Производная функции на графике – Подготовка к ЕГЭ. Графики функций, производных функций. Исследование функции. — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 18.01.202029.12.2019 by alexxlab

Содержание

Функции и графики. Производная и первообразная

Понятие функции – одно из основных в математике. Более того – именно с функций и графиков начинается настоящая, «взрослая» математика. Ведь сложение и вычитание, умножение и деление, дроби и пропорции – это все-таки арифметика. Математика – наука не только о числах, но и о взаимосвязях величин. Функции и графики – универсальный язык, понятный физику и биохимику, астроному, инженеру и экономисту.

Знаете ли вы, что определение функции можно дать четырьмя способами, дополняющими друг друга? И все их надо знать. Подробно – здесь:

Что такое функция?

Что такое нули функции? Точки максимума и минимума функции? Промежутки возрастания и убывания? Какие функции называются монотонными и как это увидеть на графике? Об этом – в следующей статье:

Чтение графика функции

Материалы для старшеклассников и студентов:

Четные и нечетные функции

Периодические функции

Обратная функция

Существует всего 5 типов элементарных функций. Это степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Их графики и свойства надо знать наизусть. Любая функция, которую вы можете встретить в задачах ЕГЭ, относится к одному из пяти типов – или является их комбинацией.

Подробно о функциях:

Элементарные функции и их графики

Линейная функция

Квадратичная функция

Степенная функция

Показательная функция

Логарифмическая функция

Тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Как строить графики функций? Читайте наши материалы:

Преобразование графиков функций

Построение графиков функций

Производная функции – мощный математический инструмент. С помощью производной можно находить точки максимума и минимума функций и промежутки их возрастания и убывания. Можно более точно строить графики. Главное, что нужно запомнить:

производная – это скорость изменения функции.

Производная функции

Таблица производных

Первообразная функции

Задачи ЕГЭ на производную и ее применение – это задание 7 и задание 12.

Тема «Функции и графики» особенно полезна тем, кто сдает ЕГЭ на высокие баллы. Без них не решить задачи с параметрами. Зато, нарисовав график функции, вы можете сразу увидеть решение. Останется только записать его.

И если вы продолжите изучение математике в вузе — первая же лекция из курса математического анализа будет посвящена элементарным функциям и их графикам.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Производная функции. Геометрический и физический смысл

Категория: Справочные материалы

Елена Репина 2013-08-06 2014-01-11

Определение производной

Производной функции f(x) в точке x_0 называется предел отношения приращения функции $\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$

к приращению аргумента $\Delta x$ при $\Delta x\rightarrow 0$ , если этот предел существует.

Пример:

(x^2+1)

$=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta x(2x+\Delta x)}{\Delta x}=2x$

Но нет необходимости каждый раз пользоваться этим определением для нахождения производной…

Работу нам упростит таблица производных и правила дифференцирования.

Геометрический смысл производной

Если мы рассмотрим прямоугольный треугольник ABC , то заметим, что $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ есть tgBAC .

А при стремлении $\Delta x$ к нулю, точка будет приближаться к точке и секущая «превратится» в касательную к графику функции f(x) в точке .

Поэтому геометрический смысл производной таков:

Производная в точке x_0 () равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции f(x) в этой точке:

где $\alpha$ – угол наклона касательной (проведенной к f(x) в т. x_0 )

Физический смысл производной

Если точка движется вдоль оси и ее координаты изменяются по закону x(t) , то мгновенная скорость точки:

v(t)=x ,

а ускорение:

a(t)=v

Пример:

Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x(t) — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=9 .

Решение:

v(t)=x

$v(9)=12\cdot 9-48=60$ м/с

Ответ: 60.

Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику f(x) в точке x_0 :

y_k=f

Пример:

Составить уравнение касательной к графику функции $y=\frac{1}{3}x^3-4x+1$ в точке x_0=3 .

Решение:

2. $f(3)=\frac{1}{3}\cdot 3^3-4\cdot 3+1=9-12+1=-2;$

Ответ:

Смотрите также «Производная функции в точке. Знак производной и монотонность функции»

Автор: egeMax | Нет комментариев

egemaximum.ru

График второй производной

Рассмотрим, что можно сказать о функции, анализируя график ее второй производной.

Что мы знаем связи второй производной

с исходной функцией y=f(x)?

1) Функция y=f(x) выпукла вниз на промежутках, где вторая производная положительна

2) Функция y=f(x) выпукла вверх на промежутках, где вторая производная отрицательна

3) Функция y=f(x) имеет критические точки второго рода в точках, в которых вторая производная равна нулю или не существует (речь идет только о внутренних точках области определения функции. Точки на концах области определения не рассматриваем).

4) Функция y=f(x) имеет точки перегиба в точках, в которых вторая производная меняет знак.

5) С учетом того, что x0 — точка максимума функции f(x), если

точки максимума, если они есть, на графике второй производной лежат ниже оси OX.

Соответственно, x* — точка минимума функции f(x), если

поэтому точки минимума, если они есть, на графике второй производной лежат выше оси OX.

Пример.

На промежутках (x1; x2) и (x3;x5) вторая производная неотрицательна (в точке x4 она равна нулю, но смены знака нет). Значит, на этих промежутках функция y=f(x) выпукла вниз.

На промежутках (x2; x3) и (x5; x7) вторая производная отрицательна. Поэтому на этих промежутках функция y=f(x) выпукла вверх.

В точках x2, x3, x4, x5 вторая производная равна нулю, в точке x6 — не существует. Это — критические точки второго рода.

Производная меняет знак в точках x2, x3, x5. Следовательно, это — точки перегиба.

Функции и графики. Производная и первообразная

Производная функции. Геометрический и физический смысл

Определение производной

Пример:

Геометрический смысл производной

Физический смысл производной

Пример:

Уравнение касательной

Пример:

График второй производной

Добавить комментарий Отменить ответ