Решите уравнение sin(x)^(2)-sin(x)=2 (синус от (х) в степени (2) минус синус от (х) равно 2)
Дано уравнение$$\sin^{2}{\left (x \right )} — \sin{\left (x \right )} = 2$$
преобразуем
$$\sin^{2}{\left (x \right )} — \sin{\left (x \right )} — 2 = 0$$
$$\sin^{2}{\left (x \right )} — \sin{\left (x \right )} — 2 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -2$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(-1)^2 - 4 * (1) * (-2) = 9
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$w_{1} = 2$$
$$w_{2} = -1$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (2 \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (2 \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (-1 \right )}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi — \operatorname{asin}{\left (2 \right )}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi — \operatorname{asin}{\left (2 \right )}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (-1 \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
Решите уравнение sin(x)^(2)-2*sin(x)-3=0 (синус от (х) в степени (2) минус 2 умножить на синус от (х) минус 3 равно 0)
Дано уравнение$$\sin^{2}{\left (x \right )} — 2 \sin{\left (x \right )} — 3 = 0$$
преобразуем
$$\sin^{2}{\left (x \right )} — 2 \sin{\left (x \right )} — 3 = 0$$
$$\sin^{2}{\left (x \right )} — 2 \sin{\left (x \right )} — 3 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = -3$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(-2)^2 - 4 * (1) * (-3) = 16
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$w_{1} = 3$$
$$w_{2} = -1$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (3 \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (3 \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (-1 \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi — \operatorname{asin}{\left (3 \right )}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi — \operatorname{asin}{\left (3 \right )}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (-1 \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
Решите уравнение 6*sin(x)^2-5*sin(x)-4=0 (6 умножить на синус от (х) в квадрате минус 5 умножить на синус от (х) минус 4 равно 0)
Дано уравнение$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} — 5 \sin{\left (x \right )} — 4 = 0$$
преобразуем
$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} — 5 \sin{\left (x \right )} — 4 = 0$$
$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} — 5 \sin{\left (x \right )} — 4 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 6$$
$$b = -5$$
$$c = -4$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(-5)^2 - 4 * (6) * (-4) = 121
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$w_{1} = \frac{4}{3}$$
$$w_{2} = — \frac{1}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{4}{3} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{4}{3} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi — \operatorname{asin}{\left (\frac{4}{3} \right )}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi — \operatorname{asin}{\left (\frac{4}{3} \right )}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
Решите неравенство sin(x)>2/3 (синус от (х) больше 2 делить на 3)
Дано неравенство:$$\sin{\left (x \right )} > \frac{2}{3}$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (x \right )} = \frac{2}{3}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = \frac{2}{3}$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )} + \pi$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )} + \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )} + \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
=
$$2 \pi n — \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (x \right )} > \frac{2}{3}$$
$$\sin{\left (2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )} + — \frac{1}{10} \right )} > \frac{2}{3}$$
sin(-1/10 + 2*pi*n + asin(2/3)) > 2/3
Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )} \wedge x
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x1 x2Решите уравнение sin(2*x)=2/3 (синус от (2 умножить на х) равно 2 делить на 3)
Найду корень уравнения: sin(2*x)=2/3
Решение
Вы ввели[TeX]
[pretty]
[text]
$$\sin{\left (2 x \right )} = \frac{2}{3}$$
Подробное решение [TeX] Дано уравнение
$$\sin{\left (2 x \right )} = \frac{2}{3}$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )}$$
$$2 x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )} + \pi$$
Или
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )}$$
$$2 x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
получим ответ:
$$x_{1} = \pi n + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n — \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )} + \frac{\pi}{2}$$
[TeX]
[pretty]
[text]
pi asin(2/3)
x1 = -- - ---------
2 2 $$x_{1} = — \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )} + \frac{\pi}{2}$$
asin(2/3)
x2 = ---------
2 $$x_{2} = \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )}$$
Численный ответ[pretty]
[text]
Решите неравенство sin(x)*(sin(x)+2)>0 (синус от (х) умножить на (синус от (х) плюс 2) больше 0)
Дано неравенство:$$\left(\sin{\left (x \right )} + 2\right) \sin{\left (x \right )} > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(\sin{\left (x \right )} + 2\right) \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\left(\sin{\left (x \right )} + 2\right) \sin{\left (x \right )} = 0$$
преобразуем
$$\left(\sin{\left (x \right )} + 2\right) \sin{\left (x \right )} = 0$$
$$\left(\sin{\left (x \right )} + 2\right) \sin{\left (x \right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Раскроем выражение в уравнении
$$w \left(w + 2\right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$w^{2} + 2 w = 0$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 2$$
$$c = 0$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(2)^2 - 4 * (1) * (0) = 4
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$w_{1} = 0$$
$$w_{2} = -2$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (0 \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (-2 \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (2 \right )}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (0 \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi — \operatorname{asin}{\left (-2 \right )}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi + \operatorname{asin}{\left (2 \right )}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \pi + \operatorname{asin}{\left (2 \right )}$$
$$x_{4} = — \operatorname{asin}{\left (2 \right )}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(\sin{\left (x \right )} + 2\right) \sin{\left (x \right )} > 0$$
$$\left(\sin{\left (- \frac{1}{10} \right )} + 2\right) \sin{\left (- \frac{1}{10} \right )} > 0$$
-(2 - sin(1/10))*sin(1/10) > 0
Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 0 \wedge x
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x1 x2Решите неравенство cos(x)^2-sin(x)^2
Дано неравенство:$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} = 2$$
преобразуем
$$\cos{\left (2 x \right )} — 2 = 0$$
$$- 2 \sin^{2}{\left (x \right )} — 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = -2$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (-2) * (-1) = -8
Т.к. D не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$w_{1} = — \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n — i \operatorname{asinh}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + i \operatorname{asinh}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi — \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi + i \operatorname{asinh}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi — \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi — i \operatorname{asinh}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x_{1} = — 2 i \operatorname{atanh}{\left (\sqrt{- 2 \sqrt{6} + 5} \right )}$$
$$x_{2} = 2 i \operatorname{atanh}{\left (\sqrt{- 2 \sqrt{6} + 5} \right )}$$
$$x_{3} = — 2 i \operatorname{atanh}{\left (\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right )}$$
$$x_{4} = 2 i \operatorname{atanh}{\left (\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right )}$$
Исключаем комплексные решения:
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например
x0 = 0
2 2 cos (0) - sin (0)1
зн. неравенство выполняется всегда