Системы уравнений. Способы решения систем уравнений

Система уравнений — это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные обозначают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Решить систему уравнений — это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.

Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.

Способ подстановки

Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.

Рассмотрим решение системы уравнений:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Сначала найдём, чему равен  x  в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное  x,  в правую часть:

x — 4y = 2;

x = 2 + 4y.

Так как  x,  на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:

3x	— 2y = 16;
3(2 + 4y)	— 2y = 16.

Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен 

y.  Как решать уравнения с одним неизвестным, вы можете посмотреть в соответствующей теме.

3(2 + 4y) — 2y = 16;

6 + 12y — 2y = 16;

6 + 10y = 16;

10y = 16 — 6;

10y = 10;

y = 10 : 10;

y = 1.

Мы определили что  y = 1.  Теперь, для нахождения численного значения  x,  подставим значение  y  в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен  x:

x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6.

Ответ:  x = 6,  y = 1.

Способ сравнения

Способ сравнения — это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.

Например, для решение системы:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

найдём в обоих уравнениях, чему равен  y  (можно сделать и наоборот — найти, чему равен  x):

x — 4y = 2	3x — 2y = 16
-4y = 2 — x	-2y = 16 — 3x
y = (2 — x) : — 4	y = (16 — 3x) : -2

Составляем из полученных выражений уравнение:

Решаем уравнение, чтобы узнать значение  x:

2 — x  · (-4) =  16 — 3 x  · (-4) -4 -2

2 — x = 32 — 6x

—x + 6x = 32 — 2

5x = 30

x = 30 : 5

x = 6

Теперь подставляем значение  x  в первое или второе уравнение системы и находим значение  y:

x — 4y = 2	3x — 2y = 16
6 — 4y = 2	3 · 6 — 2y = 16
-4y = 2 — 6	-2y = 16 — 18
-4y = -4	-2y = -2
y = 1	y = 1

Ответ:  x = 6,  y = 1.

Способ сложения или вычитания

Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.

Рассмотрим систему:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:

(3x — 2y) · -2 = 16 · -2

-6x + 4y = -32

Получим:

	x — 4y = 2
	-6x + 4y = -32

Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

+	x  —  4y = 2
	-6x + 4y = -32
	-5x         = -30

Находим значение  x  (x = 6).  Теперь, подставив значение  x  в любое уравнение системы, найдём 

y = 1.

Если уравнять коэффициенты у  x,  то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.

Уравняем коэффициенты при неизвестном  x,  умножив все члены первого уравнения на  3:

(x — 4y) · 3 = 2 · 3

3x — 12y = 6

Получим:

	3x — 12y = 6
	3x — 2y = 16

Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

—	3x  —  12y = 6
	3x  —   2y = 16
	-10y = -10

Находим значение  y  (y = 1).  Теперь, подставив значение  y  в любое уравнение системы, найдём  x = 6:

3x — 2 y = 16

3x — 2 · 1 = 16

3x — 2 = 16

3x = 16 + 2

3x = 18

x = 18 : 3

x = 6

Ответ:  x = 6,  y = 1.

Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:

Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.

Методы решения систем рациональных уравнений. Алгебра, 9 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Метод сложения (линейные уравнения) Сложность: лёгкое
2.	Метод подстановки (линейные уравнения) Сложность: лёгкое
3.	Корни квадратного уравнения, теорема Виета Сложность: лёгкое
4.	Метод подстановки (линейное и квадратное) Сложность: лёгкое
5.	Метод алгебраического сложения Сложность: среднее
6.	Способ сложения Сложность: среднее
7.	Пары чисел, которые являются решением системы уравнений Сложность: среднее
8.	Графический метод (парабола и прямая) Сложность: среднее
9.	Графический метод (гипербола и прямая) Сложность: среднее
10.	Графический метод (элементарные функции) Сложность: среднее
11.	Система квадратных уравнений Сложность: среднее
12.	Система уравнений (линейное и квадратное) I Сложность: среднее
13.	Система уравнений (линейное и квадратное) II Сложность: среднее
14.	Система уравнений (линейное и квадратное) III Сложность: среднее
15.	Задача на составление системы уравнений Сложность: среднее
16.	Система рациональных уравнений Сложность: среднее
17.	Система, состоящая из рационального и квадратного уравнений Сложность: среднее
18.	Система, состоящая из рационального и линейного уравнений Сложность: среднее
19.	Система рациональных уравнений, вводится одна новая переменная Сложность: среднее
20.	Система, состоящая из рациональных уравнений Сложность: среднее
21.	Система, состоящая из квадратного и рационального уравнений Сложность: среднее
22.	Система линейных уравнений Сложность: среднее
23.	Система, состоящая из квадратного и рационального уравнений, метод умножения Сложность: среднее
24.	Пары чисел, которые являются решением системы уравнений Сложность: среднее
25.	Графический метод (окружность и парабола) Сложность: сложное

Решение уравнений в Excel методом итераций Крамера и Гаусса

В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.

Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.

Путь к команде: «Данные» — «Работа с данными» — «Анализ «что-если»» — «Подбор параметра».

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х² + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:

1. Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.
2. Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» — ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» — В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.
3. После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».

Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».



Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

Дана система уравнений:

1. Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.
2. Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.
3. Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.
4. Умножим обратную матрицу Ах^-1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.
5. Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.

Получены корни уравнений.

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:

Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.

Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.

Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).

Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (D_x / |A|).

Для расчета Х₁: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х₂: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Для примера возьмем простейшую систему уравнений:

3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9

Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.

Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.

1. Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.
2. Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.
3. Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.
4. Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: {=B12:E12/D12}.
5. В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки ({=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11}). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты ({=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10}). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:

Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х³ + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:

Х_n+1 = X_n– F (X_n) / M, n = 0, 1, 2, … .

M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:

f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х³ – 1. М = 11.

В ячейку А3 введем значение: а = 1. Точность – три знака после запятой. Для расчета текущего значения х в соседнюю ячейку (В3) введем формулу: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).

В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.

Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:

Скачать решения уравнений в Excel

Корень на заданном промежутке один.

Решение СЛАУ методами подстановки и сложения

Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.

Например, уравнение

—

линейное, а уравнения и не являются линейными.

В общем виде система m линейных уравнений с n переменными записывается так:

. (1)

Числа
 
называются коэффициентами при переменных, а
 —
свободными членами.

Совокупность чисел

называется решением системы (1) линейных уравнений, если при подстановке их вместо переменных во все уравнения они обращаются в верные равенства.

Изучение систем линейных уравнений начинается в средней школе. В школьном курсе рассматриваются в основном системы двух линейных уравнений с двумя переменными и два метода их решения — метод подстановки и метод сложения. Эти методы являются основой изучаемого в курсе высшей математике метода Гаусса. (Принципиально иной метод — метод Крамера — основан на использовании определителей).

Чтобы последовательно двигаться от простому к ещё более простому (сложному), повторим два школьных метода.

Решение. При решении системы линейный уравнений методом подстановки сначала из какого-нибудь уравнения выражают одну переменную через другую (другие, если неизвестных больше двух). Полученное выражение подставляют в другие уравнения, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной. Затем находят соответствующее значение второй (и третьей, если она есть) переменной.

Начнём со вполне школьного примера системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений методом подстановки:

Выразим из первого уравнения данной системы y через x (можно и наоборот) и получим:

Подставив во второе уравнение данной системы вместо y выражение , получим систему

Данная и полученная системы равносильны. В последней системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:

Соответствующее значение y найдём, подставив вместо x число -5 в выражение , откуда

Пара (-5; 2) является решением системы линейных уравнений.

Методом подстановки можно решать и системы трёх линейных уравнений с тремя переменными.

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом подстановки:

Из третьего уравнения системы выразим :

.

Подставим это выражение во второе уравнение данной системы:

.

Произведём преобразования и выразим из этого уравнения :

Полученные выражения для и подставим в первое уравнение системы и получим

.

Вместо можно вновь подставить его выражение, тогда получим уравнение с одним неизвестным:

откуда

.

Теперь из ранее полученных выражений для остальных переменных найдём и эти переменные:

Итак, решение данной системы линейных уравнений:

.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом подстановки:

Из первого уравнения системы выразим :

.

Подставим это выражение во второе уравнение данной системы, после чего выполним преобразования и получим:

Из третьего уравнения выразим :

Полученное выражение для подставим в преобразованное второе уравнение системы и получим уравнение с одним неизвестным:

.

Произведём преобразования и найдём :

Теперь из ранее полученных выражений для остальных переменных найдём и эти переменные:

Итак, решение данной системы линейных уравнений:

.

При решении систем линейных уравнений методом сложения уравнения системы почленно складывают, причём одно или оба (несколько) уравнений могут быть умножены на различные числа. В результате приходят к эквивалентной (равносильной) системе линейных уравнений, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом сложения:

Решение. В уравнениях данной системы в этом примере системы коэффициенты при y — противоположные числа. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной:

, или , .

Заменим одно из уравнений исходной системы, например, первое, уравнением . Получим систему

Решим полученную систему. Подставив значение в уравнение , получим уравнение с одной переменной y:

Пара (2; 1) является решением полученной системы линейных уравнений. Она является также решением исходной системы, так как эти две системы линейных уравнений равносильны.

Пример 5. Решить систему линейных уравнений методом сложения

Почленное сложение уравнений системы не приводит к исключению одной из переменных. Но если умножить все члены первого уравнения на -3, а второго уравнения на 2, то коэффициенты при x в полученных уравнениях будут противоположными числами:

Почленное сложение уравнений полученной в результате преобразований системы приводит к уравнению с одной переменной: . Из этого уравнения находим, что . Получили

Решением полученной системы, а следовательно и исходной системы линейных уравнений является пара чисел (-3; 0).

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом сложения:

Решение. Для упрощения решения произведём замену переменных:

, .

Приходим к системе линейных уравнений:

или

Умножим второе уравнение полученной системы на -2 и сложим с первым уравнением, получим , . Тогда .

Следовательно, имеем систему уравнений

или

Умножим второе уравнение полученной системы на 3 и сложим с первым уравнением. Получим

.

Решив задачи из примеров на решение систем линейных уравнений методом подстановки и методом сложения, мы научились производить элементарные преобразования, необходимые для решениях систем линейных уравнений в курсе высшей математики.

Продолжение темы «Системы уравнений и неравенств»

Начало темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

Решение системы уравнений методом Крамера

Метод применим только в том случае, если число переменных совпадает с числом уравнений в этой системе линейных уравнений.

Необходимым условием является, чтобы определитель матрицы системы не равнялся нулю, то есть

D = det A≠0

Система из n уравнений с n неизвестными

Если определитель матрицы линейной системы не равен нулю, то система имеет единственное решение.

Решение находится по формулам:

i=0,1,2…n

D — главный определитель, составленный из числовых коэффициентов при неизвестных,

D_i – вспомогательный определитель, получаемый из главного заменой i -го столбца столбцом свободных членов b_i.

---

Допустим, дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными, вида

главный определитель находится по формуле:

а вспомогательные по формулам:

Далее по формулам Крамера находим корни искомой системы линейных уравнений:

---

Пример 1

Решить систему линейных уравнений с двумя неизвестными с помощью метода Крамера

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x_1}}& + &{3{x_2}}& = &{ — 1} \\ {3{x_1}}& + &{4{x_2}}& = &{ — 1} \end{array}} \right.$

Решение

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x_1}}& + &{3{x_2}}& = &{ — 1} \\ {3{x_1}}& + &{4{x_2}}& = &{ — 1} \end{array}} \right.$

Находим определитель матрицы второго порядка системы

$\Delta  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3 \\ 3&4 \end{array}} \right| = 8 — 9 =  — 1 \ne 0$

Имеем:

${\Delta _{\,1}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { — 1}&3 \\ { — 1}&4 \end{array}} \right|=$

$=  — 1 \cdot 4 — 3 \cdot ( — 1) =  — 1$

${\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ — 1} \\  3&{ — 1} \end{array}} \right|=$

$= 2 \cdot ( — 1) — 3 \cdot ( — 1) = 1$

Следовательно, находим корни уравнения

${x_{\,1}} = \frac{{{\Delta _{\,1}}}}{\Delta } = \frac{{ — 1}}{{ — 1}} = 1$

${x_2} = \frac{{{\Delta _2}}}{\Delta } = \frac{1}{{ — 1}} =  — 1$

---

Пример 2

Решить систему линейных уравнений  с тремя неизвестными с помощью метода Крамера

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x_1} — {x_2} + {x_3} = 12} \\  {5{x_1} +{x_2} + 2{x_3} = 3} \\ {x{}_1 + {x_2} + 2{x_3} = 3} \end{array}{\text{ }}} \right.$

Решение

Найдем определитель матрицы третьего порядка, по формуле:

Определитель матрицы равен:

Определитель не равен нулю

Вычислим вспомогательные определители

Тогда получаем окончательное решение

${x_1} = \frac{{\Delta {x_1}}}{\Delta } = \frac{0}{{12}} = 0$

${x_2} = \frac{{\Delta {x_2}}}{\Delta } =  — \frac{{84}}{{12}} =  — 7$

${x_3} = \frac{{\Delta {x_3}}}{\Delta } = \frac{{60}}{{12}} = 5$

Ответ: x₁=0; x₂=-7; x₃=5

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса в MS Excel

На днях понадобилось найти корни системы линейных уравнений методом Гаусса в Microsoft Excel. Готовый алгоритм решения можно найти в книге Гарнаева «Использование Excel и VBA в экономике и финансах», но объяснение там очень скудное и не совсем понятное. Постараюсь описать подробней для тех, кому может понадобиться этот алгоритм.

Лирическое отступление: в тексте будет предлагаться ввести в диапазон ячеек формулу вида: {=A1:B3+$C$2:$C$3} и т.п., это так-называемые «формулы массива» (формула, выполняющая несколько вычислений над одним или несколькими наборами значений, а затем возвращающая один или несколько результатов. Формулы массива заключены в фигурные скобки { }). Microsoft Excel автоматически заключает ее в фигурные скобки ( { } ). Для введения такого типа формул необходимо выделить весь диапазон, куда нужно вставить формулу, в первой ячейке ввести формулу без фигурных скобок (для примера выше — =A1:B3+$C$2:$C$3) и нажать Ctrl+Shift+Enter.

Пускай имеем систему линейных уравнений:

1. Запишем коэффициенты системы уравнений в ячейки A1:D4 а столбец свободных членов в ячейки E1:E4. Если в ячейке A1 находится 0, необходимо поменять строки местами так, чтоб в этой ячейке было отличное от ноля значение. Для большей наглядности можно добавить заливку ячеек, в которых находятся свободные члены.

2. Необходимо коэффициент при x₁ во всех уравнениях кроме первого привести к 0. Для начала сделаем это для второго уравнения. Скопируем первую строку в ячейки A6:E6 без изменений, в ячейки A7:E7 необходимо ввести формулу: {=A2:E2-$A$1:$E$1*(A2/$A$1)}. Таким образом мы от второй строки отнимаем первую, умноженную на A2/$A$1, т.е. отношение первых коэффициентов второго и первого уравнения. Для удобства заполнения строк 8 и 9 ссылки на ячейки первой строки необходимо использовать абсолютные (используем символ $).

3. Копируем введенную формулу формулу в строки 8 и 9, таким образом избавляемся от коэффициентов перед x₁ во всех уравнениях кроме первого.

4. Теперь приведем коэффициенты перед x₂ в третьем и четвертом уравнении к 0. Для этого скопируем полученные 6-ю и 7-ю строки (только значения) в строки 11 и 12, а в ячейки A13:E13 введем формулу {=A8:E8-$A$7:$E$7*(B8/$B$7)}, которую затем скопируем в ячейки A14:E14. Таким образом реализуется разность строк 8 и 7, умноженных на коэффициент B8/$B$7. Не забываем проводить перестановку строк, чтоб избавиться от 0 в знаменателе дроби.

5. Осталось привести коэффициент при x₃ в четвертом уравнении к 0, для этого вновь проделаем аналогичные действия: скопируем полученные 11, 12 и 13-ю строки (только значения) в строки 16-18, а в ячейки A19:E19 введем формулу {=A14:E14-$A$13:$E$13*(C14/$C$13)}. Таким образом реализуется разность строк 14 и 13, умноженных на коэффициент C14/$C$13. Не забываем проводить перестановку строк, чтоб избавиться от 0 в знаменателе дроби.

6. Прямая прогонка методом Гаусса завершена. Обратную прогонку начнем с последней строки полученной матрицы. Необходимо все элементы последней строки разделить на коэффициент при x₄. Для этого в строку 24 введем формулу {=A19:E19/D19}.

7. Приведем все строки к подобному виду, для этого заполним строки 23, 22, 21 следующими формулами:
23: {=(A18:E18-A24:E24*D18)/C18} — отнимаем от третьей строки четвертую умноженную на коэффициент при x₄ третьей строки.
22: {=(A17:E17-A23:E23*C17-A24:E24*D17)/B17} — от второй строки отнимаем третью и четвертую, умноженные на соответствующие коэффициенты.
21: {=(A16:E16-A22:E22*B16-A23:E23*C16-A24:E24*D16)/A16} — от первой строки отнимаем вторую, третью и четвертую, умноженные на соответствующие коэффициенты.
Результат (корни уравнения) вычислены в ячейках E21:E24.

UPDATE от 25 апреля 2012 г. Выкладываю xls-файл с решением линейных уравнений методом Гаусса в Microsoft Excel:

Решение СЛАУ 4-ого порядка методом Гаусса, пример № 4

СЛАУ 3-его порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12
СЛАУ 4-ого порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12

---

Условие

3x 1  + x 2  — 2x 3  — 2x 4   =   -2  2x 1  — x 2  + 2x 3  + 2x 4   =   2  2x 1  + x 2  — x 3  — x 4   =   -1  x 1  + x 2  — 3x 3  + 2x 4   =   -3

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусс

Для проверки ответов можете воспользоваться нашим онлайн сервисом — Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Все действия описанные в данном разделе не противоречат правилам обращения с матрицами и являются элементарными преобразованиями матрицы. Если после изучения примеров решения задач у Вас останутся вопросы, то Вы всегда можете задать их на форуме, и не забывайте про наши онлайн калькуляторы для решения задач по математике и другим предметам!

Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Получится матрица 4 × 5, слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.

Проведём следующие действия:

• Поменяем местами строку № 1 и строку № 4

Получим:

Проведём следующие действия:

• Из строки № 2 вычтем строку № 1 умноженную на 2 (Строка 2 — 2 × строка 1)
• Из строки № 3 вычтем строку № 1 умноженную на 2 (Строка 3 — 2 × строка 1)
• Из строки № 4 вычтем строку № 1 умноженную на 3 (Строка 4 — 3 × строка 1)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Строку № 3 умножим на -1 (Строка 3 = строка 3 * -1)
• Поменяем местами строку № 2 и строку № 3

Получим:

Проведём следующие действия:

• К строке № 3 прибавим строку № 2 умноженную на 3 (Строка 3 + 3 × строка 2)
• К строке № 4 прибавим строку № 2 умноженную на 2 (Строка 4 + 2 × строка 2)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Строку № 4 поделим на -3 (Строка 4 = строка 4 / -3)
• Поменяем местами строку № 3 и строку № 4

Получим:

Проведём следующие действия:

• К строке № 4 прибавим строку № 3 умноженную на 7 (Строка 4 + 7 × строка 3)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Строку № 4 поделим на 55 (Строка 4 = строка 4 / 55)
• Из строки № 3 вычтем строку № 4 умноженную на 6 (Строка 3 — 6 × строка 4)
• Из строки № 2 вычтем строку № 4 умноженную на 5 (Строка 2 — 5 × строка 4)
• Из строки № 1 вычтем строку № 4 умноженную на 2 (Строка 1 — 2 × строка 4)

Получим:

Проведём следующие действия:

• К строке № 2 прибавим строку № 3 умноженную на 5 (Строка 2 + 5 × строка 3)
• К строке № 1 прибавим строку № 3 умноженную на 3 (Строка 1 + 3 × строка 3)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Из строки № 1 вычтем строку № 2 (Строка 1 — строка 2)

Получим:

В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение:
х₁ = 0
х₂ = 0
х₃ = 1
х₄ = 0

Вы поняли, как решать? Нет?

Помощь с решением

3 Методы решения систем уравнений

Три метода, наиболее часто используемые для решения систем уравнений, — это подстановка, исключение и расширенные матрицы. Замена и исключение — это простые методы, с помощью которых можно эффективно решить большинство систем двух уравнений за несколько простых шагов. Метод расширенных матриц требует большего количества шагов, но его применение распространяется на большее количество систем.

Замена

Замена — это метод решения систем уравнений путем удаления всех переменных, кроме одной, в одном из уравнений, а затем решения этого уравнения.Это достигается путем выделения другой переменной в уравнении и последующей подстановки значений этих переменных в другое уравнение. Например, чтобы решить систему уравнений x + y = 4, 2x — 3y = 3, выделите переменную x в первом уравнении, чтобы получить x = 4 — y, затем подставьте это значение y во второе уравнение, чтобы получить 2 (4 — y) — 3y = 3. Это уравнение упрощается до -5y = -5 или y = 1. Подставьте это значение во второе уравнение, чтобы найти значение x: x + 1 = 4 или x = 3.

Исключение

Исключение — это еще один способ решения систем уравнений путем переписывания одного из уравнений в терминах только одной переменной.Метод исключения достигает этого путем сложения или вычитания уравнений друг из друга, чтобы сократить одну из переменных. Например, сложение уравнений x + 2y = 3 и 2x — 2y = 3 дает новое уравнение 3x = 6 (обратите внимание, что члены y сокращены). Затем система решается с использованием тех же методов, что и для замены. Если невозможно сократить переменные в уравнениях, необходимо будет умножить все уравнение на коэффициент, чтобы коэффициенты совпали.

Расширенная матрица

Расширенные матрицы также могут использоваться для решения систем уравнений.Расширенная матрица состоит из строк для каждого уравнения, столбцов для каждой переменной и расширенного столбца, который содержит постоянный член с другой стороны уравнения. Например, расширенная матрица для системы уравнений 2x + y = 4, 2x — y = 0 имеет вид [[2 1], [2 -1] … [4, 0]].

Определение решения

Следующий шаг включает использование элементарных операций со строками, таких как умножение или деление строки на константу, отличную от нуля, и добавление или вычитание строк. Цель этих операций — преобразовать матрицу в форму строки-эшелона, в которой первая ненулевая запись в каждой строке — это 1, записи выше и ниже этой записи — все нули, а первая ненулевая запись для каждого row всегда находится справа от всех таких записей в строках над ней.Строчно-эшелонированная форма для указанной выше матрицы — [[1 0], [0 1] … [1, 2]]. Значение первой переменной задается первой строкой (1x + 0y = 1 или x = 1). Значение второй переменной задается второй строкой (0x + 1y = 2 или y = 2).

Приложения

Подстановка и исключение — это более простые методы решения уравнений, которые используются гораздо чаще, чем расширенные матрицы в базовой алгебре. Метод подстановки особенно полезен, когда одна из переменных уже изолирована в одном из уравнений.Метод исключения полезен, когда коэффициент одной из переменных одинаков (или его отрицательный эквивалент) во всех уравнениях. Основное преимущество расширенных матриц состоит в том, что их можно использовать для решения систем из трех или более уравнений в ситуациях, когда подстановка и исключение невозможны или невозможны.

Промежуточная алгебра Урок 19: Решение систем линейных уравнений в двух переменных WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория> Промежуточная алгебра Цели обучения После изучения этого руководства вы сможете: Узнайте, является ли упорядоченная пара решением системы линейных уравнений в две переменные или нет. Решите систему линейных уравнений с двумя переменными, построив график. Решите систему линейных уравнений с двумя переменными заменой метод. Решите систему линейных уравнений с двумя переменными методом исключения метод. Введение В этом уроке мы будем специально рассматривать системы, которые имеют два уравнения и две неизвестные. Урок 20: Решение систем Линейный Уравнения в трех переменных будут охватывать системы, которые имеют три уравнения и три неизвестных. Мы рассмотрим их решение трех разных способы: построение графиков, метод подстановки и метод исключения. Это приведет нас к решению проблем со словами с системами, которые быть показано в Tutorial 21: Systems of Linear Equations and Problem Решение . Вот где мы должны ответить на печально известный вопрос, когда мы будем использовать это? Но сначала мы должны научиться работать с системами в Генеральная. Вот почему на этом этапе мы используем общие переменные, такие как x и y . Если вы знаете, как это решить в целом, тогда, когда у вас есть конкретный проблема что вы решаете, где переменные принимают значение, такое как время или Деньги (две вещи, которых нам, кажется, никогда не бывает достаточно), вы будете готовы к идти. Итак, давайте посмотрим на системы в целом, чтобы подготовить нас к решению предстоящих проблем из нас. Учебник Система линейных уравнений Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнения, которые решаются одновременно. В этом руководстве мы рассмотрим системы, которые имеют только два линейных уравнения и две неизвестные. В общем, решение системы двух переменных заказанный пара, которая делает ОБЕИХ уравнениями истинными. Другими словами, это место пересечения двух графиков, что у них есть в общем. Итак, если упорядоченная пара является решением одного уравнения, но не другой, то это НЕ решение системы. Согласованная система — это система, в которой хотя бы одно решение. Несогласованная система — это система, имеющая нет решения . Уравнения системы зависимы , если ВСЕ решения одного уравнения являются решениями другого уравнения. В Другие словами, в итоге получается и та же строка . Уравнения системы независимы , если они не разделяют ВСЕ решения . У них может быть одна общая черта, только не все их. Одно решение Если система с двумя переменными имеет одно решение, это заказанный пара, которая является решением ОБЕИХ уравнений. Другими словами, когда вы вставляете значения упорядоченной пары, она делает ОБА уравнения ПРАВДА. Если у вас есть одно решение для окончательного ответа, — это эта система непротиворечива или непоследовательна? Если вы сказали «последовательный», похлопайте себя по плечу! Если вы получите одно решение для окончательного ответа, будет уравнения быть зависимыми или независимыми? Если вы сказали независимый, вы правы! График ниже иллюстрирует систему двух уравнений. и два неизвестных у которого есть одно решение: Нет решения Если две линии параллельны друг другу, они будут никогда не пересекаются. Значит, у них нет ничего общего. В этом ситуация у вас не будет решения. Если вы не получили решения для своего окончательного ответа, — это эта система непротиворечива или непоследовательна? Если вы сказали «непоследовательно», вы правы! Если вы не получите окончательного ответа, будет уравнения быть зависимыми или независимыми? Если вы сказали независимый, вы правы! График ниже иллюстрирует систему двух уравнений. и два неизвестных не имеющий решения: Бесконечный Решения Если две линии в конечном итоге лежат друг на друге, то Там есть бесконечное количество решений. В этой ситуации они было бы в конечном итоге будут одной и той же строкой, поэтому любое решение, которое будет работать в одном уравнение будет работать в другом. Если вы получите бесконечное количество решений для ваш окончательный ответ, я с эта система непротиворечива или непоследовательна? Если вы сказали «последовательный», вы правы! Если вы получите бесконечное количество решений для ваш окончательный ответ, будет уравнения быть зависимыми или независимыми? Если вы сказали иждивенец, вы правы! График ниже иллюстрирует систему двух уравнений. и два неизвестных имеющий бесконечное количество решений: Пример 1 : Определите, является ли каждая заказанная пара решением из система. (3, -1) и (0, 2) Давайте проверим заказанную пару (3, -1) в первом уравнение: * Вставка 3 для x и -1 для y * Верное утверждение Пока все хорошо, (3, -1) является решением первое уравнение x + y = 2. Теперь давайте проверим (3, -1) во втором уравнении: * Вставка 3 для x и -1 для y * Верное утверждение Эй, мы закончили с еще одним верным утверждением, которое означает, что (3, -1) является также решение второго уравнения x — y = 4. Вот большой вопрос, является ли (3, -1) решением данная система ????? Поскольку это было решение ОБЕИХ уравнений в системе, Затем это это решение всей системы. Теперь поместим (0, 2) в первое уравнение: * Вставка 0 для x и 2 для y * Истинное утверждение Это истинное утверждение, поэтому (0, 2) является решением первое уравнение x + y = 2. Наконец, поместим (0,2) во второе уравнение: * Вставка 0 для x и 2 для y * Ложное заявление На этот раз мы получили ложное заявление, вы знаете, что это средства. (0, 2) НЕ является решением второго уравнения x — y = 4. Вот большой вопрос, является ли (0, 2) решением данная система ????? Поскольку это не было решением ОБЕИХ уравнений в система, то это не решение всей системы. Три способа Решение систем линейных Уравнений с двумя переменными Шаг 1. Постройте первое уравнение. Шаг 2: Изобразите второе уравнение на та же координата система как первая. Вы изобразите второе уравнение так же, как и любое другое. уравнение. Обратитесь к первому шагу, если вам нужно рассмотреть различные способы график линия. Отличие в том, что на такой же ставишь система координат как первый. Это как две задачи с графиком в одной. Шаг 3. Найдите решение. Если две линии пересекаются в одном месте , то точка перекресток — решение системы. Если две линии параллельны , то они никогда не пересекаются, так что нет решения. Если две строки лежат друг над другом , то они та же строка , и у вас есть бесконечное количество решений. . В этом случае вы можете записать любое уравнение как решение указывать это одна и та же линия. Шаг 4: Проверьте предложенный заказанный парное решение в ОБА уравнения. Предлагаемое решение можно подключить к ОБА уравнения. Если это делает ОБЕИХ уравнения истинными, тогда у вас есть решение система. Если хотя бы одно из них становится ложным, вам нужно перейти назад и повторить проблема. Пример 2 : Решите систему уравнений, построив график. * Вставка 0 для y для x -int * x -intercept Перехват x — это (3, 0). y — перехват * Вставка 0 для x для y -int * y -intercept Перехват y равен (0, 3). Найти другого решение, позволяя x = 1. * Вставка 1 для x Другое решение (1, 2). Решения: х л (х, у) 3 0 (3, 0) 0 3 (0, 3) 1 2 (1, 2) Построение упорядоченных парных решений и построение линия: * Вставка 0 для y для x -int * x -intercept Перехват x — это (1, 0). Y-перехват * Вставка 0 для x для y -int * Обратное от мульт. на -1 — это div. по -1 * y — перехват Перехват y равен (0, -1). Найти другого решение, позволяя x = 2. * Вставьте 2 для x * Доп. Добавление 2 — обратное. 2 * Обратное от мульт. на -1 это div по -1 Другое решение (2, 1). Решения: х л (х, у) 1 0 (1, 0) 0 -1 (0, -1) 2 1 (2, 1) Построение упорядоченных парных решений и построение линия: Нам нужно спросить себя, есть ли место, где две линии пересекаются, и если да, то где? Ответ — да, они пересекаются в (2, 1). Вы обнаружите, что если вы подключите заказанную пару (2, 1) в ОБЕИХ уравнения исходной системы, что это решение ОБЕИХ из них. Решение этой системы — (2, 1). Пример 3 : Решите систему уравнений, построив график. * Вставка 0 для y для x -int * x -intercept Перехват x — это (5, 0). y — перехват * Вставка 0 для x для y -int * y — перехват Перехват y равен (0, 5). Найти другого решение, позволяя x = 1. * Вставить 1 для x * Сумма, обратная сумме 1, является вспомогательной. 1 Другое решение (1, 4). Решения: х л (х, у) 5 0 (5, 0) 0 5 (0, 5) 1 4 (1, 4) Построение упорядоченных парных решений и построение линия: * Вставка 0 для y для x -int * Сумма, обратная сумме 3, является sub.3 * Обратное от мульт. на -1 — это div. по -1 * x — интервал Перехват x — это (3, 0). y — перехват * Вставка 0 для x для y -int * y -intercept Перехват y равен (0, 3). Найти другого решение, позволяя x = 1. * Вставка 1 для x Другое решение (1, 2). Решения: х л (х, у) 3 0 (3, 0) 0 3 (0, 3) 1 2 (1, 2) Построение упорядоченных парных решений и построение линия: Нам нужно спросить себя, есть ли место, где две линии пересекаются, и если да, то где? Ответ — нет, они не пересекаются.Мы иметь два параллельных линий. Нет заказанных пар для проверки. Ответа нет. Решить методом подстановки Шаг 1. При необходимости упростите. Это может включать в себя такие вещи, как удаление () и удаление фракций. Чтобы удалить (): просто используйте свойство distributive. Чтобы удалить дроби: поскольку дроби — это еще один способ написать деление, а обратное деление — умножение, дробь удаляется на умножение обе стороны ЖК-дисплеем всех ваших фракций. Шаг 2: Решите одно уравнение для любая переменная. Неважно, какое уравнение вы используете или какое переменная, которую вы выбираете решить для. Вы хотите сделать это как можно проще.Если один уравнений уже решена для одной из переменных, это быстро и легко способ идти. Если вам нужно найти переменную, попробуйте выбрать тот, у которого есть 1 как коэффициент. Таким образом, когда вы идете решать это, вы не будет делить на число и рисковать работать с доля (фу !!). Шаг 3. Замените то, что вы получаете шаг 2 в другое уравнение. Вот почему он называется методом замещения. Убедись в том, что вы подставляете выражение в ДРУГОЕ уравнение, то, которое вы не сделал использовать на шаге 2. Это даст вам одно уравнение с одним неизвестным. Шаг 4. Решите для оставшаяся переменная. Шаг 5: Решите для секунды Переменная. Если вы нашли значение переменной на шаге 4, что означает два уравнения имеют одно решение. Вставьте значение, найденное в шаг 4 в любое уравнение задачи и решить для другого Переменная. Если ваша переменная выпадает, и у вас есть ЛОЖЬ заявление, что означает ваш ответ не решение. Если ваша переменная выпадает и у вас есть ИСТИНА заявление, что означает ваш ответ — бесконечные решения, которые были бы уравнением линия. Шаг 6: Проверьте предложенный заказанный парное решение в ОБЕ исходные уравнения. Предлагаемое решение можно подключить к ОБА уравнения. Если это делает ОБЕИЕ уравнения истинными, тогда у вас есть решение система. Если хотя бы одно из них становится ложным, вам нужно перейти назад и повторить проблема. Пример 4 : Решите систему уравнений заменой метод. Оба эти уравнения уже упрощены. Нет необходимости в работе делать здесь. Обратите внимание, что второе уравнение уже решено для y . Мы можем использовать его на этом этапе. Неважно, какое уравнение или какую переменную вы выбрать решение для. Но в ваших интересах, чтобы это было так просто, как возможный. Второе уравнение решено для y : * Решено для y Подставьте выражение 2 x + 4 вместо y в первое уравнение и решите относительно x : (когда вы вставляете такое выражение, это похоже на то, как вы подключаете в номере вашей переменной) * Под.2 x + 4 дюйма для y * Расст. -5 через () * Объединить похожие термины * Обратное от sub. 20 добавлено 20 * Значение, обратное div. by -7 есть мульт. по -7 Вставить -5 для x в уравнение в шаг 2, чтобы найти значение y . * Вставка -5 для x Вы обнаружите, что если вы подключите заказанную пару (-5, -6) в ОБЕИХ уравнения исходной системы, что это решение ОБЕИХ из их. (-5, -6) — решение для нашей системы. Пример 5 : Решите систему уравнений заменой метод. Оба эти уравнения уже упрощены. Нет необходимости в работе делать здесь. На этот раз проблема была не так хороша для нас, мы придется проделайте небольшую работу, чтобы решить одно уравнение для одной из наших переменных. Неважно, какое уравнение или какую переменную вы выбрать решение для.Просто будьте проще. Начиная с x в первом уравнение имеет коэффициент 1, это означало бы, что нам не нужно было бы делить на номер решить эту проблему и рискнуть работать с дробями (УРА !!) Самый простой способ — решить первое уравнение для x , и мы определенно хотим выбрать легкий путь. Ты бы не был неправильный чтобы выбрать другое уравнение и / или решить для y, снова вы хотите чтобы сделать его максимально простым. Решая первое уравнение для x , получаем: * Обратное от sub. 2 y прибавлено 2 y * Решено для x Подставьте выражение 5 + 2 y вместо x во второе уравнение и решите относительно y : (когда вы вставляете такое выражение, это похоже на то, как вы подключаете в номере вашей переменной) * Под.5 + 2 y для x * Переменная выпала И ложь Погодите, откуда наш переменная go ???? Как упоминалось выше, если ваша переменная выпадает, и вы иметь оператор FALSE, тогда решения нет. Если бы мы изобразили эти два графика, они будут параллельны друг другу. Поскольку мы не получили значение для y , там здесь нечего подключать. Нет заказанных пар для проверки. Ответа нет. Решить методом исключения Этот метод также известен как сложение или исключение добавлением метод. Шаг 1: Упростите и поместите оба уравнения в виде При необходимости A x + B y = C. Это может включать в себя такие вещи, как удаление () и удаление фракций. Чтобы удалить (): просто используйте свойство distributive. Чтобы удалить дроби: поскольку дроби — это еще один способ написать деление, а обратное деление — умножение, дробь удаляется на умножение обе стороны ЖК-дисплеем всех ваших фракций. Шаг 2: Умножьте один или оба уравнения по числу который при необходимости создаст противоположные коэффициенты для x или y . Забегая вперед, мы добавим эти два Уравнения вместе . В этом процессе нам нужно убедиться, что одна из переменных падает вне, оставив нам одно уравнение и одно неизвестное. Единственный способ, которым мы можем гарантия, что если мы добавляем противоположности . Сумма противоположности равно 0. Если ни одна из переменных не выпадает, мы застреваем с уравнение с две неизвестные, которые неразрешимы. Неважно, какую переменную вы выберете для удаления вне. Вы хотите, чтобы это было как можно проще. Если переменная уже имеет противоположные коэффициенты, чем при добавлении двух уравнений все вместе. В противном случае вам нужно умножить одно или оба уравнения на число. что создаст противоположные коэффициенты в одной из ваших переменных.Ты может думайте об этом как о ЖК-дисплее. Подумайте, какой номер оригинал коэффициенты оба входят и соответственно умножают каждое отдельное уравнение. Делать убедитесь, что одна переменная положительна, а другая отрицательна, прежде чем вы Добавлять. Например, если у вас есть 2 x в одном уравнении и 3 x в другом уравнении, мы могли бы умножать первое уравнение на 3 и получаем 6 x и в второе уравнение на -2, чтобы получить -6 x . Так когда вы собираетесь сложить эти два вместе, они выпадут. Сложите два уравнения вместе. Переменная с противоположными коэффициентами будет выпадать из этого шаг, и у вас останется одно уравнение с одним неизвестным. Шаг 4: Найдите оставшуюся переменную. Решите уравнение, найденное на шаге 3 для переменной что осталось. Если вам нужен обзор по этому поводу, перейдите к руководству . 7: Линейные уравнения с одной переменной. Если выпадают обе переменные и вы получаете ЛОЖЬ заявление, что означает ваш ответ не решение. Если выпадают обе переменные и у вас есть ИСТИНА заявление, что означает ваш ответ — бесконечные решения, которые были бы уравнением линия. Шаг 5: Найдите вторую переменную. Если вы нашли значение переменной на шаге 4, что означает два уравнения имеют одно решение. Вставьте значение, найденное в шаг 4 в любое уравнение задачи и решить для другого Переменная. Шаг 6: Проверьте предложенный заказанный парное решение в ОБЕ исходные уравнения. Предлагаемое решение можно подключить к ОБЕИМ уравнения.Если это делает ОБЕИХ уравнения истинными, тогда у вас есть решение система. Если хотя бы одно из них становится ложным, вам нужно перейти назад и повторить проблема. Пример 6 : Решите систему уравнений методом исключения метод. В этом уравнении полно неприятных дробей. Мы можем упростить оба уравнения, умножив каждое в отдельности на ЖК-дисплей, как вы можете сделать это, когда работаете с одним уравнением. До тех пор, как вы проделайте то же самое с обеими сторонами уравнения, оставив обе стороны равны друг другу. Умножая каждое уравнение на соответствующий ЖК-дисплей, мы получить: * Мног. по ЖК из 15 * Мульт. по ЖК 6 Опять же, вы хотите сделать это так просто, как возможный.Обратите внимание, как коэффициенты на обоих и ‘s равны 3. Мы должны быть противоположности, поэтому, если один из них равен 3, а другой -3, Они будут взаимно отменять друг друга, когда мы перейдем к их добавлению. Если бы мы сложили их вместе, как сейчас, мы бы закончить с одно уравнение и две переменные, ничего бы не выпало. И мы было бы не смогу ее решить. Предлагаю умножить второе уравнение на -1, это будет создайте -3 перед x , и мы будем имеют наши противоположности. Обратите внимание, что мы могли бы так же легко умножить первое уравнение на -1 а не второй. В любом случае работа будет выполнена. Умножая второе уравнение на -1, получаем: * Мног.обе стороны 2-го ур. по -1 * г иметь противоположное коэффициенты * Обратите внимание, что y ‘s выпал * Обратное от мульт.на 3 — div. по 3 Вы можете выбрать любое уравнение, используемое в этой задаче, чтобы вставьте найденное значение x . Я выбираю подключить 11 для x в первое упрощенное уравнение (найдено на шаге 1), чтобы найти y ’s значение. * Вставка 11 для x * Сумма, обратная сумме 55, является подпунктом.55 * Обратное от мульт. на 3 — div. по 3 Вы обнаружите, что если вы подключите заказанную пару (11, -25/3) в ОБЕИХ уравнения исходной системы, что это решение ОБЕИХ из их. (11, -25/3) — это решение для нашей системы. Пример 7 : Решите систему уравнений методом исключения метод. Эта задача уже упрощена.Однако второй уравнение не записывается в виде Ax + By = C. Другими словами, нам нужно написать это в этой форме, чтобы все было готово к работе, когда мы добавим два уравнения вместе. Переписывая второе уравнение, получаем: * Сумма, обратная сумме 6 x , является вспомогательной.6 х * Все выравнивается Обратите внимание, что если мы умножим первое уравнение на 2, то Мы будем иметь a -6 x , что является противоположностью 6 x , найденной во втором уравнении. Умножая первое уравнение на 2, получаем: * Мног.1-й экв. по 2 * x имеют противоположные коэффициенты * Переменные выпали И истинно Эй, откуда у нас переменные идти?? Как упоминалось выше, если переменная выпадает И мы иметь ИСТИННОЕ заявление, тогда когда есть бесконечное количество решений.Они в конечном итоге та же линия. Здесь нет никакой ценности для подключения. Здесь нет никакой ценности для подключения. Когда они оказываются в одном уравнении, у вас есть бесконечное число решений.Вы можете написать свой ответ, написав либо уравнение, чтобы указать, что это одно и то же уравнение. Два способа написать ответ: {( x , y ) | 3 x — 2 y = 1} OR {( x , y ) | 4 y = 6 x — 2}. Практические задачи Это практические задачи, которые помогут вам следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает так же, как что-нибудь иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться Это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы хорошо освоить свой вид спорта или инструмент. На самом деле не бывает слишком много практики. Чтобы получить от них максимальную отдачу, вы должны работать проблема на свой собственный, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответ / обсуждение для этой проблемы . По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ. Практика Задача 1a: Решите систему, построив график. Практика Задача 2а: Решить систему подстановкой метод. Практика Проблема 3a: Решите систему метод устранения. Нужна дополнительная помощь по этим темам? Последняя редакция 10 июля 2011 г. Ким Сьюард. Авторские права на все содержание (C) 2001 — 2011, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

Решение системы уравнений — методы и примеры

Как решить систему уравнений?

К настоящему времени у вас есть представление о том, как решать линейные уравнения, содержащие одну переменную. Что, если бы вам представили нескольких линейных уравнений, содержащих более одной переменной ? Набор линейных уравнений с двумя или более переменными известен как система уравнений .

Существует несколько методов решения систем линейных уравнений.

Из этой статьи вы узнаете, как решать линейные уравнения, используя обычно используемые методы , а именно замену и исключение.

Метод замещения

Замена — это метод решения линейных уравнений, в котором переменная в одном уравнении выделяется, а затем используется в другом уравнении для определения оставшейся переменной.

Общие шаги для замены:

• Сделайте предмет формулы для переменной в одном из данных уравнений.
• Подставьте значение этой переменной во второе уравнение. ‘
• Решите уравнение, чтобы получить значение одной из переменных.
• Подставьте полученное значение в любое из уравнений, чтобы также получить значение другой переменной.

Давайте решим пару примеров, используя метод подстановки.

Пример 1

Решите указанные ниже системы уравнений.

б = а + 2

а + Ь = 4.

Решение

Подставьте значение b во второе уравнение.

а + (а + 2) = 4

Теперь решите

а + а + 2 = 4

2a + 2 = 4

2a = 4–2

а = 2/2 = 1

Подставьте полученное значение a в первое уравнение.

б = а + 2

б = 1 + 2

б = 3

Следовательно, решение двойного уравнения: a = 1 и b = 3.

Пример 2

Решите следующие уравнения с помощью замены.
7x — 3y = 31 ——— (i)

9x — 5y = 41 ——— (ii)

Решение

Из уравнения (i),

7x — 3y = 31

Сделайте y предметом формулы в уравнении:

7x — 3y = 31

Вычтем 7x из обеих частей уравнения 7x — 3y = 31, чтобы получить;

— 3 года = 31 — 7x

3y = 7x — 31

3 года / 3 = (7x — 31) / 3

Следовательно, y = (7x — 31) / 3

Теперь подставьте уравнение y = (7x — 31) / 3 во второе уравнение: 9x — 5y = 41

9x — 5 × (7x — 31) / 3 = 41

Решение уравнения дает;

27x — 35x + 155 = 41 × 3

–8x + 155 — 155 = 123 — 155

–8x = –32

8x / 8 = 32/8

х = 4

Подставляя значение x в уравнение y = (7x — 31) / 3, получаем;

y = (7 × 4 — 31) / 3

г = (28 — 31) / 3

г = –3/3

y = –1

Следовательно, решение этих систем уравнений: x = 4 и y = –1

Пример 3

Решите следующие системы уравнений:

2x + 3y = 9 и x — y = 3

Решение

Сделайте x предметом формулы во втором уравнении.

х = 3 + у.

Теперь подставьте это значение x в первое уравнение: 2x + 3y = 9.

⇒ 2 (3 + y) + 3y = 9

⇒ 6 + 2y + 3y = 9

г = ⅗ = 0,6

Подставляем полученное значение y во второе уравнение — y = 3.

⇒ х = 3 + 0,6

х = 3,6

Следовательно, решение x = 3,6 и y = 0,6

Метод исключения

При решении систем уравнений методом исключения выполняются следующие шаги:

• Приравняйте коэффициенты данных уравнений, умножив их на константу.
• Вычтите из новых уравнений общие коэффициенты с одинаковыми знаками и добавьте, если общие коэффициенты имеют противоположные знаки,
• Решите уравнение, полученное в результате сложения или вычитания
• Подставьте полученное значение в любое из уравнений, чтобы получить значение другой переменной.

Пример 4

4a + 5b = 12,

3a — 5b = 9

Решение

Поскольку коэффициенты b в двух уравнениях одинаковы, мы складываем члены по вертикали.

4a + 3a) + (5b — 5b) = 12 + 9

7a = 21

а = 21/7

а = 3

подставляем полученное значение a = 3 в уравнение первое уравнение

4 (3) + 5b = 12,

12 + 5b = 12

5b = 12-12

5b = 0

б = 0/5 = 0

Следовательно, решение a = 3 и b = 0.

Пример 5

Решите методом исключения.

2x + 3y = 9 ———– (i)

x — y = 3 ———– (ii)

Решение

Умножьте два уравнения на 2 и выполните вычитание.

2x + 3y = 9

(-)

2x — 2y = 6

-5лет = -3

г = ⅗ = 0,6

Теперь подставим полученное значение y во второе уравнение: x — y = 3

х — 0,6 = 3

х = 3,6

Следовательно, решение: x = 3,6 и y = 0,6

Практические вопросы

1. Решите данную систему уравнений:

2 года + 3x = 38

г — 2x = 12

2. Решите x — y = 12 и 2x + y = 22

3.Решить x / 2 + 2/3 y = -1 и x — 1 / 3y = 3

4. Решите 2a — 3 / b = 12 и 5a — 7 / b = 1

5. Решите систему уравнений x + 2y = 7 и 2x + 3y = 11

6. Решите систему уравнений 5x — 3y = 1 и 2x + y = -4

7. Решите 2x — 3y = 1 и 3x — 4y = 1

8. Решите систему уравнений 3x — 5y = -23 и 5x + 3y = 7

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Решение систем линейных уравнений

А система линейные уравнения представляет собой просто набор из двух или более линейных уравнений.

В двух переменных ( Икс а также у ) , график системы двух уравнений представляет собой пару прямых на плоскости.

Есть три возможности:

• Линии пересекаются в нулевых точках. (Линии параллельны.)
• Линии пересекаются ровно в одной точке. (Большинство случаев.)
• Прямые пересекаются в бесконечном множестве точек.(Два уравнения представляют собой одну и ту же линию.)

Нулевые решения: у знак равно — 2 Икс + 4 у знак равно — 2 Икс — 3
Одно решение: у знак равно 0.5 Икс + 2 у знак равно — 2 Икс — 3
Бесконечно много решений: у знак равно — 2 Икс — 4 у + 4 знак равно — 2 Икс	Существует несколько различных методов решения систем линейных уравнений: Графический метод . Это полезно, когда вам просто нужен приблизительный ответ или вы уверены, что пересечение происходит в целочисленных координатах. Просто нарисуйте две линии и посмотрите, где они пересекаются! См. Второй график выше. Решение — это место пересечения двух линий, точка ( — 2 , 1 ) . Метод замены . Сначала решите одно линейное уравнение для у с точки зрения Икс . Затем замените это выражение на у в другом линейном уравнении. Вы получите уравнение в Икс . Решите это, и у вас будет Икс -координата перекрестка. Затем подключите Икс к любому уравнению, чтобы найти соответствующее у -координат.(Если проще, вы можете начать с решения уравнения для Икс с точки зрения у , тоже — такая же разница!) Пример 1: Решите систему { 3 Икс + 2 у знак равно 16 7 Икс + у знак равно 19 Решите второе уравнение относительно у . у знак равно 19 — 7 Икс Заменять 19 — 7 Икс для у в первом уравнении и решить для Икс . 3 Икс + 2 ( 19 — 7 Икс ) знак равно 16 3 Икс + 38 — 14 Икс знак равно 16 — 11 Икс знак равно — 22 Икс знак равно 2 Заменять 2 для Икс в у знак равно 19 — 7 Икс и решить для у . у знак равно 19 — 7 ( 2 ) у знак равно 5 Решение ( 2 , 5 ) . Метод линейной комбинации , иначе Метод сложения , иначе Метод исключения. Сложить (или вычесть) одно уравнение, кратное другому уравнению (или из него), таким образом, чтобы либо Икс -термы или у -условия аннулируются.Затем решите для Икс (или же у , в зависимости от того, что осталось) и подставьте обратно, чтобы получить другую координату. Пример 2: Решите систему { 4 Икс + 3 у знак равно — 2 8 Икс — 2 у знак равно 12 Умножьте первое уравнение на — 2 и добавьте результат ко второму уравнению. — 8 Икс — 6 у знак равно 4 8 Икс — 2 у знак равно 12 _ — 8 у знак равно 16 Решить для у . у знак равно — 2 Замена для у в любом из исходных уравнений и решите относительно Икс . 4 Икс + 3 ( — 2 ) знак равно — 2 4 Икс — 6 знак равно — 2 4 Икс знак равно 4 Икс знак равно 1 Решение ( 1 , — 2 ) . Матричный метод . На самом деле это просто метод линейной комбинации, упрощенный за счет сокращения записи.

Алгебраические методы решения систем

результатов обучения

• Используйте метод замены
  • Решите систему уравнений, используя метод подстановки.
  • Распознавать системы уравнений, не имеющие решения или бесконечное число решений
• Используйте метод исключения без умножения
  • Решите систему уравнений, когда умножение не требуется для исключения переменной
• Используйте метод исключения с умножением
  • Использование умножения в сочетании с методом исключения для решения системы линейных уравнений
  • Распознать, когда решение системы линейных уравнений подразумевает, что существует бесконечное число решений

Решите систему уравнений методом подстановки

В последних парах разделов мы проверили, что упорядоченные пары являются решениями систем, и использовали графики, чтобы классифицировать, сколько решений имеет система двух линейных уравнений.Что, если нам не дана точка пересечения или она не очевидна из графика? Можем ли мы еще найти решение этой системы? Конечно, можно, используя алгебру!

В этом разделе мы изучим метод подстановки для нахождения решения системы линейных уравнений с двумя переменными. На протяжении всего курса мы использовали подстановку по-разному, например, когда использовали формулы для вычисления площади треугольника и простого процента. Мы подставили значения, которые мы знали, в формулу, чтобы найти значения, которые мы не знали.Идея аналогична применительно к системам решения, в этом процессе всего несколько этапов. Сначала вы решите одну переменную, а затем подставите это выражение в другое уравнение. Чтобы понять, что это означает, давайте начнем с примера.

Пример

Найдите значение x для этой системы.

Уравнение A: [латекс] 4x + 3y = −14 [/ латекс]

Уравнение B: [латекс] y = 2 [/ латекс]

Показать решение Задача просит решить для x .Уравнение B дает вам значение y , [latex] y = 2 [/ latex], поэтому вы можете подставить 2 в уравнение A для y.

[латекс] \ begin {array} {r} 4x + 3y = −14 \\ y = 2 \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Подставьте [латекс] y = 2 [/ латекс] в уравнение A.

[латекс] 4x + 3 \ влево (2 \ вправо) = — 14 [/ латекс]

Упростите и решите уравнение для x.

[латекс] \ begin {array} {r} 4x + 6 = −14 \\ 4x = −20 \ x = −5 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Ответ

[латекс] x = −5 [/ латекс]

Вы можете заменить значение переменной, даже если это выражение.Вот пример.

Пример

Решите для x и y .

Уравнение A: [латекс] y + x = 3 [/ латекс]

Уравнение B: [латекс] x = y + 5 [/ латекс]

Показать решение Цель метода подстановки — переписать одно из уравнений в терминах одной переменной. Уравнение B говорит нам, что [латекс] x = y + 5 [/ latex], поэтому имеет смысл заменить [latex] y + 5 [/ latex] в уравнение A для x .

[латекс] \ begin {array} {l} y + x = 3 \\ x = y + 5 \ end {array} [/ latex]

Замените [латекс] y + 5 [/ латекс] в уравнение A для x .

[латекс] \ begin {array} {r} y + x = 3 \\ y + \ left (y + 5 \ right) = 3 \ end {array} [/ latex]

Упростите и решите уравнение для y.

[латекс] \ begin {array} {r} 2y + 5 = \, \, \, \, 3 \\\ подчеркивание {−5 \, \, \, \, \, — 5} \\ 2y = — 2 \\ y = −1 \ end {array} [/ latex]

Теперь найдите x , подставив это значение для y в любое уравнение, и решите для x . Здесь мы будем использовать уравнение A.

[латекс] \ begin {array} {r} y + x = 3 \\ — 1 + x = 3 \\\ подчеркивание {+1 \, \, \, \, \, \, \, \, \, +1} \\ x = 4 \ end {array} [/ latex]

Наконец, проверьте решение [latex] x = 4 [/ latex], [latex] y = −1 [/ latex], подставив эти значения в каждое из исходных уравнений.

[латекс] \ begin {массив} {r} y + x = 3 \\ — 1 + 4 = 3 \\ 3 = 3 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {массив} {l} x = y + 5 \\ 4 = −1 + 5 \\ 4 = 4 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

Ответ

[латекс] x = 4 [/ латекс] и [латекс] y = -1 [/ латекс]

Решение — [латекс] (4, -1) [/ латекс].

Помните, решение системы уравнений должно быть решением каждого из уравнений внутри системы. Упорядоченная пара [latex] (4, −1) [/ latex] действительно работает для обоих уравнений, поэтому вы знаете, что это также решение системы.

Давайте посмотрим на другой пример, замена которого включает свойство распределения.

Пример

Решите для x и y .

[латекс] \ begin {array} {l} y = 3x + 6 \\ — 2x + 4y = 4 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Выберите уравнение для замены.

Первое уравнение говорит вам, как выразить y через x , поэтому имеет смысл подставить 3 x + 6 во второе уравнение для y .

[латекс] \ begin {array} {l} y = 3x + 6 \\ — 2x + 4y = 4 \ end {array} [/ latex]

Подставьте [латекс] 3x + 6 [/ latex] вместо y во второе уравнение.

[латекс] \ begin {array} {r} −2x + 4y = 4 \\ — 2x + 4 \ left (3x + 6 \ right) = 4 \ end {array} [/ latex]

Упростите и решите уравнение для x.

[латекс] \ begin {array} {r} −2x + 12x + 24 = 4 \, \, \, \, \, \, \, \\ 10x + 24 = 4 \, \, \, \, \ , \, \, \\\ подчеркивание {−24 \, \, — 24 \, \, \, \,} \\ 10x = −20 \\ x = −2 \, \, \, \ end {array} [/ латекс]

Чтобы найти y , подставьте это значение вместо x обратно в одно из исходных уравнений.

[латекс] \ begin {array} {l} y = 3x + 6 \\ y = 3 \ left (−2 \ right) +6 \\ y = −6 + 6 \\ y = 0 \ end {array} [/ латекс]

Проверьте решение [латекс] x = −2 [/ latex], [latex] y = 0 [/ latex], подставив их в каждое из исходных уравнений.

[латекс] \ begin {array} {l} y = 3x + 6 \\ 0 = 3 \ left (−2 \ right) +6 \\ 0 = −6 + 6 \\ 0 = 0 \\\ text { ИСТИНА} \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} −2x + 4y = 4 \\ — 2 \ left (-2 \ right) +4 \ left (0 \ right) = 4 \\ 4 + 0 = 4 \\ 4 = 4 \\\ текст {ИСТИНА} \ end {array} [/ latex]

Ответ

[латекс] x = -2 [/ латекс] и [латекс] y = 0 [/ латекс]

Решение (−2, 0).

В приведенных выше примерах одно из уравнений уже было дано нам в терминах переменной x или y . Это позволило нам быстро подставить это значение в другое уравнение и найти одно из неизвестных.

Иногда вам, возможно, придется сначала переписать одно из уравнений в терминах одной из переменных, прежде чем вы сможете произвести замену. В приведенном ниже примере вам сначала нужно изолировать одну из переменных, прежде чем вы сможете заменить ее в другое уравнение.

Пример

Решите для x и y .

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + 3y = 22 \\ 3x + y = 19 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Выберите уравнение для замены. Второе уравнение,

[латекс] 3x + y = 19 [/ latex], можно легко переписать в терминах y , поэтому имеет смысл начать с этого.

[латекс] \ begin {array} 2x + 3y = 22 \\ 3x + y = 19 \ end {array} [/ latex]

Перепишите [латекс] 3x + y = 19 [/ latex] в виде y .

[латекс] \ begin {array} 3x + y = 19 \\ y = 19–3x \ end {array} [/ latex]

Замените [латекс] 19–3x [/ латекс] на y в другом уравнении.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + 3y = 22 \\ 2x + 3 (19–3x) = 22 \ end {array} [/ latex]

Упростите и решите уравнение для x.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + 57–9x = 22 \, \, \, \, \\ — 7x + 57 = 22 \, \, \, \, \\ — 7x = −35 \\ x = 5 \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Подставьте [latex] x = 5 [/ latex] обратно в одно из исходных уравнений, чтобы найти y.

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + y = 19 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ 3 \ left (5 \ right ) + y = 19 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ 15 + y = 19 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ y = 19−15 \\ y = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Проверьте оба решения, подставив их в каждое из исходных уравнений.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + 3y = 22 \\ 2 (5) +3 \ left (4 \ right) = 22 \\ 10 + 12 = 22 \\ 22 = 22 \\\ текст {ИСТИНА} \\\\ 3x + y = 19 \\ 3 \ left (5 \ right) + 4 = 19 \\ 19 = 19 \\\ текст {TRUE} \ end {array} [/ latex]

Ответ

[латекс] x = 5 [/ латекс] и [латекс] y = 4 [/ латекс]

Решение: (5, 4).

В следующем видео вам будет показан пример решения системы двух уравнений с использованием метода подстановки.

Если бы вы выбрали другое уравнение для начала в предыдущем примере, вы все равно смогли бы найти такое же решение. Это действительно вопрос предпочтений, потому что иногда решение для переменной приводит к необходимости работать с дробями. По мере того, как вы приобретете больший опыт в алгебре, вы сможете предвидеть, какой выбор приведет к более желаемым результатам.

Распознавать системы уравнений, не имеющие решения или бесконечное число решений

Когда мы изучили методы решения линейных уравнений с одной переменной, мы обнаружили, что некоторые уравнения не имеют решений, а другие имеют бесконечное количество решений. Мы снова увидели это поведение, когда начали описывать решения систем уравнений с двумя переменными.

Вспомните этот пример из модуля 1 для решения линейных уравнений с одной переменной:

Решите для x .[латекс] 12 + 2x – 8 = 7x + 5–5x [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} 12 + 2x-8 = 7x + 5-5x \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, 2x + 4 = 2x + 5 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2x + 4 = 2x + 5 \\\, \, \ , \, \, \, \, \, \ underline {-2x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, — 2x \, \, \, \, \, \, \, \,} \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, 4 = \, 5 \ end {array} [/ latex]

Это ложное утверждение подразумевает, что не существует решений этого уравнения. Таким же образом вы можете увидеть такой результат, когда используете метод подстановки, чтобы найти решение системы линейных уравнений с двумя переменными.В следующем примере вы увидите пример системы двух уравнений, не имеющей решения.

Пример

Решите для x и y .

[латекс] \ begin {array} {l} y = 5x + 4 \\ 10x − 2y = 4 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Поскольку первое уравнение [латекс] y = 5x + 4 [/ latex], вы можете заменить [latex] 5x + 4 [/ latex] на y во втором уравнении.

[латекс] \ begin {array} {r} y = 5x + 4 \\ 10x − 2y = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ 10x – 2 \ left (5x + 4 \ right) = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Разверните выражение слева.

[латекс] 10x – 10x – 8 = 4 [/ латекс]

Объедините похожие члены в левой части уравнения.

[латекс] 10x – 10x = 0 [/ latex], поэтому у вас остается [latex] −8 = 4 [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {r} 0–8 = 4 \\ — 8 = 4 \ end {array} [/ latex]

Ответ

Утверждение [latex] −8 = 4 [/ latex] неверно, поэтому решения нет.

Вы получаете ложное утверждение [латекс] −8 = 4 [/ латекс]. Что это значит? График этой системы проливает свет на то, что происходит.

Прямые параллельны, они никогда не пересекаются, и у этой системы линейных уравнений нет решения. Обратите внимание, что результат [latex] −8 = 4 [/ latex] — это , а не как решение. Это просто ложное утверждение, и оно указывает на то, что не существует решения .

Мы также видели линейные уравнения с одной переменной и системы уравнений с двумя переменными, которые имеют бесконечное количество решений. В следующем примере вы увидите, что происходит, когда вы применяете метод подстановки к системе с бесконечным числом решений.

Пример

Решите относительно x и y.

[латекс] \ begin {массив} {l} \, \, \, y = −0,5x \\ 9y = −4,5x \ end {array} [/ latex]

Показать решение

Подставляя -0,5 x вместо y во втором уравнении, вы получаете следующее:

[латекс] \ begin {array} {r} 9y = −4.5x \\ 9 (−0.5x) = — 4.5 \, \, \, \\ — 4.5x = −4.5x \ end {array} [/ латекс]

На этот раз вы получите верное утверждение: [латекс] −4,5x = −4,5x [/ latex]. Но что означает такой ответ? Опять же, построение графиков может помочь вам разобраться в этой системе.

Эта система состоит из двух уравнений, которые представляют одну и ту же линию; две линии коллинеарны. Каждая точка на линии будет решением системы, и поэтому метод подстановки дает верное утверждение. В этом случае существует бесконечное количество решений.

В следующем видео вы увидите пример решения системы, имеющей бесконечное количество решений.

В следующем видео вы увидите пример решения системы уравнений, не имеющей решений.

Решите систему уравнений методом исключения

Метод исключения для решения систем линейных уравнений использует добавочное свойство равенства. Вы можете добавить одно и то же значение к каждой стороне уравнения, чтобы исключить один из переменных членов. В этом методе вам может потребоваться, а может и не потребоваться сначала умножить члены в одном уравнении на число. Сначала мы рассмотрим примеры, в которых умножение не требуется для использования метода исключения.В следующем разделе вы увидите примеры использования умножения после того, как познакомитесь с идеей метода исключения.

С помощью этого метода легче показать, чем рассказать, поэтому давайте сразу же рассмотрим несколько примеров.

Если сложить два уравнения,

[латекс] x – y = −6 [/ latex] и [latex] x + y = 8 [/ latex] вместе, посмотрите, что произойдет.

[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, xy = \, — 6 \\\ подчеркивание {+ \, x + y = \, \, \, 8} \\\, 2x + 0 \, = \, \, \, \, 2 \ end {array} [/ latex]

Вы исключили член y , и это уравнение можно решить, используя методы решения уравнений с одной переменной.

Давайте посмотрим, как эта система решается методом исключения.

Пример

Используйте устранение, чтобы решить систему.

[латекс] \ begin {array} {r} x – y = −6 \\ x + y = \, \, \, \, 8 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Добавьте уравнения.

[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} xy = \, \, — 6 \\ + \ underline {\, \, x + y = \, \, \, \, \, 8} \\ \, \, \, \, \, \, 2x \, \, \, \, \, = \, \, \, \, \, \, 2 \ end {array} [/ latex]

Решите для x .

[латекс] \ begin {array} {r} 2x = 2 \\ x = 1 \ end {array} [/ latex]

Подставьте [latex] x = 1 [/ latex] в одно из исходных уравнений и решите относительно y .

[латекс] \ begin {array} {l} x + y = 8 \\ 1 + y = 8 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, y = 8– 1 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, y = 7 \ end {array} [/ latex]

Обязательно проверьте свой ответ в обоих уравнениях!

[латекс] \ begin {array} {r} x – y = −6 \\ 1–7 = −6 \\ — 6 = −6 \\\ text {TRUE} \\\\ x + y = 8 \ \ 1 + 7 = 8 \\ 8 = 8 \\\ текст {ИСТИНА} \ end {array} [/ latex]

Проверяйте ответы.

Ответ

Решение (1, 7).

К сожалению, не все системы справляются с этим легко. Как насчет такой системы, как [латекс] 2x + y = 12 [/ latex] и [latex] −3x + y = 2 [/ latex].Если вы сложите эти два уравнения вместе, никакие переменные не будут исключены.

[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} \, \, \, \, 2x + y = 12 \\\ подчеркивание {-3x + y = \, \, \, 2} \\ — x + 2y = 14 \ end {array} [/ latex]

Но вы хотите исключить переменную. Итак, давайте добавим противоположность одного из уравнений к другому уравнению. Это означает умножение каждого члена в одном из уравнений на -1, чтобы знак каждого члена был противоположным.

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, 2x + \, \, y \, = 12 \ rightarrow2x + y = 12 \ rightarrow2x + y = 12 \\ — 3x + \, \, y \, = 2 \ rightarrow− \ left (−3x + y \ right) = — (2) \ rightarrow3x – y = −2 \\\, \, \, \, 5x + 0y = 10 \ end {array} [/ латекс]

Вы удалили переменную y , и теперь проблема может быть решена.

В следующем видео описывается аналогичная проблема, при которой можно исключить одну переменную, сложив два уравнения вместе.

Осторожность! Когда вы добавляете противоположность одного целого уравнения к другому, не забудьте изменить знак КАЖДОГО члена с обеих сторон уравнения. Это очень распространенная ошибка.

Пример

Используйте устранение, чтобы решить систему.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + y = 12 \\ — 3x + y = 2 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Показать решение Вы можете исключить переменную y , добавив противоположность одного из уравнений к другому уравнению.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + y = 12 \\ — 3x + y = 2 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Перепишем второе уравнение как противоположное.

Доп. Решите для x .

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + y = 12 \, \\ 3x – y = −2 \\ 5x = 10 \, \\ x = 2 \, \, \, \, \ end { array} [/ latex]

Подставьте [latex] y = 2 [/ latex] в одно из исходных уравнений и решите относительно y .

[латекс] \ begin {array} {r} 2 \ left (2 \ right) + y = 12 \\ 4 + y = 12 \\ y = 8 \, \, \, \ end {array} [/ latex ]

Обязательно проверьте свой ответ в обоих уравнениях!

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + y = 12 \\ 2 \ left (2 \ right) + 8 = 12 \\ 4 + 8 = 12 \\ 12 = 12 \\\ text {TRUE} \\\\ — 3x + y = 2 \\ — 3 \ left (2 \ right) + 8 = 2 \\ — 6 + 8 = 2 \\ 2 = 2 \\\ текст {ИСТИНА} \ end {array} [/ латекс]

Проверяйте ответы.

Ответ

Решение: (2, 8).

Ниже приведены еще два примера, показывающих, как решать линейные системы уравнений с использованием исключения.

Пример

Используйте устранение, чтобы решить систему.

[латекс] \ begin {array} {r} −2x + 3y = −1 \\ 2x + 5y = \, 25 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Обратите внимание на коэффициенты каждой переменной в каждом уравнении. Если вы сложите эти два уравнения, член x будет удален, поскольку [latex] −2x + 2x = 0 [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {r} −2x + 3y = −1 \\ 2x + 5y = \, 25 \ end {array} [/ latex]

Сложите и решите для и .

[латекс] \ begin {array} {r} −2x + 3y = −1 \\ 2x + 5y = 25 \, \\ 8y = 24 \, \\ y = 3 \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Подставьте [латекс] y = 3 [/ latex] в одно из исходных уравнений.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + 5y = 25 \\ 2x + 5 \ left (3 \ right) = 25 \\ 2x + 15 = 25 \\ 2x = 10 \ x = 5 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Проверить решения.

[латекс] \ begin {array} {r} −2x + 3y = −1 \\ — 2 \ left (5 \ right) +3 \ left (3 \ right) = — 1 \\ — 10 + 9 = — 1 \\ — 1 = −1 \\\ текст {ИСТИНА} \\\\ 2x + 5y = 25 \\ 2 \ left (5 \ right) +5 \ left (3 \ right) = 25 \\ 10 + 15 = 25 \\ 25 = 25 \\\ текст {ИСТИНА} \ end {array} [/ latex]

Проверяйте ответы.

Ответ

Решение: (5, 3).

Пример

Используйте исключение, чтобы найти x и y.

[латекс] \ begin {array} {r} 4x + 2y = 14 \\ 5x + 2y = 16 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Обратите внимание на коэффициенты каждой переменной в каждом уравнении. Вам нужно будет добавить противоположное одному из уравнений, чтобы исключить переменную y , так как [latex] 2y + 2y = 4y [/ latex], но [latex] 2y + \ left (−2y \ right) = 0 [ /латекс].

[латекс] \ begin {array} {r} 4x + 2y = 14 \\ 5x + 2y = 16 \ end {array} [/ latex]

Замените одно из уравнений на противоположное, сложите и решите для x .

[латекс] \ begin {array} {r} 4x + 2y = 14 \, \, \, \, \\ — 5x – 2y = −16 \\ — x = −2 \, \, \, \\ x = 2 \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Подставьте [latex] x = 2 [/ latex] в одно из исходных уравнений и решите относительно y .

[латекс] \ begin {array} {r} 4x + 2y = 14 \\ 4 \ left (2 \ right) + 2y = 14 \\ 8 + 2y = 14 \\ 2y = 6 \, \, \, \ \ y = 3 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Ответ

Решение: (2, 3).

Проверьте последний пример — подставьте (2, 3) в оба уравнения. Получается два верных утверждения: 14 = 14 и 16 = 16!

Обратите внимание, что вы могли бы использовать противоположное первому уравнению, а не второе уравнение, и получить тот же результат.

Распознавать системы, у которых нет решения или бесконечное количество решений

Как и в случае с методом подстановки, метод исключения иногда удаляет как v ariables, и вы получаете либо истинное, либо ложное утверждение. Напомним, ложное утверждение означает, что решения нет.

Давайте посмотрим на пример.

Пример

Решите для x и у.

[латекс] \ begin {array} {r} -x – y = -4 \\ x + y = 2 \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Показать решение Добавьте уравнения, чтобы исключить член x .

[латекс] \ begin {array} {r} -x – y = -4 \\\ подчеркивание {x + y = 2 \, \, \,} \\ 0 = −2 \ end {array} [/ latex ]

Ответ

Нет решения.

Построение этих линий показывает, что они параллельны и не имеют общих точек, что подтверждает отсутствие решения.

Если обе переменные исключены и у вас осталось истинное утверждение, это означает, что существует бесконечное количество упорядоченных пар, которые удовлетворяют обоим уравнениям. По сути, уравнения — это одна и та же линия.

Пример

Решите для x и y .

[латекс] \ begin {array} {r} x + y = 2 \, \, \, \, \\ — x − y = -2 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Добавьте уравнения, чтобы исключить член x .

[латекс] \ begin {array} {r} x + y = 2 \, \, \, \, \\\ underline {-x − y = -2} \\ 0 = 0 \, \, \, \ , \, \ end {array} [/ latex]

Ответ

Есть бесконечное количество решений.

Построение этих двух уравнений поможет проиллюстрировать, что происходит.

В следующем видео система уравнений, не имеющая решений, решается методом исключения.

Решите систему уравнений, когда необходимо умножение для исключения переменной

Многократное добавление уравнений или добавление противоположности одного из уравнений не приведет к удалению переменной. Посмотрите на систему ниже.

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 5x + y = 30 \ end {array} [/ latex]

Если вы сложите приведенные выше уравнения или добавите противоположное одному из уравнений, вы получите уравнение, в котором по-прежнему есть две переменные.Итак, давайте теперь сначала воспользуемся свойством умножения равенства. Вы можете умножить обе части одного уравнения на число, которое позволит вам исключить ту же переменную из другого уравнения.

Мы делаем это с умножением. Обратите внимание, что первое уравнение содержит член 4 y , а второе уравнение содержит член y . Если вы умножите второе уравнение на −4, то при сложении обоих уравнений переменные y в сумме дадут 0.

В следующем примере показаны все шаги по поиску решения для этой системы.

Пример

Решите для x и y .

Уравнение A: [латекс] 3x + 4y = 52 [/ латекс]

Уравнение B: [латекс] 5x + y = 30 [/ латекс]

Показать решение Ищите термины, которые можно исключить. В уравнениях нет членов размером x или y с одинаковыми коэффициентами.

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 5x + y = 30 \ end {array} [/ latex]

Умножьте второе уравнение на [латекс] −4 [/ латекс], чтобы получить одинаковый коэффициент.

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, \, 3x + 4y = 52 \\ — 4 \ left (5x + y \ right) = — 4 \ влево (30 \ вправо) \ end {array} [/ latex]

Перепишите систему и добавьте уравнения.

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \, \, \, \, \, \, \, \\ — 20x – 4y = −120 \ end {array} [/ latex]

Решите для x .

[латекс] \ begin {array} {l} −17x = -68 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, x = 4 \ end {array} [/ latex ]

Подставьте [latex] x = 4 [/ latex] в одно из исходных уравнений, чтобы найти y .

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 3 \ left (4 \ right) + 4y = 52 \\ 12 + 4y = 52 \\ 4y = 40 \\ y = 10 \ end {array} [/ latex]

Проверьте свой ответ.

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 3 \ left (4 \ right) +4 \ left (10 \ right) = 52 \\ 12 + 40 = 52 \\ 52 = 52 \\\ текст {ИСТИНА} \\\\ 5x + y = 30 \\ 5 \ влево (4 \ вправо) + 10 = 30 \\ 20 + 10 = 30 \\ 30 = 30 \\\ текст {ИСТИНА} \ конец {array} [/ latex]

Проверяйте ответы.

Ответ

Решение: (4, 10).

Осторожность! Когда вы используете умножение для исключения переменной, вы должны умножить КАЖДЫЙ член в уравнении на выбранное вами число.Забыть умножить каждый член — распространенная ошибка.

Есть и другие способы решить эту систему. Вместо того, чтобы умножать одно уравнение, чтобы исключить переменную при добавлении уравнений, вы могли бы умножить и уравнения на разные числа.

На этот раз удалим переменную x . Умножьте уравнение A на 5 и уравнение B на [латекс] -3 [/ латекс].

Пример

Решите относительно x и y .

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 5x + y = 30 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Ищите термины, которые можно исключить.В уравнениях нет членов размером x или y с одинаковым коэффициентом.

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 5x + y = 30 \ end {array} [/ latex]

Чтобы использовать метод исключения, вы должны создать переменные с одинаковым коэффициентом — тогда вы можете их исключить. Умножьте верхнее уравнение на 5.

[латекс] \ begin {array} {r} 5 \ left (3x + 4y \ right) = 5 \ left (52 \ right) \\ 5x + y = 30 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ 15x + 20y = 260 \, \, \, \, \, \, \\ 5x + y = 30 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Теперь умножьте нижнее уравнение на −3.

[латекс] \ begin {array} {r} 15x + 20y = 260 \, \, \, \, \, \, \, \, \\ — 3 (5x + y) = — 3 (30) \\ 15x + 20y = 260 \, \, \, \, \, \, \, \, \\ — 15x – 3y = −90 \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [ / латекс]

Затем сложите уравнения и решите относительно y .

[латекс] \ begin {array} {r} 15x + 20y = 260 \\ — 15x – 3y = \, — 90 \\ 17y = 170 \\ y = \, \, \, 10 \ end {array} [ / латекс]

Подставьте [латекс] y = 10 [/ latex] в одно из исходных уравнений, чтобы найти x .

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 3x + 4 \ left (10 \ right) = 52 \\ 3x + 40 = 52 \\ 3x = 12 \\ x = 4 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Вы пришли к тому же решению, что и раньше.

Ответ

Решение: (4, 10).

Эти уравнения были умножены на 5 и [латекс] −3 [/ латекс] соответственно, потому что это дало вам члены, которые в сумме дают 0. Не забудьте умножить все члены уравнения.

В следующем видео вы увидите пример использования метода исключения для решения системы уравнений.

Можно использовать метод исключения с умножением и получить результат, который не указывает никаких решений или бесконечно много решений, точно так же, как с другими методами, которые мы изучили для поиска решений систем.В следующем примере вы увидите систему, которая имеет бесконечно много решений.

Пример

Решите для x и y .

Уравнение A: [латекс] x-3y = -2 [/ латекс]

Уравнение B: [латекс] -2x + 6y = 4 [/ латекс]

Показать решение Ищите термины, которые можно исключить. В уравнениях нет членов размером x или y с одинаковыми коэффициентами.

[латекс] \ begin {array} {r} x-3y = -2 \\ — 2x + 6y = 4 \ end {array} [/ latex]

Умножьте первое уравнение на [latex] 2 [/ latex] так, чтобы члены x уравнялись.

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2 \ left (x-3y \ right) = 2 \ left (-2 \ right) \\ — 2x + 6y = 4 \ end {array} [/ latex]

Перепишите систему и добавьте уравнения.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x-6y = -4 \\ — 2x + 6y = 4 \\ 0x + 0y = 0 \\\, \, \, \, \, \, \, \ , 0 = 0 \ end {array} [/ latex]

Вам знакомо такое решение? Это представляет собой решение всех действительных чисел для линейных уравнений, и это представляет то же самое, когда вы получаете такой результат с системами. Если мы решим оба этих уравнения относительно y, вы увидите, что это одно и то же уравнение.

Решите уравнение A относительно y:

[латекс] \ begin {array} {r} x-3y = -2 \\ — 3y = -x-2 \\ y = \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} \ end {array} [/ latex]

Решите уравнение B относительно y:

[латекс] \ begin {array} -2x + 6y = 4 \\ 6y = 2x + 4 \\ y = \ frac {2} {6} x + \ frac {4} {6} \ end {array} [/ латекс]

Уменьшите дроби, разделив числитель и знаменатель обеих дробей на 2:

[латекс] y = \ frac {1} {3} + \ frac {2} {3} [/ latex]

Оба уравнения одинаковы, если записаны в форме пересечения наклона, и поэтому набором решений для системы являются все действительные числа.

Ответ

Решение: x и y могут быть действительными числами.

В следующем видео метод исключения используется для решения системы уравнений. Обратите внимание, что сначала нужно умножить одно из уравнений на отрицательное. Кроме того, у этой системы есть бесконечное количество решений.

Сводка

Метод подстановки — это один из способов решения систем уравнений. Чтобы использовать метод подстановки, используйте одно уравнение, чтобы найти выражение для одной из переменных в терминах другой переменной.Затем замените это выражение этой переменной во втором уравнении. Затем вы можете решить это уравнение, поскольку теперь оно будет иметь только одну переменную. Решение с использованием метода подстановки даст один из трех результатов: одно значение для каждой переменной в системе (указывающее на одно решение), неверное утверждение (указывающее на отсутствие решений) или истинное утверждение (указывающее бесконечное количество решений).

Объединение уравнений — мощный инструмент для решения системы уравнений.Сложение или вычитание двух уравнений для исключения общей переменной называется методом исключения (или добавления). Как только одна переменная исключена, становится намного проще найти другую.

Умножение можно использовать для создания условий соответствия в уравнениях перед их объединением, чтобы помочь в поиске решения системы. При использовании метода умножения важно умножить все члены с обеих сторон уравнения, а не только один член, который вы пытаетесь исключить.

Метод исключения для решения линейных систем (Алгебра 1, Системы линейных уравнений и неравенств) — Mathplanet

Другой способ решения линейной системы — использовать метод исключения. В методе исключения вы либо складываете, либо вычитаете уравнения, чтобы получить уравнение с одной переменной.

Когда коэффициенты одной переменной противоположны, вы добавляете уравнения, чтобы исключить переменную, а когда коэффициенты одной переменной равны, вы вычитаете уравнения, чтобы исключить переменную.

---

Пример

$$ \ begin {matrix} 3y + 2x = 6 \\ 5y-2x = 10 \ end {matrix} $$

Мы можем исключить переменную x, добавив два уравнения.

$$ 3y + 2x = 6 $$

$$ \ underline {+ \: 5y-2x = 10} $$

$$ = 8лет \: \: \: \: \; \; \; \; = 16 $$

$$ \ begin {matrix} \: \: \: y \: \: \: \: \: \; \; \; \; \; = 2 \ end {matrix} $$

Теперь значение y можно подставить в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение x

$$ 3y + 2x = 6 $$

$$ 3 \ cdot {\ color {зеленый} 2} + 2x = 6 $$

$$ 6 + 2x = 6 $$

$$ x = 0 $$

Решение линейной системы есть (0, 2).

Чтобы избежать ошибок, перед началом исключения убедитесь, что все одинаковые члены и знаки равенства находятся в одних и тех же столбцах.

Если у вас нет уравнений, в которых вы можете исключить переменную путем сложения или вычитания, вы можете непосредственно начать с умножения одного или обоих уравнений на константу, чтобы получить эквивалентную линейную систему, в которой вы можете исключить одну из переменных путем сложения. или вычитание.

Пример

$$ \ begin {matrix} 3x + y = 9 \\ 5x + 4y = 22 \ end {matrix} $$

Начните с умножения первого уравнения на -4 так, чтобы коэффициенты y были противоположны

$$ \ color {зеленый} {-4 \} \ cdot \ left (3x + y \ right) = 9 \ cdot {\ color {green} {-4} $$

$$ 5x + 4y = 22 $$

$$ — 12x-4y = -36 $$

$$ \ underline {+ 5x + 4y = 22} $$

$$ = — 7x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = -14 $$

$$ \ begin {matrix} \: \: \; \: \: x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = 2 \ end {matrix} $$

Подставьте x в любое из исходных уравнений, чтобы получить значение y

$$ 3x + y = 9 $$

$$ 3 \ cdot {\ color {зеленый} 2} + y = 9 $$

$$ 6 + y = 9 $$

$$ y = 3 $$

Решение линейной системы: (2, 3)

---

Видеоурок

Решите линейную систему методом исключения

$$ \ left \ {\ begin {matrix} 2y — 4x = 2 \\ y = -x + 4 \ end {matrix} \ right $$

Топ-3 метода решения систем уравнений [Видео]

Решение систем уравнений

Привет, ребята, добро пожаловать в это видео, посвященное сравнению различных методов решения системы уравнений.

Если вы помните, система уравнений — это когда у вас есть более одного уравнения с неизвестными переменными в данной задаче. Итак, чтобы решить эту проблему, вам необходимо найти значения всех переменных в каждом уравнении. Это можно сделать тремя разными способами: методом подстановки, методом исключения и с использованием расширенной матрицы.

В этом видео я предполагаю, что вы уже знаете, как выполнять каждый метод. Итак, я хочу потратить много времени на объяснение не того, как их выполнять, а, скорее, когда использовать каждый метод.

Сначала я устно расскажу вам, когда использовать каждый метод, затем я напишу три разных примера, и мы вместе решим, какой метод наиболее эффективен для каждой системы.

Когда использовать метод подстановки
Следует использовать метод подстановки, когда одна из переменных в одном из ваших уравнений уже изолирована (у нее коэффициент 1).

Когда использовать метод исключения
Вы должны использовать метод исключения, когда одни и те же переменные во всех уравнениях имеют один и тот же коэффициент или когда они имеют один и тот же, но отрицательный коэффициент.

Когда использовать расширенную матрицу
Вы должны использовать расширенную матрицу, когда методы замены и исключения либо непрактичны, либо невозможны вместе.

Теперь давайте рассмотрим три разные системы и воспользуемся тем, что мы только что узнали, чтобы подумать, какой метод наиболее полезен для каждой системы.

1) 5x — 58y = -883

-5x + 2y = -13

__________________________

2) 9x + 4y = 65

x — 18y = -2

__________________________

3) 2x + 7y — 3z = 47

x — 4y + 8z = -33

7x + 2y + 10z = 11

Итак, мы пройдемся по каждой системе, решим, какой метод будет наиболее эффективным, а затем решим с помощью этого метода. .

Хорошо, давайте посмотрим на это первое уравнение.

5x — 58y = -883

-5x + 2y = -13

Теперь, вспоминая объяснение, которое я дал, когда использовать каждый метод, обратите внимание на то, что я сказал об исключении: «Вы должны использовать метод исключения, когда одни и те же переменные во всех уравнениях имеют один и тот же коэффициент или когда они имеют один и тот же, но отрицательный коэффициент ».

Что ж, это верно в случае этой конкретной системы. Итак, давайте решим эту систему с помощью исключения.

5x — 58y = -883

-5x + 2y = -13

_______________

-56y = -896

Y = 16

Теперь мы вставляем нашу переменную y обратно в одно из исходных уравнений. Я подключу его к первому.

5x — 58 (16) = -883

5x — 928 = -883

5x = 45

x = 9

Отлично, поэтому мы решили эту систему с помощью исключения, потому что те же две переменные имели одинаковый коэффициент или когда у них одинаковый, но отрицательный коэффициент (как в нашем случае).

Перейдем к системе №2.

2) 9x + 4y = 65

x — 18y = -2

Хорошо, давайте снова вспомним, что было сказано в нашем объяснении, когда использовать каждый метод. Вспомните, что было сказано о подстановке: «Вы должны использовать метод подстановки, когда одна из переменных в одном из ваших уравнений уже изолирована».

Ну так обстоит дело с этой системой. Наша переменная x во втором уравнении имеет коэффициент 1. Итак, давайте решим эту систему с помощью подстановки.

9x + 4y = 65 x = 18y — 2

x — 18y = -2

_____________

9 (18y — 2) + 4y = 65

162y — 18 + 4y = 65

166y = 83

y = ½

x = 18 (½) — 2

x = 7

Это было очень просто решить с помощью подстановки, и запомните знак, который поможет вам узнать, когда его использовать, если одно из уравнений имеет переменная, которая уже изолирована.

Давайте посмотрим на нашу последнюю систему, систему №3.

3) 2x + 7y — 3z = 47

x — 4y + 8z = -33

7x + 2y + 10z = 11

Помните, что мы говорили о том, когда использовать расширенную матрицу.