• 15 минут веселья в день
• Адаптируется к уровню вашего ребенка
• Миллионы учеников с 2009 года

Группа создания контента.
Мультидисциплинарная и мультикультурная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать наилучший математический контент.

простых чисел — почему они так интересны? · Границы для молодых умов

Аннотация

Простые числа привлекали внимание людей с первых дней существования цивилизации. Мы объясняем, что они из себя представляют, почему их изучение волнует как математиков, так и любителей, а по пути открываем окно в мир математики.

С самого начала человеческой истории простые числа вызывали человеческое любопытство. Кто они такие? Почему вопросы, связанные с ними, такие сложные? Одна из самых интересных вещей, связанных с простыми числами, — это их распределение среди натуральных чисел. В малом масштабе появление простых чисел кажется случайным, но в большом масштабе появляется закономерность, которая до сих пор не до конца изучена. В этой короткой статье мы попытаемся проследить историю простых чисел с древних времен и использовать эту возможность, чтобы погрузиться и лучше понять мир математики.

Составные числа и простые числа

Вы когда-нибудь задумывались, почему сутки делятся ровно на 24 часа, а круг на 360 градусов? У числа 24 есть интересное свойство: его можно разделить на целых равных частей относительно большим числом способов. Например, 24÷2 = 12, 24÷3 = 8, 24÷4 = 6 и т. д. (остальные варианты заполните сами!). Это означает, что сутки можно разделить на две равные части по 12 часов каждая, дневную и ночную. На фабрике, которая работает без остановок в 8-часовые смены, каждый день делится ровно на три смены.

По этой же причине окружность была разделена на 360°. Если круг разделить на две, три, четыре, десять, двенадцать или тридцать равных частей, каждая часть будет содержать целое число степеней; и есть дополнительные способы деления круга, которые мы не упомянули. В древности деление круга на равные по размеру сектора с высокой точностью было необходимо для различных художественных, астрономических и инженерных целей. С компасом и транспортиром как единственными доступными инструментами деление круга на равные сектора имело большое практическое значение. ¹

Целое число, которое можно записать как произведение двух меньших чисел, называется составным числом . Например, уравнения 24 = 4 × 6 и 33 = 3 × 11 показывают, что 24 и 33 — составные числа. Число, которое нельзя разбить таким образом, называется простым числом . Цифры

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и 29

— все простые числа. На самом деле это первые 10 простых чисел (при желании можете проверить это сами!).

Глядя на этот краткий список простых чисел, уже можно сделать несколько интересных наблюдений. Во-первых, кроме числа 2, все простые числа нечетные, так как четное число делится на 2, что делает его составным. Таким образом, расстояние между любыми двумя простыми числами в строке (называемое последовательных простых чисел) не меньше 2. В нашем списке мы находим последовательные простые числа, разница которых ровно 2 (например, пары 3,5 и 17, 19). Существуют также большие промежутки между последовательными простыми числами, например, разрыв в шесть чисел между 23 и 29; каждое из чисел 24, 25, 26, 27 и 28 является составным числом. Еще одно интересное наблюдение заключается в том, что в каждой из первой и второй групп из 10 чисел (имеется в виду между 1–10 и 11–20) есть четыре простых числа, а в третьей группе из 10 (21–30) только два. Что это значит? Становятся ли простые числа реже по мере их роста? Может ли кто-нибудь пообещать нам, что мы сможем бесконечно находить все больше и больше простых чисел?

Если на этом этапе вас что-то волнует и вы желаете продолжить изучение списка простых чисел и поднятых нами вопросов, значит, у вас математическая душа.Останавливаться! Не продолжайте читать! ² Возьмите карандаш и лист бумаги. Запишите все числа до 100 и отметьте простые числа. Проверьте, сколько существует пар с разницей в два. Проверьте, сколько простых чисел в каждой группе из 10. Сможете ли вы найти закономерности? Или список простых чисел до 100 кажется вам случайным?

Немного истории и концепция теоремы

Простые числа с древних времен привлекали внимание человека и даже ассоциировались со сверхъестественным. Даже сегодня, в наше время, есть люди, пытающиеся придать простым числам мистических свойств. Известный астроном и писатель Карл Саган в 1985 году написал книгу под названием «Контакт», посвященную инопланетянам (человекоподобной культуре за пределами Земли), пытающимся общаться с людьми, используя простые числа в качестве сигналов. Идея о том, что сигналы, основанные на простых числах, могут служить основой для связи с внеземными культурами, до сих пор будоражит воображение многих людей.

Принято считать, что серьезный интерес к простым числам начался еще во времена Пифагора. Пифагор был древнегреческим математиком. Его ученики, пифагорейцы, частично ученые, частично мистики, жили в шестом веке до нашей эры. Они не оставили письменных свидетельств, и то, что мы знаем о них, исходит из историй, которые передавались устно. Триста лет спустя, в третьем веке до нашей эры, Александрия (в современном Египте) была культурной столицей греческого мира. Евклид (рис. 1), живший в Александрии во времена Птолемея Первого, может быть известен вам по евклидовой геометрии, названной его именем. Евклидова геометрия преподается в школах более 2000 лет. Но Евклида также интересовали числа. В девятой книге его работы «Элементы», в предложении 20, впервые появляется математическое доказательство теоремы о том, что простых чисел бесконечно много.

• Рисунок 1
• Люди, стоящие за простыми числами.

Это хорошее место, чтобы сказать несколько слов о концепции теоремы и математического доказательства.Теорема — это утверждение, выраженное на математическом языке, и можно с уверенностью сказать, что оно либо верно, либо неверно. Например, теорема «бесконечно много простых чисел» утверждает, что в системе натуральных чисел (1,2,3…) список простых чисел бесконечен. Точнее говоря, эта теорема утверждает, что если мы напишем конечный список простых чисел, то всегда сможем найти другое простое число, которого нет в этом списке. Чтобы доказать эту теорему, недостаточно указать дополнительное простое число для конкретного заданного списка. Например, если мы укажем 31 как простое число вне списка первых 10 простых чисел, упомянутого ранее, мы действительно покажем, что этот список не включает все простые числа. Но, может быть, прибавив 31, мы нашли все простые числа, и больше их нет? Что нам нужно сделать, и что Евклид сделал 2300 лет назад, так это представить убедительный аргумент, почему для 90 418 любого конечного списка 90 419, каким бы длинным он ни был, мы можем найти простое число, которое в него не входит. В следующем разделе мы представим доказательство Евклида, не обременяя вас излишними подробностями.

Доказательство Евклида существования бесконечного множества простых чисел

Чтобы доказать, что существует бесконечно много простых чисел, Евклид использовал другую известную ему основную теорему, а именно утверждение, что « каждое натуральное число может быть записано как произведение простых чисел ». Легко убедиться в истинности этого последнего утверждения. Если вы выберете число, которое не является составным, то оно само будет простым. В противном случае вы можете записать выбранное вами число как произведение двух меньших чисел.Если каждое из меньших чисел является простым, вы представили свое число как произведение простых чисел. Если нет, запишите меньшие составные числа как произведения еще меньших чисел и так далее. В этом процессе вы продолжаете заменять любые составные числа произведениями меньших чисел. Поскольку невозможно делать это вечно, этот процесс должен закончиться, и все меньшие числа, которые у вас получатся, больше нельзя будет разбить, то есть они будут простыми числами. В качестве примера давайте разложим число 72 на его простые множители:

72 = 12 × 6 = 3 × 4 × 6 = 3 × 2 × 2 × 6 = 3 × 2 × 2 × 2 × 3.

Основываясь на этом основном факте, теперь мы можем объяснить прекрасное доказательство Евклида бесконечности множества простых чисел. Мы продемонстрируем эту идею, используя список первых 10 простых чисел, но заметим, что эта же идея работает для любого конечного списка простых чисел. Перемножим все числа в списке и добавим к результату единицу. Присвоим получившемуся числу имя N . (Значение N на самом деле не имеет значения, так как аргумент должен быть действительным для любого списка.)

N = (2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29)+1.

Число N , как и любое другое натуральное число, можно записать в виде произведения простых чисел. Кто эти простые числа, простые делители N ? Мы не знаем, потому что не вычисляли их, но одно знаем точно: все они делят N . Но число N оставляет остаток единицы при делении на любое из простых чисел в нашем списке 2, 3, 5, 7,…, 23, 29.Предполагается, что это полный список наших простых чисел, но ни одно из них не делит на . Таким образом, простые делители N не входят в этот список, и, в частности, должны быть новые простые числа после 29.

Сито Эратосфена

Нашли ли вы все простые числа меньше 100? Какой метод вы использовали? Вы проверяли каждое число по отдельности, чтобы увидеть, делится ли оно на меньшие числа? Если вы выбрали именно этот путь, вы определенно потратили много времени. Эратосфен (рис. 1), один из величайших ученых эллинистического периода, жил через несколько десятилетий после Евклида. Он служил главным библиотекарем в библиотеке Александрия , первой библиотеке в истории и самой большой в древнем мире. Он интересовался не только математикой, но и астрономией, музыкой и географией и первым вычислил окружность Земли с впечатляющей для своего времени точностью. Среди прочего, он придумал хитрый способ найти все простые числа до заданного числа.Поскольку этот метод основан на идее просеивания (просеивания) составных чисел, он называется Решетом Эратосфена .

Мы продемонстрируем решето Эратосфена на списке простых чисел, меньших 100, который, надеюсь, еще перед вами (рис. 2). Обведите число 2, так как оно является первым простым числом, а затем сотрите все его старшие кратные, а именно все составные четные числа. Перейдите к следующему нестертому числу, номеру 3.Поскольку оно не было стерто, оно не является произведением меньших чисел, и мы можем обвести его, зная, что оно простое. Снова сотрите все его более высокие кратные. Обратите внимание, что некоторые из них, например 6, уже удалены, а другие, например 9, будут стерты сейчас. Следующее нестертое число — 5 — будет обведено кружком. Опять же, сотрите все его старшие кратные: 10, 15 и 20 уже удалены, но, например, 25 и 35 должны быть стерты сейчас. Продолжайте в том же духе. До тех пор, пока не? Попробуйте подумать, почему после прохождения 10=100 нам не нужно продолжать процесс.Все числа меньше 100, которые не были стерты, являются простыми числами и их можно смело обводить!

• Рисунок 2 – Сито Эратосфена.
• Составные числа зачеркнуты, а простые обведены.

Частота простых чисел

Какова частота простых чисел? Сколько примерно простых чисел находится между 1 000 000 и 1 001 000 (один миллион и один миллион плюс одна тысяча) и сколько между 1 000 000 000 и 1 000 001 000 (один миллиард и один миллиард плюс одна тысяча)? Можем ли мы оценить количество простых чисел от одного триллиона (1 000 000 000 000) до одного триллиона плюс одна тысяча?

Расчеты показывают, что простые числа становятся все более и более редкими по мере того, как числа становятся больше. Но можно ли сформулировать точную теорему, которая точно выразит, насколько они редки? Такая теорема была впервые сформулирована как гипотеза великим математиком Карлом Фридрихом Гауссом в 1793 году, в возрасте 16 лет. чем кто-либо другой, разработал дополнительные инструменты, необходимые для решения этой проблемы. Но формальное доказательство теоремы было дано лишь в 1896 г., через столетие после того, как она была сформулирована.Удивительно, но два независимых доказательства были предоставлены в том же году французом Жаком Адамаром и бельгийцем де ла Валле-Пуссен (рис. 1). Интересно отметить, что оба мужчины родились примерно во время смерти Римана. Доказанная ими теорема получила название « теорема о простых числах » из-за своей важности.

Точная формулировка теоремы о простых числах, а тем более детали ее доказательства, требуют продвинутой математики, которую мы не можем обсуждать здесь.Но, выражаясь менее точно, теорема о простых числах утверждает, что частота встречаемости простых чисел вокруг х обратно пропорциональна количеству цифр в х . В приведенном выше примере количество простых чисел в «окне» длиной 1000 около одного миллиона (под которым мы подразумеваем интервал между одним миллионом и одним миллионом и одной тысячей) будет на 50% больше, чем количество простых чисел в том же самом окне. «окно» около одного миллиарда (соотношение 9:6, точно так же, как отношение между количеством нулей в одном миллиарде и одном миллионе), и примерно в два раза больше, чем количество простых чисел в том же окне около одного триллиона (где соотношение количества нулей 12:6).Действительно, компьютерные расчеты показывают, что в первом окне 75 простых чисел, во втором — 49, а в третьем — только 37, от одного триллиона до одного триллиона плюс тысяча.

Эту же информацию можно изобразить в виде графика, показанного ниже (Рисунок 3). Вы можете видеть, как число π( x ) простых чисел до x изменяется в диапазоне x ≤ 100, и снова для x ≤ 1000. Обратите внимание, что каждый раз, когда мы встречаем новое простое число вдоль оси x , график увеличивается на 1, поэтому график принимает форму ступенек (рис. 3А).В небольшом масштабе сложно обнаружить закономерность на графике. Довольно легко доказать, что мы можем найти сколь угодно большие интервалы, в которых нет простых чисел, то есть интервалы, в которых граф не поднимается. С другой стороны, известная гипотеза (см. ниже) утверждает, что существует бесконечно много простых чисел-близнецов , то есть пар простых чисел с разницей в 2 между ними, что переводило бы на «ступеньку» ширины 2 в график. Однако в более крупном масштабе график выглядит гладким (рис. 3В).Эта гладкая кривая, видимая в большом масштабе, демонстрирует теорему о простых числах.

• Рисунок 3 – Частота простых чисел.
• Графики, показывающие π( x ), количество простых чисел до числа x . В панели А. х колеблется от 0 до 100, а график имеет ступенчатый вид. В панели B. x находится в диапазоне от 0 до 1000, поэтому масштаб больше, а график выглядит более плавным.

Тот факт, что математическое явление кажется случайным в одном масштабе, но демонстрирует регулярность (гладкость) в другом/более крупном масштабе — регулярность, которая становится все более и более точной по мере увеличения масштаба, — не нов для математики. Вероятностные системы, такие как подбрасывание монет, ведут себя именно так. Невозможно предсказать результат одного подбрасывания монеты, но со временем, если монета беспристрастна, она будет выпадать орлом в половине случаев. Что удивительно, так это то, что система простых чисел не является вероятностной, но во многих отношениях она все же ведет себя так, как если бы она была выбрана случайным образом.

Краткое содержание: Кто хочет стать миллионером?

Теория чисел, которая включает в себя изучение простых чисел, богата нерешенными проблемами, безуспешно решаемыми величайшими умами на протяжении сотен лет.Некоторые из этих открытых проблем представляют собой математические утверждения, которые еще не доказаны, но в правильность которых мы твердо верим. Такие недоказанные теоремы называются «гипотезами» или «гипотезами». Мы уже упоминали гипотезу о существовании бесконечного числа простых чисел-близнецов — пар простых чисел, находящихся на расстоянии двух друг от друга. Другая известная гипотеза, называемая гипотезой Гольдбаха, утверждает, что каждое четное число можно представить в виде суммы двух простых чисел. Например: 16 = 13 + 3, 54 = 47 + 7.Если вам удастся доказать любой из них, вы завоюете вечную славу. ³

Вероятно, самая известная нерешенная проблема математики, гипотеза Римана , была предложена тем же Бернхардом Риманом, о котором упоминалось ранее. В единственной исследовательской работе Римана о простых числах, опубликованной в 1859 году, Риман сформулировал гипотезу, которая предсказывала, насколько далеко от истинного значения π ( x ), числа простых чисел до x , было приближение, данное простым числом числовая теорема.Другими словами, что можно сказать об «ошибочном члене» в теореме о простых числах — разнице между реальной величиной и предложенной формулой? Фонд Клэя назвал эту проблему одной из семи задач, за решение которых он выплатит приз в размере 1 000 000 долларов! Если вы до сих пор не были заинтригованы, возможно, этот приз вас мотивирует…

Почему это важно? Кого это интересует? Математики судят о своих задачах прежде всего по их сложности и внутренней красоте. Простые числа набирают высокие баллы по обоим этим критериям. Однако простые числа также полезны на практике. Исследования простых чисел нашли важное применение в шифровании (науке кодирования секретных сообщений) за последние несколько десятилетий. Ранее мы упоминали вымышленную книгу Карла Сагана о внеземной культуре, общающейся с человечеством с помощью простых чисел. Но есть гораздо более «горячая» область, вовсе не вымышленная, где простые числа используются как в гражданских, так и в военных целях; то есть зашифрованные передачи.Когда мы снимаем деньги в банкомате, мы используем дебетовую карту, и связь между нами и банкоматом зашифрована. Как и многие другие коды для шифрования, тот, что есть почти на каждой дебетовой карте, называется RSA (назван в честь его изобретателей — Ривеста, Шамира и Адлемана) и основан на свойствах простых чисел.

История простых чисел до сих пор окружена тайной. Значит, их история еще не окончена и с…

Глоссарий

Составное число : ↑ целое число, которое можно записать как произведение двух меньших чисел, например, 24 = 3 × 8.

Простое число (несоставное) : ↑ целое число, которое нельзя записать как произведение двух меньших чисел, например 7 или 23.

Математическое доказательство : ↑ ряд логических аргументов, предназначенных для доказательства истинности математической теоремы. Доказательство основано на основных предположениях, которые были проверены, или на других ранее доказанных теоремах.

Математическая теорема : ↑ утверждение, выраженное на языке математики, о котором можно определенно сказать, что оно действительно или недействительно в определенной системе.

Математическая гипотеза : ↑ (также называемая гипотезой) — математическое утверждение, которое считается верным, но еще не доказано. «Вера в достоверность» может быть результатом проверки особых случаев, вычислительных доказательств или математической интуиции. Существуют математические гипотезы, по поводу которых люди до сих пор расходятся во мнениях.

Twin Primes : ↑ пара простых чисел с разницей в два, например 5, 7 или 41, 43.

Заявление о конфликте интересов

Автор заявляет, что исследование проводилось при отсутствии каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могли бы быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

Дополнительная литература

[1] ↑ Du Sautoy, M. 2003. Музыка простых чисел . ХарперКоллинз.

[2] ↑ Доксиадис, А. 1992. Дядя Петрос и гипотеза Гольдбаха . Блумсбери.

[3] ↑ Pomerance, C. 2004. «Простые числа и поиск внеземного разума», в «Математические приключения для студентов и любителей» , под редакцией Д. Хейса и Т. Шубина (M.A.А), 1–4.

[4] ↑ Сингх, С. 1999. Кодовая книга . Лондон, Четвертое сословие.

Сноски

[1] ↑ Деление круга на 360 впервые появляется в трудах греческих и египетских астрономов, но основано на более раннем делении часа на 60 минут вавилонянами. Несомненно, это также связано с тем, что солнечный год длится 365 дней (в среднем), но заметим, что 365 = 5 х 73, а поскольку и 5, и 73 простые, 365 допускает гораздо меньше факторизаций, чем 360.

[2] ↑ Правильное чтение математического текста — это «активное чтение», когда читатель проверяет сказанное, вычисляет примеры и т. д. Но, если вы хотите пропустить предложенное задание, вы можете так, и мы вернемся к нему и обсудим это позже.

[3] ↑ Гипотеза о простых числах-близнецах стала свидетелем удивительных прорывов Чжана и Мейнарда в последние годы, но, тем не менее, до сих пор остается открытой. Что касается гипотезы Гольдбаха, Хельфготт доказал в 2014 году, что каждое нечетных чисел, превышающих 5, является суммой трех простых чисел.

Расмус — Математика, Простые числа и делимость, Урок 1.

Прайм числа и делимость

Урок 1.

Простой число — это целое число больше 1, которое можно разделить только само на себя и 1. Наименьшими простыми числами являются 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23. Число 2 – единственное четное простое число. количество.

Пример:  

Композитный числа: составное число имеет более двух делителей. Составные числа можно разложить на простые множители.

Пример:

6 = 2 3	2 и 3 простые числа.
20 = 2 25	2 а 5 — простые числа.
35 = 5 7	5 а 7 — простые числа.

Прайм факторы:    Найдите простые делители 30.

• Начните с наименьшего простого числа, которое является коэффициент 30.Разделите на 2, чтобы получить коэффициент 15. 
• Теперь используйте наименьшее простое число, которое коэффициент 15. Разделите на 3, чтобы получить коэффициент 5, который также является простым числом.

Делимость номеров:        
Вы можете использовать Сито Эратосфена для найти простые числа.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103	2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 ​​ 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103
Все четные числа делятся на 2.	Если сумма цифр числа делится на 3 , число делится на 3 .

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103		2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 ​​ 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103
Если последние 2 цифры числа делятся на 4, число делится на 4. Пример: 1  12 4 = 28 и 12 4 = 3		Если число оканчивается на 0 или 5, оно делится на 5.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 ​​ 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103	2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 ​​ 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103
Если число делится на 2 и 3, оно делится на 6.	Эти числа делятся на 7.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 ​​ 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103	2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 ​​ 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103
Эти числа делятся на 8.	Если сумма цифр числа делится на 9 , число делится на 9 . Пример: 54 9 = 6    5 + 4 = 9

Первые 27 простых чисел показаны здесь желтым цветом в таблице ниже.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103	2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 ​​ 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103
Вы можете найдите эти простые числа, вычеркнув числа, кратные 2, 3, 5 и 7 (кроме себя) на графике.

Попрактикуйтесь в этих методах, а затем пройдите тест 1 на Prime числа.
Пс. Не забудьте использовать контрольный список, чтобы отслеживать твоя работа.

простых факторов | Поговорим о науке

Факторизация простых чисел

Есть определенные числа, которые являются строительными блоками всех остальных. Эти специальные числа называются простыми числами . Простое число, иногда называемое простым , — это любое число, которое делится без остатка только на число 1 и само на себя.То есть его нельзя разделить ни на какое другое число, кроме 1 и самого себя, не оставляя остатка.

Число 5 , например, является простым числом, потому что на него без остатка делятся только числа 1 и 5 . С другой стороны, число 6 не является простым числом, потому что 6 ÷ 2 = 3 . То есть оба 2 и 3 являются факторами из 6 . делитель  – это любое число, которое можно без остатка разделить на другое число без остатка.

Знаете ли вы?

Согласно гипотезе Гольдбаха, каждое четное целое число, большее 2, является суммой двух простых чисел. Например, 4 = 2 + 2 и 8 = 3 + 5. Эта гипотеза до сих пор не доказана, но проверена до 400 000 000 000 000.

Запись простой факторизации числа означает запись его в виде произведения простых чисел. Найдем простую факторизацию числа 12. Поскольку 12 не простое число, у него есть как минимум еще один делитель; например,

  Является ли это простой факторизацией?

Все три числа в правой части этого уравнения теперь являются простыми числами. Это означает, что нам удалось найти простую факторизацию числа 12!

С помощью этого метода можно найти разложение любого числа на простые множители. Можете ли вы найти простую факторизацию чисел 8 и 30? Попробуйте сами, прежде чем смотреть ответы. Ответы в конце этой справочной информации.

Вопрос 1:  Какова простая факторизация числа 8?

8 =

(Ответы внизу страницы.)

Вопрос 2:  Какова простая факторизация числа 30?

30 =

Рисование диаграммы деления  может помочь вам найти разложение чисел на простые множители.Посмотрите два примера ниже, чтобы научиться рисовать диаграмму деления. Начните с нижней части диаграммы, разделив интересующее число на наименьшее возможное простое число. Числа, составляющие простую факторизацию, появятся по диагонали с левой стороны.

Пример 1

Полное деление, показывающее, как три делится на девять трижды

Пример 2

Серия длинных делений, делящая простые числа на 240. В этом случае 240 можно разделить на 2, 2, 2, 3 и 5.

Для любого числа существует только одна простая факторизация. Другими словами, есть только один способ разложить число как произведение простых чисел.

Прайм-факторизация и кибербезопасность

Знаете ли вы, что используете первичную факторизацию каждый раз, когда покупаете что-то в Интернете или входите в банковский счет? Технологии шифрования используют первичную факторизацию для защиты конфиденциальной информации. Эти системы используют тот факт, что очень сложно разложить большие простые числа обратно на простые.Над этой задачей математики работали веками. Однако у них до сих пор нет эффективного метода, чтобы вычислить, что 2 244 354 равно (2 x 3 x 7 x 53 437).

Алгоритм шифрования RSA использует эту математическую проблему. В этом методе два больших простых числа перемножаются, чтобы получить еще большое простое число. Это новое число настолько велико, что ни один компьютер не может вычислить его простую факторизацию. Большое простое число является общедоступным и может быть замечено кем угодно. Однако для расшифровки сообщения компьютерам нужны два исходных простых числа.

Эта технология широко использовалась на протяжении десятилетий. Однако новые квантовые компьютеры меняют область криптографии. Новые квантовые компьютеры могут разлагать простые числа гораздо быстрее, чем обычные компьютеры. Теперь исследователям нужно найти способы сделать шифрование квантовостойким.

Наименее распространенное кратное 

Разложение на простые множители может помочь нам найти наименьших общих кратных ( LCM ). LCM — это наименьшее положительное число, кратное двум или более числам.

Как найти наименьшее общее кратное двух чисел? Что ж, мы могли бы перечислить все числа, кратные каждому числу, пока не найдем одно общее. Однако это заняло бы очень много времени. Первичная факторизация может помочь нам быстро и точно найти LCM.

Во-первых, вам нужно записать разложение обоих чисел на простые множители. Например, если вы хотите найти НОК 6 и 28, вы должны написать простые факторизации:

Затем вы смотрите, сколько раз каждое простое число встречается при факторизации первого числа.И сколько раз это множитель второго числа.

1. Сначала запишите простое число столько раз, сколько раз оно встречается в факторизации, где оно встречается больше всего раз. В приведенном выше примере простое число 2 появляется один раз при факторизации 6 . Он появляется два раза при факторизации 28 . Чаще всего он появляется в этих факторизациях два раза, поэтому вы должны написать: 

2.Затем простое число 3 появляется один раз при разложении на множители 6 и ноль раз при разложении на множители 28. Максимальное количество раз, когда оно встречается в разложении на множители, это один раз. Итак, затем вы должны ввести число  3  один раз, например:

3. Наконец, простое число 7 появляется ноль раз при разложении на множители 6 и один раз при разложении на множители 28. Максимальное количество раз, когда оно встречается при разложении на множители, это один раз, поэтому, наконец, вы должны написать число 7 один раз, например: 

4.Повторяйте этот метод, пока не пройдете все простые множители двух чисел. Затем перемножьте их все вместе, чтобы найти LCM.

То есть НОК 6 и 28 равен 2 x 2 x 3 x 7 = 84 . Вы можете использовать этот метод, чтобы найти LCM любой пары чисел.

Вопрос 3:  Найдите простые множители 18 и 75. Используйте результат, чтобы найти наименьшее общее кратное 18 и 75.

Наименее распространенное кратное в реальной жизни

Мы часто обнаруживаем, что НОК позволяет складывать или вычитать дроби. Нам нужен общий знаменатель , чтобы складывать или вычитать дроби. Общий знаменатель — это на самом деле просто НОК всех знаменателей. Например, скажем, вы хотели добавить:

Одна шестая плюс одна двадцать восьмая

В этом случае общим знаменателем является НОК 6 и 28. Мы могли бы использовать только что изученный метод, чтобы определить, что МОК равно 84.Затем мы могли бы использовать этот общий знаменатель для сложения дробей.

Одна шестая плюс одна двадцать восьмая равно четырнадцати восьмидесяти четвертым плюс три восемьдесят четвертых, что равно семнадцати восьмидесяти четвертым.

Поиск LCM также может помочь вам решить многие другие проблемы реального мира. Например, LCM может помочь вам выяснить, когда несколько повторяющихся событий произойдут одновременно. Скажем, два человека бегут по дорожке одновременно.Человеку А требуется 12 минут, чтобы пробежать круг. Человек Б занимает 18 минут. Мы хотим выяснить, сколько времени потребуется этим двум людям, чтобы встретиться в начальной точке. Ответом на этот вопрос является НОК 12 и 18. Мы можем использовать наш метод, чтобы вычислить, что эти люди встретятся в начальной точке через 36 минут бега.

Нахождение наименьшего общего кратного также может помочь нам, когда мы покупаем несколько предметов, объединенных в группы. Например, представьте, что вы готовитесь к барбекю.Вы хотите иметь одинаковое количество сырных ломтиков и булочек. Однако булочки поставляются в упаковках по 8 штук, а сыр — в упаковках по 6 штук. Посмотрите это видео, чтобы узнать, как поиск LCM может помочь вам решить эту проблему.

Вопрос 1:

2 является коэффициентом 8 

Так как 8 ÷ 2 = 4

Итак, мы можем написать 8 = 4 х 2

Но 4 не является простым числом, так как 4 = 2 x 2

Итак, мы можем написать 8 = 2 х 2 х 2

Вопрос 2:

2 является коэффициентом 30 

Так как 30 ÷ 2 = 15

Итак, мы можем написать 30 = 2 х 15

Но 15 не является простым числом, так как 15 = 3 x 5

Итак, мы можем написать 30 = 2 х 3 х 5

Вопрос 3:

Разложение числа 18 на простые множители = 2 x 3 x 3 и разложение числа 75 на простые множители = 3 x 5 x 5

Итак, из 18 можно взять две тройки и двойку

2 х 3 х 3

А из 75, так как у нас уже есть одна 3, то другую брать не надо, а две 5 брать надо

5 х 5

Сложите их вместе, и вы получите 2 х 3 х 3 х 5 х 5 = 450

Приведение чисел к простым множителям, Рон Куртус

SfC Главная > Арифметика >

Рона Куртуса (пересмотрено 18 января 2022 г. )

A простое число — это число, которое делится только само на себя и на 1 .Каждое число является либо простым числом, либо кратным двум или более простым числам.

Вы можете разложить число на его простые множители, разделив число на различные простые числа. Многое из этого достигается методом проб и ошибок, но есть некоторые хитрости, позволяющие найти определенные простые множители. Сокращение числа до его простых множителей важно для возможности сокращения дробей до наименьших возможных членов.

У вас могут возникнуть следующие вопросы:

• Какие простые числа?
• Какие приемы можно использовать для нахождения простых множителей?
• Приведите несколько примеров сведения числа к его простым множителям?

Этот урок ответит на эти вопросы.

Простые числа

Простое число — это число, которое делится только само на себя и 1 . Первые десять простых чисел:

2 2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31

Не существует простой формулы для нахождения простых чисел, но вы должны хотя бы знать первые несколько из них.

Хитрости в нахождении простых множителей

Обычно вы начинаете сводить число к его множителям с наименьших простых чисел, а затем продвигаетесь вверх. Есть несколько приемов, которые помогут вам быстро определить, делится ли число на определенное простое число.

Делится на 2

Число 2 — наименьшее простое число. Вы можете сказать, делится ли число на 2 , если последняя цифра является четным числом. Примеры: 6 , 18 , 250 , 1354432 и так далее.

Делится на 3

Уловка, чтобы узнать, можно ли разделить число на 3 , состоит в том, чтобы сложить цифры вместе, чтобы увидеть, можно ли их разделить на 3 . Например, 12 делится на 3 , так как 1 + 2 = 3 . Точно так же 51 делится на 3 , так как 5 + 1 = 6 . Кроме того, 765 делится на 3 , поскольку 7 + 6 + 5 = 18 и 1 + 8 = 9 .

Делится на 5

Числа, которые делятся на 5 , заканчиваются либо на 5 , либо на 0 .

Другие простые числа

К сожалению, я не знаю других простых приемов, позволяющих узнать, делятся ли числа на другие простые числа.

Привести к простым числам

Методом проб и ошибок можно разбить число на множители. Возьмите число и посмотрите, есть ли применимые приемы. Затем попробуйте разделить число на различные простые числа, начиная с наименьшего вероятного простого числа. Если вы не можете найти какие-либо простые числа, которые работают, то это число также может быть простым.

Продолжайте процесс, пока число не будет разбито на серию простых чисел.

Пример: номер 12

Рассмотрим число 12 .

Вы знаете, что оно делится на 2 , что является простым числом. 12 ÷ 2 = 6 .

Но 6 также делится на 2 , так что 6 ÷ 2 = 3 . А 3 — простое число.

Таким образом, 12 = 2 × 2 × 3 .

Пример: номер 147

Рассмотрим 147 .

Как видите, это нечетное число.

Делится ли оно на 3 ? Уловка, чтобы узнать, можно ли разделить число на 3 , состоит в том, чтобы сложить цифры вместе, чтобы увидеть, можно ли их разделить на 3 : 1 + 4 + 7 = 12 и 1 + 2 = 3 . Таким образом, 147 делится на 3 . Итак, 147 = 3 × 49 .

Теперь 49 не делится на 3 , так как 4 + 9 = 13 . Следующее простое число 5 и 49 , очевидно, не делится на 5 .На 5 делятся только числа, оканчивающиеся на 5 или 0 . Следующее простое число равно 7 , а 49 ÷ 7 = 7 .

Таким образом, 147 = 3 × 7 × 7 .

Пример: номер 149

Рассмотрим 149 .

Нечетное число, поэтому оно не делится на 2 .

Так как 1 + 4 + 9 = 14 , оно не делится на 3 .

Оно не заканчивается на 0 или 5 , поэтому оно не делится на 5 .

149 ÷ 7 не работает.

Используя надежный калькулятор, обратите внимание, что 149 ÷ 11 = 13,54 . Оно не делится на 11 и, следовательно, не делится на 13 . Деление на большие простые числа не приведет к меньшим простым числам, поскольку мы уже пробовали их. Таким образом, мы можем заключить, что 149 является простым числом.

Вероятно, не придется этого делать

Теперь вам, вероятно (надеюсь) никогда не придется определять, является ли число такого или большего размера простым, но, по крайней мере, вы знаете, как это определить.

Резюме

Каждое число является либо простым числом, либо кратным двум или более простым числам. Простое число делится только само на себя и на 1 . Вы можете преобразовать число в его простые множители, разделив число на различные простые числа. Многое из этого достигается методом проб и ошибок, но есть некоторые хитрости, позволяющие найти определенные простые множители.

Будь главным кандидатом на успех

Ресурсы и ссылки

Полномочия Рона Куртуса

Веб-сайты

Арифметические ресурсы

Книги

(Примечание: Школа чемпионов может получать комиссионные за покупку книг)

Лучшие книги по арифметике

Поделиться этой страницей

Нажмите кнопку, чтобы добавить эту страницу в закладки или поделиться ею через Twitter, Facebook, электронную почту или другие службы:

Студенты и исследователи

Веб-адрес этой страницы:
www.school-for-champions.com/arithmetic/
number_reduction_primes.