Техническая информация тут | Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Таблицы численных значений. (Таблица квадратов, кубов, синусов ….) + Таблицы Брадиса / / Таблица синусов. Синусы углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений синусов углов. Поделиться:
|
Таблица синусов
Таблица синусовГлавная > с >
Таблица синусов для основных углов: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.
Угол х (в градусах) | 0° | 90° | 180° | 270° | 360° |
---|---|---|---|---|---|
Угол х (в радианах) | 0 | ||||
sin x | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 |
Радиан — угловая величина дуги, по длине равной радиусу или 57,295779513° градусов.
Градус (в геометрии) — 1/360-я часть окружности или 1/90-я часть прямого угла.
π = 3.141592653589793238462… (приблизительное значение числа Пи).
Таблица синусов для углов: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°.
Угол х (в градусах) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Угол х (в радианах) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2 x π/3 | 3 x π/4 | 5 x π/6 | π |
sin x | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 |
Таблица синусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°.
Таблица синусов — это посчитанные значения синусов от 0° до 360°.
Если не под рукой калькулятора — таблица синусов очень пригодится.
1° | sin= 0.0175 | 91° | sin= 0.9998 | 181° | sin= -0.0175 | 271° | sin= -0.9998 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
2° | sin= 0.0349 | 92° | sin= 0.9994 | 182° | sin= -0.0349 | 272° | sin= -0.9994 |
3° | sin= 0.0523 | 93° | sin= 0.9986 | 183° | sin= -0.0523 | 273° | sin= -0.9986 |
4° | sin= 0.0698 | 94° | sin= 0.9976 | 184° | sin= -0.0698 | 274° | sin= -0.9976 |
5° | sin= 0.0872 | 95° | sin= 0.9962 | 185° | sin= -0.0872 | 275° | sin= -0.9962 |
6° | sin= 0.1045 | 96° | sin= 0.9945 | 186° | sin= -0.1045 | 276° | sin= -0.9945 |
7° | sin= 0.1219 | 97° | sin= 0.9925 | 187° | sin= -0.1219 | 277° | sin= -0.9925 |
8° | sin= 0.1392 | 98° | sin= 0.9903 | 188° | sin= -0.1392 | 278° | sin= -0.9903 |
9° | sin= 0.1564 | 99° | sin= 0.9877 | 189° | sin= -0.1564 | 279° | sin= -0.9877 |
10° | sin= 0.1736 | 100° | sin= 0.9848 | 190° | sin= -0.1736 | 280° | sin= -0.9848 |
11° | sin= 0.1908 | 101° | sin= 0.9816 | 191° | sin= -0.1908 | 281° | sin= -0.9816 |
12° | sin= 0.2079 | 102° | sin= 0.9781 | 192° | sin= -0.2079 | 282° | sin= -0.9781 |
13° | sin= 0.2250 | 103° | sin= 0.9744 | 193° | sin= -0.2250 | 283° | sin= -0.9744 |
14° | sin= 0.2419 | 104° | sin= 0.9703 | 194° | sin= -0.2419 | 284° | sin= -0.9703 |
15° | sin= 0.2588 | 105° | sin= 0.9659 | 195° | sin= -0.2588 | 285° | sin= -0.9659 |
16° | sin= 0.2756 | 106° | sin= 0.9613 | 196° | sin= -0.2756 | 286° | sin= -0.9613 |
17° | sin= 0.2924 | 107° | sin= 0.9563 | 197° | sin= -0.2924 | 287° | sin= -0.9563 |
18° | sin= 0.3090 | 108° | sin= 0.9511 | 198° | sin= -0.3090 | 288° | sin= -0.9511 |
19° | sin= 0.3256 | 109° | sin= 0.9455 | 199° | sin= -0.3256 | 289° | sin= -0.9455 |
20° | sin= 0.3420 | 110° | sin= 0.9397 | 200° | sin= -0.3420 | 290° | sin= -0.9397 |
21° | sin= 0.3584 | 111° | sin= 0.9336 | 201° | sin= -0.3584 | 291° | sin= -0.9336 |
22° | sin= 0.3746 | 112° | sin= 0.9272 | 202° | sin= -0.3746 | 292° | sin= -0.9272 |
23° | sin= 0.3907 | 113° | sin= 0.9205 | 203° | sin= -0.3907 | 293° | sin= -0.9205 |
24° | sin= 0.4067 | 114° | sin= 0.9135 | 204° | sin= -0.4067 | 294° | sin= -0.9135 |
25° | sin= 0.4226 | 115° | sin= 0.9063 | 205° | sin= -0.4226 | 295° | sin= -0.9063 |
26° | sin= 0.4384 | 116° | sin= 0.8988 | 206° | sin= -0.4384 | 296° | sin= -0.8988 |
27° | sin= 0.4540 | 117° | sin= 0.8910 | 207° | sin= -0.4540 | 297° | sin= -0.8910 |
28° | sin= 0.4695 | 118° | sin= 0.8829 | 208° | sin= -0.4695 | 298° | sin= -0.8829 |
29° | sin= 0.4848 | 119° | sin= 0.8746 | 209° | sin= -0.4848 | 299° | sin= -0.8746 |
30° | sin= 0.5000 | 120° | sin= 0.8660 | 210° | sin= -0.5000 | 300° | sin= -0.8660 |
31° | sin= 0.5150 | 121° | sin= 0.8572 | 211° | sin= -0.5150 | 301° | sin= -0.8572 |
32° | sin= 0.5299 | 122° | sin= 0.8480 | 212° | sin= -0.5299 | 302° | sin= -0.8480 |
33° | sin= 0.5446 | 123° | sin= 0.8387 | 213° | sin= -0.5446 | 303° | sin= -0.8387 |
34° | sin= 0.5592 | 124° | sin= 0.8290 | 214° | sin= -0.5592 | 304° | sin= -0.8290 |
35° | sin= 0.5736 | 125° | sin= 0.8192 | 215° | sin= -0.5736 | 305° | sin= -0.8192 |
36° | sin= 0.5878 | 126° | sin= 0.8090 | 216° | sin= -0.5878 | 306° | sin= -0.8090 |
37° | sin= 0.6018 | 127° | sin= 0.7986 | 217° | sin= -0.6018 | 307° | sin= -0.7986 |
38° | sin= 0.6157 | 128° | sin= 0.7880 | 218° | sin= -0.6157 | 308° | sin= -0.7880 |
39° | sin= 0.6293 | 129° | sin= 0.7771 | 219° | sin= -0.6293 | 309° | sin= -0.7771 |
40° | sin= 0.6428 | 130° | sin= 0.7660 | 220° | sin= -0.6428 | 310° | sin= -0.7660 |
41° | sin= 0.6561 | 131° | sin= 0.7547 | 221° | sin= -0.6561 | 311° | sin= -0.7547 |
42° | sin= 0.6691 | 132° | sin= 0.7431 | 222° | sin= -0.6691 | 312° | sin= -0.7431 |
43° | sin= 0.6820 | 133° | sin= 0.7314 | 223° | sin= -0.6820 | 313° | sin= -0.7314 |
44° | sin= 0.6947 | 134° | sin= 0.7193 | 224° | sin= -0.6947 | 314° | sin= -0.7193 |
45° | sin= 0.7071 | 135° | sin= 0.7071 | 225° | sin= -0.7071 | 315° | sin= -0.7071 |
46° | sin= 0.7193 | 136° | sin= 0.6947 | 226° | sin= -0.7193 | 316° | sin= -0.6947 |
47° | sin= 0.7314 | 137° | sin= 0.6820 | 227° | sin= -0.7314 | 317° | sin= -0.6820 |
48° | sin= 0.7431 | 138° | sin= 0.6691 | 228° | sin= -0.7431 | 318° | sin= -0.6691 |
49° | sin= 0.7547 | 139° | sin= 0.6561 | 229° | sin= -0.7547 | 319° | sin= -0.6561 |
50° | sin= 0.7660 | 140° | sin= 0.6428 | 230° | sin= -0.7660 | 320° | sin= -0.6428 |
51° | sin= 0.7771 | 141° | sin= 0.6293 | 231° | sin= -0.7771 | 321° | sin= -0.6293 |
52° | sin= 0.7880 | 142° | sin= 0.6157 | 232° | sin= -0.7880 | 322° | sin= -0.6157 |
53° | sin= 0.7986 | 143° | sin= 0.6018 | 233° | sin= -0.7986 | 323° | sin= -0.6018 |
54° | sin= 0.8090 | 144° | sin= 0.5878 | 234° | sin= -0.8090 | 324° | sin= -0.5878 |
55° | sin= 0.8192 | 145° | sin= 0.5736 | 235° | sin= -0.8192 | 325° | sin= -0.5736 |
56° | sin= 0.8290 | 146° | sin= 0.5592 | 236° | sin= -0.8290 | 326° | sin= -0.5592 |
57° | sin= 0.8387 | 147° | sin= 0.5446 | 237° | sin= -0.8387 | 327° | sin= -0.5446 |
58° | sin= 0.8480 | 148° | sin= 0.5299 | 238° | sin= -0.8480 | 328° | sin= -0.5299 |
59° | sin= 0.8572 | 149° | sin= 0.5150 | 239° | sin= -0.8572 | 329° | sin= -0.5150 |
60° | sin= 0.8660 | 150° | sin= 0.5000 | 240° | sin= -0.8660 | 330° | sin= -0.5000 |
61° | sin= 0.8746 | 151° | sin= 0.4848 | 241° | sin= -0.8746 | 331° | sin= -0.4848 |
62° | sin= 0.8829 | 152° | sin= 0.4695 | 242° | sin= -0.8829 | 332° | sin= -0.4695 |
63° | sin= 0.8910 | 153° | sin= 0.4540 | 243° | sin= -0.8910 | 333° | sin= -0.4540 |
64° | sin= 0.8988 | 154° | sin= 0.4384 | 244° | sin= -0.8988 | 334° | sin= -0.4384 |
65° | sin= 0.9063 | 155° | sin= 0.4226 | 245° | sin= -0.9063 | 335° | sin= -0.4226 |
66° | sin= 0.9135 | 156° | sin= 0.4067 | 246° | sin= -0.9135 | 336° | sin= -0.4067 |
67° | sin= 0.9205 | 157° | sin= 0.3907 | 247° | sin= -0.9205 | 337° | sin= -0.3907 |
68° | sin= 0.9272 | 158° | sin= 0.3746 | 248° | sin= -0.9272 | 338° | sin= -0.3746 |
69° | sin= 0.9336 | 159° | sin= 0.3584 | 249° | sin= -0.9336 | 339° | sin= -0.3584 |
70° | sin= 0.9397 | 160° | sin= 0.3420 | 250° | sin= -0.9397 | 340° | sin= -0.3420 |
71° | sin= 0.9455 | 161° | sin= 0.3256 | 251° | sin= -0.9455 | 341° | sin= -0.3256 |
72° | sin= 0.9511 | 162° | sin= 0.3090 | 252° | sin= -0.9511 | 342° | sin= -0.3090 |
73° | sin= 0.9563 | 163° | sin= 0.2924 | 253° | sin= -0.9563 | 343° | sin= -0.2924 |
74° | sin= 0.9613 | 164° | sin= 0.2756 | 254° | sin= -0.9613 | 344° | sin= -0.2756 |
75° | sin= 0.9659 | 165° | sin= 0.2588 | 255° | sin= -0.9659 | 345° | sin= -0.2588 |
76° | sin= 0.9703 | 166° | sin= 0.2419 | 256° | sin= -0.9703 | 346° | sin= -0.2419 |
77° | sin= 0.9744 | 167° | sin= 0.2250 | 257° | sin= -0.9744 | 347° | sin= -0.2250 |
78° | sin= 0.9781 | 168° | sin= 0.2079 | 258° | sin= -0.9781 | 348° | sin= -0.2079 |
79° | sin= 0.9816 | 169° | sin= 0.1908 | 259° | sin= -0.9816 | 349° | sin= -0.1908 |
80° | sin= 0.9848 | 170° | sin= 0.1736 | 260° | sin= -0.9848 | 350° | sin= -0.1736 |
81° | sin= 0.9877 | 171° | sin= 0.1564 | 261° | sin= -0.9877 | 351° | sin= -0.1564 |
82° | sin= 0.9903 | 172° | sin= 0.1392 | 262° | sin= -0.9903 | 352° | sin= -0.1392 |
83° | sin= 0.9925 | 173° | sin= 0.1219 | 263° | sin= -0.9925 | 353° | sin= -0.1219 |
84° | sin= 0.9945 | 174° | sin= 0.1045 | 264° | sin= -0.9945 | 354° | sin= -0.1045 |
85° | sin= 0.9962 | 175° | sin= 0.0872 | 265° | sin= -0.9962 | 355° | sin= -0.0872 |
86° | sin= 0.9976 | 176° | sin= 0.0698 | 266° | sin= -0.9976 | 356° | sin= -0.0698 |
87° | sin= 0.9986 | 177° | sin= 0.0523 | 267° | sin= -0.9986 | 357° | sin= -0.0523 |
88° | sin= 0.9994 | 178° | sin= 0.0349 | 268° | sin= -0.9994 | 358° | sin= -0.0349 |
89° | sin= 0.9998 | 179° | sin= 0.0175 | 269° | sin= -0.9998 | 359° | sin= -0.0175 |
90° | sin= 1.0000 | 180° | sin= 0.0000 | 270° | sin= -1.0000 | 360° | sin= -0.0000 |
comments powered by HyperComments
Решите уравнение sin(sin(x))=1 (синус от (синус от (х)) равно 1)
Найду корень уравнения: sin(sin(x))=1
Решение
Вы ввели[TeX]
[pretty]
[text]
$$\sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = 1$$
Подробное решение[TeX]
Дано уравнение
$$\sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = 1$$
преобразуем
$$\sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} — 1 = 0$$
$$\sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} — 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = 1$$
Получим ответ: w = 1
делаем обратную замену
$$\sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = w$$
подставляем w:
[TeX]
[pretty]
[text]
/ /pi\\ / /pi\\ x1 = pi - re|asin|--|| - I*im|asin|--|| \ \2 // \ \2 //
$$x_{1} = — \Re{\left(\operatorname{asin}{\left (\frac{\pi}{2} \right )}\right)} + \pi — i \Im{\left(\operatorname{asin}{\left (\frac{\pi}{2} \right )}\right)}$$
/ /pi\\ / /pi\\ x2 = I*im|asin|--|| + re|asin|--|| \ \2 // \ \2 //
$$x_{2} = \Re{\left(\operatorname{asin}{\left (\frac{\pi}{2} \right )}\right)} + i \Im{\left(\operatorname{asin}{\left (\frac{\pi}{2} \right )}\right)}$$
Численный ответ[pretty]
[text]
x1 = 1.5707963267949 + 1.02322747854755*i
x2 = 1.5707963267949 - 1.02322747854755*i
Синус — Вікіпедія
Синус (лат. sinus — «пазуха») — тригонометрична функція кута. Визначення синусу гострого кута в контексті прямокутного трикутника: для заданого кута, є відношенням довжини катета, що є протилежним даному куту, до довжини найдовшої сторони трикутника (гіпотенузи).
У загальнішому випадку, визначення синуса (та інших тригонометричних функцій) може бути розширене до значення дійсного числа, що відноситься до довжини певного відрізка в одиничному колі. Більш складні сучасні визначення задають синус як нескінченний ряд або як розв’язок деяких диференційних рівнянь, що дозволяє їх розширення до довільних додатних і від’ємних значень і навіть до комплексних чисел.
Функція синуса зазвичай застосовується в моделюванні періодичних явищ, таких як звукові і світлові хвилі, позиції і швидкості гармонічних коливань, інтенсивності сонячного світла і довжини для, коливань середньої температури в період року.
Функція синус має зв’язок у своєму походженні до функцій джа і коті-джа, що використовувалися в період Гупта в Індійській астрономії (Ар’ябхатія, Сур’я Сіддханта), шляхом перекладу із санскриту на арабську мову, а потім з арабської на латинь[1]. Слово «синус» походить від неправильного перекладу на латину арабського джиба, яке є транслітерацією слова на санскриті, що означало половину хорди, джа-ардха.[2]Таблиця синусів містить числові значення функції синусу.
Визначення в контексті прямокутного трикутника[ред. | ред. код]
Для кута α, функція синусу задає відношення довжини протилежного до кута катету до довжини гіпотенузи, sinα=oppositehypotenuse{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}}При визначенні тригонометричних функцій для гострого кута α, беруть будь-який прямокутний трикутник який містить кут α; на відповідному малюнку, це геометричний кут A в трикутнику ABC, який має значення α. Три сторони трикутника мають назви:
- протилежний катет це сторона протилежна обраному куту, в даному випадку це сторона a.
- гіпотенуза це сторона протилежна прямому куту, в даному випадку це сторона h. Гіпотенуза завжди є найдовшою стороною прямокутного трикутника.
- прилеглий катет— сторона що залишилась, в даному випадку це сторона b. Це сторона, яка одночасно прилягає до вибраного кута (кут A) і до прямого кута трикутника.
У визначеному трикутнику, синус кута дорівнює довжині протилежного катету поділеному на довжину гіпотенузи (інші тригонометричні функції можуть визначатися аналогічним способом; наприклад, косинус кута є відношенням довжин прилеглого катету до гіпотенузи).
Як уже зазначалося, значення функції sin(α) залежить від вибраного прямокутного трикутника, який містить в собі кут величиною α. Однак, це не є важливим: оскільки всі такі трикутники є подібними, і співвідношення сторін буде однакове в усіх таких трикутниках.
В контексті одиничного кола[ред. | ред. код]
Ілюстрація одиничного кола. Радіус якого дорівнює 1. Змінна t задає значення Кута.В тригонометрії, одиничне коло це коло з радіусом один і з центром в початку координат (0, 0) декартової системи координат.
Нехай існує довільна пряма через початок координат, яка утворює кут θ із додатною частиною осі x, і перетинає одиничне коло. x— і y-є координатами точки перетину прямої і кола, які дорівнюють cos θ і sin(θ), відповідно. Відстань від точки до початку координат завжди дорівнює 1.
На відміну від визначення в контексті прямокутного трикутника або кута нахилу, використовуючи одиничне коло значення кута можуть бути розширені до повного набору дійсних аргументів. В такому випадку функція синуса є періодичною.
Одиничне коло є в основі принципу побудови координатного транспортиру. При безперервному обертанні кута навколо своєї осі на 360 градусів можна бачити як координата транспортира зміщується по осі Y від -1 до 1. На осі Y в одиничному колі розміщені значення функції синуса.
Анімація показує як функція синусу (червона) y=sin(θ){\displaystyle y=\sin(\theta )} із значень y-координати (червона точка), що змінюється при окреслені точкою одиничного кола (зелена), і значення кута θ задаються радіанах.Точні тотожності (застосовуються до радіан): Застосовуються до всіх значень кута θ{\displaystyle \theta }.
- sin(θ)=cos(π2−θ)=1csc(θ){\displaystyle \sin(\theta )=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\csc(\theta )}}}
Обернені[ред. | ред. код]
оберненим числом для синусу є косеканс, тобто обернене число для sin(A) записується як csc(A), або cosec(A). Косеканс задає відношення довжини гіпотенузу до довжини протилежного катету:
- csc(A)=1sin(A)=hypotenuseopposite=ha.{\displaystyle \csc(A)={\frac {1}{\sin(A)}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {opposite}}}={\frac {h}{a}}.}
Зворотні функції[ред. | ред. код]
Головні значення функції arcsin(x) зображені на декартовій площині. Arcsin є зворотньою функцією від синусу.Зворотньою функцією для синусу є арксинус (позначається як arcsin або asin) або обернений синус (sin-1). Оскільки синус не має ін’єктивного відображення, арксинус не є точною зворотньою функцією, а є частковою зворотньою функцією. Наприклад, sin(0) = 0, але також і sin(π) = 0, sin(2π) = 0 і так далі. Звідси випливає, що функція арксинус багатозначна: arcsin(0) = 0, але також і arcsin(0) = π, arcsin(0) = 2π, і т. д.. Коли необхідно мати одне визначене значення, функція може бути обмежена до її головної області значень. Виходячи з цього обмеження, для кожного значення x в усій області значень, вираз arcsin(x) прийматиме лише одне значення, яке називається його головним значенням.
- θ=arcsin(oppositehypotenuse)=sin−1(ah).{\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\sin ^{-1}\left({\frac {a}{h}}\right).}
k є деяким цілим значенням:
- sin(y)=x ⇔ y=arcsinx+2πk, or y=π−arcsin(x)+2πk{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(y)=x\ \Leftrightarrow \ &y=\arcsin x+2\pi k,{\text{ or }}\\&y=\pi -\arcsin(x)+2\pi k\end{aligned}}}
або у вигляді одного рівняння:
- sin(y)=x ⇔ y=(−1)karcsin(x)+πk{\displaystyle \sin(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k}
Arcsin задовольняє рівнянням:
- sin(arcsin(x))=x{\displaystyle \sin(\arcsin(x))=x\!}
і
- arcsin(sin(θ))=θfor −π2≤θ≤π2.{\displaystyle \arcsin(\sin(\theta ))=\theta \quad {\text{for }}-{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}.}
Обчислення[ред. | ред. код]
Для функції синус:
- f(x)=sin(x){\displaystyle f(x)=\sin(x)\,}
Похідною є:
- f′(x)=cos(x){\displaystyle f'(x)=\cos(x)\,}
Первісною функції є:
- ∫f(x)dx=−cosx+C{\displaystyle \int f(x)\,dx=-\cos x+C}
C позначає Сталу інтегрування.
Зв’язок із іншими тригонометричними функціями[ред. | ред. код]
Функції синусу і косинусу можуть бути зв’язані між собою різними виразами. Ці дві функції відрізняються фазою в 90°: sin(π/2−x){\displaystyle \sin(\pi /2-x)} = cos(x){\displaystyle \cos(x)} для всіх кутів x. А також, похідною функції sin(x) є cos(x).Будь-яку тригонометричну функцію можна виразити через інші тригонометричні функції (з урахуванням знаків плюс та мінус у різних чвертях або за допомогою знакової функції (sgn)).
Через інші тригонометричні функції синус можна виразити наступним чином:
Всі рівняння, в яких використовуються знаки плюс/мінус (±), мають додатні значення для кутів в першій чверті.
Основний зв’язок між синусом і косинусом може виражатися у вигляді Тригонометричної тотожності Піфагора:
- cos2(θ)+sin2(θ)=1{\displaystyle \cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )=1\!}
де sin2x означає (sin(x))2.
Властивості пов’язані із чвертями[ред. | ред. код]
Чотири чверті Декартової системи координат.В рамках чотирьох чвертей функція синусу має наступні властивості.
Точки на межах чвертей. k є цілим числом.
Для аргументів, яких нема в цій таблиці, значення задані із урахуванням, що функція синусу є періодичною із періодом 360° (або 2π радіан): sin(α+360∘)=sin(α){\displaystyle \sin(\alpha +360^{\circ })=\sin(\alpha )}, або sin(α+180∘)=−sin(α){\displaystyle \sin(\alpha +180^{\circ })=-\sin(\alpha )}. А також