Как графически решить уравнение?

☰

Иногда уравнения решают графическим способом. Для этого надо преобразовать уравнение так (если оно уже не представлено в преобразованном виде), чтобы слева и справа от знака равенства стояли выражения, для которых легко можно нарисовать графики функций. Например, дано такое уравнение:
x² – 2x – 1 = 0

Если мы еще не изучали решение квадратных уравнений алгебраическим способом, то можем попробовать сделать это либо разложением на множители, либо графически. Чтобы решить подобное уравнение графически, представим его в таком виде:
x² = 2x + 1

Из такого представления уравнения следует, что требуется найти такие значения x, при которых левая часть будет равна правой.

Как известно, графиком функции y = x² является парабола, а y = 2x + 1 — прямая. Координата x точек координатной плоскости, лежащих как на первом графике, так и на втором (то есть точек пересечения графиков) как раз и являются теми значениями x, при которых левая часть уравнения будет равна правой. Другими словами, координаты x точек пересечения графиков являются корнями уравнения.

Графики могут пересекаться в нескольких точках, в одной точке, вообще не пересекаться. Отсюда следует, что уравнение может иметь несколько корней, или один корень, или вообще их не иметь.

Рассмотрим пример попроще:
x² – 2x = 0 или x² = 2x

Нарисуем графики функций y = x² и y = 2x:

Как видно из чертежа, парабола и прямая пересекаются в точках (0; 0) и (2; 4). Координаты x этих точек соответственно равны 0 и 2. Значит, уравнение x² – 2x = 0 имеет два корня — x₁ = 0, x₂ = 2.

Проверим это, решив уравнение вынесением общего множителя за скобки:
x² – 2x = 0
x(x – 2) = 0

Ноль в правой части может получиться либо при x равном 0, либо 2.

Причина, по которой мы не стали графически решать уравнение x² – 2x – 1 = 0 в том, что в большинстве уравнений корнями являются вещественные (дробные) числа, а точно определить на графике значение x сложно. Поэтому для большинства уравнений графический способ решения не является лучшим. Однако знание этого способа дает более глубокое понимание связи между уравнениями и функциями.

Урок 6. решение уравнений графическим способом — Алгебра — 8 класс

Тема: Решение уравнений графическим способом

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Решим графическим способом уравнение:

x² = −3x

Решить уравнение – значит найти такие значения x, при которых выполняется равенство x² = −3x
Построим в одной системе координат два графика:
график функции y = x² и график функции y = −3x.
Для каждого графика составим таблицы значений
y = x² – на рисунке синий график

x	0	1	2	3	−1	−2	−3
y	0	1	4	9	1	4	9

y = −3x – на рисунке красный график

x	0	1	2	3	−1	−2	−3
y	0	−3	−6	−9	3	6	9

Заметим, что графики пересекаются в двух точках: точке с координатами (0 ; 0) и в точке с координатами (–3 ; 9). Это значит, что при x = 0 и при x = –3 функции y = x² и y = −3x имеют одинаковые значения.
Таким образом получаем, что при x = 0 и при x = –3 выполняется равенство x² = −3x.
Значит значения x = 0 и x = –3 являются корнями уравнения x² = −3x.
Корни, найденные графическим способом – приближённые. Чтобы доказать точность значений корней, надо каждый из них подставить в решаемое уравнение и проверить: выполняется ли полученное равенство.

Подставим в уравнение x² = −3x значение x = 0.

0² = −3•0

0 = 0 – верное равенство, значит x = 0 – точный корень уравнения x² = −3x.
Подставим в уравнение x² = −3x значение x = –3.

(−3)2 = −3•(−3)

9 = 9 – верное равенство, значит x = −3 – точный корень уравнения x² = −3x.
Подведём итог.
Чтобы решить уравнение f₁(x) = f₂(x) графическим способом, необходимо:
1) Построить в одной системе координат графики функций y = f₁(x) и y = f₂(x). Абсциссы точек пересечения – это приближённые корни уравнения f₁(x) = f₂(x).
2) Необходимо подставить каждый приближённый корень в уравнение f₁(x) = f₂(x). Те корни, при которых получается верное равенство будут являться точными корнями уравнения f₁(x) = f₂(x).

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

Графический метод решения уравнений: описание метода, примеры

Особенности метода

Графический метод предполагает использование графиков функций. В общем случае построение графиков функций – дело непростое. Поэтому, графический метод решения уравнения обычно применяется лишь тогда, когда функции, отвечающие частям уравнения, довольно простые в плане построения графиков, и при этом не видно другого аналитического метода решения. Это одна из особенностей графического метода решения уравнений.

Другая особенность касается получаемых по графикам результатов. Полученные по графикам результаты можно считать лишь приближенными. Дело здесь в том, что сами по себе графики функций — вещь не совсем точная (но при этом очень наглядная и во многих отношениях удобная), особенно если говорить о графиках, построенных от руки. Это следует из принципов, которыми мы руководствуемся при построении графиков функций. Что мы делаем для построения графика функции в общем случае? Проводим исследование функции, чтобы получить ряд «опорных» точек, таких как граничные точки области определения, максимумы-минимумы, точки перегиба, и понять поведение функции на всех интервалах ее области определения. После этого определяем несколько контрольных точек. Дальше переносим все определенные в ходе исследования точки на координатную плоскость и, сейчас внимание, соединяем их плавной линией в соответствии с выясненным в ходе исследования поведением функции. Эта «плавная линия» и есть график функции. О какой точности можно здесь говорить? Понятно, что она определяется точностью нашего построения.

С приближенными, найденными по графикам, значениями корней уравнения можно так или иначе работать. В некоторых случаях определенные по графикам значения корней оказываются точными значениями, в чем позволяет убедиться проверка подстановкой. В других случаях есть возможность уточнить значения корней до требуемой степени точности, для этого существуют специальные методы уточнения значений корней. А вот если по графикам нет возможности определить количество корней, не говоря уже об их значении, то, почти наверняка, стоит отказываться от графического метода решения уравнения. Добавим наглядности сказанному.

Давайте посмотрим на изображенные в одной прямоугольной системе координат графики функций и y=−x²+6·x−5.

По этому чертежу сложно судить даже о количестве корней уравнения , не говоря уже про их значения с приемлемой степенью точности. Здесь можно лишь грубо сказать, что если корни есть, то их значения находятся на промежутке от нуля до трех. Такую прикидку мы даем по той причине, что графики функций в обозначенном промежутке очень близки, почти совпадают. Если есть возможность построить графики более точно в обозначенном промежутке, то это немного проясняет картину:

Сейчас мы видим три точки пересечения, даже можем приближенно указать их абсциссы: 1, 2 и 2,7. Но опять же, это не более чем приближенные результаты, нуждающиеся в проверке и строгом обосновании.

Учитывая оговоренные особенности графического метода решения уравнения, для себя можно принять следующее: к графическому методу стоит обращаться лишь тогда, когда функции, отвечающие частям уравнения, довольно простые в плане построения графиков, когда по построенным графикам можно с уверенностью указать точное количество точек их пересечения, и когда не просматривается альтернативный метод решения.

К началу страницы

ОСР.«Решение уравнений с помощью графиков».

ОСР. «Решение уравнений с помощью графиков».

Задание:

1)Опорный конспект.

Графиком называется множество точек координатной плоскости, у которых значения x и y связаны некоторой зависимостью и каждому значению x соответствует единственное значение y.

Графический способ — один из самых удобных и наглядных способов представления и анализа информации.

На практике довольно часто оказывается полезным графический метод решения уравнений. Он заключается в следующем: для решения уравнений f(x)=0 строят график функции y=f(x) и находят абсциссы точек пересечения графика с осью Оx: эти абсциссы и являются корнями уравнения.

Алгоритм решения уравнений графическим способом

Чтобы решить графически уравнение вида f(х) = g(х), нужно:

1.Построить в одной координатной плоскости графики функции:

у = f(х) и у = g(х).

2. Найти точки пересечения этих графиков.

3. Указать абсциссу каждой из этих пересечения.

4. Записать ответ.

Довольно просто решать графически систему уравнений, так как каждое уравнение системы на координатной плоскости представляет какую- то линию.

Построив графики этих уравнений и найдя координаты точек их пересечения (если они существуют), мы получим искомое решение.

Графическое решение неравенств, сводится к отысканию таких точек x, при которых один график лежит выше или ниже другого.

Примеры:

№ 1. Решите уравнение

№ 2. Решите уравнение

№3. Решить уравнение 

Решение: Построим графики функций  и y = x

Графики функций не пересекаются, и, значит, уравнение не имеет корней (см. рисунок).

Ответ: корней нет.

№4.Найти значение выражения х+ у,если (х;у) является решением системы уравнений. 

Решение:

-параллельный перенос на 1 единицу влево.

 — параллельный перенос на 2 единицы влево.

х= — 1, у=1

х+ у=0.

Ответ: 0.

№5. Решите неравенство >12 — 1,5х. №6. Решите неравенство . Oтвет: х>0.

Ответ: х>2.

№7. Решить уравнение  sinx + cosx=1. Построим графики функций y=sinx u y=1-cosx.(рисунок 5) Из графика видно, что уравнение имеет 2 решения: х=2πп,где пЄZ и х=π/2+2πk,где kЄZ.

№8.Решить уравнение: 3^x = (х-1) ² + 3

Решение: применяем функциональный метод решения уравнений:

т.к. данная система имеет единственное решение, то методом подбора находим х=1

Ответ: 1.

№9.Решить неравенство: сos x 1 + 3^x

Решение:

Ответ: ( ; ).

№10. Решить уравнение 

В нашем случае функция возрастает при х>0, а функция y = 3 – x убывает при всех значениях х, в том числе и при х>0, значит, уравнение имеет не более одного корня. Заметим, что при х = 2 уравнение обращается в верное равенство, так как .

Ответ: 2 .

2)Решить задание:

1)Есть ли корень у уравнения и если есть, то положительный он или отрицательный?

а) ; б) , в) 6^х =1/6, г) .

2) Решить графическим методом уравнение  .

3) Решите графическим методом уравнения:

а) б).

4)На рисунке изображен график функции y=f(x). Найдите количество целых корней уравнения f(x)= 0.

1) 1 2) 6 3) 7 4) 8

5) На каком из рисунков изображен график функции ?

1) у 2) у 3) у 4) у

1 1 1

6) График какой функции изображен на рисунке?

1) у = 2^х-1,5; 2) у = 2^х – 2;

3) у = 2^х – 3; 4) у = 2^-х – 2.

7)График какой функции изображен на рисунке?

1) у = sinx; 2) ; 3) ; 4) .

8) На рисунке изображен график функций y

y = f (x) и y = g (x), заданный на промежутке

[-5;6]. Укажите те значения х, для которых

выполняется неравенство g (x) f (x) 1

1) [-5; 0] 2) [-5; 2]

0 1 x

3) [-2; 2] 4) [2; 6]

9) На рисунке изображен график функции y=f(x). Найдите количество целых корней уравнения f(x)= 0.

1) 3 2) 4 3) 2 4) 1

10) На рисунке изображен график функции y=f(x). Найдите количество целых корней уравнения f(x)+2= 0.

1) 3 2) 5 3) 4 4) 1

11) Решите графическим методом уравнения:

а) , б), в) cos x≤ 1+ 4^x, г) 5^x = (х — 1) ² + 5.

12) Решить графическим методом уравнение  .

Практическая работа «Графическое решение уравнений»

Приближенное решение уравнений графическим методом и с помощью метода «Подбор параметра»

Задача. Найти в электронных таблицах корень уравнения приближенным методами (графическим и численным).

Цель работы. Научиться в электронных таблицах при­ближенно решать уравнения графическим методом и мето­дом подбора параметра.

Задание 1. В электронных таблицах грубо приближенно графическим методом решить уравнение у =

*3адание 2. Уточнить значения корней уравнения мето­дом Подбор параметра.

Приближенное решение уравнения графическим методом

1. Запустить электронные таблицы OpenOffice Calc коман­дой [Программы-OpenOffice-Электронные таблицы].

2. Представим функцию у =в форме табли­цы значений.

— В диапазон ячеек В1:J1 ввести значения ар­гумента функции от -4,0 до 4,0 с шагом 1.

— В ячейку В2 ввести формулу для вычисления значений
функции (см рис.) и скопируем ее в диапазон яче­ек В2:J2.

Для грубо приближенного определения корней уравне­ния построить диаграмму типа График.

Построим график функции.

3. Ввести команду [Вставка-Диаграмма…] и с помощью Мастера диаграмм постро­ить диаграмму типа гра­фик.

Приближенно можно опре­делить, что график пересекает ось X в точках с координатами -2 и 2, т. е. уравнение имеет корни

х₁ -2 и х₂ 2.

Приближенное решение уравнения методом Подбор параметра

Для более точного приближенного решения уравнения методом Подбор параметра сначала необходимо установить требуемую точность представления чисел в ячейках (напри­мер, до 0,001).

1. Ввести команду [Формат — Формам ячеек…].

В появившемся диалоговом окне Формат ячеек вы­брать вкладку Число.

С помощью счетчика Число десятичных знаков установить необходимое количе­ство знаков после запятой.

Для приближенного решения уравнения с использова­нием метода Подбор параметра сначала необходимо вы­брать ячейку, в которой первое значение функции y наибо­лее близко к нулю.

2. Таким значением является -0,4 в ячейке D2. Выделить эту
   ячейку и ввести команду [Данные – Анализ «что если» — Подбор параметра].

3. На панели Подбор параметра в поле Значение ввести
   требуемое значение функции (в данном случае 0).

В поле Изменяемая ячейка ввести адрес ячейки $D$1, в которой будет производиться подбор значения аргу­мента. Щелкнуть по кнопке Да.

4. На панели OpenOffice.org Calc будет выведена инфор­мация о величине подобран­ного значения функции. Щелкнуть по кнопке Да.

5. В ячейке аргумента D1 появится подобранное значение
корня с заданной точностью -2,093.

Для уточнения значения второго корня уравнения мето­дом Подбор параметра сначала необходимо выбрать ячей­ку, в которой второе значение функции у наиболее близко к нулю.

6. Таким значением является -1,4 в ячейке Н2. Выделить
   ячейку, ввести команду [Данные – Анализ «что если» — Подбор параметра].и повторить пункты 3 — 4.

7. В ячейке аргумента h2 появится подобранное значение
   второго корня 2,349.

6. Таким образом, корни уравнения х₁ ~ -2,093 и х₂ ~ 2,349 найдены с точностью представления чисел в ячейках таблицы.

Задания для самостоятельного выполнения

1. Практическое задание. В электронных таблицах приближенно решить уравнение х — sinx = 0 графически и с помощью метода Подбор параметра.

2. 2. Практическое задание. В электронных таблицах приближенно решить уравнение х — cosx = 0 графически и с помощью мето­да Подбор параметра

Решите графически уравнение – x^2 = 2x

Задание.
Решить графически уравнение:
— x^2 = 2x

Решение.
Графическое решение уравнений сводится к тому, что нужно построить функции, которые стоят по обе стороны от знака равенства в уравнении, и найти их точки пересечения. Абсциссы этих точек и будут являться корнями заданного уравнения.
Итак, имеем уравнение:

   

Данное уравнение состоит из двух функций, равных между собой:

   

   

Построим первую функцию. Для этого проведем небольшой ее анализ.
Функция квадратичная, следовательно, графиком ее будет парабола. Перед квадратом х стоит знак минус, значит, функция направлена ветвями вниз. Функция четная, так как она квадратичная. Никаких коэффициентов и свободных членов у функции нет, значит, вершина ее будет в начале координат.
Найдем несколько точек, через которые проходит функция. Для этого вместо переменной х подставим значения 1, —1, 2 и —2.
, — точка (—1; —1)
, — точка (1; —1)
, — точка (—2; —4)
, — точка (2; —4)
Нанесем все точки на плоскость и проведем через них плавную кривую.
Построим вторую функцию. Функция является линейной, следовательно, для ее построения достаточно двух точек. Найдем эти точки как точки пересечения функции с осями координат.
С осью Ох: у = 0. Подставим значение у в уравнение:

   

   

С осью Оу: х = 0.

   

Получили только одну точку (0; 0). Чтобы найти вторую, подставим вместо переменно х произвольное значение, например, 1.

   

Вторая точка — (1; 2)
Нанесем эти две точки на ту же координатную плоскость и проведем через них прямую.
Теперь нужно из точек пересечения графиков функций опустить перпендикуляры на ось Ох и получим точки 0 и —2.
Эти значения и являются результатом графического решения исходного уравнения.

Ответ. 0 и —2.