Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½: Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Ρ†Π°ΠΌΠΈ выполнСния

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ:

Часто, особСнно ΠΏΡ€ΠΈ прСобразованиях Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… алгСбраичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ². ΠŸΡ€ΠΈ этом трСбуСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ±Π° мноТитСля содСрТали ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρƒ. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ произвСдСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² называСтся Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

НапримСр, равСнство ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ провСряСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² x + Π— ΠΈ Ρ… + 4 Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Ρ… + 3 ΠΈ Ρ… + 4 .

ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ Π½Π΅ всСгда.

НапримСр, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ x + 2 нСльзя ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ, Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², содСрТащих Π±ΡƒΠΊΠ²Ρƒ Ρ…, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² содСрТит Ρ… ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни, Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высокой, Π² Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½

Ρ… + 2 Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… стСпСнСй Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ Ρ… Π½Π΅ содСрТит. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², Π½Π΅ Π΄ΠΎΠΏΡƒΡΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, сущСствуСт сколько ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ.

ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСн Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΈΠ»ΠΈ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, содСрТащий хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρƒ, называСтся Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌΡ‹ΠΌ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ. Π’Π°ΠΊ, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ x + 2 Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ. Наоборот, Ссли ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ называСтся ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ сходство с Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΈΠ³Ρ€Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ Ρ‚Π°ΠΌ ΠΈΠ³Ρ€Π°ΡŽΡ‚ простыС числа, Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ β€” Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ составныС числа. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ считаСтся Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° число Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ, Π½Π° простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈ дальнСйшСС Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°, Ссли всС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ разлоТСния, ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΌΠΈ.

Однако Ρ‚Π°ΠΊ поставлСнная Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½Π°. Π’ частности, часто Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° вопрос, ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ? ПолноС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ этой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ нСдоступно ΠΏΠΎ своСй трудности для учащихся срСднСй ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹.

Однако сущСствуСт Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΉ ряд простых ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠΎΠ² для разлоТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, ΠΈ искусноС Π²Π»Π°Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ этими ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ°ΠΌΠΈ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ всСгда Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ссли Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Π΅Ρ‰Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл для ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², содСрТащих Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Π°. Для ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½Π° сама собой, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ стСпСнСй Π±ΡƒΠΊΠ², Π° ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅

нСльзя Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ просто ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΎΡ‚ сокращСнной записи ΠΊ Ρ€Π°Π·Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΠΎΠΉ Π—Π° β€’ Π° β€’ Π°. Π”Π°ΠΆΠ΅ Π² Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл Π½Π° простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ принято ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ записью с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ стСпСнСй. НапримСр,

ВынСсСниС Π·Π° скобку

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½

РСшСниС:

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ab. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

На основании Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния суммы ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Π΅Π³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½

ab. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ,

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ :

ΠŸΡ€ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π² рассмотрСнном ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅, называСтся вынСсСниСм Π·Π° скобку. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌ тСсно связан с ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ умноТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½. Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ умноТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, вынСсСниС Π·Π° скобку основываСтся Π½Π° Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅. ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ примСняСтся для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ суммы ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ суммы Π½Π° число. ΠŸΡ€ΠΈ вынСсСнии Π·Π° скобку, Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, сумма Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… слагаСмых, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, прСобразовываСтся Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ суммы Π½Π° этот ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ.

ΠŸΡ€ΠΈ вынСсСнии Π·Π° скобку слСдуСт Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ:

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ. .Если всС Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° содСрТат Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρƒ Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ…-Π»ΠΈΠ±ΠΎ стСпСнях, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вынСсти Π·Π° скобку ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ этой Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ с наимСньшим ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ Π±ΡƒΠΊΠ²Π° Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°. Если Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Π±ΡƒΠΊΠ² имССтся нСсколько, Ρ‚ΠΎ выносится Π·Π° скобку ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ стСпСнСй этих Π±ΡƒΠΊΠ² с Π½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΌΠΈ показатСлями

.

Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π° скобку числовой коэффициСнт. Π’ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ говоря, этот коэффициСнт ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ взят ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ. НапримСр,

Однако Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒ коэффициСнт, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, ΠΎΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ Π² скобкС, ΠΈΠΌΠ΅Π» Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ коэффициСнты, Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ мноТитСля, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€,

ΠΈΠ»ΠΈ

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ алгСбраичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ вынСсСниС Π·Π° скобку ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ Π·Π½Π°ΠΊΠ° коэффициСнта, Π° ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² соотвСтствии с Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ, для достиТСния ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ дСлаСтся вынСсСниС Π·Π° скобку. Π’ частности, часто Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ вынСсти Π·Π° скобку числСнный ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€,

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, Ρ‡Ρ‚ΠΎ вынСсСниС Π·Π° скобку Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎ всяком алгСбраичСском Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΌ собой сумму Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… слагаСмых, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€,

Иногда ΠΏΡ€ΠΈ этом Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля становится ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ послС Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½

РСшСниС:

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΈΠ· выраТСния,
находящСгося Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ скобкС, вынСсти число 3, Ρ‚ΠΎ Π² скобкС останСтся Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½, Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ скобки. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ вСсти Ρ‚Π°ΠΊ:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ вынСсСния Π·Π° скобку ΠΊ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΏΠΎ стСпСням ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹

ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹, содСрТащиС ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρƒ, цСлСсообразно Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π² порядкС убывания стСпСнСй. Π­Ρ‚ΠΎ оказалось ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², это ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½.

Вакая запись часто оказываСтся ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΉ ΠΈ для ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², содСрТащих нСсколько Π±ΡƒΠΊΠ². ΠŸΡ€ΠΈ этом ΠΈΠ· всСх Π±ΡƒΠΊΠ² Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ, Π³Π»Π°Π²Π½ΡƒΡŽ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρƒ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Π² порядкС убывания стСпСнСй этой Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹.

НапримСр, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ располоТСн Π² порядкС убывания стСпСнСй Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ Ρ…. Если Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ Π² этом ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π΅ Π² качСствС Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ взяли вмСсто Ρ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρƒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ b, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π±Ρ‹ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ порядкС, ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ располоТСнии часто оказываСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ имССтся нСсколько, Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², содСрТащих Π³Π»Π°Π²Π½ΡƒΡŽ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρƒ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ стСпСни. Π’ нашСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ имССтся Π΄Π²Π° Ρ‡Π»Π΅Π½Π°, содСрТащих Ρ… Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ стСпСни. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΅Ρ‰Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π° Π³Π»Π°Π²Π½ΡƒΡŽ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρƒ принимаСтся Ρ…, цСлСсообразно Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹, содСрТащиС Ρ… Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ стСпСни, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅, ΠΈ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… вмСстС посрСдством вынСсСния Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹

Ρ… Π² Π½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΉ стСпСни Π·Π° скобку ΠΈΠ· алгСбраичСской суммы Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ². Π’Π°ΠΊ,

Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ записи ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ выглядит ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, зависящий Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ Ρ…, Π½ΠΎ с Π±ΡƒΠΊΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами ΠΈ с Π±ΡƒΠΊΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ свободным Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ. Π’Π°ΠΊ, коэффициСнтами Π² ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈ свободным Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ являСтся abc.

ЕстСствСнно ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ вопрос ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρƒ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π° Π³Π»Π°Π²Π½ΡƒΡŽ, Ссли ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ стСпСням ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, зависящий ΠΎΡ‚ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π±ΡƒΠΊΠ².

Если ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ рассматриваСтся Π±Π΅Π· связи с ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ Π±Π΅Π·Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½. Если ΠΆΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ получаСтся ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, часто условиС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ подсказываСт, ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρƒ слСдуСт ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ.

Рассмотрим ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ этого Ρ€ΠΎΠ΄Π°.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°:

ΠšΠΎΡ€ΠΎΠ±ΠΊΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ

Π° см, ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρƒ b см. ВрСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ высоту, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности ΠΊΠΎΡ€ΠΎΠ±ΠΊΠΈ равняСтся s см.

РСшСниС:

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ высоту Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ Ρ…. ΠŸΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€ΠΎΠ±ΠΊΠΈ составлСна ΠΈΠ· ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². Π”Π²Π° ΠΈΠ· этих ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² (Π΄Π½ΠΎ ΠΈ ΠΊΡ€Ρ‹ΡˆΠΊΠ°) ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π°b Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Π΄Π²Π° (лСвая ΠΈ правая стСнки) ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ bΡ… , ΠΈ послСдниС Π΄Π²Π° (пСрСдняя ΠΈ задняя стСнки) ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π°Ρ… . Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€ΡŒΠΌΡ Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ a, b, s ΠΈ Ρ… имССтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ:

ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎ- ΠΆΠ΅ самоС,

ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ находится ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, зависящий ΠΎΡ‚ Π±ΡƒΠΊΠ² a, b, x ΠΈ s ΠšΠ°ΠΊΡƒΡŽ ΠΆΠ΅ ΠΈΠ· этих .Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… Π±ΡƒΠΊΠ² слСдуСт ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ Π·Π° Π³Π»Π°Π²Π½ΡƒΡŽ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρƒ? ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ,

Ρ…, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ… ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡΠΎΠ±ΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅. Числа Π°, b ΠΈ s β€” это числа извСстныС Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅. Число Ρ… β€” нСизвСстноС. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΌΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ слСдуСт Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ.

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° чисСл Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, это ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ числа:

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ числа Ρ… Π½Π° число 2Π° + 2b Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ s β€” 2Π°b. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½Π°.

Бпособ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ

Рассмотрим ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π½Π° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²:

ΠœΡ‹ воспользовались ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ 1 умноТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ (Π³Π». III, Β§ 9).

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ сСбС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ нас поставлСна обратная Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°. Π”Π°Π½ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ВрСбуСтся Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для этого Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ провСсти Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ вычислСния, Π½ΠΎ Π² ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌ порядкС:

ΠœΡ‹ объСдиняСм ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ слагаСмоС со Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΠΈ выносим ΠΈΠ· ΠΈΡ… суммы Π° Π·Π° скобку, ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ объСдиняСм Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ΅ слагаСмыС ΠΈ ΠΈΠ· ΠΈΡ… суммы выносим Π·Π° скобку b: Π’ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… скобках получаСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с + d, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ снова выносим Π·Π° скобку.

Рассмотрим Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π·Π°Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ нСизвСстно.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½

РСшСниС:

ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ слагаСмыС, Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· ΠΈΡ… суммы ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вынСсти Π·Π° скобку Π—Π°, Π° ΠΈΠ· суммы Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ слагаСмого с Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вынСсти Π·Π° скобку β€” 2b. Π’ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… случаях Π² скобкС остаСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ c + d, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ прСобразуСтся Π² сумму Π΄Π²ΡƒΡ… слагаСмых, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ с + d. ПослС этого ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вынСсти Π·Π° скобку c + d.

НамСтив Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠ»Π°Π½ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π² рассмотрСнном ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ способ называСтся способом Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ. Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ способ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ слагаСмыС, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… составлСн ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ с Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ расчСтом, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ послС вынСсСния Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π·Π° скобку Π² скобках оказались Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹.

ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, совсСм Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ слагаСмыС, находящиСся рядом, ΠΊΠ°ΠΊ это Π±Ρ‹Π»ΠΎ сдСлано Π² рассмотрСнных ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ…. Π’ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π΅ 3ac+3ad-2bc-2bd ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ с Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ успСхом ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ слагаСмоС Π‘ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠΈΠΌ, Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ с Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚Ρ‹ΠΌ. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

А Π² ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π΅ Π°*—АЬс— Π°Πͺ β€” 4ас Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ° сосСдних слагаСмых Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ слагаСмоС с Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠΈΠΌ, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ с Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚Ρ‹ΠΌ ΠΏΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ с Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚Ρ‹ΠΌ, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ с Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠΈΠΌ:

ΠΈΠ»ΠΈ

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ слагаСмыС

Часто Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ послС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ скобки раскрыта ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ². ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ часто Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΡƒ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Π½Π° ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ слагаСмыС с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ эти слагаСмыС разнСсти ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½

РСшСниС:

Π’ этом ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π΅Π³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² бСсполСзна для разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. Однако, Ссли ΠΏΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 3Π°b Π½Π° сумму Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π°b ΠΈ 2ab ΠΈ разнСсти ΠΈΡ… Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹, Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ удастся. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ слагаСмыС, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠΈΠ΅ΡΡ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ раскрытия скобок, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΡƒΠ½ΠΈΡ‡Ρ‚ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ слагаСмых Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, взяв Π΅Π³ΠΎ Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° с ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» сокращСнного умноТСния

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния часто Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Π»Π΅Π³Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, позволяя ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ разлоТСния ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π° ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ слагаСмыС ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠΉΡ‚ΠΈΡΡŒ Π±Π΅Π· вставки Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

РСшСниС:

ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ исслСдуСмый ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² чисСл Ρ… ΠΈ 2. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния суммы этих чисСл Π½Π° ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

РСшСниС:

ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сумма ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… слагаСмых Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ суммы чисСл Ρ… ΠΈ 2Ρƒ. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ числа Ρ€Π°Π²Π΅Π½ , ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 4Ρ…Ρƒ, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π˜Ρ‚Π°ΠΊ,

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ наш ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ разности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² чисСл (Ρ… + 2Ρƒ) ΠΈ 3z. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния суммы этих чисСл Π½Π° ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½

РСшСниС:

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго Π½Π°Π΄ΠΎ вынСсти Π·Π° скобку 2Ρ…

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, находящийся Π² скобкС, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² чисСл Ρ… ΠΈ 2Ρƒ. По сокращСнной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ разности этих чисСл Π½Π° Β«Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΈΡ… суммы». Π˜Ρ‚Π°ΠΊ,

ΠžΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

ΠœΡ‹ ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π°Π»ΠΈ запись дСйствий рассуТдСниями. ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ€ΠΎΠ΄Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² рассуТдСния Π½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π±Π΅Π· записи—вслух ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎ сСбя, ΠΈ запись Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТныС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ

ΠœΡ‹ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π»ΠΈ нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠΎΠ² разлоТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈβ€” вынСсСниС Π·Π° скобку, способ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ, Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π° ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ слагаСмыС, использованиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» сокращСнного умноТСния. НС сущСствуСт Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΈΠ· этих ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠΎΠ² ΠΈ Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… сочСтаниях ΠΈΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ Π½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ для достиТСния Ρ†Π΅Π»ΠΈ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ частном
случаС. (ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Ссли это Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, слСдуСт Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅ всСго ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ вынСсСниС Π·Π° скобку. Π­Ρ‚ΠΎ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ Π²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ ΠΊ ΡƒΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΡŽ, Π½ΠΎ часто ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Π΅Ρ‚ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ.) ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ΅, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Π΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² строСниС Ρ€Π°Π·Π»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΈ
ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»Π°Π½ дСйствий. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ этот ΠΏΠ»Π°Π½, рассмотрим нСсколько Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТных ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ².

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½

РСшСниС:

ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΈΠ· суммы ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… Π΄Π²ΡƒΡ… слагаСмых вынСсти Ρ… Ρƒ, Π² скобкС останСтся Ρ… + Ρƒ. ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ ΡΠ³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ слагаСмыС Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ… + Ρƒ Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ Π² сумму слагаСмых ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹. ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Β«Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ΅ΠΉΒ» Π² этом
смыслС Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠΉ являСтся сумма ΠΏΡ€ΠΈ вынСсСнии ΠΈΠ· Π½Π΅Π΅ Π·Π° скобку Π² скобкС останСтся Ρ… + Ρƒ. ΠžΡΡ‚Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° слагаСмых Если Π² этой Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ вынСсти Π·Π° скобку z, Ρ‚ΠΎ Π² скобкС oстанСтся Ρ‚. Π΅. ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ суммы (Ρ… + Ρƒ). Π˜Ρ‚Π°ΠΊ,

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ дальшС, воспользовавшись способом Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

РСшСниС:

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго бросаСтся Π² Π³Π»Π°Π·Π°, сходство с ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠΌ суммы ΠΈΠ»ΠΈ разности чисСл , Ρ… ΠΈ 1. Однако это сходство ΠΎΠ±ΠΌΠ°Π½Ρ‡ΠΈΠ²ΠΎβ€” Π·Π½Π°ΠΊΠΈ Π½Π΅ Ρ‚Π΅! ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ слСдуСт ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌ. НапримСр, Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ ΡΠ³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ вмСстС ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΈ 1 ΠΈ срСдниС β€” , ΠΈΠ±ΠΎ содСрТит , ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ x + l ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ суммы ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ², ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ… + 1 обнаруТиваСтся Π² ; посрСдством вынСсСния Π·Π° скобку. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ,

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

РСшСниС:

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ цСлСсообразно Ρ‡Π»Π΅Π½ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° сумму Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΈ Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° сумма ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ взятая с ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ сумма послСдних Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… прСдставится Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ², ΠΈ послС этого останСтся ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для разлоТСния разности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ². ΠžΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΈΠΌ этот ΠΏΠ»Π°Π½:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

РСшСниС:

Бравнивая Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹, ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ разлагаСтся Π½Π° Π΄Π²Π° мноТитСля:. Π’ этом ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΈ нСпосрСдствСнно:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

РСшСниС:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

РСшСниС:

Π’ послСдних Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ… Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ удаСтся посрСдством прСобразования Π² Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ². Ρ€ΠΎΠ΄Π° выраТСния Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ, хотя Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΎΠ½ΠΈ состоят Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… слагаСмых. НапримСр, Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹.

Для разлоТСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π° способа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ рассмотрим Π½Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

РСшСниС:

Бпособ 1. Рассмотрим тоТдСство

ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ провСряСтся. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

Из этого тоТдСства слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΌΡ‹ сумССм Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ коэффициСнт ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… Π½Π° сумму Π΄Π²ΡƒΡ… слагаСмых Π° ΠΈ b Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ab этих слагаСмых Ρ€Π°Π²Π½ΡΠ»ΠΎΡΡŒ свободному Ρ‡Π»Π΅Π½Ρƒ, Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ удастся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

Π’ нашСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π² качСствС Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… слагаСмых ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ 5 ΠΈ β€”3. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

Бпособ 2. Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π΅ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ суммы посрСдством ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ рассуТдСния. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ числа Ρ…. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅ΠΌ Ρ… Π·Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ слагаСмоС. Рассмотрим Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ 2Ρ… ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ слагаСмого Ρ… Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅. ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ слагаСмоС s Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ 1. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ добавляСм ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ этого Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ слагаСмого ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ равСнство Π½Π΅ Π½Π°Ρ€ΡƒΡˆΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ, сразу Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌ. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

Π”Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠ΅Π΅ ясно: ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ способС, Π² ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π΅Π³Π°Π΅ΠΌ ΠΊ ΠΏΠΎΠ΄Π±ΠΎΡ€Ρƒ. ΠœΡ‹ собираСм всС Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹, содСрТащиС Ρ…, Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π²ΠΈΠ΄ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°, ΠΈ Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ, Ссли это Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ
Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ для разлоТСния разности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ².

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

РСшСниС:

Если коэффициСнт ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ ΠΎΡ‚ 1, слСдуСт ΠΏΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ вынСсти Π΅Π³ΠΎ Π·Π° скобку.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

РСшСниС:

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ способ, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ этого, Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ вопрос ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, разлагаСтся ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ‚. ИмСнно, Ссли число, ΠΎΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ послС выдСлСния ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° суммы ΠΈΠ»ΠΈ разности ΠΈΠ· ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π°, Π½Π΅ являСтся ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΌ со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ минус, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

РСшСниС:

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π½Π΅ разлагаСтся.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

РСшСниС:

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ.

Оба ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ° разлоТСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΊ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π°ΠΌ, содСрТащим, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

РСшСниС:

Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅:

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ матСматичСский Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·

РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π°ΠΌ:

Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅:

  1. ВоТдСствСнныС прСобразования алгСбраичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ
  2. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ
  3. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
  4. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ функция ΠΈ Π΅Ρ‘ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ
  5. АлгСбраичСскиС нСравСнства
  6. НСравСнства
  7. НСравСнства с ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ
  8. ΠŸΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡΡΠΈΠΈ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅
  9. АрифмСтичСская прогрСссия
  10. ГСомСтричСская прогрСссия
  11. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅
  12. Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅
  13. ИсслСдованиС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
  14. УравнСния Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… стСпСнСй
  15. УравнСния Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… стСпСнСй с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ нСизвСстным
  16. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа
  17. НСпрСрывная Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ (цСпная Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ)
  18. АлгСбраичСскиС уравнСния
  19. НСопрСдСлСнныС уравнСния
  20. БоСдинСния
  21. Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°
  22. Число С
  23. НСпрСрывныС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ
  24. Ѐункция
  25. ИсслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
  26. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»
  27. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»
  28. Π”Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»
  29. Π’Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»
  30. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅
  31. НСопрСдСлённый ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»
  32. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»
  33. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹
  34. ΠŸΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹
  35. НСсобствСнныС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹
  36. ΠšΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹
  37. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹, зависящиС ΠΎΡ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°
  38. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½
  39. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ
  40. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊ исслСдованию Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
  41. ΠŸΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ
  42. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
  43. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅
  44. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования
  45. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ исчислСниС
  46. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния
  47. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка
  48. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков
  49. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния Π² частных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…
  50. ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
  51. ВригономСтричСскиС уравнСния ΠΈ нСравСнства
  52. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция
  53. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния
  54. ΠžΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ
  55. Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
  56. ЛогарифмичСская функция
  57. УравнСния ΠΈ нСравСнства
  58. ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа
  59. АлгСбраичСскиС выраТСния
  60. Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ алгСбраичСскиС выраТСния
  61. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ алгСбраичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ
  62. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… алгСбраичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ
  63. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ
  64. АлгСбраичСскиС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ
  65. ΠŸΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΈ
  66. УравнСния
  67. БистСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
  68. БистСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… стСпСнСй
  69. БистСмы алгСбраичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
  70. БистСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
  71. БистСмы Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
  72. АрифмСтичСский ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ
  73. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ кубичСскиС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ
  74. Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня
  75. Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа
  76. Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа
  77. АрифмСтичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ
  78. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния
  79. Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния
  80. ΠŸΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ
  81. Ряды сходящиСся ΠΈ расходящиСся
  82. ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
  83. ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹
  84. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
  85. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π‘Π΅Π·Ρƒ
  86. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ индукция
  87. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни
  88. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹
  89. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ
  90. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл
  91. ЧисловыС мноТСства
  92. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ
  93. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ
  94. ГСомСтрия
  95. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа
  96. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ
  97. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ
  98. ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°
  99. ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ числового Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°
  100. ВригономСтричСскиС выраТСния ΠΈ ΠΈΡ… прСобразования
  101. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ тригономСтричСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ
  102. ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ°
  103. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°
  104. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ линия Π½Π° плоскости ΠΈ Π΅Π΅ уравнСния
  105. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ
  106. Π›ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈ уравнСния
  107. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ линия
  108. УравнСния прямой ΠΈ плоскости Π² пространствС
  109. ΠšΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка
  110. ΠšΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ ΠΈ повСрхности Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка
  111. ЧисловыС ряды
  112. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ряды
  113. Ряды Π€ΡƒΡ€ΡŒΠ΅
  114. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π€ΡƒΡ€ΡŒΠ΅
  115. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ряды
  116. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…
  117. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚
  118. ГармоничСский Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·
  119. ВСщСствСнныС числа
  120. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ
  121. АналитичСская гСомСтрия
  122. АналитичСская гСомСтрия Π½Π° плоскости
  123. АналитичСская гСомСтрия Π² пространствС
  124. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ
  125. Π’Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°
  126. ВСкторная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°
  127. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·
  128. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹
  129. БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
  130. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
  131. БмСшанноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
  132. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ
  133. ΠΠ΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
  134. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…
  135. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ
  136. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Ρ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ
  137. ЧастныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…
  138. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ исчислСниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ
  139. ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹
  140. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Ρ‹ пространства
  141. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ отобраТСния
  142. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ срСднСм
  143. ВСория устойчивости Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
  144. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ комплСксного ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ
  145. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Лапласа
  146. Π’Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ поля
  147. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ΅ исчислСниС
  148. БистСмы ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚
  149. Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция
  150. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ исчислСниС
  151. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ исчислСниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ
  152. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ исчислСниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…
  153. ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅
  154. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°
  155. Π“Ρ€Π°Ρ„Ρ‹ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅
  156. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ пространства
  157. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Π°Ρ ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»
  158. ЛинСйная функция
  159. Π’Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Ρ‹Π΅ мноТСства Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ
  160. БистСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚

Как Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния? ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΈ Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

Π‘Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ находится Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ΅ Ρƒ мСтодистов Skysmart.
Если Π²Ρ‹ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ, сообщитС ΠΎΠ± этом Π² ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-Ρ‡Π°Ρ‚
(Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΌ ΡƒΠ³Π»Ρƒ экрана).

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ понятия

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ β€” это матСматичСскоС равСнство, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ нСизвСстна ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ»ΠΈ нСсколько Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½. Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ нСизвСстных Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΡ… подстановкС Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ числовоС равСнство.

Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ уравнСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ наибольшСй стСпСни, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стоит нСизвСстноС. Если нСизвСстноС стоит Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни β€” это ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ β€” это axΒ² + bx + c = 0, Π³Π΄Π΅ a β€” ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ коэффициСнт, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, b β€” Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ коэффициСнт, c β€” свободный Ρ‡Π»Π΅Π½.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, сколько ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° дискриминант. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ: D = bΒ² βˆ’ 4ac. А Π²ΠΎΡ‚ свойства дискриминанта:

  • Ссли D < 0, ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π½Π΅Ρ‚;
  • Ссли D = 0, Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ;
  • Ссли D > 0, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… корня.

НСполноС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ β€” это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° axΒ² + bx + c = 0, Π³Π΄Π΅ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· коэффициСнтов b ΠΈΠ»ΠΈ c Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

НСполныС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния Π±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ²:
  • Если b = 0, Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ axΒ² + 0x+c=0 ΠΈ ΠΎΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ axΒ² + c = 0.
  • Если c = 0, Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ выглядит Ρ‚Π°ΠΊ axΒ² + bx + 0 = 0, ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ axΒ² + bx = 0.
  • Если b = 0 ΠΈ c = 0, Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ выглядит Ρ‚Π°ΠΊ axΒ² = 0.

Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ уравнСния ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… Π»Π΅Π²Ρ‹Π΅ части Π½Π΅ содСрТат слагаСмого с нСизвСстной ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ свободного Ρ‡Π»Π΅Π½Π°, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΈ ΠΈΡ… Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ β€” Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния.

РСшСниС Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

Как ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:

  • axΒ² = 0, Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ коэффициСнты b = 0 ΠΈ c = 0;
  • axΒ² + c = 0, ΠΏΡ€ΠΈ b = 0;
  • axΒ² + bx = 0, ΠΏΡ€ΠΈ c = 0.

Для Ρ‚Π΅Ρ…, ΠΊΡ‚ΠΎ Ρ…ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚ ΡΠ²ΡΠ·Π°Ρ‚ΡŒ свою Тизнь с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π½Π°ΡƒΠΊΠ°ΠΌΠΈ, Skysmart ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ курс ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊ Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ (ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒ).

Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ axΒ² = 0

НачнСм с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… b ΠΈ c Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, с ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° axΒ² = 0.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ axΒ² = 0 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ xΒ² = 0. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±Π΅ части Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΠ΅ число a, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. ΠšΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ уравнСния xΒ² = 0 являСтся Π½ΡƒΠ»ΡŒ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 0Β² = 0. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρƒ этого уравнСния Π½Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‚ свойства стСпСнСй.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ axΒ² = 0 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ СдинствСнный ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ x = 0.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ βˆ’5xΒ² = 0.

Как Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ:

Β 
  1. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ x2 = 0, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ исходноС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ СдинствСнный ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ β€” Π½ΡƒΠ»ΡŒ.

  2. По шагам Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ выглядит Ρ‚Π°ΠΊ:

    βˆ’5xΒ² = 0

    xΒ² = 0

    x = √0

    x = 0

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 0.

Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ axΒ² + с = 0

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠΌ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния Π²ΠΈΠ΄Π° axΒ² + c = 0, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… b = 0, c β‰  0. ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ слагаСмыС Π² уравнСниях носят двусторонниС ΠΊΡƒΡ€Ρ‚ΠΊΠΈ: ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ пСрСносим ΠΈΡ… ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ части уравнСния Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ, ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π°Π΄Π΅Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΡƒΡ€Ρ‚ΠΊΡƒ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ сторону β€” ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ Π·Π½Π°ΠΊ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ.

Π•Ρ‰Π΅ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΎΠ±Π΅ части уравнСния ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ число (ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ нуля) β€” Ρƒ нас получится Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π°ΠΌΠΈ.

Π”Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠΌ всС это Π² Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Π΅ ΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ Π½Π°Π΄ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Β«Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прСобразования»): axΒ² + c = 0:

  • пСрСнСсСм c Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ: axΒ² = — c,
  • Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π΅ части Π½Π° a: xΒ² = — c/Π°.

Ну всС, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Ρ‹ ΠΊ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π°ΠΌ ΠΎ корнях Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния. Π’ зависимости ΠΎΡ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ a ΠΈ c, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ — c/Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. Π Π°Π·Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ случаи.

Если — c/Π° < 0, Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ xΒ² = — c/Π° Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. ВсС ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ любого числа всСгда Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ числу. Из этого слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ — c/Π° < 0 Π½ΠΈ для ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ числа p равСнство Ρ€Β² = — c/Π° Π½Π΅ являСтся Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ.

Если — c/Π° > 0, Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния xΒ² = — c/Π° Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ. НапримСр, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ уравнСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ числу √- c/Π°, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ (√- c/Π°)Β² = — c/Π°. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ уравнСния ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ -√- c/Π°, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ (-√- c/Π°)Β² = — c/Π°. Π£Ρ€Π°, большС Ρƒ этого уравнСния Π½Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

Π’ Π΄Π²ΡƒΡ… словах

НСполноС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ axΒ² + c = 0 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ axΒ² + c = 0, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅:

  • Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ — c/Π° < 0;
  • ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° корня Ρ… = √- c/Π° ΠΈ Ρ… = -√- c/Π° ΠΏΡ€ΠΈ — c/Π° > 0.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Найти Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния 9xΒ² + 4 = 0.

Как Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ:

Β 
  1. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π½Π΅ΡΠ΅ΠΌ свободный Ρ‡Π»Π΅Π½ Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ:

    9xΒ² = — 4


  2. Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π΅ части Π½Π° 9:

    xΒ² = — 4/9


  3. Π’ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ число со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ минус, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Ρƒ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π½Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 9xΒ² + 4 = 0 Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ -xΒ² + 9 = 0.

Как Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ:

Β 
  1. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π½Π΅ΡΠ΅ΠΌ свободный Ρ‡Π»Π΅Π½ Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ:

    -xΒ² = -9


  2. Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π΅ части Π½Π° -1:

    xΒ² = 9


  3. Найти ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ:

    x = √9

    x = -3

    x = 3

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ -xΒ² + 9 = 0 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° корня -3; 3.

Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ axΒ² + bx = 0

ΠžΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° c = 0.

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Π΅Π· с Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ². Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠ² Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ Ρ‰Π΅Π»ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΊΠΈ ΠΈΠ· ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°.

НСполноС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ axΒ² + bx = 0 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ располоТСн Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части уравнСния β€” вынСсСм Π·Π° скобки ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ x.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ исходного уравнСния ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ x * (ax + b) = 0. А это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ совокупности Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ x = 0 ΠΈ ax + b = 0, послСднСС β€” Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅, Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ x = βˆ’b/a.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ axΒ² + bx = 0 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° корня:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2xΒ² — 32x = 0

Как Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ:

Β 
  1. ВынСсти Ρ… Π·Π° скобки

    Ρ…(2x — 32) = 0


  2. Π­Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ… = 0 ΠΈ 2x — 32 = 0.

  3. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

    2x = 32,

    Ρ… = 32/2


  4. Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ:

    Ρ… = 16


  5. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ исходного уравнСния β€” 0 ΠΈ 16.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Ρ… = 0 ΠΈ Ρ… = 16.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3xΒ² — 12x = 0

Как Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ:

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ уравнСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ:


ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Ρ… = 0 ΠΈ Ρ… = 4.

АлгСбра: ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΈ, тСсты, задания.

АлгСбра: ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΈ, тСсты, задания.
    1. ЧисловыС выраТСния.
      АлгСбраичСскиС выраТСния
    2. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ язык
    3. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ситуаций
    4. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. Алгоритм Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ
    5. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Π°Ρ прямая.
      ЧисловыС ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ
    1. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ
    2. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ax + by + c = 0. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния
    3. ЛинСйная функция y = kx + m. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
    4. ЛинСйная функция y = kx, Π΅Ρ‘ свойства
    5. Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
    1. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ
    2. РСшСниС систСм Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
      ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ подстановки
    3. РСшСниС систСм Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ слоТСния
    4. БистСма Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ матСматичСская модСль
    1. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ стСпСни с Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ
    2. Часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ стСпСни
    3. Π‘Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ свойства стСпСнСй с Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ
    4. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ стСпСнСй с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями
    5. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ стСпСни с Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ
    1. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°.
      ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΊ стандартному Π²ΠΈΠ΄Ρƒ
    2. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²
    3. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ
    4. Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²
    1. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°.
      ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΊ стандартному Π²ΠΈΠ΄Ρƒ
    2. Как ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹
    3. Как ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½
    4. Как ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½
    5. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» сокращённого умноТСния
    6. Как Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½
    1. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ разлоТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ
    2. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.
      ВынСсСниС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля Π·Π° скобки
    3. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. Бпособ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ
    4. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. ИспользованиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» сокращённого умноТСния
    5. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. Π‘ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΡ‘ΠΌΠΎΠ²
    6. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ для сокращСния алгСбраичСских Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ
    7. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ тоТдСства
    1. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ функция y = xΒ² ΠΈ Π΅Ρ‘ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ
    2. РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ графичСским ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ
    3. Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρƒ = f(x)
    1. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ алгСбраичСской Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ
    2. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ основного свойства алгСбраичСской Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ
    3. Как ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ алгСбраичСскиС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ с Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ знамСнатСлями
    4. Как ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ алгСбраичСскиС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ с Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ знамСнатСлями
    5. Как ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ, Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ алгСбраичСскиС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ
    6. Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ
    7. РСшСниС Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
    1. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ функция y = kxΒ² ΠΈ Π΅Ρ‘ свойства.
      ΠŸΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π°
    2. Ѐункция y = k/x ΠΈ Π΅Ρ‘ свойства. Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π°
    3. Как ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = f(x + l)
    4. Как ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = f(x) + m
    5. Как ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = f(x + l) + m
    6. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ функция y = axΒ² + bx + c
    7. РСшСниС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
    1. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня
    2. Ѐункция ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня y = √x, Π΅Ρ‘ свойства ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ
    3. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл
    4. Π‘Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ свойства ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ
    5. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ
    1. КакиС Π±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния
    2. Бпособы Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
    3. РСшСниС Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния, сводящСгося ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌΡƒ
    4. ИспользованиС Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡
    5. Упрощённая Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния
    6. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π°
    7. РСшСниС ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния, сводящСгося ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌΡƒ
    1. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π° Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл, Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл
    2. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа
    3. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΈ Π΅Ρ‘ гСомСтричСская модСль
    4. ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΈ Π΅Π³ΠΎ гСомСтричСский смысл
    5. ΠŸΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΡ‘Π½Π½Ρ‹Π΅ значСния ΠΏΠΎ нСдостатку (ΠΏΠΎ ΠΈΠ·Π±Ρ‹Ρ‚ΠΊΡƒ)
    6. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ стСпСни с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ
    7. Π‘Ρ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΈΠ΄ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа
    1. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ числовых ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠ²
    2. Бвойства числовых нСравСнств.
      Бвойства нСравСнств ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ смысла
    3. Как Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ нСравСнство
    4. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… нСравСнств
    5. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ монотонности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ИсслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ
  1. ΠœΠ΅ΠΆΠ΄ΡƒΠ½Π°Ρ€ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… достиТСний учащихся (PISA)

    1. ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΌ способы Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… нСравСнств
    2. РСшСниС Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… нСравСнств ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ²
    3. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π° ΠΈ подмноТСства.
      ОбъСдинСниС ΠΈ пСрСсСчСниС мноТСств
    4. БистСмы Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… нСравСнств
    1. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ систСмы Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
    2. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСм Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
    3. ИспользованиС систСм Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡
    1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ числовой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ способы Π΅Ρ‘ задания
    2. Бвойства основных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
    3. Π§Ρ‘Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
      ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ чётности ΠΈ нСчётности
    4. БтСпСнная функция с Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ
    5. БтСпСнная функция с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ
    6. Ѐункция кубичСского корня
    1. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ числовой ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.
      Бпособы задания ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉ
    2. АрифмСтичСская прогрСссия. Бвойства арифмСтичСской прогрСссии
    3. ГСомСтричСская прогрСссия. Бвойства гСомСтричСской прогрСссии
    1. Π—Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ.
      ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ
    2. Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ статистики. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠΈ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ
    3. Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ вСроятности. НахоТдСниС вСроятности
    4. ΠžΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ частота ΠΈ статистичСская Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ события
    1. ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа.
      ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅
    2. Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅
    3. Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅
    1. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠΌΠ°Ρ ΠΈ обратная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
    2. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ пСриодичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ)
    1. Числовая ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости
    2. НахоТдСниС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса, тангСнса ΠΈ котангСнса
    3. Числовой Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
    4. Π£Π³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
    5. Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = sin x ΠΈ Π΅Ρ‘ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ
    6. Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = cos x ΠΈ Π΅Ρ‘ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ
    7. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ
    8. ГармоничСскиС колСбания (ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ)
    9. Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ y = tg x, y = ctg x ΠΈ ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ
    10. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = arcsin a, y = arccos a, y = arctg a, y = arcctg a (ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ)
    1. Арккосинус ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния cos Ρ… = a
    2. Арксинус ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния sin x = a
    3. АрктангСнс ΠΈ арккотангСнс.
      РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ tg x = a, ctg x = a
    4. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
    1. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ синуса суммы ΠΈ разности, косинуса суммы ΠΈ разности
    2. ВангСнс суммы ΠΈ разности
    3. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния.
      ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ
    4. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ синуса, косинуса, тангСнса Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
    5. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ пониТСния стСпСни, ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° (ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ)
    6. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сумм тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
    7. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
    8. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ввСдСния Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° (ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ)
    1. ЧисловыС ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΈ ΠΈΡ… свойства
    2. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π° числовой ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ
    3. Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ сумму бСсконСчной гСомСтричСской прогрСссии
    4. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.
      ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° бСсконСчности
    5. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ГСомСтричСский ΠΈ физичСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ
    6. ВычислСниС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования
    7. Как ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
    8. ИсслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ экстрСмумы
    9. ИсслСдованиС выпуклости ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°, построСниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
    10. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ для отыскания Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½
    1. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ корня n-ΠΉ стСпСни ΠΈΠ· Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа
    2. Ѐункция корня n-ΠΉ стСпСни
    3. Бвойства корня n-ΠΉ стСпСни.
      ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ
    4. Бпособы упрощСния Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, содСрТащих Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹
    5. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ стСпСни с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ, свойства стСпСнСй
    6. Бвойства стСпСнных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ
    1. Бвойства ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π΅Ρ‘ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ
    2. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
    3. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… нСравСнств
    4. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°.
      ОсновноС логарифмичСскоС тоТдСство
    5. Бвойства логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π΅Ρ‘ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ
    6. Π‘Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²
    7. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
    8. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ логарифмичСских нСравСнств
    9. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ основанию Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°
    10. БистСмы ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
    11. БистСмы логарифмичСских ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… нСравСнств
    12. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
    1. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΉ
    2. НСопрСдСлённыС ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹.
      ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ интСгрирования
    3. ВычислСниС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΎΠ²
    1. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ суммы
    2. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния
    3. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ.
      ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ
    4. РазмСщСния. РазмСщСния с повторСниями
    5. БочСтания ΠΈ ΠΈΡ… свойства
    6. Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Паскаля. Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°
    1. КакиС Π±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ случайныС события
    2. ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ событий.
      ΠŸΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ события
    3. Π’Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ события
    4. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ вСроятностСй
    5. НСзависимыС события. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ вСроятностСй
    6. БтатистичСская Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ
    1. Π‘Π»ΡƒΡ‡Π°ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹
    2. Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅Π½Π΄Π΅Π½Ρ†ΠΈΠΈ
    3. ΠœΠ΅Ρ€Ρ‹ разброса
    4. Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ распрСдСлСния вСроятностСй.
      Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… чисСл
    1. Π Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
    2. ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
    3. Π Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ нСравСнств. БистСмы ΠΈ совокупности нСравСнств
    4. УравнСния ΠΈ нСравСнства с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ
    5. ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
    6. УравнСния ΠΈ нСравСнства с ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ
  1. ΠšΠΎΠ»Π»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΡ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ

РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅

ΠšΠ°Ρ‚Π°Π»ΠΎΠ³ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ²

  • ΠšΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ: PHP
  • ΠšΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ: АлгСбраичСскиС прСобразования, уравнСния, нСравСнства
    • Как ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с дробями Π½Π° тСстах ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅
    • РСшСниС Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ стСпСни ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ
    • РСшСниС нСравСнств ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ с Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΠΌΠΈ стСпСнями
    • РСшСниС нСравСнства с ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… стСпСнСй.
    • РСшСниС систСмы нСравСнств
    • РСшСниС уравнСния с двумя ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство, содСрТащСС ΠΊΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹. Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ способом
    • Β  РСшСниС систСмы нСравСнств с трСмя нСравСнствами, содСрТащими ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΊΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
    • Π’ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ
    • Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ со знамСнатСлями-ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… стСпСнСй.
    • Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… значСниях истинны нСравСнства
    • Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.
    • ИспользованиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ разности ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ
    • ИсслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ 4 стСпСни
    • ИсслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π² числитСлС ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅
    • ИсслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, содСрТащСй ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² числитСлС ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅.
    • ИсслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ , Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни
    • ИсслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π² числитСлС ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅
    • Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ
    • ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ
    • Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π΅Ρ‚Π΅Π»Π΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
    • Как Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ кубичСскиС уравнСния
    • Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство с дробями
    • НахоТдСниС мноТСства Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ нСравСнства
    • НСобходимо ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
    • НСобходимо ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Π²ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ
    • НСстандартныС способы Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹
    • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ
    • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, провСсти Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ исслСдованиС
    • ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π½Π° ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ
    • ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π½Π° ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния
    • ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π½Π° ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния
    • ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
    • ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π±ΠΈΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния
    • ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ²
    • ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
    • ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅ΡΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ исслСдованиС ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ сСдьмой стСпСни
    • Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ
    • Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… способов
    • Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ
    • РСшаСм нСравСнств, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями
    • РСшаСм нСравСнство с Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ²
    • РСшСниС ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ z
    • РСшСниС Π±ΠΈΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹
    • РСшСниС Π±ΠΈΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ
    • РСшСниС Π±ΠΈΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ
    • РСшСниС Π±ΠΈΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½
    • РСшСниС Π±ΠΈΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½
    • РСшСниС Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ нСравСнства ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ Π² числитСлС ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅
    • РСшСниС Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½Ρ‹Ρ… нСравСнств Π½Π° тСстах ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅
    • Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, приводящих ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ
    • РСшСниС Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ
    • РСшСниС Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, сводящихся ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ
    • РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ с нСдостатком
    • РСшСниС ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ.
    • РСшСниС ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, содСрТащих кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.
    • РСшСниС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ нСравСнства с ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ
    • РСшСниС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… нСравСнств ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ
    • РСшСниС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ Π² числитСлС ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅
    • РСшСниС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ
    • РСшСниС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ дискриминанта
    • РСшСниС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ Π² числитСлС ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅
    • РСшСниС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с модулями
    • РСшСниС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части уравнСния.
    • РСшСниС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, содСрТащих алгСбраичСскиС прСобразования.
    • РСшСниС Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… нСравСнств ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅
    • РСшСниС Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… нСравСнств с Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌΠΈ выраТСниями
    • Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… нСравСнств, содСрТащих ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ
    • РСшСниС Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с дробями Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части
    • РСшСниС Π½Π° тСстах ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ нСравСнств ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, содСрТащих ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ
    • РСшСниС Π½Π° тСстах ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ нСравСнств содСрТащих ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ ΠΈ ΠΊΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части
    • РСшСниС нСравСнств c кубичСскими стСпСнями
    • РСшСниС нСравСнств Β ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с дробями Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ способом
    • РСшСниС нСравСнств Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… стСпСнСй ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ .
    • РСшСниС нСравСнств ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…
    • РСшСниС нСравСнств ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π½Π° тСстах ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ
    • РСшСниС нСравСнств ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с двумя ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅
    • РСшСниС нСравСнств ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ
    • РСшСниС нСравСнств ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ со слоТными Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ дробями
    • РСшСниС нСравСнств ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, содСрТащих Π² числитСлС ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²
    • РСшСниС нСравСнств ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, содСрТащих ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части
    • РСшСниС нСравСнств ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, содСрТащих ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² числитСлС
    • РСшСниС нСравСнств ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, содСрТащих ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ.
    • РСшСниС нСравСнств ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, содСрТащих ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
    • РСшСниС нСравСнств ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, содСрТащих ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ
    • РСшСниС нСравСнств ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, содСрТащих Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ
    • РСшСниС нСравСнств ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½. Π”Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ нСравСнство
    • РСшСниС нСравСнств ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ нСравСнств
    • РСшСниС нСравСнств ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½. РСшСниС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… нСравСнств.
    • РСшСниС нСравСнств с выносом Π·Π° скобки ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°
    • РСшСниС нСравСнств с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ.
    • РСшСниС нСравСнств с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π² числитСлС ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅
    • РСшСниС нСравСнств с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π² числитСлС ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅.
    • РСшСниС нСравСнств с Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части
    • РСшСниС нСравСнств с Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅
    • РСшСниС нСравСнств с Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями Π² модулях
    • РСшСниС нСравСнств с ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ пятой стСпСни
    • РСшСниС нСравСнств с ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅.
    • РСшСниС нСравСнств с ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ функция Π² ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅.
    • РСшСниС нСравСнств с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ разности ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ²
    • РСшСниС нСравСнств с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» сокращСнного умноТСния
    • РСшСниС нСравСнств с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ разности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²
    • РСшСниС нСравСнств с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π² числитСлС ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅
    • РСшСниС нСравСнств с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² числитСлС ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅
    • РСшСниС нСравСнств содСрТащих ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€
    • РСшСниС нСравСнств Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹
    • РСшСниС нСравСнств Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΉ
    • РСшСниС нСравСнств, содСрТащих ΠΊΡƒΠ± суммы
    • РСшСниС нСравСнств, содСрТащих Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² числитСлС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части
    • РСшСниС нСравСнства 3 стСпСни
    • РСшСниС нСравСнства ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ
    • РСшСниС нСравСнства ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части
    • РСшСниС нСравСнства ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ систСму
    • РСшСниС нСравСнства с 4 ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями
    • РСшСниС нСравСнства с двумя модулями
    • РСшСниС нСравСнства с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ.
    • РСшСниС нСравСнства с ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ
    • РСшСниС нСравСнства с ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ
    • РСшСниС нСравСнства с ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅
    • РСшСниС нСравСнства с ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΠΈ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅
    • РСшСниС нСравСнства с модулями ΠΈ дробями
    • РСшСниС нСравСнства с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ
    • РСшСниС нСравСнства, содСрТащСго ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π² числитСлС ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅
    • РСшСниС Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ
    • РСшСниС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ свойств стСпСнСй с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΠΈ свойств ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
    • РСшСниС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½.
    • РСшСниС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями Π² стСпСнях
    • РСшСниС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ стСпСнями
    • РСшСниС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² с ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ² Π½Π° тСстах ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅
    • РСшСниС Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, сводящихся ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ
    • РСшСниС систСм ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… нСравСнств
    • РСшСниС систСм Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… нСравСнств
    • РСшСниС систСм Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ выраТСния нСизвСстной
    • РСшСниС систСм Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ нСравСнствами
    • РСшСниС систСм Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами
    • РСшСниС систСм Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с модулями
    • РСшСниС систСм нСравСнств
    • РСшСниС систСм нСравСнств Π½Π° тСстах ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅
    • РСшСниС систСм нСравСнств ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π½Π° тСстах ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅
    • РСшСниС систСм нСравСнств ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями
    • РСшСниС систСм нСравСнств с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями
    • РСшСниС систСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ , Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅
    • РСшСниС систСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с 3 нСизвСстными
    • РСшСниС систСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с 4 нСизвСстными
    • РСшСниС систСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с дробями ΠΏΠΎΠ²Ρ‹ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ уровня слоТности
    • РСшСниС систСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ с Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΠΌΠΈ стСпСнями
    • РСшСниС систСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²
    • РСшСниС систСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с суммой ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ нСизвСстных
    • РСшСниС систСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с x ΠΈ Ρƒ Π² числитСлС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ
    • РСшСниС систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
    • РСшСниС систСмы нСравСнств c Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ нСравСнствС
    • РСшСниС систСмы нСравСнств ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½
    • РСшСниС систСмы нСравСнств ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями
    • РСшСниС систСмы нСравСнств, содСрТащСС кубичСскоС нСравСнтсво
    • РСшСниС слоТного Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния
    • РСшСниС слоТного нСравСнства с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» сокращСнного умноТСния
    • РСшСниС слоТных Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… нСравСнств
    • РСшСниС слоТных ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½
    • Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ слоТных нСравСнств
    • РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… стСпСнСй с дробями
    • РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ
    • РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с большим числом ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²
    • РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ модуля
    • РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя  мноТитСлями, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… стоят ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
    • РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ
    • РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ
    • РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни с Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ
    • РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, сводящихся ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ
    • РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, сводящихся ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ свойств сокращСнного умноТСния.
    • РСшСниС уравнСния с Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…
    • РСшСнии нСравСнств ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Π±ΠΎΡ€Π°
    • РСшСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° свойства стСпСнСй
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ²,ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² ΠΏΡ€ΠΈ этом ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ слагаСмых.
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π±ΠΈΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ кубичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ способом.
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π”Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ нСравСнство ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ стСпСни с дробями.
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ способом.
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ нСравСнство,Β  содСрТащСС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π² ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… частях
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ способом
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство  с дробями
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… стСпСнСй ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ²
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, содСрТащСС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, содСрТащСС Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΠ΅ стСпСни
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, содСрТащСС Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΠ΅ стСпСни
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, содСрТащСС Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ выраТСния
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, содСрТащСС ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ.
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, содСрТащСС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… стСпСнСй.
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, содСрТащСС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅Β  ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, содСрТащСС сумму Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ функция.
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½. НСравСнство Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… стСпСнСй.
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½.Β  Π”Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ способом
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство с ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство, содСрТащСС Π²Ρ‹ΡΠΎΠΊΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ,Β  ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ²
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство, содСрТащСС Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство, содСрТащСС Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ выраТСния Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство, содСрТащСС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ кубичСской ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство, содСрТащСС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ².
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство, содСрТащСС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство, ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‰ΡƒΡŽ Π²Ρ‹ΡΡˆΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΒ  ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ²
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ систСму нСравСнств Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ способом.
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ систСму нСравСнств с модулями
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ систСму нСравСнств, ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‰ΡƒΡŽ нСравСнства Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ систСму нСравСнств.
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ систСму нСравСнств.
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ систСму ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с трСмя нСизвСстными ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ выраТСния нСизвСстной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ систСму ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΠ² x,y,z Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· u ΠΈ v.
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ стСпСни
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ стСпСни, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, содСрТащСС Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ выраТСния с   ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями.
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, содСрТащСС выраТСния ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ модуля Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части уравнСния
    • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΡƒ ΠΈ вынСсСниС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля
    • ВоТдСствСнноС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ с использованиСм Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²
    • ВоТдСствСнныС прСобразования Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ способом
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈΒ  знамСнатСлями
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹. Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с дробями.
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΈΠΏΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ для тСстов ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, содСрТащСС Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ выраТСния
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° тСстах ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ с использованиСм тоТдСствСнных ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ.
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° тСстах ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ с Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ знамСнатСлями. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ с корнями
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ с кубичСскими корнями
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ с многоэтаТными дробями
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ разности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° суммы.
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ разности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ умноТСния Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» разлоТСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ суммы ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² ΠΈ ΠΊΡƒΠ± разности
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ с Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ.
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ с трСмя дСйствиями
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ.
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, слоТСниС Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ с ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, содСрТащих Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, содСрТащих Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, содСрТащих ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, содСрТащих ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния, содСрТащСго ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ дСлСния
  • ΠšΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ: Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅
  • ΠšΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ: ЛогарифмичСскиС, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния , нСравСнства
  • ΠšΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ: Начала Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°
    • Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Π½Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ числа ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ….
    • ИсслСдованиС ΠΈ построСниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни
    • ИсслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, содСрТащСй ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ пятой стСпСни Π² числитСлС ΠΈ сСдьмой Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅.
    • ИсслСдованиС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅
    • ИсслСдованиС Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ построСния Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°
    • ИсслСдованиС Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ построСниС Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°
    • ИсслСдованиС ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠΌ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅
    • ИсслСдованиС Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ с построСниС Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°
    • ИсслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ дСсятой стСпСни
    • ИсслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с кубичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π² числитСлС
    • ИсслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с числитСлСм ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΎΠΉ стСпСни
    • ИсслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ частным ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΊΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
    • ИсслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ пятой стСпСни
    • ИсслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π² числитСлС ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅
    • ИсслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΎΠΉ стСпСни Π² числитСлС
    • ИсслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с числитСлСм пятой стСпСни
    • Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ
    • Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ 4 стСпСни ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ
    • Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… стСпСнСй ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ
    • Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ
    • Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½.
    • Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни Π² числитСлС
    • Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
    • Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни
    • Π½Π° исслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
    • Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅
    • НахоТдСниС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ построСниС Π΅Ρ‘ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°
    • ПолноС исслСдованиС слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ построСниС Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°
    • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠΌ Π² числитСлС ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅
    • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
    • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° кубичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
    • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями Π² числитСлС ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅
    • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° с кубичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π² числитСлС ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅
    • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° с Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΎΠΉ стСпСни Π² числитСлС
    • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΌ исслСдованиСм
    • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π² числитСлС ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅
    • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ пятой стСпСни Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅
    • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ пятой стСпСни
    • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π½Π° тСстах ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅
    • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½. НахоТдСниС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅
    • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ провСсти Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ исслСдованиС. Ѐункция Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ
    • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ провСсти Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ исслСдованиС.
    • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ исслСдования
    • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ кубичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
    • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ кубичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, провСдя Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ исслСдованиС
    • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, содСрТащСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅, провСдя ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ исслСдованиС.
    • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ провСсти Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ исслСдованиС
    • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ
    • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ пятой стСпСни
    • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, содСрТащСй Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ.
    • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ.
    • ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅ΡΡ‚ΠΈ исслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ
    • ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅ΡΡ‚ΠΈ исслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.
    • ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅ΡΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ исслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ . ПослС этой исслСдования ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.
    • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹
    • Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
  • ΠšΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ: ΠŸΠ»Π°Π½ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ
  • ΠšΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ: ΠŸΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡΡΠΈΠΈ
  • ΠšΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ: БтСрСомСтрия
  • ΠšΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ: ВСкстовыС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ
  • ΠšΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ: ВригономСтрия
  • ΠšΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ: Числа ΠΈ выраТСния

ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π³ΠΎΠ΄ выпускники ΡΡ‚Π°Ρ€Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΡƒΡΠΏΠ΅ΡˆΠ½ΠΎ Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡƒΡΠΏΠ΅ΡˆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ Π²ΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ экзамСны, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΠ΅ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Π΅ завСдСния ΠΈ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ студСнтами.

МногиС ΠΈΡ‰ΡƒΡ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΊ этому ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ.

Π’ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ аттСстация проводится Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ внСшнСго нСзависимого оцСнивания (Π—ΠΠž). Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ тСстов ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ засчитываСтся ΠΊΠ°ΠΊ Π±Π°Π»Π» государствСнной ΠΈΡ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠΉ аттСстации (Π”ΠŸΠ) . Выпускникам, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»ΠΈ Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅, Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ выдаСтся сСртификат с Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ, Π² соотвСтствии с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ вносится ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ запись Π² Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ аттСстату. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ количСство Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ² нСдостаточно Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠ²Π»Π°Π΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ – Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ ΡƒΠ³Π»ΡƒΠ±Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ знания, ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ° Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΊΠΎ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π±ΡƒΠΌΠ°Π³Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, сопровоТдая Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΌΠΈ схСмами, рисунками, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ.

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ сайт с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π² комплСксной ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ Π°Π±ΠΈΡ‚ΡƒΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΊ нСзависимому Π²Π½Π΅ΡˆΠ½Π΅ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΡΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. Он Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ с Π²Π°ΠΌΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π² Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ врСмя ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π»ΠΈΡΡŒ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ школьникам ΠΈ Π°Π±ΠΈΡ‚ΡƒΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Π°ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ поступлСнии Π² Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΠ΅ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Π΅ завСдСния.

Π Π°Π·Π±ΠΎΡ€ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ , ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΈ позволят Π²Π°ΠΌ ΡƒΡΠΏΠ΅ΡˆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ нСпростыС экзамСны ΠΈ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΎΠ²Π»Π°Π΄Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ Π½Π°ΡƒΠΊΠ°ΠΌΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΈ гСомСтрия. Π’Ρ‹ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ алгСбраичСскиС прСобразования, смоТСтС ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ любоС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ алгСбраичСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. Π’Ρ‹ ΡƒΡΠΏΠ΅ΡˆΠ½ΠΎ освоитС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, систСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, нСравСнств, систСм нСравСнств (ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅, ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, логарифмичСскиС, тригономСтричСскиС).

БлоТности Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° составлСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ? На сайтС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ с ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΌ описаниСм. ГСомСтрия даСтся слоТнСС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°? На сайтС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² планимСтрия ΠΈ стСрСомСтрия, Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ нСизвСстных гСомСтричСских элСмСнтов, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€, ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΈΠΊΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π² ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Π‘Π°ΠΉΡ‚- Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ Π΄ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠ½ΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ ΠΊ тСстам

Π‘Π°ΠΉΡ‚ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½ для получСния ΠΈ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π³ΠΎ усвоСния большСго количСства ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ, Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΎΠΊΠΈΡ… Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ приобрСтСния Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎ Ρ€Π΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅. БпСциалиста ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠ²ΡˆΠΈΡΡŒ Π² ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ агСнтства, помСстив объявлСниС Π² срСдствах массовой ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ. Однако , ΠΏΠΎΠΏΠ°Π² Π½Π° этот сайт, Π²Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ нашли Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ искали. Π£ Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€Π° — большой ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊ Π—ΠΠž ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π”ΠŸΠ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π—ΠΠž ΠΏΠΎ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅, Π”ΠŸΠ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π·Ρ‹Π²Ρ‹ Π½Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ страницС. ВсС ΠΌΠΎΠΈ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΈ ΡƒΡΠΏΠ΅ΡˆΠ½ΠΎ сдавали Π—ΠΠž с Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚ 180 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ², Π° Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π”ΠŸΠ всСгда Π±Ρ‹Π» Π½Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ 9. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ‹ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ занятий.

ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ (ΠΠžΠ” ΠΈ НОК): ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€

Наибольший ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ наимСньшСС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ β€” ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ арифмСтичСскиС понятия, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ Π±Π΅Π· усилий ΠΎΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ дробями. НОК ΠΈ ΠΠžΠ” Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ всСго ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для поиска ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ знамСнатСля Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ понятия

Π”Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа X β€” это Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число Y, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ X раздСляСтся Π±Π΅Π· остатка. К ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 4 β€” это 2, Π° 36 β€” 4, 6, 9. ΠšΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ X β€” это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ число Y, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ дСлится Π½Π° X Π±Π΅Π· остатка. К ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, 3 ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ 15, Π° 6 β€” 12.

Для любой ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ чисСл ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΈΡ… ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅. К ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, для 6 ΠΈ 9 ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ являСтся 18, Π° ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ β€” 3. ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ нСсколько, поэтому ΠΏΡ€ΠΈ расчСтах ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ наибольший Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΠžΠ” ΠΈ наимСньшСС ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ НОК.

НаимСньший Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысла, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ для любого числа это всСгда Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°. НаибольшСС ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ бСссмыслСнно, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… устрСмляСтся Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

НахоТдСниС ΠΠžΠ”

Для поиска наибольшСго ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ дСлитСля сущСствуСт мноТСство ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ², самыС извСстныС ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…:

  • ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π±ΠΎΡ€ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… для ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ ΠΈ поиск наибольшСго ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…;
  • Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ чисСл Π½Π° Π½Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΡ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ;
  • Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°;
  • Π±ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ.

БСгодня Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Ρ… завСдСниях Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ популярными ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ разлоТСния Π½Π° простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°. ПослСдний Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄ΠΈΠΎΡ„Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ: поиск ΠΠžΠ” трСбуСтся для ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ уравнСния Π½Π° Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… числах.

НахоТдСниС НОК

НаимСньшСС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ опрСдСляСтся ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° Π½Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΡ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ НОК, Ссли ΡƒΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ наибольший Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ. Для чисСл X ΠΈ Y НОК ΠΈ ΠΠžΠ” связаны ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ:

НОК (X,Y) = X Γ— Y / ΠΠžΠ”(X,Y).

НапримСр, Ссли ΠΠžΠ”(15,18) = 3, Ρ‚ΠΎ НОК(15,18) = 15 Γ— 18 / 3 = 90. НаиболСС ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ использования НОК β€” поиск ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ знамСнатСля, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΈ являСтся наимСньшим ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ для Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ.

Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ простыС числа

Если Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ чисСл Π½Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, Ρ‚ΠΎ такая ΠΏΠ°Ρ€Π° называСтся Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ простой. ΠΠžΠ” для Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΏΠ°Ρ€ всСгда Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, Π° исходя ΠΈΠ· связи Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ…, НОК для Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ простых Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ. К ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, числа 25 ΠΈ 28 Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ просты, вСдь Ρƒ Π½ΠΈΡ… Π½Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, Π° НОК(25, 28) = 700, Ρ‡Ρ‚ΠΎ соотвСтствуСт ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ. Π”Π²Π° Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π½Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΡ‹Ρ… числа всСгда Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ простыми.

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ дСлитСля ΠΈ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ нашСго ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΠžΠ” ΠΈ НОК для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ количСства чисСл Π½Π° Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€. Задания Π½Π° вычислСниС ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ 5, 6 класса, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΠžΠ” ΠΈ НОК β€” ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ понятия ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ чисСл, ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΈΠ· Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ

ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ

НаимСньшСС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ поискС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ знамСнатСля Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π² арифмСтичСской Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ трСбуСтся ΡΡƒΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ 5 Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Для слоТСния Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ привСсти ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сводится ΠΊ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ нахоТдСния НОК. Для этого Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π² ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π΅ 5 чисСл ΠΈ Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ значСния Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Π² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ячСйки. ΠŸΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° вычислит НОК (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ НОК ΠΊ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ:

  • 360/8 = 45
  • 360/9 = 40
  • 360/12 = 30
  • 360/15 = 24
  • 360/18 = 20.

ПослС этого ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ всС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π½Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΡΡƒΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ 159/360. Π‘ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‰Π°Π΅ΠΌ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Π½Π° 3 ΠΈ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ β€” 53/120.

РСшСниС Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… Π΄ΠΈΠΎΡ„Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ Π΄ΠΈΠΎΡ„Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ уравнСния β€” это выраТСния Π²ΠΈΠ΄Π° ax + by = d. Если ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ d / ΠΠžΠ”(a, b) Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌΠΎ Π² Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… числах. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ цСлочислСнного Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 150x + 8y = 37. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΠžΠ” (150,8) = 2. Π”Π΅Π»ΠΈΠΌ 37/2 = 18,5. Число Π½Π΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ цСлочислСнных ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1320x + 1760y = 10120. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ для нахоТдСния ΠΠžΠ”(1320, 1760) = 440. Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ 10120/440 = 23. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π΄ΠΈΠΎΡ„Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌΠΎ Π² Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… коэффициСнтах.

Π—Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠΠžΠ” ΠΈ НОК ΠΈΠ³Ρ€Π°ΡŽΡ‚ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ чисСл, Π° сами понятия ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² самых Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… областях ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ наш ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ для расчСта Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… любого количСства чисСл.

Онлайн тСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 8-11 классов

ВСсты для 11 класса
Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…
  1. Π’ΠΈΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π° ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅: «Π§Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΎ ЛобачСвском?»

    Π’ΠΈΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π° «Π›ΠΎΠ±Π°Ρ‡Π΅Π²ΡΠΊΠΈΠΉ» рассказываСт ΠΎΠ± ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ· самых Ρ‚Π°Π»Π°Π½Ρ‚Π»ΠΈΠ²Ρ‹Ρ… русских ΡƒΡ‡Ρ‘Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΏΠ΅Π΄Π°Π³ΠΎΠ³ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ внёс самый большой Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ Π² Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ свой страны. РазумССтся, Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΈΠ΄Ρ‘Ρ‚ ΠΎ Н.И. ЛобачСвском.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  2. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ «ΠšΠΎΠ»Π΅ΡΠΎ истории» (10-11 класс)

    КакиС ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Ρ‹ своими открытиями Π² области ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ? Когда Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ? Π’ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ странС Π·Π°Ρ€ΠΎΠ΄ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ гСомСтрия? Π£Π·Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π² этом тСстС.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Вопросов: 20
  3. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для учащихся 9-11 классов

    ΠšΡ‚ΠΎ «ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π·» Π² Π•Π²Ρ€ΠΎΠΏΡƒ слово «ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΎΠ½»? Как Π·Π²Π°Π»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΆΠ΅Π½Ρ‰ΠΈΠ½Ρƒ-ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°? Для Ρ‡Π΅Π³ΠΎ, ΠΏΠΎ мнСнию извСстного ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΎΠ³ΠΎ, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ? Π£Π·Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π² этом тСстС!

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Вопросов: 20
  4. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π’Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ» (10-11 класс)

    Π’ этом тСстС ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ вас ΠΆΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρ‹ ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈΡ… ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Ρ… ΠΈ ΠΈΡ… открытиях!

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: простой Вопросов: 21
  5. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π˜Π· истории Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ ΠΈ чисСл» (10-11 класс)

    Π”ΠΎ изобрСтСния Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ люди считали с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΠ°Π»ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π°Ρ€ΡƒΠ±ΠΎΠΊ. .. Π‘ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹ появились Π² Индии. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΠ»ΠΎ экономно ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ числа.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  6. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π˜Π½Ρ‚СрСсныС Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρ‹ ΠΎ числах ΠΈ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ» (10-11 класс)

    Наука ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Ρ‚Π°ΠΈΡ‚ Π² сСбС мноТСство интСрСсных Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΠ². КаТдая Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π° ΠΈ число ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π³Π΅Ρ€ΠΎΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠΉ истории. Π£Π·Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅ большС Π² этом тСстС!

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Вопросов: 20
  7. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π˜ΡΡ‚ория ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π² Π»ΠΈΡ†Π°Ρ…» (10-11 класс)

    Π—Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΌ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈΠΌ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠ΅ΠΌ Π² области ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ стоит напряТСнная ΠΈ Π·Π°Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡƒΡŽ многолСтняя Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΎΠ³ΠΎ.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: простой Вопросов: 20
  8. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π˜ΡΡ‚ория Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ» (9-11 класс)

    ВригономСтричСскиС вычислСния ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, Π½ΠΎ ΠΈ Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΌΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠΈ, ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· финансовых Ρ€Ρ‹Π½ΠΊΠΎΠ², Π² элСктроникС, тСория вСроятностСй ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… областях.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  9. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ нас» (10-11 класс)

    ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° слоТна, Π΅Ρ‘ Π΄ΠΎ края Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ. ΠžΡ‚ΠΊΡ€ΠΎΠ΅Ρ‚ Π΄Π²Π΅Ρ€ΠΈ всСм ΠΎΠ½Π°, Π² Π½ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  10. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ: Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ (10-11 класс)

    Какой ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ΠΉ «Π½Π°Π²Π΅Π» порядок» Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ? ΠšΠ°ΠΊΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π»ΠΈ «ΠΌΠ°Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ»? ΠšΡ‚ΠΎ Π²Π²Π΅Π» Π² ΡƒΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊ равСнства? ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅ свои знания ΠΈΠ· области истории ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ!

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: слоТный Вопросов: 20
ВСсты для 10 класса
Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…
  1. Π’ΠΈΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π° Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π—Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°»

    20 интСрСсных Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΠ² ΠΎ Π½Π°ΡƒΠΊΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°. ΠžΡ€ΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρ‹ ΠΈΠ· ΠΌΠΈΡ€Π° этой ΡΠ΅Ρ€ΡŒΠ΅Π·Π½ΠΎΠΉ Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ. ΠœΠ΅ΡΡ‚ΠΎ для Π½Π΅ΡΠ΅Ρ€ΡŒΠ΅Π·Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ просто ΡƒΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, найдСтся Π² любой Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ Π½Π°ΡƒΠΊΠ΅. Π“Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅, ΠΆΠ΅Π»Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ‹ΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ это.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  2. Π’ΠΈΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π° Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π›ΡŽΠ±ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ная история ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ»

    Π­Ρ‚ΠΈ вопросы ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π½Π°ΠΊΠΎΠΏΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ запаса матСматичСских Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΠ² ΠΈ свСдСний, ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΎΠ², Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΡƒΠ±Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… знания, ΠΏΡ€ΠΈΠΎΠ±Ρ€Π΅Ρ‚Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ Π² основном курсС Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  3. ВСст ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ для 10 класса ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅: «Π“СомСтричСскиС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹»

    ГСомСтричСскиС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ вСсьма Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹. ВсС ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ нас ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ°ΡŽΡ‚, состоят ΠΈΠ· гСомСтричСских Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: слоТный Вопросов: 20
  4. ВСст ΠΏΠΎ истории ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ (10 класс)

    Π‘Π΅Π· ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈΡ… ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠ² дрСвности, ΠΌΡ‹, вСроятно, Π΄ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€ пользовались Π±Ρ‹ ΡƒΠ·Π΅Π»ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ счСтом. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅ свои знания Π² области истории ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π² этом тСстС.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Вопросов: 20
  5. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ «ΠšΠΎΠ»Π΅ΡΠΎ истории» (10-11 класс)

    КакиС ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Ρ‹ своими открытиями Π² области ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ? Когда Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ? Π’ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ странС Π·Π°Ρ€ΠΎΠ΄ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ гСомСтрия? Π£Π·Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π² этом тСстС.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Вопросов: 20
  6. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 10 класса Β«ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ всСлСнная»

    Наука ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π·Π°Ρ€ΠΎΠ΄ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ тысячСлСтия Π½Π°Π·Π°Π΄. ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠ²Π°Π½ Π²Ρ‹Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ матСматичСскими открытиями. Π£Π·Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π² этом тСстС.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: слоТный Вопросов: 20
  7. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 8-10 классов ΠΏΠΎ истории ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ

    Π—Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρ‹ ΠΎΠ± извСстных ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Ρ…-ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Ρ… ΠΈ открытиях, сдСланных ΠΈΠΌΠΈ, ΠΆΠ΄ΡƒΡ‚ вас Π² этом тСстС.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: слоТный Вопросов: 20
  8. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для учащихся 9-11 классов

    ΠšΡ‚ΠΎ «ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π·» Π² Π•Π²Ρ€ΠΎΠΏΡƒ слово «ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΎΠ½»? Как Π·Π²Π°Π»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΆΠ΅Π½Ρ‰ΠΈΠ½Ρƒ-ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°? Для Ρ‡Π΅Π³ΠΎ, ΠΏΠΎ мнСнию извСстного ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΎΠ³ΠΎ, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ? Π£Π·Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π² этом тСстС!

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Вопросов: 20
  9. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ МΠ₯К для 9-10 классов: ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΈ мировая худоТСствСнная ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΡƒΡ€Π°

    ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΈ искусство Π΄Π²Π΅ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ чСловСчСской ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΡƒΡ€Ρ‹, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π² самой сСрдцСвинС Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ элСмСнт искусства, Π° всякоС искусство нСсёт Π² сСбС частицу Π½Π°ΡƒΡ‡Π½ΠΎΠΉ мудрости.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Вопросов: 20
  10. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π’Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ» (10-11 класс)

    Π’ этом тСстС ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ вас ΠΆΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρ‹ ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈΡ… ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Ρ… ΠΈ ΠΈΡ… открытиях!

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: простой Вопросов: 21
  11. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π˜Π· истории Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ ΠΈ чисСл» (10-11 класс)

    Π”ΠΎ изобрСтСния Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ люди считали с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΠ°Π»ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π°Ρ€ΡƒΠ±ΠΎΠΊ. .. Π‘ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹ появились Π² Индии. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΠ»ΠΎ экономно ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ числа.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  12. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π˜Π½Ρ‚СрСсныС Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρ‹ ΠΎ числах ΠΈ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ» (10-11 класс)

    Наука ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Ρ‚Π°ΠΈΡ‚ Π² сСбС мноТСство интСрСсных Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΠ². КаТдая Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π° ΠΈ число ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π³Π΅Ρ€ΠΎΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠΉ истории. Π£Π·Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅ большС Π² этом тСстС!

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Вопросов: 20
  13. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π˜ΡΡ‚ория ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π² Π»ΠΈΡ†Π°Ρ…» (10-11 класс)

    Π—Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΌ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈΠΌ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠ΅ΠΌ Π² области ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ стоит напряТСнная ΠΈ Π·Π°Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡƒΡŽ многолСтняя Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΎΠ³ΠΎ.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: простой Вопросов: 20
  14. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π˜ΡΡ‚ория Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ» (9-11 класс)

    ВригономСтричСскиС вычислСния ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, Π½ΠΎ ΠΈ Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΌΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠΈ, ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· финансовых Ρ€Ρ‹Π½ΠΊΠΎΠ², Π² элСктроникС, тСория вСроятностСй ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… областях.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  15. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ нас» (10-11 класс)

    ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° слоТна, Π΅Ρ‘ Π΄ΠΎ края Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ. ΠžΡ‚ΠΊΡ€ΠΎΠ΅Ρ‚ Π΄Π²Π΅Ρ€ΠΈ всСм ΠΎΠ½Π°, Π² Π½ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  16. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ: Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ (10-11 класс)

    Какой ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ΠΉ «Π½Π°Π²Π΅Π» порядок» Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ? ΠšΠ°ΠΊΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π»ΠΈ «ΠΌΠ°Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ»? ΠšΡ‚ΠΎ Π²Π²Π΅Π» Π² ΡƒΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊ равСнства? ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅ свои знания ΠΈΠ· области истории ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ!

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: слоТный Вопросов: 20
ВСсты для 9 класса
Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…
  1. Π’ΠΈΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π° Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π—Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°»

    20 интСрСсных Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΠ² ΠΎ Π½Π°ΡƒΠΊΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°. ΠžΡ€ΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρ‹ ΠΈΠ· ΠΌΠΈΡ€Π° этой ΡΠ΅Ρ€ΡŒΠ΅Π·Π½ΠΎΠΉ Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ. ΠœΠ΅ΡΡ‚ΠΎ для Π½Π΅ΡΠ΅Ρ€ΡŒΠ΅Π·Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ просто ΡƒΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, найдСтся Π² любой Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ Π½Π°ΡƒΠΊΠ΅. Π“Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅, ΠΆΠ΅Π»Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ‹ΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ это.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  2. ВСст Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π˜Π½Ρ‚СрСсноС Π² ΠΌΠΈΡ€Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ» (9 класс)

    «ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° — Ρ†Π°Ρ€ΠΈΡ†Π° Π½Π°ΡƒΠΊ, Π° Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠ° — Ρ†Π°Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ». ΠšΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ· Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈΡ… ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ эти слова? Π£Π·Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π² этом тСстС!

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: слоТный Вопросов: 20
  3. ВСст ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ для 8-9 классов. «ГСомСтричСская ΠΌΠΎΠ·Π°ΠΈΠΊΠ°Β»

    ГСомСтрия — ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· самых Π΄Ρ€Π΅Π²Π½ΠΈΡ… Π½Π°ΡƒΠΊ. Она ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈ ΠΈΡ… пространствСнныС ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Вопросов: 20
  4. ВСст ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ для учащихся 7-9 класса

    ГСомСтрия являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΎΠΌ СстСствСнной потрСбности Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ° Π² ΠΏΠΎΠ·Π½Π°Π½ΠΈΠΈ, постоянном стрСмлСнии Π΅Π³ΠΎ ΠΊ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½ΡΡ‚Π²Ρƒ ΠΈ красотС. Но вмСстС с Ρ‚Π΅ΠΌ, Π΅Ρ‘ относят ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ· самых Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ².

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  5. ВСст ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹» (9 класс)

    ГСомСтрия являСтся самым могущСствСнным срСдством для изощрСния Π½Π°ΡˆΠΈΡ… умствСнных способностСй ΠΈ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΌΡ‹ΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ Ρ€Π°ΡΡΡƒΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ. (Π“. Π“Π°Π»ΠΈΠ»Π΅ΠΉ)

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  6. ВСст ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π˜ΡΡ‚ория развития Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ» (9 класс)

    ГСомСтрия появилась Π² связи с потрСбностями практичСской Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ°. А со Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ Π² ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ, Π½ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΠ½ΡƒΡŽ Π½Π°ΡƒΠΊΡƒ.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Вопросов: 20
  7. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ «ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ичная функция» (9 класс)

    ΠšΡ‚ΠΎ с дСтских Π»Π΅Ρ‚ занимаСтся ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ свой ΠΌΠΎΠ·Π³, свою волю, воспитываСт Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ упорство Π² достиТСнии Ρ†Π΅Π»ΠΈ. (АлСксСй ΠœΠ°Ρ€ΠΊΡƒΡˆΠ΅Π²ΠΈΡ‡, совСтский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ)

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  8. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 8-10 классов ΠΏΠΎ истории ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ

    Π—Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρ‹ ΠΎΠ± извСстных ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Ρ…-ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Ρ… ΠΈ открытиях, сдСланных ΠΈΠΌΠΈ, ΠΆΠ΄ΡƒΡ‚ вас Π² этом тСстС.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: слоТный Вопросов: 20
  9. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для учащихся 9-11 классов

    ΠšΡ‚ΠΎ «ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π·» Π² Π•Π²Ρ€ΠΎΠΏΡƒ слово «ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΎΠ½»? Как Π·Π²Π°Π»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΆΠ΅Π½Ρ‰ΠΈΠ½Ρƒ-ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°? Для Ρ‡Π΅Π³ΠΎ, ΠΏΠΎ мнСнию извСстного ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΎΠ³ΠΎ, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ? Π£Π·Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π² этом тСстС!

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Вопросов: 20
  10. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ МΠ₯К для 9-10 классов: ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΈ мировая худоТСствСнная ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΡƒΡ€Π°

    ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΈ искусство Π΄Π²Π΅ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ чСловСчСской ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΡƒΡ€Ρ‹, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π² самой сСрдцСвинС Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ элСмСнт искусства, Π° всякоС искусство нСсёт Π² сСбС частицу Π½Π°ΡƒΡ‡Π½ΠΎΠΉ мудрости.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Вопросов: 20
  11. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π’ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† измСрСния» (9 класс)

    БущСствуСт ΠΎΠ³Ρ€ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠ΅ количСство Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† измСрСния. НСкоторыС Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ измСрСния ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ соврСмСнным Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠΎΠΌ.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  12. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π”Сйствия с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами» (9 класс)

    ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами выполняли ΡƒΠΆΠ΅ Π² Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎΠΉ дрСвности, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, СгиптянС, Π³Ρ€Π΅ΠΊΠΈ, ΡˆΡƒΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹. .. А Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ извСстно ΠΎΠ± этих числах?

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  13. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π˜ΡΡ‚ория ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ» (9 класс)

    Когда ΠΈ Π³Π΄Π΅ появилось слово «ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΎΠ½»? ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ русский ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ сочинял матСматичСскиС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ? Π•ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π² ΠΌΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠ΅?

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  14. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π˜ΡΡ‚ория ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ» (8-9 класс)

    НСкоторым школьникам ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° каТСтся скучным ΠΈ слоТным ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠΌ. Однако навСрняка Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΈΠΌ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ интСрСсны Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρ‹ ΠΈΠ· истории этой Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  15. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π˜ΡΡ‚ория Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ» (9-11 класс)

    ВригономСтричСскиС вычислСния ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, Π½ΠΎ ΠΈ Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΌΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠΈ, ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· финансовых Ρ€Ρ‹Π½ΠΊΠΎΠ², Π² элСктроникС, тСория вСроятностСй ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… областях.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  16. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «ΠŸΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡΡΠΈΠΈ» (9 класс)

    Π‘Ρ€Π΅Π΄ΠΈ чисСл сущСствуСт Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈ согласиС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½Π°Π΄ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΌΡ‹ΡˆΠ»ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π½ΠΈ ΠΈ Π½ΠΎΡ‡ΠΈ Π½Π°Π΄ ΠΈΡ… ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. .. (Π‘ΠΈΠΌΠΎΠ½ Π‘Ρ‚Π΅Π²ΠΈΠ½, фламандский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ)

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  17. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ тСкстовых Π·Π°Π΄Π°Ρ‡» (8-9 класс)

    Π’ школьном курсС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° Π½Π°Π΄ тСкстовыми Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°ΠΌΠΈ считаСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· самых слоТных Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² для усвоСния учащимися. Π’ этом тСстС Π²Ρ‹ смоТСтС ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² ΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  18. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ: ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ функция, Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈ свойства (9 класс)

    Подобно Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠ°ΠΊ всС искусства Ρ‚ΡΠ³ΠΎΡ‚Π΅ΡŽΡ‚ ΠΊ ΠΌΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠ΅, всС Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ стрСмятся ΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. (Π”ΠΆΠΎΡ€Π΄ΠΆ Бантаяна, философ)

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  19. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ: ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ функция (8-9 класс)

    Подобно Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠ°ΠΊ всС искусства Ρ‚ΡΠ³ΠΎΡ‚Π΅ΡŽΡ‚ ΠΊ ΠΌΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠ΅, всС Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ стрСмятся ΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. (Π”ΠΆΠΎΡ€Π΄ΠΆ Бантаяна, философ)

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Вопросов: 20
ВСсты для 8 класса
Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…
  1. ВСст ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ «ΠžΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ — Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΎ Π½Π΅ΠΉ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ?»

    ГСомСтричСская Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… свойств. А Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠ± этой Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π΅?

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  2. ВСст ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ для 8-9 классов. «ГСомСтричСская ΠΌΠΎΠ·Π°ΠΈΠΊΠ°Β»

    ГСомСтрия — ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· самых Π΄Ρ€Π΅Π²Π½ΠΈΡ… Π½Π°ΡƒΠΊ. Она ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈ ΠΈΡ… пространствСнныС ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Вопросов: 20
  3. ВСст ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ для учащихся 7-9 класса

    ГСомСтрия являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΎΠΌ СстСствСнной потрСбности Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ° Π² ΠΏΠΎΠ·Π½Π°Π½ΠΈΠΈ, постоянном стрСмлСнии Π΅Π³ΠΎ ΠΊ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½ΡΡ‚Π²Ρƒ ΠΈ красотС. Но вмСстС с Ρ‚Π΅ΠΌ, Π΅Ρ‘ относят ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ· самых Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ².

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  4. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 8-10 классов ΠΏΠΎ истории ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ

    Π—Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρ‹ ΠΎΠ± извСстных ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Ρ…-ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Ρ… ΠΈ открытиях, сдСланных ΠΈΠΌΠΈ, ΠΆΠ΄ΡƒΡ‚ вас Π² этом тСстС.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: слоТный Вопросов: 20
  5. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π–ΠΈΠ·Π½ΡŒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°. Π—Π° Π»Π΅Π³Π΅Π½Π΄ΠΎΠΉ истина» (8 класс)

    Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Ρƒ людСй сСгодня ΠΌΠ°Π»ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно ΠΎ ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°. А вСдь Π΅Π³ΠΎ достиТСния выходят Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ Π·Π° Ρ€Π°ΠΌΠΊΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ СдинствСнной Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Вопросов: 20
  6. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π˜ΡΡ‚ория ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ» (8-9 класс)

    НСкоторым школьникам ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° каТСтся скучным ΠΈ слоТным ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠΌ. Однако навСрняка Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΈΠΌ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ интСрСсны Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρ‹ ΠΈΠ· истории этой Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  7. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ тСкстовых Π·Π°Π΄Π°Ρ‡» (8-9 класс)

    Π’ школьном курсС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° Π½Π°Π΄ тСкстовыми Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°ΠΌΠΈ считаСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· самых слоТных Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² для усвоСния учащимися. Π’ этом тСстС Π²Ρ‹ смоТСтС ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² ΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  8. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ тСкстовых Π·Π°Π΄Π°Ρ‡» (8 класс)

    ВСкстовыС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ нСсколькими способами: арифмСтичСским, алгСбраичСским, способом ΠΏΠΎΠ΄Π±ΠΎΡ€Π°, графичСским ΠΈ практичСским способами.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  9. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π ΠΎΠΌΠ±» (8 класс)

    Π ΠΎΠΌΠ± — ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… гСомСтричСских Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€. Однако Ссли ΠΏΡ€ΠΈΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅, окаТСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сущСствуСт Π½Π΅ΠΌΠ°Π»ΠΎ интСрСсных Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΎ Ρ€ΠΎΠΌΠ±. НСкоторыС ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΠΆΠ΄ΡƒΡ‚ вас Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ тСстС.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Вопросов: 20
  10. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π§ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ мноТСства» (8 класс)

    Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ ΠΌΡ‹ Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ всСго ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎ с мноТСствами элСмСнтов, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ числа, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ с числовыми мноТСствами. НСкоторыС Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρ‹ ΠΎ Π½ΠΈΡ… Π² этом тСстС.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Вопросов: 20
  11. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ: ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ функция (8-9 класс)

    Подобно Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠ°ΠΊ всС искусства Ρ‚ΡΠ³ΠΎΡ‚Π΅ΡŽΡ‚ ΠΊ ΠΌΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠ΅, всС Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ стрСмятся ΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. (Π”ΠΆΠΎΡ€Π΄ΠΆ Бантаяна, философ)

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Вопросов: 20
ВСсты для 6 класса
Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…
  1. Π’ΠΈΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «ΠŸΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΈ» (6 класс)

    ΠŸΡ€ΠΈΠ³Π»Π°ΡˆΠ°ΡŽ вас ΠΏΠΎΡƒΡ‡Π°ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ вмСстС со сказочными пСрсонаТами Π² Π²ΠΈΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π΅. Π’Ρ‹ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ смоТСтС Π±Π»Π΅ΡΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ своими знаниями, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ³Ρ€ΠΎΠΌΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ сказочным пСрсонаТам Π² Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ слоТных для Π½ΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  2. Π˜Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ тСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ (6 класс)

    Знания ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² 5 ΠΈ 6 классС, ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΎΡΠ²ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρƒ ΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ Π² ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΡ… классах. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅ свои знания, Π²Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° — это вовсС Π½Π΅ скучно, Π° вСсьма интСрСсно ΠΈ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ!

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  3. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π’сС дСйствия с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами» (6 класс)

    Π”Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ тСст позволяСт ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ знания учащихся ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ «ВсС дСйствия с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами», своСврСмСнно Π²Ρ‹ΡΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅Π»Ρ‹ Π² ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π΅. ΠŸΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ построСния тСста — Β«ΠΎΡ‚ простого ΠΊ слоТному» — позволяСт ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π² классах с Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΉ

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
ВСсты для 5 класса
Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…
  1. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ измСрСния Π½Π° Руси Π² XVIII Π²Π΅ΠΊΠ΅» (5-6 класс)

    Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ 200 Π»Π΅Ρ‚ Π½Π°Π·Π°Π΄ Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… странах, Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС ΠΈ Π² России, приняли Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ систСмы Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† измСрСния Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, массы ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½. Π‘ΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΈ слоТны, сущСствовали Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ опрСдСлСния для Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† измСрСния. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅ свои знания ΠΏΠΎ

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
ВСсты для всСх классов
Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…
  1. Π’ΠΈΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ «ΠœΠ°Ρ‚СматичСская ΡˆΠΊΠ°Ρ‚ΡƒΠ»ΠΊΠ°»

    Π’ΠΈΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π° посвящСна историчСским Ρ„Π°ΠΊΡ‚Π°ΠΌ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. Данная Π²ΠΈΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π° ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ интСрСсного.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  2. ВСст ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ для всСх классов Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π˜Π· истории Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ»

    ГСомСтрия Π·Π°Ρ€ΠΎΠ΄ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ вмСстС с Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄Ρ€Π΅Π²Π½ΠΈΡ… людСй Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ участков Π·Π΅ΠΌΠ»ΠΈ, ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠΎ Π·Π²Π΅Π·Π΄Π°ΠΌ ΠΈ Ρ‚. ΠΏ.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  3. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅

    ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° — это Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹, вычислСния ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ. Π­Ρ‚ΠΎ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΈ мноТСство Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΠ².

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Вопросов: 20
  4. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ «ΠŸΡƒΡ‚Π΅ΡˆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Π΅ΠΊΠ° ΠΈ страны» (8-9 класс)

    ΠšΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ Π²ΠΎΡΡŒΠΌΠΈΠΊΠ»Π°ΡΡΠ½ΠΈΠΊΡƒ ΠΈ дСвятикласснику Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹ слова «Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡ», «ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅», «ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа». .. Но Π½Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡŽ ΠΈΡ… появлСния.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: слоТный Вопросов: 20
  5. ВСст ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 8-9 классов Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Π˜ΡΡ‚ория ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ»

    Π Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΡΡŒ с создания практичСских искусств счёта ΠΈ измСрСния Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ, повСрхностСй ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠΎΠ². Π”Ρ€Π΅Π²Π½Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ дрСвнССгипСтскиС матСматичСскиС тСксты относятся ΠΊ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Ρƒ II тысячСлСтия Π΄ΠΎ Π½. э.

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Вопросов: 20
  6. ВСст ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ «Π£Ρ‡Π΅Π½Ρ‹Π΅-ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ»

    ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€, Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚, Π’ΠΈΠ΅Ρ‚, Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€, ΠœΠ°Π³Π½ΠΈΡ†ΠΊΠΈΠΉ, ЛобачСвский. .. ИмСна этих ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹ всСму ΠΌΠΈΡ€Ρƒ. А Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π»ΠΈ Π²Ρ‹, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ внСс ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π² Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ?

    Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³ тСста: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тСста: Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Вопросов: 20

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π²Π΅ΡΡ‚ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Π² Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ. ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½.

Как пСрСвСсти ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Π² Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ

ДСсятичныС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ стали ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΉ записи ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ†Π΅Π»ΡƒΡŽ ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΡƒΡŽ части ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° запятой. Если Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Π½Π΅ содСрТит Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΉ части, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ноль ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ запятой. Если Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π²ΠΈΠ΄Π° 10, 100, 1000 ΠΈ Ρ‚. Π΄. ΠΈ количСство Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ Π² числитСлС мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅, Ρ‚ΠΎ для ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π² ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ число Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ Π² числитСлС ΠΈ число Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅. НапримСр, Ρƒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ

(ноль Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… 12 тысячных) 2 Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹ Π² числитСлС ΠΈ 3 ноля Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅. 3 – 2 = 1, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ноль послС запятой

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ

Π£ этой Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π² числитСлС 1 Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π°, 3 ноля Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅. 3 – 1 = 2, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π° ноля послС запятой

И послСдний ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ

Π£ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π² числитСлС 2 Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹ ΠΈ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ 2 ноля. 2 – 2 = 0, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ ноль послС запятой

Π’ случаС Ссли Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ являСтся числом ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚ чисСл Ρ‚ΠΈΠΏΠ° 10, 100, 1000 ΠΈ Ρ‚.Π΄., Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ привСсти ΠΊ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ Π²ΠΈΠ΄Π° 10, 100, 1000 ΠΈ Ρ‚.Π΄. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ привСсти Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ ΠΊ нСсократимому Π²ΠΈΠ΄Ρƒ. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π½Π° простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. Если Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚ 2 ΠΈΠ»ΠΈ 5, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ бСсконСчной дСсятичной Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ. Если Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ всС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ числами 2 ΠΈΠ»ΠΈ 5, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ число Π΄Π²ΠΎΠ΅ΠΊ ΠΈ пятСрок Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ. Для этого Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π½Π° Π½Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ количСство Π΄Π²ΠΎΠ΅ΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ пятСрок. НапримСр,
1βˆ™5βˆ™5 =
2βˆ™2βˆ™2βˆ™5βˆ™5βˆ™5

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€
6 101 =
2βˆ™2βˆ™2βˆ™5βˆ™5
6 101βˆ™5 =
2βˆ™2βˆ™2βˆ™5βˆ™5βˆ™5

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ бСсконСчной дСсятичной Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Π΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π² Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ получаСтся бСсконСчная дСсятичная Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ
Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΎ дСсятичных дробях ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅.Π’Π°ΠΌ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Ρ€Π²ΠΈΡΡ‹Π”Ρ€ΠΎΠ±ΠΈΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉΠ£Ρ‡ΠΈΠΌ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π½Π°Π³Π»ΡΠ΄Π½ΠΎΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ сокращСния Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ прСобразования Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π² ΡΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½ΡƒΡŽΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ прСобразования смСшанной Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π² Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ слоТСния, вычитания, умноТСния ΠΈ дСлСния Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ возвСдСния Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Π° дСсятичной Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π² ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Π° ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π² Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ сравнСния Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ привСдСния Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ (тригономСтрия)ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ синуса ΡƒΠ³Π»Π°
ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ косинуса ΡƒΠ³Π»Π°
ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ тангСнса ΡƒΠ³Π»Π°
ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ котангСнса ΡƒΠ³Π»Π° ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ сСканса ΡƒΠ³Π»Π° ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ косСканса ΡƒΠ³Π»Π°ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ арксинуса ΡƒΠ³Π»Π°
ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ арккосинуса ΡƒΠ³Π»Π°
ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ арктангСнса ΡƒΠ³Π»Π°
ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ арккотангСнса ΡƒΠ³Π»Π° ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ арксСканса ΡƒΠ³Π»Π° ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ арккосСканса ΡƒΠ³Π»Π°ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ систСм ΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Π° чисСл ΠΈΠ· арабских Π² римскиС ΠΈ ΠΈΠ· римских Π² Π°Ρ€Π°Π±ΡΠΊΠΈΠ΅ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Π° чисСл Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ систСмы ΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ слоТСния, вычитания, умноТСния ΠΈ дСлСния Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСлБистСмы счислСния тСорияN2 | Двоичная систСма счислСнияN3 | Вроичная систСма счислСнияN4 | ЧСтырСхичная систСма счислСнияN5 | ΠŸΡΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ систСма счислСнияN6 | ШСстСричная систСма счислСнияN7 | БСмСричная систСма счислСнияN8 | Π’ΠΎΡΡŒΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ систСма счислСнияN9 | ДСвятСричная систСма счислСнияN11 | ΠžΠ΄ΠΈΠ½Π½Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΠΈΡ€ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ систСма счислСнияN12 | ДвСнадцатСричная систСма счислСнияN13 | ВринадцатСричная систСма счислСнияN14 | ЧСтырнадцатСричная систСма счислСнияN15 | ΠŸΡΡ‚Π½Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ систСма счислСнияN16 | ШСстнадцатСричная систСма счислСнияN17 | БСмнадцатСричная систСма счислСнияN18 | ВосСмнадцатСричная систСма счислСнияN19 | ДСвятнадцатСричная систСма счислСнияN20 | ДвадцатСричная систСма счислСнияN21 | Двадцатиодноричная систСма счислСнияN22 | Двадцатидвухричная систСма счислСнияN23 | ДвадцатитрСхричная систСма счислСнияN24 | ДвадцатичСтырСхричная систСма счислСнияN25 | ДвадцатипятСричная систСма счислСнияN26 | Π”Π²Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΠΈΡˆΠ΅ΡΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ систСма счислСнияN27 | ДвадцатисСмСричная систСма счислСнияN28 | Π”Π²Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΠΈΠ²ΠΎΡΡŒΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ систСма счислСнияN29 | ДвадцатидСвятиричная систСма счислСнияN30 | Вридцатиричная систСма счислСнияN31 | Вридцатиодноричная систСма счислСнияN32 | Вридцатидвухричная систСма счислСнияN33 | ВридцатитрСхричная систСма счислСнияN34 | ВридцатичСтырСхричная систСма счислСнияN35 | Вридцатипятиричная систСма счислСнияN36 | Π’Ρ€ΠΈΠ΄Ρ†Π°Ρ‚ΠΈΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ€ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ систСма ΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ (ВСория чисСл) ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ со ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ°ΠΌΠΈΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ разлоТСния числа Π½Π° простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΠžΠ” ΠΈ НОК ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΠžΠ” ΠΈ НОК ΠΏΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΡƒ Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΠžΠ” ΠΈ НОК для любого количСства Ρ‡ΠΈΡΠ΅Π»ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ суммы разрядных ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ…ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ дСлСния числа Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ²ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Π° числа с Π• Π² Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ записи чисСл ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ нахоТдСния Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ°Π»Π° числа ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ нахоТдСния Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° числа ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ остатка ΠΎΡ‚ дСлСния ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ нахоТдСния ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° дСсятичной Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… Ρ‡ΠΈΡΠ΅Π»ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ округлСния Ρ‡ΠΈΡΠ»Π°ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ гСомСтричСских Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ (ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ°) ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ нахоТдСния числа пСрСстановок ΠΈΠ· n ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ²ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ нахоТдСния числа сочСтаний ΠΈΠ· n ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ²ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ нахоТдСния числа Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ· n элСмСнтовГСнСратор Pdf с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈΠ’Ρ€Π΅Π½Π°ΠΆΡ‘Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ²Π’Ρ€Π΅Π½Π°ΠΆΡ‘Ρ€ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ умноТСния Π’Ρ€Π΅Π½Π°ΠΆΠ΅Ρ€ счСта для Π΄ΠΎΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²Π’Ρ€Π΅Π½Π°ΠΆΠ΅Ρ€ счСта Π½Π° Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ для Π΄ΠΎΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²Π’Ρ€Π΅Π½Π°ΠΆΠ΅Ρ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Π½Π° слоТСниС, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Найди ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Π’Ρ€Π΅Π½Π°ΠΆΠ΅Ρ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² с Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ дСйствиямиВрСнаТёры Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ столбикомВрСнаТёр слоТСния столбикомВрСнаТёр вычитания столбикомВрСнаТёр умноТСния столбикомВрСнаТёр дСлСния столбиком с ΠΎΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΊΠΎΠΌΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡ‚ΠΎΠ»Π±ΠΈΠΊΠΎΠΌΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ слоТСния, вычитания, умноТСния ΠΈ дСлСния ΡΡ‚ΠΎΠ»Π±ΠΈΠΊΠΎΠΌΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ дСлСния столбиком с ΠΎΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΊΠΎΠΌΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ линСйная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΈ аналитичСская Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ слоТСния ΠΈ вычитания ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ умноТСния ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ транспонированиС ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ нахоТдСния опрСдСлитСля (Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚Π°) ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ нахоТдСния ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π”Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°. Онлайн ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Онлайн ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ нахоТдСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎ Π΄Π²ΡƒΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ нахоТдСния модуля (Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹) Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ слоТСния ΠΈ вычитания Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ скалярного произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΈ косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ скалярного произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ смСшанного произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ нахоТдСния ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ коллинСарности Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ компланарности Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²ΠšΠΎΠ½Π²Π΅Ρ€Ρ‚Π΅Ρ€Ρ‹ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠšΠΎΠ½Π²Π΅Ρ€Ρ‚Π΅Ρ€ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ΠšΠΎΠ½Π²Π΅Ρ€Ρ‚Π΅Ρ€ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΠšΠΎΠ½Π²Π΅Ρ€Ρ‚Π΅Ρ€ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† ΡƒΡΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΡΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ (Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ°)

ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ°

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ вычислСния скорости, Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ расстояния ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ вычислСния ускорСния, скорости ΠΈ пСрСмСщСния ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ вычислСния Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°. ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ вычислСния силы, массы ΠΈ ускорСния. Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ всСмирного тяготСния. ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ вычислСния силы притяТСния, массы ΠΈ расстояния.Π˜ΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡ Ρ‚Π΅Π»Π°. ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ вычислСния ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ°, массы ΠΈ скорости Π˜ΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡ силы. ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ вычислСния ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ°, силы ΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ дСйствия силы.ВСс Ρ‚Π΅Π»Π°. ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ вычислСния вСса Ρ‚Π΅Π»Π°, массы ΠΈ ускорСния свободного падСния

ΠžΠΏΡ‚ΠΈΠΊΠ°

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ отраТСния ΠΈ прСломлСния свСта

ЭлСктричСство ΠΈ ΠΌΠ°Π³Π½Π΅Ρ‚ΠΈΠ·ΠΌ

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Π—Π°ΠΊΠΎΠ½Π° Ома ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Π—Π°ΠΊΠΎΠ½Π° ΠšΡƒΠ»ΠΎΠ½Π° ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ напряТСнности E элСктричСского ΠΏΠΎΠ»ΡΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ нахоТдСния Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ элСктричСского заряда Q ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ нахоТдСния силы F Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π½Π° заряд q ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ вычислСния расстояния r ΠΎΡ‚ заряда q ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ вычислСния ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ энСргии W заряда qΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ вычислСния ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π° Ο† элСктростатичСского ΠΏΠΎΠ»ΡΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ вычислСния элСктроСмкости C ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ сфСры

ΠšΠΎΠ½Π΄Π΅Π½ΡΠ°Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ вычислСния элСктроСмкости C плоского, цилиндричСского ΠΈ сфСричСского кондСнсаторов ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ вычислСния напряТСнности E элСктричСского поля плоского, цилиндричСского ΠΈ сфСричСского кондСнсаторов ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ вычислСния напряТСния U (разности ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ²) плоского, цилиндричСского ΠΈ сфСричСского ΠΊΠΎΠ½Π΄Π΅Π½ΡΠ°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ вычислСния расстояния d ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ пластинами Π² плоском кондСнсаторС ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ вычислСния ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ пластины (ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ) S Π² плоском кондСнсаторС ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ вычислСния энСргии W заряТСнного кондСнсатора ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ вычислСния энСргии W заряТСнного кондСнсатора. Для плоского, цилиндричСского ΠΈ сфСричСского кондСнсаторов ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ вычислСния объСмной плотности энСргии w элСктричСского поля для плоского, цилиндричСского ΠΈ сфСричСского ΠΊΠΎΠ½Π΄Π΅Π½ΡΠ°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΏΠΎ астрономии ВСс Ρ‚Π΅Π»Π° Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… планСтахУскорСниС свободного падСния Π½Π° ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚Π°Ρ… Π‘ΠΎΠ»Π½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ систСмы ΠΈ ΠΈΡ… спутникахГСнСраторыГСнСратор ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π“Π΅Π½Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ случайных чисСл Π“Π΅Π½Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΠ»Π΅ΠΉΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ

— с ΠΏΠΎΡˆΠ°Π³ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ объяснСниСм

НахоТдСниС разлоТСния Π½Π° простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅Ρ€Π΅Π²Π°

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ 60.

Π¨Π°Π³ 1: НачнитС с любого числа , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ 60, Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ 10. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, $ \ color {blue} {60 = 6 \ cdot 10} $.

Π¨Π°Π³ 2: Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ 10 ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2 ΠΈ 5. $ \ color {blue} {10 = 2 \ cdot 5} $.

Π¨Π°Π³ 3: Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ 6 ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2 ΠΈ 3.$ 6 = 2 \ cdot 3 $.

Π¨Π°Π³ 4: ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ·Π»Ρ‹ — это простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ 60.

$$ 60 = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 5 $$

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ всСх Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: НайдитС всС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ 54.

Π¨Π°Π³ 1: НачнитС список с 1 ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ с 54.

$$ \ color {blue} {\ boxed {1}} ~, ~. ~. ~. ~, ~ \ color {blue} {\ boxed {54}} $$

Π¨Π°Π³ 2: ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ $ 54 = 2 \ cdot 27 $, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‰Π°Π΅ΠΌ 2 ΠΈ 27 Π² массив.

$$ 1 ~, ~ \ color {blue} {\ boxed {2}} ~, ~. ~. ~. ~, ~ \ color {blue} {\ boxed {27}} ~, ~ 54 $$

Π¨Π°Π³ 3: ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ $ 54 = 3 \ cdot 18 $, ΠΌΡ‹ помСстим 3 ΠΈ 18 Π² массив.

$$ 1 ~, ~ 2, ~ \ color {blue} {\ boxed {3}} ~, ~. ~. ~. ~, ~ \ color {blue} {\ boxed {18}} ~, ~ 27 ~, ~ 54 $$

Π¨Π°Π³ 4: Π’ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ 54 $ = 6 \ cdot 9

$

$$ 1 ~, ~ 2 ~, ~ 3 ~, ~ \ color {blue} {\ boxed {6}} ~, ~ \ color {blue} {\ boxed {9}} ~, ~ 18 ~, ~ 27 ~, ~ 54 $$

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, простоС Π»ΠΈ число

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅, являСтся Π»ΠΈ число 581 простым ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ‚.

Π¨Π°Π³ 1. НайдитС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 581.

$$ \ sqrt {581} = 24,1 \ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ = 25 $$

Π¨Π°Π³ 2. ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ 581 Π½Π° всС простыС числа, мСньшиС ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ 25.

Π’ этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΌΡ‹ попытаСмся Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ 581 Π½Π°:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ΠΈ 23.

$$ \ begin {Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠ²Π½Π΅Π½ΠΎ} 581: 2 & = 290,5 \\ 581: 3 & = 484 \\ 581: 5 & = 116.2 \\ 581: 7 & = 83 \ end {Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠ²Π½Π΅Π½} $$

581 дСлится Π½Π° 3, поэтому Π½Π΅ являСтся простым.

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Π°

ИспользованиС ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа. Π’Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

Для ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ принятый ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.НапримСр, Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚Π΅ 2 ΠΈ 3 ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈΠ· 6. Если Π²Π°ΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠ±Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ всС Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ -2 ΠΈ -3, ΠΊΠ°ΠΊ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈΠ· 6. Π‘ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны, этот ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ даст Π²Π°ΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ для ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл. НапримСр, -2 ΠΈ 3 И 2 ΠΈ -3 ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² -6.

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ — это Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ для получСния Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ числа. Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ числа ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ мноТитСлями Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π°.Если a x b = c, Ρ‚ΠΎ a ΠΈ b ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ дСлитСлями c.

Допустим, Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ 16. Π’Ρ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ всС ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ чисСл, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π°ΡŽΡ‚ 16. ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 2 ΠΈ 8 ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ мноТитСлями 16, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ 2 x 8 = 16. 4 — это ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 16, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ 4 x 4 = 16. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ 1 ΠΈ 16 дСлятся Π½Π° 16, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ 1 x 16 = 16. Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ 16 Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 1, 2, 4, 8, 16.

Π’Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎ мноТитСлях Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… дСлСния: ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ числа Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ Π² сСбя всС числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ дСлятся Π½Π° это число Π±Π΅Π· остатка.Рассмотрим число 10. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 10 дСлится Π½Π° 2 ΠΈ 5 Π±Π΅Π· остатка, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 2 ΠΈ 5 дСлятся Π½Π° 10.

Π’ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ пСрСчислСны ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ для 3, 18, 36 ΠΈ 48. Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π΄Π²Π° мноТитСля: 1 ΠΈ само число. Если число состоит Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², это число являСтся простым числом.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ списков Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

36

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

48

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

Как Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ числа Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ: факторизация

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ числа ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ дСйствия, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ для опрСдСлСния ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ числа.

  1. НайдитС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа n ΠΈ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π΄ΠΎ блиТайшСго Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа. НазовСм этот Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ s .
  2. НачнитС с Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹ 1 ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²: n Γ· 1 = Π½. . Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, 1 ΠΈ n — это факторная ΠΏΠ°Ρ€Π°, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число с Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ остатком.
  3. Π‘Π΄Π΅Π»Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС с числом 2 ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΡƒ всСх Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл ( n Γ· 2, n Γ· 3, n Γ· 4 … n Γ· s ) Π΄ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня с ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎ с . Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа с Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ остатком.
  4. Когда Π²Ρ‹ достигнСтС n Γ· s ΠΈ Π²Ρ‹ записали всС ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Π²Ρ‹ ΡƒΡΠΏΠ΅ΡˆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈ число Π½. .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ с использованиСм ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»Π°

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ 18:

  • ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 18 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 4,2426, с ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎ блиТайшСго Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа 4
  • .
  • ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΡ цСлочислСнныС значСния ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ 4 для дСлСния Π½Π° 18 с остатком 0, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²: (1 ΠΈ 18), (2 ΠΈ 9), (3 ΠΈ 6). ΠœΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл

Вся привСдСнная Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ информация ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΡ‹ ΠΊ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Ρƒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ±Π»ΡŽΠ΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° умноТСния ΠΈ дСлСния ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ всС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. НапримСр, ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ -6: (1, -6), (-1, 6), (2, -3), (-2, 3). Π‘ΠΌ. Β«ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ матСматичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉΒ» ΠΈ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ умноТСния.

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, связанныС с

Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ наши ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ всС Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° чисСл ΠΈ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌΠΈ.

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ наибольшСго ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ дСлитСля Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ наибольший ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ (ΠΠžΠ”) ΠΈΠ»ΠΈ наибольший ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ (ΠΠžΠ”) Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° чисСл.

ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ наимСньшСго ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ знамСнатСля, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ наимСньший ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ для Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ, Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… ΠΈ ΡΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½Ρ‹Ρ… чисСл.

Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ

ОбъяснСниС:

ΠœΡ‹ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π΅ΠΌ с ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΊΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… корнях, которая ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ вСрсиями Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ помСщСния мноТитСля постоянного Ρ‡Π»Π΅Π½Π° Π² Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ коэффициСнт Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ коэффициСнта Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅.

Π­Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ слов Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ разбСрСмся с этим. НачнСм с нашСго ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°.

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ — это Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ Π±Π΅Π· ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ (просто число). Π’ нашСм случаС константа 60. ΠšΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ 60?

Π‘Ρ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ коэффициСнт — это число ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ наибольшСй ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. Когда Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ пСрСчислСны Π² порядкС убывания (ΠΎΡ‚ наибольшСй ΠΊ наимСньшСй стСпСни), Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΌ коэффициСнтом всСгда являСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ число.Π’ нашСм случаС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ коэффициСнт ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ слоТно. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠΉ Π½Π΅Ρ‚ числа, ΠΏΠΎ ΡƒΠΌΠΎΠ»Ρ‡Π°Π½ΠΈΡŽ коэффициСнт Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1.

Π­Ρ‚ΠΎ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ СдинствСнный ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 1 — это Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ … 1.

Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ создаСм всС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ с коэффициСнтом постоянной Π² числитСлС ΠΈ коэффициСнтом ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠ΅Π³ΠΎ коэффициСнта Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅. На самом Π΄Π΅Π»Π΅ это Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡ…ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ наш СдинствСнный Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1. Π›ΡŽΠ±Π°Ρ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ со Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ 1 являСтся просто числитСлСм.Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, наши Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ «Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ» просто

Однако ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ вСрсии, поэтому наш ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ список Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ составляСт

.

К соТалСнию, ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ здСсь процСсс (ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅, Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ графичСского ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°) становится ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΡƒΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ просто ΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ добьСмся успСха. На самом Π΄Π΅Π»Π΅ Π½Π΅Ρ‚ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Π½Π°ΠΌ, с Ρ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ. ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ всСго Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅.Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ с, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ ΠΈ Ρ‚. Π”.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ это объяснСниС ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π΅, я сразу ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Ρƒ ΠΊ 2, Π³Π΄Π΅ ΠΌΡ‹ сначала добьСмся успСха.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, 2 — это ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Однако всСгда Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΡ‚ΡŒ, являСтся Π»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ (Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹). ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π·.

2 Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹ ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, являСтся Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρƒ нас ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‡Π»Π΅Π½Π°, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ синтСтичСскоС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ Π² алгСбраичСскоС.

Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ корня ΠΈΠ· 2 Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ алгСбраичСского выраТСния Π΄Π°Π΅Ρ‚. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Π½Π°ΠΌ понадобятся Π΄Π²Π° ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, нашС ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ — это.

ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΠ»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅, MATH 3328/2318, Π»Π΅Ρ‚ΠΎ 2012 Π³.

ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΠ»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅, MATH 3328/2318, Π»Π΅Ρ‚ΠΎ 2012 Π³. БовмСстимыС с MAC / IPAD / iPhone Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ-Π»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅, MATH 3328/2318, Π»Π΅Ρ‚ΠΎ 2012 Π³.

Доступ ΠΈΠ»ΠΈ своСврСмСнноС ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ этого Π²Π΅Π±-сайта Π½Π΅ гарантируСтся.ΠŸΠΎΡΠ΅Ρ‰Π°ΠΉΡ‚Π΅ всС занятия, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ°ΠΌΡƒΡŽ ΡΠ²Π΅ΠΆΡƒΡŽ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ.
Π•ΠΆΠ΅Π΄Π½Π΅Π²Π½Ρ‹Π΅ объявлСния
ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Ρƒ Π»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΊΡ€ΡƒΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠ· Π΄ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Π»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ информация
1) Π”ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠ½Π΅Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅
2) Π˜Π½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡ ΠΎ курсС для MATH 3328
3) ВСкст: ЭлСмСнтарная линСйная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° с прилоТСниями, 3-Π΅ ΠΈΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅, Π ΠΈΡ‡Π°Ρ€Π΄ Π₯ΠΈΠ»Π», ISBN 0030103479.
Доступно Π² ΠΊΠ½ΠΈΠΆΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Π³Π°Π·ΠΈΠ½Π°Ρ…, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π² Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚Π΅, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€
Amazon. Барнс ΠΈ Ноубл Ebay Abebooks

Π Π°Π±ΠΎΡ‚Π° Π½Π° Π΄ΠΎΠΌΡƒ:
Как ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, пСрСчислСнныС Π² листС домашнСго задания, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ выдаСтся Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ сСмСстра.
Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°ΠΌ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ΠΌ Π² классС ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅.
Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚Π΅ свой ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ тСкста.
Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹.
Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ бСсплатным ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, доступным для языков L209, M-R 8-6, F 8-2. ΠŸΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚Π΅ с нСсколькими Ρ€Π΅ΠΏΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ. Π—Π°Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ вопросы ΠΊΠΎΠ»Π»Π΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ.
Π—Π°Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ вопросы, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΠ»ΠΈ, Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‡Π΅Π΅ врСмя.
Или ΠΏΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌΠΈΡ‚Π΅ Π² классС вопросы, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ Π½Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΠ»ΠΈ.

Как ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ сСбС ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ тСстам:
ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ самопровСрку: Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ (Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ) Π½Π° Ρ„Π»Π΅Ρˆ-ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Ρƒ.Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Π³Π΄Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ отвСсти врСмя. Π₯Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΊΠΎΡ€ΠΎΠ±ΠΊΠ΅. НарисуйтС 10 случайных вопросов, Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ сСбС тСст ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚Π΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ доступныС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ пропустили.
Если ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Π³ΠΈΠ±Ρ€ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄, Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ваша лСкционная Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠ° ΠΈ ΠΏΠ°ΠΏΠΊΠ° с домашним Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, доступными для поиска ΠΈ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌΠΈ для вас.

ΠžΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ / ΠŸΠΎΠ»ΠΈΡ‚ΠΈΠΊΠ° Π² ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½ΠΎΡƒΡ‚Π±ΡƒΠΊΠΎΠ² ΠΈ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
К тСстам допускаСтся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° записная ΠΊΠ½ΠΈΠΆΠΊΠ° с собствСнными рукописными записями.
ЗапрСщаСтся пСчатная Π±ΡƒΠΌΠ°Π³Π°. ΠšΠΎΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠΌΠ°Π³ΠΈ Π½Π΅ допускаСтся. Π­Ρ‚ΠΎ даст ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΡƒ F Π·Π° курс, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ссли ΠΎΠ½ Π½Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ!
К тСстам Π½Π΅ Π΄ΠΎΠΏΡƒΡΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ€Ρ‹Ρ…Π»Ρ‹Π΅ Π±ΡƒΠΌΠ°Π³ΠΈ любой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹. НС допускаСтся использованиС Ρ€Π²Π°Π½ΠΎΠΉ / склССнной / ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠΈΡ‚ΠΎΠΉ / ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠΈΡ‚ΠΎΠΉ / ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠΈΡ‚ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΌΠ°Π³ΠΈ.
Π£ вас ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π±Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ (ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ 20 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ²) Π½Π° тСстах. ИспользованиС ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹Ρ… ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ TI80 ΠΈ Ρ‚. Π”.) Даст Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ тСста F.
ИспользованиС бСспроводных устройств Π·Π°ΠΏΡ€Π΅Ρ‰Π΅Π½ΠΎ. ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Π² стилС сотового Ρ‚Π΅Π»Π΅Ρ„ΠΎΠ½Π° / iPod Π½Π΅ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½.
Если Ρƒ вас Π½Π΅Ρ‚ своСго собствСнного ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π²Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ тСст Π±Π΅Π· Π½Π΅Π³ΠΎ.


Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ:
Онлайн-курсы, тСксты, ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, Ρ‚Ρ€Π΅Π½Π°ΠΆΠ΅Ρ€Ρ‹, ΠΈΠ³Ρ€Ρ‹ ΠΈ дСмонстрации, относящиСся ΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅:
Linear Algebra by Gilbert Strang — ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ°ΠΊΠ΅Ρ‚ курсов. Π’Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€ΡΠΈΡŽ 1999 Π³ΠΎΠ΄Π°.
ΠšΡƒΡ€Ρ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ АлСкса ΠŸΠΎΡΡ‚Π½ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°, 2009 Π³.
ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΠΈ прикладная линСйная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ВСкст ΠšΠ°Ρ€Π»Π° Π”. ΠœΠ΅ΠΉΠ΅Ρ€Π°.
Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρƒ ВСкст Autar K. kaw.
ВСкст Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π”ΠΆΠΈΠΌΠ° Π₯Π΅Ρ„Ρ„Π΅Ρ€ΠΎΠ½Π°. Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΎΠΉ PDF Π‘ΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ. Как ΡƒΡΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ воспроизвСдСниС Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ.
Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ прилоТСния.
ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° инструмСнтов Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹. Автор Przemyslaw Bogacki, Old Dominion University.
. ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ для умноТСния, Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚Π°, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ прСобразования, ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Гусса ΠΈΠ»ΠΈ rref (ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ строки ΠΊ ΡΡˆΠ΅Π»ΠΎΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅).
ΠŸΠΎΡˆΠ°Π³ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ инструкции
3D-Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ
Π˜Π³Ρ€Ρ‹
Lights Out 1, Дэвид Π“ΠΈΡˆΠ°Ρ€Π΄, Whitman College, Π˜Π³Ρ€Π° ΠΏΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅, нСсколько похоТая Π½Π° ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΈΠ³Ρ€Ρƒ ΠžΡ‚Π΅Π»Π»ΠΎ / РСвСрси, Π½ΠΎ для ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ³Ρ€ΠΎΠΊΠ°. ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π»ΠΈ Π²Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π³Π°Π΄ΠΊΡƒ Lights Out, примСняя Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρƒ?
Β«Π’Ρ‹ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ свСт 2Β», Миша Гуйсински, УнивСрситСт ПСнсильвании.
ΠŸΡΡ‚Π½Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΡŒ, Миша Гуйсински, УнивСрситСт ПСнсильвании. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ пСрСстановок.

Начало Π»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅:
ΠŸΡ€ΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π Π°Π·Π΄Π΅Π» 1.1 Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ 1-3
Π‘Π΄Π΅Π»Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π» ΠΎΡ‚ 1-20.
ЛСкция 1, Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°Π±ΠΎΡ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, парамСтричСскоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, систСма Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ систСмы, нСсовмСстимыС систСмы, согласованныС систСмы, графичСскоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, линСйная систСма ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ 0 ΠΈΠ»ΠΈ 1 ΠΈΠ»ΠΈ бСсконСчно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 1.1 Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ 4-9
Π”Π΅Π»Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с 21-32.
ЛСкция 2, Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠœΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π°Ρ†ΠΈΡ для изучСния Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹, ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Гаусса, Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹, эшСлонной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ подстановки, ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ коэффициСнтов, Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠ³ΠΎ столбца, элСмСнтарных ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ Π½Π°Π΄ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ систСмой, элСмСнтарных ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ Π½Π°Π΄ строкой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ: Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ свои элСмСнтарныС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ со строками, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ этот ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€, Ρ‰Π΅Π»ΠΊΠ½ΡƒΠ² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ссылку инструмСнта Β«ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ со строками» Π½Π° страницС.
Набор инструмСнтов для ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹
Если Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π’Π˜Π”Π•Π’Π¬, ΠΊΠ°ΠΊ выглядит опрСдСлСнная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° с трСмя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΡƒΡŽ страницу / Π°ΠΏΠΏΠ»Π΅Ρ‚ / ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
3D-Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ²

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 1.2, страницы 10-13.
Π‘Π΄Π΅Π»Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ с 1 ΠΏΠΎ 14.
ЛСкция 3, Π˜ΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Гаусса
парамСтричСскиС уравнСния ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 0, 1 ΠΈΠ»ΠΈ бСсконСчного числа Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΡˆΠ΅Π»ΠΎΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°, Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠ΅ Π½ΡƒΠ»ΠΈ, ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π½Ρ‹Π΅ элСмСнты, Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠ΅ / зависимыС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅, свободныС / нСзависимыС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ эшСлона.

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 1.2, страницы 13–21.
Π”Π΅Π»Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с 15-29.
ЛСкция 4, Π˜ΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Гаусса
ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ с элСмСнтарной строкой, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ для привСдСния уравнСния ΠΊ Π΅Π³ΠΎ ΡΡˆΠ΅Π»ΠΎΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅; Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ подстановкой.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ эшСлона ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π°ΡˆΡƒ систСму, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ этот ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ (ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ 2-ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ 4-ΠΉ инструмСнт).
Matrix Toolkit

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 1.3, страницы 23-27
Π Π΅ΡˆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с 1 ΠΏΠΎ 14.
ЛСкция 5, ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°
Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 15 ΠΈΠ· 1.2, элСмСнт ΠΈΠ»ΠΈ элСмСнт ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ индСкс, слоТСниС ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†, скаляры ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ скаляра ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ скалярных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ этот ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€
Базовая матричная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°
Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅ΠΌΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ
умноТСния, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Β«Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ°Β», Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Β«ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹Β» ΠΈ слСдуйтС инструкциям.

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π Π°Π·Π΄Π΅Π» 1.3 страницы 27-29
Π”Π΅Π»Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с 15-16.
ЛСкция 6, Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†
ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π΅ скалярных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ с использованиСм Π½ΠΎΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ суммирования

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ этот ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€
Базовая матричная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°
Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅ΠΌΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ
умноТСния, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Β«Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ°Β», Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Β«ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹Β» ΠΈ слСдуйтС инструкциям.

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 1.3 Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ 30-31
ВыполняйтС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с 21 ΠΏΠΎ 26, ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ 27-32, особСнно с 31, пропуститС 17-20.
ЛСкция 7, Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡ умноТСния ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†
ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ, линСйная систСма, записанная ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, подстановка ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ сумма ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ столбцов со строками.

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 1.3, страницы 32-34, 1.4, страницы 38-39
Π”Π΅Π»Π°ΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ· 1.3, 33-42. По ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅, ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ°, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ссли Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅Ρ‚ Π² спискС Π½Π° синСй страницС!
ЛСкция 8, Π Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ стили умноТСния ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†
Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ А.B Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… скалярных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ строк A со столбцами B, A со столбцами B, строк A с B, ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† строк A с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ столбцов B, суммы Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ столбцов A с ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ строками B . AX, X Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, прСдставляСт собой Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΡŽ столбцов ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ A с вСсами, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ записи Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° X.

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 1.4 Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ 38-45
ВыполняйтС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ· 1,3,5,8,10,11,14.
ЛСкция 9, ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ элСмСнтарныС ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹
ЭлСмСнтарная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° связана с ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ строки ΠΈ ΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΌ двумя строками.

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 1.4 Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ 38-45
ВыполняйтС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ 1-24, 36, 39, 40, 41-43, 45, 49, 50.
ЛСкция 10, ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ элСмСнтарныС ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹
Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ COLUMN (относящиСся ΠΊ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ 50).
Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 37 ΠΈΠ· 1.3, Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ стили (Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ строки, Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ столбца, Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ внСшнСго произвСдСния) для умноТСния ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†, связанных с lecure 8.
ЭлСмСнтарная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, связанная с Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… строк Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ строку.
ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ порядок поиска ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ.

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 1.4 Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ 48-49
ВыполняйтС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с 9-20, 25-45.
ЛСкция 11, Поиск инвСрсий ΠΏΠΎ элСмСнтарным ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌ
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ инвСртирования ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ 3 * 3. ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎΠ΅ обсуТдСниС Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠΌΡ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†.

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 1.5 Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ 57-64
Π Π΅ΡˆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с 1 ΠΏΠΎ 8.
ЛСкция 12, факторизация LU
Ѐакторизация LU для простого случая (Π±Π΅Π· пСрСстановки), описаниС Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠ° ΠΈ обоснованиС ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π Π°Π·Π΄Π΅Π» 1.5 Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ 62-64.
Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с 9-24.
ЛСкция 13, РСшСниС AX = B с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ LU-Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ
ΠŸΡ€Π΅ΠΈΠΌΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π° Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ LU, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСм с Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† пСрСстановок, PA = LU.

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 1.5 страницы 64-67, 1.6 страницы 71-72, 3.1 страницы 130-131
Π”Π΅Π»Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ· 1.5 33-36, ΠΈΠ· 1.6 1-7, 13,14,19,20.
ЛСкция 14, РСшСниС AX = B Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· PA = LU факторизация,
ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, симмСтричныС, кососиммСтричныС, Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† 2 * 2 ΠΈ 3 * 3, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π² Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π Π°Π·Π΄Π΅Π» 3.1 Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ 132-137, 151
Π Π΅ΡˆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ· 3.1, 1-30 (ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Β«ΡΠΏΠ»ΠΎΡˆΠ½Ρ‹Π΅Β» вопросы)
ЛСкция 15, Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹
скаляры, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, графичСскоС слоТСниС, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ скалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π Π°Π·Π΄Π΅Π» 3.1 Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ 132-141
Π Π΅ΡˆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ· 3.1, 1-36
ЛСкция 16, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΈ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π», расстояниС, Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ° (Π΄Π»ΠΈΠ½Π°, Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€) Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΡƒΠ³ΠΎΠ», Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ скалярного произвСдСния, скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ², ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 3.1 Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ 140-144
Π Π΅ΡˆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ· 3.1, 31-42
ЛСкция 17, Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ скалярном ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5,11,36. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° косинусов, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ U.V = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 = | U | | V | cos ΡƒΠ³Π»Π°. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠ³Π½ΠΎΠ·ΠΎΠ²

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 3.1 Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ 144-146
Π Π΅ΡˆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ· 3.1, 43-50
ЛСкция 18, ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡ Π“Ρ€Π°ΠΌΠ°-Π¨ΠΌΠΈΠ΄Ρ‚Π°
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 21. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ пСрпСндикулярных Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² P_i ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² V_i с использованиСм ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Ρ‹ 3.2 ΠΈ 3.3 Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ 149-165
Π Π΅ΡˆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ· 3.2, 3.3 всС
ЛСкция 19, Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎ n-пространство, ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ пространства
Π—Π°ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠ΅.
Π‘ΠΌ. Π Π°Π·Π΄Π΅Π» 1.4,1.5,1.6,3.1,3.2
ЛСкция 20, ΠžΠ±Π·ΠΎΡ€ инвСрсии, LU, PA = LU
ΠžΠ±Π·ΠΎΡ€ Π±ΠΈΡ€Π΅Ρ„.

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 3.4 Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ 165-169
Π Π΅ΡˆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ· 3.4, 1-24
ЛСкция 21, подпространства
Π—Π°ΠΌΡ‹ΠΊΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ скалярного умноТСния.

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 3.4 Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ 168-169
Π Π΅ΡˆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ· 3.4, 1-24
ЛСкция 22, подпространства
ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ подпространств

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 3.4 Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ 169-173
Π Π΅ΡˆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ· 3.4, 33-40
ЛСкция 23, подпространства
НулСвыС пространства, NS (A), Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 3.4 Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ 173-176, 3.5 179-180
Π Π΅ΡˆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ· 3.4, 41-48, 3.5 1-3
ЛСкция 24, подпространства
Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ, интСрпрСтация AX = B, линСйная Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π Π°Π·Π΄Π΅Π» 3.5 страниц 179-180
Π Π΅ΡˆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ· 3.5 1-6
ЛСкция 25, ЛинСйная Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ
Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ 29 ΠΈ 38 ΠΈΠ· 3.4, Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 3.5 Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ 180-185
Π Π΅ΡˆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ· 3.5 7-24
ЛСкция 26, ЛинСйная Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ
линСйная Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 3.6 Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ 187-192
Π Π΅ΡˆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ· 3.6 1-20
ЛСкция 27a, Basis
Учитывая Π½Π°Π±ΠΎΡ€ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ основой для Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ пространства?
ЛСкция 27b, Основа, ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° 13 Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° 197

ЛСкция 27c, Основа, с использованиСм Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° измСрСния

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 5. 1 Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ 320-326
Π Π΅ΡˆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ· 5.1 1-20
ЛСкция 28, Π”Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚Ρ‹
Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚Ρ‹, ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ, раскрытиС / рСкурсивная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 5.1 Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ 326-329
Π Π΅ΡˆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ· 5.1 21-39
ЛСкция 29, Π”Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚Ρ‹
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹, Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹.

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 5.2 Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ 331-334
Π Π΅ΡˆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ· 5.2 1-9, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ b ΠΈΠ· 11-22
ЛСкция 30, Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² собствСнныС значСния ΠΈ собствСнныС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹, опрСдСлСния.

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 5.2 Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ 331-335
Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ· 5.2 1-9, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ a, b ΠΈΠ· 11-22
ЛСкция 31, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, комплСксныС, Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½Ρ‹Π΅ собствСнныС значСния, характСристичСский ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹
нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ².

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 5.2 Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ 331-335
Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ· 5.2 1-9, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ части a, b, c ΠΈΠ· 11-22
ЛСкция 32, НахоТдСниС собствСнных Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, факторизация ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ собствСнных Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² * ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° собствСнных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ * ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, обратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ собствСнных Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ². -1

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π Π°Π·Π΄Π΅Π» 5.3 342-349
Π Π΅ΡˆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ· 5.3 1-26
ЛСкция 37, Диагонализация
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹, Π½Π΅Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 5.4 352-358
Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ· 5.4 1-9
ЛСкция 38, Π‘ΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹
Бвойства, ΠžΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ (ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ½ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅) ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°: БобствСнныС значСния вСщСствСнной симмСтричной ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ 2 * 2 Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 5.4 352-358
Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ· 5.4 1-9
ЛСкция 39, ΠžΠ±Π·ΠΎΡ€ симмСтричных ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†
РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ 1

ЛСкция 40, Частичный ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€ собствСнных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, собствСнных Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², диагонализация, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ систСмы diff eq ΠŸΠΎΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ части 5.2,5.3,5.6 (для 5.6 ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ)
ΠŸΡ€ΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π Π°Π·Π΄Π΅Π»Π° 5.5 352-358
РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΈΠ· Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ
ЛСкция 41, ΠœΠ°Ρ€ΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠ΅ процСссы, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

ЛСкция 43, Базовая Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°

3.6: Нули ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ \ (\ PageIndex {9} \)

РСшСниС ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

Новая пСкарня ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ Π΄Π΅ΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ листовыС Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‚Ρ‹ для дСтских Π΄Π½Π΅ΠΉ Ρ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… торТСствСнных случаСв. ΠŸΠ΅ΠΊΠ°Ρ€Π½Ρ Ρ…ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ объСм нСбольшого Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‚Π° составлял 351 кубичСский дюйм.Π’ΠΎΡ€Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Они хотят, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‚Π° Π±Ρ‹Π»Π° Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ дюйма большС ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‚Π°, Π° высота Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‚Π° составляла ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρ‹. ΠšΠ°ΠΊΠΈΡ… Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° для Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‚Π°?

Раствор:

НачнитС с написания уравнСния объСма Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‚Π°. ОбъСм ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ \ (V = lwh \). Нам сказали, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ дюйма большС ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρ‹, поэтому ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‚Π° ΠΊΠ°ΠΊ \ (l = w + 4 \).2βˆ’1053 \) Π’Ρ‹Ρ‡Ρ‚Π΅ΠΌ 1053 с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π° Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ нуля Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ \ (\ pm 1, Β± 3, Β± 9, Β± 13, Β± 27, Β± 39, Β± 81, Β± 117, Β± 351, \) ΠΈ \ (Β± 1053 \ ). ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ эти Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠ»ΠΈ. Волько ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ смысл Π² качСствС Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‚Π°, поэтому Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ с ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ всСго подходят для Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² нСбольшого листового Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‚Π°.Π’ΠΎΡ€Ρ‚ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π² 1 дюйм маловСроятСн, ΠΈ, слоТив коэффициСнты, ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 1 Π½Π΅ являСтся Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

ΠœΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ для ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ \ (x = 3 \).

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 3 Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π΅ являСтся Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΡ‚ΡŒ \ (x = 9 \).

БинтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ остаток ΠΎΡ‚ 0, поэтому 9 являСтся Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ уравнСния. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΈ высоту противня для Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‚Π°.

\ (l = w + 4 = 9 + 4 = 13 \) ΠΈ \ (h = \ dfrac {1} {3} w = \ dfrac {1} {3} (9) = 3 \)

ΠŸΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π΅Π½ΡŒ для Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‚Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ 13 Π½Π° 9 дюймов Π½Π° 3 дюйма

Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ сигналов, устойчивых ΠΊ количСству ΠΈ сдвигу элСктродов для ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ миоэлСктричСского контроля Π² Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠΎΠ² Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠ΅ исслСдования ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π»ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ миоэлСктричСских сигналов управлСния ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ записСй многоканальной элСктромиограммы (Π­ΠœΠ“) ΠΎΡ‚ ΠΌΡ‹ΡˆΡ† ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠ»Π΅Ρ‡ΡŒΡ. Π’ этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ проводится дальнСйший Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· тСорСтичСской основы ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ размСрности сигналов Π­ΠœΠ“ высокой плотности ΠΎΡ‚ ΠΌΡ‹ΡˆΡ† ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠ»Π΅Ρ‡ΡŒΡ. Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, это ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ факторизация ΠΏΠ°Ρ‚Ρ‚Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ² ΠΌΡ‹ΡˆΠ΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π² вСсах ΠΈ сигналах Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π°Ρ†ΠΈΠΈ посрСдством Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ (NMF) являСтся устойчивой ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°Π½Π°Π»Π°, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ сигналы Π­ΠœΠ“. Π‘ΠΈΠ³Π½Π°Π»Ρ‹ повСрхностной Π­ΠœΠ“ высокой плотности Π±Ρ‹Π»ΠΈ записаны ΠΎΡ‚ ΠΌΡ‹ΡˆΡ† ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠ»Π΅Ρ‡ΠΈΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ. ВСса ΠΈ сигналы Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Π°Π²Ρ‚ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΌ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ 10 ΠΊΠ°Π½Π°Π»ΠΎΠ² с Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΊΠ°Π½Π°Π»ΠΎΠ² (6, 8, 16, 192 ΠΊΠ°Π½Π°Π»Π°), Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈ.ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ оказался устойчивым ΠΊ сдвигам элСктродов ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ ΠΌΡ‹ΡˆΠ΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π²ΠΎΠ»ΠΎΠΊΠ½Π°ΠΌ. Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ экспСримСнтС ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΡŒ испытуСмых Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ использовали сигналы Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· Π­ΠœΠ“ высокой плотности, для Ρ†Π΅Π»Π΅Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-управлСния, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ двумя стСпСнями свободы Π·Π°ΠΏΡΡΡ‚ΡŒΡ. ВСса синСргизма для этой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ управлСния Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ ΠΈΠ· эталонной ΠΊΠΎΠ½Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ, Π° сигналы Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΈ рассчитаны Π² Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΈΠ· эталонной ΠΊΠΎΠ½Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… смСщСнных ΠΊΠΎΠ½Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ, имитируя сдвиг элСктрода.НСсмотря Π½Π° смСщСниС элСктродов, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ выполнСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, врСмя Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈ ΡΡ„Ρ„Π΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ выполнСния, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, статистичСски Π½Π΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°Π»ΠΈΡΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ конфигурациями элСктродов. Онлайн-выступлСния Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π² основном ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ использовании 6, 8 ΠΈΠ»ΠΈ 16 ΠΊΠ°Π½Π°Π»ΠΎΠ² EMG. Π£ΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° ΠΊ количСству ΠΈ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊΠ°Π½Π°Π»ΠΎΠ², подтвСрТдСнная ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π°Π²Ρ‚ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅, ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сигналы Π­ΠœΠ“, записанныС с ΠΌΡ‹ΡˆΡ† ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠ»Π΅Ρ‡ΡŒΡ, ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ аппроксимированы ΠΊΠ°ΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ смСси сигналов Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π°Π²Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ использованиС Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠΎΠ² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ для извлСчСния Π² минимально ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ΠΉ способ, ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ сигналы для ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ управлСния ΠΏΡ€ΠΎΡ‚Π΅Π·ΠΎΠΌ с нСсколькими стСпСнями свободы.

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅Ρ†ΠΈΠ±Π΅Π»Ρ‹ (Π΄Π‘) Π² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ коэффициСнт


Онлайн-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для прСобразования Π΄Π΅Ρ†ΠΈΠ±Π΅Π» Π² ΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ напряТСниС

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅Ρ†ΠΈΠ±Π΅Π»Ρ‹ Π² коэффициСнт


Π­Ρ‚Π° функция ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π΄Π΅Ρ†ΠΈΠ±Π΅Π»Π°Ρ… Π² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя напряТСниями ΠΈΠ»ΠΈ мощностями. НапримСр, Ссли Π²Ρ‹ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Ρ‚Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ -6 для ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Β«ΠœΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ (10 Π΄Π‘ / Π΄Π΅ΠΊΠ°Π΄Π°)Β», Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ 0.25 , Π³. Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ коэффициСнт ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ 1/4.

Π’ мСню Β«ΠœΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅Β» Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ расчСт мощности (10 Π΄Π‘ / Π΄Π΅ΠΊΠ°Π΄Ρƒ) ΠΈΠ»ΠΈ расчСт напряТСния ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ (20 Π΄Π‘ / Π΄Π΅ΠΊΠ°Π΄Π°).


ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π‘ Π² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ коэффициСнт

Подсказка: Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния напряТСния, мощности ΠΈ Π΄Π‘, Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ здСсь


ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ коэффициСнта мощности Π² Π΄Π‘

ЛогарифмичСской Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ΠΉ измСрСния для описания взаимосвязи ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя значСниями мощности являСтся Bel .
1 Π‘Π΅Π» соотвСтствуСт коэффициСнту ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ 10: 1. Он рассчитываСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

\ (\ displaystyle x [Bel] = log_ {10} \ left (\ frac {P_1} {P_2} \ right) \)
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€
\ (\ Displaystyle P_1: P_2 = 10: 1 = 1 Π‘Π΅Π» \)

\ (\ Displaystyle P_1: P_2 = 100: 1 = (10 Β· 10): 1 = 2 Π‘Π΅Π» \)

На ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ коэффициСнт мощности выраТаСтся Π² дСсятых долях Π±Π΅Π» (Π΄Π΅Ρ†ΠΈ = Π±Π΅Π»), сокращСнно Π΄Π‘.

\ (\ Displaystyle 10db = 1 Π‘Π΅Π» \)

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° прСобразования Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π² Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ (Π΄Π‘):

\ (\ Displaystyle Ρ… [db] = 10 Β· log_ {10} \ left (\ frac {P_1} {P_2} \ right) \)

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° прСобразования логарифмичСской (Π΄Π±) Π² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ:

\ (\ displaystyle a = 10 ^ {\ left (\ displaystyle \ frac {x [db]} {10} \ right)} \)

a — коэффициСнт (P1 / P2) здСсь

ЗначСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ слСдуСт Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ
0 Π΄Π‘ ≑ коэффициСнт 1
3 Π΄Π‘ ≑ коэффициСнт 2
6 Π΄Π‘ ≑ коэффициСнт 4
10 Π΄Π‘ ≑ коэффициСнт 10

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ коэффициСнта напряТСния Π² Π΄Π‘

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ мощности ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»Π΅Π½ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρƒ напряТСний. {\ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ (\ Displaystyle \ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° {Ρ… [db]} {20} \ right)} \)

ЗначСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ слСдуСт Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ
0 Π΄Π‘ ≑ коэффициСнт 1
6 Π΄Π‘ ≑ коэффициСнт2
12 Π΄Π‘ ≑ коэффициСнт 4
20 Π΄Π‘ ≑ коэффициСнт 10

Π­Ρ‚Π° страница ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Π°? Π΄Π° НСт

Бпасибо Π·Π° ваш ΠΎΡ‚Π·Ρ‹Π²!

Π˜Π·Π²ΠΈΠ½ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π° это

Как ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ это ΡƒΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ?

ΠžΡ‚ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ

.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *