Задание 3.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции  .

Решение: + показать

Задание 4.

Най­ди­те  ми­ни­му­м функ­ции .

Решение: + показать

Задание 5.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции

Решение: + показать

Продолжение смотрите здесь.

Вы можете пройти тест по Задачам №12 (исследование функции без использования производной).

В какой точке значение производной набольшее

Дорогие друзья! В  группу заданий связанных с производной входят  задачи —  в условии дан график функции, несколько точек на этом графике и стоит вопрос:

В какой точке значение производной наибольшее (наименьшее)?

Данные задачи очень просты, не требуется никаких вычислений, решаются устно. Главное что необходимо – это понимать геометрический смысл производной, свойства производной для исследования функций. По представленным ссылкам вы можете повторить (изучить) материал на сайте, также краткая информация есть в справочнике.

Кратко повторим:

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной проходящей через эту точку графика.

Угловой коэффициент касательной в свою очередь равен тангенсу угла наклона этой касательной.

*Имеется ввиду угол между касательной и осью абсцисс.

Далее:

1. На интервалах возрастания функции производная имеет положительное значение.

2. На интервалах её убывания производная имеет отрицательное значение.

Рассмотрим следующий эскиз:

В точках 1,2,4 производная функции имеет отрицательное значение, так как данные точки принадлежат интервалам убывания.

В точках 3,5,6 производная функции имеет положительное значение, так как данные точки принадлежат интервалам возрастания.

Как видим, со значением производной всё ясно, то есть определить какой она имеет знак (положительный или отрицательный) в определённой точке графика совсем несложно.

При чём, если мы мысленно построим касательные в этих точках, то увидим, что прямые проходящие через точки  3, 5 и 6  образуют с осью оХ углы лежащие в пределах от  0 до 90^о, а прямые  проходящие через точки  1, 2 и 4   образуют с осью оХ углы в пределах от  90^о до 180^о.

*Взаимосвязь понятна: касательные проходящие через точки принадлежащие интервалам возрастания функции образуют с осью оХ острые углы, касательные проходящие через точки принадлежащие интервалам убывания функции образуют с осью оХ тупые углы.

Теперь важный вопрос!

А как изменяется значение производной? Ведь касательная в разных точках  графика непрерывной функции образует разные углы, в зависимости от того, через какую точку графика она проходит.

*Или, говоря простым языком, касательная расположена как бы «горизонтальнее» или «вертикальнее». Посмотрите:

Прямые образуют с осью оХ углы в пределах от 0 до 90^о

Прямые образуют с осью оХ  углы в пределах от 90^о до 180^о

Поэтому, если будут стоять вопросы:

— в какой из данных точек графика значение производной имеет наименьше значение?

— в какой из данных точек графика значение производной имеет наибольшее  значение?

то для ответа необходимо понимать, как изменяется значение тангенса угла касательной в пределах от 0 до 180^о.

*Как уже сказано, значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной к оси оХ.

Значение тангенса изменяется следующим образом:

При изменении угла наклона прямой от 0^о до 90^о  значение тангенса, а значит и производной, изменяется соответственно от 0 до +∞;

При изменении угла наклона прямой от  90^о до 180^о   значение тангенса, а значит и производной, изменяется соответственно  –∞ до 0.

Наглядно это видно  по графику функции тангенса:

Говоря простым языком:

При угле наклона касательной от 0^о до 90^о

Чем  он  ближе к 0^о, тем  больше значение производной будет близко к нулю (с положительной стороны).

Чем  угол  ближе к 90^о, тем больше значение производной будет увеличиваться  к  +∞.

При угле наклона касательной от 90^о до 180^о

Чем  он  ближе к 90^о, тем больше значение производной будет уменьшаться к  –∞.

Чем  угол  будет ближе к 180^о, тем больше значение производной будет близко к нулю (с отрицательной стороны).

317543. На рисунке изображен график функции y = f(x)  и  отмечены точки –2, –1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Имеем четыре точки: две из них принадлежат интервалам на которых функция убывает (это точки  –1 и 1) и две  интервалам на которых функция возрастает (это точки  –2 и 2).

Можем сразу же сделать вывод о том, что в точках –1 и 1 производная имеет отрицательное значение, в точках –2 и 2 она имеет положительное значение. Следовательно в данном случае необходимо проанализировать точки –2 и 2 и определить в какой из них  значении будет наибольшим. Построим касательные проходящие через указанные точки:

Значение тангенса угла между прямой a  и осью абсцисс будет больше значения тангенса угла между прямой b и этой осью. Это означает, что значение производной в точке  –2  будет наибольшим.

Ответим на следующий вопрос: в какой из точек –2, –1, 1 или 2 значение производной является наибольшим отрицательным? В ответе укажите эту точку.

Производная будет иметь отрицательное значение в точках, принадлежащим интервалам убывания, поэтому рассмотрим точки –2 и 1. Построим касательные проходящие через них:

Видим, что тупой угол между прямой b и осью оХ  находится «ближе» к 180^о, поэтому его тангенс  будет больше тангенса угла, образованного прямой а и осью оХ. 

Таким образом, в точке х = 1, значение производной будет наибольшим отрицательным.

317544. На рисунке изображен график функции y = f(x)  и отмечены точки –2, –1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Имеем четыре точки: две из них принадлежат интервалам, на которых функция убывает (это точки  –1 и 4) и две  интервалам, на которых функция возрастает (это точки  –2 и 1).

Можем сразу же сделать вывод о том, что в точках –1 и 4 производная имеет отрицательное значение, в точках  –2 и 1 она имеет положительное значение. Следовательно, в данном случае, необходимо проанализировать точки –1 и 4 и определить – в какой из них значении будет наименьшим. Построим касательные проходящие через указанные точки:

Значение тангенса угла между прямой a и осью абсцисс будет больше значения тангенса угла между прямой b и этой осью. Это означает, что значение производной в точке  х = 4  будет наименьшим.

Ответ: 4

Надеюсь, что «не перегрузил» вас количеством написанного. На самом деле, всё очень просто, стоит только понять свойства  производной, её геометрический смысл и как изменяется значение тангенса угла от 0 до 180^о.

Общие рекомендации:

1. Сначала определите знаки производной в данных точках  (+ или -) и выберете необходимые точки (в зависимости от поставленного вопроса).

2. Постройте касательные в этих точках.

3. Пользуясь графиком тангесоиды, схематично отметьте углы и отобразите соответствующие им значения.

4. Далее в зависимости от поставленного вопроса в задаче, вы без труда определите точку.

*Если вы понимаете, как изменяется значение тангенса, то можно обойтись без  графика.

На этом всё. Успехов Вам!

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Исследование функций без помощи производной | LAMPA

Квадратичная функция

Логарифмическая функция

Показательная функция

О чем задача?

Задачи на поиск , а также наибольших и наименьших значений функций без помощи . Как правило, исследуемая функция является и любой , в частности f(x)=xf(x)=\sqrt{x}f(x)=x​, f(x)=logax\,\,f(x)=\log_a xf(x)=loga​x и f(x)=axf(x)=a^xf(x)=ax.

Найдите наименьшее значение функции y=log3(x2−26x+898)−8y=\log_3 (x^2-26x+898)-8y=log3​(x2−26x+898)−8.

Как решать?

Шаг 1. Представьте исследуемую функцию в виде композиции двух функций

Сначала необходимо убедиться в том, что вы исследуете функцию, точки экстремума которой можно найти без помощи производной. Для этого представьте исходную функцию y=h(x)y=h(x)y=h(x) в виде y=h(x)=f(g(x))y=h(x)=f(g(x))y=h(x)=f(g(x)). Если функция y=f(u)y=f(u)y=f(u) монотонна, а функция u=g(x)u=g(x)u=g(x) — квадратичная или любая другая функция, точки экстремума которой вы можете найти без производной, то и для исследования исходной функции y=h(x)y=h(x)y=h(x) производная вам не потребуется.

В нашем случае y=h(x)=f(g(x))y=h(x)=f(g(x))y=h(x)=f(g(x)), где y=f(u)=log3u−8y=f(u)=\log_3 u — 8y=f(u)=log3​u−8 — монотонная функция, а u=g(x)=x2−26x+898u=g(x)=x^2-26x+898u=g(x)=x2−26x+898 — квадратичная функция.

Шаг 2. Найдите точку максимума или минимума функции u=g(x)u=g(x)u=g(x)

Так как функция y=f(u)y=f(u)y=f(u) монотонна, исходная функция y=h(x)=f(g(x))y=h(x)=f(g(x))y=h(x)=f(g(x)) достигает максимума или минимума в той же точке, что и функция u=g(x)u=g(x)u=g(x).

Если функция u=g(x)u=g(x)u=g(x), то есть имеет вид u=ax2+bx+cu=ax^2+bx+cu=ax2+bx+c, то она имеет точку экстремума при x=−b2ax=-\frac{b}{2a}x=−2ab​. Это точка максимума, если a<0a\lt 0a<0, и точка минимума, если a>0a\gt 0a>0.

Функция u=g(x)=x2−26x+898u=g(x)=x^2-26x+898u=g(x)=x2−26x+898 достигает минимума при x=−−262=13x=-\frac{-26}{2}=13x=−2−26​=13.

Это и есть решение задач на поиск точек максимума и минимума.

Шаг 3. Вычислите наибольшее или наименьшее значение функции

Этот шаг надо выполнить только в задачах на поиск наибольшего или наименьшего значения функции.

Найдем значение исходной функции y=log3(x2−26x+898)−8y=\log_3 (x^2-26x+898)-8y=log3​(x2−26x+898)−8 при x=13x=13x=13.
Сначала вычислим значение g(13)=132−26⋅13+898=132−2⋅132+898=898−169=729.g(13)=13^2-26\cdot 13+898=13^2-2\cdot 13^2+898=898-169=729.g(13)=132−26⋅13+898=132−2⋅132+898=898−169=729.Теперь вычислим значение ymin=log3729−8=log3(36)−8=6−8=−2.y_{\min}=\log_3 729 -8=\log_3 (3^6)-8=6-8=-2.ymin​=log3​729−8=log3​(36)−8=6−8=−2. Наименьшее значение функции равно −2-2−2.