Линейные уравнения с параметром

К задачам с параметром можно отнести, например, поиск решения линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование уравнения на количество имеющихся корней в зависимости от значения параметра.

Не приводя подробных определений, в качестве примеров рассмотрим следующие уравнения:

у = kx, где x, y – переменные, k – параметр;

у = kx + b, где x, y – переменные, k и b – параметр;

аx² + bх + с = 0, где x – переменные, а, b и с – параметр.

Решить уравнение (неравенство, систему) с параметром это значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений (неравенств, систем).

Задачи с параметром можно условно разделить на два типа:

а) в условии сказано: решить уравнение (неравенство, систему) – это значит, для всех значений параметра найти все решения. Если хотя бы один случай остался неисследованным, признать такое решение удовлетворительным нельзя.

б) требуется указать возможные значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) обладает определенными свойствами. Например, имеет одно решение, не имеет решений, имеет решения, принадлежащие промежутку и т. д. В таких заданиях необходимо четко указать, при каком значении параметра требуемое условие выполняется.

Параметр, являясь неизвестным фиксированным числом, имеет как бы особую двойственность. В первую очередь, необходимо учитывать, что предполагаемая известность говорит о том, что параметр необходимо воспринимать как число. Во вторую очередь, свобода обращения с параметром ограничивается его неизвестностью. Так, например, операции деления на выражение, в котором присутствует параметр или извлечения корня четной степени из подобного выражения требуют предварительных исследований. Поэтому необходима аккуратность в обращении с параметром.

Например, чтобы сравнить два числа -6а и 3а, необходимо рассмотреть три случая:

1) -6a будет больше 3a, если а отрицательное число;

2) -6а = 3а в случае, когда а = 0;

3) -6а будет меньше, чем 3а, если а – число положительное 0.

Решение и будет являться ответом.

Линейные уравнения с параметром

Пусть дано уравнение kx = b. Это уравнение – краткая запись бесконечного множества уравнений с одной переменной.

При решении таких уравнений могут быть случаи:

1. Пусть k – любое действительное число не равное нулю и b – любое число изR, тогда x = b/k.

2. Пусть k = 0 и b ≠ 0, исходное уравнение примет вид  0 · x = b. Очевидно, что у такого уравнения решений нет.

3. Пусть k и b числа, равные нулю, тогда имеем равенство 0 · x = 0. Его решение  – любое действительное число.

Алгоритм решения такого типа уравнений:

1. Определить «контрольные» значения параметра.

2. Решить исходное уравнение относительно х при тех значениях параметра, которые были определены в первом пункте.

3. Решить исходное уравнение относительно х при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом пункте.

4. Записать ответ можно в следующем виде:

Ответ:

1) при … (значения параметра), уравнение имеет корни …;

2) при … (значения параметра), в уравнении корней нет.

Пример 1.

Решить уравнение с параметром |6 – x| = a.

Решение.

Легко видеть, что здесь a ≥ 0.

По правилу модуля 6 – x = ±a, выразим х:

x = 6 ± a.

Ответ: х = 6 ± a, где a ≥ 0.

Пример 2.

Решить уравнение a(х – 1) + 2(х – 1) = 0 относительно переменной х.

Решение.

Раскроем скобки: aх – а + 2х – 2 = 0

Запишем уравнение в стандартном виде: х(а + 2) = а + 2.

В случае, если выражение а + 2 не нуль , т. е. если а ≠ -2, имеем решение х = (а + 2) / (а + 2), т.е. х = 1.

В случае, если а + 2 равно нулю, т.е. а = -2, то имеем верное равенство 0 · x = 0, поэтому х – любое действительное число.

Ответ: х = 1 при а ≠ -2 и х € R при а = -2.

Пример 3.

Решить уравнение x/a + 1 = а + х относительно переменной х.

Решение.

Если а = 0, то преобразуем уравнение к виду а + х = а² + ах или (а – 1)х = -а(а – 1). Последнее уравнение при а = 1 имеет вид 0 · x = 0, следовательно, х – любое число.

Если а ≠ 1, то последнее уравнение примет вид х = -а.

Данное решение можно проиллюстрировать на координатной прямой (рис. 1)

Ответ: нет решений при а = 0; х – любое число при а = 1; х = -а при а ≠ 0 и а ≠ 1.

Графический метод

Рассмотрим еще один способ решения уравнений с параметром – графический. Этот метод применяется достаточно часто.

Пример 4.

Сколько корней в зависимости от параметра a имеет уравнение ||x| – 2| = a?

Решение.

Для решения графическим методом строим графики функций y = ||x| – 2| и y = a (рис. 2).

На чертеже наглядно видны возможные случаи расположения прямой y = a и количество корней в каждом из них.

Ответ: корней у уравнения не будет, если а < 0; два корня будет в случае, если a > 2 и а = 0; три корня уравнение будет иметь в случае а = 2; четыре корня – при 0 < a < 2.

Пример 5.

При каком а уравнение 2|x| + |x – 1| = a имеет единственный корень?

Решение.

Изобразим графики функций  y = 2|x| + |x – 1| и y = a. Для  y = 2|x| + |x – 1|, раскрыв модули методом промежутков, получим:

      {-3x + 1, при x < 0,

y = {x + 1, при  0 ≤ x ≤ 1,

      {3x – 1, при x > 1.

На рисунке 3 хорошо видно, что единственный корень уравнение будет иметь только при а = 1.

Ответ: а = 1.

Пример 6.

Определить число решений уравнения |x + 1| + |x + 2| = a в зависимости от параметра а?

Решение.

График функции  y = |x + 1| + |x + 2| будет представлять собой ломаную. Ее вершины будут располагаться в точках (-2; 1) и (-1; 1) (рисунок 4).

Ответ: если параметр a будет меньше единицы, то корней у уравнения не будет; если а = 1, то решение уравнения является бесконечное множество чисел из отрезка [-2; -1]; если значения параметра а будут больше одного, то уравнение будет иметь два корня.

 Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения с параметром?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Как решить линейное уравнение? Уравнение прямой?

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Линейное уравнение — это уравнение вида ax+b=0,
где a и b некоторые числа,
x – переменная стоящая в числителе, находящаяся в первой степени.

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн

бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ

Что является решением уравнения?
Решением уравнения является нахождение всех его корней или доказательство их отсутствия.

Примеры линейных уравнений:
3x+5=0
x+1=5
2x=0
7x=7
3x+1=x

Нелинейные уравнения:

Чем отличаются линейные уравнения от не линейных?

У линейных уравнений x всегда находится в первой степени в числители. Если одно из условий не выполняется то уравнение нелинейное.

Как решаются линейные уравнения?

Все что связано с переменной x переносим в одну сторону, а обычные числа в другую. Это называется: “Неизвестные в одну сторону известные в другую”. В итоге корень уравнения будет равен x=-b/a. Рассмотрим на примере:

Как построить прямую? Как построить график прямой или линейной функции? Можно узнать здесь.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Пример №1:

2x+2=0 (здесь неизвестное это 2x

его мы оставляем в левой стороне, а 2 переносим через равно в правую сторону, при переносе через равно знак с + меняется на -)
2x=-2 | : 2 (далее нам нужно получить просто x без коэффициента 2, поэтому мы все уравнение делим на 2, получим 2x:2=-2:2 )
x=-1 (получили корень уравнения)

2x+2=0 (здесь неизвестное это 2x его мы оставляем в левой стороне, а 2 переносим через равно в правую сторону, при переносе через равно знак с + меняется на -)
2x=-2 | : 2 (далее нам нужно получить просто x без коэффициента 2, поэтому мы все уравнение делим на 2, получим 2x:2=-2:2 )
x=-1

Сделаем проверку уравнения подставим вместо переменной x полученный корень:
2*(-1)+2=0
-2+2=0
0=0
Решено верно

Ответ: -1

Пример №2:

2x-6=4x (здесь неизвестное это 2x и 4x. 4х нужно перенести в левую часть уравнения, а -6 переносим через равно в правую сторону, при переносе через равно знак у -6 меняется с – на +, а у 4х знак меняется с + на -)

2x-4x=6 (при вычитании 2x-4x=-2x)
-2x=6 | : (-2) (далее нам нужно получить просто x без коэффициента -2, поэтому мы все уравнение делим на -2, получим -2x:(-2)=6:(-2) )
x= -3

Сделаем проверку уравнения подставим вместо переменной x полученный корень:
2*(-3)-6=4*(-3)
-6-6=-12
-12=-12
Решено верно

Ответ: -3

Пример №3:

x-3=x-3
x-x=3-3
0=0

Ответ: x может быть любое число

Пример №4:

2x+7=2x-3
2x-2x=-7-3
0=-10

Ответ: корней нет

tutomath.ru

Основы алгебры/Линейные уравнения — Викиучебник

Линейным уравнением называется уравнение вида

ax+b=0{\displaystyle ax+b=0} и любое другое уравнение приводимое к такому виду (например, ax+b=cx+d{\displaystyle ax+b=cx+d}). При этом неизвестное не должно находится в знаменателе.

• a{\displaystyle a} — коэффициент при неизвестной,
• b{\displaystyle b} — свободный член (любое число).

Решить уравнение значит найти такое число (корень уравнения), что при подстановке его вместо переменной x{\displaystyle x}, получается верное равенство.

Примеры линейных уравнений:

2x+1=0{\displaystyle 2x+1=0}. Корень(решение) этого уравнения x=−1/2{\displaystyle x=-1/2}

−3x+1=x−7{\displaystyle -3x+1=x-7}. Корень этого уравнения x=2{\displaystyle x=2}

При решении линейных уравнений, в большинстве случаев может понадобиться правило переноса слагаемого.

Случай ненулевого коэффициента при неизвестной переменной после тождественных преобразований[править]

ax+b=0{\displaystyle ax+b=0}, a ≠ 0

Для начала перенесём в одну сторону члены с неизвестной (с иксом), а в другую сторону — числа. Необходимо помнить, что при перенесении слагаемого в другую сторону оно меняет знак:

ax=−b{\displaystyle ax=-b}

Приведём подобные слагаемые:

ax=−b{\displaystyle ax=-b}

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при иксе (в нашем примере это a), после этого x{\displaystyle x} останется без коэффициента:

ax/a=−b/a{\displaystyle ax/a=-b/a}

При неизвестной коэффициент сократится и получится ответ:

x=−b/a{\displaystyle x=-b/a}

Это и будет ответом. Если мы захотим проверить, является ли число -b/a корнем этого уравнения, необходимо подставить в изначальное уравнение вместо икса это самое число:

a⋅−b/a+b=0{\displaystyle a\cdot -b/a+b=0} (то есть 0=0{\displaystyle 0=0})

Так как это равенство является верным, то -b/a действительно является корнем уравнения.

Ответ

x=−b/a{\displaystyle x=-b/a}, a ≠ 0

Пример 1[править]

Решим уравнение:

5x+2=7x−6{\displaystyle 5x+2=7x-6}

Для начала перенесём в одну сторону члены с неизвестной (с иксом), а в другую сторону — числа. Необходимо помнить, что при перенесении слагаемого в другую сторону оно меняет знак:

5x−7x=−6−2{\displaystyle 5x-7x=-6-2}

Приведём подобные слагаемые:

−2x=−8{\displaystyle -2x=-8}

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при иксе (в нашем примере это −2), после этого x{\displaystyle x} останется без коэффициента:

−2x/−2=−8/−2{\displaystyle -2x/-2=-8/-2}

При неизвестной коэффициент сократится и получится ответ:

x=4{\displaystyle x=4}

Это и будет ответом. Если мы захотим проверить, является ли число 4 корнем этого уравнения, необходимо подставить в изначальное уравнение вместо икса это самое число:

5⋅4+2=7⋅4−6{\displaystyle 5\cdot 4+2=7\cdot 4-6} (то есть 22=22{\displaystyle 22=22})

Так как это равенство является верным, то 4 действительно является корнем уравнения.

Пример 2[править]

Решим уравнение:

5/7∗x+2=1/7∗x−7{\displaystyle 5/7*x+2=1/7*x-7}

Вначале избавляемся от дроби, домножая каждое слагаемое на 7{\displaystyle 7}:

5x+14=x−49{\displaystyle 5x+14=x-49}

После переноса неизвестных и чисел по разные стороны и приведения слагаемых получаем:

4x=−63{\displaystyle 4x=-63}

Разделим обе части уравнения на коэффициент при x{\displaystyle x} (на 4{\displaystyle 4}) и получим:

x=−63/4=−15−3/4{\displaystyle x=-63/4=-15-3/4}

Избавимся от обыкновенной дроби путем перевода ее в десятичную (3/4=0.75{\displaystyle 3/4=0.75}).

x=−15−3/4=−15−0.75−15.75{\displaystyle x=-15-3/4=-15-0.75-15.75}

Ответ

x=−15.75{\displaystyle x=-15.75}

Пример 3[править]

Решим уравнение:

(5x−1)/7+x=1/5∗x−7{\displaystyle (5x-1)/7+x=1/5*x-7}

Вначале избавляемся от дроби, домножая каждое слагаемое на общий знаменатель 35{\displaystyle 35}:

35((5x−1)/7+x)=35(1/5∗x−7){\displaystyle 35((5x-1)/7+x)=35(1/5*x-7)}

Раскрываем скобки:

35(5x−1)/7+35x=35/5∗x−245{\displaystyle 35(5x-1)/7+35x=35/5*x-245}

Сокращаем дроби:

25x−5+35x=7x−245{\displaystyle 25x-5+35x=7x-245}

После переноса неизвестных и чисел по разные стороны и приведения слагаемых получаем:

53x=−240{\displaystyle 53x=-240}

Разделим обе части уравнения на коэффициент при x{\displaystyle x} (на 53{\displaystyle 53}) и получим:

x=−240/53=−4−28/53{\displaystyle x=-240/53=-4-28/53}

Ответ

x=−4−28/53{\displaystyle x=-4-28/53}

Пример 4[править]

Решим уравнение:

x5−1=0{\displaystyle x{\sqrt {5}}-1=0}

Вначале избавляемся от иррациональности в коэффициенте при неизвестном, домножая каждое слагаемое на 5{\displaystyle {\sqrt {5}}} (это нужно для более сложных случаев):

5x−5=0{\displaystyle 5x-{\sqrt {5}}=0}

5x=5{\displaystyle 5x={\sqrt {5}}}

x=(5)/5{\displaystyle x=({\sqrt {5}})/5}

Но такая форма считается упрощаемой, так как в числителе располагается корень числа в знаменателе. Требуется упростить ответ домножением числителя и знаменателя на одно и то же число, в данном случае на 5{\displaystyle {\sqrt {5}}}:

x=(5)(5)/(5)(5){\displaystyle x=({\sqrt {5}})({\sqrt {5}})/(5)({\sqrt {5}})}

x=5/(5)(5){\displaystyle x=5/(5)({\sqrt {5}})}

x=1/5{\displaystyle x=1/{\sqrt {5}}}

Ответ

x=1/5{\displaystyle x=1/{\sqrt {5}}}

Пример 5[править]

Решим уравнение:

5/3∗x−7=7/3∗x−7{\displaystyle 5/3*x-7=7/3*x-7}

После переноса неизвестных и чисел по разные стороны и приведения слагаемых получаем:

0=2/3∗x{\displaystyle 0=2/3*x}

Разделим обе части уравнения на коэффициент при x (на 2/3{\displaystyle 2/3}) и получим:

0=x{\displaystyle 0=x}

Две части равенства можно писать в любом порядке (то есть это уравнение ничем не отличается от уравнения x=0{\displaystyle x=0}), значит решением этого уравнения будет x=0.{\displaystyle x=0.} Обратите внимание, что здесь ноль — это свободный член, а не коэффициент при x{\displaystyle x}. Поэтому в отличие от следующих примеров, у этого уравнения есть решение, притом только одно.

Ответ

x=0{\displaystyle x=0}

Пример 6[править]

Решим уравнение с параметрами:

ax+1=4{\displaystyle a\,x+1=4}, относительно x.

Если a=0, то решений нет, так как 1 — не 4. Иначе:

ax+1−4=0{\displaystyle a\,x+1-4=0}

ax−3=0{\displaystyle a\,x-3=0}

ax=3{\displaystyle a\,x=3}

x=3/a{\displaystyle x=3/a}

Ответ

x=0{\displaystyle x=0}, если a=0, то решений нет

Случай отсутствия решений[править]

Решим уравнение:

2x+3=2x+7{\displaystyle 2x+3=2x+7}

После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:

0x=4{\displaystyle 0x=4}

Какой бы x{\displaystyle x} мы ни взяли, это уравнение не превратится в верное равенство. Значит, это уравнение не имеет решений. В данном случае нельзя было поступить также как в первом примере, поскольку делить на ноль нельзя.

Ответ

Решений нет.

Частный случай — бесконечное число решений[править]

Решим уравнение:

2x+3=2x+3{\displaystyle 2x+3=2x+3}

После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:

0x=0{\displaystyle 0x=0}

В этом случае тоже нельзя разделить обе части на ноль, так как это запрещено. Но подставив на место икса любое число, мы получим верное равенство. Значит, любое число является решением этого уравнения. Таким образом, у этого уравнения бесконечно много решений.

Ответ

Бесконечно много решений.

Случай равенства двух полных форм[править]

ax+b=cx+d{\displaystyle ax+b=cx+d}

ax−cx=d−b{\displaystyle ax-cx=d-b}

(a−c)x=d−b{\displaystyle (a-c)x=d-b}

x=(d−b)/(a−c){\displaystyle x=(d-b)/(a-c)}

Ответ

x=(d−b)/(a−c){\displaystyle x=(d-b)/(a-c)}, если d≠b и a≠c, иначе бесконечно много решений, но, если a=c, а d≠b, то решений нет — объединение написанного выше

Примеры и их решения[править]

Пример 1[править]

Решим уравнение:

5x+6=2x+7{\displaystyle 5x+6=2x+7}

После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:

3x=1{\displaystyle 3x=1}

x=1/3{\displaystyle x=1/3}

Ответ

x=1/3{\displaystyle x=1/3}

Пример 2[править]

Решим уравнение:

6x+5=7x+2{\displaystyle 6x+5=7x+2}

После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:

x=3{\displaystyle x=3}

Ответ

x=3{\displaystyle x=3}

1. 2x−7=6x+6/7{\displaystyle 2x-7=6x+6/7}

2. 7000000x−20/x=70x+7{\displaystyle 7000000x-20/x=70x+7} (Уравнение, сводящиеся к квадратному)

3. 8x−3080/x=7x+766{\displaystyle 8x-3080/x=7x+766} (Уравнение, сводящиеся к квадратному)

4. 67x−6=0{\displaystyle 67x-6=0}

(Ответы пишите в отдельной статье)

ru.wikibooks.org

Как решать линейные уравнения? | Александр Будников

        Линейные уравнения – довольно безобидная и понятная тема школьной математики. Но, как это ни странно, количество ошибок на ровном месте при решении линейных уравнений лишь немногим меньше, чем в других темах – квадратных уравнениях, логарифмах, тригонометрии и прочих. Причины большинства ошибок – банальные тождественные преобразования уравнений. В первую очередь, это путаница в знаках при переносе слагаемых из одной части уравнения в другую, а также ошибки при работе с дробями и дробными коэффициентами. Да-да! Дроби в линейных уравнениях тоже встречаются! Сплошь и рядом. Чуть ниже такие злые уравнения мы с вами тоже обязательно разберём.)

        Ну что, не будем тянуть кота за хвост и начнём разбираться, пожалуй? Тогда читаем и вникаем.)

Что такое линейное уравнение? Примеры.

Обычно линейное уравнение имеет следующий вид:

ax + b = 0,

       где a и b – любые числа. Какие угодно: целые, дробные, отрицательные, иррациональные – всякие могут быть!

Например:

7х + 1 = 0 (здесь a = 7, b = 1)

x – 3 = 0 (здесь a = 1, b = -3)

x/2 – 1,1 = 0 (здесь a = 1/2, b = -1,1)

       В общем, вы поняли, я надеюсь.) Всё просто, как в сказке. До поры до времени… А если присмотреться к общей записи ax+b=0 более пристально, да немного призадуматься? Ведь a и b – любые числа! А если у нас, скажем, a = 0 и b = 0 (любые же числа можно брать!), то что у нас тогда получится?

0 = 0

       Но и это ещё не все приколы! А если, допустим, a = 0, b = -10? Тогда уже совсем какая-то ахинея получается:

0 = 10.

       Что весьма и весьма напрягает и подрывает завоёвываемое потом и кровью доверие к математике… Особенно на контрольных и экзаменах. А ведь из этих непонятных и странных равенств ещё и икс найти нужно! Которого нету вообще! И вот тут даже хорошо подготовленные ученики, порой, могут впасть, что называется, в ступор… Но не переживайте! В данном уроке все такие сюрпризы мы тоже рассмотрим. И икс из таких равенств тоже обязательно отыщем.) Причём этот самый икс ищется очень и очень просто. Да-да! Удивительно, но факт.)

       Ну хорошо, это понятно. Но как же можно узнать по внешнему виду задания, что перед нами именно линейное уравнение, а не какое-либо ещё? К сожалению, только по внешнему виду распознать тип уравнения возможно далеко не всегда. Дело всё в том, что линейными называются не только уравнения вида ax+b=0, но и любые другие уравнения, которые тождественными преобразованиями, так или иначе, сводятся к такому виду. А как тут узнаешь, сводится оно или нет? Пока пример почти не решишь – почти никак. Это огорчает. Но для некоторых типов уравнений можно при одном беглом взгляде сразу с уверенностью сказать, линейное оно или нет.

Для этого ещё разок обратимся к общей структуре любого линейного уравнения:

ax + b = 0

       Обратите внимание: в линейном уравнении всегда присутствует только переменная икс в первой степени и какие-то числа! И всё! Больше ничего. При этом нету иксов в квадрате, в кубе, под корнем, под логарифмом и прочей экзотики. И (что особенно важно!) нет дробей с иксом в знаменателях! А вот дроби с числами в знаменателях или деление на число – запросто!

Например:

       Это линейное уравнение. В уравнении присутствуют только иксы в первой степени да числа. И нету иксов в более высоких степенях – в квадрате, в кубе и так далее. Да, здесь есть дроби, но при этом в знаменателях дробей сидят только числа. А именно — двойка и тройка. Иными словами, в уравнении нету деления на икс.

       А вот уравнение

       

       уже нельзя назвать линейным, хотя здесь тоже присутствуют только числа и иксы в первой степени. Ибо, помимо всего прочего, здесь есть ещё и дроби с иксами в знаменателях. И после упрощений и преобразований такое уравнение может стать каким угодно: и линейным, и квадратным – всяким.

Как решать линейные уравнения? Примеры.

        Так как же решать линейные уравнения? Читайте дальше и удивляйтесь.) Всё решение линейных уравнений базируется всего на двух основных вещах. Перечислим их.

        1) Набор элементарных действий и правил математики.

        Это использование скобок, раскрытие скобок, работа с дробями, работа с отрицательными числами, таблица умножения и так далее. Эти знания и умения необходимы не только для решения линейных уравнений, а для всей математики вообще. И, если с этим проблемы, вспоминайте младшие классы. Иначе несладко вам придётся…

        2) Базовые тождественные преобразования уравнений.

        Их всего два. Да-да! Более того, эти самые базовые тождественные преобразования лежат в основе решения не только линейных, а вообще любых уравнений математики! Одним словом, решение любого другого уравнения – квадратного, логарифмического, тригонометрического, иррационального и т.д. – как правило, начинается с этих самых базовых преобразований. А вот решение именно линейных уравнений, собственно, на них же (преобразованиях) и заканчивается. Готовым ответом.) Так что не поленитесь и прогуляетесь по ссылке.) Тем более, что там линейные уравнения тоже детально разбираются.

        Что ж, я думаю, пора приступать к разбору примеров.

        Для начала, в качестве разминки, рассмотрим какую-нибудь элементарщину. Безо всяких дробей и прочих наворотов. Например, такое уравнение:

        х – 2 = 4 – 5х

        Это классическое линейное уравнение. Все иксы максимум в первой степени и деления на икс нигде нету. Схема решения в таких уравнениях всегда едина и проста до ужаса: все члены с иксами надо собрать слева, а все члены без иксов (т.е. числа) собрать справа. Вот и приступаем к сбору.

        Для этого запускаем в ход первое тождественное преобразование. Нам нужно перенести -5х влево, а -2 перенести вправо. Со сменой знака, ясное дело.) Вот и переносим:

        х + 5х = 4 + 2

        Ну вот. Полдела сделано: иксы собрали в кучку, числа – тоже. Теперь слева приводим подобные, а справа – считаем. Получаем:

        6х = 6

        Чего теперь нам не хватает для полного счастья? Да чтобы слева чистый икс остался! А шестёрка – мешает. Как от неё избавиться? Запускаем теперь второе тождественное преобразование – делим обе части уравнения на 6. И – вуаля! Ответ готов.)

        х = 1

        Разумеется, пример совсем примитивный. Чтобы общую идею уловить. Что ж, решим что-нибудь посущественнее. Например, разберём вот такое уравнение:

        Детально разберём.) Это тоже линейное уравнение, хотя, казалось бы, тут есть дроби. Но в дробях есть деление на двойку и есть деление на тройку, а вот деления на выражение с иксом – нету! Так что – решаем. Используя всё те же тождественные преобразования, да.)

        Что вначале делать будем? С иксами — влево, без иксов – вправо? В принципе, можно и так. Лететь в Сочи через Владивосток.) А можно пойти по кратчайшему пути, сразу воспользовавшись универсальным и мощным способом. Если знать тождественные преобразования, разумеется.)

        Для начала задаю ключевой вопрос: что вам сильнее всего бросается в глаза и больше всего не нравится в этом уравнении? 99 человек из 100 скажут: дроби! И будут правы.) Вот и избавимся сначала от них. Безопасно для самого уравнения.) Поэтому начнём сразу со второго тождественного преобразования – с домножения. На что надо помножить левую часть, чтобы знаменатель благополучно сократился? Правильно, на двойку. А правую часть? На тройку! Но… Математика – дама капризная. Она, понимаешь, требует умножать обе части только на одно и то же число! Каждую часть помножать на своё число – не катит… Что делать будем? Что-что… Искать компромисс. Чтобы и наши хотелки удовлетворить (избавиться от дробей) и математику не обидеть.) А помножим-ка обе части на шестёрку!) То есть, на общий знаменатель всех дробей, входящих в уравнение. Тогда одним махом и двойка сократится, и тройка!)

        Вот и домножаем. Всю левую часть и всю правую часть целиком! Посему используем скобочки. Вот так выглядит сама процедура:

        Теперь раскрываем эти самые скобочки:

        Теперь, представив 6 как 6/1, помножим шестёрку на каждую из дробей слева и справа. Это обычное умножение дробей, но, так уж и быть, распишу детально:

        

        

        А вот здесь – внимание! Числитель (х-3) я взял в скобки! Это всё потому, что при умножении дробей числитель умножается весь, целиком и полностью! И с выражением х-3 надо работать как с одной цельной конструкцией. А вот если вы запишете числитель вот так:

        6х – 3,

        то это будет ошибкой. Дальше можно уже не решать, да…

        Но у нас всё правильно и надо дорешивать. Что дальше делать? Раскрывать скобки в числителе слева? Ни в коем случае! Мы с вами домножали обе части на 6, чтобы от дробей избавиться, а не для того чтобы париться с раскрытием скобок. На данном этапе нам надо сократить наши дроби. С чувством глубокого удовлетворения сокращаем все знаменатели и получаем уравнение безо всяких дробей, в линеечку:

        3(х-3) + 6х = 30 – 4х

        А вот теперь и оставшиеся скобки можно раскрыть:

        3х – 9 + 6х = 30 – 4х

        Уравнение становится всё лучше и лучше! Вот теперь вновь вспоминаем про первое тождественное преобразование. С каменным лицом повторяем заклинание из младших классов: с иксами – влево, без иксов – вправо. И применяем это преобразование:

        3х + 6х + 4х = 30 + 9

        Приводим подобные слева и считаем справа:

        13х = 39

        Осталось поделить обе части на 13. То есть, вновь применить второе преобразование. Делим и получаем ответ:

        х = 3

        Готово дело. Как вы видите, в данном уравнении нам пришлось один раз применить первое преобразование (перенос слагаемых) и дважды – второе: в начале решения мы использовали домножение (на 6) с целью избавиться от дробей, а в конце решения использовали деление (на 13), чтобы избавиться от коэффициента перед иксом. И решение любого (да-да, любого!) линейного уравнения состоит из комбинации этих самых преобразований в той или иной последовательности. С чего именно начинать – от конкретного уравнения зависит. Где-то выгоднее начинать с переноса, а где-то (как в этом примере) – с домножения (или деления).

        Работаем от простого – к сложному. Рассмотрим теперь откровенную жесть. С кучей дробей и скобок. А я уж подскажу, как не надорваться.)

        Например, вот такое уравнение:

        Минуту смотрим на уравнение, ужасаемся, но всё-таки берём себя в руки! Основная проблема – с чего начинать? Можно сложить дроби в правой части. Можно выполнить вычитание дробей в скобках. Можно обе части на что-нибудь домножить. Или поделить… Так что же всё-таки можно? Ответ: всё можно! Ни одно из перечисленных действий математика не запрещает. И какую бы последовательность действий и преобразований вы бы ни выбрали, ответ получится всегда один – правильный. Если, конечно, на каком-то шаге не нарушить тождественность ваших преобразований и, тем самым, не наляпать ошибок…

        А, чтобы не наляпать ошибок, в таких навороченных примерах, как этот, всегда полезнее всего оценить его внешний вид и в уме прикинуть: что можно такое сделать в примере, чтобы максимально упростить его за один шаг?

        Вот и прикидываем. Слева стоят шестёрки в знаменателях. Лично мне они не нравятся, а убрать их очень легко. Домножу-ка я обе части уравнения на 6! Тогда шестёрки слева благополучно сократятся, дроби в скобках пока никуда не денутся. Ну и ничего страшного. С ними чуток позже расправимся.) А вот справа у нас сократятся знаменатели 2 и 3. Именно при этом действии (умножении на 6) у нас за один шаг достигаются максимальные упрощения!

        После умножения всё наше злое уравнение станет вот таким:

        Кто не понял, как именно получилось это уравнение, значит, вы плохо усвоили разбор предыдущего примера. А я старался, между прочим…

        Что дальше можно сделать? Дальше удобнее всего раскрыть все скобки справа. Причём правильно раскрыть, соблюдая основы! В правой части перед обеими скобками стоит знак плюс, поэтому все знаки при раскрытии сохраняются.

        Итак, раскрываем:

        Теперь самым логичным шагом было бы уединить дроби слева, а 5х отправить в правую часть. Заодно и подобные в правой части приведём. Получим:

        Уже гораздо лучше. Теперь левая часть сама собой подготовилась к умножению. На что надо домножить левую часть, чтобы сразу и пятёрка сократилась, и четвёрка? На 20! Но ещё у нас присутствуют минусы в обеих частях уравнения. Поэтому удобнее всего будет умножать обе части уравнения не на 20, а на -20. Тогда одним махом и минусы исчезнут, и дроби.

        Вот и умножаем:

        Кому до сих пор непонятен этот шаг – значит, проблемы не в уравнениях. Проблемы – в основах! Вновь вспоминаем золотое правило раскрытия скобок:

        Если число умножается на какое-то выражение в скобках, то это число надо последовательно умножить на каждое слагаемое этого самого выражения. При этом если число положительно, то знаки выражений после раскрытия сохраняются. Если отрицательно – меняются на противоположные:

         a(b+c) = ab+ac

         -a(b+c) = -ab-ac

         Минусы у нас исчезли после домножения обеих частей на -20. И теперь скобки с дробями слева мы умножаем на вполне себе положительное число 20. Стало быть, при раскрытии этих скобок все знаки, что были внутри них, сохраняются. А вот откуда взялись скобки в числителях дробей, я уже подробно объяснял в предыдущем примере.

А вот теперь дроби и сократить можно:

        4(3-5х)-5(3х-2) = 20

        Раскрываем оставшиеся скобки. Опять же, правильно раскрываем. Первые скобки умножаются на положительное число 4 и, стало быть, все знаки при их раскрытии сохраняются. А вот вторые скобки умножаются на отрицательное число -5 и, поэтому, все знаки меняются на противоположные:

        12 — 20х — 15х + 10 = 20

        Остались сущие пустяки. С иксами влево, без иксов – вправо:

        -20х – 15х = 20 – 10 – 12

        -35х = -2

        Вот почти и всё. Слева нужен чистый икс, а число -35 мешает. Вот и делим обе части на (-35). Напоминаю, что второе тождественное преобразование разрешает нам умножать и делить обе части на какое угодно число. В том числе и на отрицательное.) Лишь бы не на ноль! Смело делим и получаем ответ:

        x = 2/35

        На сей раз икс получился дробным. Ничего страшного. Такой уж пример.)

        Как мы видим, принцип решения линейных уравнений (даже самых накрученных) довольно простой: берём исходное уравнение и тождественными преобразованиями последовательно упрощаем его прямо до получения ответа. С соблюдением основ, разумеется! Главные проблемы здесь именно в несоблюдении основ (скажем, перед скобками стоит минус, а знаки при раскрытии поменять забыли), а также в банальной арифметике. Так что не пренебрегайте основами! Они – фундамент всей остальной математики!

 

Некоторые приколы при решении линейных уравнений. Или особые случаи.

        Всё бы ничего. Однако… Попадаются среди линейных уравнений и такие забавные перлы, которые в процессе их решения могут и в сильный ступор вогнать. Даже отличника.)

        Например, вот такое безобидное с виду уравнение:

        7х + 3 = 4х + 5 + 3х — 2

        Широко позёвывая и слегка скучая, собираем все иксы слева, а все числа справа:

        7х-4х-3х = 5-2-3

        Приводим подобные, считаем и получаем:

        0 = 0

        Вот-те раз! Выдал примерчик фокус! Само по себе это равенство возражений не вызывает: ноль действительно равен нулю. Но икс-то пропал! Бесследно! А мы обязаны записать в ответе, чему равен икс. Иначе решение не считается, да.) Что же делать?

        Без паники! В таких нестандартных случаях спасают самые общие понятия и принципы математики. Что такое уравнение? Как решать уравнения? Что значит решить уравнение?

        Решить уравнение – это значит, найти все значения переменной икс, которые при подстановке в исходное уравнение дадут нам верное равенство (тождество)!

        Но верное равенство у нас уже получилось! 0=0, вернее некуда!) Остаётся догадаться, при каких именно иксах у нас получается это равенство. Какие же такие иксы можно подставлять в исходное уравнение, если при подстановке все они всё равно посокращаются в полный ноль? Неужели ещё не догадались?

        Ну, конечно же! Иксы можно подставлять любые!!! Совершенно любые. Какие хотите, такие и подставляйте. Хоть 1, хоть -23, хоть 2,7 – какие угодно! Они всё равно сократятся и в результате останется чистая правда. Попробуйте, поподставляйте и убедитесь лично.)

        Вот вам и ответ:

        х – любое число.

        В научной записи это равенство пишется так:

        

        Читается эта запись так: «Икс – любое действительное число.»

        Или в другой форме, через промежутки:

        

        Как вам больше нравится, так и оформляйте. Это верный и совершенно полноценный ответ!

        А теперь я изменю в нашем исходном уравнении всего одно число. Вот такое уравнение теперь решим:

        7х + 2 = 4х + 5 + 3х – 2

        Опять переносим слагаемые, считаем и получаем:

        7х – 4х – 3х = 5 – 2 – 2

        0 = 1

        И как вам этот прикол? Было обычное линейное уравнение, а стало непонятное равенство

        0 = 1…

        Говоря научным языком, мы получили неверное равенство. А по-русски неправда это. Бред сивой кобылы. Ахинея.) Ибо ноль никак не равен единице!

        А теперь опять соображаем, какие же иксы при подстановке в исходное уравнение дадут нам верное равенство? Какие? А никакие! Какой икс ни подставляй, всё равно всё посокращается и останется лажа.)

        Вот и ответ: решений нет.

        В математической записи такой ответ оформляется вот так:

        

        Читается: «Икс принадлежит пустому множеству.»

        Такие ответы в математике тоже встречаются довольно часто: далеко не всегда у какого-либо уравнения имеются корни в принципе. Какие-то уравнения могут и вовсе не иметь корней. Совсем.

        Вот такие вот два сюрприза. Надеюсь, что теперь внезапная пропажа иксов в уравнении не поставит вас навечно в тупик. Дело вполне знакомое.)

        И тут слышу закономерный вопрос: а в ОГЭ или ЕГЭ они будут? На ЕГЭ сами по себе в качестве задания – нет. Слишком уж простенькие. А вот в ОГЭ или в текстовых задачках – запросто! Так что теперь – тренируемся и решаем:

        

        Ответы (в беспорядке): -2; -1; любое число; 2; нет решений; 7/13.

        Всё получилось? Отлично! У вас неплохие шансы на экзамене.

        Что-то не сходится? Гм… Печалька, конечно. Значит, где-то пока есть пробелы. Либо в основах, либо в тождественных преобразованиях. Либо же дело в банальной невнимательности. Перечитайте урок ещё раз. Ибо не та это тема, без которой можно вот так легко обойтись в математике…

        Удачи! Она вам обязательно улыбнётся, поверьте!)

        

abudnikov.ru

Как решать линейные уравнения?

Линейное уравнение – это алгебраическое уравнение, полная степень многочленов которого равна единице. Решение линейных уравнений – часть школьной программы, причем не самая сложная. Однако некоторые все же испытывают затруднения при прохождении данной темы. Надеемся, прочитав данный материал, все трудности для вас останутся в прошлом. Итак, давайте разбираться. как решать линейные уравнения.

Общий вид

Линейное уравнение представляется в виде:

• ax + b = 0, где a и b – любые числа.

Несмотря на то, что a и b могут быть любыми числами, их значения влияют на количество решений уравнение. Выделяют несколько частных случаев решения:

• Если a=b=0, уравнение имеет бесконечное множество решений;
• Если a=0, b≠0, уравнение не имеет решения;
• Если a≠0, b=0, уравнение имеет решение: x = 0.

В том случае, если оба числа имеют не нулевые значения, уравнение предстоит решить, чтобы вывести конечное выражения для переменной.

Как решать?

Решить линейное уравнение – значит, найти, чему равна переменная. Как же это сделать? Да очень просто – используя простые алгебраические операции и следуя правилам переноса. Если уравнение предстало перед вами в общем виде, вам повезло, все, что необходимо сделать:

1. Перенести b в правую сторону уравнения, не забыв изменить знак (правило переноса!), таким образом, из выражения вида ax + b = 0 должно получиться выражение вида: ax = -b.
2. Применить правило: чтобы найти один из множителей (x — в нашем случае), нужно произведение (-b в нашем случае) поделить на другой множитель (a — в нашем случае). Таким образом, должно получиться выражение вида: x = -b/а.

Вот и все – решение найдено!

Теперь давайте разберем на конкретном примере:

1. 2x + 4 = 0 – переносим b, равное в данном случае 4, в правую сторону
2. 2x = –4 – делим b на a (не забываем о знаке минус)
3. x = –4/2 = –2

Вот и все! Наше решение: x = –2.

Как видите, решение линейного уравнения с одной переменной найти довольно просто, однако так просто все, если нам повезло встретить уравнение в общем виде. В большинстве случаев, прежде чем решать уравнение в описанные выше две ступени, нужно еще привести имеющееся выражение к общему виду. Впрочем, это тоже не архисложная задача. Давайте разберем некоторые частные случаи на примерах.

Решение частных случаев

Во-первых, давайте разберем случаи, которые мы описали в начале статьи, и объясним, что же значит бесконечное множество решений и отсутствие решения.

• Если a=b=0, уравнение будет иметь вид: 0x + 0 = 0. Выполняя первый шаг, получаем: 0x = 0. Что значит эта бессмыслица, воскликните вы! Ведь какое число на ноль ни умножай, всегда получится ноль! Верно! Поэтому и говорят, что уравнение имеет бесконечное множество решений – какое число ни возьми, равенство будет верным, 0x = 0 или 0=0.
• Если a=0, b≠0, уравнение будет иметь вид: 0x + 3 = 0. Выполняем первый шаг, получаем 0x = -3. Снова бессмыслица! Очевидно же, что данное равенство никогда не будет верным! Потому и говорят – уравнение не имеет решений.
• Если a≠0, b=0, уравнение будет иметь вид: 3x + 0 = 0. Выполняя первый шаг, получаем: 3x = 0. Какое решение? Это легко, x = 0.

Трудности перевода

Описанные частные случаи – это не все, чем нас могут удивить линейный уравнения. Иногда уравнение вообще с первого взгляда трудно идентифицировать. Разберем пример:

Разве это линейное уравнение? А как же ноль в правой части? Торопиться с выводами не будем, будем действовать – перенесем все составляющие нашего уравнения в левую сторону. Получим:

• 12x – 2x – 14 – 6 = 0

Теперь вычтем подобное из подобного, получим:

Узнали? Самое что ни на есть линейное уравнение! Решение которого: x = 20/10 = 2.

А что если перед нами такой пример:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 – 3x/4)

Да, это тоже линейное уравнение, только преобразований нужно провести побольше. Сначала раскроем скобки:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 – 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 – 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 – 9x — теперь выполняем перенос:
4. 25x – 4 = 0 – осталось найти решение по уже известной схеме:
5. 25x = 4,
6. x = 4/25 = 0.16

Как видите, все решаемо, главное – не переживать, а действовать. Запомните, если в вашем уравнении только переменные первой степени и числа, перед вами линейное уравнение, которое, как бы оно ни выглядело изначально, можно привести к общему виду и решить. Надеемся, у вас все получится! Удачи!

Читайте также: Как решить квадратное уравнение.

elhow.ru

Однородное линейное уравнение — решите онлайн

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однородное уравнение — это уравнение, которое не изменяет свой вид при одновременном умножении всех/некоторых неизвестных на одно и то же произвольное число. Не знаете, как решать линейные уравнения данного вида? Все очень просто если вы этапы решения таких уравнений, которые мы наглядно рассмотрим на примере. И у вас определенно все получится. Все однородные уравнения решаются путем деления на одну из неизвестных в n степени с последующей заменой переменных.

Так же читайте нашу статью «Решить систему нелинейных уравнений онлайн»

Допустим, дано однородное уравнение такого вида:

\[ x^2-7xy+10y^2=0\]

Выполним деление на \[y^2:\]

\[\frac {x_2}{y_2}-\frac{7xy}{y^2}+\frac{10y^2}{y^2}=0\]

\[(\frac{x}{y})^2-7(\frac{x}{y})+10=0\]

Далее произведем замену \[t=\frac{x}{y}\] благодаря чему получим просто квадратное уравнение:

\[t^2-7t+10=0\]

Для решения этого квадратного уравнения применим теорему Виета:

\[\left[ \begin{array}{l}t_1+t_2=7\\t_1\cdot t_2=10\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t_1=2\\t_2=5\end{array}\right.\]

Выполнив обратную замену, получим наш результат решения данного уравнения:

\[\left[ \begin{array}{1}\frac{x}{y}=2\\ \frac{x}{y}=5 \end{array} \right.\]

Ответ: \[2;5.\]

Где можно решить онлайн линейное однородное уравнение?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто вdести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

Линейные уравнения, формулы и примеры

Линейные уравнения с одним неизвестным

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Линейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида

   

где называется неизвестным, числа и — коэффициентами уравнения (1).

Случай 1. Если коэффициент , тогда уравнение (1) имеет единственное решение, задающееся формулой

   

Случай 2. Если , а , то уравнение (1) корней не имеет: .

Случай 3. Если , , то уравнение (1) имеет бесконечно много решений: .

ПРИМЕР 1

Задание	Решить уравнение .
Решение	Преобразуем левую часть заданного уравнения, а именно раскроем скобки и сведем подобные:     В результате получили линейное уравнение с одним неизвестным, для которого коэффициенты , а тогда (случай 1)
Ответ

Линейные уравнения с двумя переменными

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Уравнением называется равенство двух алгебраических выражений, в состав которых входят переменные.

Линейным уравнением двух переменных называется уравнение вида

   

Линейное уравнение двух переменных можно представить

1. в общей форме

      

2. в канонической форме

      

3. в линейной форме

      

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Решением или корнями уравнения (2) называется такую пару значений переменных , которая обращает его в тождество. ПРИМЕР 2

Задание	Проверить, является ли пара чисел решением уравнения .
Решение	Подставим в уравнение вместо переменной заданное значение , а вместо — значение 0:     Получили неверное равенство, значит, делаем вывод, что не является решением рассматриваемого уравнения.
Ответ	Пара не является решением уравнения .

Таких решений линейное уравнение с двумя переменными (2) имеет бесконечное множество.

Геометрическим местом такого уравнения являются все точки прямой (рис. 1).

ru.solverbook.com