Mathway | ΠΠΎΠΏΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ
1 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(30) | |
2 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(45) | |
3 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(30 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
4 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(60 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
5 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | tan(30 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
6 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | arcsin(-1) | |
7 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(pi/6) | |
8 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(pi/4) | |
9 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(45 Π³ΡΠ°Π΄.![]() |
|
10 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(pi/3) | |
11 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | arctan(-1) | |
12 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(45 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
13 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(30 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
14 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | tan(60) | |
15 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | csc(45 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
16 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | tan(60 Π³ΡΠ°Π΄.![]() |
|
17 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sec(30 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
18 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(60 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
19 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(150) | |
20 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(60) | |
21 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(pi/2) | |
22 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | tan(45 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
23 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | arctan(- ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ 3) | |
24 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | csc(60 Π³ΡΠ°Π΄.![]() |
|
25 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sec(45 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
26 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | csc(30 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
27 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(0) | |
28 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(120) | |
29 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(90) | |
30 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΡ | pi/3 | |
31 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | tan(30) | |
32 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ² Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ | 45 | |
33 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(45) | |
34 | Π£ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
35 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΡ | pi/6 | |
36 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cot(30 Π³ΡΠ°Π΄.![]() |
|
37 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | arccos(-1) | |
38 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | arctan(0) | |
39 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cot(60 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
40 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ² Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ | 30 | |
41 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΡ | (2pi)/3 | |
42 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin((5pi)/3) | |
43 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin((3pi)/4) | |
44 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | tan(pi/2) | |
45 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(300) | |
46 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(30) | |
47 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(60) | |
48 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(0) | |
49 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(135) | |
50 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos((5pi)/3) | |
51 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(210) | |
52 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sec(60 Π³ΡΠ°Π΄.![]() |
|
53 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(300 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
54 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ² Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ | 135 | |
55 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ² Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ | 150 | |
56 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΡ | (5pi)/6 | |
57 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΡ | (5pi)/3 | |
58 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ² Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ | 89 Π³ΡΠ°Π΄. | |
59 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ² Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ | 60 | |
60 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(135 Π³ΡΠ°Π΄.![]() |
|
61 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(150) | |
62 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(240 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
63 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cot(45 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
64 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΡ | (5pi)/4 | |
65 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(225) | |
66 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(240) | |
67 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(150 Π³ΡΠ°Π΄.![]() |
|
68 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | tan(45) | |
69 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ | sin(30 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
70 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sec(0) | |
71 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos((5pi)/6) | |
72 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | csc(30) | |
73 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | arcsin(( ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ 2)/2) | |
74 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | tan((5pi)/3) | |
75 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | tan(0) | |
76 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ | sin(60 Π³ΡΠ°Π΄.![]() |
|
77 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | arctan(-( ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ 3)/3) | |
78 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΡ | (3pi)/4 | |
79 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin((7pi)/4) | |
80 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | ||
81 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin((4pi)/3) | |
82 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | csc(45) | |
83 | Π£ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ | arctan( ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ 3) | |
84 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(135) | |
85 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(105) | |
86 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(150 Π³ΡΠ°Π΄.![]() |
|
87 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin((2pi)/3) | |
88 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | tan((2pi)/3) | |
89 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΡ | pi/4 | |
90 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(pi/2) | |
91 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sec(45) | |
92 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos((5pi)/4) | |
93 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos((7pi)/6) | |
94 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | arcsin(0) | |
95 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(120 Π³ΡΠ°Π΄.![]() |
|
96 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | tan((7pi)/6) | |
97 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(270) | |
98 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin((7pi)/6) | |
99 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | arcsin(-( ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ 2)/2) | |
100 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ² Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ | 88 Π³ΡΠ°Π΄. |
sinx>a
ΠΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Π²ΠΈΠ΄Π° sin x>a β ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π° Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ².
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΡ
ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² Π²ΠΈΠ΄Π° sin x>a Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ.
1) ΠΏΡΠΈ 0<a<1
Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ-ΠΊΠΎΠ»ΠΎΠ±ΠΎΠΊ (ΠΎΠ±Π° Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°ΡΡΡΡ Ρ ΠΊΠΎ-, ΠΎΠ±Π° Β«ΠΊΡΡΠ³Π»Π΅Π½ΡΠΊΠΈΠ΅Β»), Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ β ΡΡΠΎ x, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, ΡΠΈΠ½ΡΡ β y. ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ y=a β ΠΏΡΡΠΌΡΡ, ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΎΡΠΈ ox. ΠΡΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ΅, ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ y=a Π²ΡΠΊΠΎΠ»ΠΎΡΡΠ΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π½Π΅ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ΅ β ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π·Π°ΠΊΡΠ°ΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ (ΠΊΠ°ΠΊ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΎΡΠΊΠ° Π²ΡΠΊΠΎΠ»ΠΎΡΠ°Ρ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° β Π·Π°ΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ, ΡΠΌΠΎΡΡΠΈΡΠ΅ Π·Π΄Π΅ΡΡ). ΠΠ°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ΅ Π·Π°ΡΡΡΠ΄Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² Π²ΡΠ·ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ y=a.
ΠΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΈΠ· ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π½Π΅ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ β ΡΡΠΎ arcsin a. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΡΡ, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌΡ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ. ΠΠ° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ y=a sinx=a, ΡΠ²Π΅ΡΡ
Ρ, Π½Π°Π΄ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, sin x>a, Π° Π½ΠΈΠΆΠ΅, ΠΏΠΎΠ΄ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, sin x<a. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΌΡ ΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ sinx>a, Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ΅Π½ Π²Π΅ΡΡ
Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΡΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, arcsin a, ΠΊΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ, ΠΌΡ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π² ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ³Π»Π°. ΠΡ Π½Π΅ Π΄ΠΎΡ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π΄ΠΎ ΠΏ. ΠΠ° ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π΅ Π΄ΠΎΡ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ? ΠΠ° arcsin a. Π Π°Π· Π½Π΅ Π΄ΠΎΡΠ»ΠΈ Π΄ΠΎ ΠΏ, ΡΠΎ Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ ΠΏ, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΅Π΅ Π½Π°ΠΉΡΠΈ, Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΈΠ· ΠΏ Π²ΡΡΠ΅ΡΡΡ arcsina. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° sin x>a Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΠΊ ΠΎΡ arcsin a Π΄ΠΎ ΠΏ-arcsin a. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΠ°Π²Π΅Π½ 2ΠΏ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° (Π° ΡΠ°ΠΊΠΈΡ
ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΎΠ² β Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ), ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠ² ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π° ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ 2ΠΏn, Π³Π΄Π΅ n β ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ (n ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Z).
2) a=0, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ sin x>0
Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ° β 0, Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ β ΠΏ. Π ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ° Ρ ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄Π° ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ 2ΠΏn.
3) ΠΏΡΠΈ a=-1, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ sinx>-1
Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° -ΠΏ/2, Π° ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠΏΠ°ΡΡΡ Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΡΡ, ΠΎΠ±Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π²ΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ. ΠΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅ΠΌ Π² ΡΠΎΡΠΊΡ -ΠΏ/2+2ΠΏ=3ΠΏ/2. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Ρ, ΡΠ²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°, ΠΊ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΠΌ ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ 2ΠΏn.
4) sinx>-a, ΠΏΡΠΈ 0<a<1
ΠΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° β ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ, arcsin(-a)=-arcsina. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠΏΠ°ΡΡΡ Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ, ΠΈΠ΄Π΅ΠΌ Π²Π΅ΡΡ Π½ΠΈΠΌ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π² ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ³Π»Π°.
ΠΠ° ΡΡΠΎΡ ΡΠ°Π· ΠΌΡ Π·Π° ΠΏ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ. ΠΠ° ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ? ΠΠ° arcsin x. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° β ΡΡΠΎ ΠΏ+arcsin x. ΠΠΎΡΠ΅ΠΌΡ Π½Π΅Ρ ΠΌΠΈΠ½ΡΡΠ°? ΠΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ Π² Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ -arcsin a ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ, Π° ΠΌΡ ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ². Π Π² Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π° ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ 2ΠΏn.
5) sinx>a, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π°>1.
ΠΠ΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΡΠ΅Π»ΠΈΠΊΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ y=a. ΠΠ΅Ρ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π²ΡΡΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅Ρ.
6) sinx>-a, Π³Π΄Π΅ a>1.
Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π²ΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ΅Π»ΠΈΠΊΠΎΠΌ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ y=a. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π»ΡΠ±Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ sinx>a. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, x β Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
Π Π·Π΄Π΅ΡΡ x β Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ -ΠΏ/2+2ΠΏn Π²Ρ ΠΎΠ΄ΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° sinx>-1. ΠΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π½Π΅ Π½Π°Π΄ΠΎ.
ΠΠ΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ Π½Π° ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΠ΅ΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏ/2. Π‘ ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄Π° ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°, ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ x=ΠΏ/2+2ΠΏn.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ sinx>-1/2:
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = sin x, ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ
ΠΏ.1. Π Π°Π·Π²Π΅ΡΡΠΊΠ° ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΡ ΡΠ³Π»Π°
ΠΡΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΅Ρ ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ³Π»Π° (ΡΠΌ. Β§2 Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠ°).
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΠ½ΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΉ ΠΊΡΡΠ³, ΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» x ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ : 0β€xβ€2Ο ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ y=sinx Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠ² x > 2Ο, ΠΊΡΠΈΠ²Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡΡΡ Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ; Π΅ΡΠ»ΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π² ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ (ΠΏΠΎ ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ΅) Π΄Π»Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠ² x<0, ΠΊΡΠΈΠ²Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡΡΡ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ.
Π ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ y=sinx Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ \(x\in\mathbb{R}\).
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ y=sinx Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄ΠΎΠΉ.
Π§Π°ΡΡΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Ρ Π΄Π»Ρ 0β€xβ€2Ο Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Ρ.
Π§Π°ΡΡΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Ρ Π΄Π»Ρ 0β€xβ€Ο Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π°ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Ρ.
ΠΏ.2. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
y=sinxβ‘1. ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ \(x\in\mathbb{R}\) β ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
2. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π° ΡΠ²Π΅ΡΡ Ρ ΠΈ ΡΠ½ΠΈΠ·Ρ
$$ -1\leq sinx\leq 1 $$ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ \(y\in[-1;1]\)
3. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ΡΡΡΠ½Π°Ρ
$$ sin(-x)=-sinx $$4. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 2Ο
$$ sin(x+2\pi k)=sinx $$5. ΠΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ \(y_{max}=1\) Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π°ΡΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ
$$ x=\frac\pi2+2\pi k $$ΠΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ \(y_{min}=-1\) Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π°ΡΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ
$$ x=-\frac\pi2+2\pi k $$ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ \(y_{0}=sinx_0=0\) Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π°ΡΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ \(x_0=\pi k\)
6. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ°Ρ
$$ -\frac\pi2+2\pi k\leq x\leq\frac\pi2+2\pi k $$Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ°Ρ
$$ \frac\pi2+2\pi k\leq x\leq\frac{3\pi}{2}+2\pi k $$7. 2}{4}\right)\) (ΡΠΌ. Β§29 ΡΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Π΄Π»Ρ 8 ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°)
ΠΠ²Π° ΠΊΠΎΡΠ½Ρ: \(x_1=0,\ \ x_2=\pi\)
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΉΡΠ΅ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ $$ y=sinx,\ \ y=-sinx,\ \ y=2sinx,\ \ y=sinx+2 $$
\(y=-sinx\) β ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ \(y=sinx\) ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΠΈ OX. ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ \(y\in[-1;1]\).
\(y=2sinx\) β ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΡΠ³ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π² 2 ΡΠ°Π·Π° ΠΏΠΎ ΠΎΡΠΈ OY. ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ \(y\in[-2;2]\).
\(y=sinx+2\) β ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΡΡΡ Π²Π²Π΅ΡΡ
Π½Π° 2. ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ \(y\in[1;3]\).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΉΡΠ΅ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ $$ y=sinx,\ \ y=sin2x,\ \ y=sin\frac{x}{2} $$
ΠΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ Π²ΡΠ΅Ρ
ΡΡΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Π°, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ \(y\in[-1;1]\).
ΠΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΠΎΠ΄ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ.
\(y=sin2x\) β ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² 2 ΡΠ°Π·Π°, ΠΏΠΎΠ»Π½Π°Ρ Π²ΠΎΠ»Π½Π° ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π² ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ \(0\leq x\leq \pi\).
\(y=sin\frac{x}{2}\) β ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π² 2 ΡΠ°Π·Π°, ΠΏΠΎΠ»Π½Π°Ρ Π²ΠΎΠ»Π½Π° ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π² ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ \(0\leq x\leq 4\pi\).
Π‘ΠΈΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ β ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y=sin(x), y=cos(x). Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ, ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄Ρ, Π½ΡΠ»ΠΈ, ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΡΡΠ²Π°, Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ±ΡΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΡ, ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΡ, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, Π·Π½Π°ΠΊΠΈ, ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΡ DPVA.ru β ΠΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΠ½ΡΠΉ Π‘ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ | ΠΠ΄ΡΠ΅Ρ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ (Π²Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ) Π² ΡΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠ΅ dpva.ru: Π³Π»Π°Π²Π½Π°Ρ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ° / / Π’Π΅Ρ
Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ / / ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ / / Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ. sin, cos, tg, ctgβ¦.ΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°. / / Π‘ΠΈΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ β ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y=sin(x), y=cos(x). Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ, ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄Ρ, Π½ΡΠ»ΠΈ, ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΡΡΠ²Π°, Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ±ΡΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΡ, ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΡ, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, Π·Π½Π°ΠΊΠΈ, ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΡΡΡ:
|
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΊ: sinx+cosx=t, sinx-cosx=t, tgx+ctgx=t, tgx-ctgx=t
Π¦Π΅Π»ΠΈ:
1). ΠΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅:
- ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠ²Π½Ρ ΠΎΠ²Π»Π°Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°Π½ΠΈΡΠΌΠΈ, ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌΡΠ΅ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ².
- ΠΠΎΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ, ΡΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π½Π°Π²ΡΠΊΠΎΠ².
- ΠΡΠ³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π΄Π΅ΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ, Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΡ Π½Π° Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡΡΠΈΡ ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌΡΠ΅ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΊ.
- Π£ΡΠ°ΡΠΈΠ΅ΡΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ Π·Π½Π°Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΈΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠΈΡΡ Π² Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΡΠ°Π½Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°Π½ΠΈΡ.
2) Π Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°ΡΡΠΈΠ΅:
- Π Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°ΡΡ Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡΡ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°Π½ΠΈΡ Π² Π½Π΅ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΡΡ .
- Π Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°ΡΡ Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΡ
ΡΡ ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ
ΠΎΠ΄ ΠΊ
ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡΠΌ.
- Π Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°ΡΡ Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΡΠ½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°Π½ΠΈΡ Π² Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ.
3) ΠΠΎΡΠΏΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ:
- Π€ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΌΡΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π°ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ.
Π₯ΠΎΠ΄ ΡΡΠΎΠΊΠ°
- ΠΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
- ΠΠ±ΡΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Π°. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ.
- ΠΠ°ΠΊΡΠ΅ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Π°.
- Π‘Π°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°.
- ΠΠΎΠΌΠ°ΡΠ½Π΅Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΌΠΈΡΡ ΡΠ°Π·Π±ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°:
1) ΠΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ sinx cosx, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ sinx +cosx= 3/4.
(sinx +cosx)2 = sin2x +cos2x +2 sinx cosx.
2 sinx cosx = 9/16 β 1= β 7/ 16, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ sinx cosx = -7/32.
2) ΠΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ tg2x+ctg2x, Π΅ΡΠ»ΠΈ tgx+ctgx=3.
9= (tgx+ctgx)2= tg2x+ctg2x + 2tgx ctgx= tg2x+ctg2x
+ 2.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ tg2x+ctg2x = 7.
ΠΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΌΠΈΡΡ ΡΠ°Π·Π±ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π²ΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ².
β 1. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ sin2x β 4 sin x = 4 + 4 cos x.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
4(sin x + cos x) β 2 sin x cos x +4 = 0.
ΠΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: sin x + cos x = t , ΡΠΎΠ³Π΄Π° 2sin x cos x = t2 -1.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ :
4 t β ( t2 β 1) + 4 = 0,
t2 β 4 t β 5 = 0.
Π Π΅ΡΠ°Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ t1 = 5, t2 = -1.
1) sin x + cos x = 5
ΠΠ΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Β¦ sin xΒ¦ 1 , Β¦cos xΒ¦ 1.
2) sin x + cos x = β 1
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° .
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
cos / 4 * sin x + sin / 4 * cos x = β / 2;
sin (x + / 4) = β / 2.
Π Π΅ΡΠ°Ρ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
x + / 4 = β / 4 + 2n ΠΈΠ»ΠΈ x + / 4= 5/ 4 + 2 n, Π³Π΄Π΅ n Z.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: /2 + 2 n; + 2n, Π³Π΄Π΅ n Z.
ΠΠ°ΠΊΡΠ΅ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ° (Ρ Π΄ΠΎΡΠΊΠΈ β ΡΡΠ°ΡΠΈΠΉΡΡ):
β 2. 2 cos x β sin 2x = 2 +2 sinx.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
2 (sinx β cosx) + 2 sinx + 2 = 0
ΠΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: sin x β cos x = t, ΡΠΎΠ³Π΄Π° 2sin x cos x = 1 β t2.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
2t + 1 β t2 + 2 = 0;
t2 β 2t β 3 = 0.
Π Π΅ΡΠ°Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ: t1= 3 , t2 = -1.
1) sin x + cos x = 3. ΠΠ΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Β¦ sin xΒ¦ 1 , Β¦cos xΒ¦ 1.
2) sin x β cos x = β 1.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° .
cos / 4 * sin x β sin / 4 * cos x = β / 2.
sin ( x β / 4 ) = β / 2.
Π Π΅ΡΠ°Ρ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ :
x β / 4 = β / 4 + 2 n ΠΈΠ»ΠΈ x β / 4 = 5 / 4 + 2 n , Π³Π΄Π΅ n Z.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: 2 n ; 3 / 2 + 2 n , Π³Π΄Π΅ n Z.
β 3. sin 2x + 3(sin x-cos x ) =5.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠΎΠΉ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ: t2 β 3t +4 = 0.
t1 = 2 , t2 =
sin x + cos x =2.
ΠΠ΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Β¦ sin xΒ¦ 1, Β¦cos xΒ¦ 1.
2) sin x β cos x = .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ .
Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° .
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
sin ( x β / 4 ) = 1.
x β / 4 = / 2 + 2 n ΠΈΠ»ΠΈ x = 3/ 4 + 2 n, Π³Π΄Π΅ n Z .
ΠΡΠ²Π΅Ρ: 3/ 4 + 2 n, Π³Π΄Π΅ n Z .
β 4. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΡ.
4tg2x+ctg2x +6tgx-3 ctg x-8 =0.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
2tg x- ctg x = t.
4tg2x+ctg2x β 4 = t2, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
t2 + 3t β 4 = 0
t1 = -4 , t2 = 1
2tg x- ctg x = β 4.
2tg x- 1/tg x = β 4
2 tg2x+ 4tg x β 1 =0.
t1 = (-2 + )/2,
t 2 = (-2 β )/2.
Ρ = arc tg (-2 + )/2 + n ΠΈΠ»ΠΈ Ρ = arc tg (-2 β )/2 + n , Π³Π΄Π΅ n Z .
ΠΡΠ²Π΅Ρ: arctg (-2 + )/2 + n , arctg (-2 β )/2 + n , Π³Π΄Π΅ n Z .
β 5. ΠΠ°ΠΊΡΠ΅ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΌΡ:
tg2x+ctg2x -3(tgx+ ctg x) + 4=0.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΡ:
tg x + ctg x = t, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
t2 + 3t + 2 = 0.
Π Π΅ΡΠ°Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ , ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ: t1 = β 2 , t2 = β 1.
tg x + ctg x = -2;
tg2x- 2tg x + 1 =0,
tg x =1
x = /4 + n, Π³Π΄Π΅ n Z .
tg x + ctg x = -1 Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: / 4 + n, Π³Π΄Π΅ n Z .
β 6.Π Π΅ΡΠΈΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΡΡΠ°ΡΠΈΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠΎΠΉ):
2(tgx+ ctg x)= (tg2x+ctg2x) β 2=0.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠ° ΠΏΠΎ ΡΡΠ°ΠΏΠ°ΠΌ:
ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ t: t2 β 2 t = 0.
ΠΠΎΡΠ½ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ: t=0 ΠΈΠ»ΠΈ t= 2/,
ΠΡΠ²Π΅Ρ: n; arc tg(3)/2 + n, Π³Π΄Π΅ n Z .
ΠΠ°Π»Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ,
ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»ΠΈ.
¦ sin x + cos x¦ = 1+2 sin x.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΡ: sin x + cos x = t, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ: Β¦ tΒ¦= t2.
Π Π΅ΡΠ°Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Π΅ΠΌ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
t = 0 ΠΈΠ»ΠΈ t= 1 , t = -1.
ΠΠ°Π»Π΅Π΅ ΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠΆΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ:
sin x + cos x = 0,
sin x + cos x =1,
sin x + cos x =-1.
ΠΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ:
ΠΡΠ²Π΅Ρ: β /4+ n ; /2 n, Π³Π΄Π΅ n Z .
ΠΠ°Π»Π΅Π΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΌΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠΈ:
1) 3 (sin x + cos x ) = 2 sin2 x,
2) 1 + sin2 x = sin x + cos x,
3) sin x + cos x β sin 2x + cos2 x β cos3 x = 1,
4) sin2 x β 5sin x + 5 cos x + 5 = 0,
5) tgx+ ctg x = 3 β sin2 x,
6) 2(sin2 x β cos2 x) = tgx+ ctg x.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π·Π±ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ Π·Π°Π½ΡΡΠΈΡΡ .
Π³ΡΠ΅Ρ (Ρ ) | ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°
sin(x), ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°
Π ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ΅ ABC ΡΠΈΠ½ΡΡ Ξ±, sin(Ξ±) ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ΠΎΠΉ, ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ³Π»Ρ Ξ±, ΠΈ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°, ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΌΡ ΡΠ³Π»Ρ (Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ·Π°):
sin Ξ± = a / c
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ
ΠΈ = 3 Π΄ΡΠΉΠΌΠ°
Ρ = 5 Π΄ΡΠΉΠΌΠΎΠ²
sin Ξ± = a / c = 3 / 5 = 0. 6
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°
ΠΠΎΠ΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΡΡΠΎΡΠ½Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ²
ΠΠΌΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° | ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ |
---|---|
Π‘ΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ | sin(- ΞΈ ) = -sin ΞΈ |
Π‘ΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ | sin(90Β° β ΞΈ ) = cos ΞΈ |
ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ΅ΠΉΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ | Π³ΡΠ΅Ρ 2 Ξ± + cos 2 Ξ± = 1 |
sin ΞΈ = cos ΞΈ Γ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΞΈ | |
sin ΞΈ = 1 / csc ΞΈ | |
ΠΠ²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ»ΠΎΠΊ | sin 2 ΞΈ = 2 sin ΞΈ cos ΞΈ |
Π‘ΡΠΌΠΌΠ° ΡΠ³Π»ΠΎΠ² | sin( Ξ±+Ξ² ) = sin Ξ± cos Ξ² + cos Ξ± sin Ξ² |
Π Π°Π·Π½ΠΈΡΠ° ΡΠ³Π»ΠΎΠ² | sin( Ξ±-Ξ² ) = sin Ξ± cos Ξ² β cos Ξ± sin Ξ² |
Π‘ΡΠΌΠΌΠ° ΠΊ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΡ | sin Ξ± + sin Ξ² = 2 sin [( Ξ±+Ξ² )/2] cos [( Ξ± β Ξ² )/2] |
ΠΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠ° | sin Ξ± β sin Ξ² = 2 sin [( Ξ±-Ξ² )/2] cos [( Ξ±+Ξ² )/2] |
ΠΠ°ΠΊΠΎΠ½ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ² | a / sin Ξ± = b / sin Ξ² = c / sin Ξ³ |
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ | sinβ x = cos x |
ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» | β« sin x d x = β cos x + C |
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠ° | sin x = ( e ix β e β ix ) / 2 i |
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°
ΠΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡ x ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° x, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° -1β€xβ€1.
ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΈΠ½ΡΡ y ΡΠ°Π²Π΅Π½ x:
Π³ΡΠ΅Ρ Ρ = Ρ
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π°ΡΠΊΡΠΈΠ½ΡΡ x ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΡ x, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠ°Π²Π΅Π½ y:
arcsin x = sin -1 ( x ) = y
Π‘ΠΌ.: Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Arcsin
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ²
x (Β°) | x (ΡΠ°Π΄) | Π³ΡΠ΅Ρ Ρ |
---|---|---|
-90Β° | -Ο/2 | -1 |
-60Β° | -Ο/3 | -β3/2 |
-45Β° | -Ο/4 | -β2/2 |
-30Β° | -Ο/6 | -1/2 |
0Β° | 0 | 0 |
30Β° | β/6 | 1/2 |
45Β° | β/4 | β2/2 |
60Β° | β/3 | β3/2 |
90Β° | β/2 | 1 |
Π‘ΠΌ. ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅
ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ² | ΠΡΡΠΏΡΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°
ΠΡΡΠΏΡΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°
Π ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Β«ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎΒ» β ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΈΡΡΠΈΠ½Π½ΠΎ. ΠΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Β«ΡΡΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΒ» ΠΈΡΡΠΈΠ½Π½ΡΠΌΠΈ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Β« x = x Β», ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΡΠΌΠΈ ΠΈΡΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ°: ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ. Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ², Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ ΡΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π²Ρ, ΡΠΊΠΎΡΠ΅Π΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ, ΡΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅ΡΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ.
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ΅ΠΉΡΠΊΠΈΠΉ, ΡΡΠΌΠΌΠ° ΡΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ, Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ», ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ³ΠΎΠ», ΡΡΠΌΠΌΠ°, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π‘ΠΏΡΠ°Π²ΠΊΠ° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅.ΠΊΠΎΠΌ
ΠΡΠΆΠ΅Π½ ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ΄ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ?
Π12 | ΠΠΎΠ»Π»Π΅Π΄ΠΆ | ΠΠΎΠ΄Π³ΠΎΡΠΎΠ²ΠΊΠ° ΠΊ ΡΠ΅ΡΡΡ
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΈ ΠΏΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ΅ΠΉΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΡΡΠΈΠ³Π³Π΅ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ Β«ΡΠΎ-(ΡΡΠΎ-ΡΠΎ)Β» Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Β«Π½Π΅-ΡΠΎΒ» ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΡΠ΅ΠΊΠ°Π½Ρ ΠΈΠ΄Π΅Ρ Ρ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΌ, Π° ΡΠ΅ΠΊΠ°Π½Ρ ΠΈΠ΄Π΅Ρ Ρ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΌ.
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ (ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΡΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΠΆΠ΅) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Β«ΠΏΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ΅ΠΉΡΠΊΠΈΠΌΠΈΒ» ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ.
sin 2 ( t ) + cos 2 ( t ) = 1
ΡΠ°Π½ 2 ( t ) + 1 = ΡΠ΅ΠΊ 2 ( t )
1 + Π΄Π΅ΡΡΠΊΠ°Ρ ΠΊΡΠΎΠ²Π°ΡΠΊΠ° 2 ( t ) = csc 2 ( t )
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΡΡΠΈ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π° ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π² ΡΠ΅Π±Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 1.ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΎ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ° ΠΈ Π’Π΅ΡΠΎΠΌΠ°, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΡΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΡΡΠ³, Π³Π΄Π΅ ΡΠ³ΠΎΠ» ΡΠ°Π²Π΅Π½ t , Β«ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°ΡΒ» ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π° ΡΠ°Π²Π½Π° sin( t ) = y , Β«ΠΏΡΠΈΠ»Π΅Π³Π°ΡΡΠ°ΡΒ» ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π° ΡΠ°Π²Π½Π° cos( t ) = x , Π° Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ·Π° ΡΠ°Π²Π½Π° 1,
Π£ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠΈΠ³Π³Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ:
sin( βt ) = β sin( t )
cos( βt ) = cos( t )
ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ( βt ) = β ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ( t )
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΈ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ, ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, Π° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ, ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΠΈ y . Π’ΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΡ, ΡΡΠΎ Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π²ΡΠ½Π΅ΡΡΠΈ Π·Π½Π°ΠΊ Β«ΠΌΠΈΠ½ΡΡΒ» Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Π·Π° ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ (Π΄Π»Ρ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ°) ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ (Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°), ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π΅Π½ ΠΏΡΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ ΡΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΌΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ.
Π’ΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π° ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ
sin(Ξ± + Ξ²) = sin(Ξ±) cos(Ξ²) + cos(Ξ±) sin(Ξ²)
sin(Ξ± β Ξ²) = sin(Ξ±) cos(Ξ²) β cos(Ξ±) sin(Ξ²)
cos(Ξ± + Ξ²) = cos(Ξ±) cos(Ξ²) β sin(Ξ±) sin(Ξ²)
cos(Ξ± β Ξ²) = cos(Ξ±) cos(Ξ²) + sin(Ξ±) sin(Ξ²)
ΠΡΡΠ°ΡΠΈ, Π² ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΡ Π²ΡΡΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°Ρ ΡΠ³Π»Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½Ρ Π³ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ Π±ΡΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ.ΠΡΠΊΠ²Π° Π°-ΡΠΈΠΏΠ° «α» Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Β«Π°Π»ΡΡΠ°Β», ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π½ΠΎΡΠΈΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Β«AL-fuhΒ». ΠΡΠΊΠ²Π° b-ΡΠΈΠΏΠ°, «β», Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Β«Π±Π΅ΡΠ°Β», ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π½ΠΎΡΠΈΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Β«ΠΠΠ-ΡΡΡ Β».
ΠΠ²ΡΡ ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ΄ΠΎΡΡΠΎΠ²Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ
sin(2 x ) = 2 sin( x ) cos( x )
COS (2 x ) = cos 2 ( x ) β sin 2 ( x ) = 1 β 2 sin 2 ( x ) = 2 cos 2 ( x ) β 1
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°
ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ, Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΠΈ ΡΠ΄Π²ΠΎΠΈΠ² Π²ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ². Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅:
sin 2 ( x ) = Β½[1 β cos(2 x )]
cos 2 ( x ) = Β½[1 + cos(2 x )]
Π€ΠΈΠ»ΠΈΠ°Π»
Π‘ΡΠΌΠΌΠ° ΠΈΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΎΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΎΠ²
ΠΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΡΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π²ΡΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΠ΅ ΡΡΠΈ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π° Π΄Π»Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ
ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ² ΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Ρ ΡΠΎΠ±ΠΈΡΠ°Π΅ΡΠ΅ΡΡ ΠΈΠ·ΡΡΠ°ΡΡ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ ΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½ ΡΠ³Π»ΠΎΠ² ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ², ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ Π²Ρ Π±ΡΠ΄Π΅ΡΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΡ
Π² ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ.
URL: https://www.purplemath.com/modules/idents.htm
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ sin x β ΠΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄ ΠΊ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ
12
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ sin x
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ cos x
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ Π·Π°Π³Π°ΡΠ° x
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ Π΄Π΅ΡΡΠΊΠΎΠΉ ΠΊΡΠΎΠ²Π°ΡΠΊΠΈ x
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ΅ΠΊ x
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ csc x
ΠΠ ΠΠΠΠΠΠΠΠΠ― ΠΎΡ sin x ΡΠ°Π²Π½Π° cos x .Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΡΠΎ, ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ:
.sin A β sin B = 2 cos Β½( A + B ) sin Β½( A β B ).
(Π’Π΅ΠΌΠ° 20 Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ.)
ΠΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° 1. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΡΡΠΎΡ ΠΈΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΎΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ:
sin ( x + Ρ ) β sin x | = |
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ, Π½Π°Π²Π΅Π΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΡΡΠΈ Π½Π° ΡΠ²Π΅ΡΠ½ΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ½ΠΎΠ²Π° Π·Π°ΠΊΡΡΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ, Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡΠ΅ Β«ΠΠ±Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΒ» (Β«ReloadΒ»).
Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΡΠ΅ΡΠ°ΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΌ!
sin ( x + Ρ ) β sin x | = | 2 cos Β½( x + h + x ) sin Β½( x + h β x ) |
= | 2 cos Β½(2 x + h ) sin Β½ h | |
= |
ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΡΠΈ ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ sin x , ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ Π»Π΅ΠΌΠΌΡ; ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π²Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ.ΠΡΠ° Π»Π΅ΠΌΠΌΠ° ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°:
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 2. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΞΈ, Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ Π½Π° sin ΞΈ, ΡΠ°Π²Π΅Π½ .
ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΞΈ sin ΞΈ | = | 1 cos ΞΈ | .![]() |
(Π‘ΠΌ. Π’Π΅ΠΌΡ 20 Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ.)
ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΞΈ sin ΞΈ | = | ΡΠ°Π½ ΞΈ Β· | 1 sin ΞΈ | = | sin ΞΈ cos ΞΈ | Β· | 1 sin ΞΈ | = | 1 cos ΞΈ |
ΠΠ΅ΠΌΠΌΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΠΎΠ±ΡΡΠΆΠ΄Π°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠ΅ΠΌΠ΅ 14 ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ.(ΠΠ·Π³Π»ΡΠ½ΠΈΡΠ΅ Π½Π° Π½Π΅Π³ΠΎ.) ΠΠΎΡ ΠΎΠ½:
ΠΠΠΠΠ. ΠΡΠ»ΠΈ ΞΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ , ΡΠΎ
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ. ΠΡΠΎ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ (ΡΡΠΎΠΊ 2). ΠΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΡΡΡ ΠΊ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΠΈ ΠΊ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ sin ΞΈ ΠΈ ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°ΠΌ.
ΠΡΡΡΡ O Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠ° 1;
ΠΈ ΠΏΡΡΡΡ ΞΈ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ΅Π½ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½ΡΠ° BOA , ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌ Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ
.
Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π΄ΡΠ³ΠΈ s = r ΞΈ, Π° r = 1, Π΄ΡΠ³Π° BA ΡΠ°Π²Π½Π° ΞΈ. (Π’Π΅ΠΌΠ° 14 ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ.)
Π£Π³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° BβOA ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΠ³Π»Ρ ΞΈ, ΡΡΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ Π΄ΡΠ³Ρ ABβ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΡΠ³Π΅ BA ;
ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΏΡΡΠΌΡΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ BBβ , ΡΠ°Π·ΡΠ΅Π·Π°Π² AO Π½Π° P ;
ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ BC, BβC , ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ.
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ
BBβ BABβ BC + CBβ .
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π² ΡΡΠΎΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΊΡΡΠ³Π΅ BP = PBβ = sin ΞΈ, (Π’Π΅ΠΌΠ° 17 Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ),
, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ BBβ = 2 sin ΞΈ;
ΠΈ BC = CBβ = ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΞΈ. (ΠΠ»Ρ tan ΞΈ = | ΠΠ ΠΠ | = | ΠΠ 1 | = Π΄ΠΎ Π½.Ρ. .) |
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°ΡΡΠ΅Π΅ΡΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄:
2 sin ΞΈ ΞΈ ΞΈ.
ΠΡΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π½Π° Π½Π° 2 sin ΞΈ:
1 | ΞΈ sin ΞΈ | 1 cos ΞΈ | .![]() |
(ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 2.) Π ΠΏΡΠΈ Π²Π·ΡΡΠΈΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΡΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ ΡΠΌΡΡΠ»:
1 > | sin ΞΈ ΞΈ | > cos ΞΈ. |
(Π£ΡΠΎΠΊ 11 ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΡ, Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 5.)
ΠΡΠΈ ΡΠΌΠ΅Π½Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΡΠΌΡΡΠ» ΡΠ½ΠΎΠ²Π° ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ:
β1 | sin ΞΈ ΞΈ | βcos ΞΈ, |
(11 ΡΡΠΎΠΊ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ, ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 4),
ΠΈ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ 1 ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ ΡΠ»Π΅Π½Ρ:
0 | 1 β | sin ΞΈ ΞΈ | 1 β cos ΞΈ. |
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΞΈ ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠΌ ΠΊ 0 (ΞΈ 0), cos ΞΈ ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠΌ ΠΊ 1; ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ 1 β cos ΞΈ ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠΌ ΠΊ 0. ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅, Π±ΡΠ΄ΡΡΠΈ Π½Π° ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ , ΡΠ΅ΠΌ 1 β cos ΞΈ, ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ Π΅ΡΠ΅ Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊ 0 (ΠΈ ΡΠ»Π΅Π²Π° ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΎ 0), ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡΡΡΡ ΠΊ 0. ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ:
Π§ΡΠΎ ΠΌΡ ΠΈ Ρ
ΠΎΡΠ΅Π»ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ.
Π£ΡΠ΅Π½ΠΈΠΊ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ Β«ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°Π»Π°ΡΡΒ» ΠΊ 0 ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ (ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2.1), Π½Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ ever ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ sin x
Π΄ Π΄Ρ | Π³ΡΠ΅Ρ Ρ | = cos x |
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΡΠΎ, ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ (Π£ΡΠΎΠΊ 5). Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ.
= | , ΠΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° 1, | ||
= | , ΠΏΡΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π½Π° 2, | ||
= |
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΌΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΊΠ°ΠΊ Ρ 0.ΠΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ². (Π£ΡΠΎΠΊ 2.) ΠΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΠΏΡΠ°Π²Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ sin ΞΈ/ΞΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ Π»Π΅ΠΌΠΌΠ΅, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Ρ 0 Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΡΠ°Π²Π΅Π½ 1. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
Π΄ Π΄Ρ | Π³ΡΠ΅Ρ Ρ | = cos x . |
ΠΡ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ cos x
Π΄ Π΄Ρ | ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ Ρ | = βsin x |
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡ ΡΡΠΎ, ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΠ΄ΠΎΡΡΠΎΠ²Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ Ρ = Π³ΡΠ΅Ρ ( | β 2 | β x ). |
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ³Π»Π° ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΊΠΎΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ²ΠΎΠ΅Π³ΠΎ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ.
(Π’Π΅ΠΌΠ° 3 ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ).
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ΅ΠΏΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°:
ΠΡ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ Π·Π°Π³Π°ΡΠ° x
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π·Π°Π³Π°Ρ x = | sin x cos x | .![]() | (Π’Π΅ΠΌΠ° 20 Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ.) |
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ :
Π΄ Π΄Ρ | ΠΆΠ΅Π»ΡΠΎΠ²Π°ΡΠΎ-ΠΊΠΎΡΠΈΡΠ½Π΅Π²ΡΠΉ x | = | Π΄ Π΄Ρ | sin x cos x | = | COS x 2 Β· COS x β SIN x (-Sin x ) COS 2 x | ||
= | cos 2 x + sin 2 x cos 2 x | |||||||
= | 1 cos 2 x | |||||||
= | ΡΠ΅ΠΊ 2 x .![]() |
ΠΡ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ.
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 3. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΡΠΎΠ²Π°ΡΠΊΠΈ x . ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅:
Π΄ Π΄Ρ | Π΄Π΅ΡΡΠΊΠ°Ρ ΠΊΡΠΎΠ²Π°ΡΠΊΠ° x = βcsc 2 x |
Π΄ Π΄Ρ | Π΄Π΅ΡΡΠΊΠ°Ρ ΠΊΡΠΎΠ²Π°ΡΠΊΠ° x | = | Π΄ Π΄Ρ | cos x sin x | ||||
= | SIN x (-Sin x ) β COS x Β· COS x | 6 SIN 2 x | ||||||
= | β(sin 2 x + cos 2 x ) sin 2 x | |||||||
= | β | 1 sin 2 x | ||||||
= | βcsc 2 x .![]() |
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ΅ΠΊ x
Π΄ Π΄Ρ | Ρ x | = ΡΠ΅ΠΊ x Π·Π°Π³Π°Ρ x |
Π‘ ΡΠ΅ΠΊ x = | 1 cos x | = | (cos x ) β1 | , |
Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΠ΅ΠΏΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ:
ΠΡ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ.
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 4. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ csc x . ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅:
Π΄ Π΄Ρ | csc x | = | βcsc x Π΄Π΅ΡΡΠΊΠ°Ρ ΠΊΡΠΎΠ²Π°ΡΠΊΠ° x |
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ sin x 2 .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ . ΠΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ΅ΠΏΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°
Π΄ Π΄Ρ | Π³ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠΏΠΎΡ 2 | = | cos ΡΠΎΠΏΠΎΡ 2 Β· | Π΄ Π΄Ρ | ΡΠΎΠΏΠΎΡ 2 | = | cos ΡΠΎΠΏΠΎΡ 2 Β· | 2 ΡΠΎΠΏΠΎΡ | = | 2 ΡΠΎΠΏΠΎΡ cos ΡΠΎΠΏΠΎΡ 2 .![]() |
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 5. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅ ΡΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅.
Π°) | Π΄ Π΄Ρ | sin 5 x | = | 5 cos 5 x |
Π±) | Π΄ Π΄Ρ | Β½ sin 2 x | = | sin x cos x |
Π²) | Π΄ Π΄Ρ | 2 cos 3 x | = | β6 sin 3 x |
Π³) | Π΄ Π΄Ρ | x ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ x | = | cos x β x sin x |
Π΄) | Π΄ Π΄Ρ | sin 2 x cos x | = | 2 cos 2 x cos x β sin 2 x sin x |
Π΅) | Π΄ Π΄Ρ | ΠΆΠ΅Π»ΡΠΎΠ²Π°ΡΠΎ-ΠΊΠΎΡΠΈΡΠ½Π΅Π²ΡΠΉ (3 x ) 2 | = | 18 x Ρ 2 (3 x ) 2 |
Π³) | Π΄ Π΄Ρ | 2 ΠΊΡΠΎΠ²Π°ΡΠΊΠΈ | Ρ
2 | = | β ΠΠΠ‘ 2 | Ρ
2 |
Π·) | Π΄ Π΄Ρ | Ρ 4 x | = | 4 Ρ 4 x ΠΆΠ΅Π»ΡΠΎΠ²Π°ΡΠΎ-ΠΊΠΎΡΠΈΡΠ½Π΅Π²ΡΠΉ 4 x |
i) | Π΄ Π΄Ρ | Π° csc Π±Ρ | = | β ab csc bx Π΄Π΅ΡΡΠΊΠ°Ρ ΠΊΡΠΎΠ²Π°ΡΠΊΠ° bx |
ΠΊ) | = |
ΠΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° 6. Π£Π³ΠΎΠ» ABC ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, Π° ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ AD ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠ°ΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π°
, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ ΡΠ³ΠΎΠ» ΞΈ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ (Π½Π° ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½ Π² ΡΠ΅ΠΊΡΠ½Π΄Ρ) ΠΎΠ½Π° ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΠ‘ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Π° Π½Π° ΡΡΠΎΠ²Π½Π΅ 3 ΡΠΌ, Π° ΠΠ (Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ Π΅Π΅ x ) ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ -3 ΡΠΌ/Ρ, Π° Π΅Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΡΠ°Π²Π½Π° 6 ΡΠΌ. ?
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΡΠΎΠΊ: ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
Π‘ΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ | ΠΠΎΠΌ
ΠΠΎΠΆΠ°Π»ΡΠΉΡΡΠ°, ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎΠ±Ρ TheMathPage ΠΎΡΡΠ°Π²Π°Π»ΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½.3 6 Π Π΅ΡΠΈΡΡ Π΄Π»Ρ ? cos(x)=1/2 7 ΠΠ°ΠΉΡΠΈ x sin(x)=-1/2 8 ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ² Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ 225 9 Π Π΅ΡΠΈΡΡ Π΄Π»Ρ ? cos(x)=(ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· 2)/2 10 ΠΠ°ΠΉΡΠΈ x cos(x)=(ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· 3)/2 11 ΠΠ°ΠΉΡΠΈ x sin(x)=(ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· 3)/2 12 ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π³(Ρ
)=3/4* ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· Ρ
13 ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠ΅Π½ΡΡ ΠΈ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ Ρ
^2+Ρ^2=9 14 ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ² Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ 120 Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ² 15 ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ² Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ 180 16 ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅Π»ΡΠΎΠ²Π°ΡΠΎ-ΠΊΠΎΡΠΈΡΠ½Π΅Π²ΡΠΉ(195) 17 ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ f(x)=2x^2(x-1)(x+2)^3(x^2+1)^2 18 Π Π΅ΡΠΈΡΡ Π΄Π»Ρ ? tan(x) = ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· 3 19 Π Π΅ΡΠΈΡΡ Π΄Π»Ρ ? sin(x)=(ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· 2)/2 20 ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠ΅Π½ΡΡ ΠΈ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ Ρ
^2+Ρ^2=25 21 ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠ΅Π½ΡΡ ΠΈ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ Ρ
^2+Ρ^2=4 22 ΠΠ°ΠΉΡΠΈ x 2cos(x)-1=0 23 ΠΠ°ΠΉΡΠΈ x 6Ρ
^2+12Ρ
+7=0 24 ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ Ρ
^2 25 ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ Ρ(Ρ
)=Ρ
^2 26 ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ² Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ 330 Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ² 27 Π Π°Π·Π²Π΅ΡΠ½ΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ (x^4(x-4)^2)/(ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· x^2+1) 28 Π£ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ ((3x^2)^2y^4)/(3y^2) 29 Π£ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ (csc(x)ΠΊΡΠΎΠ²Π°ΡΠΊΠ°(x))/(ΡΠ΅ΠΊ(x)) 30 Π Π΅ΡΠΈΡΡ Π΄Π»Ρ ? ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ(Ρ
)=0 31 ΠΠ°ΠΉΡΠΈ x Ρ
^4-3Ρ
^3-Ρ
^2+3Ρ
=0 32 ΠΠ°ΠΉΡΠΈ x ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ (Ρ
) = Π³ΡΠ΅Ρ
(Ρ
) 33 ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ x ΠΈ y Ρ
^2+Ρ^2+6Ρ
-6Ρ-46=0 34 ΠΠ°ΠΉΡΠΈ x ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· Ρ
+30=Ρ
35 Π£ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ Π΄Π΅ΡΡΠΊΠ°Ρ ΠΊΡΠΎΠ²Π°ΡΠΊΠ°(x)Π·Π°Π³Π°Ρ(x) 36 ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ Ρ=Ρ
^2 37 ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· x^2-4 38 ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΡΠ΅Ρ
(255) 39 ΠΡΠ΅Π½ΠΊΠ° Π»ΠΎΠ³ Π±Π°Π·Π° 27 ΠΈΠ· 36 40 ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΡ 2 ΡΡ. 2+n-72)=1/(n+9)
Π‘ΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
Π‘ΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π²Π°ΠΆΠ½Π° Π² ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ.
Π‘Π°ΠΌΡΠΉ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° β ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΡΡΠ³. ΠΠ»Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅ΡΡ ΞΈ , Π½Π°ΡΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΡΡΠ³ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π½Π°ΡΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ ΡΠ³ΠΎΠ» Ρ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠΌ Π² Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ. ΠΠΊΡ -ΠΎΡΡ. Π’ΠΎ Ρ -ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ° ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΡΠ³Π»Π° Ρ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡΡ Π³ΡΠ΅Ρ ( ΞΈ ) , ΠΈ ΠΠΊΡ -ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ° ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ( ΞΈ ) .
ΠΡΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠ²Π°ΡΡΡ Π½Π°
30
Β°
β
60
Β°
β
90
Β°
ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ
ΠΈ
45
Β°
β
45
Β°
β
90
Β°
ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ
.
ΠΠ½Π°Ρ ΡΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°.ΠΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π³ΡΠ΅Ρ ( ΞΈ ) ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½ΡΠ°Ρ Ρ ΠΈ II ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½ΡΠ°Ρ III ΠΈ IV .
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π½Π°Π½Π΅ΡΡΠΈ ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°, ΡΠ°ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ 0 ΠΈ 2 Ο .
ΠΠ»Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΞΈ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅, ΡΠ΅ΠΌ 0 ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅, ΡΠ΅ΠΌ 2 Ο ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΡΠ΅Ρ ( ΞΈ ) Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΎΠΏΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» .
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π½ΠΈΠΆΠ΅.ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ, Π° Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ β 1 β€ Ρ β€ 1 .
Π’ΠΎ
ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄
ΠΈΠ·
Ρ
(
ΠΠΊΡ
)
Π·Π½Π°ΠΊ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ
Π³ΡΠ΅Ρ
(
ΠΠΊΡ
)
ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ
2
Ο
. Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠ΅
2
Ο
β
ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ sin (xΒ±y) ΠΈ cos (xΒ±y) ΡΠ΅ΡΠ΅Π· sinx, siny, cosx ΠΈ cosy ΠΈ ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ sin (xΒ±y) ΠΈ cos (xΒ±y) ΡΠ΅ΡΠ΅Π· sinx, siny, cosx ΠΈ cosy ΠΈ ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
Cos (x + y) Γ cos y + sin (x + y) Γ sin y = cos x
ΠΠΎ-ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ , ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°.
ΠΠ°ΠΊ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ:
Cos (a+b) = cosa Γ cosb β sinxa Γ sinb
Sin (a+b) = sina Γ cosb + sina Γ cosb
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.
βΉ [cosx Γ ΡΡΡΠ½ΡΠΉ β sinx Γ siny) Γ ΡΡΡΠ½ΡΠΉ + (sinx Γ ΡΡΡΠ½ΡΠΉ + cosx Γ siny) Γ siny
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠ°ΡΠΊΡΠΎΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ
βΉ cosx Γ cos Β² y β sinx Γ siny Γ cossy + sinx Γ siny Γ cosx + cosx Γ sin Β² y
ΠΠ°Π»Π΅Π΅ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ,
βΉ cosx Γ cos Β² y + cosx Γ sin Β² y
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΡΡΠ΅ Cos x ΠΈΠ· ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ
ΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ². 2 Π³ = 1
βΉ cosx Γ 1 = cosx
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Β«2pΒ». ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ
Sin (q) = Sin (q + 2p)
Cos (q) = Cos (q + 2p)
ΠΠ»ΠΈ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ
Sin (q) = Sin (q + 2pk)
Cos (q) = Cos (q + 2pk),
ΠΠ΄Π΅, k ΡΠ΅Π»ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π‘ΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ; ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ,
Π³ΡΠ΅Ρ (-q) = -sin(q)
Π ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ β ΡΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ; ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ,
cos(-q) = cos(q)
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ:
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌ , ΡΡΠΎ
sin(a β b) = sin(a)cos(b) β cos(a)sin(b)
ΠΠ»ΠΈ, Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅,
sin(a Β± b) = sin(a)cos(b) Β± cos(a)sin(b)
cos(a + b) = cos(a)cos(b) β sin(a)sin(b)
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌ , ΡΡΠΎ
cos(a β b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
ΠΈΠ»ΠΈ
cos (x β y) = cos (x) cos (y) + sin(x)sin(y)
ΠΠ»ΠΈ, Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅,
Cos (a Β± b) = cos (a) cos (b) (-/+) sin (a) sin (b)
ΠΈΠ»ΠΈ
cos (x Β± y) = cos (x) cos (y) (-/+) sin (x) sin (y)
ΠΠ· ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ² ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ
ΠΡΠ΅Ρ (2x) = 2sin(x) cos(x)
ΠΠ· ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ
Cos (2x) = cos 2 (x) β sin 2 (x)
ΠΡΠΎΡΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ
Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΈΠΉ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ³ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Ρ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡ:
- Π Π°Π·Π²ΠΈΡΠΈΠ΅ Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΡΡΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΡΠ·ΡΠΊΠΈ: ΠΡ ΡΠ»ΡΡΠ°Π»ΠΈ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π·Π²ΡΠΊ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π² Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅, ΠΈ ΡΡΠ° ΡΠΎΡΠΌΠ° Π²ΠΎΠ»Π½Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΡΡΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΡΠ·ΡΠΊΠΈ.
- Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ Π²ΡΡΠΎΡΡ Π³ΠΎΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π΄Π°Π½ΠΈΡ. Π Π°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠ³Π»Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠ° ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡΠ°.
- Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π² Π°Π²ΠΈΠ°ΡΠΈΠΈ: ΠΠ»Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΡΡΠ° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ.
- ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΠΊΡΠΈΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ: Π ΡΠ°ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠ΅ΡΡΡΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΌΠΈΡΡ, ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΠΈΠ³ΡΠ°Π΅Ρ ΠΎΠ³ΡΠΎΠΌΠ½ΡΡ ΡΠΎΠ»Ρ. Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ ΠΏΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΈΠΈ ΡΠ½Π°ΡΡΠ΄Π°; ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ Π² ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½ ΡΡΠΎΠ»ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΡ Π² Π°Π²ΡΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π°Π²Π°ΡΠΈΠΈ. ΠΠ½ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ, ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ ΡΡΡΠ΅Π»ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΈΡΡΠΎΠ»Π΅Ρ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ.
- ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΌΠΎΡΡΠΊΠΎΠΉ Π±ΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ: Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠΎΡΡΠΊΠΈΠΌΠΈ Π±ΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³Π°ΠΌΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π³Π»ΡΠ±ΠΈΠ½Ρ ΡΠΎΠ»Π½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²Π΅ΡΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ Π²Π»ΠΈΡΠ΅Ρ Π½Π° Π²ΠΎΠ΄ΠΎΡΠΎΡΠ»ΠΈ Π² ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΎΡΠΈΠ½ΡΠ΅Π·Π°.
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΠΆΠΈΠ²ΠΎΡΠ½ΡΡ , ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΈΡΡ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΡΡΠΊΠΈΡ ΠΆΠΈΠ²ΠΎΡΠ½ΡΡ .
- ΠΡΠ΅ΠΈΠΌΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π² Π½Π°Π²ΠΈΠ³Π°ΡΠΈΠΈ: Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Π° ΠΏΡΠΈ Π½Π°Π²ΠΈΠ³Π°ΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΠΌ. ΠΠ½ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Ρ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°Ρ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ.
- ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π½Π° Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅ ΠΈ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ
- ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠ²Π΅ΡΠΎΠ²ΡΡ ΠΈ Π·Π²ΡΠΊΠΎΠ²ΡΡ Π²ΠΎΠ»Π½.
- Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π² ΠΎΠΊΠ΅Π°Π½ΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ° Π²ΡΡΠΎΡΡ Π²ΠΎΠ»Π½ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΈΠ²ΠΎΠ² Π² ΠΎΠΊΠ΅Π°Π½Π°Ρ .
- ΠΠΎΠ»Π΅Π·Π΅Π½ ΠΏΡΠΈ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΡΡ
- ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΡΠΏΡΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ
Π‘ΠΈΠ½ΡΡ
Π‘ΠΈΠ½ΡΡ, Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ sinβ‘(ΞΈ), ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΡΡΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°
ΠΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ±ΡΡΠΆΠ΄Π°ΡΡΡΡ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ: Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ
ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ
Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ. Π§Π°ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π·Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡ ΠΈΡ
ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ
Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°
ΠΠ»Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ ΠΎΡΡΡΡΠΌ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ ΞΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ³Π»Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΊ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ·Ρ.
Π‘ΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
- Π‘ΠΌΠ΅ΠΆΠ½ΡΠΉ: ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π° ΡΡΠ΄ΠΎΠΌ Ρ ΞΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ·ΠΎΠΉ
- ΠΠ°ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²: ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°, ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΞΈ.
- ΠΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ·Π°: ΡΠ°ΠΌΠ°Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Π°Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π° ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ°Ρ Π½Π°ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΠΏΡΡΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ³Π»Π°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ sinβ‘(ΞΈ) Π΄Π»Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Π½ΠΈΠΆΠ΅.
ΠΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΡ Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
ΠΠ°Π½Π΄ΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΈΠ½Π²Π°Π»ΠΈΠ΄Π½ΡΡ
ΠΊΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΊ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° 10Β° ΠΈ Π²ΡΡΠΎΡΡ 3 ΡΡΡΠ°. ΠΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΏΠ°Π½Π΄ΡΡΠ°?
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ
Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ.ΠΠ΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ β ΡΡΠΎ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠΎΠΌ 1 Ρ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠΌ Π² Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Π΄ΠΎΠΏΡΡΠΊΠ°Π΅Ρ ΡΠ³Π»Ρ ΠΎΡ 0 Β° Π΄ΠΎ 90 Β° (0 ΠΈ Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ ). ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΡΠ³Π° ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠΈΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π½Π° Π²ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°. Π‘ΠΌ. ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ Π½ΠΈΠΆΠ΅.
Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΡ (x, y) Π½Π° ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΡΠ³Π°, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅. Π ΡΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ·Π° ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΈΠ»ΠΈ 1.ΞΈ β ΡΠ³ΠΎΠ», ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ³Π»Π° Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΠΈ x ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ³Π»Π°, ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π»ΡΡΠ° ΠΏΠΎ ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ. ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π° ΡΠ³Π»Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ·ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠΎΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΡΠ°Π²Π½Π° 1. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ
ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ y Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π° ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΡΠ³Π° ΡΠ°Π²Π½ΠΎ sinβ‘(ΞΈ).
Π ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ , ΡΡΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π΅Ρ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ³Π»Π°, Π° Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΡΡΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ sinβ‘(ΞΈ). ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° (-β,β), Π° Π΅Π΅ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ ΡΠ°Π²Π΅Π½ [-1,1].
ΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°
Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ², ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠ° ΠΈ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠ°ΡΠΈΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΡΠ΄Π° Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°.Π Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅Π² Π½Π΅Ρ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π²ΡΡΡΠ½ΡΡ, ΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π° ββΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ°, ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ.
ΠΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°
ΠΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΠ³Π»Π° ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ³Π»Π° ΠΏΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°.
Π§Π°ΡΡΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΠ΅ ΡΠ³ΠΎΠ»ΠΊΠΈ
Π₯ΠΎΡΡ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ³Π»Π°, Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ³Π»Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ°ΡΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π² ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ. ΠΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ 16 ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ , ΡΠ°ΠΊ ΠΈ Π² Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠ°Ρ , Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΠΈΠΌ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ.
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ Π²ΡΡΠ΅ ΡΠ»ΡΠΆΠΈΡ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠΌ Π΄Π»Ρ Π±ΡΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ² (Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ y) ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ² (Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ x) ΡΠ³Π»ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π² ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ. ΠΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ°, ΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 0 ΠΏΡΠΈ 0Β° ΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 1 ΠΏΡΠΈ 90Β°. ΠΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡ Π΅ΠΌΠ΅; ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ ΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΊΠΎΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ (ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Ρ ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅). ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠΈ ΡΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ 30Β° (), 45Β° (), 60Β° () ΠΈ ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅. ΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΡΠΈΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ² ΡΡΠΎΠΈΡ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ Π² ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ.
ΠΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡ Π² Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠΈΡ
Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ sin(ΞΈ) Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄ΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ, Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡΠΈΡ
ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ. ΠΠ°ΡΠΈΠ½Π°Ρ Ρ 0Β° ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΄Π²ΠΈΠ³Π°ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· 90Β°, sin(0Β°) = 0 = . ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ sin(30Β°), sin(45Β°), sin(60Β°) ΠΈ sin(90Β°) ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΌΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Ρ, ΡΡΠΎ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ sin(0Β°) Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΡΡΠ°Π»ΠΎΠ½Π°, Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ
ΡΠ³Π»ΠΎΠ², ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΡΠ°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ Π½Π° 1, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.
ΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΎΡ 0Β° Π΄ΠΎ -90Β° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡ ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΡΡ Π΅ΠΌΠ΅, Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, Π° Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»Π΅Π½ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½ΡΠ΅ IV.ΠΡΠΎΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΎΠ½ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ sin(ΞΈ) Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΞΈ Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ Π²ΠΎ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°: ΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½ΡΠ°Ρ I ΠΈ II ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½ΡΠ°Ρ III ΠΈ IV. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°. ΠΡΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΡ ΠΊ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°.
ΠΠ½Π°Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠ² Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½ΡΠ΅, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΈΡ
Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ
ΡΠ³Π»ΠΎΠ² Π² ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ
ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½ΡΠ°Ρ
ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΎΠΏΠΎΡΠ½ΡΡ
ΡΠ³Π»ΠΎΠ².
ΠΠΏΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ³ΠΎΠ»ΠΊΠΈ
ΠΠΏΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» β ΡΡΠΎ ΠΎΡΡΡΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» (<90Β°), ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ³Π»Π° Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅ΡΡ. ΠΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΠΏΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ ΠΎΡ 0Β° Π΄ΠΎ 90Β°. ΠΡΠΎ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠΈΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» (ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΠΈ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡ), ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΡΠ³Π»Π°. ΠΠ° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ ΡΠ³ΠΎΠ» ΞΈ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠΏΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» ΞΈ'.
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΞΈβ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠΏΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ ΞΈ, Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ sinβ‘(ΞΈ) ΠΈ sinβ‘(ΞΈβ) ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ.ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, 30Β° β ΡΡΠΎ ΠΎΠΏΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» 210Β°, ΠΈ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΠΌΡΡ ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΊΡΡΠ³Ρ, ΡΠΎ ΡΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ
ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ 1/2, Ρ
ΠΎΡΡ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Ρ Π²ΡΠ΅Ρ
ΡΠ³Π»ΠΎΠ² Π΅ΡΡΡ ΠΎΠΏΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ», Π½Π°ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ sinβ‘(ΞΈ) (Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ
ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ) Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½ΡΠ΅ I. ΠΡΠ΅ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ³Π»Ρ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΠΈ ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΡ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΈΡ
Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½ΡΠ°, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π° ΡΠ³Π»Π°.ΠΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ°, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΠ°Ρ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°, ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½ΡΠ΅.
ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Π° | ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ | ΠΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ | |
ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½Ρ I | + | + | + |
ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½Ρ II | + | β | β |
ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½Ρ III | β | β | + |
Quadrant IV | β | + | β |
ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΊ ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°Π»ΠΎΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ³Π»Π°.Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ°Π³ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΎΠΏΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ³Π»Π°, ΞΈ:
- ΠΡΡΡΠΈΡΠ΅ 360Β° ΠΈΠ»ΠΈ 2Ο ΠΈΠ· ΡΠ³Π»Π° ΡΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ°Π·, ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ (ΡΠ³ΠΎΠ» Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±ΡΡΡ Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ ΠΎΡ 0Β° Π΄ΠΎ 360Β° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ 2Ο). ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ ΠΎΡ 0Β° Π΄ΠΎ 90Β°, ΡΡΠΎ ΠΎΠΏΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ».
- ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½ΡΠ΅ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π° ΡΠ³Π»Π° (Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π° ΡΠ³Π»Π° ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡ)
- Π Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½ΡΠ΅ Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π° ΡΠ³Π»Π°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΎΠΏΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ».
Π ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½ΡΠ΅ I ΞΈβ=ΞΈ.
ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½Ρ II | ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½Ρ III | ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½Ρ IV |
---|---|---|
ΞΈβ= 180Β° β ΞΈ | ΞΈβ= ΞΈ β 180Β° | ΞΈβ= 360Β° β ΞΈ |
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ sinβ‘(120Β°).
- ΞΈ ΡΠΆΠ΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ ΠΎΡ 0Β° Π΄ΠΎ 360Β°
- 120Β° Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½ΡΠ΅ II
- 180Β° β 120Β° = 60Β°, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠΏΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» ΡΠ°Π²Π΅Π½ 60Β°
sinβ‘(60Β°)=.120 Β° Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½ΡΠ΅ II, Π° ΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅Π½ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½ΡΠ΅ II, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ sinβ‘(690Β°).
- 690Β° β 360Β° = 330Β°
- 330Β° Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½ΡΠ΅ IV
- 360Β° β 330Β° = 30Β°, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠΏΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» ΡΠ°Π²Π΅Π½ 30Β°
sinβ‘(30Β°)=. 330 Β° Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½ΡΠ΅ IV, Π³Π΄Π΅ ΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ:
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°
ΠΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ ΠΏΡΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ Ρ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ.
Π‘ΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°
ΠΠΎΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ β ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ f(A) = g(B) ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ A ΠΈ B ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ. Π ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°
sinβ‘(ΞΈ) = cosβ‘(90Β° β ΞΈ)
cosβ‘(ΞΈ) = sinβ‘(90Β° β ΞΈ)
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
sinβ‘(60Β°) = cosβ‘(90Β° β 60Β°) = cosβ‘(30Β°)
Π‘ΡΡΠ»Π°ΡΡΡ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΡΡΠ³, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠΉ Π²ΡΡΠ΅, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ cosβ‘(30Β°) ΠΈ sinβ‘(60Β°) ΠΈ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, ΡΡΠΎ:
Π‘ΠΈΠ½ΡΡ β Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
ΠΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ β ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ -f(x)=f(-x).ΠΠ½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ,
-Π³ΡΠ΅Ρ (ΞΈ) = Π³ΡΠ΅Ρ β‘(-ΞΈ)
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, ΡΡΠΎ sinβ‘(60Β°)=, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ -sinβ‘(60Β°)=, Π° sinβ‘(-60Β°) ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ΅Π½ sinβ‘(-60Β° + 360Β°) = sinβ‘(300Β°), ΡΡΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ . ΠΡΠΎ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π½ΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠ².
Π‘ΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ
ΠΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ β ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ p ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅, ΡΡΠΎ
Π΅(Ρ +Ρ) = Π΅(Ρ )
Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ x Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ f, p β Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ f ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ, ΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ f.
Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ·-Π·Π° ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ; Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Ρ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΌΡ Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Π΅ΠΌ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ 2Ο (360 Β°) ΠΏΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, ΠΌΡ Π²Π΅ΡΠ½Π΅ΠΌΡΡ Π² ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π° ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΌΡ ΠΎΠ±Π½Π°ΡΡΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½Π° ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠ΅ 2Ο, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ 2Ο β ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ:
Π³ΡΠ΅Ρ β‘(ΞΈ+2Ο) = Π³ΡΠ΅Ρ β‘(ΞΈ)
ΠΠ»Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ° Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ
.Π³ΡΠ΅Ρ β‘(ΞΈ+2Οn) = Π³ΡΠ΅Ρ β‘(ΞΈ)
, Π³Π΄Π΅ n β ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
ΠΠ° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ.
Π‘ΠΈΠ½ΠΈΠΌ ΡΠ²Π΅ΡΠΎΠΌ ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ . . ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ 2Ο ΠΊ , ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ³ΠΎΠ», ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ²Π΅ΡΠΎΠΌ, . ΠΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ°, Π½Π΅ΡΠΌΠΎΡΡΡ Π½Π° ΡΠ°Π·Π½ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ° Π² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ ΡΠ³Π»Π°Ρ , ΠΈΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ, Π° ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ . ΠΡ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡΡ Π΅ΡΠ΅ 2Ο ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π±Ρ, ΡΡΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΈ . Π’Π°ΠΊΠΎΠ²Π° ΠΏΡΠΈΡΠΎΠ΄Π° ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ; ΡΡΠΎ ΡΠ³Π»Ρ Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠΌΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ, Π½ΠΎ Ρ ΡΠ°Π·Π½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ:
1.
2.
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΠ΅ΡΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ -β
ΠΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ y=sinβ‘(x) Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠ»Π΅Π²Π° ΠΈ ΡΠΏΡΠ°Π²Π° ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ ΠΊ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°. ΠΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΠΈΠΉ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄Π° ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ [-4Ο,4Ο].
ΠΠ° ΡΡΠΎΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ y=sinβ‘(x) Π΄Π΅ΠΌΠΎΠ½ΡΡΡΠΈΡΡΠ΅Ρ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ; Π΅ΡΠ»ΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, ΠΎΠ½ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π΅Ρ Π·Π΅ΡΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ -sinβ‘(x)=sinβ‘(-x).
ΠΠ±ΡΠ΅Π΅ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ±ΡΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°:
y = AΒ·sin(B(x β C)) + D
, Π³Π΄Π΅ A, B, C ΠΈ D β ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ.Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅, Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½Ρ Π²Π»ΠΈΡΠ΅Ρ Π½Π° ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ y=sinβ‘(x), ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π²ΡΡΠ΅. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΡΠΎ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ, Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅, ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡ, ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΡ Π²ΡΡΠ΅; Π±ΡΠ΄ΡΡΠ΅ ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠΆΠ½Ρ ΡΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ.
A β Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ; Π²ΡΡΠΎΡΠ° ΠΎΡ ΡΠ΅Π½ΡΡΠ° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π΄ΠΎ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°. Π y=sinβ‘(x) ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡΡ x, Π° Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄Π° ΡΠ°Π²Π½Π° 1, ΠΈΠ»ΠΈ A=1, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠ°ΠΌΠ°Ρ Π²ΡΡΠΎΠΊΠ°Ρ ΠΈ ΡΠ°ΠΌΠ°Ρ Π½ΠΈΠ·ΠΊΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π°Π΅Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, ΡΠ°Π²Π½Ρ 1 ΠΈ -1, Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ sinβ‘(x ).
ΠΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ y=sinβ‘(x), ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΡΠΈΠΎΠ»Π΅ΡΠΎΠ²ΡΠΌ ΡΠ²Π΅ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y=2 sinβ‘(x) (ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄Ρ, Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π²ΡΡΠ°ΡΡΡΡ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄Ρ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°.
B β ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ; ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ β ΡΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΠΏΠΈΠΊΠ° Π΄ΠΎ ΠΏΠΈΠΊΠ° (ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π΄ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΡ) ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ ΠΊΠ°ΠΊ . Π y=sinβ‘(x) ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 2Ο. ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ±Π΅Π΄ΠΈΡΡΡΡ Π² ΡΡΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π² Π½Π° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Ρ. Π‘ΡΡΠ»Π°ΡΡΡ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ Π²ΡΡΠ΅, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ [-2Ο, 0] ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Π° ΡΠΎΡΠΌΠ΅ ΠΈΠ· [0, 2Ο], ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π° 2Ο; Ρ. Π΅. ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ 2Ο.
ΠΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ y=sinβ‘(x), ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΡΠΈΠΎΠ»Π΅ΡΠΎΠ²ΡΠΌ ΡΠ²Π΅ΡΠΎΠΌ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ 2Ο, y=sinβ‘(2x) (ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ . ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠ΅ Ο, Π° Π½Π΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠ΅ 2Ο.
C β ΡΠ°Π·ΠΎΠ²ΡΠΉ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ; ΡΠ°Π·ΠΎΠ²ΡΠΉ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΠΈ. ΠΡΠ»ΠΈ C ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ. ΠΡΠ»ΠΈ C ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π°Π΅ΡΡΡ Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ. ΠΡΠ΄ΡΡΠ΅ ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠΆΠ½Ρ ΡΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ; Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΎ C Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ , ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅ Π΅ΡΡΡ .Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ Π±Ρ ΡΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠ»ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π²Π»Π΅Π²ΠΎ.
ΠΠ° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ y=sinβ‘(x) (ΡΠΈΠΎΠ»Π΅ΡΠΎΠ²ΡΠΉ) ΠΈ (ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ). ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΏΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΡΡΠ°Π»ΠΎΠ½Π°, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΈΠΊ at ΡΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠ»ΡΡ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ΠΎΡ ΡΠ²ΠΎΠ΅Π³ΠΎ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (0,1).
D β Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ; Π΅ΡΠ»ΠΈ D ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π²Π΅ΡΡ Π½Π° D Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ, Π° Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π½ΠΈΠ·.
ΠΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ y=sinβ‘(x), ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΡΠΈΠΎΠ»Π΅ΡΠΎΠ²ΡΠΌ ΡΠ²Π΅ΡΠΎΠΌ ΠΈ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠΈ x (y=0), y=sin(x)+5 (ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ) ΡΠ΅Π½ΡΡΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ y=5 ( ΡΠΈΠ½ΠΈΠΉ).
ΠΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡ Π²ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ, Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ (ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ) ΠΏΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ y=sinβ‘(x) (ΡΠΈΠΎΠ»Π΅ΡΠΎΠ²ΡΠΉ).
Π‘ΠΌ. ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ, ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ, Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΡΡΠ³, ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ.
-sinβ‘(60Β°) = sinβ‘(-60Β°) |
-sinβ‘(60Β°) = sinβ‘(300Β°) |