Разложение многочленов на множители в математике с примерами решения и образцами выполнения

Понятие о разложении на множители:

Часто, особенно при преобразованиях дробных алгебраических выражений, бывает нужно представить данный многочлен в виде произведения двух или более многочленов. При этом требуется, чтобы оба множителя содержали одну букву. Преобразование многочлена к виду произведения многочленов называется разложением многочлена на множители.

Например, равенство которое легко проверяется перемножением многочленов x + З и х + 4 дает разложение многочлена на множители х + 3 и х + 4 .

Конечно, разложение на множители возможно далеко не всегда.

Например, многочлен x + 2 нельзя представить, в виде произведения двух многочленов, содержащих букву х, так как старший член произведения двух таких многочленов содержит х по крайней мере во второй степени, а может быть и в более высокой, в то время как многочлен

х + 2 таких степеней буквы х не содержит. Многочленов, не допускающих разложения на множители, существует сколько угодно.

Многочлен, который не может быть представлен в виде произведения двух многочленов или в виде произведения многочлена на одночлен, содержащий хотя бы одну букву, называется неприводимым или неразложимым на множители многочленом. Так, многочлен x + 2 неприводим. Наоборот, если многочлен может быть разложен на множители, то он называется приводимым.

Задача о разложении многочлена на множители имеет сходство с задачей о разложении целых чисел на множители. Здесь неприводимые многочлены играют такую роль, какую там играют простые числа, а приводимые многочлены — такую же, как составные числа. Задача о разложении целого числа на множители считается решенной до конца, когда число разложено, на простые множители и дальнейшее разложение невозможно. Таким же образом задача о разложении многочлена на множители может считаться решенной до конца, если все множители, получающиеся в результате разложения, оказываются неприводимыми.

Однако так поставленная задача в общем виде очень трудна. В частности, часто бывает трудно ответить на вопрос, приводим заданный многочлен или не приводим? Полное решение этой задачи недоступно по своей трудности для учащихся средней школы.

Однако существует целый ряд простых приемов для разложения многочленов на множители, и искусное владение этими приемами дает возможность почти всегда найти разложение, если только оно вообще возможно.

Заметим еще, что ставить задачу о разложении на множители имеет смысл для многочленов, содержащих более одного члена. Для одночленов, задача решена сама собой, так как одночлен есть произведение степеней букв, а степень тоже есть произведение, но только равных множителей. Преобразование, подобное

нельзя рассматривать как разложение на множители. Это просто переход от сокращенной записи к развернутой За • а • а. Даже в арифметике при разложении целых чисел на простые множители принято пользоваться записью с применением степеней. Например,

Вынесение за скобку

Пример:

Разложить на множители многочлен

Решение:

Здесь можно заметить, что все три члена многочлена имеют общий множитель ab. Действительно,

На основании распределительного закона данный многочлен можно записать в виде произведения суммы первых множителей его членов на одночлен

ab. Итак,

Ответ :

Прием, примененный в рассмотренном примере, называется вынесением за скобку. Этот прием тесно связан с правилом умножения многочлена на одночлен. Так же как правило умножения многочлена на одночлен, вынесение за скобку основывается на распределительном законе. При умножении многочлена на одночлен распределительный закон применяется для того, чтобы представить в виде суммы произведение суммы на число. При вынесении за скобку, наоборот, сумма нескольких слагаемых, имеющих общий множитель, преобразовывается в произведение некоторой суммы на этот множитель.

При вынесении за скобку следует руководствоваться следующим правилом:

Правило. .Если все члены многочлена содержат некоторую букву в каких-либо степенях, то можно вынести за скобку степень этой буквы с наименьшим из показателей, с которыми буква входит в отдельные члены многочлена. Если таких букв имеется несколько, то выносится за скобку произведение степеней этих букв с надлежащими показателями

.

Точно так же можно выносить за скобку числовой коэффициент. Вообще говоря, этот коэффициент может быть взят каким угодно. Например,

Однако наиболее удобно так выбирать коэффициент, чтобы многочлен, остающийся в скобке, имел целые коэффициенты, не имеющие общего целого множителя, например,

или

При преобразовании алгебраических выражений вынесение за скобку играет вспомогательную роль. Поэтому выбор знака коэффициента, а иногда и его величины, должен производиться в соответствии с целью, для достижения которой делается вынесение за скобку. В частности, часто бывает нужно вынести за скобку численный множитель, например,

Отметим, наконец, что вынесение за скобку возможно во всяком алгебраическом выражении, представляющем собой сумму нескольких слагаемых, имеющих общий множитель, например,

Иногда при этом наличие общего множителя становится очевидным только после некоторых преобразований.

Пример:

Разложить на множители многочлен

Решение:

Здесь мы видим, что если из выражения,
находящегося в первой скобке, вынести число 3, то в скобке останется двучлен, члены которого только знаками отличаются от членов второй скобки. Поэтому преобразование нужно вести так:

Применение вынесения за скобку к расположению многочлена по степеням одной буквы

Многочлены, содержащие одну букву, целесообразно записывать в порядке убывания степеней. Это оказалось полезным при умножении многочленов, это полезно при разложении на множители и при делении многочлена на многочлен.

Такая запись часто оказывается удобной и для многочленов, содержащих несколько букв. При этом из всех букв нужно выбрать одну, главную букву и записывать, одночлены в порядке убывания степеней этой буквы.

Например, многочлен расположен в порядке убывания степеней буквы х. Если бы мы в этом многочлене в качестве главной буквы взяли вместо х другую букву, например b, мы должны были бы записать его члены в другом порядке, именно

При таком расположении часто оказывается, что имеется несколько, членов, содержащих главную букву в одной и той же степени. В нашем примере имеется два члена, содержащих х в первой степени. Для того чтобы еще более подчеркнуть, что за главную букву принимается х, целесообразно рассматривать члены, содержащие х в одной и той же степени, как подобные, и соединять их вместе посредством вынесения буквы

х в надлежащей степени за скобку из алгебраической суммы таких членов. Так,

В такой записи многочлен выглядит как многочлен, зависящий только от одной буквы х, но с буквенными коэффициентами и с буквенным свободным членом. Так, коэффициентами в многочлене являются и свободным членом является abc.

Естественно поставить вопрос о том, какую букву нужно выбрать за главную, если мы хотим расположить по степеням одной буквы многочлен, зависящий от нескольких букв.

Если многочлен рассматривается без связи с какой-либо задачей, то выбор главной буквы совершенно безразличен. Если же многочлен получается при решении задачи, часто условие задачи подсказывает, какую букву следует считать главной.

Рассмотрим один пример этого рода.

Задача:

Коробка имеет длину

а см, ширину b см. Требуется найти высоту, при которой площадь поверхности коробки равняется s см.

Решение:

Обозначим высоту буквой х. Поверхность коробки составлена из шести прямоугольников. Два из этих прямоугольников (дно и крышка) имеют площадь аb другие два (левая и правая стенки) имеют площадь bх , и последние два (передняя и задняя стенки) имеют площадь ах . Следовательно, между четырьмя буквами a, b, s и х имеется следующая зависимость:

или, что то- же самое,

Мы получили уравнение, в левой части которого находится многочлен, зависящий от букв a, b, x и s Какую же из этих .четырех букв следует принять за главную букву? Конечно,

х, так как х играет особую роль в задаче. Числа а, b и s — это числа известные данные. Число х — неизвестное. Поэтому полученное нами уравнение следует записать так:

А теперь его легко решить.

Сумма чисел равна нулю. Следовательно, это противоположные числа:

Произведение числа х на число 2а + 2b равно s — 2аb. Следовательно,

Задача решена.

Способ группировки

Рассмотрим следующий пример на умножение многочленов:

Мы воспользовались правилом 1 умножения многочлена на многочлен (гл. III, § 9).

Представим теперь себе, что у нас поставлена обратная задача. Дан многочлен Требуется разложить его на множители. Очевидно, что для этого нужно провести те же вычисления, но в обратном порядке:

Мы объединяем первое слагаемое со вторым и выносим из их суммы а за скобку, одновременно объединяем третье и четвертое слагаемые и из их суммы выносим за скобку b: В обеих скобках получается одно и то же выражение с + d, и его снова выносим за скобку.

Рассмотрим теперь еще один пример, в котором разложение на множители заранее неизвестно.

Пример:

Разложить на множители многочлен

Решение:

Мы видим, что если объединить первое и второе слагаемые, то из их суммы можно вынести за скобку За, а из суммы третьего слагаемого с четвертым можно вынести за скобку — 2b. В обоих случаях в скобке остается одно и то же выражение c + d, так что многочлен преобразуется в сумму двух слагаемых, имеющих общий множитель с + d. После этого можно вынести за скобку c + d.

Наметив такой план преобразований, переходим к его осуществлению:

Примененный в рассмотренном примере способ называется способом группировки. В общем виде способ группировки состоит в том, что слагаемые, из которых составлен многочлен, объединяются в группы с таким расчетом, чтобы после вынесения в каждой группе некоторых одночленов за скобку в скобках оказались бы одинаковые многочлены.

Конечно, совсем не обязательно объединять слагаемые, находящиеся рядом, как это было сделано в рассмотренных примерах. В многочлене 3ac+3ad-2bc-2bd мы могли с тем же успехом объединить первое слагаемое С третьим, а второе с четвертым. Действительно,

А в многочлене а*—АЬс— аЪ — 4ас группировка соседних слагаемых ничего не дает. Здесь нужно объединить первое слагаемое с третьим, второе с четвертым пли первое с четвертым, второе с третьим:

или

Разложение отдельных членов многочлена на подобные слагаемые

Часто бывает, что при умножении многочлена на многочлен после того как скобки раскрыта можно сделать приведение подобных членов. Поэтому при разложении многочлена на множители часто бывает полезно прежде чем совершать группировку разбить некоторые одночлены на подобные слагаемые с тем, чтобы эти слагаемые разнести потом в разные группы.

Пример:

Разложить на множители многочлен

Решение:

В этом многочлене группировка его членов бесполезна для разложения на множители. Однако, если предварительно разбить одночлен 3аb на сумму двух членов аb и 2ab и разнести их в разные группы, то разложение удастся. Действительно,

Более того, при умножении многочленов возможно, что некоторые слагаемые, получившиеся в результате раскрытия скобок, при приведений подобных членов взаимно уничтожаются. Поэтому иногда при разложении многочлена на множители перед группировкой слагаемых нужно вставить новый одночлен, взяв его два раза с противоположными знаками.

Пример:

Применение формул сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения часто значительно облегчают разложение на множители, позволяя избежать разложения одночленов на подобные слагаемые и обойтись без вставки новых одночленов .

Пример:

Разложить на множители

Решение:

Мы видим, что исследуемый многочлен есть разность квадратов чисел х и 2. Следовательно, его можно записать в виде произведения суммы этих чисел на их разность

Пример:

Разложить на множители

Решение:

Мы видим, что сумма первых трех слагаемых есть квадрат суммы чисел х и 2у. Действительно, квадрат первого числа равен , удвоенное произведение первого на второе равно 4ху, квадрат второго равен Итак,

Теперь наш многочлен приведен к виду разности квадратов чисел (х + 2у) и 3z. Следовательно, его можно представить в виде произведения суммы этих чисел на их разность

Пример:

Разложить на множители многочлен

Решение:

Прежде всего надо вынести за скобку 2х

Теперь мы видим, что многочлен, находящийся в скобке, есть разность кубов чисел х и 2у. По сокращенной формуле мы знаем, что разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на «неполный квадрат их суммы». Итак,

Окончательно получаем

Мы прерывали запись действий рассуждениями. Конечно, при решении такого рода примеров рассуждения надлежит производить без записи—вслух или про себя, и запись должна выглядеть так:

Более сложные примеры с решением

Мы разобрали несколько приемов разложения многочлена на множители— вынесение за скобку, способ группировки, разложение одночленов на подобные слагаемые, использование формул сокращенного умножения. Не существует никаких общих правил для того, какими из этих приемов и в каких сочетаниях их друг с другом надлежит пользоваться для достижения цели в каждом частном
случае. (Конечно, если это возможно, следует раньше всего сделать вынесение за скобку. Это никогда не ведет к усложнению, но часто упрощает задачу.) Поэтому, прежде чем приступить к выкладке, необходимо вдуматься в строение разлагаемого многочлена и
составить план действий. Для того чтобы показать, как составлять этот план, рассмотрим несколько более сложных примеров.

Пример:

Разложить на множители многочлен

Решение:

Мы видим, что если из суммы первых двух слагаемых вынести х у, в скобке останется х + у. Попробуем сгруппировать остальные слагаемые так, чтобы х + у входило множителем в сумму слагаемых каждой группы. Мы видим, что «хорошей» в этом
смысле группой является сумма при вынесении из нее за скобку в скобке останется х + у. Остается группа слагаемых Если в этой группе вынести за скобку z, то в скобке oстанется т. е. квадрат суммы (х + у). Итак,

Первый множитель можно разложить дальше, воспользовавшись способом группировки:

Пример:

Решение:

Здесь прежде всего бросается в глаза, сходство с кубом суммы или разности чисел , х и 1. Однако это сходство обманчиво— знаки не те! Поэтому следует искать другой прием. Например, хорошо сгруппировать вместе крайние члены и 1 и средние — , ибо содержит , множитель x + l по формуле суммы кубов, и тот же множитель х + 1 обнаруживается в ; посредством вынесения за скобку. Итак,

Пример:

Решение:

Здесь целесообразно член разбить на сумму двух членов и Действительно, тогда сумма первых трех членов, а также взятая с обратным знаком сумма последних трех представится в виде квадратов, и после этого останется применить формулу для разложения разности квадратов. Осуществим этот план:

Пример:

Решение:

Сравнивая результаты, мы видим, что разлагается на два множителя:. В этом можно убедиться и непосредственно:

Пример:

Разложить на множители

Решение:

Пример:

Разложить на множители

Решение:

В последних двух примерах разложение удается посредством преобразования в разность квадратов. рода выражения называются неполными квадратными трехчленами, хотя на самом деле они состоят только из двух слагаемых. Например, неполные трехчлены.

Для разложения квадратного трехчлена на множители можно рекомендовать два способа, которые мы рассмотрим на решении одного примера.

Пример:

Разложить на множители

Решение:

Способ 1. Рассмотрим тождество

которое легко проверяется. Действительно,

Из этого тождества следует, что если мы сумеем разложить коэффициент при х на сумму двух слагаемых а и b так, чтобы произведение ab этих слагаемых равнялось свободному члену, то нам удастся найти разложение трехчлена на множители.

В нашем примере в качестве таких слагаемых можно взять 5 и —3. Тогда

Способ 2. В данном трехчлене выделим полный квадрат суммы посредством следующего рассуждения. Заметим, что есть квадрат числа х. Примем х за первое слагаемое. Рассмотрим затем следующий член 2х как удвоенное произведение первого слагаемого х на второе. Очевидно, что за второе слагаемое s нужно принять 1. Затем добавляем квадрат этого второго слагаемого и, чтобы равенство не нарушилось, сразу его отнимаем. Получим

Дальнейшее ясно: и следовательно,

Во втором способе, в отличие от первого, мы не прибегаем к подбору. Мы собираем все члены, содержащие х, в выражение, имеющее вид полного квадрата, и затем, если это возможно, пользуемся
формулой для разложения разности квадратов.

Пример:

Разложить на множители

Решение:

Если коэффициент при отличен от 1, следует предварительно вынести его за скобку.

Пример:

Разложить на множители

Решение:

Второй способ, кроме этого, дает возможность выяснить вопрос о том, разлагается квадратный трехчлен на множители или нет. Именно, если число, остающееся после выделения полного квадрата суммы или разности из квадратного трехчлена, не является квадратом со знаком минус, то трехчлен не может быть разложен на множители.

Пример:

Разложить на множители

Решение:

Этот трехчлен на множители не разлагается.

Пример:

Разложить на множители

Решение:

Разложение на множители тоже невозможно.

Оба приема разложения можно применять к трехчленам, содержащим, кроме выбранной главной буквы, также и другие буквы.

Пример:

Разложить на множители

Решение:

Дополнение к разложению многочленов на множители

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Многочлены от одного переменного
64. Алгебраические дроби
65. Пропорции
66. Уравнения
67. Системы уравнений
68. Системы уравнений высших степеней
69. Системы алгебраических уравнений
70. Системы линейных уравнений
71. Системы дифференциальных уравнений
72. Арифметический квадратный корень
73. Квадратные и кубические корни
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат

Как решать неполные квадратные уравнения? Примеры и Формулы

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.

Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

• если D < 0, корней нет;
• если D = 0, есть один корень;
• если D > 0, есть два различных корня.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов: Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax² + 0x+c=0 и оно равносильно ax² + c = 0. Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax² + bx = 0. Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² = 0. Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три формулы неполных квадратных уравнений:

• ax² = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
• ax² + c = 0, при b = 0;
• ax² + bx = 0, при c = 0.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Как решить уравнение ax² = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0.

Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −5x² = 0.

Как решаем:

 

1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.


2. По шагам решение выглядит так:

   −5x² = 0

   x² = 0

   x = √0

   x = 0

   Ответ: 0.

Как решить уравнение ax² + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:

• перенесем c в правую часть: ax² = — c,
• разделим обе части на a: x² = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а < 0, то уравнение x² = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а < 0 ни для какого числа p равенство р² = — c/а не является верным.

Если — c/а > 0, то корни уравнения x² = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)² = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)² = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

В двух словах

Неполное квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:

• не имеет корней при — c/а < 0;
• имеет два корня х = √- c/а и х = -√- c/а при — c/а > 0.

Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.

Как решать:

 

1. Перенесем свободный член в правую часть:

   9x² = — 4



2. Разделим обе части на 9:

   x² = — 4/9



3. В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней.

Пример 2. Решить -x² + 9 = 0.

Как решаем:

 

1. Перенесем свободный член в правую часть:

   -x² = -9



2. Разделим обе части на -1:

   x² = 9



3. Найти корни:

   x = √9

   x = -3

   x = 3

Ответ: уравнение -x² + 9 = 0 имеет два корня -3; 3.

Как решить уравнение ax² + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника.

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 2x² — 32x = 0

Как решать:

 

1. Вынести х за скобки

   х(2x — 32) = 0



2. Это уравнение равносильно х = 0 и 2x — 32 = 0.


3. Решить линейное уравнение:

   2x = 32,

   х = 32/2



4. Разделить:

   х = 16



5. Значит корни исходного уравнения — 0 и 16.

Ответ: х = 0 и х = 16.

Пример 2. Решить уравнение 3x² — 12x = 0

Как решать:

Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни:

Ответ: х = 0 и х = 4.

Алгебра: уроки, тесты, задания.

Алгебра: уроки, тесты, задания.

1. 1. Числовые выражения.

      Алгебраические выражения

   2. Математический язык

   3. Математические модели реальных ситуаций

   4. Линейное уравнение с одной переменной. Алгоритм решения

   5. Координатная прямая.

      Числовые промежутки

2. 1. Координатная плоскость. Координаты точки

   2. Линейное уравнение ax + by + c = 0. График линейного уравнения

   3. Линейная функция y = kx + m. График линейной функции

   4. Линейная функция y = kx, её свойства

   5. Взаимное расположение графиков линейных функций

3. 1. Понятие системы линейных уравнений с двумя переменными

   2. Решение систем линейных уравнений.

      Метод подстановки

   3. Решение систем линейных уравнений. Метод сложения

   4. Система линейных уравнений как математическая модель

4. 1. Понятие степени с натуральным показателем

   2. Часто используемые степени

   3. Базовые свойства степеней с натуральным показателем

   4. Умножение и деление степеней с одинаковыми натуральными показателями

   5. Понятие степени с нулевым показателем

5. 1. Понятие одночлена.

      Приведение одночлена к стандартному виду

   2. Сложение и вычитание подобных одночленов

   3. Произведение одночленов и возведение одночлена в степень

   4. Деление одночленов

6. 1. Понятие многочлена.

      Приведение многочлена к стандартному виду

   2. Как складывать и вычитать многочлены

   3. Как умножать многочлен на одночлен

   4. Как умножать многочлен на многочлен

   5. Применение формул сокращённого умножения

   6. Как делить многочлен на одночлен

7. 1. Понятие разложения многочленов на множители

   2. Разложение на множители.

      Вынесение общего множителя за скобки

   3. Разложение на множители. Способ группировки

   4. Разложение на множители. Использование формул сокращённого умножения

   5. Разложение на множители. Сочетание различных приёмов

   6. Применение разложения на множители для сокращения алгебраических дробей

   7. Понятие тождества

8. 1. Квадратичная функция y = x² и её график

   2. Решение уравнений графическим методом

   3. Запись функции в виде у = f(x)

1. 1. Понятие алгебраической дроби

   2. Применение основного свойства алгебраической дроби

   3. Как складывать и вычитать алгебраические дроби с равными знаменателями

   4. Как складывать и вычитать алгебраические дроби с разными знаменателями

   5. Как умножать, делить и возводить в степень алгебраические дроби

   6. Упрощение рациональных выражений

   7. Решение рациональных уравнений

2. 1. Квадратичная функция y = kx² и её свойства.

      Парабола

   2. Функция y = k/x и её свойства. Гипербола

   3. Как построить график функции у = f(x + l)

   4. Как построить график функции у = f(x) + m

   5. Как построить график функции y = f(x + l) + m

   6. Квадратичная функция y = ax² + bx + c

   7. Решение квадратных уравнений с помощью графиков функций

3. 1. Понятие квадратного корня

   2. Функция квадратного корня y = √x, её свойства и график

   3. Множество рациональных чисел

   4. Базовые свойства квадратных корней

   5. Преобразование иррациональных выражений

4. 1. Какие бывают квадратные уравнения

   2. Способы решения квадратных уравнений

   3. Решение рационального уравнения, сводящегося к квадратному

   4. Использование рациональных уравнений для решения задач

   5. Упрощённая формула для решения квадратного уравнения

   6. Применение теоремы Виета

   7. Решение иррационального уравнения, сводящегося к квадратному

5. 1. Множества натуральных чисел, целых чисел, рациональных чисел

   2. Понятие иррационального числа

   3. Множество действительных чисел и её геометрическая модель

   4. Модуль действительного числа и его геометрический смысл

   5. Приближённые значения по недостатку (по избытку)

   6. Понятие степени с отрицательным целым показателем

   7. Стандартный вид положительного числа

6. 1. Понятие числовых промежутков

   2. Свойства числовых неравенств.

      Свойства неравенств одинакового смысла

   3. Как решать линейное неравенство

   4. Методы решения квадратных неравенств

   5. Понятие монотонности функции. Исследование функций на монотонность

7. Международная оценка образовательных достижений учащихся (PISA)

1. 1. Повторим способы решения линейных и квадратных неравенств

   2. Решение рациональных неравенств методом интервалов

   3. Множества и подмножества.

      Объединение и пересечение множеств

   4. Системы рациональных неравенств

2. 1. Понятие системы рациональных уравнений

   2. Методы решения систем рациональных уравнений

   3. Использование систем рациональных уравнений для решения задач

3. 1. Определение числовой функции и способы её задания

   2. Свойства основных функций

   3. Чётные и нечётные функции.

      Определение чётности и нечётности

   4. Степенная функция с натуральным показателем

   5. Степенная функция с отрицательным целым показателем

   6. Функция кубического корня

4. 1. Понятие числовой последовательности.

      Способы задания последовательностей

   2. Арифметическая прогрессия. Свойства арифметической прогрессии

   3. Геометрическая прогрессия. Свойства геометрической прогрессии

5. 1. Злементы комбинаторики.

      Комбинаторные задачи

   2. Элементы статистики. Методы обработки информации

   3. Элементы теории вероятности. Нахождение вероятности

   4. Относительная частота и статистическая вероятность события

1. 1. Натуральные числа.

      Повторение

   2. Рациональные числа. Повторение

   3. Иррациональные числа. Повторение

2. 1. Обратимая и обратная функции

   2. Понятие периодической функции (профильный)

3. 1. Числовая окружность на координатной плоскости

   2. Нахождение значений синуса и косинуса, тангенса и котангенса

   3. Числовой аргумент тригонометрических функций

   4. Угловой аргумент тригонометрических функций

   5. Свойства функции y = sin x и её график

   6. Свойства функции y = cos x и её график

   7. Периодичность тригонометрических функций, чётность, нечётность

   8. Гармонические колебания (профильный)

   9. Свойства функций y = tg x, y = ctg x и их графики

   10. Функции y = arcsin a, y = arccos a, y = arctg a, y = arcctg a (профильный)

4. 1. Арккосинус и решение уравнения cos х = a

   2. Арксинус и решение уравнения sin x = a

   3. Арктангенс и арккотангенс.

      Решение уравнений tg x = a, ctg x = a

   4. Методы, используемые для решения тригонометрических уравнений

5. 1. Формулы синуса суммы и разности, косинуса суммы и разности

   2. Тангенс суммы и разности

   3. Формулы приведения.

      Общее правило

   4. Формулы синуса, косинуса, тангенса двойного угла

   5. Формулы понижения степени, или формулы половинного угла (профильный)

   6. Формулы сумм тригонометрических функций

   7. Формулы произведений тригонометрических функций

   8. Метод введения вспомогательного угла (профильный)

6. 1. Числовые последовательности и их свойства

   2. Понятие предела числовой последовательности

   3. Как найти сумму бесконечной геометрической прогрессии

   4. Предел функции в точке.

      Предел функции на бесконечности

   5. Определение производной. Геометрический и физический смысл производной

   6. Вычисление производных. Правила дифференцирования

   7. Как получить уравнение касательной к графику функции

   8. Исследование функций на монотонность и экстремумы

   9. Исследование выпуклости и перегиба, построение графиков функции

   10. Применение производной для отыскания наибольших и наименьших величин

1. 1. Понятие корня n-й степени из действительного числа

   2. Функция корня n-й степени

   3. Свойства корня n-й степени.

      Преобразование иррациональных выражений

   4. Способы упрощения выражений, содержащих радикалы

   5. Понятие степени с рациональным показателем, свойства степеней

   6. Свойства степенных функций и их графики

2. 1. Свойства показательной функции и её график

   2. Методы решения показательных уравнений

   3. Методы решения показательных неравенств

   4. Понятие логарифма.

      Основное логарифмическое тождество

   5. Свойства логарифмической функции и её график

   6. Базовые свойства логарифмов

   7. Методы решения логарифмических уравнений

   8. Методы решения логарифмических неравенств

   9. Переход к новому основанию логарифма

   10. Системы показательных и логарифмических уравнений

   11. Системы логарифмических и показательных неравенств

   12. Производная показательной и логарифмической функции

3. 1. Понятие первообразной

   2. Неопределённые и определённые интегралы.

      Методы интегрирования

   3. Вычисление площадей с помощью интегралов

4. 1. Правило суммы

   2. Правило произведения

   3. Перестановки.

      Перестановки без повторений

   4. Размещения. Размещения с повторениями

   5. Сочетания и их свойства

   6. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона

5. 1. Какие бывают случайные события

   2. Комбинации событий.

      Противоположные события

   3. Вероятность события

   4. Сложение вероятностей

   5. Независимые события. Умножение вероятностей

   6. Статистическая вероятность

6. 1. Случайные величины

   2. Центральные тенденции

   3. Меры разброса

   4. Закон распределения вероятностей.

      Закон больших чисел

7. 1. Равносильность уравнений. Теоремы о равносильности уравнений

   2. Общие методы решения уравнений

   3. Равносильность неравенств. Системы и совокупности неравенств

   4. Уравнения и неравенства с двумя переменными

   5. Общие методы решения систем уравнений

   6. Уравнения и неравенства с параметром

1. Коллекция интерактивных моделей

Решение задач по математике

Каталог примеров

• Категория: PHP
• Категория: Алгебраические преобразования, уравнения, неравенства
  • Как упростить выражение с дробями на тестах по математике
  • Решение дробно-рационального уравнения высшей степени методом замены переменной
  • Решение неравенств онлайн, пример с высшими степенями
  • Решение неравенства с многочленами высших степеней.
  • Решение системы неравенств
  • Решение уравнения с двумя параметрами
  • Решить неравенство, содержащее кубическую функцию.
  • Упростить выражение, примеры. Упростить выражение с дробными функциями
  • Упростить выражение наиболее оптимальным способом
  •   Решение системы неравенств с тремя неравенствами, содержащими квадратичную и кубическую функции
  • Возведение одночленов в степень
  • Деление простейших рациональных дробей со знаменателями-одночленами высших степеней.
  • Докажите, что при любых любых значениях истинны неравенства
  • Иррациональные уравнения примеры.
  • Использование формулы разности кубов при упрощении выражений
  • Исследование функции онлайн 4 степени
  • Исследование функции онлайн с квадратичной функцией в числителе и знаменателе
  • Исследование функции онлайн, содержащей квадратичную функцию в числителе и знаменателе.
  • Исследование функции онлайн, функции третьей , четвертой степени
  • Исследование функции с квадратичной функцией в числителе и линейной в знаменателе
  • Исследовать полином шестой степени и построить ее график
  • исследовать функцию второй степени и построить ее график
  • Исследуем функцию в знаменетеле которой произведение линейных функций
  • Как решать кубические уравнения
  • Как решить неравенство с дробями
  • Нахождение множества решений неравенства
  • Необходимо упростить выражение.
  • Необходимо построить график графики функций, заданную вот такой формулой
  • Нестандартные способы решения решение квадратных уравнений. Метод замены
  • Построить график функции заданной формулой
  • Построить график функции, провести ее полное исследование
  • Пример на упрощение выражений
  • Пример на упрощение выражения
  • Пример на упрощение выражения
  • Пример решения дробно рациональных уравнений
  • Примеры как решать биквадратные уравнения
  • примеры построения графиков
  • Примеры решения системы линейных уравнений.
  • Провести полное исследование и построить график функции седьмой степени
  • Разложение многочлена на множители
  • Разложение многочленов на множители. Применение различных способов
  • разложить на множители
  • Решаем неравенств, имеющих в левой левой части дробное выражение с квадратичными функциями
  • Решаем неравенство с четвертой степенью интервалов
  • Решение иррациональных уравнений с переменной z
  • Решение биквадратного уравнения методом замены
  • Решение биквадратного уравнения методом замены переменной
  • Решение биквадратного уравнения методом замены переменной
  • Решение биквадратных уравнений онлайн
  • Решение биквадратных уравнений онлайн
  • Решение двойного неравенства онлайн с модулем в числителе и знаменателе
  • Решение двойных неравенств на тестах по математике
  • решение дробно-рациональных выражений, приводящих к квадратным
  • Решение дробно-рациональных уравнений с параметрами
  • Решение дробно-рациональных уравнений, сводящихся к квадратным
  • Решение задач на округление с недостатком
  • Решение иррациональное уравнение с параметрами.
  • Решение иррациональных уравнений, содержащих кубический корень.
  • Решение квадратичного неравенства с модулем
  • Решение квадратичных неравенств онлайн с модулем
  • Решение квадратного уравнения с квадратичными многочленами в числителе и знаменателе
  • Решение квадратных уравнений методом замены переменной
  • Решение квадратных уравнений по формуле дискриминанта
  • Решение квадратных уравнений с квадратным трехчленом в числителе и знаменателе
  • Решение квадратных уравнений с модулями
  • Решение квадратных уравнений с преобразованием левой и правой части уравнения.
  • Решение квадратных уравнений, содержащих алгебраические преобразования.
  • Решение линейных неравенств онлайн с модулем в знаменателе
  • Решение линейных неравенств с дробными выражениями
  • решение линейных неравенств, содержащих модуль
  • Решение линейных уравнений с дробями в левой и правой части
  • Решение на тестах по математике неравенств онлайн, содержащих модуль
  • Решение на тестах по математике неравенств содержащих модуль и кубическую функцию в правой части
  • Решение неравенств c кубическими степенями
  • Решение неравенств  онлайн с дробями наиболее оптимальным способом
  • Решение неравенств высших степеней онлайн .
  • Решение неравенств онлайн методом замены переменных
  • Решение неравенств онлайн на тестах по математике, имеющих очень большую степень
  • Решение неравенств онлайн с двумя квадратичными функциями в знаменателе
  • Решение неравенств онлайн с квадратичными функциями в знаменателе дроби
  • Решение неравенств онлайн со сложными дробно-рациональными дробями
  • Решение неравенств онлайн, содержащих в числителе и знаменателе произведение квадратных трехчленов
  • Решение неравенств онлайн, содержащих многочлен четвертой степени в левой части
  • Решение неравенств онлайн, содержащих модуль в знаменателе и квадратичную функцию в числителе
  • Решение неравенств онлайн, содержащих модуль.
  • Решение неравенств онлайн, содержащих произведение квадратичных функций
  • Решение неравенств онлайн, содержащих произведение функций в левой части и линейную функцию в правой
  • Решение неравенств онлайн, содержащих разность дробей
  • Решение неравенств онлайн. Дробно-рациональное неравенство
  • Решение неравенств онлайн. Применение группировки для решения неравенств
  • Решение неравенств онлайн. Решение квадратичных неравенств.
  • Решение неравенств с выносом за скобки многочлена
  • Решение неравенств с квадратичной функцией под модулем.
  • Решение неравенств с квадратичной функцией в числителе и знаменателе
  • Решение неравенств с квадратичной функцией в числителе и знаменателе.
  • Решение неравенств с линейной функцией в правой части
  • Решение неравенств с линейными и квадратичными функциями в знаменателе
  • Решение неравенств с линейными функциями в модулях
  • Решение неравенств с многочленом пятой степени
  • Решение неравенств с модулем в знаменателе.
  • Решение неравенств с модулем. Квадратичная функция в модуле.
  • Решение неравенств с применением разности кубов
  • Решение неравенств с применением формул сокращенного умножения
  • Решение неравенств с применением формулы разности квадратов
  • Решение неравенств с произведением многочленов в числителе и знаменателе
  • Решение неравенств с произведением квадратичных функций в числителе и знаменателе
  • Решение неравенств содержащих параметр
  • Решение неравенств третьей степени онлайн методом замены
  • Решение неравенств четвертой степени заменой
  • Решение неравенств, содержащих куб суммы
  • Решение неравенств, содержащих линейные функции в числителе дроби в левой части
  • Решение неравенства 3 степени
  • Решение неравенства онлайн с квадратичной функцией под модулем в левой части и линейной под модулем в правой
  • Решение неравенства онлайн с модулем и квадратичной функцией в левой части
  • Решение неравенства онлайн. Пример, в котором нужно решить систему
  • Решение неравенства с 4 квадратичными функциями
  • Решение неравенства с двумя модулями
  • Решение неравенства с квадратичной функцией под модулем.
  • Решение неравенства с модулем
  • Решение неравенства с модулем
  • Решение неравенства с модулем в знаменателе
  • Решение неравенства с модулем квадратичной функциии в знаменателе
  • Решение неравенства с модулями и дробями
  • Решение неравенства с одинаковой квадратичной функцией
  • Решение неравенства, содержащего произведение многочленов в числителе и знаменателе
  • Решение нескольких линейных уравнений с параметром и модулем
  • Решение показательных уравнений онлайн с применением свойств степеней с рациональным показателем и свойств показательной функции
  • Решение показательных уравнений онлайн.
  • Решение показательных уравнений с линейными функциями в степенях
  • Решение примеров с отрицательными степенями
  • Решение примеров с упрощением радикалов на тестах по математике
  • Решение рациональных уравнений, сводящихся к квадратным
  • Решение систем квадратных неравенств
  • Решение систем линейных неравенств
  • Решение систем линейных уравнений второй степени методом выражения неизвестной
  • Решение систем линейных уравнений с двойными неравенствами
  • Решение систем линейных уравнений с дробными коэффициентами
  • Решение систем линейных уравнений с модулями
  • Решение систем неравенств
  • Решение систем неравенств на тестах по математике
  • Решение систем неравенств онлайн на тестах по математике
  • Решение систем неравенств онлайн с квадратичными функциями
  • Решение систем неравенств с квадратичными функциями
  • Решение систем уравнений , в которой одна из переменных в квадрате
  • Решение систем уравнений с 3 неизвестными
  • Решение систем уравнений с 4 неизвестными
  • Решение систем уравнений с дробями повышенного уровня сложности
  • Решение систем уравнений с переменными с высшими степенями
  • Решение систем уравнений с произведением многочленов
  • Решение систем уравнений с суммой и произведением неизвестных
  • Решение систем уравнений уравнений с x и у в числителе дроби
  • Решение системы линейных уравнений
  • Решение системы неравенств c линейными функциями в каждом неравенстве
  • Решение системы неравенств онлайн
  • Решение системы неравенств онлайн с квадратичными функциями
  • Решение системы неравенств, содержащее кубическое неравентсво
  • Решение сложного дробно-рационального уравнения
  • Решение сложного неравенства с применением формул сокращенного умножения
  • Решение сложных дробно-рациональных неравенств
  • Решение сложных квадратных уравнений онлайн
  • решение сложных неравенств
  • Решение уравнений высших степеней с дробями
  • Решение уравнений методом замены переменной
  • Решение уравнений онлайн с большим числом многочленов
  • Решение уравнений онлайн с квадратичной функцией в знаменателе под знаком модуля
  • Решение уравнений с двумя  множителями, в которых стоят квадратичные функции
  • Решение уравнений с модулем и параметром
  • Решение уравнений с параметрами
  • Решение уравнений третьей степени с дробной частью
  • Решение уравнений, сводящихся к квадратным
  • Решение уравнений, сводящихся к квадратным применением свойств сокращенного умножения.
  • Решение уравнения с заменой переменных
  • Решении неравенств методом подбора
  • Решения задач на свойства степеней
  • Решить неравенство онлайн методом интервалов,применив при этом метод группировки слагаемых.
  • Решить биквадратное уравнение.
  • Решить дробно-рациональное кубическое уравнение наиболее оптимальным способом.
  • Решить Дробно-рациональное неравенство онлайн
  • Решить дробно-рациональное уравнение высшей степени с дробями.
  • Решить квадратное уравнение наиболее оптимальным способом.
  • Решить линейное неравенство,  содержащее дроби в обеих частях
  • Решить неравенство онлайн наиболее оптимальным способом
  • Решить неравенство  с дробями
  • Решить неравенство высших степеней методом интервалов
  • Решить неравенство онлайн наиболее оптимальным методом
  • Решить неравенство онлайн с многочленом третьей степени
  • Решить неравенство онлайн, содержащее произведение многочленов
  • Решить неравенство онлайн, содержащее высшие степени
  • Решить неравенство онлайн, содержащее высшие степени
  • Решить неравенство онлайн, содержащее дробно-рациональные выражения
  • Решить неравенство онлайн, содержащее модуль.
  • Решить неравенство онлайн, содержащее произведение многочленов высших степеней.
  • Решить неравенство онлайн, содержащее произведение  многочленов
  • Решить неравенство онлайн, содержащее сумму дробно-рациональных функций
  • Решить неравенство онлайн. Квадратичная функция.
  • Решить неравенство онлайн. Неравенство высших степеней.
  • Решить неравенство онлайн.  Дробно-рациональные функции
  • Решить неравенство оптимальным способом
  • Решить неравенство с модулем
  • Решить неравенство, содержащее высокую степень,  методом интервалов
  • Решить неравенство, содержащее дробно-рациональную функцию
  • Решить неравенство, содержащее дробно-рациональные выражения в левой и правой части
  • Решить неравенство, содержащее произведение кубической и квадратной функций.
  • Решить неравенство, содержащее произведение многочленов.
  • Решить неравенство, содержащее произведении многочленов
  • Решить неравенство, содержащую высшую степень  методом интервалов
  • Решить систему неравенств наиболее оптимальным способом.
  • Решить систему неравенств с модулями
  • Решить систему неравенств, содержащую неравенства второй степени
  • Решить систему неравенств.
  • Решить систему неравенств.
  • Решить систему уравнений с тремя неизвестными методом выражения неизвестной величины
  • Решить систему уравнений, выразив x,y,z через u и v.
  • Решить уравнение высшей степени
  • Решить уравнение высшей степени, используя метод замены переменных
  • Решить уравнение онлайн, используя замену переменной
  • Решить уравнение онлайн, содержащее в левой и правой части дробно-рациональные выражения с   квадратичными функциями.
  • Решить уравнение онлайн, содержащее выражения под знаком модуля в левой и правой части уравнения
  • Решить уравнение четвертой степени, используя группировку и вынесение общего множителя
  • Тождественное преобразование рациональных выражений с использованием формулы разницы квадратов
  • Тождественные преобразования рациональных выражений
  • Упросить выражение оптимальным способом
  • Упростить выражение примеры
  • Упростить выражение примеры. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми  знаменателями
  • Упростить выражение примеры. Упрощение дробно-рациональных выражений.
  • Упростить выражение с дробями.
  • Упростить выражение с помощью преобразований
  • Упростить выражение типичные примеры для тестов по математике
  • Упростить выражение, содержащее дробные выражения
  • Упрощение выражение с радикалами
  • Упрощение выражений на тестах по математике доказательство с использованием тождественных преобразований.
  • Упрощение выражений на тестах по математике. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Простейшие примеры
  • Упрощение выражений при умножении рациональных дробей
  • Упрощение выражений с корнями
  • Упрощение выражений с кубическими корнями
  • Упрощение выражений с многоэтажными дробями
  • Упрощение выражений с помощью разности квадратов
  • Упрощение выражений с помощью формул квадрата суммы.
  • Упрощение выражений с помощью формулы разности квадратов
  • Упрощение выражений с помощью формулы умножения дробей
  • Упрощение выражений с применением формул разложения квадратного трехчлена на множители
  • Упрощение выражений с применением формулы суммы кубов и куб разности
  • Упрощение выражений с радикалами.
  • Упрощение выражений с тремя действиями
  • Упрощение выражений, возведение рационального выражения в степень.
  • Упрощение выражений, сложение рациональных дробей с многочленами в знаменателе
  • Упрощение выражений, содержащих деление многочленов
  • Упрощение выражений, содержащих деление рациональных дробей
  • Упрощение выражений, содержащих степень с рациональным показателем
  • Упрощение выражений, содержащих умножение дробей с квадратичными функциями
  • Упрощение выражения, содержащего операции деления
• Категория: Другое
• Категория: Логарифмические, показательные уравнения , неравенства
• Категория: Начала анализа
  • Задача на нахождение числа касательных.
  • Исследование и построение графика функции четвертой степени
  • Исследование функции онлайн, содержащей многочлен пятой степени в числителе и седьмой в знаменателе.
  • Исследование графика функции с многочленом четвертой степени в знаменателе
  • Исследование дробно-рациональной функции и построения ее графика
  • Исследование дробной функции и построение ее графика
  • Исследование онлайн функции с кубом в знаменателе
  • Исследование рациональной функции и с построение ее графика
  • Исследование функции десятой степени
  • Исследование функции онлайн с кубической функцией в числителе
  • Исследование функции онлайн с числителем шестой степени
  • Исследование функции онлайн, заданной частным квадратичной и кубичной функций
  • Исследование функции пятой степени
  • Исследование функции с линейной функцией в числителе и знаменателе
  • Исследование функции с многочленом шестой степени в числителе
  • Исследование функции с числителем пятой степени
  • Исследовать график дробно-линейной функции и правильно построить график
  • Исследовать функцию 4 степени и построить график
  • Исследовать функцию высших степеней и построить ее график
  • Исследовать функцию и построить ее график
  • Исследовать функцию и построить ее график онлайн.
  • Исследуем онлайн функцию, заданную многочленом четвертой степени в числителе
  • Исследуем функцию, в которой в знаменателе произведение квадратичных функций
  • Исследуем функцию, заданную многочленом четвертой степени
  • на исследование функций
  • Найти значение производной в точке
  • Нахождение производной сложной функции и построение её графика
  • Полное исследование сложной функции и построение ее графика
  • Построение график функции с кубом в числителе и знаменателе
  • Построение графика дробно-линейной функции
  • Построение графика кубической функции
  • Построение графика с квадратичными функциями в числителе и знаменателе
  • Построение графика с кубической функцией в числителе и линейной в знаменателе
  • Построение графика с функцией шестой степени в числителе
  • Построение графика функции с полным исследованием
  • Построение графика функции с квадратичной функцией в числителе и линейной в знаменателе
  • Построение графика функции с многочленом пятой степени в знаменателе
  • Построение графика функции, в знаменателе которой многочлен пятой степени
  • Построение графиков на тестах по математике
  • Построение графиков функций онлайн. Нахождение производной в точке
  • Построить график функции и провести ее полное исследование. Функция дробно-рациональная
  • Построить график дробной-линейной функции и провести ее полное исследование.
  • Построить график квадратичной функции методом полного исследования
  • Построить график кубической функции
  • Построить график кубической функции, проведя ее полное исследование
  • Построить график функции дробной функции, содержащей функцию четвертой степени в знаменателе, проведя полное исследование.
  • Построить график функции и провести ее полное исследование
  • Построить график функции онлайн, заданной следующей формулой
  • Построить график функции пятой степени
  • Построить график функции, содержащей дроби.
  • Построить и исследовать график функции, заданной такой формулой.
  • Провести исследование функции и построить ее график
  • Провести исследование функции и построить ее график.
  • Провести полное исследование функции . После этой исследования построить ее график.
  • Производная дроби примеры
  • Укажите график нечетной функции
• Категория: Планиметрия
• Категория: Прогрессии
• Категория: Стереометрия
• Категория: Текстовые задачи
• Категория: Тригонометрия
• Категория: Числа и выражения

Каждый год выпускники стараются успешно завершить обучение и успешно сдать вступительные экзамены, чтобы поступить в высшие учебные заведения и стать студентами.

Многие ищут решение задач по математике, чтобы к этому подготовиться.

В данный момент аттестация проводится в форме внешнего независимого оценивания (ЗНО). Результат тестов по математике засчитывается как балл государственной итоговой аттестации (ДПА) . Выпускникам, которые прошли ЕГЭ по математике, алгебре, геометрии выдается сертификат с его результатами, в соответствии с которым вносится соответствующая запись в дополнение к аттестату. Чтобы набрать необходимое количество баллов недостаточно формально овладеть школьным материалом – необходимы углубленные знания, практика в решении задач, умение правильно и четко изложить на бумаге решение задачи, сопровождая его необходимыми схемами, рисунками, формулами.

Этот сайт с решениями задач по математике поможет в комплексной подготовке абитуриента к независимому внешнему тестированию по математике. Он решит с вами задачи, которые в разное время предлагались для решения школьникам и абитуриентам при поступлении в высшие учебные заведения.

Разбор задач , уроки позволят вам успешно сдать непростые экзамены и легко овладеть такими науками, как алгебра и геометрия. Вы научитесь выполнять алгебраические преобразования, сможете упростить любое выражение, изучите алгебраические формулы. Вы успешно освоите решение уравнений, систем уравнений, неравенств, систем неравенств (квадратные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические).

Сложности в решение задач на составление уравнений? На сайте приведены решения задач с полным описанием. Геометрия дается сложнее, чем алгебра? На сайте приведены решения задач из разделов планиметрия и стереометрия, разобраны примеры решения на нахождение неизвестных геометрических элементов, площадей фигур, методики доказательств утверждений.

Сайт- хороший помощник при подготовке домашних заданий и подготовке к тестам

Сайт нужен для получения и лучшего усвоения большего количества информации, более глубоких знаний, а также приобретения навыков по реализации полученных знаний на практике. Специалиста можно найти, обратившись в специальные агентства, поместив объявление в средствах массовой информации. Однако , попав на этот сайт, вы уже нашли то, что искали. У автора — большой опыт подготовки к ЗНО по математике, ДПА по математике, ЗНО по физике, ДПА по физике. Вы можете посмотреть отзывы на соответствующей странице. Все мои ученики успешно сдавали ЗНО с результатом от 180 баллов, а результат ДПА всегда был не ниже 9. Поэтому вы можете быть уверены в результативности занятий.

Общий делитель и кратное (НОД и НОК): онлайн калькулятор

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное — ключевые арифметические понятия, которые позволяют без усилий оперировать обыкновенными дробями. НОК и НОД чаще всего используются для поиска общего знаменателя нескольких дробей.

Основные понятия

Делитель целого числа X — это другое целое число Y, на которое X разделяется без остатка. К примеру, делитель 4 — это 2, а 36 — 4, 6, 9. Кратное целого X — это такое число Y, которое делится на X без остатка. К примеру, 3 кратно 15, а 6 — 12.

Для любой пары чисел мы можем найти их общие делители и кратные. К примеру, для 6 и 9 общим кратным является 18, а общим делителем — 3. Очевидно, что делителей и кратных у пар может быть несколько, поэтому при расчетах используется наибольший делитель НОД и наименьшее кратное НОК.

Наименьший делитель не имеет смысла, так как для любого числа это всегда единица. Наибольшее кратное также бессмысленно, так как последовательность кратных устремляется в бесконечность.

Нахождение НОД

Для поиска наибольшего общего делителя существует множество методов, самые известные из которых:

• последовательный перебор делителей, выбор общих для пары и поиск наибольшего из них;
• разложение чисел на неделимые множители;
• алгоритм Евклида;
• бинарный алгоритм.

Сегодня в учебных заведениях наиболее популярными являются методы разложения на простые множители и алгоритм Евклида. Последний в свою очередь используется при решении диофантовых уравнений: поиск НОД требуется для проверки уравнения на возможность разрешения в целых числах.

Нахождение НОК

Наименьшее общее кратное точно также определяется последовательным перебором или разложением на неделимые множители. Кроме того, легко найти НОК, если уже определен наибольший делитель. Для чисел X и Y НОК и НОД связаны следующим соотношением:

НОК (X,Y) = X × Y / НОД(X,Y).

Например, если НОД(15,18) = 3, то НОК(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Наиболее очевидный пример использования НОК — поиск общего знаменателя, который и является наименьшим общим кратным для заданных дробей.

Взаимно простые числа

Если у пары чисел нет общих делителей, то такая пара называется взаимно простой. НОД для таких пар всегда равен единице, а исходя из связи делителей и кратных, НОК для взаимно простых равен их произведению. К примеру, числа 25 и 28 взаимно просты, ведь у них нет общих делителей, а НОК(25, 28) = 700, что соответствует их произведению. Два любых неделимых числа всегда будут взаимно простыми.

Калькулятор общего делителя и кратного

При помощи нашего калькулятора вы можете вычислить НОД и НОК для произвольного количества чисел на выбор. Задания на вычисление общих делителей и кратных встречаются в арифметике 5, 6 класса, однако НОД и НОК — ключевые понятия математики и используются в теории чисел, планиметрии и коммуникативной алгебре.

Примеры из реальной жизни

Общий знаменатель дробей

Наименьшее общее кратное используется при поиске общего знаменателя нескольких дробей. Пусть в арифметической задаче требуется суммировать 5 дробей:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Для сложения дробей выражение необходимо привести к общему знаменателю, что сводится к задаче нахождения НОК. Для этого выберите в калькуляторе 5 чисел и введите значения знаменателей в соответствующие ячейки. Программа вычислит НОК (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Теперь необходимо вычислить дополнительные множители для каждой дроби, которые определяются как соотношение НОК к знаменателю. Таким образом, дополнительные множители будут выглядеть как:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

После этого умножаем все дроби на соответствующий дополнительный множитель и получаем:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Такие дроби мы можем легко суммировать и получить результат в виде 159/360. Сокращаем дробь на 3 и видим окончательный ответ — 53/120.

Решение линейных диофантовых уравнений

Линейные диофантовы уравнения — это выражения вида ax + by = d. Если отношение d / НОД(a, b) есть целое число, то уравнение разрешимо в целых числах. Давайте проверим пару уравнений на возможность целочисленного решения. Сначала проверим уравнение 150x + 8y = 37. При помощи калькулятора находим НОД (150,8) = 2. Делим 37/2 = 18,5. Число не целое, следовательно, уравнение не имеет целочисленных корней.

Проверим уравнение 1320x + 1760y = 10120. Используем калькулятор для нахождения НОД(1320, 1760) = 440. Разделим 10120/440 = 23. В результате получаем целое число, следовательно, диофантово уравнение разрешимо в целых коэффициентах.

Заключение

НОД и НОК играют большую роль в теории чисел, а сами понятия широко используются в самых разных областях математики. Используйте наш калькулятор для расчета наибольших делителей и наименьших кратных любого количества чисел.

Онлайн тест по математике для 8-11 классов

Тесты для 11 класса вверх Викторина по теме: «Что мы знаем о Лобачевском?» Викторина «Лобачевский» рассказывает об одном из самых талантливых русских учёных и педагогов, который внёс самый большой вклад в развитие науки свой страны. Разумеется, речь идёт о Н.И. Лобачевском. Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по математике «Колесо истории» (10-11 класс) Какие ученые знамениты своими открытиями в области математики? Когда были выведены тригонометрические функции? В какой стране зародилась геометрия? Узнайте в этом тесте. Рейтинг теста: Сложность теста: нормальный Вопросов: 20 Тест по математике для учащихся 9-11 классов Кто «привез» в Европу слово «миллион»? Как звали первую женщину-математика? Для чего, по мнению известного ученого, нужно учить математику? Узнайте в этом тесте! Рейтинг теста: Сложность теста: нормальный Вопросов: 20 Тест по математике на тему «Великие математики» (10-11 класс) В этом тесте по математике вас ждут познавательные факты о великих математиках и их открытиях! Рейтинг теста: Сложность теста: простой Вопросов: 21 Тест по математике на тему «Из истории цифр и чисел» (10-11 класс) До изобретения цифр люди считали с помощью палочек, черточек или зарубок. .. Современные цифры появились в Индии. Это позволило экономно и точно записывать любые числа. Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по математике на тему «Интересные факты о числах и не только» (10-11 класс) Наука математика таит в себе множество интересных фактов. Каждая цифра и число может быть главным героем той или иной истории. Узнайте больше в этом тесте! Рейтинг теста: Сложность теста: нормальный Вопросов: 20 Тест по математике на тему «История математики в лицах» (10-11 класс) За каждым великим открытием в области математики стоит напряженная и зачастую многолетняя работа ученого. Рейтинг теста: Сложность теста: простой Вопросов: 20 Тест по математике на тему «История тригонометрии» (9-11 класс) Тригонометрические вычисления применяются не только в геометрии, физике и инженерном деле, но и в теории музыки, оптике, при анализ финансовых рынков, в электронике, теория вероятностей и многих других областях. Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по математике на тему «Математика вокруг нас» (10-11 класс) Пусть математика сложна, её до края не познать. Откроет двери всем она, в них только надо постучать. Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по математике на тему: История математики (10-11 класс) Какой ученый «навел порядок» в геометрии? Какую теорему называли «магистром математики»? Кто ввел в употребление знак равенства? Проверьте свои знания из области истории математики! Рейтинг теста: Сложность теста: сложный Вопросов: 20

Тесты для 10 класса вверх Викторина на тему «Занимательная математика» 20 интересных фактов о науке математика. Оригинальные и необычные факты из мира этой серьезной науки. Место для несерьезного или просто увлекательного, найдется в любой точной науке. Главное, желание отыскать это. Рейтинг теста: Вопросов: 20 Викторина на тему «Любопытная история математики» Эти вопросы можно решить с помощью накопленного определенного запаса математических фактов и сведений, умений и навыков, дополняющих и углубляющих знания, приобретаемые в основном курсе геометрии, алгебры. Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по геометрии для 10 класса по теме: «Геометрические фигуры» Геометрические фигуры весьма разнообразны. Все предметы, которые нас окружают, состоят из геометрических фигур. Рейтинг теста: Сложность теста: сложный Вопросов: 20 Тест по истории математики (10 класс) Без открытий великих математиков древности, мы, вероятно, до сих пор пользовались бы узелковым счетом. Проверьте свои знания в области истории математики в этом тесте. Рейтинг теста: Сложность теста: нормальный Вопросов: 20 Тест по математике «Колесо истории» (10-11 класс) Какие ученые знамениты своими открытиями в области математики? Когда были выведены тригонометрические функции? В какой стране зародилась геометрия? Узнайте в этом тесте. Рейтинг теста: Сложность теста: нормальный Вопросов: 20 Тест по математике для 10 класса «Математическая вселенная» Наука математика зародилась многие тысячелетия назад. Практически каждый век ознаменован выдающимися математическими открытиями. Узнайте о некоторых из них в этом тесте. Рейтинг теста: Сложность теста: сложный Вопросов: 20 Тест по математике для 8-10 классов по истории математики Занимательные факты об известных ученых-математиках и открытиях, сделанных ими, ждут вас в этом тесте. Рейтинг теста: Сложность теста: сложный Вопросов: 20 Тест по математике для учащихся 9-11 классов Кто «привез» в Европу слово «миллион»? Как звали первую женщину-математика? Для чего, по мнению известного ученого, нужно учить математику? Узнайте в этом тесте! Рейтинг теста: Сложность теста: нормальный Вопросов: 20 Тест по математике и МХК для 9-10 классов: Математика и мировая художественная культура Математика и искусство две взаимодополняющие грани человеческой культуры, потому что даже в самой сердцевине науки есть элемент искусства, а всякое искусство несёт в себе частицу научной мудрости. Рейтинг теста: Сложность теста: нормальный Вопросов: 20 Тест по математике на тему «Великие математики» (10-11 класс) В этом тесте по математике вас ждут познавательные факты о великих математиках и их открытиях! Рейтинг теста: Сложность теста: простой Вопросов: 21 Тест по математике на тему «Из истории цифр и чисел» (10-11 класс) До изобретения цифр люди считали с помощью палочек, черточек или зарубок. .. Современные цифры появились в Индии. Это позволило экономно и точно записывать любые числа. Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по математике на тему «Интересные факты о числах и не только» (10-11 класс) Наука математика таит в себе множество интересных фактов. Каждая цифра и число может быть главным героем той или иной истории. Узнайте больше в этом тесте! Рейтинг теста: Сложность теста: нормальный Вопросов: 20 Тест по математике на тему «История математики в лицах» (10-11 класс) За каждым великим открытием в области математики стоит напряженная и зачастую многолетняя работа ученого. Рейтинг теста: Сложность теста: простой Вопросов: 20 Тест по математике на тему «История тригонометрии» (9-11 класс) Тригонометрические вычисления применяются не только в геометрии, физике и инженерном деле, но и в теории музыки, оптике, при анализ финансовых рынков, в электронике, теория вероятностей и многих других областях. Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по математике на тему «Математика вокруг нас» (10-11 класс) Пусть математика сложна, её до края не познать. Откроет двери всем она, в них только надо постучать. Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по математике на тему: История математики (10-11 класс) Какой ученый «навел порядок» в геометрии? Какую теорему называли «магистром математики»? Кто ввел в употребление знак равенства? Проверьте свои знания из области истории математики! Рейтинг теста: Сложность теста: сложный Вопросов: 20

Тесты для 9 класса вверх Викторина на тему «Занимательная математика» 20 интересных фактов о науке математика. Оригинальные и необычные факты из мира этой серьезной науки. Место для несерьезного или просто увлекательного, найдется в любой точной науке. Главное, желание отыскать это. Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест на тему «Интересное в мире математики» (9 класс) «Математика — царица наук, а арифметика — царица математики». Кому из великих ученых прошлого принадлежат эти слова? Узнайте в этом тесте! Рейтинг теста: Сложность теста: сложный Вопросов: 20 Тест по геометрии для 8-9 классов. «Геометрическая мозаика» Геометрия — одна из самых древних наук. Она изучает формы предметов и их пространственные отношения. Рейтинг теста: Сложность теста: нормальный Вопросов: 20 Тест по геометрии для учащихся 7-9 класса Геометрия является продуктом естественной потребности человека в познании, постоянном стремлении его к совершенству и красоте. Но вместе с тем, её относят к одному из самых трудных предметов. Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по геометрии на тему «Векторы» (9 класс) Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать. (Г. Галилей) Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по геометрии на тему «История развития геометрии как науки» (9 класс) Геометрия появилась в связи с потребностями практической деятельности человека. А со временем превратилась в сложную, но интересную науку. Рейтинг теста: Сложность теста: нормальный Вопросов: 20 Тест по математике «Квадратичная функция» (9 класс) Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели. (Алексей Маркушевич, советский математик) Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по математике для 8-10 классов по истории математики Занимательные факты об известных ученых-математиках и открытиях, сделанных ими, ждут вас в этом тесте. Рейтинг теста: Сложность теста: сложный Вопросов: 20 Тест по математике для учащихся 9-11 классов Кто «привез» в Европу слово «миллион»? Как звали первую женщину-математика? Для чего, по мнению известного ученого, нужно учить математику? Узнайте в этом тесте! Рейтинг теста: Сложность теста: нормальный Вопросов: 20 Тест по математике и МХК для 9-10 классов: Математика и мировая художественная культура Математика и искусство две взаимодополняющие грани человеческой культуры, потому что даже в самой сердцевине науки есть элемент искусства, а всякое искусство несёт в себе частицу научной мудрости. Рейтинг теста: Сложность теста: нормальный Вопросов: 20 Тест по математике на тему «Вокруг единиц измерения» (9 класс) Существует огромное количество разнообразных единиц измерения. Некоторые единицы измерения из прошлого уже не используются современным человеком. Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по математике на тему «Действия с рациональными числами» (9 класс) Математическими операции с рациональными числами выполняли уже в далекой древности, например, египтяне, греки, шумеры. .. А что вам известно об этих числах? Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по математике на тему «История математики» (9 класс) Когда и где появилось слово «миллион»? какой русский писатель сочинял математические задачи? Есть ли математика в музыке? Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по математике на тему «История математики» (8-9 класс) Некоторым школьникам математика кажется скучным и сложным предметом. Однако наверняка даже им будут интересны факты из истории этой науки. Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по математике на тему «История тригонометрии» (9-11 класс) Тригонометрические вычисления применяются не только в геометрии, физике и инженерном деле, но и в теории музыки, оптике, при анализ финансовых рынков, в электронике, теория вероятностей и многих других областях. Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по математике на тему «Прогрессии» (9 класс) Среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной закономерностью. .. (Симон Стевин, фламандский математик) Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по математике на тему «Решение текстовых задач» (8-9 класс) В школьном курсе математики работа над текстовыми задачами считается одним из самых сложных разделов для усвоения учащимися. В этом тесте вы сможете потренироваться в их решении. Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по математике на тему: Квадратичная функция, ее график и свойства (9 класс) Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике. (Джордж Сантаяна, философ) Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по математике на тему: Квадратные уравнения. Квадратичная функция (8-9 класс) Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике. (Джордж Сантаяна, философ) Рейтинг теста: Сложность теста: нормальный Вопросов: 20

Тесты для 8 класса вверх Тест по геометрии «Окружность — что мы о ней знаем?» Геометрическая фигура окружность имеет много удивительных свойств. А что вы знаете об этой замечательной фигуре? Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по геометрии для 8-9 классов. «Геометрическая мозаика» Геометрия — одна из самых древних наук. Она изучает формы предметов и их пространственные отношения. Рейтинг теста: Сложность теста: нормальный Вопросов: 20 Тест по геометрии для учащихся 7-9 класса Геометрия является продуктом естественной потребности человека в познании, постоянном стремлении его к совершенству и красоте. Но вместе с тем, её относят к одному из самых трудных предметов. Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по математике для 8-10 классов по истории математики Занимательные факты об известных ученых-математиках и открытиях, сделанных ими, ждут вас в этом тесте. Рейтинг теста: Сложность теста: сложный Вопросов: 20 Тест по математике на тему «Жизнь Пифагора. За легендой истина» (8 класс) Большинству людей сегодня мало что известно о жизни великого ученого Пифагора. А ведь его достижения выходят далеко за рамки одной единственной теоремы. Рейтинг теста: Сложность теста: нормальный Вопросов: 20 Тест по математике на тему «История математики» (8-9 класс) Некоторым школьникам математика кажется скучным и сложным предметом. Однако наверняка даже им будут интересны факты из истории этой науки. Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по математике на тему «Решение текстовых задач» (8-9 класс) В школьном курсе математики работа над текстовыми задачами считается одним из самых сложных разделов для усвоения учащимися. В этом тесте вы сможете потренироваться в их решении. Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по математике на тему «Решение текстовых задач» (8 класс) Текстовые задачи можно решать несколькими способами: арифметическим, алгебраическим, способом подбора, графическим и практическим способами. Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по математике на тему «Ромб» (8 класс) Ромб — одна из простейших геометрических фигур. Однако если присмотреться к нему поближе, окажется, что существует немало интересных фактов про ромб. Некоторые из них ждут вас в данном тесте. Рейтинг теста: Сложность теста: нормальный Вопросов: 20 Тест по математике на тему «Числовые множества» (8 класс) В математике чаще мы чаще всего имеем дело с множествами элементов, которыми являются числа, то есть с числовыми множествами. Некоторые факты о них в этом тесте. Рейтинг теста: Сложность теста: нормальный Вопросов: 20 Тест по математике на тему: Квадратные уравнения. Квадратичная функция (8-9 класс) Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике. (Джордж Сантаяна, философ) Рейтинг теста: Сложность теста: нормальный Вопросов: 20

Тесты для 6 класса вверх Викторина по математике на тему «Пропорции» (6 класс) Приглашаю вас поучаствовать вместе со сказочными персонажами в викторине. Вы не только сможете блеснуть своими знаниями, но и оказать огромную помощь некоторым сказочным персонажам в разрешении сложных для них заданий. Рейтинг теста: Вопросов: 20 Итоговый тест по математике (6 класс) Знания по математике, полученные в 5 и 6 классе, помогут освоить алгебру и геометрию в старших классах. Проверьте свои знания, вы увидите, что математика — это вовсе не скучно, а весьма интересно и занимательно! Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по математике на тему «Все действия с рациональными числами» (6 класс) Данный тест позволяет систематизировать знания учащихся по теме «Все действия с рациональными числами», своевременно выявить пробелы в изученном материале. Принцип построения теста — «от простого к сложному» — позволяет использовать его в классах с разной Рейтинг теста: Вопросов: 20

Тесты для 5 класса вверх Тест по математике на тему «Единицы измерения на Руси в XVIII веке» (5-6 класс) Более 200 лет назад в разных странах, в том числе и в России, приняли различные системы единиц измерения длины, массы и других величин. Соотношение между мерами были сложны, существовали различные определения для единиц измерения. Проверьте свои знания по Рейтинг теста: Вопросов: 20

Тесты для всех классов вверх Викторина по математике «Математическая шкатулка» Викторина посвящена историческим фактам по математике. Данная викторина позволит узнать много нового и интересного. Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по геометрии для всех классов на тему «Из истории науки геометрии» Геометрия зародилась вместе с необходимостью древних людей находить расстояния между предметами, определять размеры участков земли, ориентироваться по звездам и т. п. Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по математике Математика — это не только цифры, вычисления и доказательства теорем. Это еще и множество занимательных фактов. Рейтинг теста: Сложность теста: нормальный Вопросов: 20 Тест по математике «Путешествие через века и страны» (8-9 класс) Каждому восьмикласснику и девятикласснику знакомы слова «функция», «уравнение», «иррациональные числа». .. Но не каждый знает историю их появления. Рейтинг теста: Сложность теста: сложный Вопросов: 20 Тест по математике для 8-9 классов на тему «История математики» Развитие математики началось с создания практических искусств счёта и измерения линий, поверхностей и объёмов. Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Рейтинг теста: Вопросов: 20 Тест по теме «Ученые-математики» Пифагор, Декарт, Виет, Эйлер, Магницкий, Лобачевский. .. Имена этих ученых знакомы всему миру. А знаете ли вы, какой именно вклад внес каждый из них в развитие математики? Рейтинг теста: Сложность теста: нормальный Вопросов: 20

Перевести обыкновенную дробь в десятичную. Калькулятор онлайн.

Как перевести обыкновенную дробь в десятичную

Десятичные дроби стали использовать для более удобной записи обыкновенных дробей. Чтобы записать десятичную дробь необходимо целую и дробную части отделить друг от друга запятой. Если дробь не содержит целой части, необходимо поставить ноль перед запятой. Если дробь имеет знаменатель вида 10, 100, 1000 и т. д. и количество цифр в числителе меньше, чем в знаменателе, то для перевода такой дроби в обыкновенную необходимо посчитать число цифр в числителе и число нулей в знаменателе. Например, у дроби

(ноль целых 12 тысячных) 2 цифры в числителе и 3 ноля в знаменателе. 3 – 2 = 1, следовательно, необходимо записать один ноль после запятой

Приведем еще пример, дробь

У этой дроби в числителе 1 цифра, 3 ноля в знаменателе. 3 – 1 = 2, следовательно, необходимо записать два ноля после запятой

И последний пример, дробь

У данной дроби в числителе 2 цифры и в знаменателе 2 ноля. 2 – 2 = 0, следовательно, не нужно добавлять ноль после запятой

В случае если знаменатель дроби является числом отличным от чисел типа 10, 100, 1000 и т.д., то тогда необходимо такую дробь привести к знаменателю вида 10, 100, 1000 и т.д. Первым делом необходимо привести дробь к несократимому виду. Затем разложить знаменатель дроби на простые множители. Если в разложении будет хотя бы один множитель отличный от 2 или 5, то такую дробь можно представить только в виде бесконечной десятичной дроби. Если в разложении дроби все множители являются числами 2 или 5, тогда необходимо сделать так, чтобы число двоек и пятерок было одинаковым. Для этого нужно до множить числитель и знаменатель дроби на недостающее количество двоек или пятерок. Например,

	1∙5∙5	=
	2∙2∙2∙5∙5∙5

Приведем еще один пример

6	101	=
	2∙2∙2∙5∙5

6	101∙5	=
	2∙2∙2∙5∙5∙5

Приведем пример бесконечной десятичной дроби

При переводе данной дроби в десятичную получается бесконечная десятичная дробь
Более подробно о десятичных дробях можно прочитать в данной статье.Вам могут также быть полезны следующие сервисыДробиКалькулятор интервальных повторенийУчим дроби наглядноКалькулятор сокращения дробей Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешаннуюКалькулятор преобразования смешанной дроби в неправильнуюКалькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробейКалькулятор возведения дроби в степеньКалькулятор перевода десятичной дроби в обыкновеннуюКалькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичнуюКалькулятор сравнения дробей Калькулятор приведения дробей к общему знаменателюКалькуляторы (тригонометрия)Калькулятор синуса угла
Калькулятор косинуса угла
Калькулятор тангенса угла
Калькулятор котангенса угла Калькулятор секанса угла Калькулятор косеканса углаКалькулятор арксинуса угла
Калькулятор арккосинуса угла
Калькулятор арктангенса угла
Калькулятор арккотангенса угла Калькулятор арксеканса угла Калькулятор арккосеканса углаКалькуляторы систем счисленияКалькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабскиеКалькулятор перевода чисел в различные системы счисленияКалькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чиселСистемы счисления теорияN₂ | Двоичная система счисленияN₃ | Троичная система счисленияN₄ | Четырехичная система счисленияN₅ | Пятеричная система счисленияN₆ | Шестеричная система счисленияN₇ | Семеричная система счисленияN₈ | Восьмеричная система счисленияN₉ | Девятеричная система счисленияN₁₁ | Одиннадцатиричная система счисленияN₁₂ | Двенадцатеричная система счисленияN₁₃ | Тринадцатеричная система счисленияN₁₄ | Четырнадцатеричная система счисленияN₁₅ | Пятнадцатеричная система счисленияN₁₆ | Шестнадцатеричная система счисленияN₁₇ | Семнадцатеричная система счисленияN₁₈ | Восемнадцатеричная система счисленияN₁₉ | Девятнадцатеричная система счисленияN₂₀ | Двадцатеричная система счисленияN₂₁ | Двадцатиодноричная система счисленияN₂₂ | Двадцатидвухричная система счисленияN₂₃ | Двадцатитрехричная система счисленияN₂₄ | Двадцатичетырехричная система счисленияN₂₅ | Двадцатипятеричная система счисленияN₂₆ | Двадцатишестеричная система счисленияN₂₇ | Двадцатисемеричная система счисленияN₂₈ | Двадцативосьмеричная система счисленияN₂₉ | Двадцатидевятиричная система счисленияN₃₀ | Тридцатиричная система счисленияN₃₁ | Тридцатиодноричная система счисленияN₃₂ | Тридцатидвухричная система счисленияN₃₃ | Тридцатитрехричная система счисленияN₃₄ | Тридцатичетырехричная система счисленияN₃₅ | Тридцатипятиричная система счисленияN₃₆ | Тридцатишестиричная система счисленияКалькуляторы (Теория чисел) Калькулятор выражений Калькулятор со скобкамиКалькулятор разложения числа на простые множителиКалькулятор НОД и НОК Калькулятор НОД и НОК по алгоритму ЕвклидаКалькулятор НОД и НОК для любого количества чиселПредставление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемыхКалькулятор деления числа в данном отношенииКалькулятор процентовКалькулятор перевода числа с Е в десятичноеКалькулятор экспоненциальной записи чисел Калькулятор нахождения факториала числа Калькулятор нахождения логарифма числа Калькулятор квадратных уравнений Калькулятор остатка от деления Калькулятор корней с решением Калькулятор нахождения периода десятичной дроби Калькулятор больших чиселКалькулятор округления числаКалькуляторы площади геометрических фигурПлощадь квадратаПлощадь прямоугольникаКалькуляторы (Комбинаторика) Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементовКалькулятор нахождения числа сочетаний из n элементовКалькулятор нахождения числа размещений из n элементовГенератор Pdf с примерамиТренажёры решения примеровТренажёр таблицы умножения Тренажер счета для дошкольниковТренажер счета на внимательность для дошкольниковТренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ. Тренажер решения примеров с разными действиямиТренажёры решения столбикомТренажёр сложения столбикомТренажёр вычитания столбикомТренажёр умножения столбикомТренажёр деления столбиком с остаткомКалькуляторы решения столбикомКалькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбикомКалькулятор деления столбиком с остаткомКалькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрияКалькулятор сложения и вычитания матрицКалькулятор умножения матрицКалькулятор транспонирование матрицыКалькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицыКалькулятор нахождения обратной матрицы Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора Калькулятор сложения и вычитания векторов Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторамиКалькулятор скалярного произведения векторов через координаты Калькулятор векторного произведения векторов через координатыКалькулятор смешанного произведения векторовКалькулятор умножения вектора на числоКалькулятор нахождения угла между векторамиКалькулятор проверки коллинеарности векторовКалькулятор проверки компланарности векторовКонвертеры величинКонвертер единиц длиныКонвертер единиц скоростиКонвертер единиц ускоренияКалькуляторы (физика)

Механика

Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения Калькулятор вычисления времени движенияКалькулятор времениВторой закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения. Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения

Оптика

Калькулятор отражения и преломления света

Электричество и магнетизм

Калькулятор Закона Ома Калькулятор Закона Кулона Калькулятор напряженности E электрического поляКалькулятор нахождения точечного электрического заряда Q Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда qКалькулятор вычисления потенциала φ электростатического поляКалькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы

Конденсаторы

Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторовКалькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторовКалькуляторы по астрономии Вес тела на других планетахУскорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутникахГенераторыГенератор примеров по математике Генератор случайных чисел Генератор паролейКалькулятор первичной факторизации

— с пошаговым объяснением

Нахождение разложения на простые множители и факторного дерева

Пример: найти разложение на простые множители 60.

Шаг 1: Начните с любого числа , которое делит 60, в данном случае мы будем использовать 10. Итак, $ \ color {blue} {60 = 6 \ cdot 10} $.

Шаг 2: Запишите 10 как произведение 2 и 5. $ \ color {blue} {10 = 2 \ cdot 5} $.

Шаг 3: Запишите 6 как произведение 2 и 3.$ 6 = 2 \ cdot 3 $.

Шаг 4: Конечные узлы — это простые множители 60.

$$ 60 = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 5 $$

Определение всех факторов

Пример: Найдите все множители 54.

Шаг 1: Начните список с 1 и закончите его с 54.

$$ \ color {blue} {\ boxed {1}} ~, ~. ~. ~. ~, ~ \ color {blue} {\ boxed {54}} $$

Шаг 2: Поскольку $ 54 = 2 \ cdot 27 $, мы помещаем 2 и 27 в массив.

$$ 1 ~, ~ \ color {blue} {\ boxed {2}} ~, ~. ~. ~. ~, ~ \ color {blue} {\ boxed {27}} ~, ~ 54 $$

Шаг 3: Поскольку $ 54 = 3 \ cdot 18 $, мы поместим 3 и 18 в массив.

$$ 1 ~, ~ 2, ~ \ color {blue} {\ boxed {3}} ~, ~. ~. ~. ~, ~ \ color {blue} {\ boxed {18}} ~, ~ 27 ~, ~ 54 $$

Шаг 4: В итоге имеем 54 $ = 6 \ cdot 9

$

$$ 1 ~, ~ 2 ~, ~ 3 ~, ~ \ color {blue} {\ boxed {6}} ~, ~ \ color {blue} {\ boxed {9}} ~, ~ 18 ~, ~ 27 ~, ~ 54 $$

Проверить, простое ли число

Пример: проверьте, является ли число 581 простым или нет.

Шаг 1. Найдите квадратный корень из 581.

$$ \ sqrt {581} = 24,1 \ приблизительно = 25 $$

Шаг 2. Попробуйте разделить 581 на все простые числа, меньшие или равные 25.

В этом примере мы попытаемся разделить 581 на:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23.

$$ \ begin {выровнено} 581: 2 & = 290,5 \\ 581: 3 & = 484 \\ 581: 5 & = 116.2 \\ 581: 7 & = 83 \ end {выровнен} $$

581 делится на 3, поэтому не является простым.

Калькулятор факторинга

Использование калькулятора

Калькулятор факторинга находит факторы и пары факторов положительного или отрицательного числа. Введите целое число, чтобы найти его множители.

Для положительных целых чисел калькулятор будет отображать только положительные множители, потому что это обычно принятый ответ.Например, вы получаете 2 и 3 как пару факторов из 6. Если вам также нужны отрицательные факторы, вам нужно будет продублировать ответ самостоятельно и повторить все факторы как отрицательные, такие как -2 и -3, как еще одну пару факторов из 6. С другой стороны, этот калькулятор даст вам отрицательные множители для отрицательных целых чисел. Например, -2 и 3 И 2 и -3 являются парами факторов -6.

Факторы — это целые числа, которые умножаются для получения другого числа. Исходные числа являются множителями номера продукта.Если a x b = c, то a и b являются делителями c.

Допустим, вы хотите найти множители 16. Вы найдете все пары чисел, которые при умножении дают 16. Мы знаем, что 2 и 8 являются множителями 16, потому что 2 x 8 = 16. 4 — это множитель 16, потому что 4 x 4 = 16. Также 1 и 16 делятся на 16, потому что 1 x 16 = 16. Факторы 16 равны 1, 2, 4, 8, 16.

Вы также можете думать о множителях в терминах деления: множители числа включают в себя все числа, которые делятся на это число без остатка.Рассмотрим число 10. Поскольку 10 делится на 2 и 5 без остатка, можно сделать вывод, что 2 и 5 делятся на 10.

В таблице ниже перечислены множители для 3, 18, 36 и 48. Важно отметить, что каждое целое число имеет как минимум два множителя: 1 и само число. Если число состоит только из двух факторов, это число является простым числом.

Примеры списков факторов

36

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

48

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

Как разложить числа на множители: факторизация

Калькулятор множителей учитывает числа пробным делением. Выполните следующие действия, чтобы использовать пробное деление для определения множителей числа.

1. Найдите квадратный корень из целого числа n и округлите до ближайшего целого числа. Назовем этот номер s .
2. Начните с цифры 1 и найдите соответствующую пару факторов: n ÷ 1 = н. . Итак, 1 и n — это факторная пара, потому что деление дает целое число с нулевым остатком.
3. Сделайте то же самое с числом 2 и продолжите проверку всех целых чисел ( n ÷ 2, n ÷ 3, n ÷ 4 … n ÷ s ) до квадратного корня с округлением до с . Запишите пары факторов, в которых деление дает целые числа с нулевым остатком.
4. Когда вы достигнете n ÷ s и вы записали все пары факторов, вы успешно разложили число н. .

Пример факторизации с использованием пробного отдела

Факторы 18:

• Квадратный корень из 18 равен 4,2426, с округлением до ближайшего целого числа 4
.
• Проверяя целочисленные значения от 1 до 4 для деления на 18 с остатком 0, мы получаем следующие пары факторов: (1 и 18), (2 и 9), (3 и 6). Множители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Факторы отрицательных чисел

Вся приведенная выше информация и методы обычно применимы к факторингу отрицательных чисел.Просто обязательно соблюдайте правила умножения и деления отрицательных чисел, чтобы найти все множители отрицательных чисел. Например, множители -6: (1, -6), (-1, 6), (2, -3), (-2, 3). См. «Калькулятор решения математических уравнений» и раздел Правила операций умножения.

Факторинговые калькуляторы, связанные с

Смотрите наши Калькулятор общих факторов, чтобы найти все факторы набора чисел и узнать, какие факторы являются общими.

Калькулятор наибольшего общего делителя находит наибольший общий делитель (НОД) или наибольший общий делитель (НОД) набора чисел.

Посмотреть Калькулятор наименьшего общего знаменателя, чтобы найти наименьший общий знаменатель для дробей, целых и смешанных чисел.

Выразите многочлен как произведение линейных множителей

Объяснение:

Мы начинаем с попытки найти какие-либо рациональные корни, используя теорему о рациональных корнях, которая утверждает, что возможные рациональные корни являются положительными или отрицательными версиями возможных дробных комбинаций, образованных путем помещения множителя постоянного члена в числитель и коэффициент ведущего коэффициента в знаменателе.

Это было много слов в одном предложении, так что давайте разберемся с этим. Начнем с нашего многочлена.

Постоянный член — это термин без переменной (просто число). В нашем случае константа 60. Каковы возможные множители 60?

Старший коэффициент — это число перед наибольшей степенью переменной. Когда члены перечислены в порядке убывания (от наибольшей к наименьшей степени), ведущим коэффициентом всегда является первое число.В нашем случае опережающий коэффициент определить сложно. Поскольку перед цифрой нет числа, по умолчанию коэффициент равен 1.

Это хорошо, потому что единственный множитель 1 — это хорошо … 1.

Затем мы создаем все возможные дроби с коэффициентом постоянной в числителе и коэффициентом старшего коэффициента в знаменателе. На самом деле это не так плохо, как могло бы быть, поскольку наш единственный возможный знаменатель равен 1. Любая дробь со знаменателем 1 является просто числителем.Следовательно, наши возможные «дроби» просто

Однако мы должны учитывать их положительные или отрицательные версии, поэтому наш окончательный список возможных рациональных корней составляет

.

К сожалению, именно здесь процесс (по крайней мере, без помощи графического калькулятора) становится менее увлекательным. Используя синтетическое деление, мы должны просто пробовать каждый возможный корень, пока не добьемся успеха. На самом деле нет единого правила, которое указывало бы нам, с чего начать. Обычно лучше всего начинать с меньших целых чисел, потому что синтетическое деление проще.Таким образом, мы могли бы начать с, а затем перейти к и т. Д.

Чтобы сделать это объяснение как можно короче, я сразу перейду к 2, где мы сначала добьемся успеха.

Следовательно, 2 — это корень. Однако всегда важно проверять, является ли корень на самом деле двойным корнем (работает дважды). Поэтому попробуем еще раз.

2 действительно работает дважды и, таким образом, является двойным корнем. Поскольку у нас осталось только три члена, мы можем преобразовать синтетическое выражение обратно в алгебраическое.

Затем мы можем разложить на множители.

Запись корня из 2 в виде алгебраического выражения дает. Поскольку у нас есть двойной корень, нам понадобятся два из них. Таким образом, наше окончательное выражение с факторизацией — это.

онлайн-видеолекций по линейной алгебре, MATH 3328/2318, лето 2012 г.

онлайн-видеолекций по линейной алгебре, MATH 3328/2318, лето 2012 г. Совместимые с MAC / IPAD / iPhone видео-лекции по линейной алгебре, MATH 3328/2318, лето 2012 г.

Доступ или своевременное обновление этого веб-сайта не гарантируется.Посещайте все занятия, чтобы получить самую свежую информацию.
Ежедневные объявления
Перейдите к началу лекций по линейной алгебре, затем прокрутите вниз до текущей лекции.

Общая информация
1) Домашнее задание
2) Информация о курсе для MATH 3328
3) Текст: Элементарная линейная алгебра с приложениями, 3-е издание, Ричард Хилл, ISBN 0030103479.
Доступно в книжных магазинах, а также в Интернете, например
Amazon. Барнс и Ноубл Ebay Abebooks

Работа на дому:
Как минимум, выполните задачи, перечисленные в листе домашнего задания, который выдается в начале семестра.
Следуйте методам, используемым в классе или показанным в учебнике.
Сравните свой окончательный ответ с решением нечетных задач в конце текста.
Сформируйте учебные группы.
Воспользуйтесь бесплатным обучением, доступным для языков L209, M-R 8-6, F 8-2. Поговорите с несколькими репетиторами. Задавайте вопросы коллективно.
Задавайте вопросы, на которые не ответили, в рабочее время.
Или поднимите в классе вопросы, на которые вы не ответили.

Как помочь себе подготовиться к тестам:
Проведите самопроверку: запишите задачи (решения которых вы видели) на флеш-карту.Укажите, где можно найти решение и отвести время. Хранить в коробке. Нарисуйте 10 случайных вопросов, дайте себе тест по времени. Оцените, используя доступные решения. Повторно изучите проблемы, которые вы пропустили.
Если мы используем гибридный подход, вы хотите, чтобы ваша лекционная заметка и папка с домашним заданием были полными, доступными для поиска и удобочитаемыми для вас.

Ограничения / Политика в отношении ноутбуков и калькуляторов
К тестам допускается только одна записная книжка с собственными рукописными записями.
Запрещается печатная бумага. Копирование бумаги не допускается. Это даст оценку F за курс, даже если он не используется!
К тестам не допускаются никакие рыхлые бумаги любой формы. Не допускается использование рваной / склеенной / прошитой / прошитой / прошитой бумаги.
У вас может быть обычный базовый научный калькулятор (около 20 долларов) на тестах. Использование продвинутых калькуляторов (таких как TI80 и т. Д.) Даст результат теста F.
Использование беспроводных устройств запрещено. Калькулятор в стиле сотового телефона / iPod не разрешен.
Если у вас нет своего собственного калькулятора, вы пройдете тест без него.

Дополнительно:
Онлайн-курсы, тексты, интерактивные калькуляторы, тренажеры, игры и демонстрации, относящиеся к линейной алгебре:
Linear Algebra by Gilbert Strang — полный пакет курсов. Вы также можете использовать версию 1999 года.
Курс линейной алгебры Алекса Постникова, 2009 г.
Матричный анализ и прикладная линейная алгебра Текст Карла Д. Мейера.
Введение в матричную алгебру Текст Autar K. kaw.
Текст линейной алгебры Джима Хефферона. Большой PDF Скачать. Как ускорить воспроизведение видео.
Интерактивные приложения.
Калькулятор набора инструментов линейной алгебры. Автор Przemyslaw Bogacki, Old Dominion University.
. Калькулятор базовой матричной алгебры для умножения, детерминанта, обратного преобразования, исключения Гусса или rref (приведение строки к эшелонированной форме).
Пошаговые инструкции
3D-графики
Игры
Lights Out 1, Дэвид Гишард, Whitman College, Игра по линейной алгебре, несколько похожая на классическую игру Отелло / Реверси, но для одного игрока. Можете ли вы узнать, как решить загадку Lights Out, применяя линейную алгебру?
«Выключите свет 2», Миша Гуйсински, Университет Пенсильвании.
Пятнадцать, Миша Гуйсински, Университет Пенсильвании. Это требует перестановок.

Начало лекций по линейной алгебре:
Прочтите Раздел 1.1 Страницы 1-3
Сделайте пробл от 1-20.
Лекция 1, Введение
линейные уравнения, решение, решение, набор решений, параметрическое решение, система линейных уравнений, линейные системы, несовместимые системы, согласованные системы, графическое решение, линейная система может иметь 0 или 1 или бесконечно много решений.

Прочитать раздел 1.1 Страницы 4-9
Делайте задачи с 21-32.
Лекция 2, Введение
Мотивация для изучения линейной алгебры, исключения Гаусса, треугольной формы, эшелонной формы, обратной подстановки, матрицы коэффициентов, расширенной матрицы, правого столбца, элементарных операций над линейной системой, элементарных операций над строкой матрицы.

Дополнительно: Чтобы проверить свои элементарные операции со строками, вы можете попробовать этот калькулятор, щелкнув первую ссылку инструмента «Калькулятор операций со строками» на странице.
Набор инструментов для матрицы
Если вы хотите ВИДЕТЬ, как выглядит определенная формула с тремя переменными, используйте следующую интерактивную страницу / апплет / приложение:
3D-графиков

Прочтите раздел 1.2, страницы 10-13.
Сделайте проблему с 1 по 14.
Лекция 3, Исключение Гаусса
параметрические уравнения и определение 0, 1 или бесконечного числа решений, эшелонированная форма, ведущие нули, поворотные элементы, ведущие / зависимые переменные, свободные / независимые переменные, как решить уравнение, заданное в матричной форме эшелона.

Прочтите раздел 1.2, страницы 13–21.
Делайте задачи с 15-29.
Лекция 4, Исключение Гаусса
Операции с элементарной строкой, используемые для приведения уравнения к его эшелонированной форме; так что это может быть решено обратной подстановкой.

Чтобы проверить форму эшелона или решить вашу систему, вы можете попробовать этот калькулятор (используйте 2-й или 4-й инструмент).
Matrix Toolkit

Прочтите раздел 1.3, страницы 23-27
Решайте задачи с 1 по 14.
Лекция 5, Матричная алгебра
Задача 15 из 1.2, элемент или элемент матрицы, размер или размер матрицы, двойной индекс, сложение и вычитание матриц, скаляры и матрицы, умножение скаляра и матрицы, скалярное произведение или внутреннее произведение, матричное произведение как совокупность скалярных произведений.

Чтобы проверить умножение, попробуйте этот калькулятор
Базовая матричная алгебра
Чтобы увидеть демонстрацию
умножения, найдите «тренировка», нажмите «умножить две матрицы» и следуйте инструкциям.

Прочтите Раздел 1.3 страницы 27-29
Делайте задачи с 15-16.
Лекция 6, Умножение матриц
подробнее о матричном произведении как наборе скалярных произведений, общей формуле с использованием нотации суммирования

Чтобы проверить умножение, попробуйте этот калькулятор
Базовая матричная алгебра
Чтобы увидеть демонстрацию
умножения, найдите «тренировка», нажмите «умножить две матрицы» и следуйте инструкциям.

Прочитать раздел 1.3 Страницы 30-31
Выполняйте задачи с 21 по 26, попробуйте 27-32, особенно с 31, пропустите 17-20.
Лекция 7, Интерпретация умножения матриц
умножение на диагональную матрицу, линейная система, записанная как матричное произведение, подстановка как матричное умножение, матричное умножение как сумма произведений столбцов со строками.

Прочтите раздел 1.3, страницы 32-34, 1.4, страницы 38-39
Делаю задачи из 1.3, 33-42. По крайней мере, по одному от каждого типа, даже если его нет в списке на синей странице!
Лекция 8, Различные стили умножения матриц
Интерпретации А.B в терминах скалярных произведений строк A со столбцами B, A со столбцами B, строк A с B, матриц строк A с матрицами столбцов B, суммы внешних произведений столбцов A с соответствующими строками B . AX, X вектор, представляет собой линейную комбинацию столбцов матрицы A с весами, такими же, как записи вектора X.

Прочтите раздел 1.4 Страницы 38-45
Выполняйте задачи из 1,3,5,8,10,11,14.
Лекция 9, Обратные и элементарные матрицы
Элементарная матрица связана с умножением строки и обменом двумя строками.

Прочитать раздел 1.4 Страницы 38-45
Выполняйте задачи 1-24, 36, 39, 40, 41-43, 45, 49, 50.
Лекция 10, Обратные и элементарные матрицы
Элементарные операции COLUMN (относящиеся к задаче 50).
Задача 37 из 1.3, различные стили (расширение строки, расширение столбца, расширение внешнего произведения) для умножения матриц, связанных с lecure 8.
Элементарная матрица, связанная с добавлением нескольких строк в другую строку.
Общий порядок поиска обратного.

Прочитать раздел 1.4 Страницы 48-49
Выполняйте задачи с 9-20, 25-45.
Лекция 11, Поиск инверсий по элементарным матрицам
Пример инвертирования матрицы 3 * 3. Краткое обсуждение необратимых матриц.

Прочитать раздел 1.5 Страницы 57-64
Решайте задачи с 1 по 8.
Лекция 12, факторизация LU
Факторизация LU для простого случая (без перестановки), описание алгоритма и обоснование процедуры.

Прочтите Раздел 1.5 Страницы 62-64.
Задачи с 9-24.
Лекция 13, Решение AX = B с помощью LU-факторизации
Преимущества факторизации LU, решения систем с факторизацией, общих матриц перестановок, PA = LU.

Прочитать раздел 1.5 страницы 64-67, 1.6 страницы 71-72, 3.1 страницы 130-131
Делайте задачи из 1.5 33-36, из 1.6 1-7, 13,14,19,20.
Лекция 14, Решение AX = B через PA = LU факторизация,
пример, симметричные, кососимметричные, детерминанты матриц 2 * 2 и 3 * 3, векторы в физике

Прочтите Раздел 3.1 Страницы 132-137, 151
Решайте задачи из 3.1, 1-30 (отложите «сплошные» вопросы)
Лекция 15, Векторы
скаляры, векторы, матрицы, графическое сложение, вычитание и скалярное умножение векторов

Прочтите Раздел 3.1 Страницы 132-141
Решайте задачи из 3.1, 1-36
Лекция 16, длина и скалярное произведение векторов
интервал, расстояние, норма (длина, величина, размер) вектора, угол между векторами, скалярное произведение через угол, длина промежуточного скалярного произведения, скалярное произведение в терминах компонентов, пример: найти угол между двумя векторами.

Прочитать раздел 3.1 Страницы 140-144
Решайте задачи из 3.1, 31-42
Лекция 17, Теорема о скалярном произведении, Проекции
Пример 5,11,36. Доказательство закона косинусов, доказательство U.V = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 = | U | | V | cos угла. Формула для прогнозов

Прочитать раздел 3.1 Страницы 144-146
Решайте задачи из 3.1, 43-50
Лекция 18, Процесс Грама-Шмидта
Пример 21. Построение набора взаимно перпендикулярных векторов P_i из произвольных заданных векторов V_i с использованием проекций.

Прочтите разделы 3.2 и 3.3 Страницы 149-165
Решайте задачи из 3.2, 3.3 все
Лекция 19, Евклидово n-пространство, Общие векторные пространства
Закрытие.
См. Раздел 1.4,1.5,1.6,3.1,3.2
Лекция 20, Обзор инверсии, LU, PA = LU
Обзор биреф.

Прочитать раздел 3.4 Страницы 165-169
Решайте задачи из 3.4, 1-24
Лекция 21, подпространства
Замыкание относительно сложения векторов и скалярного умножения.

Прочитать раздел 3.4 Страницы 168-169
Решайте задачи из 3.4, 1-24
Лекция 22, подпространства
примеры подпространств

Прочитать раздел 3.4 Страницы 169-173
Решайте задачи из 3.4, 33-40
Лекция 23, подпространства
Нулевые пространства, NS (A), линейные комбинации

Прочитать раздел 3.4 Страницы 173-176, 3.5 179-180
Решайте задачи из 3.4, 41-48, 3.5 1-3
Лекция 24, подпространства
линейные комбинации, интерпретация AX = B, линейная зависимость и независимость

Прочтите Раздел 3.5 страниц 179-180
Решайте задачи из 3.5 1-6
Лекция 25, Линейная независимость
Задачи 29 и 38 из 3.4, Введение в линейную зависимость и независимость

Прочитать раздел 3.5 Страницы 180-185
Решайте задачи из 3.5 7-24
Лекция 26, Линейная независимость
линейная зависимость и независимость

Прочитать раздел 3.6 Страницы 187-192
Решайте задачи из 3.6 1-20
Лекция 27a, Basis
Учитывая набор векторов, как мы можем определить, являются ли они основой для данного пространства?
Лекция 27b, Основа, проблема 13 Страница 197

Лекция 27c, Основа, с использованием аргумента измерения

Прочтите раздел 5. 1 Страницы 320-326
Решайте задачи из 5.1 1-20
Лекция 28, Детерминанты
Введение в детерминанты, короткие пути, раскрытие / рекурсивная формула

Прочитать раздел 5.1 Страницы 326-329
Решайте задачи из 5.1 21-39
Лекция 29, Детерминанты
Примеры, три теоремы.

Прочитать раздел 5.2 Страницы 331-334
Решайте задачи из 5.2 1-9, только часть b из 11-22
Лекция 30, Введение в собственные значения и собственные векторы
Примеры, определения.

Прочитать раздел 5.2 Страницы 331-335
Выполните задачи из 5.2 1-9, только часть a, b из 11-22
Лекция 31, действительные, комплексные, двойные собственные значения, характеристический многочлен матрицы
несколько примеров.

Прочитать раздел 5.2 Страницы 331-335
Решите задачи из 5.2 1-9, только части a, b, c из 11-22
Лекция 32, Нахождение собственных векторов матрицы, факторизация матрицы в матрицу собственных векторов * матрица собственных значений * матрица, обратная матрице собственных векторов
несколько примеров. -1

Прочтите Раздел 5.3 342-349
Решайте задачи из 5.3 1-26
Лекция 37, Диагонализация
Примеры, недиагонализуемые матрицы.

Прочитать раздел 5.4 352-358
Решите задачи из 5.4 1-9
Лекция 38, Симметричные матрицы
Свойства, Ортогональные (ортонормированные) матрицы, Теорема: Собственные значения вещественной симметричной матрицы 2 * 2 действительны.

Прочитать раздел 5.4 352-358
Выполните задачи из 5.4 1-9
Лекция 39, Обзор симметричных матриц
Решение задачи 1

Лекция 40, Частичный обзор собственных значений, собственных векторов, диагонализация, решение системы diff eq Покрывает части 5.2,5.3,5.6 (для 5.6 используйте лекцию)
Прочтите вторую часть Раздела 5.5 352-358
Решение задач из видео
Лекция 41, Марковские процессы, пример

Лекция 43, Базовая задача

3.6: Нули полиномиальных функций

Пример \ (\ PageIndex {9} \)

Решение полиномиальных уравнений

Новая пекарня предлагает декорированные листовые торты для детских дней рождений и других торжественных случаев. Пекарня хочет, чтобы объем небольшого торта составлял 351 кубический дюйм.Торт имеет форму твердого прямоугольника. Они хотят, чтобы длина торта была на четыре дюйма больше ширины торта, а высота торта составляла одну треть ширины. Каких размеров должна быть форма для торта?

Раствор:

Начните с написания уравнения объема торта. Объем прямоугольного твердого тела равен \ (V = lwh \). Нам сказали, что длина должна быть на четыре дюйма больше ширины, поэтому мы можем выразить длину торта как \ (l = w + 4 \).2−1053 \) Вычтем 1053 с обеих сторон.

Правило знаков Декарта говорит нам, что есть одно положительное решение. Теорема рационального нуля говорит нам, что возможные рациональные нули равны \ (\ pm 1, ± 3, ± 9, ± 13, ± 27, ± 39, ± 81, ± 117, ± 351, \) и \ (± 1053 \ ). Мы можем использовать синтетическое деление, чтобы проверить эти возможные нули. Только положительные числа имеют смысл в качестве размеров торта, поэтому нам не нужно проверять отрицательные значения. Давайте начнем с проверки значений, которые лучше всего подходят для размеров небольшого листового торта.Торт шириной в 1 дюйм маловероятен, и, сложив коэффициенты, мы видим, что 1 не является решением.

Мы будем использовать синтетическое деление для проверки \ (x = 3 \).

Поскольку 3 тоже не является решением, мы будем проверять \ (x = 9 \).

Синтетическое деление дает остаток от 0, поэтому 9 является решением уравнения. Мы можем использовать отношения между шириной и другими размерами, чтобы определить длину и высоту противня для торта.

\ (l = w + 4 = 9 + 4 = 13 \) и \ (h = \ dfrac {1} {3} w = \ dfrac {1} {3} (9) = 3 \)

Противень для торта должен иметь размеры 13 на 9 дюймов на 3 дюйма

Извлечение сигналов, устойчивых к количеству и сдвигу электродов для одновременного и пропорционального миоэлектрического контроля в реальном времени с помощью алгоритмов факторизации

Предыдущие исследования предлагали извлечение миоэлектрических сигналов управления путем линейной факторизации записей многоканальной электромиограммы (ЭМГ) от мышц предплечья. В этой статье проводится дальнейший анализ теоретической основы уменьшения размерности сигналов ЭМГ высокой плотности от мышц предплечья. Более того, это показывает, что факторизация паттернов мышечной активации в весах и сигналах активации посредством неотрицательной матричной факторизации (NMF) является устойчивой по отношению к конфигурации канала, из которого получены сигналы ЭМГ. Сигналы поверхностной ЭМГ высокой плотности были записаны от мышц предплечий шести человек. Веса и сигналы активации, извлеченные в автономном режиме из конфигураций 10 каналов с различными номерами каналов (6, 8, 16, 192 канала), были очень похожи.Кроме того, метод оказался устойчивым к сдвигам электродов как в поперечном, так и в продольном направлении по отношению к мышечным волокнам. Во втором эксперименте шесть испытуемых напрямую использовали сигналы активации, извлеченные из ЭМГ высокой плотности, для целенаправленных задач онлайн-управления, включающих одновременное и пропорциональное управление двумя степенями свободы запястья. Веса синергизма для этой задачи управления были извлечены из эталонной конфигурации, а сигналы активации были рассчитаны в режиме онлайн из эталонной конфигурации, а также из двух смещенных конфигураций, имитируя сдвиг электрода.Несмотря на смещение электродов, скорость выполнения задачи, время завершения задачи и эффективность выполнения, как правило, статистически не различались между конфигурациями электродов. Онлайн-выступления также были в основном одинаковыми при использовании 6, 8 или 16 каналов EMG. Устойчивость метода к количеству и расположению каналов, подтвержденная как в автономном, так и в интерактивном режиме, указывает на то, что сигналы ЭМГ, записанные с мышц предплечья, могут быть аппроксимированы как линейные мгновенные смеси сигналов активации, и оправдывает использование алгоритмов линейной факторизации для извлечения в минимально контролируемый способ, управляющие сигналы для одновременного управления протезом с несколькими степенями свободы.

Преобразовать децибелы (дБ) в линейный коэффициент

Онлайн-калькулятор и формулы для преобразования децибел в мощность или напряжение

Преобразовать децибелы в коэффициент

Эта функция преобразует значение в децибелах в линейное соотношение между двумя напряжениями или мощностями. Например, если вы введете значение -6 для масштабирования «Мощность (10 дБ / декада)», результатом будет 0.25 , г. Так что коэффициент производительности 1/4.

В меню «Масштабирование» вы можете выбрать расчет мощности (10 дБ / декаду) или расчет напряжения переключения (20 дБ / декада).

Преобразовать дБ в линейный коэффициент

Подсказка: Чтобы преобразовать реальные значения напряжения, мощности и дБ, нажмите здесь

Преобразование коэффициента мощности в дБ

Логарифмической единицей измерения для описания взаимосвязи между двумя значениями мощности является Bel .
1 Бел соответствует коэффициенту производительности 10: 1. Он рассчитывается по формуле:

\ (\ displaystyle x [Bel] = log_ {10} \ left (\ frac {P_1} {P_2} \ right) \)

Пример

\ (\ Displaystyle P_1: P_2 = 10: 1 = 1 Бел \)

\ (\ Displaystyle P_1: P_2 = 100: 1 = (10 · 10): 1 = 2 Бел \)

На практике коэффициент мощности выражается в десятых долях бел (деци = бел), сокращенно дБ.

\ (\ Displaystyle 10db = 1 Бел \)

Формула преобразования линейной в логарифмическую (дБ):

\ (\ Displaystyle х [db] = 10 · log_ {10} \ left (\ frac {P_1} {P_2} \ right) \)

Формула преобразования логарифмической (дб) в линейную:

\ (\ displaystyle a = 10 ^ {\ left (\ displaystyle \ frac {x [db]} {10} \ right)} \)

a — коэффициент (P1 / P2) здесь

Значения, которые следует запомнить

0 дБ ≡ коэффициент 1
3 дБ ≡ коэффициент 2
6 дБ ≡ коэффициент 4
10 дБ ≡ коэффициент 10

Преобразование коэффициента напряжения в дБ

Коэффициент мощности пропорционален квадрату напряжений. {\ влево (\ Displaystyle \ гидроразрыва {х [db]} {20} \ right)} \)

Значения, которые следует запомнить

0 дБ ≡ коэффициент 1
6 дБ ≡ коэффициент2
12 дБ ≡ коэффициент 4
20 дБ ≡ коэффициент 10

Эта страница полезна? да Нет Спасибо за ваш отзыв! Извините за это Как мы можем это улучшить? Отправлять

---

.