Решение неравенства показательные – Основные типы показательных неравенств | Подготовка к ЕГЭ по математике — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 11.06.201922.12.2019 by alexxlab

Содержание

Основные типы показательных неравенств | Подготовка к ЕГЭ по математике

wsd Сегодня решаем показательные неравенства.

Рассмотрим основные типы показательных неравенств.

При решении показательных неравенств мы будем использовать следующие переходы:

$a^{f(x)}>a^{g(x)},\;a>1\quad \quad \Leftrightarrow \quad \;f(x)>g(x)$

$a^{f(x)}>a^{g(x)},\;0<a<1\quad \quad \Leftrightarrow \;\quad f(x)<g(x)$

Поясним, первый переход возникает в силу возрастания показательной функции $y=a^{f(x)},$ a>1 , второй – в силу убывания функции $y=a^{f(x)},$ 0<a<1 .

Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим

Задание 1.

Решить неравенство .

Решение:

Перепишем неравенство следующим образом:

$(2^4)^x>\frac{125}{1000};$

А далее вот так:

$2^{4x}>\frac{1}{8};$

$2^{4x}>2^{-3};$

Так как $2^{f(x)}$ – возрастающая функция, то знак неравенства остается без изменения при переходе к новому неравенству:

4x>-3;

$x>-\frac{3}{4};$

Ответ: $(-0,75;+\infty)$ .

Задание 2.

Решить неравенство: $4\cdot 0,5^{x(x+3)}<0,25^{2x};$

Решение:

Перепишем неравенство следующим образом:

$4\cdot 0,5^{x^2+3x}<(0,5^2)^{2x};$

Заметим, что $4=(\frac{1}{2})^{-2}=0,5^{-2}$ .

$0,5^{-2}\cdot 0,5^{x^2+3x}<(0,5^2)^{2x};$

$0,5^{x^2+3x-2}<0,5^{4x};$

В силу того, что основание степени ( 0,5 ) меньше 1, то есть мы имеем дело с убывающей функцией, переходим к следующему неравенству (не забывая поменять знак на ):

$x\in(-\infty;-1)\cup (2;+\infty).$

Ответ: $(-\infty;-1)\cup (2;+\infty).$

Однородные показательные неравенства

Задание 3.

Решить неравенство: $2^{x}-2^{x-4}>15.$

Решение:

Вынесем за скобку $2^{x-4}:$

$2^{x-4}(2^{4}-1)>15;$

$2^{x-4}\cdot 15>15;$

$2^{x-4}>1;$

$2^{x-4}>2^0;$

Тогда переходим к следующему неравенству (в силу того, что основание степени больше 1, знак неравенства не меняется):

x-4>0;

x>4;

Ответ: $(4;+\infty).$

Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным

Задание 4.

Решить неравенство $3^{2x+1}-3^{x+2}+6>0.$

Решение:

$3\cdot 3^{2x}-3^2\cdot 3^x+6>0;$

$3\cdot (3^x)^2-9\cdot 3^x+6>0;$

Разделим обе части неравенства на 3:

$(3^x)^2-3\cdot 3^x+2>0;$

Мы видим квадратное неравенство относительно 3^x, которое будем решать методом интервалов.

Имеем:

kkm

3^x<1 или 3^x>2;

x<0 или

Ответ: $(-\infty;0)\cup (log_32;+\infty).$

Задание 5.

Решить неравенство $4^{-x}-12\cdot 2^{-x}+32>0.$

Решение:

$(2^{-x})^2-12\cdot 2^{-x}+32>0;$

Мы видим квадратное неравенство относительно $2^{-x}$ , которое будем решать методом интервалов.

Находим при помощи дискриминанта корни квадратного трехчлена $(2^{-x})^2-12\cdot 2^{-x}+32$ . Переходим к следующему неравенству:

$(2^{-x}-4)(2^{-x}-8)>0;$

jn,

Получаем: $2^{-x}<4$ или $2^{-x}>8$ . Заметьте, нет смысла указывать, что $0<2^{-x}<4$ , так как по определению $2^{-x}$ положительно.

Итак,

$\left[\begin{gathered} 2^{-x}<2^2, & 2^{-x}>2^3; \end{gathered}\right&$

$\left[\begin{gathered} -x<2, & -x>3; \end{gathered}\right&$

$\left[\begin{gathered} x>-2, & x<-3; \end{gathered}\right&$

Ответ: $(-\infty;-3)\cup (-2;+\infty).$

Задание 6.

Решить неравенство $5\cdot 4^x+2\cdot 25^x\leq 7\cdot 10^x.$

Решение:

Разделим обе части неравенства на 4^x (можно и на 25^x , 10^x – как хотите…). Заметим, 4^x>0 .

$5+2\cdot \frac{(5^2)^x}{(2^2)^x}\leq 7\cdot \frac{(2\cdot 5)^x}{(2^2)^x};$

Заметим, что $(5^2)^x=(5^x)^2=5^x\cdot 5^x$ . Аналогично с 4^x .

$5+2\cdot \frac{5^x\cdot 5^x}{2^x\cdot 2^x}\leq 7\cdot \frac{2^x\cdot 5^x}{2^x\cdot 2^x};$

$5+2\cdot ((\frac{5}{2})^x)^2\leq 7\cdot (\frac{5}{2})^x;$

$2\cdot ((\frac{5}{2})^x)^2-7\cdot (\frac{5}{2})^x+5\leq 0;$

Мы имеем квадратное неравенство относительно $(\frac{5}{2})^x,$

которое будем решать методом интервалов.

Воспользуемся следующим способом превращения суммы в произведение:

где $x_1,\;x_2$ – корни уравнения (в случае неотрицательного дискриминанта квадратного трехчлена).

Заготавливаем шаблончик $2((\frac{5}{2})^x-...)((\frac{5}{2})^x-...)\leq 0$ и находим корни при помощи дискриминанта, тогда

$2((\frac{5}{2})^x-\frac{5}{2})((\frac{5}{2})^x-1)\leq 0;$

То есть $1\leq (\frac{5}{2})^x\leq \frac{5}{2};$

$(\frac{5}{2})^0\leq (\frac{5}{2})^x\leq (\frac{5}{2})^1;$

$0\leq x\leq 1;$

Ответ: [0;1].

Задание 7.

Решить неравенство $2^x+2^{-x+1}-3<0.$

Решение:

Перепишем неравенство следующим образом:

$2^x+2\cdot \frac{1}{2^x}-3<0;$

Домножим обе части неравенства на 2^x (заметим, 2^x>0 ):

$(2^x)^2-3\cdot 2^x+2<0;$

gjb

0<x<1;

Ответ: (0;1).

Показательные неравенства, сводящиеся к рациональным

Задание 8.

Решить неравенство: $\frac{4}{2^x+2}-\frac{1}{2^x-3}<2.$

Решение:

Переносим все в левую сторону неравенства и приводим к общему знаменателю:

$\frac{4\cdot (2^x-3)-(2^x+2)-2(2^x+2)(2^x-3)}{(2^x+2)(2^x-3)}<0;$

$\frac{-2\cdot (2^x)^2+5\cdot 2^x-2}{(2^x+2)(2^x-3)}<0;$

$\frac{2\cdot (2^x)^2-5\cdot 2^x+2}{(2^x+2)(2^x-3)}>0;$

$\frac{2\cdot (2^x-2)(2^x-\frac{1}{2})}{(2^x+2)(2^x-3)}>0;$

Мы можем “отбросить” сумму 2^x+2 в силу ее положительности:

$\frac{2\cdot (2^x-2)(2^x-\frac{1}{2})}{2^x-3}>0;$

Неравенство равносильно следующему:

$(2^x-2)(2^x-\frac{1}{2})(2^x-3)>0;$

$\left[\begin{gathered} \frac{1}{2}<2^x<2, & 2^x>3; \end{gathered}\right&$

$\left[\begin{gathered} -1<x<1, & x>log_23; \end{gathered}\right&$

$x\in (-1;1)\cup (log_23;+\infty).$

Ответ: $(-1;1)\cup (log_23;+\infty).$

Неравенства, решаемые графическим методом

Задание 9.

Решить неравенство:

Решение:

Рассмотрим функции и Обе они определены на . Первая – возрастает, вторая – убывает. Значит, уравнение имеет не более одного решения. Несложно заметить, что x=1 является корнем указанного уравнения.

А значит, если вернуться к неравенству и посмотреть на него с графической точки зрения, мы должны взять те значения , которые отвечают за ту часть графика f(x) , что лежит выше графика g(x) , то есть x>1 .

Ответ: $(1;+\infty).$

Для самостоятельной работы:

Решить неравенства:

Ответ: + показать

$(-0,75;+\infty)$

2. $36^{0,5x^2-1}\geq (\frac{1}{6})^{-2};$

Ответ: + показать

$(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)$

3. $3^{2x-1}+3^{2x-2}-3^{2x-4}\leq 315;$

Ответ: + показать

$(-\infty;3]$

4. $(\frac{1}{4})^x\leq 2^{3-x}-16;$

Ответ: + показать

{-2}

5. $3\cdot 16^x+2\cdot 81^x-5\cdot 36^x>0;$

Ответ: + показать

$(-\infty;0)\cup (0,5;+\infty)$

6. $2^{2+x}-2^{2-x}\geq 15;$

Ответ: + показать

$[2;+\infty)$

7. $\frac{1}{3^x+5}\leq \frac{1}{3^{x+1}-1};$

Ответ: + показать

(-1;1]

8. $\frac{1}{3^x}<x+11;$

Ответ: + показать

$(-2;+\infty)$ .

egemaximum.ru

Решение показательных неравенств

3 января 2017

Многие считают, что показательные неравенства — это что-то такое сложное и непостижимое. И что научиться их решать — чуть ли не великое искусство, постичь которое способны лишь Избранные…

Полная брехня! Показательные неравенства — это просто. И решаются они всегда просто. Ну, почти всегда.:)

Сегодня мы разберём эту тему вдоль и поперёк. Этот урок будет очень полезен тем, кто только начинает разбираться в данном разделе школьной математики. Начнём с простых задач и будем двигаться к более сложным вопросам. Никакой жести сегодня не будет, но того, что вы сейчас прочитаете, будет достаточно, чтобы решить большинство неравенств на всяких контрольных и самостоятельных работах. И на этом вашем ЕГЭ тоже.

Как всегда, начнём с определения. Показательное неравенство — это любое неравенство, содержащее в себе показательную функцию. Другими словами, его всегда можно свести к неравенству вида

\[{{a}^{x}} \gt b\]

Где в роли $b$ может быть обычное число, а может быть и что-нибудь пожёстче. Примеры? Да пожалуйста:

\[\begin{align} & {{2}^{x}} \gt 4;\quad {{2}^{x-1}}\le \frac{1}{\sqrt[3]{2}};\quad {{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} \lt 16; \\ & {{0,1}^{1-x}} \lt 0,01;\quad {{2}^{\frac{x}{2}}} \lt {{4}^{\frac{4}{x}}}. \\\end{align}\]

Думаю, смысл понятен: есть показательная функция ${{a}^{x}}$, её с чем-то сравнивают, а затем просят найти $x$. В особо клинических случаях вместо переменной $x$ могут засунуть какую-нибудь функцию $f\left( x \right)$ и тем самым чуть-чуть усложнить неравенство.:)

Конечно, в некоторых случаях неравенство может выглядеть более сурово. Вот, например:

\[{{9}^{x}}+8 \gt {{3}^{x+2}}\]

Или даже вот:

\[5\cdot {{4}^{x}}+2\cdot {{25}^{x}} \gt 7\cdot {{10}^{x}}\]

В целом, сложность таких неравенств может быть самой разной, но в итоге они всё равно сводятся к простой конструкции ${{a}^{x}} \gt b$. А уж с такой конструкцией мы как-нибудь разберёмся (в особо клинических случаях, когда ничего не приходит в голову, нам помогут логарифмы). Поэтому сейчас мы научимя решать такие простые конструкции.

Решение простейших показательных неравенств

Рассмотрим что-нибудь совсем простое. Например, вот это:

\[{{2}^{x}} \gt 4\]

Очевидно, что число справа можно переписать в виде степени двойки: $4={{2}^{2}}$. Таким образом, исходное неравенство перепишется в очень удобной форме:

\[{{2}^{x}} \gt {{2}^{2}}\]

И вот уже руки чешутся «зачеркнуть» двойки, стоящие в основаниях степеней, дабы получить ответ $x \gt 2$. Но перед тем как что там зачёркивать, давайте вспомним степени двойки:

\[{{2}^{1}}=2;\quad {{2}^{2}}=4;\quad {{2}^{3}}=8;\quad {{2}^{4}}=16;…\]

Как видим, чем большее число стоит в показателе степени, тем больше получается число на выходе. «Спасибо, кэп!» — воскликнет кто-нибудь из учеников. Разве бывает по-другому? К сожалению, бывает. Например:

\[{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{1}}=\frac{1}{2};\quad {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4};\quad {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{3}}=\frac{1}{8};…\]

Тут тоже всё логично: чем больше степень, тем больше раз число 0,5 умножается само на себя (т.е. делится пополам). Таким образом, полученная последовательность чисел убывает, а разница между первой и второй последовательностью состоит лишь в основании:

Если основание степени $a \gt 1$, то по мере роста показателя $n$ число ${{a}^{n}}$ тоже будет расти;
И наоборот, если $0 \lt a \lt 1$, то по мере роста показателя $n$ число ${{a}^{n}}$ будет убывать.

Суммируя эти факты, мы получаем самое главное утверждение, на котором и основано всё решение показательных неравенств:

Если $a \gt 1$, то неравенство ${{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}$ равносильно неравенству $x \gt n$. Если $0 \lt a \lt 1$, то неравенство ${{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}$ равносильно неравенству $x \lt n$.
Другими словами, если основание больше единицы, его можно просто убрать — знак неравенства при этом не поменяется. А если основание меньше единицы, то его тоже можно убрать, но при этом придётся поменять и знак неравенства.

Обратите внимание: мы не рассмотрели варианты $a=1$ и $a\le 0$. Потому что в этих случаях возникает неопределённость. Допустим, как решить неравенство вида ${{1}^{x}} \gt 3$? Единица в любой степени снова даст единицу — мы никогда не получим тройку или больше. Т.е. решений нет.

С отрицательными основаниями всё ещё интереснее. Рассмотрим для примера вот такое неравенство:

\[{{\left( -2 \right)}^{x}} \gt 4\]

На первый взгляд, всё просто:

\[4={{2}^{2}}\Rightarrow {{\left( -2 \right)}^{x}} \gt {{2}^{2}}\Rightarrow x \gt 2\]

Правильно? А вот и нет! Достаточно подставить вместо $x$ парочку чётных и парочку нечётных чисел, чтобы убедиться что решение неверно. Взгляните:

\[\begin{align} & x=4\Rightarrow {{\left( -2 \right)}^{4}}=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow {{\left( -2 \right)}^{5}}=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow {{\left( -2 \right)}^{6}}=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow {{\left( -2 \right)}^{7}}=-128 \lt 4. \\\end{align}\]

Как видите, знаки чередуются. А ведь есть ещё дробные степени и прочая жесть. Как, например, прикажете считать ${{\left( -2 \right)}^{\sqrt{7}}}$ (минус двойка в степени корень из семи)? Да никак!

Поэтому для определённости полагают, что во всех показательных неравенствах (и уравнениях, кстати, тоже) $1\ne a \gt 0$. И тогда всё решается очень просто:

\[{{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}\Rightarrow \left[ \begin{align} & x \gt n\quad \left( a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left( 0 \lt a \lt 1 \right). \\\end{align} \right.\]

В общем, ещё раз запомните главное правило: если основание в показательном уравнении больше единицы, его можно просто убрать; а если основание меньше единицы, его тоже можно убрать, но при этом поменяется знак неравенства.

Примеры решения

Итак, рассмотрим несколько простых показательных неравенств:

\[\begin{align} & {{2}^{x-1}}\le \frac{1}{\sqrt[3]{2}}; \\ & {{0,1}^{1-x}} \lt 0,01; \\ & {{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} \lt 16; \\ & {{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}\ge \frac{1}{25}. \\\end{align}\]

Первостепенная задача во всех случаях одна и та же: свести неравенств к простейшему виду ${{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}$. Именно это мы сейчас и сделаем с каждым неравенством, а заодно повторим свойства степеней и показательной функции. Итак, поехали!

\[{{2}^{x-1}}\le \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\]

Что здесь можно сделать? Ну, слева у нас и так стоит показательное выражение — ничего менять не надо. А вот справа стоит какая-то хрень: дробь, да ещё и в знаменателе корень!

Однако вспомним правила работы с дробями и степенями:

\[\begin{align} & \frac{1}{{{a}^{n}}}={{a}^{-n}}; \\ & \sqrt[k]{a}={{a}^{\frac{1}{k}}}. \\\end{align}\]

Что это значит? Во-первых, мы легко можем избавиться от дроби, превратив её в степень с отрицательным показателем. А во-вторых, поскольку в знаменателе стоит корень, было бы неплохо превратить и его в степень — на этот раз с дробным показателем.

Применим эти действия последовательно к правой части неравенства и посмотрим, что получится:

\[\frac{1}{\sqrt[3]{2}}={{\left( \sqrt[3]{2} \right)}^{-1}}={{\left( {{2}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{-1}}={{2}^{\frac{1}{3}\cdot \left( -1 \right)}}={{2}^{-\frac{1}{3}}}\]

Не забываем, что при возведении степени в степень показатели этих степеней складываются. И вообще, при работе с показательными уравнениями и неравенствами совершенно необходимо знать хотя бы простейшие правила работы со степенями:

\[\begin{align} & {{a}^{x}}\cdot {{a}^{y}}={{a}^{x+y}}; \\ & \frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}}={{a}^{x-y}}; \\ & {{\left( {{a}^{x}} \right)}^{y}}={{a}^{x\cdot y}}. \\\end{align}\]

Собственно, последнее правило мы только что и применили. Поэтому наше исходное неравенство перепишется следующим образом:

\[{{2}^{x-1}}\le \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\Rightarrow {{2}^{x-1}}\le {{2}^{-\frac{1}{3}}}\]

Теперь избавляемся от двойки в основании. Поскольку 2 > 1, знак неравенства останется прежним:

\[\begin{align} & x-1\le -\frac{1}{3}\Rightarrow x\le 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}; \\ & x\in \left( -\infty ;\frac{2}{3} \right]. \\\end{align}\]

Вот и всё решение! Основная сложность — вовсе не в показательной функции, а в грамотном преобразовании исходного выражения: нужно аккуратно и максимально быстро привести его к простейшему виду.

Рассмотрим второе неравенство:

\[{{0,1}^{1-x}} \lt 0,01\]

Так, так. Тут нас поджидают десятичные дроби. Как я уже много раз говорил, в любых выражениях со степенями следует избавляться от десятичных дробей — зачастую только так можно увидеть быстрое и простое решение. Вот и мы избавимся:

\[\begin{align} & 0,1=\frac{1}{10};\quad 0,01=\frac{1}{100}={{\left( \frac{1}{10} \right)}^{2}}; \\ & {{0,1}^{1-x}} \lt 0,01\Rightarrow {{\left( \frac{1}{10} \right)}^{1-x}} \lt {{\left( \frac{1}{10} \right)}^{2}}. \\\end{align}\]

Перед нами вновь простейшее неравенство, да ещё и с основанием 1/10, т.е. меньшим единицы. Что ж, убираем основания, попутно меняя знак с «меньше» на «больше», и получаем:

\[\begin{align} & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end{align}\]

Получили окончательный ответ: $x\in \left( -\infty ;-1 \right)$. Обратите внимание: ответом является именно множество, а ни в коем случае не конструкция вида $x \lt -1$. Потому что формально такая конструкция — это вовсе не множество, а неравенство относительно переменной $x$. Да, оно очень простое, но это не ответ!

Важное замечание. Данное неравенство можно было решить и по-другому — путём приведения обеих частей к степени с основанием, большим единицы. Взгляните:
\[\frac{1}{10}={{10}^{-1}}\Rightarrow {{\left( {{10}^{-1}} \right)}^{1-x}} \lt {{\left( {{10}^{-1}} \right)}^{2}}\Rightarrow {{10}^{-1\cdot \left( 1-x \right)}} \lt {{10}^{-1\cdot 2}}\]
После такого преобразования мы вновь получим показательное неравенство, но с основанием 10 > 1. А это значит, что можно просто зачеркнуть десятку — знак неравенства при этом не поменяется. Получим:
\[\begin{align} & -1\cdot \left( 1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end{align}\]
Как видите, ответ получился точь-в-точь такой же. При этом мы избавили себя от необходимости менять знак и вообще помнить какие-то там правила.:)

Идём далее. Рассмотрим чуть более сложное неравенство — в нём в показателе появляется квадратичная функция:

\[{{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} \lt 16\]

Однако пусть вас это не пугает. Чтобы ни находилось в показателях, технология решения самого неравенства остаётся прежней. Поэтому заметим для начала, что 16 = 2⁴. Перепишем исходное неравенство с учётом этого факта:

\[\begin{align} & {{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} \lt {{2}^{4}}; \\ & {{x}^{2}}-7x+14 \lt 4; \\ & {{x}^{2}}-7x+10 \lt 0. \\\end{align}\]

Ура! Мы получили обычное квадратное неравенство! Знак нигде не менялся, поскольку в основании стоит двойка — число, большее единицы.

Далее можно воспользоваться теоремой Виета, либо просто решить уравнение ${{x}^{2}}-7x+10=0$ через дискриминант. В любом случае корни будут ${{x}_{1}}=2$ и ${{x}_{2}}=5$. Отметим их на числовой прямой:

Нули функции на числовой прямой

Расставляем знаки функции $f\left( x \right)={{x}^{2}}-7x+10$ — очевидно, её графиком будет парабола ветвями вверх, поэтому по бокам будут «плюсы». Нас интересует та область, где функция меньше нуля, т.е. $x\in \left( 2;5 \right)$ — это и есть ответ к исходной задаче.

Наконец, рассмотрим ещё одно неравенство:

\[{{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}\ge \frac{1}{25}\]

Опять видим показательную функцию с десятичной дробью в основании. Переводим эту дробь в обыкновенную:

\[\begin{align} & 0,2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}={{5}^{-1}}\Rightarrow \\ & \Rightarrow {{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}={{\left( {{5}^{-1}} \right)}^{1+{{x}^{2}}}}={{5}^{-1\cdot \left( 1+{{x}^{2}} \right)}}\end{align}\]

В данном случае мы воспользовались приведённым ранее замечанием — свели основание к числу 5 > 1, чтобы упростить себе дальнейшее решение. Точно так же поступим и с правой частью:

\[\frac{1}{25}={{\left( \frac{1}{5} \right)}^{2}}={{\left( {{5}^{-1}} \right)}^{2}}={{5}^{-1\cdot 2}}={{5}^{-2}}\]

Перепишем исходное неравенство с учётом обоих преобразований:

\[{{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}\ge \frac{1}{25}\Rightarrow {{5}^{-1\cdot \left( 1+{{x}^{2}} \right)}}\ge {{5}^{-2}}\]

Основания с обеих сторон одинаковы и превосходят единицу. Никаких других слагаемых справа и слева нет, поэтому просто «зачёркиваем» пятёрки и получаем совсем простое выражение:

\[\begin{align} & -1\cdot \left( 1+{{x}^{2}} \right)\ge -2; \\ & -1-{{x}^{2}}\ge -2; \\ & -{{x}^{2}}\ge -2+1; \\ & -{{x}^{2}}\ge -1;\quad \left| \cdot \left( -1 \right) \right. \\ & {{x}^{2}}\le 1. \\\end{align}\]

Вот тут надо быть аккуратнее. Многие ученики любят просто извлечь квадратный корень их обеих частей неравенства и записать что-нибудь в духе $x\le 1\Rightarrow x\in \left( -\infty ;-1 \right]$. Делать этого ни в коем случае нельзя, поскольку корень из точного квадрата — это модуль, а ни в коем случае не исходная переменная:

\[\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|\]

Однако работать с модулями — не самое приятное занятие, правда? Вот и мы не будем работать. А вместо этого просто перенесём все слагаемые влево и решим обычное неравенство методом интервалов:

$\begin{align} & {{x}^{2}}-1\le 0; \\ & \left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\le 0 \\ & {{x}_{1}}=1;\quad {{x}_{2}}=-1; \\\end{align}$

Вновь отмечаем полученные точки на числовой прямой и смотрим знаки:

Обратите внимание: точки закрашены

Поскольку мы решали нестрогое неравенство, все точки на графике закрашены. Поэтому ответ будет такой: $x\in \left[ -1;1 \right]$ — не интервал, а именно отрезок.

В целом хотел бы заметить, что ничего сложного в показательных неравенствах нет. Смысл всех преобразований, которые мы сегодня выполняли, сводится к простому алгоритму:

Найти основание, к которому будем приводить все степени;
Аккуратно выполнить преобразования, чтобы получилось неравенство вида ${{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}$. Разумеется вместо переменных $x$ и $n$ могут стоять гораздо более сложные функции, но смысл от этого не поменяется;
Зачеркнуть основания степеней. При этом может поменяться знак неравенства, если основание $a \lt 1$.

По сути, это универсальный алгоритм решения всех таких неравенств. А всё, что вам ещё будут рассказывать по этой теме — лишь конкретные приёмы и хитрости, позволяющие упростить и ускорить преобразования. Вот об одном из таких приёмов мы сейчас и поговорим.:)

Метод рационализации

Рассмотрим ещё одну партию неравенств:

\[\begin{align} & {{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}^{x+7}} \gt {{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}^{{{x}^{2}}-3x+2}}; \\ & {{\left( 2\sqrt{3}-3 \right)}^{{{x}^{2}}-2x}} \lt 1; \\ & {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}+2x}} \gt {{\left( \frac{1}{9} \right)}^{16-x}}; \\ & {{\left( 3-2\sqrt{2} \right)}^{3x-{{x}^{2}}}} \lt 1. \\\end{align}\]

Ну и что в них такого особенного? Они же лёгкие. Хотя, стоп! Число π возводится в какую-то степень? Что за бред?

А как возвести в степень число $2\sqrt{3}-3$? Или $3-2\sqrt{2}$? Составители задач, очевидно, перепили «Боярышника» перед тем, как сесть за работу.:)

На самом деле ничего страшного в этих задачах нет. Напомню: показательной функцией называется выражение вида ${{a}^{x}}$, где основание $a$ — это любое положительное число, за исключением единицы. Число π положительно — это мы и так знаем. Числа $2\sqrt{3}-3$ и $3-2\sqrt{2}$ тоже положительны — в этом легко убедиться, если сравнить их с нулём.

Получается, что все эти «устрашающие» неравенства ничем не отличаются решаются от простых, рассмотренных выше? И решаются точно так же? Да, совершенно верно. Однако на их примере я хотел бы рассмотреть один приём, который здорово экономит время на самостоятельных работах и экзаменах. Речь пойдёт о методе рационализации. Итак, внимание:

Всякое показательное неравенство вида ${{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}$ равносильно неравенству $\left( x-n \right)\cdot \left( a-1 \right) \gt 0$.

Вот и весь метод.:) А вы думали, что будет какая-нибудь очередная дичь? Ничего подобного! Но этот простой факт, записанный буквально в одну строчку, значительно упростит нам работу. Взгляните:

\[\begin{matrix} {{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}^{x+7}} \gt {{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}^{{{x}^{2}}-3x+2}} \\ \Downarrow \\ \left( x+7-\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right) \right)\cdot \left( \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-1 \right) \gt 0 \\\end{matrix}\]

Вот и нет больше показательных функций! И не надо помнить: меняется знак или нет. Но возникает новая проблема: что делать с грёбаным множителем \[\left( \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-1 \right)\]? Мы ведь не знаем, чему равно точное значение числа π. Впрочем, капитан очевидность как бы намекает:

\[\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\approx 3,14… \gt 3\Rightarrow \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-1 \gt 3-1=2\]

В общем, точное значение π нас особо-то и не колышет — нам лишь важно понимать, что в любом случае $\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-1 \gt 2$, т.е. это положительная константа, и мы можем разделить на неё обе части неравенства:

\[\begin{align} & \left( x+7-\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right) \right)\cdot \left( \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-{{x}^{2}}+3x-2 \gt 0; \\ & -{{x}^{2}}+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left( -1 \right) \right. \\ & {{x}^{2}}-4x-5 \lt 0; \\ & \left( x-5 \right)\left( x+1 \right) \lt 0. \\\end{align}\]

Как видите, в определённый момент пришлось разделить на минус единицу — при этом знак неравенства поменялся. В конце я разложил квадратный трёхчлен по теореме Виета — очевидно, что корни равны ${{x}_{1}}=5$ и ${{x}_{2}}=-1$. Дальше всё решается классическим методом интервалов:

Решаем неравенство методом интервалов

Все точки выколоты, поскольку исходное неравенство строгое. Нас интересует область с отрицательными значениями, поэтому ответ: $x\in \left( -1;5 \right)$. Вот и всё решение.:)

Перейдём к следующей задаче:

\[{{\left( 2\sqrt{3}-3 \right)}^{{{x}^{2}}-2x}} \lt 1\]

Тут вообще всё просто, потому что справа стоит единица. А мы помним, что единица — это любое число в нулевой степени. Даже если этим числом является иррациональное выражение, стоящее в основании слева:

\[\begin{align} & {{\left( 2\sqrt{3}-3 \right)}^{{{x}^{2}}-2x}} \lt 1={{\left( 2\sqrt{3}-3 \right)}^{0}}; \\ & {{\left( 2\sqrt{3}-3 \right)}^{{{x}^{2}}-2x}} \lt {{\left( 2\sqrt{3}-3 \right)}^{0}}; \\\end{align}\]

Что ж, выполняем рационализацию:

\[\begin{align} & \left( {{x}^{2}}-2x-0 \right)\cdot \left( 2\sqrt{3}-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left( {{x}^{2}}-2x-0 \right)\cdot \left( 2\sqrt{3}-4 \right) \lt 0; \\ & \left( {{x}^{2}}-2x-0 \right)\cdot 2\left( \sqrt{3}-2 \right) \lt 0. \\\end{align}\]

Осталось лишь разобраться со знаками. Множитель $2\left( \sqrt{3}-2 \right)$ не содержит переменной $x$ — это просто константа, и нам необходимо выяснить её знак. Для этого заметим следующее:

\[\begin{matrix} \sqrt{3} \lt \sqrt{4}=2 \\ \Downarrow \\ 2\left( \sqrt{3}-2 \right) \lt 2\cdot \left( 2-2 \right)=0 \\\end{matrix}\]

Получается, что второй множитель — не просто константа, а отрицательная константа! И при делении на неё знак исходного неравенства поменяется на противоположный:

\[\begin{align} & \left( {{x}^{2}}-2x-0 \right)\cdot 2\left( \sqrt{3}-2 \right) \lt 0; \\ & {{x}^{2}}-2x-0 \gt 0; \\ & x\left( x-2 \right) \gt 0. \\\end{align}\]

Теперь всё становится совсем очевидно. Корни квадратного трёхчлена, стоящего справа: ${{x}_{1}}=0$ и ${{x}_{2}}=2$. Отмечаем их на числовой прямой и смотрим знаки функции $f\left( x \right)=x\left( x-2 \right)$:

Случай, когда нас интересуют боковые интервалы

Нас интересуют интервалы, отмеченные знаком «плюс». Осталось лишь записать ответ:

\[x\in \left( -\infty ;0 \right)\bigcup \left( 2;+\infty \right)\]

Переходим к следующему примеру:

\[{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}+2x}} \gt {{\left( \frac{1}{9} \right)}^{16-x}}\]

Ну, тут совсем всё очевидно: в основаниях стоят степени одного и того же числа. Поэтому я распишу всё кратко:

\[\begin{matrix} \frac{1}{3}={{3}^{-1}};\quad \frac{1}{9}=\frac{1}{{{3}^{2}}}={{3}^{-2}} \\ \Downarrow \\ {{\left( {{3}^{-1}} \right)}^{{{x}^{2}}+2x}} \gt {{\left( {{3}^{-2}} \right)}^{16-x}} \\\end{matrix}\]

Далее «причёсываем» выражения с обеих частей неравенства и применяем метод рационализации:

\[\begin{align} & {{3}^{-1\cdot \left( {{x}^{2}}+2x \right)}} \gt {{3}^{-2\cdot \left( 16-x \right)}}; \\ & {{3}^{-{{x}^{2}}-2x}} \gt {{3}^{-32+2x}}; \\ & \left( -{{x}^{2}}-2x-\left( -32+2x \right) \right)\cdot \left( 3-1 \right) \gt 0; \\ & -{{x}^{2}}-2x+32-2x \gt 0; \\ & -{{x}^{2}}-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left( -1 \right) \right. \\ & {{x}^{2}}+4x-32 \lt 0; \\ & \left( x+8 \right)\left( x-4 \right) \lt 0. \\\end{align}\]

Как видите, в процессе преобразований пришлось умножать на отрицательное число, поэтому поменялся знак неравенства. В самом конце я вновь применил теорему Виета для разложения на множители квадратного трёхчлена. В итоге ответ будет следующий: $x\in \left( -8;4 \right)$ — желающие могут убедиться в этом, нарисовав числовую прямую, отметив точки и посчитав знаки. А мы тем временем перейдём к последнему неравенству из нашего «комплекта»:

\[{{\left( 3-2\sqrt{2} \right)}^{3x-{{x}^{2}}}} \lt 1\]

Как видим, в основании снова стоит иррациональное число, а справа снова стоит единица. Поэтому перепишем наше показательное неравенство следующим образом:

\[{{\left( 3-2\sqrt{2} \right)}^{3x-{{x}^{2}}}} \lt {{\left( 3-2\sqrt{2} \right)}^{0}}\]

Применяем рационализацию:

\[\begin{align} & \left( 3x-{{x}^{2}}-0 \right)\cdot \left( 3-2\sqrt{2}-1 \right) \lt 0; \\ & \left( 3x-{{x}^{2}}-0 \right)\cdot \left( 2-2\sqrt{2} \right) \lt 0; \\ & \left( 3x-{{x}^{2}}-0 \right)\cdot 2\left( 1-\sqrt{2} \right) \lt 0. \\\end{align}\]

Однако совершенно очевидно, что $1-\sqrt{2} \lt 0$, поскольку $\sqrt{2}\approx 1,4… \gt 1$. Поэтому второй множитель — вновь отрицательная константа, на которую можно разделить обе части неравенства:

\[\begin{matrix} \left( 3x-{{x}^{2}}-0 \right)\cdot 2\left( 1-\sqrt{2} \right) \lt 0 \\ \Downarrow \\\end{matrix}\]

\[\begin{align} & 3x-{{x}^{2}}-0 \gt 0; \\ & 3x-{{x}^{2}} \gt 0;\quad \left| \cdot \left( -1 \right) \right. \\ & {{x}^{2}}-3x \lt 0; \\ & x\left( x-3 \right) \lt 0. \\\end{align}\]

Далее всё просто: находим корни, отмечаем их на числовой прямой, смотрим знаки. Ответ будет следующим: $x\in \left( 0;3 \right)$.

Переход к другому основанию

Отдельной проблемой при решении показательных неравенств является поиск «правильного» основания. К сожалению, далеко не всегда при первом взгляде на задание очевидно, что брать за основание, а что делать степенью этого основания.

Но не переживайте: здесь нет никакой магии и «секретных» технологий. В математике любой навык, который нельзя алгоритмизировать, можно легко выработать с помощью практики. Но для этого придётся решать задачи разного уровня сложности. Например, вот такие:

\[\begin{align} & {{2}^{\frac{x}{2}}} \lt {{4}^{\frac{4}{x}}}; \\ & {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{3}{x}}}\ge {{3}^{2+x}}; \\ & {{\left( 0,16 \right)}^{1+2x}}\cdot {{\left( 6,25 \right)}^{x}}\ge 1; \\ & {{\left( \frac{27}{\sqrt[3]{3}} \right)}^{-x}} \lt {{9}^{4-2x}}\cdot 81. \\\end{align}\]

Сложно? Страшно? Да это же проще, чем цыплёнка об асфальт! Давайте попробуем. Первое неравенство:

\[{{2}^{\frac{x}{2}}} \lt {{4}^{\frac{4}{x}}}\]

Ну, я думают, тут и ежу всё понятно:

\[4={{2}^{2}}\Rightarrow {{4}^{\frac{4}{x}}}={{\left( {{2}^{2}} \right)}^{\frac{4}{x}}}={{2}^{2\cdot \frac{4}{x}}}={{2}^{\frac{8}{x}}}\]

Переписываем исходное неравенство, сводя всё к основанию «два»:

\[{{2}^{\frac{x}{2}}} \lt {{2}^{\frac{8}{x}}}\Rightarrow \left( \frac{x}{2}-\frac{8}{x} \right)\cdot \left( 2-1 \right) \lt 0\]

Да, да, вы всё правильно поняли: я только что применил метод рационализации, описанный выше. Теперь нужно работать аккуратно: у нас получилось дробно-рациональное неравенство (это такое, у которого в знаменателе стоит переменная), поэтому прежде чем что-то приравнивать к нулю, необходимо привести всё к общему знаменателю и избавиться от множителя-константы.

\[\begin{align} & \left( \frac{x}{2}-\frac{8}{x} \right)\cdot \left( 2-1 \right) \lt 0; \\ & \left( \frac{{{x}^{2}}-16}{2x} \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac{{{x}^{2}}-16}{2x} \lt 0. \\\end{align}\]

Теперь используем стандартный метод интервалов. Нули числителя: $x=\pm 4$. Знаменатель обращается в ноль только при $x=0$. Итого три точки, которые надо отметить на числовой прямой (все точки выколоты, т.к. знак неравенства строгий). Получим:

Более сложный случай: три корня

Как нетрудно догадаться, штриховкой отмечены те интервалы, на которых выражение слева принимает отрицательные значения. Поэтому в окончательный ответ пойдут сразу два интервала:

\[x\in \left( -\infty ;-4 \right)\bigcup \left( 0;4 \right)\]

Концы интервалов не входят в ответ, поскольку исходное неравенство было строгим. Никаких дополнительных проверок этого ответа не требуется. В этом плане показательные неравенства намного проще логарифмических: никаких ОДЗ, никаких ограничений и т.д.

Переходим к следующей задаче:

\[{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{3}{x}}}\ge {{3}^{2+x}}\]

Здесь тоже никаких проблем, поскольку мы уже знаем, что $\frac{1}{3}={{3}^{-1}}$, поэтому всё неравенство можно переписать так:

\[\begin{align} & {{\left( {{3}^{-1}} \right)}^{\frac{3}{x}}}\ge {{3}^{2+x}}\Rightarrow {{3}^{-\frac{3}{x}}}\ge {{3}^{2+x}}; \\ & \left( -\frac{3}{x}-\left( 2+x \right) \right)\cdot \left( 3-1 \right)\ge 0; \\ & \left( -\frac{3}{x}-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left( -2 \right) \right. \\ & \frac{3}{x}+2+x\le 0; \\ & \frac{{{x}^{2}}+2x+3}{x}\le 0. \\\end{align}\]

Обратите внимание: в третьей строчке я решил не мелочиться и сразу разделить всё на (−2). Минул ушёл в первую скобку (теперь там везде плюсы), а двойка сократилась с множителем-константой. Именно так и стоит поступать при оформлении реальных выкладок на самостоятельных и контрольных работах — не надо расписывать прям каждое действие и преобразование.

Далее в дело вступает знакомый нам метод интервалов. Нули числителя: а их нет. Потому что дискриминант будет отрицательный. В свою очередь знаменатель обнуляется лишь при $x=0$ — как и в прошлый раз. Ну и понятно, что справа от $x=0$ дробь будет принимать положительные значения, а слева — отрицательные. Поскольку нас интересуют именно отрицательные значения, то окончательный ответ: $x\in \left( -\infty ;0 \right)$.

Идём далее. В следующем задании нас поджидают десятичные дроби:

\[{{\left( 0,16 \right)}^{1+2x}}\cdot {{\left( 6,25 \right)}^{x}}\ge 1\]

А что нужно делать с десятичными дробями в показательных неравенствах? Правильно: избавляться от них, переводя в обыкновенные. Вот и мы переведём:

\[\begin{align} & 0,16=\frac{16}{100}=\frac{4}{25}\Rightarrow {{\left( 0,16 \right)}^{1+2x}}={{\left( \frac{4}{25} \right)}^{1+2x}}; \\ & 6,25=\frac{625}{100}=\frac{25}{4}\Rightarrow {{\left( 6,25 \right)}^{x}}={{\left( \frac{25}{4} \right)}^{x}}. \\\end{align}\]

Ну и что мы получили в основаниях показательных функций? А получили мы два взаимно обратных числа:

\[\frac{25}{4}={{\left( \frac{4}{25} \right)}^{-1}}\Rightarrow {{\left( \frac{25}{4} \right)}^{x}}={{\left( {{\left( \frac{4}{25} \right)}^{-1}} \right)}^{x}}={{\left( \frac{4}{25} \right)}^{-x}}\]

Таким образом исходное неравенство можно переписать так:

\[\begin{align} & {{\left( \frac{4}{25} \right)}^{1+2x}}\cdot {{\left( \frac{4}{25} \right)}^{-x}}\ge 1; \\ & {{\left( \frac{4}{25} \right)}^{1+2x+\left( -x \right)}}\ge {{\left( \frac{4}{25} \right)}^{0}}; \\ & {{\left( \frac{4}{25} \right)}^{x+1}}\ge {{\left( \frac{4}{25} \right)}^{0}}. \\\end{align}\]

Разумеется, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, что и произошло во второй строчке. Кроме того, мы представили единицу, стоящую справа, тоже в виде степени по основанию 4/25. Осталось лишь выполнить рационализацию:

\[{{\left( \frac{4}{25} \right)}^{x+1}}\ge {{\left( \frac{4}{25} \right)}^{0}}\Rightarrow \left( x+1-0 \right)\cdot \left( \frac{4}{25}-1 \right)\ge 0\]

Заметим, что $\frac{4}{25}-1=\frac{4-25}{25} \lt 0$, т.е. второй множитель является отрицательной константой, и при делении на неё знак неравенства поменяется:

\[\begin{align} & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left( -\infty ;-1 \right]. \\\end{align}\]

Наконец, последнее неравенство из текущего «комплекта»:

\[{{\left( \frac{27}{\sqrt[3]{3}} \right)}^{-x}} \lt {{9}^{4-2x}}\cdot 81\]

В принципе, идея решения тут тоже ясна: все показательные функции, входящие в состав неравенства, необходимо свести к основанию «3». Но для этого придётся немного повозиться с корнями и степенями:

\[\begin{align} & \frac{27}{\sqrt[3]{3}}=\frac{{{3}^{3}}}{{{3}^{\frac{1}{3}}}}={{3}^{3-\frac{1}{3}}}={{3}^{\frac{8}{3}}}; \\ & 9={{3}^{2}};\quad 81={{3}^{4}}. \\\end{align}\]

С учётом этих фактов исходное неравенство можно переписать так:

\[\begin{align} & {{\left( {{3}^{\frac{8}{3}}} \right)}^{-x}} \lt {{\left( {{3}^{2}} \right)}^{4-2x}}\cdot {{3}^{4}}; \\ & {{3}^{-\frac{8x}{3}}} \lt {{3}^{8-4x}}\cdot {{3}^{4}}; \\ & {{3}^{-\frac{8x}{3}}} \lt {{3}^{8-4x+4}}; \\ & {{3}^{-\frac{8x}{3}}} \lt {{3}^{4-4x}}. \\\end{align}\]

Обратите внимание на 2-ю и 3-ю строчку выкладок: прежде чем что-то делать с неравенством, обязательно приведите его к тому виду, о котором мы говорили с самого начала урока: ${{a}^{x}} \lt {{a}^{n}}$. До тех пор, пока у вас слева или справа есть какие-то левые множители, дополнительные константы и т.д., никакую рационализацию и «зачёркивание» оснований выполнять нельзя! Бесчисленное множество задач было выполнено неправильно из-за непонимания этого простого факта. Я сам постоянно наблюдаю эту проблему у моих учеников, когда мы только-только приступаем к разбору показательных и логарифмических неравенств.

Но вернёмся к нашей задаче. Попробуем в этот раз обойтись без рационализации. Вспоминаем: основание степени больше единицы, поэтому тройки можно просто зачеркнуть — знак неравенства при этом не поменяется. Получим:

\[\begin{align} & -\frac{8x}{3} \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac{8x}{3} \lt 4; \\ & \frac{4x}{3} \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end{align}\]

Вот и всё. Окончательный ответ: $x\in \left( -\infty ;3 \right)$.

Выделение устойчивого выражения и замена переменной

В заключение предлагаю решить ещё четыре показательных неравенства, которые уже являются довольно сложными для неподготовленных учеников. Чтобы справиться с ними, необходимо вспомнить правила работы со степенями. В частности — вынесение общих множителей за скобки.

Но самое главное — научиться понимать: что именно можно вынести за скобки. Такое выражение называется устойчивым — его можно обозначить новой переменной и таким образом избавиться от показательной функции. Итак, посмотрим на задачи:

\[\begin{align} & {{5}^{x+2}}+{{5}^{x+1}}\ge 6; \\ & {{3}^{x}}+{{3}^{x+2}}\ge 90; \\ & {{25}^{x+1,5}}-{{5}^{2x+2}} \gt 2500; \\ & {{\left( 0,5 \right)}^{-4x-8}}-{{16}^{x+1,5}} \gt 768. \\\end{align}\]

Начнём с самой первой строчки. Выпишем это неравенство отдельно:

\[{{5}^{x+2}}+{{5}^{x+1}}\ge 6\]

Заметим, что ${{5}^{x+2}}={{5}^{x+1+1}}={{5}^{x+1}}\cdot 5$, поэтому правую часть можно переписать:

\[5\cdot {{5}^{x+1}}+{{5}^{x+1}}\ge 6\]

Заметим, что никаких других показательных функций, кроме ${{5}^{x+1}}$, в неравенстве нет. И вообще, нигде больше не встречается переменная $x$, поэтому введём новую переменную: ${{5}^{x+1}}=t$. Получим следующую конструкцию:

\[\begin{align} & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end{align}\]

Возвращаемся к исходной переменной ($t={{5}^{x+1}}$ ), а заодно вспоминаем, что 1=5⁰. Имеем:

\[\begin{align} & {{5}^{x+1}}\ge {{5}^{0}}; \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end{align}\]

Вот и всё решение! Ответ: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Переходим ко второму неравенству:

\[{{3}^{x}}+{{3}^{x+2}}\ge 90\]

Здесь всё то же самое. Заметим, что ${{3}^{x+2}}={{3}^{x}}\cdot {{3}^{2}}=9\cdot {{3}^{x}}$. Тогда левую часть можно переписать:

\[\begin{align} & {{3}^{x}}+9\cdot {{3}^{x}}\ge 90;\quad \left| {{3}^{x}}=t \right. \\ & t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow {{3}^{x}}\ge 9\Rightarrow {{3}^{x}}\ge {{3}^{2}}; \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end{align}\]

Вот примерно так и нужно оформлять решение на настоящих контрольных и самостоятельных работах.

Что ж, попробуем что-нибудь посложнее. Например, вот такое неравенство:

\[{{25}^{x+1,5}}-{{5}^{2x+2}} \gt 2500\]

В чём тут проблема? Прежде всего, основания показательных функций, стоящих слева, разные: 5 и 25. Однако 25 = 5², поэтому первое слагаемое можно преобразовать:

\[\begin{align} & {{25}^{x+1,5}}={{\left( {{5}^{2}} \right)}^{x+1,5}}={{5}^{2x+3}}; \\ & {{5}^{2x+3}}={{5}^{2x+2+1}}={{5}^{2x+2}}\cdot 5. \\\end{align}\]

Как видите, сначала мы всё привели к одинаковому основанию, а затем заметили, что первое слагаемое легко сводится ко второму — достаточно лишь разложить показатель. Теперь можно смело вводить новую переменную: ${{5}^{2x+2}}=t$, и всё неравенство перепишется так:

\[\begin{align} & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625={{5}^{4}}; \\ & {{5}^{2x+2}}\ge {{5}^{4}}; \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end{align}\]

И вновь никаких трудностей! Окончательный ответ: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Переходим к заключительному неравенству в сегодняшнем уроке:

\[{{\left( 0,5 \right)}^{-4x-8}}-{{16}^{x+1,5}} \gt 768\]

Первое, на что следует обратить внимание — это, конечно, десятичная дробь в основании первой степени. От неё необходимо избавиться, а заодно привести все показательные функции к одному и тому же основанию — числу «2»:

\[\begin{align} & 0,5=\frac{1}{2}={{2}^{-1}}\Rightarrow {{\left( 0,5 \right)}^{-4x-8}}={{\left( {{2}^{-1}} \right)}^{-4x-8}}={{2}^{4x+8}}; \\ & 16={{2}^{4}}\Rightarrow {{16}^{x+1,5}}={{\left( {{2}^{4}} \right)}^{x+1,5}}={{2}^{4x+6}}; \\ & {{2}^{4x+8}}-{{2}^{4x+6}} \gt 768. \\\end{align}\]

Отлично, первый шаг мы сделали — всё привели к одному и тому же основанию. Теперь необходимо выделить устойчивое выражение. Заметим, что ${{2}^{4x+8}}={{2}^{4x+6+2}}={{2}^{4x+6}}\cdot 4$. Если ввести новую переменную ${{2}^{4x+6}}=t$, то исходное неравенство можно переписать так:

\[\begin{align} & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256={{2}^{8}}; \\ & {{2}^{4x+6}} \gt {{2}^{8}}; \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac{1}{2}=0,5. \\\end{align}\]

Естественно, может возникнуть вопрос: каким это образом мы обнаружили, что 256 = 2⁸? К сожалению, тут нужно просто знать степени двойки (а заодно степени тройки и пятёрки). Ну, или делить 256 на 2 (делить можно, поскольку 256 — чётное число) до тех пор, пока не получим результат. Выглядеть это будет примерно так:

\[\begin{align} & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & ={{2}^{8}}.\end{align}\]

То же самое и с тройкой (числа 9, 27, 81 и 243 являются её степенями), и с семёркой (числа 49 и 343 тоже было бы неплохо запомнить). Ну, и у пятёрки тоже есть «красивые» степени, которые нужно знать:

\[\begin{align} & {{5}^{2}}=25; \\ & {{5}^{3}}=125; \\ & {{5}^{4}}=625; \\ & {{5}^{5}}=3125. \\\end{align}\]

Конечно, все эти числа при желании можно восстановить в уме, просто последовательно умножая их друг на друга. Однако, когда вам предстоит решить несколько показательных неравенств, причём каждое следующее сложнее предыдущего, то последнее, о чём хочется думать — это степени каких-то там чисел. И в этом смысле данные задачи являются более сложными, нежели «классические» неравенства, которые решаются методом интервалов.

Надеюсь, этот урок помог вам в освоении данной темы. Если что-то непонятно — спрашивайте в комментариях. И увидимся в следующих уроках.:)

Смотрите также:

Простейшие показательные уравнения
Преобразование показательных уравнений
Десятичные дроби
Решение задач B12: №448—455
Метод интервалов: случай нестрогих неравенств
ЕГЭ-2014 по математике и открытый банк задач

www.berdov.com

Показательные неравенства. Как решать показательные неравенства?

Примеры:

$4^{x}\geq32$

$5^{2x-1}-5^{2x-3}≤4,8$

$(\sqrt{7})^{2x+2}-50(\sqrt{7})^{x}+7>0$

Как решать показательные неравенства?

Нужно стремиться свести неравенство к виду: $a^{f(x)}$ $˅$ $a^{g(x)}$ ($˅$ означает любой из знаков сравнения) – это позволяет избавиться от оснований и сделать переход к виду $f(x) ˅ g(x)$.

Примеры:

$4^{x}≥32$	$(0,5)^{2x}>0,125$
$2^{2x}≥2^5$	$(0,5)^{2x}>(0,5)^3$
$2x≥5$	$2x<3$
$x≥2,5$	$x<1,5$

Но есть одна важная тонкость в переходе в показательных неравенствах:
$-$ если основание степени больше $1$, то знак неравенства должен оставаться прежним,
$-$ если же основание — число большее $0$, но меньшее $1$ (лежит между нулем и единицей), то знак неравенства должен меняться на противоположный, т.е.

Примеры:

$2^{x+1}$ $≥$ $2^3 ⇒ x+1$ $≥$ $3$

$0,5^{4x+3}$ $≤$ $0,5^{6x-1} ⇒ 4x+3$ $≥$ $6x-1$

Важно! Есть два требования для перехода в показательных неравенствах:
$-$ число в основании степени слева и справа должно быть одинаковым;
$-$ степени слева и справа должны быть «чистыми», то есть не должно быть никаких коэффициентов, умножений, делений и т.д.

Например:

1) $3^{x+2}>5^{8-x}$	Переход к $x+2> 8-x $ невозможен, так как в основаниях разные числа
2) $7^{x}+7^{3x}<7^{2x}$	Переход к $x+3x<2x$ невозможен, так как степени не «чистые» (слева есть сумма)
3) $2^{5-x}≥-2^{7x}$	Переход к $5-x≥7x$ невозможен, так как степени не «чистые» (перед степенью справа стоит минус)

Пример. Решить показательное неравенство: $2^{x}+2^{x+2}\leq 20$
Решение:

$2^{x}+2^{x+2}\leq 20$		Сразу переход делать нельзя, сумма в левой части не дает. Поэтому используем свойства степеней и преобразуем $2^{x+2}=2^{x} \cdot 2^2=4 \cdot 2^x$
$2^{x}+4 \cdot 2^{x}\leq 20$		Теперь $2^x$ и $4 \cdot 2^{x}$ – подобные слагаемые, можно их сложить
$5 \cdot 2^x≤20$ $\| ∶5$		Делим обе части неравенства на $5$
$2^x≤4$		Представляем четверку как $2^2$
$2^x≤2^2$		Вот теперь делаем переход: избавляемся от оснований, не меняя знак сравнения, т.к. основание $2>1$
$x≤2$

Ответ: $x∈(-∞;2]$

Пример. Решить показательное неравенство: $4^{2x}-5 \cdot 4^{x}+4< 0$
Решение:

$4^{2x}-5 \cdot 4^{x}+4< 0$		Перед нами типичное показательно-квадратное неравенство. Преобразуем по свойству степеней $4^{2x}=(4^x)^2$, чтобы на следующем шаге сделать замену.
$(4^{x})^2-5 \cdot 4^{x}+4< 0$		Делаем замену переменных
$t=4^x$		Записываем неравенство в новом виде
$t^2-5t+4<0$		Раскладываем на множители правую часть
$(t-1)(t-4)<0$		Решаем неравенство с помощью метода интервалов
		Записываем промежуточное решение в виде системы и делаем обратную замену
$\begin{cases}t>1\\t<4\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}4^x>1\\4^x<4\end{cases}$		Решаем показательные неравенства
$\begin{cases}4^x>4^0\\4^x<4^1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x>0\\x<1\end{cases}$		Записываем ответ

Ответ: $x∈(0;1)$

Решение показательных неравенств с разными основаниями

А что делать, если невозможно привести левую и правую часть неравенства к степеням с одинаковыми основаниями (т.е. к виду $a^{f(x)} ˅ a^{g(x)})$ ? Тогда на сцену выходит его величество логарифм. По основному логарифмическому тождеству — $c=a^{\log_{a}{⁡c}}$ , а значит любое положительное число можно представить в виде степени с любым основанием: $5=2^{\log_{2}{5}}$ ; $0,1=200^{\log_{200}{⁡0,1}}$ и т.д.

Пример: Решить показательное неравенство:

$0,2^{-7x+4}≥4$		Заменим $4$ на $0,2^{\log_{0,2}{⁡4}}$
$0,2^{-7x+4}≥0,2^{\log_{0,2}{4}}$		Избавимся от оснований с переменой знака т.к. $0,2<1$
$-7x+4≤\log_{0,2}⁡{4}$		$\log_{0,2}{⁡4}$ – число некрасивое, но все-таки число, т.е. перед нами обычное линейное неравенство. Будем выражать $x$, для этого перенесем $4$ в правую часть
$-7x≤\log_{0,2}{⁡4}-4$		Поделим обе части на $-7$
$x≥$ $\frac{4-\log_{0,2}{⁡4}}{7}$

Ответ: $x∈$$[\frac{4-\log_{0,2}{⁡4}}{7}$$;∞)$
Знаю, выглядит не очень, но ответ не выбирают.

Особые виды показательных неравенств

Решим неравенство $5^x<-5$. Подумайте, каким должен быть икс, чтобы $5^x$ превратилось в $-5$? Наверно, вы подумали о минус единице? Давайте проверим эту гипотезу: $5^{-1}=\frac{1}{5}$ – не подходит.

На самом деле, никакая степень не превратит положительное число в отрицательное. Почему? Потому что показателе степени говорит лишь о том сколько раз умножается само на себя основание. А основание – положительно, и произведение положительных чисел – всегда положительно.

Таким образом, никакой $x$ не сделает $5^x$ отрицательным. То же самое можно сказать про $2^x$, $3^x$, $4^x$, $6^x$ и т.д.

Если $a$ – положительно, то $a^x>0$ при любых $x$

Поэтому у показательного неравенства $5^x<-5$ нет решений.

Рассмотрим обратное неравенство: $5^x>-5$.

$5^x$ – всегда больше нуля, и, уж тем более, оно будет больше $-5$. Значит, решением неравенства $5^x>-5$ будет любое число: $x∈(-∞;∞)$.

Смотрите также:
Показательные уравнения
Логарифмические уравнения
Равносильные преобразования неравенств
Логарифмические неравенства

Скачать статью

cos-cos.ru

Показательные неравенства. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

На данном уроке мы рассмотрим различные показательные неравенства и научимся их решать, основываясь на методике решения простейших показательных неравенств.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства»

Напомним определение и основные свойства показательной функции. Именно на свойствах базируется решение всех показательных уравнений и неравенств.

Показательная функция – это функция вида , где основание степени и Здесь х – независимая переменная, аргумент; у – зависимая переменная, функция.

Рис. 1. График показательной функции

На графике показаны возрастающая и убывающая экспоненты, иллюстрирующие показательную функцию при основании большем единицы и меньшем единицы, но большим нуля соответственно.

Обе кривые проходят через точку (0;1)

Свойства показательной функции:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция монотонна, при возрастает, при убывает.

Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.

При , когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция возрастает от нуля не включительно до плюс бесконечности, т. е. при данных значениях аргумента мы имеем монотонно возрастающую функцию (

). При

наоборот, когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция убывает от бесконечности до нуля не включительно, т. е. при данных значениях аргумента мы имеем монотонно убывающую функцию (

На основании вышесказанного приведем методику решения простейших показательных неравенств:

Методика решения неравенств:

Уравнять основания степеней;

Сравнить показатели, сохранив или изменив на противоположный знак неравенства.

Решение сложных показательных неравенств заключается, как правило, в их сведении к простейшим показательным неравенствам.

Пример 1:

Преобразуем правую часть согласно свойствам степени:

interneturok.ru

Урок 2. Показательные неравенства. Системы показательных уравнений и неравенств. Практика

В практической части урока мы разберём различные примеры на решение систем показательных уравнений, основных типов показательных неравенств и их систем..

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 1. Повторение. Показательная функция. Показательные уравнения

Практика

Конспект урока

Пример №1. Решить неравенство:

Правило: привести к одинаковому основанию.

Так как основание больше 1, знак неравенства не меняется

Ответ:

Пример №2. Решить неравенство:

Так как основание больше 1, знак неравенства не меняется

Ответ:

Пример №3. Решить неравенство:

Так как основание меньше 1, знак неравенства меняется

Ответ:

Пример №4. Решить неравенство:

Вспоминаем свойства показательной функции:

, значит,

Данное неравенство не имеет решений.

Пример №5. Решить неравенство:

По аналогии с предыдущим неравенством: (а, значит, ) для всех из области определения, то есть

interneturok.ru

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств.

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

$a^{f(x)}$ V $a^{g(x)}$ , где V — один из знаков: <,>,≤, или ≥.

Чтобы решить показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция $y=a^{f(x)}$ возрастает при всех действительных значениях , если a>1 a>1 . Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ a>1 следует неравенство a>1

Аналогично, так как показательная функция убывает, если 0<a<1 , и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ a>1 следует неравенство a>1

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Ещё раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Решим неравенство:

${(0,3)}^{x/{x-2}}<{(0,3)}^{6/{x-1}}$ a>1

Так как основание степеней 0,3<1 , при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

a>1

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

a>1

${x^2-7x+12}/{(x-1)(x-2)}>0$ a>1

Корни числителя:

x_1=3 , x_2=4

a>1

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ: x<1 a>1 , 2<x<3 a>1 , x>4 a>1

2. Решим неравенство:

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

$5^{2x}-6*5^x+5<0$

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню на этом примере.

Введем замену: t=5^x , t>0 a>1

Получим систему неравенств:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t^{2}-6t+5<0} {t>0} }}{ }$ a>1

Отсюда:

a>1 a>1

То есть 1<t<5 a>1

Запишем двойное неравенство в виде системы:

a>1

Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5^{x}>1} {5^{x}<5} }}{ }$ a>1

Отсюда: x>0 a>1 , x<1 a>1

Ответ: 0<x<1 a>1

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Показательные неравенства

Решение простейших показательных неравенств основано на свойствах монотонности показательной функции при и . Вы знаете, что эта функция возрастает при а и убывает при .

Если а , то есть функция является возрастающей, тогда справедливо следующее утверждение: для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

Если , то есть функция является убывающей, тогда справедливо следующее утверждение: для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

Рассмотрим некоторые виды показательных неравенств и методы их решения.

Первый метод: приведение обеих частей неравенства к одному основанию.

Решим неравенство 1: .

Решение.

Поскольку , а , то исходное неравенство равносильно неравенству .

Основание степени , следовательно, функция возрастающая.

Значит, можем записать, что

Отсюда .

Ответ: решением исходного неравенства является .

Решим неравенство 2: .

Решение.

Поскольку , то функция убывающая. Значит, данное неравенство равносильно следующему .

Возведём обе части уравнения в квадрат. Получим неравенство . Область определения этого неравенства .

Перенесём слагаемые из левой части неравенства в правую .

Приведём подобные. Имеем .

Решениями последнего неравенства будут и .

Мы с вами уже говорили, что область определения предыдущего неравенства

. Тогда решением исходного неравенства является объединение промежутков

Не забудем записать ответ .

Второй метод: вынесение общего множителя за скобки.

Решим неравенство 1: .

Решение.

Тогда исходное неравенство мы можем переписать в следующем виде .

Теперь в левой части последнего неравенства вынесем общий множитель .

Вычислим выражение в скобках. Получим .

Разделим обе части получившегося неравенства на 13.

Получим , или

, то есть имеем возрастающую функцию.

Значит, можем записать . Отсюда .

Запишем ответ: .

Решим неравенство 2:

Решение.

В левой части неравенства вынесем за скобки, в правой части за скобки. Получим равносильное неравенство .

Посчитаем выражения в скобках. Получим

Теперь разделим обе части неравенства на , при этом не забудем поменять знак неравенства на противоположный.

Сократим. Получим . Или.

Заметим, что в получившемся неравенстве равны не основания степени, а показатели. Разделим обе части этого неравенства на . Тогда имеем неравенство или .

, то есть наша функция убывающая.

Значит .

Не забудем записать ответ: .

Метод 3: решение неравенства при помощи замены , где .

Решим неравенство: .

Решение. Преобразуем исходное неравенство. Первое слагаемое .

Тогда наше неравенство примет следующий вид: .

Введём замену , где, . Тогда получившееся неравенство примет следующий вид: .

Найдём корни уравнения .

Его корнями будут и .

Тогда наше неравенство можем разложить на следующие множители . Решим это неравенство методом интервалов.

Видим, решением данного неравенства является промежуток от минус одной второй и до четырёх.

Когда мы вводили замену, то говорили, что .

Значит, решением последнего неравенства будет промежуток .

Вернёмся к замене. Тогда получаем, что , или .

, имеем возрастающую функцию.

Значит, , или .

Запишем ответ: .

Неравенство 2: .

Решение. Обратите внимание, первое слагаемое мы можем записать, как , а последнее представить, как .

Тогда наше исходное неравенство мы можем привести к следующему виду: .

Разделим обе части неравенства на . Получим .

Введём замену , где и поменяем местами второе и третье слагаемые.

Тогда наше неравенство примет вид .

Решим уравнение .

Применяя теорему Виета, получаем, что это уравнение имеет два корня и .

Первый корень не подходит, так как при вводе замены, мы говорили, что

Значит, решением неравенства будет .

Вернёмся к замене. Получим неравенство , или .

. Значит, функция убывающая.

Тогда имеем неравенство .

Не забудем записать ответ .

videouroki.net

\(4^{x}≥32\)	\((0,5)^{2x}>0,125\)
\(2^{2x}≥2^5\)	\((0,5)^{2x}>(0,5)^3\)
\(2x≥5\)	\(2x<3\)
\(x≥2,5\)	\(x<1,5\)

1) \(3^{x+2}>5^{8-x}\)	Переход к \(x+2> 8-x \) невозможен, так как в основаниях разные числа
2) \(7^{x}+7^{3x}<7^{2x}\)	Переход к \(x+3x<2x\) невозможен, так как степени не «чистые» (слева есть сумма)
3) \(2^{5-x}≥-2^{7x}\)	Переход к \(5-x≥7x\) невозможен, так как степени не «чистые» (перед степенью справа стоит минус)

\(2^{x}+2^{x+2}\leq 20\)		Сразу переход делать нельзя, сумма в левой части не дает. Поэтому используем свойства степеней и преобразуем \(2^{x+2}=2^{x} \cdot 2^2=4 \cdot 2^x\)
\(2^{x}+4 \cdot 2^{x}\leq 20\)		Теперь \(2^x\) и \(4 \cdot 2^{x}\) – подобные слагаемые, можно их сложить
\(5 \cdot 2^x≤20\) \(\| ∶5\)		Делим обе части неравенства на \(5\)
\(2^x≤4\)		Представляем четверку как \(2^2\)
\(2^x≤2^2\)		Вот теперь делаем переход: избавляемся от оснований, не меняя знак сравнения, т.к. основание \(2>1\)
\(x≤2\)

\(4^{2x}-5 \cdot 4^{x}+4< 0\)		Перед нами типичное показательно-квадратное неравенство. Преобразуем по свойству степеней \(4^{2x}=(4^x)^2\), чтобы на следующем шаге сделать замену.
\((4^{x})^2-5 \cdot 4^{x}+4< 0\)		Делаем замену переменных
\(t=4^x\)		Записываем неравенство в новом виде
\(t^2-5t+4<0\)		Раскладываем на множители правую часть
\((t-1)(t-4)<0\)		Решаем неравенство с помощью метода интервалов
		Записываем промежуточное решение в виде системы и делаем обратную замену
\(\begin{cases}t>1\\t<4\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}4^x>1\\4^x<4\end{cases}\)		Решаем показательные неравенства
\(\begin{cases}4^x>4^0\\4^x<4^1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x>0\\x<1\end{cases}\)		Записываем ответ

\(0,2^{-7x+4}≥4\)		Заменим \(4\) на \(0,2^{\log_{0,2}{⁡4}}\)
\(0,2^{-7x+4}≥0,2^{\log_{0,2}{4}}\)		Избавимся от оснований с переменой знака т.к. \(0,2<1\)
\(-7x+4≤\log_{0,2}⁡{4}\)		\(\log_{0,2}{⁡4}\) – число некрасивое, но все-таки число, т.е. перед нами обычное линейное неравенство. Будем выражать \(x\), для этого перенесем \(4\) в правую часть
\(-7x≤\log_{0,2}{⁡4}-4\)		Поделим обе части на \(-7\)
\(x≥\) \(\frac{4-\log_{0,2}{⁡4}}{7}\)