Схема Горнера. Примеры с пояснениями.

Схема Горнера – способ деления многочлена

$$P_n(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$$

на бином $x-a$. Работать придётся с таблицей, первая строка которой содержит коэффициенты заданного многочлена. Первым элементом второй строки будет число $a$, взятое из бинома $x-a$:

После деления многочлена n-ой степени на бином $x-a$, получим многочлен, степень которого на единицу меньше исходного, т.е. равна $n-1$. Непосредственное применение схемы Горнера проще всего показать на примерах.

Пример №1

Разделить $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$, используя схему Горнера.

Решение

Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$, расположенные по убыванию степеней переменной $x$. Заметьте, что данный многочлен не содержит $x$ в первой степени, т.е. коэффициент перед $x$ в первой степени равен 0. Так как мы делим на $x-1$, то во второй строке запишем единицу:

Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. Во вторую ячейку второй строки запишем число $5$, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки:

Следующую ячейку заполним по такому принципу: $1\cdot 5+5=10$:

Аналогично заполним и четвертую ячейку второй строки: $1\cdot 10+1=11$:

Для пятой ячейки получим: $1\cdot 11+0=11$:

И, наконец, для последней, шестой ячейки, имеем: $1\cdot 11+(-11)=0$:

Задача решена, осталось только записать ответ:

Как видите, числа, расположенные во второй строке (между единицей и нулём), есть коэффициенты многочлена, полученного после деления $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$. Естественно, что так как степень исходного многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ равнялась четырём, то степень полученного многочлена $5x^3+10x^2+11x+11$ на единицу меньше, т.е. равна трём. Последнее число во второй строке (ноль) означает остаток от деления многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$. В нашем случае остаток равен нулю, т.е. многочлены делятся нацело. Этот результат ещё можно охарактеризовать так: значение многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ при $x=1$ равно нулю.

Можно сформулировать вывод и в такой форме: так как значение многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ при $x=1$ равно нулю, то единица является корнем многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$.

Пример №2

Разделить многочлен $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ на $x+3$ по схеме Горнера.

Решение

Сразу оговорим, что выражение $x+3$ нужно представить в форме $x-(-3)$. В схеме Горнера будет учавствовать именно $-3$. Так как степень исходного многочлена $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ равна четырём, то в результате деления получим многочлен третьей степени:

Полученный результат означает, что

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^3+4x-17)+4$$

В этой ситуации остаток от деления $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ на $x+3$ равна $4$. Или, что то самое, значение многочлена $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ при $x=-3$ равно $4$. Кстати, это несложно перепроверить непосредственной подстановкой $x=-3$ в заданный многочлен:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$

Т.е. схему Горнера можно использовать, если необходимо найти значение многочлена при заданном значении переменной. Если наша цель – найти все корни многочлена, то схему Горнера можно применять несколько раз подряд, – до тех пор, пока мы не исчерпаем все корни, как рассмотрено в примере №3.

Пример №3

Найти все целочисленные корни многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$, используя схему Горнера.

Решение

Коэффициенты рассматриваемого многочлена есть целые числа, а коэффициент перед старшей степенью переменной (т.е. перед $x^6$) равен единице. В этом случае целочисленные корни многочлена нужно искать среди делителей свободного члена, т.е. среди делителей числа 45. Для заданного многочлена такими корнями могут быть числа $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ и $-45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. Проверим, к примеру, число $1$:

Табл. №1

Как видите, значение многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ при $x=1$ равно $192$ (последнее число в второй строке), а не $0$, посему единица не является корнем данного многочлена. Так как проверка для единицы окончилась неудачей, проверим значение $x=-1$. Новую таблицу для этого составлять не будем, а продолжим использование табл. №1, дописав в нее новую (третью) строку. Вторую строку, в которой проверялось значение $1$, выделим красным цветом и в дальнейших рассуждениях использовать её не будем.

Можно, конечно, просто переписать таблицу заново, но при заполнении вручную это займет немало времени. Тем более, что чисел, проверка которых окончится неудачей, может быть несколько, и каждый раз записывать новую таблицу затруднительно. При вычислении «на бумаге» красные строки можно просто вычёркивать.

Табл. №2

Итак, значение многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ при $x=-1$ равно нулю, т.е. число $-1$ есть корень этого многочлена. После деления многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ на бином $x-(-1)=x+1$ получим многочлен $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$, коэффициенты которого взяты из третьей строки табл. №2 (см. пример №1). Результат вычислений можно также представить в такой форме:

\begin{equation}x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45) \end{equation}

Продолжим поиск целочисленных корней. Теперь уже нужно искать корни многочлена $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Опять-таки, целочисленные корни этого многочлена ищут среди делителей его свободного члена, – числа $45$. Попробуем ещё раз проверить число $-1$. Новую таблицу составлять не будем, а продолжим использование предыдущей табл. №2, т.е. допишем в нее еще одну строку:

Итак, число $-1$ является корнем многочлена $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Этот результат можно записать так:

\begin{equation}x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end{equation}

Учитывая равенство (2), равенство (1) можно переписать в такой форме:

\begin{equation}\begin{aligned} & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^4-22x^2+24x+45)\end{aligned}\end{equation}

Теперь уже нужно искать корни многочлена $x^4-22x^2+24x+45$, – естественно, среди делителей его свободного члена (числа $45$). Проверим еще раз число $-1$:

Число $-1$ является корнем многочлена $x^4-22x^2+24x+45$. Этот результат можно записать так:

\begin{equation}x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end{equation}

С учетом равенства (4), равенство (3) перепишем в такой форме:

\begin{equation}\begin{aligned} & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3+24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^2-21x+45)\end{aligned}\end{equation}

Теперь ищем корни многочлена $x^3-x^2-21x+45$. Проверим еще раз число $-1$:

Проверка окончилась неудачей. Выделим шестую строку красным цветом и попробуем проверить иное число, например, число $3$:

В остатке ноль, посему число $3$ – корень рассматриваемого многочлена. Итак, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Теперь равенство (5) можно переписать так:

\begin{equation}\begin{aligned} & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45= \\ & =(x+1)^3(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x-3)(x^2+2x-15)\end{aligned}\end{equation}

Проверим ещё раз число $3$:

Полученный результат можно записать так (это продолжение равенства (6)):

\begin{equation} \begin{aligned} & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^3(x-3)(x^2+2x-15)= \\ & =(x+1)^3(x-3)(x-3)(x+5)=(x+1)^3(x-3)^2(x+5) \end{aligned} \end{equation}

Из последней скобки видно, что число $-5$ также является корнем данного многочлена. Можно, конечно, формально продолжить схему Горнера, проверив значение $x=-5$, но необходимости в этом нет. Итак,

$$ x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^3(x-3)(x^2+2x-15)=(x+1)^3(x-3)^2(x+5)$$

Числа $-1; \; 3; \; 5$ – корни данного многочлена. Причем, так как скобка $(x+1)$ в третьей степени, то $-1$ – корень третьего порядка; так как скобка $(x-3)$ во второй степени, то $3$ – корень второго порядка; так как скобка $(x+5)$ в первой степени, то $x=-5$ – корень первого порядка (простой корень).

Вообще, обычно оформление таких примеров состоит из таблицы, в которой перебираются возможные варианты корней, и ответа:

Из таблицы следует вывод, полученный нами ранее с подробным решением:

$$ x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^3(x-3)(x^2+2x-15)=(x+1)^3(x-3)^2(x+5)$$

Пример №4

Убедиться, что числа $2$ и $-5$ являются корнями многочлена $3x^6+9x^5-28x^4+6x^3-30x^2-30x+100$. Разделить заданный многочлен на биномы $x-2$ и $x+5$.

Решение

Степень многочлена $3x^6+9x^5-28x^4+6x^3-30x^2-30x+100$ равна $6$. После деления на два заданных бинома степень заданного многочлена уменьшится на $2$, т.е. станет равна $4$.

Конечно, данный метод подбора малоэффективен в общем случае, когда корни не являются целыми числами, но для целочисленных корней метод довольно-таки неплох.

math1.ru

Схема Горнера

Всем доброго времени суток! В этой статье мы научимся делить многочлены по схеме Горнера. Это простой и мощный механизм, которым совершенно необходимо владеть, чтобы решать некоторые рациональные уравнения задания 15 профильного ЕГЭ.

При решении таких уравнений корни заранее неизвестны, да и при разложении многочлена на множители мы также не знаем заранее, на какой бином поделится наш многочлен. Как же узнать, на какой бином разделить многочлен?

Если многочлен имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена – правило вытекает из теоремы Безу

Пример 1.

Определим, какие числа являются, например, корнями многочлена . Если этот многочлен имеет целые корни, то они являются делителями числа (-2): это могут быть . Проверим подстановкой – если при подстановке этих чисел в исходный многочлен получим ноль, то данное число – корень:

 

 

Кроме 1, ни одно число не подошло, значит, бином  поделит этот многочлен нацело (без остатка). Деление теперь можно выполнить как в столбик (уголком), так и по схеме Горнера – сейчас мы до нее дойдем, только еще раз потренируемся в определении корней.

 

Пример 2. 

Определим корни многочлена . Целые делители свободного члена – только 1 и (-1):

 

Корнем многочлена является 1, поэтому многочлен без остатка поделится на бином .

Пример 3. 

Определим корни многочлена . Целые делители свободного члена – . Проверим их:

 

Корнями многочлена являются как 1, так и (-1),  поэтому многочлен без остатка поделится на биномы и – а в итоге на .

Теперь, когда мы научились определять, есть ли у многочлена целые корни, можем перейти собственно к схеме Горнера. Чтобы ею воспользоваться, нужно составить таблицу, в верхней строке которой будут расположены коэффициенты нашего многочлена. Поучимся заполнять эту строку. Определим коэффициенты многочлена  и запишем их в таблицу. Этот многочлен пятой степени, поэтому коэффициентов будет 6: при каждой из степеней , включая нулевую (свободный член). Если какой-то степени нет в записи многочлена, то это означает, что коэффициент при ней нулевой:

Получили эдакую зашифрованную запись многочлена.

Еще пример, многочлен , его коэффициенты:

Полдела сделано: верхнюю строку научились заполнять, а нижняя – это уже решение, то есть результат деления в таком же, “зашифрованном”, виде. Каков же порядок заполнения нижней строки? Во-первых, у нее будет дополнительная ячейка слева, куда мы впишем корень многочлена, образующий бином, на который мы собираемся делить. Например, если делим на , то корнем многочлена является число 2, если делим на , то в эту ячейку впишем (-9). Пример: хотим разделить  на , таблица изначально будет выглядеть так:

Как уже было сказано, ответ будет “зашифрован” в пустых пока ячейках. Наверное, вы догадались, что там окажутся коэффициенты нового, полученного при делении, многочлена. Только внимание! Степень полученного многочлена уменьшится на 1: ведь мы делим на бином, куда  входит в первой степени. Например, если сейчас мы начнем заполнять эту табличку, то под двойкой, которая была в делимом коэффициентом при пятой степени, окажется коэффициент при четвертой степени искомого частного, под 4 – коэффициент при кубе частного и т.д.

Так же просто заполнить вторую ячейку нижней строки: в нее просто вписывается число, стоящее в первой строчке:

 

Рассмотрим дальнейшее заполнение таблицы на конкретном примере: разделим  на бином  (так как (-1) – это корень данного многочлена). Заполняем таблицу, пока только ту часть, которую умеем:вписываем коэффициенты в верхнюю строку, в дополнительную ячейку слева – корень (-1), в следующую переносим 1 из верхней строки:

 

Чтобы заполнить следующую ячейку, берем корень, умножаем его на имеющийся коэффициент и прибавляем к полученному числу то, которое стоит над пустой ячейкой:

 

Чтобы заполнить следующую, все повторяем:

 

И опять:

 

И вот так закончится заполнение таблицы:

“Расшифровываем” ответ, при этом помним, что степень понизилась на 1::

Ответ: 

Ноль в последней графе – это нулевой остаток от деления – то есть один многочлен поделился на другой “нацело”.

Решим еще пример. Разделим  на . Составим таблицу:

 

Начинаем рассчитывать коэффициенты и заполнять таблицу. Первое число из верхней строки переписываем вниз, умножаем на него корень, к результату добавляем число из верхней строки:

 

Также вычисляем следующий коэффициент:

 

И далее:

 

Получили ответ: . Здесь остаток от деления также равен нулю.

Этот способ хорош своей быстротой и простотой. Им можно пользоваться и при делении с остатком: тогда в последней графе таблицы будет стоять не ноль, а этот самый остаток. Недостаток способа – неудобство деления в случае, если корень не целый, а представляет собой дробь.

Попробуем выполнить деление по схеме Горнера, если корень не целый, да еще и остаток есть. Поделим многочлен на бином . Заполняем таблицу:

 

Расшифруем ответ:

 

Итак, получилось следующее. При делении получился многочлен  и остаток . Запишем это иначе: . Если есть желание проверить – раскройте скобки в этой формуле.

Наконец, об уравнениях высоких степеней. Иногда однократное деление не приводит к окончанию  решения, потому что корней несколько и многочлен можно продолжать делить. В этом случае, выполнив деление и получив новый многочлен степенью ниже, снова пытаются найти целые корни среди делителей его свободного члена. При этом подстановка предполагаемых корней в многочлен может занимать даже больше времени, чем заполнение таблицы по Горнеру. Тогда таблицу продолжают вниз, дополняя ее просто новыми строками, а в случае появления остатка (деление не выполнено) эту строчку зачеркивают и пробуют новый корень в следующей строке. Пример:

Решить уравнение:  . Делителями свободного члена являются:  и так далее. Пробуем сначала подставить 1 и (-1) в сам многочлен – такая подстановка дает нам один корень, это 1.  Выполняем деление по схеме Горнера:

 

Запишем, что получилось:   – получили тот же свободный член, и можем снова использовать те же делители, чтобы проверить, не являются ли они корнями. Однако теперь подстановка 1 и (-1) показывает, что эти два числа не являются корнями. Проверяем тогда 2 и (-2) – только не будем подставлять их в многочлен, а сразу попытаемся делить по Горнеру. А таблица у нас уже готова, и в ней все коэффициенты! Поэтому продолжаем ее заполнять, добавляя строки:

 

Так как остаток ненулевой, то 2 – не корень. Строку вычеркнем и попробуем (-2):

 

Та же картина, опять получили ненулевой остаток. Далее пробуем 3 и (-3):

 

Получилось! Теперь имеем: . Делителями нового свободного члена являются  . Пробовать   не будем: очевидно, что они не могут быть корнями – это выяснилось на предыдущих этапах. Поэтому пробуем  .

 

Получили: . Дальше деление по Горнеру можно и не выполнять: корни с очевидностью можно найти по теореме Виета – это 5 и 6. Тогда . Разложение выполнено, корни уравнения найдены.

Надеюсь, статья вам помогла, до следующих исследований!

easy-physic.ru

Схема Горнера. Корни многочлена

Цели урока:

• научить учащихся решать уравнения высших степеней используя схему Горнера;
• воспитывать умение работать в парах;
• создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей учащихся;
• помочь ученику оценить свой потенциал, развивать интерес к математике, умение мыслить, высказываться по теме.

Оборудование: карточки для работы в группах, плакат со схемой Горнера.

Метод обучения: лекция, рассказ, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Форма контроля: проверка задач самостоятельного решения, самостоятельная работа.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Актуализация знаний учащихся

— Какая теорема позволяет определить, является ли число корнем данного уравнения  (сформулировать теорему)? 

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х-с равен Р(с), число с называют корнем многочлена Р(х), если Р(с)=0. Теорема позволяет, не выполняя операцию деления, определить, является ли данное число корнем многочлена.

— Какие утверждения облегчают поиск корней?

а) Если старший коэффициент многочлена равен единице, то корни многочлена следует искать среди делителей свободного члена.

б) Если сумма коэффициентов многочлена равна 0, то один из корней равен 1.

в)Если сумма коэффициентов стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах, то один из корней равен -1.

г) Если все коэффициенты положительны, то корнями многочлена являются отрицательные числа.

д) Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. Изучение нового материала

При решении  целых алгебраических уравнений приходиться находить значения корней многочленов. Эту операцию можно существенно упростить, если проводить вычисления по специальному алгоритму, называемому схемой Горнера. Эта схема названа в честь английского ученого Уильяма Джорджа Горнера. Схема Горнера  это алгоритм для вычисления частного и остатка от деления многочлена Р(х) на х-с. Кратко, как он устроен.

Пусть дан произвольный многочлен Р(х)=а₀хⁿ+ а₁х^n-1+ …+ а_n-1х+ а_n. Деление этого многочлена на х-с – это представление его в виде Р(х)=(х-с)g(х) + r(х).  Частное  g(х)=в₀х^n-1+ в_nх^n-2

+…+в_n-2х + в_n-1, где в₀=а₀, в_n=св_n-1 +а_n,  n=1,2,3,…n-1. Остаток r(х)= св_n-1 +а_n . Этот метод вычисления и называется схемой Горнера. Слово « схема» в названии алгоритма связана с тем, что обычно его выполнение оформляют следующим образом. Сначала рисуют таблицу 2(n+2). В левой нижней клетке записывают число с, а в верхней строке коэффициенты  многочлена Р(х). При этом левую верхнюю клетку оставляют пустой.

	а0	а1	а2	…	аn-1	аn
с	в0=а0	в1=св1 +а1	в2=св1+а2	…	вn-1=свn-2+аn-1	r(х)=f(с)=свn-1 +аn

Число, которое после выполнения алгоритма оказывается записанным в правой нижней клетке, и есть остаток от деления многочлена Р(х) на х-с. Другие числа в₀, в₁, в₂,… нижней строки являются коэффициентами частного.

Например : Разделить многочлен Р(х)= х³-2х+3 на х-2.

1.

2.

	1	0	-2	3
2	1	1*2+0=2

3.

	1	0	-2	3
2	1	2	2*2-2 =2

4.

	1	0	-2	3
2	1	2	2	2*2+3=7

 Получаем, что х³-2х+3=(х-2) (х²+2х+2) + 7.

4. Закрепление изученного материала

Пример 1:  Разложите на множители с целыми коэффициентами многочлен Р(х)=2х4-7х³-3х²+5х-1.

Решение: 

Ищем целые корни среди делителей свободного члена -1:  1; -1. Составим таблицу:

	2	-7	-3	5	-1
-1	2	-9	6	-1	0

X = -1 – корень                                        

Р(х)= (х+1) (2х³ -9х² +6х -1)

Проверим 1/2.

	2	-9	6	-1
1/2	2	-8	2	0	Х=1/2 — корень

Следовательно, многочлен Р(х) можно представить в виде                                                  

Р(х)= (х+1) (х-1/2) (х² -8х +2) = (х+1) (2х -1) (х² — 4х +1)

Пример 2: Решить уравнение 2х⁴ — 5х³ + 5х² — 2 = 0

Решение:

Так как сумма коэффициентов многочлена , записанного в левой части уравнения, равна нулю, то один из корней 1. Воспользуемся схемой Горнера:

	2	-5	5	0	-2
1	2	-3	2	2	0	Х=1 — корень

Получаем  Р(х)=(х-1) (2х³ -3х² =2х +2). Будем искать корни среди делителей свободного члена 2.

	2	-3	2	2
1	2	-1	1	3
-1	2	-5	7	-5
2	2	1	4	10
-2	2	-7	16	-30

Выяснили, что целых корней больше нет. Проверим 1/2; -1/2.

	2	-3	2	2
1/2	2	-2	1	2,5
-1/2	2	-4	4	0	Х= -1/2 — корень

Итак (х-1) (х+1/2) (2х² – 4х +4)=0.  Далее решаем квадратное уравнение 2х²-4х +4 = 0.  Д/4=1-2= -1. Значит это уравнение корней не имеет.

Ответ: 1; -1/2.                                                                                                                                  

Пример 3: Решить уравнение 5х⁴ – 3х³ – 4х² -3х+ 5 = 0.

Решение:

Корни данного уравнения будем искать среди делителей свободного члена 5: 1;-1;5;-5. х=1 — корень уравнения, так как сумма коэффициентов равна нулю. Воспользуемся схемой Горнера:

	5	-3	-4	-3	5
1	5	2	-2	-5	0

Можно записать (х-1) (5х³ +2х² -2х-5)=0.   Для 5х³ +2х² -2х-5=0  х=1 также является корнем и

уравнение представим в виде произведения трех множителей: (х-1) (х-1) (5х² -7х + 5)=0. Решая квадратное уравнение 5х² -7х+5=0, получили Д=49-100=-51, корней нет.

Ответ: 1.

Далее работа в парах по карточкам.

Карточка 1

1. Разложите на множители многочлен: х⁴+3х³-5х²-6х-8
2. Решите уравнение: 27х³-15х²+5х-1=0

Карточка 2

1. Разложите на множители многочлен: х⁴-х³-7х²+13х-6
2. Решите уравнение: х⁴+2х³-13х²-38х-24=0

Карточка 3

1. Разложите на множители: 2х³-21х²+37х+24
2. Решите уравнение: х³-2х²+4х-8=0

Карточка 4

1. Разложите на множители: 5х³-46х²+79х-14
2. Решите уравнение: х⁴+5х³+5х²-5х-6=0

5. Подведение итогов 

Проверка знаний при решении в парах осуществляется на уроке путем узнавания способа действия и названия ответа.

Домашнее задание: 

Решите уравнения:

а) х⁴-3х³+4х²-3х+1=0

б) 5х⁴-36х³+62х²-36х+5=0

в) х⁴+х³+х+1=4х²

г) х⁴+2х³-х-2=0

 

Литература

1. Н.Я. Виленкин и др., Алгебра и начала анализа 10 класс (углубленное изучение математики): Просвещение, 2005.
2. У.И. Сахарчук, Л.С. Сагателова, Решение уравнений высших степеней: Волгоград, 2007.
3. С.Б. Гашков, Системы счисления и их применение.

urok.1sept.ru

Схема Горнера. Примеры

РЕШЕНИЕ КУБИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО СХЕМЕ ГОРНЕРА

4x³ — 19x² + 19x + 6 = 0

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 4 — 19 + 19 + 6 = 10 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -4 — 19 — 19 + 6 = -36 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 4 ∙ 8 — 19 ∙ 4 + 19 ∙ 2 + 6 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x — 2. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

	Во вторую ячейку второй строки запишем число 1, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.
	2 ∙ 4 — 19 = -11
	2 ∙ (-11) + 19 = -3
	2 ∙ (-3) + 6 = 0

Последнее число — это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

4x³ — 19x² + 19x + 6 = (x — 2)(4x² — 11x — 3)

И теперь, всего лишь, осталось найти корни квадратного уравнения

4x² — 11x — 3 = 0
D = b² — 4ac = (-11)² — 4 ∙ 4 ∙ (-3) = 169
D > 0 ⇒ уравнение имеет 2 корня

x1,2 =	-b ± √ D	=	11 ± 13	= -0.25; 3
	2a		2∙4

Мы нашли все корни уравнения:

x = 2; 3; -0.25

tutata.ru

Формула Герона — геометрия и искусство

Герон Александрийский — греческий математик и механик.

Он первым изобрёл автоматические двери, автоматический театр кукол, автомат для продаж, скорострельный самозаряжающийся арбалет, паровую турбину, автоматические декорации, прибор для измерения протяжённости дорог (древний одометр) и др. Первым начал создавать программируемые устройства (вал со штырьками с намотанной на него верёвкой).

Занимался геометрией, механикой, гидростатикой, оптикой. Основные произведения: Метрика, Пневматика, Автоматопоэтика, Механика (произведение сохранилось целиком в арабском переводе), Катоптрика (наука о зеркалах; сохранилась только в латинском переводе) и др. В 1814 году было найдено сочинение Герона «О диоптре», в котором изложены правила земельной съёмки, фактически основанные на использовании прямоугольных координат. Герон использовал достижения своих предшественников: Евклида, Архимеда, Стратона из Лампсака. Многие из его книг безвозвратно утеряны (свитки содержались в Александрийской библиотеке).

В трактате «Механика»  Герон описал пять типов простейших машин: рычаг, ворот, клин, винт и блок.

В трактате «Пневматика» Герон описал различные сифоны, хитроумно устроенные сосуды, автоматы, приводимые в движение сжатым воздухом или паром. Это эолипил, представлявший собой первую паровую турбину — шар, вращаемый силой струй водяного пара; автомат для открывания дверей, автомат для продажи «святой» воды, пожарный насос, водяной орган, механический театр марионеток.

В книге «О диоптре» описан диоптр — простейший прибор, применявшийся для геодезических работ. Герон излагает в своём трактате правила земельной съёмки, основанные на использовании прямоугольных координат.

В «Катоптрике» Герон обосновывает прямолинейность световых лучей бесконечно большой скоростью их распространения.  Герон рассматривает различные типы зеркал, особое внимание уделяя цилиндрическим зеркалам.

«Метрика» Герона и извлечённые из неё «Геометрика» и «Стереометрика» представляют собой справочники по прикладной математике. Среди содержащихся в «Метрике» сведений:

• Формулы для площадей правильных многоугольников.
  

• Объёмы правильных многогранников, пирамиды, конуса, усечённого конуса, тора, шарового сегмента.
  

• Формула Герона для расчёта площади треугольника по длинам его сторон (открытая Архимедом).
  

• Правила численного решения квадратных уравнений.
  

• Алгоритмы извлечения квадратных и кубических корней.
  

Книга Герона «Определения» представляет собой обширный свод геометрических определений, по большей части совпадающих с определениями «Начал» Евклида.

geometry-and-art.ru

Забытые изобретения Герона Александрийского

История техники | Забытые изобретения Герона Александрийского

Забытые изобретения Герона

Автор: Дмитрий Романенко

Многие из нас, изучая физику или историю техники, с удивлением обнаруживают, что некоторые современные технологии, предметы и знания были открыты и изобретены в далекие античные времена. Фантасты в своих произведениях для описания таких явлений даже используют специальный термин: «хроноклазмы» — таинственные проникновения современных знаний в прошлое. Однако, в реальности все проще: большинство подобных знаний были действительно открыты древними учеными, но потом по каким-то причинам о них забыли и открыли вновь спустя столетия.

В этой статье предлагаю вам ближе познакомиться с одним из удивительных ученых античности. Он внес в свое время огромный вклад в развитие науки, но большинство его трудов и изобретений кануло в Лету и было незаслуженно забыто. Имя ему — Герон Александрийский.

Рис. 1. Герон Александрийский

Герон жил в Египте в городе Александрия и поэтому стал известен как Герон Александрийский. Современные историки предполагают, что он жил в 1-м веке н.э. где-то между 10-75 годами. Установлено, что Герон преподавал в Александрийском Музее — научном центре античного Египта, в состав которого входила и знаменитая Александрийская библиотека. Большинство трудов Герона представлено в виде комментариев и записок к учебным курсам по различным учебным дисциплинам. К сожалению, подлинники этих трудов не сохранились, возможно, они погибли в пламени пожара, охватившем Александрийскую библиотеку в 273 году н.э., а возможно были уничтожены в 391 году н.э. христианами, в порыве религиозного фанатизма крушившими все, что напоминало о языческой культуре. До наших времен дошли лишь переписанные копии трудов Герона выполненные его учениками и последователями. Часть из них на греческом, а часть на арабском языке. Существуют и переводы на латынь, выполненные в XVI веке.

Наиболее известна «Метрика» Герона — научный труд, в котором даны определение шарового сегмента, тора, правила и формулы для точного и приближенного вычисления площадей правильных многоугольников, объемов усеченных конуса и пирамиды. В «Метрике» приводится знаменитая формула Герона для определения площади треугольника по трем сторонам, даются правила численного решения квадратных уравнений и приближенного извлечения квадратных и кубических корней. В «Метрике» исследуются простейшие подъемные приспособления — рычаг, блок, клин, наклонная плоскость и винт, а также некоторые их комбинации. В этом труде Герон вводит термин «простые машины» и использует для описания их работы понятие момента силы.

Многие математики обвиняют Герона в том, что в «Метрике» не содержится математических доказательств, сделанных им выводов. Это действительно так. Герон не был теоретиком, все выведенные им формулы и правила, он предпочитал объяснять наглядными практическими примерами. Именно в области практики Герон превосходит многих своих предшественников. Лучшей иллюстрацией этого является его работа «О диоптре», найденная лишь в 1814 году. В этом труде излагаются методы проведения различных геодезических работ, причем землемерная съемка производится с помощью изобретенного Героном прибора – диоптры.

Рис. 2. Диоптра

Диоптра была прообразом современного теодолита. Главной ее частью служила линейка с укрепленными на ее концах визирами. Эта линейка вращалась по кругу, который мог занимать и горизонтальное, и вертикальное положение, что давало возможность намечать направления, как в горизонтальной, так и в вертикальной плоскости. Для правильности установки прибора к нему присоединялись отвес и уровень. Пользуясь этим прибором и вводя в употребление прямоугольные координаты, Герон мог решать на местности различные задачи: измерить расстояние между двумя точками, когда одна из них или обе они недоступны наблюдателю, провести прямую, перпендикулярную к недоступной прямой линии, найти разность уровней между двумя пунктами, измерить площадь простейшей фигуры, даже не вступая на измеряемую площадку.

Еще во времена Герона одним из шедевров античной инженерии считался водопровод на острове Самос, созданный по проекту Эвпалина и проходивший по тоннелю. Вода по этому тоннелю подавалась в город из источника, находившемся по другую сторону горы Кастро. Известно было, что в целях ускорения работы тоннель рыли одновременно с обеих сторон горы, что требовало высокой квалификации от инженера, руководившего стройкой. Водопровод работал многие века и удивлял современников Герона, также о нем упоминал в своих сочинениях и Геродот. Именно от Геродота современный мир узнал о существовании тоннеля Эвпалина. Узнал, но не поверил, потому что считалось, что древние греки не обладали необходимой технологией для постройки такого сложного объекта. Изучив найденный в 1814 году труд Герона «О диоптре» ученые получили второе документальное подтверждение существования тоннеля. И лишь в конце XIX века немецкая археологическая экспедиция действительно обнаружила легендарный тоннель Эвпалина.

Вот как в своем труде Герон приводит пример использования изобретенной им диоптры для постройки тоннеля Эвпалина.

Рис.3. Схема измерений для постройки тоннеля Эвпалина

Точки B и D — входы в тоннель. Рядом с точкой B выбирается точка E, от нее вдоль горы строится отрезок EF, перпендикулярный отрезку BE. Далее в обход горы строится система взаимно перпендикулярных отрезков до тех пор, пока не получают линию КL, на которой выбирают точку M и строят от нее перпендикуляр MD ко входу в тоннель D. Используя линии DN и NB, получают треугольник BND и измеряют угол ?.

Кроме всего прочего в 34-й главе труда «О диоптре» Герон дает описание изобретенного им устройства для измерения расстояний — одометра.

Рис. 4. Одометр (внешний вид)

Рис. 5. Одометр (внутренне устройство)

Одометр представлял собой небольшую тележку, установленную на двух колесах специально подобранного диаметра. Колеса поворачивались ровно 400 раз на миллиатрий (древняя мера длины, равная 1598 м). Посредством зубчатой передачи во вращение приводились многочисленные колеса и оси, а индикатором пройденного расстояния были камешки, выпадавшие в специальный лоток. Для того, чтобы узнать, какое расстояние было пройдено, нужно было лишь подсчитать количество камешков в лотке.

Одним из самых интересных трудов Герона является «Пневматика». В книге приведены описания около 80 устройств и механизмов, действующих с использованием принципов пневматики и гидравлики. Наиболее известным устройством является эолипил (в переводе с греческого: «шар бога ветров Эола»).

Рис. 6. Эолипил

Эолипил представлял собой наглухо запаянный котел с двумя трубками на крышке. На трубках устанавливался вращающийся полый шар, на поверхности которого были установлены два Г-образных патрубка-сопла. В котел через отверстие заливалась вода, отверстие закрывалось пробкой, и котел устанавливался над огнем. Вода вскипала, образовывался пар, который по трубкам поступал в шар и в Г-образные патрубки. При достаточном давлении струи пара, вырываясь из сопел, быстро вращали шар. Построенный современными учеными по чертежам Герона эолипил развивал до 3500 оборотов в минуту!

При сборке эолипила ученые столкнулись с проблемой уплотнения в шарнирных соединениях шара и пароподающих трубок. При большом зазоре шар получал большую степень свободы вращения, но зато пар легко выходил через щели, и его давление быстро падало. Если зазор уменьшали, потеря пара исчезала, но и шар вращался труднее из-за возросшего трения. Нам неизвестно, как Герон решал эту проблему. Возможно, его эолипил вращался не с такой большой скоростью, как современная модель.

К сожалению эолипил не получил должного признания и не был востребован ни в эпоху античности ни позже, хотя и производил огромное впечатление на всех, кто его видел. К этому изобретению относились лишь, как к забавной игрушке. Фактически эолипил Герона является прототипом паровых турбин, появившихся лишь спустя два тысячелетия! Более того, эолипил можно считать одним из первых реактивных двигателей. До открытия принципа реактивного движения остался один шаг: имея перед собой экспериментальную установку, требовалось сформулировать сам принцип. На этот шаг человечество затратило почти 2000 лет. Сложно представить, как бы выглядела история человечества, если бы принцип реактивного движения получил распространение 2000 лет назад. Возможно, человечество уже давно бы изучило всю Солнечную систему и добралось до звезд. Сознаюсь, иногда возникает мысль, что развитие человечества кем-то или чем-то намеренно задерживалось на протяжении столетий. Впрочем, эту тему оставим для развития писателям-фантастам…

Интересно, что повторное изобретение эолипила Герона состоялось в 1750 году. Венгерский ученый Я.А. Сегнер построил прообраз гидравлической турбины. Отличие так называемого Сегнерова колеса от эолипила состоит в том, что реактивная сила, вращающая устройство, создается не паром, а струей жидкости. В настоящее время изобретение венгерского ученого служит классической демонстрацией реактивного движения в курсе физики, а на полях и в парках оно используется для полива растений.

Еще одним выдающимся изобретением Герона, связанным с применением пара является паровой бойлер.

Рис. 7. Паровой бойлер Герона

Конструкция представляло собой большую бронзовую емкость, с коаксиально установленным цилиндром, жаровней и трубами для подачи холодной и выведения горячей воды. Бойлер обладал большой экономичностью и обеспечивал быстрый нагрев воды.

Значительную часть «Пневматики» Герона занимает описание различных сифонов и сосудов, из которых самотеком по трубке вытекает вода. Принцип, заложенный в этих конструкциях, с успехом используется современными водителями при необходимости отлить бензин из бака автомобиля.

Как известно, в эпоху античности огромное влияние на людей имела религия. Религий и храмов было много, и каждый ходил общаться с богами туда, куда ему больше нравилось. Поскольку благосостояние жрецов того или иного храма прямо зависело от количества прихожан, жрецы старались завлечь их чем угодно. Тогда-то ими и был открыт закон, действующий и поныне: ничто не сможет привлечь в храм людей лучше, чем это сделает чудо. Однако, Зевс спускался с Олимпа не чаще, чем с неба сыпалась манна небесная. А прихожан надо было завлекать в храм ежедневно. Для создания божественных чудес жрецам пришлось воспользоваться умом и научными знаниями Герона. Одним из наиболее впечатляющих чудес стал разработанный им механизм, который открывал двери в храм при разжигании огня на алтаре. Принцип действия понятен из анимированного рисунка.

Рис. 8. Схема «магического» открывания дверей в храме

(C) P. Hausladen, RS Vohringen

Нагретый от огня воздух поступал в сосуд с водой и выдавливал определенное количество воды в подвешенную на канате бочку. Бочка, наполняясь водой, опускалась вниз и с помощью каната вращала цилиндры, которые приводили в движение поворотные двери. Двери раскрывались. Когда огонь гас, вода из бочки переливалась обратно в сосуд, а подвешенный на канате противовес, вращая цилиндры, закрывал двери.

Довольно простой механизм, а зато какой психологический эффект на прихожан!

Еще одним изобретением, существенно повысившим рентабельность античных храмов, стал изобретенный Героном автомат по продаже святой воды.

Рис. 9. Автомат для продажи «святой» воды

Внутренний механизм устройства был достаточно прост, и состоял из точно сбалансированного рычага, управляющего клапаном, который открывался под действием веса монеты. Монета падала сквозь щель на небольшой лоток и приводила в действие рычаг и клапан. Клапан открывался, вытекало некоторое количество воды. Затем монета соскальзывала с лотка, и рычаг возвращался в исходное положение, закрывая клапан. Согласно некоторым источникам, порция «священной «воды во времена Герона стоила 5 драхм.

Это изобретение Герона стало первым в мире торговым автоматом и, несмотря на то, что приносило неплохую прибыль, было забыто на столетия. И только в конце XIX века торговые автоматы были изобретены вновь.

Возможно, следующее изобретение Герона также активно применялось в храмах.

Рис. 10. Сосуды для «превращения» воды в вино

Изобретение представляет собой два сосуда, соединенных трубкой. Один из сосудов наполнялся водой, а второй вином. Прихожанин доливал небольшое количество воды в сосуд с водой, вода поступала в другой сосуд и вытесняла из него равное по объему количество вина. Человек приносил воду, а она «по воле богов» превращалась в вино! Это ли не чудо?

А вот еще одна придуманная Героном конструкция сосуда по превращению воды в вино и обратно.

Рис. 11. Амфора для разлива вина и воды

Половина амфоры наполняется вином, а вторая половина водой. Затем горлышко амфоры закрывается пробкой. Извлечение жидкости происходит при помощи краника, расположенного внизу амфоры. В верхней части сосуда под выступающими ручками просверлены два отверстия: одно в «винной» части, а второе в «водяной» части. Кубок подносился к кранику, жрец открывал его и наливал в кубок либо вино, либо воду, незаметно затыкая одно из отверстий пальцем.

Уникальным для своего времени изобретением был водяной насос, конструкция которого описана Героном в его труде «Пневматика».

Рис. 12. Насос Герона

Насос представлял собой два сообщенных поршневых цилиндра, оборудованных клапанами, из которых поочередно вытеснялась вода. Насос приводился в действие мускульной силой двух человек, которые по очереди нажимали на плечи рычага. Известно, что насосы такого типа впоследствии использовались римлянами для тушения пожаров и отличались высоким качеством изготовления и удивительно точной подгонкой всех деталей. Подобные им насосы вплоть до открытия электричества часто использовались, как и для тушения пожаров, так и во флоте для откачки воды из трюмов при аварии.

Как мы видим, Героном было разработано три очень интересных изобретения: эолипил, поршневой насос и бойлер. Скомпоновав их можно было получить паровую машину. Такая задача, наверняка, была под силу если не самому Герону, то его последователям. Люди уже тогда умели создавать герметичные емкости, и, как видно из примера с поршневым насосом, достигли значительных успехов при изготовлении механизмов, требующих высокой точности изготовления. Паровая машина, конечно, не реактивный двигатель, для создания которого знаний античных ученых явно недоставало, но и она бы существенно ускорила развитие человечества. Почему этого не произошло?

Наиболее распространенным способом освещения в античное время было освещение при помощи масляных ламп, в которых горел пропитанный маслом фитиль. Фитиль представлял собой кусок тряпки и выгорал довольно быстро, выгорало и масло. Одним из основных недостатков таких ламп была необходимость следить за тем, чтобы над поверхностью масла, уровень которого постоянно снижался, постоянно находилось достаточно фитиля для горения. Если при наличии одной лампы следить за ней было легко, то при наличии нескольких ламп уже возникала потребность в слуге, который бы регулярно ходил по комнате и поправлял фитили в лампах. Герон изобрел автоматическую масляную лампу.

Рис. 13. Масляная лампа Герона

Лампа состоит из чаши, в которую наливалось масло и устройства для подачи фитиля. Это устройство содержало поплавок и соединенное с ним зубчатое колесо. При понижении уровня масла, поплавок опускался, вращал зубчатое колесо, а оно, в свою очередь, подавало в зону горения тонкую рейку, обмотанную фитилем. Это изобретение стало одним из первых применений зубчатой рейки совместно с зубчатым колесом.

Еще одним изобретением Герона, предназначенным для храмов, стал орган, приводимый в действие при помощи ветра.

Рис. 14. Гидравлос, модернизированный Героном

Созданный Героном орган не был оригинальным, а лишь представлял собой усовершенствованную конструкцию гидравлоса — музыкального инструмента, придуманного Ктесибием. Гидравлос — представлял собой набор труб с клапанами, создававшими звук. Воздух в трубы подавался при помощи резервуара с водой и насоса, создававшего необходимое давление в этом резервуаре. Управление клапанами труб, как и в современном органе, осуществлялось при помощи клавиатуры-манипулы. Герон предложил автоматизировать гидравлос, при помощи ветряного колеса, которое служило приводом для насоса, нагнетавшего воздух в резервуар.

Тем, кому повезло со школьным учителем физики, наверняка знают о знаменитом фонтане Герона.

Рис. 15. Фонтан Герона

Фонтан Герона состоит из трех сосудов, помещенных один над другим и сообщающихся между собой. Два нижние сосуда — закрыты, а верхний имеет форму открытой чаши, в которую наливается вода. Также вода наливается и в средний сосуд, позже закрываемый. По трубке, идущей от дна чаши почти до дна нижнего сосуда, вода течет из чаши вниз и, сжимая находящийся там воздух, увеличивает его упругость. Нижний сосуд сообщен со средним посредством трубки, по которой давление воздуха передается в средний сосуд. Производя давление на воду, воздух заставляет ее подниматься из среднего сосуда по трубке в верхнюю чашу, где из конца этой трубки, возвышающейся над поверхностью воды, и бьет фонтан. Вода фонтана, падающая в чашу, течет из нее по трубке в нижний сосуд, где уровень воды постепенно повышается, а уровень воды в среднем сосуде понижается. Вскоре фонтан перестает работать. Чтобы запустить его заново, надо просто поменять местами нижний и средний сосуды. Наглядно работа фонтана продемонстирована в этом видеофайле.

В «Пневматике» Герона также приведено описание конструкции шприца.

Рис. 16. Шприц Герона

К сожалению, точно неизвестно использовался ли в эпоху античности этот прибор для медицинских целей. Также неизвестно, знали ли о его существовании француз Чарльз Праваз и шотландец Александр Вуд, которые считаются изобретателями современного медицинского шприца.

Впервые в истории Героном были разработан самоходный механизм.

Рис. 17. Самоходный шкаф

Механизм представлял собой деревянный шкаф установленный на четырех колесах. Внутреннее устройство шкафа скрывалось за дверцами. Секрет передвижения был прост: внутри шкафа медленно опускалась подвешенная плита, приводившая при помощи канатов и валов в движение всю конструкцию. В качестве регулятора скорости использовался запас песка, который постепенно пересыпался из верхней части шкафа в нижнюю. Скорость опускания плиты регулировалась скоростью пересыпания песка, которая зависела от того насколько широко раскрыты створки, отделявшие верхнюю часть шкафа от нижней.

Уникальным для своего времени научным трудом является «Механика» Герона. Эта книга дошла до нас в переводе арабского ученого IX века н.э. Косты аль-Балбаки. До XIX века эта книга нигде не публиковалась и была, по-видимому, неизвестна науке ни во времена Средневековья, ни в период Возрождения. Это подтверждается и отсутствием списков текста его в греческом оригинале и в латинском переводе, и отсутствием упоминания о нем у схоластических авторов. В «Механике» помимо описания простейших механизмов: клина, рычага, ворота, блока, винта, мы находим созданный Героном механизм для подъема грузов.

Рис. 18. Барулк

В книге этот механизм фигурирует под названием барулк (baroulkos). Из рисунка видно, что это устройство представляет собой ни что иное, как редуктор, который используется в качестве лебедки. Барулк Герона состоит из нескольких зубчатых колес, приводимых в движение ручной силой, причем Герон принимает отношение диаметра колеса к диаметру оси равным 5:1, предварительно допустив, что подлежащий поднятию груз весит 1000 талантов (25 т), а движущая сила равна 5 талантам (125 кг).

Труды «О военных машинах», «Об изготовлении метательных машин» Герон посвятил основам артиллерии и описал в них несколько конструкций арбалетов, катапульт, баллист.

Рис. 19. Баллиста (современная реконструкция)

Если труды Герона в области математики и инженерии прославляли его среди узкого круга ученых того времени, то среди широкой публики он был известен благодаря своим автоматическим театрам. Работы Герона вызывали в людях чувство удивления и восхищения возможностями технической мысли. Многие из его творений служили просветительским целям и демонстрировали не только возможности науки, но и знакомили современников с фактами истории и мифами Эллады.

Труд Герона «Об автоматах» пользовался популярностью в эпоху Возрождения и был переведен на латынь, а также цитировался многими учеными того времени. В частности, в 1501 году Джорджио Валла (Giorgio Valla) перевел некоторые фрагменты этого труда. Позже последовали переводы и другими авторами.

Известно изображение одного из автоматов Герона, которое привел в своей книге в 1589 году Джованни Батиста Алеоти (Giovanni Battista Aleoti ). В этом видеофайле представлена реконструкция одного из подвижных автоматов Герона.

Рис. 20. Один из автоматов Герона

Большинство чертежей механических кукол Герона не сохранились, но в различных источниках есть их описания. Известно, что Герон создал своеобразный кукольный театр, который передвигался на скрытых от зрителей колёсах и представлял собой небольшое архитектурное сооружение – четыре колонны с общим цоколем и архитравом. Куклы на его сцене, приводимые в движение сложной системой шнуров и зубчатых передач, тоже скрытых от глаз публики, воспроизводили церемонию празднества в честь Диониса. Как только такой театр выезжал на городскую площадь, на его сцене над фигурой Диониса вспыхивал огонь, на пантеру, лежащую у ног божества, лилось вино из чаши, а свита начинала танцевать под музыку. Затем музыка и танцы прекращались, Дионис выворачивался в другую сторону, пламя вспыхивало во втором жертвеннике – и всё действие повторялось сначала. После такого представления куклы останавливались, и представление заканчивалось. Это действо неизменно вызывало интерес у всех жителей, без различия в возрасте. Но не меньший успех снискали уличные спектакли другого кукольного театра Герона. Этот театр (пинака) был очень мал по своим размерам, его легко переносили с места на место, Он представлял собой небольшую колонну, наверху которой находился макет театральной сцены, скрытой за дверцами. Они открывались и закрывались пять раз, разделяя на акты драму о печальном возвращении победителей Трои. На крошечной сцене с исключительным мастерством показывалось, как воины сооружали и спускали на воду парусные корабли, плыли на них по бурному морю и погибали в пучине под сверкание молний и раскаты грома. Для имитации грома Герон создал специальное устройство, в котором из ящика высыпались шарики, ударявшиеся о доску.

Рис. 21. Имитатор грома

В своих автоматических театрах Герон, по-сути, использовал элементы программирования: действия автоматами выполнялись в строгой последовательности, декорации сменяли друг друга в нужные моменты. Примечательно, что основной движущей силой, приводившей в движение механизмы театра, была гравитация (использовалась энергия падающих тел), также использовались элементы пневматики и гидравлики. Не использовались пружины, которые стали так широко применимыми в автоматах эпохи Возрождения. Причина этого проста: для производства пружин необходимы обладающие упругостью высококачественные стальные сплавы, которые не были известны металлургам античности.

На протяжении своей жизни Герон создал много разнообразных изобретений, интересных не только его современникам, но и нам — живущим два тысячелетия спустя. В данной статье автор представил лишь наиболее известные из них, а описания других не менее интересных изобретений (например, бойлер, пневматическая сигнализация открывания двери) вы можете найти, воспользовавшись указанными ниже источниками.

Батискаф О. ПикараЛитература

1. Michael Lahanas «Heron of Alexandria» http://www.mlahanas.de/Greeks/HeronAlexandria.htm

2. The Pneumatics of Hero of Alexandria (from the original greek translated for and edited by Bennet Woodcroft)http://www.history.rochester.edu/steam/hero/index.html

3. An Aeoli- What?!? by Katie Crisalli http://www.pr.afrl.af.mil/aeolipile.html

4. Ancient Inventions http://www.smith.edu/hsc/museum/ancient_inventions/hsclist.htm

5. Technical Works by Heron of Alexandria, Aristides Quintilianus and Johannes Pediasimos, with diagrams, later 16th century http://image.ox.ac.uk/show?collection=magdalen&manuscript=msgr12

Источник

www.rgo-sib.ru

Герон Александрийский.: picturehistory — LiveJournal

 

Многие из нас, изучая физику или историю техники, с удивлением обнаруживают, что некоторые современные технологии, предметы и знания были открыты и изобретены в далекие античные времена. Фантасты в своих произведениях для описания таких явлений даже используют специальный термин: «хроноклазмы» — таинственные проникновения современных знаний в прошлое. Однако, в реальности все проще: большинство подобных знаний были действительно открыты древними учеными, но потом по каким-то причинам о них забыли и открыли вновь спустя столетия.

 

В этой статье предлагаю вам ближе познакомиться с одним из удивительных ученых античности. Он внес в свое время огромный вклад в развитие науки, но большинство его трудов и изобретений кануло в Лету и было незаслуженно забыто. Имя ему — Герон Александрийский.
Герон жил в Египте в городе Александрия и поэтому стал известен как Герон Александрийский. Современные историки предполагают, что он жил в 1-м веке н.э. До наших времен дошли лишь переписанные копии трудов Герона выполненные его учениками и последователями. Часть из них на греческом, а часть на арабском языке. Существуют и переводы на латынь, выполненные в XVI веке.

 

Наиболее известна «Метрика» Герона — научный труд, в котором даны определение шарового сегмента, тора, правила и формулы для точного и приближенного вычисления площадей правильных многоугольников, объемов усеченных конуса и пирамиды. В этом труде Герон вводит термин «простые машины» и использует для описания их работы понятие момента силы.

Диоптра была прообразом современного теодолита. Главной ее частью служила линейка с укрепленными на ее концах визирами. Эта линейка вращалась по кругу, который мог занимать и горизонтальное, и вертикальное положение, что давало возможность намечать направления, как в горизонтальной, так и в вертикальной плоскости. Для правильности установки прибора к нему присоединялись отвес и уровень. Пользуясь этим прибором и вводя в употребление прямоугольные координаты, Герон мог решать на местности различные задачи: измерить расстояние между двумя точками, когда одна из них или обе они недоступны наблюдателю, провести прямую, перпендикулярную к недоступной прямой линии, найти разность уровней между двумя пунктами, измерить площадь простейшей фигуры, даже не вступая на измеряемую площадку.
Кроме всего прочего Герон дает описание изобретенного им устройства для измерения расстояний — одометра.

Рис. Одометр (внешний вид

Рис. Одометр (внутренне устройство)
Одометр представлял собой небольшую тележку, установленную на двух колесах специально подобранного диаметра. Колеса поворачивались ровно 400 раз на миллиатрий (древняя мера длины, равная 1598 м). Посредством зубчатой передачи во вращение приводились многочисленные колеса и оси, а индикатором пройденного расстояния были камешки, выпадавшие в специальный лоток. Для того, чтобы узнать, какое расстояние было пройдено, нужно было лишь подсчитать количество камешков в лотке.
Одним из самых интересных трудов Герона является «Пневматика». В книге приведены описания около 80 устройств и механизмов. Наиболее известным является эолипил (в переводе с греческого: «шар бога ветров Эола»).

 

Рис. Эолипил
Эолипил представлял собой наглухо запаянный котел с двумя трубками на крышке. На трубках устанавливался вращающийся полый шар, на поверхности которого были установлены два Г-образных патрубка-сопла. В котел через отверстие заливалась вода, отверстие закрывалось пробкой, и котел устанавливался над огнем. Вода вскипала, образовывался пар, который по трубкам поступал в шар и в Г-образные патрубки. При достаточном давлении струи пара, вырываясь из сопел, быстро вращали шар. Построенный современными учеными по чертежам Герона эолипил развивал до 3500 оборотов в минуту!

 

К сожалению эолипил не получил должного признания и не был востребован ни в эпоху античности ни позже, хотя и производил огромное впечатление на всех, кто его видел. Эолипил Герона является прототипом паровых турбин, появившихся лишь спустя два тысячелетия! Более того, эолипил можно считать одним из первых реактивных двигателей. До открытия принципа реактивного движения остался один шаг: имея перед собой экспериментальную установку, требовалось сформулировать сам принцип. На этот шаг человечество затратило почти 2000 лет. Сложно представить, как бы выглядела история человечества, если бы принцип реактивного движения получил распространение 2000 лет назад.
Еще одним выдающимся изобретением Герона, связанным с применением пара является паровой бойлер.

 

Конструкция представляла собой большую бронзовую емкость, с коаксиально установленным цилиндром, жаровней и трубами для подачи холодной и выведения горячей воды. Бойлер обладал большой экономичностью и обеспечивал быстрый нагрев воды.
Значительную часть «Пневматики» Герона занимает описание различных сифонов и сосудов, из которых самотеком по трубке вытекает вода. Принцип, заложенный в этих конструкциях, с успехом используется современными водителями при необходимости отлить бензин из бака автомобиля. Для создания божественных чудес жрецам пришлось воспользоваться умом и научными знаниями Герона. Одним из наиболее впечатляющих чудес стал разработанный им механизм, который открывал двери в храм при разжигании огня на алтаре.

 

Нагретый от огня воздух поступал в сосуд с водой и выдавливал определенное количество воды в подвешенную на канате бочку. Бочка, наполняясь водой, опускалась вниз и с помощью каната вращала цилиндры, которые приводили в движение поворотные двери. Двери раскрывались. Когда огонь гас, вода из бочки переливалась обратно в сосуд, а подвешенный на канате противовес, вращая цилиндры, закрывал двери.
Довольно простой механизм, а зато какой психологический эффект на прихожан!

Еще одним изобретением, существенно повысившим рентабельность античных храмов, стал изобретенный Героном автомат по продаже святой воды.
Внутренний механизм устройства был достаточно прост, и состоял из точно сбалансированного рычага, управляющего клапаном, который открывался под действием веса монеты. Монета падала сквозь щель на небольшой лоток и приводила в действие рычаг и клапан. Клапан открывался, вытекало некоторое количество воды. Затем монета соскальзывала с лотка, и рычаг возвращался в исходное положение, закрывая клапан.
Это изобретение Герона стало первым в мире торговым автоматом. В конце XIX века торговые автоматы были изобретены вновь.
Следующее изобретение Герона также активно применялось в храмах.

 

Изобретение представляет собой два сосуда, соединенных трубкой. Один из сосудов наполнялся водой, а второй вином. Прихожанин доливал небольшое количество воды в сосуд с водой, вода поступала в другой сосуд и вытесняла из него равное по объему количество вина. Человек приносил воду, а она «по воле богов» превращалась в вино! Это ли не чудо?
А вот еще одна придуманная Героном конструкция сосуда по превращению воды в вино и обратно.

Половина амфоры наполняется вином, а вторая половина водой. Затем горлышко амфоры закрывается пробкой. Извлечение жидкости происходит при помощи краника, расположенного внизу амфоры. В верхней части сосуда под выступающими ручками просверлены два отверстия: одно в «винной» части, а второе в «водяной» части. Кубок подносился к кранику, жрец открывал его и наливал в кубок либо вино, либо воду, незаметно затыкая одно из отверстий пальцем.

Уникальным для своего времени изобретением был водяной насос, конструкция которого описана Героном в его труде «Пневматика».
Насос представлял собой два сообщенных поршневых цилиндра, оборудованных клапанами, из которых поочередно вытеснялась вода. Насос приводился в действие мускульной силой двух человек, которые по очереди нажимали на плечи рычага. Известно, что насосы такого типа впоследствии использовались римлянами для тушения пожаров и отличались высоким качеством изготовления и удивительно точной подгонкой всех деталей.

Наиболее распространенным способом освещения в античное время было освещение при помощи масляных ламп. Если при наличии одной лампы следить за ней было легко, то при наличии нескольких ламп уже возникала потребность в слуге, который бы регулярно ходил по комнате и поправлял фитили в лампах. Герон изобрел автоматическую масляную лампу.

Лампа состоит из чаши, в которую наливалось масло и устройства для подачи фитиля. Это устройство содержало поплавок и соединенное с ним зубчатое колесо. При понижении уровня масла, поплавок опускался, вращал зубчатое колесо, а оно, в свою очередь, подавало в зону горения тонкую рейку, обмотанную фитилем. Это изобретение стало одним из первых применений зубчатой рейки совместно с зубчатым колесом.
В «Пневматике» Герона также приведено описание конструкции шприца.К сожалению, точно неизвестно использовался ли в эпоху античности этот прибор для медицинских целей. Также неизвестно, знали ли о его существовании француз Чарльз Праваз и шотландец Александр Вуд, которые считаются изобретателями современного медицинского шприца.

 

Фонтан Герона состоит из трех сосудов, помещенных один над другим и сообщающихся между собой. Два нижние сосуда — закрыты, а верхний имеет форму открытой чаши, в которую наливается вода. Также вода наливается и в средний сосуд, позже закрываемый. По трубке, идущей от дна чаши почти до дна нижнего сосуда, вода течет из чаши вниз и, сжимая находящийся там воздух, увеличивает его упругость. Нижний сосуд сообщен со средним посредством трубки, по которой давление воздуха передается в средний сосуд. Производя давление на воду, воздух заставляет ее подниматься из среднего сосуда по трубке в верхнюю чашу, где из конца этой трубки, возвышающейся над поверхностью воды, и бьет фонтан. Вода фонтана, падающая в чашу, течет из нее по трубке в нижний сосуд, где уровень воды постепенно повышается, а уровень воды в среднем сосуде понижается. Вскоре фонтан перестает работать. Чтобы запустить его заново, надо просто поменять местами нижний и средний сосуды.

 

Уникальным для своего времени научным трудом является «Механика» Герона. Эта книга дошла до нас в переводе арабского ученого IX века н.э. Косты аль-Балбаки. До XIX века эта книга нигде не публиковалась и была, по-видимому, неизвестна науке ни во времена Средневековья, ни в период Возрождения. Это подтверждается и отсутствием списков текста его в греческом оригинале и в латинском переводе. В «Механике» помимо описания простейших механизмов: клина, рычага, ворота, блока, винта, мы находим созданный Героном механизм для подъема грузов.

В книге этот механизм фигурирует под названием барулк. Видно, что это устройство представляет собой ни что иное, как редуктор, который используется в качестве лебедки.
Труды «О военных машинах», «Об изготовлении метательных машин» Герон посвятил основам артиллерии и описал в них несколько конструкций арбалетов, катапульт, баллист.
Труд Герона «Об автоматах» пользовался популярностью в эпоху Возрождения и был переведен на латынь, а также цитировался многими учеными того времени. В частности, в 1501 году Джорджио Валла (Giorgio Valla) перевел некоторые фрагменты этого труда. Позже последовали переводы и другими авторами.

 

Созданный Героном орган не был оригинальным, а лишь представлял собой усовершенствованную конструкцию гидравлоса — музыкального инструмента, придуманного Ктесибием. Гидравлос — представлял собой набор труб с клапанами, создававшими звук. Воздух в трубы подавался при помощи резервуара с водой и насоса, создававшего необходимое давление в этом резервуаре. Управление клапанами труб, как и в современном органе, осуществлялось при помощи клавиатуры-манипулы. Герон предложил автоматизировать гидравлос, при помощи ветряного колеса, которое служило приводом для насоса, нагнетавшего воздух в резервуар.

Известно, что Герон создал своеобразный кукольный театр, который передвигался на скрытых от зрителей колёсах и представлял собой небольшое архитектурное сооружение – четыре колонны с общим цоколем и архитравом. Куклы на его сцене, приводимые в движение сложной системой шнуров и зубчатых передач, тоже скрытых от глаз публики, воспроизводили церемонию празднества в честь Диониса. Как только такой театр выезжал на городскую площадь, на его сцене над фигурой Диониса вспыхивал огонь, на пантеру, лежащую у ног божества, лилось вино из чаши, а свита начинала танцевать под музыку. Затем музыка и танцы прекращались, Дионис выворачивался в другую сторону, пламя вспыхивало во втором жертвеннике – и всё действие повторялось сначала. После такого представления куклы останавливались, и представление заканчивалось. Это действо неизменно вызывало интерес у всех жителей, без различия в возрасте. Но не меньший успех снискали уличные спектакли другого кукольного театра Герона.

Этот театр (пинака) был очень мал по своим размерам, его легко переносили с места на место, Он представлял собой небольшую колонну, наверху которой находился макет театральной сцены, скрытой за дверцами. Они открывались и закрывались пять раз, разделяя на акты драму о печальном возвращении победителей Трои. На крошечной сцене с исключительным мастерством показывалось, как воины сооружали и спускали на воду парусные корабли, плыли на них по бурному морю и погибали в пучине под сверкание молний и раскаты грома. Для имитации грома Герон создал специальное устройство, в котором из ящика высыпались шарики, ударявшиеся о доску.

В своих автоматических театрах Герон, по-сути, использовал элементы программирования: действия автоматами выполнялись в строгой последовательности, декорации сменяли друг друга в нужные моменты. Примечательно, что основной движущей силой, приводившей в движение механизмы театра, была гравитация (использовалась энергия падающих тел), также использовались элементы пневматики и гидравлики.

 

 

Диоптра была прообразом современного теодолита. Главной ее частью служила линейка с укрепленными на ее концах визирами. Эта линейка вращалась по кругу, который мог занимать и горизонтальное, и вертикальное положение, что давало возможность намечать направления, как в горизонтальной, так и в вертикальной плоскости. Для правильности установки прибора к нему присоединялись отвес и уровень. Пользуясь этим прибором и вводя в употребление прямоугольные координаты, Герон мог решать на местности различные задачи: измерить расстояние между двумя точками, когда одна из них или обе они недоступны наблюдателю, провести прямую, перпендикулярную к недоступной прямой линии, найти разность уровней между двумя пунктами, измерить площадь простейшей фигуры, даже не вступая на измеряемую площадку.

Еще во времена Герона одним из шедевров античной инженерии считался водопровод на острове Самос, созданный по проекту Эвпалина и проходивший по тоннелю. Вода по этому тоннелю подавалась в город из источника, находившемся по другую сторону горы Кастро. Известно было, что в целях ускорения работы тоннель рыли одновременно с обеих сторон горы, что требовало высокой квалификации от инженера, руководившего стройкой. Водопровод работал многие века и удивлял современников Герона, также о нем упоминал в своих сочинениях и Геродот. Именно от Геродота современный мир узнал о существовании тоннеля Эвпалина. Узнал, но не поверил, потому что считалось, что древние греки не обладали необходимой технологией для постройки такого сложного объекта. Изучив найденный в 1814 году труд Герона «О диоптре» ученые получили второе документальное подтверждение существования тоннеля. И лишь в конце XIX века немецкая археологическая экспедиция действительно обнаружила легендарный тоннель Эвпалина.
Вот как в своем труде Герон приводит пример использования изобретенной им диоптры для постройки тоннеля Эвпалина:

 

 

Точки B и D — входы в тоннель. Рядом с точкой B выбирается точка E, от нее вдоль горы строится отрезок EF, перпендикулярный отрезку BE. Далее в обход горы строится система взаимно перпендикулярных отрезков до тех пор, пока не получают линию КL, на которой выбирают точку M и строят от нее перпендикуляр MD ко входу в тоннель D. Используя линии DN и NB, получают треугольник BND и измеряют угол α.
На протяжении своей жизни Герон создал много разнообразных изобретений, интересных не только его современникам, но и нам — живущим два тысячелетия спустя.

 

Источники:  steampunker.ru, nnm.me, www.3dnews.ru, вики

picturehistory.livejournal.com