Системы уравнений с параметром

1. Системы линейных уравнений с параметром

Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод. Знание графической интерпретации линейных систем позволяет легко ответить на вопрос о количестве корней и их существовании.

Пример 1.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений не имеет решений.

{х + (а² – 3)у = а,
{х + у = 2.

Решение.

Рассмотрим несколько способов решения данного задания.

1 способ. Используем свойство: система не имеет решений, если отношение коэффициентов перед х равно отношению коэффициентов перед у, но не равно отношению свободных членов (а/а₁ = b/b₁ ≠ c/c₁). Тогда имеем:

1/1 = (а

2 – 3)/1 ≠ а/2 или систему

{а² – 3 = 1,
{а ≠ 2.

Из первого уравнения а² = 4, поэтому с учетом условия, что а ≠ 2, получаем ответ.

Ответ: а = -2.

2 способ. Решаем методом подстановки.

{2 – у + (а² – 3)у = а,
{х = 2 – у,

или

{(а² – 3)у – у = а – 2,
{х = 2 – у.

После вынесения в первом уравнении общего множителя у за скобки, получим:

{(а² – 4)у = а – 2,
{х = 2 – у.

Система не имеет решений, если первое уравнение не будет иметь решений, то есть

{а² – 4 = 0,
{а – 2 ≠ 0.

Очевидно, что а = ±2, но с учетом второго условия в ответ идет только ответ с минусом.

Ответ: а = -2.

Пример 2.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений.

{8х + ау = 2,
{ах + 2у = 1.

Решение.

По свойству, если отношение коэффициентов при х и у одинаковое, и равно отношению свободных членов системы, то она имеет бесконечное множество решений (т. е. а/а₁ = b/b₁ = c/c₁). Следовательно 8/а = а/2 = 2/1. Решая каждое из полученных уравнений находим, что а = 4 – ответ в данном примере.

Ответ: а = 4.

2. Системы рациональных уравнений с параметром

Пример 3.

Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

{3|х| + у = 2,
{|х| + 2у = a.

Решение.

Умножим первое уравнение системы на 2:

{6|х| + 2у = 4,
{|х| + 2у = a.

Вычтем из первого второе уравнение, получим 5|х| = 4 – а. Это уравнение будет иметь единственное решение при а = 4. В других случаях это уравнение будет иметь два решения (при а < 4) или ни одного (при а > 4).

Ответ: а = 4.

Пример 4.

Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

{х + у = а,
{у – х² = 1.

Решение.

Данную систему решим с использованием графического метода. Так, графиком второго уравнения системы является парабола, поднятая по оси Оу вверх на один единичный отрезок. Первое уравнение задает множество прямых, параллельных прямой y = -x (рисунок 1). Из рисунка хорошо видно, что система имеет решение, если прямая у = -х + а является касательной к параболе в точке с координатами (-0,5; 1,25). Подставив в уравнение прямой вместо х и у эти координаты, находим значение параметра а:

1,25 = 0,5 + а;

а = 0,75.

Ответ: а = 0,75.

Пример 5.

Используя метод подстановки, выясните, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{ах – у = а + 1,
{ах + (а + 2)у = 2.

Решение.

Из первого уравнения выразим у и подставим во второе:

{у = ах – а – 1,
{ах + (а + 2)(ах – а – 1) = 2.

Приведем второе уравнение к виду kx = b, которое будет иметь единственное решение при k ≠ 0. Имеем:

ах + а²х – а² – а + 2ах – 2а – 2 = 2;

а²х + 3ах = 2 + а² + 3а + 2.

Квадратный трехчлен а² + 3а + 2 представим в виде произведения скобок

(а + 2)(а + 1), а слева вынесем х за скобки:

(а²

+ 3а)х = 2 + (а + 2)(а + 1).

Очевидно, что а² + 3а не должно быть равным нулю, поэтому,

а² + 3а ≠ 0, а(а + 3) ≠ 0, а значит а ≠ 0 и ≠ -3.

Ответ: а ≠ 0; ≠ -3.

Пример 6.

Используя графический метод решения, определите, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{х² + у² = 9,
{у – |х| = а.

Решение.

Исходя из условия, строим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единичных отрезка, именно ее задает первое уравнение системы

х² + у² = 9. Второе уравнение системы (у = |х| + а) – ломаная. С помощью рисунка 2 рассматриваем все возможные случаи ее расположения относительно окружности. Легко видеть, что а = 3.

Ответ: а = 3.

 Остались вопросы? Не знаете, как решать системы уравнений?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Системы уравнений с параметром. Задания ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Решим задачу графически. Построим графики первого и второго уравнения и определим, сколько точек пересечения они имеют при различных значениях параметра.

Первое уравнение \frac{xy^2-5xy-5y+25}{\sqrt {x+5}}=0 параметра не содержит и представляет собой равенство дроби нулю. Это выполняется, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, при этом оба выражения имеют смысл.

Запишем уравнение в виде \frac{(y-5)(xy-5)}{\sqrt {x+5}}=0, разложив числитель на множители. При x \leqslant -5 левая часть не имеет смысла. При x>-5 уравнение задаёт прямую y=5 и гиперболу y=\frac5x.

Найдём координаты точек A, B и C. B — точка пересечения прямой y=5 и гиперболы y=\frac5x , чтобы найти её координаты, нужно решить систему уравнений \begin{cases} y=5,\\y=\frac5x. \end{cases}

Получаем B(1; 5).

У точек A и C абсцисса равна -5, ординаты находим из уравнений прямой и гиперболы. A(-5;5) и C(-5;-1).

При каждом значении a уравнение y=ax задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат. Чтобы найти значение a, при котором такая прямая проходит через точку с указанными координатами, нужно подставить координаты в уравнение прямой.

Например, для точки A(-5; 5) получаем x=-5, y=5, 5=a\cdot (-5), a=-1.

Аналогично для B(1;5),\, a=5 и для C(-5;-1), a=\frac15.

При x>-5 прямая y=ax пересекает прямую y=5 при a<-1 и a>0, пересекает правую ветвь гиперболы y=\frac5x при a>0, пересекает левую ветвь гиперболы y=\frac5x при a>\frac15. При этом прямая y=ax проходит через точку пересечения прямой y=5 и гиперболы y=\frac5x при a=5.

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой y=5 и гиперболы y=\frac5x с прямой y=ax при условии x>-5.

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при 0 < a \leqslant 0,2; a=5.

academyege.ru

Решение систем линейных уравнений с параметрами

Цель:

• повторить решение систем линейных уравнений с двумя переменными
• дать определение системы линейных уравнений с параметрами
• научит решать системы линейных уравнений с параметрами.

Ход урока

1. Организационный момент
2. Повторение
3. Объяснение новой темы
4. Закрепление
5. Итог урока
6. Домашнее задание

2. Повторение:

I. Линейное уравнение с одной переменной:

1. Дайте определение линейного уравнения с одной переменной

[Уравнение вида ax=b, где х – переменная, а и b некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной]

2. Сколько корней может иметь линейное уравнение?

[- Если а=0, b0, то уравнение не имеет решений, х

— Если а=0, b=0, то х R

— Если а0, то уравнение имеет единственное решение, х =

3. Выясните, сколько корней имеет уравнение (по вариантам)

I ряд – I вариант 7х-(х+3)=3(2х-1) Решение: 7х-х-3=6х-3 6х-6х=-3+3 0*х=0 х – любое Ответ: много корней

II ряд – II вариант 6х-(2х-5)=2(2х+4) Решение: 6х-2х+5=4х+8 4х-4х=8-5 0*х=3 корней нет Ответ: корней нет

III ряд – III вариант 8х-(х+4)=2(3х-2) Решение: 8х-х-4=6х-4 7х-6х=-4+4 х=0   Ответ: единственный корень

II. Линейное уравнение с 2 –мя переменными и система линейных уравнений с 2- мя переменными.

1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Приведите пример.

[Линейным уравнением с двумя переменными называются уравнения вида ах +by=с, где х и у – переменные, а, b и с – некоторые числа. Например, х-у=5]

2. Что называется решением уравнения с двумя переменными?

[Решением уравнения с двумя переменными называются пара значений переменных, обращающие это уравнение в верное равенство.]

3. Является ли пара значений переменных х = 7, у = 3 решением уравнения 2х + у = 17?

[2*7+3=17]

4. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

[Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых является решениями этого уравнения.]

5. Выясните, что представляет собой график уравнения:

3х + 2у = 6

[Выразим переменную у через х: у=-1,5х+3

Формулой у=-1,5х+3 является линейная функция, графиком которой служит прямая. Так как, уравнения 3х+2у=6 и у=-1,5х+3 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х+2у=6]

6. Что является графиком уравнения ах+bу=с с переменными х и у, где а0 или b0?

[Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.]

7. Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

[Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство]

8. Что значит решить систему уравнений?

[Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.]

9. Выясните, всегда ли имеет такая система решения и если имеет, то сколько (графическим способом).

Приложение 1

10. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?

[Единственное решение, если прямые пересекаются; не имеет решений, если прямые параллельны; бесконечно много, если прямые совпадают]

11. Каким уравнением обычно задается прямая?

[y=kx+b]

12. Установите связь между угловыми коэффициентами и свободными членами:

I вариант: k1 = k2, b1 b2, нет решений;

II вариант: k1 k2, одно решение;

III вариант: k1 = k2, b1 = b2, много решений.

Вывод:

1. Если угловые коэффициенты прямых являющихся графиками этих функций различны, то эти прямые пересекаются и система имеет единственное решение.
2. Если угловые коэффициенты прямых одинаковы, а точки пересечения с осью у различны, то прямые параллельны, а система не имеет решений.
3. Если угловые коэффициенты и точки пересечения с осью у одинаковы, то прямые совпадают и система имеет бесконечно много решений.

На доске таблица, которую постепенно заполняет учитель вместе с учениками.

Приложение 2

III. Объяснение новой темы.

Определение: Система вида

где A_1, A_2, B₁,B_2, C₁ C_{2 –} выражения_, зависящие от параметров, а х и у – неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в параметрах.

Возможны следующие случаи:

1) Если , то система имеет единственное решение

2) Если , то система не имеет решений

3) Если , то система имеет бесконечно много решений.

IV. Закрепление

Пример 1.

При каких значениях параметра а система

• 2х — 3у = 7
• ах — 6у = 14

а) имеет бесконечное множество решений;

б) имеет единственное решение

Решение:

а) , а=4

б) , а?4

Ответ:

а) если а=4, то система имеет бесконечное множество решений;

б) если а4, то решение единственное.

Пример 2.

Решите систему уравнений

Решение: а) , т.е. при m1 система имеет единственное решение.

б) , т.е. при m=1 (2=m+1) и n1 исходная система решений не имеет

в) , при m=1 и n=1 система имеет бесконечно много решений.

Ответ: а) если m=1 и n1, то решений нет

б) m=1 и n=1, то решение бесконечное множество

в) если m1 и n - любое, то

y= x=

Пример 3.

Для всех значений параметра а решить систему уравнений

• ах-3ау=2а+3
• х+ау=1

Решение: Из II уравнения найдем х=1-ау и подставим в I уравнение

а(1-ау)-3ау=2а+3

а-а²у-3ау=2а+3

-а²у-3ау=а+3

-а(а+3)у=а+3

Возможны случаи:

1) а=0. Тогда уравнение имеет вид 0*у=3 [у ]

Следовательно, при а=0 система не имеет решений

2) а=-3. Тогда 0*у=0.

Следовательно, у . При этом х=1-ау=1+3у

3) а0 и а-3. Тогда у=-, х=1-а(-=1+1=2

Ответ:

1) если а=0, то (х; у)

2) если а=-3, то х=1+3у, у

3) если а0 и а?-3, то х=2, у=-

Рассмотрим II способ решения системы (1).

Решим систему (1) методом алгебраического сложения: вначале умножим первое уравнение системы на В_2, второе на – В₁ и сложим почленно эти уравнения, исключив, таким образом, переменную у:

Т.к. А₁В₂-А₂В₁0, то х =

Теперь исключим переменную х. Для этого умножим первое уравнение системы (1) на А₂, а второе на – А₁, и оба уравнения сложим почленно:

• А₁А₂х +А₂В₁у=А₂С₁
• -А₁А₂х-А₁В₂у=-А₁С₂
• у(А₂В₁-А₁В₂)=А₂С₁-А₁С₂

т.к. А₂В₁-А₁В₂ 0 у =

Для удобства решения системы (1) введем обозначения:

_— главный определитель

Теперь решение системы (1) можно записать с помощью определителей:

х= ; у=

Приведенные формулы называют формулами Крамера.

— Если , то система (1) имеет единственное решение: х=; у=

— Если , или , , то система (1) не имеет решений

— Если , , , , то система (1) имеет бесконечное множество решений.

В этом случае систему надо исследовать дополнительно. При этом, как правило, она сводится к одному линейному уравнению. В случае часто бывает удобно исследовать систему следующим образом: решая уравнение , найдем конкретные значения параметров или выразим один из параметров через остальные и подставим эти значения параметров в систему. Тогда получим систему с конкретными числовыми коэффициентами или с меньшим числом параметров, которую надо и исследовать.

Если коэффициенты А₁, А₂, В₁, В₂, системы зависят от нескольких параметров, то исследовать систему удобно с помощью определителей системы.

Пример 4.

Для всех значений параметра а решить систему уравнений

• (а+5)х+(2а+3)у=3а+2
• (3а+10)х+(5а+6)у=2а+4

Решение: Найдем определитель системы:

= (а+5)(5а+6) – (3а+10) (2а+3)= 5а²+31а+30-6а²-29а-30=-а²+2а=а(2-а)

= (3а+2) (5а+6) –(2а+4)(2а+3)=15а²+28а+12-4а²-14а-12=11а²+14а=а(11а+14)

=(а+5) (2а+4)-(3а+10)(3а+2)=2а²+14а+20-9а²-36а-20=-7а²-22а=-а(7а+22)

1) Тогда

х= у=

2) или а=2

При а=0 определители

Тогда система имеет вид:

• 5х+3у=2    5х+3у=2
• 10х+6у=4

При а=2 Этого достаточно, чтобы утверждать, что система не имеет решений.

Ответ:

1) если а и а, то х= у=

2) если а=0, то х,

3) если а=2, то (х; у)

Пример 5.

Для всех значений параметров а и b решить систему уравнений

(а+1)х+2у=b

bx+y=3

Решение: = =а+1-2b

= = b -6; = 3a+3-b

1) . Тогда

х= у=

2)

Подставив выражение параметра а в систему, получим:

• 2bx+2y=b            2bx+2y=b
• bx+y=3   2bx+2y=6

Если b6, то система не имеет решений, т.к. в этом случае I и II уравнения системы противоречат друг другу.

Если b=6, а=2b-1=2*6-1=11, то система равносильна одному уравнению

12х+2у=6 у=3-6х

Ответ:

1) если , (а), то x=, y=

2) если b, a, то система не имеет решений

3) если b=6, а=11, то х, у=3-6х

Самостоятельная работа.

Приложение 3

Итог урока: Повторить по таблице и поставить оценки.

Задание на дом:

При каких значениях параметра система уравнений

а) имеет бесконечное множество решений

б) не имеет решений

Ответ:

а) b=10

б) b10

urok.1sept.ru

Графический метод в задачах с параметром. Продолжение решения задач

В данном уроке мы рассмотрим более сложные задачи с параметром и решим их графическим методом.

Тема: Повторение

Урок: Графический метод в задачах с параметром. Продолжение решения задач

Пример 1 – найти число корней уравнения в зависимости от параметра а:

Согласно постановке задачи нам не нужно находить значения корней, а только их количество, решаем задачу графическим методом.

Первым действием необходимо построить график функции стоящей в левой части: . График данной функции нам известен – это парабола, ветви направлены вверх, корни ее легко найти: , отсюда можно найти координаты вершины:

Рис. 1. График функции

Далее необходимо рассечь график семейством прямых , найти точки пересечения и выписать ответ.

Рис. 2. Рассечение графика семейством прямых

Глядя на график, выписываем ответ: при  решений нет; при  уравнение имеет единственное решение; при  уравнение имеет два решения.

Пример 2 – найти число корней уравнения в зависимости от параметра а:

Первым действием необходимо построить график функции стоящей в левой части. Поскольку присутствует модуль, сначала строим график подмодульной функции: . Это парабола, ветви направлены вверх, корни легко угадываются: , отсюда можно найти координаты вершины:

interneturok.ru

Системы уравнений с параметрами

Иначе обстоит дело, если одновременно a = −5, b = − 52 . При таких зна-

чениях параметров остается только одно второе уравнение. Оно имеет бесконечно много решений

− 5 − c x = c , y = 2

5

Конечно, здесь имеется произвол в выборе значения любой из неизвестных, а решение можно записать и в виде:

x = − 52 − 5 c , y = c

Таким образом, зависимость от параметра коэффициентов при неизвестных исходной системы может порождать отсутствие решения или наличие бесконечного множества решений. Обнаруженный факт представляет собой обобщение известного ранее для одного уравнения ax=b и для систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Замечание 1. Введение константы c в решение системы уравнений напоминает произвол в выборе константы интегрирования.

Замечание 2. Рассмотренный пример показывает, что как и для одного уравнения, для линейных алгебраических систем с большим числом уравнений и неизвестных возможны только три разных случая: единственное решение, отсутствие решения или бесконечно много решений.

Задача 4.6. Исследовать решения системы уравнений:

4 x + 5ay = 2a		4 x + 5ay = 2a			4 x + 5ay = 2a	.
1)		2)		3)
8 x + 10 y	= 3	8 x + 10 y	= 2		8 x + 10 y = b

Задача 4.7. Придумать собственную систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными и двумя параметрами и исследовать ее в зависимости от значений параметров.

Вопросы для самостоятельного контроля

1)Что такое минор элемента определителя?

2)Чем отличаются алгебраическое дополнение и минор элемента определителя?

3)Что называется присоединенной матрицей?

4)Как найти присоединенную матрицу для заданной матрицы?

5)Чему равен порядок присоединенной матрицы?

6)В каком случае обратная матрица не существует?

7)Какая матрица называется невырожденной?

8)При каких условиях можно использовать формулы Крамера?

9)Что такое решение системы линейных алгебраических уравнений?

10)Какие определители входят в формулы Крамера?

11)Когда определители зависят от параметров?

12)Может ли произведение присоединенной и исходной матрицы быть скалярной матрицей?

13)Как влияет на результат перестановка множителей при умножении присоединенной и исходной матрицы?

14)Что такое формулы Крамера?

15)При каких условиях решение системы линейных алгебраических уравнений можно найти с помощью правила (формул) Крамера?

studfile.net

Урок по теме «Решение систем линейных уравнений, содержащих параметры»

Если в задаче меньше трех переменных, это не задача; если больше восьми – она неразрешима. Энон.

Задачи с параметрами встречаются во всех вариантах ЕГЭ, поскольку при их решении наиболее ярко выявляется, насколько глубоки и неформальны знания выпускника. Трудности, возникающие у учащихся при выполнении подобных заданий, вызваны не только относительной их сложностью, но и тем, что в учебных пособиях им уделяется недостаточно внимания. В вариантах КИМов по математике встречается два типа заданий с параметрами. Первый: «для каждого значения параметра решить уравнение, неравенство или систему». Второй: «найти все значения параметра, при каждом из которых решения неравенства, уравнения или системы удовлетворяют заданным условиям». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В первом случае в ответе перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. Во втором – перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи. Запись ответа является существенным этапом решения, очень важно не забыть отразить все этапы решения в ответе. На это необходимо обращать внимание учащихся.
В приложении к уроку приведен дополнительный материал по теме «Решение систем линейных уравнений с параметрами», который поможет при подготовке учащихся к итоговой аттестации.

Цели урока:

• систематизация знаний учащихся;
• выработка умений применять графические представления при решении систем уравнений;
• формирование умения решать системы линейных уравнений, содержащих параметры;
• осуществление оперативного контроля и самоконтроля учащихся;
• развитие исследовательской и познавательной деятельности школьников, умения оценивать полученные результаты.

Урок рассчитан на два учебных часа.

Ход урока

1. Организационный момент

Сообщение темы, целей и задач урока.

2. Актуализация опорных знаний учащихся

Проверка домашней работы. В качестве домашнего задания учащимся было предложено решить каждую из трех систем линейных уравнений

а) б)   в)

графически и аналитически; сделать вывод о количестве полученных решений для каждого случая

 Ответы:

Заслушиваются и анализируются выводы, сделанные учащимися. Результаты работы под руководством учителя в краткой форме оформляются в тетрадях.

В общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными можно представить в виде: .

Решить данную систему уравнений графически – значит найти координаты точек пересечения графиков данных уравнений или доказать, что таковых нет. Графиком каждого уравнения этой системы на плоскости является некоторая прямая.

Возможны три случая взаимного расположения двух прямых на плоскости:

1. если (если хотя бы один из знаменателей равен нулю, последнее неравенство надо понимать как ), то прямые пересекаются в одной точке; в этом случае система имеет единственное решение

<Рисунок1>;

2. если то прямые не имеют общих точек, т.е. не пересекаются; а значит, система решений не имеет

<Рисунок2>;

3. если то прямые совпадают. В этом случае система имеет бесконечно много решений

<Рисунок3>.

К каждому случаю полезно выполнить рисунок.

2. Изучение нового материала

Сегодня на уроке мы научимся решать системы линейных уравнений, содержащие параметры. Параметром будем называть независимую переменную, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству. Решить систему уравнений с параметром – значит установить соответствие, позволяющее для любого значения параметра найти соответствующее множество решений системы.

Решение задачи с параметром зависит от вопроса, поставленного в ней. Если нужно просто решить систему уравнений при различных значениях параметра или исследовать ее, то необходимо дать обоснованный ответ для любого значения параметра или для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному в задаче множеству. Если же необходимо найти значения параметра, удовлетворяющие определенным условиям, то полного исследования не требуется, и решение системы ограничивается нахождением именно этих конкретных значений параметра.

Пример 1. Для каждого значения параметра решим систему уравнений

Решение.

1. Система имеет единственное решение, если

В этом случае имеем

2. Если а = 0, то система принимает вид

Система несовместна, т.е. решений не имеет.

3. Если то система запишется в виде

Очевидно, что в этом случае система имеет бесконечно много решений вида x = t; где t-любое действительное число.

Ответ:

• при система имеет единственное решение
• при а = 0 — нет решений;
• при а = 3 — бесконечно много решений вида где t R

Пример 2. При каких значениях параметра a система уравнений

• имеет единственное решение;
• имеет множество решений;
• не имеет решений?

Решение.

• система имеет единственное решение, если
• подставим в пропорцию значение а = 1, получим , т.е. система имеет бесконечно много решений;
• при а = -1 пропорция примет вид: . В этом случае система не имеет решений.

Ответ:

• при система имеет единственное решение;
• при система имеет бесконечно много решений;
• при система не имеет решений.

Пример 3. Найдем сумму параметров a и b, при которых система

имеет бесчисленное множество решений.

Решение. Система имеет бесчисленное множество решений, если

То есть если a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 =48.

Ответ: 48.

4. Закрепление изученного в ходе решения задач

1. № 15.24(а) [1]. Для каждого значения параметра решите систему уравнений

2. № 15.25(а) Для каждого значения параметра решите систему уравнений

3. При каких значениях параметра a система уравнений

а) не имеет решений; б) имеет бесконечно много решений.

Ответ: при а = 2 решений нет, при а = -2 бесконечное множество решений

5. Практическая работа в группах

Класс разбивается на группы по 4-5 человек. В каждую группу входят учащиеся с разным уровнем математической подготовки. Каждая группа получает карточку с заданием. Можно предложить всем группам решить одну систему уравнений, а решение оформить. Группа, первой верно выполнившая задание, представляет свое решение; остальные сдают решение учителю.

Карточка. Решите систему линейных уравнений

при всех значениях параметра а.

Ответ: при система имеет единственное решение ; при нет решений; при а = -1бесконечно много решений вида , (t; 1- t) где t R

Если класс сильный, группам могут быть предложены разные системы уравнений, перечень которых находится в Приложении1. Тогда каждая группа представляет классу свое решение.

Отчет группы, первой верно выполнившей задание

Участники озвучивают и поясняют свой вариант решения и отвечают на вопросы, возникшие у представителей остальных групп.

6. Самостоятельная работа

Вариант 1

1. При каком значении k система имеет бесконечно много решений?
2. При каком значении p система не имеет решений?

Вариант 2

1. При каком значении k система имеет бесконечно много решений?
2. При каком значении p система не имеет решений?

7. Итоги урока

Решение систем линейных уравнений с параметрами можно сравнить с исследованием, которое включает в себя три основных условия. Учитель предлагает учащимся их сформулировать.

При решении следует помнить:

1. для того, чтобы система имела единственное решение, нужно, чтобы прямые, отвечающие уравнению системы, пересекались, т.е. необходимо выполнение условия;
2. чтобы не имела решений, нужно, чтобы прямые были параллельны, т.е. выполнялось условие,
3. и, наконец, чтобы система имела бесконечно много решений, прямые должны совпадать, т.е. выполнялось условие.

Учитель оценивает работу на уроке класса в целом и выставляет отметки за урок отдельным учащимся. После проверки самостоятельной работы оценку за урок получит каждый ученик.

8. Домашнее задание

При каких значениях параметра b система уравнений

• имеет бесконечно много решений;
• не имеет решений?

Графики функций y = 4x + b и y = kx + 6 симметричны относительно оси ординат.

• Найдите b и k,
• найдите координаты точки пересечения этих графиков.

Решите систему уравнений при всех значениях m и n.

Решите систему линейных уравнений при всех значениях параметра а (любую на выбор).

Литература

1. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин – М. : Просвещение, 2008.
2. Математика : 9 класс : Подготовка к государственной итоговой аттестации / М. Н. Корчагина, В. В. Корчагин – М. : Эксмо, 2008.
3. Готовимся в вуз. Математика. Часть 2. Учебное пособие для подготовки к ЕГЭ, участию в централизованном тестировании и сдаче вступительных испытаний в КубГТУ / Кубан. гос. технол. ун-т; Ин-т совр. технол. и экон.; Сост.: С. Н. Горшкова, Л. М. Данович, Н.А. Наумова, А.В. Мартыненко, И.А. Пальщикова. – Краснодар, 2006.
4. Сборник задач по математике для подготовительных курсов ТУСУР: Учебное пособие / З. М. Гольдштейн, Г. А. Корниевская, Г. А. Коротченко, С.Н. Кудинова. – Томск: Томск. Гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 1998.
5. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену/ О. Ю. Черкасов, А.Г.Якушев. – М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998.

urok.1sept.ru

Урок по теме «Методы решения задач с параметрами»

Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных 10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана школы.

Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с параметрами”.

Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:

1. Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих определенному множеству.
2. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
3. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное число решений.
4. Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Методы решений задач с параметрами.

1. Аналитический метод.

Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Пример 1. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение:

(2a – 1)x² + ax + (2a – 3) =0  имеет не более одного корня.

Решение:

При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.

Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.

Если a ≠ 1/2, то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:

D = a² – 4(2a – 1)(2a – 3) = -15a² + 32a  – 12;

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,

2. Графический метод.

В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y) или в плоскости (x;a).

Пример 2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения .

Решение:

Заметим, что количество решений уравнения   равно количеству точек пересечения графиков функций и y = a.

График функции показан на рис.1.

Рис.1

Рис. 2

Рис. 3

y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при  a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).

Ответ: при a < 0 – решений нет; при a = 0 и a = 25/4  – четыре решения; при 0 < a < 6  – восемь решений; при a = 6 – семь решений; при

6 < a < 25/4 – шесть решений; при a > 25/4 – два решения.

3. Метод решения относительно параметра.

При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.

Пример 3. Найти все значения параметра а , при каждом из которых уравнение = —ax +3a +2  имеет единственное решение.

Решение:

Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть = t , t ≥ 0 , тогда x = t² + 8  и уравнение примет вид at² + t + 5a – 2 = 0  . Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а, при которых уравнение at² + t + 5a – 2 = 0  имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях.

1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t = 2.

Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.

Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности.

Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.

Ⅰ

. Линейные уравнения.

Задача № 1. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней?

Ⅱ

. Степенные уравнения, неравенства и их системы.

Задача №2. Найти все значения параметра a, при которых множество решений неравенства:

содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

Решение:

.

Преобразуем обе части неравенства.

 

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и достаточно выполнение условия:

Рис.4

При a > 6 множество решений неравенства: .

Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в интервале (5; a).

Это

Ⅲ

. Показательные уравнения, неравенства и системы.

Задача № 3. В области определения функции взяли все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.

Решение:

1) Графиком дробно-линейной функции     является гипербола. По условию x > 0. При неограниченном возрастании х дробь монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.

Рис. 5

2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства . При a = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция у нигде не определена.

3) При 0 < a < 1 показательная функция с основанием а убывает и неравенство   равносильно неравенству . Так как x > 0 , то z(x) > z(0) = 1 . Значит, каждое положительное значение х является решением неравенства . Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.

4) При a > 1 показательная функция с основанием а возрастает и неравенство   равносильно неравенству . Если a  ≥ 5, то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму нельзя найти. Если 1 < a < 5, то множество положительных решений – это интервал (0;x₀) , где a = z(x₀) .

5) Целые числа расположены в этом интервале подряд, начиная с 1. Вычислим суммы последовательно идущих натуральных чисел, начиная с 1 : 1; 1+2 = 3; 1+2+3 = 6; 1+2+3+4 = 10;… Поэтому указанная сумма будет больше 5 и меньше 10, только если число 3 лежит в интервале (0;x₀), а число 4 не лежит в этом интервале. Значит, 3 < x₀ ≤ 4 . Так как   возрастает на , то z(3) < z(x₀) ≤ z(4) .

Решение иррациональных уравнений и неравенств, а также уравнений, неравенств и систем, содержащих модули рассмотрены в Приложении 1.

Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа.

По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

urok.1sept.ru