Sin x: Арксинус ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin x = a β€” ΡƒΡ€ΠΎΠΊ. АлгСбра, 10 класс.

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Mathway | ΠŸΠΎΠΏΡƒΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

1 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin(30)
2 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin(45)
3 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin(30 Π³Ρ€Π°Π΄. )
4 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin(60 Π³Ρ€Π°Π΄. )
5 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ tan(30 Π³Ρ€Π°Π΄. )
6 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ arcsin(-1)
7 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin(pi/6)
8 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(pi/4)
9 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin(45 Π³Ρ€Π°Π΄. )
10 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin(pi/3)
11 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ arctan(-1)
12 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(45 Π³Ρ€Π°Π΄. )
13 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(30 Π³Ρ€Π°Π΄. )
14 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ tan(60)
15 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ csc(45 Π³Ρ€Π°Π΄. )
16 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ tan(60 Π³Ρ€Π°Π΄. )
17 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sec(30 Π³Ρ€Π°Π΄. )
18 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(60 Π³Ρ€Π°Π΄. )
19 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(150)
20 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin(60)
21 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(pi/2)
22 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ tan(45 Π³Ρ€Π°Π΄. )
23 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ arctan(- ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 3)
24 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ csc(60 Π³Ρ€Π°Π΄. )
25 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sec(45 Π³Ρ€Π°Π΄. )
26 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ csc(30 Π³Ρ€Π°Π΄. )
27 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin(0)
28 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin(120)
29 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(90)
30 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² градусы pi/3
31 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ tan(30)
32 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ 45
33 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(45)
34 Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ sin(theta)^2+cos(theta)^2
35 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² градусы pi/6
36 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cot(30 Π³Ρ€Π°Π΄. )
37 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ arccos(-1)
38 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ arctan(0)
39 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cot(60 Π³Ρ€Π°Π΄. )
40 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ 30
41 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² градусы (2pi)/3
42 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin((5pi)/3)
43 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin((3pi)/4)
44 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ tan(pi/2)
45 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin(300)
46 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(30)
47 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(60)
48 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(0)
49 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(135)
50 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos((5pi)/3)
51 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(210)
52 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sec(60 Π³Ρ€Π°Π΄. )
53 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin(300 Π³Ρ€Π°Π΄. )
54 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ 135
55 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ 150
56 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² градусы (5pi)/6
57 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² градусы (5pi)/3
58 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ 89 Π³Ρ€Π°Π΄.
59 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ 60
60 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin(135 Π³Ρ€Π°Π΄. )
61 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin(150)
62 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin(240 Π³Ρ€Π°Π΄. )
63 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cot(45 Π³Ρ€Π°Π΄. )
64 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² градусы (5pi)/4
65 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin(225)
66 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin(240)
67 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(150 Π³Ρ€Π°Π΄. )
68 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ tan(45)
69 Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ sin(30 Π³Ρ€Π°Π΄. )
70 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sec(0)
71 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos((5pi)/6)
72 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ csc(30)
73 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ arcsin(( ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 2)/2)
74 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ tan((5pi)/3)
75 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ tan(0)
76 Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ sin(60 Π³Ρ€Π°Π΄. )
77 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ arctan(-( ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 3)/3)
78 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² градусы (3pi)/4
79 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin((7pi)/4)
80 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅
arcsin(-1/2)
81 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin((4pi)/3)
82 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ csc(45)
83 Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ arctan( ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 3)
84 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin(135)
85 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin(105)
86 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin(150 Π³Ρ€Π°Π΄. )
87 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin((2pi)/3)
88 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ tan((2pi)/3)
89 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² градусы pi/4
90 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin(pi/2)
91 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sec(45)
92 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos((5pi)/4)
93 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos((7pi)/6)
94 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ arcsin(0)
95 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin(120 Π³Ρ€Π°Π΄. )
96 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ tan((7pi)/6)
97 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(270)
98 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin((7pi)/6)
99 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ arcsin(-( ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 2)/2)
100 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ 88 Π³Ρ€Π°Π΄.

sinx>a

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ тригономСтричСскиС нСравСнства Π²ΠΈΠ΄Π° sin x>a β€” основа для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТных тригономСтричСских нСравСнств.

Рассмотрим Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… тригономСтричСских нСравСнств Π²ΠΈΠ΄Π° sin x>a  Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности.

1) ΠΏΡ€ΠΈ 0<a<1

Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ассоциации косинус-ΠΊΠΎΠ»ΠΎΠ±ΠΎΠΊ (ΠΎΠ±Π° Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‚ΡΡ с ΠΊΠΎ-, ΠΎΠ±Π° Β«ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Π΅Π½ΡŒΠΊΠΈΠ΅Β»), вспоминаСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ косинус β€” это x, соотвСтствСнно, синус β€” y. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° строим Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=a β€” ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ оси ox. Если нСравСнство строгоС, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности ΠΈ прямой y=a Π²Ρ‹ΠΊΠΎΠ»ΠΎΡ‚Ρ‹Π΅, Ссли нСравСнство нСстрогоС β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π·Π°ΠΊΡ€Π°ΡˆΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ (ΠΊΠ°ΠΊ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° выколотая, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° β€” Π·Π°ΠΊΡ€Π°ΡˆΠ΅Π½Π½Π°Ρ, смотритС здСсь). НаибольшиС Π·Π°Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… тригономСтричСских нСравСнств Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ пСрСсСчСния Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности ΠΈ прямой y=a.

 ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ нСслоТно β€” это arcsin a. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ. На прямой y=a  sinx=a, свСрху, Π½Π°Π΄ прямой, sin x>a, Π° Π½ΠΈΠΆΠ΅, ΠΏΠΎΠ΄ прямой, sin x<a. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ нСравСнство sinx>a, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, arcsin a, ΠΊΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ, ΠΌΡ‹ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π² сторону увСличСния ΡƒΠ³Π»Π°. ΠœΡ‹ Π½Π΅ Π΄ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π΄ΠΎ ΠΏ. На сколько Π½Π΅ Π΄ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ? На arcsin a. Π Π°Π· Π½Π΅ дошли Π΄ΠΎ ΠΏ, Ρ‚ΠΎ вторая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° мСньшС ΠΏ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΅Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΈΠ· ΠΏ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ arcsina. РСшСниСм нСравСнства sin x>a Π² этом случаС являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ ΠΎΡ‚ arcsin a Π΄ΠΎ ΠΏ-arcsin a.   ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ синуса Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2ΠΏ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΡ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ всС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ нСравСнства (Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠ² β€” бСсконСчноС мноТСство), ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° прибавляСм 2ΠΏn, Π³Π΄Π΅ n β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число (n ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Z).

2) a=0, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ sin x>0

Π’ этом случаС пСрвая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ° β€” 0, вторая β€” ΠΏ. К ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ° с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° синуса прибавляСм 2ΠΏn.

3) ΠΏΡ€ΠΈ a=-1, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ sinx>-1

Π’ этом случаС пСрвая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° -ΠΏ/2, Π° Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΏΠ°ΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ, ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ всю ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки. ПопадаСм Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ -ΠΏ/2+2ΠΏ=3ΠΏ/2. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΡ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ всС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ нСравСнства, ΠΊ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°ΠΌ прибавляСм 2ΠΏn.

4) sinx>-a, ΠΏΡ€ΠΈ 0<a<1

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° β€” ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ, arcsin(-a)=-arcsina. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΏΠ°ΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, ΠΈΠ΄Π΅ΠΌ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΠΌ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π² сторону увСличСния ΡƒΠ³Π»Π°.

 ΠΠ° этот Ρ€Π°Π· ΠΌΡ‹ Π·Π° ΠΏ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ. На сколько ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ? На arcsin x. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, вторая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° β€” это ΠΏ+arcsin x. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Π½Π΅Ρ‚ минуса? ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ минус Π² записи -arcsin a  ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ часовой стрСлки, Π° ΠΌΡ‹ шли ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ². И Π² Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρƒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° прибавляСм 2ΠΏn.

5) sinx>a, Ссли а>1.

Единичная ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Ρ†Π΅Π»ΠΈΠΊΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ прямой y=a. НСт Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ прямой. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅Ρ‚.

6) sinx>-a, Π³Π΄Π΅ a>1.

Π’ этом случаС вся Сдиничная ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π»ΠΈΠΊΠΎΠΌ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π°Π΄ прямой y=a. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ любая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° удовлСтворяСт ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ sinx>a. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, x β€” любоС число.

   

И здСсь x β€” любоС число, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ -ΠΏ/2+2ΠΏn входят Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ строгого нСравСнства sinx>-1. НичСго ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ Π½Π°Π΄ΠΎ.

   

ЕдинствСнной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Π½Π° окруТности, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ, являСтся ΠΏ/2. Π‘ ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° синуса, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ нСравСнства являСтся мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ x=ΠΏ/2+2ΠΏn.

НапримСр, Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСравСнство sinx>-1/2:

Ѐункция y = sin x, свойства ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ синуса с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ

ΠΏ.1. Π Π°Π·Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΊΠ° ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ двиТСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎ числовой окруТности Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΎΡ‚ ΡƒΠ³Π»Π°

ΠŸΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎ числовой окруТности Π΅Ρ‘ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° являСтся синусом ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° (см. Β§2 Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ справочника).

Рассмотрим, ΠΊΠ°ΠΊ измСняСтся синус, Ссли Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° описываСт ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³, ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» x измСняСтся Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ…: 0≀x≀2Ο€ ΠΈ построим Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=sinx Π½Π° этом ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅.

Если ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ окруТности для ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² x > 2Ο€, кривая продолТится Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ; Ссли Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ (ΠΏΠΎ часовой стрСлкС) для ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² x<0, кривая продолТится Π²Π»Π΅Π²ΠΎ.

Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=sinx для любого \(x\in\mathbb{R}\).

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=sinx Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ синусоидой.
Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ синусоиды для 0≀x≀2Ο€ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ синусоиды.
Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ синусоиды для 0≀x≀π Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠ²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π°Ρ€ΠΊΠΎΠΉ синусоиды.

ΠΏ.2. Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

y=sinx⁑

1. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния \(x\in\mathbb{R}\) β€” мноТСство Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

2. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π° свСрху ΠΈ снизу

$$ -1\leq sinx\leq 1 $$

ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ \(y\in[-1;1]\)

3. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡ нСчётная

$$ sin(-x)=-sinx $$

4. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡ пСриодичСская с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 2Ο€

$$ sin(x+2\pi k)=sinx $$

5. ΠœΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния \(y_{max}=1\) Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ³Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…

$$ x=\frac\pi2+2\pi k $$

ΠœΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния \(y_{min}=-1\) Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ³Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…

$$ x=-\frac\pi2+2\pi k $$

Нули Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(y_{0}=sinx_0=0\) Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ³Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… \(x_0=\pi k\)

6. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡ возрастаСт Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°Ρ…

$$ -\frac\pi2+2\pi k\leq x\leq\frac\pi2+2\pi k $$

Ѐункция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°Ρ…

$$ \frac\pi2+2\pi k\leq x\leq\frac{3\pi}{2}+2\pi k $$

7. 2}{4}\right)\) (см. Β§29 справочника для 8 класса)

Π”Π²Π° корня: \(x_1=0,\ \ x_2=\pi\)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ $$ y=sinx,\ \ y=-sinx,\ \ y=2sinx,\ \ y=sinx+2 $$

\(y=-sinx\) – ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ исходной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(y=sinx\) ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси OX. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ \(y\in[-1;1]\).
\(y=2sinx\) – исходная функция растягиваСтся Π² 2 Ρ€Π°Π·Π° ΠΏΠΎ оси OY. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ \(y\in[-2;2]\).
\(y=sinx+2\) β€” исходная функция поднимаСтся Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… Π½Π° 2. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ \(y\in[1;3]\).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ $$ y=sinx,\ \ y=sin2x,\ \ y=sin\frac{x}{2} $$

Амплитуда ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρƒ всСх Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Π°, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ \(y\in[-1;1]\).
ΠœΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ синусом измСняСт ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ.
\(y=sin2x\) β€” ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² 2 Ρ€Π°Π·Π°, полная Π²ΠΎΠ»Π½Π° укладываСтся Π² ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ \(0\leq x\leq \pi\).
\(y=sin\frac{x}{2}\) β€” ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ увСличиваСтся Π² 2 Ρ€Π°Π·Π°, полная Π²ΠΎΠ»Π½Π° укладываСтся Π² ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ \(0\leq x\leq 4\pi\).

Бинус ΠΈ косинус β€” тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=sin(x), y=cos(x). Бвойства, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния, значСния, Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρ‹, Π½ΡƒΠ»ΠΈ, ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ знакопостоянства, возрастаниС, ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹, максимумы, основныС значСния, Π·Π½Π°ΠΊΠΈ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния


Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ DPVA.ru β€” Π˜Π½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ



АдрСс этой страницы (Π²Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ) Π² справочникС dpva.ru:  Π³Π»Π°Π²Π½Π°Ρ страница  / / Π’СхничСская информация / / ΠœΠ°Ρ‚СматичСский справочник / / Π’ригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ. sin, cos, tg, ctg….ЗначСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ВригономСтричСскиС тоТдСства.  / / Π‘инус ΠΈ косинус β€” тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=sin(x), y=cos(x). Бвойства, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния, значСния, Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρ‹, Π½ΡƒΠ»ΠΈ, ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ знакопостоянства, возрастаниС, ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹, максимумы, основныС значСния, Π·Π½Π°ΠΊΠΈ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния

ΠŸΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ:   

Бинус (sin) ΠΈ косинус (cos) β€” тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

y=sin(x), y=cos(x). Бвойства, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ значСния, Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρ‹, Π½ΡƒΠ»ΠΈ, ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ знакопостоянства, возрастаниС, ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹, максимумы, основныС значСния, Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΏΠΎ чСтвСртям, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния.

Бвойства, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ значСния, Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρ‹, Π½ΡƒΠ»ΠΈ, ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ знакопостоянства, возрастаниС, ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹, максимумы, основныС значСния:

Бвойства, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ значСния, Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρ‹, Π½ΡƒΠ»ΠΈ, ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ знакопостоянства, возрастаниС, ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹, максимумы, основныС значСния:

  • ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния D(y):
  • ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ E(x):
  • НаимСньший ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄:
  • ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ пСрСсСчСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с осью:
  • ΠŸΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ знакопостоянства β€”  Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚:
  • ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния:
  • ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†ΠΏΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния:
  • ΠŸΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ возрастания:
  • ΠŸΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ убывания:
  • Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°:
  • ΠœΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
  • Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума:
  • ΠœΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ градусной ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΡƒΠ³Π»Π° Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ

ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅:

ЗначСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²:

Π—Π½Π°ΠΊΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅:
Поиск Π² ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ справочникС DPVA. Π’Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ свой запрос:
Поиск Π² ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ справочникС DPVA. Π’Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ свой запрос:

РСшСниС тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ подстановок: sinx+cosx=t, sinx-cosx=t, tgx+ctgx=t, tgx-ctgx=t

Π¦Π΅Π»ΠΈ:

1). ΠžΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅:

  • ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ уровня овладСния знаниями, ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ².
  • ΠšΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ†ΠΈΡ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ, ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΎΠ².
  • ΠžΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ постСпСнно ΡƒΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ уравнСния, Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ подстановок.
  • УчащиСся Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ творчСски ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ знания, учится ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ситуации, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ знания.

2) Π Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅:

  • Π Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρƒ учащихся ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ знания Π² нСстандартных ситуациях.
  • Π Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρƒ учащихся творчСский ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ заданиям.
  • Π Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρƒ учащихся ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΎΠ±Ρ€Π΅Ρ‚Ρ‘Π½Π½Ρ‹Π΅ знания Π² Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ условия.

3) Π’ΠΎΡΠΏΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ:

  • Π€ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, ΠΌΡ‹ΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ активности.

Π₯ΠΎΠ΄ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°

  1. ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅. РассмотрСниС свойств тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, примСняСмых ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
  2. ОбъяснСниС Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°. РассмотрСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹.
  3. Π—Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°.
  4. Π‘Π°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°.
  5. Π”ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠ½Π΅Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅.

ВмСстС с учащимися Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ€Π°ΡŽΡ‚ΡΡ свойства:

1) Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ sinx cosx, Ссли извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ sinx +cosx= 3/4.

(sinx +cosx)2 = sin2x +cos2x +2 sinx cosx.

2 sinx cosx = 9/16 β€” 1= β€” 7/ 16, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ sinx cosx = -7/32.

2) Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ tg2x+ctg2x, Ссли tgx+ctgx=3.

9= (tgx+ctgx)2= tg2x+ctg2x + 2tgx ctgx= tg2x+ctg2x + 2.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ tg2x+ctg2x = 7.

ВмСстС с учащимися разбираСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… свойств.

β„– 1. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ эту подстановку ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ уравнСния sin2x – 4 sin x = 4 + 4 cos x.

РСшСниС:

4(sin x + cos x) – 2 sin x cos x +4 = 0.

Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: sin x + cos x = t , Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° 2sin x cos x = t2 -1.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ :

4 t – ( t2 β€” 1) + 4 = 0,

t2 β€” 4 t – 5 = 0.

РСшая ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ t1 = 5, t2 = -1.

1) sin x + cos x = 5

НСт Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Β¦ sin xΒ¦ 1 , Β¦cos xΒ¦ 1.

2) sin x + cos x = β€” 1

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ способ ввСдСния Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.

Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π½ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° .

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

cos / 4 * sin x + sin / 4 * cos x = β€” / 2;

sin (x + / 4) = β€” / 2.

РСшая тригономСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

x + / 4 = β€” / 4 + 2n ΠΈΠ»ΠΈ x + / 4= 5/ 4 + 2 n, Π³Π΄Π΅ n Z.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: /2 + 2 n; + 2n, Π³Π΄Π΅ n Z.

Π—Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° (Ρƒ доски β€” учащийся):

β„– 2. 2 cos x – sin 2x = 2 +2 sinx.

РСшСниС:

2 (sinx – cosx) + 2 sinx + 2 = 0

Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: sin x β€” cos x = t, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° 2sin x cos x = 1 β€” t2.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

2t + 1 β€” t2 + 2 = 0;

t2 β€” 2t – 3 = 0.

РСшая ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ: t1= 3 , t2 = -1.

1) sin x + cos x = 3. НСт Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Β¦ sin xΒ¦ 1 , Β¦cos xΒ¦ 1.

2) sin x β€” cos x = β€” 1.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ способ ввСдСния Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.

Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π½ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° .

cos / 4 * sin x β€” sin / 4 * cos x = β€” / 2.

sin ( x β€” / 4 ) = β€” / 2.

РСшая тригономСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ :

x β€” / 4 = β€” / 4 + 2 n ΠΈΠ»ΠΈ x β€” / 4 = 5 / 4 + 2 n , Π³Π΄Π΅ n Z.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 2 n ; 3 / 2 + 2 n , Π³Π΄Π΅ n Z.

β„– 3. sin 2x + 3(sin x-cos x ) =5.

РСшСниС.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ с ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΎΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ подстановку, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ: t2 β€” 3t +4 = 0.

t1 = 2 , t2 =

sin x + cos x =2.

НСт Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Β¦ sin xΒ¦ 1, Β¦cos xΒ¦ 1.

2) sin x β€” cos x = .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ способ ввСдСния Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ .

Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π½ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° .

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

sin ( x β€” / 4 ) = 1.

x β€” / 4 = / 2 + 2 n ΠΈΠ»ΠΈ x = 3/ 4 + 2 n, Π³Π΄Π΅ n Z .

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 3/ 4 + 2 n, Π³Π΄Π΅ n Z .

β„– 4. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ подстановку.

4tg2x+ctg2x +6tgx-3 ctg x-8 =0.

РСшСниС:

2tg x- ctg x = t.

4tg2x+ctg2x – 4 = t2, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

t2 + 3t – 4 = 0

t1 = -4 , t2 = 1

2tg x- ctg x = β€” 4.

2tg x- 1/tg x = β€” 4

2 tg2x+ 4tg x β€” 1 =0.

t1 = (-2 + )/2, t 2 = (-2 β€” )/2.

Ρ…= arc tg (-2 + )/2 + n ΠΈΠ»ΠΈ Ρ…= arc tg (-2 β€” )/2 + n , Π³Π΄Π΅ n Z .

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: arctg (-2 + )/2 + n , arctg (-2 β€” )/2 + n , Π³Π΄Π΅ n Z .

β„– 5. Π—Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹:

tg2x+ctg2x -3(tgx+ ctg x) + 4=0.

РСшСниС.

Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ подстановку:

tg x + ctg x = t, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

t2 + 3t + 2 = 0.

РСшая ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ: t1 = β€” 2 , t2 = β€” 1.

tg x + ctg x = -2;

tg2x- 2tg x + 1 =0,

tg x =1

x = /4 + n, Π³Π΄Π΅ n Z .

tg x + ctg x = -1 Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: / 4 + n, Π³Π΄Π΅ n Z .

β„– 6.РСшим ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (учащиСся Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ с ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΎΠΉ):

2(tgx+ ctg x)= (tg2x+ctg2x) β€” 2=0.

РСшСниС.

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° ΠΏΠΎ этапам:

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ t: t2 β€” 2 t = 0.

ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния: t=0 ΠΈΠ»ΠΈ t= 2/,

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: n; arc tg(3)/2 + n, Π³Π΄Π΅ n Z .

Π”Π°Π»Π΅Π΅ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТныС уравнСния, содСрТащиС ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ.

¦ sin x + cos x¦ = 1+2 sin x.

РСшСниС.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ подстановку: sin x + cos x = t, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ: Β¦ tΒ¦= t2.

РСшая уравнСния с ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

t = 0 ΠΈΠ»ΠΈ t= 1 , t = -1.

Π”Π°Π»Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ ΡƒΠΆΠ΅ рассмотрСнныС уравнСния:

sin x + cos x = 0,

sin x + cos x =1,

sin x + cos x =-1.

ОбъСдиняя Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: β€” /4+ n ; /2 n, Π³Π΄Π΅ n Z .

Π”Π°Π»Π΅Π΅ прСдлагаСтся учащимся уравнСния для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΡ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠΈ:

1) 3 (sin x + cos x ) = 2 sin2 x,

2) 1 + sin2 x = sin x + cos x,

3) sin x + cos x β€” sin 2x + cos2 x – cos3 x = 1,

4) sin2 x β€” 5sin x + 5 cos x + 5 = 0,

5) tgx+ ctg x = 3 β€” sin2 x,

6) 2(sin2 x – cos2 x) = tgx+ ctg x.

РСшСниС Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ разбираСтся Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… занятиях.

Π³Ρ€Π΅Ρ…(Ρ…) | функция синуса

sin(x), ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ синуса

Π’ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ ABC синус Ξ±, sin(Ξ±) опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ стороной, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡƒΠ³Π»Ρƒ Ξ±, ΠΈ сторона, противополоТная прямому ΡƒΠ³Π»Ρƒ (Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°):

sin Ξ± = a / c

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

и = 3 дюйма

с = 5 дюймов

sin Ξ± = a / c = 3 / 5 = 0. 6

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ синуса

ΠŸΠΎΠ΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° синусов

Имя ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ
БиммСтрия sin(- ΞΈ ) = -sin ΞΈ
БиммСтрия sin(90Β° β€” ΞΈ ) = cos ΞΈ
ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π΅ΠΉΡΠΊΠΎΠ΅ тоТдСство Π³Ρ€Π΅Ρ… 2 Ξ± + cos 2 Ξ± = 1
  sin ΞΈ = cos ΞΈ Γ— тангСнс ΞΈ
  sin ΞΈ = 1 / csc ΞΈ
Π”Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΠΎΠΊ sin 2 ΞΈ = 2 sin ΞΈ cos ΞΈ
Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² sin( Ξ±+Ξ² ) = sin Ξ± cos Ξ² + cos Ξ± sin Ξ²
Π Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² sin( Ξ±-Ξ² ) = sin Ξ±  cos Ξ² β€” cos Ξ± sin Ξ²
Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Ρƒ sin Ξ± + sin Ξ² = 2 sin [( Ξ±+Ξ² )/2] cos [( Ξ± β€” Ξ² )/2]
ΠžΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π° sin Ξ± β€” sin Ξ² = 2 sin [( Ξ±-Ξ² )/2] cos [( Ξ±+Ξ² )/2]
Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ синусов a / sin Ξ± = b / sin Ξ² = c / sin Ξ³
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ sin’ x = cos x
Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ∫ sin x d x = β€” cos x + C
Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° sin x = ( e ix β€” e β€” ix ) / 2 i

Ѐункция ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ синуса

Арксинус x опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ функция ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ синуса x, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° -1≀x≀1.

Когда синус y Ρ€Π°Π²Π΅Π½ x:

Π³Ρ€Π΅Ρ… Ρƒ = Ρ…

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° арксинус x Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌΡƒ синусу x, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ y:

arcsin x = sin -1 ( x ) = y

Π‘ΠΌ.: Ѐункция Arcsin

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° синусов

x

(Β°)

x

(Ρ€Π°Π΄)

Π³Ρ€Π΅Ρ… Ρ…
-90Β° -Ο€/2 -1
-60Β° -Ο€/3 -√3/2
-45Β° -Ο€/4 -√2/2
-30Β° -Ο€/6 -1/2
0Β° 0 0
30Β° β„–/6 1/2
45Β° β„–/4 √2/2
60Β° β„–/3 √3/2
90Β° β„–/2 1

 


Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅

тригономСтричСских тоТдСств | ΠŸΡƒΡ€ΠΏΡƒΡ€Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°

ΠŸΡƒΡ€ΠΏΡƒΡ€Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°

Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ «тоТдСство» β€” это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ всСгда истинно. Они ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Β«Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΒ» истинными, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Β« x = x Β», ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ истинами, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°: ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ. БущСствуСт мноТСство тригономСтричСских тоТдСств, Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Ρ‚Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹, скорСС всСго, ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ.

Основной ΠΈ пифагорСйский, сумма ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡƒΠ³ΠΎΠ», сумма, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΊΠ° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.ΠΊΠΎΠΌ

НуТСн ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ΄ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ курс ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ?
К12 | КоллСдТ | ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° ΠΊ тСсту


ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ пифагорСйскиС тоТдСства

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ коэффициСнт «со-(Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ)Β» всСгда являСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ коэффициСнту Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Β«Π½Π΅-со» ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ этот Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ косСканс ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ с синусом, Π° сСканс ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ с косинусом.

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ (особСнно ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π½ΠΈΠΆΠ΅) Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ «пифагорСйскими» тоТдСствами.

sin 2 ( t ) + cos 2 ( t ) = 1

Ρ‚Π°Π½ 2 ( t ) + 1 = сСк 2 ( t )

1 + дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° 2 ( t ) = csc 2 ( t )

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈ тоТдСства ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ Π² сСбя ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΈ число 1.Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ясно ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° ΠΈ Π’Π΅Ρ€ΠΎΠΌΠ°, Ссли рассмотритС Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³, Π³Π΄Π΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ρ€Π°Π²Π΅Π½ t , «противополоТная» сторона Ρ€Π°Π²Π½Π° sin( t ) = y , Β«ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅Π³Π°ΡŽΡ‰Π°ΡΒ» сторона Ρ€Π°Π²Π½Π° cos( t ) = x , Π° Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 1,

Π£ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ тоТдСства, связанныС с Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ состояниСм Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ:

sin( –t ) = – sin( t )

cos( –t ) = cos( t )

тангСнс( –t ) = – тангСнс( t )

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Π² частности, Ρ‡Ρ‚ΠΎ синус ΠΈ тангСнс ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями, симмСтричными ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π° косинус являСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, симмСтричной ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси y . Π’ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ вынСсти Π·Π½Π°ΠΊ «минус» Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π·Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ (для синуса ΠΈ тангСнса) ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ (для косинуса), ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ со слоТными выраТСниями.


ВоТдСства суммы ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΈ разности

sin(Ξ± + Ξ²) = sin(Ξ±) cos(Ξ²) + cos(Ξ±) sin(Ξ²)

sin(Ξ± – Ξ²) = sin(Ξ±) cos(Ξ²) – cos(Ξ±) sin(Ξ²)

cos(Ξ± + Ξ²) = cos(Ξ±) cos(Ξ²) – sin(Ξ±) sin(Ξ²)

cos(Ξ± – Ξ²) = cos(Ξ±) cos(Ξ²) + sin(Ξ±) sin(Ξ²)

ΠšΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΈ, Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ тоТдСствах ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ грСчСскими Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ.Π‘ΡƒΠΊΠ²Π° Π°-Ρ‚ΠΈΠΏΠ° «α» называСтся Β«Π°Π»ΡŒΡ„Π°Β», Ρ‡Ρ‚ΠΎ произносится ΠΊΠ°ΠΊ Β«AL-fuhΒ». Π‘ΡƒΠΊΠ²Π° b-Ρ‚ΠΈΠΏΠ°, «β», называСтся Β«Π±Π΅Ρ‚Π°Β», Ρ‡Ρ‚ΠΎ произносится ΠΊΠ°ΠΊ «БАЙ-Ρ‚ΡƒΡ…Β».


Π”Π²ΡƒΡ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ удостовСрСния

sin(2 x ) = 2 sin( x ) cos( x )

COS (2 x ) = cos 2 ( x ) β€” sin 2 ( x ) = 1 β€” 2 sin 2 ( x ) = 2 cos 2 ( x ) – 1


ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ тоТдСства

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ тоТдСства ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, возвСдя ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ сторону Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΈ ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠΈΠ² всС ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ². Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅:

sin 2 ( x ) = Β½[1 – cos(2 x )]

cos 2 ( x ) = Β½[1 + cos(2 x )]


Π€ΠΈΠ»ΠΈΠ°Π»


Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΎΠ²

Π’Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ всС ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ всС эти тоТдСства для Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… тригономСтричСских тоТдСств ΠΈ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.Однако, Ссли Π²Ρ‹ ΡΠΎΠ±ΠΈΡ€Π°Π΅Ρ‚Π΅ΡΡŒ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ исчислСниС, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ особоС Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ тоТдСства ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² синусов ΠΈ косинусов, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ исчислСнии.


URL: https://www.purplemath.com/modules/idents.htm

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ sin x β€” ΠŸΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ ΠΈΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡŽ

12

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ sin x

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ cos x

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ Π·Π°Π³Π°Ρ€Π° x

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ дСтской ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠΈ x

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ сСк x

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ csc x

ΠŸΠ ΠžΠ˜Π—Π’ΠžΠ”ΠΠΠ― ΠΎΡ‚ sin x Ρ€Π°Π²Π½Π° cos x .Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ это, ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ тоТдСство:

.

sin A βˆ’ sin B = 2 cos Β½( A + B ) sin Β½( A βˆ’ B ).

(Π’Π΅ΠΌΠ° 20 Π’Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.)

ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° 1.   Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ этот ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ:

sin ( x + Ρ‡ ) βˆ’ sin x =

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ, Π½Π°Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΡ‹ΡˆΠΈ Π½Π° Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ.
Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ снова Π·Π°ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Β«ΠžΠ±Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΒ» (Β«ReloadΒ»).
Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ сам!

sin ( x + Ρ‡ ) βˆ’ sin x = 2 cos Β½( x + h + x ) sin Β½( x + h βˆ’ x )
 
  = 2 cos Β½(2 x + h ) sin Β½ h
 
  =

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ sin x , ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π»Π΅ΠΌΠΌΡƒ; которая являСтся ΠΏΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΠΉ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΉ для Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° основной Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹.Π­Ρ‚Π° Π»Π΅ΠΌΠΌΠ° Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ тоТдСства:

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2.   ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ тангСнс ΞΈ, Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π° sin ΞΈ, Ρ€Π°Π²Π΅Π½ .

тангСнс ΞΈ
sin ΞΈ
=    1   
cos ΞΈ
.

(Π‘ΠΌ. Π’Π΅ΠΌΡƒ 20 Π’Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.)

тангСнс ΞΈ
sin ΞΈ
  =   Ρ‚Π°Π½ ΞΈ Β·      1  
sin ΞΈ
  =   sin ΞΈ
cos ΞΈ
Β·      1  
sin ΞΈ
  =      1  
cos ΞΈ

Π›Π΅ΠΌΠΌΠ°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, обсуТдаСтся Π² Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ 14 Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.(ВзглянитС Π½Π° Π½Π΅Π³ΠΎ.)  Π’ΠΎΡ‚ ΠΎΠ½:

 

 

Π›Π•ΠœΠœΠ. Если ΞΈ измСряСтся Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…, Ρ‚ΠΎ

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ.   Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, примСняя ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… (ΡƒΡ€ΠΎΠΊ 2). ΠœΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΊ значСниям sin ΞΈ ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°ΠΌ.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ O Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ окруТности радиуса 1;

ΠΈ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ ΞΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π° BOA , ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ….

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π΄ΡƒΠ³ΠΈ s = r ΞΈ, Π° r  = 1, Π΄ΡƒΠ³Π° BA Ρ€Π°Π²Π½Π° ΞΈ. (Π’Π΅ΠΌΠ° 14 Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.)

Π£Π³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° B’OA Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΡƒΠ³Π»Ρƒ ΞΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ Π΄ΡƒΠ³Ρƒ AB’ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΡƒΠ³Π΅ BA ;

провСсти ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ линию BB’ , Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅Π·Π°Π² AO Π½Π° P ;

ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ прямыС Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ BC, B’C , ΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ окруТности.

Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ

BB’ BAB’ BC + CB’ .

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π² этом Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ BP = PB’ = sin ΞΈ,  (Π’Π΅ΠΌΠ° 17 Π’Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ),

, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ BB’ = 2 sin ΞΈ;

  ΠΈ BC = CB’ = тангСнс ΞΈ. (Для tan ΞΈ = Π‘Πš
ΠžΠ‘
 =  Π‘Πš
 1 
 =  Π΄ΠΎ Π½.э. .)

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ нСравСнство ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

2 sin ΞΈ ΞΈ ΞΈ.

ΠŸΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° 2 sin ΞΈ:

1    ΞΈ    
sin ΞΈ
   1   
cos ΞΈ
.

(Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2.)  Π˜ ΠΏΡ€ΠΈ взятии ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ мСняСт смысл:

1 > sin ΞΈ
   ΞΈ
 > cos ΞΈ.

(Π£Ρ€ΠΎΠΊ 11 АлгСбры, Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 5.)

ΠŸΡ€ΠΈ смСнС Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² смысл снова мСняСтся:

βˆ’1 sin ΞΈ
   ΞΈ
βˆ’cos ΞΈ,

(11 ΡƒΡ€ΠΎΠΊ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 4),

ΠΈ Ссли ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ 1 ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρƒ:

0 1 βˆ’ sin ΞΈ
   ΞΈ
1 βˆ’ cos ΞΈ.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΞΈ становится ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠΌ ΠΊ 0 (ΞΈ 0),  cos ΞΈ становится ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠΌ ΠΊ 1; поэтому 1 βˆ’ cos ΞΈ становится ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠΌ ΠΊ 0. Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² сСрСдинС, Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‡ΠΈ Π½Π° мСньшС , Ρ‡Π΅ΠΌ 1 βˆ’ cos ΞΈ, становится Π΅Ρ‰Π΅ Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊ 0 (ΠΈ слСва ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΎ 0), поэтому Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² сСрСдинС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΊ 0. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚:

Π§Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΈ Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

 

Π£Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΊ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ пСрСмСнная Β«ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°Π»Π°ΡΡŒΒ» ΠΊ 0 ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρƒ (ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2.1), Π½Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ пСрСмСнная ever Ρ€Π°Π²Π½Π° этому ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρƒ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ sin x

  Π΄  
Π΄Ρ…
  Π³Ρ€Π΅Ρ… Ρ…  =  cos x

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ это, ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ (Π£Ρ€ΠΎΠΊ 5). Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° вычислим коэффициСнт разности.

= , ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° 1,
 
  = , ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ числитСля
ΠΈ знамСнатСля Π½Π° 2,
 
  =  

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ возьмСм ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‡ 0.Но ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» произвСдСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ². (Π£Ρ€ΠΎΠΊ 2.) ΠœΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ справа ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ sin ΞΈ/ΞΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, согласно Π»Π΅ΠΌΠΌΠ΅, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρ‡  0  Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

  Π΄  
Π΄Ρ…
  Π³Ρ€Π΅Ρ… Ρ…  =  cos x .

ΠœΡ‹ установили Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ cos x

  Π΄  
Π΄Ρ…
  ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ…  = βˆ’sin x

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ это, ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ удостовСрСниС:

ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ… = Π³Ρ€Π΅Ρ… ( β„–
2
 βˆ’ x ).

Ѐункция любого ΡƒΠ³Π»Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΊΠΎΡ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ своСго дополнСния.

(Π’Π΅ΠΌΠ° 3 Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ).

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°:

ΠœΡ‹ установили Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ Π·Π°Π³Π°Ρ€Π° x

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π·Π°Π³Π°Ρ€ x = sin x  
cos x
.    (Π’Π΅ΠΌΠ° 20 Π’Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.)

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, согласно ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ частных:

  Π΄  
Π΄Ρ…
  ΠΆΠ΅Π»Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΎ-ΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π½Π΅Π²Ρ‹ΠΉ x  =     Π΄  
Π΄Ρ…
  sin x  
cos x
 =   COS x 2 Β· COS x β€” SIN x (-Sin x )
COS 2 x
 
   =   cos 2 x + sin 2 x
     cos 2 x
 
   =      1   
cos 2 x
 
   =   сСк 2 x .

ΠœΡ‹ установили Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠΈ x . Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅:

  Π΄  
Π΄Ρ…
  дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° x = βˆ’csc 2 x
  Π΄  
Π΄Ρ…
дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° x  =    Π΄  
Π΄Ρ…
cos x  
sin x
 
   =  SIN x (-Sin x ) β€” COS x Β· COS x 6
SIN 2 x
 
   =  βˆ’(sin 2 x + cos 2 x )
         sin 2 x
 
   =  β€”    1   
sin 2 x
 
   =  βˆ’csc 2 x .

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ сСк x

  Π΄  
Π΄Ρ…
  с x  = ΡΠ΅ΠΊ x Π·Π°Π³Π°Ρ€ x
Π‘ сСк x =    1   
cos x
 =  (cos x ) βˆ’1 ,

Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ использовании Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° мощности:

ΠœΡ‹ установили Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 4. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ csc x . Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅:

  Π΄  
Π΄Ρ…
  csc x  =   βˆ’csc x дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° x  

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ sin x 2 .

РСшСниС . ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°

  Π΄  
Π΄Ρ…
Π³Ρ€Π΅Ρ… Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΡ€ 2    =  cos Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΡ€ 2 Β·     Π΄  
Π΄Ρ…
Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΡ€ 2    =  cos Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΡ€ 2 Β·   2 Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΡ€    =  2 Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΡ€ cos Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΡ€ 2 .

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 5.   Π’ычислитС эти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅.

  Π°)     Π΄  
Π΄Ρ…
sin 5 x    =  5 cos 5 x
  Π±)     Π΄  
Π΄Ρ…
Β½ sin 2 x    =  sin x cos x
  Π²)     Π΄  
Π΄Ρ…
2 cos 3 x    =  βˆ’6 sin 3 x
  Π³)     Π΄  
Π΄Ρ…
x ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ x    =  cos x βˆ’ x sin x
  Π΄)     Π΄  
Π΄Ρ…
sin 2 x cos x    =  2 cos 2 x cos x βˆ’ sin 2 x sin x
  Π΅)     Π΄  
Π΄Ρ…
ΠΆΠ΅Π»Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΎ-ΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π½Π΅Π²Ρ‹ΠΉ (3 x ) 2    =  18 x с 2 (3 x ) 2
  Π³)     Π΄  
Π΄Ρ…
2 ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠΈ Ρ…
2
 =  – ΠšΠ‘Π‘ 2 Ρ…
2
  Π·)     Π΄  
Π΄Ρ…
с 4 x  =  4 с 4 x ΠΆΠ΅Π»Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΎ-ΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π½Π΅Π²Ρ‹ΠΉ 4 x
  i)     Π΄  
Π΄Ρ…
Π° csc Π±Ρ…  =  βˆ’ ab csc bx дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° bx
  ΠΊ)    = 

ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° 6. Π£Π³ΠΎΠ» ABC прямой, Π° прямая AD поворачиваСтся Π½Π°
, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΞΈ увСличиваСтся Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ (Π½Π° сколько Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ Π² сСкунду) ΠΎΠ½Π° увСличиваСтся, Ссли Π’Π‘ постоянна Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅ 3 см, Π° АВ (Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ Π΅Π΅ x ) ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ со ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ -3 см/с, Π° Π΅Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 6 см. ?

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠΊ: ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ | Π”ΠΎΠΌ


ΠŸΠΎΠΆΠ°Π»ΡƒΠΉΡΡ‚Π°, сдСлайтС ΠΏΠΎΠΆΠ΅Ρ€Ρ‚Π²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ TheMathPage оставался ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½.3 6 Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ для ? cos(x)=1/2 7 Найти x sin(x)=-1/2 8 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ 225 9 Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ для ? cos(x)=(ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 2)/2 10 Найти x cos(x)=(ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3)/2 11 Найти x sin(x)=(ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3)/2 12 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π³(Ρ…)=3/4* ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ пятой стСпСни ΠΈΠ· Ρ… 13 Найти Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ ΠΈ радиус Ρ…^2+Ρƒ^2=9 14 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ 120 градусов 15 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ 180 16 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅Π»Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΎ-ΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π½Π΅Π²Ρ‹ΠΉ(195) 17 Найти ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ f(x)=2x^2(x-1)(x+2)^3(x^2+1)^2 18 Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ для ? tan(x) = ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3 19 Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ для ? sin(x)=(ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 2)/2 20 Найти Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ ΠΈ радиус Ρ…^2+Ρƒ^2=25 21 Найти Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ ΠΈ радиус Ρ…^2+Ρƒ^2=4 22 Найти x 2cos(x)-1=0 23 Найти x 6Ρ…^2+12Ρ…+7=0 24 Найти Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ Ρ…^2 25 Найти Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ Ρ„(Ρ…)=Ρ…^2 26 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ 330 градусов 27 Π Π°Π·Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ логарифмичСскоС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ (x^4(x-4)^2)/(ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· x^2+1) 28 Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ((3x^2)^2y^4)/(3y^2) 29 Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ (csc(x)ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ°(x))/(сСк(x)) 30 Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ для ? тангСнс(Ρ…)=0 31 Найти x Ρ…^4-3Ρ…^3-Ρ…^2+3Ρ…=0 32 Найти x ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ (Ρ…) = Π³Ρ€Π΅Ρ… (Ρ…) 33 НайдитС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния x ΠΈ y Ρ…^2+Ρƒ^2+6Ρ…-6Ρƒ-46=0 34 Найти x ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Ρ…+30=Ρ… 35 Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ°(x)Π·Π°Π³Π°Ρ€(x) 36 Найти Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ Ρƒ=Ρ…^2 37 Найти Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· x^2-4 38 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π΅Ρ…(255) 39 ΠžΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° Π»ΠΎΠ³ Π±Π°Π·Π° 27 ΠΈΠ· 36 40 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² градусы 2 ΡˆΡ‚. 2+n-72)=1/(n+9)

Π‘ΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция

Π‘ΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция прСдставляСт собой пСриодичСский функция, которая ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½Π° Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

Π‘Π°ΠΌΡ‹ΠΉ простой способ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ синуса β€” ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³. Для Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΞΈ , нарисуйтС Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости ΠΈ нарисуйтС ΡƒΠ³ΠΎΠ» с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стороной ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. Икс -ось. Π’ΠΎ Ρƒ -ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны ΡƒΠ³Π»Π° с ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π΅Ρ… ( ΞΈ ) , ΠΈ Икс -ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ( ΞΈ ) .

Π•ΡΡ‚ΡŒ нСсколько Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ синуса, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ слСдуСт Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡΡΡŒ Π½Π° 30 Β° βˆ’ 60 Β° βˆ’ 90 Β° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ 45 Β° βˆ’ 45 Β° βˆ’ 90 Β° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ .

Зная эти значСния, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ мноТСство Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса.ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π΅Ρ… ( ΞΈ ) ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π°Ρ… я ΠΈ II ΠΈ минус Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π°Ρ… III ΠΈ IV .

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ нанСсти эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса, Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ 0 ΠΈ 2 Ο€ .

Для Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΞΈ мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ 0 ΠΈΠ»ΠΈ большС, Ρ‡Π΅ΠΌ 2 Ο€ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π΅Ρ… ( ΞΈ ) с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΎΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» .

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся вся Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ линия, Π° Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ βˆ’ 1 ≀ Ρƒ ≀ 1 .

Π’ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈΠ· Ρ„ ( Икс ) Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π³Ρ€Π΅Ρ… ( Икс ) являСтся 2 Ο€ . Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ повторяСтся ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹Π΅ 2 Ο€ β€”

Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ sin (xΒ±y) ΠΈ cos (xΒ±y) Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· sinx, siny, cosx ΠΈ cosy ΠΈ ΠΈΡ… простоС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ sin (xΒ±y) ΠΈ cos (xΒ±y) Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· sinx, siny, cosx ΠΈ cosy ΠΈ ΠΈΡ… простоС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Cos (x + y) Γ— cos y + sin (x + y) Γ— sin y = cos x

Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ тригономСтричСскиС тоТдСства.

Как ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

Cos (a+b) = cosa Γ— cosb – sinxa Γ— sinb

Sin (a+b) = sina Γ— cosb + sina Γ— cosb

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ подставим эти Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

⟹ [cosx Γ— ΡƒΡŽΡ‚Π½Ρ‹ΠΉ – sinx Γ— siny) Γ— ΡƒΡŽΡ‚Π½Ρ‹ΠΉ + (sinx Γ— ΡƒΡŽΡ‚Π½Ρ‹ΠΉ + cosx Γ— siny) Γ— siny

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ раскроСм скобки

⟹ cosx Γ— cos Β² y – sinx Γ— siny Γ— cossy + sinx Γ— siny Γ— cosx + cosx Γ— sin Β² y

Π”Π°Π»Π΅Π΅ сократитС Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ условия,

⟹ cosx Γ— cos Β² y + cosx Γ— sin Β² y

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Cos x ΠΈΠ· ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ². 2 Π³ = 1

⟹ cosx Γ— 1 = cosx

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈ косинуса ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ пСриодичСскими с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Β«2pΒ». Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

Sin (q) = Sin (q + 2p)

Cos (q) = Cos (q + 2p)

Или ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ

Sin (q) = Sin (q + 2pk)

Cos (q) = Cos (q + 2pk),

Π“Π΄Π΅, k Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Бинус являСтся Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ; Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ,

Π³Ρ€Π΅Ρ…(-q) = -sin(q)

И косинус β€“ это  чСтная функция ; Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ,

cos(-q) = cos(q)

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚:

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ  являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ  , Ρ‡Ρ‚ΠΎ

sin(a – b) = sin(a)cos(b) – cos(a)sin(b)

Или, Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС,

sin(a Β± b) = sin(a)cos(b) Β± cos(a)sin(b)

cos(a + b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b)

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ  являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ  , Ρ‡Ρ‚ΠΎ

cos(a – b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

ΠΈΠ»ΠΈ

cos (x – y) = cos (x) cos (y) + sin(x)sin(y)

Или, Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС,

Cos (a Β± b) = cos (a) cos (b) (-/+) sin (a) sin (b)

ΠΈΠ»ΠΈ

cos (x Β± y) = cos (x) cos (y) (-/+) sin (x) sin (y)

Из ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ уравнСния синусов ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

Π“Ρ€Π΅Ρ… (2x) = 2sin(x) cos(x)

Из ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ уравнСния косинуса ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

Cos (2x) = cos 2 (x) – sin 2 (x)

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ‹Π΅ прилоТСния Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ

ВригономСтрия ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΈΠΉ спСктр примСнСния. Π•Π³ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ поля Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚:

  • Π Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ Π² области ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ ΠΌΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠΈ: Π’Ρ‹ ΡΠ»Ρ‹ΡˆΠ°Π»ΠΈ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π²ΡƒΠΊ распространяСтся Π² Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, ΠΈ эта Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° Π²ΠΎΠ»Π½Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ синуса ΠΈΠ»ΠΈ косинуса для Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ ΠΌΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠΈ.
  • Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ высоту Π³ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ здания. РасстояниС Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΡƒΠ³Π»Ρƒ мСста ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€Π°.
  • ВригономСтрия ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π² Π°Π²ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ: Для измСрСния направлСния, расстояния ΠΈ скорости Π²Π΅Ρ‚Ρ€Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ тригономСтрия.
  • Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² ΠΊΡ€ΠΈΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ: Π’ расслСдовании прСступлСний, происходящих ΠΏΠΎ всСму ΠΌΠΈΡ€Ρƒ, тригономСтрия ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ³Ρ€ΠΎΠΌΠ½ΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ. ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ расчСтС Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ снаряда; Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ Π² расчСтС ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ столкновСния Π² Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π°Π²Π°Ρ€ΠΈΠΈ. Он Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ опрСдСляСт, ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ стрСляСт пистолСт ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚.
  • ИспользованиС Π² морской Π±ΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ: ВригономСтрия часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ морскими Π±ΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³Π°ΠΌΠΈ для измСрСния Π³Π»ΡƒΠ±ΠΈΠ½Ρ‹ солнСчного свСта, которая влияСт Π½Π° водоросли Π² процСссС фотосинтСза. ИспользованиС Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ для измСрСния ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΆΠΈΠ²ΠΎΡ‚Π½Ρ‹Ρ…, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΈΡ‚Ρ‹, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ для понимания повСдСния морских ΠΆΠΈΠ²ΠΎΡ‚Π½Ρ‹Ρ….
  • ΠŸΡ€Π΅ΠΈΠΌΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π² Π½Π°Π²ΠΈΠ³Π°Ρ†ΠΈΠΈ: ВригономСтрия ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Π²ΠΈΠ³Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ направлСниям. Он ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ компас, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ прямоС Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ мСстополоТСниС ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ расстояниС, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚.
  • Π˜ΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ основано Π½Π° Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ
  • ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ синус ΠΈ косинус, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для описания свСтовых ΠΈ Π·Π²ΡƒΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π²ΠΎΠ»Π½.
  • ВригономСтрия ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π² ΠΎΠΊΠ΅Π°Π½ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ для расчСта высоты Π²ΠΎΠ»Π½ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΈΠ²ΠΎΠ² Π² ΠΎΠΊΠ΅Π°Π½Π°Ρ….
  • ПолСзСн ΠΏΡ€ΠΈ создании ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Ρ‹
  • Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² спутниковых систСмах

 

 

Бинус

Бинус, записываСмый ΠΊΠ°ΠΊ sin⁑(ΞΈ), являСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈ основных тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ синуса

ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ±ΡΡƒΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ двумя основными способами: Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности. Π§Π°Ρ‰Π΅ всСго вводится ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π·Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ ΠΈΡ… опрСдСлСния Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

Для ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° с острым ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΞΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ синуса этого ΡƒΠ³Π»Π° опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ стороны ΠΊ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹.

Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

  • Π‘ΠΌΠ΅ΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ: сторона рядом с ΞΈ, которая Π½Π΅ являСтся Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·ΠΎΠΉ
  • Напротив: сторона, противополоТная ΞΈ.
  • Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°: самая длинная сторона Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, лСТащая Π½Π°ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² прямого ΡƒΠ³Π»Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

НайдитС sin⁑(ΞΈ) для ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π½ΠΈΠΆΠ΅.

ΠœΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ синуса ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, связанных с ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

ΠŸΠ°Π½Π΄ΡƒΡ для ΠΈΠ½Π²Π°Π»ΠΈΠ΄Π½Ρ‹Ρ… колясок Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° 10Β° ΠΈ высоту 3 Ρ„ΡƒΡ‚Π°. Какова Π΄Π»ΠΈΠ½Π° пандуса?

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности

ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ значСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности.Единичная ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ β€” это ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ радиусом 1 с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° допускаСт ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΎΡ‚ 0 Β° Π΄ΠΎ 90 Β° (0 ΠΈ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…). ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° позволяСт Π½Π°ΠΌ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ примСнСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. Π‘ΠΌ. рисунок Π½ΠΈΠΆΠ΅.

Учитывая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (x, y) Π½Π° окруТности Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС. Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° радиусу Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, ΠΈΠ»ΠΈ 1.ΞΈ β€” ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ стороной ΡƒΠ³Π»Π° вдоль оси x ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ стороной ΡƒΠ³Π»Π°, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π»ΡƒΡ‡Π° ΠΏΠΎ часовой стрСлкС ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки. ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Π°Ρ сторона ΡƒΠ³Π»Π° являСтся Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ являСтся радиусом Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° всСгда Ρ€Π°Π²Π½Π° 1. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ синуса ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ y любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° окруТности Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ sin⁑(ΞΈ).

Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, основанных Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ…, это ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ для любого ΡƒΠ³Π»Π°, Π° Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для острых ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Ссли ΠΎΠ½ находится Π² области опрСдСлСния sin⁑(ΞΈ). ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния синуса Ρ€Π°Π²Π½Π° (-∞,∞), Π° Π΅Π΅ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ [-1,1].

ЗначСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса

БущСствуСт ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для опрСдСлСния значСния синуса, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ косинусов, использованиС ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ аппроксимация с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ряда Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π° для синуса.Π’ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅ практичСских случаСв Π½Π΅Ρ‚ нСобходимости Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ синуса Π²Ρ€ΡƒΡ‡Π½ΡƒΡŽ, ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ прСдоставлСна ​​таблица, ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ справочник.

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ синуса

НиТС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ для опрСдСлСния значСния синуса ΡƒΠ³Π»Π° ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ синуса.

Часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΠΊΠΈ

Π₯отя ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ синуса для любого ΡƒΠ³Π»Π°, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. НиТС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ 16 часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΊΠ°ΠΊ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π² градусах, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности.

Рисунок Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ слуТит ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠΌ для быстрого опрСдСлСния синусов (Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ y) ΠΈ косинусов (Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x) ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. Как Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· рисунка, синус ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 0 ΠΏΡ€ΠΈ 0Β° ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1 ΠΏΡ€ΠΈ 90Β°. ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ слСдуСт ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ схСмС; это ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ синус ΠΈ косинус ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ кофункциями (описаны ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅). Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ΠΌΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ 30Β° (), 45Β° (), 60Β° () ΠΈ ΠΈΡ… ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅. ЗначСния косинуса ΠΈ синуса этих ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² стоит Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π² контСкстС Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ.

Один ΠΈΠ· ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ Π² Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΠΈ этих Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ всС значСния sin(ΞΈ) Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Начиная с 0Β° ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π²ΠΈΠ³Π°ΡΡΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 90Β°, sin(0Β°) = 0 = . ΠŸΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ значСния sin(30Β°), sin(45Β°), sin(60Β°) ΠΈ sin(90Β°) ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌΡƒ ΡˆΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin(0Β°) Π² качСствС эталона, Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ значСния синуса для ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², ΠΌΡ‹ просто ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ число ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° Π² числитСлС Π½Π° 1, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

ЗначСния синуса ΠΎΡ‚ 0Β° Π΄ΠΎ -90Β° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ схСмС, Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ значСния ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, Π° Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ синус ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅Π½ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ IV.Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ шаблон пСриодичСски повторяСтся для ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ значСния sin(ΞΈ) Π½Π° основС полоТСния ΞΈ Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, принимая Π²ΠΎ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊ синуса: синус ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π°Ρ… I ΠΈ II ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π°Ρ… III ΠΈ IV. Аналогичный ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ запоминания ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ для косинуса. ΠŸΡ€ΠΈ нСобходимости ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΊ страницС косинуса.

Зная значСния косинуса ΠΈ синуса для ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… значСния для ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π² ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π°Ρ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΎΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².

ΠžΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΠΊΠΈ

ΠžΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» β€” это острый ΡƒΠ³ΠΎΠ» (<90Β°), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ для прСдставлСния ΡƒΠ³Π»Π° любой ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹. Π›ΡŽΠ±ΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ ΠΎΡ‚ 0Β° Π΄ΠΎ 90Β°. Π­Ρ‚ΠΎ всСгда наимСньший ΡƒΠ³ΠΎΠ» (ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси абсцисс), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ стороны ΡƒΠ³Π»Π°. На рисункС Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΞΈ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΞΈ'.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ θ’ являСтся ΠΎΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΞΈ, значСния sin⁑(ΞΈ) ΠΈ sin⁑(θ’) ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚.НапримСр, 30Β° β€” это ΠΎΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» 210Β°, ΠΈ Ссли ΠΌΡ‹ обратимся ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Ρƒ, Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ значСния синусов ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ 1/2, хотя ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρƒ всСх ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ», Π½Π°ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ значСния sin⁑(ΞΈ) (Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ значСния Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ) Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ I. ВсС Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ значСния ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΈ ΠΌΡ‹ просто Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΈΡ… Π·Π½Π°ΠΊΠΈ исходя ΠΈΠ· ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ конСчная сторона ΡƒΠ³Π»Π°.НиТС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ косинуса, синуса ΠΈ тангСнса Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅.

синусоида косинусного ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ
ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚ I + + +
ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚ II + β€” β€”
ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚ III β€” β€” +
Quadrant IV β€” + β€”

ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΊ ΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ для эталонного ΡƒΠ³Π»Π°.Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ шаги ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°, ΞΈ:

  1. Π’Ρ‹Ρ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ 360Β° ΠΈΠ»ΠΈ 2Ο€ ΠΈΠ· ΡƒΠ³Π»Π° ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ€Π°Π·, сколько Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ (ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ ΠΎΡ‚ 0Β° Π΄ΠΎ 360Β° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 2Ο€). Если Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» находится Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ ΠΎΡ‚ 0Β° Π΄ΠΎ 90Β°, это ΠΎΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ».
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ конСчная сторона ΡƒΠ³Π»Π° (Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ сторона ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси абсцисс)
  3. Π’ зависимости ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ находится конСчная сторона ΡƒΠ³Π»Π°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ уравнСния Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ». Π’ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ I θ’=ΞΈ.
ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚ II ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚ III ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚ IV
θ’= 180Β° β€” ΞΈ θ’= ΞΈ β€” 180Β° θ’= 360Β° β€” ΞΈ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Найти sin⁑(120Β°).

  1. ΞΈ ΡƒΠΆΠ΅ находится Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ ΠΎΡ‚ 0Β° Π΄ΠΎ 360Β°
  2. 120Β° Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ II
  3. 180Β° β€” 120Β° = 60Β°, поэтому ΠΎΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 60Β°

sin⁑(60Β°)=.120 Β° находится Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ II, Π° синус ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅Π½ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ II, поэтому:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Найти sin⁑(690Β°).

  1. 690Β° β€” 360Β° = 330Β°
  2. 330Β° Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ IV
  3. 360Β° β€” 330Β° = 30Β°, поэтому ΠΎΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 30Β°

sin⁑(30Β°)=. 330 Β° находится Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ IV, Π³Π΄Π΅ синус ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, поэтому:

Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса

НиТС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ свойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с тригономСтричСскими функциями.

Бинус являСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ косинуса

ΠšΠΎΡ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡ – это функция, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ f(A) = g(B) ΠΏΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ A ΠΈ B ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ. Π’ контСкстС косинуса ΠΈ синуса

sin⁑(ΞΈ) = cos⁑(90Β° β€” ΞΈ)

cos⁑(ΞΈ) = sin⁑(90Β° β€” ΞΈ)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

sin⁑(60Β°) = cos⁑(90Β° β€” 60Β°) = cos⁑(30Β°)

Π‘ΡΡ‹Π»Π°ΡΡΡŒ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ значСния для cos⁑(30Β°) ΠΈ sin⁑(60Β°) ΠΈ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

Бинус β€” нСчСтная функция

НСчСтная функция β€” это функция, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ -f(x)=f(-x).Он ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ,

-Π³Ρ€Π΅Ρ…(ΞΈ) = грСх⁑(-ΞΈ)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ sin⁑(60Β°)=, поэтому -sin⁑(60Β°)=, Π° sin⁑(-60Β°) эквивалСнтСн sin⁑(-60Β° + 360Β°) = sin⁑(300Β°), Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ . Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π½ΠΎ это свойство Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для всСх ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².

Бинус являСтся пСриодичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ функция – это функция f, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ сущСствуСт Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ p Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

Π΅(Ρ…+Ρ€) = Π΅(Ρ…)

для всСх x Π² области Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ f, p β€” наимСньшСС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ f являСтся пСриодичСским, ΠΈ называСтся ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ f.

ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для модСлирования пСриодичСских явлСний ΠΈΠ·-Π·Π° ΠΈΡ… пСриодичности; нСзависимо ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, с ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π΅ΠΌ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, Ссли ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅ΠΌ расстояниС 2Ο€ (360 Β°) ΠΏΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности ΠΎΡ‚ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΌΡ‹ вСрнСмся Π² ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. Если ΠΌΡ‹ посмотрим Π½Π° ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° повторяСтся ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹Π΅ 2Ο€, поэтому 2Ο€ β€” это ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ это ΠΊΠ°ΠΊ:

грСх⁑(ΞΈ+2Ο€) = грСх⁑(ΞΈ)

Для ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚Π° Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΎΠ² это Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ

.

грСх⁑(ΞΈ+2Ο€n) = грСх⁑(ΞΈ)

, Π³Π΄Π΅ n β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.

На рисункС Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ пСриодичности.

Π‘ΠΈΠ½ΠΈΠΌ Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ . . Если ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ 2Ο€ ΠΊ , ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ красным Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ, . Как Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· рисунка, нСсмотря Π½Π° Ρ€Π°Π·Π½ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° Π² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»Π°Ρ…, ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ стороны ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹, Π° это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ . ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ 2Ο€ ΠΈ всС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π±Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ . Π’Π°ΠΊΠΎΠ²Π° ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π° пСриодичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΡ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ; это ΡƒΠ³Π»Ρ‹ с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ сторонами, Π½ΠΎ с Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°ΠΌΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹:

1.

2.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ синуса являСтся пСриодичСским, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ повторяСтся бСсконСчно ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ -∞

ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ этой части y=sin⁑(x) бСсконСчно слСва ΠΈ справа ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ ΠΊ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌΡƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ синуса. НиТС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ [-4Ο€,4Ο€].

На этом Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ y=sin⁑(x) дСмонстрируСт ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚; Ссли Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ отраТаСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, ΠΎΠ½ создаСт Π·Π΅Ρ€ΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ синус являСтся Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ -sin⁑(x)=sin⁑(-x).

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса:

y = AΒ·sin(B(x – C)) + D

, Π³Π΄Π΅ A, B, C ΠΈ D β€” константы.Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ сначала ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ каТдая ΠΈΠ· констант влияСт Π½Π° исходный Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=sin⁑(x), ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ, написанноС Π½ΠΈΠΆΠ΅, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ, ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅; Π±ΡƒΠ΄ΡŒΡ‚Π΅ остороТны со Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ.

A β€” Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ; высота ΠΎΡ‚ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π΄ΠΎ максимума ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°. Π’ y=sin⁑(x) Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ являСтся ось x, Π° Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 1, ΠΈΠ»ΠΈ A=1, поэтому самая высокая ΠΈ самая низкая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… достигаСт Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 1 ΠΈ -1, Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ sin⁑(x ).

По ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с y=sin⁑(x), ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Ρ„ΠΈΠΎΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ, функция y=2 sin⁑(x) (красный) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ‹ΡˆΠ°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ исходного Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° синуса.

B β€” ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для опрСдСлСния ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ; ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ β€” это расстояниС ΠΎΡ‚ ΠΏΠΈΠΊΠ° Π΄ΠΎ ΠΏΠΈΠΊΠ° (ΠΈΠ»ΠΈ любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π΄ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ соотвСтствия) ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ ΠΊΠ°ΠΊ . Π’ y=sin⁑(x) ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2Ο€. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² этом, посмотрСв Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ синусоиды. Π‘ΡΡ‹Π»Π°ΡΡΡŒ Π½Π° рисунок Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ [-2Ο€, 0] эквивалСнтна Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ ΠΈΠ· [0, 2Ο€], Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ повторяСтся Π² Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° 2Ο€; Ρ‚. Π΅. ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ 2Ο€.

По ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с y=sin⁑(x), ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Ρ„ΠΈΠΎΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ 2Ο€, y=sin⁑(2x) (красный) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ . Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ повторяСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹Π΅ Ο€, Π° Π½Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹Π΅ 2Ο€.

C β€” Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ; Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг опрСдСляСт, ΠΊΠ°ΠΊ функция сдвигаСтся ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ. Если C ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, функция сдвигаСтся Π²Π»Π΅Π²ΠΎ. Если C ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, функция сдвигаСтся Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ. Π‘ΡƒΠ΄ΡŒΡ‚Π΅ остороТны со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ; Ссли Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚ΠΎ C Π½Π΅ являСтся , ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² стандартной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ .Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ Π±Ρ‹ смСстили Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π²Π»Π΅Π²ΠΎ.

На рисункС Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ y=sin⁑(x) (Ρ„ΠΈΠΎΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ) ΠΈ (красный). Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΏΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π² качСствС эталона, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΈΠΊ at смСстился Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ΠΎΡ‚ своСго исходного полоТСния ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ находится Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (0,1).

D β€” Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ смСщСниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ; Ссли D ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ сдвигаСтся Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… Π½Π° D Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†, Π° Ссли ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ сдвигаСтся Π²Π½ΠΈΠ·.

По ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с y=sin⁑(x), ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Ρ„ΠΈΠΎΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎ оси x (y=0), y=sin(x)+5 (красный) цСнтрируСтся ΠΏΠΎ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ y=5 ( синий).

ОбъСдиняя всС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹, Π½Π° рисункС Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ (красный) ΠΏΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ y=sin⁑(x) (Ρ„ΠΈΠΎΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ).

Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ косинус, тангСнс, Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³, тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, тригономСтрия.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *

2015-2019 Β© Π˜Π³Ρ€ΠΎΠ²Π°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠ½Π°Ρ‚Π° Β«Π’ΠΎΠ»ΡˆΠ΅Π±Π½Ρ‹ΠΉ лСс», ЧСлябинск
Ρ‚Π΅Π».:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая ΠΊΠΎΠΌΠ½Π°Ρ‚Π° чСлябинск, ΠΏΡ€Π°Π·Π΄Π½ΠΈΠΊ дСтям чСлябинск
-sin⁑(60°) = sin⁑(-60°)
-sin⁑(60°) = sin⁑(300°)