Решение уравнений с параметрами примеры егэ: Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике. Все секреты решений

Posted on by alexxlab
Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике. Все секреты решений

Анна Малкова

Задача с параметрами – одна из самых сложных в ЕГЭ по математике Профильного уровня. Это задание №18

И знать здесь действительно нужно много.

Лучше всего начать с темы «Элементарные функции и их графики»

Повторить, что такое функция, что такое четные и нечетные функции, периодические, взаимно-обратные.

Научиться строить графики всех элементарных функций (и отличать по внешнему виду логарифм от корня квадратного, а экспоненту – от параболы).

Освоить преобразования графиков функций и приемы построения графиков.

И после этого – учимся решать сами задачи №18 Профильного ЕГЭ.

Вот основные типы задач с параметрами:

Что такое параметр? Простые задачи с параметрами

Базовые элементы для решения задач с параметрами

Графический способ решения задач с параметрами

Квадратичные уравнения и неравенства с параметрами

Использование четности функций в задачах с параметрами

Условия касания в задачах с параметрами

Метод оценки в задачах с параметрами 

Вот пример решения и оформления задачи с параметром:

Еще одна задача с параметром – повышенного уровня сложности. Автор задачи – Анна Малкова

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 1, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 5, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 11, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 26, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 18

 

 

И несколько полезных советов тем, кто решает задачи с параметрами:

1. Есть два универсальных правила для решения задач с параметрами. Помогают всегда. Хорошо, в 99% случаев помогают. То есть почти всегда.

— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной.

— Если задачу с параметром можно решить нарисовать – рисуйте. То есть применяйте графический метод.

2. Новость для тех, кто решил заниматься только алгеброй и обойтись без геометрии (мы уже рассказывали о том, почему это невозможно). Многие задачи с параметрами быстрее и проще решаются именно геометрическим способом.

Эксперты ЕГЭ очень не любят слова «Из рисунка видно…» Ваш рисунок – только иллюстрация к решению. Вам нужно объяснить, на что смотреть, и обосновать свои выводы. Примеры оформления – здесь. Эксперты ЕГЭ также не любят слова «очевидно, что…» (когда ничего не очевидно) и «ёжику ясно…».

3. Сколько надо решить задач, чтобы освоить тему «Параметры на ЕГЭ по математике»? – Хотя бы 50, и самых разных. И в результате, посмотрев на задачу с параметром, вы уже поймете, что с ней делать.

4. Задачи с параметрами похожи на конструктор. Разобрав много таких задач, вы заметите, как решение «собирается» из знакомых элементов. Сможете разглядеть уравнение окружности или отрезка. Переформулировать условие, чтобы сделать его проще.

На нашем Онлайн-курсе теме «Параметры» посвящено не менее 12 двухчасовых занятий. Кстати, оценивается задача 18 Профильного ЕГЭ в 4 первичных балла, которые отлично пересчитываются в тестовые!

Задание 18. Задача с параметрами

Задание 18 Профильного ЕГЭ по математике — это уравнение, система уравнений или неравенство с параметром. Или несколькими параметрами.

Конечно, за один день научиться решать такие задачи невозможно. И все-таки мы немного расскажем о том, как научиться решать задачи с параметрами. С чего начать. И какие вообще есть методы решения задач с параметрами.

Начнем с хорошей новости. Задача 18 (с параметром) оценивается в целых 4 первичных балла ЕГЭ, которые отлично пересчитываются в тестовые.

Если вы полны решимости получить на ЕГЭ заветные 4 первичных балла за задачу 18 (с параметром), не стоит начинать с реальных экзаменационных задач. Ведь мы хотим получить результат, а не разочарование! Поэтому сначала необходимо повторить следующие темы:

1. Элементарные функции и их графики. Парабола, синус, логарифм, арктангенс и все остальные — всех их надо знать «в лицо».

2. Преобразование графиков функций.

3. Построение графиков функций.

4. Базовые элементы для решения задач с параметрами. Да, мы будем рисовать не только привычные функции. Но еще и окружности, ромбики, полуплоскости и всевозможные их комбинации.

5. Что такое параметр. Простые задачи с параметрами.

Только после этого можно переходить к самому простому и наглядному способу решения задач с параметрами — графическому.

Читайте статью, смотрите видеокурс. И помните, что графический метод — хороший, но не единственный.

Потому что, кроме него, есть и другие:

— Квадратные уравнения и неравенства с параметрами

— Задачи с параметрами. Условия касания

— Метод оценки в задачах с параметрами

— Использование четности функций в задачах с параметрами

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 1, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 5, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 11, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 26, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 18

И не думайте, что это все возможные методы решения задач с параметрами. Их намного больше! Мы дали ссылки на те, которые встречаются чаще всего в задачах ЕГЭ.

Несколько мудрых советов о том, как и зачем решать задачи с параметрами.

1. Чтобы на ЕГЭ уверенно справиться с заданием 18, нужно решить не менее 50 задач с параметрами.

2. Настанет момент, когда вы увидите, что задача с параметром похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов.

3. Два самых главных секрета решения задач с параметрами. Готовы узнать? Вот они:

— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной — сделайте замену.

— Если задачу с параметром можно решить графически — решите графически.

4. Сколько бы вы ни занимались задачами с параметрами, каким бы отличником ни стали — всегда найдется задача, над которой вы задумаетесь. Вот такая, например:

Задача 1. При каких значениях a системы  и равносильны?

Две системы уравнений с двумя переменными называются равносильными, если они имеют одни и те же решения, или обе системы не имеют решений.

1) При — системы равносильны, так как обе не имеют решений

2) При — второе уравнение имеет решение которое является решением первой системы.

3) При 

Система уравнений

Уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом

Решениями системы

являются две точки, в которых прямая пересекает окружность, заданную уравнением

А вот уравнение задает семейство параллельных прямых

Мы хотим, чтобы две системы были равносильны, то есть чтобы окружность, заданная уравнением , пересекала только одну из этого семейства прямых, а именно прямую , и не имела общих точек с другими прямыми из этого семейства.

\left\{ \begin{array}{c}x+y= \pi n,\ n\in {\mathbb Z}{\rm \ } \\x^2+y^2=a \end{array}\right.

Меняя параметр а, мы можем менять радиус окружности. Мы хотим, чтобы окружность радиуса не имела общих точек с прямыми, параллельными прямой , то есть лежала ниже прямой, проходящей через точку А на рисунке, и выше прямой, проходящей через точку В.

Когда же происходит касание в точках A и B?

В случае касания радиус окружности Мы легко находим это из треугольника прямоугольного треугольника СОА, где О — начало координат.

Значит, в случае касания , а если — касания не происходит.

Объединяя случаи, получим, что системы равносильны, если

Легко? Если справились — вот еще одна интересная задача:

Задача 2. При каких значениях параметра a найдется такое значение параметра , что система уравнений  имеет ровно три различных решения?

Вот решение этой задачи.

Лучше всего осваивать эту непростую тему на нашем Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ на 100 баллов. Или на интенсивах ЕГЭ-Студии в Москве. Удачи, друзья!

 

Решение параметров с нуля

Сразу оговорюсь — для того, чтобы научиться решать задачи с параметром, не выйдет просто прочитать краткую инструкцию с указаниями, что вам делать. Нужно потратить некоторое время, чтобы научиться решать такие задачи. Здесь необходимо развитое аналитическое мышление (задачи бывают совершенно разные и нужно уметь анализировать разные функции), отличное умение решать все типы уравнений и неравенств (если вы не можете решить любое задание С1 или С3, то для вас будет очень сложно решить и С6), знание, как ведут себя различные функции и умение строить их графики. Как видите, все не так уж просто, но и 4 первичных балла дают не просто так. Тем не менее, решить С6 более чем реально, нужно набраться терпения. На самом деле, не так уж и много материала, да и раз вы задумались о С6, скорее всего, большинство необходимых знаний у вас есть, в основном придется потратить время на отработку практических навыков и разбор различных методов решения. Материал разбит на несколько частей, и я рекомендую внимательно их изучить, разбирая представленные примеры.

Решение уравнения или неравенства с параметром обычно предполагает несколько случаев, и ни один из них нельзя потерять. Для того, чтобы решить задачу с параметром, необходимо для начала преобразовать заданное выражение к более простому виду, если это, конечно, возможно. При этом необходимо понимать, какие преобразования являются равносильными, а какие нет. В противном случае могут появиться посторонние корни, которые будет нужно проверить (это не всегда просто, поэтому рекомендую стараться использовать равносильные преобразования).


Рекомендации к выполнению задания 18 ЕГЭ:

  1. Надо избавиться от логарифмов, модулей, показательных степеней и т.д.
  2. Еще раз внимательно прочитать задание. Понять, что от вас требуется.
  3. Попытаться проанализировать получившееся после преобразований выражение на наличие каких-либо специальных свойств функции (периодичность, возрастание/убывание, четность/нечетность и т.д.)
  4. Часто решить задачу с параметром можно и удобно при помощи графиков. Иногда удобно выполнять построения на обычной координатной плоскости (Х, У), а иногда удобно построить графики в плоскости (Х, а), где а – параметр. Данный способ решения возможен, если вы видите знакомые функции (параболы, прямые, гиперболы, окружности и т.д.). Разумеется, бывает несколько способов решения поставленной задачи, но графический, как правило, наименее громоздок и прост для понимания. Ведь графики показывают поведение функций, и весь необходимый анализ появится у вас перед глазами.
  5. Важно помнить, что методы решения уравнения или неравенства зависят от степени многочлена. Для этого необходимо рассматривать те значения параметра, при которых (если это возможно) обращается в нуль коэффициент при старшей степени. Пример: \(a*x^2-3*x+1=0\), при \(a=0\) выражение принимает вид \(-3*x+1=0\), т.е. превращается в линейную функцию, а способы решения квадратного и линейного уравнений различны.

Задача с параметром (№18) на ЕГЭ по математике

Это новая задача с параметром (№18 Профильного ЕГЭ по математике). Автор – Анна Малкова. Задача была предложена на Пробном ЕГЭ онлайн, который ЕГЭ-Студия провела в декабре 2018 года.
Проверьте свои силы. Обратите внимание на оформление решения.

Авторская задача. При каких значениях параметра a найдется такое значение параметра b>0, что система уравнений


имеет ровно три различных решения?

В первом уравнении нет параметра. Посмотрим на него: в левой части дробь, в правой ноль. Значит, числитель дроби должен быть равен нулю, а знаменатель не равен. Наша система равносильна следующей:

Уравнение x=1 задает вертикальную прямую, проходящую через точку (1; 0)
Уравнение y=1 задает горизонтальную прямую, проходящую через точку (0; 1)

Уравнение  задает прямую, угловой коэффициент которой равен -1, пересекающую ось ординат в точке .
Условия и задают область, находящуюся выше прямой и правее прямой , включая границу области.
Условие означает, что х и у не равны нулю одновременно. Точка А(1; 1) не удовлетворяет ОДЗ и на чертеже будет выколотой.
Изобразим на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы.
На рисунке Е – точка пересечения прямых и , F — точка пересечения прямых и . Координаты точки E , координаты точки F .
Треугольник АEF – прямоугольный с гипотенузой EF и катетами АE и AF.

(1;3+\sqrt{2})

График второго уравнения системы – окружность с центром (a;a) и радиусом b. Центр этой окружности лежит на прямой .

Переформулируем условие задачи: при каких значениях параметра a найдется окружность с центром в точке (a;a) и радиусом b, имеющая с графиком первого уравнения ровно 3 общие точки?
Иными словами, где на прямой должен быть расположен центр окружности радиуса b чтобы окружность имела ровно 3 общие точки с графиком первого уравнения?
Заметим, что график первого уравнения симметричен относительно прямой .
Действительно, если пара (m;n) является решением первого уравнения, то и пара (n;m) является ее решением
Следовательно, для того чтобы система имела нечетное количество решений, необходимо, чтобы решением была пара чисел, у которой , то есть задаваемая вторым уравнением окружность должна проходить через точку С – середину отрезка EF. Точка А не подойдет – она выколотая.
Найдем, в каких случаях заданная вторым уравнением окружность проходит через точку С и пересекает каждый катет треугольника AEF (или продолжение этого катета) ровно 1 раз.

1 случай. Окружность вписана в треугольник AEF. Ее центром является точка Р.
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находим по формуле .
Длины катетов АЕ и АF равны , гипотенуза EF равна , радиус b = 1, а = 2.

2 случай. Так называемая вневписанная окружность треугольника AEF, касающаяся его гипотенузы и продолжений катетов. Ее центр – точка Q. Радиус этой окружности b и соответствующее значение a найдем из подобия прямоугольных треугольников OPN и OQM.
, причем .
Получим, что для вневписанной окружности радиус и

3 случай. Окружность с центром в точке (а; а) касается отрезка EF в точке С и пересекает катеты АE и AF каждый в одной точке. Это происходит, когда окружность пересечет прямую y=x второй раз в точке (1; 1) или ниже ее.
Если окружность с центром в точке (а; а) пересекает прямую y=x второй раз в точке (1; 1), то ее центром является точка Т — середина отрезка АС. Тогда .
Если , то окружность, касающаяся EF, пересекает катеты AE и AF каждый в одной точке, т.е. удовлетворяет условию задачи. В этом случае .
Если то есть центр окружности лежит выше точки Т и ниже точки Р, окружность пересекает каждый катет дважды, и число решений больше трех.
Ответ:

Задачи с параметрами. Условия касания.

Темы для повторения:

Геометрический смысл производной

Графический метод решения задач с параметрами

Друзья, мы продолжаем тему «Задачи с параметрами». Это №18 Профильного ЕГЭ по математике. В этой статье рассказано, как в решении задач с параметрами применяется производная.

Рассмотрим следующую задачу:

При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно 2 решения?

Поскольку логарифмы определены для положительных чисел, \left Это значит, что

Сделаем замену x\ne 2. При x\ne 2. каждому значению соответствует два значения

Получим уравнение

В левой части уравнения — линейная функция, в правой — логарифмическая. Это функции разных типов. Пытаться справиться с таким уравнение аналитически — бесполезно. Попробуем графический способ.

Если , то и условие x\ne 2. не выполняется. Рассмотрим по отдельности случаи t=0 и  t=0

Пусть t=0. Нарисуем графики функций и Функция монотонно возрастает при x\ne 2.. Обозначим y_2={log}_2t Функция монотонно убывает при x\ne 2..

y_1=bt

Докажем, что графики функций и имеют единственную точку пересечения при  x\ne 2. и любом y_2={log}_2t

Рассмотрим функцию Функция является монотонно возрастающей при z(t) (как сумма монотонно возрастающих функций и ), следовательно, каждое свое значение, в том числе и значение , она принимает ровно один раз.

Уравнение имеет единственное решение при положительных и y_2={log}_2t Значит, при всех t=0 исходное уравнение имеет ровно 2 решения. Теперь случай t=0

y_{}={log}_2t

Уравнение имеет единственное решение, если прямая касается графика функции Мы помним, как записываются условия касания:

В нашем случае \left\{\begin{matrix}f(x)=kx+b \\f

Учитывая, что , получим:

Мы получили, что, — точка касания. При этом .

Ответ: a=eln2

Уравнения и неравенства с параметром. Задание 18 (С6)

Теория для решения заданий 17 по финансовой математике. Аннуитетные и дифференцированные платежи, понятие сложного процента. Основные методы решения задач на проценты.

Цикл уроков про степени и логарифмы и их свойства. Учимся решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Задания №9 и №15 ЕГЭ по профильной математике.

Знакомимся с понятием степени с натуральным показателем и ее свойствами. Разбор преобразования сложные степенных выражений на примерах.

В данном уроке разбираем, что такое квадратный корень и знакомимся с основными его свойствами.

Что такое корень n-й степени. Познакомимся со свойствами коня n-й степени и методами оценки значения корня. Разберем какая у него областью определения.

Разбираем, как вычислить степень с рациональным (дробным) показателем. Свойства степени с рациональным показателем. Примеры решения задания №9 из ЕГЭ по математике профильного уровня.

Урок по теме логарифмы и их свойства. Разбираемся, что такое логарифм и какие у него свойства. Научимся считать выражения, содержащие логарифмы. И рассмотри несколько возможных заданий №9 из ЕГЭ по профильной математике.

Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.

Закон преломления светового потока на границе раздела двух сред. Явление полного отражения света на границе раздела с оптически более плотной средой.

Подробно разбираем основную теорию про космос необходимую для успешного решения задач по астрономии в ЕГЭ по физике. Также рассмотри несколько основных примеров задания №24 из ЕГЭ.

Частые ошибки, необходимая краткая теория, статистика прошлых лет во 2й части ЕГЭ по математике профильного уровня.

Основные ошибки, что нужно знать, статистика прошлых лет в первой части ЕГЭ по математике профильного уровня.

Исчисление II — Касательные с параметрическими уравнениями Пол Заметки Онлайн

Ноты Быстрая навигация Скачать

  • Перейти к
  • Ноты
  • Проблемы с практикой
  • Проблемы с назначением
  • Показать / Скрыть
  • Показать все решения / шаги / и т. Д.
  • Скрыть все решения / шаги / и т. Д.
  • Разделы
  • Параметрические уравнения и кривые
  • Площадь с параметрическими уравнениями
  • глав
  • приложений интегралов
    • Серия
  • и последовательности
  • Классы
  • Алгебра
  • Исчисление I
  • Исчисление II
  • Исчисление III
  • Дифференциальные уравнения
  • Дополнительно
  • Обзор алгебры и триггеров
  • Распространенные математические ошибки
  • Комплексное число праймер
  • Как изучать математику
  • Шпаргалки и таблицы
  • Разное
  • Свяжитесь со мной
  • Справка и настройка MathJax
  • Мои ученики
  • Примечания Загрузки
  • Полная книга
  • Текущий Глава
  • Текущий раздел
  • Практика Проблемы Загрузки
  • Complete Book — Проблемы только
  • Complete Book — Решения
  • Текущая глава — только проблемы
  • Текущая глава — Решения
  • Текущий раздел — только проблемы
  • Текущий раздел — Решения
  • Проблемы с назначением Загрузки
  • Полная книга
  • Текущий Глава
  • Текущий раздел
  • Другие предметы
  • Получить URL для загрузки элементов
  • Распечатать страницу в текущей форме (по умолчанию)
  • Показать все решения / шаги и распечатать страницу
  • Скрыть все решения / шаги и распечатать страницу
  • Дом
  • Классы
  • алгебра
    • Предварительные
      • Целочисленные экспоненты
      • Рациональные экспоненты
      • Радикалы
      • полиномов
      • Факторинг Полиномы
      • Rational Expressions
      • Комплексные числа
    • Решение уравнений и неравенств
      • Решения и комплекты решений
      • линейных уравнений
      • приложений линейных уравнений
      • уравнений с более чем одной переменной
      • Квадратичные уравнения — Часть I
      • Квадратичные уравнения — Часть II
      • Квадратичные уравнения: краткое изложение
      • Приложения квадратичных уравнений
        • Уравнения
      • , приводимые к квадратичной форме
      • Уравнения с радикалами
      • линейных неравенств
      • Полиномиальное неравенство
      • Рациональное неравенство
      • Уравнения абсолютной стоимости
      • Абсолютное неравенство в значениях
    • Графика и функции
      • График
      • Линии
      • Круги
      • Определение функции
      • Графические функции
      • Объединение функций
      • Обратные функции
    • общих графиков
      • Линии, окружности и кусочные функции
      • Параболы
.
систем линейных уравнений, примеры решений, рисунки и практические задачи. Система просто ..

Система линейных уравнений означает два или более линейных уравнения. (проще говоря: «две или более линий») Если эти два линейных уравнения пересекаются, то эта точка пересечения называется решением системы линейных уравнений.

Что такое система уравнений?
Ответ

Система уравнений просто означает «более 1 уравнения.». Система линейных уравнений — это всего лишь одна строка, см. Рисунок:

Хорошо, что такое решение системы уравнений ?
Ответ

Решение состоит в том, где уравнения «встречаются» или пересекаются. Красная точка — это решение системы.

Сколько решений могут иметь системы линейных уравнений?
Ответ

Может быть ноль решений, 1 решение или бесконечные решения — каждый случай подробно объясняется ниже. Примечание: хотя системы линейных уравнений могут иметь 3 или более уравнений, мы будем ссылаться на наиболее распространенный случай — ствол с ровно 2 линиями.

Дело I: 1 Решение

Это наиболее распространенная ситуация, и она включает в себя линии, которые пересекаются ровно 1 раз.

Дело 2: Решений нет

Это происходит только тогда, когда линии параллельны.Как видите, параллельные линии никогда не встретятся.

Пример ствола, который не имеет решения:

  • Строка 1: y = 5x + 13
  • Строка 2: y = 5x + 12
Дело 3: Бесконечные решения

Это самый редкий случай, и он возникает только в том случае, если у вас одна и та же линия .
. Рассмотрим, например, две строки ниже (y = 2x + 1 и 2y = 4x + 2).Эти два уравнения действительно одинаковы.

Пример системы, которая имеет бесконечные решения:

  • Строка 1: y = 2x + 1
  • Строка 2: 2y = 4x + 2
Пример 1

Решение системы уравнений слева — это (2, 2), которая отмечает точку пересечения двух линий.

Как мы можем найти решения для систем уравнений?

Чтобы найти решение систем линейных уравнений, вы можете воспользоваться любым из следующих способов:

Видео
о решениях систем уравнений

,

Общее решение системы уравнений

В ваших классах алгебры, если бы система уравнений имела бесконечно много решений, вы бы просто написали «бесконечно много решений» и перешли к следующей задаче. Однако происходит гораздо больше, когда мы говорим «бесконечно много решений». В этой статье мы рассмотрим эту идею с общими решениями.

реклама

Содержание:

  1. Написание общего решения
  2. Поиск конкретных решений с учетом общего решения
  3. Краткое изложение шагов

Написание общего решения

Во-первых, давайте рассмотрим, как выписать общее решение для данной системы уравнений.Для этого мы рассмотрим пример.

Пример

Найдите общее решение системы уравнений:

\ (
\ begin {array} {c}
x_1 + 2x_2 + 8x_3 + 18x_4 = 11 \\
x_1 + x_2 + 5x_3 + 11x_4 = 10 \\
\ end {array} \)

Как и в любой системе уравнений, мы будем использовать расширенную матрицу и сокращение строк.

\ (
\ left [
\ begin {array} {cccc | c}
1 & 2 & 8 & 18 & 11 \\
1 & 1 & 5 & 11 & 10 \ 10 \\
\ end {array}
\ right ]
\ sim
\ left [
\ begin {array} {cccc | c}
1 & 0 & 2 & 4 & 9 \\
0 & 1 & 3 & 7 & 1 \\
\ end {array}
\ право]
\)

Теперь выпишите уравнения из этой уменьшенной матрицы.

\ (
\ begin {array} {c}
x_1 + 2x_3 + 4x_4 = 9 \\
x_2 + 3x_3 + 7x_4 = 1 \\
\ end {array} \)

Обратите внимание в матрице, что ведущие (первая ненулевая запись в каждой строке) находятся в столбцах для \ (x_1 \) и \ (x_2 \).

Решите для этих переменных.

\ (
\ begin {array} {c}
x_1 = 9 — 2x_3 — 4x_4 \\
x_2 = 1 — 3x_3 — 7x_4 \\
\ end {array} \)

Остальные переменные — это свободных переменных, , что означает, что они могут принимать любое значение.Значения \ (x_1 \) и \ (x_2 \) основаны на значении этих двух переменных. В общем решении вы хотите это отметить.

Общее решение:

\ (
\ boxed {
\ begin {array} {l}
x_1 = 9 — 2x_3 — 4x_4 \\
x_2 = 1 — 3x_3 — 7x_4 \\
x_3 \ text {free}} \\
x_4 \ text { свободен} \\
\ end {array}
}
\)

Существует бесконечно много решений этой системы уравнений, все из которых используют разные значения двух свободных переменных.

Поиск конкретных решений

Предположим, что вы хотите привести пример конкретного решения системы уравнений выше. Их бесконечно много, поэтому у вас много вариантов! Вам просто нужно учитывать возможные значения свободных переменных.

Пример решения

Позвольте:

\ (
\ begin {array} {l}
x_3 = 0 \\
x_4 = 1 \\
\ end {array}
\)

Не было особой причины выбирать 0 и 1. Опять же, это будет работать для ЛЮБОГО значения, которое вы выбираете для этих двух переменных.

Используя эти значения, решение:

\ (
\ begin {array} {l}
x_1 = 9 — 2x_3 — 4x_4 = 9 — 2 (0) — 4 (1) \\
x_2 = 1 — 3x_3 — 7x_4 = 1 — 3 (0) — 7 (1) \\
x_3 = 0 \\
x_4 = 1 \\
\ end {array}
\ rightarrow
\ boxed {
\ begin {array} {l}
x_1 = 5 \\
x_2 = -6 \\
x_3 = 0 \\
x_4 = 1 \\
\ end {array}
}
\)

Вы можете проверить эти значения в исходной системе уравнений, чтобы убедиться:

\ (
\ begin {array} {l}
x_1 + 2x_2 + 8x_3 + 18x_4 = 11 \\
x_1 + x_2 + 5x_3 + 11x_4 = 10 \\
\ end {array}
\ rightarrow
\ begin {array} {l}
(5) + 2 (-6) + 8 (0) + 18 (1) = 11 \ text {(true)} \\
(5) + (-6) + 5 (0) +11 (1) = 10 \ text {(true)} \\
\ end {array}
\)

Поскольку оба уравнения верны для этих значений, мы знаем, что нашли одно из множества решений.Если бы мы хотели найти больше решений, мы могли бы просто выбрать разные значения для двух свободных переменных \ (x_1 \) и \ (x_2 \).

реклама

Краткое изложение шагов

При наличии системы уравнений шаги для выписывания общего решения:

  1. Строка уменьшения расширенной матрицы для системы.
  2. Запишите уравнения из матрицы с уменьшенной строкой.
  3. Решите для переменных, которые имеют ведущую в своем столбце.
  4. Пометьте оставшиеся переменные как свободные переменные.

Подпишитесь на нашу рассылку!

Мы постоянно публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

Подпишитесь, чтобы время от времени получать электронные письма (раз в пару или три недели), чтобы узнать, что нового!

Похожие

алгебра — приложения линейных уравнений

Пол Заметки Онлайн

Ноты Быстрая навигация Скачать

  • Перейти к
  • Ноты
  • Проблемы с практикой
  • Проблемы с назначением
  • Показать / Скрыть
  • Показать все решения / шаги / и т. Д.
  • Скрыть все решения / шаги / и т. Д.
  • Разделы
  • линейных уравнений
  • уравнений с более чем одной переменной
  • глав
  • Предварительные сведения
  • Графика и функции
  • Классы
  • Алгебра
  • Исчисление I
  • Исчисление II
  • Исчисление III
  • Дифференциальные уравнения
  • Дополнительно
  • Обзор алгебры и триггеров
  • Распространенные математические ошибки
  • Комплексное число праймер
  • Как изучать математику
  • Шпаргалки и таблицы
  • Разное
  • Свяжитесь со мной
  • Справка и настройка MathJax
  • Мои ученики
  • Примечания Загрузки
  • Полная книга
  • Текущий Глава
  • Текущий раздел
  • Практика Проблемы Загрузки
  • Complete Book — Проблемы только
  • Complete Book — Решения
  • Текущая глава — только проблемы
  • Текущая глава — Решения
  • Текущий раздел — только проблемы
  • Текущий раздел — Решения
  • Проблемы с назначением Загрузки
  • Полная книга
  • Текущий Глава
  • Текущий раздел
  • Другие предметы
  • Получить URL для загрузки элементов
  • Распечатать страницу в текущей форме (по умолчанию)
  • Показать все решения / шаги и распечатать страницу
  • Скрыть все решения / шаги и распечатать страницу
  • Дом
  • Классы
  • алгебра
    • Предварительные
      • Целочисленные экспоненты
      • Рациональные экспоненты
      • Радикалы
      • полиномов
      • Факторинг Полиномы
      • Rational Expressions
      • Комплексные числа
    • Решение уравнений и неравенств
      • Решения и комплекты решений
      • линейных уравнений
      • приложений линейных уравнений
      • уравнений с более чем одной переменной
      • Квадратичные уравнения — Часть I
      • Квадратичные уравнения — Часть II
      • Квадратичные уравнения: краткое изложение
      • Приложения квадратичных уравнений
        • Уравнения
      • , приводимые к квадратичной форме
      • Уравнения с радикалами
      • линейных неравенств
      • Полиномиальное неравенство
      • Рациональное неравенство
      • Уравнения абсолютной стоимости
      • Абсолютное неравенство в значениях
    • Графика и функции
      • График
      • Линии
      • Круги
      • Определение функции
      • Графические функции
      • Объединение функций
      • Обратные функции
    • общих графиков
      • Линии, окружности и кусочные функции
      • Параболы
      • Эллипсы
      • Гипербол
      • Разное Functi
.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *