Сечение многогранников: Тема «Сечение многогранников в заданиях С2 ЕГЭ»

Содержание

Сложные сечения. Метод следа — Сечения многогранников и тел вращения

                Следом называют прямую пересечения плоскости сечения и плоскости какой-либо грани многогранника. Чтобы построить след, достаточно знать две его точки, т. е. точки, лежащие одновременно в секущей плоскости и плоскости рассматриваемой грани.

                Основные правила построения сечений методом следа:

  • Если даны (или уже построены) две точки плоскости сечения на одной грани многогранника, то след сечения этой плоскости – прямая, проходящая через эти три точки.
  • Если дана (или уже построена) прямая пересечения плоскости сечения с основанием многогранника (след на основании) и есть точка, принадлежащая определенной боковой грани, то нужно определить точку пересечения данного следа с этой боковой гранью ( точка пересечения данного следа с общей прямой основания и данной боковой грани)
  • Точку пересечения плоскости сечения с основанием можно определить как точку пересечения какой-либо прямой в плоскости сечения с ее проекцией на плоскость основания.
                       То есть, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры. 
                       Для тех, кто знаком с гомологией, удобно ее применять при нахождении образов точек нижнего основания фигуры F – изображения фигуры. Последовательно соединяя образы этих точек, получим изображение искомого сечения. 
                      В дальнейшем будем допускать вольность речи и говорить «строим сечение» вместо «строим изображение сечения». 

Рассмотрим задачи:

Пример 1

Постройте сечение призмы A1B1C1D1ABCD плоскостью, проходящей через три точки M, N, K.
Рассмотрите все случаи расположения точек M, N, K на поверхности призмы

Рассмотрим случай

M ϵ BB1 , N ϵ CC1D1D,  K ϵ AA1E  .  В данном случае очевидно, что М1 = В1  .

Построение

1.     MN ∩ M1N1 = X

2.     MK M1K1 = Y

3.     XY =s – след секущей плоскости

4.     A1K1 ∩ s  = A0

5.     A1K∩ AA1 =A, A1K∩ EE1 = E.

6.     D1N1 ∩ s =D0

7.     D0N ∩ DD1 =D, D0N ∩ CC1 = C.

AMCDE — искомое сечение
Пример 2

Постройте сечение пирамиды SABCDE плоскостью, проходящей через точку M, принадлежащую грани SBC и прямую l, лежащую в грани SED 

Построение

1.     SM ∩ BC = M1

2.     l  ∩SD = D, l ∩ SE=E.

3.     ME ∩ ME1 = X, l ∩ ED= Y, XY=s – след секущей плоскости

4.     s ∩ AB = K, s ∩ AE = N

5.     BC ∩ s = B0, B0M ∩ SB = B, B0M ∩ SC = C.

6.     KBCDEN – искомое сечение

                 При объяснении шагов построения можно использовать  факты стереометрии, опираясь на наглядное представление о данных в условии задачи фигурах. Например, в последнем примере комментарии учителя могут быть следующими: 
  • То, что дано, считается построенным.
  • Так как точка M лежит в грани SBC, то прямые SM и BC пересекаются, следовательно, легко построить их точку пересечения M1
  • Прямая l лежит в грани SED, значит, она пересекает ребра SD и SE в точках D’ и E’ (на рисунке эти имена даны с верхней горизонтальной чертой)
  • Находим прямую s пересечения плоскости основания и секущей плоскости, используя известные точки M, D’, E’ в секущей плоскости
  • Очевиден шаг построения
  • Прямые BC и s лежат в одной плоскости, B0 – их точка пересечения лежит в секущей плоскости, в плоскости основания и в плоскости SBC. Точка M лежит в секущей плоскости и в плоскости SBC. Следовательно, прямая B0M является прямой пересечения секущей плоскости с плоскостью грани SBC. Таким образом, легко построить точки и B’, C’

Пример 3 Построить сечение призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, R

Построение

  • Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА1В1В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.
  • Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S
    1
    , принадлежащую следу.
  • Аналогично получаем точку S2 пересечением прямых QR и BC.
  • Прямая S1S2 — след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.
  • Прямая S1S2 пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА1D1D. Аналогично получаем TU и RT.
  • PQRTU – искомое сечение.

Урок по теме «Сечение многогранников» / Открытый урок

Цель: углубление, обобщение, систематизация, закрепление полученных знаний и навыков построения сечений 

Задачи:
1. Сформировать у школьников мотивацию к изучению данной темы.
2. Развивать у учащихся умение пользоваться опорными знаниями, для получения новых знаний.

3. Развивать у учащихся мышление (умение выделять существенные признаки и делать обобщения).

4. Развивать у учащихся навыки творческого подхода к решению задач и навыки

исследовательской работы над задачей.Оборудование: Атанасян Л. С. и др. Геометрия 10-11 класс (М.Просвещение.2010), компьютер,

проектор, экран, презентация для сопровождения урока, раздаточный материал учащихся,

СD: Виртуальнаяшкола Кирилла и Мефодия (Уроки геометрии 10класс)
План урока: 1. Организационныймомент (1мин)
2. Проверка домашнегозадания (4-5мин)
3. Актуализация (3-4мин)
4. Применение знаний встандартной ситуации (закрепление) (21-23мин)
5. Самостоятельнаяработа (10мин)
6. Домашнеезадание (2мин)
7. Подведение итогаурока (2мин)

 

1. Организационный момент (приветствие,сообщение темы, целей и плана урока)
2. Проверка домашнего задания (задачи №1, 2, презентация слайд № 3, 4) разборрешения задач домашней работы по этапам, с объяснением теоретической составляющей)

3. Актуализация (блиц-опрос)
Что называется многогранником
Что называется сечением многогранника (слайд № 5)
Что является базовым при построениисечений (слайд № 6)
Какие методы построения сеченийиспользуются при решении задач
4. Закрепление:  Просмотр решения  задачи (анимация №3 «сечение параллелепипеда»,урок №13 по теме «Многогранники», СD Виртуальная школа Кирилла и Мефодия, Уроки геометрии 10 класс), обсуждение
Решение задач (обсуждение плана построения, построение каждым в тетради и проверка с помощью подготовленной  презентации, слайды 7-10)
1. Построить сечение,определяемое параллельными прямыми АА1 и СС1
2. Построитьсечение куба плоскостью, проходящей через М и прямую АС3.
Построть сечение куба, проходящее через точки Р,М,К
4.Определить вид сечениякуба АВСДА1В1С1Дплоскостью,проходящей через ребро А
1
Д1 и середину ребраВВ1 
5. Самостоятельнаяработа на построение сечений, проходящих через данные точки, по готовым чертежам с взаимопроверкой (слайд №11-условие, №12-решение) 

6. Домашнеезадание: №  84,85 [1,с.32] дополнительно: Составить две задачи на построение сечений многогранников с использованием полученных знаний. (творческое задание)
7. Итог урока:
Что нового вы узнали на уроке?
Каким образом строится сечение параллелепипеда?
Какие многоугольники могутполучиться в сечении параллелепипеда?

 

Литература:

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. /Учебник для 10-11классов общеобразовательных учрежденийМ.Просвещение.20102.
2. Смирнов В.А.,Смирнова И.М. Геометрия / Учебник для 10-11 классов. М.Мнемозина.20083.  
3. Электронное издание «1С: Школа. Математика, 5-11 кл. Практикум»

4. Электронное издание«Решебник по геометрии. Пособие для абитуриентов. Полный курс за 7-11 классы»
5. Электронное издание«Виртуальная школа Кирилла и Мефодия: Уроки геометрии 10 класс»  

Сечение многогранников — презентация онлайн

1. Сечение многогранников

Геометрия является
самым могущественным
средством для
изощрения наших
умственных
способностей и дает
нам возможность
правильно мыслить и
рассуждать.
Галилео Галилей.

2. Содержание

Основные понятия
Демонстрация сечений
Метод следов
Метод вспомогательных сечений
Комбинированный метод
Защита проектов
Тест

3. Многогранником называют

тело, поверхность которого состоит из
конечного числа плоских
многоугольников.
Элементы многогранника: вершины,
ребра, грани.

4. Сечением поверхности геометрических тел называется

плоская фигура, полученная
в результате пересечения тела
плоскостью и содержащая точки,
принадлежащие как поверхности
тела, так и секущей плоскости

6. Плоскость (в том числе и секущую) можно задать следующим образом

7. Демонстрация сечений

Призма
Даны три
точки на
боковых
ребрах
Сечение
Плоскость основания
Секущая плоскость
пересекает грани
многогранника по прямым, а
точнее по отрезкам разрезам.
Так как секущая плоскость
идет непрерывно, то разрезы
образуют замкнутую фигурумногоугольник.
Полученный таким
образом многоугольник и
будет сечением тела.

10. Методы построения сечений

Аксиоматический метод
Аксиомы
стереометрии

11.

Аксиоматический метод Метод следов
Суть метода заключается в построении
вспомогательной прямой, являющейся изображением
линии пересечения секущей плоскости с плоскостью
какой-либо грани фигуры . Удобнее всего строить
изображение линии пересечения секущей плоскости с
плоскостью нижнего основания. Эту линию называют
следом секущей плоскости. Используя след, легко
построить изображения точек секущей плоскости,
находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры .
Постройте сечение призмы, проходящее через точки O,F,G
Шаг 1:
разрезаем грани KLBA и LMCB
L
• Проводим через точки F
и O прямую FO.
M
F
K
N
• Отрезок FO есть разрез
грани KLBA секущей
плоскостью.
• Аналогичным образом
отрезок FG есть разрез
грани LMCB.
G
B
O
C
A разрезы на гранях?
Почему мы уверены, что сделали
D
Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются
по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).
Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая
принадлежит этой плоскости.
Шаг 2: ищем след секущей плоскости на плоскости
основания
L
• Проводим прямую АВ до пересечения с
прямой FO.
• Получим точку H, которая
K
принадлежит и секущей плоскости, и
плоскости основания.
• Аналогичным образом получим
точку R.
• Через точки H и R проводим
прямую HR – след секущей
плоскости
M
F
N
G
B
O
A
C
R
D
Почему мы уверены, прямая HR
H – след секущей плоскости на плоскости
основания?
Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются
по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).
Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая
принадлежит этой плоскости.
Шаг 3:
делаем разрезы на других гранях
L
• Так как прямая HR пересекает
нижнюю грань многогранника, то
получаем точку E на входе и точку
S на выходе.
M
F
N
K
• Таким образом отрезок ES есть
разрез грани ABCD.
• Проводим отрезки ОЕ (разрез
грани KNDA) и GS (разрез грани
MNDC).
Почему мы уверены, что все
делаем правильно?
H
G
B
O
A
C
R
S
E
D
Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они
пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).
Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая
принадлежит этой плоскости.
Шаг 4:
выделяем сечение многогранника
L
M
Все разрезы
образовали пятиугольник
K
OFGSE, который и
является сечением
призмы плоскостью,
проходящей через точки
O, F, G.
O
F
N
G
B
C
S
A
E
D
Задание № 1
Задание № 2
Построй сечения призмы по трем данным точкам.
А теперь проверь себя!!!
Ответ

17. Метод вспомогательных сечений

Этот метод построения сечений многогранников
является в достаточной мере
универсальным. В тех случаях,
когда нужный след (или следы)
секущей плоскости оказывается
за пределами чертежа,
этот метод имеет даже
определенные преимущества.
Вместе с тем следует иметь в
виду, что построения, выполняемые при
использовании
этого метода, зачастую получаются
«искусственное». Тем не менее в некоторых случаях
метод вспомогательных сечений оказывается

18. На ребре BM пирамиды MABCD зададим точку Р. Построим сечение пирамиды плоскостью PQR, точку R которой зададим на грани АMD,а Q на грани DMC.

1. Находим точки Р’, Q’ и R’ и затем строим
вспомогательное сечение пирамиды
плоскостью, определяемой какиминибудь двумя пересекающимися
прямыми из трех прямых MP, MQ и МR.
Например, плоскостью МРQ.
М
P
R
Q
B(P’)
2. Построим другое вспомогательное
сечение пирамиды плоскостью
D
определяемой двумя пересекающимися A
R’
прямыми, одна из которых — это
прямая MR, а другая прямая — та, на которой мы хотим найти
след плоскости PQR. Например, прямая МС.
Q’

19. 3. Находим точку F, в которой пересекаются прямые Р’Q’ и R’С, а затем строим прямую MF — линию пересечения плоскостей.

4 F’=PQ пересекается MF.
М
5. Так как точка F’ лежит на
прямой PQ, то она лежит
P
C’
в плоскости PQR. Тогда и
прямая RF, лежит В плоскости MPQ’ проводим прямую PQ и
Q
F’
находим
R
точку
B(P’)
C
в плоскости PQR.
Проводим прямую RF’,
Q’
F
и находим точку С’=RF’ пересекается
МС. Точка С’, таким образом,
А
R’
D
лежит и на прямой МС, и в плоскости
PQR, т. е. она является следом плоскости
PQR на прямой МС (в данном случае и на ребре МС).
6. Дальнейшие построения
вполне понятны: строим
C’Q, D’, D’R, А’, А’Р, РС’.
Четырехугольник РС’D’А’
— искомое сечение
М
P
C’
Q
R
D’
Q’
F
А
R’
R’
D
Задание № 3
Построить сечение призмы по трем данным точкам
Удачи вам, в решении задачи!
Ответ

22. Комбинированный метод

Суть комбинированного метода
построения
сечений многогранников состоит в
применении теорем о
параллельности
прямых и плоскостей в
пространстве в
сочетании с
аксиоматическим методом.

23. Постройте сечение куба, проходящее через точки P, R, Q.

1. Точки P и R лежат в одной плоскости,
проведём прямую PR.
P
2. Прямая PR лежит в плоскости
A’
AA’B’B, точка Q лежит в плоскости
DD’C’C, параллельной AA’B’B.
3. Проведём через точку Q прямую
параллельную прямой PR,
получим точку K
Почему мы уверены, что все делаем
правильно?
Теорема
Теорема
R
B’
C’
D’
Q
C
B
K
D
A
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая
принадлежит этой плоскости.
Если две параллельные плоскости пересекаются третьей,
то прямые пересечения параллельны
4. Найдём точку пересечения прямых PR и AB, получим точку L.
5. Прямая LK в плоскости ABCD оставляет след FK
6. Точки R и F лежат в одной плоскости AA’D’D, проведём прямую RF.
7. Прямая RF лежит в плоскости АA’D’D, точка Q в плоскости
BB’C’C,параллельной плоскости AA’D’D.
B’
8. Проведём прямую параллельную
прямой RF, через точку Q, получим
точку M.
Теорема
Если две параллельные плоскости
прямые пересечения параллельны
C’
P
A’
Почему мы уверены, что все делаем
правильно?
Аксиома Если две различные плоскости
имеют общую точку, то они пересекаются
R
по прямой, проходящей через эту точку.
Теорема Если две точки прямой
принадлежат плоскости, то вся прямая
принадлежит этой плоскости.
M
D’
Q
C
B
K
A
L
D
F
пересекаются третьей, то

Сечение многогранника плоскостью — Энциклопедия по машиностроению XXL

Сечение многогранника плоскостью  [c.115]

Сечением многогранника плоскостью является многоугольник, вершинами которого служат точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, а сторонами — отрезки прямых пересечения граней многогранника с той же плоскостью.  [c.61]

Поэтому построение сечения многогранника плоскостью сводится к многократному решению задачи о пересечении прямой с плоскостью или же к многократному решению задачи о пересечении двух плоскостей ( 10). Так как решение первой задачи проще, нежели решение второй, то обычно при построении сечения многогранника строят вершины сечения как точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью. После построения вершин сечения следует соединить отрезками прямых каждые две вершины, лежащие в одной и той же грани многогранника. При этом стороны сечения, лежащие в видимых гранях, будут видимы, а лежащие в невидимых гранях — невидимы.  [c. 61]


Рассмотрим несколько примеров построения сечения многогранника плоскостью, причем вначале разберем простейшие случаи, когда либо секущая плоскость, либо поверхность многогранника является проецирующей.  [c.62]

Различают два способа построения сечения многогранника плоскостью способ ребер — определяются вершины многоугольника-сечения способ граней — определяются стороны многоугольника-сечения.  [c.40]

На рис. 48 приведена упрощенная схема машинного построения сечения многогранника плоскостью по способу ребер. В машину вводятся координаты Xt, Уи Zf всех вершин многогранника с указанием всех ji ребер многогранника, проходящих через каждую вершину, и коэс ициенты уравнения секущей плоскости Г.  [c.41]

Из предыдущего известно, что в сечении многогранника плоскостью образуется многоугольник, который может быть построен либо определением точек встречи ребер многогранника с секущей плоскостью, либо определением линий пересечения граней многогранника с этой плоскостью.  [c.89]

Пересечение многогранника плоскостью. Линией пересечения поверхности многогранника плоскостью является плоский многоугольник. Его вершины являются точками пересечения ребер с заданной плоскостью, а стороны-линиями пересечения граней с плоскостью (рис. 51, а). Таким образом, построение сечения многогранника плоскостью сводится к определению точек пересечения прямой с плоскостью или к определению линии пересечения плоскостей.  [c.42]

СЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ ПЛОСКОСТЬЮ  [c.134]

При сечении многогранников получаются плоские многоугольники, число сторон которых равно числу пересеченных граней. Стороны этих многоугольников представляют собой линии пересечения граней многогранников и секущей плоскости, а их вершины— точки пересечения ребер многогранников — с секущей плоскостью. Таким образом, для решения задачи на построение сечения многогранника плоскостью необходимо уметь 1) строить линии пересечения двух плоскостей и 2) определять точки пересечения прямой с плоскостью.  [c.134]

Рассмотренные примеры следует использовать при решении задач на построение сечений многогранников плоскостью.  [c.137]

Контрольные вопросы и упражнения. 1. К каким простым задачам сводится задача на построение сечения многогранника плоскостью 2. Постройте три проекции призмы (рис. 253, а) и натуральную величину фигуры сечения ее плоскостью Р. 3. В какой последовательности следует строить аксонометрические проекции усеченных многогранников 4. Постройте прямоугольную диметрическую проекцию усеченной шестиугольной призмы (рис. 253,6).  [c.141]


Проекциями сечения многогранников плоскостью, в общем случае, являются плоские многоугольники, вершины которых принадлежат ребрам, а стороны — граням многогранника .  [c.123]

Построить сечение многогранника плоскостью общего положения, проведенной под углом а к П1.  [c.148]

Плоскую фигуру, полученную от пересечения многогранника плоскостью, называют сечением. Проекции многоугольника сечения могут преобразовываться (вырождаться) в прямые и точки.  [c.113]

Многоугольником сечения является шестиугольник 134562, ГЗ 4 5 6 2. Для построения линии пересечения многогранника плоскостью вспомогательные секущие плоскости можно выбирать каждую через одну грань многогранника.  [c.115]

Геометрическая фигура, получающаяся в результате пересечения многогранника плоскостью, называется сечением многогранника. Очевидно, сечение представляет собой плоский многоугольник с его внутренней областью. В частном случае эти многоугольники могут распадаться на несколько многоугольников, вырождаться в прямые и точки.[c.40]

Построение сечений многогранников проецирующими плоскостями и плоскостями общего положения.  [c.41]

Сначала строят сечение многогранника проецирующей плоскостью. Эта задача решается весьма просто, так как одна проекция сечения вырождается в отрезок прямой, а построение второй проекции сводится к многократному решению задачи на принадлежность.  [c.41]

Фигура сечения (1 — 2 — 3) многогранника плоскостью 3( 32), которая параллельна его основанию, подобна фигуре основания (рис. 111,6).  [c.121]

При пересечении какой-либо поверхности или тела плоскостью получается некоторого вида плоская фигура, называемая сечением. Очевидно, что сечение многогранника может быть ограничено только отрезками прямых, причем оно может состоять из одного или нескольких многоугольников . Число сторон такого многоугольника равно числу граней многогранника, пересекаемых секущей плоскостью. Например, в зависимости от направления секущей плоскости сечением куба может быть треугольник, четырехугольник, пятиугольник и шестиугольник (рис. 119).  [c.85]

Плоские сечения многогранников представляют собой замкнутые фигуры, вершины и стороны которых определяются пересечением заданной плоскости соответственно с ребрами и гранями данного геометрического тела. Таким образом, для построения сечений находят или точки пересечения ребер с заданной плоскостью или строят прямые, по которым плоскость пересекается с гранями тела. Первый способ называют способом ребер, второй — способом граней. Покажем применение их на следующих конкретных примерах.  [c.97]

Фигурой сечения поверхности многогранника плоскостью является плоский многоугольник, чи ло вершин и сторон которого определяется числом пересеченных ребер и граней многогранника.  [c.135]

Рис. 57. Сечение многогранника фронтальной плоскостью
Многогранная поверхность называется выпуклой, если она расположена по одну сторону от плоскости любой ее грани. Сечение выпуклого многогранника плоскостью-всегда выпуклый многоугольник.  [c.36]

Плоская фигура, которая получается при пересечении многогранника плоскостью, называется сечением. Построение сечений значительно упрощается, если секущая плоскость является проецирующей. В этом случае одна проекция сечения совпадает с проецирующим следом плоскости.  [c.42]

Итак, при решении задач на пересечение многогранника плоскостью необходимо выделить частный случай, когда один из пересекающихся элементов (секущая плоскость или пересекаемая поверхность) занимает проецирующее положение и одна проекция сечения известна.  [c.42]

В сечении многогранника плоскостью образуется многоугольник. Вершины многоугольника образуются пересечением ребер многогранника с секущей плоскостью, а стороны многоугольника — линии пёре-сечения плоскости с гранями многогранника. Задача на определение сечения многогранника плоскостью может быть решена или определением точек встречи ребер фигуры с секущей плоскостью (способ ребер), или нахождением линии пересечения граней многогранника плоскостью (способ граней). Чаще применяется первый способ.  [c.81]


Задачу решаем в такой последовательности (рис. 164). Через прямую EF проводим вспомогательную плоскость Р, обычно проецирующую. Строим фигуру сечения многогранника этой вспомогательной плоскостью. Точки пересечения сторон многоугольника сечения с прямой являются точками пересечения прямой с многогранником. Если прямая EiFi не пересекает многоугольник сечения, то она не пересекает и многогранник.  [c.115]

Сечение многогранника нлоскосгыо представляет собой плоский многоугольник (отсек п.юскости), число сторон которого равно числу пересечегщых граней. Стороны такого многоугольника представляют собой линии пересечения граней многогранника и секущей плоскос и, а его aepujHHbi — точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью (рис. 94).  [c.46]

Грани призмы являются плоскостями уровня. Поэтому построение линии пересечения поверхностей многогранников выполним способом граней. Сначала строим сечение пирамиды плоскостью Г верхней грани призмы. Из полученного треугольного сечения выделяем ломаную 1234, раеполо-женную в пределах верхней грани призмы. Затем строим треу10льное  [c.117]

В ряде случаев решение получается графически проще и точнее, если данную прямую заключить в плоскость общего положения. Обычно это имеет место, если или данная прямая или часть ребер поверхности многогранника являются профильными прямыми уровня. Также полезно заключать данную прямую в плоскость общего положения, если в этом случае сечение многогранника имеет значительно меньше вершин по сравнению с сечением многогранника проецирующей плоскостью. Например, требуется построить точки пересечения прямой I с поверхностью пирамиды SAB D (рис. 53).  [c.43]

Проекциями сечения многогранников, в общем случае, являются MHoroyi ольники, вершины которых принадлежат ребрам, а стороны — граням многогранника. Поэтому задачу по определению сечения многогранника можно свести к многократному решению задачи по определению точки встречи прямой (ребер многогранника) с плоскостью или к задаче по нахождению линии пересечения двух плоскостей (грани многогранника и секущей плоскости).  [c.131]

Сечение многогранника может быть ограничено только отрезками прямых. Число сторон такого многоугольника равно числу граней многогранника, пересекаемых секущей плоскостью. Вершинами многоугольника сечения являются точки пересечения рёбер многогранника с секущей плоскостью. Следовательно, число верпшн многоугольника равно числу рёбер многогранника, пересекаемых секущей плоскостью.  [c.89]

Эпюрное решение линии пересечения двух пирамид одинаковой высоты представлено на рис. 205. И здесь ось пучка простейших секущих плоскостей является их горизонталью. Поэтому горизонтальные следы вспомогательных плоскостей параллельны Отличительная особенность рассматриваемого на рис. 205 примера заключается в том, что линия пересечения пирамид распалась на две замкнутые ломаные два треугольника. Для определения вершин искомой ломаной через каждое ребро проводилась простейшая секущая плоскость, строилось сечение многогранника этой плоскостью и, наконец, отмечались точки пересечения исследуемого ребра с построенным плоским сечением. Так, через ребро З Р проведена плоскость горизонтальный след которой проходит через одноименный след ребра — точку / параллельно 1 2. Треугольник 51Л11Л1а является сечением пирамиды ЗхАВС плоскостью  [c.119]


Сечение многогранников плоскостью

Плоская фигура, полученная при пересечении любого многогранника плоскостью, представляет собой некоторый многоугольник. Вершины этого многоугольника находятся как точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, а стороны многоугольника строятся как линии пересечения граней многогранника с секущей плоскостью.
Сечение призмы проектирующей плоскостью (фиг. 302).


I, а. Пятиугольная прямая призма поставлена основанием на плоскость П1 и рассечена фронтально-проектирующей плоскостью δ.
Требуется:
а) построить проекции сечения;
б) найти натуральную величину фигуры сечения;
в) построить развертку поверхности усеченной призмы;
г) построить аксонометрическую проекцию усеченной призмы.
I, б. Нахождение проекций сечений. Фронтальная проекция В2С2А2D2Е2 фигуры сечения совпадает с фронтальной проекцией δ2 плоскости δ, так как вершины фигуры сечения являются точками пересечения ребер призмы с плоскостью δ. Горизонтальная проекция фигуры сечения совпадает с горизонтальной проекцией призмы, так как призма прямая и ее ребра и грани перпендикулярны плоскости П1. Профильная проекция фигуры сечения выявится многоугольником, полученным путем построения третьей проекции по двум данным.
I, в. Нахождение натуральной величины фигуры сечения.
а) Метод совмещения. Совместим плоскость δ с плоскостью П1. За ось вращения принимаем горизонтальный след плоскости δ. Проекция δ2 совместится с осью х12. Пользуясь правилом совмещения, находим натуральную величину фигуры сечения ¯A¯B¯C¯D¯E.
б) Метод перемены плоскостей проекций. Принимаем плоскость δ за новую плоскость проекций, а проекцию δ2 — за новую ось проекций s24. Проводим из проекций B2C2A2D2 и Е2 перпендикуляры к новой оси s24 и на них откладываем глубины вершин фигуры сечения, например: E2E4 = E1E4 и т.д. Точки A4, B4, С4, D4, E4 последовательно соединяем прямыми и получаем натуральную величину фигуры сечения.
Фигуру сечения и ее проекции на чертеже выделяют штриховкой под углом 45° к оси х12.
Штриховка может быть наклонена как вправо, так и влево, но для всех проекций и фигуры сечения штриховку следует выполнять в одну сторону.
II. Построение развертки поверхности усеченной призмы. Строим развертку боковой поверхности данной призмы. Затем на соответствующих боковых ребрах откладываем размеры оставшихся после отсечения плоскостью частей ребер H, Н1, Н2, H3 и Н4, которые берем с фронтальной и профильной проекций. Соединив последовательно прямыми точки DO, ЕO, АO, ВO, СO, DO, получим линию сечения, по которой плоскость δ рассекает призму на две части. Для получения развертки поверхности усеченной призмы к соответствующим боковым граням пристраиваем фигуру сечения и нижнее основание.
III. Построение аксонометрических проекций усеченной призмы.
III, а. Строим аксонометрическую проекцию призмы, пользуясь координатами на (фиг. 302, I, а).
III, б. На соответствующих ребрах боковых граней откладываем от нижнего основания оставшиеся части ребер, используя для этого размеры Н, Н1, Н3, Н3, H4.
Полученные точки А’, В’, С, D’, Е’ и А’ соединяем прямыми. Определяем невидимые и видимые элементы и обводим их соответствующими линиями.
Сечение призмы плоскостью общего положения (фиг.303).


I, а. Треугольная прямая призма поставлена основанием на плоскость П1 и рассечена плоскостью а общего положения.
Требуется:
а) построить проекции сечения;
б) найти натуральную величину фигуры сечения;
в) построить развертку поверхности усеченной призмы;
г) построить аксонометрическую проекцию усеченной призмы.
В этом случае горизонтальная проекция фигуры сечения сливается с горизонтальной проекцией призмы, так как боковые ребра и грани призмы перпендикулярны плоскости П1. Для построения фронтальной проекции воспользуемся горизонталями. Через точку А1 — горизонтальную проекцию ребра — проводим прямую, параллельную проекции следа k1 — горизонтальную проекцию h1 горизонтали. Затем найдем ее фронтальную проекцию h2, которая, пересекаясь с фронтальной проекцией ребра D2E2 в точке А2 определит фронтальную проекцию точки пересечения ребра призмы с плоскостью а.
I, б. Аналогичным построением находим остальные точки пересечения ребер призмы плоскостью а (В2, С2), после чего соединим последовательно прямыми точки А2, В2, С2 и А2 и получим фронтальную проекцию А2В2С2 фигуры сечения — треугольника.
I, в. Натуральную величину фигуры сечения находим путем совмещения плоскости а с плоскостью П1 вращением вокруг проекции следа k1
II и III. Построение развертки поверхности усеченной призмы и аксонометрических проекций аналогично соответствующим построениям для пятиугольной призмы (фиг. 302).
Сечение пирамиды фронтально — проектирующей плоскостью (фиг. 304).


1, а. Правильная четырехугольная пирамида поставлена основанием на плоскость П1 и рассечена фронтально-проектирующей плоскостью б.
Требуется:
а) построить проекции сечения;
б) найти натуральную величину фигуры сечения;
в) построить развертку поверхности усеченной пирамиды;
г) построить аксонометрическую проекцию усеченной пирамиды (фиг.304, а).
I. б. Фронтальная проекция фигуры сечения — отрезок E2F2К2М2 — совпадает с фронтальной проекцией δ2 так как точки пересечения ребер пирамиды с секущей плоскостью лежат в плоскости δ.
Горизонтальные проекции точек пересечения находят при помощи вертикальных линий связи на горизонтальных проекциях соответствующих ребер, например: точку Е1 на горизонтальной проекции ребра S1A1, точку F1на S1B1 и т.д.
Соединив последовательно прямыми точки Къ Ei, &i, JWi и Кг, получим горизонтальную проекцию фигуры сечения.
Профильная проекция фигуры сечения — четырехугольник E3F3M3K3 находится, как третья проекция, по двум данным (фиг.304,б).
I. в. Натуральная величина фигуры сечения находится способом совмещения плоскости δ с плоскостью П1 и способом перемены плоскостей проекций, где за новую плоскость П4 принята плоскость δ, а за новую ось проекций S24 — проекция δ2 (фиг.304,в).
II. Для построения развертки боковой поверхности находим натуральную величину ребра пирамиды путем построения прямоугольного треугольника S2O2¯D2, у которого S2O2 = H, a O2¯D2 = S1¯D1; гипотенуза S2D2 является натуральной величиной ребра. Зто равносильно повороту ребра до параллельности плоскости П2. Затем строим развертку боковой поверхности нерассеченной пирамиды — фигуру, состоящую из четырех равнобедренных треугольников, основания которых равны сторонам квадрата основания, а боковые стороны — натуральным величинам ребер.
Для определения величины отсеченных частей ребер, вместо поворота их, переносим с профильной проекции на натуральную величину ребра точки E3,F3,M3 и К3, получаем размеры R1,R2,R3,R4 Равные отсеченным частям ребер размер R1 равен отсеченной части S2¯E2, R2 равен S2¯F2 и т. д. (фиг.304, I, б).
Перенеся на развертку при помощи этих размеров на соответствующие ребра точки Ео, Fo, Мо, Ко и Ео и соединив их последовательно прямыми, получим ломаную линию, по которой пирамида рассечена фронтально-проектирующей плоскостью δ. Для получения развертки поверхности усеченной пирамиды к линии сечения присоединяем соответствующей стороной фигуру сечения, а к линии основания — основание пирамиды.
III, а. Для изображения изометрической проекции усеченной пирамиды, пользуясь координатами с (фиг.304, I, б), сначала строим основание и вершину пирамиды, а затем вторичную проекцию фигуры сечения (горизонтальную проекцию фигуры сечения) E’1F’1M’1K’1.
III, б. Соединяем прямыми точку S’ (вершину пирамиды) с точками А’, В’, С и D’ (вершинами основания) — получаем изометрическую проекцию пирамиды.
Из точек Е’1, F’1, M’1 и К’1 параллельно оси z проводим прямые до пересечения с соответствующими ребрами пирамиды. Точки Е’1, F’1, M’1 и К’1 явятся вершинами фигуры сечения, соединив которые прямыми, получим изометрическую проекцию фигуры сечения.
III, в. Определив видимые и невидимые элементы усеченной призмы, обводим их соответствующими линиями и заштриховываем фигуру сечения. Над усеченной частью пирамиды изображена отсеченная ее часть.

Сечение тел вращения плоскостью…..




 

Кабзон Т. Д. Сечение многогранников плоскостью. — 1963 // Библиотека Mathedu.Ru

Кабзон Т. Д. Сечение многогранников плоскостью. — 1963

Подготовка
текстаПодготовка
текста

Содержание

Загрузка
структуры

Информация

Загрузка
описаний

Справка

Загрузка
справки

Печать

[1][2][3]12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546

Подготовка [0%]…

Отмена

{«root»:»text»,»url»:»kabzon_sechenie_mnogogrannikov_ploskostyu_1963″,»surl-package»:»\/text\/%PACKAGE%\/?query=%QUERY%»,»surl-page»:»\/text\/%PACKAGE%\/p%PAGE%\/?query=%QUERY%»,»query»:»\»\»»,»section»:»library»,»mode-gfx»:true,»mode-html»:false,»mode-prefer»:»gfx»,»layout-prefer»:»1×1″,»zoom»:{«1×1»:{«level»:100,»_w»:true,»_h»:false},»2×1″:{«level»:100,»_w»:true,»_h»:false},»html»:{«level»:100}},»textsize-prefer»:»2″,»textfont-prefer»:»a»,»tree-type»:»ajax»,»tree-state»:»visible»,»printbox-state»:»hidden»,»print-allowed»:»1″,»searchbox-state»:»hidden»,»searchbox-type»:»none»,»goto-pageno»:null,»goto-page»:3,»defw»:»1000″,»defh»:»756″,»minh»:756,»maxh»:756,»fixeven»:null,»package»:»left»,»sitemode»:»live»,»user»:{«uuid»:»»}}

Удержи­вайте пра­вую кнопку мыши для выде­ле­ния группы стра­ниц.

Удержи­вайте кла­вишу Shift для выде­ле­ния диапа­зона стра­ниц.

Удержи­вайте кла­вишу Ctrl для пере­хода к стра­нице без её выде­ле­ния.

Поз­во­ляет нахо­дить задан­ные слова и сло­во­со­че­та­ния в тек­сте пуб­ли­кации.

Поиск под­держи­вает кирил­ли­че­ский и латин­ский алфа­виты.

Пере­клю­чайте вид списка результа­тов поиска кноп­ками «Спи­сок» и «Карта».

Функция печати/ска­чи­ва­ния доступна только зареги­стри­ро­ван­ным поль­зо­ва­те­лям.

Пожа­луй­ста, зареги­стри­руй­тесь или авто­ри­зуй­тесь.

Выбор оформ­ле­ния (свет­лое/тём­ное) доступен только зареги­стри­ро­ван­ным поль­зо­ва­те­лям.

Пожа­луй­ста, зареги­стри­руй­тесь или авто­ри­зуй­тесь.

«Построение сечений многогранников на основе аксиоматики»

Поклонова О.А учитель математики МБОУ лингвистическая гимназия №6

Предмет — геометрия

Класс — 10

Тема – «Построение сечений многогранников на основе аксиоматики»

Учебно-методическое обеспечение: Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11 класс.

Время реализации занятий – 45 минут

Оборудование и материалы для урока: компьютер, проектор, экран, презентация для сопровождения урока, раздаточный материал учащихся.

Авторский медиапродукт:  Среда — Microsoft Office PowerPoint, Paint.

Вид медиапродукта: наглядная презентация учебного материала, образовательный комплекс

 

Методическая информация

Тип урока

 

Обобщение и систематизация ЗУН

Цель урока

 

в углублении, обобщении, систематизации, закреплении полученных знаний и развитии их в перспективе (изучить метод следов)

Задачи урока

 

1. Сформировать у школьников мотивацию к изучению данной темы.

2. Развивать у учащихся умение пользоваться опорными знаниями, для получения новых знаний.

3. Развивать у учащихся мышление (умение выделять существенные признаки и делать обобщения).

4. Развивать у учащихся навыки творческого подхода к решению задач и навыки исследовательской работы над задачей.

Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют/приобретут/закрепят/др. ученики в ходе урока

·  умение пользоваться опорными знаниями, для получения новых знаний;

·  умение выделять существенные признаки и делать обобщения;

·  навыки творческого подхода к решению задач на построение сечений

Подробный конспект урока

Ход и содержание урока

 

I этап –Вводная беседа. Проверка домашнего задания. (6-7 мин)

II этап – Актуализация знаний (10 мин)

(повторение теоретического материала)

III этап – Применение знаний в стандартной ситуации (6-7 мин), работа по готовым чертежам

IV этап – Повторение свойства параллельных плоскостей (6 мин)

V этап — Выход  на получение новых знаний: «Метод следов»(6 мин)

VI этап — Самостоятельная работа (4-5 мин)

VII этап – подведение итогов урока (4 мин)

Рефлексия деятельности на уроке

 

Что нового вы узнали на уроке?

Чему вы научились?

Какое у вас настроение в конце урока?

Можете ли вы научить новому способу решения задач товарища?

Домашнее задание

 

Составить две задачи на построение сечений многогранников с использованием полученных знаний.

В помощь учителю

Использованные источники и литература (если имеются)

1. Электронное издание «1С: Школа. Математика, 5-11 кл. Практикум»

2. Электронное издание «Решебник по геометрии. Пособие для абитуриентов. Полный курс за 7-11 классы»

 

Обоснование, почему данную тему оптимально изучать с использованием медиа, мультимедиа, каким образом осуществить

Данную тему оптимально изучать с использованием мультимедиа, так как это позволит показать учащимся поэтапное решение задач на построение сечений

 

План урока:

1. Сформирование у школьников мотивации к изучению данной темы.

2. Проверка домашнего задания. Исторические сведения.

3. Повторение опорных знаний (аксиоматика, способы задания плоскости).

4. Применение знаний в стандартной ситуации.

5. Изучение и закрепление нового материала: метод следов.

6. Самостоятельная работа.

7. Подведение итога урока.

8. Домашнее задание.

 

Ход урока:                                   I этап – Вводная беседа.

Проверка домашнего задания. (6-7 мин)

Содержание урока

Формы и методы работы

учителя

Виды деятельности

 учащихся

1. Мотивация

 

Вводная  беседа (1 мин)

 

Слушают учителя

 

2. Проверка домашнего задания

 

Комментирует мини-выступления учащихся

 

Слушают выступления товарищей, задают вопросы

 

II этап Актуализация знаний (10 мин)

(повторение теоретического материала)

 

Содержание урока

Формы и методы работы

 учителя

Виды деятельности

учащихся

1. Повторение аксиом стереометрии

Работа по готовым слайдам (фронтальный опрос учащихся)

Устные ответы на вопросы учителя

 

2. Повторение: взаимное расположение в пространстве прямых и плоскостей

3. Обобщение теории

Вывод о способах задания плоскости

Запись вывода в тетрадь

4. Повторение понятия многогранника и сечения многогранника плоскостью

Опрос учащихся

Устные ответы на вопросы учителя

 

III этап Применение знаний в стандартной ситуации(6-7 мин)

(работа по готовым чертежам)

Содержание урока

Формы и методы работы

 учителя

Виды деятельности

учащихся

 Решение типовых задач по готовым чертежам (каждому ученику выдается рабочий листок с условием задачи и чертежом для построения сечения).

 

Объяснение предстоящей работы.

 

Совместное решение первой задачи (подробное комментирование шагов решения и записи оформления в рабочий лист).

Изучение условия задачи, работа по готовым чертежам, с последующим разбором решения  по слайдам.

 

 

IV этап Свойства параллельных плоскостей (6 мин)

Содержание урока

Формы и методы работы учителя

Виды деятельности учащихся

1. Повторение темы «Параллельность плоскостей».

 

2. Решение задач

Работа по готовым слайдам (фронтальный опрос учащихся)

Проверка правильности выполнения задания

 

Устные ответы на вопросы учителя

 

Построение сечений в рабочем листе.

Ответы у доски.

 

V этап — Выход  на получение новых знаний: «Метод следов»(6 мин)

Содержание урока

Формы и методы работы

 учителя

Виды деятельности

учащихся

1. Изучение нового материала

 

 

 

2. Закрепление нового материала

Объяснение нового материала. Показ учебного фрагмента учебного фильма «Как построить сечение куба?»

Работа по готовым чертежам у доски (с последующим комментированием этапов построения сечения по слайду)

Слушают объяснение учителя. Просмотр учебного фильма. Анализ видеофрагм., запись образца решения.

Двое учащихся решают у доски, остальные в рабочем листе

 

VI этап — Самостоятельная работа (4-5 мин)

Содержание урока

Формы и методы работы

учителя

Виды деятельности

учащихся

Самостоятельная работа обучающего характера

 

 

Объяснение предстоящей работы.

 

Проверка  выполнения задания.

Выполнение самостоятельной работы (по готовым чертежам).

Самопроверка по готовым слайдам.

 

VII этап подведение итогов урока (4 мин)

Содержание урока

Формы и методы работы

учителя

Виды деятельности

учащихся

1. Подведение итогов

 

2. Творческое домашнее задание

Беседа по итогам урока с использованием слайдов

Проецируется на экран

Устные ответы на вопросы учителя

Запись в дневники

ХОД  УРОКА

См. приложение


Многогранники

Многогранник — это твердое тело с плоскими гранями
(от греческого многоугольника — «много» и -эдр — «грань»).

Каждая грань представляет собой многоугольник (плоскую форму с прямыми сторонами).

Примеров многогранников:

Куб
Его лица все квадраты Треугольная призма
Его грани — треугольники
и прямоугольники Додекаэдр
Какие у него лица?

Итак, без изогнутых поверхностей : конусы, сферы и цилиндры — это , а не многогранники.

Простые многогранники

Примечание: многогранника во множественном числе означает многогранников или многогранников

Многие другие

Подсчет граней, вершин и ребер

Когда мы подсчитываем количество граней (плоских поверхностей), вершин (угловых точек) и ребер многогранника, мы обнаруживаем интересную вещь:

Количество граней
плюс количество вершин
минус количество ребер равно 2

Это можно записать в виде небольшого уравнения:

F + V — E = 2

Она известна как формула Эйлера (или «многогранная формула») и очень полезна, чтобы убедиться, что мы правильно посчитали!

Пример: Куб

В кубе:

  • 6 граней
  • 8 вершин (угловые точки)
  • 12 кромок

F + V — E = 6 + 8 — 12 = 2


Пример: треугольная призма

У этой призмы:

  • 5 граней
  • 6 вершин (угловые точки)
  • 9 кромок

F + V — E = 5 + 6 — 9 = 2

Но бывают случаи, когда не работает ! Прочтите Формулу Эйлера, чтобы узнать больше.

Диагонали

Диагональ — это прямая линия внутри фигуры, идущая от одного угла к другому (но не края).

Многогранник может иметь множество диагоналей. Вы можете придумать один без диагоналей?

Многогранники (3D-формы) | NZ Maths

Назначение

В этом разделе учащиеся создают и исследуют различные многогранники (трехмерные объекты), уделяя особое внимание созданию сетей.

Конкретные результаты обучения

  • Создавайте модели многогранников из структурированных или повседневных материалов.
  • Используйте термины грани, ребра и вершины для описания моделей многогранников.

Описание математики

Многоугольник — это двумерная фигура с прямыми сторонами. Многогранник — это полностью замкнутый трехмерный объект, грани которого представляют собой многоугольники. Существует много различных семейств многогранников, включая призмы, пирамиды и Платоновы тела.

Термины, обычно используемые для описания атрибутов многогранников, включают:

  • Грань: один многоугольник в сплошной фигуре
  • Кромка: линия, где две грани соединяются
  • Вершина: точка пересечения граней — угол

В 1750-х годах Леонард Эйлер обнаружил известную взаимосвязь между этими тремя владениями. Количество вершин плюс количество граней, отведенных от двух, равно количеству ребер.

E = V + F — 2

Возможности адаптации и дифференциации

Учебные мероприятия в этом разделе можно дифференцировать, варьируя предоставленные строительные леса или изменяя сложность задач, чтобы сделать возможности обучения доступными для широкого круга учащихся.Способы поддержки студентов включают:

  • предоставляет готовые версии моделей, на которые студенты могут ссылаться при создании своих собственных
  • предоставляет сети, которые студенты могут использовать для изготовления моделей.
  • , ограничивающее количество моделей, которые студентам предлагается сделать.

Этот модуль ориентирован на построение определенных геометрических фигур и поэтому не установлен в реальном контексте. Есть способы адаптировать его к интересам и опыту ваших учеников.Например, учащимся может быть предоставлена ​​возможность украсить модель своего любимого твердого тела многогранника в стиле, который они выберут для демонстрации в классе. Это могут быть как культурные мотивы, так и любимые цвета, узоры или изображения.

Деятельность

Начало работы
  1. Покажите студентам PowerPoint One. На первом слайде показан футбольный мяч из пятиугольников и шестиугольников.
    Что вы знаете об этой твердой форме?
  2. Попросите студентов обратить внимание на формы, составляющие твердое тело.
    Какие формы вы видите? (Пентагоны и шестиугольники)
    Посмотрите на вершины (углы). Сколько каждой формы пересекаются в одной вершине? Эта комбинация одинакова для каждой вершины? (Два шестиугольника и один пятиугольник пересекаются в каждой вершине.)
  3. На втором слайде показан куб. Покажите учащимся куб, который вы построили из пластиковых многоугольников (полидронов, геоформ и т. Д.) Или карты (см. Ниже).

    Как называется эта сплошная форма? (куб)
    Из каких форм он сделан? (квадраты)
    Сколько таких фигур необходимо? (шесть)
    Как вы можете сосчитать лица, чтобы проверить, пересчитаете ли вы их все? (e.грамм. сверху и снизу, четыре грани вокруг середины.)

  4. Объясните, что углы можно назвать вершинами.
    Сколько вершин у куба? (восемь)
    Как вы их посчитали?
    Сколько ребер у куба?
    (12)

  5. Задайте себе задачу:
    Сколько различных твердых тел вы можете сделать, используя только равносторонние треугольники или квадраты? Давайте попробуем построить твердые тела, которые выглядели бы сбалансированными.
    При необходимости вернитесь к примеру с футбольным мячом, чтобы показать пример симметричного сбалансированного тела.

    Дайте студентам время построить твердые тела. После того, как подходящая коллекция будет сформирована, соберите класс вместе. Ищите тетраэдр и октаэдр.
    Что общего в этих двух твердых телах? (состоит только из треугольников)

    Твердое тело слева называется тетраэдром. Что означает тетра? (четыре)
    Твердое тело справа называется октаэдром.Что означает окта? (восемь)

  6. Отметьте, что правильные многогранники названы по количеству граней.
    Есть ли у кого-нибудь другой многогранник, составленный только из треугольников?
    Если ученик создал икосаэдр (икоса- означает двадцать), обратите на него внимание класса. Если нет, покажите четвертый слайд PowerPoint One.

    Посмотрите внимательно на каждую вершину трех многогранников, которые мы составили из треугольников.
    Что вы заметили?

  7. Сосредоточьте обсуждение на последовательном шаблоне вокруг каждой вершины. Три треугольника окружают каждую вершину тетраэдра, четыре треугольника — октаэдр и пять — икосаэдр.

  8. Можно ли окружить каждую вершину шестью треугольниками и образовать твердое тело?
    Попросите учащихся проверить, работает ли это.

    Окружение вершины шестью треугольниками создает мозаику, покрывающую плоскость или плоскую поверхность.Внутренние углы равносторонних треугольников составляют 60 °. Шесть углов по 60 ° добавляют к 360 °, что составляет полный оборот и становится «плоским» при соединении. Следовательно, невозможно создать твердое тело с шестью равносторонними треугольниками в каждой вершине.

  9. Один из учеников, вероятно, сделал этот многогранник, который называется треугольной дипирамидой (состоящей из двух пирамид).

    Это твердое вещество не относится к ним (тетра-, окта- и икоса-). Почему нет?
    Если вы посчитаете количество треугольников, окружающих каждую вершину, что вы получите?

    Некоторые вершины имеют четыре пересекающихся треугольника (вокруг «экватора»), а некоторые — три пересекающихся треугольника (верхний и нижний).Не существует одинакового числа, встречающегося в каждой вершине, что является требованием для Платоновых тел.

  10. Эти твердые тела, вероятно, сделали другие студенты.


    Обратите внимание учащихся на конфигурацию многоугольников вокруг каждой вершины. В пирамиде с квадратным основанием вершина окружена четырьмя треугольниками, а каждая базовая вершина имеет квадрат и два треугольника. Пирамида с квадратным основанием может быть исключена из набора сбалансированных симметричных тел, поскольку она не сбалансирована, если находится на одной из своих треугольных сторон.Для кубооктаэдра есть два квадрата и два треугольника вокруг каждой вершины. Для ромбокубооктаэдра есть один квадрат и три треугольника вокруг каждой вершины.

  11. Для всех сбалансированных симметричных тел, состоящих из треугольников и квадратов, попросите своих учеников определить, сколько граней имеет каждое твердое тело. Для тетра-, окта- и икосаэдра префикс называет многогранник. Однако подсчитать грани кубооктаэдра и ромбокубооктаэдра немного сложнее.Поощряйте своих учеников систематически записывать свои данные:

    Цельный

    Количество и форма граней

    Количество вершин

    Количество граней

    Тетраэдр

    4 треугольника

    Октаэдр

    8 треугольников

    Икосаэдр

    20 треугольников

    Треугольная дипирамида

    6 треугольников

    Кубооктаэдр

    8 треугольников

    6 квадратов

    Ромбокубооктаэдр

    8 треугольников

    18 квадратов


  12. Ищите систематические способы подсчета количества лиц.Это может включать в себя разделение твердого тела на части или методический учет каждой вершины.
Вторая сессия
  1. Напомните студентам, что на предыдущем занятии им разрешалось использовать только треугольники и квадраты.
    Какие твердые тела мы сделали?
    Как помнят ученики, возьмите модель твердого тела и назовите ее.
  2. Объясните, что существует особая группа многогранников, называемых Платоновыми телами, которые были найдены древними греками.Объясните, что существует два критерия платоновых тел:
    • Все грани твердого тела — одинаковые правильные многоугольники.
    • В каждой вершине встречается одинаковое количество граней.

    Обратите внимание, что правильный означает, что стороны, а следовательно, и углы многоугольника одинаковы. Мелом нарисуйте диаграмму Кэрролла и поместите в нее модели. Это сложная классификация, поэтому вам может потребоваться поддержать студентов в ее выполнении.
    Каждая вершина по
    одинакова
    Вершины различаются
    Одна правильная форма

    Более одной формы


    Твердые тела в верхнем левом квадранте идеальны, остальные — нет.

    Какие еще формы есть в вашем наборе?
    Можно ли создать любые другие совершенные твердые тела с другими формами?

  3. Предложите учащимся изучить возможность других совершенных твердых тел. Существует только один, додекаэдр (dodeca- префикс двенадцати).

  4. Студенты могли обнаружить, что шестиугольники не работают.
    Почему из , а не из можно сделать идеальное твердое тело из шестиугольников?
    По крайней мере, три многоугольника необходимо вокруг вершины.Внутренние углы шестиугольника составляют 120 °. Три партии по 120 ° в сумме составляют 360 °, что составляет полный оборот. Следовательно, при соединении сторон многоугольники не заполняются незаполненными углами, чтобы они оторвались от плоскости.


  5. Добавьте додекаэдр в набор совершенных тел. Включите его в таблицу вместе с другими данными.

  6. Начнем с тетраэдра, который является простейшим платоновым телом. Поднимите модель этого твердого тела.
    Представьте, если я открою тетраэдр и положу его ровно.Этот узор называется сеткой.
    Как вы думаете, как это будет выглядеть?
    Попросите учащихся набросать свои прогнозы для сети. Они могут проверить свои прогнозы, составив каждую сетку и сложив ее, чтобы проверить.
    Есть две возможные сети:

    Существует также расположение треугольников, при котором не работает.

    Почему две верхние сети работают, а нижняя — нет?
    Причины, по которым сеть не работает, иногда так же важны, как и причины, по которым сеть будет работать.Все сети состоят из четырех равносторонних треугольников. Это необходимое условие. Сети, которые складываются в тетраэдр, при складывании допускают только три угла треугольника вокруг каждой вершины. Дно позволяет сделать четыре угла вокруг центральной вершины, поэтому не будет складываться в тетраэдр.

  7. Попросите учеников исследовать:
    Сколько разных сеток будет для куба?
    Раздайте каждой паре студентов лист с квадратной сеткой и шесть квадратных полидронов.Дайте ученикам достаточно времени, чтобы найти и записать возможные сети.

Третья сессия

На этом занятии студенты пытаются найти набор решений для всех сетей куба.

  1. Предложите ученикам поработать в парах, чтобы найти все возможные сети для куба.
    Сколько разных сеток можно сделать, чтобы получился куб?
  2. После того, как ученики нарисовали несколько сетей, предложите нескольким ученикам поделиться своей любимой сеткой.Начните галерею возможных сетей. Важный вопрос — как установить, что две сети разные. Вы можете использовать следующий пример:

    Эти сети одинаковые или разные?
    Учащиеся могут заметить, что одну цепь можно сопоставить с другой путем отражения или вращения, или в данном случае и того, и другого. Это означает, что сети не уникальны (разные в математическом смысле).
  3. Напомните ученикам, что вы ищете полный набор сетей.
    У кого-нибудь есть система поиска всех сетей?
  4. Некоторые студенты, возможно, заметили семейство сетей, состоящих из четырех квадратов в ряд.Центральная линия четырех может оставаться постоянной, а две другие грани перемещаются, чтобы сформировать уникальные сети. Вот три сети «четыре в ряд». Таких сетей шесть.

    Может возникнуть вопрос:
    Можно ли сделать сетку, в которой не более трех квадратов подряд?
    А как насчет двух квадратов подряд?
  5. Пусть ученики продолжают исследовать возможные сети, пока они не решат, что нашли их все. Могут ли они обосновать, что эти сети полностью укомплектованы?
  6. Соберите класс и пополните галерею, попросив учащихся создать «новую» сеть.Убедитесь, что каждое предложение не является отраженной или повернутой копией другой сети. Для этого полезны модели полидронов, так как их можно поворачивать и переворачивать для сопоставления друг с другом.

  7. Всего 11 сетей. Тщательная организация сетей может помочь учащимся увидеть общую структуру в семьях сетей. Например, вот четыре квадрата в ряду.

    Обратите внимание, что четыре верхние сети фиксируют верхний левый квадрат и перемещают правый квадрат в разные положения.Следующие две сети прикрепляют левый квадрат ко второму центральному квадрату и находят две новые позиции для правого квадрата. Верхняя правая и нижняя правая позиции уже покрыты первыми четырьмя сетками.
    Еще четыре сети можно найти, организовав три квадрата в ряд и манипулируя тремя другими.

    В финальной сетке не более двух квадратов подряд.

  8. Попросите своих учеников проверить все новые сети на уникальность, что означает, что новая сеть не отображается на существующую сеть путем отражения и / или вращения.Например, в этом образце работы Уильям сигнализирует о том, что новая сеть такая же, как предыдущая, заключая ее в скобки.

  9. Ваши ученики могут попытаться найти сети для трех других Платоновых тел. Попросите их нарисовать сетку для твердого тела на бумаге с сеткой. Они могут проверить точность своей сети, сделав ее из полидронов и складывая.

  10. У ваших учеников:
    Используйте симметрию для формирования сети?
    Разделить твердое тело на две половины, чтобы упростить задачу?
    Зафиксируем одно лицо как основание или верх и представим, что другие грани соединены с ним?
    Изобразите складку лиц, чтобы правильно их расположить?

Четвертая сессия
  1. Покажите своим ученикам PowerPoint Two.На первом слайде показаны три разных вида октаэдра. Попросите их нарисовать различные виды, рисуя только те края и вершины, которые они могут видеть, а не рисовать те, которые скрыты. На втором слайде есть простые рисунки тех же видов. Некоторым ученикам сложно не рисовать то, что они не видят. Попросить их представить, что «увидит» цифровая камера, а затем создать рисунок, — хорошая стратегия. Сравнение рисунка с изображением, полученным с цифровой камеры, помогает учащимся понять, что именно было запечатлено.
  2. Попросите ваших учеников взять одно из созданных ими твердых тел и нарисовать его в трех разных проекциях. Более сложные твердые тела, такие как икосаэдр и ромбокубооктаэдр, может быть довольно сложно нарисовать, но более простые твердые тела очень доступны.
    Например, куб (шестигранник) имеет много возможных видов.

  3. После того, как учащиеся создали виды выбранного твердого тела, они могут передать эти виды партнеру, который пытается представить себе, с какой точки зрения было нарисовано твердое тело.
  4. Интересно обсудить, как перспектива меняет способ появления форм. При просмотре куба квадрат выглядит как неквадратный прямоугольник и ромб. Квадрат также может выглядеть как трапеция под определенным углом.
Пятая сессия

На этом занятии студенты создают точные сети для двух семейств многогранников, называемых призмами и пирамидами. Они ищут свойства в сетях и учитывают относительную длину ребер / сторон.

  1. Покажите студентам PowerPoint Three.На первом слайде представлены три примера призм.
    Чем эти твердые тела одинаковы и чем они отличаются?
    Учащиеся должны заметить, что все три тела имеют прямоугольные грани, хотя их торцы разные (треугольник, квадрат и шестиугольник). Скажите ученикам, что твердые тела являются примерами призм, многогранников с постоянным поперечным сечением. Представьте себе, что каждое твердое тело было буханкой хлеба. Можно разрезать твердое тело на части одинаковой формы.
    Каждая призма известна своим поперечным сечением.Например, треугольная призма имеет треугольное сечение.
  2. Попросите ваших учеников представить сеть в виде прямоугольной призмы. Попросите их набросать его форму в воздухе. Сосредоточьтесь на формах, которые должны быть в сети, и соотнесите эти формы с изображением на первом слайде. Четыре прямоугольника должны охватывать торцы, которые являются квадратами. Раздайте ученикам квадратную сетку размером 1 см. Квадраты удобны для выдерживания прямых углов и измерения длины.
  3. Попросите учащихся использовать линейку и карандаш, чтобы создать точную сетку для кубоида.Точная сетка должна складываться так, чтобы стороны точно совпадали, чтобы стать краями. Студенты могут проверить свои сети, разрезав их и сложив. Обычная проблема для учащихся заключается в том, что стороны сети, которые встречаются для образования ребер, должны быть конгруэнтными (одинаковой длины).

  4. После создания сетки для прямоугольной призмы сосредоточьтесь на треугольной и шестиугольной призмах.
    Что нужно изменить в сети, чтобы сформировать треугольную или шестиугольную призму?
    Понимают ли учащиеся, что торцы должны быть треугольниками или шестиугольниками и что количество прямоугольников должно соответствовать количеству сторон? Например, треугольная призма будет иметь только три прямоугольника.Предложите своим ученикам создать сети для других призм. Бумажная сетка по-прежнему будет полезна, хотя задача получить совпадающие стороны сложнее.
  5. Посмотрите, как ваши ученики создают треугольники и шестиугольники, длина стороны которых равна длине короткой стороны прямоугольника.
  6. Соберите студентов вместе, чтобы они делили свои сети.
    Что общего у всех сетей?
    В чем отличия?
    Представьте себе сетку для восьмиугольной призмы.Как бы это выглядело?
  7. Вы можете создать таблицу данных о призмах и искать закономерности, или вы можете сосредоточить урок на сетях.

    Призма

    Количество граней

    Количество граней

    Количество вершин

    треугольная

    5

    9

    6

    прямоугольная

    6

    12

    8

    шестиугольник

    8

    18

    12

    Восьмиугольник

    10

    24

    16


  8. Как вариант, перейдите ко второму слайду в PowerPoint 3, чтобы обсудить общие особенности твердых тел.На всех фотографиях изображены пирамиды. Основание пирамиды называет это. Например, пирамида с квадратным основанием имеет квадратное основание. Начните с квадратной пирамиды.
    Какие формы находятся в сетке этого твердого тела?
    Как узнать, что треугольников будет четыре?

  9. Попросите учащихся набросать свой прогноз для сети.
    Какие стороны должны быть одинаковой длины?

  10. Учащиеся могут сделать точную сетку для квадратной пирамиды или попробовать сложную пирамидальную сеть.Сеть для восьмиугольной пирамиды — отличная задача для среднего уровня. Как и в случае с призмами, вы можете создать таблицу данных и искать закономерности.

    Пирамида

    Количество граней

    Количество граней

    Количество вершин

    Треугольная основа

    4

    6

    4

    Площадь из расчета

    5

    8

    5

    Гексагональный на основе

    7

    14

    7

    Восьмиугольная на базе

    9

    18

    9

Домашняя ссылка

Дорогая семья и ванау,

На этой неделе мы изучали многогранники.Попросите учащегося объяснить, как у этих твердых форм есть грани, края и вершины. Для домашнего задания вашего ученика попросили:

  1. найти фотографии различных многогранников из журналов и создать страницу с плакатом для своего учебника по математике; или
  2. использует материалы, найденные дома, для создания икосаэдра.

Многогранник — Типы многогранников — Названные, Многоугольники, Выпуклые и Кубические

Многогранник — это трехмерная замкнутая поверхность или твердое тело, ограниченное плоскостью фигур, называемых многоугольниками .

Слово многогранник происходит от греческого префикса поли- , что означает «много», и корневого слова hedron , которое означает «поверхность». Многогранник — это твердое тело, границы которого состоят из плоскостей. Многие обычные объекты в окружающем нас мире имеют форму многогранников. Куб можно увидеть везде, от игральных костей до радиочасов; Коробки для компакт-дисков и палочки с маслом имеют форму многогранников, называемых параллелепипедами. Пирамиды являются разновидностью многогранников, как и геодезических купола.Большинство форм, образованных в природе, имеют неправильную форму. Однако за интересным исключением кристаллы растут в виде математически совершенных и часто сложных многогранников.

Ограничивающие многоугольники многогранника называются гранями. Отрезки линии, вдоль которых встречаются грани, называются ребрами. Точки пересечения концов ребер (представьте себе угол коробки с хлопьями) — это вершины. Вершины через тело многогранника соединяются воображаемой линией, называемой диагональю.

Многогранник считается выпуклым, если диагональ содержит только точки внутри многогранника. Выпуклые многогранники также известны как многогранники Эйлера и могут быть определены уравнением E = v + f e = 2, где v — количество вершин, f — число граней, а e — количество граней. Пересечение плоскости и многогранника называется сечением многогранника.Поперечные сечения выпуклого многогранника — это все выпуклые многоугольники.


Многогранники классифицируются и именуются в соответствии с количеством и типом граней. Многогранник с четырьмя сторонами — это тетраэдр , но его также называют пирамидой . Шестигранный куб еще называют шестигранником. Многогранник с шестью прямоугольниками в качестве сторон также имеет много названий — прямоугольный параллелепипед, прямоугольный , призма или прямоугольник.

Многогранник, у которого все грани являются правильными многоугольниками, конгруэнтными друг другу, у которого все многогранные ангелы равны и у которого одинаковое количество граней пересекаются в каждой вершине, называется правильным многогранником.Существует только пять правильных многогранников: тетраэдр (четыре треугольных грани), куб (шесть квадратных граней), октаэдр (восемь треугольных граней — представьте себе две пирамиды, помещенные снизу вниз), додекаэдр (12 пятиугольных граней) и икосаэдр. (20 треугольных граней).

Другие общие многогранники лучше всего описать как такие же, как один из ранее названных, у которого часть его обрезана или усечена плоскостью. Представьте, что вы срезаете углы куба, чтобы получить, например, многогранник, состоящий из треугольников и квадратов.

Формула многогранника Эйлера | plus.maths.org

Июнь 2007 г.


Леонард Эйлер, 1707 — 1783

Давайте начнем с представления главного героя этой истории — формулы Эйлера:

В — E + F = 2.

Хотя это может показаться простой, эта маленькая формула заключает в себе фундаментальное свойство тех трехмерных тел, которые мы называем многогранниками , которые очаровывали математиков более 4000 лет. На самом деле я могу пойти дальше и сказать, что формула Эйлера говорит нам кое-что очень глубокое о форме и пространстве.Формула носит имя известного швейцарского математика Леонарда Эйлера (1707–1783), которому в этом году исполнилось бы 300 лет.

Что такое многогранник?

Прежде чем мы исследуем, что говорит нам формула Эйлера, давайте рассмотрим многогранники более подробно. Многогранник — это твердый объект, поверхность которого состоит из нескольких плоских граней , которые сами по себе ограничены прямыми линиями. Каждая грань на самом деле представляет собой многоугольник , замкнутую форму на плоской 2-мерной плоскости, состоящую из точек, соединенных прямыми линиями.

Рис. 1. Знакомые треугольник и квадрат являются многоугольниками, но многоугольники могут иметь и более неправильную форму, как показано справа.

В многоугольниках не разрешается иметь отверстия, как показано на рисунке ниже: левая фигура здесь является многоугольником, а правая — нет.

Рис. 2: Фигура слева — многоугольник, а фигура справа — нет, потому что в ней есть «дыра».

Многоугольник называется правильным , если все его стороны имеют одинаковую длину и все углы между ними одинаковы; треугольник и квадрат на рисунке 1 и пятиугольник на рисунке 2 правильные.

Многогранник — это то, что вы получаете, когда перемещаетесь на одно измерение вверх. Это замкнутый твердый объект, поверхность которого состоит из множества многоугольных граней. Мы называем стороны этих граней ребрами — две грани пересекаются вдоль каждого из этих ребер. Мы называем углы граней вершинами , так что любая вершина лежит как минимум на трех разных гранях. Чтобы проиллюстрировать это, вот два примера известные многогранники.

Рис. 3. Знакомый куб слева и икосаэдр справа.Многогранник состоит из многоугольных граней , их стороны известны как ребра , а углы — как вершины .

Многогранник состоит из одной части. Например, он не может состоять из двух (или более) в основном отдельных частей, соединенных только ребром или вершиной. Это означает, что ни один из следующих объектов не является истинным многогранником.

Рисунок 4: Эти объекты не являются многогранниками, потому что они состоят из двух отдельных частей, которые встречаются только на ребре (слева) или вершине (справа).

Что нам говорит формула?

Теперь мы готовы посмотреть, что формула Эйлера говорит нам о многогранниках. Посмотрите на многогранник, например куб или икосаэдр выше, посчитайте количество вершин, которые у него есть, и назовите это число V . У куба, например, 8 вершин, поэтому V = 8 . Затем посчитайте количество ребер многогранника и назовите это число E . У куба 12 ребер, поэтому в случае куб E = 12 .Наконец, посчитайте количество лиц и назовите его F . В случае с кубом F = 6 . Теперь формула Эйлера говорит нам, что

В — E + F = 2;

или, говоря словами: количество вершин минус количество ребер плюс количество граней равно двум.

В случае с кубом мы уже видели, что V = 8, E = 12 и F = 6 . Итак,

V — E + F = 8 — 12 + 6 = 14 — 12 = 2

, что и должно быть согласно формуле Эйлера.Если мы теперь посмотрим на икосаэдр, мы обнаружим, что V = 12, E = 30 и F = 20 . Сейчас,

V — E + F = 12-30 + 20 = 32-30 = 2, как мы и ожидали.

Формула Эйлера верна для куба и икосаэдра. Оказывается, довольно красиво, что это верно для почти для каждого многогранника . Единственные многогранники, для которых это не работает, — это те, в которых есть отверстия, как показано на рисунке ниже.

Рис. 5. В многограннике сквозное отверстие.Формула Эйлера в этом случае не выполняется.

Эти многогранники называются непростыми , в отличие от многогранников без отверстий, которые называются простыми . Непростые многогранники, возможно, не первое, что приходит в голову, но их много, и мы не можем избежать того факта, что формула Эйлера не работает ни с одним из них. Однако даже этот неловкий факт стал частью совершенно новой теории космоса. и форма.

Сила формулы Эйлера

Каждый раз, когда математики сталкиваются с инвариантным признаком, свойством, истинным для целого класса объектов, они знают, что натолкнулись на что-то хорошее.Они используют его, чтобы исследовать, какими свойствами может обладать отдельный объект, и для определения свойств, которые должны иметь все они. Формула Эйлера может сказать нам, например, что не существует простого многогранника с ровно семь граней. Вам не нужно садиться с картоном, ножницами и клеем, чтобы узнать это — формула — это все, что вам нужно. Аргумент, показывающий, что не существует семигранного многогранника, довольно прост, так что взгляните на него, если вам интересно.

Используя аналогичным образом формулу Эйлера, мы можем обнаружить, что не существует простого многогранника с десятью гранями и семнадцатью вершинами.Призма, показанная ниже, в основе которой лежит восьмиугольник, действительно имеет десять граней, но число вершин здесь шестнадцать. Пирамида, имеющая 9-гранное основание, также имеет десять граней, но имеет десять вершин. Но формула Эйлера говорит нам, что ни один простой многогранник не имеет ровно десять граней и семнадцать вершин.

Рисунок 6: Оба этих многогранника имеют десять граней, но ни у одного из них нет семнадцати вершин.

Именно такие соображения приводят нас к, вероятно, самому прекрасному открытию из всех.Он включает Платоновы тела , хорошо известный класс многогранников, названный в честь древнегреческого философа Платона, в трудах которого они впервые появились.

Рисунок 7: Платоновы тела. Слева направо мы видим тетраэдр с четырьмя гранями, куб с шестью гранями, октаэдр с восемью гранями, додекаэдр с двенадцатью гранями и икосаэдр с двадцатью гранями.

Хотя их симметричная элегантность сразу бросается в глаза, когда вы смотрите на приведенные выше примеры, на самом деле не так просто описать это словами.Оказывается, это описывается двумя особенностями. Во-первых, у Платоновых тел нет ни шипов, ни провалов, поэтому они имеют красивую округлую форму. Другими словами, это означает, что всякий раз, когда вы выбираете две точки в Платоновом теле и рисуете прямая линия между ними, этот кусок прямой линии будет полностью заключен в твердое тело — Платоново твердое тело — это то, что называется выпуклым . Вторая особенность, называемая регулярностью , заключается в том, что все грани твердого тела представляют собой правильные многоугольники с одинаковым количеством сторон и одинаковое количество ребер выходит из каждой вершины твердого тела.

Куб правильный, так как все его грани квадратные и из каждой вершины выходит ровно три ребра. Вы можете сами убедиться, что тетраэдр, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр тоже правильные.

Теперь вы можете задаться вопросом, сколько существует различных Платоновых Тел. С момента открытия куба и тетраэдра математиков настолько привлекла элегантность и симметрия Платоновых тел, что они искали больше и пытались перечислить их все.Здесь на помощь приходит формула Эйлера. Вы можете использовать ее, чтобы найти все возможности для числа граней, ребер и вершины правильного многогранника. Вы обнаружите, что на самом деле существует только пять различных правильных выпуклых многогранников! Это очень удивительно; в конце концов, количество различных правильных многоугольников не ограничено, так почему мы должны ожидать здесь ограничения? Пять Платоновых Тел — это тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр, показанные выше.

Доказательство

Рене Декарт,
(1596–1650)

Игра с различными простыми многогранниками покажет вам, что формула Эйлера всегда верна. Но если вы математик, этого недостаточно. Вам понадобится доказательство, водостойкий логический аргумент, который показывает, что это действительно работает для всех многогранников, включая те, которые у вас никогда не будет времени проверить.

Адриан-Мари Лежандр, (1752 — 1833)

Несмотря на название формулы, на самом деле не Эйлер придумал первое полное доказательство.Его история сложна, насчитывает 200 лет и включает в себя некоторых из величайших математиков, в том числе Рене Декарта (1596–1650), самого Эйлера, Адриана-Мари Лежандра (1752–1833) и Огюстена-Луи Коши (1789–1857).

Огюстен-Луи Коши, (1789 — 1857)

Интересно отметить, что все эти математики использовали очень разные подходы для доказательства формулы, каждый из которых поражал своей изобретательностью и проницательностью. Однако это доказательство Коши, и я хотел бы дать вам здесь представление.Его метод состоит из нескольких этапов и шагов. Первый этап включает построение так называемой сети .

Формирование сети

Представьте, что вы держите свой многогранник одной стороной вверх. Теперь представьте, что вы «удаляете» только эту грань, оставляя края и вершины вокруг нее позади, так что у вас есть открытая «коробка». Затем представьте, что вы можете держаться за коробку и отодвинуть края отсутствующей грани друг от друга. Если вы потянете их достаточно далеко, коробка расплющится и превратится в сеть точек и линий. в плоской плоскости.Приведенная ниже серия диаграмм иллюстрирует этот процесс применительно к кубу.

Рисунок 8: Превращение куба в сеть.

Как вы можете видеть на диаграмме выше, каждая грань многогранника становится областью сети, окруженной ребрами, и это то, что мы будем называть гранью сети. Это внутренние лица сети. Также существует внешняя грань , состоящая из области вне сети; это соответствует той грани, которую мы удалили из многогранника.Итак, у сети есть вершины, прямые края и многоугольные грани.

Рисунок 9: Сеть имеет грани, ребра и вершины.

При формировании сети вы не добавляли и не удаляли вершины, поэтому сеть имеет то же количество вершин, что и многогранник — V . Сеть также имеет такое же количество ребер — E — что и многогранник. Теперь о лицах; все грани многогранника, кроме «недостающей», оказываются «внутри» сети. Отсутствующее лицо стало внешним лицом, которое тянется по всей сети.Итак, включая внешнюю грань, в сети насчитывается F граней. Таким образом, вы можете использовать сеть , а не сам многогранник, чтобы найти значение V — E + F . Теперь мы продолжим преобразование нашей сети, чтобы упростить вычисление этого значения.

Преобразование сети

Есть три типа операций, которые мы можем выполнять в нашей сети. Мы представим три этапа с их участием.

Step 1 Мы начинаем с рассмотрения полигональных граней сети и спрашиваем: существует ли грань с более чем тремя сторонами? Если есть, мы рисуем диагональ, как показано на схеме ниже, разделяя лицо на две меньшие грани.

Рисунок 10: Разделение граней.

Мы повторяем это с выбранной гранью до тех пор, пока грань не будет разбита на треугольники.

Рис. 11: В итоге у нас остались треугольные грани.

Если есть еще одна грань с более чем тремя сторонами, мы используем Шаг 1 для этой грани, пока она тоже не будет разбита на треугольные грани. Таким образом, мы можем разбить каждую грань на треугольные грани и получить новую сеть, все грани которой треугольные. Мы проиллюстрируем этот процесс, показав, как преобразовать сеть, созданную из куба.

Рисунок 12: Вот что происходит с сетью куба, когда мы многократно выполняем Шаг 1.

Мы возвращаемся к шагу 1 и смотрим на сеть, которую мы получаем после выполнения шага 1 только один раз. Теперь, нарисовав диагональ, мы добавили одно ребро. Наше исходное лицо стало двумя лицами, поэтому мы добавили одно к количеству лиц. Мы не изменили количество вершин. Теперь сеть имеет V, вершины, E + 1 ребра и F + 1 граней. Так как же V — E + F изменилось после того, как мы выполнили шаг 1 один раз? Используя то, что мы знаем об изменениях в V , E и F , мы можем увидеть, что V — E + F превратилось в V — (E + 1) + (F + 1) .Теперь у нас

V — (E + 1) + (F + 1) = V — E — 1 + F + 1 = V — E + F.

Итак, V — E + F имеет , не изменилось после шага 1! Поскольку каждое использование шага 1 оставляет V — E + F неизменным, оно остается неизменным, когда мы достигаем нашей новой сети, состоящей полностью из треугольников! Влияние на V — E + F при преобразовании сети, созданной из куба, показано в таблице ниже.

Круглый В E F В — E + F
(а) 8 12 6 2
б 8 13 7 2
(в) 8 14 8 2
г 8 15 9 2
д) 8 16 10 2
(ж) 8 17 11 2

Теперь мы представляем шаги 2 и 3.Они будут удалять грани с внешней стороны сети, шаг за шагом уменьшая количество лиц. Как только мы начнем это делать, сеть, вероятно, больше не будет представлять собой многогранник, но важное свойство сети сохранится.

Шаг 2 Проверяем, есть ли в сети грань, которая имеет только одно ребро с внешней гранью. Если это так, мы удаляем эту грань, удаляя одно общее ребро. Область, которая была покрыта выбранной нами гранью, становится частью внешней грани, и сеть имеет новую границу.Это проиллюстрировано приведенной ниже схемой для сети, построенной из куба.

Рис. 13: Удаление граней с одной внешней кромкой.

Теперь возьмем V , E и F как числа вершин, ребер и граней, которые сеть, состоящая из треугольных граней, имела до выполнения шага 2. Теперь посмотрим, как число V — E + F изменился после выполнения шага 2 один раз. Мы удалили одно ребро, поэтому наша новая сеть имеет E — 1 ребра.Мы не трогали вершины в всего, так что у нас остается V вершин. Грань, которую мы использовали для шага 2, была объединена с внешней гранью, так что теперь у нас есть F — 1 граней. Итак, V — E + F стал V — (E — 1) + (F — 1) и

. V — (E — 1) + (F — 1) = V — E + 1 + F — 1 = V — E + F.

Итак, еще раз V — E + F не изменился.

Step 3 Проверяем, есть ли у нашей сети грань, у которой два ребра общие с внешней гранью.Если это так, мы удаляем эту грань, удаляя как эти общие ребра, так и их общую вершину, так что снова область, принадлежащая нашей выбранной грани, становится частью внешней грани. Это проиллюстрировано ниже в случае сети, сделанной из куба, после выполнения шага 2. дважды.

Рисунок 14: Удаление граней с двумя внешними кромками.

Как и раньше, теперь возьмем V , E и F как количество вершин, ребер и граней сети, с которой мы начинаем.Теперь, как шаг 3 повлиял на число V — E + F ? Мы удалили одну вершину — ту, которая находится между двумя ребрами — так что теперь имеется V — 1 вершины. Мы удалили два ребра, так что теперь есть E — 2 ребра. Наконец, наша выбранная грань слилась с внешней гранью, так что теперь у нас есть F — 1 граней. Итак, V — E + F стал (V — 1) — (E — 2) — (F — 1) и

. (V — 1) — (E -2) + (F — 1) = V — 1 — E + 2 + F — 1 = V — E + F.

Итак, еще раз V — E + F не изменился.

Секрет доказательства заключается в выполнении последовательности шагов 2 и 3 для получения очень простой сети. Напомним, что мы неоднократно использовали шаг 1 для создания сети только с треугольными гранями. Эта сеть определенно будет иметь грань, которая имеет ровно одно ребро с внешней гранью, поэтому мы берем эту грань и выполняем Шаг 2. Мы можем выполнить Шаг 2 на нескольких гранях, по одной, до тех пор, пока не появится появляется грань, имеющая два ребра с внешней гранью.Затем мы можем выполнить шаг 3, используя это лицо. Мы продолжаем выполнять шаги 2 и 3 и продолжаем удалять лица таким образом.

При этом необходимо соблюдать два важных правила. Во-первых, мы всегда должны выполнять Шаг 3, когда это возможно; если есть выбор между Шагом 2 и Шагом 3, мы всегда должны выбирать Шаг 3. В противном случае сеть может разбиться на отдельные части. Во-вторых, мы должны удалять лица только по одному. Если мы этого не сделаем, мы можем закончить тем, что края сами по себе будут торчать снаружи лицо, и у нас больше не будет нормальной сети.Чтобы проиллюстрировать процесс, мы выполним несколько шагов в сети куба, продолжая с того места, где мы оставили его на последней диаграмме.

Рисунок 15: Применение нашего алгоритма к сети куба.

Теперь мы можем задать себе один или два вопроса. Прекращается ли когда-нибудь этот процесс удаления лиц, и если да, то с чем мы остались? Небольшое размышление покажет вам, что он должен остановиться — мы можем удалить только конечное число граней и ребер — и что когда это произойдет, у нас останется один треугольник.Вы можете увидеть несколько диаграмм, описывающих весь процесс для сети, образованной из додекаэдра (напомним, что это было одно из Платоновых тел, представленных ранее).

Теперь посмотрите на количество вершин, ребер и граней, присутствующих в нашей окончательной сети — единственном треугольнике. У нас есть V = 3 , E = 3 и F = 2 — мы все равно должны включить внешнюю грань. Сейчас

V — E + F = 3 — 3 + 2 = 2.

На протяжении всего процесса, начиная с полного многогранника и кончая треугольником, значение V — E + F не менялось.Итак, если V — E + F = 2 для конечной сети, у нас также должно быть V — E + F = 2 для самого многогранника! Доказательство закончено!

Вне многогранников

Я закончу упоминанием некоторых следствий формулы Эйлера за пределами мира многогранников. Я начну с очень малого: компьютерных чипов. Компьютерные микросхемы — это интегральные схемы, состоящие из миллионов мельчайших компонентов, связанных миллионами проводящих дорожек. Они напоминают наши сети выше, , за исключением , что обычно невозможно разместить их в плоскости. без некоторых проводящих дорожек — краев — пересечения.Крестовины — плохая вещь в схемотехнике, поэтому их количество должно быть минимальным, но найти подходящее расположение — непростая задача. Формула многогранника Эйлера с ее информацией о сетях является важным ингредиентом в поиске решений.

Теперь перейдем к самому большому: нашей Вселенной. До сих пор космологи не пришли к единому мнению о его точной форме. Основным для их рассмотрения является топология , математическое исследование формы и пространства. В 19 веке математики обнаружили, что все поверхности в трехмерном пространстве по существу характеризуются количеством отверстий, которые у них есть: наши простые многогранники не имеют отверстий, т.е. пончик имеет одно отверстие и т. д.Формула Эйлера не работает для многогранников с дырками, но математики обнаружили захватывающее обобщение. Для любого многогранника V — E + F ровно в 2 минус 2 раза больше количества отверстий! Оказывается, это число, называемое характеристикой Эйлера , имеет решающее значение для изучения всех трехмерных поверхностей, а не только многогранников. Формулу Эйлера можно рассматривать как катализатор совершенно нового мышления о форме и пространстве.


Об авторе

Аби выросла на севере Англии и переехала на юг, чтобы изучать математику в Имперском колледже в Лондоне и Королеве Марии в Лондонском университете.Сейчас она преподает математику в Открытом университете. Главный математический интерес Аби — теория групп. При написании этой статьи ей очень понравилось исследовать тайны формулы Эйлера.

Первоначально опубликовано 1 июня 2007 г.

1.5.3: Сети и площадь поверхности

Давайте воспользуемся сетками, чтобы найти площадь поверхности многогранников.

Сводка

Сеть пирамиды имеет один многоугольник, который является основанием. Остальные многоугольники — треугольники.Здесь показаны пятиугольная пирамида и ее сетка.

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \)

Сеть призмы имеет две копии многоугольника, который является основанием. Остальные многоугольники — прямоугольники. Здесь показаны пятиугольная призма и ее сетка.

Рисунок \ (\ PageIndex {7} \)

В прямоугольной призме есть три пары параллельных и одинаковых прямоугольников. Основанием может быть любая пара этих одинаковых прямоугольников.

Рисунок \ (\ PageIndex {8} \)

Поскольку сеть показывает все грани многогранника, мы можем использовать ее, чтобы найти площадь его поверхности.Например, сетка прямоугольной призмы показывает три пары прямоугольников: 4 единицы на 2 единицы, 3 единицы на 2 единицы и 4 единицы на 3 единицы.

Рисунок \ (\ PageIndex {9} \)

Площадь поверхности прямоугольной призмы составляет 52 квадратных единицы, потому что \ (8 + 8 + 6 + 6 + 12 + 12 = 52 \).

Глоссарий

Определение: Основание (призмы или пирамиды)

Слово , основание может также относиться к грани многогранника.

У призмы два идентичных основания, расположенных параллельно.У пирамиды одно основание.

Призма или пирамида названы в честь формы их основания.

Рисунок \ (\ PageIndex {10} \): Рисунок слева помечен пятиугольной призмой. Сверху и внизу расположены два одинаковых пятиугольника. Каждая вершина пятиугольника соединена вертикальным сегментом с соответствующей вершиной других пятиугольников. Каждый пятиугольник заштрихован, и основание слова указывает на каждый из них. Фигура справа помечена шестиугольной пирамидой. Внизу находится шестиугольник, заштрихованный зеленым.Из точки над шестиугольником проходят 6 сегментов, каждый из которых соединен с вершиной шестиугольника.

Определение: лицо

Каждая плоская сторона многогранника называется гранью. Например, у куба 6 граней, и все они квадратные.

Определение: Net

Сеть — это двумерная фигура, которую можно сложить в многогранник.

Вот сетка для куба.

Рисунок \ (\ PageIndex {11} \)

Определение: Многогранник

Многогранник — это замкнутая трехмерная форма с плоскими сторонами.Когда у нас более одного многогранника, мы называем их многогранниками.

Вот несколько рисунков многогранников.

Рисунок \ (\ PageIndex {12} \)

Определение: призма

Призма — это тип многогранника, у которого есть два основания, которые являются идентичными копиями друг друга. Основания соединяются прямоугольниками или параллелограммами.

Вот несколько рисунков призм.

Рисунок \ (\ PageIndex {13} \)

Определение: Пирамида

Пирамида — это разновидность многогранника с одним основанием.Все остальные грани представляют собой треугольники, и все они пересекаются в одной вершине.

Вот несколько рисунков пирамид.

Рисунок \ (\ PageIndex {14} \)

Определение: Площадь поверхности

Площадь поверхности многогранника — это количество квадратных единиц, покрывающих все грани многогранника без зазоров и перекрытий.

Например, если каждая грань куба имеет площадь 9 см 2 , то площадь поверхности куба равна \ (6 \ cdot 9 \), или 54 см 2 .

1.5.2: Многогранники — Математика LibreTexts

Рассмотрим многогранники.

Сводка

Многогранник — трехмерная фигура, состоящая из граней. Каждая грань представляет собой закрашенный многоугольник и пересекает только одну другую грань на всем протяжении. Концы ребер пересекаются в точках, которые называются вершинами.

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \)

Многогранник всегда охватывает трехмерную область.

Множественное число многогранников есть многогранники.Вот несколько рисунков многогранников:

Рисунок \ (\ PageIndex {7} \)

Призма — это тип многогранника с двумя идентичными гранями, параллельными друг другу и называемыми основаниями . Основания соединены набором прямоугольников (иногда параллелограммов).

Призма названа в честь формы ее основания. Например, если основание представляет собой пятиугольник, его называют «пятиугольной призмой».

Рисунок \ (\ PageIndex {8} \)

Пирамида — это тип многогранника, у которого есть одна особая грань, называемая основанием.Все остальные грани представляют собой треугольники, которые пересекаются в одной вершине.

Пирамида названа в честь формы ее основания. Например, если основание — пятиугольник, то это называется «пятиугольная пирамида».

Рисунок \ (\ PageIndex {9} \)

Сеть — это двумерное представление многогранника. Он состоит из многоугольников, образующих грани многогранника.

Куб имеет 6 квадратных граней, поэтому его сеть состоит из шести квадратов, как показано здесь.

Рисунок \ (\ PageIndex {10} \)

Сеть можно вырезать и сложить, чтобы получилась модель многогранника.

В кубе каждая грань имеет общие ребра с четырьмя другими квадратами. В сети куба не все грани квадратов соединяются другим ребром. Однако, когда сетка сложена, каждое из этих открытых краев соединяется с другим краем.

Требуется практика, чтобы визуализировать конечный многогранник, просто глядя на сеть.

Глоссарий

Определение: Основание (призмы или пирамиды)

Слово , основание может также относиться к грани многогранника.

У призмы два идентичных основания, расположенных параллельно. У пирамиды одно основание.

Призма или пирамида названы в честь формы их основания.

Рисунок \ (\ PageIndex {11} \): Рисунок слева помечен пятиугольной призмой. Сверху и внизу расположены два одинаковых пятиугольника. Каждая вершина пятиугольника соединена вертикальным сегментом с соответствующей вершиной других пятиугольников. Каждый пятиугольник заштрихован, и основание слова указывает на каждый из них. Фигура справа помечена шестиугольной пирамидой.Внизу находится шестиугольник, заштрихованный зеленым. Из точки над шестиугольником проходят 6 сегментов, каждый из которых соединен с вершиной шестиугольника.

Определение: лицо

Каждая плоская сторона многогранника называется гранью. Например, у куба 6 граней, и все они квадратные.

Определение: Net

Сеть — это двумерная фигура, которую можно сложить в многогранник.

Вот сетка для куба.

Рисунок \ (\ PageIndex {12} \)

Определение: Многогранник

Многогранник — это замкнутая трехмерная форма с плоскими сторонами.Когда у нас более одного многогранника, мы называем их многогранниками.

Вот несколько рисунков многогранников.

Рисунок \ (\ PageIndex {13} \)

Определение: призма

Призма — это тип многогранника, у которого есть два основания, которые являются идентичными копиями друг друга. Основания соединяются прямоугольниками или параллелограммами.

Вот несколько рисунков призм.

Рисунок \ (\ PageIndex {14} \)

Определение: Пирамида

Пирамида — это разновидность многогранника с одним основанием.Все остальные грани представляют собой треугольники, и все они пересекаются в одной вершине.

Вот несколько рисунков пирамид.

Рисунок \ (\ PageIndex {15} \)

Определение: Площадь поверхности

Площадь поверхности многогранника — это количество квадратных единиц, покрывающих все грани многогранника без зазоров и перекрытий.

Например, если каждая грань куба имеет площадь 9 см 2 , то площадь поверхности куба равна \ (6 \ cdot 9 \), или 54 см 2 .

Многогранник | Encyclopedia.com


Многогранник — это замкнутое трехмерное твердое тело, полностью ограниченное по крайней мере четырьмя многоугольниками, два из которых не находятся в одной плоскости. Многоугольники — это плоские двухмерные фигуры (плоскости), ограниченные прямыми сторонами. Квадрат и треугольник — два примера многоугольников.

Количество сторон каждого многоугольника является основным отличительным признаком многогранников друг от друга. Некоторые общие многоугольники — это треугольник (с тремя сторонами), четырехугольник (с четырьмя сторонами), пятиугольник (с пятью сторонами), шестиугольник (с шестью сторонами), семиугольник (с семью сторонами) и восьмиугольник (с восемью сторонами). стороны).

Правильный многоугольник, как и квадрат, имеет равные внутренние углы и равные длины сторон. Многоугольник считается неправильным, если его внутренние углы не равны или если длины его сторон не равны.

Каждый многоугольник многогранника называется гранью. Прямая сторона, пересекающая две грани, называется ребром. Точка, в которой встречаются три или более ребра, называется вершиной. На рисунке ниже показаны эти особенности для куба, который представляет собой хорошо известный многогранник, состоящий из шести квадратных граней.

Связь между количеством вершин ( v ), граней ( f ) и ребер ( e ) задается уравнением v + f — e = 2. Например, куб имеет 8 вершин, 6 граней и 12 ребер, что дает 8 + 6 — 12 = 2. Значение v + f — e для многогранника называется эйлеровой характеристикой поверхности многогранника, названной в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера. (1707–1783). Используя эйлерову характеристику и зная две из трех переменных, можно вычислить третью переменную.

Платоновы и архимедовы тела

Существует множество групп многогранников, классифицируемых по определенным характеристикам — слишком много, чтобы обсуждать их здесь. Одна общая группа известна как Платоновы тела, названные так потому, что ее пять членов появились в трудах греческого философа Платона. Платоновы тела входят в большую группу, известную как правильные многогранники, в которой многоугольники каждого из них правильные и конгруэнтные (то есть все многоугольники идентичны по размеру и форме, а все ребра одинаковы по длине) и характеризуются одинаковыми количество полигонов, пересекающихся в каждой вершине.

На иллюстрации ниже изображены пять Платоновых тел (слева направо): тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

Тетраэдр состоит из четырех треугольных граней и представлен как {3, 3}, где первые 3 указывают, что каждая грань состоит из трех сторон, а вторые 3 указывают, что три грани встречаются в каждой вершине. Куб, иногда называемый шестигранником, имеет шесть квадратных граней и представлен как {4, 3}. Октаэдр состоит из восьми равносторонних треугольников и состоит из двух одинаковых квадратных пирамид, основанных на основании.Октаэдр представлен как {3, 4}. Додекаэдр состоит из пяти сторон каждой грани и трех пятиугольников, пересекающихся в каждой из двадцати вершин многогранника. Он представлен {5, 3}. Икосаэдр состоит из пяти равносторонних треугольников вокруг каждой вершины. Он содержит равносторонние равносторонние треугольники с двадцатью гранями и двенадцатью вершинами и описывается как {3, 5}.

Архимедовы тела. Другая распространенная группа многогранников — это архимедовы тела, в которых появляются два или более различных типа многоугольников.Каждая грань представляет собой правильный многоугольник, и вокруг каждой вершины появляются одинаковые многоугольники в той же последовательности. Например, усеченный додекаэдр состоит из последовательности пятиугольник-пятиугольник-треугольник.

Сетки

Многогранник можно «раскрыть» вдоль некоторых его краев, пока его поверхность не растянется, как коврик. Полученная карта, похожая на выкройку портнихи, называется сеткой.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск