Решение методом гаусса калькулятор: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

Содержание

Решение системы линейных уравнений методом гаусса-жордана

метод Гаусса–Жордана — один из наиболее известных и широко применяемых методов решения систем линейных уравнений. Матричный метод и метод Крамера обладают тем недостатком, что они не дают ответа в том случае, когда detA = 0, а определяют лишь единственное решение при detA неравном 0. Еще одним недостатком является то, что объем математических вычислений в рамках этих методов резко возрастает с ростом числа уравнений. Метод Гаусса практически свободен от этих недостатков.

Алгоритм метода Гаусса

  1. На основании системы линейных уравнений составляем расширенную матрицу системы;
  2. Приводим матрицу к «треугольному» виду;
  3. Определяем ранги основной и расширенной матриц, и на основании этого делаем вывод о совместности системы и количестве допустимых решений;
  4. В случае, если система имеет единственное решение производим обратную подстановку и находим его, если система имеет множество решений: выражаем базисные переменные через переменные которые могут принимать произвольные значения;
Комментарий к шагу 2 Метода Гаусса. Треугольной называют матрицу, в которой все элементы расположенные ниже главной диагонали равны нулю.

Для приведения исходной расширенной матрицы к треугольному виду используем следующие два свойства определителей:

Свойство 1. Определитель не изменит свое значение, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы параллельной строки (столбца), умноженные на произвольное одно и то же число.

Свойство 2. При перестановке двух любых столбцов или строк матрицы ее определитель меняет знак на противоположный, а абсолютная величина определителя остается неизменной.

На основании этих свойств определителей составим алгоритм преобразования матрицы к треугольному виду:

  1. Рассматриваем строку i(начиная с первой). Если, элемент a i i равен нулю, меняем местами i-ю и i+1-ю строки матрицы. Знак определителя при этом изменится на противоположный. Если a 1 1 отличен от нуля — переходим к следующему шагу;
  2. Для каждой строки j, ниже i-й находим значение коэффициента K j =a j i /a i i ;
  3. Пересчитываем элементы всех строк j, расположенных ниже текущей строки i, с использованием соответствующих коэффициентов по формуле: a j k нов. =a j k -K j *a i k ; После чего, возвращаемся к первому шагу алгоритма и рассматриваем следующую строку, пока не доберемся до строки i=n-1, где n — размерность матрицы A
  4. В полученной треугольной матрице расчитываем произведение всех элементов главной диагонали Пa i i , которое и будет являтся определителем;

Другими словами, суть метода можно сформулировать следующим образом. Нам необходимо сделать нулевыми все элементы матрицы ниже главной диагонали. Сначала мы получаем нули в первом столбце. Для этого мы последовательно вычитаем первую строку, домноженную на нужное нам число (такое, чтоб при вычитании мы получили ноль в первом элементе строки), из всех ниже лежащих строк. Затем проделываем то же самое для второй строки, чтобы получить нули во втором столбце ниже главной диагонали матрицы. И так далее пока не доберемся до предпоследней строки.

Здесь вы сможете бесплатно решить систему линейных уравнений методом Гаусса онлайн больших размеров в комплексных числах с очень подробным решением. Наш калькулятор умеет решать онлайн как обычную определенную, так и неопределенную систему линейных уравнений методом Гаусса, которая имеет бесконечное множество решений. В этом случае в ответе вы получите зависимость одних переменных через другие, свободные. Также можно проверить систему уравнений на совместность онлайн, используя решение методом Гаусса.

О методе

При решении системы линейных уравнений онлайн методом Гаусса выполняются следующие шаги.

  1. Записываем расширенную матрицу.
  2. Фактически решение разделяют на прямой и обратный ход метода Гаусса. Прямым ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к ступенчатому виду. Обратным ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к специальному ступенчатому виду. Но на практике удобнее сразу занулять то, что находится и сверху и снизу рассматриваемого элемента. Наш калькулятор использует именно этот подход.
  3. Важно отметить, что при решении методом Гаусса, наличие в матрице хотя бы одной нулевой строки с НЕнулевой правой частью (столбец свободных членов) говорит о несовместности системы. Решение линейной системы в таком случае не существует.

Чтобы лучше всего понять принцип работы алгоритма Гаусса онлайн введите любой пример, выберите «очень подробное решение» и посмотрите его решение онлайн.

Однажды немецкий математик Вильгельм Йордан (мы неверно транскрибируем с немецкого Jordan как Жордан) сел решать очередную систему уравнений. Он любил этим заниматься и в свободное время совершенствовал свои навыки. Но вот настал момент, когда ему наскучили все методы решения и метод Гаусса в том числе…

Предположим, дана система с тремя уравнениями, тремя неизвестными и записана её расширенная матрица . В наиболее распространенном случае получаются стандартные ступеньки , и так каждый день…. Одно и то же – как беспросветный ноябрьский дождь.

На некоторое время развевает тоску другой способ приведения матрицы к ступенчатому виду: , причём он совершенно равноценен и может быть неудобен только по причине субъективного восприятия. Но всё рано или поздно приедается…. И подумал тогда Ж

о рдан – а зачем вообще мучиться с обратным ходом гауссовского алгоритма? Не проще ли сразу получить ответ с помощью дополнительных элементарных преобразований?

…да, такое бывает только по любви =)

Для освоения данного урока «чайникам» придётся пойти путём Жо рдана и прокачать элементарные преобразования хотя бы среднего уровня, прорешав, минимум, 15-20 соответствующих заданий. Поэтому если вы смутно понимаете, о чём идёт разговор и/или у вас возникнет недопонимание чего-либо по ходу занятия, то рекомендую ознакомиться с темой в следующем порядке:

Ну, и совсем замечательно, если отработано понижение порядка определителя .

Как все поняли, метод Гаусса-Жордана представляет собой модификацию метода Гаусса и с реализацией основной, уже озвученной выше идеи, мы встретимся на ближайших экранах. Кроме того, в число немногочисленных примеров данной статьи вошло важнейшее приложение – нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований

.

Не мудрствуя лукаво:

Пример 1

Решить систему методом Гаусса-Жордана

Решение : это первое задание урока Метод Гаусса для чайников , где мы 5 раз трансформировали расширенную матрицу системы и привели её к ступенчатому виду:

Теперь вместо обратного хода в игру вступают дополнительные элементарные преобразования. Сначала нам необходимо получить нули на этих местах: ,
а потом ещё один ноль вот здесь: .

Идеальный с точки зрения простоты случай:

(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку.

(7) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2.

Не могу удержаться от иллюстрации итоговой системы:

Ответ :

Предостерегаю читателей от шапкозакидательского настроения – это был простейший демонстрационный пример. Для метода Гаусса-Жордана характерны свои специфические приёмы и не самые удобные вычисления, поэтому, пожалуйста, настройтесь на серьёзную работу.

Не хочу показаться категоричным или придирчивым, но в подавляющем большинстве источников информации, которые я видел, типовые задачи рассмотрены крайне плохо – нужно обладать семью пядями во лбу и потратить массу времени/нервов на тяжёлое неуклюжее решение с дробями. За годы практики мне удалось отшлифовать, не скажу, что самую лучшую, но рациональную и достаточно лёгкую методику, которая доступна всем, кто владеет арифметическими действиями:

Пример 2

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса-Жордана.

Решение : первая часть задания хорошо знакома:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –1. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на –5.

(2) Вторую строку разделили на 2, третью строку разделили на 11, четвёртую строку разделили на 3.

(3) Вторая и третья строки пропорциональны, 3-ю строку удалили. К четвёртой строке прибавили вторую строку, умноженную на –7

(4) Третью строку разделили на 2.

Очевидно, что система имеет бесконечно много решений, и наша задача – привести её расширенную матрицу к виду .

Как действовать дальше? Прежде всего, следует отметить, что мы лишились вкусного элементарного преобразования – перестановки строк. Точнее говоря, переставить-то их можно, но в этом нет смысла (просто выполним лишние действия). И далее целесообразно придерживаться следующего шаблона:

Находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –1 и 3), т.е. – наименьшее число, которое бы делилось без остатка и на 1, и на –1 и на 3. В данном случае, это, конечно же, «тройка». Теперь

в третьем столбце нам нужно получить одинаковые по модулю числа , и этими соображениями обусловлено 5-е преобразование матрицы:

(5) Первую строку умножаем на –3, вторую строку умножаем на 3. Вообще говоря, первую строку можно было умножить тоже на 3, но это было бы менее удобно для следующего действия. К хорошему привыкаешь быстро:


(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку.

(7) Во втором столбце два ненулевых значения (24 и 6) и нам снова нужно получить одинаковые по модулю числа . В данном случае всё сложилось довольно удачно – наименьшее кратное 24, и эффективнее всего умножить вторую строку на –4.

(8) К первой строке прибавили вторую.

(9) Заключительный штрих: первую строку разделили на –3, вторую строку разделили на –24 и третью строку разделили на 3. Это действие выполняется

В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ! Никаких преждевременных дробей!

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система:

Элементарно выражаем базисные переменные через свободную:

и записываем:

Ответ : общее решение:

В подобных примерах применение рассмотренного алгоритма чаще всего оправдано, поскольку обратный ход метода Гаусса обычно требует трудоёмких и неприятных вычислений с дробями.

И, разумеется, крайне желательна проверка, которая выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке Несовместные системы и системы с общим решением .

Для самостоятельного решения:

Пример 3

Найти базисное решение с помощью элементарных преобразований

Такая формулировка задачи предполагает использование метода Гаусса-Жордана, и в образце решения матрица приводится к стандартному виду с базисными переменными . Однако всегда держите на заметке, что в качестве базисных можно выбрать и другие переменные . Так, например, если в первом столбце громоздкие числа, то вполне допустимо привести матрицу к виду (базисные переменные ), или к виду (базисные переменные ), или даже к виду с базисными переменными . Существуют и другие варианты.

Но всё-таки это крайние случаи – не стОит лишний раз шокировать преподавателей своими знаниями, техникой решения и уж тем более не надо выдавать экзотических жордановсих результатов вроде . Впрочем, бывает трудно удержаться от нетипового базиса, когда в исходной матрице, скажем, в 4-м столбце есть два готовых нуля.

Примечание : термин «базис» имеет алгебраический смысл и понятие геометрического базиса здесь не при чём!

Если в расширенной матрице данных размеров вдруг обнаруживается пара линейно зависимых строк, то её следует попытаться привести к привычному виду с базисными переменными . Образец такого решения есть в Примере №7 статьи об однородных системах линейных уравнений , причём там выбран другой базис .

Продолжаем совершенствовать свои навыки на следующей прикладной задаче:

Как найти обратную матрицу методом Гаусса?

Обычно условие формулируют сокращённо, но, по существу, здесь также работает алгоритм Гаусса-Жордана. Более простой метод нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы мы давным-давно рассмотрели на соответствующем уроке, и суровой поздней осенью тёртые студенты осваивают мастерский способ решения.

Краткое содержание предстоящих действий таково: сначала следует записать квадратную матрицу в тандеме с единичной матрицей: . Затем с помощью элементарных преобразований необходимо получить единичную матрицу слева, при этом (не вдаваясь в теоретические подробности) справа нарисуется обратная матрица. Схематически решение выглядит следующим образом:

(Понятно, что обратная матрица должна существовать)

Демо-пример 4

Найдём обратную матрицу для матрицы с помощью элементарных преобразований. Для этого запишем её в одной упряжке с единичной матрицей, и понеслась «двойка скакунов»:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К первой строке прибавили вторую строку.

(3) Вторую строку разделили на –2.

Ответ :

Сверьтесь с ответом первого примера урока Как найти обратную матрицу?

Но то была очередная заманивающая задачка – в действительности решение гораздо более длительно и кропотливо. Как правило, вам будет предложена матрица «три на три»:

Пример 5


Решение : присоединяем единичную матрицу и начинаем выполнять преобразования, придерживаясь алгоритма «обычного» метода Гаусса :

(1) Первую и третью строки поменяли местами. На первый взгляд, перестановка строк кажется нелегальной, но на самом деле переставлять их можно – ведь по итогу слева нам нужно получить единичную матрицу, а справа же «принудительно» получится именно матрица (вне зависимости от того будем ли мы переставлять строки в ходе решения или нет) . Обратите внимание, что здесь вместо перестановки можно организовать «шестёрки» в 1-м столбце (наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3, 2 и 1) . Решение через НОК особенно удобно, когда в первом столбце отсутствуют «единицы».

(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили 1-ю строку, умноженную на –2 и –3 соответственно.

(3) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –1

Вторая часть решения проводится по уже известной из предыдущего параграфа схеме: перестановки строк становятся бессмысленными, и мы находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –5, 4): 20. Существует строгий алгоритм нахождения НОК, но здесь обычно хватает подбора. Ничего страшного, если взять бОльшее число, которое делится и на 1, и на –5, и на 4, например, число 40. Отличие будет в более громоздких вычислениях.

К слову о вычислениях. Для решения задачи совсем не зазорно вооружиться микрокалькулятором – числа здесь фигурируют немалые, и будет очень обидно допустить вычислительную ошибку.

(4) Третью строку умножаем на 5, вторую строку на 4, первую строку на «минус двадцать»:

(5) К 1-й и 2-й строкам прибавили третью строку.

(6) Первую и третью строки разделили на 5, вторую строку умножили на –1.

(7) Наименьшее общее кратное ненулевых чисел второго столбца (–20 и 44) равно 220. Первую строку умножаем на 11, вторую строку – на 5.

(8) К первой строке прибавили вторую строку.

(9) Первую строку умножили на –1, вторую строку разделили «обратно» на 5.

(10) Теперь на главной диагонали левой матрицы целесообразно получить наименьшее общее кратное чисел диагонали (44, 44 и 4). Совершенно понятно, что это число 44. Третью строку умножаем на 11.

(11) Каждую строку делим на 44. Данное действие выполняется в последнюю очередь!

Таким образом, обратная матрица:

Внесение и вынесение -й, в принципе, лишние действия, но того требует протокол оформления задачи.

Ответ :

Проверка выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке об обратной матрице .

Продвинутые люди могут несколько сократить решение, но должен предупредить, спешка тут чревата ПОВЫШЕННЫМ риском допустить ошибку.

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Пример 6

Найти обратную матрицу методом Гаусса-Жордана.

Примерный образец оформления задачи внизу страницы. И ради того, чтобы вы «не проехали мимо с песнями» я оформил решение в уже упомянутом стиле – исключительно через НОК столбцов без единой перестановки строк и дополнительных искусственных преобразований. По моему мнению, эта схема – если и не самая, то одна из самых надёжных .

Иногда бывает удобно более короткое «модернистское» решение, которое заключается в следующем: на первом шаге всё как обычно: .

На втором шаге накатанным приёмом (через НОК чисел 2-го столбца) организуются сразу два нуля во втором столбце: . Перед данным действием особенно трудно устоять, если во 2-м столбце нарисовались одинаковые по модулю числа, например, те же банальные «единицы».

И, наконец, на третьем шаге точно так же получаем нужные нули в третьем столбце: .

Что касается размерности, то в большинстве случаев приходится разруливать матрицу «три на три». Однако время от времени встречается лайт-версия задачи с матрицей «два на два» и хард… – специально для всех читателей сайт:

Пример 7

Найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований

Это задание из моей собственной физматовской контрольной работы по алгебре, …эх, где мой первый курс =) Пятнадцать лет назад (листочек на удивление ещё не пожелтел) , я уложился в 8 шагов, а сейчас – всего лишь в 6! Матрица, кстати, весьма творческая – на первом же шаге просматривается несколько заманчивых путей решения. Моя поздняя версия внизу страницы.

И заключительный совет – после таких примеров очень полезна гимнастика для глаз и какая-нибудь хорошая музыка для релаксации =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение : запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований получим базисное решение:


(1) Первую и вторую строки поменяли местами.

(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 5.
(3) Третью строку разделили на 3.
(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.
(5) Третью строку разделили на 7.
(6) Наименьшее кратное чисел 3-го столбца (–3, 5, 1) равно 15. Первую строку умножили на 5, вторую строку умножили на –3, третью строку умножили на 15.
(7) К первой строке прибавили 3-ю строку. Ко второй строке прибавили 3-ю строку.
(8) Первую строку разделили на 5, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на 15.
(9) Наименьшее кратное ненулевых чисел 2-го столбца (–2 и 1) равно: 2. Вторую строку умножили на 2
(10) К первой строке прибавили вторую строку.
(11) Вторую строку разделили на 2.
Выразим базисные переменные через свободные переменные :

Ответ : общее решение:

Пример 6: Решение : обратную матрицу найдём с помощью элементарных преобразований:


(1) Первую строку умножили на –15, вторую строку умножили на 3, третью строку умножили на 5.

(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку.
(3) Первую строку разделили на –15, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на –5.
(4) Вторую строку умножили на 7, третью строку умножили на –9.
(5) К третьей строке прибавили вторую строку.


(6) Вторую строку разделили на 7.

(7) Первую строку умножили на 27, вторую строку умножили на 6, третью строку умножили на –4.
(8) К первой и второй строкам прибавили третью строку.
(9) Третью строку разделили на –4. К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
(10) Вторую строку разделили на 2.
(11) Каждую строку разделили на 27.
В результате:
Ответ :

Пример 7: Решение : найдём обратную матрицу методом Гаусса-Жордана:
(1) К 1-й и 4-й строкам прибавили 3-ю строку.
(2) Первую и четвёртую строки поменяли местами.
(3) Ко 2-й строке прибавили 1-ю строку. К 3-й строке прибавили 1-ю строку, умноженную на 2:


(4) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –2. К 4-й строке прибавили 2-ю строку.
(5) К 1-й и 3-й строкам прибавили 4-ю строку, умноженную на –1.
(6) Вторую строку умножили на –1, третью строку разделили на –2.
Ответ :

Березнёва Т. Д.

Тема 7

«СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

МЕТОД ГАУССА – ЖОРДАНА.»

(Учебная дисциплина “Введение в линейную алгебру и аналитическую геометрию”)

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

МЕТОД ГАУССА – ЖОРДАНА.

Основные понятия

Уравнение с n переменными называется линейным , если все переменные (x 1 , x 2 , … x n ) входят в него в степени 1. Общий вид такого уравнения формально записывается следующим образом:

a 1 x 1 + a 2 x 2 + … a j x j + … a n x n = b , (*)


=
b .

Величины a j , j = 1,…, n , и b являются известными (заданными). Величиныa j называются коэффициентами при переменных (при неизвестных), а b свободным членом .

Решением линейного уравнения (*) ,,…,) значений переменных, который при подстановке в уравнение (т.е. при заменеx j на при всехj от 1до n обращает его в тождество. Подчеркнем, что решение уравнения с n переменными всегда есть набор из n чисел и каждый такой набор из n чисел представляет собой одно решение. Очевидно, что если хотя бы один коэффициент при переменных не равен 0, то уравнение (*) имеет решение. В противном случае решение существует только при b = 0, и это все произвольные наборы из n чисел.

Рассмотрим одновременно m уравнений вида (*), т.е. систему m линейных алгебраических уравнений с n переменными . Пусть каждое i — е уравнение, i = 1,2,…,m, задается коэффициентами при переменных a i 1 , a i 2 , …, a in и свободным членом b i , т.е. имеет вид

a i1 x 1 + a i2 x 2 + … + a ij x j + … + a in x n = b i .

Тогда в общем виде система m линейных алгебраических уравнений с n переменными может быть записана в виде:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1j x j + … + a 1n x n = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2j x j + … + a 2n x n = b 2

………………………………………………………………………………

a i1 x 1 + a i2 x 2 + … + a ij x j + … + a in x n = b i (1)

…………………………………………………

a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mj x j + … + a mn x n = b m

или, что то же самое,


=
b i , i = 1,…, m .

Если все свободные члены равны нулю, то система (1) называется однородной , т.е. имеет вид


= 0,
i = 1,…, m, (1 0 )

в противном случае — неоднородной . Система (1 0 ) является частным случает общей системы (1) .

Решением системы уравнений (1) называется упорядоченный набор (,,…,) значений пере­менных, который при подстановке в урав­нения системы (1) (т.е. при заменеx j на , j = 1,…,n) все эти уравнения обращает в тождества, т.е.
=b i при всех i = 1,…,m.

Система уравнений (1) называется совместной, если у нее существует хотя бы одно решение. В противном случае система называется несовместной .

Совокупность всех решений системы уравнений (1) мы будем называть множеством ее решений и обозначать X b (X 0 , если система однородная). Если система несовместна, то X b = .

Основная задача теории систем линейных алгебраических уравнений состоит в том, чтобы выяснить, совместна ли система (1), и, если совместна, то описать множество всех её решений. Существуют методы анализа таких систем, которые позволяют описывать множество всех решений в случае совместных систем или убеждаться в несовместности в противном случае. Одним из таких универсальных методов является метод последовательного полного исключения неизвестных, или метод Гаусса — Жордана , который мы будем подробно изучать.

Прежде, чем переходить к описанию метода Гаусса — Жордана, приведем ряд полезных для дальнейшего определений и утверждений.

Две системы уравнений называются эквивалентными , если они имеют одно и то же множество решений. Другими словами, каждое решение одной системы является решением другой, и наоборот. Все несовместные системы считаются эквивалентными между собой.

Из определений эквивалентности и множества решений систем вида (1) сразу же вытекает справедливость следующих утверждений, которые мы сформулируем в виде теоремы.

Теорема 1. Если в системе (1) имеется уравнение с номером k , 1k m , такое, что a kj = 0 j , то

Справедливость утверждений теоремы становится очевидной, если заметить, что k – е уравнение имеет вид

0 x 1 + 0 x 2 + … + 0 x j + … + 0 x n = b k .

Теорема 2. Если к одному уравнению системы (1) прибавить другое уравнение этой же системы, умноженное на любое число, то получится система уравнений, эквивалентная исходной системе.

Доказательство. Умножим, например, второе уравнение системы (1) на некоторое число и прибавим его к первому уравнению. В результате этого преобразования получим систему (1’), в которой все уравнения, начиная со второго, не изменились, а первое имеет следующий вид

= b 1 + b 2 .

Очевидно, если какой-нибудь набор (,,…,) значений переменных обращает в тождества все уравнения системы (1), то он обращает в тождества и все уравнения системы (1’). Наоборот, решение (x’ 1 ,x’ 2 ,…,x’ j , … ,x’ n) системы (1’) является также решением системы (1), так как система (1) получается из системы (1’) с помощью аналогичного преобразования, когда к первому уравнению системы (1’) прибавляется второе уравнение системы (1’), умноженное на число (-).

Точно также доказывается и следующее утверждение.

Теорема 2’ . Умножение произвольного уравнения системы (1) на любое число, отличное от нуля, переводит систему (1) в эквивалентную ей систему уравнений .

Теоремы 2 и 2’ дают два вида преобразований, которым подвергалась система (1), оставаясь эквивалентной:

а) умножение (или деление) произвольного уравнения системы (1) на любое число, отличное от нуля;

б) прибавление (или вычитание) к одному уравнению другого, умноженного на некоторое число.

Такие преобразования а) и б) называются элементарными преобразованиями системы уравнений (1).

Если к системе уравнений (1) несколько раз применить элементарные преобразования, то полученная в результате система, очевидно, также будет эквивалентна первоначальной.

Систему уравнений (1) можно записать в табличной форме:

Прямоугольная таблица чисел, составленная из коэффициентов a ij при неизвестных системы (1), называется матрицей системы (1) и обозначается A (в ней m строк и n столбцов), столбец свободных членов обозначается b. Прямоугольная таблица, составленная из коэффициентов a ij при неизвестных и из столбца свободных членов b системы (1), называется расширенной матрицей системы (1) и обозначается (в нейm строк и (n+1) столбцов), т.е = (A, b). В i – ой строке матрицы содержатся всеизвестные параметры, характеризующие i — ое уравнение системы (1), i = 1,…, m. В j – м столбце матрицы A содержатся все коэффициенты при неизвестном x j , встречающиеся в системе (1).

Числа a ij называются элементами матрицы А. Элемент a ij находится в i — ой строкеи в j — м столбце матрицы А. Принято говорить, что элементa ij находится на пересечении i — ой строки и j — го столбца матрицы А. Если все элементы строки (столбца) матрицы А (кроме одного) равны нулю, а ненулевой элемент равен единице, то такая строка (столбец) называется единичной (единич­ным).

Элементарным преобразованиям системы (1) соответствуют следующие элементарные преобразования таблицы (2):

а) умножение (или деление) всех элементов произвольной строки таблицы (2) на любое число, отличное от нуля ,

б) прибавление (или вычитание) к одной строке (поэлементно) другой строки, умноженной на некоторое число.

В результате любого элементарного преобразования получается новая таблица , в которой вместо той строки, к которой прибавляли (или умножали на любое число, отличное от нуля), пишется новая строка , а осталь­ные строки (в том числе и та, которую прибавляли) пишутся без из­менения . Новая таблица соответствует системе уравнений, эквивалентной исходной системе .

Применяя элементарные преобразования можно таблицу (2) и соответственно систему (1) упростить так, что решить исходную систему становится просто. На этом и основан предлагаемый метод.

Метод последовательного полного исключения неизвестных

(Метод Гаусса — Жордана)

Метод последовательного полного исключения неизвестных, или метод Гаусса – Жордана , является универсальным методом анализа любых (заранее неизвестно, каких — совместных или несовместных) систем линейных алгебраических уравнений. Он позволяет решать совместные системы или убеждаться в несовместности несовместных систем.

Отметим принципиальное отличие предлагаемого метода решения систем линейных алгебраических уравнений от метода решения, ска­жем, стандартного квадратного уравнения. Оно решается с помощью хорошо известных формул, в которых неизвестные выражаются через коэффициенты уравнения. В случае общих систем линейных алгебраических уравнений мы таких формул не имеем и используем для отыскания решения метод итераций , или итеративный метод , или итерационный метод . Такие методы задают не формулы, а последовательность действий.

Метод Гаусса — Жордана представляет собой последовательную реализацию ряда однотипных больших шагов (или итераций ). Это конкретный итерационный метод — один из многих методов итераций, предложенных для решения систем линейных алгебраических уравнений вида (1). Он состоит из начального этапа, основного этапа и заключительного этапа . Основной этап содержит повторяющиеся итерации – наборы однотипных действий.

Пусть задана конкретная система линейных алгебраических уравнений (1). Это значит, что известны n , m , a ij , b i , i = 1,…, m ; j = 1,…, n . Опишем предлагаемый метод решения этой системы.

Начальный этап включает в себя построение таблицы I (0) вида (2) и выбор в ней ведущего элемента – любого ненулевого коэффициента при переменных из таблицы (2). Столбец и строка, на пересечении которых стоит ведущий элемент, называются ведущими . (Пусть выбран элемент a i 0 j 0 . Тогда i 0 – ая строка ведущая, j 0 — й столбец ведущий.) Переходим к основному этапу. Заметим, что часто ведущий элемент называют разрешающим .

Основной этап состоит из повторяющихся однотипных итераций с номерами k = 1, 2,…. Опишем подробно итерации метода Гаусса — Жордана.

К началу каждой итерации известна некоторая таблица I вида (2), в ней выбран ведущий (разрешающий) элемент и, соответственно, ведущий столбец и ведущая строка. Кроме того, имеется информация о том, какие строки и столбцы уже были ведущими. (Так, например, после начального этапа, т.е. на итерации 1 известны I (0) , ведущий (разрешающий) элемент a i 0 j 0 и i 0 – ая строка ведущая, j 0 — ой столбец ведущий.)

Итерация(с номером k ) состоит из следующих действий.

    Преобразование ведущего столбца (т.е. столбца, содержащего ведущий элемент) в единичный с 1 на месте ведущего элемента путем последовательного поэлементного вычитания ведущей строки (т.е. строки, содержащей ведущий элемент), умноженной на некоторые числа, из остальных строк таблицы. Сама ведущая строка преобразуется путем поэлементного деления ее на ведущий элемент.

    Выписы­вается новая таблица I (k) , (k — номер итерации), в которой все столбцы, которые были когда-либо ведущими, – единичные .

    Проверяется, можно ли в таблице I (k) выбрать новый ведущий (разрешающий) элемент . По определению это любой ненулевой элемент, который стоит на пересечении строки и столбца, которые еще не были ведущими .

Если такой выбор возможен, то столбец и строка, на пересечении которых стоит ведущий (разрешающий) элемент, называются ведущими . Затем итерация повторяется с новой таблицей I (k) , т.е. действия 1 – 3 повторяются с новой таблицей I (k) . При этом строится новая таблица I (k +1) .

Если нельзя выбрать новый ведущий элемент, то переходим к заключительному этапу.

Заключительный этап. Пусть проделано r итераций, получена таблица I (r) , состоящая из матрицы коэффициентов при переменных A (r) и столбца свободных членов b (r) , и в ней нельзя выбрать новый ведущий элемент, т. е. метод остановился . Заметим, что метод обязательн о остановится за конечное число шагов , т.к. r не может быть больше min{m,n}.

Каковы варианты остановки метода? Что значит «нельзя выбрать новый ведущий элемент»? Это значит, что после r – ой итерации в матрице A (r) новой системы, эквивалентной системе (1), либо

а) все строки A (r) были ведущими, т.е. в каждой строке стоит одна и ровно одна единица, которая не стоит больше не в какой другой строке,

б) остались строки в A (r) , состоящие только из нулей.

Рассмотрим эти варианты.

а) В этом случае r = m, m n. Переставив строки и перенумеровав переменные (т.е. переставив столбцы), можно таблицу I (r) представить в виде

Подчеркнем, что в таблице (3) каждая переменная с номером i, не превосходящим r, встречается только в одной строке. Таблица (3) соответствует системе линейных уравнений вида

x 1 +
=b (r) 1 ,

x 2 +
=b (r) 2 ,

………………………, (4)

x r +
=b (r) r ,

в которой каждая переменная с номером i, не превосходящим r , однозначно выражается через переменные x r +1 , … ,x n , коэффициенты матрицы a (r) ij , j = r+1,…,n, и свободный член b (r) i , представленные в таблице (3). На переменные x r +1 , … , x n не накладываются никакие ограничения , т.е. они могут принимать любые значения . Отсюда произвольное решение системы, описываемой таблицей (3), или, что то же самое, произвольное решение системы (4), или, что то же самое, произвольное решение системы (1) имеет вид

x i = b (r) i — a (r) ij x j , i = 1,…,r = m; x j – любое при j = (r+1),…,n. (5)

Тогда множество решений системы (1) можно записать как

X b = {x=(x 1 , … ,x n) : x i = b (r) i — a (r) ij x j при i = 1,…, r = m; x j – любое при j =(r+1),…,n.}.

б) В этом случае r r, (предполагаем, что сделана перестановка строк и столбцов такая же, как в пункте а)) такая, что a (r) kj = 0 при всех j. Тогда, если соответствующий свободный член b (r) k не равен 0, то k — е уравнение не имеет решения, и, следовательно, вся система не имеет решения, т.е. система (1) несовместна .

Если же соответствующий b (r) k равен 0, то k — ое уравнение является лишним и его можно отбросить. Отбросив все такие уравнения, получим, что система (1) эквивалентна системе изr уравнений с n переменными, которая через r шагов записывается с помощью таблицы вида (3), в которой все строки были ведущими. Таким образом, мы пришли к рассмотренному выше случаю а) и можем выписать решение вида (5).

Метод Гаусса – Жордана описан полностью. За конечное число итераций система линейных алгебраических уравнений будет решена (если она совместна) или будет очевидно, что она несовместна (если она действительно несовместна).

Переменные, соответствующие ведущим (разрешающим) элементам , или стоящие в ведущих столбцах, принято называть базисными , а ос­тальные переменные —свобод­ными .

Обратим внимание на следующее.

1) Когдамы начинаем решать систему методом Гаусса — Жордана, мы можем не знать, совместна эта система или нет. Метод Гаусса — Жордана за конечное число итераций r даст ответ на этот вопрос. В случае совместной системы на основании последней таблицы выписывается общее решение исход­ной системы. В этом случае число базисных переменных обязательно равно номеру r последней итерации, т.е. числу выполненных итераций. Число r всегда не превосходит min{m,n},гдеm — число уравнений системы,а nчисло переменных системы. Если r , то ( n r) равно числу свободных переменных.

2) При записи общего решения не нужно перенумеровывать переменные, как это делалось для простоты понимания при описании Заключительного этапа. Это сделано для более ясного понимания.

3) При решении системы (1) методом Гаусса — Жордана базисными переменными будут только переменные, соответствующие столбцам, которые на каких-то итерациях выступали в роли ведущих , и наоборот, если на какой-то итерации столбец выступал в качестве ведущего, соответствующая ему переменная обязательно будет в числе базисных.

4) Если общее решение системы (1) содержит хотя бы одну свободную переменную, то эта система имеет бесконечно много част­ных решений, если же свободных переменных нет, то система имеет единственное решение, которое совпадает с общим решением.

5) Ведущие элементы могут быть выбраны на каждой итерации различным способом. Важно только то, что это ненулевые коэффициенты, стоящие на пересечении строки и столбца, которые до этого не были ведущими. Различный выбор ведущих элементов может дать различные записи множества решений. Однако, само множество решений при любой записи одно и то же.

Поясним работу метода на примерах.

Пример I. Решить следующую систему линейных алгебраических уравнений

2 x 1 – 3 x 2 + 3 x 3 + 5 x 4 = -1,

3 x 1 + 4 x 2 — 2 x 3 + 6 x 4 = 2, (6)

5 x 1 – 4 x 2 + 6 x 3 + 10 x 4 = 2

методом последовательного полного исключения неизвестных (методом Гаусса — Жордана).

Начальный этап. Сначала выпишем систему уравнений (6) в более удобной форме — в виде таблицы I (0) .

Каждой системе линейных уравнений поставим в соответствие расширенную матрицу , полученную присоединением к матрице А столбца свободных членов:

Метод Жордана–Гаусса применяется для решения системы m линейных уравнений с n неизвестными вида:

Данный метод заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе уравнений с матрицей определенного вида.

Над строками расширенной матрицы осуществляем следующие элементарные преобразования:

1. перестановка двух строк ;

2. умножение строки на любое число, отличное от нуля ;

3. прибавление к одной строке другой строки, умноженной на некоторое число ;

4. отбрасывание нулевой строки (столбца) .

Пример 2.11. Решить методом Жордана–Гаусса системы линейных уравнений:

а ) Х 1 + Х 2 + 2Х 3 = -1

2Х 1 — Х 2 + 2Х 3 = -4

4Х 1 + Х 2 + 4Х 3 = -2

Решение: Составим расширенную матрицу:

Итерация 1

В качестве направляющего элемента выбираем элемент . Преобразуем первый столбец в единичный. Для этого ко второй и третьей строкам прибавляем первую строку, соответственно умноженную на (-2) и (-4). Получим матрицу:

На этом первая итерация закончена.

Итерация 2

Выбираем направляющий элемент . Так как , то делим вторую строку на -3. Затем умножаем вторую строку соответственно на (-1) и на 3 и складываем соответственно с первой и третьей строками. Получим матрицу

Итерация 3

Выбираем направляющий элемент . Так как , то делим третью строку на (-2). Преобразуем третий столбец в единичный. Для этого умножаем третью строку соответственно на (-4/3) и на (-2/3) и складываем соответственно с первой и второй строками. Получим матрицу

откуда Х 1 = 1, Х 2 = 2, Х 3 = -2.

Закончив решение, на этапе обучения необходимо выполнять проверку, подставив найденные значения в исходную систему, которая при этом должна обратиться в верные равенства.

б ) Х 1 – Х 2 + Х 3 – Х 4 = 4

Х 1 + Х 2 + 2Х 3 +3Х 4 = 8

2Х 1 +4Х 2 + 5Х 3 +10Х 4 = 20

2Х 1 – 4Х 2 + Х 3 – 6Х 4 = 4

Решение: Расширенная матрица имеет вид:

Применяя элементарные преобразования, получим:

Исходная система эквивалентна следующей системе уравнений:

Х 1 – 3Х 2 – 5Х 4 = 0

2Х 2 + Х 3 + 4Х 4 = 4

Последние две строки матрицы A (2) являются линейно зависимыми.

Определение. Строки матрицы e 1 , e 2 ,…, e m называются линейно зависимыми , если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

где 0 =(0, 0…0). Строки матрицы являются линейно независимыми , когда комбинация этих строк равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю.

В линейной алгебре очень важно понятие ранга матрицы , т.к. оно играет очень большое значение при решении систем линейных уравнений.

Теорема 2.3 (о ранге матрицы). Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные её строки (столбцы).

Ранг матрицы A (2) равен 2, т.к. в ней максимальное число линейно независимых строк равно 2 (это первые две строки матрицы).

Теорема 2.4 (Кронекера–Капели). Система линейных уравнений совместна и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r = n, то система имеет единственное решение.

2. Если ранг матрицы системы меньше числа переменных, т.е. r

В данном случае система имеет 4 переменных, а её ранг равен 2, следовательно, она имеет бесконечное множество решений.

Определение. Пусть r n , r переменных x 1 , x 2 ,…, x r называются базисными , если определитель матрицы из коэффициентов при них (базисный минор ) отличен от нуля. Остальные n – r переменных называются свободными .

Определение. Решение системы, в котором все n – r свободных переменных равны нулю, называется базисным .

Совместная система m линейных уравнений с n переменными (m ) имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее , где .

В нашем случае , т. е. система имеет не более 6 базисных решений.

Общее решение имеет вид:

Х 1 = 3Х 2 +5Х 4

Х 3 = 4 – 2Х 2 – 4Х 4

Найдем базисные решения. Для этого полагаем Х 2 = 0, Х 4 = 0, тогда Х 1 =0, Х 3 = 4. Базисное решение имеет вид: (0, 0, 4, 0).

Получим другое базисное решение. Для этого в качестве свободных неизвестных примем Х 3 и Х 4 . Выразим неизвестные Х 1 и Х 2 через неизвестные Х 3 и Х 4:

Х 1 = 6 – 3/2Х 2 – Х 4

Х 2 = 2 – 1/2Х 3 – 2Х 4 .

Тогда базисное решение имеет вид: (6, 2, 0, 0).

Пример 2.12. Решить систему:

X 1 + 2X 2 – X 3 = 7

2X 1 – 3X 2 + X 3 = 3

4X 1 + X 2 – X 3 = 16

Решение.Преобразуем расширенную матрицу системы

Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво – оно привелось к неверному равенству 0 = –1, следовательно, данная система несовместна. Данный вывод можно также получить, если заметить, что ранг матрицы системы равен 2, тогда как ранг расширенной матрицы системы равен 3.

qusivaf онлайн калькулятор решение неоднородной системы линейных алгебраических

онлайн калькулятор решение неоднородной системы линейных алгебраических Решение системы M линейных уравнений с N неизвестными (СЛУ) методом Гаусса — OnLine Калкулятор. Система уравнений (СЛУ) будет решена методом Гаусса, прямо на сайте, с выводом всех промежуточных результатов и комментариями. Общее и базисное решения системы линейных алгебраических уравнений. Итак, система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется однородной , если все свободные члены этой системы равны нулю. Сервисы по высшей математике для студентов и преподавателей. Бесплатное решение системы линейных уравнений с выводом всех промежуточных . Данный онлайн калькулятор находит общее решение однородной системы линейных уравнений. Дается подробное решение. Для вычисления . Онлайн-калькулятор предназначен для исследования системы линейных уравнений. единственное решение (используются метод Крамера, метод обратной матрицы. Перейти: Онлайн калькулятор Решение произвольной системы уравнений →. Решение системы линейных уравнений методом Крамера. Это он -лайн сервис в два шага: Ввести количество уравнений в системе. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений онлайн. Данный онлайн калькулятор находит общее решение однородной системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом Крамера, онлайн сервис . решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) . Онлайн Калькуляторы. Любое решение исходной системы есть линейная комбинация решений ФСР. Общее решение неоднородной СЛАУ равно сумме частного решения неоднородной СЛАУ и общего решения соответствующей однородной СЛАУ. Решение системы линейных уравнений метод Крамера (определителей). Решение СЛУ матричный метод (обратной матрицы) Решение и исследование систем линейных уравнений. Решение проводится в онлайн режиме и оформляется в формате Word. Приведение к треугольной. Транспонирование матрицы. Алгебраические дополнения. Системы линейных неоднородных уравнений (количество. Онлайн калькуляторы . Введите данные вашей задачи, и вы получите подробное решение. Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Обратная матрица (метод алгебраических дополнений). Решение системы линейных уравнений методом Крамера. Взаимосвязь решений неоднородной и соответствующей однородной системы уравнений. Пример 5. Дана система линейных алгебраических уравнений. Требуется: 1) найти общее решение Наш калькулятор умеет решать онлайн как обычную определенную, так и неопределенную систему линейных уравнений методом Гаусса, которая имеет бесконечное множество решений. Используя этот онлайн калькулятор для решения систем линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса, вы сможете очень просто и быстро найти . Онлайн Калькуляторы . Примеры Подробных Решений. Теория. Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) онлайн. Решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений матричным методом из коллекции онлайн калькуляторов Planetcalc. Решение систем линейных уравнений. Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество. Данный онлайн калькулятор находит общее решение однородной системы линейных уравнений. Дается подробное решение. Теоретическую часть нахождения общего решения неоднородной системы линейных уравнений смотрите здесь. Решение системы линейных уравнений методом Крамера, онлайн сервис . решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) .

Калькулятор не найдет строку сокращенного эшелона формы

ang=»ru»>

Калькулятор не найдет строку сокращенного эшелона формы — Ramac-rc ar bn de en es fr it ja ko ms pt ru tr tw

2021-12-29 02:15

Related Contents

    Hot Contents

    • Могу ли я заставить vim изменить поведение курсора?
    • Did two unquestionably democratic states ever engage in war?
    • Как добавить . o в статическую библиотеку с Eclipse?
    • помогите понять XPath
    • невозможно получить значения списка с веб-сайта
    • Как добавить стороннюю библиотеку в приемник событий sharepoint 2010
    • Подсчет уникальных событий в качестве показателя по названиям рекламных кампаний Google в качестве параметра в Google Data Studio
    • Swift SourceKitService разбился
    • Используйте tf.cond для реализации предварительного обучения
    • Алгоритм сравнения картинок/форм на уникальность

    ©2021 Ramac-rc

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Библиотека — приборы и технологии производства

    Приложение калькулятор ГПМ

    4 апреля 2016 года

    Создание

    Приложение «Калькулятор ГПМ» — помогает максимально точно определять давление в системе грузопоршневого манометра с учетом поправок и удобно подбирать массы грузов.

    Поверка манометра на ГСКА

    3 сентября 2015 года

    Ускорение свободного падения для 122 городов

    24 июня 2014 года

       Город       м/сек²   
       Город       м/сек²   
      Архангельск       9,8225   
      Актобе       9,8100   
      Алма-Ата       9,8010   
      Арзамас       9,8150   
      Астана       9,8110   
      Астрахань       9,8075   
      Атырау       9,8080   
      Ашхабад       9,7985   
     
      Баку       9,8010   
      Барнаул       9,8130   
      Белгород       9,8105   
      Бишкек       9,8010   
      Благовещенск       9,8105   
      Бобруйск       9,8130   
      Брест       9,8120   
      Брянск       9,8130   
     
      Великий Новгород       9,8180   
      Вильнюс       9,8145   
      Виннца       9,8095   
      Витебск       9,8150   
      Владивосток       9,8045   
      Владикавказ       9,8025   
      Владимир       9,8160   
      Волгоград       9,8095   
      Вологда       9,8185   
      Воронеж       9,8120   
     
      Гомель       9,8125   
      Гродно       9,8140   
      Грозный       9,8035   
     
      Днепропетровск       9,8090   
      Душанбе       9,7970   
     
      Екатеринбург       9,8160   
      Ереван       9,7990   
     
      Житомир       9,8105   
     
      Запорожье       9,8090   
     
      Ивано-Франковск       9,8085   
      Ижевск       9,8160   
      Йошкар-Ола       9,8165   
      Иркутск       9,8110   
                
      Казань    9,8155   
      Калининград    9,8150   
      Калуга    9,8140   
      Каменец-Подольский    9,8090   
      Караганда    9,8090   
      Каунас    9,8150   
      Кемерово    9,8150   
      Киев    9,8105   
      Киров    9,8180   
      Кировоград    9,8090   
      Кишинев    9,8080   
      Клайпеда    9,8155   
      Коканд    9,7990   
      Кокшетау    9,8130   
      Костанай    9,8130   
      Кострома    9,8170   
      Краснодар    9,8060   
      Красноярск    9,8150   
      Курган    9,8150   
      Курск    9,8120   
      Кызылорда    9,8055   
     
      Луганск    9,8090   
      Луцк    9,8110   
      Львов    9,8095   
     
      Мары    9,7985   
      Махачкала    9,8035   
      Минск    9,8140   
      Москва    9,8155   
      Мурманск    9,8255   
      Муром    9,8150   
     
      Нижний Новгород    9,8160   
      Николаев    9,8080   
      Новокузнецк    9,8130   
      Новосибирск    9,8145   
     
      Одесса    9,8075   
      Омск    9,8150   
      Орел    9,8125   
      Оренбург    9,8120   
     
      Пенза    8,8130   
      Пермь    9,8175   
      Петрозаводск    9,8205   
      Петропавловск    9,8150   
                     
                    
      Полоцк      9,8150  
      Полтава      9,8100  
      Псков      9,8175  
     
      Рига      9,8165  
      Ровно      9,8110  
      Ростов-на-Дону      9,8085  
      Рязань      9,8145  
     
      Самара      9,8135  
      Санкт-Петербург      9,8195  
      Саранск      9,8140  
      Саранск      9,8140  
      Саратов      9,8120  
      Семей      9,8100  
      Симферополь      9,8065  
      Смоленск      9,8145  
      Ставрополь      9,8050  
      Сумы      9,8110  
      Сыктывкар      9,8205  
     
      Таллин      9,8185  
      Тамбов      9,8130  
      Тараз      9,8020  
      Ташкент      9,8010  
      Тбилиси      9,8020  
      Тверь      9,8160  
      Тернополь      9,8095  
      Томск      9,8160  
      Тула      9,8140  
      Тюмень      9,8170  
     
      Улан-Удэ      9,8105  
      Ульяновск      9,8145  
      Уфа      9,8145  
     
      Хабаровск      9,8095  
      Харьков      9,8100  
      Херсон      9,8075  
     
      Чебоксары      9,8160  
      Челябинск      9,8145  
      Чернигов      9,8125  
      Черновцы      9,8085  
      Чита      9,8100  
     
      Шяуляй      9,8155  
     
      Якутск      9,8205  
      Ярославль      9,8170  
    Скачать таблицу в ПДФ или ЭКСЕЛЬ.
    Точные значения ускорения свободного падения «g» уточняйте в региональном ЦСМ.

    Исключение по Гауссу · Учебные материалы для студентов-математиков CEGEP

    Обзор

    На этой странице мы обсуждаем матрицы в редуцированной строковой форме (RREF), и как использовать строковые операции, чтобы добавить в эту расширенную матрицу SLE форму, используя методы исключения Гаусса или Гаусса-Жордана Ликвидация .

    Важно

    Базовые и продвинутые цели обучения, перечисленные ниже, предназначены для того, чтобы вы представление о материале, который вам следует изучить в этом разделе.Это в основном предназначен для использования в курсе, использующем подход активного обучения, где студенты должны «читать вперед» перед каждым уроком — но в равной степени можно использовать в более традиционной обстановке курса.

    Если ваш учитель не даст вам конкретных инструкций, это до , вы до решите, сколько из перечисленных ресурсов вам нужно прочитать или посмотреть — вы наверное вообще , а не нужно все это перебирать. Вы также можете захотеть посмотрите общие советы и рекомендации по обучению страницу для некоторых рекомендаций о том, как эффективно учиться по учебнику математики и видео.

    Основные цели обучения

    Это те задачи, которые вы должны уметь выполнять с разумной беглость , когда вы придете на следующую встречу в классе . Важное нововведение словарный запас выделен курсивом .

    • Распознавать, находится ли данная матрица в форме эшелона строк, сокращенный эшелон строк форма, или ни то, ни другое.
    • Построить решения линейных систем, соответствующие расширенные матрицы которых находятся в форме эшелона строки или формы сокращенного эшелона строки.

    Расширенные цели обучения

    Помимо выполнения основных задач, вот задачи, которые вы должен уметь выполнять после занятий, с практикой :

    • Используйте метод исключения Гаусса, чтобы найти общее решение линейной системы.
    • Используйте метод исключения Гаусса-Жордана, чтобы найти общее решение линейной системы.
    • Анализировать однородные линейные системы.

    Для подготовки к

    классу

    Уменьшенная форма рядка-эшелон (RREF)

    • Посмотрите это короткое видео, которое показывает разницу между рядами форма и сокращенная форма рядов (RREF):

    • Посмотрите это видео, в котором объясняется (с несколькими подробными примерами), как узнать количество решений из RREF, и как записать решения в параметрической форме, когда решений бесконечно много:

    После класса

    Исключение Гаусса и исключение Гаусса-Джордана

    • Посмотрите это видео, в котором показан метод исключения Гаусса с «Обратная подстановка» на примере СКВ \ (3 \ times 3 \) (с уникальным решением ):

    • Посмотрите это видео, в котором показан геометрический эффект на плоскостях, когда с использованием метода исключения Гаусса-Жордана на \ (3 \ times 3 \) SLE (с уникальным решением ):

    Гаусс-Джордан с бесконечным множеством решений

    • Посмотрите это видео, в котором показан метод исключения Гаусса-Джордана на пример \ (2 \ times 3 \) SLE (с бесконечным числом решений ):

    • Посмотрите это видео, в котором показан метод исключения Гаусса на пример \ (4 \ times 6 \) SLE (с бесконечным числом решений ) — и который также показывает , как записывать решения в параметрической векторной форме :

    Онлайн-калькуляторы RREF

    Есть много веб-сайтов, которые предлагают «Калькулятор RREF», некоторые даже показывают пошаговые решения. У большинства из них есть недостаток в том, что они используют только «официальное», прямое применение алгоритма Гаусса-Джордана — что не всегда является самым быстрым или лучшим (что часто создает неприятные дроби чего в противном случае можно было бы избежать гораздо позже).

    Следующий веб-сайт, кажется, намного лучше показывает «умный» последовательность операций со строками в большинстве случаев:

    https://matrix.reshish.com/gauss-jordanElimination.php

    Примечание:

    В пошаговых решениях на этом веб-сайте показана операция «добавления кратное число строк другому »в 3 отдельных шага: сначала умножив строки по номеру, затем прибавляя к другой строке — и затем «восстанавливая» исходный ряд.Вы должны , а не написать это на бумаге вот так — это сделано только здесь, чтобы вы могли лучше видеть шаги и расчеты.

    Наконец, помните, что вы должны использовать этот (и другие веб-сайты) с умом, чтобы пример, чтобы перепроверить свою работу, или, если вы действительно застряли — не просто используйте это, чтобы получить отметки «бесплатно» на вашем WebWork, иначе вы сильно потеряетесь в экзамен . .. Или, как сказали бы другие:

    С большой силой приходит большая ответственность.


    • «Системы линейных уравнений
    • Геометрия линейных систем »

    Уравновешивание химических уравнений методом исключения Гаусса

    с использованием метода исключения Гаусса

    Этот калькулятор использует метод исключения Гаусса для определения стехиометрических коэффициентов химического уравнения.Исключение Гаусса (также известное как сокращение строк) — это численный метод решения системы линейных уравнений. Метод назван в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855).


    Все химические уравнения должны быть сбалансированы. Что значит быть сбалансированным? Это означает, что соблюдается закон сохранения массы. Закон сохранения массы гласит, что в обычной химической реакции материя не создается и не разрушается, то есть химическое уравнение должно иметь одинаковое количество атомов каждого элемента на обеих сторонах уравнения. 2 +)

  • Чтобы ввести знак уравнения, вы можете использовать символы «=», «->» или «→».
  • Уравнение можно записать строчными буквами. Если элементы в химической формуле правильно написаны с заглавной буквы, преобразователь смарт-кейсов оставит их так, как вы ввели.
  • Чтобы указать физические состояния, которые вы можете использовать для твердого тела, (l) для жидкостей, (g) для газов и (aq) для веществ, растворенных в воде.
Примеры химических уравнений
Балансировка окислительно-восстановительных реакций

Две проблемы могут возникнуть при балансировании окислительно-восстановительных реакций математическими методами:

1.Уравновешивание уравнений окислительно-восстановительных реакций путем проверки или математического метода (например, метода исключения Гаусса) может дать результаты, которые будут математически точными, но не химически. Это связано с тем, что уравнения окислительно-восстановительных реакций также должны удовлетворять электронному балансу, то есть количество электронов, высвобождаемых в реакции окисления, должно быть равно количеству электронов, полученных в реакции восстановления.

Метод изменения окислительного числа

2.Уравнения окислительно-восстановительного потенциала часто записываются таким образом, что вода и ее ионы не учитываются. H 2 O, H + или OH (в зависимости от среды) могут быть добавлены по мере необходимости, поскольку предполагается, что реакция протекает в воде. В противоположность этому математический метод требует, чтобы все частицы, участвующие в реакции, были явно указаны.

Метод изменения окислительного числа

Форма

Row Echelon Form и уменьшенная форма Row Echelon Form


Содержание (Щелкните, чтобы перейти к этому разделу:

  1. Что такое форма эшелона?
  2. Форма ступенчатого эшелона
  3. Форма ступенчатого редуктора
  4. Исключение по Гауссу
  5. Ранг матрицы

Посмотрите видео с определениями эшелонов, рядов и пониженных рядов: