Решите неравенство 2: Решите неравенство 2^x

Содержание

Урок 50. тригонометрические неравенства — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Урок Конспект Дополнительные материалы

Тригонометрические неравенства

Решите неравенство $2sinx\leq\sqrt2$

Подсказка

Изобразите тригонометрическую окружность, выделите дугу, соответствующую неравенству, и запишите решение

Тригонометрические неравенства

Решите неравенство

$2cosx\leq−\sqrt2$

Подсказка

Изобразите тригонометрическую окружность, выделите дугу, соответствующую неравенству, и запишите решение

Тригонометрические неравенства

Решите неравенство $2tanx\leq−\sqrt{3}$

Подсказка

Изобразите тригонометрическую окружность, линию тангенсов, выделите дуги, соответствующие неравенству, и запишите решение

Тригонометрические неравенства

Заполните кроссворд

Подсказка

Вспомните основные термины темы

Тригонометрические неравентва

Соотнесите неравенства с их изображениями на окружности.

1)

2)

3)

A) $sinx\lt 1$

B) $2sinx\gt \sqrt 2$

C) $−2cosx\lt 1$

Подсказка

Изобразите для каждого неравенства соответствующую ему дугу

Тригонометрические неравенства

Решите неравенство. Заполните пропуски

Подсказка

Введите новую переменную, решите вспомогательное неравенство

Тригонометрические неравенства

Подставьте значение переменных в ответ, решив неравенство.2 2 x \le 1$

$\frac{\alpha\pi}{b}+\pi k;\frac{c\pi}{b}+\pi k$

Подсказка

Выразите $\tan 2x$, затем решите простейшие неравенства

Тригонометрические неравенства

Собери решение

$\frac{1+\cos 2x}{2\cos x+1}>0$

Подсказка

Обратите внимание, что числитель дроби всегда неотрицательный

$\lgroup\frac{-2\pi}{3}+2\pi k;\frac{-\pi}{2}+2\pi k\rgroup$

$\lgroup\frac{-\pi}{4}+2\pi k;\frac{-\pi}{2}+2\pi k\rgroup$

$\lgroup\frac{-\pi}{2}+2\pi k;\frac{\pi}{2}+2\pi k\rgroup$

$\lgroup\frac{-\pi}{2}+2\pi k;\frac{2\pi}{3}+2\pi k\rgroup$

$\lgroup\frac{\pi}{2}+2\pi k;\frac{2\pi}{3}+2\pi k\rgroup$

$\lgroup\frac{-\pi}{3}+2\pi k;\frac{\pi}{2}+2\pi k\rgroup$

Тригонометрические неравенства

Решите неравенство $\frac{1}{\cos}\ge\frac{6}{\pi}$ и выберите правильный ответ

Подсказка

Рассмотрите разность левой и правой частей, приведите к общему знаменателю и решите методом интервалов

Тригонометрические неравенства

Решите неравенство $\frac{1}{\sin x}\ge\frac{4}{\pi}$ и введите пропуски в ответ

Подсказка

Рассмотрите разность левой и правой частей, приведите к общему знаменателю и решите методом интервалов

Тригонометрические неравенства

Сопоставьте неравенства с их решениями

A) $\sqrt{2\cos 8x+3}\le 3-\sqrt{5-\sin 4x}$

B) $\sqrt{-1-2\cos 10x}\ge 2-\sqrt{3\sin 5x-2}$

C) $\sqrt{\cos 6x+2}\le 2-\sqrt{4-3\sin 3x}$

1) $x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi k}{5}, k\in Z$

2) $x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}, k\in Z$

3) $x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3}, k\in Z$

Подсказка

Учитывайте свойства подкоренных выражений и область возможных значений $\sin x$ и $\cos x$

Тригонометрические неравенства

Подставьте значение переменных в ответ, решив неравенство.

$0,5\cos 2x\le\sin x\cos x$

Ответ: $\lbrack\frac{\alpha\pi}{b}+2\pi k;\frac{c\pi}{b}+2\pi k\rbrack$

1) a=____

1) b=____

1) c=____

Подсказка

Используйте формулу синуса двойного аргумента

Тригонометрические неравенства

Подставьте значение переменных в ответ, решив неравенство.

$\cos 2x<\sin x$

Ответ: $(\frac{\alpha\pi}{b}+2\pi k;\frac{c\pi}{b}+2\pi k)$

1) a=____

1) b=____

3) c=____

Подсказка

Введите новую переменную и решите вспомогательное неравенство

Тригонометрические неравенства

Подставьте значение переменных в ответ, решив неравенство.

$\cos (\frac{2\pi}{3}-4x)+\cos(\frac{2\pi}{3}+4x)-\frac{1}{2}<0 x$

Ответ: $(\frac{\alpha\pi}{b}+2\pi k;\frac{c\pi}{b}+2\pi k)$

1) a=___

2) b=___

3) c=___

Подсказка

Преобразуйте сумму косинусов в произведение

Двойные неравенства. 2 способа решения

Например:

\(5<11<17\)
\(-2\leq3x+5\leq2\)
\(2x-5\leq3x+7\leq8x\)

Двойное неравенство по своей сути – это система из двух неравенств, записанных в одну строку. Поэтому  их всегда можно представить в виде системы.

Например:

\(-2\leq3x+5\leq2\Leftrightarrow\begin{cases}-2\leq3x+5\\3x+5\leq2\end{cases}\)
\(2x-5\leq3x+7\leq8x\Leftrightarrow\begin{cases}2x-5\leq3x+7\\3x+7\leq8x\end{cases}\)

Но делать это нужно не всегда.

2 способа решения двойного неравенства

1) Если в крайней левой и крайней правой частях двойного неравенства нет неизвестных, то удобнее оставить его как есть. При этом в процессе решения стремится равносильными преобразованиями привести неравенство к виду \([число]\)\(<\)\(x\)\(<\)\([число]\).

Пример: Решите двойное неравенство:

\(-2\leq3x+5\leq2\)    \(|-5\)

Здесь нет неизвестных по краям, поэтому к системе переходить не будем. Вместо этого делаем такие преобразования, чтоб в центре остался голый икс, а по краям — числа.
Для того чтобы «оголить» икс нужно избавиться от пятерки и тройки. Вычтем \(5\) из всего неравенства.

\(-7≤3x≤-3\)   \(|:3\)

 

Теперь нам мешает \(3\). Поделим все три части неравенства на \(3\).

\(-\)\(\frac{7}{3}\)\(\leq x \leq-1\)

 

Готово, наш икс «голый». Можно записывать ответ.

Ответ: \([-\)\(\frac{7}{3}\)\(;-1]\)

2) Если в крайних частях двойного неравенства есть неизвестные лучше перевести неравенство в систему и решать его как обычную систему неравенств.

Пример: Решите двойное неравенство:

\(2x-5<3x+7≤8x\)

В крайней левой и крайней правой частях есть неизвестные –значит переходим к системе.

\(\begin{cases}2x-5<3x+7\\3x+7\leq8x\end{cases}\)

Решаем обычные линейные неравенства: все, что с иксами переносим в левую сторону, все что без иксов — в правую.

\(\begin{cases}2x-3x<7+5\\3x-8x\leq-7\end{cases}\)

Приводим подобные слагаемые

\(\begin{cases}-x<12   \\-5x\leq-7   \end{cases}\)

«Оголим» иксы, поделив верхнее неравенство на \((-1)\), нижнее на \((-5)\). Не забываем при этом перевернуть знаки сравнения, так как мы делим на отрицательное число.

\(\begin{cases}x>-12   \\x\geq \frac{7}{5}\end{cases}\)

Отметим на числовой оси оба решения

  

Так как у нас система, то мы ищем значения иксов, которые подойдут обоим неравенствам, т.е. интервал, где есть двойная штриховка: и сверху, и снизу. Его и запишем ответ.

Ответ: \([\)\(\frac{7}{5}\)\(;\infty)\)

Скачать статью

Задание 15. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Задание 15 Профильного ЕГЭ по математике можно считать границей между «неплохо сдал ЕГЭ» и «поступил в вуз с профильной математикой». Здесь не обойтись без отличного знания алгебры. Потому что встретиться вам может любое неравенство: показательное, логарифмическое, комбинированное (например, логарифмы и тригонометрия). И еще бывают неравенства с модулем и иррациональные неравенства. Некоторые из них мы разберем в этой статье.

Хотите получить на Профильном ЕГЭ не менее 70 баллов? Учитесь решать неравенства!

Темы для повторения:

New 

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2021

Квадратичные неравенства

Метод интервалов 

Уравнения и неравенства с модулем 

Иррациональные неравенства

Показательные неравенства

Логарифмические неравенства

Метод замены множителя (рационализации)

Решение неравенств: основные ошибки и полезные лайфхаки

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 8, задача 15

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 32, задача 15

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 15

Логарифмические неравенства повышенной сложности

Разберем неравенства разных типов из вариантов ЕГЭ по математике.

Дробно-рациональные неравенства 

1. Решите неравенство:

Сделаем замену

Тогда , а

Получим:

Решим неравенство относительно t методом интервалов:

Получим:

Вернемся к переменной x:

Ответ:

Показательные неравенства

2. Решите неравенство

Сделаем замену Получим:

Умножим неравенство на

Дискриминант квадратного уравнения

Значит, корни этого уравнения:

Разложим квадратный трехчлен на множители.

. Вернемся к переменной x.

Внимание. Сначала решаем неравенство относительно переменной t. Только после этого возвращаемся к переменной x. Запомнили?

Ответ:

Следующая задача — с секретом. Да, такие тоже встречаются в вариантах ЕГЭ,

3. Решите неравенство

Сделаем замену Получим:

Вернемся к переменной

Первое неравенство решим легко: С неравенством тоже все просто. Но что делать с неравенством ? Ведь Представляете, как трудно будет выразить х?

Оценим Для этого рассмотрим функцию

Сначала оценим показатель степени. Пусть Это парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение этой функции достигается в вершине параболы, при х = 1. При этом

Мы получили, что

Тогда , и это значит, что Значение не достигается ни при каких х.

Но если и , то

Мы получили:

Ответ:

Логарифмические неравенства

4. Решите неравенство

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Лучше всего оформлять решение неравенства именно так.

Ответ:

Следующее неравенство — комбинированное. И логарифмы, и тригонометрия!

5. Решите неравенство

ОДЗ:

Замена


Ответ:

А вот и метод замены множителя (рационализации). Смотрите, как он применяется. А на ЕГЭ не забудьте доказать формулы, по которым мы заменяем логарифмический множитель на алгебраический.

6. Решите неравенство:

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что . Используем также условия

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря,

Поскольку

Согласно методу замены множителя, выражение заменим на

Получим систему:

Решить ее легко.

Ответ: .

Разберем какое-нибудь нестандартное неравенство. Такое, что не решается обычными способами.

7. Решите неравенство:

ОДЗ:

Привести обе части к одному основанию не получается. Ищем другой способ.

Заметим, что при x = 9 оба слагаемых равны 2 и их сумма равна 4.

Функции и — монотонно возрастающие, следовательно, их сумма также является монотонно возрастающей функцией и каждое свое значение принимает только один раз.

Поскольку при x=9 значение монотонно возрастающей функции равно 4, при значения этой функции меньше 4. Конечно, при этом , то есть x принадлежит ОДЗ.

Ответ:

Общие сведения о неравенствах

Данный материал может показаться сложным для понимания. Рекомендуется изучать его маленькими частями.

Предварительные навыки

Определения и свойства

Неравенством мы будем называть два числовых или буквенных выражения, соединенных знаками >, <, ≥, ≤ или ≠.

Пример: 5 > 3

Данное неравенство говорит о том, что число 5 больше, чем число 3. Острый угол знака неравенства должен быть направлен в сторону меньшего числа. Это неравенство является верным, поскольку 5 больше, чем 3.

Если на левую чашу весов положить арбуз массой 5 кг, а на правую — арбуз массой 3 кг, то левая чаша перевесит правую, и экран весов покажет, что левая чаша тяжелее правой:

Если 5 > 3, то 3 < 5. То есть левую и правую часть неравенства можно поменять местами, изменив знак неравенства на противоположный. В ситуации с весами: большой арбуз можно положить на правую чашу, а маленький арбуз на левую. Тогда правая чаша перевесит левую, и экран покажет знак <

Если в неравенстве 5 > 3, не трогая левую и правую часть, поменять знак на <, то получится неравенство 5 < 3. Это неравенство не является верным, поскольку число 3 не может быть больше числа 5.

Числа, которые располагаются в левой и правой части неравенства, будем называть членами этого неравенства. Например, в неравенстве 5 > 3 членами являются числа 5 и 3.

Рассмотрим некоторые важные свойства для неравенства 5 > 3.
В будущем эти свойства будут работать и для других неравенств.

Свойство 1.

Если к левой и правой части неравенства 5 > 3 прибавить или вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится.

Например, прибавим к обеим частям неравенства число 4. Тогда получим:

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Теперь попробуем вычесть из обеих частей неравенства 5 > 3 какое-нибудь число, скажем число 2

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Из данного свойства следует, что любой член неравенства можно перенести из одной части в другую часть, изменив знак этого члена. Знак неравенства при этом не изменится.

Например, перенесём в неравенстве 5 > 3, член 5 из левой части в правую часть, изменив знак этого члена. После переноса члена 5 в правую часть, в левой части ничего не останется, поэтому запишем там 0

0 > 3 − 5

0 > −2

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.


Свойство 2.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.

Например, умножим обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь положительное число, скажем на число 2. Тогда получим:

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Теперь попробуем разделить обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь число. Разделим их на 2

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Свойство 3.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Например, умножим обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь отрицательное число, скажем на число −2. Тогда получим:

Видим, что левая часть стала меньше правой. То есть знак неравенства изменился на противоположный.

Теперь попробуем разделить обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь отрицательное число. Давайте разделим их на −1

Видим, что левая часть стала меньше правой. То есть знак неравенства изменился на противоположный.

Само по себе неравенство можно понимать, как некоторое условие. Если условие выполняется, то неравенство является верным. И наоборот, если условие не выполняется, то неравенство не верно.

Например, чтобы ответить на вопрос является ли верным неравенство 7 > 3, нужно проверить выполняется ли условие «больше ли 7, чем 3». Мы знаем, что число 7 больше, чем число 3. То есть условие выполнено, а значит и неравенство 7 > 3 верно.

Неравенство 8 < 6 не является верным, поскольку не выполняется условие «8 меньше, чем 6».

Другим способом определения верности неравенства является составление разности из левой и правой части данного неравенства. Если разность положительна, то левая часть больше правой части. И наоборот, если разность отрицательна, то левая часть меньше правой части. Более точно это правило выглядит следующим образом:

Число a больше числа b, если разность a − b положительна. Число a меньше числа b, если разность a − b отрицательна.

Например, мы выяснили, что неравенство 7 > 3 является верным, поскольку число 7 больше, чем число 3. Докажем это с помощью правила, приведённого выше.

Составим разность из членов 7 и 3. Тогда получим 7 − 3 = 4. Согласно правилу, число 7 будет больше числа 3, если разность 7 − 3 окажется положительной. У нас она равна 4, то есть разность положительна. А значит число 7 больше числа 3.

Проверим с помощью разности верно ли неравенство 3 < 4. Составим разность, получим 3 − 4 = −1. Согласно правилу, число 3 будет меньше числа 4, если разность 3 − 4 окажется отрицательной. У нас она равна −1, то есть разность отрицательна. А значит число 3 меньше числа 4.

Проверим верно ли неравенство 5 > 8. Составим разность, получим 5 − 8 = −3. Согласно правилу, число 5 будет больше числа 8, если разность 5 − 8 окажется положительной. У нас разность равна −3, то есть она не является положительной. А значит число 5 не больше числа 8. Иными словами, неравенство 5 > 8 не является верным.


Строгие и нестрогие неравенства

Неравенства, содержащие знаки >, < называют строгими. А неравенства, содержащие знаки ≥, ≤  называют нестрогими.

Примеры строгих неравенства мы рассматривали ранее. Таковыми являются неравенства 5 > 3, 7 < 9.

Нестрогим, например, является неравенство 2 ≤ 5. Данное неравенство читают следующим образом: «2 меньше или равно 5».

Запись 2 ≤ 5 является неполной. Полная запись этого неравенства выглядит следующим образом:

2 < 5 или 2 = 5

Тогда становится очевидным, что неравенство 2 ≤ 5 состоит из двух условий: «два меньше пять» и «два равно пять».

Нестрогое неравенство верно в том случае, если выполняется хотя бы одно из его условий. В нашем примере верным является условие «2 меньше 5». Значит и само неравенство 2 ≤ 5 верно.

Пример 2. Неравенство 2 ≤ 2 является верным, поскольку выполняется одно из его условий, а именно 2 = 2.

Пример 3. Неравенство 5 ≤ 2 не является верным, поскольку не выполняется ни одно из его условий: ни 5 < 2 ни 5 = 2.


Двойное неравенство

Число 3 больше, чем число 2 и меньше, чем число 4. В виде неравенства это высказывание можно записать так: 2 < 3 < 4. Такое неравенство называют двойным.

Двойное неравенство может содержать знаки нестрогих неравенств. К примеру, если число 5 больше или равно, чем число 2, и меньше или равно, чем число 7, то можно записать, что 2 ≤ 5 ≤ 7

Чтобы правильно записать двойное неравенство, сначала записывают член находящийся в середине, затем член находящийся слева, затем член находящийся справа.

Например, запишем, что число 6 больше, чем число 4, и меньше, чем число 9.

Сначала записываем 6

Слева записываем, что это число больше, чем число 4

Справа записываем, что число 6 меньше, чем число 9


Неравенство с переменной

Неравенство, как и равенство может содержать переменную.

Например, неравенство x > 2 содержит переменную x. Обычно такое неравенство нужно решить, то есть выяснить при каких значениях x данное неравенство становится верным.

Решить неравенство означает найти такие значения переменной x, при которых данное неравенство становится верным.

Значение переменной, при котором неравенство становится верным, называется решением неравенства.

Неравенство > 2 становится верным при x = 3, x = 4, x = 5, x = 6 и так далее до бесконечности. Видим, что это неравенство имеет не одно решение, а множество решений.

Другими словами, решением неравенства x > 2 является множество всех чисел, бóльших 2. При этих числах неравенство будет верным. Примеры:

3 > 2

4 > 2

5 > 2

Число 2, располагающееся в правой части неравенства x > 2, будем называть границей данного неравенства. В зависимости от знака неравенства, граница может принадлежать множеству решений неравенства либо не принадлежать ему.

В нашем примере граница неравенства не принадлежит множеству решений, поскольку при подстановке числа 2 в неравенство x > 2 получается не верное неравенство 2 > 2. Число 2 не может быть больше самого себя, поскольку оно равно самому себе (2 = 2).

Неравенство x > 2 является строгим. Его можно прочитать так: «x строго больше 2″. То есть все значения, принимаемые переменной x должны быть строго больше 2. В противном случае, неравенство верным не будет.

Если бы нам было дано нестрогое неравенство ≥ 2, то решениями данного неравенства были бы все числа, которые больше 2, в том числе и само число 2. В этом неравенстве граница 2 принадлежит множеству решений неравенства, поскольку при подстановке числа 2 в неравенство x ≥ 2 получается верное неравенство 2 ≥ 2. Ранее было сказано, что нестрогое неравенство является верным, если выполняется хотя бы одно из его условий. В неравенстве 2 ≥ 2 выполняется условие 2 = 2, поэтому и само неравенство 2 ≥ 2 верно.


Как решать неравенства

Процесс решения неравенств во многом схож с процессом решения уравнений. При решении неравенств мы будем применять свойства, которые изучили вначале данного урока, такие как: перенос слагаемых из одной части неравенства в другую часть, меняя знак; умножение (или деление) обеих частей неравенства на одно и то же число.

Эти свойства позволяют получить неравенство, которое равносильно исходному. Равносильными называют неравенства, решения которых совпадают.

Решая уравнения мы выполняли тождественные преобразования до тех пор, пока в левой части уравнения не оставалась переменная, а в правой части значение этой переменной (например: x = 2, x = 5). Иными словами, заменяли исходное уравнение на равносильное ему уравнение до тех пор, пока не получалось уравнение вида x = a, где a значение переменной x. В зависимости от уравнения, корней могло быть один, два, бесконечное множество, либо не быть совсем.

А при решении неравенств мы будем заменять исходное неравенство на равносильное ему неравенство до тех пор, пока в левой части не останется переменная этого неравенства, а в правой части его граница.

Пример 1. Решить неравенство 2> 6

Итак, нужно найти такие значения x, при подстановке которых в 2> 6 получится верное неравенство.

Вначале данного урока было сказано, что если обе части неравенства разделить на какое-нибудь положительное число, то знак неравенства не изменится. Если применить это свойство к неравенству, содержащему переменную, то получится неравенство равносильное исходному.

В нашем случае, если мы разделим обе части неравенства 2> 6 на какое-нибудь положительное число, то получится неравенство, которое равносильно исходному неравенству 2> 6. 

Итак, разделим обе части неравенства на 2.

В левой части осталась переменная x, а правая часть стала равна 3. Получилось равносильное неравенство > 3. На этом решение завершается, поскольку в левой части осталась переменная, а в правой части граница неравенства.

Теперь можно сделать вывод, что решениями неравенства > 3 являются все числа, которые больше 3. Это числа 4, 5, 6, 7 и так далее до бесконечности. При этих значениях неравенство > 3 будет верным.

4 > 3

5 > 3

6 > 3

7 > 3

Отметим, что неравенство > 3 является строгим. «Переменная x строго больше трёх».

А поскольку неравенство > 3 равносильно исходному неравенству 2> 6, то их решения будут совпадать. Иначе говоря, значения, которые подходят неравенству > 3, будут подходить и неравенству 2> 6. Покажем это.

Возьмём, например, число 5 и подставим его сначала в полученное нами равносильное неравенство > 3, а потом в исходное 2> 6.

Видим, что в обоих случаях получается верное неравенство.

После того, как неравенство решено, ответ нужно записать в виде так называемого числового промежутка следующим образом:

В этом выражении говорится, что значения, принимаемые переменной x, принадлежат числовому промежутку от трёх до плюс бесконечности.

Иначе говоря, все числа, начиная от трёх до плюс бесконечности являются решениями неравенства > 3. Знак  в математике означает бесконечность.

Учитывая, что понятие числового промежутка очень важно, остановимся на нём подробнее.


Числовые промежутки

Числовым промежутком называют множество чисел на координатной прямой, которое может быть описано с помощью неравенства.

Допустим, мы хотим изобразить на координатной прямой множество чисел от 2 до 8. Для этого сначала на координатной прямой отмечаем точки с координатами 2 и 8, а затем выделяем штрихами ту область, которая располагается между координатами 2 и 8. Эти штрихи будут играть роль чисел, располагающихся между числами 2 и 8

Числа 2 и 8 назовём границами числового промежутка. Рисуя числовой промежуток, точки для его границ изображают не в виде точек как таковых, а в виде кружков, которые можно разглядеть.

Границы могут принадлежать числовому промежутку либо не принадлежать ему.

Если границы не принадлежат числовому промежутку, то они изображаются на координатной прямой в виде пустых кружков.

Если границы принадлежат числовому промежутку, то кружки необходимо закрасить.

На нашем рисунке кружки были оставлены пустыми. Это означало, что границы 2 и 8 не принадлежат числовому промежутку. Значит в наш числовой промежуток будут входить все числа от 2 до 8, кроме чисел 2 и 8.

Если мы хотим включить границы 2 и 8 в числовой промежуток, то кружки необходимо закрасить:

В данном случае в числовой промежуток будут входить все числа от 2 до 8, включая числа 2 и 8.

На письме числовой промежуток обозначается указанием его границ с помощью круглых или квадратных скобок.

Если границы не принадлежат числовому промежутку, то границы обрамляются круглыми скобками.

Если границы принадлежат числовому промежутку, то границы обрамляются квадратными скобками.

На рисунке представлено два числовых промежутка от 2 до 8 с соответствующими обозначениями:

На первом рисунке числовой промежуток обозначен с помощью круглых скобок, поскольку границы 2 и 8 не принадлежат этому числовому промежутку.

На втором рисунке числовой промежуток обозначен с помощью квадратных скобок, поскольку границы 2 и 8 принадлежат этому числовому промежутку.

С помощью числовых промежутков можно записывать ответы к неравенствам. Например, ответ к двойному неравенству 2 ≤ ≤ 8 записывается так:

x ∈ [ 2 ; 8 ]

То есть сначала записывают переменную, входящую в неравенство, затем с помощью знака принадлежности ∈ указывают к какому числовому промежутку принадлежат значения этой переменной. В данном случае выражение x ∈ [ 2 ; 8 ] указывает на то, что переменная x, входящая в неравенство 2 ≤ ≤ 8, принимает все значения в промежутке от 2 до 8 включительно. При этих значениях неравенство будет верным.

Обратим внимание на то, что ответ записан с помощью квадратных скобок, поскольку границы неравенства 2 ≤ ≤ 8, а именно числа 2 и 8 принадлежат множеству решений этого неравенства.

Множество решений неравенства 2 ≤ ≤ 8 также можно изобразить с помощью координатной прямой:

Здесь границы числового промежутка 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ ≤ 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 ≤ ≤ 8.

В некоторых источниках границы, которые не принадлежат числовому промежутку, называют открытыми.

Открытыми их называют по той причине, что числовой промежуток остаётся открытым из-за того, что его границы не принадлежат этому числовому промежутку. Пустой кружок на координатной прямой математики называют выколотой точкой. Выколоть точку значит исключить её из числового промежутка или из множества решений неравенства.

А в случае, когда границы принадлежат числовому промежутку, их называют закрытыми (или замкнутыми), поскольку такие границы закрывают (замыкают) собой числовой промежуток. Закрашенный кружок на координатной прямой также говорит о закрытости границ.

Существуют разновидности числовых промежутков. Рассмотрим каждый из них.

Числовой луч

Числовым лучом называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x ≥ a, где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства.

Пусть = 3. Тогда неравенство x ≥ a примет вид ≥ 3. Решениями данного неравенства являются все числа, которые больше 3, включая само число 3.

Изобразим числовой луч, заданный неравенством ≥ 3, на координатной прямой. Для этого отметим на ней точку с координатой 3, а всю оставшуюся справа от неё область выделим штрихами. Выделяется именно правая часть, поскольку решениями неравенства ≥ 3 являются числа, бóльшие 3. А бóльшие числа на координатной прямой располагаются правее

Здесь точка 3 соответствует границе неравенства ≥ 3, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства ≥ 3.

Точка 3, являющаяся границей числового луча, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку граница неравенства ≥ 3 принадлежит множеству его решений.

На письме числовой луч, заданный неравенством x ≥ a, обозначается следующим образом:

[ ; +∞ )

Видно, что с одной стороны граница обрамлена квадратной скобкой, а с другой круглой. Это связано с тем, что одна граница числового луча принадлежит ему, а другая нет, поскольку бесконечность сама по себе границ не имеет и подразумевается, что по ту сторону нет числа, замыкающего этот числовой луч.

Учитывая то, что одна из границ числового луча закрыта, данный промежуток часто называют закрытым числовым лучом.

Запишем ответ к неравенству ≥ 3 с помощью обозначения числового луча. У нас переменная a равна 3

x ∈  [ 3 ; +∞ )

В этом выражении говорится, что переменная x, входящая в неравенство ≥ 3, принимает все значения от 3 до плюс бесконечности.

Иначе говоря, все числа от 3 до плюс бесконечности, являются решениями неравенства ≥ 3. Граница 3 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство ≥ 3 является нестрогим.

Закрытым числовым лучом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x ≤ a. Решениями неравенства x ≤ a являются все числа, которые меньше a, включая само число a. 

К примеру, если = 2, то неравенство примет вид ≤ 2. На координатной прямой граница 2 будет изображаться закрашенным кружком, а вся область, находящаяся слева, будет выделена штрихами. В этот раз выделяется левая часть, поскольку решениями неравенства ≤ 2 являются числа, меньшие 2. А меньшие числа на координатной прямой располагаются левее

Здесь точка 2 соответствует границе неравенства ≤ 2, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства ≤ 2.

Точка 2, являющаяся границей числового луча, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку граница неравенства ≤ 2 принадлежит множеству его решений.

Запишем ответ к неравенству ≤ 2 с помощью обозначения числового луча:

x ∈  ( −∞ ; 2 ]

В этом выражении говорится, что все числа от минус бесконечности до 2, являются решениями неравенства ≤ 2. Граница 2 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство ≤ 2 является нестрогим.

Открытый числовой луч

Открытым числовым лучом называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x > a, где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства.

Открытый числовой луч во многом похож на закрытый числовой луч. Различие в том, что граница a не принадлежит промежутку, как и граница неравенства x > a не принадлежит множеству его решений.

Пусть = 3. Тогда неравенство примет вид > 3. Решениями данного неравенства являются все числа, которые больше 3, за исключением числа 3

На координатной прямой граница открытого числового луча, заданного неравенством > 3, будет изображаться в виде пустого кружка. Вся область, находящаяся справа, будет выделена штрихами:

Здесь точка 3 соответствует границе неравенства x > 3, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства x > 3. Точка 3, являющаяся границей открытого числового луча, изображена в виде пустого кружка, поскольку граница неравенства x > 3 не принадлежит множеству его решений.

На письме открытый числовой луч, заданный неравенством x > a, обозначается следующим образом:

( ; +∞ )

Круглые скобки указывают на то, что границы открытого числового луча не принадлежат ему.

Запишем ответ к неравенству x > 3 с помощью обозначения открытого числового луча:

x ∈  ( 3 ; +∞ )

В этом выражении говорится, что все числа от 3 до плюс бесконечности, являются решениями неравенства x > 3. Граница 3 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x > 3 является строгим.

Открытым числовым лучом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x < a, где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства. Решениями неравенства x < a являются все числа, которые меньше a, исключая число a. 

К примеру, если = 2, то неравенство примет вид x < 2. На координатной прямой граница 2 будет изображаться пустым кружком, а вся область, находящаяся слева, будет выделена штрихами:

Здесь точка 2 соответствует границе неравенства x < 2, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства x < 2. Точка 2, являющаяся границей открытого числового луча, изображена в виде пустого кружка, поскольку граница неравенства x < 2 не принадлежит множеству его решений.

На письме открытый числовой луч, заданный неравенством x < a, обозначается следующим образом:

( −∞ ; a )

Запишем ответ к неравенству x < 2 с помощью обозначения открытого числового луча:

x ∈  ( −∞ ; 2 )

В этом выражении говорится, что все числа от минус бесконечности до 2, являются решениями неравенства x < 2. Граница 2 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x < 2 является строгим.

Отрезок

Отрезком называют числовой промежуток, который задаётся двойным неравенством a ≤ x ≤ b, где a и b — границы данного неравенства, x — решение неравенства.

Пусть a = 2, b = 8. Тогда неравенство a ≤ x ≤ b примет вид 2 ≤ ≤ 8. Решениями неравенства 2 ≤ ≤ 8 являются все числа, которые больше 2 и меньше 8. При этом границы неравенства 2 и 8 принадлежат множеству его решений, поскольку неравенство 2 ≤ ≤ 8 является нестрогим.

Изобразим отрезок, заданный двойным неравенством 2 ≤ ≤ 8 на координатной прямой. Для этого отметим на ней точки с координатами 2 и 8, а располагающуюся между ними область выделим штрихами:

Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ ≤ 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 ≤ ≤ 8. Точки 2 и 8, являющиеся границами отрезка, изображены в виде закрашенных кружков, поскольку границы неравенства 2 ≤ ≤ 8 принадлежат множеству его решений.

На письме отрезок, заданный неравенством a ≤ x ≤ b обозначается следующим образом:

[ a ; b ]

Квадратные скобки с обеих сторон указывают на то, что границы отрезка принадлежат ему. Запишем ответ к неравенству 2 ≤ ≤ 8 с помощью этого обозначения:

x ∈  [ 2 ; 8 ]

В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8 включительно, являются решениями неравенства 2 ≤ ≤ 8.

Интервал

Интервалом называют числовой промежуток, который задаётся двойным неравенством a < x < b, где a и b — границы данного неравенства, x — решение неравенства.

Пусть a = 2, b = 8. Тогда неравенство a < x < b примет вид 2 < < 8. Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

Изобразим интервал на координатной прямой:

Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 < < 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 < < 8. Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < < 8 не принадлежат множеству его решений.

На письме интервал, заданный неравенством a < x < b, обозначается следующим образом:

( a ; b )

Круглые скобки с обеих сторон указывают на то, что границы интервала не принадлежат ему. Запишем ответ к неравенству 2 < < 8 с помощью этого обозначения:

x ∈  ( 2 ; 8 )

В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, исключая числа 2 и 8, являются решениями неравенства 2 < < 8.

Полуинтервал

Полуинтервалом называют числовой промежуток, который задаётся неравенством a ≤ x < b, где a и b — границы данного неравенства, x — решение неравенства.

Полуинтервалом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством a < x ≤ b.

Одна из границ полуинтервала принадлежит ему. Отсюда и название этого числового промежутка.

В ситуации с полуинтервалом a ≤ x < b ему (полуинтервалу) принадлежит левая граница.

А в ситуации с полуинтервалом a < x ≤ b ему принадлежит правая граница.

Пусть = 2, = 8. Тогда неравенство a ≤ x < b примет вид 2 ≤ x < 8. Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

Изобразим полуинтервал 2 ≤ x < 8 на координатной прямой:

Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ x < 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 ≤ x < 8.

Точка 2, являющаяся левой границей полуинтервала, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку левая граница неравенства 2 ≤ x < 8 принадлежит множеству его решений.

А точка 8, являющаяся правой границей полуинтервала, изображена в виде пустого кружка, поскольку правая граница неравенства 2 ≤ x < 8 не принадлежит множеству его решений.

На письме полуинтервал, заданный неравенством a ≤ x < b, обозначается следующим образом:

a ; b )

Видно, что с одной стороны граница обрамлена квадратной скобкой, а с другой круглой. Это связано с тем, что одна граница полуинтервала принадлежит ему, а другая нет. Запишем ответ к неравенству 2 ≤ x < 8 с помощью этого обозначения:

x ∈  [ 2 ; 8 )

В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, включая число 2, но исключая число 8, являются решениями неравенства 2 ≤ x < 8.

Аналогично на координатной прямой можно изобразить полуинтервал, заданный неравенством a < x ≤ b. Пусть = 2, = 8. Тогда неравенство a < x ≤ b примет вид 2 < ≤ 8. Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая число 2, но включая число 8.

Изобразим полуинтервал 2 < ≤ 8 на координатной прямой:

Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 < ≤ 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 < ≤ 8.

Точка 2, являющаяся левой границей полуинтервала, изображена в виде пустого кружка, поскольку левая граница неравенства 2 < ≤ 8 не принадлежит множеству его решений.

А точка 8, являющаяся правой границей полуинтервала, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку правая граница неравенства 2 < ≤ 8 принадлежит множеству его решений.

На письме полуинтервал, заданный неравенством a < x ≤ b, обозначается так: ( a ; b ]. Запишем ответ к неравенству 2 < ≤ 8 с помощью этого обозначения:

x ∈  ( 2 ; 8 ]

В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, исключая число 2, но включая число 8, являются решениями неравенства 2 < ≤ 8.


Изображение числовых промежутков на координатной прямой

Числовой промежуток может быть задан с помощью неравенства или с помощью обозначения (круглых или квадратных скобок). В обоих случаях нужно суметь изобразить этот числовой промежуток на координатной прямой. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Изобразить числовой промежуток, заданный неравенством > 5

Вспоминаем, что неравенством вида a задаётся открытый числовой луч. В данном случае переменная a равна 5. Неравенство > 5 строгое, поэтому граница 5 будет изображаться в виде пустого кружкá. Нас интересуют все значения x, которые больше 5, поэтому вся область справа будет выделена штрихами:


Пример 2. Изобразить числовой промежуток (5; +∞) на координатной прямой

Это тот же числовой промежуток, который мы изобразили в предыдущем примере. Но в этот раз он задан не с помощью неравенства, а с помощью обозначения числового промежутка.

Граница 5 обрамлена круглой скобкой, значит она не принадлежит промежутку. Соответственно, кружок остаётся пустым.

Символ +∞ указывает, что нас интересуют все числа, которые больше 5. Соответственно, вся область справа от границы 5 выделяется штрихами:


Пример 3. Изобразить числовой промежуток (−5; 1) на координатной прямой.

Круглыми скобками с обеих сторон обозначаются интервалы. Границы интервала не принадлежат ему, поэтому границы −5 и 1 будут изображаться на координатной прямой в виде пустых кружков. Вся область между ними будет выделена штрихами:


Пример 4. Изобразить числовой промежуток, заданный неравенством −5 < x < 1

Это тот же числовой промежуток, который мы изобразили в предыдущем примере. Но в этот раз он задан не с помощью обозначения промежутка, а с помощью двойного неравенства.

Неравенством вида a < x < b, задаётся интервал. В данном случае переменная a равна −5, а переменная b равна единице. Неравенство −5 < x < 1 строгое, поэтому границы −5 и 1 будут изображаться в виде пустых кружка. Нас интересуют все значения x, которые больше −5, но меньше единицы, поэтому вся область между точками −5 и 1 будет выделена штрихами:


Пример 5. Изобразить на координатной прямой числовые промежутки [-1; 2] и [2; 5]

В этот раз изобразим на координатной прямой сразу два промежутка.

Квадратными скобками с обеих сторон обозначаются отрезки. Границы отрезка принадлежат ему, поэтому границы отрезков [-1; 2] и [2; 5] будут изображаться на координатной прямой в виде закрашенных кружков. Вся область между ними будет выделена штрихами.

Чтобы хорошо увидеть промежутки [−1; 2] и [2; 5], первый можно изобразить на верхней области, а второй на нижней. Так и поступим:


Пример 6. Изобразить на координатной прямой числовые промежутки [-1; 2) и (2; 5]

Квадратной скобкой с одной стороны и круглой с другой обозначаются полуинтервалы. Одна из границ полуинтервала принадлежат ему, а другая нет.

В случае с полуинтервалом [-1; 2) левая граница будет принадлежать ему, а правая нет. Значит левая граница будет изображаться в виде закрашенного кружка. Правая же граница будет изображаться в виде пустого кружка.

А в случае с полуинтервалом (2; 5] ему будет принадлежать только правая граница, а левая нет. Значит левая граница будет изображаться в виде пустого кружка. Правая же граница будет изображаться в виде закрашенного кружка.

Изобразим промежуток [-1; 2) на верхней области координатной прямой, а промежуток (2; 5] — на нижней:


Примеры решения неравенств

Неравенство, которое путём тождественных преобразований можно привести к виду ax > b (или к виду ax < b), будем называть линейным неравенством с одной переменной.

В линейном неравенстве ax > b, x — это переменная, значения которой нужно найти, а — коэффициент этой переменной, b — граница неравенства, которая в зависимости от знака неравенства может принадлежать множеству его решений либо не принадлежать ему.

Например, неравенство 2> 4 является неравенством вида ax > b. В нём роль переменной a играет число 2, роль переменной b (границы неравенства) играет число 4.

Неравенство 2> 4 можно сделать ещё проще. Если мы разделим обе его части на 2, то получим неравенство > 2

Получившееся неравенство > 2 также является неравенством вида ax > b, то есть линейным неравенством с одной переменной. В этом неравенстве роль переменной a играет единица. Ранее мы говорили, что коэффициент 1 не записывают. Роль переменной b играет число 2.

Отталкиваясь от этих сведений, попробуем решить несколько простых неравенств. В ходе решения мы будем выполнять элементарные тождественные преобразования с целью получить неравенство вида ax > b

Пример 1. Решить неравенство − 7 < 0

Прибавим к обеим частям неравенства число 7

− 7 + 7 < 0 + 7

В левой части останется x, а правая часть станет равна 7

< 7

Путём элементарных преобразований мы привели неравенство − 7 < 0 к равносильному неравенству < 7. Решениями неравенства < 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Когда неравенство приведено к виду x < a (или x > a), его можно считать уже решённым. Наше неравенство − 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду < 7. Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

Запишем ответ с помощью числового промежутка. В данном случае ответом будет открытый числовой луч (вспоминаем, что числовой луч задаётся неравенством x < a и обозначается как ( −∞ ; a)

x ∈  ( −∞ ; 7 )

На координатной прямой граница 7 будет изображаться в виде пустого кружка, а вся область, находящаяся слева от границы, будет выделена штрихами:

Для проверки возьмём любое число из промежутка ( −∞ ; 7 ) и подставим его в неравенство < 7 вместо переменной x. Возьмём, например, число 2

2 < 7

Получилось верное числовое неравенство, значит и решение верное. Возьмём ещё какое-нибудь число, например, число 4

4 < 7

Получилось верное числовое неравенство. Значит решение верное.

А поскольку неравенство < 7 равносильно исходному неравенству x − 7 < 0, то решения неравенства < 7 будут совпадать с решениями неравенства x − 7 < 0. Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство x − 7 < 0

2 − 7 < 0

−5 < 0 — Верное неравенство

4 − 7 < 0

−3 < 0 Верное неравенство


Пример 2. Решить неравенство −4x < −16

Разделим обе части неравенства на −4. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

Мы привели неравенство −4x < −16 к равносильному неравенству > 4. Решениями неравенства > 4 будут все числа, которые больше 4. Граница 4 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Изобразим множество решений неравенства > 4 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


Пример 3. Решить неравенство 3y + 1 > 1 + 6y

Перенесём 6y из правой части в левую часть, изменив знак. А 1 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знак:

3− 6y> 1 − 1

Приведём подобные слагаемые:

−3y > 0

Разделим обе части на −3. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

Решениями неравенства < 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства < 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


Пример 4. Решить неравенство 5(− 1) + 7 ≤ 1 − 3(+ 2)

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

Перенесем −3x из правой части в левую часть, изменив знак. Члены −5 и 7 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знаки:

Приведем подобные слагаемые:

Разделим обе части получившегося неравенства на 8

Решениями неравенства  являются все числа, которые меньше . Граница принадлежит множеству решений, поскольку неравенство  является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства  на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

 


Пример 5. Решить неравенство 

Умножим обе части неравенства на 2. Это позволит избавиться от дроби в левой части:

Теперь перенесем 5 из левой части в правую часть, изменив знак:

После приведения подобных слагаемых, получим неравенство 6> 1. Разделим обе части этого неравенства на 6. Тогда получим:

Решениями неравенства  являются все числа, которые больше . Граница  не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство  является строгим.

Изобразим множество решений неравенства  на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


Пример 6. Решить неравенство 

Умножим обе части на 6

После приведения подобных слагаемых, получим неравенство 5< 30. Разделим обе части этого неравенства на 5

Решениями неравенства < 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является < 6 строгим.

Изобразим множество решений неравенства < 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


Пример 7. Решить неравенство 

Умножим обе части неравенства на 10

В получившемся неравенстве раскроем скобки в левой части:

Перенесем члены без x в правую часть

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Разделим обе части получившегося неравенства на 10

Решениями неравенства ≤ 3,5 являются все числа, которые меньше 3,5. Граница 3,5 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является ≤ 3,5 нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства ≤ 3,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


Пример 8. Решить неравенство 4 < 4< 20

Чтобы решить такое неравенство, нужно переменную x освободить от коэффициента 4. Тогда мы сможем сказать в каком промежутке находится решение данного неравенства.

Чтобы освободить переменную x от коэффициента, можно разделить член 4x на 4. Но правило в неравенствах таково, что если мы делим член неравенства на какое-нибудь число, то тоже самое надо сделать и с остальными членами, входящими в данное неравенство. В нашем случае на 4 нужно разделить все три члена неравенства 4 < 4< 20

Решениями неравенства 1 < < 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < < 5 является строгим.

Изобразим множество решений неравенства 1 < < 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


Пример 9. Решить неравенство −1 ≤ −2≤ 0

Разделим все члены неравенства на −2

Получили неравенство 0,5 ≥ ≥ 0. Двойное неравенство желательно записывать так, чтобы меньший член располагался слева, а больший справа. Поэтому перепишем наше неравенство следующим образом:

0 ≤ ≤ 0,5

Решениями неравенства 0 ≤ ≤ 0,5 являются все числа, которые больше 0 и меньше 0,5. Границы 0 и 0,5 принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 0 ≤ ≤ 0,5 является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства 0 ≤ ≤ 0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


Пример 10. Решить неравенство 

Умножим обе неравенства на 12

Раскроем скобки в получившемся неравенстве и приведем подобные слагаемые:

Разделим обе части получившегося неравенства на 2

Решениями неравенства ≤ −0,5 являются все числа, которые меньше −0,5. Граница −0,5 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство ≤ −0,5 является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства ≤ −0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


Пример 11. Решить неравенство 

Умножим все части неравенства на 3

Теперь из каждой части получившегося неравенства вычтем 6

Каждую часть получившегося неравенства разделим на −1. Не забываем, что при делении всех частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

Решениями неравенства 3 ≤ a ≤ 9 являются все числа, которые больше 3 и меньше 9. Границы 3 и 9 принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 3 ≤ a ≤ 9 является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства 3 ≤ a ≤ 9 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


Когда решений нет

Существуют неравенства, которые не имеют решений. Таковым, например, является неравенство 6> 2(3+ 1). В процессе решения этого неравенства мы придём к тому, что знак неравенства > не оправдает своего местоположения. Давайте посмотрим, как это выглядит.

Раскроем скобки в правой части данного неравенство, получим 6> 6+ 2. Перенесем 6x из правой части в левую часть, изменив знак, получим 6− 6> 2. Приводим подобные слагаемые и получаем неравенство 0 > 2, которое не является верным.

Для наилучшего понимания, перепишем приведение подобных слагаемых в левой части следующим образом:

Получили неравенство 0> 2. В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль не может быть больше, чем число 2. Значит неравенство 0> 2 не имеет решений.

А если не имеет решений приведённое равносильное неравенство 0> 2, то не имеет решений и исходное неравенство 6> 2(3+ 1).


Пример 2. Решить неравенство 

Умножим обе части неравенства на 3

В получившемся неравенстве перенесем член 12x из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные слагаемые:

Правая часть получившегося неравенства при любом x будет равна нулю. А ноль не меньше, чем −8. Значит неравенство 0< −8 не имеет решений.

А если не имеет решений приведённое равносильное неравенство 0< −8, то не имеет решений и исходное неравенство .

Ответ: решений нет.


Когда решений бесконечно много

Существуют неравенства, имеющие бесчисленное множество решений. Такие неравенства становятся верными при любом x.

Пример 1. Решить неравенство 5(3− 9) < 15x

Раскроем скобки в правой части неравенства:

Перенесём 15x из правой части в левую часть, изменив знак:

Приведем подобные слагаемые в левой части:

Получили неравенство 0x < 45. В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль меньше, чем 45. Значит решением неравенства 0x < 45 является любое число.

А если приведённое равносильное неравенство 0x < 45 имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 5(3− 9) < 15x имеет те же решения.

Ответ можно записать в виде числового промежутка:

x ∈ ( −∞; +∞ )

В этом выражении говорится, что решениями неравенства 5(3− 9) < 15x являются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности.


Пример 2. Решить неравенство: 31(2+ 1) − 12> 50x

Раскроем скобки в левой части неравенства:

Перенесём 50x из правой части в левую часть, изменив знак. А член 31 из левой части перенесём в правую часть, опять же изменив знак:

Приведём подобные слагаемые:

Получили неравенство 0x > −31. В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль больше, чем −31. Значит решением неравенства 0x < −31 является любое число.

А если приведённое равносильное неравенство 0x > −31 имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 31(2+ 1) − 12> 50x имеет те же решения.

Запишем ответ в виде числового промежутка:

x ∈ ( −∞; +∞ )


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решите неравенство:

Задание 2. Решите неравенство:

Задание 3. Решите неравенство:

Задание 4. Решите неравенство:

Задание 5. Решите неравенство:

Задание 6. Решите неравенство:

Задание 7. Решите неравенство:

Задание 8. Решите неравенство:

Задание 9. Решите неравенство:

Задание 10. Решите неравенство:

Задание 11. Решите неравенство:

Задание 12. Решите неравенство:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Решение неравенств второй степени с одной переменной. Метод интервалов 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Тема 6.

Решение неравенств второй степени с одной переменной. Метод интервалов.

Неравенства вида

ax2 + bx + c > 0 и ax2 + bx + c

где x – переменная, a, b и c – некоторые числа и a ≠ 0, называют неравенствами второй степени с одной переменной.

Решение неравенства ax2 + bx + c > 0 или ax2 + bx + c y = ax2 + bx + c принимает положительные или отрицательные значения. Для этого достаточно проанализировать, как расположен график функции y = ax2 + bx + c в координатной плоскости: куда направлены ветви параболы – вверх или вниз, пересекает ли парабола ось x и если пересекает, то в каких точках.

Пример:

Решить неравенство: x2 + 2x — 48

Введем функцию y = x2 + 2x — 48.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как a = 1.

Выясним, как расположен график этой функции относительно оси x. Для этого решим квадратное уравнение x2 + 2x — 48 = 0.

Это уравнение имеет два корня:

x1 = -8 и x2 = 6.

Значит, парабола y = x2 + 2x — 48 пересекает ось x в двух точках, абсциссы которых равны -8 и 6. Схематично изобразим эту параболу.

Ответ: x∈-8;6

Решим неравенство:

x2 + 2x + 15

График функции y = —x2 + 2x + 15 – это парабола, ветви которой направлены вниз, так как a

Выясним, как расположен график функции y = —x2 + 2x + 15 в координатной плоскости, пересекает ли он ось x и в каких точках.

Для этого решим уравнение:

x2 + 2x + 15 = 0

x1=-3; x2=5

Схематично изобразим эту параболу

Функция принимает отрицательные значения при x принадлежит -∞;-3 или 5;+∞.

Ответ: x∈-∞;-3∪5;+∞

Решим неравенство:

2x2 — 3x + 8 > 0

Графиком функции y = 2x2 — 3x + 8 является парабола, ветви которой направлены вверх, так как a > 0. Выясним, как располагается эта парабола относительно оси x. Для этого решим квадратное уравнение:

2x2 — 3x + 8 = 0

D = 9 — 4 ∙ 2 ∙ 8 = -55

Данное уравнение не имеет корней, значит, парабола не пересекает ось x. Схематично покажем, как располагается эта парабола относительно оси x.

Из рисунка видно, что данная функция принимает положительные значения при любом значении x.

Ответ: -∞;+∞

Итак, для решения неравенств вида

ax2 + bx + c > 0 и ax2 + bx + c

  1. Выяснить имеет ли квадратный трехчлена ax2 + bx + c имеет ли трехчлен корни;
  2. Если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси x и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх, если a > 0 или вниз, если a a > 0 или в нижней полуплоскости при a
  3. На оси x найти промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси x (если решают неравенство ax2 + bx + c > 0) или ниже оси x (если решают неравенство ax2 + bx + c

Рассмотрим функцию

fx=x+1x-2x+3

Областью определения этой функции является множество всех чисел. Точки -3, -1 и 2 нули функции, которые разбивают область определения на промежутки -∞;-3,-3;-1,-1;2,2;+∞. Выясним знак функции в каждом из указанных промежутков.

Выражение (x + 1)(x — 2)(x + 3) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице.

-∞;-3

-3;-1

-1;2

2;+∞

x + 3

+

+

+

x + 1

+

+

x — 2

+

Отсюда ясно, что:

Если x∈-∞;-3, то fx<0;

Если x∈-3;-1, то fx>0;

Если x∈-1;2, то fx<0;

Если x∈2;+∞, то fx>0;

Видно, что в каждом из промежутков

-∞;-3,-3;-1,-1;2,2;+∞ функция сохраняет знак, а при переходе через точки -3, -1 и 2 ее знак изменяется.

Вообще пусть функция задана формулой

fx=x-x1x-x2…x-xn, где x – переменная, а x1, x2, …, xn не равные друг другу числа. Числа x1, x2, …, xn являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через ноль знак изменяется.

Это свойство используется для решений неравенств вида:

x-x1x-x2…x-xn>0,

x-x1x-x2…x-xn<0.

x-5x+3x+7>0

Введем функцию fx=x-5x+3x+7

Найдем нули функции: -7, -3 и 5

Определим знак функции в каждом из этих промежутков. В крайнем правом промежутке функция положительна, а далее знаки чередуются.

Ответ: -7;-3∪5;+∞

Итак, чтобы решить неравенство методом интервалов, надо:

  1. Ввести функцию;
  2. Найти нули этой функции;
  3. Нанести нули функции на числовую прямую;
  4. Определить знак в каждом промежутке;
  5. Посмотреть знак и выделить нужный интервал.

10 клонов Genshin Impact — Scarlet Nexus, Honkai Impact, Tales of Arise, Dragon Quest и другие | Гейминг

Феномен Genshin Impact уже обсудили все, кому не лень. Китайская гача в одно мгновение стала невероятно успешной в мире благодаря яркой и качественной анимации, крепкому сюжету и, конечно, коллекционированию, вызывающему легкую и не очень зависимость у всех, кто прикоснулся к игре. Но мы здесь не для того, чтобы рассуждать о причинах популярности игры. Мы принесли вам целый мешок игр, похожих на Genshin Impact. Выбирайте!

Honkai Impact 3rd

Дата выхода: 2019
Разработчик: miHoYo Limited
Системные требования: Windows 7+ 2,2 GHz CPU, 4 Gb RAM, 1 Gb VRAM
Платформы: ПК, мобильные платформы

Предыдущее творение тех же разработчиков предлагает нам hack-and-slash в духе Bayonetta, но на китайский манер. Человечество страдает от вторжения хонкайских тварей, для борьбы с которыми создан специальный отряд Валькирий. В боевом отряде у вас их будет целых три, каждая обладает своим набором способностей и эффективна против определенных противников, но слаба против других, так что между ними придется постоянно переключаться.

Игра обладает сносным сюжетом, приятной графикой и открытым миром, который можно исследовать, только если вы хорошо знаете английский или китайский: русской локализации нет. Заметно, что многие решения из Honkai Impact перекочевали в следующий проект miHoYo, так что если вы ищете максимально похожую на Genshin Impact игру, это именно она. У них даже кроссовер планируется!

Серия Dragon Quest

Дата выхода: c 1986 по 2019
Разработчик: Square Enix
Системные требования: отличаются от игры к игре
Платформы: кроссплатформенная

Вторая по популярности франшиза Square Enix после Final Fantasy продолжает наш список. Dragon Quest представляет собой классическую JRPG, а значит, вас ждут яркие и впечатляющие анимации ударов, много спецэффектов, гигантские чудовища и отряд героев, способный победить их под вашим контролем. Мир игры огромен, и если вы просто двинетесь по основной сюжетной кампании, то не обнаружите и десятой доли всего, что он для вас приготовил. Самые сильные противники традиционно являются секретными боссами, которых еще нужно знать, как открыть. Но в этом и прелесть жанра.

Возможно, на момент прочтения этой статьи уже выйдет Dragon Quest XII, которая уже анонсирована, но пока что фанаты серии играют в одиннадцатую часть. Советуем играть с геймпадом, так как управление с клавиатуры менее удобное.

Hardland

Дата выхода: 2019
Разработчик: Mountain Sheep
Системные требования: Windows 8+, 2,2 GHz CPU, 6 Gb RAM, GTX 650 2GB / AMD HD 7770 2GB
Платформы: кроссплатформенная

Фэнтези-приключение с процедурно генерируемыми квестами, локациями и монстрами, что обеспечивает ему повышенную реиграбельность. Главное отличие Hardland от других игр этой подборки — перманентная смерть. Умер? Начинай заново! Так что если Genshin Impact кажется вам слишком простой игрой, добро пожаловать в Hardland. Готовьтесь перед каждым сложным противником думать о том, стоит с ним связываться сейчас или лучше пойти и взять пару уровней на монстрах попроще.

Стоит сказать, что риск в Hardland вознаграждается: чтобы получить самое лучшее снаряжение, придется сразиться с наиболее опасными противниками, а те, кто предпочитают безопасное прокачивание, будут всю жизнь ходить в обносках. А еще в игре много разрушаемых элементов окружения, что можно использовать в сложных битвах. 

Scarlet Nexus

Дата выхода: 2021
Разработчик: Bandai Namco
Системные требования: Windows 10+, 2,6 GHz CPU, 6 Gb RAM, GTX 760 / Radeon HD 7970
Платформы: ПК, PlayStation 4/5, Xbox One, Xbox Series X/S

Сеттинг этой игры представляет собой гремучую смесь научной фантастики и мистической паранормальщины. Человечество под угрозой вторжения Других — лишенных разума монстров из Пояса Вымирания. Ваш герой — один из людей со сверхспособностями, которого отобрали в Отряд Подавления Других. Вы стали частью боевой ячейки, которая, что ясно из названия, занимается борьбой с Другими. И борьба будет яркой!

Scarlet Nexus — это как если смешать Genshin Impact и Control. Вот наш протагонист шинкует противников мечом, а вот уже поднимает одного в воздух психокинезом и швыряет в другого. Ярко. Мощно. Впечатляет. За это мы и любим JRPG. Разработчики гордятся так называемой бесшовной боевой системой, позволяющей вставлять эффектные кат-сцены применения суперспособностей прямо в игровой процесс. Выглядит действительно зрелищно!

Sword Art Online

Дата выхода: 2018
Разработчик: Bandai Namco
Системные требования: Windows 7+, 3,4 GHz CPU, 4 Gb RAM, GTX 660, DirectX 11
Платформы: кроссплатформенная

Если Genshin Impact вам понравилась из-за сюжета и лучшим развлечением в игре для вас было чтение диалогов, то Sword Art Online придется вам по душе. Эта научно-фантастическая приключенческая игра основана на иллюстрированном романе японского писателя Рэки Кавахары. По мотивам его творчества выходили тома манги, несколько аниме-адаптаций и разделенная на главы видеоигра, которая угодила в наш список.

Sword Art Online представляет собой Action-RPG с видом от третьего лица, но включает в себя элементы других жанров — от шутера до симулятора свиданий. Главное достоинство этой игры — длинный и глубокий сюжет, которого хватит на сотни часов геймплея. Без преувеличений. Если вы решите познакомиться с серией, можете начать со Sword Art Online: Hollow Realization или с Fatal Bullet. Но учтите: играть в эту игру — все равно что коллекционировать тома манги. Если вас затянет, будьте готовы купить все главы!

Blue Protocol

Дата выхода: еще не вышла
Разработчик: Project Sky Blue, Bandai Namco
Системные требования: Windows 7, Core i5-750, 8 Gb RAM, Radeon R 380 / GTX 960
Платформы: ПК

Красивая приключенческая MMO в аниме-стилистике на Unreal Engine 4, которая пока еще находится в стадии тестирования. Для игры доступны пять архетипичных классов, а довольно увлекательный сюжет разворачивается вокруг путешествий во времени, и большая часть игры строится вокруг его прохождения. Впрочем, сюжетные MMORPG уже мало кого удивляют. Для любителей многопользовательских активностей есть подземелья, боссы и прочие челленджи, не заскучаете. 

Когда же игра выйдет в релиз? На официальном сайте написано, что ждать Blue Protocol нужно во втором квартале 210021 года. То ли это опечатка, то ли здесь снова замешаны путешествия во времени. Будем надеяться, что первое. 

Tales of Arise

Дата выхода: 10 сентября 2021
Разработчик: Bandai Namco
Системные требования: Windows 7, Core i5-750, 8 Gb RAM, Radeon R380 / GTX 960
Платформы: ПК, PlayStation 4/5, Xbox One, Xbox Series X/S

Еще одна игра от Bandai Namco и еще одна из раннего доступа. Tales of Arise представляет собой ленивую смесь слэшера и JRPG. Почему ленивую? Дело в боевой системе, которая предполагает, что игрок будет придумывать мощные и эффектные комбо-удары, составляя их из различных приемов и способностей, после чего… биндить их на одну кнопку и закликивать ею противников. 

Сюжет игры разворачивается в мире, где каждое живое существо наполнено астральной энергией. Некоторым ее перепадает больше, некоторым — меньше, а значит, привет, социальное неравенство, расовое превосходство и прочие проблемы, с которыми нашим героям (их двое) предстоит столкнуться. А заодно спасти этот не самый приятный мир. Или уничтожить? Насчет возможности «злого» прохождения сюжета, увы, пока ничего неизвестно. 

Granblue Fantasy: Relink

Дата выхода: еще не вышла
Разработчик: Cygames
Системные требования: эксклюзив для PlayStation
Платформы: PlayStation 4/5

Продолжает наш список, как вы уже догадались, еще одна невышедшая игра, к тому же эксклюзивная для PlayStation. Похоже, что успех Genshin Impact подтолкнул многих разработчиков сделать что-нибудь точно такое же, только другое. В этой игре вам предстоит возглавить отряд искателей приключений, перемещающийся между небесными островами в поисках сокровищ и хорошо оплачиваемых квестов. 

Судя по промо-материалам, Granblue Fantasy: Relink позаимствовала много идей у Genshin Impact, однако назвать эту игру клоном было бы неправильно. У вселенной игры уже есть своя богатая история, раскрытая в квесте Granblue Fantasy для мобильных устройств, а также в сопутствующей манге и аниме-адаптации. У японцев в закромах много фэнтези-сюжетов, и, возможно, этот придется вам по душе.

Project BBQ

Дата выхода: еще не вышла
Разработчик: Neople
Системные требования: пока не ясны
Платформы: кроссплатформенная

Что, еще один проект в разработке? Не удивляйтесь, мир сошел с ума по Genshin Impact относительно недавно, и достойных подражателей у нее пока что набралось мало. Однако разработчики из Neople вдохновляются не только китайским хитом, но и другими играми, такими как Black Desert Online и Devil May Cry. Нас ждет нон-таргетная боевка и крутейшие бои с боссами, на которых в игре сделан особый акцент.

Сведений об игре, к сожалению, не так много, как хотелось бы. То ли нас ждет полноценная MMORPG, мир которой можно сразу исследовать в компании друзей, либо мультиплеер будет напоминать таковой в Path of Exile, где игроки видят друг друга только в городах-хабах, а игровой мир исследуют в одиночку или заранее собранной группой без возможности встретить случайных прохожих. Но что точно у игры не отнять, так это крутую и стильную графику. Выглядит очень сочно, если, конечно, вас не отталкивает стиль аниме. Но если бы это было так, вы бы не стали читать эту статью, верно?

Tower of Fantasy

Дата выхода: еще не вышла
Разработчик: Hotta Studios
Системные требования: пока не ясны
Платформы: кроссплатформенная

И последняя невышедшая игра в нашем списке, попасть на закрытую бету которой вы можете только в совершенстве владея китайским языком. Из всех игр нашего списка Tower of Fantasy похожа больше всего на Genshin Impact, ее даже можно назвать Genshin Impact в постапокалиптическом сеттинге. В начале повествования вам придется выбрать одного из двух персонажей — мужского пола или женского, с которым мы и проведем всю игру. Здесь кроется главное отличие Tower of Fantasy от творения miHoYo: герой у нас всего один, никакой гача-лотереи в надежде на сильных союзников не будет. Впрочем, это не гарантирует, что в игре не будет других подобных механик и треклятых лутбоксов.

Станет ли Tower of Fantasy «убийцей Genshin Impact»? Поживем — увидим. Пока что разработчики не делают громких заявлений и вообще мало распространяются о том, что еще не сделано. Но первые впечатления китайских игроков, которым посчастливилось залететь на закрытое бета-тестирование, крайне положительные.

Какой-то топ игр из будущего!

В этот раз в нашей подборке действительно многовато игр из раннего доступа и еще не вышедших проектов, но это неудивительно. Genshin Impact оказалась на удивление удачной игрой, на которой попросту сошлись звезды: и сюжет не подкачал, и визуал хорош, и геймплей затягивает. Если бы какой-нибудь другой проект выстрелил раньше с такой же силой, мы бы писали этот топ именно о нем и его подражателях, но творение miHoYo вышло только в прошлом году, вот и приходится иметь дело с играми из будущего. Будем надеяться, что их релиз вас не разочарует.

Решайте неравенства с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

В главе 2 мы установили правила решения уравнений с использованием чисел арифметики. Теперь, когда мы изучили операции с числами со знаком, мы будем использовать те же правила для решения уравнений, содержащих отрицательные числа. Мы также изучим методы решения и построения графиков неравенств с одним неизвестным.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НА ЗАПИСАННЫХ ЧИСЛАХ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете решать уравнения, содержащие числа со знаком.

Пример 1 Решите относительно x и проверьте: x + 5 = 3

Решение

Используя те же процедуры, что и в главе 2, мы вычитаем 5 из каждой части уравнения, получая

Пример 2 Решите относительно x и проверьте: — 3x = 12

Решение

Разделив каждую сторону на -3, получаем

Всегда проверяйте исходное уравнение.

Другой способ решения уравнения
3x — 4 = 7x + 8
— сначала вычесть 3x из обеих сторон, получив
-4 = 4x + 8,
, затем вычесть 8 с обеих сторон и получить
-12 = 4x .
Теперь разделите обе стороны на 4, получив
— 3 = x или x = — 3.

Сначала удалите круглые скобки. Затем следуйте процедуре, описанной в главе 2.

ЛИТЕРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите буквальное уравнение.
  2. Примените ранее изученные правила для решения буквальных уравнений.

Уравнение, состоящее из более чем одной буквы, иногда называют буквальным уравнением .Иногда бывает необходимо решить такое уравнение для одной из букв через другие. Пошаговая процедура, описанная и использованная в главе 2, остается действительной после удаления любых символов группировки.

Пример 1 Решите относительно c: 3 (x + c) — 4y = 2x — 5c

Решение

Сначала удалите круглые скобки.

Здесь мы отмечаем, что, поскольку мы решаем для c, мы хотим получить c с одной стороны и все другие члены с другой стороны уравнения.Таким образом, получаем

Помните, abx — это то же самое, что 1abx.
Делим на коэффициент при x, который в данном случае равен ab.

Решите уравнение 2x + 2y — 9x + 9a, сначала вычтя 2.v из обеих частей. Сравните полученное решение с полученным в примере.

Иногда форму ответа можно изменить. В этом примере мы могли бы умножить числитель и знаменатель ответа на (- l) (это не меняет значения ответа) и получить

Преимущество этого последнего выражения перед первым в том, что в ответе не так много отрицательных знаков.

Умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же число — это использование фундаментального принципа дробей.

Наиболее часто используемые буквальные выражения — это формулы из геометрии, физики, бизнеса, электроники и т. Д.

Пример 4 — это формула площади трапеции. Решите для c.

Трапеция имеет две параллельные стороны и две непараллельные стороны.Параллельные стороны называются основаниями.
Удаление скобок не означает их простое стирание. Мы должны умножить каждый член в круглых скобках на множитель, стоящий перед скобками.
Менять форму ответа не обязательно, но вы должны уметь распознать правильный ответ, даже если форма не та.

Пример 5 — это формула, дающая проценты (I), полученные за период D дней, когда известны основная сумма (p) и годовая ставка (r).Найдите годовую ставку, когда известны сумма процентов, основная сумма и количество дней.

Решение

Задача требует решения для р.

Обратите внимание, что в этом примере r оставлено справа, и поэтому вычисление было проще. При желании мы можем переписать ответ по-другому.

ГРАФИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Используйте символ неравенства для обозначения относительного положения двух чисел на числовой прямой.
  2. График неравенств на числовой прямой.

Мы уже обсуждали набор рациональных чисел как тех, которые могут быть выражены как отношение двух целых чисел. Существует также набор чисел, называемых иррациональными числами , , которые нельзя выразить как отношение целых чисел. В этот набор входят такие числа как и так далее. Набор, состоящий из рациональных и иррациональных чисел, называется действительными числами .

Учитывая любые два действительных числа a и b, всегда можно заявить, что Часто нас интересует только то, равны ли два числа или нет, но бывают ситуации, когда мы также хотим представить относительный размер чисел, которые не равны. равный.

Символы являются символами неравенства или отношениями порядка и используются для отображения относительных размеров значений двух чисел. Обычно мы читаем этот символ как «больше чем». Например, a> b читается как «a больше, чем b». Обратите внимание, что мы заявили, что обычно читаем

а


Какое положительное число можно добавить к 2, чтобы получить 5?


Проще говоря, это определение утверждает, что a меньше b, если мы должны что-то добавить к a, чтобы получить b.Конечно, «что-то» должно быть положительным.

Если вы думаете о числовой прямой, вы знаете, что добавление положительного числа равносильно перемещению вправо по числовой прямой. Это приводит к следующему альтернативному определению, которое может быть легче визуализировать.

Пример 1 3


Мы также можем написать 6> 3.

Пример 2 — 4


Мы также можем написать 0> — 4.

Пример 3 4> — 2, потому что 4 находится справа от -2 в числовой строке.


Пример 4 — 6


Математическое утверждение x

Вы понимаете, почему невозможно найти наибольшее число меньше 3?

На самом деле назвать число x, которое является наибольшим числом меньше 3, — задача невыполнимая. Однако это может быть указано в числовой строке.Для этого нам нужен символ, обозначающий значение такого оператора, как x

Символы (и), используемые в числовой строке, указывают на то, что конечная точка не включена в набор.

Пример 5 График x

Решение


Обратите внимание, что на графике есть стрелка, указывающая на то, что линия продолжается без конца влево.

На этом графике представлено каждое действительное число меньше 3.

Пример 6 График x> 4 на числовой прямой.

Решение


На этом графике представлено каждое действительное число больше 4.

Пример 7 График x> -5 на числовой прямой.

Решение


На этом графике представлены все действительные числа больше -5.

Пример 8 Постройте числовой график, показывающий, что x> — 1 и x

Решение


Выписка x> — 1 и x

На этом графике представлены все действительные числа от -1 до 5.

Пример 9 График — 3

Решение

Если мы хотим включить конечную точку в набор, мы используем другой символ:. Мы читаем эти символы как «равно или меньше» и «равно или больше».

Пример 10 x>; 4 обозначает число 4 и все действительные числа справа от 4 в числовой строке.

Символы [и], используемые в числовой строке, указывают, что конечная точка включена в набор.

Вы обнаружите, что такое использование круглых и квадратных скобок согласуется с их использованием в будущих курсах математики.

На этом графике представлено число 1 и все действительные числа больше 1.

Этот график представляет число 1 и все действительные числа, меньшие или равные — 3.

Пример 13 Напишите алгебраическое утверждение, представленное следующим графиком.

Пример 14 Напишите алгебраическое выражение для следующего графика.

На этом графике представлены все действительные числа от -4 до 5 , включая от -4 до 5.

Пример 15 Напишите алгебраическое выражение для следующего графика.

Этот график включает 4, но , а не -2.

Пример 16 График на числовой прямой.

Решение

В этом примере возникает небольшая проблема. Как мы можем указать на числовой строке? Если мы оценим суть дела, то другой человек может неправильно истолковать это утверждение. Не могли бы вы сказать, представляет ли эта точка или может быть? Поскольку цель графика — прояснить, всегда обозначают конечную точку.

График используется для передачи утверждения. Вы всегда должны называть нулевую точку, чтобы показать направление, а также конечную точку или точки, если быть точным.

Устранение неравенств

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете решать неравенства с одним неизвестным.

Решения неравенств обычно основаны на тех же основных правилах, что и уравнения. Есть одно исключение, которое мы скоро обнаружим. Однако первое правило аналогично тому, что используется при решении уравнений.

Если одно и то же количество добавляется к каждой стороне неравенства , результаты будут неравными в том же порядке.

Пример 1 Если 5

Пример 2 Если 7

Мы можем использовать это правило для решения определенных неравенств.

Пример 3 Решить относительно x: x + 6

Решение

Если мы прибавим -6 к каждой стороне, мы получим

Изобразив это решение на числовой прямой, получим

Обратите внимание, что процедура такая же, как и при решении уравнений.

Теперь мы воспользуемся правилом сложения, чтобы проиллюстрировать важную концепцию, касающуюся умножения или деления неравенств.

Предположим, что x> a.

Теперь добавьте — x к обеим сторонам по правилу сложения.

Помните, добавление одинаковой величины к обеим сторонам неравенства не меняет его направления.

Теперь добавьте -a с обеих сторон.

Последний оператор — a> -x можно переписать как — x <-a. Поэтому мы можем сказать: «Если x> a, то — x

Если неравенство умножается или делится на отрицательное число , результаты будут неравными в порядке , противоположном .

Например: Если 5> 3, то -5

Пример 5 Решите относительно x и изобразите решение: -2x> 6

Решение

Чтобы получить x в левой части, мы должны разделить каждый член на — 2. Обратите внимание, что, поскольку мы делим на отрицательное число, мы должны изменить направление неравенства.

Обратите внимание, что как только мы делим на отрицательную величину, мы должны изменить направление неравенства.

Обратите внимание на этот факт. Каждый раз, когда вы делите или умножаете на отрицательное число, вы должны изменять направление символа неравенства. Это единственное различие между решением уравнений и решением неравенств.

Когда мы умножаем или делим на положительное число, изменений нет. Когда мы умножаем или делим на отрицательное число, направление неравенства меняется. Будьте осторожны — это источник многих ошибок.

После того, как мы удалили круглые скобки и остались только отдельные члены в выражении, процедура поиска решения почти такая же, как в главе 2.

Давайте теперь рассмотрим пошаговый метод из главы 2 и отметим разницу при решении неравенств.

Первые Исключите дроби, умножив все члены на наименьший общий знаменатель всех дробей. (Без изменений, когда мы умножаем на положительное число.)
Второй Упростите, комбинируя одинаковые члены с каждой стороны неравенства. (Без изменений)
Третий Сложите или вычтите количества, чтобы получить неизвестное с одной стороны и числа с другой.(Без изменений)
Четвертый Разделите каждый член неравенства на коэффициент неизвестной. Если коэффициент положительный, неравенство останется прежним. Если коэффициент отрицательный, неравенство будет отменено. (Это важное различие между уравнениями и неравенствами.)

Единственное возможное отличие заключается в последнем шаге.

Что нужно делать при делении на отрицательное число?

Не забудьте пометить конечную точку.

РЕЗЮМЕ

Ключевые слова

  • Литеральное уравнение — это уравнение, состоящее из более чем одной буквы.
  • Символы — это символы неравенства или отношения порядка .
  • a a находится слева от b в строке действительного числа.
  • Двойные символы: указывают, что конечные точки включены в набор решений .

Процедуры

  • Чтобы решить буквальное уравнение для одной буквы через другие, выполните те же действия, что и в главе 2.
  • Чтобы решить неравенство, используйте следующие шаги:
    Шаг 1 Удалите дроби, умножив все члены на наименьший общий знаменатель всех дробей.
    Шаг 2 Упростите, объединив одинаковые термины с каждой стороны неравенства.
    Шаг 3 Сложите или вычтите количества, чтобы получить неизвестное с одной стороны и числа с другой.
    Шаг 4 Разделите каждый член неравенства на коэффициент неизвестной. Если коэффициент положительный, неравенство останется прежним.Если коэффициент отрицательный, неравенство будет отменено.
    Шаг 5 Проверьте свой ответ.

Устранение неравенств

Иногда нам нужно решить такие неравенства:

Обозначение

слов

Пример

>

больше

х + 3 > 2

<

менее

7x < 28

больше или равно

5 x — 1

меньше или равно

2 года + 1 7

Решение

Наша цель — иметь x (или другую переменную) самостоятельно слева от знака неравенства:

Примерно так: х <5
или: г ≥ 11

Мы называем это «решенным».

Пример: x + 2> 12

Вычтем 2 с обеих сторон:

х + 2 — 2> 12 — 2

Упростить:

x> 10

Решено!

Как решить

Решение неравенств очень похоже на решение уравнений … мы делаем почти то же самое …

… но мы также должны обратить внимание на направление неравенства .


Направление: куда «указывает» стрелка

Некоторые вещи могут изменить направление !

<становится>

> становится <

≤ становится ≥

≥ становится ≤

Безопасные дела

Эти вещи не влияют на направление неравенства:

  • Сложить (или вычесть) число с обеих сторон
  • Умножьте (или разделите) обе стороны на положительное число
  • Упростить сторону

Пример: 3x

<7 + 3

Мы можем упростить 7 + 3, не влияя на неравенство:

3x <10

Но эти вещи действительно меняют направление неравенства (например, «<» становится «>»):

Пример: 2y + 7

<12

Когда мы меняем местами левую и правую части, мы также должны изменить направление неравенства :

12 > 2 года + 7

Вот подробности:

Сложение или вычитание значения

Мы часто можем решить неравенства, добавив (или вычитая) число с обеих сторон (как во Введении в алгебру), например:

Пример: x + 3

<7

Если вычесть 3 с обеих сторон, мы получим:

x + 3 — 3 <7 — 3

х <4

И вот наше решение: x <4

Другими словами, x может быть любым значением меньше 4.

Что мы сделали?

Мы пошли от этого:

Кому:

х + 3 <7

х <4

И это хорошо работает для , прибавляя и вычитая , потому что, если мы прибавляем (или вычитаем) одинаковую сумму с обеих сторон, это не влияет на неравенство

Пример: У Алекса больше монет, чем у Билли.Если и Алекс, и Билли получат по три монеты больше, у Алекс все равно будет больше монет, чем у Билли.

Что, если я решу, но «x» справа?

Неважно, просто поменяйте местами стороны, но переверните знак , чтобы он все еще «указывал» на правильное значение!

Пример: 12

Если вычесть 5 с обеих сторон, получим:

12 -5 -5

7 <х

Вот и решение!

Но ставить «x» слева — это нормально…

… так давайте обратим внимание (и знак неравенства!):

x> 7

Вы видите, как знак неравенства все еще «указывает» на меньшее значение (7)?

И вот наше решение: x> 7

Примечание: «x» может быть справа , но людям обычно нравится видеть его слева.

Умножение или деление на значение

Также мы умножаем или делим обе части на значение (как в алгебре — умножение).

Но нам нужно быть немного осторожнее (как вы увидите).


Положительные значения

Все нормально, если мы хотим умножить или разделить на положительное число :

Пример: 3y

<15

Если разделить обе части на 3, получим:

3 года /3 <15 /3

г <5

И вот наше решение: y <5


Отрицательные значения
Когда мы умножаем или делим на отрицательное число
, мы должны отменить неравенство.

Почему?

Ну, посмотрите на числовую строку!

Например, от 3 до 7 это увеличение ,
, но от -3 до -7 это уменьшение.

−7 <−3 7> 3

Видите, как меняет знак неравенства (с <на>)?

Давайте попробуем пример:

Пример: −2y

<−8

Разделим обе части на −2… и отменяют неравенство !

−2 года <−8

−2y / −2 > −8 / −2

г> 4

И это правильное решение: y> 4

(Обратите внимание, что я перевернул неравенство в той же строке , разделенное на отрицательное число.)

Итак, запомните:

При умножении или делении на отрицательное число отменяет неравенство

Умножение или деление на переменные

Вот еще один (хитрый!) Пример:

Пример: bx

<3b

Кажется легко просто разделить обе стороны на b , что дает нам:

x <3

… но подождите … если b равно отрицательное значение , нам нужно изменить неравенство следующим образом:

x> 3

Но мы не знаем, положительное или отрицательное значение b, поэтому мы не можем ответить на этот !

Чтобы помочь вам понять, представьте себе замену b на 1 или −1 в примере bx <3b :

  • , если b равно 1 , то ответ будет x <3
  • , но если b равно −1 , то мы решаем −x <−3 , и ответ: x> 3

Ответ может быть x <3 или x> 3 , и мы не можем выбрать, потому что не знаем b .

Так:

Не пытайтесь делить на переменную для решения неравенства (если вы не знаете, что переменная всегда положительна или всегда отрицательна).

Пример побольше

Пример:

x − 3 2 <−5

Во-первых, давайте очистим «/ 2», умножив обе стороны на 2.

Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенства не изменятся.

x − 3 2 × 2 <−5 × 2

х − 3 <−10

Теперь прибавьте 3 к обеим сторонам:

х − 3 + 3 <−10 + 3

х <−7

И это наше решение: x <−7

Два неравенства сразу!

Как решить задачу с двумя неравенствами сразу?

Пример:

−2 < 6−2x 3 <4

Во-первых, давайте очистим «/ 3», умножив каждую часть на 3.

Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенства не меняются:

−6 <6−2x <12

Теперь вычтите 6 из каждой части:

−12 <−2x <6

Теперь разделите каждую часть на 2 (положительное число, чтобы неравенства снова не изменились):

−6 <−x <3

Теперь умножьте каждую часть на -1. Поскольку мы умножаем на отрицательное число , неравенства изменяют направление .

6> х> −3

И это решение!

Но для наглядности лучше иметь меньшее число слева, большее — справа. Так что давайте поменяем их местами (и убедимся, что неравенства указывают правильно):

−3 <х <6

Сводка

  • Многие простые неравенства могут быть решены путем сложения, вычитания, умножения или деления обеих сторон, пока не останется переменная сама по себе.
  • Но эти вещи изменят направление неравенства:
    • Умножение или деление обеих сторон на отрицательное число
    • Замена левой и правой сторон
  • Не умножайте и не делите на переменную (если вы не знаете, что она всегда положительна или всегда отрицательна)

Равно, меньше и больше символов

lo1kvxu-Dc8

Помимо знакомого знака равенства (=), он также очень полезен, чтобы показать, не равно ли что-то (≠) больше чем (>) или меньше (<)

Это важные знаки, которые необходимо знать :

=

Когда два значения равны
, мы используйте знак «равно»

пример: 2 + 2 = 4

Когда два значения определенно равны , а не , равны
, мы используйте знак «не равно»

пример: 2 + 2 ≠ 9
<

Когда одно значение меньше другого
, мы используйте знак «меньше»

пример: 3 <5
>

Когда одно значение больше другого
, мы используйте знак «больше»

пример: 9> 6

Меньше и больше

Знаки «меньше» и «больше» выглядят как буква «V» на своей стороне, не так ли?

Чтобы запомнить, в какую сторону идут знаки «<» и «>», просто запомните:

«Маленький» конец всегда указывает на меньшее число, например:

Символ больше, чем: БОЛЬШОЙ> маленький

Пример:

10> 5

«10 это больше, чем 5″

Или наоборот:

5 <10

«5 это меньше 10″

Вы видите, как символ «указывает» на меньшее значение?

… Или равно …

Иногда мы знаем, что значение меньше, но также может быть равно !

Например, кувшин вмещает до 4 чашек воды.

Так сколько в нем воды?

Это может быть 4 чашки или меньше 4 чашек: Итак, пока мы не измерим, все, что мы можем сказать, это «меньше или равно » 4 чашки.

Чтобы показать это, мы добавляем дополнительную строку внизу символа «меньше чем» или «больше чем», например:

Знак «меньше или равно »:

Знак «больше или равно «:

Все символы

Вот краткое изложение всех символов:

Обозначение

слов

Пример использования

=

равно

1 + 1 = 2

не равно

1 + 1 ≠ 1




>

больше

5> 2

<

менее

7 <9




больше или равно

шариков ≥ 1

меньше или равно

собаки ≤ 3

Зачем они нужны?

Потому что есть вещи, о которых мы, , точно не знаем

… но все же может сказать что-то о .

Итак, у нас есть способы сказать то, что мы знаем, , (что может быть полезно!)

Пример: у Джона было 10 шариков, но он потерял несколько. Сколько у него сейчас?

Ответ: У него должно быть меньше 10:

Мрамор < 10

Если у Джона все еще есть шарики, мы также можем сказать, что у него больше нуля шариков:

Шарики > 0

Но если бы мы думали, что Джон мог иметь потерять все своих шариков, мы бы сказали

Мрамор 0

Другими словами, количество шариков больше или равно нулю.

Объединение

Иногда мы можем сказать две (или более) вещи в одной строке:

Пример: Бекки начинает с 10 долларов, что-то покупает и говорит: «У меня тоже есть сдача». Сколько она потратила?

Ответ: Что-то больше, чем 0 долларов США, но меньше 10 долларов США (но НЕ 0 или 10 долларов США):

«На что тратит Бекки»> 0 долл. США
«На что тратит Бекки» <10 долл. США

Это можно записать одной строкой:

0 долларов <"Сколько тратит Бекки" <10

Это говорит о том, что 0 долларов меньше, чем «То, что Бекки тратит» (другими словами, «То, что Бекки тратит» больше 0 долларов), а то, что Бекки тратит, также меньше 10 долларов.

Обратите внимание на то, что «>» перевернулось на «<", когда мы поставили перед , сколько тратит Бекки. Всегда проверять малый конец указывает на малое значение .

Смена сторон

В предыдущем примере мы видели, что когда мы меняем стороны, мы также переворачиваем символ.

Это: Бекки тратит> $ 0 (Бекки тратит более $ 0)
это то же самое: $ 0 <Бекки тратит (0 долларов меньше, чем тратит Бекки)

Просто убедитесь, что маленький конец указывает на маленькое значение!

Вот еще один пример использования «≥» и «≤»:

Пример: у Бекки 10 долларов, и она идет за покупками.Сколько она

потратит (без использования кредита)?

Ответ: Что-то большее или возможное равное 0 долларов США и меньшее или, возможно, равное 10 долларам США:

Бекки тратит ≥ 0 долларов
Бекки тратит ≤ 10 долларов

Это можно записать одной строкой:

0 долл. США ≤ Бекки тратит ≤ 10 долл. США

Длинный пример: перерезание каната

Вот интересный пример, о котором я подумал:

Пример: Сэм разрезает 10-метровую веревку на две части.Какова длина более длинного куска? Какова длина более короткого отрезка?

Ответ: Назовем более длинную веревку « L », а более короткую длину « S »

.

L должно быть больше 0 м (иначе это не кусок веревки), а также меньше 10 м:

L> 0
L <10

Итак:

0

Это говорит о том, что L (большая длина веревки) находится между 0 и 10 (но не 0 или 10)

То же самое можно сказать и о более короткой длине « S «:

0

Но я сказал, что есть «короче» и «длиннее», поэтому мы также знаем:

S

(Вы видите, насколько изящна математика? Вместо того, чтобы говорить «меньшая длина меньше, чем большая длина», мы можем просто написать « S »)

Мы можем объединить все это так:

0

Это говорит о многом:

0 меньше короткой длины, короткой длины меньше длинной, длинной меньше 10.

Если читать «задом наперед», то можно увидеть:

10 больше длинной длины, длинная длина больше короткой длины, короткая длина больше 0.

Это также позволяет нам увидеть, что «S» меньше 10 («перепрыгивая» через «L»), и даже что 0 <10 (что мы все равно знаем), все в одном операторе.


ТЕПЕРЬ у меня есть еще одна хитрость. Если бы Сэм очень постарался, он мог бы разрезать веревку ТОЧНО пополам, так что каждая половина составляет 5 м, но мы знаем, что он этого не сделал, потому что мы сказали, что есть «короче» и «длиннее» длина, поэтому мы также знаем:

S <5

и

L> 5

Мы можем вставить это в нашу очень аккуратную формулировку здесь:

0

И ЕСЛИ мы думали, что две длины МОГУТ быть ровно 5, мы могли бы изменить это на

0

Пример использования алгебры

Хорошо, этот пример может быть сложным, если вы не знаете алгебру, но я подумал, что вы все равно можете его увидеть:

Пример: что такое x + 3, когда мы знаем, что x больше 11?

Если x> 11, , то x + 3> 14

(Представьте, что «x» — это количество людей на вашей вечеринке.Если на вашей вечеринке более 11 человек, а прибывают еще 3, значит, сейчас на вашей вечеринке должно быть более 14 человек.)

5250, 5251, 5252, 5253, 5254, 5255, 5256, 5257, 5258, 5259

Решение двухшаговых линейных неравенств

Чтобы решить двухэтапное неравенство, сначала отмените сложение или вычитание, используя обратные операции , а затем отмените умножение или деление.

Обратной операцией сложения является вычитание и наоборот.

Точно так же обратная операция умножения — это деление, и наоборот.

Обратите внимание, что всякий раз, когда вы умножаете или делите обе стороны неравенства на отрицательное число, обращайте неравенство.

Пример 1:

Решать 2 Икс + 1 < 7 .

Во-первых, нам нужно изолировать переменный член на одной стороне неравенства.Здесь слева 1 добавляется к члену переменной, 2 Икс . Обратной операцией сложения является вычитание. Итак, вычтите 1 с обеих сторон.

2 Икс + 1 — 1 < 7 - 1 2 Икс < 6

Теперь у нас есть переменная Икс умножается на 2 .Обратная операция умножения — это деление. Итак, разделите обе стороны на 2 .

2 Икс 2 < 6 2 Икс < 3

То есть неравенство справедливо для всех значений Икс которые меньше чем 3 .

Следовательно, решения неравенства 2 Икс + 1 < 7 все числа меньше чем 3 .

Пример 2:

Решать — 3 Икс — 8 ≥ — 2 .

Сначала нам нужно выделить переменный член — 3 Икс налево. Обратной операцией вычитания является сложение. Итак, добавляем 8 в обе стороны.

— 3 Икс — 8 + 8 ≥ — 2 + 8 — 3 Икс ≥ 6

Чтобы изолировать переменную Икс , разделите обе стороны на — 3 .

Обратите внимание, что всякий раз, когда вы умножаете или делите обе стороны неравенства на отрицательное число, обращайте неравенство.

— 3 Икс — 3 ≤ 6 — 3 Икс ≤ — 2

Следовательно, решения неравенства — 3 Икс — 8 ≥ — 2 все числа меньше или равны — 2 .

Решение неравенств с двумя переменными

Решения неравенств с двумя переменными

Мы знаем, что линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечно много упорядоченных парных решений, которые на графике образуют линию. Линейное неравенство с двумя переменными Неравенство, связывающее линейные выражения с двумя переменными. Набор решений представляет собой область, определяющую половину плоскости., С другой стороны, имеет набор решений, состоящий из области, определяющей половину плоскости.

Линейное уравнение

Линейное неравенство

y = 32x + 3

y≤32x + 3

Для неравенства линия определяет границу заштрихованной области.Это указывает на то, что любая упорядоченная пара в заштрихованной области, включая граничную линию, будет удовлетворять неравенству. Чтобы убедиться, что это так, выберите несколько контрольных точек — точку не на границе линейного неравенства, используемую в качестве средства для определения, в какой полуплоскости лежат решения. и подставляем их в неравенство.

Контрольная точка

y≤32x + 3

(0, 0)

0≤32 (0) + 30≤3 ✓

(2, 1)

1≤32 (2) + 31≤3 + 31≤6 ✓

(−2, −1)

−1≤32 (−2) + 3−1≤ − 3 + 3−1≤0 ✓

Также мы можем видеть, что упорядоченные пары вне заштрихованной области не решают линейное неравенство.

Контрольная точка

y≤32x + 3

(-2, 3)

3≤32 (−2) + 33≤ − 3 + 33≤0 ✗

График решения, установленного для линейного неравенства, всегда является областью. Однако граница не всегда может быть включена в этот набор.В предыдущем примере линия была частью набора решений из-за части «или равно» в инклюзивном неравенстве ≤. Если дано строгое неравенство <, мы использовали бы пунктирную линию, чтобы указать, что эти точки не включены в набор решений.

Неисключительная граница

Включая Граница

y <32x + 3

y≤32x + 3

Рассмотрим точку (0, 3) на границе; эта упорядоченная пара удовлетворяет линейному уравнению.Именно часть инклюзивного неравенства «или равно» делает упорядоченную пару частью множества решений.

y <32x + 3

y≤32x + 3

3 <32 (0) +33 <0 + 33 <3 ✗

3≤32 (0) + 33≤0 + 33≤3 ✓

До сих пор мы видели примеры неравенства «меньше чем.”Теперь рассмотрим следующие графы с той же границей:

Больше, чем (вверху)

Меньше (ниже)

y≥32x + 3

y≤32x + 3

Учитывая приведенные выше графики, чего мы можем ожидать, если будем использовать начало координат (0, 0) в качестве контрольной точки?

y≥32x + 3

y≤32x + 3

0≥32 (0) + 30≥0 + 30≥3 ✗

0≤32 (0) + 30≤0 + 30≤3 ✓

Пример 1

Определите, является ли (2,12) решением 5x − 2y <10.

Решение:

Подставьте значения x и y в уравнение и посмотрите, получится ли истинное утверждение.

5x − 2y <105 (2) −2 (12) <1010−1 <109 <10 ✓

Ответ: (2,12) — это решение.

Эти идеи и методы распространяются на нелинейные неравенства с двумя переменными. Например, все решения для y> x2 затенены на графике ниже.

Граница области представляет собой параболу, показанную пунктирной кривой на графике, и не является частью набора решений.Однако, исходя из графика, мы ожидаем, что упорядоченная пара (−1,4) будет решением. Кроме того, мы ожидаем, что упорядоченные пары, которые не находятся в заштрихованной области, например (−3, 2), не будут удовлетворять неравенству.

Чек (-1,4)

Чек (−3, 2)

y> x24> (- 1) 24> 1 ✓

y> x22> (- 3) 22> 9 ✗

Ниже приведены графики наборов решений неравенств с инклюзивными параболическими границами.

y≤ (x − 1) 2−2

y≥ (x − 1) 2−2

Вам предлагается проверять точки в каждом наборе решений, изображенном на графике выше.

Попробуй! Является ли (−3, −2) решением 2x − 3y <0?

Ответ: Нет

Графические решения неравенств с двумя переменными

Решения линейных неравенств представляют собой заштрихованную полуплоскость, ограниченную сплошной или пунктирной линией.Эта граница либо входит в решение, либо нет, в зависимости от заданного неравенства. Если нам дано строгое неравенство, мы используем пунктирную линию, чтобы указать, что граница не включена. Если нам дано инклюзивное неравенство, мы используем сплошную линию, чтобы указать, что оно включено. Шаги для построения графика набора решений для неравенства с двумя переменными показаны в следующем примере.

Пример 2

Изобразите набор решений y> −3x + 1.

Решение:

  • Шаг 1: Постройте границу. Из-за строгого неравенства мы построим границу y = −3x + 1 с помощью пунктирной линии. Мы можем видеть, что наклон равен m = −3 = −31 = riserun, а точка пересечения y равна (0, 1).

  • Шаг 2: Протестируйте точку , а не на границе.Обычная контрольная точка — это начало координат (0, 0). Контрольная точка помогает нам определить, какую половину плоскости затенить.

    Контрольная точка

    y> −3x + 1

    (0, 0)

    0> −3 (0) +10> 1 ✗ ​​

  • Шаг 3: Закрасьте область, содержащую растворы.Поскольку контрольная точка (0, 0) не была решением, она не лежит в области, содержащей все упорядоченные парные решения. Поэтому заштрихуйте половину плоскости, на которой нет этой контрольной точки. В этом случае заштрихуйте линию выше границы.

Ответ:

Рассмотрим проблему затенения выше или ниже граничной линии, когда неравенство имеет форму пересечения уклона. Если y> mx + b, то заштрихуйте над линией.Если y

Пример 3

Изобразите набор решений 2x − 5y≥ − 10.

Решение:

Здесь граница определяется линией 2x − 5y = −10. Поскольку неравенство носит инклюзивный характер, мы обозначим границу сплошной линией. В этом случае нарисуйте граничную линию, используя точки пересечения.

Чтобы найти точку пересечения x , установите y = 0.

Чтобы найти точку пересечения y , установите x = 0.

2x − 5y = −10

2x − 5 (0) = — 102x = −10x = −5

2x − 5y = −10

2 (0) −5y = −10−5y = −10y = 2

x -перехват: (−5, 0)

y -перехват: (0, 2)

Затем проверьте точку; это помогает решить, какую область затенять.

Контрольная точка

2x − 5y≥ − 10

(0, 0)

2 (0) −5 (0) ≥ − 100≥ − 10 ✓

Поскольку контрольная точка находится в наборе решений, заштрихуйте половину плоскости, которая ее содержит.

Ответ:

В этом примере обратите внимание, что набор решений состоит из всех упорядоченных пар ниже граничной линии. Это может показаться нелогичным, поскольку исходное неравенство включало «больше, чем» ≥. Это показывает, что лучше всего проверить точку. Решите относительно и , и вы увидите, что затенение правильное.

2x − 5y≥ − 102x − 5y − 2x≥ − 10−2x − 5y≥ − 2x − 10−5y − 5≤ − 2x − 10−5 Обратить неравенство.у≤25x + 2

В форме пересечения откоса вы можете видеть, что область под линией границы должна быть заштрихована. Альтернативный подход состоит в том, чтобы сначала выразить границу в форме пересечения наклона, нанести ее на график, а затем заштриховать соответствующую область.

Пример 4

Изобразите набор решений y <2.

Решение:

Сначала изобразите граничную линию y = 2 пунктирной линией из-за строгого неравенства.Затем проверьте точку.

Контрольная точка

г <2

(0, 0)

0 <2 ✓

В этом случае закрасьте область, содержащую тестовую точку.

Ответ:

Попробуй! Изобразите набор решений 2x − 3y <0.

Ответ:

Шаги такие же для нелинейных неравенств с двумя переменными. Сначала нарисуйте границу, а затем проверьте точку, чтобы определить, в какой области находятся решения.

Пример 5

Изобразите набор решений y <(x + 2) 2−1.

Решение:

Граница представляет собой базовую параболу, смещенную на 2 единицы влево и на 1 единицу вниз.Начните с рисования пунктирной параболической границы из-за строгого неравенства.

Затем проверьте точку.

Контрольная точка

y <(x + 2) 2−1

(0, 0)

0 <(0 + 2) 2−10 <4−10 <3 ✓

В этом случае закрасьте область, содержащую тестовую точку (0,0).

Ответ:

Пример 6

Изобразите набор решений y≥x2 + 3.

Решение:

Граница представляет собой базовую параболу, смещенную на 3 единицы вверх. Он изображен сплошной кривой из-за включенного неравенства.

Затем проверьте точку.

Контрольная точка

y≥x2 + 3

(0, 0)

0≥02 + 30≥3 ✗

В этом случае закрасьте область, которая не содержит контрольную точку (0,0).

Ответ:

Попробуй! Изобразите набор решений y <| x − 1 | −3.

Ответ:

Основные выводы

  • Линейные неравенства с двумя переменными имеют бесконечно много упорядоченных парных решений, которые можно изобразить штриховкой в ​​соответствующей половине прямоугольной координатной плоскости.
  • Чтобы изобразить набор решений неравенства с двумя переменными, сначала изобразите границу пунктирной или сплошной линией в зависимости от неравенства. Если дано строгое неравенство, используйте пунктирную линию для границы. Если дано инклюзивное неравенство, используйте сплошную линию. Затем выберите контрольную точку не на границе. Если контрольная точка устраняет неравенство, закрасьте область, которая ее содержит; в противном случае заштрихуйте противоположную сторону.
  • Проверьте свой ответ, проверив точки внутри и вне затененной области, чтобы убедиться, что они решают неравенство или нет.

Тематические упражнения

    Часть A: Решение неравенств с двумя переменными

      Является ли упорядоченная пара решением данного неравенства?

    1. 5x − y> −2; (−3, −4)

    2. 4x − y <−8; (−3, −10)

    3. 6x − 15y≥ − 1; (12, −13)

    4. х − 2y≥2; (23, −56)

    5. 34x − 23y <32; (1, −1)

    6. 25x + 43y> 12; (−2,1)

    7. y≤x2−1; (-1,1)

    8. y≥x2 + 3; (−2,0)

    9. y≥ (x − 5) 2 + 1; (3,4)

    10. y≤2 (x + 1) 2−3; (-1, -2)

    11. у> 3− | х |; (−4, −3)

    12. у <| х | −8; (5, −7)

    13. у> | 2x − 1 | −3; (-1,3)

    14. у <| 3x − 2 | +2; (-2,10)

    Часть B: Графические решения неравенств с двумя переменными.

      Постройте график набора решений.

    1. 16x + 110y≤12

    2. 38x + 12y≥34

    3. 112x − 16y <23

    4. 13x − 19y> 43

    5. 2x≥6−9y

    6. Напишите неравенство, описывающее все точки в верхней полуплоскости выше оси x .

    7. Напишите неравенство, описывающее все точки в нижней полуплоскости ниже оси x .

    8. Напишите неравенство, описывающее все точки в полуплоскости слева от оси y .

    9. Напишите неравенство, описывающее все точки в полуплоскости справа от оси y .

    10. Напишите неравенство, описывающее все упорядоченные пары, у которых координата y составляет не менее k единиц.

    11. Напишите неравенство, описывающее все упорядоченные пары, координата которых x составляет не более k единиц.

      Постройте график набора решений.

    1. Прямоугольный загон должен иметь ограждение не более 200 футов.Запишите линейное неравенство для длины l и ширины w . Нарисуйте график всех возможных решений этой проблемы.

    2. Компания продает один продукт за 8 долларов, а другой за 12 долларов. Сколько каждого продукта нужно продать, чтобы выручка составила не менее 2400 долларов? Пусть x представляет количество продуктов, проданных по цене 8 долларов, а y представляет количество продуктов, проданных по цене 12 долларов.Напишите линейное неравенство в единицах x и y и нарисуйте график всех возможных решений.

Решение линейных неравенств | Уравнения и неравенства

4.7 Решение линейных неравенств (EMA3H)

Линейное неравенство похоже на линейное уравнение в том, что наибольший показатель степени переменной равен \ (\ text {1} \). Ниже приведены примеры линейных неравенств.

\ begin {align *} 2x + 2 & \ le 1 \\ \ frac {2 — x} {3x + 1} & \ ge 2 \\ \ frac {4} {3} x — 6 & <7x + 2 \ end {выровнять *}

Методы, используемые для решения линейных неравенств, аналогичны тем, которые используются для решения линейных уравнений. Единственная разница возникает при умножении или делении со знаком минус. Например, мы знаем, что \ (8> 6 \).Если обе части неравенства разделить на \ (- \ text {2} \), то мы получим \ (- 4> -3 \), что неверно. Следовательно, знак неравенства нужно поменять местами, давая \ (- 4 <-3 \).

Чтобы сравнить неравенство с нормальным уравнением, мы сначала решим уравнение.

Решить \ (2x + 2 = 1 \):

\ begin {align *} 2х + 2 & = 1 \\ 2x & = 1-2 \\ 2x & = -1 \\ х & = — \ frac {1} {2} \ end {выровнять *}

Если представить этот ответ в числовой строке, получим:

Теперь решим относительно \ (x \) в неравенстве \ (2x + 2 \ le 1 \):

\ begin {align *} 2x + 2 & \ le 1 \\ 2x & \ le 1 — 2 \\ 2x & \ le -1 \\ х & \ le — \ frac {1} {2} \ end {выровнять *}

Если представить этот ответ в числовой строке, получим:

Мы видим, что для уравнения существует только одно значение \ (x \), для которого уравнение верно.Однако для неравенства существует диапазон значений, для которых неравенство верно. В этом главное отличие уравнения от неравенства.

Помните: , когда мы делим или умножаем обе стороны неравенства на отрицательное число, направление неравенства меняется. Например, если \ (x <1 \), то \ (- x> -1 \). Также обратите внимание, что мы не можем делить или умножать на переменную.

Следующее видео знакомит с линейными неравенствами.

Видео: 2FGH

Обозначение интервалов (EMA3J)

Примеры:

\ (\ left (4; 12 \ right) \)

Круглые скобки означают, что номер не включен. Этот интервал включает все действительные числа, большие, но не равные \ (\ text {4} \) и меньшие, но не равные \ (\ text {12} \).

\ (\ left (- \ infty; -1 \ right) \)

Круглые скобки всегда используются для положительной и отрицательной бесконечности.В этот интервал входят все действительные числа, меньшие, но не равные \ (- \ text {1} \).

\ (\ left [1; 13 \ right) \)

Квадратная скобка означает, что номер включен. Этот интервал включает все действительные числа, большие или равные \ (\ text {1} \) и меньшие, но не равные \ (\ text {13} \).

Важно отметить, что это обозначение может использоваться только для представления интервала действительных чисел.

Мы представляем вышеприведенный ответ в обозначении интервалов как \ (\ left (- \ infty; — \ frac {1} {2} \ right] \)

Рабочий пример 17: Решение линейных неравенств

Решить относительно \ (r \):

\ [6 — r> 2 \]

Представьте ответ в числовой строке и в виде интервалов.

Переставьте и решите для \ (r \)

\ begin {align *} -r &> 2-6 \\ -r &> -4 \ end {align *}

Умножить на \ (- \ text {1} \) и отменить знак неравенства

\ [г <4 \]

Изобразите ответ в числовой строке

Представьте ответ в виде интервалов

\ [\ влево (- \ infty; 4 \ вправо) \]

Рабочий пример 18: Решение линейных неравенств

Решить относительно \ (q \):

\ [4q + 3

Представьте ответ в числовой строке и в виде интервалов.

Раскладной кронштейн

\ begin {align *} 4q + 3 & <2 (q + 3) \\ 4q + 3 & <2q + 6 \ end {align *}

Переставьте и решите для \ (q \)

\ begin {align *} 4q + 3 & <2q + 6 \\ 4q - 2q & <6 - 3 \\ 2q & <3 \ end {align *}

Разделите обе стороны на \ (\ text {2} \)

\ begin {align *} 2q & <3 \\ q & <\ frac {3} {2} \ end {align *}

Представьте ответ в числовой строке

.

Представьте ответ в виде интервалов

\ (\ left (- \ infty; \ frac {3} {2} \ right) \)

Рабочий пример 19: Решение сложных линейных неравенств

Решить относительно \ (x \):

\ [5 \ le x + 3

Представьте ответ в числовой строке и в интервальной записи.

Вычтем \ (\ text {3} \) из всех частей неравенства

\ [\ begin {array} {ccccc} 5 — 3 & \ le & x + 3 — 3 & <& 8 - 3 \\ 2 & \ le & x & <& 5 \ конец {массив} \]

Изобразите ответ в числовой строке

Представьте ответ в виде интервалов

\ (\ left [2; 5 \ right) \)

Вы можете это сделать! Позвольте нам помочь вам учиться с умом для достижения ваших целей.Siyavula Practice направит вас в удобном для вас темпе, когда вы задаете вопросы в Интернете.

Зарегистрируйтесь, чтобы улучшить свои оценки

Упражнение 4.6

\ (x <-1 \ text {и} x \ ge 6; x \ in \ mathbb {R} \)

\ (3 <х <6; х \ в \ mathbb {R} \)

\ (x \ neq 3; x \ neq 6; x \ in \ mathbb {R} \)

\ (х> -10; х \ в \ mathbb {R} \)

\ begin {align *} 3х + 4 &> 5х + 8 \\ 3х — 5х &> 8 — 4 \\ -2x> 4 \\ 2x

Обозначается в числовой строке:

В интервальном обозначении: \ ((- \ infty; -2) \)

\ (3 (x — 1) — 2 \ le 6x + 4 \)

\ begin {align *} 3 (x — 1) — 2 & \ le 6x + 4 \\ 3x — 5 & \ le 6x + 4 \\ 3х — 6х & \ ле 4 + 5 \\ -3x \ le 9 \\ х \ ge — \ frac {9} {3} \\ х \ ge -3 \ end {выровнять *}

Обозначается в числовой строке:

В интервальном обозначении: \ ([- 3; \ infty) \)

\ (\ dfrac {x — 7} {3}> \ dfrac {2x — 3} {2} \)

\ begin {align *} \ frac {x — 7} {3} &> \ frac {2x — 3} {2} \\ 2 (х — 7) &> 3 (2x — 3) \\ 2х — 14> 6х — 9 \\ -4x> 5 \\ x

Обозначается в числовой строке:

В интервальном обозначении: \ ((- \ infty; — \ frac {5} {4}) \)

\ begin {align *} -4 (x — 1) & \ frac {2} {5} \ end {выровнять *}

Обозначается в числовой строке:

В интервальном обозначении: \ ((\ frac {2} {5}; \ infty) \)

\ (\ dfrac {1} {2} x + \ dfrac {1} {3} (x — 1) \ ge \ dfrac {5} {6} x — \ dfrac {1} {3} \)

\ begin {align *} \ frac {1} {2} x + \ frac {1} {3} (x — 1) & \ ge \ frac {5} {6} x — \ frac {1} {3} \\ \ frac {1} {2} x + \ frac {1} {3} x — \ frac {1} {3} & \ ge \ frac {5} {6} x — \ frac {1} {3} \ \ \ frac {1} {2} x + \ frac {1} {3} x — \ frac {5} {6} x & \ ge \ frac {1} {3} — \ frac {1} {3} \ \ \ frac {3} {6} x + \ frac {2} {6} x — \ frac {5} {6} x & \ ge 0 \\ 0x \ ge 0 \ end {выровнять *}

Неравенство верно для всех действительных значений \ (x \).

\ [\ begin {array} {ccccc} -2 & \ le & x — 1 &

Обозначается числовой строкой:

В интервальном обозначении: \ ([- 1; 4) \)

\ [\ begin {array} {ccccc} -5 и

Обозначается в числовой строке:

В интервальном обозначении: \ ((- 1; 5] \)

\ (7 (3x + 2) — 5 (2x — 3)> 7 \)

\ begin {align *} 7 (3x + 2) — 5 (2x — 3) &> 7 \\ 21х + 14 — 10х + 15 &> 7 \\ 11x &> -22 \\ х &> -2 \ end {выровнять *}

Обозначается в числовой строке:

В интервальном обозначении: \ ((- 2; \ infty) \)

\ (\ dfrac {5x — 1} {- 6} \ ge \ dfrac {1 — 2x} {3} \)

\ begin {align *} \ frac {5x — 1} {- 6} & \ ge \ frac {1 — 2x} {3} \\ 5x — 1 & \ ge -2 (1-2x) \\ 5x — 1 & \ ge -2 + 4x \\ 5x — 4x & \ ge -1 \\ х & \ ge -1 \ end {выровнять *}

Обозначается в числовой строке:

В интервальном обозначении: \ ([- 1; \ infty) \)

\ [\ begin {array} {ccccc} 3 & \ le & 4 — х & \ le & 16 \\ -1 & \ le & -x & \ le & 12 \\ 1 & \ ge & x & \ ge & -12 \ конец {массив} \]

Обозначается в числовой строке:

В интервальном обозначении: \ ([1; 12] \)

\ (\ dfrac {-7y} {3} — 5> -7 \)

\ begin {align *} \ frac {-7y} {3} — 5 &> -7 \\ -7л — 15 &> -21 \\ -7лет &> -6 \\ y &

Обозначается в числовой строке:

В интервальном обозначении: \ ((- \ infty; \ frac {6} {7}) \)

\ [\ begin {array} {ccccc} 1 & \ le & 1-2y & & -4 \\ -4 и

Обозначается в числовой строке:

В интервальном обозначении: \ ((- 4; 0] \)

\ (- 2 <\ dfrac {x - 1} {- 3} <7 \)

\ [\ begin {array} {ccccc} -2 & & x — 1 &> & -21 \\ 7 &> & x &> & -20 \\ -20 и

Обозначается в числовой строке:

В интервальном обозначении: \ ((- 20; 7) \)

\ begin {align *} 2 х -1 & <3 (х +11) \\ 2 х -1 & <3 х +33 \\ 2 х -3 х & <33 +1 \\ -1 х & <34 \\ \ поэтому x &> -34 \ end {align *}

\ [\ влево (-34; \ infty \ вправо) \]

\ begin {align *} х -1 & <-4 (х -6) \\ х -1 & <-4 х +24 \\ х +4 х & <24 +1 \\ 5 х & <25 \\ \ поэтому x & <5 \ end {align *}

\ [\ влево (- \ infty; 5 \ вправо) \]

\ (\ dfrac {x-1} {8} \ leq \ dfrac {2 (x-2)} {3} \)

\ begin {align *} \ frac {x-1} {8} & \ leq \ frac {2 (x-2)} {3} \\ 3 (х-1) & \ leq 16 (х-2) \\ 3х-3 & \ leq 16х-32 \\ 3х -16х & \ leq -32 +3 \\ -13x & \ leq -29 \\ \ поэтому x & \ geq \ frac {29} {13} \ end {выровнять *}

\ (\; x \ in \ left [\ frac {29} {13}; \ infty \ right) \).

\ (\ dfrac {x + 2} {4} \ leq \ dfrac {-2 (x-4)} {7} \)

\ begin {align *} \ frac {x + 2} {4} & \ leq \ frac {-2 (x-4)} {7} \\ 7 (х + 2) & \ leq -8 (х-4) \\ 7x + 14 & \ leq -8x + 32 \\ 7x + 8x & \ leq 32-14 \\ 15x & \ leq 18 \\ \ поэтому x & \ leq \ frac {6} {5} \ end {выровнять *}

\ (\; x \ in \ left (- \ infty; \ frac {6} {5} \ right] \).

\ (\ dfrac {1} {5} x — \ dfrac {5} {4} (x + 2)> \ dfrac {1} {4} x + 3 \)

\ begin {align *} \ frac {1} {5} x — \ frac {5} {4} (x + 2) &> \ frac {1} {4} x +3 \\ 4х — 25 (х + 2) &> 5х +60 \\ 4х — 25 х-50 &> 5х +60 \\ 4х — 25 х -5х &> 60 + 50 \\ -26x &> 110 \\ \ поэтому x & <- \ frac {55} {13} \ end {align *}

Интервал: \ [\ left (- \ infty; — \ frac {55} {13} \ right) \]

\ (\ dfrac {1} {5} x — \ dfrac {2} {5} (x + 3) \ geq \ dfrac {4} {2} x +3 \)

\ begin {align *} \ frac {1} {5} x — \ frac {2} {5} (x + 3) & \ geq \ frac {4} {2} x +3 \\ 2x — 4 (x + 3) & \ geq 20x +30 \\ 2х — 4 х-12 & \ geq 20x +30 \\ 2х — 4 х -20х & \ geq 30 + 12 \\ -22x & \ geq 42 \\ \ поэтому x & \ leq — \ frac {21} {11} \ end {align *}

Интервал: \ [\ left (- \ infty; — \ frac {21} {11} \ right] \]

\ (4x +3 <-3 \ quad \ text {или} \ quad 4x +3> 5 \)

Решите неравенство: \ [\ begin {array} {rclcrcl} 4x +3 & <& -3 & \ text {или} & 4x +3 &> & 5 \\ 4x & <& -3-3 & \ text {or} & 4x &> & 5-3 \\ x & <& \ frac {-3-3} {4} & \ text {или} & x &> & \ frac {5-3} {4} \\ x & <& - \ frac {3} {2} & \ text {или} & x &> & \ frac {1} {2} \\ \ end {array} \]

\ [\ left (- \ infty; — \ frac {3} {2} \ right) \ cup \ left (\ frac {1} {2}; \ infty \ right) \]

Решите неравенство: \ [\ begin {array} {rcccl} 4 & \ ge & -6x -6 & \ ge & -3 \\ 4 + 6 & \ ge & -6x & \ ge & -3 + 6 \\ \ frac {4 + 6} {- 6} & \ le & x & \ le & \ frac {-3 + 6} {- 6} \\ — \ frac {5} {3} & \ le & x & \ le & — \ frac {1} {2} \\ \ end {array} \]

\ [\ left [- \ frac {5} {3}; — \ frac {1} {2} \ right] \]

\ (6b — 3> b + 2, ~ b \ in \ mathbb {Z} \)

\ begin {align *} 6b — 3> b + 2, ~ b \ in \ mathbb {Z} \\ 5b> 5 \\ b> 1 \ end {выровнять *}

\ (3a — 1 <4a + 6, ~ a \ in \ mathbb {N} \)

\ begin {align *} 3а — 1-7 \ end {выровнять *}

Однако нам говорят, что \ (a \ in \ mathbb {N} \) и поэтому \ (a> 0 \).

\ (\ dfrac {b-3} {2} + 1 <\ dfrac {b} {4} - 4, ~ b \ in \ mathbb {R} \)

\ begin {align *} \ frac {b-3} {2} + 1

\ (\ dfrac {4a +7} {3} — 5> a — \ dfrac {2} {3}, ~ a \ in \ mathbb {N} \)

\ begin {align *} \ frac {4a +7} {3} — 5> a — \ frac {2} {3} \\ 4а + 7-15> 3а — 2 \\ а> 6 \ end {выровнять *}

2. Решение линейных неравенств

Процедура решения линейных неравенств с одной переменной аналогично решению основных уравнений.(См. Решение уравнений.)

Нам нужно быть осторожными с смыслом равенства при умножении или делении на отрицательные числа.

Ниже приведены несколько примеров решения уравнений, включающих неравенства.

Пример 1

Решить x + 2

Ответ

Нам нужно вычесть «2» из обеих частей неравенства.

`x + 2 <4`

`x <4-2`

`x <2`

График этого решения выглядит следующим образом:

Пример 2

Решить `x / 2> 4`

Ответ

Нам нужно умножить обе части неравенства на `2`.

`x / 2> 4`

`x> 4xx2`

`x> 8`

Вот график этого решения:

Пример 3

Решить 2 x ≤ 4

Ответ

Нам нужно разделить обе части неравенства на `2`.

`2x <= 4`

`x <= 4 / 2`

`x <= 2`

Вот график этого решения:

Пример 4

Решите неравенство 3-2 x ≥ 15

Ответ

В этом примере нам нужно вычесть 3 с обеих сторон; затем разделите обе части на «-2» (не забудьте изменить направление неравенства).

`3-2x> = 15`

`-2x> = 15-3`

`-2x> = 12`

`х <= 12 / (- 2)`

`x <= - 6`

Вот график этого решения:

(Обратите внимание на изменение смысла из-за деления на отрицательное номер)

Чек: Всегда проверяйте свое решение, и вы можете быть уверены, что ваш ответ правильный.

В этом случае любое число меньше `-6` должно« работать »в исходном уравнении, а любое число больше` -6` должно не работать.

Возьмем `x = -10` (удобное число меньше` -6`)

LHS `= 3 — 2 (-10) = 3 + 20 = 23`. Это больше, чем «15», так что это правда.

Теперь возьмем `x = 0` (удобное число больше, чем` -6`)

LHS `= 3 — 2 (0) = 3`. Это НЕ больше 15, как мы и надеялись.

Итак, мы можем быть уверены, что наш ответ правильный.

Пример 5

Решите неравенство `3/2 (1-x)> 1/4-x`

Ответ

`3/2 (1-x)> 1/4-x`

Умножение обеих сторон на 4 дает:

`6 (1-x)> 1-4x`

`6-6x> 1-4x`

`-6x + 4x> 1-6`

`-2x> -5`

`x <5/2`

(Обратите внимание на изменение смысла последней строки из-за деления на отрицательное номер).

Вот график этого решения:

Проверка: Принимая x = 0 (что должно работать):

«» LHS «= 3/2 (1 — 0) = 3/2`

«» RHS «= 1 / 4`

Верно, что `3/2> 1 / 4`, так что это хорошо.

Теперь возьмем x = 3 (удобное число больше 5/2, которое не должно работать):

«» LHS «= 3/2 (1-3) = -3`

«RHS» = 1/4 — 3 = -2 3 / 4`

Неверно, что `-3> -2 3 / 4` и поэтому` x = 3` не работает, как мы надеялись.

Мы можем быть уверены, что наш ответ (`x <5 / 2`) правильный.

Неравенства с тремя членами

Пример 6

Решить −1 <2 x + 3 <6

Ответ

`- 1 <2x + 3 <6`

Вычесть `3` со всех трех сторон

`- 1 — 3 <2x + 3 - 3 <6 - 3`

`- 4 <2x <3`

Разделить все стороны на `2`

`-2

График решения:

Пример 7

Решить 2 x < x — 4 ≤ 3 x + 8

Ответ

Другой способ решения более сложных неравенств с 3 членов (сторон) — это неравенство переписать как

`2x и ` x — 4 ≤ 3x + 8`

Тогда, решая каждое из этих неравенств, получаем:

LHS неравенство:

`x <- 4`

RHS неравенство:

`x — 4 ≤ 3x + 8`

`- 4 ≤ 2x + 8`

`- 12 ≤ 2x`

`x ≥ -6`

Принимая во внимание, что окончательное решение должно удовлетворять обоим неравенств, получаем:

`x <-4` и` x ≥ -6`

Эти две части выглядят так:

Рассматривая область пересечения двух частей, получаем

`-6 ≤ x <-4`

Это график окончательного решения:

Упражнения

Решите следующие неравенства для x :

1.Решить 3 — 3 x <- 1

Ответ

`3 — 3x <-1`

`- 3x

` x> 4/3 ~~ 1,333 … `

Вот график решения:

2. Решите −2 ( x + 4)> 1 — 5 x

Ответ

`-2 (x + 4)> 1 — 5x`

`-2x — 8> 1 — 5x `

`3x — 8> 1`

`3x> 9`

`x> 3`

График решения:

3. Решить `x / 5-2> 2/3 (x + 3)`

Ответ

`x / 5-2> 2/3 (x + 3)`

Умножить на 5:

`х-10> 10/3 (х + 3)`

Умножить на 3:

`3x-30> 10 (x + 3)`

`3x-30> 10x + 30`

`3x> 10x + 60`

`-7x> 60`

`x <(- 60) / 7 ~~ -8.57`

График решения:

4. Решить x — 1 <2 x + 2 <3 x + 1

Ответ

Нам нужно найти пересечение «истинных» значений.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск