Урок 11. равенство. неравенство. знаки «>», «

Математика, 1 класс

Урок 11. Равенство. Неравенство. Знаки «>», «<», «=»

Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:

1. Определять место знаков больше, меньше, равно

2. Писать знаки >,<,=

3. Называть равенство, неравенство.

Глоссарий

Равенство – это когда одно количество равно другому.

Неравенство – это когда одна сторона выражения не равна второй.

Если носик галочки смотрит направо — это знак больше (>).

Если носик галочки смотри налево – это знак меньше (<).

Знак равенства (=) в математике, в логике и других точных науках — символ, который пишется между двумя одинаковыми по своему значению выражениями.

Ключевые слова

Знак >; знак <; знак =

Основная литература:

1.Моро М. И., Волкова С. И., Степанова С.

В. Математика. Учебник. 1 кл. В 2 ч. М.: Просвещение, 2017.

Дополнительная литература:

1. Моро М. И., Волкова С. И. Математика. Рабочая тетрадь. 1 кл. В 2 ч. пособие для общеобразовательных организаций. — М.: Просвещение, 201 с.

Основное содержание урока

1. Сегодня мы отправляемся в магазин, чтобы купить Оле и Ане к уроку технологии все учебные принадлежности.

Для урока понадобится 1 пачка пластилина и две пачки картона.

По сколько пачек пластилина получили девочки? ( по одной пачке)

Можно сказать, что девочки получили одинаковое количество пластилина.

2. Для технологии необходимо две пачки картона.

По сколько пачек картона получили девочки? (по две пачки)

Можно сказать, что девочки получили одинаковое количество картона.

3. В математике используется специальный значок, чтобы записать, что число предметов одинаковое.

Можно записать цифрами и использовать для слов «одинаково», «равно» специальный значок «=»,1 = 1

=

2 = 2 (аналогично)

Две палочки напишут дети,

И что получится в ответе,

Ведь каждый выучил давно,

Как пишется тот знак: РАВНО!

Такие записи называются равенствами.

Это равенства. Записать равенства можно с помощью знака «=».

Докажем, что одинаковое количество предметов с помощью стрелочек образует пары.

На схеме каждый предмет обозначим кружочком и образуем пары. Покажем стрелочкой.

Оля Аня

Лишних фигур не осталось. Значит, поровну, одинаково.

Можно записать 1 = 1

6. 2 + 1 = 3

Как можно прочитать эту запись?

(Числовое равенство)

Под этим высказыванием понимают два числовых выражения, которые стоят по обе стороны от знака « =».

Обе части записи равны между собой.

1. В каком количестве нужно было для урока картона? А пластилина?

Чтобы узнать, каких предметов потребовалось больше или меньше, используют специальные значки «>», « <».

Если с какой- то стороны больше или меньше, то запись будет называться «неравенство».

Два больше одного.

Картон Пластилин

Если слева больше число, чем справа, то используют знак «>».

2 > 1

1. А если число слева меньше, чем справа, то ставим знак меньше «<».

1 < 2

1. Такие записи называются неравенства:

4 > 3, 4 < 5

Разбор типового тренировочного задания

Выберите нужный знак и распределите на две группы.

Дополните каждую группу своими записями.

6 (=, >, <) 9

1 (=, >, <) 3

2 (=, >, <) 2

3 (=, >, <) 3

Правильный ответ:

Равенства: 2 = 2, 3 = 3

Неравенства: 6 < 9, 1 < 3

Общие сведения о неравенствах

Данный материал может показаться сложным для понимания. Рекомендуется изучать его маленькими частями.

Предварительные навыки

Определения и свойства

Неравенством мы будем называть два числовых или буквенных выражения, соединенных знаками >, <, ≥, ≤ или ≠.

Пример: 5 > 3

Данное неравенство говорит о том, что число 5 больше, чем число 3. Острый угол знака неравенства должен быть направлен в сторону меньшего числа. Это неравенство является верным, поскольку 5 больше, чем 3.

Если на левую чашу весов положить арбуз массой 5 кг, а на правую — арбуз массой 3 кг, то левая чаша перевесит правую, и экран весов покажет, что левая чаша тяжелее правой:

Если 5 > 3, то 3 < 5. То есть левую и правую часть неравенства можно поменять местами, изменив знак неравенства на противоположный. В ситуации с весами: большой арбуз можно положить на правую чашу, а маленький арбуз на левую. Тогда правая чаша перевесит левую, и экран покажет знак

<

Если в неравенстве 5 > 3, не трогая левую и правую часть, поменять знак на <, то получится неравенство 5 < 3. Это неравенство не является верным, поскольку число 3 не может быть больше числа 5.

Числа, которые располагаются в левой и правой части неравенства, будем называть членами этого неравенства. Например, в неравенстве 5 > 3 членами являются числа 5 и 3.

Рассмотрим некоторые важные свойства для неравенства 5 > 3.
В будущем эти свойства будут работать и для других неравенств.

Свойство 1.

Если к левой и правой части неравенства 5 > 3 прибавить или вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится.

Например, прибавим к обеим частям неравенства число 4. Тогда получим:

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Теперь попробуем вычесть из обеих частей неравенства 5 > 3 какое-нибудь число, скажем число 2

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Из данного свойства следует, что любой член неравенства можно перенести из одной части в другую часть, изменив знак этого члена. Знак неравенства при этом не изменится.

Например, перенесём в неравенстве 5 > 3, член 5 из левой части в правую часть, изменив знак этого члена. После переноса члена 5 в правую часть, в левой части ничего не останется, поэтому запишем там 0

0 > 3 − 5

0 > −2

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

---

Свойство 2.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.

Например, умножим обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь положительное число, скажем на число 2. Тогда получим:

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Теперь попробуем разделить обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь число. Разделим их на 2

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Свойство 3.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Например, умножим обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь отрицательное число, скажем на число −2. Тогда получим:

Видим, что левая часть стала меньше правой. То есть знак неравенства изменился на противоположный.

Теперь попробуем разделить обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь отрицательное число. Давайте разделим их на −1

Видим, что левая часть стала меньше правой. То есть знак неравенства изменился на противоположный.

Само по себе неравенство можно понимать, как некоторое условие. Если условие выполняется, то неравенство является верным. И наоборот, если условие не выполняется, то неравенство не верно.

Например, чтобы ответить на вопрос является ли верным неравенство 7 > 3, нужно проверить выполняется ли условие «больше ли 7, чем 3». Мы знаем, что число 7 больше, чем число 3. То есть условие выполнено, а значит и неравенство 7 > 3 верно.

Неравенство 8 < 6 не является верным, поскольку не выполняется условие «8 меньше, чем 6».

Другим способом определения верности неравенства является составление разности из левой и правой части данного неравенства. Если разность положительна, то левая часть больше правой части.

И наоборот, если разность отрицательна, то левая часть меньше правой части. Более точно это правило выглядит следующим образом:

Число a больше числа b, если разность a − b положительна. Число a меньше числа b, если разность a − b отрицательна.

Например, мы выяснили, что неравенство 7 > 3 является верным, поскольку число 7 больше, чем число 3. Докажем это с помощью правила, приведённого выше.

Составим разность из членов 7 и 3. Тогда получим 7 − 3 = 4. Согласно правилу, число 7 будет больше числа 3, если разность 7 − 3 окажется положительной. У нас она равна 4, то есть разность положительна. А значит число 7 больше числа 3.

Проверим с помощью разности верно ли неравенство 3 < 4. Составим разность, получим 3 − 4 = −1. Согласно правилу, число 3 будет меньше числа 4, если разность 3 − 4 окажется отрицательной. У нас она равна −1, то есть разность отрицательна. А значит число 3 меньше числа 4.

Проверим верно ли неравенство 5 > 8. Составим разность, получим 5 − 8 = −3. Согласно правилу, число 5 будет больше числа 8, если разность 5 − 8 окажется положительной. У нас разность равна −3, то есть она не является положительной. А значит число 5 не больше числа 8. Иными словами, неравенство 5 > 8 не является верным.

---

Строгие и нестрогие неравенства

Неравенства, содержащие знаки >, < называют строгими. А неравенства, содержащие знаки ≥, ≤  называют нестрогими.

Примеры строгих неравенства мы рассматривали ранее. Таковыми являются неравенства 5 > 3, 7 < 9.

Нестрогим, например, является неравенство 2 ≤ 5. Данное неравенство читают следующим образом:

«2 меньше или равно 5».

Запись 2 ≤ 5 является неполной. Полная запись этого неравенства выглядит следующим образом:

2 < 5 или 2 = 5

Тогда становится очевидным, что неравенство 2 ≤ 5 состоит из двух условий: «два меньше пять» и «два равно пять».

Нестрогое неравенство верно в том случае, если выполняется хотя бы одно из его условий. В нашем примере верным является условие «2 меньше 5». Значит и само неравенство 2 ≤ 5 верно.

Пример 2. Неравенство 2 ≤ 2 является верным, поскольку выполняется одно из его условий, а именно 2 = 2.

Пример 3. Неравенство 5 ≤ 2 не является верным, поскольку не выполняется ни одно из его условий: ни 5 < 2 ни 5 = 2.

---

Двойное неравенство

Число 3 больше, чем число 2 и меньше, чем число 4. В виде неравенства это высказывание можно записать так: 2 < 3 < 4. Такое неравенство называют двойным.

Двойное неравенство может содержать знаки нестрогих неравенств. К примеру, если число 5 больше или равно, чем число 2, и меньше или равно, чем число 7, то можно записать, что 2 ≤ 5 ≤ 7

Чтобы правильно записать двойное неравенство, сначала записывают член находящийся в середине, затем член находящийся слева, затем член находящийся справа.

Например, запишем, что число 6 больше, чем число 4, и меньше, чем число 9.

Сначала записываем 6

Слева записываем, что это число больше, чем число 4

Справа записываем, что число 6 меньше, чем число 9

---

Неравенство с переменной

Неравенство, как и равенство может содержать переменную.

Например, неравенство x > 2 содержит переменную x. Обычно такое неравенство нужно решить, то есть выяснить при каких значениях x данное неравенство становится верным.

Решить неравенство означает найти такие значения переменной x, при которых данное неравенство становится верным.

Значение переменной, при котором неравенство становится верным, называется решением неравенства.

Неравенство x > 2 становится верным при x = 3, x = 4, x = 5, x = 6 и так далее до бесконечности. Видим, что это неравенство имеет не одно решение, а множество решений.

Другими словами, решением неравенства x > 2 является множество всех чисел, бóльших 2. При этих числах неравенство будет верным. Примеры:

3 > 2

4 > 2

5 > 2

Число 2, располагающееся в правой части неравенства x > 2, будем называть границей данного неравенства. В зависимости от знака неравенства, граница может принадлежать множеству решений неравенства либо не принадлежать ему.

В нашем примере граница неравенства не принадлежит множеству решений, поскольку при подстановке числа 2 в неравенство x > 2 получается не верное неравенство 2 > 2. Число 2 не может быть больше самого себя, поскольку оно равно самому себе (2 = 2).

Неравенство x > 2 является строгим. Его можно прочитать так: «x строго больше 2″. То есть все значения, принимаемые переменной x должны быть строго больше 2. В противном случае, неравенство верным не будет.

Если бы нам было дано нестрогое неравенство x ≥ 2, то решениями данного неравенства были бы все числа, которые больше 2, в том числе и само число 2. В этом неравенстве граница 2 принадлежит множеству решений неравенства, поскольку при подстановке числа 2 в неравенство x ≥ 2 получается верное неравенство 2 ≥ 2. Ранее было сказано, что нестрогое неравенство является верным, если выполняется хотя бы одно из его условий. В неравенстве 2 ≥ 2 выполняется условие 2 = 2, поэтому и само неравенство 2 ≥ 2 верно.

---

Как решать неравенства

Процесс решения неравенств во многом схож с процессом решения уравнений. При решении неравенств мы будем применять свойства, которые изучили вначале данного урока, такие как: перенос слагаемых из одной части неравенства в другую часть, меняя знак; умножение (или деление) обеих частей неравенства на одно и то же число.

Эти свойства позволяют получить неравенство, которое равносильно исходному. Равносильными называют неравенства, решения которых совпадают.

Решая уравнения мы выполняли тождественные преобразования до тех пор, пока в левой части уравнения не оставалась переменная, а в правой части значение этой переменной (например: x = 2, x = 5). Иными словами, заменяли исходное уравнение на равносильное ему уравнение до тех пор, пока не получалось уравнение вида x = a, где a значение переменной x. В зависимости от уравнения, корней могло быть один, два, бесконечное множество, либо не быть совсем.

А при решении неравенств мы будем заменять исходное неравенство на равносильное ему неравенство до тех пор, пока в левой части не останется переменная этого неравенства, а в правой части его граница.

Пример 1. Решить неравенство 2x > 6

Итак, нужно найти такие значения x, при подстановке которых в 2x > 6 получится верное неравенство.

Вначале данного урока было сказано, что если обе части неравенства разделить на какое-нибудь положительное число, то знак неравенства не изменится. Если применить это свойство к неравенству, содержащему переменную, то получится неравенство равносильное исходному.

В нашем случае, если мы разделим обе части неравенства 2x > 6 на какое-нибудь положительное число, то получится неравенство, которое равносильно исходному неравенству 2x > 6.  

Итак, разделим обе части неравенства на 2.

В левой части осталась переменная x, а правая часть стала равна 3. Получилось равносильное неравенство x > 3. На этом решение завершается, поскольку в левой части осталась переменная, а в правой части граница неравенства.

Теперь можно сделать вывод, что решениями неравенства x > 3 являются все числа, которые больше 3. Это числа 4, 5, 6, 7 и так далее до бесконечности. При этих значениях неравенство x > 3 будет верным.

4 > 3

5 > 3

6 > 3

7 > 3

Отметим, что неравенство x > 3 является строгим. «Переменная x строго больше трёх».

А поскольку неравенство x > 3 равносильно исходному неравенству 2x > 6, то их решения будут совпадать. Иначе говоря, значения, которые подходят неравенству x > 3, будут подходить и неравенству 2x > 6. Покажем это.

Возьмём, например, число 5 и подставим его сначала в полученное нами равносильное неравенство x > 3, а потом в исходное 2x > 6.

Видим, что в обоих случаях получается верное неравенство.

После того, как неравенство решено, ответ нужно записать в виде так называемого числового промежутка следующим образом:

В этом выражении говорится, что значения, принимаемые переменной x, принадлежат числовому промежутку от трёх до плюс бесконечности.

Иначе говоря, все числа, начиная от трёх до плюс бесконечности являются решениями неравенства x > 3. Знак ∞ в математике означает бесконечность.

Учитывая, что понятие числового промежутка очень важно, остановимся на нём подробнее.

---

Числовые промежутки

Числовым промежутком называют множество чисел на координатной прямой, которое может быть описано с помощью неравенства.

Допустим, мы хотим изобразить на координатной прямой множество чисел от 2 до 8. Для этого сначала на координатной прямой отмечаем точки с координатами 2 и 8, а затем выделяем штрихами ту область, которая располагается между координатами 2 и 8. Эти штрихи будут играть роль чисел, располагающихся между числами 2 и 8

Числа 2 и 8 назовём границами числового промежутка. Рисуя числовой промежуток, точки для его границ изображают не в виде точек как таковых, а в виде кружков, которые можно разглядеть.

Границы могут принадлежать числовому промежутку либо не принадлежать ему.

Если границы не принадлежат числовому промежутку, то они изображаются на координатной прямой в виде пустых кружков.

Если границы принадлежат числовому промежутку, то кружки необходимо закрасить.

На нашем рисунке кружки были оставлены пустыми. Это означало, что границы 2 и 8 не принадлежат числовому промежутку. Значит в наш числовой промежуток будут входить все числа от 2 до 8, кроме чисел 2 и 8.

Если мы хотим включить границы 2 и 8 в числовой промежуток, то кружки необходимо закрасить:

В данном случае в числовой промежуток будут входить все числа от 2 до 8, включая числа 2 и 8.

На письме числовой промежуток обозначается указанием его границ с помощью круглых или квадратных скобок.

Если границы не принадлежат числовому промежутку, то границы обрамляются круглыми скобками.

Если границы принадлежат числовому промежутку, то границы обрамляются квадратными скобками.

На рисунке представлено два числовых промежутка от 2 до 8 с соответствующими обозначениями:

На первом рисунке числовой промежуток обозначен с помощью круглых скобок, поскольку границы 2 и 8 не принадлежат этому числовому промежутку.

На втором рисунке числовой промежуток обозначен с помощью квадратных скобок, поскольку границы 2 и 8 принадлежат этому числовому промежутку.

С помощью числовых промежутков можно записывать ответы к неравенствам. Например, ответ к двойному неравенству 2 ≤ x ≤ 8 записывается так:

x ∈ [ 2 ; 8 ]

То есть сначала записывают переменную, входящую в неравенство, затем с помощью знака принадлежности ∈ указывают к какому числовому промежутку принадлежат значения этой переменной. В данном случае выражение x ∈ [ 2 ; 8 ] указывает на то, что переменная x, входящая в неравенство 2 ≤ x ≤ 8, принимает все значения в промежутке от 2 до 8 включительно. При этих значениях неравенство будет верным.

Обратим внимание на то, что ответ записан с помощью квадратных скобок, поскольку границы неравенства 2 ≤ x ≤ 8, а именно числа 2 и 8 принадлежат множеству решений этого неравенства.

Множество решений неравенства 2 ≤ x ≤ 8 также можно изобразить с помощью координатной прямой:

Здесь границы числового промежутка 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ x ≤ 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 ≤ x ≤ 8.

В некоторых источниках границы, которые не принадлежат числовому промежутку, называют открытыми.

Открытыми их называют по той причине, что числовой промежуток остаётся открытым из-за того, что его границы не принадлежат этому числовому промежутку. Пустой кружок на координатной прямой математики называют выколотой точкой. Выколоть точку значит исключить её из числового промежутка или из множества решений неравенства.

А в случае, когда границы принадлежат числовому промежутку, их называют закрытыми (или замкнутыми), поскольку такие границы закрывают (замыкают) собой числовой промежуток. Закрашенный кружок на координатной прямой также говорит о закрытости границ.

Существуют разновидности числовых промежутков. Рассмотрим каждый из них.

Числовой луч

Числовым лучом называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x ≥ a, где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства.

Пусть a = 3. Тогда неравенство x ≥ a примет вид x ≥ 3. Решениями данного неравенства являются все числа, которые больше 3, включая само число 3.

Изобразим числовой луч, заданный неравенством x ≥ 3, на координатной прямой. Для этого отметим на ней точку с координатой 3, а всю оставшуюся справа от неё область выделим штрихами. Выделяется именно правая часть, поскольку решениями неравенства x ≥ 3 являются числа, бóльшие 3. А бóльшие числа на координатной прямой располагаются правее

Здесь точка 3 соответствует границе неравенства x ≥ 3, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства x ≥ 3.

Точка 3, являющаяся границей числового луча, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку граница неравенства x ≥ 3 принадлежит множеству его решений.

На письме числовой луч, заданный неравенством x ≥ a, обозначается следующим образом:

[ a ; +∞ )

Видно, что с одной стороны граница обрамлена квадратной скобкой, а с другой круглой. Это связано с тем, что одна граница числового луча принадлежит ему, а другая нет, поскольку бесконечность сама по себе границ не имеет и подразумевается, что по ту сторону нет числа, замыкающего этот числовой луч.

Учитывая то, что одна из границ числового луча закрыта, данный промежуток часто называют закрытым числовым лучом.

Запишем ответ к неравенству x ≥ 3 с помощью обозначения числового луча. У нас переменная a равна 3

x ∈  [ 3 ; +∞ )

В этом выражении говорится, что переменная x, входящая в неравенство x ≥ 3, принимает все значения от 3 до плюс бесконечности.

Иначе говоря, все числа от 3 до плюс бесконечности, являются решениями неравенства x ≥ 3. Граница 3 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x ≥ 3 является нестрогим.

Закрытым числовым лучом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x ≤ a. Решениями неравенства x ≤ a являются все числа, которые меньше a, включая само число a. 

К примеру, если a = 2, то неравенство примет вид x ≤ 2. На координатной прямой граница 2 будет изображаться закрашенным кружком, а вся область, находящаяся слева, будет выделена штрихами. В этот раз выделяется левая часть, поскольку решениями неравенства x ≤ 2 являются числа, меньшие 2. А меньшие числа на координатной прямой располагаются левее

Здесь точка 2 соответствует границе неравенства x ≤ 2, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства x ≤ 2.

Точка 2, являющаяся границей числового луча, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку граница неравенства x ≤ 2 принадлежит множеству его решений.

Запишем ответ к неравенству x ≤ 2 с помощью обозначения числового луча:

x ∈  ( −∞ ; 2 ]

В этом выражении говорится, что все числа от минус бесконечности до 2, являются решениями неравенства x ≤ 2. Граница 2 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x ≤ 2 является нестрогим.

Открытый числовой луч

Открытым числовым лучом называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x > a, где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства.

Открытый числовой луч во многом похож на закрытый числовой луч. Различие в том, что граница a не принадлежит промежутку, как и граница неравенства x > a не принадлежит множеству его решений.

Пусть a = 3. Тогда неравенство примет вид x > 3. Решениями данного неравенства являются все числа, которые больше 3, за исключением числа 3

На координатной прямой граница открытого числового луча, заданного неравенством x > 3, будет изображаться в виде пустого кружка. Вся область, находящаяся справа, будет выделена штрихами:

Здесь точка 3 соответствует границе неравенства x > 3, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства x > 3. Точка 3, являющаяся границей открытого числового луча, изображена в виде пустого кружка, поскольку граница неравенства x > 3 не принадлежит множеству его решений.

На письме открытый числовой луч, заданный неравенством x > a, обозначается следующим образом:

( a ; +∞ )

Круглые скобки указывают на то, что границы открытого числового луча не принадлежат ему.

Запишем ответ к неравенству x > 3 с помощью обозначения открытого числового луча:

x ∈  ( 3 ; +∞ )

В этом выражении говорится, что все числа от 3 до плюс бесконечности, являются решениями неравенства x > 3. Граница 3 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x > 3 является строгим.

Открытым числовым лучом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x < a, где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства. Решениями неравенства x < a являются все числа, которые меньше a, исключая число a. 

К примеру, если a = 2, то неравенство примет вид x < 2. На координатной прямой граница 2 будет изображаться пустым кружком, а вся область, находящаяся слева, будет выделена штрихами:

Здесь точка 2 соответствует границе неравенства x < 2, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства x < 2.  Точка 2, являющаяся границей открытого числового луча, изображена в виде пустого кружка, поскольку граница неравенства x < 2 не принадлежит множеству его решений.

На письме открытый числовой луч, заданный неравенством x < a, обозначается следующим образом:

( −∞ ; a )

Запишем ответ к неравенству x < 2 с помощью обозначения открытого числового луча:

x ∈  ( −∞ ; 2 )

В этом выражении говорится, что все числа от минус бесконечности до 2, являются решениями неравенства x < 2. Граница 2 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x < 2 является строгим.

Отрезок

Отрезком называют числовой промежуток, который задаётся двойным неравенством a ≤ x ≤ b, где a и b — границы данного неравенства, x — решение неравенства.

Пусть a = 2, b = 8. Тогда неравенство a ≤ x ≤ b примет вид 2 ≤ x ≤ 8. Решениями неравенства 2 ≤ x ≤ 8 являются все числа, которые больше 2 и меньше 8. При этом границы неравенства 2 и 8 принадлежат множеству его решений, поскольку неравенство 2 ≤ x ≤ 8 является нестрогим.

Изобразим отрезок, заданный двойным неравенством 2 ≤ x ≤ 8 на координатной прямой. Для этого отметим на ней точки с координатами 2 и 8, а располагающуюся между ними область выделим штрихами:

Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ x ≤ 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 ≤ x ≤ 8. Точки 2 и 8, являющиеся границами отрезка, изображены в виде закрашенных кружков, поскольку границы неравенства 2 ≤ x ≤ 8 принадлежат множеству его решений.

На письме отрезок, заданный неравенством a ≤ x ≤ b обозначается следующим образом:

[ a ; b ]

Квадратные скобки с обеих сторон указывают на то, что границы отрезка принадлежат ему. Запишем ответ к неравенству 2 ≤ x ≤ 8 с помощью этого обозначения:

x ∈  [ 2 ; 8 ]

В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8 включительно, являются решениями неравенства 2 ≤ x ≤ 8.

Интервал

Интервалом называют числовой промежуток, который задаётся двойным неравенством a < x < b, где a и b — границы данного неравенства, x — решение неравенства.

Пусть a = 2, b = 8. Тогда неравенство a < x < b примет вид 2 < x < 8. Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

Изобразим интервал на координатной прямой:

Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 < x < 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 < x < 8. Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < x < 8 не принадлежат множеству его решений.

На письме интервал, заданный неравенством a < x < b, обозначается следующим образом:

( a ; b )

Круглые скобки с обеих сторон указывают на то, что границы интервала не принадлежат ему. Запишем ответ к неравенству 2 < x < 8 с помощью этого обозначения:

x ∈  ( 2 ; 8 )

В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, исключая числа 2 и 8, являются решениями неравенства 2 < x < 8.

Полуинтервал

Полуинтервалом называют числовой промежуток, который задаётся неравенством a ≤ x < b, где a и b — границы данного неравенства, x — решение неравенства.

Полуинтервалом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством a < x ≤ b.

Одна из границ полуинтервала принадлежит ему. Отсюда и название этого числового промежутка.

В ситуации с полуинтервалом a ≤ x < b ему (полуинтервалу) принадлежит левая граница.

А в ситуации с полуинтервалом a < x ≤ b ему принадлежит правая граница.

Пусть a = 2, b = 8. Тогда неравенство a ≤ x < b примет вид 2 ≤ x < 8. Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

Изобразим полуинтервал 2 ≤ x < 8 на координатной прямой:

Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ x < 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 ≤ x < 8.

Точка 2, являющаяся левой границей полуинтервала, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку левая граница неравенства 2 ≤ x < 8 принадлежит множеству его решений.

А точка 8, являющаяся правой границей полуинтервала, изображена в виде пустого кружка, поскольку правая граница неравенства 2 ≤ x < 8 не принадлежит множеству его решений.

На письме полуинтервал, заданный неравенством a ≤ x < b, обозначается следующим образом:

[ a ; b )

Видно, что с одной стороны граница обрамлена квадратной скобкой, а с другой круглой. Это связано с тем, что одна граница полуинтервала принадлежит ему, а другая нет. Запишем ответ к неравенству 2 ≤ x < 8 с помощью этого обозначения:

x ∈  [ 2 ; 8 )

В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, включая число 2, но исключая число 8, являются решениями неравенства 2 ≤ x < 8.

Аналогично на координатной прямой можно изобразить полуинтервал, заданный неравенством a < x ≤ b. Пусть a = 2, b = 8. Тогда неравенство a < x ≤ b примет вид 2 < x ≤ 8. Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая число 2, но включая число 8.

Изобразим полуинтервал 2 < x ≤ 8 на координатной прямой:

Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 < x ≤ 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 < x ≤ 8.

Точка 2, являющаяся левой границей полуинтервала, изображена в виде пустого кружка, поскольку левая граница неравенства 2 < x ≤ 8 не принадлежит множеству его решений.

А точка 8, являющаяся правой границей полуинтервала, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку правая граница неравенства 2 < x ≤ 8 принадлежит множеству его решений.

На письме полуинтервал, заданный неравенством a < x ≤ b, обозначается так: ( a ; b ]. Запишем ответ к неравенству 2 < x ≤ 8 с помощью этого обозначения:

x ∈  ( 2 ; 8 ]

В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, исключая число 2, но включая число 8, являются решениями неравенства 2 < x ≤ 8.

---

Изображение числовых промежутков на координатной прямой

Числовой промежуток может быть задан с помощью неравенства или с помощью обозначения (круглых или квадратных скобок). В обоих случаях нужно суметь изобразить этот числовой промежуток на координатной прямой. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Изобразить числовой промежуток, заданный неравенством x > 5

Вспоминаем, что неравенством вида x > a задаётся открытый числовой луч. В данном случае переменная a равна 5. Неравенство x > 5 строгое, поэтому граница 5 будет изображаться в виде пустого кружкá. Нас интересуют все значения x, которые больше 5, поэтому вся область справа будет выделена штрихами:

---

Пример 2. Изобразить числовой промежуток (5; +∞) на координатной прямой

Это тот же числовой промежуток, который мы изобразили в предыдущем примере. Но в этот раз он задан не с помощью неравенства, а с помощью обозначения числового промежутка.

Граница 5 обрамлена круглой скобкой, значит она не принадлежит промежутку. Соответственно, кружок остаётся пустым.

Символ +∞ указывает, что нас интересуют все числа, которые больше 5. Соответственно, вся область справа от границы 5 выделяется штрихами:

---

Пример 3. Изобразить числовой промежуток (−5; 1) на координатной прямой.

Круглыми скобками с обеих сторон обозначаются интервалы. Границы интервала не принадлежат ему, поэтому границы −5 и 1 будут изображаться на координатной прямой в виде пустых кружков. Вся область между ними будет выделена штрихами:

---

Пример 4. Изобразить числовой промежуток, заданный неравенством −5 < x < 1

Это тот же числовой промежуток, который мы изобразили в предыдущем примере. Но в этот раз он задан не с помощью обозначения промежутка, а с помощью двойного неравенства.

Неравенством вида a < x < b, задаётся интервал. В данном случае переменная a равна −5, а переменная b равна единице. Неравенство −5 < x < 1 строгое, поэтому границы −5 и 1 будут изображаться в виде пустых кружка. Нас интересуют все значения x, которые больше −5, но меньше единицы, поэтому вся область между точками −5 и 1 будет выделена штрихами:

---

Пример 5. Изобразить на координатной прямой числовые промежутки [−1; 2) и [2; 5]

В этот раз изобразим на координатной прямой сразу два промежутка. Промежуток [−1; 2) является полуинтервалом, промежуток [2; 5] — отрезком.

У полуинтервала [−1; 2) левая граница принадлежит ему, а правая нет.

А у отрезка [2; 5] обе границы принадлежат ему.

Чтобы хорошо увидеть промежутки [−1; 2) и [2; 5], первый можно изобразить на верхней области, а второй на нижней. Так и поступим:

Граница 2 закрашена потому что она входит в промежуток [2; 5].

---

Пример 6. Изобразить на координатной прямой числовые промежутки [-1; 2) и (2; 5]

Квадратной скобкой с одной стороны и круглой с другой обозначаются полуинтервалы. Одна из границ полуинтервала принадлежат ему, а другая нет.

В случае с полуинтервалом [-1; 2) левая граница будет принадлежать ему, а правая нет. Значит левая граница будет изображаться в виде закрашенного кружка. Правая же граница будет изображаться в виде пустого кружка.

А в случае с полуинтервалом (2; 5] ему будет принадлежать только правая граница, а левая нет. Значит левая граница будет изображаться в виде пустого кружка. Правая же граница будет изображаться в виде закрашенного кружка.

Изобразим промежуток [-1; 2) на верхней области координатной прямой, а промежуток (2; 5] — на нижней:

---

Примеры решения неравенств

Неравенство, которое путём тождественных преобразований можно привести к виду ax > b (или к виду ax < b), будем называть линейным неравенством с одной переменной.

В линейном неравенстве ax > b, x — это переменная, значения которой нужно найти, а — коэффициент этой переменной, b — граница неравенства, которая в зависимости от знака неравенства может принадлежать множеству его решений либо не принадлежать ему.

Например, неравенство 2x > 4 является неравенством вида ax > b. В нём роль переменной a играет число 2, роль переменной b (границы неравенства) играет число 4.

Неравенство 2x > 4 можно сделать ещё проще. Если мы разделим обе его части на 2, то получим неравенство x > 2

Получившееся неравенство x > 2 также является неравенством вида ax > b, то есть линейным неравенством с одной переменной. В этом неравенстве роль переменной a играет единица. Ранее мы говорили, что коэффициент 1 не записывают. Роль переменной b играет число 2.

Отталкиваясь от этих сведений, попробуем решить несколько простых неравенств. В ходе решения мы будем выполнять элементарные тождественные преобразования с целью получить неравенство вида ax > b

Пример 1. Решить неравенство x − 7 < 0

Прибавим к обеим частям неравенства число 7

x − 7 + 7 < 0 + 7

В левой части останется x, а правая часть станет равна 7

x < 7

Путём элементарных преобразований мы привели неравенство x − 7 < 0 к равносильному неравенству x < 7. Решениями неравенства x < 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Когда неравенство приведено к виду x < a (или x > a), его можно считать уже решённым. Наше неравенство x − 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду x < 7. Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

Запишем ответ с помощью числового промежутка. В данном случае ответом будет открытый числовой луч (вспоминаем, что числовой луч задаётся неравенством x < a и обозначается как ( −∞ ; a)

x ∈  ( −∞ ; 7 )

На координатной прямой граница 7 будет изображаться в виде пустого кружка, а вся область, находящаяся слева от границы, будет выделена штрихами:

Для проверки возьмём любое число из промежутка ( −∞ ; 7 ) и подставим его в неравенство x < 7 вместо переменной x. Возьмём, например, число 2

2 < 7

Получилось верное числовое неравенство, значит и решение верное. Возьмём ещё какое-нибудь число, например, число 4

4 < 7

Получилось верное числовое неравенство. Значит решение верное.

А поскольку неравенство x < 7 равносильно исходному неравенству x − 7 < 0, то решения неравенства x < 7 будут совпадать с решениями неравенства x − 7 < 0. Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство x − 7 < 0

2 − 7 < 0

−5 < 0 — Верное неравенство

4 − 7 < 0

−3 < 0 Верное неравенство

---

Пример 2. Решить неравенство −4x < −16

Разделим обе части неравенства на −4. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

Мы привели неравенство −4x < −16 к равносильному неравенству x > 4. Решениями неравенства x > 4 будут все числа, которые больше 4. Граница 4 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Изобразим множество решений неравенства x > 4 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

---

Пример 3. Решить неравенство 3y + 1 > 1 + 6y

Перенесём 6y из правой части в левую часть, изменив знак. А 1 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знак:

3y − 6y> 1 − 1

Приведём подобные слагаемые:

−3y > 0

Разделим обе части на −3. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

Решениями неравенства y < 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства y < 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

---

Пример 4. Решить неравенство 5(x − 1) + 7 ≤ 1 − 3(x + 2)

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

Перенесем −3x из правой части в левую часть, изменив знак. Члены −5 и 7 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знаки:

Приведем подобные слагаемые:

Разделим обе части получившегося неравенства на 8

Решениями неравенства  являются все числа, которые меньше . Граница принадлежит множеству решений, поскольку неравенство  является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства  на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

 

---

Пример 5. Решить неравенство 

Умножим обе части неравенства на 2. Это позволит избавиться от дроби в левой части:

Теперь перенесем 5 из левой части в правую часть, изменив знак:

После приведения подобных слагаемых, получим неравенство 6x > 1. Разделим обе части этого неравенства на 6. Тогда получим:

Решениями неравенства  являются все числа, которые больше . Граница  не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство  является строгим.

Изобразим множество решений неравенства  на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

---

Пример 6. Решить неравенство 

Умножим обе части на 6

После приведения подобных слагаемых, получим неравенство 5x < 30. Разделим обе части этого неравенства на 5

Решениями неравенства x < 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x < 6 строгим.

Изобразим множество решений неравенства x < 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

---

Пример 7. Решить неравенство 

Умножим обе части неравенства на 10

В получившемся неравенстве раскроем скобки в левой части:

Перенесем члены без x в правую часть

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Разделим обе части получившегося неравенства на 10

Решениями неравенства x ≤ 3,5 являются все числа, которые меньше 3,5. Граница 3,5 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x ≤ 3,5 нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства x ≤ 3,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

---

Пример 8. Решить неравенство 4 < 4x < 20

Чтобы решить такое неравенство, нужно переменную x освободить от коэффициента 4. Тогда мы сможем сказать в каком промежутке находится решение данного неравенства.

Чтобы освободить переменную x от коэффициента, можно разделить член 4x на 4. Но правило в неравенствах таково, что если мы делим член неравенства на какое-нибудь число, то тоже самое надо сделать и с остальными членами, входящими в данное неравенство. В нашем случае на 4 нужно разделить все три члена неравенства 4 < 4x < 20

Решениями неравенства 1 < x < 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < x < 5 является строгим.

Изобразим множество решений неравенства 1 < x < 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

---

Пример 9. Решить неравенство −1 ≤ −2x ≤ 0

Разделим все члены неравенства на −2

Получили неравенство 0,5 ≥ x ≥ 0. Двойное неравенство желательно записывать так, чтобы меньший член располагался слева, а больший справа. Поэтому перепишем наше неравенство следующим образом:

0 ≤ x ≤ 0,5

Решениями неравенства 0 ≤ x ≤ 0,5 являются все числа, которые больше 0 и меньше 0,5. Границы 0 и 0,5 принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 0 ≤ x ≤ 0,5 является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства 0 ≤ x ≤ 0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

---

Пример 10. Решить неравенство 

Умножим обе неравенства на 12

Раскроем скобки в получившемся неравенстве и приведем подобные слагаемые:

Разделим обе части получившегося неравенства на 2

Решениями неравенства x ≤ −0,5 являются все числа, которые меньше −0,5. Граница −0,5 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x ≤ −0,5 является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства x ≤ −0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

---

Пример 11. Решить неравенство 

Умножим все части неравенства на 3

Теперь из каждой части получившегося неравенства вычтем 6

Каждую часть получившегося неравенства разделим на −1. Не забываем, что при делении всех частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

Решениями неравенства 3 ≤ a ≤ 9 являются все числа, которые больше 3 и меньше 9. Границы 3 и 9 принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 3 ≤ a ≤ 9 является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства 3 ≤ a ≤ 9 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

---

Когда решений нет

Существуют неравенства, которые не имеют решений. Таковым, например, является неравенство 6x > 2(3x + 1). В процессе решения этого неравенства мы придём к тому, что знак неравенства > не оправдает своего местоположения. Давайте посмотрим, как это выглядит.

Раскроем скобки в правой части данного неравенство, получим 6x > 6x + 2. Перенесем 6x из правой части в левую часть, изменив знак, получим 6x − 6x > 2. Приводим подобные слагаемые и получаем неравенство 0 > 2, которое не является верным.

Для наилучшего понимания, перепишем приведение подобных слагаемых в левой части следующим образом:

Получили неравенство 0x > 2. В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль не может быть больше, чем число 2. Значит неравенство 0x > 2 не имеет решений.

А если не имеет решений приведённое равносильное неравенство 0x > 2, то не имеет решений и исходное неравенство 6x > 2(3x + 1).

---

Пример 2. Решить неравенство 

Умножим обе части неравенства на 3

В получившемся неравенстве перенесем член 12x из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные слагаемые:

Правая часть получившегося неравенства при любом x будет равна нулю. А ноль не меньше, чем −8. Значит неравенство 0x < −8 не имеет решений.

А если не имеет решений приведённое равносильное неравенство 0x < −8, то не имеет решений и исходное неравенство .

Ответ: решений нет.

---

Когда решений бесконечно много

Существуют неравенства, имеющие бесчисленное множество решений. Такие неравенства становятся верными при любом x.

Пример 1. Решить неравенство 5(3x − 9) < 15x

Раскроем скобки в правой части неравенства:

Перенесём 15x из правой части в левую часть, изменив знак:

Приведем подобные слагаемые в левой части:

Получили неравенство 0x < 45. В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль меньше, чем 45. Значит решением неравенства 0x < 45 является любое число.

А если приведённое равносильное неравенство 0x < 45 имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 5(3x − 9) < 15x имеет те же решения.

Ответ можно записать в виде числового промежутка:

x ∈ ( −∞; +∞ )

В этом выражении говорится, что решениями неравенства 5(3x − 9) < 15x являются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности.

---

Пример 2. Решить неравенство: 31(2x + 1) − 12x > 50x

Раскроем скобки в левой части неравенства:

Перенесём 50x из правой части в левую часть, изменив знак. А член 31 из левой части перенесём в правую часть, опять же изменив знак:

Приведём подобные слагаемые:

Получили неравенство 0x > −31. В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль больше, чем −31. Значит решением неравенства 0x < −31 является любое число.

А если приведённое равносильное неравенство 0x > −31 имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 31(2x + 1) − 12x > 50x имеет те же решения.

Запишем ответ в виде числового промежутка:

x ∈ ( −∞; +∞ )

---

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решите неравенство:

Задание 2. Решите неравенство:

Задание 3. Решите неравенство:

Задание 4. Решите неравенство:

Задание 5. Решите неравенство:

Задание 6. Решите неравенство:

Задание 7. Решите неравенство:

Задание 8. Решите неравенство:

Задание 9. Решите неравенство:

Задание 10. Решите неравенство:

Задание 11. Решите неравенство:

Задание 12. Решите неравенство:

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Неравенство первой степени с одним неизвестным

Неравенство первой степени с одним неизвестным можно привести к виду
ax > b
Решением будет:
x > (b/a), если a > 0,
и
x < (b/a), если a < 0.

Пример 1. Решить неравенство 5х-3 > 8x+1.
Решение. 5х-8х > 3+1;
                   -3x > 4;
                   x < (-4/3).

Пример 2. Решить неравенство 5x + 2 < 7x+6.
Решение. 5x-7x < 6-2;
                   -2x < 4;
                   x > -2.

Пример 3. Решить неравенство (x-1)² < x²+8.
Решение. x²+2x+ 1 < x²+8;
                   -2x < 7;
                   x > (-7/2).

Замечание. Неравенство вида ax+b > a1x+b1 есть неравенство первой степени, если а и а1 не равны. В противном случае это неравенство приводится к числовому (верному или неверному).

Пример 1. Дано неравенство 2(3х-5) < 3(2x-1)+5. Оно равносильно неравенству 6x-10 < 6x+2, а последнее приводится к числовому (тождественному) -10 < 2. {\log_{0,2}{4}}\)

 

Избавимся от оснований с переменой знака т.к. \(0,2<1\)

\(-7x+4≤\log_{0,2}⁡{4}\)

 

\(\log_{0,2}{⁡4}\) – число некрасивое, но все-таки число, т.е. перед нами обычное линейное неравенство.
Будем выражать \(x\), для этого перенесем \(4\) в правую часть

\(-7x≤\log_{0,2}{⁡4}-4\)

 

Поделим обе части на \(-7\)

\(x≥\) \(\frac{4-\log_{0,2}{⁡4}}{7}\)

Ответ: \(x∈\)\([\frac{4-\log_{0,2}{⁡4}}{7}\)\(;∞)\) 
Знаю, выглядит не очень, но ответ не выбирают. x>-5\) будет любое число: \(x∈(-∞;∞)\).

Смотрите также:
Показательные  уравнения
Логарифмические  уравнения
Равносильные преобразования неравенств
Логарифмические  неравенства

Решение рациональных неравенств методом интервалов

Метод интервалов — это универсальный способ решения практически любых  неравенств, которые встречаются в школьном курсе алгебры.  Он основан на следующих свойствах функций:

1. Непрерывная функция  g(x) может изменить знак только в той точке, в которой она равна 0. Графически  это означает, что график непрерывной функции может перейти из одной полуплоскости в другую, только если пересечет ось абсцисс (мы помним, что  ордината любой точки, лежащей на оси ОХ (оси абсцисс) равна нулю, то есть значение функции в этой точке равно 0):

 Мы видим, что функция y=g(x), изображенная на графике пересекает ось ОХ в точках х= -8, х=-2, х=4, х=8. Эти точки называются нулями функции. И в этих же точках функция g(x)  меняет знак.

2. Функция также может менять знак в нулях знаменателя — простейший пример хорошо известная функция  :

Мы видим, что функция  меняет знак в корне знаменателя, в точке , но при этом не обращается в ноль ни в одной точке. Таким образом, если функция содержит дробь, она может менять знак в корнях знаменателя.

2. Однако, функция не всегда меняет знак в корне числителя или в корне знаменателя.  Например, функция y=x² не меняет знак  в точке х=0:

Т.к. уравнение x² =0 имеет два равных корня х=0, в точке х=0 функция как бы дважды обращается в 0. Такой корень называется корнем второй кратности.

Функция меняет знак в нуле числителя, , но не меняет знак в нуле знаменателя: , так как корень  — корень второй кратности, то есть четной кратности:

 

Важно! В корнях четной кратности функция знак не меняет. 

Обратите внимание! Любое нелинейное  неравенство школьного курса алгебры, как правило, решается с помощью метода интервалов.

Предлагаю вам подробный алгоритм решения неравенств методом  интервалов, следуя которому вы сможете избежать ошибок при решении нелинейных неравенств.

1. Для начала необходимо привести неравенство к виду

Р(х)V0,

где   V-  знак неравенства: <,>,≤ или ≥. Для этого необходимо:

а) перенести все слагаемые в левую часть неравенства,

б) найти корни получившегося выражения,

в) разложить левую часть неравенства на множители

г) одинаковые множители записать в виде степени.

Внимание! Последнее действие необходимо сделать, чтобы не ошибиться с кратностью корней — если в результате получится множитель в четной степени,  значит, соответствующий корень имеет четную кратность.

2. Нанести найденные корни на числовую ось.

3. Если неравенство строгое, то кружки, обозначающие корни на числовой оси оставляем «пустыми», если неравенство нестрогое, то кружки закрашиваем.

4. Выделяем корни четной кратности — в них Р(х) знак не меняет.

5. Определяем знак Р(х) на самом правом промежутке. Для этого берем произвольное значение х₀, которое больше большего корня и подставляем в Р(х).

Если P(x₀)>0 (или ≥0), то в самом правом промежутке ставим знак «+».

Если P(x₀)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак «-«.

6. Далее двигаемся  влево по числовой прямой и расставляем знаки: при переходе через точку, обозначающую корень нечетной кратности происходит смена знака.

При переходе через точку, обозначающую корень четной кратности знак НЕ МЕНЯЕТСЯ.

7. Еще раз смотрим на знак исходного неравенства,  и выделяем промежутки нужного нам знака.

8. Внимание! Если наше неравенство НЕСТРОГОЕ, то условие равенства нулю проверяем отдельно.

9. Записываем ответ.

Если исходное неравенство  содержит неизвестное в знаменателе, то также переносим все слагаемых влево, и приводим левую часть неравенства к виду

   

(где   V-  знак неравенства: < или >)

Строгое неравенство такого вида равносильно неравенству

   

НЕстрогое неравенство  вида

   

равносильно системе:

   

На практике, если функция имеет вид , то поступаем следующим образом:

1. Находим корни числителя и знаменателя.
2. Наносим их на ось. Все кружки оставляем пустыми. Затем, если неравенство не строгое, то корни числителя закрашиваем, а корни знаменателя всегда оставляем пустыми.
3. Далее следуем общему алгоритму:
4. Выделяем корни четной кратности (если числитель и знаменатель содержат одинаковые корни, то считаем, сколько раз встречаются одинаковые корни). В корнях четной кратности смены знака не происходит.
5. Выясняем знак на самом правом промежутке.
6. Расставляем знаки.
7. В случае нестрого неравенства условие равенства условие равенства нулю проверяем отдельно.
8. Выделяем нужные промежутки и отдельно стоящие корни.
9. Записываем ответ.

Чтобы лучше понять алгоритм решения  неравенств методом интервалов, посмотрите ВИДЕОУРОК, в котором подробно разбирается пример решения неравенства методом интервалов.

Решение вопросов со словами о неравенстве

(Вы можете сначала прочитать Введение в неравенство и решение неравенств. )

В алгебре у нас есть вопросы о неравенстве, например:

Сэм и Алекс играют в одной футбольной команде.

В минувшую субботу Алекс забил на 3 гола больше, чем Сэм, но вместе они забили меньше 9 голов.

Какое возможное количество голов забил Алекс?

Как мы их решаем?

Уловка состоит в том, чтобы разбить решение на две части:

Превратите английский в алгебру.

Затем используйте алгебру для решения.

Как английский язык превращается в алгебру

Превратить английский в алгебру помогает:

• Прочтите сначала все
• Сделайте набросок, если нужно
• Присвойте буквы значениям
• Найдите или обработайте формулы

Мы также должны записать , что на самом деле требуется для , чтобы мы знали, куда мы идем и когда мы приедем!

Лучший способ узнать это — на примере, поэтому давайте попробуем наш первый пример:

Сэм и Алекс играют в одной футбольной команде.

В минувшую субботу Алекс забил на 3 гола больше, чем Сэм, но вместе они забили меньше 9 голов.

Какое возможное количество голов забил Алекс?

Письма о назначении:

• количество голов, забитых Алексом: A
• количество голов, забитых Сэмом: S

Мы знаем, что Алекс забил на 3 гола больше, чем Сэм, поэтому: A = S + 3

А мы знаем, что вместе они забили меньше 9 голов: S + A <9

Нас спрашивают, сколько голов мог бы забить Алекс: A

Решить:

Начать с: S + A <9

A = S + 3, поэтому: S + (S + 3) <9

Упростить: 2S + 3 <9

Вычтем 3 с обеих сторон: 2S <9 - 3

Упростить: 2S <6

Разделите обе стороны на 2: S <3

Сэм забил менее 3 голов, что означает, что Сэм мог забить 0, 1 или 2 гола.

Алекс забил на 3 гола больше, чем Сэм, поэтому Алекс мог забить 3, 4 или 5 голов .

Чек:

• Когда S = 0, тогда A = 3 и S + A = 3, и 3 <9 правильно
• Когда S = 1, тогда A = 4 и S + A = 5, и 5 <9 правильно
• Когда S = 2, тогда A = 5 и S + A = 7, и 7 <9 правильно
• (Но когда S = 3, тогда A = 6 и S + A = 9, а 9 <9 неверно)

Еще много примеров!

Пример: Из 8 щенков девочек больше, чем мальчиков.

Сколько может быть девочек-щенков?

Письма о назначении:

• Количество девочек: г
• Кол-во мальчиков: б

Мы знаем, что есть 8 щенков, поэтому: g + b = 8, что может быть преобразовано в

б = 8 — г

Мы также знаем, что девочек больше, чем мальчиков, поэтому:

г> б

У нас спрашивают количество щенков: г

Решить:

Начать с: g> b

b = 8 — g , поэтому: g> 8 — g

Добавьте g к обеим сторонам: g + g> 8

Упростить: 2g> 8

Разделите обе стороны на 2: г> 4

Итак, может быть 5, 6, 7 или 8 девочек.

Может ли родиться 8 девочек? Тогда бы совсем не было мальчиков, и вопрос по этому поводу не ясен (иногда вопросы такие).

Чек

• Когда g = 8, тогда b = 0 и g> b правильно (но разрешено ли b = 0?)
• Когда g = 7, тогда b = 1 и правильное g> b
• Когда g = 6, тогда b = 2 и g> b правильно
• Когда g = 5, тогда b = 3 и правильное g> b
• (Но если g = 4, то b = 4 и g> b неверно)

Быстрый пример:

Пример: Джо участвует в гонке, в которой он должен ехать на велосипеде и бегать.

Он проезжает на велосипеде дистанцию ​​25 км, а затем пробегает 20 км. Его средняя скорость бега составляет половину его средней скорости езды на велосипеде.

Джо завершает гонку менее чем за 2,5 часа, что мы можем сказать о его средней скорости?

Письма о назначении:

• Средняя скорость движения: с
• Итак, средняя скорость езды на велосипеде: 2 с

Формулы:

• Скорость = Расстояние Время
• Что можно изменить на: Время = Расстояние Скорость

Нас спрашивают о его средних скоростях: с и 2 с

Гонка делится на две части:

1.

Велоспорт

• Расстояние = 25 км
• Средняя скорость = 2с км / ч
• Итак Время = Расстояние Средняя скорость = 25 2 с часов

2. Работает

• Расстояние = 20 км
• Средняя скорость = с км / ч
• Итак Время = Расстояние Средняя скорость = 20 с часов

Джо завершает гонку менее чем за 2,5 часа

• Общее время <2½
• 25 2s + 20 s <2½

Решить:

Начать с: 25 2s + 20 s <2½

Умножить все члены на 2 с: 25 + 40 <5 с

Упростить: 65 <5s

Разделите обе стороны на 5: 13

Поменять местами стороны: с> 13

Значит, его средняя скорость бега больше 13 км / ч, а его средняя скорость езды на велосипеде больше 26 км / ч

В этом примере мы можем использовать сразу два неравенства:

Пример: скорость

v м / с шара, брошенного прямо в воздух, определяется как v = 20 — 10t , где t — время в секундах.

В какое время скорость будет от 10 до 15 м / с?

Письма:

• скорость в м / с: v
• время в секундах: t

Формула:

У нас спрашивают время t , когда v находится между 5 и 15 м / с:

10

10 <20 - 10 т <15

Решить:

Начать с: 10 <20 - 10т <15

Вычтите 20 из каждого: 10-20 <20-10t - 20 <15-20

Упростить: −10 <−10t <−5

Разделим каждое на 10: −1 <−t <−0.5

Изменить знаки и отменить неравенства: 1> t> 0,5

Лучше сначала показать меньшее число
, поэтому поменяйте местами: 0,5

Таким образом, скорость составляет от 10 до 15 м / с между 0,5 и 1 секундой позже.

И достаточно жесткий пример для завершения:

Пример: прямоугольная комната вмещает не менее 7 столов, каждый из которых имеет площадь 1 квадратный метр.

Периметр комнаты 16 м.
Какой может быть ширина и длина комнаты?

Сделайте набросок: мы не знаем размеров столов, только их площадь, могут они идеально поместиться или нет!

Письма о назначении:

• Длина помещения: L
• Ширина помещения: Вт

Формула для периметра: 2 (Ш + Д) , и мы знаем, что это 16 м

• 2 (Ш + Д) = 16
• Вт + Д = 8
• Д = 8 — Ш

Мы также знаем, что площадь прямоугольника равна ширине, умноженной на длину: Площадь = Ш × Д

И площадь должна быть больше или равна 7:

Нас спрашивают о возможных значениях W и L

Решим:

Начать с: Ш × Д ≥ 7

Заменитель L = 8 — W: W × (8 — W) ≥ 7

Expand: 8W — W ² ≥ 7

Переместите все термины в левую часть: W ² — 8W + 7 ≤ 0

Это квадратное неравенство. Ее можно решить разными способами, здесь мы решим ее, заполнив квадрат:

Переместите числовой член — 7 в правую часть неравенства: W ² — 8W ≤ −7

Заполните квадрат в левой части неравенства и уравновесите его, прибавив такое же значение к правая часть неравенства: W ² — 8W + 16 ≤ −7 + 16

Упростить: (W — 4) ² ≤ 9

Извлеките квадратный корень из обеих частей неравенства: −3 ≤ W — 4 ≤ 3

Да, у нас есть два неравенства, потому что 3 ² = 9 И (−3) ² = 9

Добавьте 4 к обеим сторонам каждого неравенства: 1 ≤ W ≤ 7

Таким образом, ширина должна быть между 1 м и 7 м (включительно), а длина — 8 — ширина .

Чек:

• Скажем, W = 1, тогда L = 8−1 = 7 и A = 1 x 7 = 7 м ² (подходит ровно для 7 таблиц)
• Скажем, W = 0,9 (меньше 1), тогда L = 7,1 и A = 0,9 x 7,1 = 6,39 м ² (7 не подходят)
• Скажем, W = 1,1 (чуть выше 1), тогда L = 6,9 и A = 1,1 x 6,9 = 7,59 м ² (7 легко помещаются)
• Аналогично для W около 7 м

Равно, меньше и больше символов

lo1kvxu-Dc8

Помимо знакомого знака равенства (=), он также очень полезен, чтобы показать, не равно ли что-то (≠) больше чем (>) или менее (<)

Это важные знаки, которые необходимо знать :

=	Когда два значения равны , мы используйте знак «равно»	пример: 2 + 2 = 4
≠	Когда два значения определенно равны , а не , равны , мы используйте знак «не равно»	пример: 2 + 2 ≠ 9
<	Когда одно значение меньше другого , мы используйте знак «меньше»	пример: 3 <5
>	Когда одно значение больше другого , мы используйте знак «больше»	пример: 9> 6

меньше и больше

Знаки «меньше» и «больше» выглядят как буква «V» на своей стороне, не так ли?

Чтобы запомнить, в какую сторону идут знаки «<» и «>», просто запомните:

«Маленький» конец всегда указывает на меньшее число, например:

Символ больше: БОЛЬШОЙ> маленький

Пример:

10> 5

«10 это больше, чем 5″

Или наоборот:

5 <10

«5 это меньше 10″

Вы видите, как символ «указывает» на меньшее значение?

.

.. Или равно …

Иногда мы знаем, что значение меньше, но также может быть равно !

Например, кувшин вмещает до 4 чашек воды.

Так сколько в нем воды?

Это может быть 4 чашки или меньше 4 чашек: Итак, пока мы не измерим, все, что мы можем сказать, «меньше или равно » 4 чашки.

Чтобы показать это, мы добавляем дополнительную строку внизу символа «меньше чем» или «больше чем», например:

Знак «меньше или равно »:		≤
Знак «больше или равно «:		≥

Все символы

Вот краткое изложение всех символов:

Обозначение	слов	Пример использования
=	равно	1 + 1 = 2
≠	не равно	1 + 1 ≠ 1
>	больше	5> 2
<	менее	7 <9
≥	больше или равно	шариков ≥ 1
≤	меньше или равно	собаки ≤ 3

Зачем они нужны?

Потому что есть вещи, которые мы, , не знаем точно . ..

… но все же может сказать что-то о .

Итак, у нас есть способы сказать то, что мы, , знаем, (что может быть полезно!)

Пример: у Джона было 10 шариков, но он потерял несколько. Сколько у него сейчас?

Ответ: У него должно быть меньше, чем 10:

Мрамор < 10

Если у Джона все еще есть шарики, мы также можем сказать, что у него больше нуля шарика:

Шарики > 0

Но если бы мы думали, что Джон мог иметь потерять все своих шарика, мы бы сказали

Мрамор ≥ 0

Другими словами, количество шариков больше или равно нулю.

Объединение

Иногда мы можем сказать две (или более) вещи в одной строке:

Пример: Бекки начинает с 10 долларов, что-то покупает и говорит: «У меня тоже есть сдача». Сколько она потратила?

Ответ: Что-то больше, чем 0 долларов, но меньше 10 долларов (но НЕ 0 или 10 долларов):

«На что тратит Бекки»> 0 долл. США
«На что тратит Бекки» <10 долл. США

Это можно записать одной строкой:

$ 0 <"Сколько тратит Бекки" <10 $

Это говорит о том, что 0 долларов меньше, чем «То, что Бекки тратит» (другими словами, «То, что Бекки тратит» больше, чем 0 долларов), а то, что Бекки тратит, также меньше 10 долларов.

Обратите внимание на то, что «>» перевернулось на «<", когда мы поставили перед , что тратит Бекки. Всегда проверять малый конец указывает на малое значение .

Смена сторон

В предыдущем примере мы видели, что когда мы меняем стороны, мы также переворачиваем символ.

Это:		Бекки тратит> $ 0		(Бекки тратит более $ 0)
то же самое, что это:		$ 0 <Бекки тратит		(0 долларов меньше, чем тратит Бекки)

Просто убедитесь, что маленький конец указывает на маленькое значение!

Вот еще один пример использования «≥» и «≤»:

Пример: у Бекки 10 долларов, и она идет за покупками.

Сколько она потратит (без использования кредита)?

Ответ: Что-то большее или возможное равное 0 долларов США и меньшее или, возможно, равное 10 долларам США:

Бекки тратит ≥0 долларов
Бекки тратит ≤ 10 долларов

Это можно записать одной строкой:

0 долл. США ≤ Бекки тратит ≤ 10 долл. США

Длинный пример: перерезание каната

Вот интересный пример, о котором я подумал:

Пример: Сэм разрезает 10-метровую веревку на две части.Какова длина более длинного куска? Какова длина более короткого отрезка?

Ответ: Назовем более длинную длину каната « L », а более короткую длину « S »

.

L должно быть больше 0 м (иначе это не кусок веревки), а также меньше 10 м:

L> 0
L <10

Итак:

0

Это говорит о том, что L (большая длина веревки) находится между 0 и 10 (но не 0 или 10)

То же самое можно сказать и о более короткой длине « S «:

0

Но я сказал, что есть «короче» и «длиннее», поэтому мы также знаем:

S

(Вы видите, насколько изящна математика? Вместо того, чтобы говорить «меньшая длина меньше, чем большая длина», мы можем просто написать « S »)

Мы можем все это объединить так:

0

Это говорит о многом:

0 меньше короткой длины, короткая длина меньше длинной, длинная меньше 10.

Если читать «задом наперед», то можно увидеть:

10 больше длинной длины, длинная длина больше короткой длины, короткая длина больше 0.

Это также позволяет нам увидеть, что «S» меньше 10 («перепрыгивая» через «L»), и даже что 0 <10 (что мы все равно знаем), все в одном операторе.

ТЕПЕРЬ у меня есть еще одна хитрость. Если бы Сэм очень сильно постарался, он мог бы разрезать веревку ТОЧНО пополам, так что каждая половина составляет 5 м, но мы знаем, что он этого не сделал, потому что мы сказали, что есть «короче» и «длиннее» длина, поэтому мы также знаем:

S <5

и

L> 5

Мы можем вставить это в нашу очень аккуратную формулировку здесь:

0

И ЕСЛИ мы думали, что две длины МОГУТ быть ровно 5, мы могли бы изменить это на

0

Пример использования алгебры

Хорошо, этот пример может быть сложным, если вы не знаете алгебру, но я подумал, что вы все равно можете его увидеть:

Пример: что такое x + 3, если мы знаем, что x больше 11?

Если x> 11, , то x + 3> 14

(Представьте, что «x» — это количество людей на вашей вечеринке. Если на вашей вечеринке более 11 человек, а прибывают еще 3, значит, сейчас на вашей вечеринке должно быть более 14 человек.)

5250, 5251, 5252, 5253, 5254, 5255, 5256, 5257, 5258, 5259

Решение одношаговых неравенств — методы и примеры

Прежде чем мы сможем узнать, как решить одноэтапное неравенство, давайте вспомним несколько основных сведений о неравенствах.

Слово неравенство означает математическое выражение, в котором стороны не равны друг другу.По сути, для представления уравнений неравенства используются пять символов неравенства.

Это:
меньше ( <),
больше (> ),
меньше или равно ( ≤ ),
больше или равно ( ≥ )
и не знак равенства ( ≠ ).

Неравенства используются для сравнения чисел и определения диапазона или диапазонов значений, которые удовлетворяют условиям данной переменной.

Как решить пошаговые неравенства?

Решение неравенства за один шаг — простой процесс, как кажется. Для полного решения уравнений требуется всего один шаг.

Основная цель решения одношагового неравенства — выделить переменную на одной стороне символа неравенства и сделать коэффициент переменной равным единице.

Стратегия выделения переменной влечет за собой использование противоположной операции с. Например, чтобы переместить число, вычитаемое из другой стороны неравенства, вам следует сложить.

Самый важный шаг , который следует запомнить при решении любых линейных уравнений или уравнений неравенства, чтобы выполнить одну и ту же операцию как с правой, так и с левой частью уравнения.

Другими словами, если вы вычтите или прибавите к одной стороне неравенства, вы также должны вычесть или сложить с тем же значением с противоположной стороны. Точно так же, если вы умножаете или делите на одной стороне уравнения, вы также должны умножать или делить на то же значение на другой стороне уравнения.

Единственное исключение при делении и умножении на отрицательное число в уравнении неравенства состоит в том, что символ неравенства переворачивается.

Мы можем суммировать правила решения одношаговых неравенств, как показано ниже:

• Вычитание или сложение одного и того же числа с обеих сторон неравенства приводит к тому, что символ неравенства остается неизменным.
• В результате деления или умножения обеих сторон на положительное число символ неравенства не изменяется.
• Умножение или деление обеих сторон на отрицательное число изменяет неравенство. Это означает, что <меняется на>, и наоборот.

В этой статье мы рассмотрим пять различных случаев решения одношаговых неравенств. Эти случаи одношаговых неравенств основаны на том, как манипулируют уравнениями.

Пять случаев включают:

• Решение одношаговых неравенств путем сложения
• Решение одношаговых неравенств вычитанием
• Одношаговые неравенства решаются путем умножения обеих частей уравнения на число.
• Одношаговые неравенства решаются путем деления одного и того же числа на обе части уравнения.
• Одношаговые неравенства решаются путем умножения обратного коэффициента члена на переменную в обеих частях уравнения.

Устранение одношаговых неравенств путем добавления

Чтобы понять это, выполните действия, описанные в примерах ниже.

Пример 1

Решите одношаговое уравнение x — 4> 10

Решение

Обратите внимание, что в левой части символа неравенства есть переменная x, вычтенная на 4, тогда как в левой части положительное число 10.В этом случае мы оставим нашу переменную слева.

Чтобы изолировать переменную x, мы складываем обе части уравнения на 4, что дает;

x — 4 + 4> 10 +4

x> 14

Пример 2

Решить x — 6> 14

Решение

x — 6> 14

Добавить оба сторон уравнения на 6
x — 6 + 6> 14 + 6
x> 20

Пример 3

Решите неравенство –7 — x <9

Решение

–7 — x <9

Добавьте 7 к обеим частям уравнения.
7 — x + 7 <9 + 7
— x <16 Умножьте обе стороны на –1 и переверните знак x> –16

Пример 4

Решите 4> x — 3

Решение

В этом примере переменная расположена справа в уравнении. Мы можем изолировать переменную в уравнении независимо от того, где она находится. Поэтому оставим правую часть и для этого прибавим 3 к обеим частям уравнения.

4+ 3> x — 3 + 3

7> x

И готово!

Решение одноступенчатых неравенств вычитанием

Чтобы понять это, выполните действия, описанные в примерах ниже.

Пример 5

Решите x + 10 <16

Решение

x + 10 <16

Вычтите 7 из обеих частей уравнения.
x + 10-10 <16-10
x <6

Пример 6

Решите неравенство 15> 26 — y

Решение

15> 26 — y

Вычтем 26 из обоих стороны уравнения
15-26> 26-26 -y
-11> -y

Умножить обе части на –1 и перевернуть знак

11

Пример 7

Решить x + 6> –3

Решение

Вычтите обе части на 6.

x + 6 — 6> –3 — 6

x > — 9

Пример 8

Решите одношаговое уравнение 13

Решение

В этом случае переменная y также находится в правой части уравнения. Это нормально! Мы будем придерживаться левой стороны, вычтя обе части на 8.

13– 8

5

Пример 9

Решите относительно t в следующем уравнении:

t + 18 <21

Решение

Чтобы выделить t в левой части уравнения, мы вычтем обе части уравнения на 18.

t + 18-18 <21-18

t <3

Решение одношаговых неравенств путем умножения обеих частей уравнения на число

Чтобы понять это, следуйте инструкциям в приведенных ниже примерах.

Пример 10

Решите относительно x в следующем одношаговом уравнении:

x / 4> 8

Решение

Чтобы исключить дробь, умножьте обе части уравнения на знаменатель фракция.

4 (x / 4)> 8 x 4

x> 32

Вот и все!

Пример 11

Решите одношаговое уравнение -x / 5> 9

Решение

В этом неравенстве переменная x делится на 5. Поскольку наша цель — отменить деление переменная, поэтому мы умножаем обе стороны неравенства на

5 (-x / 5)> 9 x 5

-x> 45

Теперь умножаем обе стороны на -1 и меняем знак.

x <- 45

Пример 11

Решить 2> –x

Решение

Вы можете заметить, что это уравнение почти решено. Но не совсем так. Итак, нам нужно убрать отрицательный знак из переменной. Мы можем сделать это, умножив обе части уравнения на -1 и поменяв знак местами.

2 * -1> –x * -1

-2

Решение одношаговых неравенств путем деления одного и того же числа на обе части уравнения

Чтобы понять это, выполните действия, описанные в примерах ниже.

Пример 12

Решите для x, 2x — 4 <0

Решение

Добавьте 4 с обеих сторон

2x — 4 + 4 <0 + 4

2x <4

Разделите каждое бок о бок 2, получаем

2x / 2 <4/2

x <4/2

Итак, x <2 - это ответ!

Пример 13

Решите одношаговое уравнение. 5x <100.

Решение

В этом примере переменная x умножается на число.Чтобы отменить умножение, мы разделим обе части уравнения на коэффициент переменной. Деление обычно используется для отмены эффекта умножения.

5x / 5 <100/5

x <20

Пример 14

21 <-3x

Решение

В этом случае переменная находится справа в уравнении, поэтому не используйте Не заморачиваюсь с уравнением. Поскольку коэффициент переменной не равен 1, это означает, что нам нужно выполнить обратную операцию, чтобы удалить 3 из -x.Итак, мы разделим обе части на -3.

21/3 <-3 / 3x

7 <-x Поскольку это неравенство не упрощается, нам нужно удалить отрицательный знак переменной. Поэтому умножаем обе части уравнения на -1 и меняем знак. -7> x

Пример 15

Решите −2x <4

Решение

Чтобы решить это одношаговое уравнение, нам нужно разделить обе части на −2.

Поскольку мы делим обе части уравнения на отрицательное число, мы изменим знак неравенства на противоположное.

x> -2

Пример 16
Решите одношаговое неравенство −2x> −8

Решение

Разделите обе части уравнения на 2.

−2x / 2> — 8/2

−x> — 4

Умножьте обе части на -1 и переверните знак неравенства.

x <4

Решение одношагового неравенства путем умножения обратной величины коэффициента переменной на обе части уравнения.

Чтобы понять это, следуйте инструкциям в приведенных ниже примерах.

Пример 17

Решите одношаговое уравнение (4x / 11) <4

Решение

Многие люди не обращают внимания на одношаговые неравенства, содержащие дроби.

Итак, как мы решаем такие проблемы?

Мы можем решить одношаговые неравенства с дробями, умножив обе части уравнения на величину, обратную дроби. В этом случае наша обратная величина — 11/4.

(4x / 11) 11/4 <4 * 11/4

x <11

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Устранение неравенств — объяснение и примеры

Что такое неравенство в математике?

Слово неравенство означает математическое выражение, в котором стороны не равны друг другу. По сути, неравенство сравнивает любые два значения и показывает, что одно значение меньше, больше или равно значению на другой стороне уравнения.

Как правило, для представления уравнений неравенства используются пять символов неравенства.

Символы неравенства

Эти символы неравенства: меньше ( <), больше (> ), меньше или равно ( ≤ ), больше или равно ( ≥ ) и символ неравенства ( ≠ ) .

Неравенства используются для сравнения чисел и определения диапазона или диапазонов значений, которые удовлетворяют условиям данной переменной.

Операции с неравенствами

Операции с линейными неравенствами включают сложение, вычитание, умножение и деление.Общие правила этих операций показаны ниже.

Хотя мы использовали символ <для иллюстрации, следует отметить, что те же правила применяются к>, ≤ и ≥.

• Символ неравенства не меняется, если одно и то же число добавлено к обеим сторонам неравенства. Например, если a
• Вычитание обеих частей неравенства на одно и то же число не меняет знака неравенства. Например, если a
• Умножение обеих частей неравенства на положительное число не меняет знака неравенства. Например, если a
• Деление обеих сторон неравенства на положительное число не меняет знака неравенства. Если a
• Умножение обеих сторон уравнения неравенства на отрицательное число изменяет направление символа неравенства. Например, если a b *
• Аналогичным образом, разделение обеих сторон уравнения неравенства на отрицательное число изменяет символ неравенства.Если a b / c

Как решать неравенства?

Подобно линейным уравнениям, неравенства можно решить, применяя аналогичные правила и шаги за некоторыми исключениями. Единственная разница при решении линейных уравнений — это операция умножения или деления на отрицательное число. Умножение или деление неравенства на отрицательное число изменяет символ неравенства.

Линейные неравенства могут быть решены с помощью следующих операций:

• Сложение
• Вычитание
• Умножение
• Деление
• Распределение собственности

Решение линейных неравенств с добавлением

Давайте посмотрим на несколько примеров ниже, чтобы понять это понятие.

Пример 1

Решите 3x — 5 ≤ 3 — x.

Решение

Начнем с добавления обеих сторон неравенства на 5

3x — 5 + 5 ≤ 3 + 5 — x

3x ≤ 8 — x

Затем сложим обе стороны на x.

3x + x ≤ 8 — x + x

4x ≤ 8

Наконец, разделите обе части неравенства на 4, чтобы получить;

x ≤ 2

Пример 2

Вычислите диапазон значений y, который удовлетворяет неравенству: y — 4 <2y + 5.

Решение

Сложите обе части неравенства на 4.

y — 4 + 4 <2y + 5 + 4

y <2y + 9

Вычтите обе части на 2y.

y — 2y <2y - 2y + 9

Y <9 Умножьте обе части неравенства на -1 и измените направление символа неравенства. y> — 9

Решение линейных неравенств с вычитанием

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 3

Решите x + 8> 5.

Решение

Изолируйте переменную x, вычтя 8 из обеих сторон неравенства.

x + 8-8> 5-8 => x> −3

Следовательно, x> −3.

Пример 4

Решите 5x + 10> 3x + 24.

Решение

Вычтите 10 из обеих сторон неравенства.

5x + 10-10> 3x + 24-10

5x> 3x + 14.

Теперь вычтем обе части неравенства на 3x.

5x — 3x> 3x — 3x + 14

2x> 14

x> 7

Решение линейных неравенств с умножением

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 5

Решите x / 4> 5

Решение:

Умножьте обе стороны неравенства на знаменатель дроби

4 (x / 4)> 5 x 4

x> 20

Пример 6

Решите -x / 4 ≥ 10

Решение:

Умножьте обе стороны неравенства на 4.

4 (-x / 4) ≥ 10 x 4

-x ≥ 40

Умножьте обе стороны неравенства на -1 и измените направление символа неравенства на противоположное.

x ≤ — 40

Решение линейных неравенств с делением

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 7

Решите неравенство: 8x — 2> 0.

Решение

Прежде всего, сложите обе части неравенства на 2 9000 — 20002 + 2> 0 + 2

8x> 2

Теперь решите, разделив обе части неравенства на 8, чтобы получить;

x> 2/8

x> 1/4

Пример 8

Решите следующее неравенство:

−5x> 100

Divide both Solution сторон неравенства на -5 и измените направление символа неравенства

= −5x / -5 <100 / -5

= x <- 20

Решение линейных неравенств с использованием свойства распределения

Давайте посмотрим на несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 9

Решить: 2 (x — 4) ≥ 3x — 5

Решение

2 (x — 4) ≥ 3x — 5

Примените свойство распределения, чтобы удалить скобки.

⟹ 2x — 8 ≥ 3x — 5

Сложить обе стороны на 8.

⟹ 2x — 8 + 8 ≥ 3x — 5 + 8

⟹ 2x ≥ 3x + 3

Вычесть обе стороны на 3.

⟹ 2x — 3x ≥ 3x + 3 — 3x

⟹ -x ≥ 3

⟹ x ≤ — 3

Пример 10

Студент набрал 60 баллов за первый тест и 45 баллов во втором тесте заключительного экзамена.Сколько минимальных баллов должен набрать студент в третьем тесте, получив в среднем не менее 62 баллов?

Решение

Пусть в третьем тесте будет получено х баллов.

(60 + 45 + x) / 3 ≥ 62
105 + x ≥ 196
x ≥ 93
Следовательно, учащийся должен набрать 93 балла, чтобы поддерживать среднее значение не менее 62 баллов.

Пример 11

Джастину требуется не менее 500 долларов для празднования своего дня рождения. Если он уже накопил 150 долларов, до этой даты осталось 7 месяцев. Какую минимальную сумму он должен откладывать ежемесячно?

Решение

Пусть минимальная ежемесячная экономия = x

150 + 7x ≥ 500

Решить для x

150-150 + 7x ≥ 500-150

x ≥ 50

Следовательно, Джастин должен экономить 50 долларов и более

Пример 12

Найдите два последовательных нечетных числа, которые больше 10 и имеют сумму меньше 40.

Решение

Пусть меньшее нечетное число = x

Следовательно, следующее число будет x + 2

x> 10 ………. больше 10

x + (x + 2) <40 …… сумма меньше 40

Решите уравнения.

2x + 2 <40

x + 1 <20

x <19

Объедините два выражения.

10

Следовательно, последовательные нечетные числа — 11 и 13, 13 и 15, 15 и 17, 17 и 19.

Неравенства и числовая линия

Лучшим инструментом для представления и визуализации чисел является числовая линия. Числовая линия определяется как прямая горизонтальная линия с числами, расположенными на равных отрезках или интервалах. У числовой прямой есть нейтральная точка в середине, известная как начало координат. Справа от начала координат на числовой прямой находятся положительные числа, а слева от начала координат — отрицательные числа.

Линейные уравнения также можно решить графическим методом с использованием числовой прямой.Например, чтобы построить x> 1 на числовой прямой, вы обведите цифру 1 на числовой прямой и проведете линию, идущую от круга в направлении чисел, которые удовлетворяют утверждению о неравенстве.

Пример 13

Если символ неравенства больше или равен или меньше или равен знаку (≥ или ≤), нарисуйте круг над числовым числом и заполните или заштрихуйте круг.Наконец, проведите линию, идущую от заштрихованного круга в направлении чисел, которое удовлетворяет уравнению неравенства.

Пример 14

x ≥ 1

Та же процедура используется для решения уравнений, включающих интервалы.

Пример 15

–2 < x <2

Пример 16

–1

Пример 17

–1 < x ≤ 2

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Как решить неравенство 1 / (x + 1)> 3 / (x-2)?

Прежде всего, обратите внимание, что ваше неравенство определяется только в том случае, если ваши знаменатели не равны нулю:

# х + 1! = 0 <=> х! = -1 #

#x — 2! = 0 <=> x! = 2 #

Теперь ваш следующий шаг — «избавиться» от дробей. Это можно сделать, умножив обе части неравенства на # x + 1 # и # x-2 #.

Однако вам нужно быть осторожным, поскольку, если вы умножаете неравенство на отрицательное число, вы должны перевернуть знак неравенства.

=========================================

Рассмотрим разные случаи:

случай 1: # цвет (белый) (xxx) x> 2 #:

Оба #x + 1> 0 # и #x — 2> 0 # удерживаются. Таким образом, вы получите:

#x — 2> 3 (x + 1) #

#x — 2> 3x + 3 #

… вычислить # -3x # и # + 2 # с обеих сторон …

# -2x> 5 #

… разделить на # -2 # с обеих сторон. Поскольку # -2 # является отрицательным числом, вы должны перевернуть знак неравенства …

#x <- 5/2 #

Однако не существует # x #, удовлетворяющего как условию #x> 2 #, так и #x <- 5/2 #. Таким образом, в данном случае решения нет.

=========================================

случай 2: # цвет (белый) (xxx) -1

Здесь #x + 1> 0 #, но #x — 2 <0 #.Таким образом, вам нужно один раз перевернуть знак неравенства и вы получите:

# цвет (белый) (i) x — 2 <3 (x + 1) #

# цвет (белый) (x) -2x <5 #

… разделить на # -2 # и снова перевернуть знак неравенства …

# цвет (белый) (xxx) x> -5 / 2 #

Неравенство #x> -5 / 2 # верно для всех # x # в интервале # -1

=========================================

случай 3: # цвет (белый) (xxx) x <-1 #:

Здесь оба знаменателя отрицательны.Таким образом, если вы умножите неравенство на оба из них, вам нужно дважды перевернуть знак неравенства, и вы получите:

#x — 2> 3x + 3 #

# цвет (белый) (i) -2x> 5 #

# цвет (белый) (xxi) x <- 5/2 #

Поскольку условие #x <-5 / 2 # является более строгим, чем условие #x <-1 #, решение для этого случая - #x <- 5/2 #. 2 + 2x-1 <= 0 #

Теперь у нас есть три диапазона, а не два, которые были раньше.2-2x-1> = 0 #, исходное квадратичное выражение, #f (x) #. Напомним, что корни #f (x) # находятся в # x = 1 + -sqrt (2) #. Более высокое из них составляет приблизительно 2,414, то есть #> 2 #, поэтому на этом этапе у нас также будет изменение в удовлетворении неравенства. Из нашего ответа выше мы видим, что #f (x)> = 0 #, когда #x> = 1 + sqrt (2) #, и что оно отрицательно между 2 и этой точкой. Итак, #x> = 1 + sqrt (2) # — третий ответ на эту проблему.

В итоге — три диапазона решений этой проблемы, один из которых является одной точкой:
#x <0 #, # x = 1 # и #x <= 1 + sqrt (2) #
Обратите внимание, как и прежде, что неравенство не определено при # x = 0 # из-за наличия члена # 1 / x #.

Сравните варианты решения двух возможных скобок. Как и следовало ожидать, решения, дающие положительные слагаемые по обе стороны неравенства, идентичны; в остальном они различаются.

Решение линейных неравенств — элементарная алгебра

учебных целей

К концу этого раздела вы сможете:

• График неравенств на числовой прямой
• Решите неравенства, используя свойства вычитания и сложения неравенства
• Решите неравенства, используя свойства деления и умножения неравенства
• Решить неравенства, требующие упрощения
• Переведите в неравенство и решите

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

1. Перевести с алгебры на английский:.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
2. Решение:
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
3. Решение:
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
4. Решение:
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Неравенства в графике на числовой прямой

Вы помните, что означает число, являющееся решением уравнения? Решение уравнения — это значение переменной, которое делает истинное утверждение при подстановке в уравнение.

А как насчет решения неравенства? Какое число сделало бы неравенство истинным? Вы думаете, « x может быть 4»? Это верно, но x тоже может быть 5, 20 или даже 3,001. Любое число больше 3 является решением неравенства.

Мы показываем решения неравенства на числовой прямой, закрашивая все числа справа от 3, чтобы показать, что все числа больше 3 являются решениями. Поскольку число 3 само по себе не является решением, мы помещаем 3 в открывающую скобку.График представлен на (Рисунок). Обратите внимание, что используется следующее соглашение: голубые стрелки указывают в положительном направлении, а синие стрелки указывают в отрицательном направлении.

На этой числовой прямой изображено неравенство.

График неравенства очень похож на график, но теперь нам нужно показать, что 3 тоже является решением. Мы делаем это, помещая скобку в, как показано на (Рисунок).

На этой числовой прямой изображено неравенство.

Обратите внимание, что символ открытых скобок (, показывает, что конечная точка неравенства не включена.Символ открытой скобки [, означает, что конечная точка включена.

График на числовой прямой:

ⓐⓑⓒ

График на числовой прямой: ⓐ ⓑ ⓒ

График на числовой прямой: ⓐ ⓑ ⓒ

Мы также можем представить неравенства, используя обозначение интервала . Как мы видели выше, неравенство означает все числа больше 3. У решения этого неравенства нет верхней границы. В обозначении интервалов мы выражаем это как «бесконечность».Это не настоящее число. (Рисунок) показывает как числовую линию, так и обозначение интервалов.

Неравенство изображено на этой числовой строке и записано в интервальной записи.

Неравенство означает, что все числа меньше или равны 1. У этих чисел нет нижней границы. Мы пишем в обозначениях интервалов как. Символ читается как «отрицательная бесконечность». (Рисунок) показывает как числовую линию, так и обозначение интервалов.

Неравенство изображено на этой числовой строке и записано в интервальной записи.

Неравенства, числовые линии и обозначение интервалов

Вы заметили, как скобка или квадратная скобка в обозначении интервала совпадает с символом в конце стрелки? Эти отношения показаны на (Рисунок).

Для обозначения неравенств на числовой прямой и в обозначении интервалов используются аналогичные символы для обозначения конечных точек интервалов.

График в числовой строке и запись в интервальной записи.

ⓐⓑⓒ

График на числовой прямой и запись в интервале записи:

ⓐⓑⓒ

График на числовой прямой и запись в интервале записи:

ⓐⓑⓒ

Решите неравенства, используя свойства неравенства вычитания и сложения

Свойства равенства вычитания и сложения утверждают, что если две величины равны, когда мы прибавляем или вычитаем одну и ту же сумму из обеих величин, результаты будут одинаковыми.

Свойства равенства

Аналогичные свойства сохраняются и для неравенств.

Another line down on the left, the instructions say: “We get negative 9 on the left and negative 3 on the right.” To the right of this sentence is the line negative 9 question mark negative 3. Another line down on the left, the instructions say: “And we know negative 9 is less then negative 3.” To the right of this sentence is the inequality negative 9 is less than negative 3.» data-label=»»>

Например, мы знаем, что −4 меньше 2.
Если мы вычтем 5 из обеих величин, будет ли левая часть меньше правой?
Мы получаем −9 слева и −3 справа.
И мы знаем, что −9 меньше −3.
	Знак неравенства остался прежним.

Аналогичным образом мы могли бы показать, что неравенство остается неизменным и для сложения.

Это приводит нас к свойствам неравенства на вычитание и сложение.

Свойства неравенства

Мы используем эти свойства для решения неравенств, выполняя те же действия, что и при решении уравнений. Решая неравенство, шаги будут выглядеть так:

Вычтите 5 с обеих сторон, чтобы изолировать.
Упростить.

Любое число больше 4 является решением этого неравенства.

Решите неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решите неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решите неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решение неравенств, используя свойства неравенства деления и умножения

Свойства равенства деления и умножения гласят, что если две величины равны, когда мы делим или умножаем обе величины на одинаковую величину, результаты также будут равны (при условии, что мы не делим на 0).

Свойства равенства

Существуют ли аналогичные свойства для неравенств? Что происходит с неравенством, когда мы делим или умножаем обе части на константу?

Рассмотрим числовые примеры.

Неравенство сохраняется, когда мы делим или умножаем на отрицательное число?

Когда мы делим или умножаем неравенство на положительное число, знак неравенства остается прежним. Когда мы делим или умножаем неравенство на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

Вот свойства неравенства деления и умножения для удобства.

Свойства неравенства деления и умножения

Когда мы делим или умножаем неравенство на:

• положительное число , неравенство остается таким же .
• отрицательное число , неравенство отменяет .

Решите неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решите неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решите неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решите неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Устранение неравенств

Иногда при решении неравенства переменная оказывается справа.Мы можем переписать неравенство в обратном порядке, чтобы переменная оказалась слева.

Думайте об этом так: «Если Ксавье выше Алекса, значит, Алекс ниже Ксавьера».

Решите неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решите неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решите неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решите неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решите неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решите неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Устранение неравенств, требующих упрощения

Для устранения большинства неравенств потребуется более одного шага.Мы следуем тем же шагам, что и в общей стратегии решения линейных уравнений, но обязательно обращаем особое внимание во время умножения или деления.

Решите неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решите неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решите неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решите неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решите неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решите неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Подобно тому, как некоторые уравнения являются тождествами, а некоторые — противоречиями, неравенства могут быть тождествами или противоречиями.Мы узнаем эти формы, когда у нас остаются только константы при решении неравенства. Если результатом является истинное утверждение, у нас есть личность. Если результатом является ложное утверждение, мы приходим к противоречию.

Решите неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решите неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решите неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решите неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решите неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решите неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Переведите на неравенство и решите

Чтобы перевести английские предложения в выражения неравенства, нам нужно распознавать фразы, указывающие на неравенство.Некоторые слова просты, например «больше чем» и «меньше чем». Но другие не так очевидны.

Подумайте о фразе «по крайней мере» — что значит быть «не моложе 21 года»? Значит 21 или больше. Фраза «по крайней мере» означает «больше или равно».

(рисунок) показывает несколько распространенных фраз, указывающих на неравенство.

Starting from the second row and going down, these phrases are: “is less than,” “is smaller than,” “has fewer than,” and “is lower than.” Below the header row in the last column are phrases that indicate the symbol is less than or equal to. Starting from the second row and going down, these phrases are: “is less than or equal to,” “is at most,” “is no more than,” and “is the maximum.”»>

больше	больше или равно	меньше	меньше или равно
больше	не менее	меньше	— максимум
больше	не менее	имеет менее	— не более
превышает	— это минимум	ниже	это максимум

Переведите и решите. Затем запишите решение в интервальной записи и нанесите график на числовой прямой.

Двенадцать раз c не более 96.

Переведите и решите. Затем запишите решение в интервальной записи и нанесите график на числовой прямой.

Двадцать раз y не более 100

Переведите и решите. Затем запишите решение в интервальной записи и нанесите график на числовой прямой.

Девять раз z не меньше 135

Переведите и решите.Затем запишите решение в интервальной записи и нанесите график на числовой прямой.

Тридцать меньше x не меньше 45.

Переведите и решите. Затем запишите решение в интервальной записи и нанесите график на числовой прямой.

Девятнадцать менее p не менее 47

Переведите и решите. Затем запишите решение в интервальной записи и нанесите график на числовой прямой.

На четыре больше a не больше 15.

Ключевые понятия

• Свойство неравенства вычитания
  Для любых чисел a, b и c:
  , если тогда и
  , если тогда
• Свойство сложения неравенства
  Для любых чисел a, b и c:
  , если тогда и
  , если тогда
• Свойства неравенства деления и умножения y
  Для любых чисел a, b и c,
  if and, then and.
  если и, то и.
  если и, то и.
  если и, то и.
  
• Когда мы делим или умножаем неравенство на a:
  • положительное число , неравенство остается таким же .
  • отрицательное число , неравенство отменяет .

Упражнения по разделам

Практика ведет к совершенству

Неравенства в графике на числовой прямой

В следующих упражнениях нарисуйте каждое неравенство на числовой прямой.

В следующих упражнениях нарисуйте каждое неравенство на числовой прямой и запишите в интервальной записи.

Решите неравенства, используя свойства неравенства вычитания и сложения

В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решите неравенства, используя свойства неравенства деления и умножения

В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Устранение неравенств, требующих упрощения

В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Смешанная практика

В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Переведите на неравенство и решите

В следующих упражнениях переведите и решите. Затем запишите решение в интервальной записи и нанесите график на числовой прямой.

Четырнадцать раз d больше 56.

Девяносто раз c меньше 450.

В восемь раз z меньше, чем.

Десять раз y — самое большее.

Три больше х не меньше 25.

Шесть больше k больше 25.

Десять меньше w не меньше 39.

Двенадцать меньше x не меньше 21.

Отрицательное пять раз r не более 95.

Дважды отрицательное с меньше 56.

Девятнадцать меньше b не больше.

Пятнадцать меньше , а не меньше.

Повседневная математика

Безопасность Рост ребенка h должен быть не менее 57 дюймов, чтобы ребенок мог безопасно ездить на переднем сиденье автомобиля. Запишите это как неравенство.

Летчики-истребители Максимальная высота летчика-истребителя h составляет 77 дюймов. Запишите это как неравенство.

Лифты Общий вес пассажиров лифта, Вт, , не может превышать 1 200 фунтов.Запишите это как неравенство.

Покупки Количество товаров, n , которые покупатель может иметь в полосе экспресс-оформления, не превышает 8. Запишите это как неравенство.

Письменные упражнения

Приведите пример из своей жизни, используя фразу «хотя бы».

Приведите пример из своей жизни, используя фразу «максимум».

Объясните, почему при решении необходимо обратить неравенство.

Объясните, почему при решении необходимо обратить неравенство.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что этот контрольный список говорит вам о вашем мастерстве в этом разделе? Какие шаги вы предпримете для улучшения?

Упражнения на повторение главы 2

Решите уравнения, используя свойства равенства и сложения

Проверить решение уравнения

В следующих упражнениях определите, является ли каждое число решением уравнения.

Решите уравнения, используя свойства равенства равенства и вычитания и сложения

В следующих упражнениях решите каждое уравнение, используя свойство равенства вычитания.

В следующих упражнениях решите каждое уравнение, используя свойство сложения равенства.

В следующих упражнениях решите каждое уравнение.

Решите уравнения, требующие упрощения

В следующих упражнениях решите каждое уравнение.

Перевести в уравнение и решить

В следующих упражнениях переведите каждое английское предложение в алгебраическое уравнение, а затем решите его.

Сумма и 25.

Четыре меньше, чем 13.

Переводчик и решение приложений

В следующих упражнениях переведите в алгебраическое уравнение и решите.

Дочке Рошель 11 лет. Ее сын младше на 3 года. Сколько лет ее сыну?

Tan весит 146 фунтов. Минь весит на 15 фунтов больше, чем Тан. Сколько весит Мин?

Питер заплатил 9,75 фунтов стерлингов, чтобы пойти в кино, что составило 46 фунтов стерлингов.На 25 меньше, чем он заплатил, чтобы пойти на концерт. Сколько он заплатил за концерт?

Элисса заработала 152,84 фунта стерлингов на этой неделе, что на 21,65 евро больше, чем она заработала на прошлой неделе. Сколько она заработала на прошлой неделе?

Решите уравнения, используя свойства равенства и умножения

Решите уравнения, используя свойства равенства деления и умножения

В следующих упражнениях решите каждое уравнение, используя свойства равенства и умножения, и проверьте решение.

Решите уравнения, требующие упрощения

В следующих упражнениях решите каждое уравнение, требующее упрощения.

Перевести в уравнение и решить

В следующих упражнениях преобразуйте уравнение и решите его.

143 является произведением и y .

Частное b и 9 равно.

Сумма q , и одна четвертая равна единице.

Разница с и одна двенадцатая составляет одну четвертую.

Переводчик и решение приложений

В следующих упражнениях переведите в уравнение и решите.

Рэй заплатил 21 евро за 12 билетов на ярмарке графства.Какова цена каждого билета?

Джанет получает зарплату 24 евро в час. Она слышала, что это то, чем платят Адаму. Сколько Адаму платят за час?

Решите уравнения с переменными и константами с обеих сторон

Решите уравнение с константами с обеих сторон

В следующих упражнениях решите следующие уравнения с константами с обеих сторон.

Решите уравнение с переменными с обеих сторон

В следующих упражнениях решите следующие уравнения с переменными с обеих сторон.

Решите уравнение с переменными и константами с обеих сторон

В следующих упражнениях решите следующие уравнения с переменными и константами с обеих сторон.

Использование общей стратегии решения линейных уравнений

Решение уравнений с использованием общей стратегии решения линейных уравнений

В следующих упражнениях решите каждое линейное уравнение.

Классифицируйте уравнения

В следующих упражнениях классифицируйте каждое уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение.

противоречие; нет решения

удостоверение личности; все действительные числа

Решите уравнения с дробями и десятичными знаками

Решите уравнения с дробными коэффициентами

В следующих упражнениях решите каждое уравнение с дробными коэффициентами.

Решение уравнений с десятичными коэффициентами

В следующих упражнениях решите каждое уравнение с десятичными коэффициентами.

Решите линейные неравенства

Неравенства в графике на числовой прямой

В следующих упражнениях нарисуйте каждое неравенство на числовой прямой.

В следующих упражнениях нарисуйте каждое неравенство на числовой прямой и запишите в интервальной записи.

Решите неравенства, используя свойства неравенства вычитания и сложения

В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решите неравенства, используя свойства неравенства деления и умножения

В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Устранение неравенств, требующих упрощения

В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Переведите на неравенство и решите

В следующих упражнениях переведите и решите. Затем запишите решение в интервальной записи и нанесите график на числовой прямой.

Пять больше z не больше 19.

Три меньше c не меньше 360.

Дважды отрицательное не более 8.

Повседневная математика

Опишите, как вы использовали две темы из этой главы в своей жизни за пределами урока математики в течение последнего месяца.

Глава 2 Практический тест

Определите, является ли каждое число решением уравнения.

5

В следующих упражнениях решите каждое уравнение.

противоречие; нет решения

Решите формулу для y
ⓐ, когда
ⓑ в целом

ⓐⓑ

В следующих упражнениях нарисуйте график на числовой прямой и запишите в интервальной записи.

В следующих упражнениях, решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

В следующих упражнениях переведите уравнение или неравенство и решите.

4 меньше чем вдвое x равно 16.

Пятнадцать больше n не меньше 48.

Самуэль заплатил за бензин 25,82 фунта стерлингов на этой неделе, что составило 3 фунта стерлингов.На 47 меньше, чем он заплатил на прошлой неделе. Сколько он заплатил на прошлой неделе?

Дженна купила пальто на распродаже за 120 фунтов стерлингов, что было по первоначальной цене. Какова была первоначальная цена пальто?

; Первоначальная цена составляла 180 фунтов стерлингов.

Шон сел на автобус из Сиэтла в Бойсе, расстояние 506 миль. Если поездка длилась несколько часов, какова скорость автобуса?

.