| 1 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 2 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 3 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
| 4 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
| 5 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
| 6 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
| 8 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 9 | Найти точное значение | sin(45 град. ) |
|
| 10 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
| 11 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
| 14 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
| 16 | Найти точное значение | tan(60 град. ) |
|
| 17 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
| 19 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 20 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 град. ) |
|
| 25 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
| 27 | Найти точное значение | sin(0) | |
| 28 | Найти точное значение | sin(120) | |
| 29 | Найти точное значение | cos(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
| 31 | Найти точное значение | tan(30) | |
| 32 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
| 33 | Найти точное значение | cos(45) | |
| 34 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 36 | Найти точное значение | cot(30 град. ) |
|
| 37 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | arctan(0) | |
| 39 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
| 40 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
| 42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 44 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 45 | Найти точное значение | sin(300) | |
| 46 | Найти точное значение | cos(30) | |
| 47 | Найти точное значение | cos(60) | |
| 48 | Найти точное значение | cos(0) | |
| 49 | Найти точное значение | cos(135) | |
| 50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 51 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 52 | Найти точное значение | sec(60 град. ) |
|
| 53 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
| 54 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
| 55 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
| 56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
| 58 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
| 59 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
| 60 | Найти точное значение | sin(135 град. ) |
|
| 61 | Найти точное значение | sin(150) | |
| 62 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
| 63 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
| 64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
| 65 | Найти точное значение | sin(225) | |
| 66 | Найти точное значение | sin(240) | |
| 67 | Найти точное значение | cos(150 град. ) |
|
| 68 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 69 | Вычислить | sin(30 град. ) | |
| 70 | Найти точное значение | sec(0) | |
| 71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 72 | Найти точное значение | csc(30) | |
| 73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень 2)/2) | |
| 74 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
| 75 | Найти точное значение | tan(0) | |
| 76 | Вычислить | sin(60 град. ) |
|
| 77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень 3)/3) | |
| 78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 80 | Найти точное значение | ||
| 81 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 82 | Найти точное значение | csc(45) | |
| 83 | Упростить | arctan( квадратный корень 3) | |
| 84 | Найти точное значение | sin(135) | |
| 85 | Найти точное значение | sin(105) | |
| 86 | Найти точное значение | sin(150 град. ) |
|
| 87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
| 88 | Найти точное значение | tan((2pi)/3) | |
| 89 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/4 | |
| 90 | Найти точное значение | sin(pi/2) | |
| 91 | Найти точное значение | sec(45) | |
| 92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
| 93 | Найти точное значение | cos((7pi)/6) | |
| 94 | Найти точное значение | arcsin(0) | |
| 95 | Найти точное значение | sin(120 град. ) |
|
| 96 | Найти точное значение | tan((7pi)/6) | |
| 97 | Найти точное значение | cos(270) | |
| 98 | Найти точное значение | sin((7pi)/6) | |
| 99 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень 2)/2) | |
| 100 | Преобразовать из градусов в радианы | 88 град. |
sinx>a
Простейшие тригонометрические неравенства вида sin x>a — основа для решения более сложных тригонометрических неравенств.
Рассмотрим решение простейших тригонометрических неравенств вида sin x>a на единичной окружности.
1) при 0<a<1
С помощью ассоциации косинус-колобок (оба начинаются с ко-, оба «кругленькие»), вспоминаем, что косинус — это x, соответственно, синус — y. Отсюда строим график y=a — прямую, параллельную оси ox. Если неравенство строгое, точки пересечения единичной окружности и прямой y=a выколотые, если неравенство нестрогое — точки закрашиваем (как легко запомнить, когда точка выколотая, когда — закрашенная, смотрите здесь). Наибольшие затруднение при решении простейших тригонометрических неравенств вызывает правильное нахождение точек пересечения единичной окружности и прямой y=a.
Первую из точек найти несложно — это arcsin a. Определяем путь, по которому из первой точки идем ко второй. На прямой y=a sinx=a, сверху, над прямой, sin x>a, а ниже, под прямой, sin x<a. Поскольку мы решаем неравенство sinx>a, нам нужен верхний путь. Таким образом, от первой точки, arcsin a, ко второй, мы идем против часовой стрелки, то есть в сторону увеличения угла.
Мы не доходим до п. На сколько не доходим? На arcsin a. Раз не дошли до п, то вторая точка меньше п, значит, чтобы ее найти, надо из п вычесть arcsina. Решением неравенства sin x>a в этом случае является промежуток от arcsin a до п-arcsin a. Поскольку период синуса равен 2п, чтобы учесть все решения неравенства (а таких промежутков — бесконечное множество), к каждому из концов интервала прибавляем 2пn, где n — целое число (n принадлежит Z).
2) a=0, то есть sin x>0
В этом случае первая точка промежутка — 0, вторая — п. К обоим концам промежутка с учетом периода синуса прибавляем 2пn.
3) при a=-1, то есть sinx>-1
В этом случае первая точка -п/2, а чтобы попасть во вторую, обходим всю окружность против часовой стрелки. Попадаем в точку -п/2+2п=3п/2. Чтобы учесть все интервалы, являющиеся решением данного неравенства, к обоим концам прибавляем 2пn.
4) sinx>-a, при 0<a<1
Первая точка — как обычно, arcsin(-a)=-arcsina. Чтобы попасть во вторую точку, идем верхним путем, то есть в сторону увеличения угла.
На этот раз мы за п переходим. На сколько переходим? На arcsin x. Значит, вторая точка — это п+arcsin x. Почему нет минуса? Потому что минус в записи -arcsin a обозначает движение по часовой стрелки, а мы шли против. И в заключении, к каждому концу интервала прибавляем 2пn.
5) sinx>a, если а>1.
Единичная окружность лежит целиком под прямой y=a. Нет ни одной точки выше прямой. Значит, решений нет.
6) sinx>-a, где a>1.
В этом случае вся единичная окружность целиком лежит над прямой y=a. Поэтому любая точка удовлетворяет условию sinx>a. Значит, x — любое число.
И здесь x — любое число, поскольку точки -п/2+2пn входят в решение, в отличие от строгого неравенства sinx>-1. Ничего исключать не надо.
Единственной точкой на окружности, удовлетворяющей данному условию, является п/2. С учетом периода синуса, решением данного неравенства является множество точек x=п/2+2пn.
Например, решить неравенство sinx>-1/2:
Функция y = sin x, свойства и график синуса с примерами
п.1. Развертка ординаты движения точки по числовой окружности в функцию от угла
При движении точки по числовой окружности её ордината является синусом соответствующего угла (см. §2 данного справочника).
Рассмотрим, как изменяется синус, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=sinx на этом отрезке.
Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривая продолжится вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x<0, кривая продолжится влево.
В результате получаем график y=sinx для любого \(x\in\mathbb{R}\).
График y=sinx называют синусоидой.
Часть синусоиды для 0≤x≤2π называют волной синусоиды.
Часть синусоиды для 0≤x≤π называют полуволной или аркой синусоиды.
п.2. Свойства функции
y=sinx1. Область определения \(x\in\mathbb{R}\) — множество действительных чисел.
2. Функция ограничена сверху и снизу
$$ -1\leq sinx\leq 1 $$Область значений \(y\in[-1;1]\)
3. Функция нечётная
$$ sin(-x)=-sinx $$4. Функция периодическая с периодом 2π
$$ sin(x+2\pi k)=sinx $$5. Максимальные значения \(y_{max}=1\) достигаются в точках
$$ x=\frac\pi2+2\pi k $$Минимальные значения \(y_{min}=-1\) достигаются в точках
$$ x=-\frac\pi2+2\pi k $$Нули функции \(y_{0}=sinx_0=0\) достигаются в точках \(x_0=\pi k\)
6. Функция возрастает на отрезках
$$ -\frac\pi2+2\pi k\leq x\leq\frac\pi2+2\pi k $$Функция убывает на отрезках
$$ \frac\pi2+2\pi k\leq x\leq\frac{3\pi}{2}+2\pi k $$7.
2}{4}\right)\) (см. §29 справочника для 8 класса)
Два корня: \(x_1=0,\ \ x_2=\pi\)
Пример 3. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=sinx,\ \ y=-sinx,\ \ y=2sinx,\ \ y=sinx+2 $$
\(y=-sinx\) – отражение исходной функции \(y=sinx\) относительно оси OX. Область значений \(y\in[-1;1]\).
\(y=2sinx\) – исходная функция растягивается в 2 раза по оси OY. Область значений \(y\in[-2;2]\).
\(y=sinx+2\) — исходная функция поднимается вверх на 2. Область значений \(y\in[1;3]\).
Пример 4. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=sinx,\ \ y=sin2x,\ \ y=sin\frac{x}{2} $$
Амплитуда колебаний у всех трёх функций одинакова, область значений \(y\in[-1;1]\).
Множитель под синусом изменяет период колебаний.
\(y=sin2x\) — период уменьшается в 2 раза, полная волна укладывается в отрезок \(0\leq x\leq \pi\).
\(y=sin\frac{x}{2}\) — период увеличивается в 2 раза, полная волна укладывается в отрезок \(0\leq x\leq 4\pi\).
Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник |
Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Тригонометрические функции, формулы и графики. sin, cos, tg, ctg….Значения тригонометрических функций. Формулы приведения тригонометрических функций. Тригонометрические тождества. / / Синус и косинус — тригонометрические функции y=sin(x), y=cos(x). Свойства, область определения, значения, четность, периоды, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание, убывание, минимумы, максимумы, основные значения, знаки, формулы приведения
Поделиться:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Свойства, область определения, область значения, четность, периоды, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание, убывание, минимумы, максимумы, основные значения, знаки по четвертям, формулы приведения. 
Введите свой запрос:
Решение тригонометрических уравнений с помощью подстановок: sinx+cosx=t, sinx-cosx=t, tgx+ctgx=t, tgx-ctgx=t
Цели:
1). Образовательные:
- Определение уровня овладения знаниями, повторение решения уравнений, решаемые с помощью вспомогательных аргументов.
- Коррекция знаний, умений, навыков.
- Организовать деятельность, направленную на выполнение постепенно усложняющихся заданий. Рассмотреть уравнения, решаемые с помощью подстановок.
- Учащиеся должны творчески применять знания, учится переносить в новые ситуации, применять в данной теме ранее полученные знания.
2) Развивающие:
- Развивать у учащихся способность самостоятельно применять полученные знания в нестандартных ситуациях.
- Развивать у учащихся творческий подход к
предложенным заданиям.
- Развивать у учащихся переносить приобретённые знания в новые условия.
3) Воспитательные задачи:
- Формирование самостоятельности, мыслительной активности.
Ход урока
- Повторение. Рассмотрение свойств тригонометрических функций, применяемых при решении уравнений.
- Объяснение нового материала. Рассмотрение уравнений, которые решаются с помощью замены.
- Закрепление нового материала.
- Самостоятельная работа.
- Домашнее задание.
Вместе с учащимися разбираются свойства:
1) Выразить sinx cosx, если известно, что sinx +cosx= 3/4.
(sinx +cosx)2 = sin2x +cos2x +2 sinx cosx.
2 sinx cosx = 9/16 — 1= — 7/ 16, следовательно sinx cosx = -7/32.
2) Выразить tg2x+ctg2x, если tgx+ctgx=3.
9= (tgx+ctgx)2= tg2x+ctg2x + 2tgx ctgx= tg2x+ctg2x
+ 2.
Следовательно tg2x+ctg2x = 7.
Вместе с учащимися разбирается уравнение, в котором используется одно из выведенных свойств.
№ 1. Используем эту подстановку при решении уравнения sin2x – 4 sin x = 4 + 4 cos x.
Решение:
4(sin x + cos x) – 2 sin x cos x +4 = 0.
Введем обозначение: sin x + cos x = t , тогда 2sin x cos x = t2 -1.
Получаем :
4 t – ( t2 — 1) + 4 = 0,
t2 — 4 t – 5 = 0.
Решая квадратное уравнение, получаем t1 = 5, t2 = -1.
1) sin x + cos x = 5
Нет решения, так как ¦ sin x¦ 1 , ¦cos x¦ 1.
2) sin x + cos x = — 1
Применим способ введения вспомогательной переменной.
Разделим почленно данное уравнение на .
Получаем:
cos / 4 * sin x + sin / 4 * cos x = — / 2;
sin (x + / 4) = — / 2.
Решая тригонометрическое уравнение, получаем:
x + / 4 = — / 4 + 2n или x + / 4= 5/ 4 + 2 n, где n Z.
Ответ: /2 + 2 n; + 2n, где n Z.
Закрепление уравнений данного типа (у доски — учащийся):
№ 2. 2 cos x – sin 2x = 2 +2 sinx.
Решение:
2 (sinx – cosx) + 2 sinx + 2 = 0
Введем обозначение: sin x — cos x = t, тогда 2sin x cos x = 1 — t2.
Получаем:
2t + 1 — t2 + 2 = 0;
t2 — 2t – 3 = 0.
Решая квадратное уравнение, получаем: t1= 3 , t2 = -1.
1) sin x + cos x = 3. Нет решения, так как ¦ sin x¦ 1 , ¦cos x¦ 1.
2) sin x — cos x = — 1.
Применим способ введения вспомогательной переменной.
Разделим почленно данное уравнение на .
cos / 4 * sin x — sin / 4 * cos x = — / 2.
sin ( x — / 4 ) = — / 2.
Решая тригонометрическое уравнение, получаем :
x — / 4 = — / 4 + 2 n или x — / 4 = 5 / 4 + 2 n , где n Z.
Ответ: 2 n ; 3 / 2 + 2 n , где n Z.
№ 3. sin 2x + 3(sin x-cos x ) =5.
Решение.
Уравнение решается самостоятельно с последующей проверкой.
Применяя данную подстановку, получаем: t2 — 3t +4 = 0.
t1 = 2 , t2 =
sin x + cos x =2.
Нет решения, так как ¦ sin x¦ 1, ¦cos x¦ 1.
2) sin x — cos x = .
Применим способ введения вспомогательной переменной .
Разделим почленно данное уравнение на .
Получаем:
sin ( x — / 4 ) = 1.
x — / 4 = / 2 + 2 n или x = 3/ 4 + 2 n, где n Z .
Ответ: 3/ 4 + 2 n, где n Z .
№ 4. Применим еще одну подстановку.
4tg2x+ctg2x +6tgx-3 ctg x-8 =0.
Решение:
2tg x- ctg x = t.
4tg2x+ctg2x – 4 = t2, получаем:
t2 + 3t – 4 = 0
t1 = -4 , t2 = 1
2tg x- ctg x = — 4.
2tg x- 1/tg x = — 4
2 tg2x+ 4tg x — 1 =0.
t1 = (-2 + )/2,
t 2 = (-2 — )/2.
х= arc tg (-2 + )/2 + n или х= arc tg (-2 — )/2 + n , где n Z .
Ответ: arctg (-2 + )/2 + n , arctg (-2 — )/2 + n , где n Z .
№ 5. Закрепление темы:
tg2x+ctg2x -3(tgx+ ctg x) + 4=0.
Решение.
Введем подстановку:
tg x + ctg x = t, получаем:
t2 + 3t + 2 = 0.
Решая квадратное уравнение , получаем: t1 = — 2 , t2 = — 1.
tg x + ctg x = -2;
tg2x- 2tg x + 1 =0,
tg x =1
x = /4 + n, где n Z .
tg x + ctg x = -1 не имеет решения.
Ответ: / 4 + n, где n Z .
№ 6.Решим уравнение (учащиеся решают самостоятельно с последующей проверкой):
2(tgx+ ctg x)= (tg2x+ctg2x) — 2=0.
Решение.
Проверка по этапам:
Квадратное уравнение относительно t: t2 — 2 t = 0.
Корни уравнения: t=0 или t= 2/,
Ответ: n; arc tg(3)/2 + n, где n Z .
Далее рассматриваются более сложные уравнения,
содержащие модули.
¦ sin x + cos x¦ = 1+2 sin x.
Решение.
Применяя подстановку: sin x + cos x = t, получаем: ¦ t¦= t2.
Решая уравнения с модулем, получаем:
t = 0 или t= 1 , t = -1.
Далее решаем уже рассмотренные уравнения:
sin x + cos x = 0,
sin x + cos x =1,
sin x + cos x =-1.
Объединяя решения, получаем ответ:
Ответ: — /4+ n ; /2 n, где n Z .
Далее предлагается учащимся уравнения для самостоятельной проработки:
1) 3 (sin x + cos x ) = 2 sin2 x,
2) 1 + sin2 x = sin x + cos x,
3) sin x + cos x — sin 2x + cos2 x – cos3 x = 1,
4) sin2 x — 5sin x + 5 cos x + 5 = 0,
5) tgx+ ctg x = 3 — sin2 x,
6) 2(sin2 x – cos2 x) = tgx+ ctg x.
Решение данных уравнений разбирается на следующих занятиях.
грех(х) | функция синуса
sin(x), синусоидальная функция.
Определение синуса
В прямоугольном треугольнике ABC синус α, sin(α) определяется как отношение между стороной, противоположной углу α, и сторона, противоположная прямому углу (гипотенуза):
sin α = a / c
Пример
и = 3 дюйма
с = 5 дюймов
sin α = a / c = 3 / 5 = 0.
6
График синуса
Подлежит уточнению
Правила синусов
| Имя правила | Правило |
|---|---|
| Симметрия | sin(- θ ) = -sin θ |
| Симметрия | sin(90° — θ ) = cos θ |
| Пифагорейское тождество | грех 2 α + cos 2 α = 1 |
| sin θ = cos θ × тангенс θ | |
| sin θ = 1 / csc θ | |
| Двойной уголок | sin 2 θ = 2 sin θ cos θ |
| Сумма углов | sin( α+β ) = sin α cos β + cos α sin β |
| Разница углов | sin( α-β ) = sin α cos β — cos α sin β |
| Сумма к продукту | sin α + sin β = 2 sin [( α+β )/2] cos [( α — β )/2] |
| Отличие от продукта | sin α — sin β = 2 sin [( α-β )/2] cos [( α+β )/2] |
| Закон синусов | a / sin α = b / sin β = c / sin γ |
| Производная | sin’ x = cos x |
| Интеграл | ∫ sin x d x = — cos x + C |
| Формула Эйлера | sin x = ( e ix — e — ix ) / 2 i |
Функция обратного синуса
Арксинус x определяется как функция обратного синуса x, когда -1≤x≤1.
Когда синус y равен x:
грех у = х
Тогда арксинус x равен обратному синусу x, который равен y:
arcsin x = sin -1 ( x ) = y
См.: Функция Arcsin
Таблица синусов
| x (°) |
x (рад) |
грех х |
|---|---|---|
| -90° | -π/2 | -1 |
| -60° | -π/3 | -√3/2 |
| -45° | -π/4 | -√2/2 |
| -30° | -π/6 | -1/2 |
| 0° | 0 | 0 |
| 30° | №/6 | 1/2 |
| 45° | №/4 | √2/2 |
| 60° | №/3 | √3/2 |
| 90° | №/2 | 1 |
См. также
тригонометрических тождеств | Пурпурная математика
Пурпурная математика
В математике «тождество» — это уравнение, которое всегда истинно.
Они могут быть «тривиально» истинными, например, « x = x », или полезными истинами, такими как теорема Пифагора: прямоугольные треугольники. Существует множество тригонометрических тождеств, но ниже приведены те, которые вы, скорее всего, увидите и будете использовать.
Основной и пифагорейский, сумма углов и разность, двойной угол, полуугол, сумма, произведение
Справка по математике.ком
Нужен индивидуальный курс математики?
К12 | Колледж | Подготовка к тесту
Основные и пифагорейские тождества
Обратите внимание, что триггерный коэффициент «со-(что-то)» всегда является обратным коэффициенту некоторого «не-со» отношения.
Вы можете использовать этот факт, чтобы понять, что косеканс идет с синусом, а секанс идет с косинусом.
Следующие (особенно первое из трех ниже) называются «пифагорейскими» тождествами.
sin 2 ( t ) + cos 2 ( t ) = 1
тан 2 ( t ) + 1 = сек 2 ( t )
1 + детская кроватка 2 ( t ) = csc 2 ( t )
Обратите внимание, что три тождества прежде всего включают в себя квадрат и число 1.Вы можете ясно увидеть соотношение Пифагора и Терома, если рассмотрите единичный круг, где угол равен t , «противоположная» сторона равна sin( t ) = y , «прилегающая» сторона равна cos( t ) = x , а гипотенуза равна 1,
У нас есть дополнительные тождества, связанные с функциональным состоянием триггерных соотношений:
sin( –t ) = – sin( t )
cos( –t ) = cos( t )
тангенс( –t ) = – тангенс( t )
Обратите внимание, в частности, что синус и тангенс являются нечетными функциями, симметричными относительно начала координат, а косинус является четной функцией, симметричной относительно оси y .
Тот факт, что вы можете вынести знак «минус» аргумента за пределы (для синуса и тангенса) или полностью исключить его (для косинуса), может быть полезен при работе со сложными выражениями.
Тождества суммы углов и разности
sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)
sin(α – β) = sin(α) cos(β) – cos(α) sin(β)
cos(α + β) = cos(α) cos(β) – sin(α) sin(β)
cos(α – β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β)
Кстати, в приведенных выше тождествах углы обозначены греческими буквами.Буква а-типа «α» называется «альфа», что произносится как «AL-fuh». Буква b-типа, «β», называется «бета», что произносится как «БАЙ-тух».
Двухугольные удостоверения
sin(2 x ) = 2 sin( x ) cos( x )
COS (2 x ) = cos 2 ( x ) — sin 2 ( x ) = 1 — 2 sin 2 ( x ) = 2 cos 2 ( x ) – 1
Полуугольные тождества
Приведенные выше тождества можно переформулировать, возведя каждую сторону в квадрат и удвоив все меры углов.
Результаты следующие:
sin 2 ( x ) = ½[1 – cos(2 x )]
cos 2 ( x ) = ½[1 + cos(2 x )]
Филиал
Сумма идентификаторов
Идентификаторы продуктов
Вы будете использовать все или почти все эти тождества для доказательства других тригонометрических тождеств и для решения тригонометрических уравнений.Однако, если вы собираетесь изучать исчисление, обратите особое внимание на переформулированные тождества половин углов синусов и косинусов, потому что вы будете использовать их в интегральном исчислении.
URL: https://www.purplemath.com/modules/idents.htm
Производная sin x — Подход к исчислению
12
Производная sin x
Производная от cos x
Производное загара x
Производная от детской кроватки x
Производная сек x
Производная csc x
ПРОИЗВОДНАЯ от sin x равна cos x .Чтобы доказать это, мы будем использовать следующее тождество:
.sin A − sin B = 2 cos ½( A + B ) sin ½( A − B ).
(Тема 20 Тригонометрии.)
Проблема 1. Используйте этот идентификатор, чтобы показать:
| sin ( x + ч ) − sin x | = |
Чтобы увидеть доказательство, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы снова закрыть ответ, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решай задачу сам!
| sin ( x + ч ) − sin x | = | 2 cos ½( x + h + x ) sin ½( x + h − x ) |
| = | 2 cos ½(2 x + h ) sin ½ h | |
| = | ||
Прежде чем перейти к производной от sin x , однако, мы должны доказать лемму; которая является предварительной, вспомогательной теоремой, необходимой для доказательства основной теоремы.Эта лемма требует следующего тождества:
Задача 2. Показать, что тангенс θ, деленный на sin θ, равен .
| тангенс θ sin θ |
= | 1 cos θ |
. |
(См. Тему 20 Тригонометрии.)
| тангенс θ sin θ |
= | тан θ · | 1 sin θ |
= | sin θ cos θ |
· | 1 sin θ |
= | 1 cos θ |
Лемма, которую мы должны доказать, обсуждается в теме 14 тригонометрии.(Взгляните на него.) Вот он:
ЛЕММА. Если θ измеряется в радианах, то
Доказательство. Это невозможно доказать, применяя обычные теоремы о пределах (урок 2). Мы должны обратиться к геометрии и к значениям sin θ и радианам.
Пусть O будет центром единичной окружности, то есть окружности радиуса 1;
и пусть θ будет центральным углом первого квадранта BOA , измеренным в радианах.
Тогда, поскольку длина дуги s = r θ, а r = 1, дуга BA равна θ. (Тема 14 тригонометрии.)
Угол наклона B’OA равен углу θ, что делает дугу AB’ равной дуге BA ;
провести прямую линию BB’ , разрезав AO на P ;
и проведите прямые линии BC, B’C , касающиеся окружности.
Затем
BB’ BAB’ BC + CB’ .
Теперь в этом единичном круге BP = PB’ = sin θ, (Тема 17 Тригонометрии),
, так что BB’ = 2 sin θ;
| и BC = CB’ = тангенс θ. (Для tan θ = | БК ОБ |
= | БК 1 |
= до н.э. .) |
Таким образом, приведенное выше продолжающееся неравенство принимает вид:
2 sin θ θ θ.
При делении каждого члена на 2 sin θ:
| 1 | θ sin θ |
1 cos θ |
. |
(Задача 2.) И при взятии обратных значений, что меняет смысл:
| 1 > | sin θ θ |
> cos θ. |
(Урок 11 Алгебры, Теорема 5.)
При смене знаков смысл снова меняется:
| −1 | sin θ θ |
−cos θ, |
(11 урок алгебры, теорема 4),
и если мы добавим 1 к каждому члену:
| 0 | 1 − | sin θ θ |
1 − cos θ. |
Теперь, когда θ становится очень близким к 0 (θ 0), cos θ становится очень близким к 1; поэтому 1 − cos θ становится очень близким к 0. Выражение в середине, будучи на меньше , чем 1 − cos θ, становится еще ближе к 0 (и слева ограничено 0), поэтому выражение в середине определенно будет приближаться к 0. Это означает:
Что мы и хотели доказать.
Ученик должен помнить, что для того, чтобы переменная «приближалась» к 0 или любому пределу (Определение 2.1), не означает, что переменная ever равна этому пределу.
Производная sin x
| д дх |
грех х | = cos x |
Чтобы доказать это, мы применим определение производной (Урок 5). Сначала вычислим коэффициент разности.
| = | , Проблема 1, | ||
| = | , при делении числителя и знаменателя на 2, |
||
| = | |||
Теперь мы возьмем предел как ч 0.Но предел произведения равен произведению пределов.
(Урок 2.) Множитель справа имеет вид sin θ/θ. Следовательно, согласно лемме, поскольку ч 0 его предел равен 1. Следовательно,
| д дх |
грех х | = cos x . |
Мы установили формулу.
Производная от cos x
| д дх |
потому что х | = −sin x |
Чтобы установить это, мы будем использовать следующее удостоверение:
| потому что х = грех ( | № 2 |
− x ). |
Функция любого угла равна кофункции своего дополнения.
(Тема 3 тригонометрии).
Следовательно, при применении цепного правила:
Мы установили формулу.
Производное загара x
| Теперь загар x = | sin x cos x |
. |
(Тема 20 Тригонометрии.) |
Следовательно, согласно правилу частных:
| д дх |
желтовато-коричневый x | = | д дх |
sin x cos x |
= | COS x 2 · COS x — SIN x (-Sin x ) COS 2 x |
||
| = | cos 2 x + sin 2 x cos 2 x |
|||||||
| = | 1 cos 2 x |
|||||||
| = | сек 2 x . |
|||||||
Мы установили формулу.
Задача 3. Производная кроватки x . Докажите:
| д дх |
детская кроватка x = −csc 2 x |
| д дх |
детская кроватка x | = | д дх |
cos x sin x |
||||
| = | SIN x (-Sin x ) — COS x · COS x | 6 SIN 2 x |
||||||
| = | −(sin 2 x + cos 2 x ) sin 2 x | |||||||
| = | — | 1 sin 2 x |
||||||
| = | −csc 2 x . |
|||||||
Производная сек x
| д дх |
с x | = сек x загар x |
| С сек x = | 1 cos x |
= | (cos x ) −1 | , |
затем при использовании цепного правила и общего правила мощности:
Мы установили формулу.
Задача 4. Производная от csc x . Докажите:
| д дх |
csc x | = | −csc x детская кроватка x |
Пример. Вычислить производную от sin x 2 .
Решение . При применении цепного правила
| д дх |
грех топор 2 | = | cos топор 2 · | д дх |
топор 2 | = | cos топор 2 · | 2 топор | = | 2 топор cos топор 2 . |
Задача 5. Вычислите эти производные.
| а) | д дх |
sin 5 x | = | 5 cos 5 x |
| б) | д дх |
½ sin 2 x | = | sin x cos x |
| в) | д дх |
2 cos 3 x | = | −6 sin 3 x |
| г) | д дх |
x потому что x | = | cos x − x sin x |
| д) | д дх |
sin 2 x cos x | = | 2 cos 2 x cos x − sin 2 x sin x |
| е) | д дх |
желтовато-коричневый (3 x ) 2 | = | 18 x с 2 (3 x ) 2 |
| г) | д дх |
2 кроватки | х 2 |
= | – КБС 2 | х 2 |
| з) | д дх |
с 4 x | = | 4 с 4 x желтовато-коричневый 4 x |
| i) | д дх |
а csc бх | = | − ab csc bx детская кроватка bx |
| к) | = |
Проблема 6.
Угол ABC прямой, а прямая AD поворачивается на
, так что угол θ увеличивается в
положительное направление. С какой скоростью (на сколько радиан в секунду) она увеличивается, если ВС постоянна на уровне 3 см, а АВ (назовем ее x ) уменьшается со скоростью -3 см/с, а ее длина равна 6 см. ?
Следующий урок: Производные обратных тригонометрических функций
Содержание | Дом
Пожалуйста, сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался онлайн.3
2+n-72)=1/(n+9) Синусоидальная функция
Синусоидальная функция представляет собой периодический функция, которая очень важна в тригонометрии.
Самый простой способ понять функцию синуса — использовать единичный круг. Для заданной угловой меры θ , нарисуйте единичный круг на координатной плоскости и нарисуйте угол с центром в начале координат, с одной стороной как положительной. Икс -ось. То у -координата точки пересечения другой стороны угла с окружностью грех ( θ ) , и Икс -координата потому что ( θ ) .
Есть несколько значений синуса, которые следует запомнить, основываясь на
30
°
−
60
°
−
90
°
треугольники
и
45
°
−
45
°
−
90
°
треугольники
.
Зная эти значения, вы можете получить множество других значений функции синуса.Помните, что грех ( θ ) положительно в квадрантах я и II и минус в квадрантах III и IV .
Вы можете нанести эти точки на координатную плоскость, чтобы показать часть функции синуса, часть между 0 и 2 π .
Для значений θ меньше, чем 0 или больше, чем 2 π можно найти значение грех ( θ ) с помощью опорный угол .
График функции на более широком интервале показан ниже.
Обратите внимание, что областью определения функции является вся действительная линия, а диапазон − 1 ≤ у ≤ 1 .
То
период
из
ф
(
Икс
)
знак равно
грех
(
Икс
)
является
2
π
.
То есть форма кривой повторяется каждые
2
π
—
Выражение sin (x±y) и cos (x±y) через sinx, siny, cosx и cosy и их простое применение
Выражение sin (x±y) и cos (x±y) через sinx, siny, cosx и cosy и их простое применение
Cos (x + y) × cos y + sin (x + y) × sin y = cos x
Во-первых, мы будем использовать тригонометрические тождества.
Как мы знаем, что:
Cos (a+b) = cosa × cosb – sinxa × sinb
Sin (a+b) = sina × cosb + sina × cosb
Теперь мы подставим эти формулы в уравнение.
⟹ [cosx × уютный – sinx × siny) × уютный + (sinx × уютный + cosx × siny) × siny
Теперь раскроем скобки
⟹ cosx × cos ² y – sinx × siny × cossy + sinx × siny × cosx + cosx × sin ² y
Далее сократите аналогичные условия,
⟹ cosx × cos ² y + cosx × sin ² y
Теперь умножьте Cos x из обоих членов.
2 г = 1
⟹ cosx × 1 = cosx
Функции синуса и косинуса являются периодическими с периодом «2p». Это означает, что
Sin (q) = Sin (q + 2p)
Cos (q) = Cos (q + 2p)
Или обычно
Sin (q) = Sin (q + 2pk)
Cos (q) = Cos (q + 2pk),
Где, k целых чисел.
Так как Синус является нечетной функцией ; таким образом,
грех(-q) = -sin(q)
И косинус – это четная функция ; таким образом,
cos(-q) = cos(q)
Формула говорит:
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
Тогда легко является производным , что
sin(a – b) = sin(a)cos(b) – cos(a)sin(b)
Или, в более общем случае,
sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)
cos(a + b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b)
Тогда легко является производным , что
cos(a – b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
или
cos (x – y) = cos (x) cos (y) + sin(x)sin(y)
Или, в более общем случае,
Cos (a ± b) = cos (a) cos (b) (-/+) sin (a) sin (b)
или
cos (x ± y) = cos (x) cos (y) (-/+) sin (x) sin (y)
Из приведенного выше уравнения синусов мы можем получить, что
Грех (2x) = 2sin(x) cos(x)
Из приведенного выше уравнения косинуса мы можем получить, что
Cos (2x) = cos 2 (x) – sin 2 (x)
Простые приложения тригонометрии
Тригонометрия имеет широкий спектр применения.
Его различные поля включают:
- Развитие в области компьютерной музыки: Вы слышали о том, что звук распространяется в волновой форме, и эта форма волны через функцию синуса или косинуса для разработки компьютерной музыки.
- С помощью тригонометрических функций можно измерить высоту горы или здания. Расстояние также можно измерить по углу места и точке обзора.
- Тригонометрия используется даже в авиации: Для измерения направления, расстояния и скорости ветра используется тригонометрия.
- Используется в криминологии: В расследовании преступлений, происходящих по всему миру, тригонометрия играет огромную роль. Тригонометрические функции важны и полезны при расчете траектории снаряда; также помогает в расчете причин столкновения в автомобильной аварии. Он также определяет, под каким углом стреляет пистолет и как падает объект.
- Использование в морской биологии: Тригонометрия часто используется морскими биологами для измерения глубины солнечного света, которая влияет на водоросли в процессе фотосинтеза.
Использование тригонометрии также полезно для измерения или оценки размеров животных, таких как киты, а также для понимания поведения морских животных. - Преимущество в навигации: Тригонометрия полезна при навигации по направлениям. Он оценивает, в каком направлении вы должны разместить компас, чтобы получить прямое направление. Также помогает точно определить местоположение и даже определить расстояние, а также увидеть горизонт.
- Исчисление основано на алгебре и тригонометрии
- Основные тригонометрические функции, такие как синус и косинус, используются для описания световых и звуковых волн.
- Тригонометрия используется даже в океанографии для расчета высоты волн и приливов в океанах.
- Полезен при создании карты
- Используется в спутниковых системах
Синус
Синус, записываемый как sin(θ), является одной из шести основных тригонометрических функций.
Определения синуса
Обычно тригонометрические функции обсуждаются двумя основными способами: в терминах прямоугольных треугольников и в терминах единичной окружности.
Чаще всего вводится определение тригонометрических функций в виде прямоугольного треугольника, за которым следуют их определения в терминах единичной окружности.
Определение прямоугольного треугольника
Для прямоугольного треугольника с острым углом θ значение синуса этого угла определяется как отношение длины противоположной стороны к длине гипотенузы.
Стороны прямоугольного треугольника обозначаются следующим образом:
- Смежный: сторона рядом с θ, которая не является гипотенузой
- Напротив: сторона, противоположная θ.
- Гипотенуза: самая длинная сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла.
Пример:
Найдите sin(θ) для прямоугольного треугольника ниже.
Мы также можем использовать функцию синуса при решении реальных задач, связанных с прямоугольными треугольниками.
Пример:
Пандус для инвалидных колясок должен иметь угол наклона 10° и высоту 3 фута.
Какова длина пандуса?
Определение единичной окружности
Тригонометрические функции также могут быть определены как значения координат на единичной окружности.Единичная окружность — это окружность радиусом 1 с центром в начале координат. Определение тригонометрических функций в виде прямоугольного треугольника допускает углы от 0 ° до 90 ° (0 и в радианах). Определение единичного круга позволяет нам расширить область применения тригонометрических функций на все действительные числа. См. рисунок ниже.
Учитывая точку (x, y) на окружности единичного круга, мы можем построить прямоугольный треугольник, как показано на рисунке. В таком треугольнике гипотенуза равна радиусу единичной окружности, или 1.θ — угол, образованный между начальной стороной угла вдоль оси x и конечной стороной угла, образованного вращением луча по часовой стрелке или против часовой стрелки. Конечная сторона угла является гипотенузой прямоугольного треугольника и является радиусом единичной окружности.
Поэтому его длина всегда равна 1. Таким образом, мы можем использовать определение синуса прямоугольного треугольника, чтобы определить, что
означает, что значение y любой точки на окружности единичного круга равно sin(θ).
В отличие от определений тригонометрических функций, основанных на прямоугольных треугольниках, это определение работает для любого угла, а не только для острых углов прямоугольного треугольника, если он находится в области определения sin(θ). Область определения синуса равна (-∞,∞), а ее диапазон равен [-1,1].
Значения функции синуса
Существует много методов, которые можно использовать для определения значения синуса, например, обращение к таблице косинусов, использование калькулятора и аппроксимация с помощью ряда Тейлора для синуса.В большинстве практических случаев нет необходимости вычислять значение синуса вручную, и будет предоставлена таблица, калькулятор или какой-либо другой справочник.
Калькулятор синуса
Ниже приведен калькулятор для определения значения синуса угла или угла по значению синуса.
Часто используемые уголки
Хотя мы можем найти значение синуса для любого угла, есть некоторые углы, которые чаще используются в тригонометрии. Ниже приведены 16 часто используемых углов как в радианах, так и в градусах, а также координаты соответствующих им точек на единичной окружности.
Рисунок выше служит ориентиром для быстрого определения синусов (значение y) и косинусов (значение x) углов, которые обычно используются в тригонометрии. Как видно из рисунка, синус имеет значение 0 при 0° и значение 1 при 90°. Косинус следует противоположной схеме; это потому, что синус и косинус являются кофункциями (описаны позже). Другими часто используемыми углами являются 30° (), 45° (), 60° () и их соответствующие кратные. Значения косинуса и синуса этих углов стоит запомнить в контексте тригонометрии, так как они очень часто используются.
Один из методов, который может помочь в запоминании этих значений, состоит в том, чтобы выразить все значения sin(θ) в виде дробей, включающих квадратный корень.
Начиная с 0° и продвигаясь через 90°, sin(0°) = 0 = . Последующие значения sin(30°), sin(45°), sin(60°) и sin(90°) следуют такому шаблону, что, используя значение sin(0°) в качестве эталона, найти значения синуса для последующих углов, мы просто увеличиваем число под знаком радикала в числителе на 1, как показано ниже.
Значения синуса от 0° до -90° следуют той же схеме, за исключением того, что значения являются отрицательными, а не положительными, поскольку синус отрицателен в квадранте IV.Этот шаблон периодически повторяется для соответствующих угловых измерений, и мы можем определить значения sin(θ) на основе положения θ в единичной окружности, принимая во внимание знак синуса: синус положительный в квадрантах I и II и отрицательный в квадрантах III и IV. Аналогичный метод запоминания можно использовать и для косинуса. При необходимости обратитесь к странице косинуса.
Зная значения косинуса и синуса для углов в первом квадранте, мы можем определить их значения для соответствующих углов в остальных квадрантах координатной плоскости с помощью опорных углов.
Опорные уголки
Опорный угол — это острый угол (<90°), который может использоваться для представления угла любой меры. Любой угол в координатной плоскости имеет опорный угол в диапазоне от 0° до 90°. Это всегда наименьший угол (относительно оси абсцисс), который можно составить из конечной стороны угла. На рисунке ниже показан угол θ и его опорный угол θ'.
Поскольку θ’ является опорным углом θ, значения sin(θ) и sin(θ’) совпадают.Например, 30° — это опорный угол 210°, и если мы обратимся к единичному кругу, то увидим, что значения синусов обоих имеют величину 1/2, хотя и имеют разные знаки. Поскольку у всех углов есть опорный угол, нам действительно нужно знать только значения sin(θ) (а также значения других тригонометрических функций) в квадранте I. Все другие соответствующие углы будут иметь значения одинаковой величины, и мы просто нужно обратить внимание на их знаки исходя из квадранта, в котором лежит конечная сторона угла.Ниже приведена таблица, показывающая знаки косинуса, синуса и тангенса в каждом квадранте.
| синусоида | косинусного | Касательная | |
| квадрант I | + | + | + |
| квадрант II | + | — | — |
| квадрант III | — | — | + |
| Quadrant IV | — | + | — |
соответствующий знак к их значению для эталонного угла.Следующие шаги можно использовать, чтобы найти опорный угол заданного угла, θ:
- Вычтите 360° или 2π из угла столько раз, сколько необходимо (угол должен быть в диапазоне от 0° до 360° или от 0 до 2π). Если результирующий угол находится в диапазоне от 0° до 90°, это опорный угол.
- Определить, в каком квадранте лежит конечная сторона угла (начальная сторона угла проходит по положительной оси абсцисс)
- В зависимости от того, в каком квадранте находится конечная сторона угла, используйте уравнения в таблице ниже, чтобы найти опорный угол.
В квадранте I θ’=θ.
| Квадрант II | Квадрант III | Квадрант IV |
|---|---|---|
| θ’= 180° — θ | θ’= θ — 180° | θ’= 360° — θ |
Пример:
Найти sin(120°).
- θ уже находится в диапазоне от 0° до 360°
- 120° лежит в квадранте II
- 180° — 120° = 60°, поэтому опорный угол равен 60°
sin(60°)=.120 ° находится в квадранте II, а синус положителен в квадранте II, поэтому:
Пример:
Найти sin(690°).
- 690° — 360° = 330°
- 330° лежит в квадранте IV
- 360° — 330° = 30°, поэтому опорный угол равен 30°
sin(30°)=. 330 ° находится в квадранте IV, где синус отрицательный, поэтому:
Свойства функции синуса
Ниже приведены некоторые свойства функции синуса, которые могут быть полезны при работе с тригонометрическими функциями.
Синус является функцией косинуса
Кофункция – это функция, в которой f(A) = g(B) при условии, что A и B являются дополнительными углами. В контексте косинуса и синуса
sin(θ) = cos(90° — θ)
cos(θ) = sin(90° — θ)
Пример:
sin(60°) = cos(90° — 60°) = cos(30°)
Ссылаясь на единичный круг, показанный выше, мы можем подставить значения для cos(30°) и sin(60°) и увидеть, что:
Синус — нечетная функция
Нечетная функция — это функция, в которой -f(x)=f(-x).Он имеет симметрию относительно начала координат. Таким образом,
-грех(θ) = грех(-θ)
Пример:
| -sin(60°) = sin(-60°) |
| -sin(60°) = sin(300°) |
| можно видеть, что sin(60°)=, поэтому -sin(60°)=, а sin(-60°) эквивалентен sin(-60° + 360°) = sin(300°), что равно . Это только один пример, но это свойство верно для всех углов. |
Ниже приведен график, показывающий четыре периода синусоидальной функции в интервале [-4π,4π]. 
Если C положительно, функция сдвигается вправо. Будьте осторожны со знаком; если у нас есть уравнение, то C не является , потому что это уравнение в стандартной форме есть .Таким образом, мы бы сместили единицы графика влево. 