2+6} \approx 13 + \frac{6}{2 \cdot 13} \approx 13,23 $

Пример решения иррационального уравнения с двумя корнями

Решить уравнение

Нам нужно решить иррациональное уравнение (см. что такое иррациональное уравнение). В его записи присутствуют два корня и еще одно слагаемое помимо них. Такие иррациональные уравнения очень характерны, для их решения обычно используется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Причем, для избавления от обоих радикалов к возведению обеих частей уравнения в степень придется прибегать два раза.

Напомним последовательность действий для решения иррациональных уравнений по методу возведения обеих частей в одну и ту же степень:

• Во-первых, переходим к более простому уравнению, для чего циклически выполняем следующие три действия:
  • Уединяем радикал.
  • Возводим обе части полученного уравнения в одну и ту же натуральную степень.
  • Упрощаем вид уравнения, полученного после возведения в степень.
• Во-вторых, решаем полученное уравнение.
• В-третьих, отсеиваем посторонние корни, если выше проводилось возведение в четную степень.

Начнем. Выполним тройку действий – уединение радикала, возведение в степень, упрощение вида – в первый раз.

Уединение радикала приводит нас к уравнению .

Так как степень уединенного корня равна двум, то возведем обе части уравнения во вторую степень: , что дальше позволит избавиться от уединенного радикала.

Теперь упростим вид полученного уравнения при помощи преобразования уравнений. В первую очередь, базируясь на определении корня, заменим выражение в левой части тождественно равным выражением x−6, и, учитывая формулу сокращенного умножения «квадрат разности», заменим выражение в правой части тождественно равными ему выражением .

Имеем . Продолжим упрощать вид уравнения. Вновь оттолкнемся от определения корня для замены выражения тождественно равным ему выражением x+2, а числовое выражение 2² заменим его значением четыре: . Дальнейшие преобразования не нуждаются в комментариях:

Очевидно, после первого прохода цикла мы освободились от одного корня, но остался еще один корень. Поэтому второй раз выполним указанную тройку действий – уединение радикала, возведение обеих частей уравнения в степень, упрощение выражения.

В уравнении уединять радикал не нужно, так как это уже сделано.

Для избавления от квадратного корня выполним возведение обеих частей уравнения в квадрат: .

Упрощаем вид полученного уравнения:
x+2=9,
x=7.

Так мы получили тривиальное уравнение. На этом первый этап решения по методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень завершен. Переходим ко второму этапу.

Второй этап – решение полученного уравнения – также можно считать завершенным, так как корень уравнения x=7 очевиден. Это число 7.

Остается третий этап решения – отсеивание посторонних корней. В нашем случае отсеивание обязательно, так как некоторые из проводимых выше преобразований могли привести к появлению посторонних корней. Действительно, мы дважды прибегали к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, а, как известно, такое преобразование может привести к появлению посторонних корней. Также в цепочке преобразований был переход от уравнения к уравнению x+2=9, при котором расширилась ОДЗ, что тоже могло привести к появлению посторонних корней. Так что проведем отсеивание посторонних корней. Сделаем это через

проверку подстановкой. Подставим найденный корень в иррациональное уравнение , имеем

Подстановка дала верное числовое равенство, значит, x=7 является искомым корнем.

На этом решение иррационального уравнения методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень завершено, оно потребовало двух возведений в степень для избавления от двух корней.

Приведем краткий вариант решения:

Задача на решение уравнения с корнем третьей степени — «Шпаргалка ЕГЭ»

Найдите корень уравнения:  .

Решение задачи

Данный урок показывает, как правильно решить уравнение, при условии, что неизвестная находится под конем третьей степени. Для получения привычного вида линейного уравнения необходимо возвести обе части равенства в куб. Это очень удобно еще и тем, что не следует находить область определения функции – ведь под кубическим корнем могут находиться как положительные, так и отрицательные числа. После возведения в степень, получим обычное линейное уравнение, решение которого можно свести к правилу: все значения с неизвестными переносим в левую часть, все числовые значения – в правую. После приведения подобных слагаемых слева и справа, находим значение неизвестной: делим значение, которое не содержит неизвестную на значение, которое находится рядом с неизвестной. Это и будет ответом.

Решение данной задачи рекомендовано для учащихся 7-х классов при изучении темы «Математический язык. Математическая модель» («Линейное уравнение с одной переменной», «Координатная прямая»). При подготовке к ЕГЭ урок рекомендован при повторении тем «Математический язык. Математическая модель». Для тех же, кто хочет более глубоко ознакомиться с методами решения уравнений различной сложности мы рекомендуем посетить ресурс morekursov.com. На сайте вы найдете более 1000 развивающих курсов по всем школьным дисциплинам. Важной отличительной особенностью сайта является то, что на нем есть опция скачать курсы бесплатно. 

Кроме этого, для решения уравнений рекомендуем воспользоваться нашим Онлайн Калькулятором. В нем в найдете громадное количество шаблонов для решения уравнений и систем уравнений.  «Онлайн калькулятор» — это инновационная разработка нашей команды, которая безустанно работает для облегчения вашего процесса обучения. Используя такой калькулятор, решение задач онлайн будет осуществляться быстро и легко, ведь он способен помочь значительно больше, чем вы ожидаете. Математика – это предмет, который легко дается к освоению далеко не каждому ребенку. Но теперь онлайн решение уравнений, неравенств и интегралов не будет вызывать у ученика панику и страх сложного задания, ведь ребенку будет необходимо запомнить суть решения, а сложные вычисления за него сделает наш онлайн калькулятор.

Урок 50. уравнения. часть 2 — Математика — 6 класс

Математика

6 класс

Урок №50

Уравнения.Часть 2

Перечень рассматриваемых вопросов:

– уравнения;

– корни уравнений.

Тезаурус

Уравнение – равенство содержащее букву, значение которой надо найти.

Решить уравнение – значит найти все его корни.

Корнем уравнения называют такое число, при подстановке которого в уравнение вместо неизвестного, получается верное числовое равенство.

Список литературы

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Как решаются уравнения? Чем уравнение отличается от буквенного выражения? На эти и другие вопросы, связанные с уравнениями, мы сегодня и будем отвечать.

Дадим определение уравнению. Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

Например, 2х – 5=17.

Решить уравнение – значит найти все его корни.

В нашем случае x=11.

Корнем уравнения называют такое число, при подстановке которого в уравнение вместо неизвестного, получается верное числовое равенство.

Подставим в уравнение корень

2 ∙ 11 – 5 = 17,

17 = 17.

Получается, что левая и правая части равны семнадцати.

При решении уравнений можно использовать следующие приёмы:

– переносить числа из одной части уравнения в другую, меняя их знак на противоположный.

– делить или умножать обе части уравнения на одно и тоже число отличное от нуля.

Решим уравнение:

2х + 7 = – 3х – 8.

Равенство не изменится, если к обеим частям уравнения прибавить по числу три икс:

2х + 3х + 7 = – 8.

Перенесём число 7 из левой части в правую часть уравнения с противоположным знаком:

2х + 3х = – 8 – 7.

Применим распределительный закон для правой части:

(2 + 3)х = – 8 – 7.

Упростим левую и правую части уравнения:

5х = – 15.

Равенство не изменится, если обе части уравнения разделить на 5:

x = – 15 : 5.

Корень уравнения:

х = – 3.

Ответ: х = – 3.

Проверка:

2х + 7 = – 3х – 8,

х = – 3,

2 ∙ (– 3) + 7 = – 3 ∙ (– 3) – 8,

– 6 + 7 = 9 – 8,

1 = 1.

Значит, корень уравнения найден верно.

Решим уравнение:

1/2 x+3=-8.

Перенесём число 3 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

Где используются уравнения?

Ответ на этот вопрос достаточно прост. Уравнения используются практически везде. В школе мы решаем с помощью уравнений текстовые задачи. В окружающем нас мире все природные и жизненные процессы протекают по определённым закономерностям, большинство из которых можно описать с помощью уравнений. Например, если нужно определить во сколько должен выехать автомобиль, чтобы прибыть вовремя из пункта А в пункт В, необходимо использовать уравнения движения. Для точного расчёта затрат и прибыли на предприятиях используют экономические уравнения.

В медицине для обработки данных ультразвуковых исследований организма тоже используются уравнения.

Итак, уравнения – это универсальный инструмент для решения самых разных прикладных задач.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1.Найдите корни уравнения.

2х – х – 5= – 18

Решение.

Перенесём – 5 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

2х – х= – 18 + 5.

Вычислим отдельно левую и правую части уравнения.

x= – 13.

Это и есть корень уравнения.

Ответ: х= – 13.

Тип 2. Будет ли являться корнем данного уравнения число 7?

x+6= 17 – 2х

Решение.

Чтобы выполнить данное задание нужно подставить число 7 вместо неизвестного х и проверить, будут лиравны правая и левая части уравнения. Если будут равны, то число является корнем уравнения, если правая и левая части уравнения не равны, то число не является корнем уравнения.

Получаем

7+6=17 – 2 • 7

13= 17 – 14

13 ≠ 3

Видно, что при подстановке в уравнение числа 7 верное равенство не получилось. Следовательно, число 7не является корнем уравнения.

решение иррациональных уравнений

Иррациональные уравнения, которые встречаются в задании В6 из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике имеют  такой вид:

Чтобы решить  уравнение такого вида, нужно возвести обе части уравнения в квадрат.

Внимание! Возведение в квадрат левой и правой частей уравнения может привести к появлению посторонних корней. Поэтому, после того, как корни уравнения будут найдены, нужно сделать проверку: подставить найденные решения в исходное уравнение и проверить, получим ли мы верное равенство.

Давайте рассмотрим примеры решения иррациональных уравнений из Задания В7.

1. Задание В6 (№ 26656)

Найдите корень уравнения 

Решение.

Возведем в квадрат правую и левую части уравнения:

Сделаем проверку. Для этого подставим число 3 в исходное уравнение:

— верно.

Ответ: 3

2.  Задание В6(№ 26656)

Найдите корень уравнения 

Решение.

Возведем в квадрат правую и левую части уравнения:

Перенесем дробь в левую часть уравнения и приведем к общему заменателю:

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не  равен нулю. Приравняем к нулю числитель:

Сделаем проверку:

 — верно

Ответ: 87.

3. Задание В6 (№ 26668)

Найдите корень уравнения .

Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Возведем в квадрат правую и левую части уравнения:

Получили квадратное уравнение. Решим его:

, 

Cделаем проверку:

— верно.

— верно.

Оба корня нас устраивают. В ответе требуется указать меньший корень.

Ответ: -9

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox или
Chrome

И. В. Фельдман, репетитор по математике.

Что такое линейное уравнение | Алгебра

Что такое линейное уравнение? Что называется корнем линейного уравнения? Сколько корней имеет линейное уравнение? Что значить решить линейное уравнение?

В курсе алгебры 7 класса линейное уравнение определяется следующим образом.

Определение.

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида ax=b, где a и b — числа, x — переменная.

Корнем линейного уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Например, корень уравнения 5x=40 равен 8, так как при x=8 это уравнение превращается в верное числовое равенство:

5∙8=40

40=40.

Количество корней линейного уравнения зависит от значения a (коэффициента перед x).

При a≠0 линейное уравнение имеет единственное решение.

Чтобы найти x, обе части уравнения нужно разделить на число, стоящее перед иксом:

   

   

Любое число можно разделить на 2, 5 и числа, которые могут быть представлены в виде произведения только двоек и пятёрок ( например, любое число можно разделить на 10, так как 10=2∙5; на 40, так как 40=2∙2∙2∙5).

В остальных случаях ответ записывают в виде обыкновенной дроби (если дробь неправильная, следует выделить из нее целую часть).

При a=0, b≠0 линейное уравнение

   

не имеет решений.

При любом значении x левая часть уравнения равна нулю, а правая — отлична от нуля. То есть нет ни одного значения x, при котором уравнение обратилось бы в верное числовое равенство.

При a=0, b=0 линейное уравнение

   

имеет бесконечное множество решений.

При любом значении x левая часть уравнения 0x=0 обращается в нуль, в правой части также стоит нуль. Значит, любое число является корнем этого уравнения, то есть, при любом значении x это уравнение обращается в верное числовое равенство.

Возможные решения линейных уравнений можно изобразить в виде схемы.

Решить линейное уравнение — значит, найти корень (корни) уравнения, либо убедиться, что уравнение не имеет корней.

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.

учимся решать методом уединения корня

1 октября 2013

Иррациональное уравнение — это любое уравнение, содержащее функцию под знаком корня. Например:

Такие уравнения всегда решаются в 3 шага:

1. Уединить корень. Другими словами, если слева от знака равенства помимо корня стоят другие числа или функции, все это надо перенести вправо, поменяв знак. Слева при этом должен остаться только радикал — без всяких коэффициентов.
2. 2. Возводим обе части уравнения в квадрат. При этом помним, что область значений корня — все неотрицательные числа. Следовательно, функция справа иррационального уравнения также должна быть неотрицательна: g(x) ≥ 0.
3. Третий шаг логично следует из второго: надо выполнить проверку. Дело в том, что на втором шаге у нас могли появиться лишние корни. И чтобы отсечь их, надо подставить полученные числа-кандидаты в исходное уравнение и проверить: действительно ли получается верное числовое равенство?

Решение иррационального уравнения

Разберемся с нашим иррациональным уравнением, данным в самом начале урока. Тут корень уже уединен: слева от знака равенства нет ничего, кроме корня. Возводим обе стороны в квадрат:

2x² − 14x + 13 = (5 − x)²
2x² − 14x + 13 = 25 − 10x + x²
x² − 4x − 12 = 0

Решаем полученное квадратное уравнение через дискриминант:

D = b² − 4ac = (−4)² − 4 · 1 · (−12) = 16 + 48 = 64
x₁ = 6; x₂ = −2

Осталось лишь подставить эти числа в исходное уравнение, т.е. выполнить проверку. Но и тут можно поступить грамотно, чтобы упростить итоговое решение.

Как упростить решение

Давайте подумаем: зачем вообще мы выполняем проверку в конце решения иррационального уравнения? Мы хотим убедиться, что при подстановке наших корней справа от знака равенства будет стоять неотрицательное число. Ведь мы уже точно знаем, что слева стоит именно неотрицательное число, потому что арифметический квадратный корень (из-за которого наше уравнение и носит название иррационального) по определению не может быть меньше нуля.

Следовательно, все, что нам надо проверить — это чтобы функция g(x) = 5 − x, которая стоит справа от знака равенства, была неотрицательной:

g(x) ≥ 0

Подставляем наши корни в эту функцию и получаем:

g(x₁) = g(6) = 5 − 6 = −1 < 0
g(x₂) = g(−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Из полученных значений следует, что корень x₁ = 6 нас не устраивает, поскольку при подстановке в правую часть исходного уравнения мы получаем отрицательное число. А вот корень x₂ = −2 нам вполне подходит, потому что:

1. Этот корень является решением квадратного уравнения, полученного в результате возведения обеих сторон иррационального уравнения в квадрат.
2. Правая сторона исходного иррационального уравнения при подстановке корня x₂ = −2 обращается в положительное число, т. е. область значений арифметического корня не нарушена.

Вот и весь алгоритм! Как видите, решать уравнения с радикалами не так уж и сложно. Главное — не забывать проверять полученные корни, иначе очень велика вероятность получить лишние ответы.

Смотрите также:

1. Как решать биквадратное уравнение
2. Как решать простейшие линейные уравнения? Рассмотрены все варианты: один корень, бесконечно много корней или корней нет вообще.
3. Радианная мера угла
4. Задачи B6 с монетами
5. Формула простого процента: как найти исходное значение
6. Сложная задача B14 на смеси и сплавы

2}\]

с \(a = y\) и \(b = \sqrt {y — 4} \). Вы должны быть в состоянии сделать это, потому что, хотя это, возможно, не сработало здесь, нам понадобится такая работа в следующем наборе задач.

В чем проблема? Хорошо помните, что смысл возведения в квадрат обеих сторон в первой задаче заключался в том, чтобы исключить квадратный корень. 2} — z — 2\\ & 0 = \left( {z — 2 } \right)\left( {z + 1} \right)\hspace{0.? 2\\ 4 — 2 & = 2\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{OK}}\end{align*}\]

Это тоже было решением.

Итак, в данном случае мы увидели пример, в котором оба возможных решения на самом деле также являются решениями исходного уравнения.

4.2: Решение уравнений с корнями

Результаты обучения

• Решите уравнения, содержащие квадратные корни.

Квадратные корни часто встречаются в курсе статистики, особенно когда речь идет о стандартных отклонениях и размерах выборки.В этом разделе мы узнаем, как найти переменную, когда эта переменная находится под знаком квадратного корня. Главное помнить, что квадрат квадратного корня — это то, что лежит внутри. Другими словами, возведение квадратного корня в квадрат отменяет квадратный корень.

Пример \(\PageIndex{1}\)

Решите следующее уравнение относительно \(x\).

\[2+\sqrt{x-3}\:=\:6 \номер\]

Раствор

Что делает эту задачу сложной, так это квадратный корень. 2 \номер \]

Так как квадрат и квадратный корень сокращаются, мы получаем:

\[x-3=16 \номер\]

Наконец, добавьте 3 с обеих сторон, чтобы получить:

\[х=19 \номер\]

Всегда полезно проверить свою работу. Мы делаем это, снова подключая ответ и проверяя, работает ли он. Подставляем \(x=19\), чтобы получить

\[ \begin{align*}2+\sqrt{19-3} &=2+\sqrt{16} \\[4pt] &=2+4 \\[4pt] &= 6 \end{align* }\]

Да, решение верное.

Пример \(\PageIndex{2}\)

Стандартное отклонение, \(\sigma_\hat p\), распределения выборки для пропорции следует формуле:

\[\sigma_\шляпа p=\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n}} \nonumber \]

Где \(p\) — доля населения, а \(n\) — размер выборки. Если доля генеральной совокупности составляет 0,24 и вам нужно, чтобы стандартное отклонение выборочного распределения было равно 0,03, то какой размер выборки вам нужен?

Раствор

Нам дано, что \(p=0. 24\) и \(\sigma_{\шляпа p} = 0,03 \)

Подключитесь, чтобы получить:

\[0.03=\sqrt{\frac{0.24\left(1-0.24\right)}{n}} \nonumber \]

Мы хотим найти \(n\), поэтому нам нужно \(n\) в левой части уравнения. Просто переключитесь, чтобы получить:

\[\ sqrt {\ frac {0,24 \ влево (1-0,24 \ вправо)} {n}} \: = \: 0,03 \ не число \]

Далее вычитаем:

\[1-0,24\:=\:0,76 \номер\]

И их умножить:

\[0,24\влево(0,76\вправо)=0,1824 \без числа \]

Это дает нам

\[\sqrt{\frac{0.2 \номер \]

Квадрат отменяет квадратный корень, а возведение правой части в квадрат дает:

\[\frac{0.1824}{n}\:=\:0.0009 \номер\]

Мы можем написать:

\[\frac{0,1824}{n}\:=\frac{\:0,0009}{1} \nonumber \]

Перемножить, чтобы получить:

\[0,0009\:n\:=\:0,1824 \номер\]

Наконец, разделите обе части на 0,0009:

\[n\:=\frac{\:0,1824}{0,0009}=202,66667 \номер\]

Округляем, и мы можем сделать вывод, что нам нужен размер выборки 203, чтобы получить стандартную ошибку, равную 0. 03. Мы можем проверить, разумно ли это, подставив \(n = 203\) обратно в уравнение. С помощью калькулятора получаем:

\[\sqrt{\frac{0,24\left(1-0,24\right)}{203}}\:=\:0,029975 \nonnumber \]

Поскольку это очень близко к 0,03, ответ разумен.

Упражнение

Стандартное отклонение \(\sigma_\bar x\) выборочного распределения для среднего значения следует формуле:

\[\sigma_\bar x=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \nonumber \]

Где \(\sigma\) — стандартное отклонение генеральной совокупности, а \(n\) — размер выборки.Если стандартное отклонение генеральной совокупности составляет 3,8, а стандартное отклонение выборочного распределения должно быть равно 0,5, то какой размер выборки вам нужен?

9.1 Решение квадратных уравнений с использованием свойства квадратного корня — средний уровень алгебры 2e

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Решение квадратных уравнений вида ax2=kax2=k с использованием свойства квадратного корня
• Решение квадратных уравнений вида a(x–h)2=ka(x–h)2=k с использованием свойства квадратного корня

Будьте готовы 9. 1

Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.

Упрощение: 128.128.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 8.13.

Будьте готовы 9.2

Упрощение: 325325.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 8.50.

Будьте готовы 9.3

Коэффициент: 9×2−12x+49×2−12x+4.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 6.23.

Квадратное уравнение представляет собой уравнение вида x ² + bx + c = 0, где a≠0a≠0.Квадратные уравнения отличаются от линейных уравнений наличием квадратного члена с переменной, возведенной во вторую степень формы x ² . Мы используем разные методы для решения квадратных уравнений, чем линейные уравнения, потому что простое сложение, вычитание, умножение и деление членов не изолирует переменную.

Мы видели, что некоторые квадратные уравнения можно решить с помощью факторизации. В этой главе мы изучим три других метода, которые можно использовать в случае, если квадратное уравнение нельзя разложить на множители.

Решение квадратных уравнений вида ax2=kax2=k с использованием свойства квадратного корня

Мы уже решили некоторые квадратные уравнения методом факторизации. Давайте рассмотрим, как мы использовали факторинг для решения квадратного уравнения x ² = 9,

.

	х2=9х2=9
Приведите уравнение к стандартной форме.	х2-9=0х2-9=0
Фактор разности квадратов.	(х-3)(х+3)=0(х-3)(х+3)=0
Использовать свойство нулевого продукта.	х-3=0х-3=0х-3=0х-3=0
Решите каждое уравнение.	х=3х=-3х=3х=-3

Мы можем легко использовать факторинг, чтобы найти решения подобных уравнений, таких как x ² = 16 и x ² = 25, потому что 16 и 25 являются полными квадратами. В каждом случае мы получили бы два решения: x=4,x=-4x=4,x=-4 и x=5,x=-5.x=5,x=-5.

Но что произойдет, если мы получим уравнение типа x ² = 7? Поскольку 7 не является полным квадратом, мы не можем решить уравнение с помощью факторизации.

Ранее мы узнали, что, поскольку 169 — это квадрат 13, мы также можем сказать, что 13 — это квадратный корень из 169. Кроме того, (−13) ² = 169, поэтому −13 также является квадратным корнем из 169. Следовательно, и 13, и -13 являются квадратными корнями из 169. Таким образом, каждое положительное число имеет два квадратных корня — положительный и отрицательный. Ранее мы определили квадратный корень числа следующим образом:

. Если n2=m, то это квадратный корень из m. Если n2=m, то это квадратный корень из m.

Поскольку все эти уравнения имеют форму x ² = k , определение квадратного корня говорит нам, что решения представляют собой два квадратных корня из k .Это приводит к свойству квадратного корня.

Свойство квадратного корня

Если х ² = к , то

х=korx=-korx=±k.x=korx=-korx=±k.

Обратите внимание, что свойство квадратного корня дает два решения уравнения формы x ² = k , главного квадратного корня из kk и его противоположности. Мы могли бы также записать решение как x=±k.x=±k. Мы читаем это как x равно положительному или отрицательному квадратному корню из k .

Теперь мы снова решим уравнение x ² = 9, на этот раз используя свойство квадратного корня.

	х2=9х2=9
Использование свойства квадратного корня.	х=±9х=±9
	х=±3х=±3
	Sox=3orx=−3.Sox=3orx=−3.

Что происходит, когда константа не является точным квадратом? Давайте воспользуемся свойством квадратного корня, чтобы решить уравнение x ² = 7.

	х2=7х2=7
Использование свойства квадратного корня.	х=7,х=-7х=7,х=-7

Мы не можем упростить 77, поэтому оставляем ответ радикальным.

Пример 9.1

Как решить квадратное уравнение вида

x ² = k Используя свойство квадратного корня

Решите: x2−50=0.x2−50=0.

Попробуйте 9.1

Решите: x2−48=0.х2−48=0.

Попробуйте 9.2

Решите: y2−27=0.y2−27=0.

Здесь перечислены шаги, необходимые для использования свойства Square Root для решения квадратного уравнения.

How To

Решите квадратное уравнение, используя свойство квадратного корня.

1. Шаг 1. Выделить квадратичный член и сделать его коэффициент равным единице.
2. Шаг 2. Используйте свойство квадратного корня.
3. Шаг 3. Упростите радикал.
4. Шаг 4. Проверьте решения.

Чтобы использовать свойство Square Root, коэффициент переменного члена должен быть равен единице. В следующем примере мы должны разделить обе части уравнения на коэффициент 3, прежде чем использовать свойство квадратного корня.

Пример 9.2

Решение

	3z2=1083z2=108
Квадратичный член изолирован. Разделите на 3, чтобы получить коэффициент 1.	3z23=10833z23=1083
Упрощение.	z2=36z2=36
Использование свойства квадратного корня.	г=±36г=±36
Упростите радикальное.	г=±6г=±6
Перепишите, чтобы показать два решения.	z=6,z=-6z=6,z=-6
Проверьте решения:

Свойство квадратного корня гласит: «Если x2=kx2=k», что произойдет, если k<0?k<0? Это будет иметь место в следующем примере.

Пример 9.3

Решение

	х2+72=0х2+72=0
Выделить квадратичный член.	х2=-72х2=-72
Использование свойства квадратного корня.	х=±-72х=±-72
Упростите, используя комплексные числа.	х=±72ix=±72i
Упростите радикальное.	х=±62ix=±62i
Перепишите, чтобы показать два решения.	х=62i,x=-62ix=62i,x=-62i
Проверьте решения:

Наш метод работает и тогда, когда в уравнении встречаются дроби, решаем как любое уравнение с дробями. В следующем примере мы сначала выделяем квадратичный член, а затем делаем коэффициент равным единице.

Пример 9.4

Решите: 23u2+5=17,23u2+5=17.

Попробуйте 9.7

Решите: 12×2+4=24,12×2+4=24.

Попробуйте 9.8

Решите: 34y2−3=18,34y2−3=18.

В решениях некоторых уравнений в радикалах могут быть дроби. Когда это происходит, мы должны рационализировать знаменатель.

Пример 9.5

Решите: 2×2−8=41,2×2−8=41.

Попробуйте 9.9

Решите: 5r2−2=34,5r2−2=34.

Попробуйте 9.10

Решите: 3t2+6=70.3t2+6=70.

Решение квадратных уравнений вида

a ( x − h ) ² = k Используя свойство квадратного корня

Мы также можем использовать свойство квадратного корня, чтобы решить уравнение формы a ( x − h ) ² = k . Обратите внимание, что квадратичный член x в исходной форме x ² = k заменен на ( x − h ).

Первый шаг, как и прежде, состоит в том, чтобы изолировать терм, у которого переменная возведена в квадрат. В данном случае бином возводится в квадрат. Как только бином будет выделен путем деления каждой стороны на коэффициент a , свойство квадратного корня можно использовать для ( x − h ) ² .

Пример 9.6

Решите: 4(y−7)2=48,4(y−7)2=48.

Решение

	4(у-7)2=484(у-7)2=48
Разделите обе части на коэффициент 4.	(у-7)2=12(у-7)2=12
Использование свойства квадратного корня в биноме	г-7=±12г-7=±12
Упростите радикальное.	г-7=±23г-7=±23
Решите для y.у.	у=7±23у=7±23
Перепишите, чтобы показать два решения.	у=7+23,у=7+23,у=7-23у=7-23
Чек:

Попробуйте 9.11

Решите: 3(a−3)2=54,3(a−3)2=54.

Попробуйте 9.12

Решите: 2(b+2)2=80,2(b+2)2=80.

Помните, что когда мы извлекаем квадратный корень из дроби, мы можем извлечь квадратный корень из числителя и знаменателя отдельно.

Пример 9.7

Решите: (x−13)2=59.(x−13)2=59.

Решение

	(х-13)2=59(х-13)2=59
Использование свойства квадратного корня.	х-13=±59х-13=±59
Перепишите радикал как часть квадратных корней.	х-13=±59х-13=±59
Упростите радикальное.	х-13=±53х-13=±53
Решите для xx.	х=13±53х=13±53
Перепишите, чтобы показать два решения.	х=13+53,х=13-53х=13+53,х=13-53
Чек: Мы оставляем вам чек.

Попробуйте 9.13

Решите: (x−12)2=54.(x−12)2=54.

Попробуйте 9.14

Решите: (y+34)2=716.(y+34)2=716.

Мы начнем решение следующего примера с выделения биномиального члена.

Пример 9.8

Решите: 2(x−2)2+3=57,2(x−2)2+3=57.

Решение

	2(х-2)2+3=572(х-2)2+3=57
Вычтите 3 из обеих частей, чтобы изолировать биномиальный член.	2(х-2)2=542(х-2)2=54
Разделите обе стороны на 2.	(х-2)2=27(х-2)2=27
Использование свойства квадратного корня.	х-2=±27х-2=±27
Упростите радикальное.	х-2=±33х-2=±33
Решите для xx.	х=2±33х=2±33
Перепишите, чтобы показать два решения.	х=2+33,х=2-33х=2+33,х=2-33
Чек: Мы оставляем вам чек.

Попробуйте 9. 15

Решите: 5(а-5)2+4=104,5(а-5)2+4=104.

Попробуйте 9.16

Решите: 3(b+3)2−8=88,3(b+3)2−8=88.

Иногда решения представляют собой комплексные числа.

Пример 9.9

Решите: (2x−3)2=−12.(2x−3)2=−12.

Решение

	(2x−3)2=−12(2x−3)2=−12
Использование свойства квадратного корня.	2x−3=±−122x−3=±−12
Упростите радикальное.	2x−3=±23i2x−3=±23i
Добавьте по 3 с обеих сторон.	2x=3±23i2x=3±23i
Разделите обе стороны на 2.	х=3±23i2x=3±23i2
Переписать в стандартной форме.	х=32±23i2x=32±23i2
Упрощение.	х=32±3ix=32±3i
Перепишите, чтобы показать два решения.	х=32+3i,x=32−3ix=32+3i,x=32−3i
Чек: Мы оставляем вам чек.

Попробуйте 9.17

Решите: (3r+4)2=−8.(3r+4)2=−8.

Попробуйте 9.18

Решите: (2t−8)2=−10.(2t−8)2=−10.

Левые части уравнений в следующих двух примерах, кажется, не имеют формы a ( x − h ) ² . Но они представляют собой совершенные квадратные трехчлены, поэтому мы приведем их к нужному нам виду.

Пример 9.10

Решите: 4n2+4n+1=16.4н2+4н+1=16.

Решение

Мы замечаем, что левая часть уравнения представляет собой совершенный квадратный трехчлен. Мы учтем это в первую очередь.

	4n2+4n+1=164n2+4n+1=16
Разложите на множители совершенный квадратный трехчлен.	(2n+1)2=16(2n+1)2=16
Использование свойства квадратного корня.	2n+1=±162n+1=±16
Упростите радикальное.	2n+1=±42n+1=±4
Решите для nn.	2n=-1±42n=-1±4
Разделите каждую сторону на 2.	2n2=-1±422n2=-1±42 n=-1±42n=-1±42
Перепишите, чтобы показать два решения.	n=-1+42n=-1+42, n=-1-42n=-1-42
Упростите каждое уравнение.	n=32n=32, n=-52n=-52
Чек:

Попробуйте 9. 19

Решите: 9м2-12м+4=25,9м2-12м+4=25.

Попробуйте 9.20

Решите: 16n2+40n+25=4,16n2+40n+25=4.

Раздел 9.1 Упражнения

Практика ведет к совершенству

Решение квадратных уравнений вида x ² = k Использование свойства квадратного корня

В следующих упражнениях решите каждое уравнение.

16.

23y2−8=−223y2−8=−2

Решение квадратных уравнений вида a ( x − h ) ² = k Использование свойства квадратного корня

В следующих упражнениях решите каждое уравнение.

30.

(т-56)2=1125(т-56)2=1125

31.

(а-7)2+5=55(а-7)2+5=55

32.

(б-1)2-9=39(б-1)2-9=39

33.

4(х+3)2-5=274(х+3)2-5=27

34.

5(х+3)2-7=685(х+3)2-7=68

35.

(5с+1)2=-27(5с+1)2=-27

36.

(8d−6)2=−24(8d−6)2=−24

37.

(4x−3)2+11=−17(4x−3)2+11=−17

38.

(2у+1)2-5=-23(2у+1)2-5=-23

43.

25×2−30x+9=3625×2−30x+9=36

45.

36×2−24x+4=8136×2−24x+4=81

46.

64×2+144x+81=2564×2+144x+81=25

Смешанная практика

В следующих упражнениях решите, используя свойство Square Root.

51.

9w2-24w+16=19w2-24w+16=1

59.

u2−14u+49=72u2−14u+49=72

61.

(м-4)2+3=15(м-4)2+3=15

62.

(n-7)2-8=64(n-7)2-8=64

68.

(у-4)2+10=9(у-4)2+10=9

Письменные упражнения

69.

Своими словами объясните свойство квадратного корня.

70.

Своими словами объясните, как использовать свойство квадратного корня для решения квадратного уравнения (x+2)2=16(x+2)2=16.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство выполнения целей этого раздела.

Выберите, как бы вы отреагировали на утверждение «Я могу решить квадратное уравнение вида a, умноженное на квадрат x минус h, равно k, используя свойство квадратного корня». «Уверенно», «с некоторой помощью» или «Нет, я не понимаю.

ⓑ Если большинство ваших чеков было:

…уверенно. Поздравляем! Вы достигли целей в этом разделе. Подумайте об учебных навыках, которые вы использовали, чтобы вы могли продолжать их использовать. Что вы сделали, чтобы обрести уверенность в своих способностях делать эти вещи? Быть конкретными.

…с некоторой помощью. Это нужно решать быстро, потому что темы, которые вы не осваиваете, становятся выбоинами на вашем пути к успеху. В математике каждая тема основывается на предыдущей работе. Прежде чем двигаться дальше, важно убедиться, что у вас есть прочная основа. Кого вы можете попросить о помощи? Ваши одноклассники и преподаватель являются хорошими источниками информации. Есть ли в кампусе место, где есть репетиторы по математике? Можно ли улучшить свои учебные навыки?

… нет — не понимаю! Это предупреждающий знак, и вы не должны его игнорировать. Вы должны немедленно обратиться за помощью, иначе вы быстро будете поражены. Как можно скорее обратитесь к инструктору, чтобы обсудить вашу ситуацию. Вместе вы можете придумать план, как получить необходимую вам помощь.

Решения или корни квадратных уравнений

Решения или корни квадратных уравнений

Рассмотрим квадратное уравнение

Вещественное число x будет называться решением или корнем, если оно удовлетворяет уравнению, то есть . Легко видеть, что корни — это точно точки пересечения x квадратичной функции , то есть пересечение графика квадратичной функции с осью x.

а<0	а>0

Пример 1: Найдите корни уравнения

Раствор. Это уравнение эквивалентно

Так как 1 имеет два квадратных корня, решения для этого уравнения

Пример 2: Найдите корни уравнения

Раствор. Этот пример несколько сложнее предыдущего, но мы посмотрим, как его реализовать в общем случае. Первое замечание, что у нас есть

Поэтому уравнение эквивалентно

что то же самое, что

Так как 3 имеет два квадратных корня, мы получаем

которые дают решения уравнения

Тогда мы можем задаться вопросом, можно ли любое квадратное уравнение свести к простейшие, описанные в предыдущих примерах.Ответ несколько сложнее, но он был известен очень давно (вавилонянам около 2000 г. до н. э.). Их идея основывалась главным образом на том, что число дополняет квадрат , что мы и сделали при решении второго примера.

[Алгебра] [Комплексные переменные] [Геометрия] [Тригонометрия] [Исчисление] [Дифференциальные уравнения] [Матричная алгебра] Домашняя страница S.O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.

Автор: Мохамед Амин Хамси

Copyright 1999-2022 MathMedics, LLC.Все права защищены.
Связаться с нами
Математика Медикс, ООО. — П.О. Box 12395 — Эль-Пасо, Техас 79913 — США
пользователей онлайн за последний час

Напишите квадратное уравнение, зная его решения

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
Сент-Луис, Миссури 63105

Или заполните форму ниже:

 

Узнайте, как решить уравнение, извлекая квадратный корень

Часть 1

В этом видео мы рассмотрим решение уравнений путем извлечения квадратного корня.

Например:
Если нам дано уравнение

, мы можем найти x, взяв квадратный корень из обеих частей.

Это оставит нам только x. Однако квадратный корень из 9 — это не просто 3. Он может быть положительным или отрицательным 3. Итак,

Если бы у нас было что-то более сложное, например

, то нам сначала пришлось бы получить само по себе. Итак, сначала добавьте 5 к обеим сторонам, чтобы изолировать . Теперь нам осталось. Затем извлеките квадратный корень из обеих сторон

.

Часть 2

В этом видео мы более подробно рассмотрим решение уравнений путем извлечения квадратного корня.
Например:
Если нам дано уравнение

, мы можем сначала извлечь квадратный корень из обеих частей.

Это оставит нас с

Затем вычтите 5 с обеих сторон и получите
и
Это приводит нас к окончательному ответу

Если бы у нас было что-то более сложное, например

, то нам сначала пришлось бы получить само по себе. Итак, сначала добавьте 3 к обеим сторонам, чтобы изолировать . Теперь нам осталось. Затем извлеките квадратный корень из обеих сторон


Вычтите 2 из обеих сторон

и
Итак,

Примеры решения уравнения путем извлечения квадратного корня

Пример 1

Каковы решения ?
Найдите квадратный корень из обеих частей.


Мы можем разбить это на:

Окончательный ответ:

Наши решения:
и

Пример 2

Каковы решения ?
Во-первых, давайте вычтем обе стороны


Затем найдем, извлекая квадратный корень из обеих сторон.




Итак, у нас есть два ответа:

и

Стенограмма видеоурока – часть 1

Давайте рассмотрим решение уравнений методом извлечения квадратных корней.

Если у нас есть это уравнение:

Чтобы найти значение , мы должны получить квадратный корень.

Сложность здесь заключается в извлечении квадратного корня из .

Потому что это не только положительно, но и отрицательно.

Итак, у нас есть два ответа:

и

Давайте посложнее.

Чтобы решить эту проблему, мы должны сначала уйти сами.

Итак, давайте избавимся, добавив обе части уравнения.

Итак, наши решения

{}

Также возможно, что мы получим тот, который не работает.

Так что остановимся на этом.

Наши окончательные ответы:

и

Давайте еще один

Мы можем написать разбить это на:

Я решил написать это, потому что квадратный корень возможен.

Итак, наш ответ

.

Наши решения:

и

Стенограмма видеоурока – Часть 2

Давайте более подробно рассмотрим решение квадратных уравнений путем извлечения квадратного корня.

Напомним:

Если у нас есть , чтобы решить эту

Таким образом, наш набор решений равен

.

{}

Мы могли бы использовать тот же метод, если бы у нас было

Вместо того, чтобы умножать, давайте просто возьмем квадратные корни из обеих частей.

Теперь давайте получим значение

Итак, у нас есть два ответа:

и

Наш набор решений

{}

Давайте посмотрим на это

Давайте сделаем то же самое

Итак, у нас есть

и

Наш набор решений

{}

Давайте составим другое уравнение, например

.

Чтобы решить эту проблему, мы должны сначала избавиться от.

Итак, у нас есть два ответа:

и

Наш набор решений

{}

Давайте посмотрим на это

Давайте посмотрим, что произойдет, когда мы решим этот

Так как мы не можем получить квадратный корень из , оставим его как:

Затем изолировать

Это уже могут быть наши ответы. 2 — (альфа+бета)х + альфа бета = 0`

Давайте используем эти результаты для решения нескольких задач.2 — 2xx(-2,5) = 17,25`.

(d) Складываем наши дроби «1/альфа + 1/бета» следующим образом:

`1/альфа + 1/бета = (бета + альфа)/(альфа-бета) = (альфа + бета)/(альфа-бета)`

Мы знаем сумму (вверху) и произведение (внизу), поэтому можем просто написать:

`1/альфа + 1/бета = (альфа + бета)/(альфа-бета) = 3,5/(-2,5) = -1,4`

Пример 2

Найдите квадратное уравнение с корнями α и β , зная α − β = 2 и α ² − β 2 ^2.

Ответить

Составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными, чтобы найти «альфа» и «бета».

Вспоминая формулу разности квадратов, имеем

α ² − β ² = ( α + β )( α − β 90

)

Из вопроса мы знаем, что α ² − β ² = 3, так что это дает нам:

3 = ( α + β ) ( α − β )

Вопрос говорит α − β = 2, что мы можем подставить в правую часть, получив:

3 = 2( α + β )

Это дает:

`(альфа + бета) = 3/2`

Снова используя α − β = 2, мы добавляем его к строке выше, что дает:

`2 альфа = 3/2 + 2 = 7/2`

Итак, `альфа = 7/4`

Так как `(альфа + бета) = 3/2`, то `бета = 3/2 — альфа`, что дает нам `бета = -1/4`.