Решить квадратное уравнение неполное: Неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 04.03.197503.02.2022 by alexxlab

Содержание

Решение неполных квадратных уравнений.

В данной статье мы рассмотрим решение неполных квадратных уравнений.

Но сначала повторим какие уравнения называются квадратными. Уравнение вида ах²+ bх + с = 0, где х – переменная, а коэффициенты а, b и с некоторые числа, причем а ≠ 0, называется квадратным. Как мы видим коэффициент при х² не равен нулю, а следовательно коэффициенты при х или свободный член могут равняться нулю, в этом случае мы и получаем неполное квадратное уравнение.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

1) Если b = 0, с ≠ 0, то ах²+ с = 0;

2) Если b ≠ 0, с = 0, то ах²+ bх = 0;

3) Если b= 0, с = 0, то ах²= 0.

Давайте разберемся как решаются уравнения вида ах²+ с = 0.

Чтобы решить уравнение перенесем свободный член с в правую часть уравнения, получим

ах² = ‒с.

Так как а ≠ 0, то разделим обе части уравнения на а, тогда х² = ‒с/а.

Если ‒с/а > 0 , то уравнение имеет два корня

x = ±√(–c/a).

Если же ‒c/a < 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Давайте попробуем разобраться на примерах, как решать такие уравнения.

Пример 1. Решите уравнение 2х² ‒ 32 = 0.

Решение

2х² = 32

х² = 32/2

х² = 16

х = ± 4

Ответ: х₁= ‒ 4, х₂= 4.

Пример 2. Решите уравнение 2х²+ 8 = 0.

Решение

2х²= ‒ 8

х²= ‒ 8/2

х²= ‒ 4

Ответ: уравнение решений не имеет.

Разберемся как же решаются уравнения вида ах²+ bх = 0.

Чтобы решить уравнение ах²+ bх = 0, разложим его на множители, то есть вынесем за скобки х, получим х(ах^{+ b) = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Тогда или х = 0, или ах^{+ b = 0. Решая уравнение ах^{+ b = 0, получим ах^{= ‒ b, откуда х = ‒ b/a. Уравнение вида ах²+ bх = 0, всегда имеет два корня х₁= 0 и х₂= ‒ b/a. Посмотрите как выглядит на схеме решение уравнений этого вида.}}}}

Закрепим наши знания на конкретном примере.

Пример 3. Решить уравнение 3х² ‒ 12х = 0.

Решение

х(3х^{‒ 12) = 0}

х= 0 или 3х – 12 = 0

3х = 12

х = 12/3

х = 4

Ответ: х₁= 0, х₂= 4.

Уравнения третьего вида ах²= 0 решаются очень просто.

Если ах²= 0, то х²= 0. Уравнение имеет два равных корня х₁= 0, х₂= 0.

Для наглядности рассмотрим схему.

Убедимся при решении примера 4, что уравнения этого вида решаются очень просто.

Пример 4. Решить уравнение 7х² = 0.

Решение

х² = 0

х_1,2= 0

Ответ: х_{1, 2}= 0.

Не всегда сразу понятно какой вид неполного квадратного уравнения нам предстоит решить. Рассмотрим следующий пример.

Пример 5. Решить уравнение

Решение

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, то есть на 30

Сократим

5(5х²+ 9) – 6(4х²– 9) = 90.

Раскроем скобки

25х²+ 45 – 24х²+ 54 = 90.

Приведем подобные

х²+ 99 = 90.

Перенесем 99 из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный

х² = – 9.

Ответ: корней нет.

Мы разобрали как решаются неполные квадратные уравнения. Надеюсь, теперь у вас не будет сложностей с подобными заданиями. Будьте внимательны при определении вида неполного квадратного уравнения, тогда у вас все получится.

Если у вас появились вопросы по данной теме, записывайтесь на мои уроки, мы вместе решим возникшие проблемы.

Неполное квадратное уравнение

. Решение некоторых квадратных уравнений. ФИ__________________________________

Какое уравнение называют квадратным уравнением?

Какое квадратное уравнение называют неполным?

Что такое корень уравнения?

Что значит решить уравнение?

Приведите ПРИМЕР неполного квадратного уравнения, в котором b=0: _________________________

Решите это уравнение:____________________________________________________________________

Приведите ПРИМЕР неполного квадратного уравнения, в котором с=0:_______________________ __

Решите это уравнение:_________________________ __________________________________________

Приведите ПРИМЕР неполного квадратного уравнения, в котором b=0 и с=0: ____________________

Решите это уравнение:

УСТНАЯ работа в ПАРАХ (рассуждения проговорить соседу, записать только ответ):

ВМЕСТЕ:

Если уравнение имеет два корня, в ответ запишите больший из них.

Решаем, используя ФСУ:

САМОСТОЯТЕЛЬНО:

Решите уравнения:

Д/з: Теория п.4.1-4.3, задачи:

	Умею, практикую	Возникают сложности	Не могу, не понимаю
Формулировка определения квадратного уравнения
Формулировка определения неполного квадратного уравнения
Формулировка определения корня квадратного уравнения
Решение неполного квадратного уравнения, b=0
Решение неполного квадратного уравнения, с=0
Решение неполного квадратного уравнения, b=с=0
Решение квадратного уравнения путем разложения квадратного трехчлена на линейные множители

Решение неполных квадратных уравнений — презентация онлайн

1.

Решение неполных квадратных уравнений 8 класс
Разработано: учителем математики
МОУ «СОШ» п. Аджером
Корткеросского района
Республики Коми
Мишариной Альбиной
Геннадьевной

4. Методы решения неполных квадратных уравнений

1 случай: если с=0, то получим неполное
квадратное уравнение ax² + bx = 0
Решение: ax² + bx = 0
х(ах + b) = 0
х = 0 или ах + b = 0
ах = — b
х = — b/а
Ответ: 0; — b/а

5. Например

Решить уравнение: 2х²- 9х = 0
Решение: х(2х — 9) = 0
х = 0 или 2х – 9 = 0
2х = 9
х = 4,5
Ответ: 0; 4,5

6. Решить в парах

1) х² + 5х = 0
2) – 2х² + 8х = 0
3) 19х — х² = 0
4) 3х — х² = 0
Проверим ответы:
1) 0; -5
2) 0; 4
3) 0; 19
4) 0; 3

7. Методы решения неполных квадратных уравнений

2 случай: если b = 0, то получим
неполное квадратное уравнение ax² + с = 0
Решение: ax² + с = 0
ax² = — с
x² = — с/а. Возможны 2 случая:
1) если -с/а
2) если -с/а>0, то х = ±√-с/а

8.

Например: Решить уравнения:
5х² — 45 = 0 и 3х² +7 = 0
Решение: 5х² = 45
3х² = — 7
х² = 9
х² = — 7/3
х=±3
нет решения
Ответ: ± 3
Ответ: нет решения

9. Решить в парах:

1) -2х² + 50 = 0
2) 5х² + 17 = 0
3) 13 — 9х² = 0
4) 8х² — 64 = 0
Проверим ответы:
1) ± 5
2) нет решения
3) ±
=
4) ± = 2
13
9
13
3
8
2

10. Методы решения неполных квадратных уравнений.

3 случай: если b = 0 и с = 0, то получим
неполное квадратное уравнение ax² = 0
Решение: ax² = 0
а ≠ 0 значит x² = 0
х=0
Ответ: 0

11. Например:

Решить уравнение: 13х² = 0
Решение: т.к. 13 ≠ 0, то х² = 0
х=0
Ответ: 0

12. Решить в парах:

1) 6х² = 0
2) -103х² = 0
3) 1256х² = 0
4) — 80х² = 0
Проверим ответы:
1) 0
2) 0
3) 0
4) 0

13. Решить самостоятельно

1) х² — 25 = 0
2) 16а² = 0
3) х² — 100х = 0
4) х² + 64 = 0
5) 3х² — 12 = 0
6) х² +10х = 0
7) х² — 7 = 0
8) 4х² — 9 = 0
9) -7х² = 0
10) 3х² — 12х = 0
Проверим ответы:
1) ± 5
9) 0
2) 0
10) 0; 4
3) 0; 100
4) нет решения
5) ± 2
6) 0; -10
7) ± √7
8) ± 3/2

15.

Интернет-ресурсы Циркуль: http://www.daviddarling.info/images/compasses.jpg

Карандаш:
http://www.proshkolu.ru/content/media/pic/std/3000000/2240000/22390937acd9447b354cc7e.gif
Угольник-транспортир:
http://p.alejka.pl/i2/p_new/25/38/duza-ekierka-geometryczna-z-uchwytemrotring-14-cm_0_b.jpg
Фон «тетрадная клетка»:
http://radikal.ua/data/upload/49112/4efc3/3bd0a3d6bb.jpg

Решение неполных квадратных уравнений. Задание №9 ОГЭ | Математика в школе

Здравствуйте, уважаемые читатели. В 8 классе тема «Квадратные уравнения» начинается с изучения темы «Неполные квадратные уравнения». Неполные квадратные уравнения впервые встречаются в 7 классе, при изучении темы «Вынесение общего множителя», затем в 8 классе в теме «Арифметический квадратный корень». В этой статье объединим знания за 7 и 8 классы.

Общий вид квадратного уравнения выглядит следующим образом:

Общий вид квадратного уравнения

Квадратное уравнение станет неполным, если коэффициент b или с равен нулю.

1. Если коэффициент

С=0, тогда квадратное уравнение примет вид:Неполное квадратное уравнение, С=0

Неполное квадратное уравнение, С=0

Решать неполное квадратное уравнение такого типа будем методом вынесением общего множителя за скобки. Решим уравнение в общем виде и на конкретном примере:

Решение неполного квадратного уравнения.

У многих возникают трудности, если уравнение записать в другом виде.

Давайте посмотрим, что нужно сделать, чтобы уравнение сделать таким как делали выше.

Как видите, достаточно перенести 8х влево, и решить уравнение по известному алгоритму.

2. Если коэффициент b=0, тогда квадратное уравнение примет вид:

Если свободный коэффициент больше нуля, т.е. С>0, то неполное квадратное уравнение не имеет решения.

Запомни!!!! Данное уравнение не имеет решение, так как число возведенное во вторую степень всегда положительное.

Рассмотрим решение неполного квадратного уравнение, когда коэффициент С<0

Решение неполного квадратного уравнения при b=0, c<0

Встречается уравнение, которое может быть записано в другом виде. Например:

В этих уравнениях коэффициент а=1, но от этого решение только станет легче.

3. Если коэффициент b=0, с=0 тогда квадратное уравнение примет вид:

Спасибо, что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.

Квадратные уравнения (способы решения)

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры в Вавилоне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их книгописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, как полные квадратные уравнения.

Определение

Уравнение вида ax²+ bx + c = 0, где a, b, c — действительные числа, причем a ≠ 0, называют квадратным уравнением.

Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a ≠ 1, то неприведенным .
Числа a, b, c носят следующие названия: a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Корни уравнения ax² + bx + c = 0 находят по формуле

Выражение D = b²— 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней;
если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень;
если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Формулы

Полное квадратное уравнение

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.

Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения — проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

Способы решения неполных квадратных уравнений:

c = 0, то уравнение примет вид
ax² + bx = 0.
x(ax + b) = 0 ,
x = 0 или ax + b = 0, x = —b : a.
b = 0, то уравнение примет вид
ax² + c = 0,
x² = —c / a,
x_{1, 2} = ±√(-c / a).
b = 0 и c = 0 , то уравнение примет вид
ax² = 0,
x = 0

Решение неполного квадратного уравнения

Квадратные уравнения с комплексными переменными

Сначала рассмотрим простейшее квадратное уравнение z² = a, где a-заданное число, а z-неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

имеет один корень z = 0, если а = 0;
имеет два действительных корня z_{1, 2} = ±√a
Не имеет действительных корней, если a < 0

Решение квадратных уравнений с помощью графиков

Не используя формул квадратное уравнение можно решить графическим способом. Например x² + x + 1 = 0.
Решим уравнение. Для этого построим два графика y = x²; y = x + 1.

y = x², квадратичная функция, график парабола.
y = x + 1, линейная функция, график прямая.

Графики пересекаются в двух точках, уравнение имеет два корня.
Ответ: x ≈ -0,6; x ≈ 2,6.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Процессы	Скорость км/ч	Время ч.	Расстояние км.
Вверх по реке	10 — x	35 / (10 — x)	35
Вверх по протоку	10 — x + 1	18 / (10 — x + 1)	18
V течения	x
V притока	x + 1

Зная, что скорость в стоячей воде равна 10 км/ч, составим уравнение.

ОДЗ: ∀ x ≠ 9, 10.

Практикум

т.к. D₁
Ответ: корней нет.
Ответ: x = 2,5.

Заключение

Ещё в древности люди пользовались ими не зная, что это – квадратные уравнения.

В наше время невозможно представить себе решение как простейших, так и сложных задач не только в математике, но и в других точных науках, без применения решения квадратных уравнений.

Надеюсь и вы открыли для себя что-нибудь новое

Презентация

Быстро решить квадратное уравнение. Квадратное уравнение

В данной статье мы рассмотрим решение неполных квадратных уравнений.

Но сначала повторим какие уравнения называются квадратными. Уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где х – переменная, а коэффициенты а, b и с некоторые числа, причем а ≠ 0, называется квадратным . Как мы видим коэффициент при х 2 не равен нулю, а следовательно коэффициенты при х или свободный член могут равняться нулю, в этом случае мы и получаем неполное квадратное уравнение.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов :

1) Если b = 0, с ≠ 0, то ах 2 + с = 0;

2) Если b ≠ 0, с = 0, то ах 2 + bх = 0;

3) Если b= 0, с = 0, то ах 2 = 0.

Давайте разберемся как решаются уравнения вида ах 2 + с = 0.

Чтобы решить уравнение перенесем свободный член с в правую часть уравнения, получим

ах 2 = ‒с. Так как а ≠ 0, то разделим обе части уравнения на а, тогда х 2 = ‒с/а.

Если ‒с/а > 0 , то уравнение имеет два корня

x = ±√(–c/a) .

Если же ‒c/a

Давайте попробуем разобраться на примерах, как решать такие уравнения.

Пример 1 . Решите уравнение 2х 2 ‒ 32 = 0.

Ответ: х 1 = ‒ 4, х 2 = 4.

Пример 2 . Решите уравнение 2х 2 + 8 = 0.

Ответ: уравнение решений не имеет.

Разберемся как же решаются уравнения вида ах 2 + bх = 0.

Чтобы решить уравнение ах 2 + bх = 0, разложим его на множители, то есть вынесем за скобки х, получим х(ах + b) = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Тогда или х = 0, или ах + b = 0. Решая уравнение ах + b = 0, получим ах = ‒ b, откуда х = ‒ b/a. Уравнение вида ах 2 + bх = 0, всегда имеет два корня х 1 = 0 и х 2 = ‒ b/a. Посмотрите как выглядит на схеме решение уравнений этого вида.

Закрепим наши знания на конкретном примере.

Пример 3 . Решить уравнение 3х 2 ‒ 12х = 0.

х(3х ‒ 12) = 0

х= 0 или 3х – 12 = 0

Ответ: х 1 = 0, х 2 = 4.

Уравнения третьего вида ах 2 = 0 решаются очень просто.

Если ах 2 = 0, то х 2 = 0. Уравнение имеет два равных корня х 1 = 0, х 2 = 0.

Для наглядности рассмотрим схему.

Убедимся при решении примера 4, что уравнения этого вида решаются очень просто.

Пример 4. Решить уравнение 7х 2 = 0.

Ответ: х 1, 2 = 0.

Пример 5. Решить уравнение

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, то есть на 30

Сократим

5(5х 2 + 9) – 6(4х 2 – 9) = 90.

Раскроем скобки

25х 2 + 45 – 24х 2 + 54 = 90.

Приведем подобные

Перенесем 99 из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный

Ответ: корней нет.

Если у вас появились вопросы по данной теме, записывайтесь на мои уроки , мы вместе решим возникшие проблемы.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Более простым способом. Для этого вынесите z за скобки. Вы получите : z(аz + b) = 0. Множители можно расписать: z=0 и аz + b = 0, так как оба могут давать в результате ноль. 2 — 4*a*c. Значение D может быть больше, меньше или равно нулю. Если D больше или меньше нуля, то корня будет два, если D=0, то остается всего один корень, более точно можно сказать, что D в этом случае имеет два равнозначных корня. Подставьте известные коэффициенты a, b, c в формулу и вычислите значение.

После того как вы нашли дискриминант, для нахождения х воспользуйтесь формулами: x(1) = (- b+sqrt{D})/2*a; x(2) = (- b-sqrt{D})/2*a, где sqrt — это функция, означающая извлечение квадратного корня из данного числа. Посчитав эти выражения, вы найдете два корня вашего уравнения, после чего уравнение считается решенным.

Если D меньше нуля, то он все равно имеет корни. В школе данный раздел практически не изучается. Студенты вузов должны знать о том, что появляется отрицательное число под корнем. От него избавляются выделяя мнимую часть, то есть -1 под корнем всегда равно мнимому элементу «i», который умножается на корень с таким же положительным числом. К примеру, если D=sqrt{-20}, после преобразования получается D=sqrt{20}*i. После этого преобразования, решение уравнения сводится к такому же нахождению корней, как было описано выше.

Теорема Виета заключается в подборе значений x(1) и x(2). Используется два тождественных уравнения: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Причем очень важным моментом является знак перед коэффициентом b, помните, что этот знак противоположен тому, который стоит в уравнении. С первого взгляда кажется, что посчитать x(1) и x(2) очень просто, но при решении вы столкнетесь с тем, что числа придется именно подбирать.

Элементы решения квадратных уравнений

По правилам математики некоторые можно разложить на множители: (a+x(1))*(b-x(2))=0, если вам посредством формул математики удалось преобразовать подобным образом данное квадратное уравнение, то смело записывайте ответ. x(1) и x(2) будут равны рядом стоящим коэффициентам в скобках, но с противоположным знаком.

Также не стоит забывать про неполные квадратные уравнения. У вас может отсутствовать какое-то из слагаемых, если это так, то все его коэффициенты просто равны нулю. 2 или x ничего не стоит, то коэффициенты а и b равны 1.

», то есть уравнения первой степени. В этом уроке мы разберем, что называют квадратным уравнением и как его решать.

Что называют квадратным уравнением

Важно!

Степень уравнения определяют по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное.

Если максимальная степень, в которой стоит неизвестное — «2 », значит, перед вами квадратное уравнение.

Примеры квадратных уравнений

5x 2 − 14x + 17 = 0
−x 2 + x + = 0
x 2 + 0,25x = 0
x 2 − 8 = 0

Важно! Общий вид квадратного уравнения выглядит так:

A x 2 + b x + c = 0

«a », «b » и «c » — заданные числа.

«a » — первый или старший коэффициент;
«b » — второй коэффициент;
«c » — свободный член.

Чтобы найти «a », «b » и «c » нужно сравнить свое уравнение с общим видом квадратного уравнения «ax 2 + bx + c = 0 ».

Давайте потренируемся определять коэффициенты «a », «b » и «c » в квадратных уравнениях.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x + = 0 x 2 + 0,25x = 0

Уравнение	Коэффициенты

a = −7 b = −13 с = 8


x 2 − 8 = 0

Как решать квадратные уравнения

В отличии от линейных уравнений для решения квадратных уравнений используется специальная формула для нахождения корней .

Запомните!

Чтобы решить квадратное уравнение нужно:

привести квадратное уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 ». То есть в правой части должен остаться только «0 »;
использовать формулу для корней:

Давайте на примере разберем, как применять формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение.

X 2 − 3x − 4 = 0

Уравнение « x 2 − 3x − 4 = 0 » уже приведено к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 » и не требует дополнительных упрощений. Для его решения нам достаточно применить формулу нахождения корней квадратного уравнения .

Определим коэффициенты «a », «b » и «c » для этого уравнения.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

С её помощью решается любое квадратное уравнение.

В формуле «x 1;2 = » часто заменяют подкоренное выражение
«b 2 − 4ac » на букву «D » и называют дискриминантом . Более подробно понятие дискриминанта рассматривается в уроке «Что такое дискриминант ».

Рассмотрим другой пример квадратного уравнения.

x 2 + 9 + x = 7x

В данном виде определить коэффициенты «a », «b » и «c » довольно сложно. Давайте вначале приведем уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 ».

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Теперь можно использовать формулу для корней.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

x = 3
Ответ: x = 3

Бывают случаи, когда в квадратных уравнениях нет корней. Такая ситуация возникает, когда в формуле под корнем оказывается отрицательное число.

Известно, что оно является частным вариантом равенства ах 2 +вх+с = о, где а, в и с — вещественные коэффициенты при неизвестном х, и где а ≠ о, а в и с будут нулями — одновременно или порознь. Например, с = о, в ≠ о или наоборот. Мы почти вспомнили определение квадратного уравнения.

Трехчлен второй степени равен нулю. Первый его коэффициент а ≠ о, в и с могут принимать любые значения. Значение переменной х тогда будет когда при подстановке обратит его в верное числовое равенство. Остановимся на вещественных корнях, хотя решениями уравнения могут быть и Полным принято называть уравнение, в котором ни один из коэффициентов не равен о, а ≠ о, в ≠ о, с ≠ о.
Решим пример. 2х 2 -9х-5 = о, находим
D = 81+40 = 121,
D положительный, значит корни имеются, х 1 = (9+√121):4 = 5, а второй х 2 = (9-√121):4 = -о,5. Проверка поможет убедиться, что они верные.

Вот поэтапное решение квадратного уравнения

Через дискриминант можно решить любое уравнение, в левой части которого известный квадратный трехчлен при а ≠ о. В нашем примере. 2х 2 -9х-5 = 0 (ах 2 +вх+с = о)

Рассмотрим, какие бывают неполные уравнения второй степени

ах 2 +вх = o. Свободный член, коэффициент с при х 0 , здесь равен нулю, в ≠ o.
Как решать неполное квадратное уравнение такого вида? Выносим х за скобки. Вспоминаем, когда произведение двух множителей равно нулю.
x(ax+b) = o, это может быть, когда х = о или когда ax+b = o.
Решив 2-е имеем x = -в/а.
В результате имеем корни х 1 = 0, по вычислениям x 2 = -b/a .
Теперь коэффициент при х равен о, а с не равен (≠) о.
x 2 +с = о. Перенесем с в правую часть равенства, получим x 2 = -с. Это уравнение только тогда имеет вещественные корни, когда -с положительное число (с ‹ о),
х 1 тогда равен √(-с), соответственно х 2 ― -√(-с). В противном случае уравнение совсем не имеет корней.
Последний вариант: b = c= o, то есть ах 2 = о. Естественно, такое простенькое уравнение имеет один корень, x = о.

Частные случаи

Как решать неполное квадратное уравнение рассмотрели, а теперь возмем любые виды.

В полном квадратном уравнении второй коэффициент при х ― четное число.
Пусть k = o,5b. Имеем формулы для вычисления дискриминанта и корней.
D/4 = k 2 — ас, корни вычисляются так х 1,2 = (-k±√(D/4))/а при D › o.
x = -k/a при D = o.
Нет корней при D ‹ o.
Бывают приведенные квадратные уравнения, когда коэффициент при х в квадрате равен 1, их принято записывать x 2 +рх+ q = o. На них распространяются все вышеприведенные формулы, вычисления же несколько проще.
Пример, х 2 -4х-9 = 0. Вычисляем D: 2 2 +9, D = 13.
х 1 = 2+√13, х 2 = 2-√13.
Кроме того, к приведенным легко применяется В ней говорится, что сумма корней уравнения равна -p, второму коэффициенту с минусом (имеется ввиду противоположный знак), а произведение этих же корней будет равно q, свободному члену. Проверьте, как легко можно было бы устно определить корни этого уравнения. Для неприведенных (при всех коэффициентах, не равных нулю) эта теорема применима так: сумма x 1 +x 2 равна -в/а, произведение х 1 ·х 2 равно с/a.

Сумма свободного члена с и первого коэффициента а равна коэффициенту b. В этой ситуации уравнение имеет не менее чем один корень (легко доказывается), первый обязательно равен -1, а второй -с/а, если он существует. Как решать неполное квадратное уравнение, можно проверить самостоятельно. Проще простого. Коэффициенты могут находиться в некоторых соотношениях между собой

x 2 +x = o, 7х 2 -7 = o.
Сумма всех коэффициентов равна о.
Корни у такого уравнения — 1 и с/а. Пример, 2х 2 -15х+13 = o.
x 1 = 1, х 2 = 13/2.

Существует ряд других способов решения разных уравнениий второй степени. Вот, например, метод выделения из данного полинома полного квадрата. Графических способов несколько. Когда часто имеешь дело с такими примерами, научишься «щелкать» их, как семечки, ведь все способы приходят на ум автоматически.

5х (х — 4) = 0

5 х = 0 или х — 4 = 0

х = ± √ 25/4

Научившись решать уравнения первой степени, безусловно, хочется работать с другими, в частности, с уравнениями второй степени, которые по-другому называются квадратными.

Квадратные уравнения — это уравнения типа ах ² + bx + c = 0, где переменной является х, числами будут — а, b, с, где а не равняется нулю.

Если в квадратном уравнении один или другой коэффициент (с или b) будет равняться нулю, то это уравнение будет относиться к неполному квадратному уравнению.

Как решить неполное квадратное уравнение, если ученики до сих пор умели решать только уравнения первой степени? Рассмотрим неполные квадратные уравнения разных видов и несложные способы их решения.

а) Если коэффициент с будет равен 0, а коэффициент b не будет равен нулю, то ах ² + bх + 0 = 0 сводится к уравнению вида ах ² + bх = 0.

Чтобы решить такое уравнение, нужно знать формулу решения неполного квадратного уравнения, которая заключается в том, чтобы левую часть его разложить на множители и позже использовать условие равенства произведения нулю.

Например, 5х ² — 20х = 0. Раскладываем левую часть уравнения на множители, при этом совершая обычную математическую операцию: вынос общего множителя за скобки

5х (х — 4) = 0

Используем условие, гласящее, что произведения равны нулю.

5 х = 0 или х — 4 = 0

Ответом будет: первый корень — 0; второй корень — 4.

б) Если b = 0, а свободный член не равен нулю, то уравнение ах ² + 0х + с = 0 сводится к уравнению вида ах ² + с = 0. Решают уравнения двумя способами: а) раскладывая многочлен уравнения в левой части на множители; б) используя свойства арифметического квадратного корня. Такое уравнение решается одним из методов, например:

х = ± √ 25/4

х = ± 5/2. Ответом будет: первый корень равен 5/2; второй корень равен — 5/2.

в) Если b будет равен 0 и с будет равен 0, то ах ² + 0 + 0 = 0 сводится к уравнению вида ах ² = 0. В таком уравнении x будет равен 0.

Как видите, неполные квадратные уравнения могут иметь не более двух корней.

Урок по теме «неполные квадратные уравнения» (8 класс алгебра) учитель стикина

Урок по теме: «Неполные квадратные уравнения»

(8 класс, алгебра).

Учитель: Стикина А. Н.

Цели:

образовательные – отработка навыков устного счёта, ввод понятий: квадратное уравнение, приведённое квадратное уравнение, неприведённое квадратное уравнение, полное квадратное уравнение, неполное квадратное уравнение, корень квадратного уравнения, решение неполного квадратного уравнения.
воспитательные – воспитание трудолюбия, аккуратности, уважительного отношения к старшим и друг к другу, честности, взаимопомощи; расширение кругозора.
развивающие – развитие памяти, внимания, логики, математического мышления, умения правильно и последовательно рассуждать.

1. Устный счёт.

Вычислить: 1) +3 (48)

2) + (14)

3) × (75)

4) -о, 03 (-3)

5) (-5)

6) — ( )² ( — 34)

2. Изложение нового материала.

1) Актуализация опорных знаний.

а) На доске записаны уравнения:

1) x² – 16 = 0

2) 8x² – 8x = 0

3) 2x² = 0

4) (3x – 1)² – 1 = 0

Вопрос: “Какие из предложенных уравнений вы сможете решить на данный момент?” (учащиеся выбирают уравнения)

Учитель:

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c – некоторые действительные числа, х-переменная, причём а 0 называется квадратным уравнением.

На доске прикрепляется таблица.

а — первый (старший коэффициент)

b – второй коэффициент

с – свободный член

Почему уравнение называется квадратным, почему а не равно нулю?

2) Проверка уровня усвоения теоретического материала

Укажите среди записанных на доске квадратные уравнения.

Чему равен первый и второй коэффициенты уравнения, его свободный член?

3).Ввести понятие приведённого квадратного уравнения.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х² равен 1, называют приведённым квадратным уравнением.

Назовите в задании, записанном на доске (пример 1) приведённые квадратные уравнения.

4).Ввести понятие полного и неполного квадратного уравнения.

Кв. уравнение полное, если все три слагаемых присутствуют, неполное, если в уравнении присутствует не все три слагаемых.

5) На доске записаны уравнения:

Приведённое кв. уравнение:

х² +4х +5 = 0

х² +15х – 3 = 0

Неприведённое кв. уравнение:

6х² + 3х + 7 = 0

8х² -4х – 9 = 0

Полное кв. уравнение:

7х² + 5х – 3 = 0

х² — 4х + 8 = 0

Неполное кв. уравнение:

5х² = 0

4х² +2х =0

5х² +3 = 0

6).Математический диктант:

1. Составить квадратное уравнение

1вар. Старший коэффициент равен 8, коэффициент при х равен 5 , свободный член равен 1.

2вар. Старший коэффициент равен -12, коэффициент при х равен 3.

1вар. Старший коэффициент равен 1, свободный член равен 4.

2вар. Старший коэффициент равен 9, коэффициент при х равен -2, свободный член равен 3.

1вар. Старший ккоэффициент равен 1, коэффициент при х равен -1.

2вар. Старший коэффициент равен -1, коэффициент при х равен 1.

Сидящие за одной партой меняются карточками и выполняют взаимопроверку. За 3 верно записанных уравнения – «5», за 2 – «4», за 1 – «3», ни одного –«2»

3.Учитель: Мы изучили квадратные уравнения, неплохо знать и узнавать квадратные уравнения, но ещё лучше научиться их решать. Переходим к решению квадратных уравнений. Сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего нового изобретать. Рассмотрим несколько таких уравнений.

7. Составление алгоритма решения неполных квадратных уравнений

В ходе беседы с учениками, путем рассуждений, опираясь на имеющиеся знания и опыт решения уравнений первой степени, не используя учебник, вместе с классом выводится алгоритм решения неполных квадратных уравнений на конкретных примерах. В ходе этой работы в тетрадях учеников появляется следующая запись, которой они будут пользоваться как опорой.

ах² + с = 0

2х² + 6 = 0,

2х² = — 6

х² = — 3 Ответ: корней нет.

Данные примеры показывают, как решаются неполные квадратные уравнения. Внимательно посмотрите на ответы и скажите, сколько корней может иметь квадратное уравнение? Почему не больше двух?.

К доске вызываются 3 человека, каждому предлагается решить квадратное уравнение.

2х² – 8х = 0 -2х² + 8 = 0

-х² + 5х =0 3х² +10 = 0

х² – 16 = 0 5х² = 0

Учитель:

3.

Подведение итогов.

Историческая справка

Квадратные уравнения решали в Вавилоне около 2000 лет до нашей эры, а Европа 8 лет назад отпраздновала 800летие квадратных уравнений, потому что именно в 1202 году итальянский ученый Леонард Фибоначчи изложил формулы квадратного уравнения. И лишь в 17 веке, благодаря Ньютону, Декарту и другим ученым эти формулы приняли современный вид.

4.Домашнее задание.

§21 читать, выучить определения, 1 группа: №515(б,г,е),516(в),№521(в,г).

2 группа: №515(а,в,д),№516(б), ),№521(а,б).

3 группа: №512, №513, №514.

Квадратное уравнение

Введение

Квадратное уравнение представляет собой уравнение вида ax ² + bx + c = 0, где a, b и c — константы, а a ≠ 0,

Происхождение слова «квадратичный» латинское. На латыни «квадратный» используется для «квадратный» . Поскольку наибольшая степень неизвестной переменной, которая появляется в уравнении, равна квадрату (степень 2), поэтому подобные уравнения стали известны как квадратные уравнения.

<---- Рекламные объявления ---- >

Стандартная форма квадратного уравнения

Стандартная форма квадратного уравнения: ax ² + bx + c = 0, где

◾ a, b и c — константы, а

◾ a не равно 0 (нулю).

Вот несколько примеров стандартной формы квадратного уравнения:

Уравнение	Коэффициент
х ² + 2х + 1 = 0	, где а = 1, b = 2 и с = 1
х ² + 5х + 11 = 0	, где а = 1, b = 5 и с = 11

<----- Рекламные объявления ----- >

Полное квадратное уравнение

◾ Когда b не равно нулю

Некоторые примеры полной формы квадратного уравнения
◾ x ² + 2x + 1 = 0, где a = 1, b = 2 и c = 1
◾ x ² + 5x + 11 = 0, где a = 1, b = 5 и c = 11

Чистое или неполное квадратное уравнение

◾ Когда b равно нулю, уравнение известно как чистое или неполное квадратное уравнение относительно x.

Некоторые примеры чистой или неполной формы квадратного уравнения
◾ 6x ² – 24 = 0, где b = 0
◾ 6x ² – 11 = 0, где b = 0

Корни квадратного уравнения

Корни или решение квадратного уравнения ax ² + bx + c =0 — это значения переменной ‘x’, которые удовлетворяют квадратному уравнению i.е. сделать топор ² +bx+c равным нулю.

Например:

х ² + 5х — 50 = 0

х ² — 5х + 10х -50 = 0

х (х — 5) + 10 (х — 5) = 0

(х — 5) (х + 10) = 0

х = 5 и х = -10

Как вы видите, подстановка 5 или -10 вместо x делает квадратное уравнение x ² + 5x — 10 равным нулю. Следовательно, 5 и -10 являются корнями квадратного уравнения х ² + 5х — 50 = 0.

Решение квадратного уравнения
Существует три метода решения квадратного уравнения:
◾ С помощью факторизации
◾ Заполнив квадрат
◾ По квадратичной формуле
Решение с помощью факторизации
Пошаговый процесс решения квадратного уравнения методом факторизации:
Шаг 1: Преобразуйте уравнение в стандартную форму: ax ² + bx + c = 0. Если правая часть не равна нулю, перенесите ее в левую часть и сделайте правой частью ноль.
Шаг 2: Полностью факторизуем левую часть.
Шаг 3: Используйте закон нулевого коэффициента: если pq = 0, то p = 0 или q = 0.
Шаг 4: Решите полученные линейные уравнения, приравняв каждый из линейных коэффициентов нулю. Эти значения x будут решением квадратного уравнения.
Пример: решить 3x ² + 5x — 5 = -3
Шаг 1: Перестановка в стандартной форме
3x ² + 5x -5 + 3 = 0
3x ² + 5x — 2 = 0
Шаг 2: Факторизация левой части
3x ² + 6x – x – 2 = 0
3 х (х + 2) -1 (х + 2) = 0
(3х – 1) (х + 2) = 0
Шаг 3: Приравняйте каждый линейный коэффициент к нулю.
3x – 1 = 0 или x + 2 = 0
3x = 1 или x = -2
х = 1/3, х = — 2 являются корнями уравнения.
Ловушка:
У вас может возникнуть соблазн разделить обе части на выражение, включающее x. Если вы сделаете это, вы получите только одно решение уравнения (одно значение или один корень из x) и можете потерять другое решение (значение x).
Например: считать х ² = 7х
Правильное решение:
х ² = 7 х
х ² -7х=0
х(х-7)=0
х=0 и Х=7
Неверное решение:
х ² = 7 х
Разделив обе части на x, получим
.
Х=7
выше является неправильным способом решения уравнения, поскольку мы не смогли найти другое значение x, равное нулю.
Решение Заполнив квадрат
Как вы уже знаете, все квадратные уравнения нельзя легко разложить на множители. Например, x ² + 4x + 1 нельзя разложить на множители простой факторизацией. Это означает, что мы не можем записать x ² + 4x + 1 в виде (x — a)(x — b), где a, b — рациональные числа.
Существует альтернативный способ решения таких уравнений, как x ² + 4x + 1 = 0, то есть завершает квадрат .
Уравнения вида ax ² + bx + c = 0 можно преобразовать к виду (x + p) ² = q . Так легко найти решения.
Пошаговый процесс решения квадратного уравнения путем заполнения квадрата:
Шаг I: Приведите квадратное уравнение в стандартную форму оси ² + bx + c = 0,
Шаг II: Теперь разделите обе части уравнения на коэффициент x ², если он еще не равен 1.
Шаг III: Сдвиньте постоянную часть вправо.
Шаг IV: Добавьте квадрат половины коэффициента x к L.H.S. и Р.Х.С.
Шаг V: Запишите левый квадрат в виде полного квадрата и упростите правый.
Шаг VI: Найдите x, извлекая квадратный корень из L. H.S. и Р.Х.С.
Решим квадратное уравнение -3x ² + 12x + 5 = 0 с помощью «завершение квадрата»
-3x ² + 12x + 5 = 0
х ² — 4х — (5/3) = 0
х ² — 4х = (5/3)
x ² — 4x + 2 ² = (5/3) + 2 ²
(х — 2) ² = (17/3)
х — 2 = ± √(17/3)
х = 2 ± √(17/3)
x ₁ = 2 + √(17/3)
x ₂ = 2 — √(17/3)
Итак, Здесь x ₁ и x ₂ — корни уравнения.
Используя квадратичную формулу
Квадратная формула, которую также можно использовать для решения любого квадратного уравнения, является результатом решения квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 , a ≠ 0 для x путем завершения квадрата.
Существуют определенные случаи, когда решение квадратного уравнения путем разложения на множители или завершения квадрата требует много времени, долго или сложно. В таких случаях мы используем квадратную формулу для решения квадратного уравнения.
Пошаговый процесс решения квадратного уравнения по квадратной формуле:
Шаг I: Приведите квадратное уравнение в стандартную форму оси ² + b x + c = 0,
Шаг II: Сравните квадратное уравнение, которое нужно решить, со стандартным квадратным уравнением и найдите значения коэффициентов a, b и c.
Шаг III: Поместите эти значения a, b и c в квадратичную формулу.
Корни (x ₁ , x ₂ ) = −b ± √ b2 − 4ac
2a
Как видно из формулы. Квадратичная формула вычисляет два значения x: x ₁ и x ₂ , где
x ₁ = −b + √ b2 − 4ac
2a

x ₂ = −b — √ b2 − 4ac
2a
Эти два значения x, для которых верно ax ² + bx + c = 0, называются решениями квадратного уравнения, также называемыми корнями квадратного уравнения.
Шаг I: — Преобразуйте квадратное уравнение, которое вы хотите решить, в стандартную форму квадратного уравнения, ax ² + bx + c = 0
Например, если у вас есть квадратное уравнение в форме x ² — 10x = -24, преобразуйте его в стандартную форму квадратного уравнения.
x ² -10x = -24 преобразуется в x ² — 10x + 24 = 0
Шаг II: — Найдите значение коэффициента a, b и c, сравнив его со стандартной формой квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0
Например, сравнивая x ² — 10x + 24 = 0 с ax ² + bx + c = 0, получаем
а = 1,
б = -10,
с = 24
Этап III:
Корни (x ₁ , x ₂ ) = −b ± √ b2 − 4ac
2a
x ₁ = −b + √ b2 − 4ac
2a
= −(-10) + √ (-10)2 − 4(1)(24) = 6
2(1)
x ₂ = −b — √ b2 − 4ac
2a
= −(-10) — √ (-10)2 − 4(1)(24) = 4
2(1)
Дискриминант
Мы узнали, что квадратичная формула равна
.
Корни (x ₁ , x ₂ ) = −b ± √ b2 − 4ac
2a
В приведенной выше квадратной формуле величина «b ² — 4ac» , находящаяся под знаком квадратного корня, называется дискриминантом квадратного уравнения.
Дискриминант = b ² — 4ac
Выражение «b ² – 4ac» говорит о природе корней квадратного уравнения. Корни могут быть действительными, равными или мнимыми.
Возможны три случая:
◾ Если б ² – 4ас мнимый и неравный.
◾ Если b ² – 4ac = 0, то корни будут вещественными, равными и рациональными .(Это означает, что левая часть уравнения представляет собой идеальный квадрат).
◾ Если b ² – 4ac > 0, то корни вещественные и неравные.
Если b ² – 4ac > 0, то корни действительные и неравные и их две возможности — Здесь корни могут быть рациональными или иррациональными
◾ b ² – 4ac – полный квадрат, корни вещественные, рациональные и неравные . (Это означает, что уравнение может быть решено путем факторизации).
◾ b ² – 4ac не является совершенным, тогда корни вещественные, иррациональные и неравные.
Сводка
Значение дискриминанта Случаи Корни квадратного числа Факторизация квадратного числа
Значение дискриминанта > 0 два действительных различных корня два различных линейных коэффициента
Значение дискриминанта = 0 два одинаковых действительных корня два одинаковых линейных коэффициента
Значение дискриминанта Нет настоящих корней Невозможно разложить на множители
Случай I — когда дискриминант > 0
Для квадратного уравнения x ² + 7x + 4 = 0 определить характер корней по его определителю
Ответить
х ² + 7х + 4 = 0
Дискриминант = b ² – 4ac
Здесь a = 1, b = 7 и c = 4
Дискриминант = 7 ² – 4 x 1 x 4 = 49 — 16 = 33
Дискриминант > 0, поэтому действительных корней два
Случай II — когда дискриминант = 0
Для квадратного уравнения x ² + 6x + 9 = 0 определить характер корней по его определителю
Ответить
х ² + 6х + 9 = 0
Дискриминант = b ² – 4ac
Здесь a = 1, b = 6 и c = 9
Дискриминант = 6 ² – 4 x 1 x 9 = 36 — 36 = 0
Дискриминант = 0, значит есть два одинаковых действительных корня
Случай III — Дискриминант
Для квадратного уравнения x ² + 4x + 4 = 0 определить характер корней по его определителю
Ответить
х ² + 4х + 5 = 0
Дискриминант = b ² – 4ac
Здесь a = 1, b = 4 и c = 5
Дискриминант = 4 ² – 4 x 1 x 5 = 16 — 20 = -4
Дискриминант
РЕШЕНО: ‘Решите каждое неполное квадратное уравнение а) 4 9 = б) 4″ [2r’
Стенограмма видео
Данное уравнение учреждения
представляет собой достаточно галочку, то есть четыре, квадрат Y равен девяти. Теперь в вопросе говорится, что мы должны решить это уравнение, используя факторинг. Итак, давайте начнем проводить это слияние. Таким образом, первое правильно заданное уравнение, которое считается зачисленным, уравнением, равным четырем в квадрате, равно девяти. Ага, или я посчитал, собрав все термины на сайт, будет написано, что этюды четыре, VIII квадрат минус девять равно нулю. Снова упростите это, тогда будет написано, что у все в квадрате минус три в квадрате равно нулю. Теперь мы знаем, что формула квадрата минус квадрат B будет равна плюс B, умноженному на плюс B.Извините, это квадрат минус B в квадрате будет равен скобке плюс B. Время скобки минус B. Так что используйте эту формулу в овальной форме. Так что это будет интернет, то есть два белых плюс три скобки из двух. Y плюс три умноженных на две скобки Y минус три равно нулю. Нет, как видите, я получил коэффициент человеческих жалких уравнений. Итак, наш следующий шаг — применить роль продукта gino. Таким образом, в соответствии с этой ролью нулевого продукта, которую мы должны принять, каждый фактор равен нулю. Значит первые заводы. То есть два, Y плюс три становятся, что равно нулю и второй фабрике. То есть монастырю, то станет то, что равно нулю. Нет, как видите, как видите есть два линейных уравнения. Первое линейное уравнение — это два Y плюс три, а второе линейное уравнение — почему монастырь равен нулю. Итак, после проглатывания первого линейного уравнения, равного двум, Y плюс три равно нулю. Я получу значение, почему это минус 3/2. И после решения этого второго линейного уравнения, которое равно двум, Y минус три равно нулю.Я получу значение, почему это равно 3/2. Значит, данное уравнение, два ее решения. Красноватый. Первое решение есть минус 3/2, а второе решение 3/2, так что это ответ данного включения. Спасибо.
Неполный рабочий лист квадратных уравнений
Автор Сообщение
exbnaseve_tom
Зарегистрировано: 30. 09.2003
От: Жить на многих форумах….

Размещено: Суббота, 28 июня, 07:23
Всем привет . Я изучаю коррекционную алгебру.Я очень люблю математику с детства. К сожалению, я дошел до того, что больше не могу самостоятельно решать упражнения по алгебре. У меня был репетитор по алгебре, который до сих пор помогал мне с домашним заданием, но мне пришлось заплатить много денег, чтобы я сказал ему больше не приходить. Сегодня мы изучали кое-что новое: неполный рабочий лист квадратных уравнений, и когда я пришел домой с урока, я понял, что не могу сделать домашнее задание по математике, и это меня напрягло. Я также до сих пор не понимаю трехчленов и сложения дробей.Что мне теперь делать? Мне нравится алгебра, и я не хочу иметь плохие оценки.
Наверх
кфир
Зарегистрирован: 07.05.2006
Откуда: Египет

Размещено: Суббота, 28 июня, 11:36
Эта история кажется мне знакомой.Хотя я отлично разбирался в алгебре в течение нескольких лет, когда я начал заниматься алгеброй в колледже, многие темы по алгебре казались запутанными. Помню, я получил очень низкую оценку, когда сдавал экзамен по листу с неполными квадратными уравнениями. Теперь у меня больше нет этой проблемы, я могу довольно легко решить что угодно, даже линейную алгебру и разность квадратов. Мне повезло, что я не тратил свои деньги на учителя, потому что я услышал об Алгебраторе от коллеги. С тех пор я использую его всякий раз, когда мне нужно решить что-то сложное.
Наверх
sxAoc
Зарегистрирован: 16.01.2002
Откуда: Австралия

Размещено: Воскресенье, 29 июня, 18:34.
У меня тоже были проблемы с знаменателями, соотношениями и радикальными выражениями. Мне сообщили, что есть ряд программ, которые я могу попробовать. Я пробовал многие, но лучшим, что я обнаружил, был Algebrator. Просто напечатайте проблему и нажмите «решить». Я получил ответ сразу. Кроме того, к ответу меня привел легко понятный пошаговый процесс. Я полагался на эту программу для своих проблем с Pre Algebra, Pre Algebra и Algebra 2. Если бы я был на вашем месте, я бы обязательно выбрал этот алгебра.
Наверх
kp3011
Зарегистрировано: 27.08.2004
От кого:

Размещено: Понедельник, 30 июня, 16:17
Звучит именно так, как я ищу. Как я могу это получить?
Наверх
Flash Fnavfy Liom
Зарегистрировано: 15.12.2001
От кого:

Наверх
TihBoasten
Дата регистрации: 14.10.2002
От кого:

Размещено: среда, 02 июля, 16:38
Я постоянный пользователь Алгебратора. Это не только помогает мне быстрее закончить домашнюю работу, но и предлагает подробные объяснения, которые облегчают понимание концепций. Я настоятельно рекомендую использовать его, чтобы помочь улучшить навыки решения проблем.
Наверх
Индекс Введение в алгебраические уравнения Квадратное уравнение – Полное квадратное уравнение – Неполное квадратное уравнение – Решение неполного квадратного уравнения
Документы
вид: 227 раз 227 раз 227 Time Загрузка: 1 раз
Поделиться этим документом с другом
Стенограмма:
слайд 1
слайд 2
Индекс Введение в алгебраические уравнения Квадратное уравнение Полное квадратное уравнение Неполное квадратное уравнение Решение неполных квадратных уравнений Формула Шридхары (Бхаскара) Решение полных квадратных уравнений Уравнения биквадратные История Дель Ферро, Тартальи и Кардано Общее кубическое уравнение (Решение кубических уравнений)
Слайд 3
Введение в алгебраические уравнения Алгебраические уравнения — это уравнения, в которых неизвестный x подвергается алгебраическим операциям, таким как сложение, вычитание, умножение, деление. Примеры: от x + b = 0 до x + bx + c = 0 при x4 x + b + c = 0
Слайд 4
Квадратное уравнение Квадратное уравнение относительно неизвестного x имеет вид: to x + bx + c = 0, где действительные числа a, b и c являются коэффициентами уравнения, которые должны быть отличны от нуля .Это уравнение также называют квадратным уравнением, потому что член высшей степени возводится в квадрат.
Slide 5
Полное квадратное уравнение Квадратное уравнение является полным, если все коэффициенты a, b и c отличны от нуля. примеры: 2 x + 7x + 5 = 0 3 x + x + 2 = 0 Неполное квадратное уравнение Квадратное уравнение является неполным, если b = 0 или c = 0 или b = c = 0. В неполном уравнении коэффициент отличен от нуля. Примеры: 4 x + 6x = 0 3 x + 9 = 0 2 x = 0
Слайд 6
Решение неполных квадратных уравнений Уравнения типа ax = 0: Разделите все уравнение, чтобы получить: x = 0, что означает, что уравнение имеет два корня, равных нулю.Уравнения типа ax + c = 0: Разделите все уравнение на a и передайте постоянный член второму члену, чтобы получить: x = -c / a Если -c / a отрицательно, решения в действительных числах нет. Если -c/a положительно, уравнение имеет два корня с одинаковым модулем (модулем), но противоположными знаками. Уравнения вида ax+bx=0: Факторизуем для получения уравнения: x(ax+b)=0 и уравнение имеет два корня: x’=0 или x=-b/a
Слайд 7
Квадратичный Формула Шридхара (Бхаскара) Мы покажем в последовательности, как математик Шридхара получил формулу (известную как) Бхаскара, которая является общей формулой для решения квадратных уравнений.Любопытным фактом является то, что формула Бхаскары была открыта не им, а индийским математиком Шридхарой, по крайней мере, за столетие до публикации Бхаскары, факт, признанный Бхаскарой, хотя материал, построенный первооткрывателем, дошел до нас. Основой, использованной для получения этой формулы, было найти способ свести квадратное уравнение к одному из уравнений первой степени путем извлечения квадратных корней из обоих членов одного и того же.
Слайд 8
Решение полных квадратных уравнений Формула Бхаскара: D = b -4ac x — 5 x + 6 = 0 Определение коэффициентов: a = 1, b = -5, c = 6 Запишите D = b -4ac. Вычислить D = (-5) -4 1 6 = 25-24 = 1 Заменить значения коэффициентов a, b и c в формуле v
Слайд 9
Уравнения биквадратные уравнения биквадратные уравнения четвертая степень по неизвестному x, общая форма: at x4 x + b + c = 0 На самом деле это уравнение, которое можно записать в виде квадратного уравнения, заменив: y = x, чтобы получить a + yby + c = 0 Мы применяем квадратичную формулу для решения этого последнего уравнения и получаем решения y ‘и y «, и окончательная процедура должна быть более тщательной, поскольку x = y = x или y «и y ‘или y «отрицательны, решения не существуют для х.
Slide 10
Дель Ферро, история Тартальи и Кардано Дель Ферро, Тарталья и Кардано представляют собой трагикомедию споров, достижений и разочарований. Первым, кто разработал математический метод решения кубических уравнений вида x3 + ax + b = 0, был Сципионе дель Ферро, преподаватель Болонского университета, Италия, в период с 15 по 16 века. Перед смертью он раскрыл свой метод, который хранил в тайне Антонио Фиоре. Николл Тарталья родился в Брешии, Италия, в 1499 году.Говорят, что в детстве он был настолько беден, что изучал математику и писал на могилах кладбища. В 1535 году Антонио Фиоре вызвал его на математический конкурс. В то время академические споры были обычным явлением, часто победитель награждался использованием проигравшего. Тарталья умел решать кубические уравнения ДельФерро, но также открыл метод решения кубической формы x3 + ax2 + b = 0. Вооружившись этими знаниями, он стал победителем в соревновании.
Slide 11
Последние годы жизни Тартальи были омрачены ссорой с Джироламо Кардано (1501-1576), итальянским математиком, который, помимо известного в Милане врача, был еще и астрономом.В 1570 году Кардано был арестован за ересь, за то, что написал гороскоп Иисуса Христа. В 1539 году в своем доме в Милане Кардано убедил Тарталью рассказать ему свой секретный метод решения кубических уравнений, под присягой никогда не разглашать его. Однако несколько лет спустя Кардано узнал, что часть метода состояла в посмертной публикации Дель Ферро. Затем он решил опубликовать полное исследование кубических уравнений в своем трактате Ars Magna (1545 г.), работе, которая превзошла все опубликованные до сих пор книги по алгебре.В Ars Magna Кардано раскрывает метод решения кубического уравнения, основанный на геометрических аргументах. Там же представлено общее решение уравнения четвертой степени AX4 BX3 cx2 dx = 0, открытое Людовико Феррари (1522–1565), учеником Кардано, который, кажется, превзошел мастера в алгебре полиномиальных уравнений.
Слайд 12
В 1548 году Тарталья бросил вызов Кардано на математическом соревновании, которое должно было состояться в Милане. Кардано не присутствовал, и Феррари послал его представлять.Похоже, что Ferrari выиграла гонку, ставшую причиной смерти Тартальи безработицей и нищетой девять лет спустя.
Слайд 13
Общее кубическое уравнение Общее кубическое уравнение имеет вид A x 3 + B x 2 + C x + D = 0. Коэффициенты A, B, C, D представляют собой действительные или комплексные числа, где A не равно 0. Деление на A, уравнение принимает вид x 3 + bx 2 + cx + d = 0
Слайд 14
Квадратичный член исчезает Теперь мы хотим сократить последнее уравнение заменой x = y + r Кубическое уравнение принимает вид: (y + r) 3 + b (y + r) 2 + c (y + r) + d = 0 y 3 + (3 r + b) y 2 + (3 r 2 + 2 rb + c) y + r 3 + r 2 b + rc + d = 0 Теперь мы выбираем y таким образом, чтобы квадратичный член исчез. select r = -b/3
Slide 15
Итак, с заменой x = yb/3 уравнение x 3 + bx 2 + cx + d = 0 имеет вид y 3 + ey + f = 0
Слайд 16
Замена Виета Чтобы уменьшить последнее уравнение, мы используем замену Виета y = z + s.1/z Константа s на данный момент является неопределенной константой. Уравнение y 3 + ey + f = 0 становится (z + s/z ) 3 + e (z + (s/z)) + f = 0, расширяя и умножая на z 3, мы имеем z 6 + (3 s + e) z 4 + fz 3 + s (3 s + e) z 2 + s 3 = 0 Теперь выберем s = -e/3. Уравнение принимает вид z 6 + f z 3 — e 3 /27 = 0 При z 3 = u u 2 + f u -e 3 /27 = 0 Это простое квадратное уравнение.
Слайд 17
Слайд 18
Слайд 19
Слайд 20
http://en.wikipedia.org/wiki/Equation http://en.wikipedia.org/wiki/Equations_of_motion http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_quadr%C3%A1tica http://pt .wikipedia.org/wiki/Scipione_del_Ferro http://www.brasilescola.com/biografia/scipione-del-ferro.htm http://www.ebah.com.br/content/ABAAABamYAD/historia-dos-complexos http: //www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm22/ http://www.exatas.mat.br/equacao2.htm http://www.brasilescola.com/matematica/equacao-2-grau .htm
Slide 21
Slide 22
ESDMI 11A Pedro Batista, n 19
Popular Tags:
Решение квадратных уравнений.Неполные квадратные уравнения и методы их решения с примерами
Уравнение принимает вид:

Решим в общем:
Комментарий : уравнение будет иметь корни только в том случае, если иначе окажется, что квадрат
равно отрицательному числу, что невозможно.
Ответ:
Пример:
Ответ:
Последний переход сделан потому, что иррациональность в знаменателе оставляют крайне редко.
2. Свободный член равен нулю
(c = 0).
Уравнение принимает вид:
Решим в общем:

Для решений задано квадратных уравнений , т.е. если коэффициент
и = 1:
х 2 + Ьх + с = 0,
тогда х 1 х 2 = с
х 1 + х 2 = -b
Для полного квадратного уравнения, в котором a ≠ 1 :
х 2 + б х + в =0,
разделить все уравнение на a:
→ →

, где х 1 и х 2 — корни уравнения.
Прием третий … Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, избавьтесь от дробей! Умножить
уравнение под общим знаменателем.
Заключение. Практические советы:
1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, строим его правильно .
2. Если перед крестиком в квадрате стоит отрицательный коэффициент, мы исключаем его умножением
все уравнение на -1.
3. Если коэффициенты дробные, дроби исключаем, умножая все уравнение на соответствующее
фактор.
4. Если квадрат х чистый, коэффициент при нем равен единице, то решение легко проверить по
Квадратные уравнения… Общие сведения.
V квадратичный должен присутствовать x в квадрате (поэтому он и называется
«Квадрат»). Кроме него уравнение может быть, а может и не быть просто х (в первой степени) и
просто номер ( свободный член ). И не должно быть иксов в степени больше двух.
Общее алгебраическое уравнение.
где x — свободная переменная, a , б , в — коэффициенты, а а ≠ 0 .
например :
Выражение называется квадратным трехчленом .
Элементы квадратного уравнения имеют собственные имена:
Называется первый или старший коэффициент,
Называется секунда или коэффициент при,
· Вызывается свободным членом.
Полное квадратное уравнение.
Эти квадратные уравнения имеют полный набор членов слева. X в квадрате с
коэффициент а, х в первой степени с коэффициентом б и свободный член с. V все шансы
должен быть ненулевым.
Неполным называется квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме
старший из них (либо второй коэффициент, либо свободный член) равен нулю.
Предположим, что b = 0, — x исчезает в первой степени. Получается, например:
2x 2 -6x = 0,
И т.д. А если оба коэффициента, b и c равны нулю, то все еще проще, Например:
2x 2 = 0,
Обратите внимание, что квадрат x присутствует во всех уравнениях.
Почему и не могут быть равны нулю? Тогда x в квадрате исчезает, и уравнение становится линейным .
И решается совсем по другому…
Неполное квадратное уравнение отличается от классических (полных) уравнений тем, что его множители или отрезок равны нулю. График таких функций представляет собой параболы. В зависимости от общего вида их делят на 3 группы. Принципы решения для всех типов уравнений одинаковы.
В определении типа неполного многочлена нет ничего сложного. Основные отличия лучше всего рассмотреть на наглядных примерах:
Если b = 0, то уравнение равно ax 2 + c = 0.
Если c = 0, то необходимо решить выражение ax 2 + bx = 0.
Если b = 0 и c = 0, то многочлен становится равенством типа ax 2 = 0.
Последний случай является скорее теоретической возможностью и никогда не встречается в задачах проверки знаний, поскольку единственное допустимое значение переменной x в выражении равно нулю. В дальнейшем будут рассмотрены способы и примеры решения неполных квадратных уравнений 1) и 2) типа.
Общий алгоритм поиска переменных и примеры с решением
Независимо от типа уравнения алгоритм решения сводится к следующим шагам:
Приведите выражение к виду, удобному для нахождения корней.
Выполнение расчетов.
Запишите свой ответ.
Самый простой способ решить неполные уравнения — разложить на множители левую часть и оставить ноль справа. Таким образом, формула неполного квадратного уравнения для нахождения корней сводится к вычислению значения x для каждого из сомножителей.
Научиться решать его можно только на практике, поэтому рассмотрим конкретный пример поиска корней неполного уравнения:
Как видите, в данном случае b = 0.Факторируем левую часть и получаем выражение:
4 (х — 0,5) ⋅ (х + 0,5) = 0,
Очевидно, произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Этим требованиям удовлетворяют значения переменной x1 = 0,5 и (или) x2 = -0,5.
Чтобы легко и быстро справиться с задачей разложения квадратного трехчлена на множители, следует запомнить следующую формулу:
Если в выражении нет свободного члена, задача сильно упрощается.Достаточно будет просто найти и вынести общий знаменатель. Для наглядности рассмотрим пример решения неполных квадратных уравнений вида ax2 + bx = 0,
Вынесем переменную x за скобки и получим следующее выражение:
х ⋅ (х + 3) = 0,
Руководствуясь логикой, приходим к выводу, что x1 = 0, а x2 = -3.
Традиционное решение и неполные квадратные уравнения
Что произойдет, если применить дискриминантную формулу и попытаться найти корни многочлена с коэффициентами, равными нулю? Возьмем пример из сборника типовых задач к ЕГЭ по математике 2017 года, решим его с помощью стандартных формул и метода факторизации.
7x 2 — 3x = 0.
Вычислим значение дискриминанта: D = (-3) 2 — 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Получается, что многочлен имеет два корня:
Теперь давайте решим уравнение на множители и сравним результаты.
х ⋅ (7х + 3) = 0,
2) 7х + 3 = 0,
7х = -3,
х = -.
Как видите, оба метода дают одинаковый результат, но решить уравнение вторым методом оказалось гораздо проще и быстрее.
Теорема Виета
Но что делать с любимой теоремой Виета? Можно ли применить этот метод к неполному трехчлену? Попробуем разобраться в аспектах приведения неполных уравнений к классическому виду ax2 + bx + c = 0.
На самом деле в этом случае можно применить теорему Виета. Нужно только привести выражение к общему виду, заменив недостающие члены нулями.
Например, при b = 0 и a = 1, чтобы исключить вероятность путаницы, задачу следует записать в виде: ax2 + 0 + c = 0. Тогда отношение суммы и произведения корней а множители полинома можно выразить следующим образом:
Теоретические расчеты помогают познакомиться с сутью вопроса и всегда требуют отработки навыка решения конкретных задач. Обратимся снова к справочнику типовых заданий для ЕГЭ и найдем подходящий пример:
Запишем выражение в удобном для применения теоремы Виета виде:
х 2 + 0 — 16 = 0,
Следующим шагом будет создание системы условий:
Очевидно, что корни квадратного многочлена будут x 1 = 4 и x 2 = -4.
Теперь потренируемся приводить уравнение к общему виду. Возьмем следующий пример: 1/4 × x 2 — 1 = 0
.
Чтобы применить теорему Виета к выражению, необходимо избавиться от дроби.Умножаем левую и правую части на 4, и смотрим на результат: x2–4 = 0. Полученное равенство готово к решению по теореме Виета, но гораздо проще и быстрее получить ответ, просто переведя c = 4 уравнения правой части: x2 = 4,
Подводя итоги, следует сказать, что лучшим способом решения неполных уравнений является факторизация, это самый простой и быстрый метод. Если у вас возникли трудности в процессе поиска корней, вы можете обратиться к традиционному методу поиска корней через дискриминант.
Внимание!
В Спецразделе 555 есть дополнительные
материалы.
Для очень «не очень…»
И для «очень даже…»)
Типы квадратных уравнений
Что такое квадратное уравнение? На что это похоже? В члене квадратного уравнения ключевое слово «квадрат». Значит, в уравнении обязательно должен быть икс в квадрате. Кроме него, в уравнении может быть (а может и не быть!) просто x (в первой степени) и просто число (свободный член). И не должно быть иксов в степени больше двух.
С математической точки зрения, квадратное уравнение — это уравнение вида:
Здесь а, б и в — некоторые числа. b и c — абсолютно любые, а a — любые, кроме нуля. Например:
Здесь a =1; б = 3; с = -4
Здесь a =2; б = -0,5; с = 2,2
Здесь a =-3; б = 6; с = -18
Ну, вы поняли. ..
В этих квадратных уравнениях слева есть полных наборов из членов. X в квадрате с коэффициентом a, x в первой степени с коэффициентом b и свободным членом с.
Такие квадратные уравнения называются полными.
А если b = 0, что мы получим? У нас X исчезнет в первой степени. Это происходит от умножения на ноль.) Получается, например:
5x 2 -25 = 0,
2x 2 -6x = 0,
-х 2 + 4х = 0
и т. д.А если оба коэффициента, b и c равны нулю, то все еще проще:
2x 2 = 0,
-0,3x 2 = 0
Такие уравнения, в которых чего-то не хватает, называются неполными квадратными уравнениями. Что вполне логично.) Обратите внимание, что квадрат x присутствует во всех уравнениях.
Кстати, почему и не могут быть нулем? И подставляешь на ноль.) Х в квадрате у нас исчезнет! Уравнение становится линейным. И решается совсем по другому…
Это все основные типы квадратных уравнений. Полное и неполное.
Решение квадратных уравнений.
Решение полных квадратных уравнений.
Квадратные уравнения решаются легко. По формулам и понятным, простым правилам. На первом этапе необходимо привести данное уравнение к стандартному виду, т.е. посмотреть:
Если уравнение уже дано вам в таком виде, вам не нужно делать первый этап.) Главное правильно определить все коэффициенты, а , б и с .
Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:
Выражение под корневым знаком называется дискриминантом … Но о нем — ниже. Как видите, чтобы найти x, мы используем только a, b и c . Тех. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставьте значения a, b и c в эту формулу и посчитайте.Замените своими знаками! Например, в уравнении:
и =1; б = 3; с = -4. Итак записываем:
Пример практически решен:
Это ответ.
Все очень просто. А что, вы думаете, ошибиться невозможно? Ну да как же…
Самые частые ошибки — путаница со смысловыми знаками. а, б и с … Вернее, не их знаками (где запутаться?), а подстановкой отрицательных значений в формулу вычисления корней. Здесь спасает подробное обозначение формулы с конкретными цифрами. Если есть вычислительные проблемы, сделайте так !
Предположим, вам нужно решить этот пример:
Здесь a = -6; б = -5; с = -1
Допустим, вы знаете, что редко получаете ответы с первого раза.
Ну, не ленись. Написание дополнительной строки займет 30 секунд. И количество ошибок резко уменьшится … Так что пишем подробно, со всеми скобками и знаками:
Кажется невероятно сложным рисовать так тщательно. Но это только кажется. Попробуй. Ну или выбирай. Что лучше, быстро или правильно? Кроме того, я сделаю тебя счастливым. Через некоторое время не будет нужды так тщательно все красить. Это получится само собой.Особенно, если вы используете практические приемы, описанные ниже. Этот злой пример с кучей недостатков решается легко и без ошибок!
Но часто квадратные уравнения выглядят несколько иначе. Например, вот так:
Вы узнали?) Да! Это неполных квадратных уравнений .
Решение неполных квадратных уравнений.
Их также можно решить с помощью общей формулы. Нужно только правильно сообразить, чему они равны a, b и c.
Вы поняли это? В первом примере а = 1; б = -4; а в ? Его вообще нет! Ну да, это правильно. В математике это означает, что c = 0 ! Это все. Подставим ноль в формулу вместо с, и у нас все получится. То же самое и со вторым примером. Только ноль у нас тут не С , а б !
Но неполные квадратные уравнения решаются гораздо проще. Без всяких формул. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что вы можете сделать там с левой стороны? Вы можете поставить x из скобок! Давайте вытащим это.
И что из этого? А то, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда любой из множителей равен нулю! Не верите мне? Ну, тогда придумайте два ненулевых числа, которые при умножении дадут ноль!
Не работает? Вот так…
Следовательно, мы можем уверенно написать: х 1 = 0 , х 2 = 4 .
Все. Это будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение получаем верное тождество 0 = 0. Как видите, решение намного проще, чем с использованием общей формулы. Кстати, отмечу, какой Х будет первым, а какой вторым — абсолютно безразлично. Удобно записывать по порядку, х 1 — что меньше, а х 2 — что больше.
Второе уравнение тоже решается просто.Переместите 9 вправо. Получаем:
Осталось извлечь рут из 9 и все. Получится:
Также два корня . х 1 = -3 , х 2 = 3 .
Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо поместив x в круглые скобки, либо просто переместив число вправо, а затем извлекая корень.
Перепутать эти приемы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае придется корень из иксов извлекать, что как-то непонятно, а во втором за скобки выносить нечего…
Дискриминант. Дискриминантная формула.
Волшебное слово Дискриминант ! Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решать через дискриминант» обнадеживает и обнадеживает. Потому что ждать подвоха от дискриминанта не приходится! Он прост и надежен в обращении.) Напомню самую общую формулу решения любых квадратных уравнений:
Выражение под знаком корня называется дискриминантом.Обычно дискриминант обозначают буквой D … Формула дискриминанта:
Д = б 2 — 4ас
А что такого примечательного в этом выражении? Почему он заслужил особое название? Какой смысл дискриминанта? Ведь -б, или 2а в этой формуле специально не называют. .. Буквы да буквы.
Вот в чем дело. При решении квадратного уравнения по этой формуле возможны только три случая.
1. Дискриминант положительный. Это значит, что из него можно извлечь рут. Хорошо извлекается рут, или плохо — другой вопрос. Важно, что добывается в принципе. Тогда ваше квадратное уравнение имеет два корня. Два разных решения.
2. Дискриминант равен нулю. Тогда у вас есть одно решение. Так как сложение-вычитание нуля в числителе ничего не меняет. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых … Но, в упрощенном варианте принято говорить об одном решении .
3. Дискриминант отрицательный. Из отрицательного числа корень квадратный не извлекается. Ну ладно. Это означает, что решений нет.
Честно говоря, при простых решениях квадратных уравнений понятие дискриминанта особо не требуется. Подставляем значения коэффициентов в формулу, но считаем. Все получается само собой, и корней два, и один, и не один. Однако при решении более сложных задач без знания значений и дискриминантных формул не обойтись. Особенно — в уравнениях с параметрами. Такие уравнения — высший пилотаж для ГИА и ЕГЭ!)
Итак, как решать квадратные уравнения через дискриминант вы вспомнили. Или научились, что тоже хорошо.) Вы умеете правильно определять а, б и в … Вы умеете внимательно подставлять их в формулу корня и внимательно читать результат.Вы поняли, что ключевое слово здесь внимательно?
А пока обратите внимание на рекомендации, которые значительно уменьшат количество ошибок. Те самые, что из-за невнимательности. … За что потом и больно и обидно…
Первый прием … Не поленитесь привести его к стандартному виду перед решением квадратного уравнения. Что это значит?
Допустим, после некоторых преобразований вы получили следующее уравнение:
Не торопитесь писать формулу корня! Вы почти наверняка перепутаете шансы. а, б и в. Правильно соберите пример. Сначала Х в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:
И снова не торопитесь! Минус перед крестиком в квадрате может вас сильно огорчить. Его легко забыть… Избавиться от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Вы должны умножить все уравнение на -1. Получаем:
А вот теперь можно смело записывать формулу корней, вычислять дискриминант и завершать пример.Сделай сам. У вас должны получиться корни 2 и -1.
Прием второй. Проверьте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я все объясню! Проверка последней вещи уравнения. Те. тот, по которому мы записали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент a = 1 , то проверить корни несложно. Достаточно их умножить. Вы должны получить бесплатный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Бесплатный член с моим знаком …Если не получилось, значит уже где-то накосячил. Найдите ошибку.
Если получится, нужно свернуть корни. Последняя и окончательная проверка. У вас должен получиться коэффициент б С напротив знакомый. В нашем случае -1 + 2 = +1. И коэффициент b перед x равен -1. Итак, все правильно!
Жаль, что это так просто только для примеров, где квадрат х чистый, с коэффициентом а = 1. Да хотя бы в таких уравнениях, проверьте! Будет меньше ошибок.
Приемная третья … Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, избавьтесь от дробей! Умножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в разделе Как решать уравнения? Урок «Тождественные превращения». При работе с дробями почему-то имеют свойство выскакивать ошибки…
Кстати, злой пример я обещал упростить кучей минусов.Пожалуйста! Вот.
Чтобы не запутаться в минусах, умножаем уравнение на -1. Получаем:
Вот и все! Одно удовольствие решать!
Итак, подытожим тему.
Практический совет:
1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, строим его правильно .
2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, мы его устраняем, умножая все уравнение на -1.
3. Если коэффициенты дробные, мы исключаем дроби, умножая все уравнение на соответствующий коэффициент.
4. Если квадрат х чистый, коэффициент при нем равен единице, решение легко проверяется по теореме Виета. Сделай это!
Теперь вы можете решить.)
Решить уравнения:
8x 2 — 6x + 1 = 0
х 2 + 3х + 8 = 0
х 2 — 4х + 4 = 0
(х + 1) 2 + х + 1 = (х + 1) (х + 2)
Ответы (в беспорядке):
х 1 = 0
х 2 = 5
х 1.2 = 2
х 1 = 2
х 2 = -0,5
х — любое число
х 1 = -3
х 2 = 3
нет решений
х 1 = 0,25
х 2 = 0,5
Все ли сходится? Отлично! Квадратные уравнения — не твоя головная боль. .. Первые три сработали, а остальные нет? Тогда проблема не в квадратных уравнениях.Проблема в одинаковых преобразованиях уравнений. Пройдитесь по ссылке, полезно.
Не совсем получается? Или вообще не работает? Тогда Раздел 555 поможет вам. Там все эти примеры разобраны вдребезги. Показан основных ошибок в решении. Разумеется, это говорит и об использовании одинаковых преобразований при решении различных уравнений. Очень помогает!
Если вам нравится этот сайт…
Кстати, у меня есть для вас еще парочка интересных сайтов.)
Вы можете попрактиковаться в решении примеров и узнать свой уровень. Мгновенное проверочное тестирование. Учимся — с интересом!)
вы можете ознакомиться с функциями и производными.
PPT — Уравнения и функции Презентация PowerPoint, скачать бесплатно
Уравнения и функции Алгебраические методы решения уравнений
Индекс • Введение в алгебраические уравнения • Квадратное уравнение • Полное квадратное уравнение • Неполное квадратное уравнение формула Шридхара (Бхаскара) • Решение полных квадратных уравнений • Биквадратные уравнения • История Дель Ферро, Тартальи и Кардано • Общее кубическое уравнение (решение кубических уравнений)
Введение в алгебраические уравнения Алгебраические уравнения — это уравнения, в которых неизвестный x является предметом к алгебраическим операциям, таким как сложение, вычитание, умножение, деление. х имеет вид: к х ² + bx + c = 0, где действительные числа a, b и c являются коэффициентами уравнения, и они должны быть отличны от нуля.Это уравнение также называют квадратным уравнением, потому что член высшей степени возводится в квадрат.
Полное квадратное уравнение Квадратное уравнение является полным, если все коэффициенты a, b и c отличны от нуля. Примеры: 2 x ² + 7x + 5 = 03 x ² + x + 2 = 0 Неполное квадратное уравнение является неполным, если b = 0 или c = 0 или b = c = 0. Неполным в уравнении является коэффициент, отличный от нуля. Примеры: 4 x ² + 6x = 03 x ² + 9 = 02 x ² = 0
Решение неполных квадратных уравненийУравнения типа ax²=0: Разделить все уравнение, чтобы получить: x²=0 означает, что уравнение имеет два корня, равных нулю.Уравнения типа ax² + c = 0: Разделите все уравнение на a и передайте постоянный член второму члену, чтобы получить: x² =-c/aЕсли-c/a отрицательно, решения в действительных числах нет . Если -c / a положителен, уравнение имеет два корня с одинаковым абсолютным значением (модулем), но с противоположными знаками. Уравнения типа ax ² + bx = 0: факторизовано для получения уравнения: x (ax + b) = 0 и уравнение имеет два корня: x ‘= 0 или x» = -b / a
Квадратная формула Шридхары (Бхаскара) • Покажем последовательно, как математик Шридхара получил формулу (известную как ) Бхаскары, которая является общей формулой для решения квадратных уравнений.Любопытным фактом является то, что формула Бхаскара была открыта не им, а индийским математиком Шридхарой, по крайней мере, за столетие до публикации Бхаскары, факт, признанный Бхаскарой, хотя материал, построенный не первооткрывателем, дошел до нас. Основанием, использованным для получения этой формулы, было найти способ приведения квадратного уравнения к одному из первых степеней путем извлечения квадратных корней из обоих членов одного и того же.
Решение полных квадратных уравнений Формула Бхаскара: D = b ²-4ac x ² — 5 x + 6 = 0 Определение коэффициентов: a = 1, b = -5, c = 6 Запишите D = b ²-4ac. Вычислить D = (-5) ² -4 × 1 × 6 = 25-24 = 1 Заменить значения коэффициентов a, b и c в формуле v
Уравнения биквадратные, уравнения биквадратичны уравнения четвертой степени относительно неизвестного x, общий вид: at x4 x ² + b + c = 0 На самом деле это уравнение, которое можно записать в виде квадратного уравнения, заменив: y = x ² для получения a ² + y на + c = 0. Мы применяем квадратичную формулу, чтобы решить это последнее уравнение и получить решения y ‘и y «, и окончательная процедура должна быть более тщательной, поскольку x ² = y ² = x или y «и y ‘или y «отрицательно, решений для х не существует.
Дель Ферро, история Тартальи и Кардано Дель Ферро, Тарталья и Кардано, представляет собой трагикомедию споров, достижений и разочарований. Первым, кто разработал математический метод решения кубических уравнений вида x3 + ax + b = 0, был Сципионе дель Ферро, преподаватель Болонского университета, Италия, в период с 15 по 16 века. Перед смертью он раскрыл свой метод, который хранил в тайне Антонио Фиоре. Николл Тарталья родился в Брешии, Италия, в 1499 году.Говорят, что в детстве он был настолько беден, что изучал математику и писал на могилах кладбища. В 1535 году Антонио Фиоре вызвал его на математический конкурс. В то время академические споры были обычным явлением, часто победитель награждался использованием проигравшего. Тарталья умел решать кубические уравнения ДельФерро, но также открыл метод решения кубической формы x3 + ax2 + b = 0. Вооружившись этими знаниями, он стал победителем в соревновании.
Последние годы жизни Тартальи были омрачены ссорой с Джироламо Кардано (1501-1576), итальянским математиком, который, помимо известного в Милане врача, был еще и астрономом.В 1570 году Кардано был арестован за ересь, за то, что написал гороскоп Иисуса Христа. В 1539 году в своем доме в Милане Кардано убедил Тарталью рассказать ему свой секретный метод решения кубических уравнений, под присягой никогда не разглашать его. Однако несколько лет спустя Кардано узнал, что часть метода состояла в посмертной публикации Дель Ферро. Затем он решил опубликовать полное исследование кубических уравнений в своем трактате Ars Magna (1545 г.), работе, которая превзошла все опубликованные до сих пор книги по алгебре.В Ars Magna Кардано раскрывает метод решения кубического уравнения, основанный на геометрических аргументах. Там же представлено общее решение уравнения четвертой степени AX4 BX3 cx2 dx = 0, открытое Людовико Феррари (1522–1565), учеником Кардано, который, кажется, превзошел мастера в алгебре полиномиальных уравнений.
В 1548 году Тарталья бросил вызов Кардано на математическом конкурсе , который должен был состояться в Милане, Кардано не присутствовал, и Феррари послал представлять его.Похоже, что Ferrari выиграла гонку, ставшую причиной смерти Тартальи безработицей и нищетой девять лет спустя.
Общее кубическое уравнение Общее кубическое уравнение: уравнение принимает вид x3 + b x2 + cx + d = 0
Квадратичный член исчезает Теперь мы хотим сократить последнее уравнение заменой x = y + r Кубическое уравнение принимает вид: (y + r)3 + b (y + r)2 + c (y + r) + d = 0 <=> y3 + (3 r + b) y2 + (3 r2 + 2 rb + c) y + r3 + r2 b + rc + d = 0 Теперь мы выбираем y так, чтобы квадратичный член исчез. выбираем r = -b/3
Итак, с заменой x = y – b/3 уравнение x3 + b x2 + cx + d = 0 имеет форму y3 + ey + f = 0
Замена Виета Чтобы сократить последнее уравнение, мы используем замену Виета y = z + s.1/z Константа s на данный момент является неопределенной константой. Уравнение y3 + ey + f = 0 становится (z + s/z )3 + e (z + (s/z)) + f = 0, расширяя и умножая на z3 , мы имеем z6 + (3 s + e) z4 + f z3 + s (3 s + e) z2 + s3 = 0 Теперь выберем s = -e/3. Уравнение принимает вид z6 + f z3 — e3/27 = 0 При z3 = u u2 + f u -e3/27 = 0 Это простое для решения квадратное уравнение.
http://en.wikipedia.org/wiki/Equationhttp://en.wikipedia.org/wiki/Equations_of_motionhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_quadr%C3%A1ticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Scipione_del_Ferrohttp://www.brasilescola.com/biografia/scipione-del-ferro.htmhttp: //www.ebah.com.br/content/ABAAABamYAD/historia-dos-complexoshttp://www. educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm22/http://www.exatas.mat.br/ equacao2.htmhttp://www.brasilescola.com/matematica/equacao-2-grau.htm http://en.wikipedia.org/wiki/Equationhttp://en.wikipedia.org/wiki/Equations_of_motionhttp:// pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_quadr%C3%A1ticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Scipione_del_Ferrohttp://www.brasilescola.com/biografia/scipione-del-ferro.htmhttp://www.ebah.com.br/content/ABAAABamYAD/historia-dos-complexoshttp://www.ebah.com.br/content/ABAAABamYAD/historia-dos-complexos educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm22/http://www.exatas.mat.br/equacao2.htmhttp://www.brasilescola.com/matematica/equacao-2-grau.htm
ESDMI 11ºA Pedro Batista, nº 19
Вы забыли, как решать неполное квадратное уравнение?
Как решить неполное квадратное уравнение? Известно, что это частный вариант равенства ax ² + bx + c = a, где a, b и c — вещественные коэффициенты при неизвестных x, а a ≠ a, а b и c — нули одновременно или по отдельности. Например, c = o, in ≠ o или наоборот. Мы почти вспомнили определение квадратного уравнения.
Уточним
Трехчлен второй степени равен нулю. Его первый коэффициент a ≠ o, b и c могут принимать любые значения. Значение переменной x будет тогда корнем уравнения, при его подстановке вернет его к правильному числовому равенству. Остановимся на действительных корнях, хотя решением уравнения могут быть комплексные числа. Уравнение, в котором ни один из коэффициентов не равен а, и ≠ о, принято называть ≠ о, с ≠ о.
Давайте решим пример. 2x ² -9x-5 = 0, находим
D = 81 + 40 = 121,
D положительно, тогда есть корни, x ₁ = (9 + √121): 4 = 5, и секунды x ₂ = (9-√121): 4 = -o, 5. Проверка поможет убедиться в их правильности.
Вот пошаговое решение квадратного уравнения
Через дискриминант можно решить любое уравнение, в левой части которого стоит известный квадратный трехчлен при a ≠ o. В нашем примере.2x ² -9x-5 = 0 (ах ² + вх + с = о)
Сначала найдем дискриминант D по известной формуле в ² -4ас.
Проверяем, каким будет значение D: у нас больше нуля, равно нулю или меньше.
Мы знаем, что если D > 0, то квадратное уравнение имеет только 2 различных действительных корня, их обозначают x ₁ обычно x ₂ ,
Вот как рассчитать:
x ₁ = (-B + √D): (2а), а второй: x ₂ = (-в-√D): (2а).
D = o есть один корень, или, говорят, два равных:
х ₁ равно х ₂ и равно: (2а).
Наконец, D
Рассмотрим, что представляют собой неполные уравнения второй степени
Ох ² + ix = o. Свободный член, коэффициент c при x ⁰ , здесь равен нулю, in ≠ o.
Как решить такое неполное квадратное уравнение? Возьмем x за скобки.Вспомним, когда произведение двух множителей равно нулю.
x (ax + b) = o, это может быть, когда x = 0 или когда ax + b = o.
Решая второе линейное уравнение, имеем x = -v/a.
В итоге имеем корни х ₁ = 0, _{по расчетам _{х ₂ = -б/а _.}}
Теперь коэффициент x равен o, а c не равен (≠) o.
х ² + с = о. Переносим c из правой части равенства, получаем x ² = -c.Это уравнение имеет действительные корни только тогда, когда -c является положительным числом (c x ₁ тогда равно √ (-c), соответственно, x ₂ — -√ (-s). В противном случае уравнение вообще не имеет корней.
Последний вариант: b = c = o, то есть ah ² = o. Естественно, такое простое уравнение имеет один корень, x = o.
Особые случаи
Как решить неполное квадратное уравнение рассмотрели, а теперь берем любые виды.
В полном квадратном уравнении второй коэффициент при x является четным числом.
Пусть к = о, 5б. У нас есть формулы для вычисления дискриминанта и корней.
D/4 = k ² — ac, корни вычисляются как x _1,2 = (-k ± √(D/4))/a при D > o.
х = -к/а для D = о.
Для D
Есть редуцированные квадратные уравнения, когда коэффициент при х в квадрате равен 1, их принято записывать х ² + px + q = o. К ним применимы все приведенные выше формулы, но расчеты несколько проще.
Пример, х ² -4х-9 = 0.Вычислим D: 2 ² +9, D = 13.
х ₁ = 2 + √13, х ₂ = 2-√13.
Кроме того, вышеприведенная теорема Виета легко применяется. В нем говорится, что сумма корней уравнения равна -p, второму коэффициенту со знаком минус (имеющему в виду противоположный знак), а произведение этих самых корней равно q, свободному члену. Проверьте, насколько легко было бы словесно определить корни этого уравнения. Для неприведенных (для всех коэффициентов, не равных нулю) эта теорема применима следующим образом: сумма х ₁ + х ₂ равна -а/а, произведение х ₁ · Х ₂ равно к с/у.
Сумма свободного члена c и первого коэффициента a равна коэффициенту b. В этой ситуации уравнение имеет хотя бы один корень (доказать легко), первый должен быть равен -1, а второй должен быть с/а, если он существует. Как решить неполное квадратное уравнение, вы можете проверить сами. Проще простого. Коэффициенты могут находиться в некоторых отношениях между собой
х ² + х = о, 7х ² -7 = о.
Сумма всех коэффициентов равна o.
Корни этого уравнения равны 1 и с/а. Например, 2x ² -15x + 13 = o.
х ₁ = 1, х ₂ = 13/2.
Существует ряд других способов решения различных уравнений второй степени. Вот, например, способ отделения полного квадрата от заданного многочлена. Есть несколько графических способов. Когда вы будете часто иметь дело с такими примерами, вы научитесь «щелкать» их, как семечки, потому что все способы приходят в голову автоматически.
.