Конус — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

прямой круговой конус прямой и косой круговые конусы с равным основанием и высотой: они обладают одинаковым объёмом усечённый прямой круговой конус

Ко́нус (от др.-греч. κώνος «сосновая шишка»^[1]) — тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Если основание конуса представляет собой многоугольник, такой конус является пирамидой.

Связанные определения

• образующая конуса — отрезок, соединяющий вершину и границу основания.
• образующая (или боковая) поверхность конуса — объединение образующих конуса; образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
• высота конуса — отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка).
• угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
• конусность — соотношение высоты и диаметра основания конуса.
• прямой конус — конус, основание которого имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром; при этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
• косой (или наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
• круговой конус — конус, основание которого является кругом.
• прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
• конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом: последние два имеют бесконечный объём.
• усечённый конус или конический слой — часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием.

Свойства

• Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания.

V=13SH,{\displaystyle V={1 \over 3}SH,}

где S — площадь основания, H — высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

• Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен

2π(1−cos⁡α2),{\displaystyle 2\pi \left(1-\cos {\alpha \over 2}\right),}

где α — угол раствора конуса.

• Площадь боковой поверхности такого конуса равна

S=πRl,{\displaystyle S=\pi Rl,}

а полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания)

S=πR(l+R),{\displaystyle S=\pi R(l+R),}

где R — радиус основания, l=R2+h3{\displaystyle l={\sqrt {R^{2}+H^{2}}}} — длина образующей.

• Объём кругового (не обязательно прямого) конуса равен

V=13πR2H.{\displaystyle V={1 \over 3}\pi R^{2}H.}

• Для усечённого кругового конуса (не обязательно прямого) объём равен:

V=13πH(R2+Rr+r2),{\displaystyle V={1 \over 3}\pi H(R^{2}+Rr+r^{2}),}

где R{\displaystyle R} и r{\displaystyle r}  — радиусы соответственно нижнего и верхнего оснований, H{\displaystyle H} — высота от плоскости нижнего основания,до верхнего основания.

• Для произвольного усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен:

V=13(h3S2−h2S1),{\displaystyle V={1 \over 3}(H_{2}S_{2}-H_{1}S_{1}),}

где S1{\displaystyle S_{1}} и S2{\displaystyle S_{2}}  — площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований, h2{\displaystyle H_{1}} и h3{\displaystyle H_{2}}  — расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.

Уравнение прямого кругового конуса

Уравнения, задающие боковую поверхность прямого кругового конуса с углом раствора 2Θ, вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Oz:

θ=Θ.{\displaystyle \theta =\Theta .}

z=r⋅ctg⁡Θ{\displaystyle z=r\cdot \operatorname {ctg} \Theta } или r=z⋅tg⁡Θ.{\displaystyle r=z\cdot \operatorname {tg} \Theta .}

z=±x2+y2⋅ctg⁡Θ.{\displaystyle z=\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\cdot \operatorname {ctg} \Theta .}

Это уравнение в каноническом виде записывается как

x2a2+y2a2−z2c2=0,{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0,}

где константы a, с определяются пропорцией c/a=cos⁡Θ/sin⁡Θ.{\displaystyle c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .} Отсюда видно, что боковая поверхность прямого кругового конуса представляет собой поверхность второго порядка (она носит название коническая поверхность). В общем виде коническая поверхность второго порядка опирается на эллипс; в подходящей декартовой координатной системе (оси Ох и Оу параллельны осям эллипса, вершина конуса совпадает с началом координат, центр эллипса лежит на оси Oz) её уравнение имеет вид

x2a2+y2b2−z2c2=0,{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0,}

причём a/c и b/c равны полуосям эллипса. В наиболее общем случае, когда конус опирается на произвольную плоскую поверхность, можно показать, что уравнение боковой поверхности конуса (с вершиной в начале координат) задаётся уравнением f(x,y,z)=0,{\displaystyle f(x,y,z)=0,} где функция f(x,y,z){\displaystyle f(x,y,z)} является однородной, то есть удовлетворяющей условию f(αx,αy,αz)=αnf(x,y,z){\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^{n}f(x,y,z)} для любого действительного числа α.

Развёртка

Развёртка прямого кругового конуса

Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где h — высота конуса от центра основания до вершины — является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника r — радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является l — образующая конуса.

В создании развёртки конуса могут использоваться всего две величины r и l. Радиус основания r определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности l, являющаяся радиусом сектора боковой поверхности. Угол сектора φ{\displaystyle \varphi } в развёртке боковой поверхности конуса определяется по формуле:

φ = 360°·(r/l).

Вариации и обобщения

См. также

Примечания

Литература

Конус — это… Что такое Конус?

Прямой круговой конус. Прямой и косой круговой конусы с равным основанием и высотой. Эти тела обладают одинаковым объёмом. Усечённый прямой круговой конус.

Ко́нус (от др.-греч. κώνος «шишка») — тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Если основание конуса представляет собой многоугольник, такой конус является пирамидой.

Связанные определения

• Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.
• Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
• Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.
• Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
• Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
• Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
• Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
• Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
• Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
• Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.

Свойства

• Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания.

где S — площадь основания, H — высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

• Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен

где  — угол раствора конуса.

• Площадь боковой поверхности такого конуса равна

• Площадь поверхности такого конуса равна

где  — радиус основания,  — длина образующей.

• Объём кругового конуса равен

• Для усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен:

где S₁ и S₂ — площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований, h и H — расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.

Уравнение конуса

Уравнения, задающие боковую поверхность прямого кругового конуса с углом раствора 2Θ, вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью

Oz:

или

Это уравнение в каноническом виде записывается как

где константы a, с определяются пропорцией Отсюда видно, что боковая поверхность прямого кругового конуса представляет собой поверхность второго порядка (она носит название коническая поверхность). В общем виде коническая поверхность второго порядка опирается на эллипс; в подходящей декартовой координатной системе (оси Ох и Оу параллельны осям эллипса, вершина конуса совпадает с началом координат, центр эллипса лежит на оси Oz) её уравнение имеет вид

причём a/c и b/c равны полуосям эллипса. В наиболее общем случае, когда конус опирается на произвольную плоскую поверхность, можно показать, что уравнение боковой поверхности конуса (с вершиной в начале координат) задаётся уравнением где функция  является однородной, то есть удовлетворяющей условию для любого действительного числа α.

Развёртка

Развёртка прямого кругового конуса

Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где h — высота конуса от центра основания до вершины — является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника r — радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является l — образующая конуса.

В создании развёртки конуса могут использоваться всего две величины r и l. Радиус основания r определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности l, являющаяся радиусом сектора боковой поверхности. Угол сектора в развёртке боковой поверхности конуса определяется по формуле:

φ = 360°·(r/l).

С имеющимися и полученными значениями можно нарисовать развёртку конуса на бумаге или другом материале, чтобы из развёртки получить конус как наглядное пособие или промышленное изделие.

Вариации и обобщения

См. также

Литература

Прямой круговой конус Википедия

прямой круговой конус прямой и косой круговые конусы с равным основанием и высотой: они обладают одинаковым объёмом усечённый прямой круговой конус

Ко́нус (от др.-греч. κώνος «сосновая шишка»^[1]) — тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют

основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Если основание конуса представляет собой многоугольник, такой конус является пирамидой.

Связанные определения[ | ]

• образующая конуса — отрезок, соединяющий вершину и границу основания.
• образующая (или боковая) поверхность конуса — объединение образующих конуса; образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
• высота конуса — отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка).
• угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
• конусность — соотношение высоты и диаметра основания конуса.
• прямой конус — конус, основание которого имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром; при этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
• косой (или наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
• круговой конус — конус, основание которого является кругом.
• прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
• конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом: последние два имеют бесконечный объём.
• усечённый конус или конический слой — часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием.

Свойства[ | ]

• Если площадь основ

Конус | Наука | Fandom

Прямой круговой конус.

Прямой и косой круговой конусы с равным основанием и высотой. Эти тела обладают одинаковым объёмом.

Усечённый прямой круговой конус.

Ко́нус (от др.-греч. κώνος «шишка») — тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Если основание конуса представляет собой многоугольник, такой конус называется пирамидой.

Связанные определения Править

• Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.
• Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
• Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.
• Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
• Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
• Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
• Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
• Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
• Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
• Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.
• Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания.

$ V={1 \over 3} SH, $

где S — площадь основания, H — высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

• Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен

$ 2\pi \left(1 — \cos {\alpha \over 2} \right), $

где $ \alpha $ — угол раствора конуса.

• Площадь боковой поверхности такого конуса равна

$ S = \pi R l, $

• Площадь поверхности такого конуса равна

$ S = \pi R (l + R), $

где $ R $ — радиус основания, $ l $ — длина образующей.

• Объём кругового конуса равен

$ V={1 \over 3} \pi R^2H. $

• Для усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен:

$ V={1 \over 3} (HS_2-hS_1), $

где S₁ и S₂ — площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований, h и H — расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.

Уравнение конуса Править

Уравнения, задающие боковую поверхность прямого кругового конуса с углом раствора 2Θ, вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Oz:

прямой конус — это… Что такое прямой конус?

1. прямой конус — statusis kūgis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. right cone vok. gerader Konus, m rus. прямой конус, m pranc. cône droit, m …   Fizikos terminų žodynas

2. Конус — Прямой круговой конус. Прямой и …   Википедия

3. Прямой круговой конус — Конус  тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки… …   Википедия

4. Конус (геометрическая фигура) — Прямой круговой конус Конус  тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих …   Википедия

5. КОНУС — (лат. conus; греч. konos). Тело, ограниченное поверхностью, образующейся от обращения прямой, коей один конец неподвижен (вершина конуса), а другой двигается по окружности данной кривой; с виду похож на сахарную голову. Словарь иностранных слов,… …   Словарь иностранных слов русского языка

6. Конус — Прямой круговой конус. КОНУС (от латинского conus, от греческого konos шишка), геометрическое тело, ограниченное круглой конической поверхностью и плоскостью, не проходящей через вершину конической поверхности. Если вершина лежит на… …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

7. КОНУС — (1) в элементарной геометрии геометрическое тело, ограниченное поверхностью, образуемой движением прямой (образующей конуса) через неподвижную точку (вершину конуса) вдоль направляющей (основание конуса). Образуемая поверхность, заключённая между …   Большая политехническая энциклопедия

8. Конус — (прямой круговой) геометрическое тело, образуемое вращениемпрямоугольного треугольника около одного из катетов. Гипотенузаназывается образующей; неподвижный катет высотой; круг, описываемыйвращающимся катетом основанием. Боковая поверхность К.… …   Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

9. Конус геометрическое тело — (прямой круговой К.) геометрическое тело, образуемое вращением прямоугольного треугольника около одного из катетов. Гипотенуза называется образующей; неподвижный катет высотой; круг, описываемый вращающимся катетом основанием. Боковая поверхность …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

10. Конус — геометрическое тело — (прямой круговой) геометрическое тело, образуемое вращением прямоугольного треугольника около одного из катетов. Гипотенуза называется образующей; неподвижный катет высотой; круг, описываемый вращающимся катетом основанием. Боковая поверхность К …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

11. конус — 3.3 конус: Составная часть подбойки, служащая для установки и закрепления подбойки в рычагах подбивочного блока, может быть выполнена в виде конуса или цилиндра. Источник: ГОСТ Р 52277 2004: Подбойки машин для выправки, подбивки и рихтовки… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Конус — WiKi

прямой круговой конус прямой и косой круговые конусы с равным основанием и высотой: они обладают одинаковым объёмом усечённый прямой круговой конус

Ко́нус (от др.-греч. κώνος «сосновая шишка»^[1]) — тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Если основание конуса представляет собой многоугольник, такой конус является пирамидой.

Уравнения, задающие боковую поверхность прямого кругового конуса с углом раствора 2Θ, вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Oz:

θ=Θ.{\displaystyle \theta =\Theta .} 

z=r⋅ctg⁡Θ{\displaystyle z=r\cdot \operatorname {ctg} \Theta }  или r=z⋅tg⁡Θ.{\displaystyle r=z\cdot \operatorname {tg} \Theta .} 

z=±x2+y2⋅ctg⁡Θ.{\displaystyle z=\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\cdot \operatorname {ctg} \Theta .} 

Это уравнение в каноническом виде записывается как

x2a2+y2a2−z2c2=0,{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0,} 

где константы a, с определяются пропорцией c/a=cos⁡Θ/sin⁡Θ.{\displaystyle c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .}  Отсюда видно, что боковая поверхность прямого кругового конуса представляет собой поверхность второго порядка (она носит название коническая поверхность). В общем виде коническая поверхность второго порядка опирается на эллипс; в подходящей декартовой координатной системе (оси Ох и Оу параллельны осям эллипса, вершина конуса совпадает с началом координат, центр эллипса лежит на оси Oz) её уравнение имеет вид

x2a2+y2b2−z2c2=0,{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0,} 

причём a/c и b/c равны полуосям эллипса. В наиболее общем случае, когда конус опирается на произвольную плоскую поверхность, можно показать, что уравнение боковой поверхности конуса (с вершиной в начале координат) задаётся уравнением f(x,y,z)=0,{\displaystyle f(x,y,z)=0,}  где функция f(x,y,z){\displaystyle f(x,y,z)}  является однородной, то есть удовлетворяющей условию f(αx,αy,αz)=αnf(x,y,z){\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^{n}f(x,y,z)}  для любого действительного числа α.

  Развёртка прямого кругового конуса

Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где h — высота конуса от центра основания до вершины — является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника r — радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является l — образующая конуса.

В создании развёртки конуса могут использоваться всего две величины r и l. Радиус основания r определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности l, являющаяся радиусом сектора боковой поверхности. Угол сектора φ{\displaystyle \varphi }  в развёртке боковой поверхности конуса определяется по формуле:

φ = 360°·(r/l).

Выпуклый конус — Википедия

Выпуклый конус в линейной алгебре — подмножество векторного пространства над упорядоченным полем, которое замкнуто относительно линейных комбинаций с положительными коэффициентами.

Выпуклый конус (светло-синий). Внутри него светло-красный замкнутый выпуклый конус, содержащий все точки αx + βy с α, β > 0 для выделенных точек x и y. Кривые в правом верхнем углу символизируют бесконечность областей.

Подмножество C векторной плоскости V является выпуклым конусом, если αx + βy принадлежит C для любых положительных скаляров α, β и любых x, y из C.

Определение можно записать более сжато: «αC + βC = C» для любых положительных чисел α, β.

Понятие имеет смысл для любых векторных пространств, в которых существует понятие «положительный» скаляр, такие как пространство над рациональными, алгебраическими или (чаще всего) вещественными числами.

Пустое множество, пространство V и любое линейное подпространство пространства V (включая тривиальное подпространство {0}), являются выпуклыми конусами по этому определению. Другими примерами служат множество всех произведений на положительное число произвольного вектора v из V, или положительный ортант пространства Rⁿ (множество всех векторов, имеющих положительные координаты).

Более общий пример — множество всех векторов λx, таких, что λ положительный скаляр, а x — элемент некоторого выпуклого подмножества X пространства V. В частности, если V — нормированное векторное пространство, а X — открытый (соотв. замкнутый) шар в V, который не содержит 0, эта конструкция даёт открытый (соотв. замкнутый) выпуклый круговой конус.

Пересечение двух выпуклых конусов в том же векторном пространстве снова является выпуклым конусом, но объединение таковым может не быть.^[1] Класс выпуклых конусов замкнуто относительно любых линейных отображений. В частности, если C — выпуклый конус, то таковой и его противоположный −C, а C ∩ −C является наибольшим линейным подпространством, содержащимся в C. ^[2]. Такое подпространство называется лезвием.^[3]

Выпуклые конуса и линейные конуса[править | править код]

Если C — выпуклый конус, то для любого положительного скаляра α и любого вектора x из C вектор αx = (α/2)x + (α/2)x лежит в C. Отсюда следует, что выпуклый конус C является частным случаем линейного конуса^[en].

Альтернативные определения[править | править код]

Из сказанного выше следует, что выпуклый конус можно определить как линейный конус, замкнутый относительно выпуклых комбинаций, или просто относительно сложения. Более кратко — множество C является выпуклым конусом тогда и только тогда, когда «αC = C и C + C = C для любого положительного скаляра α из V.^[4]

Следует также отметить, что фразу «положительные скаляры α, β» в определении выпуклого конуса можно заменить на «неотрицательные скаляры α, β, не равные нулю одновременно».

Свойства выпуклого конуса[править | править код]

• Пересечение любого числа выпуклых конусов снова является выпуклым конусом. Тем самым выпуклые конусы образуют замкнутое семейство (по операции пересечения).
• Коническая оболочка pos⁡(X){\displaystyle \operatorname {pos} (X)} — это наименьший выпуклый конус, содержащий данное множество.

Согласно вышеприведённым определениям, если C является выпуклым конусом, то C ∪ {0} является выпуклым конусом тоже. Говорят, что выпуклый конус острый или тупой в зависимости от того, принадлежит ли ему нулевой вектор 0 или нет^[5]. Иногда употребляют термины заострённый и, соответственно, затупленный. ^[4][6].

Тупые конусы можно исключить из определения выпуклого конуса, заменив слова «неотрицательные» на «положительные» в условиях, налагаемых на α, β. Термин «острый» часто используется для замкнутых конусов, не содержащих полных прямых (то есть нетривиального подпространства окружающего пространства), то есть то, что ниже называется «выступающим» конусом.

Гиперплоскость (линейная) пространства V является максимальным возможным собственным линейным подпространством пространства V. Открытое (соотв. замкнутое) полупространство пространства V — это подмножество H пространства V, определённое условием L(x) > 0 (соотв. L(x) ≥ 0), где L — любая линейная функция из V в его скалярное поле. Гиперплоскость, определённая уравнением L(v) = 0, является ограничивающей гиперплоскостью для H.

Полупространства (открытые или замкнутые) являются выпуклыми конусами. Однако любой выпуклый конус C, не являющийся всем пространством V, должен содержаться в некотором замкнутом полупространстве H пространства V. Фактически топологически замкнутый выпуклый конус является пересечением всех замкнутых полупространств, содержащих его. Аналогичное утверждение верно для топологически открытого выпуклого конуса.

Выступающие конусы и совершенные полупространства[править | править код]

Говорят, что выпуклый конус является плоским (иногда — клином^[3]), если он содержит некоторый ненулевой вектор x и его противоположный —x, и выступающим в противном случае^[6].

Тупой выпуклый конус всегда является выступающим, но обратное не всегда верно. Выпуклый конус C является выступающим в том и только в том случае, когда C ∩ −C ⊆ {0}. То есть тогда и только тогда, когда C не содержит нетривиального линейного подпространства V.

Совершенное полупространство пространства V определяется рекурсивно следующим образом: если V имеет размерность ноль, то это множество {0}, в противном случае это открытое полупространство H пространства V вместе с совершенным полупространством ограничивающей гиперплоскости для H.^[7]

Любое совершенное полупространство является выступающим, и, более того, любой выступающий конус содержится в совершенном полупространстве. Другими словами, совершенные полупространства являются максимальными выступающими конусами (по включению). Можно показать, что любой острый выступающий конус (независимо от того, замкнут ли он топологически или открыт) является пересечением всех совершенных полупространств, включающих его.

Сечение и проекция выпуклых множеств[править | править код]

Плоское сечение[править | править код]

Аффинная гиперплоскость пространства V — это любое подмножество пространства V вида v + H, где v — вектор в V, а H — (линейная) гиперплоскость.

Следующее утверждение следует из свойства включения в полупространства. Пусть Q — открытое полупространство в V и A = H + v, где H — граничная гиперплоскость Q, а v — любой вектор в Q. Пусть C — линейный конус, содержащийся в Q. Тогда C является выпуклым конусом в том и только в том случае, когда множество C′ = C ∩A является выпуклым подмножеством гиперплоскости A (то есть множеством, замкнутым относительно выпуклых комбинаций).

Вследствие этого результата все свойства выпуклых множеств аффинного пространства имеют аналог для выпуклых конусов, содержащихся в фиксированном открытом полупространстве.

Сферическое сечение[править | править код]

Если дана норма | • | в пространстве V, мы определяем единичную сферу в V как множество

S={x∈V:|x|=1}.{\displaystyle S=\{x\in V\;:\;|x|=1\}.}

Если значения | • | являются скалярами в V, то линейный конус C в V — это выпуклый конус в том и только в том случае, когда его сферическое сечение C′ ∩ S (множество его векторов с единичной нормой) является выпуклым подмножеством S в следующем смысле: для любых двух векторов u, v ∈ C′ с u ≠ −v все вектора на кратчайшем пути из u в v на S лежат в C′.

Пусть C ⊂ V — выпуклый конус в вещественном векторном пространстве V, обладающем скалярным произведением. Двойственный конус к C — это множество^[8][9]

{v∈V:∀w∈C,⟨w,v⟩≥0}.{\displaystyle \{v\in V\;:\;\forall w\in C,\langle w,v\rangle \geq 0\}.}

Он тоже является выпуклым конусом. Если C совпадает со своим двойственным, C называется самодвойственным.

Другое частое определение двойственного конуса для C ⊂ V — это конус C* в сопряжённом пространстве V*:

C∗:={v∈V∗:∀w∈C,v(w)≥0}.{\displaystyle C^{*}:=\left\{v\in V^{*}\;:\;\forall w\in C,v(w)\geq 0\right\}.}

Другими словами, если V* — сопряжённое пространство пространства V, то двойственный конус — это множество линейных функций, неотрицательных на конусе C. Если мы примем, что V* — непрерывное сопряжённое пространство, то это множество непрерывных линейных функций, неотрицательных на C.^[10] Такое определение не требует наличия скалярного произведения в пространстве V.

В конечномерных пространствах оба определения двойственного конуса, по существу, эквивалентны, поскольку любое скалярное произведение образует линейный изоморфизм (невырожденное линейное отображение) из V* в V, и этот изоморфизм переводит двойственный конус (в V*) из второго определения в двойственный конус из первого определения.

Частичный порядок, определённый выпуклым конусом[править | править код]

Острый выступающий выпуклый конус C порождает частичный порядок «≤» на V, определяемый так, что x≤y тогда и только тогда, когда y − x ∈ C. (Если конус плоский, то же самое определение даёт просто предпорядок.) Суммы и умножение на положительный скаляр верного неравенства по отношению к этому порядку снова дают верные неравенства. Векторное пространство с таким порядком называется упорядоченным векторным пространством^[en]. Конус

P={x:x∈V,x≥0}.{\displaystyle P=\left\{x:x\in V,x\geq 0\right\}.}

называется положительным конусом^[6].

В качестве примеров можно привести порядковое произведение^[en][11] на вещественных векторах (Rⁿ) и порядок Лёвнера^[12]

Термин собственный (выпуклый) конус определяется различным образом в зависимости от контекста. Он часто означает выступающий выпуклый конус, не содержащий какую-либо гиперплоскость пространства V, возможно, с другими накладываемыми ограничениями, как, например, топологическую замкнутость (а вследствие этого, конус будет острым), или топологическую открытость (конус будет тупым)^[13]. Некоторые авторы используют термин «клин» для понятия, которое в этой статье обозначает выпуклый конус, и под термином «конус» понимается то, что в статье называется выступающим острым конусом, или то, что только что было названо собственным выпуклым конусом.

• Пусть задано замкнутое выпуклое подмножество K гильбертова пространства V, нормальный конус для множества K из точки x в K задаётся формулой.^[2]

NK(x)={p∈V:∀x∗∈K,⟨p,x−x∗⟩≥0}.{\displaystyle N_{K}(x)=\left\{p\in V\;:\;\forall x^{*}\in K,\langle p,x-x^{*}\rangle \geq 0\right\}.}

• Пусть задано замкнутое выпуклое подмножество K пространства V, касательный конус^[en] к множеству K из точки x задаётся формулой^[14]

TK(x)=⋃h>01h(K−x)¯.{\displaystyle T_{K}(x)={\overline {\bigcup _{h>0}{\tfrac {1}{h}}(K-x)}}.}

• Пусть задано замкнутое выпуклое подмножество K гильбертова пространства V, внешний нормальный конус к множеству K из точки x в K задаётся формулой^[15]

NK(x)={p∈V:∀x∗∈K,⟨p,x−x∗⟩⩽0}.{\displaystyle N_{K}(x)=\left\{p\in V\;:\;\forall x^{*}\in K,\langle p,x-x^{*}\rangle \leqslant 0\right\}.}

• Пусть задано замкнутое выпуклое подмножество K гильбертова пространства V, касательный конус к множеству K в точке x из K можно определить как полярный конус^[en]* к внешнему нормальному конусу NK(x){\displaystyle N_{K}(x)}:^[16][17]

Нормальные и касательные конусы замкнуты и выпуклы. Они являются важными концепциями в области выпуклого программирования, вариационных неравенств^[en] .

Связанные комбинации

1. ↑ Рокафеллар, 1973, с. 30.
2. ↑ ^{1 2} Рокафеллар, 1973, с. 32.
3. ↑ ^{1 2} Красносельский, Лифшиц, Соболев, 1985, с. 9.
4. ↑ ^{1 2} Бурбаки, 1959, с. 30.
5. ↑ Зоркальцев, Киселева, 2007.
6. ↑ ^{1 2 3} Эдвардс, 1969, с. 194.
7. ↑ Stolfi, 1991, с. 139.
8. ↑ Панина, 2009.
9. ↑ Boyd, Vandenberghe, 2004.
10. ↑ Кутателадзе, 2009, с. 1127.
11. ↑ Порядковое произведение — это порождённый порядок на прямом произведении частично упорядоченных множеств. Подробнее смотрите в книге Стенли, 1990
12. ↑ Определение порядка Лёвнера можно найти в книге Маршалл, Олкин, 1983
13. ↑ Шефер, 1971, с. 258.
14. ↑ Панагинотопулос, 1989, с. 171.
15. ↑ Панагинотопулос, 1989, с. 62.
16. ↑ Рокафеллар, 1973, с. 138.
17. ↑ Лейхтвейс, 1985, с. 54.
• Nicolas Bourbaki. Topological vector spaces. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1987. — (Elements of mathematics). — ISBN 978-3-540-13627-9.
• Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. — Cambridge, New York, Melbourne, Madrid, Cape Town, Singapore: Cambridge University Press, 2004. — С. 51. — ISBN 78-0-521-83378-3.

• Перевод на русский: Н. Бурбаки. Топологические векторные пространства. — Москва: Издательство иностранной литературы, 1959. — (Элементы математики).

• R. T. Rockafellar. Convex analysis. — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1970.

• Перевод на русский: Р. Рокафеллар. Выпуклый анализ. — Москва: «Мир», 1973.

• C. Zălinescu. Convex analysis in general vector spaces. — River Edge, NJ,: World Scientific Publishing  Co., Inc, 2002. — С. xx+367. — ISBN 981-238-067-1.
• В. И. Зоркальцев, М. А. Киселева. Системы линейных неравенств (учебное пособие). — Иркутск: ИГУ, 2007. — С. 21 Глава 1.5 Конусы.
• М.А. Красносельский, Е.А. Лифшиц, А.В. Соболев. ПОЗИТИВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ – Метод положительных операторов. — «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — (Теория и методы системного анализа).
• Stolfi. Oriented Projective Geometry: A Framework for Geometric Computations. — San Diego, London: Academic Press, Inc., 1991. — ISBN 0-12-672025-8.
• Moreau J. J. Numerical aspects of the sweeping process. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 177 (1999) 329—349 http://www.continuousphysics.com/ftp/pub/test/files/physics/papers/moreau.99.pdf
• А. Маршалл, И. Олкин. Неравенства: теория мажоризации и её приложения. — М.: «Мир», 1983.
• Р. Стенли. Перечислительная комбинаторика. — М.: «Мир», 1990. — ISBN 5-030001348-2.
• П. Панагинотопулос. Неравенства в механике и их приложения: Выпуклые и невыпуклые функции энергии. — М.: «Мир», 1989. — ISBN 5-03-000498-X.
• К. Лейхтвейс. Выпуклые множества. — Москва: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — ISBN 5-03-000498-X.
• Панина Г.Ю. Торические многообразия. Введение в алгебраическую геометрию. — Дубна, 2009.
• Р. Эдвардс. Функциональный анализ: теория и приложения. — М.: «Мир», 1969.
• Х. Шефер. Топологические векторные пространства. — М.: «Мир», 1971.
• С. С. Кутателадзе. Многоцелевые задачи выпуклой геометрии // Сибирский математический журнал. — «Мир», 2009. — Т. 50, вып. 5.