.

Решение. Производная функции f (x ) существует для любого x R . Найдем ее:

= (x 3 – 3x 2 + 2x + 5)′ = 3x 2 – 6x + 2.

Так как касательная к графику функции f (x ) в точке с абсциссой x 0 параллельна прямой y = 2x – 11, то ее угловой коэффициент равен 2, т. е. (x 0) = 2. Найдем эту абсциссу из условия, что 3x – 6x 0 + 2 = 2. Это равенство справедливо лишь при x 0 = 0 и при x 0 = 2. Так как в том и в другом случае f (x 0) = 5, то прямая y = 2x + b касается графика функции или в точке (0; 5), или в точке (2; 5).

В первом случае верно числовое равенство 5 = 2×0 + b , откуда b = 5, а во втором случае верно числовое равенство 5 = 2×2 + b , откуда b = 1.

Итак, существует две касательные y = 2x + 5 и y = 2x + 1 к графику функции f (x ), параллельные прямой y = 2x – 11.

Ответ. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

Пример 3. Дана функция f (x ) = x 2 – 6x + 7. Напишем уравнение касательной к графику функции f (x ), проходящей через точку A (2; –5).

Решение. Так как f (2) –5, то точка A не принадлежит графику функции f (x ). Пусть x 0 — абсцисса точки касания.

Производная функции f (x ) существует для любого x R . Найдем ее:

= (x 2 – 6x + 1)′ = 2x – 6.

Тогда f (x 0) = x – 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 – 6. Уравнение касательной имеет вид:

y = (2x 0 – 6)(x x 0) + x – 6x + 7,

y = (2x 0 – 6)x x + 7.

Так как точка A принадлежит касательной, то справедливо числовое равенство

–5 = (2x 0 – 6)×2– x + 7,

откуда x 0 = 0 или x 0 = 4. Это означает, что через точку A можно провести две касательные к графику функции f (x ).

Если x 0 = 0, то уравнение касательной имеет вид y = –6x + 7. Если x 0 = 4, то уравнение касательной имеет вид y = 2x – 9.

Ответ. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

Пример 4. Даны функции f (x ) = x 2 – 2x + 2 и g (x ) = –x 2 – 3. Напишем уравнение общей касательной к графикам этих функции.

Решение. Пусть x 1 — абсцисса точки касания искомой прямой с графиком функции f (x ), а x 2 — абсцисса точки касания той же прямой с графиком функции g (x ).

Производная функции f (x ) существует для любого x R . Найдем ее:

= (x 2 – 2x + 2)′ = 2x – 2.

Тогда f (x 1) = x – 2x 1 + 2; (x 1) = 2 x 1 – 2. Уравнение касательной имеет вид:

y = (2x 1 – 2)(x x 1) + x – 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x x + 2. (1)

Найдем производную функции g (x ):

= (–x 2 – 3)′ = –2x .

У = f(х) и если в этой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную к оси абсцисс, то угловой коэффициент касательной равен f»(а). Мы этим уже несколько раз пользовались. Например, в § 33 было установлено, что график функции у = sin х(синусоида) в начале координат образует с осью абсцисс угол 45° (точнее, касательная к графику в начале координат составляет с положительным направлением оси х угол 45°), а в примере 5 § 33 были найдены точки на графике заданной функции , в которых касательная параллельна оси абсцисс. В примере 2 § 33 было составлено уравнение касательной к графику функции у = х 2 в точке х = 1 (точнее, в точке (1; 1), но чаще указывают только значение абсциссы, полагая, что если значение абсциссы известно, то значение ординаты можно найти из уравнения у = f(х)). В этом параграфе мы выработаем алгоритм составления уравнения касательной.к графику любой функции.

Пусть даны функция у = f(х) и точка М (а; f(а)), а также известно, что существует f»(а). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке. Это уравнение, как уравнение любой прямой, не параллельной оси ординат, имеет вид у = кх+m, поэтому задача состоит в отыскании значений коэффициентов к и m.

С угловым коэффициентом к проблем нет: мы знаем, что к = f»(а). Для вычисления значения т воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку М(а; f (а)). Это значит, что, если подставить координаты точки М в уравнение прямой, получим верное равенство: f(а) = ка+m, откуда находим, что m = f(а) — ка.
Осталось подставить найденные значения коэффициентов кит в уравнение прямой:

Нами получено уравнение касательной к графику функции у = f(х) в точке х=а.
Если, скажем,
Подставив в уравнение (1) найденные значения а = 1, f(а) = 1 f»(а) = 2, получим: у = 1+2(х-f), т.е. у = 2х-1.
Сравните этот результат с тем, что был получен в примере 2 из § 33. Естественно, получилось то же самое.
Составим уравнение касательной к графику функции у = tg х в начале координат. Имеем: значит, соs х f»(0) = 1. Подставив в уравнение (1) найденные значения а= 0, f(а)= 0, f»(а) = 1, получим: у=х.
Именно поэтому мы и провели тангенсоиду в § 15 (см. рис. 62) через начало координат под углом 45° к оси абсцисс.
Решая эти достаточно простые примеры, мы фактически пользовались определенным алгоритмом, который заложен в формуле (1). Сделаем этот алгоритм явным.

АЛГОРИТМ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ у = f(x)

1) Обозначить абсциссу точки касания буквой а.
2) Вычислить 1 (а).
3) Найти f»(х) и вычислить f»(а).
4) Подставить найденные числа а, f(а), (а) в формулу (1).

Пример 1. Составить уравнение касательной к графику функции в точке х = 1.
Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере

На рис. 126 изображена гипербола , построена прямая у= 2-х.
Чертеж подтверждает приведенные выкладки: действительно, прямая у = 2-х касается гиперболы в точке(1; 1).

Ответ: у =2- х.
Пример 2. К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой у =4х — 5.
Уточним формулировку задачи. Требование «провести касательную» обычно означает «составить уравнение касательной». Это логично, ибо если человек смог составить уравнение касательной, то вряд ли он будет испытывать затруднения с построением на координатной плоскости прямой по ее уравнению.
Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной, учитывая, что в данном примере Но в отличие от предыдущего примера здесь имеется неясность: не указана явно абсцисса точки касания.
Начнем рассуждать так. Искомая касательная должна быть параллельна прямой у = 4х-5. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит, угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: Таким образом, значение а мы можем найти из уравнения f»(а)= 4.
Имеем:
Из уравнения Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.
Теперь можно действовать по алгоритму.


Пример 3. Из точки (0; 1) провести касательную к графику функции
Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной, учитывая, что в данном примере Заметим, что и здесь, как в примере 2, не указана явно абсцисса точки касания. Тем не менее действуем по алгоритму.


По условию касательная проходит через точку (0; 1). Подставив в уравнение (2) значения х = 0, у = 1, получим:
Как видите, в этом примере только на четвертом шаге алгоритма нам удалось найти абсциссу точки касания. Подставив значение а =4 в уравнение (2), получим:

На рис. 127 представлена геометрическая иллюстрация рассмотренного примера: построен график функции


В § 32 мы отметили, что для функции у = f(х), имеющей производную в фиксированной точке х, справедливо приближенное равенство:


Для удобства дальнейших рассуждений изменим обозначения: вместо х будем писать а, вместо будем писать х и соответственно вместо будем писать х-а. Тогда написанное выше приближенное равенство примет вид:


А теперь взгляните на рис. 128. К графику функции у = f(х) проведена касательная в точке М (а; f (а)). Отмечена точка х на оси абсцисс близко от а. Ясно, что f(х) — ордината графика функции в указанной точке х. А что такое f(а) + f»(а) (х-а)? Это ордината касательной, соответствующая той же точке х — см. формулу (1). В чем же смысл приближенного равенства (3)? В том, что для вычисления приближенного значения функции берут значение ординаты касательной.


Пример 4. Найти приближенное значение числового выражения 1,02 7 .
Речь идет об отыскании значения функции у = х 7 в точке х = 1,02. Воспользуемся формулой (3), учтя, что в данном примере
В итоге получаем:

Если мы воспользуемся калькулятором, то получим: 1,02 7 = 1,148685667…
Как видите, точность приближения вполне приемлема.
Ответ: 1,02 7 =1,14.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Тип задания: 7

Условие

Прямая y=3x+2 является касательной к графику функции y=-12x^2+bx-10. 2+5x-7 в произвольной точке x_0 равен y»(x_0). Но y»=-2x+5, значит, y»(x_0)=-2x_0+5. Угловой коэффициент прямой y=-3x+4, указанной в условии, равен -3. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что =-2x_0 +5=-3.

Получаем: x_0 = 4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Показать решение

Решение

По рисунку определяем, что касательная проходит через точки A(-6; 2) и B(-1; 1). Обозначим через C(-6; 1) точку пересечения прямых x=-6 и y=1, а через \alpha угол ABC (на рисунке видно, что он острый). Тогда прямая AB образует с положительным направлением оси Ox угол \pi -\alpha, который является тупым.

Как известно, tg(\pi -\alpha) и будет значением производной функции f(x) в точке x_0. 2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания больше нуля, поэтому x_0=1, тогда b=-2-32x_0=-34.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=6.

Показать решение

Решение

Прямая y=6 параллельна оси Ox . Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 4 .

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. 2-4x+9 в произвольной точке x_0 равен y»(x_0). Но y»=2x-4, значит, y»(x_0)=2x_0-4. Угловой коэффициент касательной y=4x-7, указанной в условии, равен 4 . Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что 2x_0-4=4. Получаем: x_0=4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

Показать решение

Решение

По рисунку определяем, что касательная проходит через точки A(1; 1) и B(5; 4). Обозначим через C(5; 1) точку пересечения прямых x=5 и y=1, а через \alpha угол BAC (на рисунке видно, что он острый). Тогда прямая AB образует с положительным направлением оси Ox угол \alpha.

Рассмотрим следующий рисунок:

На нем изображена некоторая функция y = f(x), которая дифференцируема в точке a. Отмечена точка М с координатами (а; f(a)). Через произвольную точку Р(a + ∆x; f(a + ∆x)) графика проведена секущая МР.

Если теперь точку Р сдвигать по графику к точке М, то прямая МР будет поворачиваться вокруг точки М. При этом ∆х будет стремиться к нулю. Отсюда можно сформулировать определение касательной к графику функции.

Касательная к графику функции

Касательная к графику функции есть предельное положение секущей при стремлении приращения аргумента к нулю. Следует понимать, что существование производной функции f в точке х0, означает, что в этой точке графика существует касательная к нему.

При этом угловой коэффициент касательной будет равен производной этой функции в этой точке f’(x0). В этом заключается геометрический смысл производной. Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 функции f — это некоторая прямая, проходящая через точку (x0;f(x0)) и имеющая угловой коэффициент f’(x0).

Уравнение касательной

Попытаемся получить уравнение касательной к графику некоторой функции f в точке А(x0; f(x0)). Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет следующий вид:

Так как у нас угловой коэффициент равен производной f’(x0) , то уравнение примет следующий вид: y = f’(x0) *x + b.

Теперь вычислим значение b. Для этого используем тот факт, что функция проходит через точку А.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, отсюда выражаем b и получим b = f(x0) — f’(x0)*x0.

Подставляем полученное значение в уравнение касательной:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) — f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x — x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x — x0).

Рассмотрим следующий пример: найти уравнение касательной к графику функции f(x) = x 3 — 2*x 2 + 1 в точке х = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 — 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 — 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 — 4*2 = 4.

5. Подставим полученные значения в формулу касательной, получим: y = 1 + 4*(x — 2). Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые получим: y = 4*x — 7.

Ответ: y = 4*x — 7.

Общая схема составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):

1. Определить х0.

2. Вычислить f(x0).

3. Вычислить f’(x)

Касательная – это прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка (рис.1).

Другое определение : это предельное положение секущей при Δx →0.

Пояснение : Возьмем прямую, пересекающую кривую в двух точках: А и b (см.рисунок). Это секущая. Будем поворачивать ее по часовой стрелке до тех пор, пока она не обретет только одну общую точку с кривой. Так мы получим касательную.

Строгое определение касательной:

Касательная к графику функции f , дифференцируемой в точке x о , — это прямая, проходящая через точку (x о ; f (x о )) и имеющая угловой коэффициент f ′(x о ).

Угловой коэффициент имеет прямая вида y = kx + b . Коэффициент k и является угловым коэффициентом этой прямой.

Угловой коэффициент равен тангенсу острого угла, образуемого этой прямой с осью абсцисс:

Здесь угол α – это угол между прямой y = kx + b и положительным (то есть против часовой стрелки) направлением оси абсцисс. Он называется углом наклона прямой (рис.1 и 2).

Если угол наклона прямой y = kx + b острый, то угловой коэффициент является положительным числом. График возрастает (рис.1).

Если угол наклона прямой y = kx + b тупой, то угловой коэффициент является отрицательным числом. График убывает (рис.2).

Если прямая параллельна оси абсцисс, то угол наклона прямой равен нулю. В этом случае угловой коэффициент прямой тоже равен нулю (так как тангенс нуля есть ноль). Уравнение прямой будет иметь вид y = b (рис.3).

Если угол наклона прямой равен 90º (π/2), то есть она перпендикулярна оси абсцисс, то прямая задается равенством x = c , где c – некоторое действительное число (рис. 4).

Уравнение касательной к графику функции y = f (x ) в точке x о :


Пример : Найдем уравнение касательной к графику функции f (x ) = x 3 – 2x 2 + 1 в точке с абсциссой 2.

Решение .

Следуем алгоритму.

1) Точка касания x о равна 2. Вычислим f (x о ):

f (x о ) = f (2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Находим f ′(x ). Для этого применяем формулы дифференцирования, изложенные в предыдущем разделе. Согласно этим формулам, х 2 = 2х , а х 3 = 3х 2 . Значит:

f ′(x ) = 3х 2 – 2 ∙ 2х = 3х 2 – 4х .

Теперь, используя полученное значение f ′(x ), вычислим f ′(x о ):

f ′(x о ) = f ′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Итак, у нас есть все необходимые данные: x о = 2, f (x о ) = 1, f ′(x о ) = 4. Подставляем эти числа в уравнение касательной и находим окончательное решение:

у = f (x о ) + f ′(x о ) (x – x о ) = 1 + 4 ∙ (х – 2) = 1 + 4х – 8 = –7 + 4х = 4х – 7.

Ответ : у = 4х – 7.

Главная » Дачный дом » Найти уравнение горизонтальных касательных к графику функции. Уравнение касательной к графику функции

Составьте касательной к графику функции. Калькулятор онлайн. Уравнение прямой касательной к графику функции в заданной точке

Касательная — это прямая , которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.

Уравнение касательной выводится из уравнения прямой .

Выведем уравнение касательной, а затем — уравнение нормали к графику функции.

y = kx + b .

В нём k — угловой коэффициент.

Отсюда получаем следующую запись:

y y 0 = k (x x 0 ) .

Значение производной f «(x 0 ) функции y = f (x ) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f (x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной .

Таким образом, можем заменить k на f «(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции :

y y 0 = f «(x 0 )(x x 0 ) .

В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде . Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.

Теперь об уравнении нормали. Нормаль — это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали :

(x x 0 ) + f «(x 0 )(y y 0 ) = 0

Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет «холодным душем».

Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке M (1, 1) .

Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Найдём производную функции:

Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем

В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:

На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.

Следующий пример — тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг — приведение уравнения к общему виду.

Пример 2.

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Подставляем все полученные данные в «формулу-болванку» и получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):

Составляем уравнение нормали:

Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Находим уравнение касательной:

Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного «причесать»: умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали — не заметить, что функция, данная в примере, — сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры — уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).

Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Внимание! Данная функция — сложная, так как аргумент тангенса (2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции.

Инструкция

Определяем угловой коэффициент касательной к кривой в точке М.
Кривая, представляющая собой график функции y = f(x), непрерывна в некоторой окрестности точки М (включая саму точку М).

Если значения f‘(x0) не существует, то либо касательной нет, либо она проходит вертикально. Ввиду этого, наличие производной функции в точке х0 обусловлено существованием невертикальной касательной, соприкасающейся с графиком функции в точке (х0, f(х0)). В этом случае угловой коэффициент касательной равен будет f»(х0). Таким образом, становится ясен геометрический смысл производной – расчет углового коэффициента касательной.

Найдите значение абсциссы точки касания, которую обозначаются буквой «а». Если она совпадает с заданной точкой касательной, то «а» будет ее х-координате. Определите значение функции f(a), подставив в уравнение функции величину абсциссы.

Определите первую производную уравнения функции f’(x) и подставьте в него значение точки «а».

Возьмите общее уравнение касательной, которое определяется как y = f(a) = f (a)(x – a), и подставьте в него найденные значения a, f(a), f «(a). В результате будет найдено решение графика и касательной.

Решите задачу иным способом, если заданная точка касательной не совпала с точкой касания. В этом случае необходимо в уравнение касательной вместо цифр подставить «а». После этого вместо букв «х» и «у» подставьте значение координат заданной точки. Решите получившееся уравнение, в котором «а» является неизвестной. Поставьте полученное значение в уравнение касательной.

Составьте уравнение касательной с буквой «а», если в условии задачи задано уравнение функции и уравнение параллельной линии относительно искомой касательной. После этого необходимо производную функции , чтобы координату у точки «а». Подставьте соответствующее значение в уравнение касательной и решите функцию.

Пример 1. Дана функция f (x ) = 3x 2 + 4x – 5. Напишем уравнение касательной к графику функции f (x ) в точке графика с абсциссой x 0 = 1.

Решение. Производная функции f (x ) существует для любого x R . Найдем ее:

= (3x 2 + 4x – 5)′ = 6x + 4.

Тогда f (x 0) = f (1) = 2; (x 0) = = 10. Уравнение касательной имеет вид:

y = (x 0) (x x 0) + f (x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Ответ. y = 10x – 8.

Пример 2. Дана функция f (x ) = x 3 – 3x 2 + 2x + 5. Напишем уравнение касательной к графику функции f (x ), параллельной прямой y = 2x – 11.

Решение. Производная функции f (x ) существует для любого x R . Найдем ее:

= (x 3 – 3x 2 + 2x + 5)′ = 3x 2 – 6x + 2.

Так как касательная к графику функции f (x ) в точке с абсциссой x 0 параллельна прямой y = 2x – 11, то ее угловой коэффициент равен 2, т. е. (x 0) = 2. Найдем эту абсциссу из условия, что 3x – 6x 0 + 2 = 2. Это равенство справедливо лишь при x 0 = 0 и при x 0 = 2. Так как в том и в другом случае f (x 0) = 5, то прямая y = 2x + b касается графика функции или в точке (0; 5), или в точке (2; 5).

В первом случае верно числовое равенство 5 = 2×0 + b , откуда b = 5, а во втором случае верно числовое равенство 5 = 2×2 + b , откуда b = 1.

Итак, существует две касательные y = 2x + 5 и y = 2x + 1 к графику функции f (x ), параллельные прямой y = 2x – 11.

Ответ. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

Пример 3. Дана функция f (x ) = x 2 – 6x + 7. Напишем уравнение касательной к графику функции f (x ), проходящей через точку A (2; –5).

Решение. Так как f (2) –5, то точка A не принадлежит графику функции f (x ). Пусть x 0 — абсцисса точки касания.

Производная функции f (x ) существует для любого x R . Найдем ее:

= (x 2 – 6x + 1)′ = 2x – 6.

Тогда f (x 0) = x – 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 – 6. Уравнение касательной имеет вид:

y = (2x 0 – 6)(x x 0) + x – 6x + 7,

y = (2x 0 – 6)x x + 7.

Так как точка A принадлежит касательной, то справедливо числовое равенство

–5 = (2x 0 – 6)×2– x + 7,

откуда x 0 = 0 или x 0 = 4. Это означает, что через точку A можно провести две касательные к графику функции f (x ).

Если x 0 = 0, то уравнение касательной имеет вид y = –6x + 7. Если x 0 = 4, то уравнение касательной имеет вид y = 2x – 9.

Ответ. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

Пример 4. Даны функции f (x ) = x 2 – 2x + 2 и g (x ) = –x 2 – 3. Напишем уравнение общей касательной к графикам этих функции.

Решение. Пусть x 1 — абсцисса точки касания искомой прямой с графиком функции f (x ), а x 2 — абсцисса точки касания той же прямой с графиком функции g (x ).

Производная функции f (x ) существует для любого x R . Найдем ее:

= (x 2 – 2x + 2)′ = 2x – 2.

Тогда f (x 1) = x – 2x 1 + 2; (x 1) = 2 x 1 – 2. Уравнение касательной имеет вид:

y = (2x 1 – 2)(x x 1) + x – 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x x + 2. (1)

Найдем производную функции g (x ):

= (–x 2 – 3)′ = –2x .

Пусть дана функция f , которая в некоторой точке x 0 имеет конечную производную f (x 0). Тогда прямая, проходящая через точку (x 0 ; f (x 0)), имеющая угловой коэффициент f ’(x 0), называется касательной.

А что будет, если производная в точке x 0 не существует? Возможны два варианта:

  1. Касательная к графику тоже не существует. Классический пример — функция y = |x | в точке (0; 0).
  2. Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π /2).

Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b , где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x 0 , достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

Итак, пусть дана функция y = f (x ), которая имеет производную y = f ’(x ) на отрезке . Тогда в любой точке x 0 ∈ (a ; b ) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0)

Здесь f ’(x 0) — значение производной в точке x 0 , а f (x 0) — значение самой функции.

Задача. Дана функция y = x 3 . Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x 0 = 2.

Уравнение касательной: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Точка x 0 = 2 нам дана, а вот значения f (x 0) и f ’(x 0) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Теперь найдем производную: f ’(x ) = (x 3)’ = 3x 2 ;
Подставляем в производную x 0 = 2: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 · 2 2 = 12;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Это и есть уравнение касательной.

Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f (x ) = 2sin x + 5 в точке x 0 = π /2.

В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие — укажем лишь ключевые шаги. Имеем:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x ) = (2sin x + 5)’ = 2cos x ;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Уравнение касательной:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет — просто мы наткнулись на точку экстремума.

Рассмотрим следующий рисунок:

На нем изображена некоторая функция y = f(x), которая дифференцируема в точке a. Отмечена точка М с координатами (а; f(a)). Через произвольную точку Р(a + ∆x; f(a + ∆x)) графика проведена секущая МР.

Если теперь точку Р сдвигать по графику к точке М, то прямая МР будет поворачиваться вокруг точки М. При этом ∆х будет стремиться к нулю. Отсюда можно сформулировать определение касательной к графику функции.

Касательная к графику функции

Касательная к графику функции есть предельное положение секущей при стремлении приращения аргумента к нулю. Следует понимать, что существование производной функции f в точке х0, означает, что в этой точке графика существует касательная к нему.

При этом угловой коэффициент касательной будет равен производной этой функции в этой точке f’(x0). В этом заключается геометрический смысл производной. Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 функции f — это некоторая прямая, проходящая через точку (x0;f(x0)) и имеющая угловой коэффициент f’(x0).

Уравнение касательной

Попытаемся получить уравнение касательной к графику некоторой функции f в точке А(x0; f(x0)). Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет следующий вид:

Так как у нас угловой коэффициент равен производной f’(x0) , то уравнение примет следующий вид: y = f’(x0) *x + b.

Теперь вычислим значение b. Для этого используем тот факт, что функция проходит через точку А.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, отсюда выражаем b и получим b = f(x0) — f’(x0)*x0.

Подставляем полученное значение в уравнение касательной:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) — f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x — x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x — x0).

Рассмотрим следующий пример: найти уравнение касательной к графику функции f(x) = x 3 — 2*x 2 + 1 в точке х = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 — 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 — 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 — 4*2 = 4.

5. Подставим полученные значения в формулу касательной, получим: y = 1 + 4*(x — 2). Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые получим: y = 4*x — 7.

Ответ: y = 4*x — 7.

Общая схема составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):

1. Определить х0.

2. Вычислить f(x0).

3. Вычислить f’(x)

Формула нахождения касательной. Уравнение касательной к графику функции.

Исчерпывающий гид (2019)

Теме «Угловой коэффициент касательной как тангенс угла наклона» в аттестационном экзамене отводится сразу несколько заданий. В зависимости от их условия, от выпускника может требоваться как полный ответ, так и краткий. При подготовке к сдаче ЕГЭ по математике ученику обязательно стоит повторить задачи, в которых требуется вычислить угловой коэффициент касательной.

Сделать это вам поможет образовательный портал «Школково». Наши специалисты подготовили и представили теоретический и практический материал максимально доступно. Ознакомившись с ним, выпускники с любым уровнем подготовки смогут успешно решать задачи, связанные с производными, в которых требуется найти тангенс угла наклона касательной.

Основные моменты

Для нахождения правильного и рационального решения подобных заданий в ЕГЭ необходимо вспомнить базовое определение: производная представляет собой скорость изменения функции; она равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в определенной точке. Не менее важно выполнить чертеж. Он позволит найти правильное решение задач ЕГЭ на производную, в которых требуется вычислить тангенс угла наклона касательной. Для наглядности лучше всего выполнить построение графика на плоскости ОХY.

Если вы уже ознакомились с базовым материалом на тему производной и готовы приступить к решению задач на вычисление тангенса угла наклона касательной, подобных заданиям ЕГЭ, сделать это можно в режиме онлайн. Для каждого задания, например, задач на тему «Связь производной со скоростью и ускорением тела» , мы прописали правильный ответ и алгоритм решения. При этом учащиеся могут попрактиковаться в выполнении задач различного уровня сложности. В случае необходимости упражнение можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы потом обсудить решение с преподавателем.

Касательная — это прямая , которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.

Уравнение касательной выводится из уравнения прямой .

Выведем уравнение касательной, а затем — уравнение нормали к графику функции.

y = kx + b .

В нём k — угловой коэффициент.

Отсюда получаем следующую запись:

y y 0 = k (x x 0 ) .

Значение производной f «(x 0 ) функции y = f (x ) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f (x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной .

Таким образом, можем заменить k на f «(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции :

y y 0 = f «(x 0 )(x x 0 ) .

В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде . Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.

Теперь об уравнении нормали. Нормаль — это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали :

(x x 0 ) + f «(x 0 )(y y 0 ) = 0

Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет «холодным душем».

Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке M (1, 1) .

Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Найдём производную функции:

Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем

В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:

На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.

Следующий пример — тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг — приведение уравнения к общему виду.

Пример 2.

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Подставляем все полученные данные в «формулу-болванку» и получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):

Составляем уравнение нормали:

Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Находим уравнение касательной:

Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного «причесать»: умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали — не заметить, что функция, данная в примере, — сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры — уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).

Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Внимание! Данная функция — сложная, так как аргумент тангенса (2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции.

Рассмотрим следующий рисунок:

На нем изображена некоторая функция y = f(x), которая дифференцируема в точке a. Отмечена точка М с координатами (а; f(a)). Через произвольную точку Р(a + ∆x; f(a + ∆x)) графика проведена секущая МР.

Если теперь точку Р сдвигать по графику к точке М, то прямая МР будет поворачиваться вокруг точки М. При этом ∆х будет стремиться к нулю. Отсюда можно сформулировать определение касательной к графику функции.

Касательная к графику функции

Касательная к графику функции есть предельное положение секущей при стремлении приращения аргумента к нулю. Следует понимать, что существование производной функции f в точке х0, означает, что в этой точке графика существует касательная к нему.

При этом угловой коэффициент касательной будет равен производной этой функции в этой точке f’(x0). В этом заключается геометрический смысл производной. Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 функции f — это некоторая прямая, проходящая через точку (x0;f(x0)) и имеющая угловой коэффициент f’(x0).

Уравнение касательной

Попытаемся получить уравнение касательной к графику некоторой функции f в точке А(x0; f(x0)). Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет следующий вид:

Так как у нас угловой коэффициент равен производной f’(x0) , то уравнение примет следующий вид: y = f’(x0) *x + b.

Теперь вычислим значение b. Для этого используем тот факт, что функция проходит через точку А.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, отсюда выражаем b и получим b = f(x0) — f’(x0)*x0.

Подставляем полученное значение в уравнение касательной:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) — f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x — x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x — x0).

Рассмотрим следующий пример: найти уравнение касательной к графику функции f(x) = x 3 — 2*x 2 + 1 в точке х = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 — 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 — 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 — 4*2 = 4.

5. Подставим полученные значения в формулу касательной, получим: y = 1 + 4*(x — 2). Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые получим: y = 4*x — 7.

Ответ: y = 4*x — 7.

Общая схема составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):

1. Определить х0.

2. Вычислить f(x0).

3. Вычислить f’(x)

Прямая y = f(x) будет являться касательной к графику, изображенному на рисунке в точке х0 при том условии, если она проходит через данную точку с координатами (х0; f(x0)) и имеет угловой коэффициент f»(x0). Найти этот коэффициент, учитывая особенности касательной, несложно.

Вам понадобится

  • — математический справочник;
  • — тетрадь;
  • — простой карандаш;
  • — ручка;
  • — транспортир;
  • — циркуль.

Инструкция

  • Примите к сведению, что график дифференцируемой функции f(x) в точке х0 не имеет различий с отрезком касательной. Поэтому он является достаточно близким к отрезку l, к проходящему через точки (х0; f(х0)) и (х0+Δx; f(x0 + Δx)). Чтобы задать прямую, проходящую через точку А с коэффициентами (х0; f(х0)), укажите ее угловой коэффициент. При этом он равен Δy/Δx секущей касательной (Δх→0) , а также стремится к числу f‘(x0).
  • Если значений f‘(x0) не существует, то, возможно, касательной нет, или же она проходит вертикально. Исходя из этого, присутствие производной функции в точке х0 объясняется существованием невертикальной касательной, которая соприкасается с графиком функции в точке (х0, f(х0)). В данном случае угловой коэффициент касательной равняется f»(х0). Становится понятен геометрический смысл производной, то есть расчет углового коэффициента касательной.
  • То есть для того чтобы найти угловой коэффициент касательной, нужно найти значение производной функции в точке касания. Пример: найти угловой коэффициент касательной к графику функции у = х³ в точке с абсциссой Х0 = 1. Решение: Найдите производную данной функции у΄(х) = 3х²; найдите значение производной в точке Х0 = 1. у΄(1) = 3 × 1² = 3. Угловой коэффициент касательной в точке Х0 = 1 равен 3.
  • Начертите на рисунке дополнительные касательные таким образом, чтобы они соприкасались с графиком функции в следующих точках: x1, х2 и х3. Отметьте углы, которые образуются данными касательными с осью абсцисс (угол отсчитывается в положительном направлении — от оси до касательной прямой). Например, первый угол α1 будет острым, второй же (α2) – тупой, ну а третий (α3) будет равняться нулю, так как проведенная касательная прямая является параллельной оси ОХ. В этом случае тангенс тупого угла есть отрицательное значение, а тангенс острого угла – положительное, при tg0 и результат равен нулю.

К графику функции проведена касательная перпендикулярная прямой. Уравнение касательной к графику функции

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

В этой статье мы разберем все типы задач на нахождение

Вспомним геометрический смысл производной : если к графику функции в точке проведена касательная, то коэффициент наклона касательной (равный тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ) равен производной функции в точке .


Возьмем на касательной произвольную точку с координатами :


И рассмотрим прямоугольный треугольник :


В этом треугольнике

Отсюда

Это и есть уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке .

Чтобы написать уравнение касательной, нам достаточно знать уравнение функции и точку, в которой проведена касательная. Тогда мы сможем найти и .

Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.

1. Дана точка касания

2. Дан коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции в точке .

3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.

Рассмотрим каждый тип задач.

1 . Написать уравнение касательной к графику функции в точке .

.

б) Найдем значение производной в точке . Сначала найдем производную функции

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим:

Ответ: .

2 . Найти абсциссы точек, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс.

Если касательная параллельна оси абсцисс, следовательно угол между касательной и положительным направлением оси равен нулю, следовательно тангенс угла наклона касательной равен нулю. Значит, значение производной функции в точках касания равно нулю.

а) Найдем производную функции .

б) Приравняем производную к нулю и найдем значения , в которых касательная параллельна оси :

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

Ответ: 0;3;5

3 . Написать уравнения касательных к графику функции , параллельных прямой .

Касательная параллельна прямой . Коэффициент наклона этой прямой равен -1. Так как касательная параллельна этой прямой, следовательно, коэффициент наклона касательной тоже равен -1. То есть мы знаем коэффициент наклона касательной , а, тем самым, значение производной в точке касания . 2}»>. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и не является точкой касания.

Это последний тип задач на нахождение уравнения касательной. Первым делом нам нужно найти абсциссу точки касания .

Найдем значение .

Пусть — точка касания. Точка принадлежит касательной к графику функции . Если мы подставим координаты этой точки в уравнение касательной, то получим верное равенство:

.

Значение функции в точке равно .

Найдем значение производной функции в точке .

Сначала найдем производную функции . Это .

Производная в точке равна .

Подставим выражения для и в уравнение касательной. Получим уравнение относительно :

Решим это уравнение.

Сократим числитель и знаменатель дроби на 2:

Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю. Получим:

Упростим числитель дроби и умножим обе части на — это выражение строго больше нуля. 2} {8-3x_0>=0} }}{ }»>

Решим первое уравнение.

Решим квадратное уравнение, получим

Второй корень не удовлетворяет условию title=»8-3x_0>=0″>, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .

Напишем уравнение касательной к кривой в точке . Для этого подставим значение в уравнение — мы его уже записывали.

Ответ:
.

У = f(х) и если в этой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную к оси абсцисс, то угловой коэффициент касательной равен f»(а). Мы этим уже несколько раз пользовались. Например, в § 33 было установлено, что график функции у = sin х(синусоида) в начале координат образует с осью абсцисс угол 45° (точнее, касательная к графику в начале координат составляет с положительным направлением оси х угол 45°), а в примере 5 § 33 были найдены точки на графике заданной функции , в которых касательная параллельна оси абсцисс. В примере 2 § 33 было составлено уравнение касательной к графику функции у = х 2 в точке х = 1 (точнее, в точке (1; 1), но чаще указывают только значение абсциссы, полагая, что если значение абсциссы известно, то значение ординаты можно найти из уравнения у = f(х)). В этом параграфе мы выработаем алгоритм составления уравнения касательной.к графику любой функции.

Пусть даны функция у = f(х) и точка М (а; f(а)), а также известно, что существует f»(а). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке. Это уравнение, как уравнение любой прямой, не параллельной оси ординат, имеет вид у = кх+m, поэтому задача состоит в отыскании значений коэффициентов к и m.

С угловым коэффициентом к проблем нет: мы знаем, что к = f»(а). Для вычисления значения т воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку М(а; f (а)). Это значит, что, если подставить координаты точки М в уравнение прямой, получим верное равенство: f(а) = ка+m, откуда находим, что m = f(а) — ка.
Осталось подставить найденные значения коэффициентов кит в уравнение прямой:

Нами получено уравнение касательной к графику функции у = f(х) в точке х=а.
Если, скажем,
Подставив в уравнение (1) найденные значения а = 1, f(а) = 1 f»(а) = 2, получим: у = 1+2(х-f), т.е. у = 2х-1.
Сравните этот результат с тем, что был получен в примере 2 из § 33. Естественно, получилось то же самое.
Составим уравнение касательной к графику функции у = tg х в начале координат. Имеем: значит, соs х f»(0) = 1. Подставив в уравнение (1) найденные значения а= 0, f(а)= 0, f»(а) = 1, получим: у=х.
Именно поэтому мы и провели тангенсоиду в § 15 (см. рис. 62) через начало координат под углом 45° к оси абсцисс.
Решая эти достаточно простые примеры, мы фактически пользовались определенным алгоритмом, который заложен в формуле (1). Сделаем этот алгоритм явным.

АЛГОРИТМ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ у = f(x)

1) Обозначить абсциссу точки касания буквой а.
2) Вычислить 1 (а).
3) Найти f»(х) и вычислить f»(а).
4) Подставить найденные числа а, f(а), (а) в формулу (1).

Пример 1. Составить уравнение касательной к графику функции в точке х = 1.
Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере

На рис. 126 изображена гипербола , построена прямая у= 2-х.
Чертеж подтверждает приведенные выкладки: действительно, прямая у = 2-х касается гиперболы в точке(1; 1).

Ответ: у =2- х.
Пример 2. К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой у =4х — 5.
Уточним формулировку задачи. Требование «провести касательную» обычно означает «составить уравнение касательной». Это логично, ибо если человек смог составить уравнение касательной, то вряд ли он будет испытывать затруднения с построением на координатной плоскости прямой по ее уравнению.
Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной, учитывая, что в данном примере Но в отличие от предыдущего примера здесь имеется неясность: не указана явно абсцисса точки касания.
Начнем рассуждать так. Искомая касательная должна быть параллельна прямой у = 4х-5. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит, угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: Таким образом, значение а мы можем найти из уравнения f»(а)= 4.
Имеем:
Из уравнения Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.
Теперь можно действовать по алгоритму.


Пример 3. Из точки (0; 1) провести касательную к графику функции
Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной, учитывая, что в данном примере Заметим, что и здесь, как в примере 2, не указана явно абсцисса точки касания. Тем не менее действуем по алгоритму.


По условию касательная проходит через точку (0; 1). Подставив в уравнение (2) значения х = 0, у = 1, получим:
Как видите, в этом примере только на четвертом шаге алгоритма нам удалось найти абсциссу точки касания. Подставив значение а =4 в уравнение (2), получим:

На рис. 127 представлена геометрическая иллюстрация рассмотренного примера: построен график функции


В § 32 мы отметили, что для функции у = f(х), имеющей производную в фиксированной точке х, справедливо приближенное равенство:


Для удобства дальнейших рассуждений изменим обозначения: вместо х будем писать а, вместо будем писать х и соответственно вместо будем писать х-а. Тогда написанное выше приближенное равенство примет вид:


А теперь взгляните на рис. 128. К графику функции у = f(х) проведена касательная в точке М (а; f (а)). Отмечена точка х на оси абсцисс близко от а. Ясно, что f(х) — ордината графика функции в указанной точке х. А что такое f(а) + f»(а) (х-а)? Это ордината касательной, соответствующая той же точке х — см. формулу (1). В чем же смысл приближенного равенства (3)? В том, что для вычисления приближенного значения функции берут значение ординаты касательной.


Пример 4. Найти приближенное значение числового выражения 1,02 7 .
Речь идет об отыскании значения функции у = х 7 в точке х = 1,02. Воспользуемся формулой (3), учтя, что в данном примере
В итоге получаем:

Если мы воспользуемся калькулятором, то получим: 1,02 7 = 1,148685667…
Как видите, точность приближения вполне приемлема.
Ответ: 1,02 7 =1,14.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Рассмотрим следующий рисунок:

На нем изображена некоторая функция y = f(x), которая дифференцируема в точке a. Отмечена точка М с координатами (а; f(a)). Через произвольную точку Р(a + ∆x; f(a + ∆x)) графика проведена секущая МР.

Если теперь точку Р сдвигать по графику к точке М, то прямая МР будет поворачиваться вокруг точки М. При этом ∆х будет стремиться к нулю. Отсюда можно сформулировать определение касательной к графику функции.

Касательная к графику функции

Касательная к графику функции есть предельное положение секущей при стремлении приращения аргумента к нулю. Следует понимать, что существование производной функции f в точке х0, означает, что в этой точке графика существует касательная к нему.

При этом угловой коэффициент касательной будет равен производной этой функции в этой точке f’(x0). В этом заключается геометрический смысл производной. Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 функции f — это некоторая прямая, проходящая через точку (x0;f(x0)) и имеющая угловой коэффициент f’(x0).

Уравнение касательной

Попытаемся получить уравнение касательной к графику некоторой функции f в точке А(x0; f(x0)). Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет следующий вид:

Так как у нас угловой коэффициент равен производной f’(x0) , то уравнение примет следующий вид: y = f’(x0) *x + b.

Теперь вычислим значение b. Для этого используем тот факт, что функция проходит через точку А.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, отсюда выражаем b и получим b = f(x0) — f’(x0)*x0.

Подставляем полученное значение в уравнение касательной:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) — f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x — x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x — x0).

Рассмотрим следующий пример: найти уравнение касательной к графику функции f(x) = x 3 — 2*x 2 + 1 в точке х = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 — 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 — 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 — 4*2 = 4.

5. Подставим полученные значения в формулу касательной, получим: y = 1 + 4*(x — 2). Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые получим: y = 4*x — 7.

Ответ: y = 4*x — 7.

Общая схема составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):

1. Определить х0.

2. Вычислить f(x0).

3. Вычислить f’(x)

Теме «Угловой коэффициент касательной как тангенс угла наклона» в аттестационном экзамене отводится сразу несколько заданий. В зависимости от их условия, от выпускника может требоваться как полный ответ, так и краткий. При подготовке к сдаче ЕГЭ по математике ученику обязательно стоит повторить задачи, в которых требуется вычислить угловой коэффициент касательной.

Сделать это вам поможет образовательный портал «Школково». Наши специалисты подготовили и представили теоретический и практический материал максимально доступно. Ознакомившись с ним, выпускники с любым уровнем подготовки смогут успешно решать задачи, связанные с производными, в которых требуется найти тангенс угла наклона касательной.

Основные моменты

Для нахождения правильного и рационального решения подобных заданий в ЕГЭ необходимо вспомнить базовое определение: производная представляет собой скорость изменения функции; она равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в определенной точке. Не менее важно выполнить чертеж. Он позволит найти правильное решение задач ЕГЭ на производную, в которых требуется вычислить тангенс угла наклона касательной. Для наглядности лучше всего выполнить построение графика на плоскости ОХY.

Если вы уже ознакомились с базовым материалом на тему производной и готовы приступить к решению задач на вычисление тангенса угла наклона касательной, подобных заданиям ЕГЭ, сделать это можно в режиме онлайн. Для каждого задания, например, задач на тему «Связь производной со скоростью и ускорением тела» , мы прописали правильный ответ и алгоритм решения. При этом учащиеся могут попрактиковаться в выполнении задач различного уровня сложности. В случае необходимости упражнение можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы потом обсудить решение с преподавателем.

Касательная линия — определение, примеры

«Касательная линия» — одно из важнейших применений дифференцирования. Слово «тангенс» происходит от латинского слова «tangere», что означает «касаться». Касательная линия касается кривой в точке на кривой. Таким образом, чтобы найти уравнение касательной линии, нам нужно знать уравнение кривой (которое задается функцией) и точку, в которой проведена касательная. Точка, в которой проводится касательная, известна как «точка касания».Мы можем видеть касательную окружности, нарисованную здесь.

Давайте посмотрим, как найти наклон и уравнение касательной вместе с несколькими решенными примерами. Кроме того, давайте посмотрим, как найти уравнение касательной к параметрической кривой и полярной кривой.

Что такое касательная?

Касательная линия кривой в данной точке — это линия, которая только касается кривой (функции) в этой точке. Касательная линия в исчислении может касаться кривой в любой другой точке (точках), а также может пересекать график в какой-либо другой точке (точках).Если линия проходит через две точки кривой, но не касается кривой ни в одной из точек, то она НЕ является касательной к кривой в каждой из двух точек. В этом случае линия называется секущей. Здесь мы можем увидеть несколько примеров касательных и секущих линий.

Примеры касательных линий

Вот типичный пример касательной, которая касается кривой точно в одной точке.

Как мы узнали ранее, касательная может касаться кривой в нескольких точках.Вот пример.

Опять же, касательная к кривой, проведенной в точке, может пересечь кривую и в какой-то другой точке. Вот касательная, проведенная в точке P, но пересекающая кривую в какой-то другой точке Q.

Приведенную выше линию PQ также можно назвать секущей. Секущая линия также может проходить через любые две точки кривой без необходимости касаться кривой в каждой из двух точек. Ниже показана секущая линия PQ, которая НЕ является касательной ни в точке P, ни в точке Q.

Наклон касательной линии

Рассмотрим кривую, представленную функцией f(x). Также рассмотрим секущую, проходящую через две точки кривой P (x₀, f(x₀)) и Q (x₀ + h, f(x₀ + h)). т. е. P и Q находятся на расстоянии h единиц друг от друга.

Тогда наклон секущей по формуле наклона равен

Наклон секущей = [f(x₀ + h) — f(x₀)] / (x₀ + h — x₀) = [f(x₀ + h) — f(x₀)] / h

Из приведенного выше рисунка видно, что если Q подходит очень близко к P (сделав h → 0) и сливается с P, то секущая линия становится касательной в точке P.т. е. наклон касательной в точке P можно получить, применив h → 0 к наклону секущей. Итак,

Наклон касательной при P = limₕ → ₀ [f(x₀ + h) — f(x₀)] / h

Мы знаем, что это не что иное, как производная f(x) при x = x₀ (по предельному определению производной (или) первых принципов). то есть

Наклон касательной при P = f ‘(x₀)

Следовательно, наклон касательной есть не что иное, как производная функции в точке, где она проведена.

Формула наклона касательной линии

Наклон касательной к y = f(x) в точке (x₀, y₀) равен (dy/dx)₍ₓ₀, ᵧ₀₎ (или) (f ‘(x)) ₍ₓ₀, ᵧ₀₎, где

  • f'(x) — производная функции f(x).
  • (f'(x)) ₍ₓ₀, ᵧ₀₎ — значение, полученное подстановкой (x, y) = (x₀, y₀) в производную f'(x).

Обратите внимание, что нам, возможно, придется использовать неявное дифференцирование, чтобы найти производную f ‘(x), если функция определена неявно.

Уравнение касательной линии

Мы знаем, что уравнение прямой с наклоном ‘m’, проходящей через точку (x₀, y₀), находится с помощью формы точка-наклон: y — y₀ = m (x — x₀). Рассмотрим касательную, проведенную к кривой y = f(x) в точке (x₀, y₀). Затем из предыдущих разделов

Наклон касательной, м = (f'(x)) ₍ₓ₀, ᵧ₀₎

Подставляя значения m, x₀ и y₀ в форму точка-наклон y — y₀ = m (x — x₀), мы можем получить уравнение касательной.

Таким образом, формула касательной:

  • у — у₀ = (f'(x)) ₍ₓ₀, ᵧ₀₎ (x — x₀)

шагов для нахождения уравнения касательной

Чтобы найти уравнение касательной к кривой y = f(x), проведенной в точке (x₀, y₀) (или в точке x = x₀):

  • Шаг — 1: Если координата y точки НЕ задана, т. е. если в вопросе говорится, что касательная проведена в точке x = x₀, то найдите координату y, подставив ее в функцию y = f( Икс).
    то есть координата y, y₀ = f(x₀).
  • Шаг — 2: Найдите производную функции y = f(x) и представьте ее в виде f'(x).
  • Шаг — 3: Подставьте точку (x₀, y₀) в производную f ‘(x), которая дает наклон касательной (m).
  • Шаг — 4: Найдите уравнение касательной, используя форму точка-наклон y — y₀ = m (x — x₀).

Приближение касательной линии

Концепция линейной аппроксимации как раз следует из уравнения касательной.т. е. уравнение касательной функции y = f(x) в точке (x₀, y₀) можно использовать для аппроксимации значения функции в любой точке, очень близкой к (x₀, y₀). Мы можем понять это из примера ниже.

Пример аппроксимации касательной

Используйте аппроксимацию касательной, чтобы найти приблизительное значение ∛8. 1.

Раствор

Мы знаем, что ∛8 = 2 и 8,1 очень близко к 8.

Итак, мы предполагаем, что функция равна f(x) = ∛x, а точка, в которой проведена касательная, равна x₀ = 8.

Тогда (x₀, y₀) = (8, ∛8) = (8, 2).

Производная функции равна f'(x) = (1/3) x -2/3

Наклон касательной равен, м = (f'(x))₍₈, ₂₎ = (1/3) (8) -2/3 = (1/3) (2 3 ) -2/3 = (1/3) (1/4) = 1/12

Уравнение касательной: y — y₀ = m (x — x₀)

у — 2 = (1/12) (х — 8)

у = х/12 — 2/3 + 2

у = х/12 + 4/3

Подставив y = f(x) здесь,

f(x) = x/12 + 4/3

Теперь приблизительное значение ∛8.1 можно получить, подставив сюда x = 8,1. Таким образом,

f(8,1) ≈ (8,1)/12 + 4/3

∛8,1 ≈ 2,008

Мы можем проверить это с помощью калькулятора, найдя кубический корень из 8,1, и мы увидим, что он равен 2,008. Вот как работает аппроксимация касательной.

Касательная линия параметрической кривой

Иногда функция кривой может быть представлена ​​не в виде y = f(x), а в параметрической форме.Давайте посмотрим, как найти уравнение касательной к параметрической кривой как в 2D, так и в 3D.

Касательная линия параметрической кривой в 2D

Если кривая в 2D представлена ​​параметрическими уравнениями x = x(t) и y = y(t), то уравнение касательной в точке t = a находится с помощью следующих шагов:

  • Найдите точку, в которой проведена касательная (x₀, y₀), подставив t = a в данные параметрические уравнения.
    т. е. (x₀, y₀) = (x(a), y(a)).
  • Найдите производную функции, используя (dy/dt) / (dx/dt).
  • Найдите наклон касательной (m), подставив либо t = a в приведенную выше производную.
  • Найдите уравнение касательной, используя y — y₀ = m (x — x₀).

Касательная линия параметрической кривой в 3D

Пусть кривая в 3D определяется параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t) и z = z(t). Вот шаги, чтобы найти уравнение касательной в точке t = t₀.

  • Подставьте t = a в каждое из данных уравнений, чтобы найти точку (x₀, y₀, z₀), в которой проводится касательная.
    т. е. (x₀, y₀, z₀) = (x(t₀), y(t₀) и z(t₀))
  • Найдите производные x'(t), y'(t) и z'(t).
  • Подставьте t = t₀ в каждую из этих производных, чтобы найти отношения направлений линии.
    т. е. =
  • Найдите уравнение касательной по одной из следующих формул:
    x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct [ИЛИ]
    (x — x₀) / a = (y — y₀) / b = (z — z₀) / c

Мы можем увидеть примеры этих формул в разделе «Примеры» ниже.

Касательная линия полярной кривой

Если функция определяется полярным уравнением r = r(t), то уравнение касательной в точке t = a находится с помощью следующих шагов:

  • Найдите ‘r’, где r = r(a).
  • Найдите точку (x₀, y₀), в которой проведена касательная, используя (x₀, y₀) = (r cos a, r sin a).
  • Найдите dy/dx по формуле \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dr}{dt} \sin (t)+r \cos (t)}{\dfrac{dr} {dt} \cos (t)-r \sin (t)}\).
  • Найдите наклон касательной, используя m = (dy/dx)ₜ ₌ ₐ.
  • Найдите уравнение касательной, используя y — y₀ = m (x — x₀).

Важные точки на касательной:

  • Уравнение касательной кривой y = f(x) в точке (x₀, y₀) находится с помощью y — y₀ = m (x — x₀),
    где m = (f ‘(x))₍ₓ₀, ᵧ₀₎.
  • Если θ — это угол, образуемый касательной с положительным направлением оси x, то ее наклон равен m = tan θ.
  • Нормальная линия и касательная, проведенные для кривой в точке, перпендикулярны друг другу и, следовательно,
    наклон нормали = (-1) / (наклон касательной).
  • Кривая y = f(x) имеет горизонтальные касательные в точках, где f ‘(x) = 0, поскольку горизонтальные касательные параллельны оси x.
  • Кривая y = f(x) имеет вертикальные касательные в точках, где f ‘(x) не определена, поскольку горизонтальные касательные параллельны оси y.

Темы, относящиеся к касательной линии:

Часто задаваемые вопросы по касательной линии

Что такое определение касательной линии?

Касательная линия кривой y = f(x) — это линия, которая касается кривой в точке (x₀, y₀).Его наклон (m) находится путем подстановки точки, в которой он нарисован, в производную f'(x), а его уравнение находится с помощью y — y₀ = m (x — x₀).

Как найти наклон касательной?

Если провести касательную к кривой y = f(x) в точке (x₀, y₀), то ее наклон (m) получается простой подстановкой точки в производную функции. т. е. m = (f ‘(x))₍ₓ₀, ᵧ₀₎.

Как найти уравнение касательной к y = f(x)?

Чтобы найти уравнение касательной прямой y = f(x) при x = x₀:

  • Найдите точку (x₀, y₀) = (x₀, f(x₀)).
  • Найдите наклон, используя m, подставив (x, y) = (x₀, y₀) в f'(x), где f'(x) — производная от f(x).
  • Найдите уравнение касательной, используя y — y₀ = m (x — x₀).

Как найти уравнение касательной к параметрической кривой в 2D?

Когда кривая определяется параметрическими уравнениями x = x(t) и y = y(t), уравнение касательной линии, проведенной в точке t = a, находится с помощью следующих шагов:

  • Найдите точку (x₀, y₀) = (x(a), y(a)).
  • Найдите наклон dy/dx, используя dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt).
  • Найдите наклон касательной, используя m = (dy/dx)ₜ ₌ ₐ
  • Найдите уравнение касательной, используя y — y₀ = m (x — x₀).

Может ли касательная пересекать кривую?

Единственным условием для того, чтобы линия была касательной к кривой в точке, является то, что линия должна касаться кривой в этой точке. Но он может пересечь график в любой другой точке (точках).

Как найти уравнение касательной к полярной кривой?

Если кривая определяется полярным уравнением r = r(t), то уравнение касательной линии, проведенной в точке t = a, находится с помощью следующих шагов:

  • Найдите r = r(a).
  • Найдите точку (x₀, y₀) = (r cos a, r sin a).
  • Найдите наклон dy/dx, используя dy/dx = \dfrac{\dfrac{dr}{dt} \sin (t)+r \cos (t)}{\dfrac{dr}{dt} \cos (t) -r \sin(t)}\)
  • Найдите наклон касательной, используя m = (dy/dx)ₜ ₌ ₐ.
  • Найдите уравнение касательной, используя форму точка-наклон, y — y₀ = m (x — x₀).

Как найти уравнение касательной к параметрической кривой в 3D?

Если трехмерная кривая определяется параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t) и z = z(t), то уравнение касательной линии, проведенной к ней в точке x = t₀, находится как следует:

  • Найдите точку, используя (x₀, y₀, z₀) = (x(t₀), y(t₀) и z(t₀))
  • Найдите производные заданных функций.т. е. найти x'(t), y'(t) и z'(t).
  • Найдите направление линии, используя =
  • Найдите уравнение касательной линии, используя:
    x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct (параметрическая форма)
    (x — x₀) / a = (y — y₀) / b = (z — z₀) / c (декартова форма)

Как найти уравнение горизонтальной касательной?

Горизонтальная касательная параллельна оси x и, следовательно, ее наклон равен нулю. Мы знаем, что наклон есть не что иное, как производная функции. Итак, чтобы найти точки, в которых есть горизонтальные касательные, просто установите производную функции равной нулю и решите. Получив точки, мы можем найти уравнение горизонтальной касательной, используя форму точка-наклон.

Как найти уравнение вертикальной касательной?

Вертикальная касательная параллельна оси Y, поэтому ее наклон не определен. Поскольку наклон — это не что иное, как производная функции, чтобы найти точки, в которых есть вертикальные касательные, посмотрите, где производная функции становится неопределенной (вероятно, установите знаменатель производной равным нулю, чтобы найти его).Получив точки, мы можем найти уравнение вертикальной касательной, используя форму точка-наклон.

Уравнение касательной: задачи и решения — Matheno.com

В этих задачах всегда указывается, что вы находите касательную или нормальную (= перпендикулярную) прямую в определенной точке функции. Мы назовем эту точку $(x_0, y_0)$.

Чтобы ответить на эти вопросы, вы почти всегда будете использовать форму линии точка-наклон. Напомним, что если линия имеет наклон м и содержит точку $(x_0, y_0)$, то ее уравнение можно записать так:

Точечная форма наклона линии:
$$\bbox[yellow, 5px]{y – y_0 = m(x – x_0)}$$

В постановке задачи обычно указывается точка $(x_0, y_0)$, поэтому на самом деле эти задачи сводятся к определению наклона м линии — которые мы рассмотрим ниже.

Вы будете использовать это уравнение снова и снова; запомните его, если вы его еще не знаете.

(Просто вариант определения наклона: $m = \dfrac{y – y_0}{x – x_0}.)$

I. Касательная линия к кривой

Очень часто в начале Исчисление вам будет предложено найти уравнение для линии касательной к кривой в определенной точке. Мы называем эту точку $(x_0, y_0)$.

Чтобы найти уравнение прямой, вам просто нужно помнить, что касательная к кривой имеет наклон, равный производной функции, вычисленной в интересующей точке:

$$\bbox[yellow,5px]{m_\ text{касательная линия} = f'(x_0)}$$


То есть найдите производную функции $f'(x)$, а затем оцените ее при $x = x_0$. Это значение $f'(x_0),$ равно наклону касательной.

Следовательно, мы можем записать уравнение для касательной в $(x_0, y_0)$ как

\[\bbox[10px,border:2px сплошной синий]{
\begin{align*}
y – y_0 &= m_ \text{касательная линия}(x – x_0) \\[8px] y – y_0 &= f'(x_0)(x – x_0)
\end{align*} } \]

Если эти уравнения кажутся вам абстрактными, не волнуйтесь. Как только вы проработаете несколько задач, процесс обретет смысл — обещаем.

II.Нормальная линия к кривой

Иногда вместо этого вам будет предложено найти линию , нормальную к кривой. Это то же самое, что запросить линию, которая перпендикулярна кривой.

Вы снова будете использовать форму линии Point-Slope. Но теперь, чтобы вычислить наклон линии, вспомните, что наклоны перпендикулярных линий являются отрицательными обратными величинами друг друга ($m_2 = -\dfrac{1}{m_1}$). Нам нужен наклон линии, которая перпендикулярна кривой в точке и, следовательно, перпендикулярна касательной к кривой в этой точке:

\[\bbox[yellow,5px]{
\begin{align *}
м_\текст{нормальная линия} &= \frac{-1}{м_\текст{касательная линия}}\\[12px] &= \frac{-1}{f'(x_0)}
\end{align*}}\]


Следовательно, мы можем записать уравнение для нормальной линии в точке $(x_0, y_0)$ как

\[\ bbox[10px,border:2px сплошной синий]{
\begin{align*}
y – y_0 &= m_\text{нормальная линия}(x – x_0) \\[8px] y – y_0 &= \frac{-1}{f'(x_0)}(x – x_0)
\end{align*} } \]


Мы рекомендуем , а не , пытаясь запомнить все приведенные выше формулы. Вместо этого запомните форму линии «точка-наклон», а затем используйте то, что вы знаете о производной, говорящей вам о наклоне касательной в данной точке. Приведенные ниже проблемы иллюстрируют это.

Задача 1 иллюстрирует процесс объединения различных фрагментов информации для нахождения уравнения касательной.

Задача 2 требует, чтобы вы нашли фрагменты информации, прежде чем сможете их сложить.

[свернуть]

Найти уравнение прямой, касательной к кривой в заданной точке

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже.Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
Сент-Луис, Миссури 63105

Или заполните форму ниже:

 

Касательная линия: определение и уравнение — видео и расшифровка урока

Математическое определение

Теперь, когда у нас есть концептуальное представление о том, что такое касательная, нам нужно понять, как определить ее математически. Есть два важных элемента для нахождения уравнения, определяющего касательную линию: ее наклон и точка касания с кривой. Наклон линии — это ее крутизна или скорость изменения как по горизонтали, так и по вертикали по мере удаления от начала координат.

Чтобы найти наклон касательной, мы сначала смотрим на секущую уравнения или на линию, соединяющую две точки на кривой. Чтобы найти уравнение линии, нам нужен наклон этой линии. С касательной это может быть сложно, но с секущей, поскольку у нас есть две точки, это не проблема!

Наклон секущей, проходящей через точки ( a , f( a )) и ( a + h , f( a + h )), показанные на формула ниже.Вы можете узнать эту формулу из предварительного исчисления; это называется коэффициентом разности:

  • наклон секущей = [f( x + h ) — f( x )] / h

Итак, как это поможет нам с касательной? Что ж, представьте, что мы взяли эту вторую точку ( a + h , f( a + h )) и приблизили ее к нашей первой точке. Чем ближе она подходит к первой точке, тем больше секущая начинает походить на касательную! Мы приближаем его все ближе и ближе… что является математической идеей предела.Когда ч приближается к нулю, это превращает нашу секущую в нашу касательную, и теперь у нас есть формула для наклона нашей касательной! Это предел разностного отношения, когда ч приближается к нулю.

Предполагая, что вы знакомы с основами исчисления, вы узнаете это как определение производной нашей функции f( x ) при x = a , обозначаемой в простой записи как f ‘( a ). Производная функции — это мгновенная скорость изменения функции и наклон линии, касательной к кривой.

Уравнение касательной

Теперь, когда у нас есть наклон касательной, все, что нам нужно, это точка на касательной, чтобы закончить уравнение нашей прямой. Это легко, потому что мы знаем, что наша касательная проходила через точку ( a , f( a )). Теперь построим уравнение нашей линии, используя точечно-наклонную форму линии:

  • y y 1 = м ( x x 1), где ( x 190, y 1) — известная точка на линии, а м — уклон линии

Уравнения верны почти для всех точек на кривой y = f( x ):

  • y — f( a ) = f'( a )( x a )
  • y = f( a ) + f'( a )( x a )

Есть несколько исключений:

  • В особом случае, когда касательная вертикальна, ее наклон не определен, и мы не сможем использовать приведенное выше уравнение. 2 и y = 2 x — 1 визуально подтверждает, что мы правильно рассчитали касательную, и готово!

    Резюме урока

    Давайте уделим пару минут, чтобы рассмотреть, что такое касательная и каково ее уравнение.Касательная — это прямая линия, едва касающаяся кривой в одной точке. Идея состоит в том, что касательная и кривая идут в одном и том же направлении в точке соприкосновения. Наклон или крутизна касательной определяется мгновенной скоростью изменения функции в этой точке. Наклон линии находится путем создания производной функции на основе приближения секущей линии к касательной. Секущая — это линия, соединяющая две точки на кривой.

    Для гладких непрерывных кривых с невертикальными наклонами мы можем рассчитать касательную по формуле:

    Если кривая имеет вертикальную касательную, уравнение сводится к имеет излом или острый угол, то кривая не имеет касательной в этой точке.

    Объяснение урока: уравнения касательной и нормали

    В этом объяснении мы узнаем, как найти наклон и уравнение прямой касательная и нормаль к кривой в данной точке с использованием производных.

    Производная кривой в точке говорит нам о наклоне касательной к кривой в этой точке, и существует множество различных методов нахождения производные различных функций. Мы можем использовать эти различия методы, которые помогут нам найти уравнение касательных линий к различным дифференцируемые функции.

    Во-первых, давайте вспомним, что именно мы понимаем под касательной к кривой в точке.

    Определение: касательная к кривой в точке

    Для кривой 𝑦=𝑓(𝑥) и точки (𝑥,𝑦) на кривой, говорят, что прямая 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 — касательная к кривой в точке точка (𝑥,𝑦) если

    • касательная проходит через точку (𝑥,𝑦);
    • кривая и касательная имеют одинаковый наклон в точке (𝑥,𝑦).

    В приведенном выше определении мы утверждаем, что наша касательная и кривая будут иметь такой же наклон в точке (𝑥,𝑦). Это означает, что, вокруг точки (𝑥,𝑦) линия будет касаться только Кривая.

    Уравнение прямой линии можно найти, используя значение ее наклона и координаты точки, лежащей на прямой. Из определения выше, мы знаем, что касательная и кривая проходят через точку (𝑥,𝑦). Следовательно, единственная недостающая часть информация наклон.

    Затем мы можем использовать дифференцирование, чтобы найти наклон кривой, 𝑦=𝑓(𝑥), на данный момент. Для функции 𝑓 который дифференцируем в 𝑥, этот наклон определяется выражением 𝑓′(𝑥).

    Давайте рассмотрим пример того, как мы можем использовать это, чтобы найти уравнение касательной к кривой в точке.

    Пример 1. Нахождение уравнения касательной к кривой полиномиальной функции при заданном значении для 𝑥

    Найдите уравнение касательной к кривой 𝑦=−2𝑥+8𝑥−19 в 𝑥=2.

    Ответ

    Чтобы найти уравнение касательной к кривой в точке, нам нужны два части информации: координаты точки и наклон кривая в этой точке.

    Вопрос требует, чтобы мы нашли касательную, когда 𝑥=2, поэтому 𝑥-координата равна 2. Мы можем найти 𝑦-координата для этого значения 𝑥 подставив 𝑥=2 в уравнение нашей кривой: 𝑦=−2(2)+8(2)−19=−16+32−19=−3.

    Это дает нам точку (2,−3) на нашей кривой через которую должна пройти наша касательная.

    Далее нам нужен наклон кривой, когда 𝑥=2; найти это нам нужно различать: dddd𝑦𝑥=𝑥−2𝑥+8𝑥−19=−6𝑥+16𝑥.

    Затем мы подставляем в 𝑥=2, чтобы найти наклон касательная в этой точке: dd𝑦𝑥|||=−6(2)+16(2)=−24+32=8.

    Теперь, чтобы найти уравнение нашей касательной, вспомним, что уравнение линии наклона 𝑚, проходящей через (𝑥,𝑦) определяется выражением 𝑦−𝑦=𝑚(𝑥−𝑥).

    В нашем случае имеем 𝑦-(-3)=8(𝑥-2)𝑦+3=8𝑥-16𝑦-8𝑥+19=0.

    Следовательно, уравнение касательной к нашей кривой в точке 𝑥=2 задается уравнением 𝑦−8𝑥+19=0.

    Этот метод дает нам действительно полезный результат для нахождения уравнения касательной прямой к кривой в точке (при условии, что производная кривой существует на данный момент). Если у нас есть кривая 𝑦=𝑓(𝑥) и точку (𝑥,𝑦) на нашей кривой, то касательная к нашей кривой в этой точке должна иметь наклон 𝑓′(𝑥).Напомним, что точка-наклон Форма прямой линии сообщает нам уравнение прямой, проходящей через точка (𝑥,𝑦) с наклоном 𝑚, данный 𝑦−𝑦=𝑚(𝑥−𝑥).

    Итак, если мы знаем наклон этой касательной и точку, через которую она проходит, это вся информация, которая нам нужна, чтобы найти его уравнение.

    Определение: Уравнение касательной

    Уравнение касательной к кривой 𝑦=𝑓(𝑥) в точке (𝑥,𝑦) определяется выражением 𝑦−𝑦=𝑓′(𝑥)⋅(𝑥−𝑥).

    Эта формула предполагает, что 𝑓 дифференцируемо в 𝑥. Если наша функция 𝑓 не дифференцируема в 𝑥, то мы не можем использовать эту формулу, чтобы найти уравнение касательная в точке 𝑥. Вместо этого нам нужно будет рассмотреть проблему графически. Попробуйте найти касательные линии к следующим двум кривые при 𝑥=0.

    На нашем первом графике видно, что кривая не определена при 𝑥=0, что также означает, что он не дифференцируем при 𝑥=0. Если наша кривая не определена при 𝑥=0, то она не может иметь касательную в этой значение 𝑥.

    На нашем втором графике мы видим, что касательная в точке 𝑥=0 должен быть вертикальным. Если бы мы должны были дифференцировать нашу функцию 𝑓(𝑥)=√𝑥,𝑓′(𝑥)=13𝑥.

    Затем мы могли бы попытаться найти наклон нашей кривой при 𝑥=0: 𝑓′(0)=130=10.

    Затем мы видим, что это не определено. Когда 𝑓 не дифференцируем в точка, набросок графика часто может помочь нам определить, имеет ли эта точка вертикальная касательная.

    До сих пор мы были сосредоточены на касательных линиях.Однако есть еще один важный тип линии, который мы должны рассмотреть, называется нормальной линией. Нормальная линия чтобы кривая в точке была очень похожа на касательную; единственная разница что нормальная линия будет перпендикулярна касательной.

    Определение: нормальная линия к кривой в точке

    Для кривой 𝑦=𝑓(𝑥) и точки (𝑥,𝑦) на кривой, говорят, что прямая 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 — нормаль к кривой в точке (𝑥,𝑦) если

    • точка (𝑥,𝑦) лежит на нашей прямой;
    • эта линия перпендикулярна касательной к нашей кривой в точке эта точка.

    Стоит отметить, что мы можем определить нормальную линию на основе информации что он перпендикулярен кривой в этой точке; тем не менее, может быть проще представьте, что линия перпендикулярна касательной.

    Нахождение уравнения нормальной линии потребует немного больше усилий поскольку производная функции дает нам только наклон касательной. Чтобы найти уравнение нормали к кривой в точке, нам нужна точка на линию и ее наклон, чтобы найти уравнение точка-наклон.

    Поскольку мы уже знаем, что нормаль проходит через точку (𝑥,𝑦), нам нужно только найти наклон нормальной линии, чтобы найти ее уравнение точка-наклон.

    Мы хотим найти выражение для наклона нашей нормальной линии в терминах наклона касательной. Для этого сначала заметим, что если касательная линия горизонтальна, то нормальная линия должна быть перпендикулярна, поэтому она должна быть вертикальная линия, и то же самое будет верно и в обратном направлении.

    Это означает, что теперь мы можем предположить, что имеем дело с касательной, которая не горизонтальный или вертикальный.Итак, мы можем написать уравнение касательной прямой в точке точка (𝑥,𝑦) в виде 𝑦=𝑚𝑥+𝑐, где 𝑚 не равно нулю. Мы также скажем что уравнение нашей нормальной линии 𝑦=𝑛𝑥+𝑑.

    Чтобы найти выражение для наклона нашей нормальной линии, 𝑛, мы начнем с эскиза.

    Чтобы найти выражение для наклона 𝑛, мы добавим в строка 𝑥=𝑥+1.

    Теперь мы можем видеть, что у нас есть треугольник с прямым углом при (𝑥,𝑦). Мы можем найти координаты вершины.Мы уже знаем координаты вершины в (𝑥,𝑦); мы сравним две другие вершины до этой точки, чтобы найти их координаты.

    Так как мы выбрали нашу вертикальную линию на одну единицу правее (𝑥,𝑦), наши другие две вершины будут одной единицей Направо. Мы можем найти 𝑦-координаты этих двух вершин вспомнив, что наклон линии говорит нам об изменении 𝑦 за каждую единицу изменения 𝑥. С момента изменения в 𝑥 составляет 1 единицу для обеих вершин, изменение 𝑦 для касательной будет 𝑚 и изменение в 𝑦 для нормальной линии будет 𝑛.

    Следовательно, координаты вершин равны (𝑥,𝑦), (𝑥+1,𝑦+𝑚) и (𝑥+1,𝑦+𝑛).

    Затем мы можем найти длины каждой стороны этого треугольника, используя расстояние Формула между двумя точками. Мы не будем проводить индивидуальный расчет шаги, но результаты показаны ниже.

    Наконец, поскольку это прямоугольный треугольник, мы можем применить к нему теорему Пифагора. этого треугольника, где гипотенуза этого треугольника является стороной, противоположной прямой угол, в данном случае вертикальная линия.На самом деле, поскольку это вертикальной линии, длина этой линии равна разнице между ее 𝑦-координаты. В этом случае мы будем использовать |𝑚−𝑛|, так как мы не знаем знака из 𝑚−𝑛: √1+𝑚+√1+𝑛=|𝑚−𝑛|1+𝑚+1+𝑛=𝑚−2𝑚𝑛+𝑛2=−2𝑚𝑛𝑛=−1𝑚. Это дает нам уравнение для нахождения наклона нашей нормальной линии; это отрицательное значение, обратное наклону касательной. Мы также знаем, как найдите наклон касательной, используя производную.

    Это означает, что мы можем использовать тот факт, что 𝑚=𝑓′(𝑥) найти формулу уравнения нормальной прямой.

    Определение: Уравнение нормальной линии к кривой

    Если 𝑓′(𝑥)≠0, то уравнение нормали к 𝑦=𝑓(𝑥) в точке (𝑥,𝑦) определяется выражением 𝑦−𝑦=−1𝑓′(𝑥)(𝑥−𝑥).

    Если наклон нашей кривой в точке 𝑥 равен нулю, то нормальная линия в этой точке будет вертикальным, и его уравнение будет 𝑥=𝑥. Если наклон нашей кривой не определен в точке, есть две возможности.

    1. Касательная к кривой в этой точке вертикальна; в таком случае, нормальная линия будет горизонтальной.
    2. Касательная к кривой в этой точке не существует; в таком случае, нормальной линии не существует.

    Рассмотрим несколько примеров применения этих формул к некоторым кривым.

    Пример 2. Нахождение уравнения нормали к кривой многочлена Функция в точке с заданной 𝑥-координатой

    Найти уравнение нормали к кривой 𝑦=−2𝑥−7𝑥+2 при 𝑥=−2.

    Ответ

    Мы хотим найти уравнение нормали к кривой в точке.Для этого нам нужно найти точку на линии и ее наклон. Мы можем найти точку на прямой, подставив 𝑥=−2 в уравнение нашей кривой: 𝑦=−2(−2)−7(−2)+2=−10.

    Итак, нормаль проходит через точку (−2,−10).

    Далее мы вспоминаем, что мы можем найти наклон нормальной линии по формуле используя наклон касательной.

    Если положить 𝑓(𝑥)=−2𝑥−7𝑥−2, тогда касательная будет иметь наклон 𝑓′(−2): 𝑓′(𝑥)=−6𝑥−14𝑥,𝑓′(−2)=−6(−2)−14(−2)=4.

    Мы показали, что касательная будет иметь наклон 4, но наклон нормальная линия — это отрицательная величина, обратная этому значению: наклон нормали = −1𝑓′(−2)=−14.

    Мы знаем, что наклон нашей линии равен −14. и мы также знаем, что он проходит через (−2,−10). Это дает нам уравнение 𝑦-(-10)=-14(𝑥-(-2))𝑦+10=-14(𝑥+2)−4𝑦-40=𝑥+24𝑦+𝑥+42=0.

    Следовательно, уравнение нормали к кривой при 𝑥=−2 дан кем-то 4𝑦+𝑥+42=0.

    В нашем следующем примере мы рассмотрим, как найти точки на кривой, где его касательная в этой точке будет параллельна данной прямой.

    Пример 3. Нахождение 𝑥-координаты точки на кривой Квадратичная функция, где касательная Параллельно 𝑥-оси

    Какова 𝑥-координата точки, где касательная к 𝑦=𝑥+12𝑥+11 параллельна 𝑥-ось?

    Ответ

    Мы хотим найти 𝑥-координату, где проходит касательная к эта кривая будет параллельна оси 𝑥.Мы знаем, что 𝑥-ось горизонтальна, поэтому любая линия, параллельная ей, также должна быть горизонтальным; другими словами, наклон этой касательной должен быть равен нуль.

    Мы также знаем, что для кривой 𝑦=𝑓(𝑥) наклон касательной к этой кривой в точке (𝑥,𝑦) будет его производной в этой точке, в этом случае 𝑓′(𝑥).

    Следовательно, чтобы решить этот вопрос, мы должны найти значения 𝑥, для которого производная равна нулю.

    Поскольку наша функция является многочленом, мы можем дифференцировать ее, используя степенное правило дифференцирования: dd𝑥𝑥+12𝑥+11=2𝑥+12.

    Приравняв нашу производную к нулю, мы можем найти значения 𝑥 где касательная параллельна 𝑥-ось: 2𝑥+12=0𝑥=−6.

    Таким образом, касательная к этой кривой параллельна 𝑥-ось, когда 𝑥=−6.

    В нашем следующем примере мы найдем уравнение касательной к кривой, которая образует определенный угол с положительной 𝑥-осью.

    Пример 4. Нахождение уравнения касательной к кривой кубической функции учитывая угол, который образует касательная с осью 𝑥

    Найдите уравнение касательной к кривой 𝑦=𝑥+9𝑥+26𝑥, который составляет угол 135∘ с положительной 𝑥-осью.

    Ответ

    В этом вопросе мы хотим найти касательную к кривой, которая образует угол 135∘ с положительной 𝑥-осью. Это означает, что для ответа на этот вопрос, который нам понадобится, чтобы определить соответствующий наклон для линия, которая составляет этот угол с положительной 𝑥-осью.

    Во-первых, если мы переместим линию, она не изменит угол, который она образует с положительной 𝑥-осью. Итак, мы можем начать с наброска наша линия, проходящая через начало координат (поскольку это самый простой случай), образуя угол 135∘ с положительной 𝑥-осью. Это будет иметь то же самое наклон в качестве нашей касательной.

    Тогда мы увидим, что 135=90+45∘∘∘, что дает нам следующую диаграмму:

    Тогда есть два способа найти наклон этой линии; мы можем использовать факт что наклон прямой есть тангенс угла, который она образует с положительная 𝑥-ось; в таком случае, тангенс135=-1∘; или мы могли бы использовать тригонометрию, чтобы найти наклон этой линии. В любом случае мы видим, что вопрос требует, чтобы мы нашли касательную линия с наклоном −1.

    Наклон касательной в точке равен производной кривой в этой точке, поэтому мы хотим установить производную равной −1 и решить для 𝑥: dddd𝑦𝑥=𝑥𝑥+9𝑥+26𝑥=3𝑥+18𝑥+26.

    Это означает, что мы хотим решить 3𝑥+18𝑥+26=−13𝑥+18𝑥+27=0𝑥+6𝑥+9=0(𝑥+3)=0,

    Решение 𝑥=−3.

    Чтобы найти уравнение касательной к кривой, когда 𝑥=−3, нам нужно найти координаты точки на линия.Мы можем найти это, подставив 𝑥=−3 в уравнение для нашей кривой: 𝑦=(−3)+9(−3)+26(−3)=−24.

    Искомая касательная проходит через (−3,−24) и имеет наклон −1.

    Мы можем использовать это, чтобы найти уравнение прямой 𝑦-(-24)=-1(𝑥-(-3))𝑦+24=-(𝑥+3)𝑦+24=-𝑥-3𝑦+𝑥+27=0.

    Следовательно, касательная к кривой, образующей угол 135∘ с положительной 𝑥-осью имеет уравнение 𝑦+𝑥+27=0.

    Не всегда так просто, как дифференцировать многочлен, найти наклон касательная или нормаль к нашей кривой. Иногда нам нужно будет применять другие производные правила, которые помогут нам найти это значение. Давайте посмотрим на пример этого.

    Пример 5. Нахождение уравнения нормали к кривой функции, включающей Тригонометрические функции по заданной 𝑥-координате

    Найти все точки с 𝑥-координатами в [0,𝜋[ где кривая 𝑦=2𝑥sin имеет касательную, параллельную прямой 𝑦=−𝑥−18.

    Ответ

    Во-первых, чтобы прямая была параллельна прямой 𝑦=−𝑥−18, он должен иметь одинаковый наклон. Следовательно, наша касательная должна иметь наклон из −1. Напомним, что наклон касательной к кривой 𝑦=𝑓(𝑥) в точке 𝑥 есть 𝑓′(𝑥). В нашем случае 𝑓(𝑥)=2𝑥грех. Мы можем дифференцировать это используя тот факт, что для любой константы 𝑛, где 𝑥 измеряется в радианы, ddsincos𝑥(𝑎𝑥)=𝑎𝑎𝑥.

    Следовательно, 𝑓′(𝑥)=22𝑥.cos

    Установка наклона нашей касательной равной −1 дает нам 22𝑥=−1.cos

    Затем мы можем решить это для 𝑥 в интервале [0,𝜋[: cos2𝑥=−12.

    Мы можем набросать это следующим образом.

    У этого есть решения 𝑥=𝜋3 и 𝑥=2𝜋3. Наконец, нам нужно найти координаты этих точек, подставив эти 𝑥-значения в функцию sin2𝑥: sinandsin2𝜋3=√3222𝜋3=−√32, давая нам координаты 𝜋3,√32 и 2𝜋3,−√32.

    Следовательно, координаты точек с 𝑥-координатами в [0,𝜋[, где кривая 𝑦=2𝑥sin имеет касательную, параллельную строка 𝑦=−𝑥−18, являются 𝜋3,√32 и 2𝜋3,−√32.

    В нашем последнем примере мы определим точку пересечения двух кривых где пересечение ортогонально.

    Пример 6. Поиск точки пересечения двух квадратных кривых Ортогонально

    Кривые 𝑦=2𝑥−3𝑥−2 и 𝑦=−3𝑥+5𝑥−5 пересекаются ортогонально в точке. Что это за точка?

    Ответ

    Говорят, что две кривые пересекаются ортогонально, если они пересекаются справа углы. Эквивалентно, касательные к обеим кривым в точке пересечения ортогональны (встречаются под прямым углом).

    Напомним, что наклон кривой в точке определяется значением ее производная в этой точке. Начнем с поиска всех точек пересечение этих двух кривых, установив функции равными друг к другу и решение для 𝑥: 2𝑥-3𝑥-2=-3𝑥+5𝑥-52𝑥-3𝑥-2+3𝑥-5𝑥+5=05𝑥-8𝑥+3=0(5𝑥-3)(𝑥-1)=0.

    Следовательно, кривые пересекаются при 𝑥=35 и когда 𝑥=1. Нам нужно найти наклоны обеих кривых в каждом из этих 𝑥-значений, чтобы определить, являются ли они ортогональный. Мы делаем это, дифференцируя каждую кривую, используя степень правило дифференцирования. Для первой кривой: dd𝑥2𝑥−3𝑥−2=4𝑥−3.

    Мы можем использовать это, чтобы найти наклон при обоих 𝑥-значениях.

    При 𝑥=35, dd𝑥2𝑥−3𝑥−2||=435−3=−35.

    При 𝑥=1, дд𝑥2𝑥−3𝑥−2||=4(1)−3=1.

    То же самое можно сделать со второй кривой: дд𝑥−3𝑥+5𝑥−5=−6𝑥+5.

    При 𝑥=35, дд𝑥−3𝑥+5𝑥−5||=−635+5=725.

    При 𝑥=1, dd𝑥−3𝑥+5𝑥−5||=−6(1)+5=−1.

    Поскольку наклоны всех четырех линий отличны от нуля, для линий, ортогональны, их наклоны должны быть отрицательными обратными величинами. Взятие отрицательной обратной величины −35 дает нам −−35=−−53=53, который не равен наклону второй кривой в этой точке, так что касательные не ортогональны.

    Возврат отрицательного числа к 1 дает нам −(1)=−1, что равно наклону второй кривой в этой точке. Следовательно, касательные ортогональны.

    Мы можем найти координаты этой точки, подставив 𝑥=1 в уравнение любой кривой: 𝑦=2(1)−3(1)−2=2−3−2=−3.

    Следовательно, кривые пересекаются ортогонально в точке (1,−3).

    Давайте закончим, повторив некоторые вещи, которые мы рассмотрели при поиске уравнения касательных и нормалей к кривым.

    Ключевые моменты

    • Уравнение касательной к кривой 𝑦=𝑓(𝑥) в точке (𝑥,𝑦) определяется выражением 𝑦−𝑦=𝑓′(𝑥)(𝑥−𝑥).
    • Если 𝑓′(𝑥)≠0, тогда уравнение нормальной линии к 𝑦=𝑓(𝑥) в точке (𝑥,𝑦) определяется выражением 𝑦−𝑦=−1𝑓′(𝑥)(𝑥−𝑥).
    • Если 𝑓′(𝑥)=0, то касательная к 𝑦=𝑓(𝑥) в точке (𝑥,𝑦) горизонтальна и имеет уравнение 𝑦=𝑦.
    • Если 𝑓′(𝑥)=0, нормальная линия к 𝑦=𝑓(𝑥) в точке (𝑥,𝑦) вертикальна и имеет уравнение 𝑥=𝑥.
    • Две кривые пересекаются ортогонально в точке (𝑥,𝑦) если обе кривые пересекают эту точку и наклоны их касательных в этой точке точки ортогональны.
    • Если 𝑓′(𝑥) не определено, мы все равно можем быть в состоянии найти касательную и нормали в 𝑥. Однако это не всегда возможно.

    1. Касательные и нормали

    М. Борна

    Нам часто приходится находить касательные и нормали к кривым, когда мы анализируем силы, действующие на движущееся тело.

    Касательная к кривой — это линия, которая касается кривой в одной точке и имеет тот же наклон , что и кривая в этой точке.

    нормаль к кривой — это линия , перпендикулярная касательной к кривой.

    Примечание 1: Как мы обсуждалось ранее (в разделе Наклон касательной к кривой), мы можем найти наклон касательной в любой точке ( x , y ), используя `dy/dx`.

    Примечание 2: Чтобы найти уравнение нормали, вспомните условие для двух линий с уклонами м 1 и м 2 быть перпендикулярными (см. Перпендикулярные линии):

    м 1 × м 2 = −1

    приложений


    Автомобиль занесло при повороте по касательной к двойной кривой из желтых линий.

    Тангенс:

    1. Если мы едем в машине за угол и наезжаем на что-то скользкое на дороге (например, масло, лед, вода или рыхлый гравий) и наша машина начинает скользить, она будет продолжать движение в направлении по касательной к изгиб.
    2. Точно так же, если мы возьмем мяч и раскачаем его по кругу, а затем отпустим, он улетит по касательной к кругу движения.


    Спицы велосипедного колеса нормальные к ободу.

    Обычный:

    1. Когда вы быстро едете по круговой трассе в машине, сила, которую вы чувствуете, толкает вас наружу, нормальная к изгибу дороги. Интересно, что сила, которая заставляет вас идти за этот угол, на самом деле направлена ​​к центру круга, нормально к кругу.
    2. Спицы колеса размещаются по нормали к круглой форме колеса в каждой точке, где спица соединяется с центром. 2-4(2)`

      `=12-8`

      `=4`

      Наклон нормали находится с использованием м 1 × м 2 = −1

      `m_2=-1/4`

      2. Найдите уравнение (i) касательной и (ii) нормали в приведенном выше пример.

      Ответить

      Мы используем Y Y y 1 = м = x 1 ), с x 1 = 2, y 1 = 5

      (i) Тангенс имеет наклон `4`, поэтому мы имеем:

      `у-5=4(х-2)`

      дает

      `y=4x-3`

      или

      4 х у — 3 = 0

      (ii) Теперь нормаль к кривой.Так как тангенс имеет наклон `4`, мы имеем наклон нормали `m=-1/4`

      Итак, подставляем следующим образом:

      `y-5=-1/4(x-2)`

      дает

      `y=-1/4x+5 1/2`

      или

      х + 4 у — 22 = 0

      3. Эскиз кривая и нормальный в приведенном выше примере.

      Ответить

      Вот график касательной и нормали к кривой в точке `x=2`.

      Окружность — Касательная: Форма точки

      В этом уроке будет рассмотрено несколько примеров, иллюстрирующих уравнение касательной к окружности в точечной форме. Давайте начнем.

      Пример 1  Найти уравнение касательной к окружности x 2 + y 2 = 25, в точке (4, -3)

      Решение Обратите внимание, что задача требует найти уравнение касательной в заданной точке , в отличие от предыдущей ситуации, когда мы нашли касательные заданного наклона .

      Поэтому воспользуемся точечной формой уравнения из предыдущего урока.

      Требуемое уравнение будет x(4) + y(-3) = 25, или 4x – 3y = 25 .

       

      Пример 2  Найти уравнение касательной к окружности x 2 + y 2 – 2x – 6y – 15 = 0 в точке (5, 6).

      Решение  Эта задача похожа на предыдущую, но применяется к общему уравнению окружности.

      Мы снова воспользуемся бланком баллов.Требуемое уравнение будет x(5) + y(6) + (–2)(x + 5) + (– 3)(y + 6) – 15 = 0, или 4x + 3y = 38 .

       

      Пример 3  Найдите точку, в которой линия 3x + 4y = 25 касается окружности x 2 + y 2 = 25

      Решение  Мы решали аналогичную задачу на предыдущем уроке, где использовали форму наклона. Здесь мне интересно показать вам альтернативный метод.

      Задача дала нам уравнение касательной: 3x + 4y = 25.

      Но мы знаем, что любая касательная к данной окружности имеет вид xx 1 + yy 1 = 25 (точечная форма), где (x 1 , y 1 ) — точка касания.

      Следовательно, чтобы найти значения x 1 и y 1 , мы должны «сравнить» данное уравнение с уравнением в точечной форме. Перейдите к этому уроку, чтобы понять, что я имею в виду под «сравнением» линий (или уравнений).

      При сравнении коэффициентов мы получаем x 1 /3 = y 1 /4 = 25/25, что дает значения x 1 и y 1 как 3 и 4 соответственно.

      Таким образом, точка контакта (3, 4) .

       

      Пример 4  Найдите точку, в которой линия 4y – 3x = 20 касается окружности x 2 + y 2 – 6x – 2y – 15 = 0,

      Решение  Эта задача похожа на предыдущую, за исключением того, что теперь у нас нет стандартного уравнения.

      Снова воспользуемся новым методом – чтобы найти точку касания, просто сравним данное уравнение с уравнением в точечной форме и найдем x 1 и y 1 .

      Уравнение касательной в точке для будет иметь вид xx 1 + yy 1 – 3(x + x 1 ) – (y + y 1 ) – 15 = 0, или x(x 1 – 3) + y(y 1 – 1) = 3x 1 + y 1 + 15,

      Сравнивая коэффициенты, получаем (х 1 – 3)/(-3) = (у 1 – 1)/4 = (3х 1 + у 1 + 15)/20. Решая уравнения, получаем x 1 = 0 и y 1 = 5.

      Следовательно, точка контакта будет (0, 5) .

       

      Обратите внимание, что в двух предыдущих задачах мы предполагали, что заданные прямые касаются окружностей. Сравнение некасательных с точечной формой приведет к некоторым странным результатам, о которых я расскажу чуть позже.

      Еще один.

       

      Пример 5  Покажите, что касательная к окружности x 2 + y 2 = 25 в точке (3, 4) касается окружности x 2 + y 2 – 18x – 4y + 81 = 0.Также найдите точки соприкосновения.

      Решение  На следующем рисунке (неточно) показана сложная ситуация:

      Задача состоит из трех частей: найти уравнение касательной, показать, что она касается другой окружности, и, наконец, найти точку касания.

      У нас впереди целая задача, начнем!

      Уравнение можно найти в точечной форме: 3x + 4y = 25

      Чтобы доказать, что эта прямая касается второй окружности, воспользуемся условием касания, т. е.е. его расстояние от центра круга должно быть равно его радиусу.

      Центр круга равен (9, 2), а его радиус равен 2.

      Расстояние прямой 3x + 4y – 25 = 0 от (9, 2) равно |3(9) + 4(2) – 25|/5 = 2, что равно радиусу. Почти готово!

      Теперь, чтобы найти точку касания, я покажу еще один способ, на который намекал в предыдущем уроке – это будет основание перпендикуляра из центра к касательной.

      Чтобы найти основание перпендикуляра из центра, все, что нам нужно сделать, это найти точку пересечения касательной с перпендикулярной к ней прямой, проходящей через центр.

      Требуемая перпендикулярная линия будет (y – 2) = (4/3)(x – 9) или 4x – 3y = 30.

      И последний шаг – решение полученной прямой с касательной дает нам основание перпендикуляра, или точку касания как (39/5, 2/5) .

      Фу! Мы наконец закончили. На этом уроке все.

      Следующий урок посвящен касательным, проведенным из внешней точки.

      .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск