Прямая пропорция и обратная пропорция: Урок 7. прямая и обратная пропорциональность. решение задач — Математика — 6 класс

Содержание

Урок 7. прямая и обратная пропорциональность. решение задач - Математика - 6 класс

Математика

6 класс

Урок № 7

Прямая и обратная пропорциональность. Решение задач

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Понятия прямой и обратной пропорциональной зависимости.
  • Краткая запись условия задачи.
  • Составление и решение пропорций по условию задачи.
  • Решение задач на прямую и обратную пропорциональную зависимость.

Тезаурус

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Основная литература

  1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.

Дополнительная литература

  1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
  2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Прямая пропорциональность.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

Обратная пропорциональность.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Для решения задач на пропорциональную зависимость, удобно составить таблицу или сделать краткую запись условия.

Столбцы таблицы соответствуют наименованиям зависимых величин.

Строки таблицы соответствуют значениям величин при первом и втором измерении.

Одинаково направленные стрелки показывают прямо пропорциональную зависимость, противоположно направленные – обратно пропорциональную.

Задача.

Поезд, скорость которого 55 км/ч, был в пути 5 часов. За сколько часов пройдёт этот же участок пути товарный поезд, скорость которого 45 км/ч?

Решение.

При постоянном пути скорость и время движения обратно пропорциональны.

Допустим, товарный поезд пройдёт этот же путь со скоростью 45 км/ч за x ч.

Сделаем краткую запись условия.

Задача.

Двигаясь с постоянной скоростью, велогонщик проезжает 40 метров за 3 с. Какой путь проедет велогонщик за 45 с?

Решение.

При постоянной скорости путь прямо пропорционален времени движения.

Пусть х м проедет велогонщик за 45 с.

Сделаем краткую запись условия.

Задача.

Усилие при восхождении на высоту 600 м равно усилию, требуемому для перехода 25 км по равнине. Турист поднялся в горы на 792 м. Какому расстоянию на равнине соответствует этот подъём?

Решение:

Решение.

Задача.

Четыре программиста могут написать игру за 12 месяцев. За сколько месяцев эту работу могут выполнить три программиста?

Решение.

Количество программистов и скорость написания игры – это обратно пропорциональная зависимость.

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Подстановка элементов в пропуски в тексте.

Подставьте нужные элементы в пропуски.

Пешеход шёл 3 часа со скоростью 8 км/ч. За сколько часов он пройдёт то же расстояние со скоростью 6 км/ч?

Решение:

При фиксированном расстоянии время в пути и скорость – ______ пропорциональны.

Пусть _____ часов – пешеход идёт со скоростью 6 км/ч.

Составим пропорцию:

_________

х=_______

х=_______(ч).

Правильный ответ.

Решение:

При фиксированном расстоянии время в пути и скорость – обратно пропорциональны.

Пусть х часов – пешеход идёт со скоростью 6 км/ч.

№ 2. Подстановка элементов в пропуски в таблице.

Заполните таблицу.

Поезд движется со скоростью 45 км/ч. Какое расстояние он пройдёт, если будет в пути 3 ч; 4 ч; 5 ч; 6 ч.

Варианты ответов:

135 км;

180 км;

225 км;

270 км.

Решение.

При постоянной скорости пройденный путь и время прямо пропорциональны. Скорость движения поезда 45 км/ч означает, что за 1 час поезд преодолевает расстояние в 45 км. Обозначим за x км – расстояние, которое поезд пройдёт за 3, 4, 5 и 6 часов.

Таким же способом находим расстояние, которое пройдёт поезд за 4, 5 и 6 часов, и подставляем соответствующие варианты в таблицу.

Ответ:

Прямая и обратная пропорциональность. Формулы, обозначение, примеры

 

Основные определения

Математическая зависимость — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент из другого множества.

Виды зависимостей:

  • Прямая зависимость. Чем больше одна величина, тем больше вторая. Чем меньше одна величина, тем меньше вторая величина.
  • Обратная зависимость. Чем больше одна величина, тем меньше вторая. Чем меньше одна величина, тем больше вторая.

Зависимости также можно классифицировать по формам: функциональная и статистическая.

Функциональная зависимость между двумя переменными величинами характеризуется тем, что каждому значению одной из них соответствует вполне определенное и единственное значение другой.

В математике функциональной зависимостью переменной Y от переменной Х называют зависимость вида y = f(x), где каждому допустимому значению X ставится в соответствие по определенному правилу единственно возможное значение Y.

Статистическая зависимость — это зависимость случайных величин, когда изменение одной переменной приводит к изменению другой.

Если изменение одной из случайных величин влечет изменение среднего другой случайной величины, то статистическую зависимость называют корреляционной. Сами случайные величины, связанные корреляционной зависимостью, оказываются коррелированными.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин. Пропорциональными называются две взаимно-зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.

Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз. Проще говоря — это зависимость одного числа от другого.

Есть две разновидности пропорциональностей:

  • Прямая пропорциональность. Это зависимость, при которой увеличение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А уменьшение одно числа ведет к уменьшению другого во столько же раз.
  • Обратная пропорциональность. Это зависимость, при которой уменьшение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А увеличение числа наоборот ведет к уменьшению другого во столько же раз.

Коэффициент пропорциональности — это неизменное отношение пропорциональных величин. Он показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. Коэффициент пропорциональности обозначается латинской буквой k.

 

Прямо пропорциональные величины

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

Прямая пропорциональность в виде схемы: «больше — больше» или «меньше — меньше».


Свойство прямо пропорциональной зависимости:

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Примеры прямо пропорциональной зависимости:

  • при постоянной скорости пройденный маршрут прямо-пропорционально зависит от времени;
  • периметр квадрата и его сторона — прямо-пропорциональные величины;
  • стоимость конфет, купленных по одной цене, прямо-пропорционально зависит от их количества.

Если говорить метафорами, то прямую пропорциональную зависимость можно отличить от обратной по пословице: «Чем дальше в лес, тем больше дров». Что значит, чем дольше ты идешь по лесу, тем больше дров можно собрать.

Формула прямой пропорциональности

y = kx,

где y и x — переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

y/x = k

Графиком прямо пропорциональной зависимости величин является прямая линия.

Например, при k = 2 график выглядит так:


Пример 1.

В одно и то же путешествие поехали два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найти скорость второго автомобиля.

Как решаем:

 
  1. Вспомним формулу для определения пути через скорость и время: S = V * t.

  2. Так как оба автомобиля проделали одинаковый путь, можно составить пропорцию из двух выражений: 70 * 2 = V * 7

  3. Найдем скорость второго автомобиля: V = 70 * 2/7 = 20

Ответ: 20 км/ч.

Пример 2.

Блогер за 8 дней может написать 14 постов. Сколько помощников ему понадобится, чтобы написать 420 постов за 12 дней?

Как рассуждаем:

Количество человек (блогер и помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если ее нужно сделать за то же количество времени.

Если разделить 420 на 14, узнаем, что объем увеличивается в 30 раз.

Но так как по условию задачи на работу дается больше времени, то количество помощников увеличивается не в 30 раз. Таким образом:

  • х = 1 (блогер) * 30 (раз) : 12/8 (дней).
  • х = 1 * 30 : 12/8
  • х = 20

Ответ: 20 человек напишут 420 постов за 12 дней.

 

Обратно пропорциональные величины

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.

Объясним, что значит обратно пропорционально в виде схемы: «больше — меньше» или «меньше — больше».


Свойство обратной пропорциональности величин:

Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Примеры обратно пропорциональной зависимости:

  • время на маршрут и скорость, с которой путь был пройден — обратно пропорциональные величины;
  • при одинаковой продуктивности количество школьников, решающих конкретную задачу, обратно пропорционально времени выполнения этой задачи;
  • количество конфет, купленных на определенную сумму денег, обратно пропорционально их цене.

Формула обратной пропорциональности

y = k/x

где y и x — это переменные величины,

k — постоянная величина, которую называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

xy = k.

Графиком обратно пропорциональной зависимости величин является гипербола.


Свойства функции обратной пропорциональности:
 
  1. Область определения — множество всех действительных чисел, кроме x = 0.

    D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).


  2. Область значений — все действительные числа, кроме y = 0.

    Е(у): (-∞; 0) U (0; +∞).


  3. Не имеет наибольших и наименьших значений.

  4. Является нечетной, и ее график симметричен относительно начала координат.

  5. Непериодическая.

  6. Ее график не пересекает оси координат.

  7. Не имеет нулей.

  8. Если k > 0 (аргумент возрастает), функция пропорционально убывает на каждом из своих промежутков. Если k < 0 (аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.

  9. При возрастании аргумента (k > 0) отрицательные значения функции находятся в промежутке (-∞; 0), а положительные — (0; +∞). При убывании аргумента (k < 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные — (-∞; 0).

Потренируемся

Пример 1. 24 человека за 5 дней раскрутили канальчик в ютубе. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

Как рассуждаем:

 
  1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

  2. Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.

  3. Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:

Как решаем:

 
  1. Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию: 30 : 24 = 5 : х

  2. Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член: х = 24 * 5 : 30; х = 4

  3. Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.

Ответ: за 4 дня.

Пример 2. Автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Как рассуждаем:

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

Обозначим: =

v1 = 75 км/ч

v2 = 52 км/ч

t1 = 13 ч

t2 = х

Как решаем:

 
  1. Составим пропорцию: v1/v2 = t2/t1.

    Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.


  2. Подставим известные значения: 75/52 = t2/13

Ответ: 18 часов 45 минут.

Прямая и обратная пропорциональность. Математика, 6 класс: уроки, тесты, задания.

1. Пропорциональные и непропорциональные величины

Сложность: лёгкое

1
2. Зависимость между величинами

Сложность: лёгкое

1
3. Величины

Сложность: лёгкое

2
4. Формулы. Прямая пропорциональность

Сложность: среднее

3
5. Формулы. Обратная пропорциональность

Сложность: среднее

3
6. Лишняя формула

Сложность: среднее

2
7. Прямо пропорциональные величины, таблица

Сложность: среднее

4
8. Таблица и формула (десятичные дроби)

Сложность: среднее

4
9. Таблица, формула (целые числа)

Сложность: среднее

5

Прямая и обратная пропорциональность. Коэффициент и формулы

Пропорциональность — это зависимость одной величины от другой, при которой изменение одной величины приводит к изменению другой во столько же раз.

Пропорциональность величин может быть прямой и обратной.

Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой одна величина зависит от второй величины так, что их отношение остаётся неизменным. Такие величины называются прямо пропорциональными или просто пропорциональными.

Рассмотрим пример прямой пропорциональности на формуле пути:

s = vt,

где  s  — это путь,  v  — скорость, а  t  — время.

При равномерном движении путь пропорционален времени движения. Если взять скорость  v  равной  5 км/ч,  то пройденный путь  s  будет зависеть только от времени движения  t:

Скорость v = 5 км/ч
Время t (ч)124816
Путь s (км)510204080

Из примера видно, что во сколько раз увеличивается время движения  t,  во столько же раз увеличивается пройденное расстояние  s.  В примере мы увеличивали время каждый раз в 2 раза, так как скорость не менялась, то и расстояние увеличивалось тоже в два раза.

В данном случае скорость  (v = 5 км/ч)  является коэффициентом прямой пропорциональности, то есть отношением пути ко времени, которое остаётся неизменным:

следовательно,

5  = 10  = 20  = 40  = 80  = 5.
124816

Если время движения остаётся неизменным, то при равномерном движении расстояние будет пропорционально скорости:

Время  t = 2 ч
Скорость  v (км/ч)5154590
Расстояние  s (км)103090180

В этом примере коэффициентом прямой пропорциональности, то есть, отношением пути к скорости, которое остаётся неизменным, является время  (t = 2 ч):

следовательно,

10  = 30  = 90  = 180  = 2.
5154590

Из данных примеров следует, что две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

Формула прямой пропорциональности

Формула прямой пропорциональности:

y = kx,

где  y  и  x  — это переменные величины, а  k  — это постоянная величина, называемая коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных  y  и  x  равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

Обратная пропорциональность

Обратная пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой увеличение одной величины приводит к пропорциональному уменьшению другой. Такие величины называются обратно пропорциональными.

Рассмотрим пример обратной пропорциональности на формуле пути:

s = vt,

где  s  — это путь,  v  — скорость, а  t  — время.

При прохождении одного и того же пути с разной скоростью движения время будет обратно пропорционально скорости. Если взять путь  s  равным  120 км,  то потраченное на преодоление этого пути время  t  будет зависеть только от скорости движения  v:

Путь  s = 120 км
Скорость  v (км/ч)10204080
Время  t (ч)12631,5

Из примера видно, что во сколько раз увеличивается скорость движения  v,  во столько же раз уменьшается время  t.  В примере мы увеличивали скорость движения каждый раз в 2 раза, а так как расстояние, которое нужно преодолеть, не менялось, то количество времени на преодоление данного расстояния сокращалось тоже в два раза.

В данном случае путь (s = 120 км) является коэффициентом обратной пропорциональности, то есть произведением скорости на время:

s = vt,

следовательно,

10 · 12 = 20 · 6 = 40 · 3 = 80 · 1,5 = 120.

Из данного примера следует, что две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Формула обратной пропорциональности

Формула обратной пропорциональности:

где  y  и  x  — это переменные величины, а  k  — это постоянная величина, называемая коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных  y  и  x,  равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

xy = k.

6 класс. Математика. Прямая и обратная пропорциональные зависимости - Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Комментарии преподавателя

Част­ное двух чисел на­зы­ва­ют от­но­ше­ни­ем этих чисел.

Про­пор­ция – это ра­вен­ство двух от­но­ше­ний.

Ве­ло­си­пе­дист за 3 часа про­ез­жа­ет 75 ки­ло­мет­ров. За сколь­ко вре­ме­ни он про­едет 150 ки­ло­мет­ров с той же ско­ро­стью?

Пер­вым дей­стви­ем най­дем ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста. Затем узна­ем время, за ко­то­рое он про­едет 150 км.

Из ре­ше­ния видно, что при дви­же­нии с одной и той же ско­ро­стью ве­ло­си­пе­дист за боль­шее время прой­дет боль­шее рас­сто­я­ние. Во сколь­ко раз боль­ше прой­ден­ный путь, во столь­ко раз боль­ше за­тра­чен­ное на него время. Такие ве­ли­чи­ны на­зы­ва­ют прямо про­пор­ци­о­наль­ны­ми.

Опре­де­ле­ние.

Две ве­ли­чи­ны на­зы­ва­ют прямо про­пор­ци­о­наль­ны­ми, если при уве­ли­че­нии одной из них в несколь­ко раз дру­гая уве­ли­чи­ва­ет­ся во столь­ко же раз.

Мо­то­цик­лист про­ехал 3 часа со ско­ро­стью 60 км/ч. За сколь­ко часов он про­едет то же рас­сто­я­ние со ско­ро­стью 45 км/ч?

Пер­вым дей­стви­ем най­дем длину прой­ден­но­го пути. Вто­рым дей­стви­ем – время дви­же­ния со ско­ро­стью 45 км/ч.

Мо­то­цик­лист про­ехал одно и то же рас­сто­я­ние. Во сколь­ко раз ско­рость мо­то­цик­ли­ста боль­ше, во столь­ко раз мень­ше за­тра­чен­ное на дви­же­ние время. Такие ве­ли­чи­ны на­зы­ва­ют об­рат­но про­пор­ци­о­наль­ны­ми.

Опре­де­ле­ние.

Две ве­ли­чи­ны на­зы­ва­ют об­рат­но про­пор­ци­о­наль­ны­ми, если при уве­ли­че­нии одной из них в несколь­ко раз дру­гая умень­ша­ет­ся во столь­ко же раз.

Длина сто­ро­ны квад­ра­та и пе­ри­метр свя­за­ны пря­мой про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью. Пе­ри­метр квад­ра­та – это сумма длин че­ты­рех его рав­ных сто­рон. Если длину сто­ро­ны уве­ли­чить в несколь­ко раз, то пе­ри­метр уве­ли­чит­ся во столь­ко же раз.

Длина и ши­ри­на пря­мо­уголь­ни­ка (при за­дан­ной пло­ща­ди) свя­за­ны об­рат­ной про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка – это про­из­ве­де­ние длины и ши­ри­ны. По­это­му, чтобы пло­щадь оста­ва­лась неиз­мен­ной при уве­ли­че­нии длины в несколь­ко раз, надо ши­ри­ну умень­шить во столь­ко же раз.

Ско­рость ав­то­мо­би­ля и путь, ко­то­рый он про­едет за опре­де­лен­ное время, свя­за­ны пря­мой про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью. Время в дан­ном слу­чае – ве­ли­чи­на по­сто­ян­ная, по­это­му при боль­шей ско­ро­сти ав­то­мо­биль прой­дет боль­ший путь.

Воз­раст де­ре­ва и его вы­со­та не свя­за­ны про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью. В этом слу­чае за­ви­си­мость между ве­ли­чи­на­ми есть. Дей­стви­тель­но, вы­со­та де­ре­ва с воз­рас­том уве­ли­чи­ва­ет­ся, но не во столь­ко же раз.

Сто­и­мость то­ва­ра, куп­лен­но­го по одной цене, и его ко­ли­че­ство свя­за­ны пря­мой про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью. Чем боль­шее ко­ли­че­ство то­ва­ра ку­пи­ли, тем боль­шее ко­ли­че­ство денег на него по­тра­ти­ли.

Воз­раст че­ло­ве­ка и раз­мер его обуви не свя­за­ны про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью. За­ви­си­мость между ве­ли­чи­на­ми есть. Раз­мер обуви с воз­рас­том уве­ли­чи­ва­ет­ся, но не во столь­ко же раз.

Дробь и ее зна­ме­на­тель (при по­сто­ян­ном чис­ли­те­ле) свя­за­ны об­рат­ной про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью. Чем боль­ше зна­ме­на­тель, тем мень­ше дробь при по­сто­ян­ном чис­ли­те­ле.

Дробь и ее чис­ли­тель (если зна­ме­на­тель не из­ме­ня­ет­ся) свя­за­ны пря­мой про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью.

Вес­ной при про­ве­де­нии работ по озе­ле­не­нию го­ро­да на улице по­са­ди­ли липы. При­ня­лось 95% всех по­са­жен­ных лип. Сколь­ко по­са­ди­ли лип, если при­ня­лось 57 лип?

Ве­ли­чи­ны, о ко­то­рых го­во­рит­ся в за­да­че, свя­за­ны пря­мой про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью. Со­ста­вим крат­кое усло­вие за­да­чи, за­пи­шем про­пор­цию и решим ее.

Стрел­ки в крат­кой за­пи­си на­прав­ле­ны в одну сто­ро­ну. Их на­прав­ле­ние го­во­рит о том, что если пер­вая ве­ли­чи­на воз­рас­та­ет (стрел­ка вверх), то и вто­рая тоже воз­рас­та­ет (стрел­ка тоже вверх).

Для отоп­ле­ния зда­ния школы за­го­то­ви­ли угля на 180 дней при норме рас­хо­да 0,6 т в день. На сколь­ко дней хва­тит за­па­са, если рас­ход еже­днев­но со­ста­вит 0,5 т?

Стрел­ки в крат­кой за­пи­си на­прав­ле­ны в раз­ные сто­ро­ны. . Их на­прав­ле­ние го­во­рит о том, что если пер­вая ве­ли­чи­на воз­рас­та­ет (стрел­ка вверх), то вто­рая убы­ва­ет (стрел­ка вниз). Для каж­до­го стол­би­ка таб­ли­цы со­ста­вим от­но­ше­ние верх­не­го эле­мен­та к ниж­не­му, т. к. стрел­ки на­прав­ле­ны в раз­ные сто­ро­ны, одно из от­но­ше­ний пе­ре­во­ра­чи­ва­ем и при­рав­ни­ва­ем то, что по­лу­чи­лось.

Эту за­да­чу и ана­ло­гич­ные ей можно ре­шить, и не вы­пи­сы­вая про­пор­цию в явном виде.

В же­лез­ной руде на 7 ча­стей же­ле­за при­хо­дит­ся 3 части при­ме­сей. Сколь­ко тонн при­ме­сей в руде, ко­то­рая со­дер­жит 73,5 т же­ле­за?

Стрел­ки в крат­кой за­пи­си на­прав­ле­ны в одну сто­ро­ну. Их на­прав­ле­ние го­во­рит о том, что если пер­вая ве­ли­чи­на воз­рас­та­ет (стрел­ка вверх), то и вто­рая тоже воз­рас­та­ет (стрел­ка тоже вверх). Для каж­до­го стол­би­ка таб­ли­цы со­ста­вим от­но­ше­ние верх­не­го эле­мен­та к ниж­не­му, т. к. стрел­ки на­прав­ле­ны в одну сто­ро­ну, при­рав­ни­ва­ем по­лу­чен­ные от­но­ше­ния. Со­став­ля­ем про­пор­цию. Ре­ша­ем ее. Итак, ответ – 31,5 кг при­ме­сей.

Если две ве­ли­чи­ны прямо про­пор­ци­о­наль­ны, то от­но­ше­ние со­от­вет­ству­ю­щих зна­че­ний этих ве­ли­чин равны. Если две ве­ли­чи­ны об­рат­но про­пор­ци­о­наль­ны, то их про­из­ве­де­ние по­сто­ян­но и не равно нулю

Прин­тер рас­пе­ча­ты­ва­ет 27 стра­ниц за 4,5 ми­ну­ты. За какое время он рас­пе­ча­та­ет 300 стра­ниц?

За­ви­си­мость между ко­ли­че­ством на­пе­ча­тан­ных стра­ниц и вре­ме­нем прямо про­пор­ци­о­наль­ная. Со­ста­вим про­пор­цию и решим ее.

 

Ав­то­мо­биль про­ехал 310 ки­ло­мет­ров, ис­тра­тив 25 лит­ров бен­зи­на. Какое рас­сто­я­ние может про­ехать ав­то­мо­биль с пол­ным баком, вме­ща­ю­щим 40 лит­ров бен­зи­на?

Чем боль­шее рас­сто­я­ние про­едет ав­то­мо­биль, тем боль­ше бен­зи­на он по­тра­тит. Со­от­вет­ствен­но, за­ви­си­мость между ве­ли­чи­на­ми прямо про­пор­ци­о­наль­ная.

Пят­на­дцать ра­бо­чих вы­пол­ня­ют заказ за 4 дня. Сколь­ко нужно ра­бо­чих, чтобы вы­пол­нить тот же заказ за 3 дня?

Для того чтобы вы­пол­нить заказ быст­рее, ко­ли­че­ство ра­бо­чих нужно уве­ли­чить. Со­от­вет­ствен­но, за­ви­си­мость об­рат­но про­пор­ци­о­наль­ная.

источник конспекта - http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/otnosheniya-i-proporcii/pryamaya-i-obratnaya-proportsionalnye-zavisimosti

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=ALSAtOueOSw

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=buKHM8w_l4M

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=FtTrBSJz0AY

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=YMuRx7h3Mus

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=6ADjiJrSAtQ

источник презентации - http://ppt4web.ru/matematika/prjamaja-i-obratnaja-proporcionalnye-zavisimosti.html

Обратно пропорциональная зависимость | Математика

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз. Соответственно, при уменьшении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

Зависимость между такими величинами — обратно пропорциональная зависимость. Примеры обратной пропорциональной зависимости:

1)  время, затраченное на прохождение определенного пути, и скорость, с которой этот путь был пройден — обратно пропорциональные величины;

2) при одинаковой производительности труда количество рабочих, выполняющих определенную работу, обратно пропорционально  времени выполнения этой работы;

3) количество товара, купленного на определенную сумму денег,  обратно пропорционально его цене.

Чтобы отличить обратно пропорциональную зависимость от прямой, можно использовать пословицу: «Тише едешь — дальше будешь».

Задачи на обратно пропорциональные величины удобно решать с помощью пропорции.

Рассмотрим примеры задач на обратно пропорциональную зависимость.

1) 24 человека за 5 дней пропололи участок. За сколько дней выполнит ту же работу 30 человек, если будут работать с той же производительностью?

(Рассуждаем так:

1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы. Значит, это — обратно пропорциональная зависимость.

3. Поэтому вторая стрелка имеет противоположное направление).

Решение:

Пусть за х дней могут прополоть участок 30 человек. Составляем пропорцию (в направлении от начала стрелки к ее концу):

   

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, надо произведение средних членов разделить на известный крайний член:

   

24 и 30  сокращаем на 6, 5 и 5 — на 5:

   

Значит, 30 человек выполнят эту работу за 4 дня.

Ответ: за 4 дня.

2) Для перевозки груза автомашине грузоподъемностью 7,5 тонн пришлось сделать 12 рейсов. Сколько рейсов понадобится сделать автомашине грузоподъемностью 9 тонн для перевозки этого же груза?

(1. В заполненном столбце ставим стрелку в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем больше грузоподъемность машины, тем меньше рейсов ей нужно сделать, чтобы перевезти груз. Значит, это — обратно пропорциональная зависимость.

3. Поэтому вторая стрелка имеет противоположное направление).

Решение:

Пусть х рейсов потребуется машине грузоподъемностью 9 тонн, чтобы перевезти груз. Составляем пропорцию (от начала стрелки к ее концу):

   

   

   

Значит, понадобится 10 рейсов.

Ответ: 10 рейсов.

Прямая и обратная пропорциональная зависимость — Kid-mama

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Проще всего понять прямо пропорциональную зависимость на примере станка, изготавливающего детали с постоянной скоростью. Если за два часа он делает 25 деталей, то за 4 часа он изготовит деталей вдвое больше — 50. Во сколько раз дольше времени он будет работать, во столько же раз больше деталей он изготовит.

Математически это выглядит так:                      

  4 : 2 = 50 : 25    или так:         2 : 4 = 25 : 50

Прямо пропорциональными величинами тут являются  время работы станка и число изготовленных деталей. 

Говорят: Число деталей прямо пропорционально времени работы станка.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих величин равны. (В нашем примере — это отношение времени 1 к времени 2 = отношению количества деталей за время 1 к количеству деталей за время 2)

 Обратная пропорциональность

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Обратно пропорциональная зависимость часто встречается в задачах на скорость. Скорость и время являются обратно пропорциональными величинами. Действительно, чем быстрее движется объект, тем меньше времени у него уйдет на путь.

Например:

Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины (скорости в нашем примере) равно обратному отношению другой величины ( времени в нашем примере). ( В нашем примере — отношение первой скорости к второй скорости равно отношению второго времени к первому времени.

Задача 1:

Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?

Решение:

Запишем краткое условие задачи:


Задача 2:

Для перевозки груза потребовалось 24 машины грузоподъемностью 7,5 тонн. Сколько нужно машин грузоподъемностью 4,5 т, чтобы перевезти тот же груз?

Решение: 

Краткая запись:

Обратно пропорционально - объяснение и примеры

Что означает "обратно пропорциональная величина"?

В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда на изменение значений одной величины влияет изменение значений другой величины.

Например, , сирена приближающейся пожарной машины или машины скорой помощи становится громче по мере приближения к вам автомобиля и тише по мере удаления. Вы заметили, что чем меньше расстояние между вами и автомобилем, тем громче сирена и чем больше расстояние, тем тише становится сирена.Этот тип ситуации называется обратной пропорцией, а иногда и косвенной пропорцией.

Прямая и косвенная пропорция - это два понятия, с которыми мы все знакомы, но, возможно, не на математическом уровне. И прямая, и обратная пропорция используются, чтобы показать, как две величины связаны друг с другом.

В этой статье мы узнаем об обратной и косвенной пропорции и о том, как эти концепции важны в реальных жизненных ситуациях. но прежде чем мы начнем, давайте напомним себе о концепции прямой пропорции.

Прямая пропорция

Две переменные a и b считаются прямо пропорциональными, если увеличение одной переменной вызывает увеличение другой переменной, и наоборот. Это означает, что прямо пропорционально соотношение соответствующих значений переменных остается постоянным. В этом случае, если значения b; b 1 , b 2 соответствует значениям a; a 1 , a 2 соответственно, тогда их соотношение будет постоянным;

a 1/ / b 1 = a 2 / b 2

Прямая пропорция представлена ​​знаком пропорциональности ‘’ как a ∝ b.Формула прямого изменения имеет следующий вид:

a / b = k

, где k называется константой пропорциональности.

Обратная пропорция

В отличие от прямой пропорции, где одно количество изменяется прямо пропорционально изменениям другого количества, в обратной пропорции, увеличение одной переменной вызывает уменьшение другой переменной, и наоборот. Говорят, что две переменные a и b обратно пропорциональны, если; а∝1 / б. В этом случае увеличение переменной b вызывает уменьшение значения переменной a.Точно так же уменьшение переменной b вызывает увеличение значения переменной a.

Формула косвенной пропорциональности

Если переменная a обратно пропорциональна переменной b, то это можно представить формулой:

a∝1 / b

ab = k; где k - пропорциональная постоянная.

Чтобы создать обратное пропорциональное уравнение, необходимо выполнить следующие шаги:

  • Запишите пропорциональное соотношение
  • Напишите уравнение, используя константу пропорциональности
  • Теперь найдите значение константы, используя заданные значения
  • Замените значение константы в уравнении.

Примеры из реальной жизни концепции обратной пропорции

  • Время, необходимое определенному количеству рабочих для выполнения части работы, обратно пропорционально количеству рабочих на работе. Это означает, что чем меньше рабочих, тем больше времени требуется для завершения работы, и наоборот.
  • Скорость движущегося судна, такого как поезд, транспортное средство или корабль, обратно пропорциональна времени, необходимому для преодоления определенного расстояния. Чем выше скорость, тем меньше времени требуется на преодоление дистанции.

Пример 1

35 рабочим собирают урожай кофе на плантации за 8 дней. Сколько времени потребуется 20 рабочим, чтобы собрать урожай кофе на одной и той же плантации.

Решение

  • 35 рабочих собирают кофе за 8 дней

Продолжительность, занятая одним рабочим = (35 × 8) дней

  • Теперь вычислите продолжительность, занятую 20 рабочими

= (35 × 8) / 20

= 14 дней
Следовательно, на 20 рабочих потребуется 14 дней.

Пример 2

6 козам или 8 овцам требуется 28 дней, чтобы пасти поле. Сколько времени понадобится 9 козам и 2 овцам, чтобы пасти одно и то же поле.
Решение
6 коз = 8 овец
⇒ 1 коза = 8/6 овец
⇒ 9 коз ≡ (8/6 × 9) овец = 12 овец
⇒ (9 коз + 2 овцы) ≡ (12 овец + 2 овец) = 14 овец

Итак, 8 овец => 28 дней

Одна овца будет пасти (28 × 8) дней

⇒ 14 овец займет (28 × 8) / 14 дней
= 16 дней
Следовательно, 9 коз и 2 овцы будут пасти поле 16 дней.

Пример 3

Девять кранов могут заполнить бак за четыре часа. Сколько времени потребуется двенадцать кранов с одинаковым расходом, чтобы заполнить один и тот же резервуар?

Раствор

Пусть соотношения;

x 1 / x 2 = y 2/ y 1

⇒ 9 / x = 12/4

x = 3

Таким образом, для заполнения бака потребуется 3 часа. .

Практические вопросы
  1. В армейской казарме достаточно еды, чтобы прокормить 80 солдат в течение 60 дней.Подсчитайте, на сколько хватит еды, когда через 15 дней в казарму войдут еще 20 солдат.
  2. 8 кранов с одинаковым расходом могут заполнить резервуар за 27 минут. Если не открывать два крана, сколько времени потребуется для заполнения бака оставшимися трубами?
  3. Общая недельная заработная плата для 6 рабочих, работающих по 8 часов в день, составляет 8400 долларов США. Какова будет недельная заработная плата 9 рабочих, работающих по 6 часов в день?
  4. 1350 литров молока могут выпить 70 студентов за 30 дней. Сколько учеников потребят 1710 литров молока за 28 дней?
  5. 15 женщин или 12 мужчин могут выполнить определенную задачу за 66 дней.Сколько времени потребуется 3 и 24 женщинам и мужчинам соответственно, чтобы выполнить одну и ту же задачу?

Ответы

  1. 51 день
  2. 36 минут
  3. $ 9450
  4. 95 студентов
  5. 30 дней
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Прямо пропорционально и обратно пропорционально


Прямо пропорционально: по мере увеличения одной суммы другая сумма увеличивается с той же скоростью.

Символ «прямо пропорциональный» - ∝
(не путайте его с символом бесконечности ∞)

Пример: вам платят 20 долларов в час

Ваш заработок составляет прямо пропорционально тому, сколько часов вы работаете

Работайте больше часов, получайте больше зарплаты; прямо пропорционально.

Это можно было бы написать:

Заработок ∝ Отработанное время

  • Если вы работаете 2 часа, вам платят 40 долларов
  • Если вы работаете 3 часа, вам платят 60 долларов
  • и др...

Константа пропорциональности

«Константа пропорциональности» - это величина, которая связывает две суммы

Пример: вам платят 20 долларов в час (продолжение)

Константа пропорциональности равна 20 , потому что:

Заработок = 20 × Отработанные часы

Это можно записать:

y = kx

Где k - коэффициент пропорциональности

Пример: y прямо пропорционально x, а если x = 3, то y = 15.


Что такое постоянная пропорциональности?

Они прямо пропорциональны, поэтому:

y = kx

Добавьте то, что мы знаем (y = 15 и x = 3):

15 = к × 3

Решить (разделив обе стороны на 3):

15/3 = к × 3/3

5 = к × 1

к = 5

Константа пропорциональности равна 5:

.

y = 5x

Когда мы знаем коэффициент пропорциональности, мы можем ответить на другие вопросы

Пример: (продолжение)

Каково значение y при x = 9?

у = 5 × 9 = 45

Какое значение имеет x, когда y = 2?

2 = 5x

х = 2/5 = 0.4

обратно пропорционально

Обратно Пропорционально: когда одно значение уменьшается, с той же скоростью, что и другое.

Пример: скорость и время в пути

Скорость и время в пути обратно пропорциональны, потому что чем быстрее мы движемся, тем короче время.

  • С увеличением скорости время в пути уменьшается
  • И с понижением скорости время в пути увеличивается.

Это: y обратно пропорционально x

То же, что: y прямо пропорционально 1 / x

Что можно написать:

г = к x

Пример: 4 человека могут покрасить забор за 3 часа.

Сколько времени займет его покраска 6 человек?

(Предположим, что все работают с одинаковой скоростью)

Это обратная пропорция:

  • По мере увеличения количества людей время рисования сокращается.
  • По мере того, как количество людей уменьшается, время рисования увеличивается.

Мы можем использовать:

т = к / п

Где:

  • t = количество часов
  • k = коэффициент пропорциональности
  • n = количество человек

«4 человека могут покрасить забор за 3 часа» означает, что t = 3 при n = 4

3 = к / 4

3 × 4 = к × 4/4

12 = к

к = 12

Итак, теперь мы знаем:

т = 12 / п

А при n = 6:

t = 12/6 = 2 часа

Итак, 6 человек покрасят забор за 2 часа.

Сколько человек нужно, чтобы выполнить работу за полчаса?

½ = 12 / п

n = 12 / ½ = 24

Итак, для выполнения работы за полчаса требуется 24 человека.
(При условии, что они не все мешают друг другу!)

Пропорционально ...

Также возможно быть пропорциональным квадрату, кубу, экспоненте или другой функции!

Пример: пропорционально x

2

Камень падает с вершины высокой башни.

Расстояние, на которое он падает, составляет , пропорционально квадрату времени падения.

Камень падает с высоты 19,6 м через 2 секунды, как далеко он упадет через 3 секунды?

Мы можем использовать:

d = узлы 2

Где:

  • d - пройденное расстояние и
  • t - время падения

Если d = 19,6, тогда t = 2

19,6 = к × 2 2

19.6 = 4 тыс.

к = 4,9

Итак, теперь мы знаем:

d = 4,9 т 2

А при t = 3:

d = 4,9 × 3 2

д = 44,1

Значит, он упал на 44,1 м за 3 секунды.

Обратный квадрат

Обратный квадрат : когда одно значение уменьшает как квадрат другого значения.

Пример: свет и расстояние

Чем дальше мы от источника света, тем он менее яркий.

На самом деле яркость уменьшается как квадратов расстояния. Потому что свет распространяется во всех направлениях.

Таким образом, яркость «1» на 1 метре составляет всего «0,25» на 2 метрах (удвоение расстояния приводит к четверти яркости) и так далее.

обратно пропорционально - определение, формула и примеры

Говорят, что две величины обратно пропорциональны, когда значение одной величины увеличивается по сравнению с уменьшением другой, или наоборот.Это означает, что эти две величины ведут себя противоположно по своей природе. Например, время, необходимое для выполнения задачи, уменьшается с увеличением количества рабочих, выполняющих ее, и увеличивается с уменьшением количества рабочих. Здесь время и количество рабочих обратно пропорциональны друг другу.

Другие термины, которые могут быть использованы здесь для этого типа пропорции, - это обратная пропорция или обратное изменение или обратное изменение или обратная пропорция. Две переменные говорят x и y, которые в обратной пропорции представлены как x ∝ 1 / y или x y -1 .Прямая пропорция и обратная пропорция являются противоположными отношениями по сравнению друг с другом.

Что обратно пропорционально?

В математике и физике мы узнаем о величинах, которые зависят друг от друга, и такие величины называются пропорциональными друг другу. Другими словами, две переменные или величины пропорциональны друг другу, если одна изменяется, то другая также изменяется на фиксированную величину. Это свойство переменных называется пропорциональностью, а символ, используемый для представления пропорциональности, - «».«Есть два типа пропорциональности переменных. Их:

  • Прямо пропорциональный
  • Обратно пропорциональный

Когда две величины связаны друг с другом обратно пропорционально, т. Е. Когда увеличение одной величины приводит к уменьшению другой и наоборот, то говорят, что они обратно пропорциональны. В обратной пропорции, если одна переменная уменьшается, другая увеличивается в той же пропорции. Это противоположно прямой пропорции. Или говорят, что две величины обратно пропорциональны , когда одна величина прямо пропорциональна обратной величине другой.Например, соотношение скорости и времени. Скорость и время в пути обратно пропорциональны, потому что чем быстрее мы путешествуем, тем меньше времени требуется, т.е. чем выше скорость, тем короче время.

  • По мере увеличения скорости время в пути уменьшается
  • И с уменьшением скорости время в пути увеличивается

Общая формула обратно пропорциональной

Символ «∝» обозначает пропорциональную зависимость между двумя величинами.Пусть x и y - две величины. Тогда y обратно пропорционален x - это то же самое, что y прямо пропорционален 1 / x. Тогда говорят, что y обратно пропорционален x, и математически записывается как y ∝ 1 / x

.

Общее уравнение обратной вариации y = k / x, где k - постоянная пропорциональности.

Мы также можем записать это как y × x = k, y × x = Константа

Если x и y находятся в обратной вариации и x имеет два значения x 1 и x 2 , соответствующие y, который также имеет два значения y 1 и y 2 соответственно, то по определению обратной вариации , имеем x 1 y 1 = x 2 y 2 = (k)

В этом случае это становится x 1 / x 2 = y 2 / y 1 = k

Графическое представление обратной пропорциональности

График обратной пропорциональности выглядит следующим образом.

Например, графики уравнений y = 1 / x и y = -1 / x имеют обратно пропорциональные отношения.

Применения обратно пропорциональной системы

Концепция обратной пропорциональности широко используется в повседневной жизни, а также при решении многих задач в области науки, статистики и т. Д. В физике существует множество формул, которые выводятся с использованием концепции обратной пропорциональности. Закон Ома, соотношение скорости и времени, длина волны звука и его частота - это несколько.

Важные замечания по обратно пропорциональной системе

Для обратной пропорциональности необходимо помнить следующие моменты:

  • Если одно количество увеличивается, другое уменьшается.
  • x ∝ 1 / y или y ∝ 1 / x
  • x × y = k, где k называется константой пропорциональности.


Часто задаваемые вопросы об обратно пропорциональной системе

Что такое прямо пропорционально?

Прямо пропорциональные переменные или величины - это переменные, в которых, если одна переменная увеличивается, другая также увеличивается.Это означает, что когда увеличение одного количества приводит к увеличению другого, и наоборот, говорят, что они прямо пропорциональны.

Например, заработок человека прямо пропорционален количеству часов или дней, которые он работает.

Как узнать, пропорционально оно прямо или обратно?

Обратную пропорциональную зависимость между двумя величинами можно понять, как показано ниже,

  • Укажите две величины, которые различаются в данной проблеме.
  • Если x / y постоянный, то он прямо пропорционален.
  • Если x × y постоянно, то обратно пропорционально.

Какова формула обратной пропорциональности?

Формула обратной связи помогает математически представить обратно пропорциональную зависимость. Формула обратной вариации: x × y = k или y = k / x

.

Что обратное 1?

Обратное значение любой переменной, например x, можно вычислить как 1 / x.Следовательно, величина, обратная 1, будет 1/1, что равно 1.

.

Что это значит, если две вещи обратно пропорциональны?

Говорят, что две величины обратно пропорциональны, когда значение одной величины увеличивается по сравнению с уменьшением другой, или наоборот. Это означает, что эти две величины ведут себя противоположно по своей природе. Например, соотношение скорости и времени. Скорость и время в пути обратно пропорциональны, потому что чем быстрее мы путешествуем, то есть чем больше скорость, тем короче время.

Что означает символ обратной пропорциональности?

Символ, используемый для обозначения пропорциональности, - «». Обратная пропорциональность относится к одной величине, которая прямо пропорциональна обратной величине другой величины. Мы представляем любые две величины в обратной пропорции как, x ∝ 1 / y или x ∝ y -1 .

Что такое пример обратной пропорции?

Обратно пропорциональная зависимость возникает, когда одно значение увеличивается, а другое уменьшается.Например, большее количество рабочих сокращает время, необходимое для выполнения задачи. Таким образом, они обратно пропорциональны.

Прямая и обратная пропорция - Прямая и обратная пропорция - Edexcel - GCSE Maths Revision - Edexcel

Прямая пропорция

Существует прямая пропорция между двумя значениями, когда одно кратно другому. Например, \ (1 \: \ text {cm} = 10 \: \ text {mm} \). При переводе сантиметров в миллиметры множитель всегда равен 10. Прямая пропорция используется для расчета стоимости бензина или обменных курсов иностранных денег.

Символ прямой пропорции - \ (\ propto \).

Выражение 't прямо пропорционально r' можно записать с помощью символа пропорциональности:

\ [t \ propto r \]

Если \ (y = 2p \), то \ (y \) пропорционально \ (p \) и \ (y \) могут быть вычислены для \ (p = 7 \):

\ [y = 2 \ times 7 = 14 \]

Аналогично, если \ (y = 60 \), то \ (p \) можно вычислить:

\ [60 = 2p \]

Чтобы найти \ (p \), разделите 60 на 2:

\ [60 \ div 2 = 30 \]

Прямая пропорция - выше

Пропорциональность можно использовать для построения уравнения.

Для этого есть четыре шага:

  1. запишите пропорциональную зависимость
  2. преобразовать в уравнение с использованием константы пропорциональности
  3. использовать данную информацию для нахождения константы пропорциональности
  4. подставить константу пропорциональности в уравнение

Пример

Значение \ (e \) прямо пропорционально \ (п\). Когда \ (e = 20 \), \ (p = 10 \). Найдите уравнение, связывающее \ (e \) и \ (p \).

  1. \ [e \ propto p \]
  2. \ [e = kp \]
  3. \ (20 = 10k \), поэтому \ (k = 20 \ div 10 = 2 \)
  4. \ [e = 2p \ ]

Это уравнение теперь можно использовать для вычисления других значений \ (e \) и \ (p \).

Если \ (p = 6 \), то \ (e = 2 \ times 6 = 12 \).

Обратная пропорция

Если одно значение обратно пропорционально другому, то оно записывается с использованием символа пропорциональности \ (\ propto \) по-другому. Обратная пропорция возникает, когда одно значение увеличивается, а другое уменьшается. Например, большее количество рабочих сократит время на выполнение задачи. Они обратно пропорциональны.

Утверждение «b обратно пропорционально m» записывается:

\ [b \ propto \ frac {1} {m} \]

Уравнения, содержащие обратные пропорции, могут использоваться для вычисления других значений.

Использование: \ (g = \ frac {36} {w} \) (поэтому \ (g \) обратно пропорционально \ (w \)).

Если \ (g = 8 \), найти \ (w \).

\ [8 = \ frac {36} {w} \]

\ [w = \ frac {36} {8} = 4.5 \]

Аналогично, если \ (w = 6 \), найти \ ( грамм\).

\ [g = \ frac {36} {6} \]

\ [g = 6 \]

Обратная пропорция - выше

Пропорциональность может использоваться для создания уравнения.

Для этого есть четыре шага:

  1. запишите пропорциональную зависимость
  2. преобразовать в уравнение с использованием константы пропорциональности
  3. использовать данную информацию для нахождения константы пропорциональности
  4. подставить константу пропорциональности в уравнение

Пример

Если \ (g \) обратно пропорционально w и когда \ (g = 4 \), \ (w = 9 \), то сформируйте уравнение, связывающее \ (g \) с \ (w \).

  1. \ [g \ propto \ frac {1} {w} \]
  2. \ [g = k \ times \ frac {1} {w} = \ frac {k} {w} \]
  3. \ ( 4 = \ frac {k} {9} \), поэтому \ (k = 4 \ times 9 = 36 \)
  4. \ [g = \ frac {36} {w} \]

Это уравнение можно использовать для вычислить новые значения \ (g \) и \ (w \).

Если \ (g = 8 \), найти \ (w \).

\ [8 = \ frac {36} {w} \]

\ [w = \ frac {36} {8} = 4.5 \]

Аналогично, если \ (w = 6 \), найти \ ( грамм\).

\ [g = \ frac {36} {6} \]

\ [g = 6 \]

Прямая и обратная пропорция

Знаки прямой и обратной пропорции

Символ пропорциональности


X ∝ Y

902 X ∝ 1 / Y

Так обозначается знак обратной пропорциональности

Когда две величины X и Y прямо пропорциональны друг другу, мы говорим «X прямо пропорционален Y» или «Y». прямо пропорциональна X ».Когда две величины X и Y обратно пропорциональны друг другу, мы говорим, что «X обратно пропорционален Y» или «Y обратно пропорционален X».

Свойства прямой и косвенной пропорциональности.

Прямая пропорция

  • Когда одно количество увеличивается, другое количество тоже увеличивается.

  • Когда одно качество уменьшается, другое количество также уменьшается.

  • Соответствующие коэффициенты всегда остаются постоянными.

  • Его еще называют прямой вариацией.

Пример:

Допустим, X здесь прямо пропорционален Y. Соотнесите X и Y, если значение X = 8 и Y = 4.

Решение:

Мы знаем, X ∝ Y

Или мы также можем записать это как X = kY, где k = - постоянная пропорциональность.

8 = k x 4

k = 2.

Следовательно, уравнение связи между двумя переменными будет: X = 2Y.

Косвенная пропорция

  • Когда одно количество увеличивается, другое количество тоже уменьшается.

  • Когда одно количество уменьшается, другое количество тоже увеличивается.

  • Соответствующие коэффициенты всегда меняются обратно пропорционально.

  • Его еще называют косвенной вариацией.

Пример:

Допустим, X здесь обратно пропорционален Y. Соотнесите X и Y, если значение X = 815 и Y = 3.

Решение:

Давайте рассмотрим X1X2 как компоненты X, а Y1Y2 как компоненты y.

Тогда

X1 / X2 = Y1 / Y2

Или

X1Y1 = X2 Y2

Утверждение «X обратно пропорционально Y» можно записать как X ∝ 1 / Y.

Допустим, X = 15 / Y

Поскольку у нас есть значение одной переменной, другую можно легко вычислить.

Возьмите Y = 3.

Следовательно,

X = 15/3

X = 5

Поскольку теперь мы знаем, что значение X равно 5, значение Y можно найти.

5 = 15 / Y

Y = 3

Как написать уравнения прямой и косвенной пропорции?

Шаг 1: Вам нужно будет записать пропорциональный символ

Шаг 2: С помощью константы пропорциональности преобразуйте символ в уравнение

Шаг 3: Затем вам нужно будет вычислить константу пропорциональности с предоставленной вам информацией

Шаг 4: Теперь подставьте постоянное значение в уравнение

Примеры прямой и косвенной пропорции

Пример 1: 45 км / ч - это единообразная скорость поезда, с которым он движется .Найдите:

(i) расстояние, пройденное им за 10 минут

(ii) время, необходимое для преодоления 100 км

Решение:

пройденное расстояние (км)

45

a

100

Время, м расстояние, пройденное за 10 минут = a

Время, необходимое для преодоления 100 км = b

(i) Учитывая, что

45/60 = a / 10

a = (45 x 10) / 60

a = 7 .5 км

Следовательно, расстояние, пройденное за 10 минут - 7,5 км

(ii) Учитывая, что

45/60 = 100 / b

a = (100 x 60) / 40

a = 150 минут

Следовательно время преодоления 100 километров - 150 минут.

Пример 2:

Допустим, X здесь прямо пропорционален Y. Соотнесите X и Y, если значения X = 100 и Y = 25.

Решение:

Мы знаем, X ∝ Y

Или мы также можем записать это как X = kY, где k = - постоянная пропорциональность.

100 = k x 25

k = 4.

Пример 2:

Значение X1 = 4, X2 = 10, Y1 = 8. Найдите значение Y2, если значения X и Y изменяются напрямую.

Решение:

Поскольку X и Y изменяются напрямую друг с другом:

X1 / X2 = Y1 / Y2

4/10 = 8 / Y2

Y2 = (8 x 10) / 4

Y2 = 20

Время викторины

Попробуйте решить следующие вопросы:

  1. Здесь X прямо пропорционально Y.Соотнесите X и Y, если значение X = 50 и Y = 5.

  2. Здесь X обратно пропорционален Y. Соотнесите X и Y, если значение X = 49 и Y = 7.

  3. Стоимость 17 книг составляет рупий. 400. Сколько будут стоить 5 книг?

Прямые и обратные вариационные задачи: определение и примеры - видео и стенограмма урока

Пример 1

Это может показаться действительно сложным и запутанным, но просто запомните две формулы: y = kx для прямого изменения и y = k / x для обратного изменения.Практикуясь с примерами задач, вы узнаете, как применять их к конкретным задачам.

Очень простой пример - задача, подобная этой:

Популяция определенных видов бактерий напрямую зависит от температуры. При температуре 35 градусов по Цельсию насчитывается 7 миллионов бактерий. Сколько миллионов бактерий появляется при температуре 38 градусов по Цельсию?

Прежде всего, мы видим, что мы будем использовать уравнение прямой вариации, y = kx .

Теперь давайте подключим то, что мы получили от задачи:

Задача дает нам два значения: температуру и количество бактерий. Мы подставим температуру для x и количество бактерий для y . Это дает нам 7 = k (35).

Теперь все, что нам нужно сделать, это разделить, чтобы найти значение k для этой конкретной задачи: оно оказывается равным 0,2.

Следующий шаг - использовать это значение, чтобы узнать, сколько миллионов бактерий существует при 38 градусах Цельсия.Итак, мы снова используем уравнение.

На этот раз мы подключим x и k , так как мы ищем y . Получаем, что y = (0,2) (38). Произведя умножение, мы узнаем, что y , или стоимость населения в миллионах равна 7,6. Итак, ответ на этот вопрос - 7,6 миллиона бактерий.

Это было не так уж больно, правда? Это просто правильное использование уравнений. Теперь попробуем немного посложнее.

Пример 2

Квадрат a обратно пропорционален сумме трех и b .Если k представляет собой константу пропорциональности, то в терминах b и k , каково значение a ?

Это крепкий орешек, потому что задача дает вам значение как в квадрате, но спрашивает вас о значении как . Поначалу это выглядит довольно непробиваемым, но не паникуйте. Вытяните свои уравнения и начните подключать вещи.

Прежде всего, мы знаем, что здесь мы будем использовать обратную вариацию.Итак, у нас готово уравнение: y = k / x .

Теперь давайте медленно рассмотрим проблему и подключим все. Прежде всего, у нас есть не просто старый добрый и , а в квадрате. Но это не так страшно: вариация определяется как в квадрате , поэтому мы просто вставим в квадрат для y . Мы также можем подключить его для x ; это не имеет значения, если вы последовательны.В этой задаче мы пытаемся изолировать от , поэтому имеет смысл поместить все это само по себе на одну сторону уравнения; это облегчит математику позже.

Далее у нас есть «сумма 3 и b , или, говоря математическим языком, b + 3 вместо обычного старого b . Опять же, не проблема: просто вставьте 'b + 3', чтобы получить значение x внизу дроби.

Это большая часть работы уже сделана: теперь у нас есть уравнение, связывающее a и b .Теперь нам просто нужно найти a , поэтому мы извлечем квадратный корень из обеих частей. Вуаля! a равно квадратному корню из k из b плюс 3!

Это сложно, но возможно.

Резюме урока

На этом уроке вы узнали, как решать прямые и обратные вариационные задачи, используя уравнения для каждой из них.

Для прямого изменения используйте уравнение y = kx , где k - константа пропорциональности.

Для обратного изменения используйте уравнение y = k / x , опять же с k в качестве константы пропорциональности.

Помните, что в этих задачах может использоваться слово «пропорция» вместо «вариация», но это означает то же самое.

Иногда вам придется разработать пропорциональные отношения, которые становятся немного сложнее, например, подключить x в квадрате вместо простого x , но с этими двумя уравнениями под вашим поясом вы сможете справиться с ними.

Результаты обучения

После того, как вы закончите повторение этого урока, вы сможете:

  • Напомнить уравнения для прямого и косвенного изменения
  • Рассчитать для прямого или косвенного отклонения

Прямая пропорциональность из повседневной жизни

Здесь мы перечисляем несколько важных примеров прямой пропорциональности; где у нас есть две величины, и одна всегда является фиксированным кратным другой.

Прямые пропорции играют большую роль в нашей повседневной жизни.Здесь мы рассмотрим ряд наглядных примеров. На этом этапе вы узнаете о
  • ключевые определения прямой пропорциональности
  • прямые пропорции, возникающие в ситуациях, связанных со скоростью, деньгами, топливной экономичностью вашего автомобиля и ролью \ (\ normalsize {\ pi} \).

Что такое прямая пропорциональность?

Если \ (\ normalsize {x} \) и \ (\ normalsize {y} \) - две переменные величины, удовлетворяющие соотношению \ [\ Large {y = kx} \] для некоторого фиксированного числа \ (\ normalsize {k} \), тогда мы говорим, что \ (\ normalsize {y} \) прямо пропорционально \ (\ normalsize {x} \).Число \ (\ normalsize {k} \) называется константой пропорциональности . Один из важных способов размышления об этой константе \ (\ normalsize {k} \) состоит в том, что она говорит нам, насколько \ (\ normalsize {y} \) увеличивается на, если мы увеличиваем \ (\ normalsize {x} \) ровно на \ (\ normalsize {1} \). Мы напишем \ [\ Большой {y \ propto x} \] чтобы выразить, что \ (\ normalsize {y} \) прямо пропорционален \ (\ normalsize {x} \).Обратите внимание, что этот символ, однако, теряет важную информацию: точное значение константы пропорциональности.

Расстояние при ходьбе пропорционально времени.

Если мы будем идти с постоянной скоростью, скажем, \ (\ normalsize {6} \) км / час, то у нас будет базовый пример прямой пропорциональности \ [\ Large {\ operatorname {distance} \ propto \ operatorname {time}} \] поскольку расстояние (км) = \ (6 \ раз \) время (час). Константа пропорциональности, в данном случае \ (\ normalsize {6} \) км / ч, называется скоростью или скоростью .Однако олимпийский спортсмен по спортивной ходьбе будет двигаться намного быстрее, скажем, вдвое быстрее на скорости \ (\ normalsize {12} \) км / ч.

Q1 (E): Опишите взаимосвязь между расстоянием и временем для олимпийского спортсмена, используя эту терминологию.

Q2 (M): Расстояние прямо пропорционально времени. Но время прямо пропорционально расстоянию! Какова константа пропорциональности в этом соотношении для спортсменов-олимпийцев?

Время в часах и минутах

Пожалуй, наиболее убедительное использование прямой пропорциональности - это соотношение между часами и минутами:

\ [\ Large {\ operatorname {time (min)} = 60 \ times \ operatorname {time (hr)}.} \]

Связь между часами и минутами настолько повсеместна, что большинство людей знают наизусть, что 15 минут - это четверть часа. Эта информация содержится в приведенном выше уравнении, которое мы можем увидеть, установив \ (\ normalsize \ mbox {time (hr)} = \ frac {1} {4}. \)

\ [{\ Large \ operatorname {time (min)} = 60 \ times \ frac {1} {4} = 15}. \]

А сколько минут в получасе? Ответ

\ [{\ Large \ operatorname {time (min)} = 60 \ times \ frac {1} {2} = 30}. \]

Q3 (E): Сколько минут в день?

Расстояние, которое может проехать ваша машина, в зависимости от количества бензина в вашем баке.

Это другой вид пропорциональности, также включающий расстояние - теперь между тем, как далеко вы можете проехать в своей машине, и количеством бензина в вашем баке.

Если у вас нулевой газ, вы никуда не денетесь. Допустим, вы водите Holden Commodore - популярный австралийский автомобиль с объемом бака \ (\ normalsize {73} \) литров. Как далеко вы уедете, зависит от того, едете ли вы по городу или по автостраде, включен или выключен кондиционер и т. Д. Но в среднем, допустим, вы можете проехать \ (\ normalsize {12} \) км по литр (л) газа.Тогда соответствующая пропорциональность равна

. \ [{\ Large \ mbox {расстояние (км)} \, \ propto \, \ mbox {gas (L)}} \]

с коэффициентом пропорциональности \ (\ normalsize {12} \) км / л, который является мерой топливной экономичности автомобиля.

Q4 (E): Можете ли вы проехать на Holden Commodore с полным баком бензина из Брокен-Хилла в Даббо без остановки?

Диаметр и длина окружности

Прямая пропорциональность также очень важна в математике.Например, важным фактом является то, что длина окружности \ (\ normalsize {c} \) круга прямо пропорциональна его диаметру \ (\ normalsize {d} \). Фактически

\ [\ Large {\ operatorname {окружность} = \ pi \ times \ operatorname {диаметр}} \]

, где константа пропорциональности - известная константа \ (\ normalsize {\ pi} \), примерно \ (\ normalsize {3.1415926….} \)

Итак, если вы удвоите диаметр, вы удвоите окружность. Другое следствие состоит в том, что если вы увеличиваете диаметр на единицу \ (\ normalsize {1} \), тогда длина окружности увеличивается на \ (\ normalsize {\ pi} \) единиц.Это не зависит от фактического размера круга, что может вызывать удивление.

Q5 (M): Если у нас есть веревка, туго обвязанная вокруг экватора Земли, и мы хотим добавить немного веревки, чтобы мы могли растянуть ее до равномерного расстояния в полметра от земли, то насколько сильно? длину веревки нужно добавить?

ответы

A1. Один ответ: \ ({\ normalsize \ mbox {distance} \ propto \ mbox {time}} \). Однако это мог описать кто угодно! Более содержательный ответ -

. \ [\ Large {\ mbox {distance} = 12 \ times \ mbox {time}}.\]

Еще лучше, если вы включите единицы измерения расстояния и времени.

A2. Мы можем переставить \ (\ normalsize {\ mbox {distance} = 12 \ times \ mbox {time}} \) в

\ [{\ Large \ mbox {time} = \ frac {1} {12} \ times \ mbox {distance}}. \]

Таким образом, коэффициент пропорциональности равен \ (\ frac {1} {12} \).

A3. Связь между днями и часами - еще один пример прямой пропорциональности:

\ [{\ Large \ mbox {время (час)} = 24 \ times \ mbox {время (дни)}.} \]

Теперь мы объединяем прямую пропорциональность для минут и часов с прямой пропорциональностью для часов и дней:

\ [{\ Large \ mbox {time (min)} = 60 \ times \ mbox {time (hr)} = 60 \ times \ left (24 \ times \ mbox {time (days)} \ right)}. \]

Получаем новую прямую пропорциональность:

\ [{\ Large \ mbox {время (мин)} = 1440 \ times \ mbox {время (дни)}.} \]

Итак, в сутках \ ({\ normalsize 1440} \) минут.

A4. Вы можете проехать \ ({\ normalsize 73 \ times 12 = 876} \) км на одном баке бензина.Поскольку от Брокен-Хилла до Даббо можно добраться за \ ({\ normalsize 799 - 49 = 750} \) км, то да - вы можете совершить эту поездку без остановок.

А5. Мы увеличиваем диаметр на \ (\ normalsize {1} \), поэтому окружность должна увеличиваться на \ (\ normalsize {\ pi} \), то есть немного больше, чем \ (\ normalsize {3} \) метров.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск