Уравнения с параметром, формулы и примеры

Определение и формулы уравнений с параметром

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Уравнением вида с неизвестными и параметрами называется уравнением с параметрами.

Например.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Решить уравнение, содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений этих параметров найти множество всех решений заданного уравнения.

Два уравнения с параметрами называются эквивалентными, если при всякой допустимой системе значений параметров имеют одно и то же множество решений.

Для уравнения с параметром особым или контрольным значением параметра называется такое значение, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Линейное уравнение

   

записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами, где является неизвестной величиной, а — параметры.

Для линейного уравнения (1) особым значением параметра есть значение .

Рассмотрим два случая значения указанного параметра (параметр равен своему особому значению и отличен от него).

Случай 1а. Если , то при любой паре параметров и уравнение (1) имеет единственное решение

   

Случай 2а. Если , то уравнение (1) принимает вид:

   

А тогда значение является особым значением параметра . Поэтому рассмотрим далее два случая этого параметра:

Случай 1b. При уравнение решений не имеет: .

Случай 2b. При уравнение принимает вид

   

Решением последнего является любое действительное число, то есть .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Решить уравнение
Решение	Определим контрольные значения параметра, то есть такие значения, при которых коэффициент при неизвестной величине обращается в нуль, то есть необходимо найти решение уравнения . Его решениями являются значения и . При полученных значениях параметра деление обеих частей уравнения на коэффициент при неизвестной невозможно. Но если , , то деление возможно. Для нахождения решения заданного уравнения разобьем множество всех допустимых значений параметра на следующие случаи: 1) ; 2) ; 3) , . 1) При заданное уравнение принимает вид     Полученное уравнение решений не имеет (см. случай 1b), поскольку умножение любого числа на нуль в результате дает нуль. Итак, имеем, что . 2) При решаемое уравнение записывается в виде     Его решением является любое действительное число (случай 2b): . 3) При , левую и правую часть исходного уравнения можно поделить на коэффициент при неизвестной . В итоге получаем     Откуда, после сокращения числителя и знаменателя на , находим корень
Ответ	Если ,то уравнение решений не имеет; если , то ; если , , то

ПРИМЕР 2

Задание	Решить иррациональное уравнение
Решение	Для нахождения корней заданного уравнения возведем обе его части в квадрат, а в конце выполним проверку полученных решений, для предотвращения появления сторонних решений. Исходное уравнение запишем в виде:     Решаем полученное квадратное уравнение. Его дискриминант:     В зависимости от знака дискриминанта, полученное квадратное уравнение может иметь два различных действительных корня, кратный корень или вовсе действительных корней не иметь: 1) :     2) :     3) . Сделаем проверку: 1) подставляем в полученное уравнение значения . Для имеем:                 Рассмотрим возможные случаи знака подмодульного выражения: — если . В пересечении с неравенством , для которого получен корень, имеем, что . В этом случае     а равенство принимает вид:     Таким образом, является корнем исходного уравнения для . — если . В пересечении с имеем, что . В этом случае модуль раскрывается со знаком «минус»:     равенство записывается в виде:     То есть для решений нет. Для будем иметь:                         Левая часть последнего равенства принимает неположительные значения (то есть ), а правая строго положительна: . Поэтому равенство не может быть верным, а, значит, значение не является корнем заданного уравнения. 2) :     Получили неверное равенство, значит, значение не является решением исходного уравнения.
Ответ

ru.solverbook.com

Уравнения с параметром | LAMPA

Исследование квадратного трёхчлена

Часто уравнение с параметром удаётся привести к квадратному. В таких задачах нужно найти значения параметра, при которых корни лежат на некотором промежутке. Для решения подобных примеров необходимо произвести анализ расположения корней. Чтобы определить взаимное расположение границ промежутка и корней уравнения, следует воспользоваться следующими утверждениями:

• Чтобы число ppp находилось между корнями квадратичной функции f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие a⋅f(p)<0a\cdot f(p)\lt 0a⋅f(p)<0;
• Чтобы число ppp было меньше корней квадратичной функции f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c, необходимо и достаточно, чтобы {D≥0,a⋅f(p)>0,p<−b2a;\begin{cases} D\ge 0{,}\\ a\cdot f(p)\gt 0{,}\\ p\lt -\frac{b}{2a}{;}\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧​D≥0,a⋅f(p)>0,p<−2ab​;​
• Чтобы число ppp было больше корней квадратичной функции f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c, необходимо и достаточно, чтобы {D≥0,a⋅f(p)>0,p>−b2a.\begin{cases} D\ge 0{,}\\ a\cdot f(p)\gt 0{,}\\ p\gt -\frac{b}{2a}{.}\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧​D≥0,a⋅f(p)>0,p>−2ab​.​

Для использования приведённых выше утверждений не нужно непосредственно вычислять корни уравнения.

При каких значениях параметра aaa оба корня уравнения x2+ax−1=0x^2+ax-1=0x2+ax−1=0 меньше 3?

Воспользуемся утверждением, приведённым выше, для f(x)=x2+ax−1f(x)=x^2+ax-1f(x)=x2+ax−1. Система примет вид: {D>0,1⋅f(3)>0,3>−a2⋅1.\begin{cases} D\gt 0{,}\\ 1\cdot f(3)\gt 0{,}\\ 3\gt -\frac{a}{2\cdot 1}{.}\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧​D>0,1⋅f(3)>0,3>−2⋅1a​.​D=a2+4>0,D=a^2+4\gt 0,D=a2+4>0,Первое условие выполняется автоматически. Запишем два других условия:1⋅f(3)>0⇔32+a⋅3−1=3a+8>0⇔a>−83,1\cdot f(3)\gt 0 \,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\, 3^2+a\cdot 3-1=3a+8\gt 0\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,a\gt -\frac{8}{3},1⋅f(3)>0⇔32+a⋅3−1=3a+8>0⇔a>−38​,3>−a2⇔a>−6.3\gt -\frac{a}{2}\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,a\gt -6.3>−2a​⇔a>−6.
Взяв наиболее сильное из этих условий, получим a>−83a\gt -\frac{8}{3}a>−38​.

Ответ: (−83;+∞)(-\frac{8}{3}; +\infty )(−38​;+∞).

Параметр как равноправная переменная

Несмотря на то, что выше параметр рассматривался как фиксированное, но неизвестное число, можно считать его равноправной переменной.

При каких aaa уравнение a+a+sinx=sinx\sqrt{a+\sqrt{a+\sin x}}=\sin xa+a+sinx​​=sinx имеет решения?

Обозначим sinx=t\sin x = tsinx=t. Исходное уравнение примет вид a+a+t=t\sqrt{a+\sqrt{a+t}}=ta+a+t​​=t. С учётом ∣t∣≤1|t|\le 1∣t∣≤1 это уравнение равносильно системе: {a+t=(t2−a)2,1≥t≥0,t2≥a.\begin{cases} a+t=(t^2-a)^2{,}\\ 1\ge t\ge 0{,}\\ t^2\ge a{.}\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧​a+t=(t2−a)2,1≥t≥0,t2≥a.​
Уравнение удобно представить как квадратное относительно aaa. Получим a2−a(2t2+1)+t4−t=0⇔(a−t2−t−1)(a−t2+t)=0⇔a^2-a(2t^2+1)+t^4-t=0\,\,\Leftrightarrow \,\,(a-t^2-t-1)(a-t^2+t)=0\,\,\Leftrightarrowa2−a(2t2+1)+t4−t=0⇔(a−t2−t−1)(a−t2+t)=0⇔⇔[a=t2+t+1,a=t2−t.\Leftrightarrow \,\,\left[\begin{array}{l} a=t^2+t+1{,}\\ a=t^2-t{.}\end{array}\right.⇔[a=t2+t+1,a=t2−t.​
Так как t2≥at^2\ge at2≥a и 1≥t≥01\ge t\ge 01≥t≥0, то t2−a+t+1>0t^2-a+t+1\gt 0t2−a+t+1>0. Поэтому первое равенство совокупности не может выполняться. Тогда выполняется второе, и исходная система равносильна такой: {a=t2−t,1≥t≥0,t2≥a.⇔{a=t2−t,1≥t≥0.\begin{cases} a=t^2-t{,}\\ 1\ge t\ge 0{,}\\ t^2\ge a{.}\end{cases}\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\begin{cases} a=t^2-t{,}\\ 1\ge t\ge 0{.}\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧​a=t2−t,1≥t≥0,t2≥a.​⇔{a=t2−t,1≥t≥0.​
Условие t2≥at^2\ge at2≥a выполняется автоматически при a=t2−ta=t^2-ta=t2−t и t≥0t\ge 0t≥0.

lampa.io

Линейные уравнения с параметром

Рассмотрим линейные уравнения с параметром вида: $$p(a)x-q(a)=0,$$ где \(p(a)\) и \(q(a)\)- выражения, которые зависят от параметра. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все \(x\) при всех значениях параметра \(a\). Приведем наше уравнение к виду: $$p(a)x=q(a),$$ Отсюда единственное решение:

\(x=\frac{q(a)}{p(a)}\) при \(p(a)≠0.\) Если же \(p(a)=0\) и \(q(a)=0\), то решением данного уравнения является любое число. И последний случай, когда \(p(a)=0\),а \(q(a)≠0\), то уравнение не имеет решений. Замечу, что по некоторым уравнениям сразу невозможно определить, являются ли они линейными. Выполнив некоторые преобразования, вдруг обнаружим, что в уравнении отсутствуют члены с \(x\) в степени большей, чем 1. Если изначально у нас и были старшие степени, то теперь они сократились. Мы провели анализ линейного уравнения в общем виде, теперь разберем несколько примеров:

Пример 1

Решить уравнение \(ax-5a=7x-3\) при всех возможных \(a\).

Перенесем все одночлены с \(x\) влево, а оставшиеся члены – вправо. И вынесем \(x\) за скобку, как общий множитель: $$x(a-7)=5a-3;$$ Первый случай

, когда \((a-7)≠0\). Тогда мы можем поделить все уравнение на \(a-7\) и выразить: $$x=\frac{5a-3}{a-7}.$$ Второй случай, когда \((a-7)=0\), получим уравнение $$x*0=32,$$ которое не имеет решений. Таким образом, мы нашли решения уравнения для всех значений параметра \(а\). Например, \(x=\frac{2}{7}\) при \(a=0,\) \(x=\frac{-1}{3}\) при \(a=1\) и т.д.
Ответ: При \(a=7\) \(x∈∅;\)
при \(a≠7\) \(x=\frac{5a-3}{a-7}.\)

Пример 2

Найдите все \(a\), при которых корнем уравнения $$ax+5a-2(3x+2)=-5x+a^2$$ будет любое число.

Раскроем скобки и перенесем все члены, содержащие \(x\), влево, а остальные – вправо. $$ax-6x+5x=-5a+4+a^2$$ Приведем подобные: $$ax-x=a^2-5a+4$$ И вынесем за скобку \(x\) и разложим квадратный многочлен на множители: $$x(a-1)=a^2-5a+4$$ $$x(a-1)=(a-1)(a-4)$$ Первый случай: \((a-1)=0\),т.е. \(a=1\) $$x*0=(a-1)(a-4)$$ $$x*0=0.$$ Решением уравнения будет любое число.
Второй случай: \((a-1)≠0\), т.е. \(a≠1\) $$x=\frac{(a-1)(a-4)}{a-1}=a-4.$$ Решением данного уравнения будет одно число \(x=a-4\).
Ответ: \(a=1.\)

Пример 3

Решите уравнение \(\frac{x}{5a+x}-\frac{5a+x}{x-5a}=\frac{100a^2}{25a^2-x^2}.\)

Из ОДЗ видно, что \(5a+x≠0\) и \(x-5a≠0,\) таким образом, \(x≠±5a.\) Приведем уравнение к общему знаменателю \(x^2-25a^2\) и умножим на него все уравнение: $$x^2-5ax-x^2-10ax-25a^2=-100a^2$$ $$-15ax=-75a^2$$ $$ax=5a^2.$$

После преобразований получили линейное уравнение.

Первый случай: \(a=0.\) Получаем уравнение \(0*x=0.\) Решениями этого уравнения будет любое число, кроме \(x=0\) (ОДЗ \(x≠±5a\)).

Второй случай: \(a≠0.\) Выражаем \(x=\frac{5a^2}{a}=5a.\) Этот корень не будет удовлетворять ОДЗ.

Ответ: При \(a=0\) решениями уравнения будут все действительные числа, кроме \(x=0.\) Если \(a≠0,\) то решений нет.

sigma-center.ru

Один из методов решения уравнений с параметром

Уравнениями с параметром называются уравнения, у которых коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами.

Решить уравнение с параметром – это значит:

а) исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и при каких не имеет;

б) выяснить количество корней при различных значениях параметров;

в) найти все выражения для корней.

Уравнения с параметром весьма различны по структуре:

Моя работа посвящена отысканию метода решения уравнений с параметрами вида

F(xⁿ; p²) =0

В основе этого метода лежит взгляд на параметр, как на переменную, т.е. уравнение F(xⁿ;p?)=0 можно рассматривать как квадратное относительно параметра р.

Задача 1. Пусть нужно решить уравнение с параметром

Преобразуем данное уравнение

Это уравнение 4-й степени относительно х, причём содержит и . Как его решить? Но заметим, что это уравнение является квадратным относительно , т.е. вида . Применим наш метод:

1. Перепишем уравнение в виде

, т.е. рассмотрим его как квадратное относительно .

2. Найдем корни уравнения по формуле корней квадратного уравнения:

3. Далее используем графический метод. В системе координат построим параболы , и ,

4. Найдём точки пересечения графиков функций. Для этого приравняем

, отсюда , т.е. точка пересечения единственная .

5. По рисунку видно, что горизонтальная прямая не имеет общих точек с параболами, если она проходит ниже , т.е.

при данное уравнение не имеет корней

при уравнение имеет единственный корень

при уравнение имеет два корня т.к. прямая имеет две точки пересечения с параболой , отсюда , ,

при и — три корня

при

при

при и уравнение имеет четыре корня

Этот метод не является универсальным, но во многих случаях является весьма результативным и позволяет решать уравнения повышенной сложности, второй степени и выше.

Задача 2. Определить число корней уравнения в зависимости от параметра а х⁴-10х³-2(а-11)х²+2(5а + 6)х +2а + а² =0 (1)

Решение. Уравнение является квадратным относительно параметра а. Перепишем (1) в виде (2)

Найдём дискриминант

Решая уравнение (2), находим

Построим в системе координат (х; а) графики функций

и (рис 2)

Найдем точки пересечения графиков функций. Для этого приравняем отсюда . Далее рассуждая аналогично, как и в задаче 1, получим

Ответ: если , уравнение корней не имеет;

если один корень;

если , уравнение имеет два корня;

если три корня;

если - четыре корня.

Задача 3. Найти все значения параметра р, при которых уравнение (3)

имеет ровно три решения.

Решении. Уравнение (3) является квадратным относительно р. Перепишем его в виде

Найдем корни уравнения

В системе координат (х; р) построим параболы

и (рис.2)

Данное уравнение имеет три решения при тех значениях параметра р, при которых горизонтальная прямая имеет три точки пересечения с параболами. Таким образом, уравнение (3) имеет три решения в следующих случаях:

1) прямая проходит через вершину одной параболы и пересекает другую в двух точках. Это возможно, когда т.е. при уравнение имеет три решения;

2) прямая проходит через точку пересечения парабол. Найдём абсциссу точки пересечения парабол, для этого решим уравнение

Если то т.е. при прямая пересекает параболы в трех точках, значит, исходное уравнение имеет три корня.

Ответ:

Задача 4. При каких значениях параметра а существует единственная пара (х; у), удовлетворяющая уравнению

(4)

Решение: Уравнение – квадратное относительно х.

(5)

1. Контрольным значением параметра является число , при котором уравнение (5) примет вид отсюда . Видно, что в этом случае решениями уравнения будут все пары , т.е. при исходное уравнение имеет бесконечное множество решений.

2. Пусть . Дискриминант уравнения (5)

Если т.е. , то , исходное уравнение имеет решение только тогда, когда , а — единственное решение.

Если же , исходное уравнение относительно х имеет решение при любом у.

Ответ: .

Задача 5. Решите уравнение

(6)

относительно х

Решение. Уравнение является квадратным относительно р. Перепишем уравнение (6) в виде

(7)

Дискриминант квадратного уравнения (7)

Решая (7), получим

Здесь возможны случаи.

1. Уравнение (6) имеет четыре корня, если

Решая систему, получаем . Таким образом, при уравнение (6) имеет четыре корня ,

2. Уравнение (6) имеет три корня, если

Решая систему, получим Значит, при уравнение (6) имеет три корня

3. Уравнение (6) имеет два корня, если

Решая систему, получим , значит, при этих значениях параметра р уравнение (6) имеет два корня

4. Уравнение (6) имеет один корень, если

Решая систему, получим . Следовательно, при решением уравнения (6) будет .

5. Уравнение (5) не имеет корней, если

Ответ: если — корней нет;

если

если ;

если

если

Этот метод не является универсальным, но во многих случаях является весьма результативным и позволяет решать уравнения повышенной сложности. Иногда трудно предвидеть будет ли применение этого метода результативным, но такие уравнения существуют и поэтому его надо знать.

Например, с помощью этого метода можно решить следующие уравнения:

из сборника для подготовки к ЕГЭ.

из сборника Сканави

и другие.

urok.1sept.ru

Решение уравнений с параметром. Видеоурок. Алгебра 9 Класс

На этом уроке мы рассмотрим решение различных уравнений с параметром.

Когда один футболист хочет отдать другому «пас на ход», он должен решить уравнение: с какой силой и под каким углом нужно отдать пас, чтобы другой футболист успел к мячу.

Рассмотрим упрощенную модель: футболист  отдает мяч по прямой, а футболист  бежит по заданной прямой  с заданной постоянной скоростью. При этом скорость и направление паса футболист

 может менять (см. рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к рассматриваемой задаче

Можем перевести эту задачу на математический язык: при каких начальных параметрах паса (скорости и угла) расстояние  мяч пройдет за то же время, что и футболист пробежит расстояние ? Тогда:

Но  – гипотенуза прямоугольного треугольника ,  – катет, поэтому они связаны соотношением:

Получаем:

Откуда:

Мы нашли скорость паса при заданном угле. Можем найти угол при заданной скорости паса:

Это примеры простейших уравнений с параметром. В первом случае параметром выступает угол, а скорость – это неизвестная. Во втором – наоборот.

Можно рассмотреть похожую задачу с противоположной целью: капитаны судов должны решать вопрос, какими должны быть скорости и направление движения, чтобы корабли не столкнулись.

Сегодня на уроке мы поговорим о технике решения уравнений и неравенств с параметром.

Принципиально новых алгоритмов и методов не появится – мы будем использовать уже полученные нами навыки. Но при этом взглянем на решение уравнений и неравенств чуть шире и сделаем акцент на некоторых нюансах. Начнем с решения самых простых – линейных уравнений.

Вспомним, что любое линейное уравнение можно привести к виду

, где  и  – некоторые числа.

Это общий вид, и он нам удобен, поскольку описывает целый класс уравнений. Так вот, эти числа,  и , еще называют параметрами. Соответственно, уравнение  – это линейное уравнение с двумя параметрами:  и .

Смотрите: ничего нового, это все то же уравнение, алгоритм решения которого мы уже все знаем. Но есть нюансы. Решить уравнение с параметром – значит найти его корни при всевозможных значениях параметров. Мы знаем, что при  корнем уравнения будет:

Но нужны решения при всех значениях параметров. Что же будет при ? Если , наше уравнение примет вид или просто . Какие решения имеет это уравнение?

Если , то получим правильное равенство. Значит, решением будут все действительные числа.

Если же , то равенство будет неверным. В таком случае уравнение не имеет решений.

Запишем ответ:

1. Если , то: .
2. Если  и , то  (все действительные числа).
3. Если  и , то  (пустое множество, нет решений).

Проанализируем решение. Мы действовали по известному нам алгоритму решений линейных уравнений.

Шаг 1. Перенести все слагаемые с неизвестной величиной   в одну сторону, остальные – в другую.

Шаг 2. Привести подобные слагаемые.

Шаг 3. Разделить на коэффициент при .

Правда, первые два шага у нас уже были выполнены. При этом мы отдельно рассмотрели значение. Почему? Потому что при  мы не можем совершить шаг 3: деление на ноль не определено.

Этот принцип можно применить для решения любых уравнений и неравенств с параметром: мы действуем по стандартному алгоритму для данного типа математической модели, но на каждом шаге проверяем, не возникает ли недопустимых действий или других особенностей. С алгоритмами мы уже знакомы, так что посмотрим, какие могут возникать «особенности».

 

Задание 1. Решить уравнение при всех значениях параметра :

Решение

Это линейное уравнение, поскольку неизвестная  стоит в первой степени. Действуем по алгоритму решения линейного уравнения.

Шаг 1. Перенести слагаемые с неизвестной в одну сторону, остальные – в другую:

Шаг 2. Привести подобные слагаемые. Для этого вынесем  за скобку:

Шаг 3. Нужно разделить на коэффициент при . Но выражение  может равняться 0, тогда мы не сможем выполнить деление. Поэтому нужно отдельно рассмотреть этот случай:

Решим это квадратное уравнение, чтобы определить значения параметра:

Тогда:

Итак, при  и  мы не можем выполнить 3 шаг нашего алгоритма. Подставим эти значения в уравнение и посмотрим, какой вид оно примет:

при :

Уравнение не имеет решений.

при :

Решение – все действительные числа.

Если же , то мы можем выполнить деление в уравнении:

Или после упрощения:

Ответ: при : ; при : ; при  и : .

Теперь перейдем к линейным неравенствам с параметром. Алгоритм их решения практически такой же, как и у уравнений. Только возникает еще одна особенность на последнем шаге: знак неравенства меняется на противоположный, если делим обе части неравенства на отрицательное выражение.

 

Задание 2. Решить неравенство при всех значениях параметра .

Решение

Шаг 1. Здесь уже выполнен.

Шаг 2. Выносим за скобки :

Шаг 3. Обе части неравенства нужно разделить на . Но, во-первых, это выражение может быть равно , тогда результат деления будет не определен. Во-вторых, мы не знаем знак этого выражения. Соответственно, не знаем, изменится ли знак неравенства. Поэтому рассмотрим отдельные случаи.

1. Первый случай:

Решая это уравнение для параметра, получаем:

Рассмотрим его отдельно, подставив в неравенство:

Неравенство верное, значит, решение – все действительные числа.

2. Второй случай:

Решая неравенство, получим:

При этих значениях мы делим на положительное выражение:

Знак неравенства не изменяется:

3) Третий случай:

Решая неравенство, получим:

В этом случае делим на отрицательное число, знак меняется на противоположный:

Ответ: при , ; при , ; при , .

С решением еще одного линейного неравенства с параметром вы можете ознакомиться ниже.

---

 

Решение неравенства с параметром

Задание. Решить неравенство при всех значениях параметра :

Мы уже решали аналогичное уравнение. После выполнения первых двух шагов алгоритма получаем:

Как и в решении предыдущего линейного неравенства, рассматриваем 3 случая:

1.   – при этом мы не можем выполнить деление, эти значения нужно рассмотреть отдельно.
2.   – в этом случае знак неравенства не изменится при делении.
3.   – в этом случае знак неравенства изменится на противоположный.

Для каждого случая нам нужно найти значения , при которых выражение  больше, меньше или равно нулю. Это удобно сделать сразу:

1. Решения уравнения мы уже знаем:  или .

2 и 3. При решении неравенств для параметра  можем использовать метод интервалов. Корни соответствующего уравнения:  или . Осталось расставить их на оси и определить знаки на интервалах (см. рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к заданию

То есть  при ;  при .

Со значениями параметра определились, переходим к решению исходного неравенства для .

1. Отдельно рассматриваем случаи  и . При :

Неравенство верное, решение – любое действительное число. При :

Неравенство неверное, решений нет.

2. При  знак неравенства не изменится при делении на :

3. При  знак неравенства изменится на противоположный:

Ответ: при : ; при : ; при : ; : .

---

 

Теперь перейдем к решению квадратных уравнений с параметром. Мы изучали несколько способов решения квадратных уравнений, но для уравнений с параметром нам понадобится четкий алгоритм – решение с помощью дискриминанта.

Выделим особенности, которые могут возникнуть в ходе решения уравнения вида . Во-первых, они могут возникнуть уже на этапе определения типа уравнения. Если , то полученное уравнение будет уже не квадратным, а линейным.

Вторая особенность связана с дискриминантом. Помним, что в зависимости от знака дискриминанта квадратное уравнение имеет два или одно решение или вообще не имеет решений в действительных числах.

Итак, мы указали особенности, знаем общий алгоритм решения квадратных уравнений. Перейдем к практике.

 

Задание 3. Решить уравнение для всех значений параметра :

Решение

Коэффициент при  равен , это точно квадратное уравнение. Вычисляем дискриминант:

Видим, что дискриминант зависит от параметра и его знак мы не можем однозначно определить. Рассматриваем отдельно возможные варианты:

1. Если , то уравнение имеет два действительных корня.
2. Если  – один действительный корень.
3. Если , то уравнение не имеет действительных корней.

Найдем значения параметра, при которых выполняется каждое из этих условий:

1.                   

2.                   

3.                 

Итак, при  уравнение имеет два корня. Находим их по известной формуле:

Упростив выражение:

При уравнение имеет один корень:

При  уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: при , ; при, ; при , .

 

Задание 4. Решить уравнение для всех значений параметра :

Решение

Обратим внимание на коэффициент при . Он может быть равен нулю, и в этом случае уравнение будет не квадратным, а линейным. Эту ситуацию рассматриваем отдельно:

При получим линейное уравнение:

Если же , то уравнение будет квадратным. Вычисляем дискриминант:

Оцениваем знак дискриминанта. Можно, как и в предыдущем примере, решать уравнения и неравенства:

А можно сразу отметить, что  всегда неотрицательная величина. Т. е.  только при ; в остальных случаях это положительная величина.

Получаем, что при  уравнение имеет один корень:

В остальных случаях имеем два корня:

Рассмотрев корни по отдельности, выражение можем еще упростить:

Ответ: при , ; при , ; при  и , , .

Мы с вами разобрали основные задания с параметрами: решение линейных уравнений и неравенств, а также квадратных уравнений. Параметры могут встретиться и в более сложных типах уравнений и неравенств, а также их системах.

Но принцип их решения будет абсолютно такой же – действуем по известному алгоритму, на каждом шаге обращаем внимание на особенности: возможное деление на ноль, смену знака неравенства, извлечение корней, раскрытие модуля и пр.

Иногда для поставленной задачи нам не нужно находить общее решение уравнения, а нужно всего лишь узнать какую-то информацию о его корнях. Например, узнать количество корней уравнения или их расположение относительно некоторого фиксированного числа. В таком слу

interneturok.ru

Решение показательных уравнений с параметрами

Цели урока:   Учащиеся должны знать способы решений уравнений вида – показательная функция и уметь применять при решении задач.

Ход урока.

Для первой группы учащихся выдавались следующие задания.

Для каждого значения a решить уравнения:

Задания для второй группы учащихся.

Указать число решений в зависимости от параметра а.

Третья группа решает уравнения, сводящиеся к квадратным.

Задание 1. Решить уравнение p · 4^x – 4 · 2^x + 1 = 0 и указать число решений в зависимости от параметра p.

Задание 2. При каких a уравнение 9^x + (2a + 4) · 3^x + 8a + 1 = 0 имеет единственное решение.

Задание 3. Указать число решений уравнения 49^x + 2p · 7^x + p² – 1 = 0  в зависимости от параметра p.

Задание 4. При каких значениях p уравнение 4^x – (5p – 3) · 2^x + 4p² – 3p = 0 имеет единственное решение.

Выступление первой группы – решение показательных уравнений вида

Докладывает лидер первой группы и привлекает к своему докладу участников этой группы. То есть диалог идёт ученик – ученик.

Решение исходного уравнения сводится к решению линейного уравнения с параметрами kx = b.

Если k = 0, b = 0, то 0 · x = 0, – любое действительное число.

Если k = 0, b ≠ 0, то 0 · x = b – нет решений.

Если k ≠ 0, то , один корень.

Задание 1. Решить уравнение .

Докладчик решает у доски с комментариями, остальные записывают в тетрадях.

Значит уравнение (1) можно представить в виде (a – 1)(a + 4)x = (a – 1)(a – 1)(a – 3).

Исследуем полученное уравнение:

Ответ: 

На этом выступление первой группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 1.

Выступление второй группы – решение уравнений вида

Докладывает лидер второй группы и привлекает к обсуждению этого вопроса всех учащихся. Исходное уравнение равносильно уравнению ax² + bx + c₁ = c₀,  или ax² + bx + c = 0.

Далее идёт диалог ученик–ученик.

1. Какое уравнение получили? – Это уравнение степени не выше второй.
2. При a = 0, bx + c = 0, получили линейное уравнение, которое может иметь одно решение, не иметь корней, или иметь бесконечное множество решений.
3. При a ≠ 0, ax² + bx + c = 0, квадратное уравнение.
4. От чего зависит число решений квадратного уравнения? – Число решений квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Если D = 0 то квадратное уравнение имеет одно решение. Если D > 0, то два решения. Если D < 0, то решений нет.

Задание 1. Решить уравнение .

Данное уравнение равносильно  (a – 1)x² + 2(a + 3)x + a + 2 = 0.

Ответ:  

На этом выступление второй группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 2.

Выступление третьей группы – решение уравнений вида af²(x) + bf(x) + c = 0, где f(x) – показательная функция. Способ решения – введение новой переменной. f(x) = t, t > 0.

Слово предоставляется  выступающему от третьей группы. Он докладывает, что их группа решала уравнения вида:  (1)  af²(x) + bf(x) + c = 0, где f(x) – показательная функция. Способ решения – введение новой переменной.  f(x) = t, t > 0.

Исходное уравнение (1) равносильно

Далее докладчик задаёт вопросы, а учащиеся отвечают на них.

При каких условиях уравнение (1) имеет один корень?

1. При a = 0 уравнение (2) становится линейным, значит может иметь только один корень, и он должен быть положительным.
2. Если D = 0, уравнение (2) имеет один корень, и он должен быть положительным.
3. Если  D > 0, уравнение (2) имеет два корня, но они должны быть различных знаков.
4. Если D > 0,  уравнение (2) имеет два корня, но один из низ нуль. А второй положительный.

При  каких условиях уравнение (1)  имеет два корня?

Исходное уравнение  имеет  два корня, если уравнение  (2)  имеет два корня и оба они положительны.

При каких условиях уравнение (1) не имеет корней?

1. Если D < 0, то исходное уравнение не имеет корней.
2. Если D ≥ 0.

а) Уравнение (2) имеет один корень, но он отрицательный.

б) Уравнение (2) имеет два корня, но они оба отрицательные.

в) Уравнение (2) имеет два корня. Но один из них нуль, а другой – отрицательный.

Результаты обсуждения этого вопроса заносятся в таблицу.

Далее докладчик решает на доске и класс вместе с ним.

Задание 1. Решить уравнение p · 4^x – 4 · 2^x + 1 = 0 и указать число решений в зависимости от параметра p.

Ответим на вопрос:  При каких значениях p уравнение (1) имеет один корень?

• Если   одно решение. Обсуждается вопрос какие ещё могли быть варианты при t = 0  – нет решений, при t < 0 – нет решений.
• .  Это необходимое условие того, чтобы был единственный корень в уравнении (1). Достаточность нужно проверить.  
  одно решение
• Если p ≠ 0, D > 0.

Уравнение будет иметь единственное решение при условии. Что дискриминант уравнения (2) есть число положительное, но корни при этом имеют различные знаки. Эти условия достигаются с помощью теоремы Виета. Чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношений.

Итак, уравнение (1) имеет единственное решение при p ≤ 0, p = 4.

Теперь остаётся ответить на вопрос. При каких условиях исходное уравнение (2) имеет два решения? Это возможно, если уравнение (2) имеет два корня и оба они положительны. По теореме Виета для того, чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и при этом оба были положительными, необходимо и достаточно выполнение соотношений.

Исходное уравнение имеет два корня при 0 < p < 4.

Осталось выяснить при каких значениях p исходное уравнение не имеет корней. Это возможно в двух случаях. Если  D < 0, и если D > 0, то уравнение (2) имеет корни, но они оба отрицательны.

Итак, D < 0, 16 – 4p < 0, p > 4. При p > 4 – нет решений. Второе условие равносильно следующим соотношениям.

Значит уравнение (1) не имеет решений при p > 4.

Ответ: 

1. При p = 4, p ≤ 0  одно решение.
2. При 0 < p < 4  два решения.
3. При p > 4  нет решений.

На этом выступление третьей группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 3.

Домашнее задание.

Задание 1. Найти все значения параметра a, при которых уравнение (a – 3) · 4^x – 8 · 6^x + (a +3) 9^x = 0 не имеет корней.

Задание 2.Указать число решений уравнения p · 2^x + 2^–x – 5 = 0 в зависимости от параметра p.

Задание 3. Выяснить при каких значениях a уравнение .  имеет решения, найти эти решения.

Задание 4. Найти все значения p при которых уравнение (p – 1) · 4^x – 4 · 2^x + (p + 2) = 0 имеет хотя бы одно решение.

Задание 5. Указать число решений уравнения a · 12^|x| = 2 – 12^–|x| в зависимости от параметра a.

urok.1sept.ru

Алгебраические уравнения высших степеней с параметрами

1.1. Общая методическая концепция решения уравнений с параметрами

Пусть дано уравнение F(x, a) = 0, (1)

если ставится задача для каждого значения а А решить уравнение (1) относительно х, т.е. получить уравнение

х = f(a), (2)

то уравнение (1) называется уравнением с неизвестным х и параметром а. А – область изменения параметра. Принято считать, что А – множество действительных чисел. Решить уравнение (1) – значит решить множество уравнений, которые получаются из уравнения (1) при а R. Сделать это можно, если по некоторому признаку разбить множество А на подмножества и решить заданное уравнение на каждом из них. Значения а называются контрольными.

1.2. Использование параметра как равноправной переменной

Некоторые уравнения бывает целесообразно решать, рассматривая их как уравнение именно относительно параметра, который фигурирует в условии, а не относительно искомой переменной. Этот путь эффективен, в частности, в тех случаях, когда степень переменной относительно высока, а степень параметра равна двум.

Пример 1. Решить уравнение с параметром.

2x³ – (а+2)х² – ах + а² = 0     (1)

Решение: Данное уравнение можно рассматривать как квадратное относительно параметра а, переписав его в виде: 

а² – х(х+1)а – 2х² + 2х³ = 0    (2)

Найдем дискриминант D.

D = х² (х+1)² – 8(х³ – х²) = х⁴ — 6х³ + 9х² = х²(х² — 6х + 9) = х²(х — 3)².

D = х²(х — 3)²

Найдем корни уравнения (2).

; а_{2 = 2х.}

Получим уравнение (а – х² + х)(а – 2х) = 0 равносильное исходному уравнению, которое ещё в свою очередь равносильно совокупности

Рассмотрим уравнение х² – х – а = 0, D = 1 – 4а.

D = 0 при а = -1/4 один корень х = 1/2

D < 0 при а < — 1/4 корней нет

D > 0 при а > -1/4 два корня

Рассмотрим уравнение х = а/2, при а = -1/4, х = -1/8.

Выбираем ответ.

Ответ: при а > -1/4 три корня: х1 = а/2,

при а = -1/4  два корня: х1 = -1/8; х² = ½

при а < — 1/4 один корень: х = а/2.

Упражнения

Решить уравнения.

1. 2x⁴ – (а+2)х³ – (а – 1)х² + (а² – 1) = 0;
2. x⁴ + 6х³ + (4 – 2а)х² – (6а + 1)х + а² + а = 0;
3. х³ + (2а – 3)х² + (а² – 4а + 2)х – а² + 2а = 0;
4. х³ — (2а + 3)х² + (а² + 4а + 2)х – а² – 2а = 0.

1.3. Графический способ решения уравнений с параметрами

Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. В самом деле, поскольку параметр «равен в правах» с переменной, то ему, естественно можно выделить и свою координатную ось. Таким образом, возникает координатная плоскость (х; а). Рассмотрим примеры.

Пример 1. В зависимости от параметра а определить число корней уравнения.    

x⁴ – 10х³ – 2(а — 11)х² + 2(5а + 6)х + 2а + а² = 0;

Решение. Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно а.

а² + 2а(1 + 5х – х²) + (х⁴ – 10х³ + 22х² + 12х)  = 0;

Найдем дискриминант

D/4 = 1 + 25х² + х⁴ + 10х – 10х³ – 2х² – х⁴ + 10х³ – 22х² – 12х = х² – 2х +1 = = (х – 1)²

Найдем а₁ и а₂ ; а₁ = х² -5х – 1 + х – 1 = х² — 4х – 2;   

а₂ = х² -5х – 1 — х + 1 = = х² – 6х.

Теперь обращаемся к координатной плоскости (х; а).

х² — 4х – 2 = х² – 6х, 2х = 2, х = 1, а(1) = -5.

Ответ: если а < -9, то нет решений;
если а = -9, то одно решение;
если -9 < a < -6, то два решения;
если а = -6 или а = -5, то три решения;
если -6 < а < -5 или а > -5, то четыре решения.

Упражнения

Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет три решения.

1. (х² – 12а)² – 24х² + 32х + 96а  = 0;
2. (2х² – а)² – 24х² + 16х + 4а  = 0;
3. (2х² – а)² = 13х² + 6х – 2а  = 0.

1.4. Использование свойств функций для решения алгебраических уравнений

 На выпускных экзаменах за курс средней школы встречаются уравнения с параметром, решение которых связано с использованием четности функций. Напомним определение четности функции.

Определение. Функция f(x) называется четной, если f(-x) = f(x) для любого х из области определения этой функции. График четной функции симметричен относительно оси ординат. У четной функции область определения симметрична относительно начала координат.

Пример 1. Может ли при каком-нибудь значении а уравнение

2х⁸ – 3ах⁶ + 4х⁴ – ах² = 5 иметь 5 корней? 

Решение. Обозначим f(x) = 2х⁸ – 3ах⁶ + 4х⁴ – ах². f(x) – функция четная, поэтому, если х0 – корень данного уравнения, то – х₀ – тоже, х = 0 не является корнем данного уравнения (0 ≠ 5). Следовательно, число корней у этого уравнения при любом действительном а четно, поэтому 5 корней оно иметь не может.

Ответ: не может.

Пример 2.  При каком значении а уравнение х¹⁰ – а|х| + a² – а = 0 имеет единственное решение?

Решение. Обозначим    f(x) = х¹⁰ – а|х| + a² – а, f(x) – функция четная, поэтому, если х0 – корень данного уравнения, то – х₀ – тоже. Значит для единственности решения необходимо, чтобы х₀ = 0. В этом случае из уравнения получим: a² – а = 0, а = 0 или а = 1. Проверим достаточность каждого из полученных значений параметра а,

при а = 0, х¹⁰ = 0, т.е. х = 0 единственное решение.

при а = 1, х¹⁰ — |x| = 0. Корнями являются числа ± 1, 0.

Ответ: при а = 0 уравнение имеет единственное решение.

Упражнения

1. Может ли при каком-нибудь а уравнение 2х⁶ – х⁴ – ах² = 1 иметь три корня?
2. Может ли при каком-нибудь а уравнение 2х⁶ – 2ах⁴ + 3х² = 4 иметь пять корней?
3. При каком значении а уравнение  имеет единственное решение?

1.5. Метод замены

Как мы уже знаем, что рациональное и быстрое решение уравнения зависит от замены переменной. Рассмотрим примеры, для решения которых нужны специальные замены, которые приводят как раз к быстрому решению уравнений.

Пример 1. Решить уравнение (х + 2а)(х +3а)(х + 8а)(х + 12а) = 4а²х²,

где а – параметр.

Решение. Данное уравнение относится к уравнению вида 

(х + а)(х +b)(х + c)(х + d) = Eх²  (см. п. 2.5 (3))

Используя специфику решения такого уравнения, будем иметь:

(х² + 14ах +24а²)( х² + 11ах +24а²) = 4а²х²

Если а = 0, то х = 0.

Обратно, если а ≠ 0, то х ≠ 0.

Разделим обе части этого уравнения на а²х², будем иметь

В полученном уравнении сделаем подстановку  и получим уравнение (у + 14)(у + 11) = 4, у² + 25у + 150 = 0, у₁ = — 15, у₂ = — 10.

Таким образом, получим два уравнения

 и

Решим первое уравнение х² + 15ах + 24а² = 0, D = 129a², х_1,2

Решим второе уравнение х² + 10ах + 24а² = 0, D = 4a²

х³ = -6а, х⁴ = -4а

Ответ: если а = 0, то х = 0
если а ≠ 0, то х_1,2, х³ = -6а, х⁴ = -4а

Упражнения

1. Найдите все действительные значения величины а, при которых уравнение х(х +1)(х + а)(х + 1 + а) = а² имеет четыре действительных корня.
2. Решить уравнение х⁴ + а⁴ – 3ах³ + 3а²х = 0.
3.  При каких значениях а уравнение (х² – 2х)² — (а + 2)(х² – 2х) + 3а – 3 = 0 имеет четыре корня?
4. Решить уравнение (х + а)(х + 2а)(х + 3а)(х + 4а) = 3а⁴

urok.1sept.ru