Синус х 2 – Решите уравнение 6*sin(x)^2-5*sin(x)-4=0 (6 умножить на синус от (х) в квадрате минус 5 умножить на синус от (х) минус 4 равно 0)

Решите уравнение sin(x)^(2)-sin(x)=2 (синус от (х) в степени (2) минус синус от (х) равно 2)

Дано уравнение
$$\sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} = 2$$
преобразуем
$$\sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 2 = 0$$
$$\sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 2 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -2$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c = 
(-1)^2 - 4 * (1) * (-2) = 9

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 2$$
$$w_{2} = -1$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (2 \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (2 \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (-1 \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left (2 \right )}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left (2 \right )}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (-1 \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$

Решите уравнение sin(x)^(2)-2*sin(x)-3=0 (синус от (х) в степени (2) минус 2 умножить на синус от (х) минус 3 равно 0)

Дано уравнение
$$\sin^{2}{\left (x \right )} - 2 \sin{\left (x \right )} - 3 = 0$$
преобразуем
$$\sin^{2}{\left (x \right )} - 2 \sin{\left (x \right )} - 3 = 0$$
$$\sin^{2}{\left (x \right )} - 2 \sin{\left (x \right )} - 3 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = -3$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c = 
(-2)^2 - 4 * (1) * (-3) = 16

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 3$$
$$w_{2} = -1$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (3 \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (3 \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (-1 \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left (3 \right )}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left (3 \right )}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (-1 \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$

Решите уравнение 6*sin(x)^2-5*sin(x)-4=0 (6 умножить на синус от (х) в квадрате минус 5 умножить на синус от (х) минус 4 равно 0)

Дано уравнение
$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} - 5 \sin{\left (x \right )} - 4 = 0$$
преобразуем
$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} - 5 \sin{\left (x \right )} - 4 = 0$$
$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} - 5 \sin{\left (x \right )} - 4 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 6$$
$$b = -5$$
$$c = -4$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c = 
(-5)^2 - 4 * (6) * (-4) = 121

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{4}{3}$$
$$w_{2} = - \frac{1}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{4}{3} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{4}{3} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left (\frac{4}{3} \right )}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left (\frac{4}{3} \right )}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$

Решите неравенство sin(x)>2/3 (синус от (х) больше 2 делить на 3)

Дано неравенство:
$$\sin{\left (x \right )} > \frac{2}{3}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (x \right )} = \frac{2}{3}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = \frac{2}{3}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )} + \pi$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )} + \pi$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )} + \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )} + \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )} + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (x \right )} > \frac{2}{3}$$
$$\sin{\left (2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )} + - \frac{1}{10} \right )} > \frac{2}{3}$$
sin(-1/10 + 2*pi*n + asin(2/3)) > 2/3

Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )} \wedge x
_____ / \ -------ο-------ο------- x1 x2

Решите уравнение sin(2*x)=2/3 (синус от (2 умножить на х) равно 2 делить на 3)

Найду корень уравнения: sin(2*x)=2/3

Решение

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

$$\sin{\left (2 x \right )} = \frac{2}{3}$$

Подробное решение

[TeX]

Дано уравнение
$$\sin{\left (2 x \right )} = \frac{2}{3}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )}$$
$$2 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )} + \pi$$
Или
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )}$$
$$2 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )} + \pi$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на

$$2$$
получим ответ:
$$x_{1} = \pi n + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )} + \frac{\pi}{2}$$

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

     pi   asin(2/3)
x1 = -- - ---------
     2        2    

$$x_{1} = - \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )} + \frac{\pi}{2}$$

     asin(2/3)
x2 = ---------
         2    

$$x_{2} = \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )}$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

Решите неравенство sin(x)*(sin(x)+2)>0 (синус от (х) умножить на (синус от (х) плюс 2) больше 0)

Дано неравенство:
$$\left(\sin{\left (x \right )} + 2\right) \sin{\left (x \right )} > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(\sin{\left (x \right )} + 2\right) \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\left(\sin{\left (x \right )} + 2\right) \sin{\left (x \right )} = 0$$
преобразуем
$$\left(\sin{\left (x \right )} + 2\right) \sin{\left (x \right )} = 0$$
$$\left(\sin{\left (x \right )} + 2\right) \sin{\left (x \right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Раскроем выражение в уравнении
$$w \left(w + 2\right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$w^{2} + 2 w = 0$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 2$$
$$c = 0$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c = 
(2)^2 - 4 * (1) * (0) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 0$$
$$w_{2} = -2$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (0 \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (-2 \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (2 \right )}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (0 \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left (-2 \right )}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi + \operatorname{asin}{\left (2 \right )}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \pi + \operatorname{asin}{\left (2 \right )}$$
$$x_{4} = - \operatorname{asin}{\left (2 \right )}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(\sin{\left (x \right )} + 2\right) \sin{\left (x \right )} > 0$$
$$\left(\sin{\left (- \frac{1}{10} \right )} + 2\right) \sin{\left (- \frac{1}{10} \right )} > 0$$
-(2 - sin(1/10))*sin(1/10) > 0

Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 0 \wedge x
         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Решите неравенство cos(x)^2-sin(x)^2

Дано неравенство:
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} = 2$$
преобразуем
$$\cos{\left (2 x \right )} - 2 = 0$$
$$- 2 \sin^{2}{\left (x \right )} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -2$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c = 
(0)^2 - 4 * (-2) * (-1) = -8

Т.к. D не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - i \operatorname{asinh}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + i \operatorname{asinh}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi + i \operatorname{asinh}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - i \operatorname{asinh}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x_{1} = - 2 i \operatorname{atanh}{\left (\sqrt{- 2 \sqrt{6} + 5} \right )}$$
$$x_{2} = 2 i \operatorname{atanh}{\left (\sqrt{- 2 \sqrt{6} + 5} \right )}$$
$$x_{3} = - 2 i \operatorname{atanh}{\left (\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right )}$$
$$x_{4} = 2 i \operatorname{atanh}{\left (\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right )}$$
Исключаем комплексные решения:
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например
x0 = 0
   2         2       
cos (0) - sin (0) 
1 
зн. неравенство выполняется всегда

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о