Решить графически тригонометрическое уравнение: Решение тригонометрических уравнений графически – Калькулятор онлайн — Решение тригонометрических уравнений — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 24.08.202016.03.2020 by alexxlab

Содержание

Решение тригонометрических уравнений графически

Уравнения, с которыми приходится сталкиваться при решении практических задач, как правило, значительно отличаются от тех, которые мы рассматривали. Для таких уравнений иногда вообще нельзя указать никакого способа, который позволял бы найти корни абсолютно точно. В таком случае приходится ограничиваться нахождением лишь приближенных значений корней. Современная математика располагает эффективными методами приближенного решения уравнений. Рассмотрим графический способ решения.

Пусть, например, нужно решить уравнение

sin х = 1 — х.

На одном и том же рисунке начертим два графика: график функции y = sin х и график функции у = 1 — х

Эти графики пересекаются в одной точке М. Абсцисса этой точки и дает нам единственный корень нашего уравнения:

х ≈ 0,5.

Для уточнения полученного результата полезно использовать тригонометрические таблицы или компьютерные программы. При

х = 0,5

sin x ≈ 0,4794,
1 — х = 0,5;

следовательно, sin х < 1 — х. Но тогда, как легко понять из рисунка, корень уравнения sin х = 1 — х будет больше, чем 0,5. Проверим значение х = 0,6. Имеем (при х = 0,6):

sin х ≈ 0,5446,
1 — х = 0,4;

следовательно, sin х > 1 — х. Но тогда, как легко понять из того же рисунка, искомый корень x₀должен быть меньше, чем 0,6. Теперь уже мы знаем, что x₀ находится в интервале [0,5; 0,6]. Поэтому с точностью до 0,1

x₀ ≈0,5 (с недостатком),
x₀ ≈ 0,6 (с избытком).

С помощью таблиц можно найти приближенное значение x₀ и с точностью до 0,01. Разделим интервал [0,5; 0,6] пополам. В средней точке (

x = 0,55) этого интервала

sin х ≈ 0,5227,
1 — х = 0,45.

Опять получаем, что sin х > 1 — х. Следовательно, x₀ < 0,55.

Проверим точку х = 0,52 (она близка к средней точке х = 0,525 интервала [0,50; 0,55], в котором заключен корень x₀). При х = 0,52

sin х ≈ 0,4969,
1 — х = 0,48.

Снова sin x > 1 — х; поэтому x₀ < 0,52. Итак, 0,50 < x₀ < 0,52. Поэтому с точностью до 0,01

x₀ ≈ 0,51.

Для примера рассмотрим уравнение

tg ^x/₂= 2 — x.

Графики функций у = tg ^x/₂и у = 2 — х пересекаются в бесконечном числе точек. Значит, данное уравнение имеет бесконечное множество корней. Найдем, например, наименьший положительный корень

х₀. Этот корень является абсциссой точки пересечения графиков. Примерно он равен 1,2.

Чтобы найти этот корень точнее, воспользуемся таблицами тангенсов В. М. Брадиса (или рассчитаем соответствующие значения в программе «Kалькулятор» или «Excel»). Выпишем значения функций у = tg ^x/₂ и у = 2 — х в окрестности точки х = 1,2.

x	1,2	1,3
y=tg x/2	0,6841	0,7602
y=2-x	0,8000	0,7000
tg x/2-(2-x)	-0,1159	0,0602

Как видно из этой таблицы, при переходе от значения х = 1,2 к значению х = 1,3 разность tg ^x/₂ — (2 — х) меняет свой знак на противоположный (с — на +). Значит, в нуль эта разность обращается где-то между значениями 1,2 и 1,3. Следовательно, с точностью до 0,1 х₀≈ 1,2 (с недостатком) или х₀≈ 1,3 (с избытком). Используя таблицу тангенсов, можно найти и приближенное значение этого корня
с точностью до 0,01. Для этого рассмотрим значение х = 1,25, являющееся средним значением чисел 1,2 и 1,3. При х = 1,25

tg ^x/₂ ≈ 0,7215,

2 — х = 0,7500.

Поскольку tg ^x/₂< 2- х, то х₀>1,25. Итак,

1,25< х₀< 1,30.

Теперь испытаем значение х = 1,28, которое близко к среднему значению чисел 1,25 и 1,30. При

х = 1,28

tg ^x/₂ ≈ 0,7445,

2 — х = 0,7200.

Теперь уже tg ^x/₂>2 — х Значит , х₀ < 1,28.

Аналогично, рассматривая значение х = 1,26, мы получили бы tg ^x/₂ < 2 — х и потому х₀ > 1,26. Значит,

1,26 <х₀< 1,28.

Поэтому с точностью до 0,01

х₀≈ 1,27

Если бы нужно было определить, какое это приближенное значение (с недостатком или с избытком), то пришлось бы сравнить значения tg ^x/₂ и 2 — х в точке х = 1,27.

«Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом»

Слайд 1

Тема: «Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом» Выполнила: Быстрова Карина Ученица 10 класса

Слайд 2

Актуальность: высокая практическая значимость работы для использования в учебном процессе и при подготовке к ЕГЭ Основные цели работы: освоить способы создания динамических чертежей с помощью программы GeoGebra; изучить возможности использования программы GeoGebra в учебном процессе при подготовке к ЕГЭ и при подготовке докладов для научно-практических конференций; отработать технологию решения тригонометрических уравнений графическим способом с помощью динамической программы GeoGebra;

Слайд 3

Задачи Использовать современные информационные технологии в ходе решения математических задач. Отработать алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений графическим способом; Выработать прочные навыки решения простейших тригонометрических уравнений графическим способом; Рационально подходить к выбору прикладных программ для решения поставленных задач. Развивать логическое мышление, память, математическую речь.

Слайд 4

Введение Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений. И именно графический метод был один из первых. Почему? В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд». Древние наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников.

Слайд 5

Ее возможности: Построение кривых: Построение графиков функций Построение сечений Окружности Параболы Гиперболы и др. Вычисления: Сложение, умножение Вычисления с комплексными числами Вычисление определителя А также работа с таблицами, создание анимации и многое другое.

Слайд 6

При исследовании программы и работе с ресурсами интернета на официальном сайте GeoGebra я нашла простейшее построение графиков функции y= sinx и y= cosx , благодаря различным возможностям программы и анимации, мы можем увидеть как меняются графики при некотором изменении параметров , что очень облегчает работу при решении тригонометрических функций. Благодаря работам других людей я также с легкостью научилась преобразовывать графики функций, что значительно облегчило мне дальнейшее исследование программы. Построение графика функции y= sin x Построение графика функции y= cos x Преобразования графика функции y= sin x Преобразования графика функции y= cos x

Слайд 7

Отработка практических навыков. Задание №1 Необходимо решить уравнения: 1. 2. cos x = -1 Решение: Для того, чтобы решить данное уравнение, нам также необходимо построить два графика функций и Для этого не потребуется строить таблицы, но понадобится подготовить координатную плоскость (по оси аргумента – единичный отрезок π /2). Для построения первой функции мы вводим в строку ввода следующее: На экране появляется первый график:

Слайд 8

Далее для построения второй функции вводим: и при помощи функций программы отмечаем точки пересечения двух построенных графиков. Конечный результат: Практические\1. ggb

Слайд 9

2. Аналогично решаем и второе уравнение. В строку ввода вводим необходимые данные y = sin x и y =1/2, определяем точки пересечения графиков, это и будет являться решением данного уравнения. Конечный результат представлен на рисунке: Практические\2. ggb

Слайд 10

Задание №2. Операция «Спасение» Решим это задание графическим методом, опираясь на полученные знания.

Слайд 11

Как и в предыдущем задании нам необходимо построить два графика: и y =1 . Отметив точки пересечения графиков мы найдём место пересечения нашего корабля и корабля пиратов. Это и будет являться решением. В нашем случае это точки А (со значением – π ), В(3 π ) и С ( π ) Практические\корабль синих. ggb

Слайд 12

Миноносец «Боевой» Аналогичным способом решаем и эту задачу. В строку ввода вводим заданные формулы в соответствии с синтаксисом программы и ищем точки пересечения.

Слайд 13

Практические\корабль красных. ggb Построив графики, мы сразу видим решение задачи. Точки А , В , С и D – точки пересечения кораблей.

Слайд 14

Миноносец «Внушительный» Также в строку ввода вводим необходимые функции и ищем точки пересечения кораблей.

Слайд 15

Точки пересечения кораблей – А и В . Практические\корабль желтых. ggb

Слайд 16

Задание № 3. Создание динамической модели. Задание. Создать динамическую модель для иллюстрации поведения функции y = a cos ( bx + c ) в зависимости от параметров а , b и с . Для выполнения этого типа задания нам потребуются ползунки, которые отвечают за динамическое изменение параметров функции при различных значениях в режиме реального времени. Для начала рисуем график квадратичной функции (вводим формулу в строку ввода в соответствии с синтаксисом программы), затем создаем ползунки для параметров a , b и c .

Слайд 17

При изменении любого из этих коэффициентов изменяется и поведение параболы. Это в свою очередь позволяет нам наглядно представить изменение графика, а функция «паузы» позволяет зафиксировать поведения графика при критических значениях параметра. Конечный результат представлен на рисунке, а саму модель можно посмотреть, перейдя по ссылке. Практические\динамическая модель. ggb

Слайд 18

Основные выводы работа с программой GeoGebra в динамическом режиме активизирует сильных учеников, делает их подготовку более целенаправленной и индивидуальной; работа с программой GeoGebra очень удобна для демонстрации трудностей, возникающих при использовании графического метода решения задач с параметрами; работа с программой GeoGebra требует минимального уровня информационно-компьютерной грамотности учителя и учащихся и разумных временных затрат для получения желаемого результата.

Графический способ решения тригонометрических уравнений с параметром. Вариант 1 — Математика онлайн

Меню
Обучение
Закрыть
Вебинары
Закрыть

Все вебинары
Вебинар#1.ЕГЭ №9,13,18
Вебинар#2. ЕГЭ №14
Вебинар#3. ЕГЭ №16
Вебинар#4.ЕГЭ №17
Вебинар#5.ЕГЭ №13,18
Вебинар#6.ЕГЭ №13,18
Вебинар#7. ЕГЭ №15,18
Вебинар#8. ЕГЭ. № 13,15
Вебинар#9. ЕГЭ. №15
Вебинар#10. ЕГЭ. №14
Вебинар #11. ЕГЭ №14
Вебинар#12 .ЕГЭ №16
Вебинар#13. ЕГЭ №16
Вебинар#14. ЕГЭ №18
Вебинар#15. ЕГЭ №18
Вебинар#16. ЕГЭ №18
Вебинар#17. ЕГЭ №13
Вебинар#18. ЕГЭ №15
Вебинар#19. ЕГЭ №14
Закрыть
Пути обучения и темы
Закрыть
Пути обучения
Что такое пути обучения
Ваш первый учебный путь
Все пути обучения
Доступные темы
Список бесплатных тем
Полный список доступных тем
Закрыть
Подготовка к ЕГЭ

Закрыть
ЕГЭ Профиль
Задание №4
Задание №5
Задание №6
Задание №8
Задание №9
Задание №11
Задание №13
Задание №14
Задание №17
Задание №18
ЕГЭ База
Задание №7
Задание №10
Пути обучения
Не помню как работают формулы приведения
Хочу вспомнить как решать тригонометрические ур.
Как отбирать корни тригонометрических ур.
Учимся решать комбинированные ур.
Учимся решать тригонометрические ур. с параметром
Объем пирамиды. От простого к сложному.
Вебинары
Вебинар#1.ЕГЭ №9,13,18
Вебинар #2.ЕГЭ №14
Вебинар#3. ЕГЭ №16
Вебинар#4.ЕГЭ №17
Вебинар#5.ЕГЭ №13,18
Вебинар#6.ЕГЭ №13,18
Вебинар#7. ЕГЭ №15,18
Вебинар#8.ЕГЭ № 13,15
Вебинар#9.ЕГЭ. №15
Вебинар#10. ЕГЭ. №14
Вебинар #11. ЕГЭ №14
Вебинар#12. ЕГЭ №16

Вебинар#13. ЕГЭ №16
Вебинар#14. ЕГЭ №18
Вебинар#15. ЕГЭ №18
Вебинар#16. ЕГЭ №18
Вебинар#17. ЕГЭ №13
Вебинар#18. ЕГЭ №15
Вебинар#19. ЕГЭ №14
Закрыть
11 класс
Закрыть
Алгебра
Уравнения
Показательные уравнения
Комбинированные уравнения
Геометрия
Многогранники
Пути обучения
Закрыть
10 Класс
Закрыть
Алгебра
Повторение 7-9
Числовые функции
Тригонометрические уравнения
Преобразование тригонометрических выражений
Геометрия
Введение
Параллельность прямых и плоскостей
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Подготовка к ЕГЭ
Задание №13
Задание №18
Пути обучения
Закрыть
ОГЭ
Закрыть
ОГЭ
Задание №4
Задание №9
Задание №17
Задание №21
Задание №22
Пути обучения
Закрыть
9 Класс
Закрыть
Алгебра
Текстовые задачи
Геометрия
Факультатив
Уравнения
Уравнения повышенной сложности
Пути обучения
Закрыть
8 Класс
Закрыть
Алгебра
Уравнения
Квадратные уравнения
Рациональные уравнения
Текстовые задачи
Геометрия
Окружности
Факультатив
Уравнения
Рациональные уравнения с параметром
Пути обучения
Закрыть
7 Класс

Закрыть
Алгебра
Текстовые задачи
Уравнения
Линейные уравнения
Геометрия
Факультатив
Уравнения
Линейные уравнения с параметром
Пути обучения
Закрыть
Для учителя
Закрыть
Алгебра
Вероятность и статистика
Повторение 7-9
Числовые функции
Текстовые задачи
Алгебраические уравнения
Тригонометрические уравнения
Показательные уравнения
Иррациональные уравнения
Комбинированные уравнения
Преобразование тригонометрических выражений
Геометрия
10 класс Стереометрия
Многогранники
Планиметрия
Закрыть
Закрыть
Информация
Закрыть
Учителям и школам
Для учителей и школ

Ученикам и родителям
Для родителей
Родительский доступ
Руководство учащегося
Общая информация
Новости
Как это работает
Отзывы
Акции
Список слушателей
Закрыть
Вебинары
Закрыть
Закрыть

Вход

Регистрация

Как это работает
Новости
Поддержка
ВХОД НА САЙТ
Забыл пароль
Запомнить
Регистрация
‹ back to login Получить ссылку на смену пароля

Меню
Обучение
Закрыть
Вебинары
Закрыть
Все вебинары
Вебинар#1.ЕГЭ №9,13,18
Вебинар#2. ЕГЭ №14
Вебинар#3. ЕГЭ №16
Вебинар#4.ЕГЭ №17
Вебинар#5.ЕГЭ №13,18
Вебинар#6.ЕГЭ №13,18
Вебинар#7. ЕГЭ №15,18
Вебинар#8. ЕГЭ. № 13,15
Вебинар#9. ЕГЭ. №15
Вебинар#10. ЕГЭ. №14
Вебинар #11. ЕГЭ №14
Вебинар#12 .ЕГЭ №16
Вебинар#13. ЕГЭ №16
Вебинар#14. ЕГЭ №18
Вебинар#15. ЕГЭ №18
Вебинар#16. ЕГЭ №18
Вебинар#17. ЕГЭ №13
Вебинар#18. ЕГЭ №15
Вебинар#19. ЕГЭ №14
Закрыть
Пути обучения и темы
Закрыть
Пути обучения
Что такое пути обучения
Ваш первый учебный путь
Все пути обучения
Доступные темы
Список бесплатных тем
Полный список доступных тем
Закрыть
Подготовка к ЕГЭ
Закрыть
ЕГЭ Профиль
Задание №4
Задание №5
Задание №6
Задание №8
Задание №9
Задание №11
Задание №13
Задание №14
Задание №17
Задание №18
ЕГЭ База
Задание №7
Задание №10
Пути обучения
Не помню как работают формулы приведения
Хочу вспомнить как решать тригонометрические ур.
Как отбирать корни тригонометрических ур.
Учимся решать комбинированные ур.
Учимся решать тригонометрические ур. с параметром
Объем пирамиды. От простого к сложному.
Вебинары
Вебинар#1.ЕГЭ №9,13,18
Вебинар #2.ЕГЭ №14
Вебинар#3. ЕГЭ №16
Вебинар#4.ЕГЭ №17
Вебинар#5.ЕГЭ №13,18
Вебинар#6.ЕГЭ №13,18
Вебинар#7. ЕГЭ №15,18
Вебинар#8.ЕГЭ № 13,15
Вебинар#9.ЕГЭ. №15
Вебинар#10. ЕГЭ. №14
Вебинар #11. ЕГЭ №14
Вебинар#12. ЕГЭ №16
Вебинар#13. ЕГЭ №16
Вебинар#14. ЕГЭ №18
Вебинар#15. ЕГЭ №18
Вебинар#16. ЕГЭ №18
Вебинар#17. ЕГЭ №13
Вебинар#18. ЕГЭ №15
Вебинар#19. ЕГЭ №14
Закрыть
11 класс
Закрыть
Алгебра
Уравнения
Показательные уравнения
Комбинированные уравнения
Геометрия
Многогранники
Пути обучения
Закрыть
Математика. Графический способ решения тригонометрических уравнений.
Решите уравнение: 8tg t – 4ctg² t – 4ctg t + 23 = 0.
Дополним уравнение тождеством ctg t · tg t = 1 и рассмотрим систему двух уравнений:
Введём обозначения x = ctg t, y = tg t и решим графически систему, состоящую из двух уравнений:

Преобразуем первое уравнение системы:
y =  (x²+ x —  ) =  ((x² +2∙x∙  +  ) —  —  ) =  ((x +  )² – 6) =
=  (x +  )² – 3.

Рис. 9
Графическое решение системы показано на рис. 9
По рис. 9 находим: α₁ ≈ 25^°, α₂ ≈ -20^°, α₃ ≈ -71^°.С учетом периодичности: t₁ = 25^° + 360^°n; t₂ = -20^° + 360^°k; t₃ = -71^° + 360^°m, где n, k, m  Z.

Методы решения тригонометрических уравнений
Открытый урок по теме «Методы решения тригонометрических уравнений». 10-й класс
Цели урока:
Образовательные : повторить, обобщить, систематизировать и углубить знания о методах решения тригонометрических уравнений.
Развивающие: развивать умения учебно-познавательной деятельности, умения выделять главное, логически излагать мысли, делать выводы, расширять кругозор.
Воспитательные: воспитание ответственности, активности, побуждению интереса к математике, самостоятельности, умение работать в коллективе.
Тип урока: урок повторения и обобщения.
Оборудование: Мультимедийный проектор – 2, экран – 2, компьютер – 11, принтер, бейджики, презентации, справочный материал, тест по теории, тест с выбором ответа, карточки для дифференцированной работы, маркеры, ватманы, оценочные листы, флешки, диски, планшеты – 4.
План урока.
Организационный момент.
Математический диктант.
Устная работа.
Физкультминутка (здоровьесберегающий элемент урока).
Работа в группах.
Проверочный тест.
Домашнее задание.
Итог урока.
Рефлексия.
Ход урока
1. Здравствуйте! Я очень рада вас всех видеть, надеюсь, что это взаимно.
Итак. Начнем урок. Тема нашего урока : “Методы решения тригонометрических уравнений”
Презентация. Слайд 1.
К этому уроку вами была проделана огромная работа. Вы должны были изучить много дополнительной литературы, собирали материал по теме : “Тригонометрические уравнения” из разных источников.
Как вы думаете чем мы будем сегодня заниматься на уроке?
Слайд 2.
Цели нашего урока: повторить, обобщить, систематизировать и углубить знания по данной теме.
В конце урока мне бы хотелось, чтобы вы, ребята,ответили на вопрос: “Зачем мы изучаем тригонометрические уравнения?”
Слайд 3.
2. Повторим теоретический материал по теме. Математический диктант (на компьютере, работа в парах). (Взаимопроверка.)
3. Устная работа.
а) Найди ошибку.
Слайд 4.
б) Установи соответствие.
Слайд 5.
4. Физкультминутка и релаксация.
Слайд 6.
(Здоровьесберегающий элемент урока.)
Ребята, прежде чем начать и правильно настроиться на работу, выполним простое упражнение.
– Сядьте поудобнее на стуле, запрокиньте ногу на колено, придержите ее руками, закройте глаза. Это поза бесконечности. Сосредоточьтесь над знаком бесконечность – вытянутая горизонтальная восьмерка. Она находиться над вашим теменем, плавно колеблется над вашей головой. Вы это ярко представили. Постарайтесь удержать это изображение в вашем мысленном образе в течении нескольких секунд. (Пауза – молчание в течении 5 секунд). Спасибо! Откройте глаза, ребята. Когда человек сталкивается с бесконечностью, он невольно задумывается о своем здоровье.
5. Работа в группах. Ребята, чтобы вы хотели узнать еще по теме: “Тригонометрические уравнения”?
Применение тригонометрии в жизни, связана ли геометрия с тригонометрическими уравнениями, решаются ли графически тригонометрические уравнения, есть ли решение тригонометрических уравнений в заданиях ЕГЭ.
Хорошо, вот мы с вами и обозначали темы наших проектов.
Слайд 7.
Итак, работаем как обычно, в группах. У нас 4 группы. Руководители групп подойдите,выберете тему, озвучьте еЕ .Каждая группа ставит цель своего проекта., руководители групп распределите роли в группе.
Готовность групп к выступлению.
Слайд 8.
Каждая группа называет цель своего проекта.
Слайд 9,10,11.
Выступает 1-я группа . Тема: “Применение тригонометрических уравнений при решении геометрических задач” (презентация, рассказывает на экране). Обсуждение, вопросы.
Слайд 12.
Выступает 2-я группа. Тема: “Решение тригонометрических уравнений в заданиях ЕГЭ”
– Выход в интернет. Учащиеся решают задание из диагностической работы. (1 ученик у доски.)
– Одно и тоже уравнение учащиеся решают разными способами.
(2 учащихся решают одно и тоже уравнение 2-мя способами) на откидных досках, а весь класс решает самостоятельно.
Слайд 13.
Решение уравнений с параметром (учитель).
Слайд 14, 15,16.
Защищает свой проект 3-я группа. Тема: “Графический способ решения тригонометрических уравнений”. Решение уравнений на компьютере в программе MS Exel.
А остальные группы решают это же уравнение аналитически. Делают выводы.
Слайд 17–28.
Выступает 4-я группа с презентацией по теме :“Применение тригонометрии в жизни” (презентация по теме).
Слайд 29.
6. Самостоятельная работа. 1 человек в группе выполняет тестовую работу с выбором ответа на компьютере, остальные получают карточки разного уровня, выполняют работу по выбору.
Слайд 30.
7. Домашнее задание вы найдете в электронном дневнике, я прикреплю файл с разными по степени сложности заданиями. Каждый выберет себе свое задание.
8. Итог урока. Итак, ребята, как же вы ответите на вопрос: “Зачем мы изучаем тригонометрические уравнения?”
Руководители групп оцените работу каждого участника своей группы. Оценки за урок.
Слайд 31.
9. Рефлексия.
2 группы нарисовать график настроения и впечатления на сегодняшнем уроке.
2 группы Продолжи предложение……..(на парте листочки в виде геометрических фигур), читаем и продолжаем.
Слайд 32.
Великий математик, физик и политик А. Эйнштейн заметил “Мне приходиться делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно.”
Я надеюсь, что сегодняшний урок прошел для вас с пользой. Думаю, научившись бороться с трудностями при решении тригонометрических уравнений, вы сможете преодолевать любые жизненные трудности.
Слайд 33.
Спасибо за урок.
Решение тригонометрических неравенств графическим способом
Решение тригонометрических неравенств.
Урок-лекция
Учитель математики
МБОУ гимназии №30 города Ставрополя
Ивженко Н.Ю.
Задача урока
– изучить тему решение тригонометрических неравенств,содержащих функции синус и косинус, перейти от простейших неравенств к более сложным.
Цели урока:
? закрепление знаний тригонометрических формул, табличных значений тригонометрических функций, формул корней тригонометрических уравнений;
? формирование навыка решения простейших тригонометрических неравенств;
? освоение приёмов решения более сложных тригонометрических неравенств;
? развитие логического мышления, смысловой памяти, навыков самостоятельной работы,
самопроверки;
? воспитание аккуратности и чёткости в оформлении решения, интереса к предмету,
уважения к одноклассникам.
? формирование учебно-познавательных,информационных, коммуникативных компетенций.
Оборудование:
Проектор, компьютер,раздаточные карточки с готовыми чертежами тригонометрических функций, переносная доска, карточки с домашним заданием.
Форма организации обучения – урок – лекция, урок усвоения нового материала.
Методы обучения, используемые на уроке – словесные, наглядные, репродуктивные, проблемнопоисковые,индивидуального и фронтального опроса.
План урока
Оргмомент 1 мин

Проверка д\з 3 мин

Объяснение нового материала 35 мин

Д\з 3 мин

Подведение итогов 3 мин

Ход урока
1.Оргмомент
2. Проверка д\з у доски №11.29-11.31(в,г)
3.Объяснение нового материала
Составим алгоритм решения.
1. Если аргумент — сложный (отличен от х), то заменяем его на t.
2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=cost  и y=a.
3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков, между которыми синусоида располагается ниже прямой у=а. Находим абсциссы этих точек.
4. Записываем двойное неравенство для аргумента t, учитывая период косинуса Т=2π (tбудет между найденными абсциссами).
5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.
Решение тригонометрических неравенств с помощью графиков надежно страхует нас от ошибок только в том случае, если мы грамотно построим синусоиду. (График функцииy=cosx также называют синусоидой!)
4.Домашнее задание №11.33-11.37 (а-Б)
5.Подведение итогов
Просмотр содержимого документа
«Решение тригонометрических неравенств графическим способом »

Решение тригонометрических неравенств
Презентацию выполнила учитель МБОУ гимназии №30
Города Ставрополя
Ивженко Н.Ю.

Решение тригонометрических неравенств графическим способом
Составим алгоритм решения.
1. Если аргумент — сложный (отличен от х ), то заменяем его на t .
2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=sint   и y=a .
3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков (поближе к оси Оу), между которыми синусоида располагается ниже прямой у=а . Находим абсциссы этих точек.
4. Записываем двойное неравенство для аргумента t , учитывая период синуса ( t будет между найденными абсциссами).
5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решить неравенство
Для построения графика функции y=sinx выберем единичный отрезок, равный двум клеткам. Тогда по горизонтальной оси Ох значение π (≈3,14) составит шесть клеток. Рассчитываем остальные значения аргументов (в клетках

Решить неравенство
Между этими (выделенными) значениями аргумента и находится та часть синусоиды, которая лежит ниже данной прямой, а значит, промежуток между этими выделенными точками удовлетворяет данному неравенству. Учтем период синуса, запишем результат в виде двойного неравенства, а ответ в виде числового промежутка.

Решить неравенство

Определяем промежуток, внутри которого точки синусоиды лежат ниже прямой.

Решить неравенство

Решить неравенство

Решить неравенство

Решить неравенство

Решить неравенство

Решить неравенство

Решить неравенство

Решить неравенство
Преобразуем левую часть неравенства по формуле косинуса двойного аргумента
Определяем промежуток значений х , при которых точки синусоиды лежат ниже точек прямой.

Решить неравенство

Решить неравенство

ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ ВИДА: sint (-1≤ а ≤1)
справедлива формула:
— π — arcsin a + 2πn
a , где -1≤ a ≤1, то arcsin a + 2πn nєZ.»
Если sinta , где -1≤ a ≤1, то
arcsin a + 2πn nєZ.

Если cost , (-1≤ а ≤1), то
arccos a + 2πn
a , (-1≤ а ≤1), то — arccos a + 2πn . Применяйте формулы для решения тригонометрических неравенств, и вы сэкономите время на экзаменационном тестировании.»
Если costa , (-1≤ а ≤1), то
— arccos a + 2πn
.
Применяйте формулы для решения тригонометрических неравенств, и вы сэкономите время на экзаменационном тестировании.

Спасибо за внимание!
Интересное тригонометрическое уравнение
2019-08-13 | Автор: Анна
Сегодня – интересное тригонометрическое уравнение. Нашла в группе ВК, на которую я подписана.
Задача. Решить уравнение.
$\sin x=\operatorname{tg}12^{\circ}\cdot \operatorname{tg}48^{\circ} \cdot \operatorname{tg}54^{\circ} \cdot \operatorname{tg}72^{\circ}$
Решение. [spoiler]
Известна формула тангенса суммы:
$\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg} \beta}{1-\operatorname{tg}\alpha\cdot \operatorname{tg} \beta }$
Для двух равных углов
$\operatorname{tg}(2\alpha)=\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg^2}\alpha}$
Воспользуемся этой формулой, чтобы получить тангенс $3\alpha$ :
$\operatorname{tg}(\alpha+2\alpha)=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg} 2\alpha}{1-\operatorname{tg}\alpha\cdot \operatorname{tg} 2\alpha }=\frac{\operatorname{tg}\alpha +\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg^2}\alpha}}{1-\operatorname{tg}\alpha \cdot\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg^2}\alpha}}$

$\operatorname{tg}(3\alpha)=\frac{\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg^3}\alpha+2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg^2}\alpha}\div \frac{1-\operatorname{tg^2}\alpha-2\operatorname{tg^2}\alpha}{1-\operatorname{tg^2}\alpha}=\frac{3\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg^3}\alpha }{1-3\operatorname{tg^2}\alpha}}$

$\operatorname{tg}(3\alpha)= \operatorname{tg}\alpha \cdot \frac{3-\operatorname{tg^2}\alpha }{1-3\operatorname{tg^2}\alpha}}$
Теперь можно воспользоваться формулой разности квадратов:
$\operatorname{tg}(3\alpha)= \operatorname{tg}\alpha \cdot \frac{(\sqrt{3}-\operatorname{tg}\alpha)( \sqrt{3}+\operatorname{tg}\alpha )}{(1-\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha)(1+\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha)}$
$\operatorname{tg}(3\alpha)= \operatorname{tg}\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}-\operatorname{tg}\alpha}{1+\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha}}\cdot \frac{ \sqrt{3}+\operatorname{tg}\alpha }{ 1-\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha}}$
Получили произведение тангенса самого угла на сумму тангенсов данного угла и угла в $60^{\circ}$ , а также на разность тангенсов данного угла и угла в $60^{\circ}$
$\operatorname{tg}(3\alpha)= \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}(\alpha+60^{\circ})\cdot \operatorname{tg}(\alpha -60^{\circ})$
То есть, возвращаясь к уравнению,
$\operatorname{tg}12^{\circ}\cdot \operatorname{tg}48^{\circ} \cdot \operatorname{tg}72^{\circ}=\operatorname{tg}12^{\circ}\cdot \operatorname{tg}(60^{\circ}-12^{\circ}) \cdot \operatorname{tg}(60^{\circ}+12^{\circ})=\operatorname{tg}36^{\circ}$
И
$\sin x=\operatorname{tg}36^{\circ}\cdot \operatorname{tg}54^{\circ}$
$\sin x=1$
$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, n \in Z$
Ответ: $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, n \in Z$