Иррациональные уравнения
О чем пойдет речь? Об уравнениях, которые содержат под знаком радикала функцию от переменной. Впрочем, знак радикала может быть заменен степенью с дробным показателем. Такие уравнения считают иррациональными.
Основные свойства иррациональных уравнений
1. Любой корень четной степени являются арифметическими, т.е. подкоренные выражения всегда неотрицательны и принимают только неотрицательные значения.
2. Любой корень нечетной степени определен при всех значениях подкоренного выражения и могут принимать любые значения.
3. Уравнение √(f(x)) = g(x) равносильно системе (здесь и далее под записью √(f(x)) будем понимать корень квадратный из выражения, стоящего в скобках):
{f(x) = (g(x))2,
{g(x) ≥ 0.
Какими способами можно решать иррациональные уравнения?
1. Возвести обе части уравнения в одну и ту же степень.
3. Способом умножения обеих частей на одинаковые выражения.
4. Применение свойств функций, входящих в уравнение.
Рассмотрим примеры уравнений, решаемых этими методами.
Пример 1.
Решить уравнение √(3х2 – 14х + 17) = 3 – 2х.
Решение.
Воспользуемся свойством 3 из выше перечисленных и получим систему:
{3х2 – 14х + 17 = (3 – 2х)2,
{3 – 2х ≥ 0.
Из первого уравнения получаем х2 + 2х – 8 = 0. Его корни: -4 и 2. Но неравенству нашей системы удовлетворяет лишь число -4.
Ответ: -4.
Возможен и другой путь решения этого уравнения. Не будем записывать систему. Забудем неравенство. Работаем только с уравнением. Но будем помнить, что возведение обеих частей уравнения в четную степень, приводит к уравнению-следствию. Оно наряду с корнями исходного уравнения может содержать и другие корни, которые называются посторонними. Поэтому после решения уравнения-следствия необходимо найти способ отсеять посторонние корни. Обычно это можно сделать при помощи проверки, которая в данном случае рассматривается как один из этапов решения.
Очевидно, что опять получим корни уравнения-следствия: -4 и 2. Проверка проводится путем подстановки в исходное уравнение √(3х2 – 14х + 17) = 3 – 2х.
Если х = -4, то получаем √121 = 11, что верно. При х = 2 получаем √1 = -1, что не верно и корень 2 отсеян.
Ответ: х = -4.
Пример 2.
Решить уравнение 3√(4х + 3) – 3√(х + 2) = 1
Решение.
Возведём обе части уравнения в третью степень
(3√(4х + 3) – 3√(х + 2))3 = 13.
Получим (4х + 3) – (х + 2) – 3(3
Или (4х + 3) – (х + 2) – 33√((4х + 3)(х + 2))(3√(4х + 3) – 3√(х + 2)) = 1.
Учитывая первоначальное условие, уравнение примет вид
(4х + 3) – (х + 2) – 33√((4х + 3)(х + 2)) = 1. Выполнив несложные преобразования, мы получим
3х – 33√((4х + 3)(х + 2)) = 0,
х = 3√((4х + 3)(х + 2)).
Для решения данного уравнения необходимо повторное возведение в куб.
Выполнив его, будем иметь
х3 = 4х2 + 11х + 6,
х3 – 4х2 – 11х – 6 = 0.
Способом подбора найдём один корень уравнения. Это число -1.
Разделив уголком многочлен х3 – 4х2 – 11х – 6 на х + 1 получим трёхчлен х2 – 5х – 6.
Корни уравнения х2 – 5х – 6 = 0 – числа: -1; 6.
Следовательно, корнями уравнения х 3 – 4х2 – 11х – 6 = 0 будут числа -1; 6.
Подставляя числа -1; 6 в первоначальное уравнение убедимся в том, что корень уравнения – число 6.
Ответ: 6.
Пример 3.
Решить уравнение х2 – х√(4x + 5) = 8х + 10
Решение.
Заметим, что 8х + 10 = 2(√(4x + 5))2. Проверкой убеждаемся, что х = 0 не является корнем данного уравнения. Значит, поделив на х2 обе части данного уравнения, получим ему равносильное:
1 – √(4x + 5)/х = 2(√(4x + 5)/х)2
Заменим √(4x + 5)/х = t и решим полученное квадратное уравнение 1 – t = 2t2.
Получим t1 = -1 и t2 = 1/2. Вернёмся к исходной переменной х и получим 2 уравнения
1) √(4x + 5)/х = -1,
2) √(4x + 5)/х = 1/2
Из первого уравнения х = -1. (х = 5 приходится отбросить после проверки).
Из второго -х = 8 ± 2√21. Для отсеивания посторонних корней здесь проще проанализировать условие, чем делать подстановку. Ведь уравнение легко преобразуется к виду √(4x + 5) = 0,5х, которое равносильно системе
{4х + 5 = 0,25х2,
{0,5х ≥ 0.
Теперь очевидно, что подходит х = 8 + 2√21. И общий
ответ: х = -1 и х = 8 + 2√21.
Пример 4.
Решить уравнение √(8х + 1) + √(3х – 5) = √(7х + 4) + √(2х – 2).
Решение.
Воспользуемся формулой √а + √b = (a – b) / (√а – √b), которая верна при a ≥ 0; b ≥ 0; a ≠ b.
С учетом ОДЗ (х ≥ 1 2/3 ) эту формулу можно применить к выражениям стоящим в левой и правой части уравнения.
И получим: (5х + 6) / (√(8х + 1) – √(3х – 5)) = (5х + 6) / (√(7х + 4) – √(2х – 2))
или (5х + 6)((√(8х + 1) – √(3х – 5)) – (√(7х + 4) – √(2х – 2)) = 0
Оно равнозначно совокупности 2 уравнений:
1) (5х + 6) = 0 и
2) √(8х + 1) – √(3х – 5) = √(7х + 4) – √(2х – 2)
Из первого получаем х = -1,2. Но это значение не входит в ОДЗ.
Сопоставим второе уравнение с исходным. При сложении этих уравнений получим:
2√(8х + 1) = 2√(7х + 4).
х = 3 .
Ответ: 3.
Невозможно описать все способы решения иррациональных уравнений в одной статье. Вряд ли вообще найдется источник с таким полным содержанием. Да он вам и не нужен. Для успешной подготовки к ЕГЭ, как и подготовки любого специалиста вообще, важно не запомнить теорию или методы и воспроизвести в аналогичных случаях, а, важнее, овладеть ими и применить в незнакомой ситуации. То есть некоторый базовый запас знаний надо научиться применять творчески. Тогда вы сами способны будете изобрести новые способы, то есть делать открытия.
Успехов вам. А своими находками делитесь с друзьями. Это можно сделать и через комментарии к статьям в блоге.
Остались вопросы? Не знаете, как решить иррациональное уравнение?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
blog.tutoronline.ru
как решать квадратное уравнение под корнем
Вы искали как решать квадратное уравнение под корнем? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и как решать корни уравнения, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «как решать квадратное уравнение под корнем».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как как решать квадратное уравнение под корнем,как решать корни уравнения,как решать под корнем квадратное уравнение,как решать уравнения корень уравнения,как решать уравнения с квадратным корнем,как решить корень уравнения,как решить уравнение с корнем квадратным,как решить уравнение х в квадрате х,как убрать корень из уравнения,квадратное уравнение под корнем,квадратное уравнение под корнем как решать,корень уравнения как решать,под корнем квадратное уравнение,решите корень уравнение,решите уравнение корень,решить уравнение с корнем квадратным,решить уравнение с корнями,уравнение с квадратным корнем,уравнение с корнем квадратным,уравнения с квадратным корнем,уравнения с квадратным корнем как решать,уравнения с квадратными корнями,уравнения с корнем 5,уравнения с корнями квадратными. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и как решать квадратное уравнение под корнем. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, как решать под корнем квадратное уравнение).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же как решать квадратное уравнение под корнем Онлайн?
Решить задачу как решать квадратное уравнение под корнем вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
www.pocketteacher.ru
уравнение с корнем 8
Вы искали уравнение с корнем 8? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и уравнения с корнем 8, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «уравнение с корнем 8».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как уравнение с корнем 8,уравнения с корнем 8. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и уравнение с корнем 8. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, уравнение с корнем 8).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же уравнение с корнем 8 Онлайн?
Решить задачу уравнение с корнем 8 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
www.pocketteacher.ru