Исследовательская работа по математике «Числа Фибоначчи»

Введение

Леонардо Пизанский — первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибоначчи. Отец Фибоначчи по торговым делам часто бывал в Алжире, и Леонардо изучал там математику у арабских учителей. Позже посетил Египет, Сирию, Византию, Сицилию. Леонардо изучал труды математиков стран ислама, по арабским переводам он ознакомился также с достижениями античных и индийских математиков. На основе усвоенных им знаний Фибоначчи написал ряд математических трактатов, представляющих собой выдающееся явление средневековой западноевропейской науки.

Значительную часть усвоенных им знаний он изложил в своей выдающейся «Книге абака» (Liber abaci, 1202 год). Эта книга содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные с исключительной полнотой и глубиной. Первые пять глав книги посвящены арифметике целых чисел на основе десятичной нумерации. В VI и VII главе Леонардо излагает действия над обыкновенными дробями. В VIII-X главах изложены приёмы решения задач коммерческой арифметики, основанные на пропорциях. В XI главе рассмотрены задачи на смешение. В XII главе приводятся задачи на суммирование рядов — арифметической и геометрической прогрессий, ряда квадратов и, впервые в истории математики, возвратного ряда, приводящего к последовательности так называемых чисел Фибоначчи. В XIII главе излагается правило двух ложных положений и ряд других задач, приводимых к линейным уравнениям. В XIV главе Леонардо на числовых примерах разъясняет способы приближённого извлечения квадратного и кубического корней. Наконец, в XV главе собран ряд задач на применение теоремы Пифагора и большое число примеров на квадратные уравнения. Леонардо впервые в Европе использовал отрицательные числа, которые рассматривал как долг.[1]

«Книга абака» резко возвышается над европейской арифметико-алгебраической литературой XII-XIV вв. разнообразием и силой методов, богатством задач, доказательностью изложения. Последующие математики широко черпали из неё как задачи, так и приёмы их решения. По первой книге многие поколения европейских математиков изучали индийскую позиционную систему счисления.

Другая книга Фибоначчи, «Практика геометрии» (Practica geometriae, 1220 год), содержит разнообразные теоремы, относящиеся к измерительным методам. Наряду с классическими результатами Фибоначчи приводит свои собственные — например, первое доказательство того, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке (Архимеду этот факт был известен, но если его доказательство и существовало, до нас оно не дошло).

В честь учёного назван числовой ряд, в котором каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. Эта числовая последовательность носит название чисел Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368,.. 75025,.. 3478759200, 5628750625,.. 260993908980000,.. 422297015649625,.. 19581068021641812000,..

При этом отношение соседних чисел стремится к золотому сечению:

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

Учёные, анализируя дальнейшее применение этого числового ряда к природным феноменам и процессам, обнаружили, что эти числа содержатся буквально во всех объектах живой природы, в растениях, в животных и в человеке.

Актуальность выбранной темы заключается в том, что за многовековую историю познания чисел Фибоначчи и их различные инварианты отражаются во всех творениях мироздания, все они продуманы и подчинены единым законам природы и имеют большой практический и теоретический интерес во многих науках.

Целью данной работы является исследование закономерностей числового ряда Фибоначчи.

Задачи исследования:

1. Изучить ряды Фибоначчи;

2. Рассмотреть примеры золотого сечения;

3. Ознакомиться с историей России с помощью ряда Фибоначчи.

Новизна исследования — открытие чисел Фибоначчи в окружающей нас действительности.

Практическая значимость — использование приобретенных знаний и навыков исследовательской работы при изучении других школьных предметов.

Методы исследования:

1. Теоретический (логическая ступень познания).

2. Эмпирический (наблюдение, эксперимент, измерение).

1.Исследование чисел Фибоначчи

1.1 Ряд Фибоначчи и золотое сечение

Ряд Фибоначчи – это не только математическая загадка, мы встречаемся с ним каждый день в повседневной жизни.

Золотое сечение — это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей, или, другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему (рис. 1).

Рис 1. – Соотношение сторон золотого прямоугольника.

Прямоугольник с именно таким отношением сторон стали называть золотым прямоугольником. Его длинные стороны соотносятся с короткими сторонами в соотношении 1,618. [9]

Золотой прямоугольник обладает многими необычными свойствами. Отрезав от золотого прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров (рис.2).

Рис 2. – Золотой прямоугольник.

Этот процесс можно продолжать до бесконечности. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники. Причем располагаться они будут по логарифмической спирали, имеющей важное значение в математических моделях природных объектов.

Раковина в форме спирали — форма раковины заинтересовала Архимеда, и он выяснил, что увеличение длины завитков раковины – это постоянная величина и равна она 1,618.

Семена в подсолнухе, в шишке располагаются так же в виде спирали. Корзинка подсолнуха имеет число семян = 1000, φ = 137°30’28

На рисунке 3 мы видим, как скачкообразно происходит изменение направления и числа дуг, отвечающих смежным числам Фибоначчи (34, 21), (55, 34), (89, 55).

Рис.3 – Строение семени подсолнечника.

Малейшее отклонение угла φ от значения 137°30’28 приводит к радикальной смене упаковки семян. В этой упаковки семечки находятся не в одинаковом положении относительно своих соседей, т.е. одни семечки имеют большее «жизненное пространство», другие меньшее. Три упаковки семян при трех различных углах φ. Две крайние упаковки не выгодны для выживания семян.[10]

Зато в природе можно найти две равномерных упаковки, показанные на следующем рисунке, которые реализуются при углах 99,5° и 77,9°. Они отвечают рядам Фибоначчи, соответственно, 1, 3, 4, 7, … и 1, 4, 5, 9, 14, … и записываются цепными дробями вида 1 / (3 + φ) и 1 / (4 + φ).[3]

Так как две последние фрактальные упаковки семян встречается реже, то первая упаковка для угла φ является, видимо, оптимальной с точки зрения выживания. Сосновые шишки имеют около 100 чешуек (зерен), которые распределены по 8 «правым» ветвям и 13 «левым». Причем каждая чешуйка, имея четыре стороны, соседствует с четырьмя другими чешуйками. У ананаса имеется не две, а три спиральных дуги с числами Фибоначчи 5, 8 и 13, так что каждая его гексагональная чешуйка соседствует уже с шестью другими чешуйками. Упаковка семян в ананасе и шишке равномерно плотная. Эта оптимальная конфигурация обеспечивается свойствами чисел Фибоначчи. Для ананаса этот факт очевиден: ему нужно, чтобы выполнялось условие 13 = 8 + 5, если вместо 8 рядов будет 9, то возникнет противоречие.

Пауки плетут свою сеть и стадо, на которое нападает хищник, тоже разбегаются по спирали.

Интересно, что спиралью закручивается ураган, облака циклона (рис.4) и это хорошо видно из космоса:

Рис. 4 – Вид урагана с космоса.

Рост растений тоже происходит в соответствии с числовым рядом Фибоначчи – от ствола отходит ветка, на которой появляется лист, затем происходит длинный выброс и снова появляется листок, но он уже короче предыдущего. Затем опять выброс, но и он короче предыдущего. В этой картине, первый выброс равен 100%, второй 62%, а третий 38%(уровни Фибоначчи, используемые в торговле) и т.д. С длиной лепестков все выглядит точно так же.

Ящерица – если поделить ящерицу на хвост и тело, то соотношение их будет 0,62 к 0,38.

Как видно, числовой ряд Фибоначчи широко представлен в нашей жизни: в строении живых существ, сооружений, с его помощью даже описывается устройство Галактик. Все это свидетельствует об универсальности математической загадки числового ряда Фибоначчи. Из Энциклопедии чудес, загадок и тайн.

Многие пытались разгадать секреты пирамиды в Гизе. В отличие от других египетских пирамид это не гробница, а скорее неразрешимая головоломка из числовых комбинаций. Замечательные изобретательность, мастерство, время и труд архитекторов пирамиды, использованные ими при возведении вечного символа, указывают на чрезвычайную важность послания, которое они хотели передать будущим поколениям. Их эпоха была дописьменной, доиероглифической и символы были единственным средством записи открытий.[2]

Ключ к геометро-математическому секрету пирамиды в Гизе, так долго бывшему для человечества загадкой, в действительности был передан Геродоту храмовыми жрецами, сообщившими ему, что пирамида построена так, чтобы площадь каждой из ее граней была равна квадрату ее высоты.

Площадь треугольника

356 x 440 / 2 = 78320

Площадь квадрата

280 x 280 = 78400

Длина грани пирамиды в Гизе равна 783.3 фута (238.7 м), высота пирамиды — 484.4 фута (147.6 м). Длина грани, деленная на высоту, приводит к соотношению Ф=1.618. Высота 484.4 фута соответствует 5813 дюймам (5-8-13) — это числа из последовательности Фибоначчи.

Эти интересные наблюдения подсказывают, что конструкция пирамиды основана на пропорции Ф=1,618. Современные ученые склоняются к интерпретации, что древние египтяне построили ее с единственной целью — передать знания, которые они хотели сохранить для грядущих поколений.

Интенсивные исследования пирамиды в Гизе показали, сколь обширными были в те времена познания в математике и астрологии. Во всех внутренних и внешних пропорциях пирамиды число 1.618 играет центральную роль.

Из истории астрономии известно, что И. Тициус, немецкий астроном XVIII в., с помощью этого ряда нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы.

Однако один случай, который, казалось бы, противоречил закону: между Марсом и Юпитером не было планеты. Сосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов. Произошло это после смерти Тициуса в начале XIX в. Ряд Фибоначчи используют широко: с его помощью представляют архитектонику и живых существ, и рукотворных сооружений, и строение Галактик. Эти факты — свидетельства независимости числового ряда от условий его проявления, что является одним из признаков его универсальности.

Другой примечательный пример (рис.5) — тело человека. В теле человека отношение длины предплечья к длине руки равно 1.618, т.е. «Золотому сечению».

Рис. 5 – Соотношение тела человека.

Другими широко известными примерами в теле человека являются:

1. Отношение между длиной и шириной лица;

2. Отношение расстояния между губами и местом где сходятся брови к длине носа;

3. Отношение размера рта к ширине носа;

4. Отношение расстояния между линией плеч и верхом головы к длине головы;

5. Отношение расстояния между пупком и коленями к расстоянию между коленями и ступням;

6. Отношение расстояния между кончиками пальцев и локтем к расстоянию между запястьем и локтем;

Та же последовательность существует у листьев тополя, вишни, яблони, сливы, дуба и липы. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».

Недавними исследованиями ученых было показано, что волновая структура ДНК в аспектах как свето-цветовых, так и звуко-музыкальных характеристик также базируется на «золотых» закономерностях. Последние характеризуют и процессы белкового синтеза, и цветовую структуру аминокислот. Движение по спирали лежит в основе волновой структуры ДНК и соответствует известной модели ее вещественной структуры (двойная спираль Уотсона-Крика), а при построении спирали учитываются закономерности ряда Фибоначчи.[4]

Наблюдая за ростом и развитием стеблей и цветов, каждая его новая ветвь, прорастая, дает начало другим ветвям. Рассматривая старые и новые ветви совместно, мы обнаружим число Фибоначчи в каждой из горизонтальных плоскостей.

В строении соцветий сложноцветных растений вновь проявляется закономерность Золотого сечения:

Ирис имеет 3 лепестка;

Примула имеет 5 лепестков;

Амброзия полыннолистная имеет 13 лепестков;

Нивяник обыкновенный имеет 34 лепестка;

Астра имеет 55 и 89 лепестков.

Таким образом, суммарной последовательностью Фибоначчи легко можно трактовать закономерность проявлений Золотых чисел, встречаемых в природе. Эти законы действуют в независимости от нашего знания, от чьего-то желания принимать или не принимать их.

В качестве примера (рис. 6) рассмотрим раковину наутилуса. Можно увидеть совершенство рукавов спирали, но если посмотреть на начало, то он не выглядит таким совершенным. Два самых внутренних ее изгиба фактически равны. Второй и третий изгибы чуть ближе приближаются к фи. Потом, наконец, получается эта изящная плавная спираль. Вспомните отношения второго члена к первому, третьего ко второму, четвертого к третьему, и так далее. Будет понятно, что моллюск аккурат следует математике ряда Фибоначчи.

Рис. 6 – Раковина наутилуса.

А теперь рассмотрим свойства цветов радуги.

В данной матрице каждая последующая строка получена из предыдущей с помощью циклического сдвига влево, с перестановкой последнего символа радуги на место первого («И последний становится первым»!)

В этой матрице размерностью 9 х 9 на главной диагонали стоит Великий предел Радуги («Тьма», как единство Белого и фиолетового цветов радуги).

А теперь посмотрим на соотношение одноименных цветов, разделенных в матрице ее главной диагональю, и сравните с данными, приведенными выше

1. Белый цвет: 1+8=9

2. Красный цвет: 2+7=9

3. Оранжевый цвет: 3+6=9

4. Желтый цвет: 4+5=9

4. Зеленый цвет:5+4=9

6. Голубой цвет:6+3=9

7.Синий цвет:7+2=9

8. Фиолетовый цвет:8+1=9

9. Черный цвет: 0+9=9

Данная информация свидетельствует о том, что все «дороги ведут в Рим», т.е. множество периодически повторяющихся случайностей, совпадений, мистификаций и т.д., сливаясь в единый поток, с неизбежностью приводят к выводу о существовании периодической закономерности, отражаемой в ряде Фибоначчи и носящей фундаментальный характер. [5]

Все окружающие нас предметы мы различаем, в том числе и по форме. Какие-то нам нравятся больше, какие-то меньше, некоторые вовсе отталкивают взгляд. Иногда интерес может быть продиктован жизненной ситуацией, а порой красотой наблюдаемого объекта. Симметричная и пропорциональная форма, способствует наилучшему зрительному восприятию и вызывает ощущение красоты и гармонии. Целостный образ всегда состоит из частей разного размера, находящихся в определённом соотношении друг с другом и целым. Золотое сечение — высшее проявление совершенства целого и его частей в науке, искусстве и природе.

Есть предположение, что последовательность Фибоначчи — это попытка природы адаптироваться к более фундаментальной и совершенной золотосечённой логарифмической последовательности, которая практически такая же, только начинается из ниоткуда и уходит в никуда. Природе же обязательно нужно какое-то целое начало, от которого можно оттолкнуться, она не может создать что-то из ничего. Отношения первых членов последовательности Фибоначчи далеки от Золотого Сечения. Но чем дальше мы продвигаемся по ней, тем больше эти отклонения сглаживаются. Для определения любой последовательности достаточно знать три её члена, идущие друг за другом. Но только не для золотой последовательности, ей достаточно двух, она является геометрической и арифметической прогрессией одновременно. Можно подумать, будто она основа для всех остальных последовательностей.

В 1993 году Роберт Фишер издал в «Уайли энд Санз» книгу под рабочим названием «Приложения и стратегии Фибоначчи для биржевых спекулянтов», в которой описывались базовые открытия и изобретения Фибоначчи в приложении к сложным стратегиям успешной коммерции. Книга приобрела и до сих пор сохраняет всеобщий успех. Прошло почти восемь лет. Чем популярнее становилась книга, тем очевиднее становилось, что в первом варианте отсутствует важная составная часть, необходимая, чтобы сделать по-настоящему результативными замечательные принципы Фибоначчи. За прошедшую половину десятилетия, возросшие вычислительные, графические и чертежные возможности современных компьютерных технологий открыли новые неисследованные горизонты. Этот потенциал не должен быть упущен. Заметно прогрессировали компьютерные технологии, а вместе с ними и возможности успешно торговать на рынках, используя инструменты Фибоначчи.

1.2 Исследование истории России с помощью ряда Фибоначчи на основе длительности эпох 

При несложных расчетах проведенных выше была выявлена связь между длительностью двух исторических периодов с 1917 г. по 1973 г. (56 лет), с 1973 г. по 2008 г. (35 года) и числами ряда Фибоначчи. Применив округление поищем и другие исторические периоды кратные числам этого ряда на более широких периодах истории и будущего:

   — в настоящем: нулевая, текущая эпоха 2006 -2027 (21 год)

   — в прошлом (по мере удаления в историю):

• минус первая (от нынешней — нулевой) эпоха 1972 г. — 2006 г. (34 года),

• минус вторая эпоха 1917 г.- 1972 г. (55 лет),

• минус третья эпоха 1828 г. — 1917 г. (89 лет),

• минус четвертая эпоха 1684 г. — 1828 г. (144 лет),

• минус пятая эпоха 1451 г. — 1684 г. (233 года),

• минус шестая эпоха 1074 г. — 1451 г. (377 лет),

• минус восьмая эпоха 464 г. — 1074 г. (610 лет),

• минус девятая эпоха 523 г. до н.э. — 464 г. (987 лет),

• минус десятая эпоха 2120 г. до н.э. — 523 г. до н.э. (1597 лет),

• минус одиннадцатая эпоха 4704 г. до н.э. — 2120 г. до н.э. (2584 лет)

• минус двенадцатая эпоха 8885 г. до н.э. — 4704 г. до н.э. (4181 год)

   — в будущем (по мере удаления в будущее):

• первая (от нынешней нулевой) эпоха 2027 г. — 2040 г. (13 лет),

• вторая эпоха 2040 г. — 2048 г. (8 лет),

• третья эпоха 2048 г. — 2053 г. (5 лет),

• четвертая эпоха 2053 г. — 2056 г. (3 года),

• пятая эпоха 2056 г. — 2058 г. (2 года),

• шестая эпоха 2058 г. — 2059 г. (1 год),

• седьмая эпоха 2059 г. — 2060 г. (1 год),

• восьмая эпоха, эпоха «Х» — 2061 год.

Чтобы убедиться в правильности и достоверности предлагаемого метода применим его на относительно коротком участке истории России, начиная с 1684 года, с минус 4 эпохи, согласно представленным выше периодам Фибоначчи, начавшейся накануне всем известных петровских реформ. Такой выбор обусловлен значимостью ролью Петра 1 для судеб России и поэтому их превосходной освещенностью всех этих и последующих событий в отечественной историографии и, как следствие, минимумом темных пятен. [6]

Итак, на рис. 7 представлена спираль Фибоначчи, показывающая последовательность всех правителей России (за исключением немногих), начиная с 1684 года и до наших дней. Согласно правилам построения спиралей Фибоначчи полученные расчетные даты являются точками перехода от одного историческому периода к другому (в дальнейшем по тексту — точки перехода). Их можно описать следующим образом:

   1684 год — начало 144 — летнего периода (до 1828 года), время предшествующее реформам Петра 1;

   1828 год — начало 89-летнего периода (до 1917 года), почти соответствует началу правления 30-летней эпохи императора Николая 1;

   1917 год — начало 55-летнего периода (до 1972 года), совпадает с февральской и октябрьского революциями и переходу к новой общественно-экономической формации общества в России;

   1972 год — начало 34-летнего периода (до 2006 года), совпадает с серединой т.н. периода брежневского застоя в советское время;

   2006 год — начало нового 21-летнего периода (до 2027 года).

Для более наглядного поиска общего в исторических эпохах удобно спираль Фибоначчи разделить на три подобных волны, гребня так, чтобы каждая из них соединяла собой 3 точки перехода. Первый гребень начинается в 1684 году, второй своей точкой перегиба проходит через 1828 год и заканчивается в 1917 году. Второй гребень аналогично соединяет подобные точки, соответственно, 1917-1972-2006 годы, а третий — 2006- 2027-2040 годы. При этом последние стоит расположить подобно, одна под другой, начиная с более длительной в одном направлении по мере приближения к текущей эпохе (рис.7).

   Таким образом, получается диаграмма, состоящая из подобных трех волн, гребней. Общая длительность волн как сумма двух полуволн составляет:

   — первая волна (сумма двух полуволн): 144+89 = 233 года,

   — вторая волна: 55+34 = 89 лет,

— третья волна: 21+13=34 года.

Рис.7 Периоды России согласно циклам Фибоначчи, начиная с 1684 г.

Отношение длительности первой волны ко второй равно квадрату золотой пропорции 233/89 = 1,618² = 2,618 и это означает, что те события, которые ранее развивались в течение длительного времени на следующем гребне ускоряются более чем в 2,5 раза. Ускорение же всех исторических процессов при переходе через один исторический гребень составит 233/34 = 2,618² = 6,85, т.е. почти в 7 раз.

Итак, для данного исследования важно не столько отдельно взятые исторические события, сколько выявление общей схемы, общего рисунка, т.е. повторяемость общих черт от одной эпохи к другой. Выявление этого поможет понять общие «внутренние пружины» исторических процессов в России и способствовать в постижении хотя бы общих контуров будущего. Также полезно поверить «алгеброй… историю», т.е. проверить правильность исторических трактовок «..дел давно минувших дней…».

  

Заключение

Числовой ряд Фибоначчи широко представлен в нашей жизни: в строении живых существ, сооружений, с его помощью даже описывается устройство Галактик, закономерности исторических событий. Все это свидетельствует об универсальности математической загадки числового ряда Фибоначчи.

Мы обнаружили удивительную математическую связь между числом спиралей у растений, числом веток в любой горизонтальной плоскости и числами в последовательности Фибоначчи. Мы увидели, как морфология различных организмов тоже подчиняется этому таинственному закону. Также мы увидели строгую математику в строении человека. Молекула ДНК человека, в которой зашифрована вся программа развития человеческого существа — всё подчиняется определённым числовым соотношениям.

Мы узнали, что сосновые шишки, раковины улиток, волны океана, облака циклона и галактики – все они образуют логарифмические спирали. Даже человеческий палец, который составлен из трех фаланг, находящихся по отношению друг к другу в Золотой пропорции, принимает спиральную форму, когда сжимается.

Вечность времени, и световые годы космоса разделяют сосновую шишку и спиральную галактику, но строение остаётся тем, же самым: коэффициент 1,618! Возможно, это первостепенный закон, управляющий природными явлениями.

Оказывается, закономерность явлений природы, строение и многообразие живых организмов на нашей планете, всё, что нас окружает, поражая воображение своей гармонией и упорядоченностью, законы мироздания, движение человеческой мысли и достижения науки – всё это объясняет суммационная последовательность Фибоначчи.

Наблюдая за явлениями, происходящими в природе, учёные сделали поразительные выводы о том, что вся последовательность событий, происходящих в жизни, революции, крушения, банкротства, периоды процветания, законы и волны развития на фондовом и валютных рынках, циклы семейной жизни, и так далее, организуются на временной шкале в виде циклов, волн. Эти циклы и волны тоже распределяются в соответствии с числовым рядом Фибоначчи!

Опираясь на эти знания, человек научится в будущем прогнозировать различные события и управлять ими.

Список использованных источников и литературы

1. Арутюнов П.А. Теория и применение алгоритмических измерений. Москва: Энергоатомиздат, 1990. -256 с. -6500 экз.

2. Бернулли. Цит. По: Фадеева Т.М. Золотое сечение – формула жизни? //В кн. Фадеева Т.М. Крым в сакральном пространстве. Симферополь: «Бизнес-Информ», 2003. С. 130 -134.

3. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи – М., Наука, 1984.

4. Гика М. Эстетика пропорций в природе и искусстве. — М., 1936.

5. Дмитриев А. Хаос, фракталы и информация. // Наука и жизнь, № 5, 2001.

6. Львов Е.В. Циклы Фибоначчи в истории России. Материалы международной заочной научно-практической конференции «Актуальные проблемы общественных наук: социология, политология, философия и история» (16 мая 2012 г.), Новосибирск: Изд. «Сибирская ассоциация консультантов», 2012, с.99-121.

7. Кулакова М.А. Волновые принципы организации природных систем. 2008.-200 С. Монография по материалам диссертации доктора технических наук, защищенной в Международном университете фундаментального образования, Санкт-Петербург, 2007г.

8. Стахов А.П. Золотое сечение, священная геометрия и математика гармонии. Сборник «Метафизика. Век XXI». Москва: БИНОМ, 2006, с. 174-21590.

9. Стахов А.П. Под знаком «Золотого Сечения». Исповедь сына студбатовца. Винница: Изд-во «ITI», 2003. – 384 c. — ISBN 966-84320503.

10. Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. Золотое сечение/Три взгляда на природу гармонии.-М., 1990.

.

Исследовательская работа по теме «Числа Фибоначчи и золотое сечение»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение                                                             «Лицей № 1»                                                 Исследовательская работа                                  Числа Фибоначчи и золотое сечение                                                                              Автор: Прошкин Николай                                                                                      учащийся 6 «Б» класса                                                                              Руководитель: Казьменко Е.А.                                                                                      учитель математики                                                                      г. Воронеж

2017г. Содержание ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………3 ЦЕЛЬ РАБОТЫ……………………………………………………………………..3 1.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ………………….……..………………………….5     1. 1  Биография Леонардо Фибоначчи………………………………..……..5     1. 2  История и закономерность чисел Фибоначчи…………………..…….6 2.  ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ………………………..……………………..…….…8     2. 1  История создания «Золотого сечения»….……………………………..8     2. 2  Числа Фибоначчи и «золотая пропорция»………………………..…..9     2. 3  Прямоугольники золотого сечения…………………………………….10     2. 4  Спирали Фибоначчи…………………………………………………….10 2. 5  Совершенство форм в «золотых пропорциях». Числа  Фибоначчи             и «золотое сечение» в строении и жизни    человека……….……….13 3.  ПРАКТИЧЕСКАЯ  ЧАСТЬ……….……………………………………………16     3. 1  Построение золотого прямоугольника…………………………………16     3. 2  Деление сторон квадрата на части по закону чисел Фибоначчи…….18     3. 3  Закономерность Фибоначчи в живой природе…………………..……19     3. 4   Анализ строения человека……………………………………………..21  ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………………23  СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………………24

ВВЕДЕНИЕ 3 Математика   постоянно   имеет   дело   с   бесконечностью.   Так,   самое   простое понятие как натуральный ряд чисел 1,2,3,…­бесконечен. С его помощью описывают бесконечные объекты, в частности числовые последовательности. Наиболее известной из сформулированных Фибоначчи задач является «задача о размножении кроликов», которая привела к открытию числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,55…, названной впоследствии «рядом Фибоначчи». Ряд этих чисел позволяет решать нам серьезные математические задачи. Человек стремится к знаниям, пытается изучить Мир, который его окружает. В процессе   наблюдений   появляются   многочисленные   вопросы,   на   которые, соответственно, требуется  найти  ответы. Человек   ищет  эти  ответы, а находя  их, появляются другие вопросы. Оказывается,   закономерность   явлений   природы,   строение   и   многообразие живых организмов на нашей планете, всё, что нас окружает, поражая воображение своей гармонией и упорядоченностью, законы мироздания, движение человеческой мысли   и   достижения   науки   –   всё   это   можно   объяснить   последовательностью Фибоначчи. Актуальность выбранной темы заключается в том, что числа Фибоначчи и их различные   их   варианты   отражаются   во   всех   творениях   мироздания,   которые продуманы и подчинены единым законам природы и имеют большой практический и теоретический интерес во многих науках. Цель данной работы:  изучить проявление чисел Фибоначчи и связанного с ними закона золотого сечения в строении живых и неживых объектов, найти примеры использования чисел Фибоначчи.

Объект   исследования: человек,   изобретения   человека,   окружающий растительный и животный мир.           Предмет исследования: Числа и их закономерности 4 Задачи исследования: 1. Изучить ряды Фибоначчи; 2. Рассмотреть примеры золотого сечения; 3. Увидеть математические закономерности в строении человека, растительного мира и неживой природы. Новизна   исследования ­   открытие   чисел   Фибоначчи   в   окружающей   нас действительности. Практическая   значимость ­ использование   приобретенных   знаний   и   навыков исследовательской   работы   при   изучении   других   школьных   предметов,   осознание вездесущности математических законов. Методы исследования: 1. Теоретический.   Рассмотреть   литературу,   в   которой   описывается   ряд   чисел. Познакомиться с числами Фибоначчи и историей их создания. 2. Наблюдение, эксперимент. Эксперимент с делением сторон квадрата на части по закону чисел Фибоначчи.   Построение золотого прямоугольника. Исследование чисел с помощью измерения фаланг руки.

5                 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ                 1.1  Биография Леонардо Пизанского Фибоначчи родился в итальянском городе Пиза, предположительно в 1170­е годы (в некоторых источниках стоит 1180 год) Его отец Гильермо,  был купцом и государственным чиновников. В 1192 году он был назначен представлять пизанскую торговую колонию в Северной Африке и часто бывал в Беджаи, Алжир. По желанию отца, который хотел, чтобы Леонардо стал хорошим торговцем, он переехал в Алжир. Благодаря этому обстоятельству ему удалось   «устроить»   своего   сына,   будущего   математика   Фибоначчи,   в   одно   из арабских учебных заведений.  Он  изучал там математику (искусство вычислений) у арабских   учителей,   где     и   получил   неплохое   для   того   времени   математическое образование. Труды математиков Античности и Древней Индии он прочитал в арабских переводах. В   1200   году   Леонардо   вернулся   в   Пизу   и   принялся   за   написание   своего первого труда.  Значительную часть, усвоенных им знаний он изложил в своей «Книге абака»   (Liber   abaci, 1202   год;   до   наших   дней   сохранилась   только   дополненная рукопись 1228   года).   Эта   книга   состоит   из   15   глав   и   содержит   почти   все арифметические   и   алгебраические   сведения   того   времени,   изложенные   с исключительной   полнотой   и   глубиной.   Первые   пять   глав   книги   посвящены арифметике целых чисел на основе десятичной нумерации. В VI и VII главе Леонардо излагает действия над обыкновенными дробями. В VIII—X главах изложены приёмы решения задач коммерческой арифметики, основанные на пропорциях. В XI главе

рассмотрены задачи на смешение. В XII главе приводятся задачи на суммирование рядов — арифметической и геометрической прогрессий, ряда квадратов и, впервые в истории   математики,   возвратного   ряда,   приводящего   к   последовательности   так называемых чисел   Фибоначчи.   В   XIII   главе   излагается   правило   двух   ложных положений и ряд других задач, приводимых к линейным уравнениям. В XIV главе Леонардо на числовых примерах разъясняет способы  приближённого извлечения квадратного и кубического корней. Наконец, в XV главе 6 собран ряд задач на применение теоремы Пифагора и большое число примеров на квадратные   уравнения.   Леонардо   впервые   в   Европе   использовал отрицательные числа, которые рассматривал как долг.    Впоследствии   получил   признание   потомков   в   качестве   первого   крупного математика Европы периода Средних веков. Что же касается имени Фибоначчи, под которым он вошел в историю математики, то оно закрепилось за ним только в XIX веке.          1.2  История и закономерность ч сел  Фибон ччи   ии аи Числа Фибоначчи это элементы последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, … в которой первые два числа равны либо 1 и 1, либо 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.           То, что  мы  сейчас  знаем  под названием  «числа  Фибоначчи», было  известно древнеиндийским   математикам   задолго   до   того,   как   ими   стали   пользоваться   в Европе.          Действительно, когда появился ряд Фибоначчи, никто, в том числе и он сам, не подозревал,   насколько   близко   ему   удалось   приблизиться   к   разгадке   одной   из величайших тайн мироздания!

Фибоначчи   вёл   отшельнический   образ   жизни,   много   времени   проводил   на природе,   и,   гуляя   в   лесу,   он   обратил   внимание,   что   эти   числа   стали   буквально преследовать   его.   Повсюду   в   природе   он   снова   и   снова   встречал   эти   числа. Например, лепестки и листья растений строго укладывались в данный числовой  ряд.        В числах Фибоначчи существует интересная особенность: частное от деления последующего   числа   Фибоначчи   на   предыдущее,   по   мере   роста   самих   чисел, стремиться к 1,618.   Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне  именуется как золотое сечение  или  золотая пропорция. 7       С   математической   точки   зрения   последовательность   оказалась   просто уникальной, поскольку обладала целым рядом выдающихся свойств: ­ сумма двух любых последовательных чисел есть следующее число   последовательности                                        55 + 89  =  144                                                 144 + 233  = 377                                                     377 + 610  = 987; ­ отношение каждого числа последовательности, начиная с пятого, к   предыдущему, равно 1,618, в алгебpе это число обозначается     гpеческой буквой фи (Ф),  получается что             233 / 144   = 1,618                  377 / 233   = 1,618                                     610 / 377   = 1,618                  987 / 610   = 1,618 ­ разница между квадратом любого числа и квадратом числа на две φ  = 1,618   позиции левее, будет числом Фибоначчи                                        212  ­  82  =  441  ­  64   =  377                                        342  ­  132  =  1156  ­  169  =  987 ­ сумма квадратов стоящих рядом чисел будет числом Фибоначчи                              82  +  132  =  64  +  169  =  233                                       212  +  342  =  441  +  1156  =  1597

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство,   что   все   исследователи   золотого   деления   в   растительном   и   в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду, как арифметическому выражению закона золотого деления.     Учёные,   анализируя   дальнейшее   применение   этого   числового   ряда     к природным   феноменам   и   процессам,   обнаружили,   что   эти   числа   содержатся буквально во всех объектах живой природы, в  растениях, в животных и в человеке. Удивительная   математическая   игрушка   оказалась   уникальным   кодом, заложенным во все природные объекты самим Творцом  Вселенной. 8 2. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ         2. 1  История создания «Золотого сечения» История «Золотого сечения» ­ история человеческого познания мира. Понятие «Золотое сечение» прошло в своем развитии все стадии познания. Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (IV в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание   у   египтян   и   вавилонян.   И   действительно, золотого   деления   позаимствовал   пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы   Тутанхамона   свидетельствуют,   что   египетские   мастера   пользовались соотношениями   золотого   деления   при   их   создании.   Числа   Фибоначчи   в   природе соотношения   Фибоначчи,   носящие   разные   имена,   –   Золотой   пропорции,   Золотого сечения, Божественной пропорции – встречаются в самых неожиданных и загадочных местах. Знаменитый Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Отношение   высоты   здания   к   его   длине   равно   0,618.   Если   произвести   деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада. При

его   раскопках   обнаружены   циркули,   которыми   пользовались   архитекторы   и скульпторы античного мира.  В Помпейском циркуле, который находится в музее в Неаполе, также заложены пропорции «золотого деления».                                                  Рис.1  Античный циркуль золотого сечения 2. 2  Числа Фибоначчи и «золотая пропорция» 9 Для   практических   целей   ограничиваются   приблизительным   значением    = 1,618. В процентном округлённом значении золотое сечение — это деление какой­ либо величины в отношении 62 % и 38 %. Рис. 2 Золотая пропорция Длина отрезка   с = 1,  а  =  0,618,  b  =  0,382. Отношение   с   к  а  =  1, 618. Отношение   с  к   b  =  2,618

Возьмем   два   следующих   друг   за   другом   члена   из   его   последовательности. Разделим   большее   число   на   меньшее   и   получим   приблизительно   1,618.   А   теперь задействуем то же большее число и следующий за ним член ряда (т.е. еще большее число) – их отношение рано 0,618. Вот пример: 144, 233, 377. 233/144 = 1,618       и       233/377 = 0,618 Кстати, если  попробовать  проделать тот же эксперимент с числами из начала последовательности (например, 2, 3, 5), ничего не получится.  3/2 = 1,5       и       3/5 = 0,6 Правило   золотого   сечения   почти   не   соблюдается   для   начала последовательности. Но зато по мере продвижения вдоль ряда и возрастания чисел работает отлично. 10 Для того, чтобы вычислить весь ряд чисел Фибоначчи, достаточно знать три члена последовательности, идущих друг за другом.  Получается, что   золотым сечением отрезок рассечён на две неравные части так, что большая часть отрезка составляет такую же долю в целом отрезке, какую меньшая   часть   отрезка   составляет   в   его   большей   части.   Позже   это   было распространено на произвольные величины. 2.3  Прямоугольники «золотого сечения»

Рис.3  Золотой прямоугольник Золотой   прямоугольник с   длинной стороной   а   и   короткой   стороной   b,    помещенный   рядом   с   квадратом   со   стороной    а,    дает  подобный    золотой прямоугольник с длинной стороной  а + в и короткой стороной а.   Это показывает отношение      а   =   а а+в в   = φ                           2.4  Спирали Фибоначчи       Последовательность Фибоначчи постоянно повторяется в жизни, так как она порождена спиралью Золотого сечения, не имеющей ни начала, ни конца, уходящей в бесконечность. Жизнь не знает, как ей вести себя с бесконечностью, и эта  11 последовательность, ставшая известной как последовательность Фибоначчи, дает ей ответ на вечный вопрос.

Рис.4  Спирали Фибоначчи в природе Существует   множество   способов   построения   Золотой   спирали   и   спирали Фибоначчи.   Для   построения   Золотой   спирали   можно   использовать   Золотой прямоугольник.   Этот   процесс   можно   продолжать   до   бесконечности.   Эти получающиеся прямоугольники, скручиваются внутрь. Они промаркированы А,B, C, D, E, F и G.                                                                     Рис. 5 Спираль Фибоначчи 12

Спираль   Фибоначчи   может   быть   двойной.   Существуют   многочисленные примеры этих двойных спиралей, встречающихся повсюду. Так спирали подсолнухов всегда соотносятся с рядом Фибоначчи.  Посмотрим   на   сосновую   шишку.   Чешуйки   на   ее   поверхности   расположены строго закономерно — по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом.   Число   таких   спиралей   у сосновых   шишек   равно 8 и 13 или 13 и 21.                                                                                     Рис. 6  Спирали Фибоначчи в шишке Первая спираль идет в одну сторону, вторая  ­ в другую. Если посчитать число чешуек в спирали, вращающейся   в одном направлении, и число чешуек в другой спирали,   можно   увидеть,   что   это   всегда   два   последовательных   числа   ряда Фибоначчи.                                                            Рис. 7  Спирали Фибоначчи в подсолнухе

14 В подсолнухах встречаются пары спиралей : 13 и 21, 21 и 34, 34 и 55, 55 и 89. И отклонений от этих пар не бывает!!! 2.5 Совершенство форм в «золотых пропорциях».   Числа Фибоначчи и «золотое сечение» в строении и жизни человека. Около   двух   веков   идея   применения   золотой   пропорции   в   исследовании человеческого тела была предана забвению, и лишь в середине XIX века немецкий ученый Цейзинг вновь обратился к ней. Он находил, что все тело человека в целом и каждый   отдельный   его   член   связаны   математически   строгой   системой пропорциональных отношений, среди которых золотое сечение занимает важнейшее место.  Измерив тысячи человеческих тел, он установил, что золотая пропорция есть среднестатистическая   величина,   характерная   для   всех   хорошо   развитых   тел.   Он нашел, что средняя пропорция мужского тела близка к 13/8=1,625, а женского — к 8/5=1,60. Аналогичные значения получены и при анализе антропометрических данных населения СССР (1,623 для мужчин и 1,605 для женщин).  Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность   или   тело   человека   считаются   идеально   сложенными.   Принцип   расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы:     М m    =  1,618

Рис. 8  Золотые пропорции    15 Есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:                                                       Рис. 9  Золотое сечение и человек ­ расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1 : 1,618; ­ расстояние от уровня плеча  до макушки головы  и  размера головы равно 1 : 1,618; ­ расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы     равно 1 : 1,618; ­ расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1 : 1,618; ­ расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней      губы до ноздрей равно 1 : 1,618; ­ расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии     бровей до макушки равно 1 : 1,618; ­ расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии    макушки равно 1 : 1,618;   бровей   до

Рис. 10  Рука и золотое сечение 16 У   человека   2   руки,   пальцы   на   каждой   руке   состоят   из   3   фаланг   (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух  фаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения.   Тогда как все эти цифры 2, 3, 5  и 8 есть числа последовательности Фибоначчи. Совокупность   рассмотренных   психологами   фактов   биографий   известных людей позволяет изобразить критические возрасты мужчин следующим рядом лет: 1, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, который отвечает ряду чисел Фибоначчи. В жизни человека можно выделить семь основных периодов,   отвечающих   числам   Фибоначчи:     до года — младенчество,  1—8 лет — детство,   8—13 лет — отрочество,   13—21 год — юность,   21—34  года  — молодость,   34—55   лет— зрелость,   55—89  лет  — старость. Дальше следует редко реализуемый период долгожительства —  89—144 года.

3.  ПРАКТИЧЕСКАЯ  ЧАСТЬ 17 3.1  Построение золотого прямоугольника Чтобы   построить   Золотой   прямоугольник,   построим   сначала   квадрат   со сторонами в 2 единицы и проведем линию от середины одной из его сторон к одному из углов у противоположной стороны, как показано на рис. 11.                                                                        Рис. 11 Построение золотого прямоугольника – шаг 1      Треугольник  EDB  –   прямоугольный.     Пифагор   в   свое   время   доказал,   что квадрат   гипотенузы   прямоугольного   треугольника   равен   сумме   квадратов   его катетов. В этом случае , длина гипотенузы ЕВ – равна корню квадратному из 5. Следующий шаг в построении Золотого прямоугольника заключается в продолжении линии СD  до точки  G  так, чтобы  EG  равнялась корню квадратному из 5 или 2,236 единиц длины.

Рис. 12 Построение золотого прямоугольника – шаг 2 18 После   завершения   построения,   стороны   прямоугольника   будут   соотносится   и  BFGD  являются как   Золотая   пропорция,   поэтому     прямоугольники  AFGC  Золотыми прямоугольниками. Можно построить Золотой прямоугольник с помощью циркуля.                    Рис. 13 Построение золотого прямоугольника с помощью циркуля Золотой     прямоугольник   обладает   многими   интересными   свойствами.   Если, например, от золотого прямоугольника АВСD  отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то снова получится золотой прямоугольник EFВС и т.д.

Рис. 14 Отсечение квадрата от золотого прямоугольника    3.2   Деление сторон квадрата на части по закону чисел Фибоначчи.       Я рассмотрел  ряд чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… и т.д. и взял   квадрат, 19 сторона которого  равна 34 см.                                                       Рис. 15  Деление сторон квадрата

Площадь   квадрата   равна    S  = 34 ∙ 34 = 1156  см2.  Одну   сторону   квадрата разделила на две части, длины которых соответствуют двум числам ряда Фибоначчи. Это числа 13 и 21. 34 – 13 = 21 см. 34 + 13 = 55 см. Площадь получившегося прямоугольника равна   S = 21 ∙ 55 = 1155  см2. В изученной статье книги М. Гарднера «Математические чудеса и тайны» есть объяснение этого результата. Фибоначчи так сформулировал данное свойство: «При возведении   в   квадрат   любого   числа   этого   ряда   получается   произведение   двух соседних членов ряда, плюс или минус единица».      В данном примере сторона квадрата равна 34 см, а площадь 1156см2. Числа 13 см и 21 см – это длины сторон. Площадь равна 1155см2, получается число 1156 больше на одну единицу.      Анализируя результаты опыта, видно, что «недостаток» или «вырост» для любого ряда   чисел   Фибоначчи   равен   разности   между   квадратом   любого   их   числа   и 20 произведением соседних. 3.3  Закономерность Фибоначчи в живой природе. Рассмотрим строение некоторых видов животных и насекомых. Современные членистоногие очень разнообразны. У лангуста  пять пар ног, на хвосте пять перьев, брюшко делится на пять сегментов, а каждая нога состоит из пяти частей.

Рис. 16   Лангуст Гусеницы многих насекомых членятся на 13 сегментов, например, у шкуроеда, мукоеда,   козявки   мавританской.   У   большинства   жуков­вредителей   гусеница членится на 13 сегментов. У некоторых насекомых брюшко состоит из восьми сегментов, имеется три пары конечностей, состоящих из восьми частей, а из ротового отверстия выходят восемь различных усикоподобных органов. У нашего хорошо знакомого комара — три пары ног, брюшко делится на восемь сегментов, на голове пять усиков — антенн. Личинка комара членится на 12 сегментов. 21                                                                                           Рис. 17  Комар

Вид черепахи на фоне покрытого трещинами такыра — явление удивительное. В   центре   панциря   большое   овальное   поле   с   крупными   сросшимися   роговыми пластинами, а по краям — кайма из более мелких пластинок.                                                          Рис. 18 Черепаха Если рассмотреть любую черепаху  —  от   болотной до гигантской морской, суповой   черепахи   —     увидим,   что   рисунок   на   панцире   у   них   аналогичный:     на овальном поле расположено 13 сросшихся роговых пластин — 5 пластин в центре и 8 — по краям, а на периферийной кайме около 21 пластинки (у чилийской черепахи по периферии   панциря   точно   21   пластина).   На   лапах   у   черепах   по   5   пальцев,   а позвоночный столб состоит из 34 позвонков. Нетрудно заметить, что все указанные величины   отвечают   числам   Фибоначчи.   Следовательно,   развитие   черепахи, формирование ее тела, членение целого на части осуществлялось  по закону ряда чисел Фибоначчи. 3.4  Анализ строения человека. 22 Найдём   пропорции   различных   частей   нашего   тела,   и   убедимся,   что   они действительно  составляют число, очень близкое к золотому сечению. Занесём данные измерения и вычисления в таблицы 1 и 2. Измерение ладони.  1.  Нам понадобится измерить: третью, вторую, первую фалангу пальцев, третью  кость кисти трех человека.

2. Оборудование:  школьная линейка,  фломастер.  3. Предмет обследования:  кисть руки. 4.  Измерение.    Для   начала  приготовим   ладони   для  измерения  и  последовательно выполняем действия:  4.1. На руках отметим границы сгиба пальцев рук  4.2. Измерим 1­ю фалангу пальцев 4.3. Аналогично диагностируем 2­ю и 3­ю фалангу пальцев 4.4. Фиксируем вдоль третьей кости кисти 4.5. Заполняем таблицу 1  после проведения всех действий  Таблица 1 Объекты измерений Александр, 6 лет Даниил, 12 лет Иван, 12 лет 1 фаланга,  2 фаланга, 3 фаланга, см 1,7 2,1 2,0 см 2,0 2,3 2,2 см 3,7 4,4 4,2 3­я кость кисти, см 5,7 6,7 6,5 Мы   видим,   что   с   возрастом,   по   мере   роста   человека   пропорциональные зависимости  сохраняются. Антропологические измерения человека.  1. Нам понадобится измерить  23 1.1 Расстояние от запястья до локтя/ от кончиков пальцев до запястья; 1.2 Расстояние от уровня плеча до макушки головы /от плеча до бровей; 1.3 Длина головы / ширина головы; 1.4 От макушки головы до пупка/от макушки головы до плеча; 1.5 От  бровей  до  середины  губ  /  от  бровей  до  основания  носа.

2. Оборудование:  школьная линейка,  рулетка, ручка.      3. Предмет обследования:  тело человека.     4. Результаты измерений заносим в таблицу 2. Александр, 6 лет Даниил,12 лет Иван, 12 лет Таблица 2                     Имя       Измере­ ния     Расстояние от  запястья до локтя/ от кончиков пальцев до  запястья Расстояние от уровня плеча до макушки  головы /от плеча до  бровей Длина головы /  ширина головы От макушки головы  до пупка/от макушки головы до плеча От  бровей  до   середины  губ  /  от   бровей  до   основания  носа   Видим, что пропорция   φ , которая равна отношению соседних чисел из ряда  Фибоначчи , проявляется и в человеческом теле. Из этого исследования вытекает, что в   окружающих   нас растениях, живых   проявляют   себя   числа   из организмах   и   даже   в   строении   человека последовательности  Фибоначчи,   что отражает  гармоничность их строения. 24 Заключение В своей исследовательской работе я описал числа Леонардо Фибоначчи, их закономерность   и   историю   создания.   Решая   задачи,   я   убедился   в   том,   что   ряд

Фибоначчи   действительно   очень   важен   для   нас   в   изучении   математики. Последовательностью ряда Фибоначчи можно объяснить многое. На этом, я завершу свое исследование, хотя точно понимаю, что его можно продолжать также бесконечно, как и сам ряд чисел Фибоначчи. Связь с числами Фибоначчи прослеживается во многих областях науки.  Можно   проанализировать   создание   скрипки   и   произведения   великих композиторов, творение великих художников  и поэтов, строение Солнечной системы и астрологию.   Я абсолютно уверен , что математика – интереснейшая наука. Мне есть, что учить, исследовать, а значит я смогу реализовать свои цели и способности. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 25 1. Энциклопедия   для   детей.   Т.11.   Математика/   Глав.   Ред.   М.Д.Аксенова, ­М.:Аванта+, 1998.

2. Васютинский,   Н.   Золотая   пропорция/   Васютинский   Н,   Москва,   Молодая гвардия, 1990, — 238[2] с. — (Эврика). 3.   1001   вопрос   для   очень   умных   (с   подсказками   для   остальных).­   М.:РИПОЛ КЛАССИК, 2002. 4. М. Гарднер, «Математические чудеса и тайны», М. «Наука», 1986. 5. Интернет – ресурсы.

27

Числа Фибоначчи — презентация, доклад, проект

Описание слайда:

«Пиковая дама» Обратимся вновь к произведениям А.С.Пушкина. Рассмотрим композицию «Пиковой дамы». В этой повести кульминационным моментом является сцена в спальне графини, куда проник Германн в надежде узнать тайну трех карт, сцена, которая оканчивается смертью графини в повести 853 строки. Кульминационный момент повести — это смерть графини. Ему отвечает 535 -я строка. Эта строка расположена в повести почти точно в месте золотого сечения, т.к. 853:535=1,6 . Повесть «Пиковая дама» состоит из шести глав. Посмотрим, не проявляется ли в композиции глав золотая пропорция? В первой главе золотому сечению отвечает 68 строчка (всего в главе 110 строк). Но ведь это же узловая точка повествования, в ней переломный момент всей главы: откроет ли Сен — Жермен свою тайну графине! Вторая глава повести содержит 219 строк. Золотое сечение здесь приходится на 135 строку. Но ведь это кульминационный момент главы, Лиза увидела в окне стоящего на улице Германна! Отсюда начался для нее новый отсчет времени, начались события, определившие всю ее дальнейшую судьбу. А.С.Пушкин совершенно точно определил это место во второй главе: ведь 219:135 = 1,62. Третья глава повести описывает усилия Германна попасть в дом старой графини, выведать у нее тайну трех карт. Это место начинает новый отсчет времени для Германна. Эта ситуация приходится на 131 строку третьей главы, а всего в ней 212 строк. Разделив 212 на 131, мы получим точно золотую пропорцию 1,618! В четвертой главе размером 113 строк золотая пропорция приходится на 70 строку. Это также переломный, трагический момент в жизни Лизы. В пятой главе описано посещение Германна похорон графини. 46 строка пятой главы разделила повествование на две части: первая — похороны графини и вторая — сон Германна. Эта 46 строка также отвечает золотой пропорции, ведь всего в этой главе 75 строк (75:46=1,63). В последней главе повести золотая пропорция приходится на 77 строчку, которая завершает описание первого дня игры Германна в карты и первого его выигрыша. Как видим, и в композиции последней главы повести присутствует золотая пропорция. Золотая пропорция присутствует и в композиции других произведений Пушкина. В рассказе «Станционный смотритель» 377 строк. Кульминационный момент рассказа — это известие о том, что дочь смотрителя уехала с гусаром. Этот момент отражен во фразе, которая является 214 строкой. Здесь почти точное соответствие золотой пропорции. В маленьком рассказе «Гробовщик» всего 229 строк. Со 139 строки начинается описание страшного сна гробовщика. И здесь переломный момент рассказа приходится почти точно на золотую пропорцию (229:1,618=141 строка). Совпадение кульминационных моментов в произведениях А.С.Пушкина с золотой пропорцией удивительно близкое, в пределах 1-3 строк.

Числа фибоначчи | Социальная сеть работников образования

li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_3-8}#doc7444413 .lst-kix_list_1-1>li:before{content:»\002022 «}#doc7444413 .lst-kix_list_3-2>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_3-2,lower-roman) «. «}#doc7444413 ol.lst-kix_list_6-3.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_6-3 0}#doc7444413 .lst-kix_list_1-2>li:before{content:»\002022 «}#doc7444413 ol.lst-kix_list_6-2.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_6-2 0}#doc7444413 ol.lst-kix_list_5-8.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_5-8 0}#doc7444413 .lst-kix_list_1-5>li:before{content:»\002022 «}#doc7444413 ol.lst-kix_list_5-3.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_5-3 0}#doc7444413 .lst-kix_list_6-6>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_6-6}#doc7444413 .lst-kix_list_6-3>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_6-3,decimal) «. «}#doc7444413 .lst-kix_list_5-3>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_5-3}#doc7444413 ol.lst-kix_list_6-0.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_6-0 0}#doc7444413 .lst-kix_list_6-7>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_6-7,lower-latin) «. «}#doc7444413 .lst-kix_list_2-3>li:before{content:»\002022 «}#doc7444413 .lst-kix_list_1-4>li:before{content:»\002022 «}#doc7444413 .lst-kix_list_6-2>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_6-2,lower-roman) «. «}#doc7444413 .lst-kix_list_5-1>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_5-1}#doc7444413 .lst-kix_list_3-3>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_3-3}#doc7444413 .lst-kix_list_6-3>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_6-3}#doc7444413 .lst-kix_list_5-7>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_5-7,lower-latin) «. «}#doc7444413 ol.lst-kix_list_3-7.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_3-7 0}#doc7444413 ol.lst-kix_list_6-7.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_6-7 0}#doc7444413 ol.lst-kix_list_6-4.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_6-4 0}#doc7444413 .lst-kix_list_4-3>li:before{content:»\0027a2 «}#doc7444413 .lst-kix_list_2-7>li:before{content:»\002022 «}#doc7444413 .lst-kix_list_3-7>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_3-7}#doc7444413 .lst-kix_list_1-8>li:before{content:»\002022 «}#doc7444413 ol.lst-kix_list_3-6.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_3-6 0}#doc7444413 ol.lst-kix_list_3-0.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_3-0 0}#doc7444413 ol.lst-kix_list_5-0.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_5-0 0}#doc7444413 .lst-kix_list_3-3>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_3-3,decimal) «. «}#doc7444413 .lst-kix_list_3-6>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_3-6,decimal) «. «}#doc7444413 ol.lst-kix_list_6-1.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_6-1 0}#doc7444413 ol.lst-kix_list_3-2.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_3-2 0}#doc7444413 .lst-kix_list_5-2>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_5-2,lower-roman) «. «}#doc7444413 .lst-kix_list_6-4>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_6-4,lower-latin) «. «}#doc7444413 .lst-kix_list_6-1>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_6-1,lower-latin) «. «}#doc7444413 .lst-kix_list_6-8>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_6-8,lower-roman) «. «}#doc7444413 .lst-kix_list_3-2>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_3-2}#doc7444413 .lst-kix_list_6-1>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_6-1}#doc7444413 ol.lst-kix_list_6-8.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_6-8 0}#doc7444413 .lst-kix_list_6-4>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_6-4}#doc7444413 ol.lst-kix_list_5-7.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_5-7 0}#doc7444413 .lst-kix_list_4-7>li:before{content:»\0027a2 «}#doc7444413 .lst-kix_list_5-0>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_5-0}#doc7444413 .lst-kix_list_1-6>li:before{content:»\002022 «}#doc7444413 .lst-kix_list_5-4>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_5-4}#doc7444413 .lst-kix_list_2-6>li:before{content:»\002022 «}#doc7444413 .lst-kix_list_6-5>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_6-5,lower-roman) «. «}#doc7444413 .lst-kix_list_3-6>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_3-6}#doc7444413 ul.lst-kix_list_1-0{list-style-type:none}#doc7444413 ul.lst-kix_list_1-2{list-style-type:none}#doc7444413 ul.lst-kix_list_1-1{list-style-type:none}#doc7444413 .lst-kix_list_2-2>li:before{content:»\002022 «}#doc7444413 ol.lst-kix_list_3-3.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_3-3 0}#doc7444413 ul.lst-kix_list_1-4{list-style-type:none}#doc7444413 .lst-kix_list_6-8>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_6-8}#doc7444413 ul.lst-kix_list_1-3{list-style-type:none}#doc7444413 ul.lst-kix_list_1-6{list-style-type:none}#doc7444413 ul.lst-kix_list_1-5{list-style-type:none}#doc7444413 ul.lst-kix_list_1-8{list-style-type:none}#doc7444413 ul.lst-kix_list_1-7{list-style-type:none}#doc7444413 .lst-kix_list_2-1>li:before{content:»\002022 «}#doc7444413 .lst-kix_list_4-8>li:before{content:»\0027a2 «}#doc7444413 .lst-kix_list_5-5>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_5-5,lower-roman) «. «}#doc7444413 .lst-kix_list_3-0>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_3-0}#doc7444413 .lst-kix_list_2-8>li:before{content:»\002022 «}#doc7444413 .lst-kix_list_6-0>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_6-0}#doc7444413 .lst-kix_list_3-7>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_3-7,lower-latin) «. «}#doc7444413 .lst-kix_list_3-4>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_3-4}#doc7444413 .lst-kix_list_2-0>li:before{content:»\002022 «}#doc7444413 ol.lst-kix_list_3-1{list-style-type:none}#doc7444413 ol.lst-kix_list_3-2{list-style-type:none}#doc7444413 .lst-kix_list_6-6>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_6-6,decimal) «. «}#doc7444413 ol.lst-kix_list_3-3{list-style-type:none}#doc7444413 ol.lst-kix_list_3-4{list-style-type:none}#doc7444413 ol.lst-kix_list_3-0{list-style-type:none}#doc7444413 ol.lst-kix_list_3-6{list-style-type:none}#doc7444413 ol.lst-kix_list_3-5{list-style-type:none}#doc7444413 ol.lst-kix_list_3-8{list-style-type:none}#doc7444413 ol.lst-kix_list_3-7{list-style-type:none}#doc7444413 .lst-kix_list_5-7>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_5-7}#doc7444413 .lst-kix_list_2-4>li:before{content:»\002022 «}#doc7444413 .lst-kix_list_3-5>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_3-5,lower-roman) «. «}#doc7444413 .lst-kix_list_3-5>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_3-5}#doc7444413 ol.lst-kix_list_5-5.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_5-5 0}#doc7444413 .lst-kix_list_4-2>li:before{content:»\0027a2 «}#doc7444413 .lst-kix_list_4-6>li:before{content:»\0027a2 «}#doc7444413 ol.lst-kix_list_6-4{list-style-type:none}#doc7444413 ol.lst-kix_list_5-8{list-style-type:none}#doc7444413 ol.lst-kix_list_6-5{list-style-type:none}#doc7444413 ol.lst-kix_list_5-7{list-style-type:none}#doc7444413 ol.lst-kix_list_6-2{list-style-type:none}#doc7444413 .lst-kix_list_5-3>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_5-3,decimal) «. «}#doc7444413 ol.lst-kix_list_6-3{list-style-type:none}#doc7444413 .lst-kix_list_4-1>li:before{content:»\0027a2 «}#doc7444413 .lst-kix_list_4-5>li:before{content:»\0027a2 «}#doc7444413 ol.lst-kix_list_6-8{list-style-type:none}#doc7444413 ol.lst-kix_list_5-4{list-style-type:none}#doc7444413 ol.lst-kix_list_5-3{list-style-type:none}#doc7444413 ol.lst-kix_list_6-6{list-style-type:none}#doc7444413 ol.lst-kix_list_5-6{list-style-type:none}#doc7444413 .lst-kix_list_5-2>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_5-2}#doc7444413 ol.lst-kix_list_6-7{list-style-type:none}#doc7444413 ol.lst-kix_list_5-5{list-style-type:none}#doc7444413 ol.lst-kix_list_5-0{list-style-type:none}#doc7444413 .lst-kix_list_3-0>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_3-0,decimal) «. «}#doc7444413 ol.lst-kix_list_5-1{list-style-type:none}#doc7444413 .lst-kix_list_1-0>li:before{content:»\002022 «}#doc7444413 .lst-kix_list_2-5>li:before{content:»\002022 «}#doc7444413 ol.lst-kix_list_5-2{list-style-type:none}#doc7444413 ol.lst-kix_list_6-1{list-style-type:none}#doc7444413 .lst-kix_list_5-8>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_5-8,lower-roman) «. «}#doc7444413 ol.lst-kix_list_6-0{list-style-type:none}#doc7444413 .lst-kix_list_5-4>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_5-4,lower-latin) «. «}#doc7444413 .lst-kix_list_4-4>li:before{content:»\0027a2 «}#doc7444413 .lst-kix_list_3-4>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_3-4,lower-latin) «. «}#doc7444413 .lst-kix_list_1-3>li:before{content:»\002022 «}#doc7444413 ol.lst-kix_list_6-6.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_6-6 0}#doc7444413 .lst-kix_list_5-8>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_5-8}#doc7444413 ol.lst-kix_list_6-5.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_6-5 0}#doc7444413 .lst-kix_list_5-0>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_5-0,decimal) «. «}#doc7444413 ul.lst-kix_list_4-8{list-style-type:none}#doc7444413 ul.lst-kix_list_4-7{list-style-type:none}#doc7444413 .lst-kix_list_6-0>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_6-0,decimal) «. «}#doc7444413 .lst-kix_list_6-5>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_6-5}#doc7444413 ul.lst-kix_list_4-6{list-style-type:none}#doc7444413 ul.lst-kix_list_4-1{list-style-type:none}#doc7444413 ul.lst-kix_list_4-0{list-style-type:none}#doc7444413 ol.lst-kix_list_3-5.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_3-5 0}#doc7444413 ol.lst-kix_list_5-6.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_5-6 0}#doc7444413 ul.lst-kix_list_4-5{list-style-type:none}#doc7444413 ul.lst-kix_list_4-4{list-style-type:none}#doc7444413 .lst-kix_list_3-8>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_3-8,lower-roman) «. «}#doc7444413 .lst-kix_list_4-0>li:before{content:»\0027a2 «}#doc7444413 ul.lst-kix_list_4-3{list-style-type:none}#doc7444413 ul.lst-kix_list_4-2{list-style-type:none}#doc7444413 ol.lst-kix_list_3-4.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_3-4 0}#doc7444413 .lst-kix_list_6-2>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_6-2}#doc7444413 ol.lst-kix_list_5-4.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_5-4 0}#doc7444413 .lst-kix_list_5-6>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_5-6}#doc7444413 .lst-kix_list_5-6>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_5-6,decimal) «. «}#doc7444413 .lst-kix_list_3-1>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_3-1,lower-latin) «. «}#doc7444413 ul.lst-kix_list_2-4{list-style-type:none}#doc7444413 ol.lst-kix_list_3-8.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_3-8 0}#doc7444413 ol.lst-kix_list_5-1.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_5-1 0}#doc7444413 ul.lst-kix_list_2-5{list-style-type:none}#doc7444413 ul.lst-kix_list_2-6{list-style-type:none}#doc7444413 .lst-kix_list_1-7>li:before{content:»\002022 «}#doc7444413 ul.lst-kix_list_2-7{list-style-type:none}#doc7444413 .lst-kix_list_5-5>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_5-5}#doc7444413 ul.lst-kix_list_2-0{list-style-type:none}#doc7444413 ul.lst-kix_list_2-1{list-style-type:none}#doc7444413 ol.lst-kix_list_3-1.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_3-1 0}#doc7444413 ol.lst-kix_list_5-2.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_5-2 0}#doc7444413 ul.lst-kix_list_2-2{list-style-type:none}#doc7444413 .lst-kix_list_3-1>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_3-1}#doc7444413 ul.lst-kix_list_2-3{list-style-type:none}#doc7444413 .lst-kix_list_6-7>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_6-7}#doc7444413 .lst-kix_list_5-1>li:before{content:»» counter(lst-ctn-kix_list_5-1,lower-latin) «. «}#doc7444413 ul.lst-kix_list_2-8{list-style-type:none}#doc7444413 ol{margin:0;padding:0}#doc7444413 .c9{line-height:1.1500000000000001;padding-top:0pt;height:11pt;margin-left:36pt;padding-bottom:0pt}#doc7444413 .c1{padding-left:0pt;line-height:1.1500000000000001;padding-top:0pt;margin-left:36pt;padding-bottom:0pt}#doc7444413 .c21{max-width:467.7pt;background-color:#ffffff;padding:35.4pt 42.5pt 42.6pt 85pt}#doc7444413 .c4{color:#7030a0;font-size:12pt;font-family:»Times New Roman»}#doc7444413 .c3{font-size:12pt;font-family:»Times New Roman»;font-weight:normal}#doc7444413 .c18{line-height:1.1500000000000001;padding-top:0pt;padding-bottom:10pt}#doc7444413 .c19{line-height:1.1500000000000001;padding-top:0pt;padding-bottom:0pt}#doc7444413 .c2{color:#7030a0;font-family:»Times New Roman»;font-weight:bold}#doc7444413 .c0{widows:2;orphans:2;direction:ltr}#doc7444413 .c8{font-size:12pt;font-family:»Times New Roman»}#doc7444413 .c11{font-size:14pt;font-family:»Times New Roman»}#doc7444413 .c5{padding-left:0pt;margin-left:36pt}#doc7444413 .c10{margin:0;padding:0}#doc7444413 .c15{color:#000000}#doc7444413 .c20{font-size:11pt}#doc7444413 .c13{height:11pt}#doc7444413 .c6{font-weight:bold}#doc7444413 .c17{font-style:italic}#doc7444413 .c14{font-family:»Times New Roman»}#doc7444413 .c7{font-size:20pt}#doc7444413 .c12{font-weight:normal}#doc7444413 .c16{margin-left:36pt}#doc7444413 .title{widows:2;padding-top:0pt;line-height:1.0;orphans:2;text-align:left;color:#000000;font-size:26pt;font-family:»Brush Script MT»;padding-bottom:15pt;page-break-after:avoid}#doc7444413 .subtitle{widows:2;padding-top:0pt;line-height:1.1500000000000001;orphans:2;text-align:left;color:#4f81bd;font-style:italic;font-size:12pt;font-family:»Brush Script MT»;padding-bottom:10pt;page-break-after:avoid}#doc7444413 li{color:#000000;font-size:11pt;font-family:»Brush Script MT»}#doc7444413 p{color:#000000;font-size:11pt;margin:0;font-family:»Brush Script MT»}#doc7444413 h2{widows:2;padding-top:24pt;line-height:1.1500000000000001;orphans:2;text-align:left;color:#000000;font-size:24pt;font-family:»Brush Script MT»;font-weight:bold;padding-bottom:6pt;page-break-after:avoid}#doc7444413 h3{widows:2;padding-top:10pt;line-height:1.1500000000000001;orphans:2;text-align:left;color:#4f81bd;font-size:13pt;font-family:»Brush Script MT»;font-weight:bold;padding-bottom:0pt;page-break-after:avoid}#doc7444413 h4{widows:2;padding-top:14pt;line-height:1.1500000000000001;orphans:2;text-align:left;color:#000000;font-size:14pt;font-family:»Brush Script MT»;font-weight:bold;padding-bottom:4pt;page-break-after:avoid}#doc7444413 h5{widows:2;padding-top:12pt;line-height:1.1500000000000001;orphans:2;text-align:left;color:#000000;font-size:12pt;font-family:»Brush Script MT»;font-weight:bold;padding-bottom:2pt;page-break-after:avoid}#doc7444413 h5{widows:2;padding-top:11pt;line-height:1.1500000000000001;orphans:2;text-align:left;color:#000000;font-size:11pt;font-family:»Brush Script MT»;font-weight:bold;padding-bottom:2pt;page-break-after:avoid}#doc7444413 h6{widows:2;padding-top:10pt;line-height:1.1500000000000001;orphans:2;text-align:left;color:#000000;font-size:10pt;font-family:»Brush Script MT»;font-weight:bold;padding-bottom:2pt;page-break-after:avoid}#doc7444413 ]]>

Слайд 1.

Тема нашего проекта – «Числа Фибоначчи».

Что привело нас к этой теме?

Еще в 5 классе мы знали только натуральные и дробные числа. В 6 классе наши знания о числах стали шире – мы познакомились с отрицательными числами. И у нас возник вопрос какие еще числа бывают? Изучая литературу по этому вопросу, нас заинтересовали числа Фибоначчи, и мы решили представить вам проект на эту тему.

И наметили план работы над проектом:

Слайд 2.

• Выяснить, какие числа изучают в школе;
• Дать определение чисел Фибоначчи;
• Место чисел Фибоначчи среди других чисел;
• Выяснить, какими свойствами обладают числа Фибоначчи

Слайд 3.

Цели проекта:

• Изучить историю возникновения чисел Фибоначчи;
• Исследовать свойства чисел Фибоначчи.

Слайд 4.

В школе мы познакомились с рациональными числами – к рациональным числам относятся натуральные числа, нуль, числа, противоположные натуральным, дробные (как положительные, так и отрицательные). Так же мы выяснили, что еще бывают иррациональные числа. Но это далеко не все виды чисел. В древности было открыто множество других. Один из древних видов чисел – это числа Фибоначчи.

Слайд 5.

Числа Фибоначчи – это последовательность чисел, в которой каждое число является суммой двух предыдущих. Последовательность Фибоначчи начинается так:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

Слайд 6.

Около 1170 г. родился Леонардо Пизанский. Он более известен, как сын Благонамеренного (по-итальянски figlio di Bonacci). По жизни он занимался торговлей и только там использовал математику. Во время поездки в Северную Африку он познакомился с работами мусульманских учёных, а именно с индо-арабской системой исчисления. Фибоначчи стал её сторонником и начал распространять её по всей Европе.

Слайд 7.

В 1202 г. Фибоначчи написал книгу, посвящённую вычислениям «Книгу абака» (абак – древний прибор для вычислений). Она продемонстрировала преимущества арабских чисел для вычислений, которые доминировали в то время в Италии. Книга положила конец использованию римских чисел в практике, но это произошло не сразу. В конце концов сторонники арабских цифр, победили.

Слайд 8.

Конечно, она содержала главы о ведении счетов, о распределении прибыли и убытков, а так же об обмене денег.

Но самым известным разделом книги является задача о размножении кроликов, решение которой известно сейчас как последовательность Фибоначчи.

Слайд 9.

«Сколько пар кроликов будет у нас через год, если в январе у нас была одна пара, которая каждый месяц производит на свет другую пару. Начиная с марта новая пара, в свою очередь, производит собственное потомство каждый месяц, начиная со второго месяца».

 Слайд 10.

1. Пусть имеется одна пара кроликов, по условию задачи у нее появляется потомство только со второго месяца.
2. Поэтому в следующем месяце у нас все еще одна пара кроликов.
3. В третьем месяце
4.  у первой пары появляется потомство.
5. Так как в задаче сказано, что потомство у кроликов появляется каждый месяц
6. В четвертом месяце первая пара опять дает потомство
7. Итого у нас уже три пары кроликов
8. В пятом месяце у первой пары
9. появляется потомство
10. И вторая пара тоже радует нас
11. новой парой кроликов
12. Итого в пятом месяце у нас уже пять пар кроликов
13. В шестом месяце снова первая пара
14. дает потомство
15. и вторая пара снова
16. дает потомство
17. третья пара
18. дает потомство
19. Итого в шестом месяце
20. У нас 8 пар кроликов

Слайд 11

Переходим к свойствам чисел Фибоначчи

Слайд 12.

Первое свойство

Если выбрать 10 соседних чисел из последовательности Фибоначчи и сложить их, всегда получится число, кратное 11.

Например,   Примеры зачитать

Слайд 13

Второе свойство

Каждая сумма любых десяти соседних чисел последовательности равна числу 11, умноженному на 7-ое число.

Например,

Сумма десяти последовательных чисел равна 605

В свою очередь, 605 это произведение 11 и седьмого числа из последовательности, а это число 55

Слайд 14

Третье свойство

1. Если пронумеровать все числа последовательности Фибоначчи, то легко заметить, что:

Сумма десяти первых чисел равна разности двенадцатого числа и первого

2. Первое число равно 1, двенадцатое – 144
3. Разность двенадцатого и первого чисел равна 143
4. Сумма первых десяти чисел так же равна 143
5. Это свойство можно использовать для нахождения суммы любого количества последовательных чисел
6. Например: сумма тридцати первых чисел равна тридцать второе число минус первое число

Слайд 15.

Четвертое свойство

Если выбрать три последовательных числа, то произведение крайних чисел будет на единицу больше или меньше, чем квадрат среднего числа.

 Например,    

Рассмотрим три числа – 3, 5, 8

Произведение 3 и 8 равно 24, а пять в квадрате – двадцать пять, а это на 1 больше, чем 24

Рассмотрим три других последовательных числа 5, 8, 13

Найдем произведение 5 и 13 – 65, а это на 1 больше, чем 8 в квадрате.

Слайд 16.

Пятое свойство

Если число последовательности является простым, то оно может занимать место, номер которого так же является простым.

Рассмотрим несколько первых чисел последовательности Фибоначчи

Число 2 занимает третье место (2 и 3 – простые числа), число пять занимает 5 место (5 – простое число), число 13 занимает 7 место (13 и 7 простые числа), число 89 занимает 11 место (89 и 11 – простые числа), 233 занимает 13 место (233 и 13 – простые числа)

Слайд 17

Отношение каждого числа к следующему приближается к 0,618.

Примеры зачитать

Слайд 18

Вывод: при подготовке проекта нами были поставлены цели:

• Изучить историю возникновения чисел Фибоначчи;

Ряд чисел Фибоначчи появился при решении задачи о размножении кроликов.

Вторая цель

• Исследовать свойства чисел Фибоначчи.

Числа Фибоначчи исследованы и найдены несколько свойств этих чисел,

каждое свойство подкреплено примером.  

Цель проекта достигнута.

Спасибо за внимание!!!

 

Числа Фибоначчи применяются при прогнозировании цены, на товарных, фондовых и валютных биржах,     этот вопрос нами не изучался глубоко, поскольку не являлся целью проекта.

Свойства чисел мы нашли в книге, а примеры для них приводили свои

Презентация к уроку по алгебре (9, 10, 11 класс) по теме: Числа Фибоначчи

Слайд 1

Работу выполнила ученица 11 «а» класса Баграева Диана Исследовательский проект по математике на тему «Числа Фибоначчи»

Слайд 2

*Узнать понятие чисел Фибоначчи *Происхождение чисел Фибоначчи * Ч исла Фибоначчи в природе *Числа Фибоначчи в культуре * Ч исла Фибоначчи в стихах *Числа Фибоначчи в музыке *Сделать опрос окружающих, знают ли они числа Фибоначчи * Сделать выводы по исследованию данного проекта Цели исследования:

Слайд 3

Понятие чисел Фибоначчи

Слайд 4

Числа Фибоначчи – это элементы последовательности, 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765… в которой первые два числа равны либо 1 и 1 ,либо 0 и 1 , а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Названы они в честь средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи).

Слайд 6

С числами Фибоначчи косвенно связана история «золотого» сечения.

Слайд 7

Золотое сечение — это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b : а.

Слайд 8

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор , древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Слайд 9

Происхождение чисел Фибоначчи

Слайд 10

Страница Книги абака(лат. Liber abaci ) Фибоначчи из национальной центральной библиотеки Флоренции. В правом блоке демонстрируется последовательность Фибоначчи . Позиции от 0 до 12 обозначены темным цветом римскими цифрами, а значения – красным цветом индо-арабскими цифрами. Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии,где она применялась в метрических науках( просодии,другими словами-стихосложении ) намного раньше,чем стала известна в Европе.

Слайд 11

Числа Фибоначчи в природе

Слайд 12

Филлотаксис(листорасположение) у растений описывается последовательностью Фибоначчи.

Слайд 13

Семена подсолнуха, сосновые шишки, лепестки цветов, ячейки ананаса также располагаются согласно последовательности Фибоначчи.

Слайд 14

Длины фаланг пальцев человека относятся примерно как числа Фибоначчи.

Слайд 15

Использование чисел Фибоначчи в культуре

Слайд 16

В сериале «Грань» ( Fringe) доктор Уолтер Бишоп перед сном повторял числа 233, 377, 610, 987, 1597, эти числа являются частью последовательности Фибоначчи.

Слайд 17

Американский писатель-фантаст Дэн Браун в книге «Код да Винчи» описал анаграмму на основе последовательности Фибоначчи.

Слайд 18

В фильме 2009 года «Господин Никто» в реальности, где Немо не родился, адрес заброшенного дома 12358, что является частью последовательности Фибоначчи. Номер телефона 123-581-1321 . по которому он должен позвонить Анне, также близок к этой последовательности(лишняя 1 в 581).

Слайд 19

В фильме «Двадцать одно» последовательность Фибоначчи представлена в виде надписи на торте.

Слайд 20

В финале сериала « Звёздный крейсер „Галактика“ » (2004) Кара Трейс набирает числа-координаты для сверхсветового прыжка. Последовательность, что она набирает (1123, 6536, 5321), являются числами Фибоначчи, а именно: 1123 и 5321.

Слайд 21

Числа Фибоначчи в стихах

Слайд 22

0112358… В начале-пустота . Возникла единица- Пусть это буду я, А рядом станешь ты. Мы сложимся- Нас станет двое. Возникнет третий, А за ним еще, Нас станет пять, Как пальцев на руке. Сложенье двух ближайших- Принцип ряда Фибоначчи Единственный. Так продолжая ряд, Дойдем и до великих чисел, Соотношение которых- «сеченье золотое»- Принцип совершенства! Алексей Головко

Слайд 23

Числа Фибоначчи в музыке

Слайд 24

«Фибоначчи» — название песни российской рок-группы «Сплин» из альбома «Обман зрения»(2012).

Слайд 25

У электронного музыканта Брайан Уэйн Трансо (ВТ) есть композиция « Fibonacci Sequence». В тексте называются числа из начала последовательности (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ).

Слайд 26

Опрос учащихся: -Знаете ли вы числа Фибоначчи ? ДА-10 человек НЕТ-35 человек -Как вы думаете, имеют ли что-то общее числа Фибоначчи в культуре и математике ? ДА-7 человек НЕТ-38 человек Всего опрошено : 45 человек

Слайд 27

Мы узнали, что такое числа Фибоначчи. Как их вычислять. Где они применяются : в кинофильмах, в природе, в музыке, в стихах. Мы опросили учащихся, знакомы ли они с числами Фибоначчи, и как показал наш маленький опрос, мало кто слышал о них. Благодаря этому маленькому исследованию, я узнала много нового для себя. Мне было интересно узнать где применяются числа Фибоначчи. Одно только название вызвало у меня интерес к этой работе. Выводы:

Статья по алгебре (9, 10 класс) на тему: Числа Фибоначчи

Числа Фибоначчи как другая сторона школьной математики

Предисловие

Данная работа сделана для того, чтобы познакомить и заинтересовать учеников средней и старшей школы с таким уникальным для школьной образовательной программы понятием, как «Числа Фибоначчи».

Уникальность данной темы во всём курсе школьной математики состоит в том, что она достаточно проста для понимания, и при этом и крайне наглядна и находит огромное число примеров в природе и мире в целом. Поэтому ей очень легко заинтересовать детей, в сравнении с другими, достаточно «сухими» и абстрактными разделами программы. А значит, числа Фибоначчи могут прекрасно помочь в привитии любви к такому непростому предмету как Математика.

Определения и немного истории

Начнём с точного «сухого» определения.

Итак, «Числа Фибоначчи» — это элементы бесконечной числовой последовательности: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих (см. рисунок № 1)

Рисунок № 1.

Есть также другие, более развёрнутые варианты определений «Чисел Фибоначчи», приведём некоторые из них.

«Числа Фибоначчи» — это целые натуральные числа, расположенные в числовой последовательности таким образом, что каждое последующее число является суммой двух предыдущих чисел, при этом в этом числовом ряде проявляются уникальные интересные свойства, выраженные в постоянных отношениях между отдельными членами последовательности и формировании некоторых постоянных коэффициентах, имеющих громадное научное и прикладное значение.

«Числа Фибоначчи» — это линейная рекуррентная последовательность натуральных чисел, где первое и второе числа равны единице, а каждое последующее число образуется как сумма двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, …, и так до бесконечности

Эти числа названы по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи). Родился Фибоначчи в период ориентировочно в 1170 году в городе Пиза. Отец его был купцом и очень часто бывал по торговым делам в Алжире. По желанию отца, который хотел, чтобы Леонардо стал хорошим торговцем, он переехал в Алжир и изучал там математику (искусство вычислений) у арабских учителей. Позже Фибоначчи посетил Египет, Сирию, Византию, Сицилию. Он ознакомился с достижениями античных и индийских математиков в арабском переводе. На основе усвоенных им знаний Фибоначчи написал ряд математических трактатов, представляющих собой выдающееся явление средневековой западноевропейской науки. Труд Леонардо Фибоначчи «Книга абака» способствовал распространению в Европе позиционной системы счисления, более удобной для вычислений, чем римская нотация. В этой книге были подробно исследованы возможности применения индийских цифр, ранее остававшиеся неясными, и даны примеры решения практических задач, в частности, связанных с торговым делом. Позиционная система приобрела в Европе популярность в эпоху Возрождения.

Эта закономерность в математике интересовала ещё одного ученого средневековья — Фому Аквинского (см. Рисунок 2). Движимый желанием «алгеброй гармонию измерить», учёный сделал вывод о прямой связи математики и красоты. Эстетические чувства, возникающие при созерцании гармоничных, пропорционально созданных природой объектов, Фома Аквинский объяснял тем же принципом суммационной последовательности. Она была известна еще древним грекам и египтянам. И действительно, с тех пор в природе, архитектуре, изобразительном искусстве, математике, физике, астрономии, биологии и многих других областях были найдены закономерности, описываемые коэффициентами Фибоначчи.

Рисунок 2 (Средневековый ученый Фома Аквинский)

Числа Фибоначчи вокруг нас

Если взглянуть на окружающий мир с точки зрения применения «Чисел Фибоначчи», то открываются удивительные факты и закономерности. Ряд Фибоначчи используют широко: с его помощью представляют архитектонику и живых существ, рукотворные сооружения и строение Галактик. Эти факты – свидетельства независимости числового ряда от условий его проявления, что является одним из признаков его универсальности.

Последовательность Фибоначчи обладает весьма любопытными особенностями, не последняя из которых — почти постоянная взаимосвязь между числами. Если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875… и через раз, то превосходящая, то не достигающая его. Но, даже затратив на это Вечность, невозможно узнать соотношение точно, до последней десятичной цифры. Краткости ради, его приводят в виде 1,618. Отношение каждого числа к последующему более и более стремится к 0,618 при увеличении порядкового номера. Отношение же каждого числа к предыдущему стремится к 1.618 (обратному к 0.618). Особые названия этому соотношению начали давать еще до того, как Лука Пачиоли (средневековый математик) назвал его Божественной пропорцией. Но на самом деле, Фибоначчи не является первооткрывателем своей последовательности. Дело в том, что коэффициент 1,618 или 0,618 был известен еще древнегреческим и древнеегипетским математикам. Среди его современных названий есть такие, как Золотое сечение, Золотой коэффициент, Золотое среднее и Отношение вертящихся квадратов.

Рисунок 3 (Золотой коэффициент)

Kеплеp назвал это соотношение одним из «сокровищ геометрии». В алгебре общепринято его обозначение греческой буквой фи Ф=1,618 (рисунок 4).

Рисунок 4 (Число Фи)

Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Его следы мы находим в музыке, изобразительном искусстве, архитектуре и биологии. Греки использовали принцип «золотого сечения» при строительстве Парфенона, египтяне – Великой пирамиды в Гизе. Свойства «золотого коэффициента» были хорошо известны Пифагору, Платону и Леонардо да Винчи.

Числа Фибоначчи обладают целым рядом интересных и важных свойств, а также математических соотношений. Рассмотрим некоторые из них:

Сумма n первых чисел Фибоначчи может быть вычислена по следующей формуле:

Формула суммы чисел Фибоначчи

Сумма чисел Фибоначчи с нечётными номерами вычисляется по следующей формуле:

Формула суммы чисел Фибоначчи с нечетными номерами

Сумма чисел Фибоначчи с чётными номерами вычисляется по следующей формуле:

Формула суммы чисел Фибоначчи с четными номерами

Сумма квадратов первых n чисел Фибоначчи вычисляется по следующей формуле:

Формула суммы квадратов чисел Фибоначчи

Приведенные формулы можно доказать при помощи сложения очевидных равенств. Рассмотрим несколько свойств чисел Фибоначчи, которые можно доказать, используя метод математической индукции.

Формулы некоторых свойств чисел Фибоначчи

И ещё одно любопытное свойство чисел Фибоначчи:

Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи;

Фрактальная сущность чисел Фибоначчи

Наряду с математическими свойствами чисел Фибоначчи, многими философами и математиками рассматривается и фрактальная сущность чисел Фибоначчи. Фрактал (лат. fractus – дроблёный, сломанный, разбитый) – математическое множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей).

Процедура образования фрактальных кривых

Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:

• Является самоподобным или приближённо самоподобным

Фрактальный кот Мандельброт

• обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину.

Фрактальные геометрические объекты

Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система, система альвеол человека или животных. Числа Фибоначчи известны с XIII века, однако настоящий к ним интерес возник в XX веке со времени формирования теории фракталов и возрождения работ с использованием «золотого сечения».

Ещё одним ярким примером использования чисел Фибоначчи, который в наше время зачастую можно услышать в сфере биржевой торговли, является универсальный инструмент в техническом анализе на международном валютном международном рынке Форекс, который так и называется «Уровни Фибоначчи» (рисунок 5). Числа Фибоначчи очень популярны в трейдерской среде. Они подтверждают волновую теорию Эллиотта, так любимую многими биржевыми игроками, служат для определения начала и конца коррекционного движения цен.

Рисунок 5 (Уровни Фибоначчи)

Уровни Фибоначчи состоят из линий, которые делятся на две части, так называемые две сетки. Первая сетка начинается от 0% и заканчивается на отметке 100%. На этом отрезке находятся те уровни, которые помогают нам определить окончание волны, которая началась от отметки 0%. Вторая сетка начинается от уровня 100% и заканчивается на отметке, которую выставит трейдер, обычно это уровень 400%. С помощью этой сетки можно отследить окончание волны, которая началась после окончания волны от 0%. Все линии, содержащиеся в уровнях Фибоначчи, играют рол уровней поддержки и сопротивления. Дойдя до таких уровней, цена от них отталкивается и возвращается на несколько пунктов ниже или выше, в зависимости от действующей сделки. Правильно использование уровней Фибоначчи покажет очень прибыльные места входа в рынок и выхода из рынка. Предполагается, что все ваши сделки обретут логику и будут приносить вам осознанную прибыль. Есть также в трейдинге такие понятия, как Веер Фибоначчи, дуги Фибоначчи.

Получение прибыли

Непосредственное отношение имеет последовательность Фибоначчи и к архитектуре, например, ещё известный зодчий В. Баженов сказал: «“Архитектура – главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания… К достижению сего служит руководством знание пропорции, перспектива, механика или вообще физика, а всем им общим вождем является рассудок”.

Восприятие человеком правильного соотношения и пропорции величин, оказывает на человека приятное впечатление. Что было доказано Немецким психологом Густавом Фехнером в 1876 г.. Он провел ряд экспериментов, показывая мужчинам и женщинам, юношам и девушкам, а также детям нарисованные на бумаге фигуры различных прямоугольников, предлагая выбрать из них только один, но производящий на каждого испытуемого самое приятное впечатление. Все выбрали прямоугольник, показывающий отношение двух его сторон в пропорции «золотого сечения».

Всё вышесказанное о числах Фибоначчи проявляются и в живых формах: например, числа левозакрученных и правозакрученных спиралей, вдоль которых располагаются семена подсолнуха. Аналогичные закономерности выявляются при изучении шишек и лепестков некоторых цветков и растений, а также наблюдаются в животном мире в строении раковин моллюсков.

Можно привести неисчислимое множество примеров закономерностей в нашем мире и во Вселенной, где мы увидим всё те же числа Фибоначчи. Заслуга математика Фибоначчи сына купца Боначчи состоит в том, что он смог систематизировать накопленные вековые знания и преподнести их в лёгкой и удобной форме. Но пройдёт еще добрых семьсот лет, прежде чем люди применят информацию о «золотом коэффициенте» к технике волнового конструирования рыночных взаимоотношений.

Заключение

Я считаю, что ознакомление с числами Фибоначчи, может стать прекрасным дополнением к образовательной школьной программе по математике. На, скажем, один урок основных занятий или на несколько занятий элективных курсов. Это поможет, как было сказано в предисловии, повысить интерес детей к изучению математики и объяснит им, что математика – это не просто сложные формулы, а сама фундаментальная основа, заложенная в природе и её законах.

Источники:

Интернет-ссылки:

http://economic-definition.com/Other_branches_of_mathematics/Chisla_Fibonachchi_Fibonacci_Numbers__eto.html#h4-10

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D0%B8