Решите неравенство x^4>x^2 (х в степени 4 больше х в квадрате)
Дано неравенство:$$x^{4} > x^{2}$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{4} = x^{2}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$x^{4} = x^{2}$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} — v = 0$$
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.
Уравнение превратится из
$$x^{4} = x^{2}$$
в
$$v^{2} — v = 0$$
Это уравнение вида
a*v^2 + b*v + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = 0$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(-1)^2 - 4 * (1) * (0) = 1
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$v_{1} = 1$$
$$v_{2} = 0$$
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = — \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = — \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 0$$
Данные корни
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{4} > x^{2}$$
$$\left(- \frac{1}{10}\right)^{4} > \left(- \frac{1}{10}\right)^{2}$$
1/10000 > 1/100
Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 0 \wedge x
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x2 x1Решите неравенство 4*x^2-3>0 (4 умножить на х в квадрате минус 3 больше 0)
Дано неравенство:$$4 x^{2} — 3 > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$4 x^{2} — 3 = 0$$
Решаем:
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 4$$
$$b = 0$$
$$c = -3$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (4) * (-3) = 48
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = — \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
___
\/ 3 1
- ----- - --
2 10=
$$- \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$4 x^{2} — 3 > 0$$
2 / ___ \ | \/ 3 1 | 4*|- ----- - --| - 3 > 0 \ 2 10/
2
/ ___\
| 1 \/ 3 | > 0
-3 + 4*|- -- - -----|
\ 10 2 / значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x
_____ _____
\ /
-------ο-------ο-------
x2 x1Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Решите неравенство 4-2*x
Шаг 1. Введите неравенство
Укажите решение неравенства: 4-2*x<10 (множество решений неравенства)
Решение
Вы ввели[TeX]
[pretty]
[text]
$$- 2 x + 4
Подробное решение[TeX]
Дано неравенство:$$- 2 x + 4 Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
Решаем:
Дано линейное уравнение:
4-2*x = 10
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
-2*x = 6
Разделим обе части ур-ния на -2
x = 6 / (-2)
$$x_{1} = -3$$
$$x_{1} = -3$$
Данные корни
$$x_{1} = -3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
подставляем в выражение
$$- 2 x + 4
2*(-31) 4 - -------51/5
но51/5 > 10
Тогда
$$x не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > -3$$_____ / -------ο------- x1
Решение неравенства на графике
Быстрый ответ[TeX]
[pretty]
[text]
$$-3
Быстрый ответ 2[TeX]
[pretty]
[text]
$$x \in \left(-3, \infty\right)$$
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Решите неравенство 4^(x+1)+3*4^(2*x)
Дано неравенство:$$3 \cdot 4^{2 x} + 4^{x + 1} Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$3 \cdot 4^{2 x} + 4^{x + 1} = 32$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$3 \cdot 4^{2 x} + 4^{x + 1} = 32$$
или
$$3 \cdot 4^{2 x} + 4^{x + 1} — 32 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 4^{x}$$
получим
$$3 v^{2} + 4^{1} v^{1} — 32 = 0$$
или
$$3 v^{2} + 4 v — 32 = 0$$
Это уравнение вида
a*v^2 + b*v + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3$$
$$b = 4$$
$$c = -32$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(4)^2 - 4 * (3) * (-32) = 400
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$v_{1} = \frac{8}{3}$$
$$v_{2} = -4$$
делаем обратную замену
$$4^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (4 \right )}}$$
$$x_{1} = \frac{8}{3}$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = \frac{8}{3}$$
$$x_{2} = -4$$
Данные корни
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = \frac{8}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
подставляем в выражение
$$3 \cdot 4^{2 x} + 4^{x + 1}
41 2*(-41) - -- + 1 ------- 10 10 4 + 3*44/5 3/5 2 3*2 ---- + ------
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x_____ _____ \ / -------ο-------ο------- x2 x1
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > \frac{8}{3}$$