Расчет прогрессии геометрической прогрессии: Калькулятор геометрической прогрессии (формула, примеры, расчет суммы членов прогрессии)

Содержание

Посчитать геометрическую прогрессию

Все мы должны помнить со школы вот такое правило.

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, при которой отношение между предыдущим и последующим членами не меняется.

Очень заумно, не правда ли?

С данным калькулятором вам не придется каждый раз перечитывать, что такое прогрессия и для чего она нужна, не нужно носить с собой формулы. Все уже внесено в калькулятор.

Просто читаете условие задачи и вписываете свои входные данные в калькулятор и в результате можете получить правильно посчитанную сумму геометрической прогрессии Sn.

Также вы можете воспользоваться на нашем сайте и калькулятором арифметической прогрессии:

http://abcname.com.ua/calc/matematika/arithmetical-progression.html



The field is not filled.

‘%1’ is not a valid e-mail address.

Please fill in this field.

The field must contain at least% 1 characters.

The value must not be longer than% 1 characters.

Field value does not coincide with the field ‘%1’

An invalid character. Valid characters:’%1′.

Expected number.

It is expected a positive number.

Expected integer.

It is expected a positive integer.

The value should be in the range of [%1 .. %2]

The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.

The field must be less than 1%.

The first character must be a letter of the Latin alphabet.

Su

Mo

Tu

We

Th

Fr

Sa

January

February

March

April

May

June

July

August

September

October

November

December

century

B. C.

%1 century

An error occurred while importing data on line% 1. Value: ‘%2’. Error: %3

Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).

%3.%2.%1%4

%3.%2.%1%4 %6:%7

s.sh.

u.sh.

v.d.

z.d.

yes

no

Wrong file format. Only the following formats: %1

Please leave your phone number and / or email.

minutes

minutes

minute

minutes

minutes

minutes

minutes

minutes

minutes

minutes

minutes

minutes

minutes

hour

hours

hours

hours

hours

hours

hours

hours

hours

hours

hours

days

day

day

day

day

days

days

days

days

days

days

days

month

month

month

month

months

months

months

months

months

months

months

year

of the year

of the year

of the year

years

years

years

years

years

years

years

ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutesу ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 hour ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 days ago

%1 day ago

%1 day ago

%1 day ago

%1 day ago

%1 days ago

%1 days ago

%1 days ago

%1 days ago

%1 days ago

%1 days ago

%1 days ago

%1 month ago

%1 month ago

%1 month ago

%1 month ago

%1 months ago

%1 months ago

%1 months ago

%1 months ago

%1 months ago

%1 months ago

%1 months ago

%1 year ago

%1 of the year ago

%1 of the year ago

%1 of the year ago

%1 years ago

%1 years ago

%1 years ago

%1 years ago

%1 years ago

%1 years ago

%1 years ago

Геометрическая прогрессия

 Последний член an:

 Сумма геометрической прогрессии Sn:

 Сумма бесконечно убывающей прогрессии:

Внеклассный урок — Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

 

Геометрическая прогрессия – это такая последовательность отличных от нуля чисел, которая получается в результате умножения каждого последующего члена на одно и то же число, не равное нулю.

Пример геометрической прогрессии: 2, 6, 18, 54, 162.

Здесь каждый член после первого в 3 раза больше предыдущего. То есть каждый последующий член является результатом умножения предыдущего члена на 3:

2 · 3 = 6

6 · 3 = 18

18 · 3 = 54

54 · 3 = 162.

 

Знаменатель геометрической прогрессии.

Знаменатель геометрической прогрессии – это число, равное отношению второго и любого последующего члена к предыдущему члену прогрессии. Ее обычно обозначают буквой q.

В нашем примере при делении второго члена на первый, третьего на второй и т.д. мы получаем 3. Число 3 и является знаменателем данной геометрической прогрессии.

 

Свойства геометрической прогрессии:

1) Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов, стоящих перед ним и после него:

bn2 = bn-1 · bn+1

 

2) Верно и обратное утверждение: если в последовательности чисел квадрат любого ее члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов, стоящих перед ним и после него, то эта последовательность является геометрической прогрессией:

Пример:
Вернемся к нашей геометрической прогрессии 2, 6, 18, 54, 162. Возьмем четвертый член и возведем его в квадрат:

542 = 2916.

Теперь перемножим члены, стоящие слева и справа от числа 54:

18 · 162 = 2916.

Как видим, квадрат третьего члена равен произведению соседних второго и четвертого членов.

 

Как найти определенный член геометрической прогрессии.

Чтобы найти n-й член геометрической прогрессии, следует применить формулу:

bn = b1· qn – 1

Пример 1: Возьмем некую геометрическую прогрессию, в которой первый член равен 2, а знаменатель геометрической прогрессии равен 1,5. Надо найти 4-й член этой прогрессии.

Дано:
b1 = 2
q = 1,5
n = 4
————
b4 — ?

Решение.
Применяем формулу bn = b1 · qn – 1, вставляя в нее соответствующие значения:

b4 = 2 · 1,54 – 1 = 2 · 1,53 = 2 · 3,375 = 6,75.

Ответ: Четвертый член заданной геометрической прогрессии – число 6,75.

 

Пример 2: Найдем пятый член геометрической прогрессии, если первый и третий члены равны соответственно 12 и 192.

Дано:
b1 = 12
b3 = 192
————
b5 — ?

Решение.

1) Сначала нам надо найти знаменатель геометрической прогрессии, без которой решить задачу невозможно. В качестве первого шага с помощью нашей формулы выводим формулу для b3:

b3 = b1 · q3 – 1 = b1 · q2

Теперь мы можем найти знаменатель геометрической прогрессии:

           b3       192
q2 = —— = —— = 16
           b1        12

q = √16 = 4 или –4.

2) Осталось найти значение b5.

Если q = 4, то

b5 = b1q5-1 = 12 · 44 = 12 · 256 = 3072.

При q = –4 результат будет тот же. Таким образом, задача имеет одно решение.

Ответ: Пятый член заданной геометрической прогрессии – это число 3072.

 

Как найти сумму первых n членов геометрической прогрессии.

При q ≠ 1 сумму любого количества первых членов геометрической прогрессии можно найти с помощью одной из следующих формул:

                                                                           bnq – b1
                                                                 
Sn = ————
                                                                              q – 1

                                                                            b1 (qn – 1)
                                                                   Sn = —————
                                                                                q – 1

Если q = 1, то все члены прогрессии просто равны первому члену:

                                                                              Sn = nb1

 

Пример: Найдем сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (bn), в которой первый член равен 2, а знаменатель геометрической прогрессии 3.

Дано:

b1 = 2

q = 3

n = 5
————
S5 – ?

Решение.

Применяем вторую формулу из двух приведенных выше:

          b1 (q5 – 1)        2 (35 – 1)             2 · (243 – 1)                  484
S5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242
              q – 1                3 – 1                        2                              2

Ответ: Сумма первых пяти членов заданной геометрической прогрессии равна 242.

 

Сумма бесконечной геометрической прогрессии.

Следует различать понятия «сумма бесконечной геометрической прогрессии» и «сумма n членов геометрической прогрессии». Второе понятие относится к любой геометрической прогрессии, а первое – только к такой, где знаменатель меньше 1 по модулю.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии – это предельное число, к которому сходится последовательность прогрессии.

Говоря иначе, какой бы длинной не была геометрическая прогрессия, сумма ее членов не больше какого-то определенного числа и практически равна этому числу. Оно и называется суммой геометрической прогрессии.

Не любая геометрическая прогрессия имеет такую предельную сумму. Она может быть только у такой прогрессии, знаменатель которой – дробное число меньше 1.

 

Пример-пояснение:

Составим геометрическую прогрессию, в которой первый член – число 2, а знаметатель равен 1/2:

2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 и т.д.

Сложим все полученные члены прогрессии:

2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 = 255/64 ≈ 3,98 ≈ 4.

Можно продолжить прогрессию до 10, 100, миллиона членов, но во всех случаях сумма членов прогрессии будет практически равна 4. Число 4 и является суммой данной геометрической прогрессии.

Чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, не надо складывать все ее члены. Для этого существует замечательная и довольно простая формула.

 

Сумма S геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

                                                                                   b1
                                                                       S = ————
                                                                                 1 – q


b1 – первый член геометрической прогрессии; q – знаменатель прогрессии; |q| < 1.

 

Решим наш пример с помощью этой формулы.

В нем b1 = 2, q = 1/2. Итак:

               2                    2
S  =  ————  =  ———— = 4.
          1 – 1/2               1/2


Пример решен.

Прогрессия геометрическая — Энциклопедия по экономике

Читатель найдет здесь доступное описание основных экономико-математических методов, построенных как на традиционном аппарате математики и логики, известном из школьных программ (дроби, проценты, уравнения, прогрессии, геометрические и логические задачи), так и на основе методов исследования операций — современном математическом аппарате, специально созданном для решения тех задач, с которыми элементарная математика не справляется.
Это методы оптимизации (линейное, нелинейное и динамическое программирование), теория вероятностей и математическая статистика, теория массового обслуживания (теория очередей), метод статистических испытаний (Монте-Карло), теория игр и статистических решений, сетевое планирование.  [c.6]

Геометрическая прогрессия. Геометрической прогрессией называется последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число q. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.  [c.52]

Сумма членов геометрической прогрессии  [c.113]

К. к. представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, где членом прогрессии является коэффициент изменения добычи, и определяется по формуле  [c.16]

Сумма этой геометрической прогрессии составляет  [c.182]

В данном случае мы имеем дело с геометрической прогрессией, поэтому применив известную из курса математики формулу суммы членов геометрической прогрессии, мы получаем выражение для будущей стоимости обычного n-периодного аннуитета  [c. 314]

Применив формулу суммы геометрической прогрессии, получаем  [c.314]

Применив к этому выражению формулу суммы членов геометрической прогрессии, получаем искомое выражение для текущей стоимости аннуитета  [c.321]

Если члены аннуитета изменяются в соответствии с некоторыми законами (в частности, образуют арифметическую или геометрическую прогрессию), то общие формулы для определения будущей или приведенной стоимости аннуитета можно упростить.  [c.293]

Оценка переменного аннуитета постнумерандо, платежи которого образуют геометрическую прогрессию а) будущая стоимость аннуитета  [c.339]

Наращение по сложным процентам описывается геометрической прогрессией. Множитель наращения будет выглядеть как (1 + /). Наращенная сумма исчисляется по алгоритму  [c.58]

Следует заметить, что этот коэффициент представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, где первый член равен [c.91]

Практика уплаты процентов основывается на теории наращивания денежных средств по арифметической или геометрической прогрессии. Арифметическая прогрессия соответствует простым процентам, геометрическая — сложным, т.е. в зависимости от того, что является базой для начисления — переменная или постоянная величина — проценты также делятся на  [c.72]

Наращенные отдельные платежи РМТ, PMT( +i)1, PMT(l+i)2 представляют собой геометрическую прогрессию с первым членом R и множителем прогрессии (1 +/). Поэтому искомая сумма как сумма геометрической прогрессии для случая т=1, Р- равна  [c.95]

Дисконтированные отдельные платежи РМТ( + г)»1, РМТ (1+1) 1У РМТ(( + г)»1)3 представляют собой геометрическую прогрессию с первым членом РМТ( + i) l и знаменателем (1 +/)» Ее сумма имеет вид  [c.99]

В этом случае формула (11.16) трансформируется в формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому  [c.460]

Неравные интервалы применяются в статистике, когда значения признака варьируют неравномерно и в значительных размерах, что характерно для большинства социально-экономических явлений, особенно при анализе макроэкономических показателей.

Неравные интервалы могут быть прогрессивно возрастающими или убывающими в арифметической или геометрической прогрессии. Величина интервалов, изменяющихся в арифметической прогрессии, определяется следующим образом  [c.29]

В геометрической прогрессии величина интервалов исчисляется по формуле  [c.29]

Если количество подчиненных увеличивается в арифметической прогрессии, то число потенциально возможных межличностных отношений между руководителем и подчиненными возрастает в геометрической прогрессии. Это происходит по той причине, что руководитель имеет дело с тремя типами межличностных контактов прямые двусторонние прямые множественные комбинация тех и других. Первые — это отношения между руководителем и конкретным подчиненным. Вторые — это отношения руководителя с двумя или более подчиненными. Третьи — это отношения между подчиненными.  [c.315]

Можно автоматически заполнять большие блоки ячеек числами, значение которых подчиняется арифметической или геометрической прогрессии.

Для значений типа дат можно создавать прогрессии с определенной периодичностью и шагом по месяцам, годам, рабочим дням и т. п. Команда меню Правка > Заполнить > Прогрессия выводит диалоговое окно Прогрессия для ввода параметров (рис. 5.22).  [c.370]

Параметры диалогового окна заполняются с учетом типа прогрессии. Для числовых величин выбирается арифметическая или геометрическая прогрессия, задается шаг приращения либо указывается автоматическое определение шага. Для дат выбирается единица периодичности (день, рабочий день, месяц, год), шаг. Можно указать предельное значение ряда.  [c.370]

Для числового ряда указывается Тип прогрессии (арифметическая, геометрическая), Шаг, Предельное значение.  [c.371]

Модель (8.32) называется моделью с распределением Койка лаговых объясняющих переменных. Ее еще иногда называют моделью с геометрическим распределением, имея в виду, что коэффициенты при лаговых переменных образуют геометрическую прогрессию со знаменателем yi (напомним, что yjПреобразование модели (8. 15) к виду (8.32) называется обратным преобразованием Койка.  [c.203]

Отметим также следующее обстоятельство. Если остатки ряда модели подчинены процессу скользящей средней, уравнение с нормально распределенными ошибками будет содержать бесконечное число лагов переменной Y. Коэффициенты при них убывают в геометрической прогрессии, и можно ограничиться несколькими первыми членами. В этом случае метод максимального правдоподобия практически равносилен нелинейному методу наименьших квадратов.  [c.205]

Мы снова можем вывести это, используя те же принципы. Нам необходимо вычислить сумму бесконечной геометрической прогрессии  [c.35]

Обеспечьте максимально возможный доступ к вашей BBS. Ваша аудитория расширится в геометрической прогрессии, если вы обеспечите шлюз в Интернет из вашей BBS. Стоимость этой акции невелика, если учесть размер аудитории, которую вы получите.  [c.284]

Такие доводы достаточно очевидно демонстрируют недостатки линейной функциональной структуры (при увеличении п выпуск падает в геометрической прогрессии, т. к.  [c.182]

Когда-то, еще на заре восходящего капитализма, в таком снижении рождаемости его идеологи, наверно, не усмотрели бы никакой опасности. Как известно, эти идеологи, наоборот, в качестве подлинного социального пугала выдвинули иную опасность, кроющуюся якобы в чрезмерной плодовитости населения. Ведь именно тогда, в 1798 г., был впервые провозглашен Мальтусом пресловутый закон народонаселения, состоящий в постоянном стремлении, свойственном всем живым существам, размножаться быстрее, чем это допускается находящимся в их распоряжении количеством пищи . Этот закон утверждается Мальтусом как вечный и непреложный закон естества, действующий во все время и прж всевозможных условиях, в которых жил или продолжает жить человек . Мы можем,— формулировал свой закон Мальтус,— считать несомненным, что если размножение населения не встречает никакого препятствия, то оно удваивается каждые 25 лет ж возрастает в геометрической прогрессии , в то время как средства существования при самых благоприятных условиях для труда ни в каком случае не могут возрастать быстрее, чем в арифметической прогрессии 2.  [c.126]

Тенденция геометрического роста населения предполагает постоянный коэффициент рождаемости, что при ограничении этого роста населения арифметической прогрессией средств существования означает соответствующее снижение естественного прироста за счет возрастания коэффициента смертности. Говоря иначе, весь избыток рождений сверх нормы, укладывающейся в рамки арифметической прогрессии, обрекается законом Мальтуса на вымирание. Всякому, кому не посчастливилось уже родиться  [c.126]

Однако теория Мальтуса, как известно, самым блестящим образом — и притом по всем пунктам — окончательно провалилась. При Мальтусе, в 1800 г., население Англии составляло 16,2 млн. человек геометрическая прогрессия удвоения через каждые 25 лет дала бы к 1950 г. при нормальной смертности свыше 1 млрд. душ, арифметическая за счет повышения смертности дала бы 113,4 млн., а фактически, несмотря на резкое снижение смертности, население Соединенного королевства к 1950 г. едва достигло 50 млн. душ, А между тем Англия 1950 г. не беднее, а богаче Англии 1800 г. из расчета на душу населения. Оказалось, что именно средства существования в наше время способны возрастать много быстрее, чем население. Их относительное перепроизводство в капиталистическом мире то и дело достигает таких масштабов, что в порядке борьбы с кризисами перепроизводства буржуазия очень ревностно добивается резкого сокращения посевных площадей и продуктивного животноводства, а уже готовые продукты литания во избежание снижения на них рыночных цен целыми горами сжигаются или выбрасываются в море. И тем не менее, несмотря на столь явное, казалось бы, перепроизводство средств существования, в динамике населения капиталистических стран не только не выявляется никаких тенденций к геометрическим темпам роста, но, более того, здесь не приходится уже говорить даже об арифметической прогрессии. Следует же здесь говорить только разве о прямой регрессии ряда ежегодных приростов населения и о столь существенном их сокращении, при котором далеко не всегда обеспечивается даже простое его воспроизводство. И это несмотря на повсеместное — вопреки предпосылкам теории Мальтуса — сокращение смертности. Ежегодные приросты населения падают при этом, несмотря на сокращение смертности потому, что еще быстрее падают тоже наперекор основной предпосылке Мальтуса коэффициенты рождаемости во всех странах, И в этом теперь основной гвоздь проблемы.  [c.127]

Одним из важнейших направлений конструкторской унификации является сокращение номенклатуры изделий, имеющих одинаковое или сходное эксплуатационное назначение. Оно реализуется в первую очередь путем создания параметрических рядов (гамм) изделий. Каждый ряд представляет собой совокупность изделий, аналогичных по кинематике, рабочему процессу, но различных по габаритным, мощностным или другим основным эксплуатационным параметрам (грузоподъемность грузового автомобиля или крана, рабочий объем двигателя, производительность компрессора и т. д.). Параметрический ряд, как правило, создается в соответствии с ГОСТ 8032—84 Предпочтительные числа и ряды предпочтительных чисел . Обычно пользуются четырьмя десятичными рядами R5 RIO , R20 R40 с соответствующими знаменателями геометрической прогрессии 1,6 1,25 1,12 1,06. Расчет параметрических рядов для выбора экономически рационального разрежения ряда производится по Типовым методикам оптимизации параметрического (типоразмерного) ряда и соответствующей типовой методике для многомерных рядов. Имеются экономико-математические модели их оптимизации, основанные как на классических методах в условиях непрерывности и дифференцируемости функции затрат и функции спроса и наличии экстремума общих затрат, так и неклассических методах оптимизации, разработанных, в частности, Институтом математики Сибирского отделения АН СССР. Параметрические ряды формируют в каждой отрасли перспективный типаж изделий, что весьма ограничивает их возможную номенклатуру.  [c.107]

Чем выше значение коэффициента использования материала (Лим 1), тем при прочих равных условиях технологичнее данная конструкция, тем ниже ее себестоимость. Средние коэффициенты использования черных металлов в различных отраслях в среднем составляют в автомобилестроении — 0,68, тракторном и сельскохозяйственном машиностроении — 0,75, тяжелом, энергетическом и транспортном машиностроении — 0,79, электротехнической промышленности — 0,65, станкоинструмен-тальной промышленности — 0,69. Как видно из приведенных данных, коэффициенты использования материалов в настоящее время намного ниже единицы. Правильный выбор процесса формообразования деталей, сближение геометрических форм и размеров заготовки с размерами готовой детали является одним из главных тенденций технического прогресса в машиностроении.  [c.124]

Группировка называется простой (монотетической), если для ее построения используется один группировочный признак. Если группировка проводится по нескольким признакам, она называется сложной (политетической). Обычно такая группировка проводится как комбинационная, т.е. группы, выделенные по одному признаку, подразделяются на подгруппы по другому признаку. Казалось бы, этот метод выделения групп должен быть лучше простой группировки -ведь трудно ожидать, что различия между группами можно уловить лишь на основе одного признака. Однако комбинация признаков приводит к дроблению совокупности в геометрической прогрессии число групп будет равно произведению числа группировочных признаков (/) на число выделенных категорий по каждому из них (т) k = / т. Данные становятся труднообозримыми, группы включают малое число единиц, групповые показатели становятся ненадежными.  [c.119]

Хотя число финансовых коэффициентов, которые могли бы быть рассчитаны, растет в геометрической прогрессии по мере прибавления исходной информации, в этой главе будут рассмотрены только основные из них, поскольку на практике оказывается достаточным использование относительно небольшого числа показателей для того, чтобы верно оценить финансовое положение компании. Расчет же дополнительных показателей не только излишне усложняет, но и вносит порядочную путаницу в анализ. Рассматриваемые в этой главе показатели будут для иллюстрации рассчитываться на основании данных баланса и отчета о прибылях и убытках Aldine Manufa turing ompany, приведенных в табл. 6.1 и 6.2.  [c.142]

Заметим, что переменные X не коррелируют с ошибками Е, так что, применив обратное преобразование Койка, мы решили проблему коррелированности регрессоров со случайными членами. Однако применение обычного метода наименьших квадратов к модели (8.32) оказывается на практике невозможным из-за бесконечно большого количества регрессоров. Разумеется, в силу того, что коэффициенты входящего в модель ряда убывают в геометрической прогрессии, и, стало быть, сам ряд быстро сходится, можно было бы ограничиться сравнительно небольшим числом лагов. Однако и в этом случае мы столкнулись бы по крайней мере с двумя трудно решаемыми проблемами. Во-первых, возникла бы сильная мультиколлинеарность, так как естественно ожидать, что лаговые переменные сильно коррели-рованы. Во-вторых, уравнение оказалось бы неидентифицируемым. В модели на самом деле присутствует всего четыре параметра. Между тем как, взяв всего лишь три лага, мы бы получили оценки пяти параметров.  [c.203]

Нам необходимо вычислить сумму бесконечной геометрической прогрессии PV=a( +x+x3+. ..), гдеа = С/(1 + г), a x = ( +g)/( + r). Всноске4мы показали,что сумма такой профессии равна а/( — х). Подставим а и х в формулу и найдем, что  [c.34]

Разделив все анкеты по среднему уровню одаренности на группы, отличающиеся друг от друга всего на долбалла, ж приняв численность наиболее многолюдной группы за 100, мы видим, что такие группы занимают центральное положение по среднему баллу одаренности. Численность же всех остальных групп, стоящих выше или ниже этого уровня одаренности, быстро падает. При этом повышение или понижение этого уровня в арифметической прогрессии всего на десятки процентов сопровождается сокращением численности соответствующей группы в геометрической прогрессии в десятки раз.  [c.96]

Имея в виду теснейшую взаимную связь всех технических и экономических моментов общественно-производственного процесса, можно бы избрать для наблюдения в качестве показателя общей дипамики какой-нибудь один наиболее простой из этих моментов. Так, например, известны очень любопытные попытки принять за меру технического прогресса в целом темпы роста числа изобретений, патентуемых ежегодно в данной стране (Л. К. Мартене). При этом допущении нетрудно статистически установить для всех стран, имеющих патентное бюро, что число изобретений возрастает в них за последние два века в геометрической прогрессии. Можно установить и сравнительные темны этого роста. Они как будто представляют собой за последнее время довольно постоянную величину для каждой страны в отдельности, но довольно различную для разных стран. По имеющимся расчетам этого рода, уровень мировой техники возрастает за каждое десятилетие процентов на 20, достигая для СШЛ прироста в 33%, для Германии и довоенной России — 29, для Японии — 27, для Англии — 19, для Франции — 12%.  [c.410]

Правда, Л. Н. Крицман имеет в виду не начальную эпоху капитализма, в последние полвека, т. е. период его полного расцвета ж даже отчасти начало его дряхлости и загнивания. Говоря о капитализме, что его историческое призвание — безудержное, измеряемое в геометрической прогрессии развитие производительности человеческого труда , Маркс предвидел также и такие условия, в которых капитализм изменяет этому призванию , тем самым доказывая, что он дряхлеет и все более и более изживает себя 8. И все же такой низкий прирост — за цельте полвека всего на 50%,—о котором говорит Л. Н, Крицмаи, является совершенно неправдоподобным.  [c.412]

Показательная кривая первого порядка (y = aqx) характеризует процесс непрерывного возрастания с постоянным коэффициентом роста, т. е. по формуле геометрической прогрессии. Некоторые экономические показатели могут расти по такому закону, в особенности связанные прямо или косвенно с ростом населения, а поэтому в целях сравнительного анализа мы обобщили ряд народного дохода и по кривой такого типа, а также попытались выравнять этот ряд и по показательной кривой 2-го порядка.  [c.127]

Сумма геометрической прогрессии | Онлайн калькулятор

Сумма геометрической прогрессии имеет несколько различных представлений, которые зависят от знаменателя прогрессии. Для возрастающей положительной, отрицательной или знакочередующейся прогрессии имеет место исключительно сумма нескольких первых членов геометрической прогрессии, количество которых должно быть ограничено, так как сама последовательность будет бесконечной.

Для прогрессии, знаменатель которой заключен между нулем и единицей, то есть является правильной дробью (0, сумма всей последовательности будет вполне однозначным конкретным числом, так как весь числовой ряд будет убывающим. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеет свою отдельную формулу, которую можно найти в соответствующем разделе, вместе с калькулятором.

Чтобы найти сумму первых членов геометрической прогрессии, необходимо знать первый член и знаменатель прогрессии. Если по условиям задачи дан какой-либо другой член прогрессии, кроме первого, тогда нужно будет сначала воспользоваться формулой первого члена геометрической прогрессии, чтобы вычислить его, и подставить полученное значение в онлайн калькулятор суммы.

Формула суммы первых трех, четырех или n членов геометрической прогрессии выводится с использованием среднего геометрического, как основного свойства данной прогрессии. Любое из чисел, стоящих в ряду, будет равно среднему геометрическому его соседей:

Если объединить это свойство с отношением двух последовательных членов прогрессии, которые неизменно равно одному и тому же числу — знаменателю, то путем нехитрых сокращений, сумма первых нескольких членов геометрической прогрессии приводится к такому виду:

В некоторых источниках встречается похожий вариант, но с другими знаками в скобках — по сути окончательного значения это не меняет, и для ручного расчета, когда даны первые несколько членов, уместно использовать более удобную на момент формулу.

Геометрическая прогрессия Калькулятор | Геометрическая прогрессия Расчет

N-й член в геометрической прогрессии N-й член геометрической прогрессии N-й член от конца в конечной геометрической прогрессии N-й член от конца конечной геометрической прогрессии с учетом последнего члена и общего отношения Общее соотношение Среднее геометрическое двух чисел Среднее геометрическое с учетом среднего гармонического и среднего арифметического Сумма бесконечной геометрической прогрессии для данного r меньше единицы Сумма бесконечной геометрической прогрессии, кроме первых n членов Сумма первых n членов в конечной геометрической прогрессии

Арифметико-геометрическая прогрессия | Блестящая математика и естественные науки вики

Теперь, когда мы нашли сумму конечного числа членов, давайте рассмотрим случай бесконечного числа членов. Мы, конечно, не можем вручную суммировать бесконечные члены, поэтому нам придется найти общий подход. Начнем с обсуждения проблемы, с которой вы столкнулись, вверху этой страницы:

.

12+24+38+416+532+⋯= ?\большой\dfrac{\color{#3D99F6}{1}}{\color{#D61F06}{2}}+\dfrac{\color{#3D99F6}{ 2}}{\color{#D61F06}{4}}+\dfrac{\color{#3D99F6}{3}}{\color{#D61F06}{8}}+\dfrac{\color{#3D99F6}{ 4}}{\color{#D61F06}{16}}+\dfrac{\color{#3D99F6}{5}}{\color{#D61F06}{32}}+\cdots=\, ?21​+42 ​+83​+164​+325​+⋯=?


Предположим, что данная серия является SSS, тогда

S=12+24+38+416+532+⋯ .S=\dfrac 12 +\dfrac 24 +\dfrac 38+\dfrac{4}{16}+\dfrac{5}{32}+\cdots.S=21​+42​+83​+164​+325 +⋯.

Умножая SSS на 12\frac 1221​, получаем

S2=14+28+316+432+564+⋯ . \dfrac S2=\dfrac 14 +\dfrac 28 +\dfrac{3}{16}+\dfrac{4}{32}+\dfrac{5}{64}+\cdots.2S​=41​+82​ +163​+324​+645​+⋯.

Теперь, вычитая S2\frac S22S​ из SSS, получаем

S=12+24+38+416+532+⋯S2=0+14+28+316+432+564+⋯S(1−12)=12+14+18+116+132+⋯⇒S2= 12+14+18+116+132+⋯ , \begin{массив} {rlllllllll} S&=\dfrac 12 &+\dfrac 24 &+\dfrac 38 &+\dfrac{4}{16} &+\dfrac{5}{32}+ \cdots \\ \dfrac S2&=0&+\dfrac 14 & +\dfrac 28 & +\dfrac{3}{16}&+\dfrac{4}{32}+\dfrac{5}{64}+\cdots \\ \hline S \left(1- \dfrac 12 \right)& =\dfrac 12& +\dfrac 14 & + \dfrac 18 & +\dfrac{1}{16} & +\dfrac{1}{32} +\cdots \ \ \Стрелка вправо \dfrac S2&=\dfrac 12 &+\dfrac 14 &+ \dfrac 18 &+\dfrac {1}{16} &+\dfrac {1}{32} +\cdots, \end{array}S2S​S(1−21​)⇒2S​=21​=0=21​=21​+42​+41​+41​+41​​+83​+82​+ 81+81+164+163+161+161+325+⋯+324+645+⋯+321+⋯+321+⋯,​

, который является GP. 2 } = 2 1−21​21​​+(1−21​)21×21​​=2.
Второе суммирование представляет собой геометрическую прогрессию с суммой до бесконечности 141−12=12 \frac { \frac{1}{4} } { 1 — \frac{1}{2} } = \frac{1}{ 2} 1−21​41​​=21​.
Следовательно, сумма равна 2−12=1,5 □ 2 — \frac{1}{2} = 1,5 \ _\квадрат 2−21​=1,5 □​.

Решение 2:

Данную серию можно записать как

14+38+516+732+⋯ .\dfrac 14+\dfrac 38 +\dfrac{5}{16}+\dfrac{7}{32}+\cdots .41​+83​+165​+327 +⋯.

Умножив и разделив ряд на 444, получим

14(1+32+54+78+⋯ ).2} \right) =\dfrac 14 \left( 2+4 \right)=1.5. \ _\квадрат S=41​⎝⎜⎜⎜⎛​1−21​1​+(1−21​)22⋅21​​⎠⎟⎟⎟⎞​=41​(2+4)=1,5. □​

Решение приведенных ниже задач проверит, владеете ли вы концепциями и решением проблем:

Найти значение ppp по заданному

3+14(3+п)+142(3+2п)+143(3+3п)+⋯=8. n } n=1∑∞​3n2n​ может быть выражено в виде ab \frac{ a}{b} ba​, где aaa и bbb — взаимно простые положительные целые числа.Найдите a−b a — b a−b.

Геометрические прогрессирование (GP) расчет — Stoparen

Content

  • Определение геометрических прогрессирования
  • Обозначения геометрических прогрессирования
  • N-й срок GP
  • Сумма геометрической серии
  • Сумма GP до бесконечности
  • Среднее геометрическое

Определение G. P

В последовательности 5, 10, 20, 40 первый член равен 5, а знаменатель

Между членами равен 2 e.г. ( 10 / 5 или 40 / 2o = 2).

Последовательность, в которой члены увеличиваются или уменьшаются в обыкновенном отношении, называется геометрической прогрессией. …….. .

Обозначения в G. P

A = 1 ST Срок

R = Общее соотношение

U N = nth Term

S N = Sum

N-й член Г.P

n-й термин = un

un = ar n-1

1

1 ST Срок = A

2 ND Срок = AXR = Ar

3 RD Срок = Axrxr = ar 2

4

4 th Срок = axrxrxr = ar 3

8 th Срок = axrxrxrxrxrxrxr = ar 7

n-й термин = axrxrxrx ………… AR N-1

Пример

Учитывая ГП 5, 10, 20, 40.Найти его (a) 9 th Срок (b) nth Server

Решение

A = 5 r = 10/5 = 2

U 9 = Ar N-1

U 9 = 5 (2) 9-1

= 5 (2) 8

= 5 x 256 = 1,280

(b) U N = Ar N-1

= 5 (2) n-1

ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ (ГП)

ОЦЕНКА

Третий член G.П. составляет 1/81. Определите первый член, если знаменатель равен 1/3.

ОБЩАЯ ОЦЕНКА/ВОПРОС НА ПОВЕРКУ

1. p – 6, 2p  и 8p + 20 – три последовательных члена общей практики. Определить значение (a) p (b) знаменателя

2. Если 1 , x , 1 , y , …. находятся в GP , найти произведение x и y

       16        4       

3.   термин GP равен 45, а пятый термин 405. Найдите GP если обыкновенное отношение r положительно.

4. Найдите 7 -й член и n-й член прогрессии 27,9,3,…

5.В ОП второй и четвертый члены равны 0,04 и 1 соответственно. Найдите (a) обыкновенное отношение (b) первый член

НАЗНАЧЕНИЕ НА ВЫХОДНЫЕ

1. В 2 м и 4 м терминах общей практики 8 и 32 соответственно, какова сумма первого четыре термина. (a) 28    (b) 40    (c) 48    (d) 60

2. Сумма первых пяти членов G.P. 2, 6, 18, is     (a) 484    (b) 243      (c) 242    (d) 130

3. 4 th член GP равен  -2/3, а его первый член равен 18 чему. является его обыкновенным отношением. (A) ½ (b) 1 / 3

(c) -1 / 3 (d) -1 / 2

4. Если 2 Nd и 5 -й член ГП равен -6 и 48 соответственно, найдите сумму первых четырех членов: (а) -45    (б) -15     (в) 15    (г) 33

5.Найдите первый член Г.П. если его обыкновенное отношение и сумма к бесконечности – 3 / 3 и соответственно (а) 48    (б) 18    (в) 40   (г) -42

ТЕОРИЯ

1. 3 -й член

(i)         Общее отношение         (ii) Первый член        (iii)        Сумма первых четырех членов

1b. Если (3-x) + (6) + (7-5x) является геометрическим рядом, найдите два возможных значения для

(i)   x     (ii) обыкновенное отношение, r          (iii) сумма  G. P

2. Первый член общей математики равен 48. Найдите общее отношение между его членами, если его сумма равна 36.

Задание по чтению

Новая общая математика SSS2

Мы заинтересованы в продвижении БЕСПЛАТНОГО обучения. Расскажите своим друзьям о Stoplearn.com. Нажмите кнопку «Поделиться» ниже! Загрузите наше бесплатное мобильное приложение для Android : Сохраняйте свои данные при использовании нашего бесплатного приложения. Нажмите, чтобы загрузить приложение StopLearn. Скачать бесплатно редактируемые шаблоны резюме/резюме : Нажмите здесь. Присоединяйтесь к дискуссионному форуму и выполняйте задание : Найдите вопросы в конце каждого урока. Обсудите свои ответы на этом форуме. Нажмите на картинку, чтобы следовать.

Родственные

Произведение n членов геометрической прогрессии

Цель состоит в том, чтобы найти формулу для вычисления произведения первых членов геометрической прогрессии без необходимости их вычисления. 0=1$$ и отношением $$r=2.5.$$

Тогда произведение равноотстоящих членов в крайних точках равно произведению крайних.

Это потому, что эквидистантные члены получаются путем увеличения первого и уменьшения последнего в той же пропорции. Следовательно, произведение этих двух факторов должно быть таким же, как произведение исходных факторов: крайностей.

Пусть $$a_1$$ и $$a_n$$ — крайние значения, $$a_{1+k}$$ — терм, стоящий $$k$$ позиций после первого, и $$a_{nk}$ $ терм стоит $$k$$ позиций перед последним, мы хотим видеть, что $$a_1\cdot a_n=a_{1+k}\cdot a_{nk}$$.{15}=32,768$$$

Чтобы облегчить составление и упростить запись, если мы работаем с большим количеством чисел, которые мы не можем записать явно, для обозначения «произведения» мы будем использовать греческую заглавную букву Пи: $$\prod.$ $

Мы запишем переменную, которую мы умножаем, и начальный член внизу, а последний член, который нужно умножить, вверху. Рядом с буквой Пи мы напишем общий член прогрессии, которую мы хотим умножить. n$$$

Как вычислить геометрический ряд — Видео и стенограмма урока

Доказательство формулы

Геометрическая последовательность начинается с некоторого числа.( н — 1). Поскольку это серия, мы хотим добавить все эти вещи, поэтому мы добавляем их все вместе.

Предположим, что это равно s , нашей сумме. Вот что у нас есть. Это то, что мы хотим знать. Чему равно s ? Что ж, если s равно тому, что мы только что написали, я могу умножить обе части уравнения на r . Это будет означать r * s . Теперь мне просто нужно распределить r на все, что там есть.14)/(1 — 3)). Это упрощается до 2((1 — 4 782 969)/(1 — 3)). Продолжая и вычитая, я получаю 2 (-4 782 969/-2). Выполняя деление, отрицательное, деленное на отрицательное, является положительным. Затем делаем умножение, и похоже, что наше видео набрало 4 782 968 просмотров только за первые две недели.

Упрощение формулы

Нахождение формулы для бесконечного ряда

Формула, которую мы нашли, работает для всех конечных геометрических рядов. Но, как оказалось, он также будет работать и для некоторых бесконечных геометрических рядов. Если r , обыкновенное отношение, больше 1, то серия становится все больше и больше и больше, и она никогда не остановится. Найти конкретную сумму будет невозможно, потому что она просто станет бесконечностью.

Если вместо этого r находится между 0 и 1, сумма будет сходиться к определенному числу. Это потому, что числа, которые мы собираемся добавлять, становятся настолько маленькими, что в основном превращаются в 0 и на самом деле ничего не делают. n исчезает из нашей формулы, и наша формула превращается в ( a _1)((1 — 0)/(1 — r )). Затем я могу умножить a _1 на 1, и моя формула упростится до ( a _1)/(1 — r ) .

Сумма сходится к определенному числу.

Решение бесконечного геометрического ряда

Один из классических примеров бесконечной геометрической последовательности, которая на самом деле имеет конечную сумму, связан с шаром, который подбрасывается в воздух, а затем отскакивает снова и снова, пока не перестает прыгать и приземляется на землю. Вопрос: какое расстояние пролетел мяч?

Предположим, что в этом примере он был подброшен в воздух, затем упал и пролетел 2 фута в своем первом полете. Затем, когда он отскочил и ударился о землю, он прошел 1/4 дистанции. Таким образом, если в первый раз он поднялся и опустился на 2 фута, то во второй раз он поднимется и опустится только на полфута. Затем он будет подниматься и опускаться только на 0,125 фута, а затем будет постоянно подпрыгивать все меньше и меньше. Теоретически это будет продолжаться вечно, до бесконечности.( н — 1). 2 — это начальное значение, а обычное отношение равно 1/4.

Мы хотим взять сумму от первого до бесконечного члена этого правила, и теперь я могу просто использовать мою формулу: ( a _1)/(1 — r ). a _1 равно 2, а r равно 1/4. Моя формула превращается в 2/(1 — 1/4). 1 — 1/4 это 3/4. Деление на дробь — это то же самое, что и умножение на обратную ей. Я получаю 2 * 4/3. Подставив 1 под 2 и умножив их, я получаю 8/3 или около 2. n )/(1 — r )) где r — обыкновенное отношение, а n — количество членов ряда. Бесконечный геометрический ряд можно вычислить, используя упрощенную версию этой формулы ( a _1)/(1 — r ), но только если r находится между 0 и 1.

12.4: Геометрические последовательности и ряды

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Определить, является ли последовательность геометрической
  • Найдите общий член (\(n\)-й член) геометрической прогрессии
  • Найдите сумму первых \(n\) членов геометрической прогрессии
  • Найдите сумму бесконечного геометрического ряда
  • Применение геометрических последовательностей и рядов в реальном мире

Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.{x}\), найти a. \(f(1)\) б. \(f(2)\) в. \(f(3)\).
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 3.49.

Определить, является ли последовательность геометрической

Теперь мы готовы рассмотреть второй особый тип последовательности, геометрическую последовательность.

Последовательность называется геометрической последовательностью , если соотношение между последовательными элементами всегда одинаково. Отношение между последовательными членами в геометрической последовательности равно \(r\), обыкновенному отношению , где \(n\) больше или равно двум.

Определение \(\PageIndex{1}\)

Геометрическая последовательность — это последовательность, в которой соотношение между последовательными членами всегда одинаково.

Отношение между последовательными членами, \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\), равно \(r\), обычное отношение . \(n\) больше или равно двум.

Рассмотрим эти последовательности.

Рисунок 12.3.1 Пример
\(\PageIndex{1}\)

Определите, является ли каждая последовательность геометрической. Если да, укажите обыкновенное отношение.

  1. \(4,8,16,32,64,128, \точки\)
  2. \(-2,6,-12,36,-72,216, \точки\)
  3. \(27,9,3,1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \ldots\)

Решение :

Чтобы определить, является ли последовательность геометрической, мы находим отношение показанных последовательных членов.

а. Найдите отношение последовательных членов

\(\begin{align} 4, \quad& \:8, \quad 16, \quad 32, \quad 64, \quad 128, \dots \\ &\frac{8}{4} \quad\frac{ 16}{8}\quad\frac{32}{16}\quad\frac{64}{32}\quad\frac{128}{64} \\ &\:2 \quad\:\:\: 2 \quad\quad2\quad\quad2\quad\quad2 \end{выровнено}\)

Последовательность геометрическая.Общий паек равен \(r=2\).

б. Найдите отношение последовательных членов

\(\begin{align}-\:2,\quad &\:\:\:6,\quad -12,\quad 36,\quad \:-72\quad \:\:216,\dots \ \ & \frac{6}{-2}\quad\frac{-12}{6}\quad\frac{36}{-12}\quad\frac{-72}{36}\quad\frac{216 }{-72} \\ & -3\quad -2\quad\:\: -3\quad \:\:\:-2\quad \:\:-3 \end{выровнено}\)

Последовательность не является геометрической. Общей пропорции нет.

в. Найдите отношение последовательных членов

\(\begin{align}27,\quad &\:\:9,\quad 3,\quad 1,\quad \frac{1}{3},\quad \frac{1}{9}, \ ldots\\ & \frac{9}{27}\quad\frac{3}{9}\quad\frac{1}{3}\quad\frac{\frac{1}{3}}{1}\ quad \ frac {\ frac {1} {9}} {\ frac {1} {3}} \\ &\ frac {1} {3} \ quad \; \: \ frac {1} {3} \ quad \frac{1}{3}\quad\:\frac{1}{3}\quad\:\frac{1}{3}\end{выровнено}\)

Последовательность геометрическая. Обычное отношение равно \(r=\frac{1}{3}\).

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Определите, является ли каждая последовательность геометрической. Если да, укажите общее соотношение.

  1. \(7,21,63,189,567,1,701, \точки\)
  2. \(64,16,4,1, \frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \dots\)
  3. \(2,4,12,48,240,1440, \точки\)
Ответить
  1. Последовательность геометрическая со знаменателем \(r=3\).
  2. Последовательность геометрическая со знаменателем \(d=\frac{1}{4}\).
  3. Последовательность не является геометрической. Общей пропорции нет.
Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Определите, является ли каждая последовательность геометрической. Если да, укажите общее соотношение.

  1. \(-150,-30,-15,-5,-\frac{5}{2}, 0, \dots\)
  2. \(5,10,20,40,80,160, \точки\)
  3. \(8,4,2,1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \ldots\)
Ответить
  1. Последовательность не является геометрической. Общей пропорции нет.
  2. Последовательность геометрическая со знаменателем \(r=2\).
  3. Последовательность геометрическая со знаменателем \(r=\frac{1}{2}\).

Если мы знаем первый член \(a_{1}\) и знаменатель \(r\), мы можем перечислить конечное число членов последовательности.

Пример \(\PageIndex{2}\)

Запишите первые пять членов последовательности, где первый член равен \(3\), а знаменатель равен \(r=−2\).

Решение :

Начнем с первого члена и умножим его на обыкновенный коэффициент. Затем мы умножаем этот результат на обыкновенное отношение, чтобы получить следующий член, и так далее.

\(\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {a_{3}} & {a_{4}} & {a_{5}} \\ {3} & {3 \cdot(-2)} & {-6 \cdot(-2)} & {12 \cdot(-2)} & {-24 \cdot(-2)} \\& {-6} & {12} и {-24} и {48}\конец{массив}\)

Ответ :

Последовательность \(3,-6,12,-24,48,\точки\)

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Запишите первые пять членов последовательности, где первый член равен \(7\), а знаменатель равен \(r=−3\).

Ответить

\(7,-21,63,-189,567\)

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

Запишите первые пять членов последовательности, где первый член равен \(6\), а знаменатель равен \(r=−4\).

Ответить

\(6,-24,96,-384,1536\)

Найти общий член (\(n\)-й член) геометрической последовательности

Точно так же, как мы нашли формулу для общего члена последовательности и арифметической прогрессии, мы можем также найти формулу для общего члена геометрической прогрессии.

Давайте запишем несколько первых членов последовательности, где первый член равен \(a_{1}\), а знаменатель равен \(r\). Дальше будем искать закономерность.

Рисунок 12.3.2

Когда мы ищем закономерность в пяти приведенных выше терминах, мы видим, что каждый из них начинается с \(a_{1}\).

Первый член, \(a_{1}\), не умножается ни на один \(r\). {2}\)).{13}\)

Упростить.

\(a_{14}=\frac{1}{128}\)

Упражнение \(\PageIndex{5}\)

Найдите тринадцатый член последовательности, где первый член равен \(81\), а знаменатель равен \(r=\frac{1}{3}\).

Ответить

\(\frac{1}{6,561}\)

Упражнение \(\PageIndex{6}\)

Найдите двенадцатый член последовательности, где первый член равен \(256\), а знаменатель равен \(r=\frac{1}{4}\).

Ответить

\(\frac{1}{16 384}\)

Иногда мы не знаем обыкновенного отношения, и мы должны использовать данную информацию, чтобы найти его, прежде чем мы найдем запрошенный термин.

Пример \(\PageIndex{4}\)

Найдите двенадцатый член последовательности \(3, 6, 12, 24, 48, 96, …\) Найдите общий член последовательности.

Решение :

Чтобы найти двенадцатый член, мы используем формулу \(a_{n}=a_{1} r^{n-1}\), поэтому нам нужно сначала определить \(a_{1}\) и обыкновенное отношение \(r\). {n}\right)}{1-r}\).{20}\справа)}{1-2}\)

Упростить.

\(S_{20}=7 340 025\)

Упражнение \(\PageIndex{9}\)

Найти сумму первых \(20\) членов геометрической прогрессии \(3, 6, 12, 24, 48, 96, …\)

Ответить

\(3 145 725\)

Упражнение \(\PageIndex{10}\)

Найдите сумму первых \(20\) членов геометрической прогрессии \(6, 18, 54, 162, 486, 1,458, …\)

Ответить

\(10 460 353 200\)

В следующем примере нам дана сумма в виде суммирования.{15}}\конец{массив}\)

По мере того, как \(n\) становится все больше и больше, сумма становится все больше и больше. Это верно, когда \(|r|≥1\) и мы называем ряд расходящимся. Мы не можем найти сумму бесконечного геометрического ряда, когда \(|r|≥1\).

Давайте рассмотрим бесконечный геометрический ряд, знаменатель которого на долю меньше единицы,
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac {1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\ldots\). Здесь члены становятся все меньше и меньше по мере того, как \(n\) становится больше. Рассмотрим несколько конечных сумм для этого ряда.{n}\right)}{1-r} \\ S &=\frac{a_{1}(1-0)}{1-r} \\ S &=\frac{a_{1}}{1 -r} \end{выровнено}\)

Эта формула дает нам сумму бесконечной геометрической прогрессии. Обратите внимание, что \(S\) не имеет нижнего индекса \(n\), как в \(S_{n}\), поскольку мы не добавляем конечное число терминов.

Определение \(\PageIndex{5}\)

Для бесконечного геометрического ряда, первый член которого равен \(a_{1}\) и знаменателю \(r\),

Если \(|r|<1\), сумма равна

\(S=\frac{a_{1}}{1-r}\)

Если \(|r|≥1\), бесконечный геометрический ряд не имеет суммы.Говорят, что ряд расходится.

Пример \(\PageIndex{7}\)

Найдите сумму бесконечного геометрического ряда \(54+18+6+2+\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\ldots\)

Решение :

Чтобы найти сумму, мы сначала должны убедиться, что обыкновенное отношение \(|r|<1\), а затем мы можем использовать формулу суммы \(S=\frac{a_{1}}{1-r}\ ).

Найдите обыкновенное отношение.

\(\begin{array}{ll}{r=\frac{18}{54}} & {r=\frac{6}{18} \dots} \\ {r=\frac{1}{3 }} & {r=\frac{1}{3} \quad|r|<1}\end{массив}\)

Идентифицировать \(a_{1}\).

\(а_{1}=54\)

Зная \(a_{1}=54, r=\frac{1}{3}\), используйте формулу суммы.

\(S=\frac{a_{1}}{1-r}\)

Подставить значения.

\(S=\frac{54}{1-\frac{1}{3}}\)

Упростить.

\(S=81\)

Ответ :

\(S=80\)

Упражнение \(\PageIndex{13}\)

Найдите сумму бесконечного геометрического ряда \(48+24+12+6+3+\frac{3}{2}+\dots\)

Ответить

\(96\)

Упражнение \(\PageIndex{14}\)

Найдите сумму бесконечного геометрического ряда \(64+16+4+1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\dots\)

Ответить

\(\frac{256}{3}\)

Интересное использование бесконечных геометрических рядов — запись повторяющейся десятичной дроби.

Пример \(\PageIndex{8}\)

Запишите повторяющуюся десятичную дробь \(0,5\) в виде дроби.

Решение :

Перепишите \(0.5\), показав повторяющиеся пять. Используйте разрядное значение, чтобы переписать это как сумму. Это бесконечный геометрический ряд.

0,5555555555555\(\ldots\)
\(0,5+0,05+0,005+0,0005+\dots\)

Найдите обыкновенное отношение.

\(\begin{array}{ll}{r=\frac{0.05}{0.5}} & {r=\frac{0.005}{0.05} \dots} \\ {r=0.1} & {r=0,1 \quad|r|<1}\end{массив}\)

Идентифицировать \(a_{1}\)

\(а_{1}=0,5\)

Зная \(a_{1}=0,5 ,r=0,1\), используйте формулу суммы.

\(S=\frac{a_{1}}{1-r}\)

Подставить значения.

\(S=\frac{0.5}{1-0.1}\)

Упростить.

\(S=\фракция{0,5}{0,9}\)

Умножить числитель и знаменатель на \(10\).

\(S=\frac{5}{9}\)

Нас просят найти форму дроби.

\(0,5 = \фракция{5}{9}\)

Упражнение \(\PageIndex{15}\)

Запишите повторяющуюся десятичную дробь \(0,4\) в виде дроби.

Ответить

\(\frac{4}{9}\)

Упражнение \(\PageIndex{16}\)

Запишите повторяющуюся десятичную дробь \(0,8\) в виде дроби.

Ответить

\(\ гидроразрыва{8}{9}\)

Применение геометрических последовательностей и рядов в реальном мире

Одно из применений геометрических последовательностей связано с потребительскими расходами.Если налоговая скидка предоставляется каждому домохозяйству, эффект на экономику во много раз превышает размер индивидуальной скидки.

Пример \(\PageIndex{9}\)

Правительство решило предоставить налоговую скидку в размере $\(1000\) каждому домохозяйству, чтобы стимулировать экономику. Согласно государственной статистике, каждое домохозяйство потратит \(80\)% скидки на товары и услуги. Предприятия и частные лица, которые извлекли выгоду из этого \(80\)%, затем потратят \(80\)% того, что они получили, и так далее. {2}+\ldots\)

Здесь первый член равен \(1000, a_{1}=1000\). Обычное отношение равно \(0,8, r=0,8\). Мы можем оценить эту сумму, поскольку \(0,8<1\). Воспользуемся формулой суммы бесконечного геометрического ряда.

\(S=\frac{a_{1}}{1-r}\)

Подставьте значения \(a_{1}=1000\) и \(r=0,8\).

\(S=\frac{1000}{1-0,8}\)

Оценить.

\(S=5000\)

Ответ :

Суммарный эффект $\(1000\), полученных каждым домохозяйством, составит $\(5000\) роста экономики.

Упражнение \(\PageIndex{17}\)

Каково общее влияние на экономику государственной налоговой скидки в размере $\(1000\) для каждого домохозяйства с целью стимулирования экономики, если каждая семья потратит \(90\)% скидки на товары и услуги?

Ответить

$\(10 000\)

Упражнение \(\PageIndex{18}\)

Каково общее влияние на экономику государственной налоговой скидки в размере $\(500\) для каждого домохозяйства с целью стимулирования экономики, если каждая семья потратит \(85\)% скидки на товары и услуги?

Ответить

$\(3,333. {n t} \\ \text { Пусть } n=1 .{1}\) \(3\)-й депозит \(P\) на конец года \(3\)     \(П\) Таблица 12.3.2

Через три года стоимость ренты составляет

Рисунок 12.3.10

Это сумма членов геометрической последовательности, где первый член равен \(P\), а знаменатель равен \(1+r\). Подставляем эти значения в формулу суммы. Будьте осторожны, у нас есть два разных использования \(r\).{t}-1\right)}{r} \end{выровнено}\)

Помните, что наша предпосылка заключалась в том, что в конце каждого года вносится один депозит.

Мы можем адаптировать эту формулу для \(n\) депозитов, сделанных в год, и проценты начисляются \(n\) раз в год.

Определение \(\PageIndex{6}\)

Для основной суммы \(P\), инвестированной в конце периода начисления процентов, с процентной ставкой \(r\), которая начисляется \(n\) раз в год, новый баланс, \(A \) , через \(t\) лет, это

\(A_{t}=\frac{P\left(\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}-1\right)}{\frac{r}{n} }\)

Пример \(\PageIndex{10}\)

Новоиспеченные родители решают инвестировать $\(100\) в месяц в качестве аннуитета для своей маленькой дочери. {n t}-1\right)}{\frac{r}{n}}\), нам нужно идентифицировать \(P, r, n\) и \(t\).

Определить \(P\), сумму, инвестируемую каждый месяц.

\(Р=100\)

Определить \(r\), годовую процентную ставку, в десятичной форме.

\(r=0,05\)

Определите \(n\), сколько раз будет вноситься вклад и проценты, начисляемые каждый год.

\(n=12\)

Определить \(t\), количество лет.

\(t=18\)

Зная \(P=100, r=0.{12.18}-1\справа)}{\frac{0.05}{12}}\)

Используйте калькулятор для расчета. Обязательно используйте скобки по мере необходимости.

\(A_{t}=34,920 .20\)

Ответ :

У ребенка будет $\(34 920,20\)

Упражнение \(\PageIndex{19}\)

Новые бабушка и дедушка решают инвестировать $\(200\) в месяц на аннуитет для своего внука. Счет будет платить \(5\)% годовых, которые ежемесячно начисляются. Сколько будет на счету ребенка к его двадцать первому дню рождения?

Ответить

$\(88 868. 36\)

Упражнение \(\PageIndex{20}\)

Артуро только что получил свою первую постоянную работу после окончания колледжа в возрасте \(27\). Он решил инвестировать $\(200\) в месяц в IRA (аннуитет). Проценты по аннуитету составляют \(8\)%, которые начисляются ежемесячно. Сколько будет на счету Артуро, когда он уйдет на пенсию в свой шестьдесят седьмой день рождения?

Ответить

$\(698 201,57\)

Получите доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики с последовательностями.

Ключевые понятия

\(S=\frac{a_{1}}{1-r}\)

Говорят, что ряд сходится.

Если \(|r|≥1\), то бесконечный геометрический ряд не имеет суммы. Говорят, что ряд расходится.

Глоссарий

рента
Аннуитет – это инвестиция, представляющая собой последовательность равных периодических депозитов.
обыкновенное отношение
Отношение между последовательными элементами в геометрической последовательности, \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\), равно \(r\), обычному отношению, где \(r\) больше больше или равно двум.
геометрическая последовательность
Геометрическая последовательность — это последовательность, в которой соотношение между последовательными элементами всегда одинаково
бесконечный геометрический ряд
Бесконечный геометрический ряд — это бесконечная сумма бесконечной геометрической последовательности.

Геометрическая серия — Страница 2

Решенные проблемы

Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.5} + \ldots = 2x + 1,\;\;\left| х \ справа | \lt 1.\]

Пример 7

Второй член бесконечной геометрической прогрессии (\(\left| q \right| \lt 1\)) равен \(21\), а сумма прогрессии равна \(112. \) Определить первый член и отношение прогрессии.

Пример 3.

Найдите сумму ряда

\[{S_7} = 1 — \frac{1}{{\sqrt 2}} + \frac{1}{2} — \frac{1}{{2\sqrt 2}} + \frac{1} {4} — \frac{1}{{4\sqrt 2 }} + \frac{1}{8}.7}}}{{1 — \left( { — \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}} = \frac{{1 — \frac{1}{{8\sqrt 2} }}}{{1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }}}} = \frac{{\frac{{8\sqrt 2 — 1}}{{8\sqrt 2 }}}}{{ \ frac {{\ sqrt 2 + 1}} {{\ sqrt 2}}}} = \ frac {{8 \ sqrt 2 — 1}} {{8 \ left ({\ sqrt 2 + 1} \ right)} }.\]

Пример 4.

Выразите повторяющуюся десятичную дробь \(0,131313 \ldots \) ​​в виде рационального числа.

Раствор.

Мы можем написать:

\[0,131313 \ldots = \frac{{13}}{{100}} + \frac{{13}}{{10000}} + \frac{{13}}{{1000000}} + \ldots = \frac{{13}}{{100}}\left( {1 + \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{10000}} + \ldots } \right).2} — 4 \cdot 3 = 4,\;\; \Rightarrow {x_{1,2}} = \frac{{ — 4 \pm \sqrt 4 }}{6} = \frac{{ — 4 \pm 2}}{6} = — 1, — \frac{ 1}{3}. 2} — 16q + 3 = 0.2} — 4 \cdot 16 \cdot 3 = 256 — 192 = 64,\;\; \Rightarrow {q_{1,2}} = \frac{{16 \pm \sqrt {64} }}{{32}} = \frac{{16 \pm 8}}{{32}},\;\ ; \Rightarrow {q_1} = \frac{{24}}{{32}} = \frac{3}{4},\;\; {q_2} = \frac{8}{{32}} = \frac{1}{4}.\]

Для каждого отношения \(q\) определяем первые члены:

\[\left( {{a_1}} \right)_1 = \frac{{21}}{{{q_1}}} = \frac{{21}}{{\frac{3}{4}}} = 28,\;\; \left( {{a_1}} \right)_2 = \frac{{21}}{{{q_2}}} = \frac{{21}}{{\frac{1}{4}}} = 84. \]

Таким образом, у задачи два ответа:

  1. \({a_1} = 28,\;q = {\frac{3}{4}} ;\)
  2. \({a_1} = 84,\;q = {\frac{1}{4}} .\)

Геометрический ряд в финансах

Геометрический ряд в финансах

Геометрический ряд в Финансы

© 2007 Л. Л. Уильямс

Геометрический ряд — это чудо математики, которое управляет много природного мира. Однако именно в финансах геометрическая серия находит, возможно, свою самую большую предсказательную силу. В 21 ст века нашей жизнью правят деньги. Как рассчитываются ипотечные кредиты? Сколько денег у меня будет через 20 лет, если я буду регулярно откладывать отдали фиксированную сумму денег и на нее начисляются проценты? Если вы хотите понимать деньги, нужно понимать геометрический ряд.А также самое замечательное в геометрическом ряду то, что при всей его сила в нашем мире, это одна из немногих серий, которая поддается суммирование в закрытой форме. Благодаря великодушному Творцу, единственному серию, которую нам важно понять, это та серия, которую мы можем полностью понять.

1. Ипотека

Начнем с ипотеки. Вы собираетесь занять сумму из деньги Р для доверителя. Вы собираетесь сделать фиксированный ежемесячный платеж м за период г годы.Ты будешь платить фиксированную годовую процентную ставку р , что означает что твой ежемесячные проценты составляют р = 12.

р.

Если вы подождете за месяц до первого платежа, вы будете должны проценты за этот месяц RP в дополнение к основной P . Но когда вы, наконец, сделаете свой первый платеж, сумма долга, P( 1 +r) , уменьшится на м :

Еще через месяц вы должны проценты в размере r [ P( 1 +r)-m ] на сумму, причитающуюся выше, но вы произвели еще один платеж m так что ваша сумма задолженности сейчас:

После третьего платежа,

После n платежей,

Итак, насколько большим должен быть ваш ежемесячный платеж? Простой: м является выбран таким образом, чтобы при окончательном платеже причитающаяся сумма равнялась нулю.С вы делаете 12 платежей в год за и лет, мы можем поставить н= 12 y . Затем P , m , y , и r связаны:

Как вы уже догадались, термин справа — это геометрический ряд. Давайте уделим немного времени рассмотрению серии. К начнем, напишем серию в более простой форме. Для любой константы a , геометрический ряд:

Чтобы получить решение этой суммы в закрытой форме, обязательный. Мы умножьте обе части ряда на a :

Затем вычтите первое уравнение из второго. Наш трюк позволяет каждый член с правой стороны, чтобы отменить, кроме последнего члена во втором уравнении и первый член в первом уравнении:

и вуаля, сумма ряда G(a,n) может быть написано очень просто:

Используя это выражение для геометрического ряда, отношение между P , m , y , и р это:

Или проще:

При любых трех из следующих параметров: основная сумма, ежемесячный платеж, срок кредита и процентная ставка, четвертый может быть определен.Это уравнение который определяет ваш ежемесячный платеж, когда вы занимаете сумму P и финансировать его по годовой ставке 12 р за у год.

Можно ссылку на простую ипотеку калькулятор веб-страница, на которой это уравнение запрограммировано на Javascript. Когда вы ссылаетесь на страницу, нажмите «Просмотр исходного кода» на вашем браузер в см. это уравнение делает расчет для вас.

Обратите внимание, что термин мощности справа сторона руки обычно < 1.Поэтому быстрое приближение к написать

Проценты по полной главные множества размер ежемесячного платежа, не зависящий от срока кредита. Как основная сумма выплачивается, большая часть платежа идет на основную сумму и меньше процентов, но ежемесячный платеж остается прежним.

2. Инвестиции

Геометрический ряд также определяет процентную инвестиции накапливаются со временем. Рассмотрим обратный сценарий, который мы рассматривается для ипотеки: вы откладываете ежемесячную сумму м на который начисляются проценты по годовой ставке р. и месячная ставка г=р/ 12.Предположим, вы начинаете с суммы м в твоем инвестиционный счет. Через месяц вы заработали РМ интерес, и отложил еще один прирост м :

Еще через месяц вы заработаете проценты в размере р [ м( 1 +р) +m ] на свой баланс и внесите еще один депозит m :

После n месяцев:

Конечно, мы можем записать эту сумму в закрытой форме, используя формула для G(a,n) мы вывели в закладной раздел:

Это уравнение показывает, что ваши инвестиции пропорциональны в ежемесячный платеж. Двойной платеж дает двойную инвестицию в любое время. В то время как инвестиции растут линейно с ежемесячным оплаты, она растет в геометрической прогрессии с курсом р и с время n . Срок в зависимости от ставки может быть думал о денежный коэффициент увеличения M который зависит от r и n или, что удобнее, на R= 12 r и n= 12 y:

М(5%, 5 лет) = 68; М(5%, 10 лет) = 155; М(5%, 20 лет) = 411

М(10%, 5 лет) = 77; М(10%, 10 лет) = 205; М(10%, 20 лет) = 759

Так что через 5 лет вы бы платить в свой инвестиции 60 м, еще сила компаундирования интерес бы увеличить это до 68 м на 5%, или 77 м в 10%.Более 20 лет вы заплатили бы 240 м , но 10% процентов были бы больше чем утроить это значение до 759 м . Это означает, что малые значения м может эффективно работать в течение длительного периода времени. Геометрический увеличение за 40 лет при 10% будет ошеломляющим 6400, или 13 раз больше суммы, которую заплатили. Вот как богатые династии устойчивый. Как только они начинаются, сила геометрического компаундирования обеспечивает их экспоненциальный рост.

Так как геометрический увеличение коэффициент не зависит от величины резерва, размера месячной откладывание менее важно, чем просто наличие геометрического начисления процентов в работать на как можно больше денег.

3. Экспоненциальный предел

Геометрический рост стоимости инвестиции также может быть правильно называется экспоненциальным и связано с экспоненциальной функцией. Чтобы увидеть это, используйте простой идентификатор

.

, что верно для r << 1. Поскольку r = R/12 действительно часто << 1, стоимость инвестиции может быть приблизительно равна:

Таким образом, математически верно, что геометрическое начисление инвестиции растут в геометрической прогрессии.

4. В стороне: Ксено Парадокс

Трудно в наше время оценить триумф представлена ​​простой формулой для G(a,n) . Ан древнегреческий по имени Ксено (или Зенон) придумал «парадокс», который тупик мыслители на протяжении тысячелетий. Ксено сказал, что ты никогда не сможешь уйти от точки А в точку Б, потому что сначала нужно было пройти 1/2 расстояния. Затем вы пришлось пройти 1/2 оставшегося расстояния, или 1/4. Тогда половина этого, или 1/8 и так далее.Потому что ты мог бы вечно делать полшага, рассуждал Ксено, вы никогда не сможете добраться до точки Б. Конечно, Ксеон всегда добрался до дома в конце дня, так что его аргумент представлял парадокс.

Разрешение парадокса Ксено требует помощи геометрический ряд. Для Xeno мы устанавливаем a= 1/2 и вычитаем из 1 так что мы начните с 1/2, принимая ограничение в бесконечное количество шагов.

Единственный трюк в том, чтобы знать, что 1/2 возводится в степень бесконечность уходит в ноль.Но здесь расстояние сводится к единице.

Ксено, возможно, смог подвести итог серии, но ключевой шаг тот ускользнуло от него, и то, что ожидало изобретения исчисления, было можно трактовать бесконечность как число.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *