Решите уравнение x 4 x 6 2: Решите уравнение x-4\x-6=2 — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 18.02.197010.06.2021 by alexxlab

Содержание

решите уравнение x 4 x 6 2

Вы искали решите уравнение x 4 x 6 2? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и решите уравнение x 6 2 x 4, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «решите уравнение x 4 x 6 2».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как решите уравнение x 4 x 6 2,решите уравнение x 6 2 x 4,решите уравнение х 4 х 6 2,решить уравнение x 2 x 4 6,решить уравнение x 4 6 x 2,решить уравнение x 6 x 4,х 4 х 6 2.

На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и решите уравнение x 4 x 6 2. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, решите уравнение х 4 х 6 2).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же решите уравнение x 4 x 6 2 Онлайн?

Решить задачу решите уравнение x 4 x 6 2 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Урок 27. решение уравнений вида: х ∙ 8 = 26 + 70, х : 6 = 18 ∙ 5, 80 : х = 46 – 30 — Математика — 4 класс

Математика, 4 класс

Урок № 27. Решение уравнений вида: х · 8 = 26 + 70, х : 6 = 18 · 5,80 : х = 46 – 30

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— как решать уравнения вида: x∙ 8 = 26 + 70, x : 6 = 18 ∙ 5, 80 : x = 46 – 30

— какой алгоритм решения данных уравнений?

Глоссарий по теме:

Уравнение – это равенство с неизвестным числом. Неизвестное число обозначают латинской буквой.

Алгоритм — последовательность действия (шагов)

Решить уравнение – это значит найти такое значение неизвестного числа, при котором равенство будет верным.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М.И., Бантова М.А. и др. Математика 4 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. Ч.1 — М.; Просвещение, 2017. – с.80

2. Моро М.И., Волкова С.И. Математика. Рабочая тетрадь 4 класс. Часть 1. М.; Просвещение, 2016. – с.34,35

3. Волкова С.И. Математика. Проверочные работы 4 класс. М.; Просвещение, 2017. – с.44-45.

4. Волкова С.И. Математика. Тесты 4 класс. М.; Просвещение, 2017. – с.40-41.

5. Кочергина А.В. Учим математику с увлечением (Методическая библиотека). М.: 5 за знания, 2007. – с.159.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Вспомните, как связаны между собой числа при умножении.

Посмотрите, множитель 20, множитель 3, произведение 60.

Если 60 разделить на 20, получится 3.

Если 60 разделить на 3, получится 20.

Значит, если произведение разделить на один из множителей, то получится другой множитель. Это правило потребуется при решении уравнений, в которых неизвестен один из множителей.

20 ∙ 3 = 60

60 : 20 = 3

60 : 3 = 20

Решим уравнение:

произведение неизвестного числа и числа 7 равно числу 91. В нем неизвестен первый множитель. Как его найти? Для нахождения неизвестного первого множителя надо произведение 91 разделить на известный множитель 7. Делим 91 на 7 — получаем 13. Выполним проверку. Подставим в уравнение вместо икс число 13.

13 умножить на 7 получим 91. Получили верное равенство:

91 равно девяносто одному. Значит, решили правильно.

А теперь догадайтесь, как решить уравнение: произведение неизвестного числа и числа 7 равно сумме чисел восьмидесяти и одиннадцати. Найдем значение выражения в правой части уравнения: 80 плюс 11 равно 91. Тем самым мы получили уравнение, которое уже умеем решать. Посмотрите, как записывается решение этого уравнения и его проверка.

Вспомним, как связаны между собой числа при делении.

Посмотрите: делимое 15, делитель 3, частное равно пяти.

Если делитель 3 умножить на частное 5, получим делимое 15.

Если делимое 15 разделить на частное 5, получим делитель 3.

15 : 3 = 5

3 ∙ 5 = 15

15 : 5 = 3

Знание связей между делимым, делителем и частным потребуется для решения уравнений, в которых неизвестен один из компонентов: делимое или делитель. Посмотрите, как решаются такие уравнения. В первом уравнении неизвестно делимое. Чтобы его найти, нужно делитель 3 умножить на частное 9.

Во втором уравнении неизвестен делитель. Чтобы его найти, нужно делимое 45 разделить на частное 3.

А как решить такое уравнение? Вычислим произведение в правой части: 18 умножить на 5 получим 90. Получается уравнение, в котором неизвестно делимое. Вы уже знаете, как его решать. Выполним проверку решения уравнения. Подставим число 540 вместо икс, вычислим левую часть и правую часть выражения: 90 равно 90. Значит уравнение решили верно.

Задания тренировочного модуля:

1.К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго.

91 : х = 13	x = 20
х : 21=4	x = 7
24 ∙x = 96	x = 84
x∙ 3 = 60	x = 4

Правильный ответ:

91 : х = 13	x = 7
х : 21= 4	x = 84
24 ∙x = 96	x = 4
x∙3 = 60	x = 20

2. Выполните вычисления и выделите верный ответ:

7 ∙x = 140 : 2

Варианты ответов: 10, 400, 2

Правильный вариант:

3.Решите уравнение, подчеркните правильный ответ:

(80 : у) ∙ 700 = 2800

Варианты ответов:

2, 4, 20

Правильные варианты:

12. Уравнения, содержащие модуль. Рациональные уравнения

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Уравнения, содержащие модуль

Если в уравнении некоторые выражения, содержащие неизвестное, стоят по знаком модуля, то решение исходного уравнения ищется отдельно на каждом из промежутков знакопостоянства этих выражений.

Пример 1
Решить уравнение |3x-6|=x+2.
Решение:
Рассмотрим первый случай: 3х-6≥0, тогда 3х-6=х+2, 2х=8, х=4.
Рассмотрим второй случай: 3х-6<0, тогда 3х-6=-(х+2), 4х=4, х=1.
Ответ: 1; 4.
Пример 2
Решить уравнение |x-2| — 3|x-1| + 4|x-3| = 5.

Отметим на координатной прямой точки:

х-2=0 х-1=0 х-3=0
х=2 х=1 х=3

Рассмотрим решения уравнения на промежутках (-∞; 1]; (1; 2]; (2; 3] и (3; +∞).

При х≤1: -(х-2) + 3(х-1) -4(х-3)=5, -х+2+3х-3-4х+12=5, -2х=-6, х=3. Ответ не принадлежит промежутку, следовательно нет решений.
При 1<х≤2: -(х-2) — 3(х-1) -4(х-3)=5, -х+2-3х+3-4х+12=5, -8х=-12, х=1,5. Ответ принадлежит промежутку.
При 2<х≤3: х-2 — 3(х-1) -4(х-3)=5, х-2-3х+3-4х+12=5, -6х=-8, х=4/3. Ответ не принадлежит промежутку, следовательно нет решений.
При х>3: х-2 — 3(х-1) +4(х-3)=5, х-2-3х+3+4х-12=5, 2х=16, х=8. Ответ принадлежит промежутку.
Ответ: 1,5; 8.

Рациональные уравнения Рациональным уравнением называется уравнение вида

где P(x), Q(x) — многочлены.

Решение уравнения сводится к решению системы:

Пример

Решить уравнение

Решение:

x²-4=0, х-2≠0,

x²=4, х≠ 2.

х=-2 или х=2.

Число 2 не может быть корнем.

Ответ: -2.

УПРАЖНЕНИЯ 1. Из данных уравнений выберите те, которые не имеют корней:

а) |x|+4=1; |x-5|=2; |x+3|=-6. б) |1+x|=3; |1-x|=-4; 8+|x|=2.

Решение:
а) |x|+4=1 не имеет корней, т.к. |x|=-3 и модуль не может быть отрицательным числом; |x-5|=2 имеет корни; |x+3|=-6 не имеет корней, т.к. модуль не может быть отрицательным числом.
Ответ: |x|+4=1; |x+3|=-6.

2. Решите уравнение:

а) |5x|=15; б) |2x|=16.

Решение:
а) |5x|=15;
|5||x|=15;
5|x|=15;
|x|=3;
x=3 или x=-3.

3. Решите уравнение:

а) |5x+1|=5; б) |2x-1|=10.

Решение:
а) |5x+1|=5;
Ответ: -1,2; 0,8.

4. Решите уравнение:

а) |5x²+3x-1|=-x²-36; б) |3x²-5x-4|=-4x²-23.

Решение:
а) |5x²+3x-1|=-x²-36. Рассмотрим выражение -x²-36, оно принимает отрицательные значения при любых значениях х, следовательно уравнение |5x²+3x-1|=-x²-36 не имеет корней.
Ответ: нет корней

5. Решите уравнение:

Решение:
Ответ: -1/3.

6. Решите уравнение:
Решение:
14х²-5x-1=0,

7. Решите уравнение:
Решение:

8. Решите уравнение:

Решение:

х ≠3.
Ответ: -4; 1.

9. Найдите, при каком значении переменной значение выражения
равно: а) -6; б) 6. Решение:

10. Решите уравнение:

Решение:
а) Разложим знаменатели на множители:
х²-36=(x-6)(x+6).
108-24x+х²=(x-6)(x-18).
2x-36=2(x-18).

11. Решите уравнение:

а) х²-6|x|=0; б) х²+4|x|=0.

Решение:
а) х²-6|x|=0;
х≥0: х²-6x=0; х(х-6)=0, x1=0, x2=6.

x<0: х²+6x=0; х(х+6)=0, x1=0, x2=-6.

Ответ: -6; 0; 6.

12.Решите уравнение:

а) х²-3|x|+2=0; б) х²-2|x|+1=0.

Решение:
а) х²-3|x|+2=0.
х≥0: х²-3x+2=0; D=9-8=1, x1=2, x2=1.
x<0: х²+3x+2=0; D=9-8=1, x1=-2, x2=-1.
Ответ: -2; -1; 1; 2.

13. Решите уравнение:

а) |x-2|+|x-4|=5; б) |x-1|-|x-4|=6.

Решение:
а) |x-2|+|x-4|=5.
x≤2: -(x-2)-(x-4)=5, -x+2-x+4=5, x=0,5.
2<x≤4: x+2-(x-4)=5, x-2-x+4=5, 2=5 — нет решений.
x>4: x-2+x-4=5, 2x=11, x=5,5.

Ответ: 0,5; 5,5.

14.Решите уравнение:

а) |3- |4- |x|||=5; б) 8-|2 -|x|||=3.

Решение:
а) |3- |4- |x|||=5;
3- |4- |x||=5 или 3- |4- |x||=-5;
|4-|x||=-2 — нет решений |4-|x||=8
4-|x|=8 или 4-|x|=-8
|x|=-4 — нет решений |x|=12
х=12 или х=-12.
Ответ: -12; 12.

15. Решите уравнение:
Решение:
а)
3x-7≥0: х²-3x+10=0; D=9-40=-31<0 — нет корней.

3x-7<0: х²-3x-10=0; D=9+40=49, x1=5, x2=-2.
3x-7≠0, x≠7/3.
Ответ: -2; 5.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Какие из чисел -4; -1; 2; 1,5; 2,5 являются корнями уравнения:

а) |3x-1|=5; б) |4-2x|=1?

2. Решите уравнение:

а) |3x|=21; б) |2x|=-12.

3. Решите уравнение:

а) |2x-5|=1; б) |3x+6|=18.

4. Решите уравнение:

5. Решите уравнение:

6. Решите уравнение:

7. Решите уравнение:

8. Решите уравнение:

9. Решите уравнение:

а) 3(x-1) = |2x-1|; б) |5-2x|=|x+4|.

10. Решите уравнение:

а) |х²+x|=12; б) |х²-3x|=10. 3-2x+1 приведёт выражение к (x – 1)(x² +x +1).

Оператор expand раскроет скобки и разложит выражение, например expand (x – 1)(x2+x+1) приведёт выражение к x³ -2x +1.

Оператор partial fractions разложит отношение многочленов в сумму простейших дробей.

minimize минимизирует функцию, а maximize максимизирует

Число «Пи» записывается, как pi

Тригонометрические функции: sin, cos, tan, ctan, arcsin, arccos, arctan, arcctan

Команда series раскладывает функцию в ряд, например: taylor series sinx at x=0 даст нам разложение функции sin(x) в ряд Тейлора в точке x=0

Производные и интегралы

Чтобы найти предел, необходимо в начале функции подставить lim, а после записать саму функцию, в конце указать к чему стремится предел: as-> далее число (бесконечность записывается infinity). 8

Оператор factor раскладывает число на множители

! выводит факториал, например 123!

Оператор gcd выводит наибольший общий делитель, например gcd 164, 88 выводит наибольший общий делитель чисел 164 и 88

Как решать линейные уравнения — формулы и примеры решения простейших уравнений

Понятие уравнения

Понятие уравнения обычно проходят в самом начале школьного курса алгебры. Его определяют, как равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

В школьной программе за 7 класс впервые появляется понятие переменных. Их принято обозначать латинскими буквами, которые принимают разные значения. Исходя из этого можно дать более полное определение уравнению.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Линейное уравнение выглядит так	ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении: если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = -b : а; если а равно нулю — у уравнения нет корней; если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:	ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Линейное уравнение выглядит так

ах + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = -b : а;
если а равно нулю — у уравнения нет корней;
если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.

Квадратное уравнение выглядит так:

ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых нужно найти значения неизвестных. Она имеет вид ax + by + c = 0 и называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому выражению и является верным числовым равенством.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

кубические
уравнение четвёртой степени
иррациональные и рациональные
системы линейных алгебраических уравнений

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Как решаем:

Перенесем 6x из левой части в правую. Знак меняем на противоположный, то есть минус.
6x −5x = 10
Приведем подобные и завершим решение.
x = 10

Ответ: x = 10.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Как решаем:

Сократим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.
−4x = 12 | :(−4)
x = −3

Ответ: x = −3.

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Алгоритм решения простого линейного уравнения
Раскрываем скобки, если они есть. Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую. Приводим подобные члены в каждой части уравнения. Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Алгоритм решения простого линейного уравнения

Раскрываем скобки, если они есть.
Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую.
Приводим подобные члены в каждой части уравнения.
Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте схему-подсказку — храните ее в телефоне, учебники или на рабочем столе.

А вот и видео «Простейшие линейные уравнения» для тех, кто учиться в 5, 6 и 7 классе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Решаем так:

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.
6х = 19 — 1
Выполнить вычитание.
6х = 18
Разделить обе части на общий множитель, то есть 6.
х = 2

Ответ: х = 2.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х — 3) + 2 = 3 (х — 4) + 2х — 1.

Решаем так:

Раскрыть скобки
5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1
Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены.
5х — 3х — 2х = — 12 — 1 + 15 — 2
Приведем подобные члены.
0х = 0

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Решаем так:

Найти неизвестную переменную.
х = 1/8 : 4
х = 1/12

Ответ: 1/12 или 0,83. О десятичных дробях можно почитать здесь.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 — 7х.

Решаем так:

4х + 8 = 6 — 7х
4х + 7х = 6 — 8
11х = −2
х = −2 : 11
х = — 0, 18

Ответ: — 0,18.

Пример 5. Решить:

Решаем так:

3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
9х — 12 = 28х + 24
9х — 28х = 24 + 12
-19х = 36
х = 36 : (-19)
х = — 36/19

Ответ: 1 17/19.

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

Решаем так:

Раскрыть скобки
5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1
Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:
х — х = 4 — 7
Приведем подобные члены.
0 * х = — 3

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 — 7х..

Решаем так:

2х + 6 = 5 — 7х
2х + 6х = 5 — 7
8х = −2
х = −2 : 8
х = — 0,25

Ответ: — 0,25.

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в современную онлайн-школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем. А еще развивающие игры, квесты и головоломки на любой возраст и уровень.

Уравнения в целых числах (диофантовы уравнения) / math5school.ru

Немного теории

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

xⁿ + yⁿ = zⁿ

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

способ перебора вариантов;
применение алгоритма Евклида;
представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;
разложения на множители;
решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;
метод остатков;
метод бесконечного спуска.

Задачи с решениями

1. Решить в целых числах уравнение x² – xy – 2y² = 7.

Решение

Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

2. Решить в целых числах уравнение:

а) 20х + 12у = 2013;

б) 5х + 7у = 19;

в) 201х – 1999у = 12.

Решение

а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

x₀ = 1, y₀ = 2.

Тогда

5x₀ + 7y₀ = 19,

откуда

5(х – x₀) + 7(у – y₀) = 0,

5(х – x₀) = –7(у – y₀).

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

х – x₀ = 7k, у – y₀ = –5k.

Значит, общее решение:

х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,

где k – произвольное целое число.

Ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.

в) Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

Запишем этот процесс в обратном порядке:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел

x₀ = 1273·12 = 15276, y₀ = 128·12 = 1536

является решением уравнения 201х – 1999у = 12.

Общее решение этого уравнения запишется в виде

х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,

или, после переобозначения (используем, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201),

х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.

Ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.

3. Решить в целых числах уравнение:

а) x³ + y³ = 3333333;

б) x³ + y³ = 4(x²y + xy² + 1).

Решение

а) Так как x³ и y³ при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в разделе «Делимость целых чисел и остатки»), то x³ + y³ может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

б) Перепишем исходное уравнение в виде (x + y)³ = 7(x²y + xy²) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

4. Решить

а) в простых числах уравнение х² – 7х – 144 = у² – 25у;

б) в целых числах уравнение x + y = x² – xy + y².

Решение

а) Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у. Получим

у = х + 9 или у = 16 – х.

Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).

Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х имеем

2 х 16, 2 у 16.

С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

б) Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:

x² – (y + 1)x + y² – y = 0.

Дискриминант этого уравнения равен –3y² + 6y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х, которое легко решается.

Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

5. Существует ли бесконечное число троек целых чисел x, y, z таких, что x² + y² + z² = x³ + y³ + z³ ?

Решение

Попробуем подбирать такие тройки, где у = –z. Тогда y³ и z³ будут всегда взаимно уничтожаться, и наше уравнение будет иметь вид

x² + 2y² = x³

или, иначе,

x²(x–1) = 2y².

Чтобы пара целых чисел (x; y) удовлетворяла этому условию, достаточно, чтобы число x–1 было удвоенным квадратом целого числа. Таких чисел бесконечно много, а именно, это все числа вида 2n²+1. Подставляя в x²(x–1) = 2y² такое число, после несложных преобразований получаем:

y = xn = n(2n²+1) = 2n³+n.

Все тройки, полученные таким образом, имеют вид (2n²+1; 2n³+n; –2n³– n).

Ответ: существует.

6. Найдите такие целые числа x, y, z, u, что x² + y² + z² + u² = 2xyzu.

Решение

Число x² + y² + z² + u² чётно, поэтому среди чисел x, y, z, u чётное число нечётных чисел.

Если все четыре числа x, y, z, u нечётны, то x² + y² + z² + u² делится на 4, но при этом 2xyzu не делится на 4 – несоответствие.

Если ровно два из чисел x, y, z, u нечётны, то x² + y² + z² + u² не делится на 4, а 2xyzu делится на 4 – опять несоответствие.

Поэтому все числа x, y, z, u чётны. Тогда можно записать, что

x = 2x₁, y = 2y₁, z = 2z₁, u = 2u₁,

и исходное уравнение примет вид

x₁² + y₁² + z₁² + u₁² = 8x₁y₁z₁u₁.

Теперь заметим, что (2k + 1)² = 4k(k + 1) + 1 при делении на 8 даёт остаток 1. Поэтому если все числа x₁, y₁, z₁, u₁ нечётны, то x₁² + y₁² + z₁² + u₁² не делится на 8. А если ровно два из этих чисел нечётно, то x₁² + y₁² + z₁² + u₁² не делится даже на 4. Значит,

x₁ = 2x₂, y₁ = 2y₂, z₁ = 2z₂, u₁ = 2u₂,

и мы получаем уравнение

x₂² + y₂² + z₂² + u₂² = 32x₂y₂z₂u₂.

Снова повторив те же самые рассуждения, получим, что x, y, z, u делятся на 2ⁿ при всех натуральных n, что возможно лишь при x = y = z = u = 0.

Ответ: (0; 0; 0; 0).

7. Докажите, что уравнение

(х – у)³ + (y – z)³ + (z – x)³ = 30

не имеет решений в целых числах.

Решение

Воспользуемся следующим тождеством:

(х – у)³ + (y – z)³ + (z – x)³ = 3(х – у)(y – z)(z – x).

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

(х – у)(y – z)(z – x) = 10.

Обозначим a = x – y, b = y – z, c = z – x и запишем полученное равенство в виде

abc = 10.

Кроме того очевидно, a + b + c = 0. Легко убедиться, что с точностью до перестановки из равенства abc = 10 следует, что числа |a|, |b|, |c| равны либо 1, 2, 5, либо 1, 1, 10. Но во всех этих случаях при любом выборе знаков a, b, c сумма a + b + c отлична от нуля. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

8. Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у².

Решение

Очевидно, что

если х = 1, то у² = 1,

если х = 3, то у² = 9.

Этим случаям соответствуют следующие пары чисел:

х₁ = 1, у₁ = 1;

х₂ = 1, у₂ = –1;

х₃ = 3, у₃ = 3;

х₄ = 3, у₄ = –3.

Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3, при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 и ни 3, ни 33 не являются квадратами целых чисел. Если же х > 5, то, так как

5! + 6! + . . . + х! = 10n,

можем записать, что

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n.

Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа.

Ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

9. Решите следующую систему уравнений в натуральных числах:

a³ – b³ – c³ = 3abc, a² = 2(b + c).

Решение

Так как

3abc > 0, то a³ > b³ + c³;

таким образом имеем

Складывая эти неравенства, получим, что

b + c

С учётом последнего неравенства, из второго уравнения системы получаем, что

a²

Но второе уравнение системы также показывает, что а – чётное число. Таким образом, а = 2, b = c = 1.

Ответ: (2; 1; 1)

10. Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению х² + х = у⁴ + у³ + у² + у.

Решение

Разложив на множители обе части данного уравнения, получим:

х(х + 1) = у(у + 1)(у² + 1),

или

х(х + 1) = (у² + у)(у² + 1)

Такое равенство возможно, если левая и правая части равны нулю, или представляют собой произведение двух последовательных целых чисел. Поэтому, приравнивая к нулю те или иные множители, получим 4 пары искомых значений переменных:

х₁ = 0, у₁ = 0;

х₂ = 0, у₂ = –1;

х₃ = –1, у₃ = 0;

х₄ = –1, у₄ = –1.

Произведение (у² + у)(у² + 1) можно рассматривать как произведение двух последовательных целых чисел, отличных от нуля, только при у = 2. Поэтому х(х + 1) = 30, откуда х₅ = 5, х₆ = –6. Значит, существуют ещё две пары целых чисел, удовлетворяющих исходному уравнению:

х₅ = 5, у₅ = 2;

х₆ = –6, у₆ = 2. 6> 0 \ подразумевает

— 1

а также

— 1

1> — x 1> — x 2> 0 ⟹ 1> — x 1> — x 2> 0 ⟹ 1> -x_1> -x_2> 0 \ подразумевает

2> 1 — x 1> 1 — x 2> 1 ⟹ 2> 1 — x 1> 1 — x 2> 1 ⟹ 2> 1-x_1> 1-x_2> 1 \ подразумевает

1 2

Умножая (4) (4) \\ (4) \ \ и (5) (5) \ \ (5) \ \ получаем

(1 — x 1) (x 5 1 + x 4 1 + x 3 1 + x 2 1 + x 1 + 1) 1 — x 1

x 5 1 + x 4 1 + x 3 1 + x 2 1 + x 1 + 1

f (x 1)

поэтому f (x) f (x) \ \ f (x) \ \ монотонно возрастает, когда x ∈ (- 1, 0) x ∈ (- 1, 0) \ \ x \ in (-1,0)

что в конечном итоге доказывает, что ff \ \ f \ \ монотонно возрастает во всех интервалах (- ∞, — 1), (- 1, 0) (- ∞, — 1), (- 1, 0) (- \ infty, — 1), \ \ (-1,0) \ \ и (0, + ∞) (0, + ∞) \ (0, + \ infty) \ \, и поскольку ff \ \ f \ \ является полиномиальной функцией, она всюду непрерывно, и мы можем заключить, что ff \ \ f \ \ монотонно возрастает всюду в RR \ R, что в итоге дает нам

∀ x ∈ R, f ′ (x)> 0 ⟹ ∀ x ∈ R, f ′ (x)> 0 ⟹ \ forall x \ in \ R \, \ \ f ‘(x)> 0 \ влечет

f ′ (x) ≠ 0 ⟹ f ′ (x) ≠ 0 ⟹ f ‘(x) \ neq 0 \ подразумевает

5 x 4 + 4 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 1 ≠ 0 5 x 4 + 4 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 1 ≠ 0 \ в штучной упаковке {5x ^ 4 + 4x ^ 3 + 3x ^ 2 + 2x + 1 \ neq 0}

К сожалению, на этот раз нет реальных решений для вас 🙂

Решайте неравенства с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

В этой главе мы разработаем определенные методы, которые помогут решить проблемы, сформулированные на словах. Эти методы включают переписывание задач в виде символов. Например, заявленная проблема

«Найдите число, которое при добавлении к 3 дает 7»

можно записать как:

3+? = 7, 3 + n = 7, 3 + x = 1

и так далее, где символы?, N и x представляют число, которое мы хотим найти.Мы называем такие сокращенные версии поставленных задач уравнениями или символическими предложениями. Такие уравнения, как x + 3 = 7, являются уравнениями первой степени, поскольку переменная имеет показатель степени 1. Члены слева от знака равенства составляют левую часть уравнения; те, что справа, составляют правую часть. Таким образом, в уравнении x + 3 = 7 левый член равен x + 3, а правый член равен 7.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Уравнения могут быть истинными или ложными, так же как словесные предложения могут быть истинными или ложными.Уравнение:

3 + х = 7

будет ложным, если вместо переменной подставлено любое число, кроме 4. Значение переменной, для которой верно уравнение (4 в этом примере), называется решением уравнения. Мы можем определить, является ли данное число решением данного уравнения, подставив число вместо переменной и определив истинность или ложность результата.

Пример 1 Определите, является ли значение 3 решением уравнения

4x — 2 = 3x + 1

Решение Мы подставляем значение 3 вместо x в уравнение и смотрим, равен ли левый член правому.

4 (3) — 2 = 3 (3) + 1

12 — 2 = 9 + 1

10 = 10

Отв. 3 — это решение.

Уравнения первой степени, которые мы рассматриваем в этой главе, имеют не более одного решения. Решения многих таких уравнений можно определить путем осмотра.

Пример 2 Найдите решение каждого уравнения путем осмотра.

а. х + 5 = 12
б. 4 · х = -20

Решения а. 7 — решение, так как 7 + 5 = 12.
b. -5 — это решение, поскольку 4 (-5) = -20.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ

В разделе 3.1 мы решили несколько простых уравнений первой степени путем проверки. Однако решения большинства уравнений не сразу видны при осмотре. Следовательно, нам нужны некоторые математические «инструменты» для решения уравнений.

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Эквивалентные уравнения — это уравнения, которые имеют идентичные решения. Таким образом,

3x + 3 = x + 13, 3x = x + 10, 2x = 10 и x = 5

— эквивалентные уравнения, потому что 5 — единственное решение каждого из них.Обратите внимание, что в уравнении 3x + 3 = x + 13 решение 5 не очевидно при осмотре, но в уравнении x = 5 решение 5 очевидно при осмотре. Решая любое уравнение, мы преобразуем данное уравнение, решение которого может быть неочевидным, в эквивалентное уравнение, решение которого легко заметить.

Следующее свойство, иногда называемое свойством сложения-вычитания , является одним из способов создания эквивалентных уравнений.

Если одно и то же количество добавляется или вычитается из обоих элементов уравнения, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнение.

в символах,

a — b, a + c = b + c и a — c = b — c

— эквивалентные уравнения.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

х + 3 = 7

путем вычитания 3 из каждого члена.

Решение Если вычесть 3 из каждого члена, получится

х + 3 — 3 = 7 — 3

или

х = 4

Обратите внимание, что x + 3 = 7 и x = 4 — эквивалентные уравнения, поскольку решение одинаково для обоих, а именно 4.В следующем примере показано, как мы можем создать эквивалентные уравнения, сначала упростив один или оба члена уравнения.

Пример 2 Напишите уравнение, эквивалентное

4x- 2-3x = 4 + 6

, объединив одинаковые термины, а затем добавив по 2 к каждому члену.

Объединение одинаковых терминов дает

х — 2 = 10

Добавление 2 к каждому члену дает

х-2 + 2 = 10 + 2

х = 12

Чтобы решить уравнение, мы используем свойство сложения-вычитания, чтобы преобразовать данное уравнение в эквивалентное уравнение вида x = a, из которого мы можем найти решение путем проверки.

Пример 3 Решить 2x + 1 = x — 2.

Мы хотим получить эквивалентное уравнение, в котором все члены, содержащие x, находятся в одном члене, а все члены, не содержащие x, — в другом. Если мы сначала добавим -1 (или вычтем 1 из) каждого члена, мы получим

2x + 1-1 = x — 2-1

2x = х — 3

Если мы теперь прибавим -x к каждому члену (или вычтем x из него), мы получим

2х-х = х — 3 — х

х = -3

, где решение -3 очевидно.

Решением исходного уравнения является число -3; однако ответ часто отображается в виде уравнения x = -3.

Поскольку каждое уравнение, полученное в процессе, эквивалентно исходному уравнению, -3 также является решением 2x + 1 = x — 2. В приведенном выше примере мы можем проверить решение, подставив — 3 вместо x в исходном уравнении.

2 (-3) + 1 = (-3) — 2

-5 = -5

Симметричное свойство равенства также помогает при решении уравнений. В этом объекте указано

Если a = b, то b = a

Это позволяет нам менять местами члены уравнения в любое время, не беспокоясь о каких-либо изменениях знака. Таким образом,

Если 4 = x + 2, то x + 2 = 4

Если x + 3 = 2x — 5, то 2x — 5 = x + 3

Если d = rt, то rt = d

Может быть несколько разных способов применить свойство сложения, указанное выше. Иногда один метод лучше другого, а в некоторых случаях также полезно симметричное свойство равенства.

Пример 4 Решите 2x = 3x — 9. (1)

Решение Если мы сначала добавим -3x к каждому члену, мы получим

2x — 3x = 3x — 9 — 3x

-x = -9

, где переменная имеет отрицательный коэффициент.Хотя при осмотре мы можем видеть, что решением является 9, поскольку — (9) = -9, мы можем избежать отрицательного коэффициента, добавив -2x и +9 к каждому члену уравнения (1). В этом случае получаем

2x-2x + 9 = 3x- 9-2x + 9

9 = х

, из которого решение 9 очевидно. При желании последнее уравнение можно записать как x = 9 по симметричному свойству равенства.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВА DIVISION

Рассмотрим уравнение

3x = 12

Решение этого уравнения — 4. Также обратите внимание, что если мы разделим каждый член уравнения на 3, мы получим уравнения

, решение которого также равно 4. В общем, мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством деления.

Если оба члена уравнения делятся на одно и то же (ненулевое) количество, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.

в символах,

— эквивалентные уравнения.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

-4x = 12

, разделив каждый член на -4.

Решение Разделив оба элемента на -4, получим

При решении уравнений мы используем указанное выше свойство для создания эквивалентных уравнений, в которых переменная имеет коэффициент 1.

Пример 2 Решите 3y + 2y = 20.

Сначала мы объединяем одинаковые термины, чтобы получить

5лет = 20

Тогда, разделив каждый член на 5, получим

В следующем примере мы используем свойство сложения-вычитания и свойство деления для решения уравнения.

Пример 3 Решить 4x + 7 = x — 2.

Решение

Сначала мы добавляем -x и -7 к каждому члену, чтобы получить

4x + 7 — x — 7 = x — 2 — x — 1

Далее, объединяя одинаковые термины, получаем

3x = -9

Наконец, мы разделим каждый член на 3, чтобы получить

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С СВОЙСТВОМ УМНОЖЕНИЯ

Рассмотрим уравнение

Решение этого уравнения — 12. Также обратите внимание, что если мы умножим каждый член уравнения на 4, мы получим уравнения

, решение которого также равно 12.В общем, мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством умножения.

Если оба члена уравнения умножаются на одну и ту же ненулевую величину, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.

в символах,

a = b и a · c = b · c (c ≠ 0)

— эквивалентные уравнения.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

путем умножения каждого члена на 6.

Решение Умножение каждого члена на 6 дает

При решении уравнений мы используем указанное выше свойство для создания эквивалентных уравнений, не содержащих дробей.

Пример 2 Решить

Решение Во-первых, умножьте каждый член на 5, чтобы получить

Теперь разделите каждый член на 3,

Пример 3 Решить.

Решение Во-первых, упростите над дробной чертой, чтобы получить

Затем умножьте каждый член на 3, чтобы получить

Наконец, разделив каждого члена на 5, получим

ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Теперь мы знаем все методы, необходимые для решения большинства уравнений первой степени.Не существует определенного порядка, в котором следует применять свойства. Может оказаться подходящим любой один или несколько из следующих шагов, перечисленных на странице 102.

Шаги по решению уравнений первой степени:

Объедините одинаковые члены в каждом члене уравнения.
Используя свойство сложения или вычитания, запишите уравнение со всеми членами, содержащими неизвестное в одном члене, и всеми членами, не содержащими неизвестное в другом.
Объедините одинаковые термины в каждом элементе.
Используйте свойство умножения для удаления дробей.
Используйте свойство деления, чтобы получить коэффициент 1 для переменной.

Пример 1 Решите 5x — 7 = 2x — 4x + 14.

Решение Во-первых, мы объединяем одинаковые члены, 2x — 4x, чтобы получить

5x — 7 = -2x + 14

Затем мы добавляем + 2x и +7 к каждому члену и объединяем одинаковые термины, чтобы получить

5x — 7 + 2x + 7 = -2x + 14 + 2x + 1

7x = 21

Наконец, мы разделим каждый член на 7, чтобы получить

В следующем примере мы упрощаем над дробной чертой перед применением свойств, которые мы изучали.

Пример 2 Решить

Решение Сначала мы объединяем одинаковые термины, 4x — 2x, чтобы получить

Затем мы добавляем -3 к каждому члену и упрощаем

Затем мы умножаем каждый член на 3, чтобы получить

Наконец, мы разделим каждый член на 2, чтобы получить

РЕШЕНИЕ ФОРМУЛ

Уравнения, в которых используются переменные для измерения двух или более физических величин, называются формулами. Мы можем найти любую из переменных в формуле, если известны значения других переменных.Мы подставляем известные значения в формулу и решаем неизвестную переменную методами, которые мы использовали в предыдущих разделах.

Пример 1 В формуле d = rt найти t, если d = 24 и r = 3.

Решение Мы можем найти t, заменив 24 на d и 3 на r. То есть

d = rt

(24) = (3) т

8 = т

Часто бывает необходимо решить формулы или уравнения, в которых есть более одной переменной для одной из переменных в терминах других.Мы используем те же методы, которые продемонстрированы в предыдущих разделах.

Пример 2 В формуле d = rt найдите t через r и d.

Решение Мы можем решить для t в терминах r и d, разделив оба члена на r, чтобы получить

из которых по закону симметрии

В приведенном выше примере мы решили для t, применив свойство деления для создания эквивалентного уравнения. Иногда необходимо применить более одного такого свойства.

Пример 3 В уравнении ax + b = c найдите x через a, b и c.

Решение Мы можем решить для x, сначала добавив -b к каждому члену, чтобы получить

, затем разделив каждый член на a, мы получим

Решите линейные уравнения с одним неизвестным x / 4-6 = 2 Tiger Algebra Solver

Переставьте:

Переставьте уравнение, вычтя то, что находится справа от знака равенства, из обеих частей уравнения:

x / 4- 6- (2) = 0

Пошаговое решение:

Шаг 1:

 x
 Упростить -
            4

Уравнение в конце шага 1:

 x
  (- - 6) - 2 = 0
   4

Шаг 2:

Переписывание целого как эквивалентной дроби:

2.1 Вычитание целого из дроби

Перепишем целое как дробь, используя в знаменателе 4:

 6 6 • 4
    6 = - = —————
         1 4

Эквивалентная дробь: Полученная таким образом дробь выглядит иначе, но имеет то же значение, что и целое

Общий знаменатель: Эквивалентная дробь и другая дробь, участвующие в вычислении, имеют один и тот же знаменатель

   Сложение дробей с общим знаменателем: 
    2.2 Сложение двух эквивалентных дробей 
 Сложите две эквивалентные дроби, которые теперь имеют общий знаменатель 
  Объедините числители вместе, сложите сумму или разность над общим знаменателем, затем уменьшите до наименьших членов, если возможно: 
  x - (6 • 4) х - 24
 знак равно
      4 4
 
 Уравнение в конце шага 2: 
 (x - 24)
  ———————— - 2 = 0
     4
 
 Шаг 3: 
  Переписывание целого как эквивалентной дроби: 
    3.1 Вычитание целого из дроби 
  Перепишем целое как дробь, используя 4 в качестве знаменателя: 
  2 2 • 4
    2 = - = —————
         1 4
 
 Сложение дробей с общим знаменателем: 
  3.2 Сложение двух эквивалентных дробей 
 
  (x-24) - (2 • 4) x - 32
 знак равно
        4 4
 
 Уравнение в конце шага 3: 
 x - 32
  —————— = 0
    4
 
 Шаг 4: 
  Когда дробь равна нулю: 
   4.1 Когда дробь равна нулю ... 
 Если дробь равна нулю, ее числитель, часть, которая находится над чертой дроби, должна быть равна нулю.
 Теперь, чтобы избавиться от знаменателя, Тигр умножает обе части уравнения на знаменатель.
 Вот как:
 x-32
  ———— • 4 = 0 • 4
   4
 
 Теперь, с левой стороны, 4 отменяет знаменатель, в то время как с правой стороны ноль, умноженный на что-либо, по-прежнему равно нулю.
 Уравнение теперь принимает форму: 
 x-32 = 0
   Решение уравнения с одной переменной: 
   4.2 Решите: x-32 = 0 
  Добавьте 32 к обеим сторонам уравнения: 
 x = 32 
 
  Было найдено одно решение: 
 x = 32  Упростить x / 4-x / 6 = 2/3 Алгебра тигра Решающая программа 
  Переставьте: 
  Переставьте уравнение, вычтя то, что находится справа от знака равенства из обеих частей уравнения: 
  x / 4-x / 6- (2/3) = 0 
  Шаг за шагом решение: 
  Шаг 1: 
   2
 Упростить -
            3
 
 Уравнение в конце шага 1: 
 x x 2
  (- - -) - - = 0
   4 6 3
 
 Шаг 2: 
 x
 Упростить -
            6
 
 Уравнение в конце шага 2: 
 x x 2
  (- - -) - - = 0
   4 6 3
 
 Шаг 3: 
 x
 Упростить -
            4
 
 Уравнение в конце шага 3: 
 x x 2
  (- - -) - - = 0
   4 6 3
 
 Шаг 4: 
  Вычисление наименьшего общего кратного: 
  4.1 Найдите наименьшее общее кратное 
  Левый знаменатель: 4 
  Правый знаменатель: 6 
 
  всех основных множителей 
  Сколько раз каждый простой множитель 
 появляется при факторизации:     Простое число 
 Фактор   Левый 
 Знаменатель   Правый 
 Знаменатель   LCM = Макс 
 {Левый, Правый}  
   2   2   1   2  
   3   0   1    1    1    4   6   12  
 
 
  
 Наименьшее общее кратное: 
 12 
 
  Расчет множителей: 
  4.2 Вычислить множители для двух дробей 
  Обозначить наименьшее общее кратное LCM 
 Обозначить левый множитель Left_M 
 Обозначить правый множитель Right_M 
 Обозначить левый знаменатель L_Deno 
 Обозначить правый множитель R_Deno 
  Left_M = LCM L_Deno = 3 
  Right_M = LCM / R_Deno = 2 
  Получение эквивалентных дробей: 
    4.3 Перепишите две дроби в эквивалентные дроби 
  Две дроби называются эквивалентными, если они имеют одинаковое числовое значение.
  Например: 1/2 и 2/4 эквивалентны, y / (y + 1) ² и (y ² + y) / (y + 1) ³ также эквивалентны. 
  Чтобы вычислить эквивалентную дробь, умножьте числитель каждой дроби на соответствующий ей множитель. 
  L. Mult. • L. Num. х • 3
   знак равно
         L.C.M 12

   R. Mult. • R. Num. х • 2
   знак равно
         L.C.M 12
 
 Сложение дробей, имеющих общий знаменатель: 
  4.4 Сложение двух эквивалентных дробей 
 Сложите две эквивалентные дроби, которые теперь имеют общий знаменатель 
  Объедините числители вместе, сложите сумму или разность над общим знаменателем, затем уменьшите до наименьшего числа, если возможно: 
  x • 3 - ( х • 2) х
 знак равно
       12 12
 
 Уравнение в конце шага 4: 
 x 2
  —— - - = 0
  12 3
 
 Шаг 5: 
  Вычисление наименьшего общего кратного: 
  5.1 Найдите наименьшее общее кратное 
  Левый знаменатель: 12 
  Правый знаменатель: 3 
 
  всех основных множителей 
  Сколько раз каждый простой множитель 
 появляется при факторизации:     Простое число 
 Фактор   Левый 
 Знаменатель   Правый 
 Знаменатель   LCM = Макс 
 {Левый, Правый}  
   2   2   0   2  
   3   1   1    1    1    12   3   12  
 
 
  
 Наименьшее общее кратное: 
 12 
 
  Расчет множителей: 
  5.2 Вычислить множители для двух дробей 
  Обозначить наименьшее общее кратное LCM 
 Обозначить левый множитель Left_M 
 Обозначить правый множитель Right_M 
 Обозначить левый знаменатель L_Deno 
 Обозначить правый множитель R_Deno 
  Left_M = LCM L_Deno = 1 
  Right_M = LCM / R_Deno = 4 
  Получение эквивалентных дробей: 
    5.3 Перепишите две дроби в эквивалентные дроби 
  L.Mult. • L. Num. Икс
   знак равно
         L.C.M 12

   R. Mult. • R. Num. 2 • 4
   знак равно
         L.C.M 12
 
 Сложение дробей с общим знаменателем: 
  5.4 Сложение двух эквивалентных дробей 
 
  x - (2 • 4) x - 8
 знак равно
     12 12
 
 Уравнение в конце шага 5: 
 x - 8
  ————— = 0
   12
 
 Шаг 6: 
  Когда дробь равна нулю: 
   6.1 Когда дробь равна нулю ... 
 Если дробь равна нулю, ее числитель, часть, которая находится над чертой дроби, должна быть равна нулю.
 Теперь, чтобы избавиться от знаменателя, Тигр умножает обе части уравнения на знаменатель.
 Вот как:
 x-8
  ——— • 12 = 0 • 12
  12
 
 Теперь, с левой стороны, 12 отменяет знаменатель, в то время как с правой стороны ноль, умноженный на что-либо, по-прежнему равно нулю.
 Уравнение теперь принимает форму: 
 x-8 = 0
  Решение уравнения с одной переменной: 
  6.2 Решите: x-8 = 0
 Добавьте 8 к обеим сторонам уравнения: 
 x = 8 
 Было найдено одно решение: 
 x = 8 Решить уравнения алгебраически 
 Решить уравнения алгебраически
  Содержание:  Эта страница соответствует  §   2.4
(с. 200)  текста.
 Предлагаемые задачи из текста:
 с. 212 # 7, 8, 11, 15, 17, 18, 23, 26, 35, 38, 41, 43, 46, 47, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 71, 72, 75, 76, 81, 87,
88, 95, 97
 Квадратичные уравнения 
 Уравнения с участием радикалов 
 Полиномиальные уравнения высшей степени 
 Уравнения, содержащие дробные выражения или абсолютные значения 
 Квадратные уравнения 
 Квадратное уравнение имеет вид ax ² + bx + c = 0, где a, b и c — числа, а a —
не равно 0.
 Факторинг 
 Этот подход к решению уравнений основан на том факте, что если произведение двух величин равно нулю, то
хотя бы одна из величин должна быть равна нулю. Другими словами, если a * b = 0, то либо a = 0, либо b = 0, либо и то, и другое.
Для получения дополнительной информации о факторизации многочленов см. Обзорный раздел P.3 (p.26) текста.
  Пример 1. 
 2x ² — 5x — 12 = 0.
 (2x + 3) (x — 4) = 0.
 2x + 3 = 0 или x — 4 = 0.
 x = -3/2, или x = 4.
 Принцип квадратного корня 
 Если x ² = k, то x = ± sqrt (k).
  Пример 2. 
 x ² — 9 = 0.
 x ² = 9.
 x = 3 или x = -3.
  Пример 3. 
  Пример 4.
 x ² + 7 = 0.
 x ² = -7.
 х = ±.
 Обратите внимание, что = =,
так что решения
 x = ±, два комплексных числа.
 Завершение квадрата 
 Идея завершения квадрата состоит в том, чтобы переписать уравнение в форме, которая позволяет нам применять квадрат
корневой принцип.
  Пример 5.
 x ² + 6x — 1 = 0.
 x ² + 6x = 1.
 x ² + 6x + 9 = 1 + 9.
 9, прибавленная к обеим сторонам, получена из возведения в квадрат половины коэффициента при x, (6/2) ² = 9. Причина
выбор этого значения заключается в том, что теперь левая часть уравнения представляет собой квадрат бинома (полином с двумя членами).
Поэтому эта процедура называется , завершение квадрата .[Заинтересованный читатель может видеть, что это
истина, учитывая (x + a) ² = x ² + 2ax + a ². Чтобы получить «а» нужно всего лишь
разделите коэффициент x на 2. Таким образом, чтобы построить квадрат для x ² + 2ax, нужно добавить ².]
 (x + 3) ² = 10.
 Теперь мы можем применить принцип квадратного корня и затем решить относительно x.
 x = -3 ± sqrt (10).
  Пример 6. 
 2x ² + 6x — 5 = 0.
 2x ² + 6x = 5.
 Метод завершения квадрата, продемонстрированный в предыдущем примере, работает, только если старший коэффициент
(коэффициент x ²) равен 1. В этом примере старший коэффициент равен 2, но мы можем изменить это, разделив
обе части уравнения на 2.
 x ² + 3x = 5/2.
 Теперь, когда старший коэффициент равен 1, мы берем коэффициент при x, который теперь равен 3, делим его на 2 и возводим в квадрат,
(3/2) ² = 9/4. Это постоянная, которую мы добавляем к обеим сторонам, чтобы завершить квадрат.
 x ² + 3x + 9/4 = 5/2 + 9/4.
 Левая часть — квадрат (x + 3/2). [Проверьте это!]
 (x + 3/2) ² = 19/4.
 Теперь мы используем принцип квадратного корня и решаем относительно x.
 x + 3/2 = ± sqrt (19/4) = ± sqrt (19) / 2.
 x = -3/2 ± sqrt (19) / 2 = (-3 ± sqrt (19)) / 2
 До сих пор мы обсуждали три метода решения квадратных уравнений. Что лучше? Это зависит от
проблема и ваши личные предпочтения. Уравнение в правильной форме для применения принципа квадратного корня
могут быть перегруппированы и решены путем факторинга, как мы видим в следующем примере.
  Пример 7. 
 x ² = 16.
 x ² — 16 = 0.
 (x + 4) (x — 4) = 0.
 x = -4 или x = 4.
 В некоторых случаях уравнение может быть решено путем факторизации, но факторизация не очевидна.
 Метод завершения квадрата всегда будет работать, даже если решения являются комплексными числами, и в этом случае
мы извлечем квадратный корень из отрицательного числа.Кроме того, шаги, необходимые для завершения квадрата, следующие:
всегда одинаковы, поэтому их можно применить к общему квадратному уравнению
 топор ² + bx + c = 0.
 Результатом квадрата этого общего уравнения является формула для решений уравнения
называется квадратной формулой.
 Квадратичная формула 
 Решения уравнения ax ² + bx + c = 0 равны
 Мы говорим, что завершение квадрата всегда работает, и мы завершили квадрат в общем случае,
где у нас есть a, b и c вместо чисел.Итак, чтобы найти решения для любого квадратного уравнения, запишем его
в стандартной форме, чтобы найти значения a, b и c, затем подставьте эти значения в квадратную формулу.
 Одним из следствий этого является то, что вам никогда не придется заполнять квадрат, чтобы найти решения квадратного уравнения.
Однако процесс завершения квадрата важен по другим причинам, поэтому вам все равно нужно знать, как
сделай это!
   Примеры использования квадратичной формулы:  
  Пример 8.
 2x ² + 6x — 5 = 0.
 В данном случае a = 2, b = 6, c = -5. Подставляя эти значения в квадратичную формулу, получаем
 Обратите внимание, что мы решили это уравнение ранее, заполнив квадрат.
  Примечание : Есть два реальных решения. Что касается графиков, есть два пересечения для графика
функции f (x) = 2x ² + 6x — 5.
  Пример 9. 
 4x ² + 4x + 1 = 0
 В этом примере a = 4, b = 4 и c = 1.
 В этом примере следует обратить внимание на два момента.
 Есть только одно решение. С точки зрения графиков это означает, что существует только один пересечение по оси x.
 Решение упрощено, поэтому квадратный корень не используется. Это означает, что уравнение могло быть
решается факторингом. (Все квадратные уравнения  могут быть решены путем разложения на множители ! Я имею в виду, что это могло быть
решено  легко  факторингом.)
 4x ² + 4x + 1 = 0.
 (2x + 1) ² = 0.
 х = -1/2.
  Пример 10.
 х ² + х + 1 = 0
 а = 1, б = 1, с = 1
  Примечание:  Реальных решений нет. Что касается графиков, то для графика нет перехватов.
функции f (x) = x ² + x + 1. Таким образом, решения сложны, поскольку график y = x ² + x + 1 не имеет пересечений по x.
 Выражение под радикалом в квадратичной формуле, b ² — 4ac, называется дискриминантом
уравнение.Последние три примера иллюстрируют три возможности для квадратных уравнений.
 1. Дискриминант> 0. Два реальных решения.
 2. Дискриминант = 0. Одно реальное решение.
 3. Дискриминант <0. Два сложных решения.
  Примечания к проверке решений 
 Ни один из методов, представленных до сих пор в этом разделе, не может вводить посторонние решения.(См. Пример
3 из раздела Линейные уравнения и моделирование.) Тем не менее, рекомендуется проверить свои решения,
потому что при решении уравнений очень легко сделать невнимательные ошибки.
 Алгебраический метод, который состоит из обратной подстановки числа в уравнение и проверки того, что
полученное утверждение верно, хорошо работает, когда решение «простое», но не очень практично, когда
решение предполагает радикальное.
 Например, в нашем предпоследнем примере 4x ² + 4x + 1 = 0 мы нашли одно решение x = -1/2.
 Алгебраическая проверка выглядит как
 4 (-1/2) ² +4 (-1/2) + 1 = 0.
 4 (1/4) — 2 + 1 = 0.
 1-2 + 1 = 0.
 0 = 0. Решение проверяет.
 В предыдущем примере, 2x ² + 6x — 5 = 0, мы нашли два реальных решения, x = (-3 ± sqrt (19)) / 2.
Конечно, можно проверить это алгебраически, но это не очень просто. В этом случае либо графический
проверить или использовать калькулятор для алгебраической проверки быстрее.
 Сначала найдите десятичные приближения для двух предложенных решений.
 (-3 + sqrt (19)) / 2 = 0,679449.
 (-3 — sqrt (19)) / 2 = -3,679449.
 Теперь используйте графическую утилиту, чтобы построить график y = 2x ² + 6x — 5, и проследите график, чтобы приблизительно определить, где
х-точки пересечения. Если они близки к указанным выше значениям, вы можете быть уверены, что у вас есть правильные решения.
Вы также можете вставить приближенное решение в уравнение, чтобы увидеть, дают ли обе части уравнения примерно
те же значения.Однако вам все равно нужно быть осторожным в заявлении о том, что ваше решение является правильным, поскольку оно
не точное решение.
 Обратите внимание, что если вы начали с уравнения 2x ² + 6x — 5 = 0 и сразу перешли к графику
утилиту для ее решения, то вы не получите точных решений, потому что они иррациональны. Однако, найдя
(алгебраически) два числа, которые, по вашему мнению, являются решениями, если графическая утилита показывает, что перехваты очень
близко к найденным вами числам, значит, вы, наверное, правы!
   Упражнение 1:  
 Решите следующие квадратные уравнения.
 (а) 3x ² -5x — 2 = 0. Ответ
 (б) (x + 1) ² = 3. Ответ
 (в) x ² = 3x + 2. Ответ
  Вернуться к содержанию 
 Уравнения с участием радикалов 
 Уравнения с радикалами часто можно упростить, возведя в соответствующую степень и возведя в квадрат, если радикал
является квадратным корнем, кубическим корнем и т. д. Эта операция может вводить посторонние корни, поэтому все решения
необходимо проверить.
 Если в уравнении только один радикал, то перед возведением в степень вы должны договориться, чтобы
радикальный член сам по себе на одной стороне уравнения.
  Пример 11. 
 Теперь, когда мы изолировали радикальный член в правой части, возводим обе части в квадрат и решаем полученное уравнение
для x.
  Чек: 
 х = 0
 Когда мы подставляем x = 0 в исходное уравнение, мы получаем утверждение 0 = 2, что неверно!
 Итак, x = 0  не является решением .
 х = 3
 Когда мы подставляем x = 3 в исходное уравнение, мы получаем утверждение 3 = 3. Это верно, поэтому x = 3  равно
раствор .
  Решение : x = 3.
  Примечание:  Решением является координата x точки пересечения графиков y = x и
у = sqrt (х + 1) +1.
 Посмотрите, что произошло бы, если бы мы возводили обе части уравнения в квадрат  до , выделив радикал
срок.
 Это хуже того, с чего мы начали!
 Если в уравнении более одного радикального члена, то, как правило, мы не можем исключить все радикалы с помощью
возведение в степень один раз. Однако мы можем на  уменьшить количество радикальных членов на , возведя в степень.
 Если уравнение включает более одного радикального члена, мы все равно хотим изолировать один радикал с одной стороны и
возвести в степень. Затем мы повторяем этот процесс.
  Пример 12. 
 Теперь возведите обе части уравнения в квадрат.
 В этом уравнении есть только один радикальный член, поэтому мы добились прогресса! Теперь выделите радикальный член, а затем возведите в квадрат
снова обе стороны.
  Чек: 
 Подставляя x = 5/4 в исходное уравнение, получаем
 sqrt (9/4) + sqrt (1/4) = 2.
 3/2 + 1/2 = 2.
 Это утверждение верно, поэтому x = 5/4 является решением.
  Примечание по проверке решений: 
 В этом случае выполнить алгебраическую проверку было несложно. Однако графическая проверка имеет то преимущество, что показывает, что
нет решений, которые мы не нашли бы, по крайней мере, в рамках прямоугольника просмотра. Решение
— координата x точки пересечения графиков y = 2 и y = sqrt (x + 1) + sqrt (x-1).
   Упражнение 2:  
 Решите уравнение sqrt (x + 2) + 2 = 2x. Ответ
  Вернуться к содержанию 
 Полиномиальные уравнения высшей степени 
 Мы видели, что любое полиномиальное уравнение второй степени (квадратное уравнение) от одной переменной может быть решено с помощью
Квадратичная формула. Полиномиальные уравнения степени больше двух сложнее.Когда мы встречаемся
такая проблема, то либо многочлен имеет особую форму, которая позволяет нам разложить его на множители, либо мы должны аппроксимировать
решения с помощью графической утилиты.
 Нулевая постоянная 
 Один частый частный случай — отсутствие постоянного члена. В этом случае мы можем исключить одну или несколько полномочий
x, чтобы начать задачу.
  Пример 13. 
 2x ³ + 3x ² -5x = 0.
 x (2x ² + 3x -5) = 0.
 Теперь у нас есть произведение x и квадратного многочлена, равного 0, так что у нас есть два более простых уравнения.
 x = 0 или 2x ² + 3x -5 = 0.
 Первое уравнение решить несложно. x = 0 — единственное решение. Второе уравнение может быть решено факторингом.  Примечание:  Если бы мы не смогли разложить квадратичный коэффициент во втором уравнении, мы могли бы прибегнуть к
к использованию квадратичной формулы.[Убедитесь, что вы получили те же результаты, что и ниже.]
 x = 0 или (2x + 5) (x — 1) = 0.
 Итак, есть три решения: x = 0, x = -5/2, x = 1.
  Примечание:  Решение находится при пересечении графиков f (x) = 2x ³ + 3x ² -5x.
 Фактор по группировке 
  Пример 14. 
 x ³ -2x ² -9x +18 = 0.
 Коэффициент при x ² в 2 раза больше, чем при x ³, и такое же соотношение существует между
коэффициенты при третьем и четвертом членах. Группа слагает один и два, а также три и четыре.
 x ² (x — 2) — 9 (x — 2) = 0.
 Эти группы имеют общий множитель (x — 2), поэтому мы можем разложить левую часть уравнения на множители.
 (x — 2) (x ² — 9) = 0.
 Всякий раз, когда мы находим продукт, равный нулю, мы получаем два более простых уравнения.
 x — 2 = 0 или x ² — 9 = 0.
 x = 2 или (x + 3) (x — 3) = 0.
 Итак, есть три решения: x = 2, x = -3, x = 3.
  Примечание:  Эти решения находятся на пересечении графика f (x) = x ³ -2x ² -9x +18.
 Квадратичная форма 
  Пример 15. 
 x ⁴ — x ² — 12 = 0.
 Этот многочлен неквадратичный, он имеет четвертую степень. Однако его можно рассматривать как квадратичный по x ².
 (x ²) ² — (x ²) — 12 = 0.
 Это может помочь вам фактически заменить z на x ².
 z ² — z — 12 = 0 Это квадратное уравнение относительно z.
 (z — 4) (z + 3) = 0.
 z = 4 или z = -3.
 Мы еще не закончили, потому что нам нужно найти значения x, которые делают исходное уравнение истинным.Теперь заменим z на
x ² и решите полученные уравнения.
 x ² = 4.
 х = 2, х = -2.
 x ² = -3.
 x =  i  или x = —  i. 
 Итак, есть четыре решения, два действительных и два комплексных.
  Примечание:  Эти решения находятся на пересечении графика f (x) = x ⁴ — x ² — 12.
  График f (x) = x ⁴ — x ²-12 и масштабирование, показывающее его локальное
экстремумы. 
   Упражнение 3:  
 Решите уравнение x ⁴ — 5x ² + 4 = 0. Ответ
  Вернуться к содержанию 
 Уравнения, содержащие дробные выражения или абсолютные значения 
  Пример 16.
 Наименьший общий знаменатель равен x (x + 2), поэтому мы умножаем обе части на это произведение.
 Это уравнение квадратичное. Квадратичная формула дает решения
 Проверка необходима, потому что мы умножили обе части на переменное выражение. Используя графическую утилиту, мы
убедитесь, что оба этих решения проверяют. Решением является координата x точки пересечения графиков.
из y = 1 и y = 2 / x-1 / (x + 2).
  Пример 17. 
 5 | х — 1 | = х + 11.
 Ключ к решению уравнения с абсолютными значениями — помнить, что величина внутри абсолютного значения
столбцы могут быть положительными или отрицательными. У нас будет два отдельных уравнения, представляющих разные возможности,
и все решения должны быть проверены.
   Корпус 1 .  Предположим, что x — 1> = 0.Тогда | х — 1 | = x — 1, поэтому мы имеем уравнение
 5 (x — 1) = x + 11.
 5x — 5 = x + 11.
 4x = 16.
 x = 4, и это решение проверяет, потому что 5 * 3 = 4 + 11.
   Случай 2.   Предположим, что x — 1 <0. Тогда x - 1 отрицательно, поэтому | х - 1 | = - (х - 1). Этот
точка часто сбивает студентов с толку, потому что это выглядит так, как будто мы говорим, что абсолютное значение выражения
отрицательно, но это не так.Выражение (x - 1) уже отрицательное, поэтому - (x - 1) положительное.
 Теперь наше уравнение принимает вид
.-5 (x — 1) = x + 11.
 -5x + 5 = x + 11.
 -6x = 6.
 x = -1, и это решение проверяет, потому что 5 * 2 = -1 + 11.
 Если вы используете Java Grapher для графической проверки, обратите внимание, что abs () является абсолютным значением, поэтому вы должны построить график
 5 * abs (x — 1) — x — 11 и посмотрите на пересечения по x, или вы можете найти решение как x-координаты
точки пересечения графиков y = x + 11 и y = 5 * abs (x-1).
   Упражнение 4:  
 (а) Решите уравнение. Ответ
. (b) Решите уравнение | х — 2 | = 2 — x / 3 Ответ
  Вернуться к содержанию 
 вопросов по алгебре с решениями и пояснениями для 9 класса 
 Представлены подробные решения и полные пояснения к вопросам алгебры 9 класса.
 Упростите следующие алгебраические выражения. — 6x + 5 + 12x -6 
 2 (х — 9) + 6 (-x + 2) + 4x 
 3x ² + 12 + 9x — 20 + 6x ² — x 
 (х + 2) (х + 4) + (х + 5) (- х — 1) 
 1,2 (х — 9) — 2,3 (х + 4) 
 (x ² y) (xy ²) 
 (-x ² y ²) (xy ²)
  Решение  Сгруппируйте похожие термины и упростите.
 — 6x + 5 + 12x -6 = (- 6x + 12x) + (5-6) 
 = 6x — 1
 Раскройте скобки. 
 2 (x — 9) + 6 (-x + 2) + 4x = 2x — 18 — 6x + 12 + 4x 
 Сгруппируйте термины как и упростите. 
 = (2x — 6x + 4x) + (- 18 + 12) = — 6
 Сгруппируйте похожие термины и упростите. 
 3x ² + 12 + 9x — 20 + 6x ² — x 
 = (3x ² + 6x ²) + (9x — x) + (12-20) 
 = 9x ² + 8x — 8
 Раскройте скобки. 
 (х + 2) (х + 4) + (х + 5) (- х — 1) 
 = x ² + 4x + 2x + 8 — x ² — x — 5x — 5 
 Сгруппировать похожие термины.
 = (x ² — x ²) + (4x + 2x — x — 5x) + (8-5) 
 = 3
 Разверните и сгруппируйте. 
 1,2 (х — 9) — 2,3 (х + 4) 
 = 1,2x — 10,8 — 2,3x — 9,2 
 = -1,1x — 20 
 Перепишем следующим образом. 
 (x ² y) (xy ²) = (x ² x) (y y ²) 
 Используйте правила экспоненты. 
 = x ³ y ³
 Перепишите выражение следующим образом. 
 (-x ² y ²) (xy ²) = — (x ² x) (y ² y ²) 
 Используйте правила экспоненты.
 = — x ³ y ⁴
 Упростите выражения. (a b ²) (a ³ b) / (a ² b ³)
 (21 x ⁵) / (3 x ⁴)
 (6 x ⁴) (4 y ²) / [(3 x ²) (16 y)]
 (4х — 12) / 4
 (-5x — 10) / (x + 2)
 (x ² — 4x — 12) / (x ² — 2 x — 24)
  Решение  Используйте экспоненциальные правила, чтобы сначала упростить числитель.
 (a b ²) (a ³ b) / (a ² b ³) = (a ⁴ b ³) / (a ² b ³) 
 Перепишите следующим образом. 
 (a ⁴ / a ²) (b ³ / b ³) 
 Используйте правило частного экспонент для упрощения. 
 = а ²
 Перепишите следующим образом. 
 (21 x ⁵) / (3 x ⁴) = (21/3) (x ⁵ / x ⁴) 
 Упростить.
 = 7 х
 (6 x ⁴) (4 y ²) / [(3 x ²) (16 y)] 
 Умножить члены в числителе и знаменателе и упростить. 
 (6 x ⁴) (4 y ²) / [(3 x ²) (16 y)] = (24 x ⁴ y ²) / (48 x ² y) 
 Перепишите следующим образом. 
 = (24/48) (x ⁴ / x ²) (y ² / y) 
 Упростить. 
 = (1/2) x ² y
 Выносим множитель 4 в числитель.
 (4x — 12) / 4 = 4 (x — 3) / 4 
 Упростить. 
 = х — 3 
 Выносим множитель -5 в числитель. 
 (-5x — 10) / (x + 2) = — 5 (x + 2) / (x + 2) 
 Упростить. 
 = — 5
 Разложите на множители числитель и знаменатель следующим образом. 
 (x ² — 4x — 12) / (x ² — 2x — 24) = [(x — 6) (x + 2)] / [(x — 6) (x + 4)] 
 Упростить. 
 = (x + 2) / (x + 4), для всех x не равно 6
 Решите относительно x следующие линейные уравнения. 2x = 6
 6х — 8 = 4х + 4
 4 (х — 2) = 2 (х + 3) + 7
 0,1 х — 1,6 = 0,2 х + 2,3
 — х / 5 = 2
 (х — 4) / (- 6) = 3
 (-3x + 1) / (x — 2) = -3
 х / 5 + (х — 1) / 3 = 1/5
  Решение  Разделите обе части уравнения на 2 и упростите. 
 2x / 2 = 6/2 
 х = 3
 Добавьте 8 к обеим сторонам и сгруппируйте похожие термины. 
 6x — 8 + 8 = 4x + 4 + 8 
 6x = 4x + 12 
 Добавить — 4 раза в обе стороны и сгруппировать термины.
 6x — 4x = 4x + 12 — 4x 
 2x = 12 
 Разделите обе стороны на 2 и упростите. 
 х = 6 
 Раскройте скобки. 
 4x — 8 = 2x + 6 + 7 
 Добавьте 8 к обеим сторонам и сгруппируйте термины. 
 4x — 8 + 8 = 2x + 6 + 7 + 8 
 4x = 2x + 21 
 Добавить — 2x в обе стороны и сгруппировать термины. 
 4x — 2x = 2x + 21 — 2x 
 2x = 21 
 Разделите обе стороны на 2. 
 х = 21/2
 Добавьте 1,6 к обеим сторонам и упростите. 
 0,1 х — 1,6 = 0,2 х + 2.3 
 0,1 х — 1,6 + 1,6 = 0,2 х + 2,3 + 1,6 
 0,1 х = 0,2 х + 3,9 
 Добавить — 0,2 x в обе стороны и упростить. 
 0,1 х — 0,2 х = 0,2 х + 3,9 — 0,2 х 
 — 0,1 х = 3,9 
 Разделите обе стороны на — 0,1 и упростите. 
 х = — 39
 Умножьте обе стороны на — 5 и упростите. 
 — 5 (- х / 5) = — 5 (2) 
 х = — 10 
 Умножьте обе стороны на — 6 и упростите. 
 (-6) (х — 4) / (- 6) = (-6) 3 
 х — 4 = — 18 
 Добавьте 4 к обеим сторонам и упростите.
 х = — 14
 Умножьте обе стороны на (x — 2) и упростите. 
 (х — 2) (- 3x + 1) / (х — 2) = -3 (х — 2) 
 Увеличить правый термин. 
 -3x + 1 = -3x + 6 
 Добавьте 3х с обеих сторон и упростите. 
 — 3x + 1 + 3x = — 3x + 6 + 3x 
 1 = 6 
 Последнее утверждение неверно, и уравнение не имеет решений.
 Умножьте все члены на НОК 5 и 3, что равно 15. 
 15 (x / 5) + 15 (x — 1) / 3 = 15 (1/5) 
 Упрощайте и расширяйте. 
 3x + 15x — 15 = 3 
 Сгруппируйте понравившиеся условия и решите.
 18 х = 3 + 15 
 18 х = 18 
 х = 1
 Найдите реальные решения следующих квадратных уравнений. 2 х ² — 8 = 0
 х ² = -5
 2x ² + 5x — 7 = 0
 (х — 2) (х + 3) = 0
 (х + 7) (х — 1) = 9
 х (х — 6) = -9
  Решение  Разделите все термины на 2. 
 2 x ²/2 — 8/2 = 0/2 
 и упростить 
 x ² — 4 = 0 
 Фактор правой стороны.
 (х — 2) (х + 2) = 0 
 Решите относительно x. 
 x — 2 = 0 или x = 2 
 x + 2 = 0 или x = -2 
 Набор решений {-2, 2} 
 Данное уравнение
x ² = -5 не имеет реального решения, поскольку квадрат действительных чисел никогда не бывает отрицательным.
 Разложите левую сторону на множители следующим образом. 
 2x ² + 5x — 7 = 0
 Коэффициент 
 
 (2x + 7) (x — 1) = 0 
 Решите относительно x. 
 2x + 7 = 0 или x — 1 = 0 
 x = — 7/2, x = 1, набор решений: {- 7/2, 1}
 Решите для x.
 (х — 2) (х + 3) = 0 
 x — 2 = 0 или x + 3 = 0
 Набор растворов 
: {-3, 2} 
 Разверните левую сторону. 
 x ² + 6x — 7 = 9 
 Перепишите приведенное выше уравнение с правой частью, равной 0. 
 x ² + 6x — 16 = 0 
 Фактор левой стороны. 
 (х + 8) (х — 2) = 0 
 Решите относительно x. 
 x + 8 = 0 или x — 2 = 0
 Набор растворов 
: {-8, 2}
 Разверните левую часть и перепишите так, чтобы правая сторона была равна нулю. 
 x ² — 6x + 9 = 0 
 Фактор левой стороны.
 (х — 3) ² = 0 
 Решите относительно x. 
 х — 3 = 0
 Набор растворов 
: {3}
 Найдите любые реальные решения для следующих уравнений. х ³ — 1728 = 0
 х ³ = — 64
 √x = -1
 √x = 5
 √ (х / 100) = 4
 √ (200 / х) = 2
  Решение  Перепишем уравнение как. 
 x ³ = 1728 
 Возьмите кубический корень с каждой стороны.
 (x ³) ^1/3 = (1728) ^1/3 
 Упростить. 
 х = (1728) ^1/3 = 12 
 Возьмите кубический корень с каждой стороны. 
 (x ³) ^1/3 = (- 64) ^1/3 
 Упростить. 
 х = — 4
 Уравнение √x = — 1 не имеет действительного решения, потому что квадрат действительного числа больше или равен нулю. 
 Выровняйте обе стороны. 
 (√x) ² = 5 ² 
 Упростить.
 х = 25
 Выровняйте обе стороны. 
 (√ (x / 100)) ² = 4 ² 
 Упростить. 
 х / 100 = 16 
 Умножьте обе стороны на 100 и упростите. 
 х = 1,600
 Выровняйте обе стороны. 
 (√ (200 / x)) ² = 2 ² 
 Упростить. 
 200 / х = 4 
 Умножьте обе стороны на x и упростите. 
 х (200 / х) = 4 х 
 200 = 4 х 
 Решите относительно x. 
 х = 50
 Оцените указанные значения  a  и  b . a ² + b ², для a = 2 и b = 2 
 | 2a — 3b | , для a = -3 и b = 5
 3a ³ — 4b ⁴, для a = -1 и b = -2
  Решение  Замените a и b их значениями и оцените. 
 для a = 2 и b = 2 
 a ² + b ² = 2 ² + 2 ² = 8
 Установите a = — 3 и b = 5 в данном выражении и оцените. 
 | 2a — 3b | = | 2 (-3) — 3 (5) | = | -6 — 15 | = | -21 | = 21
 Установите a = — 1 и b = -2 в данном выражении и оцените.
 3a ³ — 4b ⁴ = 3 (-1) ³-4 (-2) ⁴ = 3 (-1) — 4 (16) = — 3-64 = — 67
 Решите следующие неравенства. х + 3 <0
 х + 1> -x + 5
 2 (х — 2) <- (х + 7)
  Решение  Добавьте -3 к обеим сторонам неравенства и упростите. 
 х + 3 — 3 <0 - 3
 
 х <-3
 
 Добавьте x к обеим сторонам неравенства и упростите.
 х + 1 + х> — х + 5 + х 
 2x + 1> 5 
 Добавьте -1 к обеим сторонам неравенства и упростите. 
 2x + 1-1> 5-1 
 2x> 4 
 Разделите обе стороны на 2. 
 x> 2
 Разверните скобки и сгруппируйте похожие термины. 
 2x — 4 <- x - 7
 
 Добавьте 4 к обеим сторонам и упростите. 
 2x — 4 + 4 <- x - 7 + 4
 
 2x <- x - 3
 
 Добавьте x к обеим сторонам и упростите. 
 2х + х <- х - 3 + х
 
 3x <- 3
 
 Разделите обе стороны на 3 и упростите.
 х <- 1
 При каком значении константы  k  квадратное уравнение  x ² + 2x = — 2k  имеет два различных действительных решения? 
  Решение  
 Сначала находим записанное уравнение с правой частью, равной нулю. 
 x ² + 2x + 2k = 0 
 Теперь вычислим дискриминант D квадратного уравнения. 
 D = b ² — 4 a c = 2 ² — 4 (1) (2k) = 4-8 k 
 Чтобы решение имело два различных реальных решения, D должно быть положительным.Следовательно 
 4-8 k> 0 
 Решите неравенство, чтобы получить 
 к <1/2
 При каком значении константы  b  линейное уравнение 2 x + b y = 2 имеет наклон, равный 2? 
  Решение  
 Решите относительно y и определите наклон 
 b y = — 2 х + 2 
 у = (- 2 / б) х + 2 / б 
 наклон = (- 2 / b) = 2 
 Решите уравнение (- 2 / b) = 2
для б 
 (- 2 / б) = 2 
 -2 = 2 б 
 b = — 1
 Какова точка пересечения оси y линии  — 4 x + 6 y = — 12 ? 
  Решение  
 Установите x = 0 в уравнении и решите относительно y.
 — 4 (0) + 6 y = — 12 
 6 лет = — 12 
 г = — 2 
 y точка пересечения: (0, — 2)
 Каков отрезок оси x линии  — 3 x + y = 3 ? 
  Решение  
 Задайте y = 0 в уравнении и решите относительно x. 
 — 3 х + 0 = 3 
 х = -1 
 x перехват: (-1, 0)
 Какая точка пересечения линий  x — y = 3  и  — 5 x — 2 y = — 22 ? 
  Решение  
 Точка пересечения двух прямых является решением уравнений обеих прямых.Чтобы найти точку пересечения двух прямых, нам нужно решить систему уравнений x — y = 3 и -5 x — 2 y = -22 одновременно. Уравнение x — y = 3 можно решить относительно x, чтобы получить 
 х = 3 + у 
 Заменим x на 3 + y в уравнении — 5 x — 2 y = -22 и решим относительно y 
 -5 (3 + у) — 2 у = — 22 
-15-5 лет — 2 года = — 22 
 -7 г = — 22 + 15 
 -7 г = — 7 
 г = 1 
 Заменим x на 3 + y в уравнении -5 x — 2 y = — 22 и решим относительно y 
 х = 3 + у = 3 + 1 = 4 
 Точка пересечения: (4, 1)
 При каком значении константы  k  прямая -4 x + k y = 2  проходит через точку  (2, -3) ? 
  Решение  
 Чтобы линия прошла через точку  (2, -3) , упорядоченная пара  (2, -3)  должна быть решением уравнения прямой.Мы заменяем x на 2 и d y на — 3 в уравнении. 
 — 4 (2) + к (-3) = 2 
 Решите относительно k, чтобы получить 
 к = — 10/3
 Каков наклон прямой с уравнением  y — 4 = 10 ? 
  Решение  
 Запишите данное уравнение в форме пересечения наклона y = m x + b и укажите наклон m. 
 г = 14 
 Это горизонтальная линия, поэтому наклон равен 0.
 Каков наклон прямой с уравнением  2 x = -8 ? 
  Решение  
 Вышеприведенное уравнение можно записать как 
 х = — 4 
 Это вертикальная линия, поэтому наклон не определен.
 Найдите точки пересечения оси x и y линии с помощью уравнения  x = — 3 ? 
  Решение  
 Выше изображена вертикальная линия с точкой пересечения x, заданной только 
 (-3, 0)
 Найдите точки пересечения оси x и y линии с помощью уравнения  3 y — 6 = 3 ? 
  Решение  
 Данное уравнение можно записать в виде 
 г = 3 
 Это горизонтальная линия с точкой пересечения y, заданной только 
 (0, 3)
 Каков наклон прямой, параллельной оси x? 
  Решение  
 Прямая, параллельная оси x, является горизонтальной линией, и ее наклон равен 0.
 Каков наклон прямой, перпендикулярной оси x? 
  Решение  
 Линия, перпендикулярная оси x, является вертикальной линией, и ее наклон не определен.
 Дополнительные ссылки и ссылки 
 Математика для средней школы (6, 7, 8, 9 классы) — Бесплатные вопросы и проблемы с ответами 
 Математика для средней школы (10, 11 и 12 классы) — Бесплатные вопросы и проблемы с ответами 
 Начальная математика (4 и 5 классы) с бесплатными вопросами и проблемами с ответами Домашняя страница 
 пожаловаться на это объявление Как найти решение Набор 
 Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
 или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
 в
 информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
 ан
 Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
 средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.
 Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
 в виде
 ChillingEffects.org.
 Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
 искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
 на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.
 Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:
 Вы должны включить следующее:
 Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
 Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
 Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
 достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
 а
 ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
 к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
 Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
 Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему утверждению, нарушает
 ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
 информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
 либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.
 Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:
 Чарльз Кон
 Varsity Tutors LLC 
 101 S. Hanley Rd, Suite 300 
 St. Louis, MO 63105 
 Или заполните форму ниже:
 Решение логарифмических уравнений — объяснения и примеры 
 Как вы хорошо знаете, логарифм — это математическая операция, обратная возведению в степень. Логарифм числа сокращается как « log .”
  Прежде чем мы перейдем к решению логарифмических уравнений, давайте сначала познакомимся со следующими правилами логарифмов: 
 Правило произведения гласит, что сумма двух логарифмов равна произведению логарифмов. Первый закон представлен как;
 ⟹ журнал _b (x) + журнал _b (y) = журнал _b (xy)
 Разница двух логарифмов x и y равна отношению логарифмов.
 ⟹ журнал _b (x) — журнал _b (y) = журнал (x / y)
 ⟹ журнал _b (x) ⁿ = n журнал _b (x)
 ⟹ журнал _b x = (журнал _a x) / (журнал _a b)
 Логарифм любого положительного числа по основанию этого числа всегда равен 1.
 b ¹ = b ⟹ log _b (b) = 1.
 Пример:
 Логарифм от числа 1 до любого ненулевого основания всегда равен нулю. 
 b ⁰ = 1 ⟹ журнал _b 1 = 0.
 Как решать логарифмические уравнения? 
 Уравнение, содержащее переменные в показателях степени, известно как экспоненциальное уравнение. Напротив, уравнение, которое включает логарифм выражения, содержащего переменную, называется логарифмическим уравнением.
 Цель решения логарифмического уравнения — найти значение неизвестной переменной.
  В этой статье мы узнаем, как решить два общих типа логарифмических уравнений, а именно: 
 Уравнения, содержащие логарифмы в одной части уравнения.
 Уравнения с логарифмами на противоположных сторонах от знака равенства.
 Как решить уравнения с односторонним логарифмом? 
 Уравнения с логарифмами на одной стороне принимают логарифм _b M = n ⇒ M = b ⁿ.
  Чтобы решить этот тип уравнений, выполните следующие действия: 
 Упростите логарифмические уравнения, применив соответствующие законы логарифмов.
 Перепишите логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме.
 Теперь упростим показатель степени и решим переменную.
 Проверьте свой ответ, подставив его обратно в логарифмическое уравнение. Обратите внимание, что приемлемый ответ логарифмического уравнения дает только положительный аргумент.
   Пример 1  
 Журнал решения ₂ (5x + 7) = 5
  Решение 
 Перепишем уравнение в экспоненциальную форму
 бревна ₂ (5x + 7) = 5 ⇒ 2 ⁵ = 5x + 7
 ⇒ 32 = 5x + 7
 ⇒ 5x = 32 — 7
 5x = 25
 Разделите обе стороны на 5, чтобы получить
 х = 5
   Пример 2  
 Решить относительно x в журнале (5x -11) = 2
  Решение 
 Поскольку основание этого уравнения не дано, мы принимаем основание 10.
 Теперь изменим запись логарифма в экспоненциальной форме.
 ⇒ 10 ² = 5x — 11
 ⇒ 100 = 5x -11
 111 = 5x
 111/5 = х
 Следовательно, x = 111/5 — это ответ.
   Пример 3  
 Журнал решения ₁₀ (2x + 1) = 3
  Решение 
 Перепишите уравнение в экспоненциальной форме
 журнал ₁₀ (2x + 1) = 3n⇒ 2x + 1 = 10 ³
 ⇒ 2x + 1 = 1000
 2x = 999
 Разделив обе стороны на 2, получим;
 х = 499.5
 Проверьте свой ответ, подставив его в исходное логарифмическое уравнение;
 ⇒ log ₁₀ (2 x 499,5 + 1) = log ₁₀ (1000) = 3, поскольку 10 ³ = 1000
   Пример 4  
 Вычислить ln (4x -1) = 3
  Решение 
 Перепишем уравнение в экспоненциальной форме как;
 ln (4x -1) = 3 ⇒ 4x — 3 = e ³
 Но, как известно, e = 2,718281828
 4x — 3 = (2.718281828) ³ = 20.085537
 х = 5,271384
   Пример 5  
 Решите логарифмическое уравнение log ₂ (x +1) — log ₂ (x — 4) = 3
  Решение 
 Сначала упростите логарифмы, применив правило частного, как показано ниже.
 журнал ₂ (x +1) — журнал ₂ (x — 4) = 3 ⇒ журнал ₂ [(x + 1) / (x — 4)] = 3
 Теперь перепишем уравнение в экспоненциальной форме
 ⇒2 ³ = [(x + 1) / (x — 4)]
 ⇒ 8 = [(x + 1) / (x — 4)]
 Перемножьте уравнение крестиком
 ⇒ [(x + 1) = 8 (x — 4)]
 ⇒ x + 1 = 8x -32
 7x = 33 …… (Собираем похожие термины)
 х = 33/7
   Пример 6  
 Найдите x, если log ₄ (x) + log ₄ (x -12) = 3
  Решение 
 Упростите логарифм, используя следующее правило произведения;
 журнал ₄ (x) + журнал ₄ (x -12) = 3 ⇒ журнал ₄ [(x) (x — 12)] = 3
 ⇒ журнал ₄ (x ² — 12x) = 3
 Преобразуйте уравнение в экспоненциальную форму.
 ⇒ 4 ^{3 =} x ² — 12x
 ⇒ 64 = x ² — 12x
 Поскольку это квадратное уравнение, мы решаем его путем факторизации.
 x ² -12x — 64 ⇒ (x + 4) (x — 16) = 0
 x = -4 или 16
 Когда x = -4 подставляется в исходное уравнение, мы получаем отрицательный ответ, который является мнимым. Поэтому 16 — единственное приемлемое решение.
 Как решить уравнения с логарифмами с обеих сторон уравнения? 
 Уравнения с логарифмами по обе стороны от знака равенства принимают log M = log N, что совпадает с M = N.
 Процедура решения уравнений с логарифмами по обе стороны от знака равенства.
 Если логарифмы имеют общую основу, упростите задачу, а затем перепишите ее без логарифмов.
 Упростите, собирая одинаковые термины и решая переменную в уравнении.
 Проверьте свой ответ, вставив его обратно в исходное уравнение. Помните, что приемлемый ответ приведет к положительному аргументу.
   Пример 7  
 Журнал решения ₆ (2x — 4) + журнал _{6 (} 4) = лог ₆ (40)
  Решение 
 Во-первых, упростим логарифмы.
 лог ₆ (2x — 4) + лог ₆ (4) = лог ₆ (40) ⇒ лог ₆ [4 (2x — 4)] = лог ₆ (40)
 Теперь опустим логарифмы
. ⇒ [4 (2x — 4)] = (40)
 ⇒ 8x — 16 = 40
 ⇒ 8x = 40 + 16
 8x = 56
 х = 7
   Пример 8  
 Решите логарифмическое уравнение: log ₇ (x — 2) + log ₇ (x + 3) = log ₇ 14
  Решение 
 Упростите уравнение, применив правило произведения.
 Лог ₇ [(x — 2) (x + 3)] = лог ₇ 14
 Отбросьте логарифмы.
 ⇒ [(x — 2) (x + 3)] = 14
 Раздайте ФОЛЬГУ, чтобы получить;
 ⇒ x ² — x — 6 = 14
 ⇒ x ² — x — 20 = 0
 ⇒ (x + 4) (x — 5) = 0
 x = -4 или x = 5
, когда x = -5 и x = 5 подставляются в исходное уравнение, они дают отрицательный и положительный аргумент соответственно. Поэтому x = 5 — единственное приемлемое решение.
   Пример 9  
 Решить журнал ₃ x + журнал ₃ (x + 3) = журнал ₃ (2x + 6)
  Решение 
 Учитывая уравнение; log ₃ (x ² + 3x) = log ₃ (2x + 6), отбросьте логарифмы, чтобы получить; 
 ⇒ x ² + 3x = 2x + 6 
 ⇒ x ² + 3x — 2x — 6 = 0 
 x ² + x — 6 = 0 ……………… (Квадратное уравнение) 
 Фактор множителя квадратное уравнение получить;
 (x — 2) (x + 3) = 0 
 x = 2 и x = -3
 Проверяя оба значения x, мы получаем, что x = 2 является правильным ответом.
   Пример 10  
 Журнал решения ₅ (30x — 10) — 2 = журнал ₅ (x + 6)
  Решение 
 журнал ₅ (30x — 10) — 2 = журнал ₅ (x + 6)
 Это уравнение можно переписать как;
 ⇒ журнал ₅ (30x — 10) — журнал ₅ (x + 6) = 2
 Упростите логарифмы
 журнал ₅ [(30x — 10) / (x + 6)] = 2
 Записать логарифм в экспоненциальной форме.