Существуют аналогичные правила для указания всех возможных решений для других тригонометрических функций. Решение тригонометрических уравнений требует тех же методов, что и решение алгебраических уравнений. Мы читаем уравнение слева направо по горизонтали, как предложение. Мы ищем известные закономерности, множители, находим общие знаменатели и заменяем определенные выражения на переменные, чтобы упростить процесс решения. Однако с тригонометрическими уравнениями у нас также есть преимущество использования тождеств, которые мы разработали в предыдущих разделах.

Пример 1

Решение линейного тригонометрического уравнения с использованием функции косинуса

Найдите все возможные точные решения уравнения cosθ = 12.cosθ = 12.

Решение

Из единичного круга мы знаем, что

Это решения в интервале [0,2π]. [0,2π]. Все возможные решения предоставлены

, где kk — целое число.

Пример 2

Решение линейного уравнения с синусоидальной функцией

Найдите все возможные точные решения уравнения sint = 12.sint = 12.

Решение

Решение для всех возможных значений t означает, что решения включают углы, превышающие период 2π.2π. Из рисунка 2 видно, что решениями являются π6π6 и 5π6,5π6. Но проблема в том, чтобы указать все возможные значения, которые решают уравнение. Следовательно, ответ

, где kk — целое число.

Как это сделать

Для данного тригонометрического уравнения решить с помощью алгебры .

1. Найдите шаблон, который предлагает алгебраическое свойство, такое как разность квадратов или возможность разложения на множители.
2. Замените тригонометрическое выражение одной переменной, например xx или u.u.
3. Решите уравнение так же, как и алгебраическое уравнение.
4. Подставьте тригонометрическое выражение обратно вместо переменной в результирующих выражениях.
5. Найдите угол.

Пример 3

Решите тригонометрическое уравнение в линейной форме

Точно решите уравнение: 2cosθ − 3 = −5,0≤θ <2π.2cosθ − 3 = −5,0≤θ <2π.

Решение

Используйте алгебраические методы для решения уравнения.

Попробуй # 1

Решите в точности следующее линейное уравнение на интервале [0,2π): 2sinx + 1 = 0. [0,2π): 2sinx + 1 = 0.

Решение уравнений, содержащих одну тригонометрическую функцию

Когда нам задают уравнения, которые включают только одну из шести тригонометрических функций, их решения требуют использования алгебраических методов и единичного круга (см. Рисунок 2).Когда уравнение включает тригонометрические функции, отличные от синуса и косинуса, необходимо учитывать несколько факторов. Проблемы, связанные с величинами, обратными первичным тригонометрическим функциям, необходимо рассматривать с алгебраической точки зрения. Другими словами, мы напишем обратную функцию и найдем углы, используя эту функцию. Кроме того, уравнение, включающее функцию тангенса, немного отличается от уравнения, содержащего функцию синуса или косинуса. Во-первых, как мы знаем, период касательной равен π, π, а не 2π.2π. Кроме того, область касательной — это все действительные числа, за исключением нечетных целых кратных π2, π2, если, конечно, проблема не накладывает свои собственные ограничения на область.

Пример 4

Решение задачи, связанной с одной тригонометрической функцией

Решите задачу точно: 2sin2θ − 1 = 0,0≤θ <2π. 2sin2θ − 1 = 0,0≤θ <2π.

Решение

Поскольку эту проблему нелегко разложить на множители, мы решим ее, используя свойство квадратного корня. Во-первых, мы используем алгебру, чтобы выделить sinθ. sinθ. Потом найдем углы.

Пример 5

Решение тригонометрического уравнения с использованием косеканса

Точно решите следующее уравнение: cscθ = −2,0≤θ <4π.cscθ = −2,0≤θ <4π.

Решение

Нам нужны все значения θθ, для которых cscθ = −2cscθ = −2 в интервале 0≤θ <4π.0≤θ <4π.

Анализ

Поскольку sinθ = −12, sinθ = −12, обратите внимание, что все четыре решения находятся в третьем и четвертом квадрантах.

Пример 6

Решение уравнения с касательной

Точно решите уравнение: tan (θ − π2) = 1,0≤θ <2π.tan (θ − π2) = 1,0≤θ <2π.

Решение

Напомним, что касательная функция имеет период π.π. На интервале [0, π), [0, π) и под углом π4, π4 касательная имеет значение 1. Однако нам нужен угол (θ − π2). (Θ − π2) . Таким образом, если tan (π4) = 1, tan (π4) = 1, то

На интервале [0,2π), [0,2π) имеем два решения:

Попробуй # 2

Найдите все решения для tanx = 3.tanx = 3.

Пример 7

Определите все решения уравнения, содержащего касательную

Определите все точные решения уравнения 2 (tanx + 3) = 5 + tanx, 0≤x <2π.2 (tanx + 3) = 5 + tanx, 0≤x <2π.

Решение

Мы можем решить это уравнение, используя только алгебру. Выделите выражение tanxtanx слева от знака равенства.

На единичной окружности есть два угла, значение касательной которых равно −1: θ = 3π4−1: θ = 3π4 и θ = 7π4. θ = 7π4.

Решение тригонометрических уравнений с помощью калькулятора

Не все функции могут быть решены точно с использованием только единичной окружности.Когда мы должны решить уравнение с углом, отличным от одного из специальных углов, нам понадобится калькулятор. Убедитесь, что он установлен на правильный режим, градусы или радианы, в зависимости от критериев данной проблемы.

Пример 8

Использование калькулятора для решения тригонометрического уравнения с синусом

Воспользуйтесь калькулятором, чтобы решить уравнение sinθ = 0,8, sinθ = 0,8, где θθ выражается в радианах.

Решение

Убедитесь, что установлен режим радианы.Чтобы найти θ, θ, используйте функцию обратного синуса. На большинстве калькуляторов вам нужно будет нажать кнопку 2 ^ND , а затем кнопку SIN, чтобы вызвать функцию sin − 1sin − 1. На экране отображается sin − 1 (.sin − 1 (. Калькулятор готов к вводу в скобках. Для этой задачи мы вводим sin − 1 (0,8), sin − 1 (0,8)) и нажимаем ENTER. Таким образом, с точностью до четырех знаков после запятой,

Решение

Угол в градусах

Анализ

Обратите внимание, что калькулятор будет возвращать только угол в квадрантах I или IV для функции синуса, поскольку это диапазон обратного синуса. Другой угол получается с помощью π − θ.π − θ.

Пример 9

Использование калькулятора для решения тригонометрического уравнения с секущей

Воспользуйтесь калькулятором, чтобы решить уравнение secθ = −4, secθ = −4, получив ответ в радианах.

Решение

Мы можем начать с некоторой алгебры.

Убедитесь, что РЕЖИМ установлен в радианах. Теперь используйте функцию обратного косинуса.

Поскольку π2≈1,57π2≈1,57 и π≈3,14, π≈3,14, 1,8235 находится между этими двумя числами, поэтому θ≈1,8235θ≈1,8235 находится во втором квадранте. Косинус также отрицателен в квадранте III. Обратите внимание, что калькулятор возвращает только угол в квадрантах I или II для функции косинуса, поскольку это диапазон обратного косинуса.См. Рисунок 2.

Рисунок 2

Итак, нам также нужно найти меру угла в квадранте III. В квадранте III опорный угол равен θ’≈π − 1,8235≈1,3181. Θ’≈π − 1,8235≈1,3181. Другое решение в квадранте III: π + 1,3181≈4,4597.π + 1,3181≈4,4597.

Решения: 1.8235 ± 2πk1.8235 ± 2πk и 4.4597 ± 2πk.4.4597 ± 2πk.

Попробуй # 3

Решить cosθ = −0.2.cosθ = −0.2.

Решение тригонометрических уравнений в квадратичной форме

Решение квадратного уравнения может быть более сложным, но, опять же, мы можем использовать алгебру, как и любое квадратное уравнение.Посмотрите на схему уравнения. Есть ли в уравнении более одной тригонометрической функции или только одна? Какая тригонометрическая функция возводится в квадрат? Если представлена ​​только одна функция и один из членов возведен в квадрат, подумайте о стандартной форме квадратичной функции. Замените тригонометрическую функцию переменной, например xx или u.u. Если после подстановки уравнение выглядит как квадратное уравнение, то мы можем использовать те же методы решения квадратичных уравнений для решения тригонометрических уравнений.

Пример 10

Решение тригонометрического уравнения в квадратичной форме

Точно решите уравнение: cos2θ + 3cosθ − 1 = 0,0≤θ <2π.cos2θ + 3cosθ − 1 = 0,0≤θ <2π.

Решение

Начнем с подстановки и замены cos θθ на x.x. Нет необходимости использовать замену, но это может облегчить визуальное решение проблемы. Пусть cosθ = x.cosθ = x. У нас

Уравнение нельзя разложить на множители, поэтому мы будем использовать квадратную формулу x = −b ± b2−4ac2a.х = −b ± b2−4ac2a.

Заменить xx с cosθ, cosθ и решить. Таким образом,

Обратите внимание, что используется только знак +. Это связано с тем, что мы получаем ошибку, когда решаем θ = cos − 1 (−3−132) θ = cos − 1 (−3−132) на калькуляторе, поскольку область определения функции обратного косинуса равна [−1,1 ]. [- 1,1]. Однако есть и второе решение:

Эта конечная сторона угла лежит в квадранте I.Поскольку косинус также положителен в квадранте IV, второе решение —

Пример 11

Решение тригонометрического уравнения в квадратичной форме с помощью факторинга

Решите уравнение точно: 2sin2θ − 5sinθ + 3 = 0,0≤θ≤2π.2sin2θ − 5sinθ + 3 = 0,0≤θ≤2π.

Решение

Используя группировку, эту квадратичную величину можно разложить на множители. Либо сделайте настоящую замену, sinθ = u, sinθ = u, либо представьте ее, как мы множим:

Теперь установите каждый множитель равным нулю.

Затем найдите θ: sinθ ≠ 32, θ: sinθ ≠ 32, так как диапазон синусоидальной функции равен [−1,1]. [- 1,1]. Однако sinθ = 1, sinθ = 1, что дает решение π2.π2.

Анализ

Обязательно проверьте все решения в данном домене, так как некоторые факторы не имеют решения.

Попробуй # 4

Решить sin2θ = 2cosθ + 2,0≤θ≤2π. sin2θ = 2cosθ + 2,0≤θ≤2π.[Подсказка: сделайте замену, чтобы выразить уравнение только через косинус.]

Пример 12

Решение тригонометрического уравнения с помощью алгебры

Решите точно:

Решение

Эта задача должна показаться вам знакомой, поскольку она похожа на квадратичную. Пусть sinθ = x.sinθ = x. Уравнение принимает вид 2×2 + x = 0,2×2 + x = 0. Начнем с факторинга:

Установите каждый коэффициент равным нулю.

Затем подставьте обратно в уравнение исходное выражение sinθsinθ вместо x.x. Таким образом,

Решения в области 0≤θ <2π0≤θ <2π равны 0, π , 7π6,11π6. 0, π, 7π6,11π6.

Если мы предпочитаем не заменять, мы можем решить уравнение, следуя той же схеме факторизации и установив каждый коэффициент равным нулю.

Анализ

Мы можем видеть решения на графике на рисунке 3. На интервале 0≤θ <2π, 0≤θ <2π график пересекает ось x- четыре раза в отмеченных решениях.Обратите внимание, что тригонометрические уравнения в квадратичной форме могут дать до четырех решений вместо ожидаемых двух, которые можно найти с помощью квадратных уравнений. В этом примере каждое решение (угол), соответствующее положительному значению синуса, даст два угла, которые приведут к этому значению.

Рисунок 3

Мы также можем проверить решения на единичном круге на Рисунке 2.

Пример 13

Решение тригонометрического уравнения, квадратичного по форме

Решите квадратное по форме уравнение: 2sin2θ − 3sinθ + 1 = 0,0≤θ <2π. 2sin2θ − 3sinθ + 1 = 0,0≤θ <2π.

Решение

Мы можем факторизовать, используя группировку. Значения решения θθ можно найти на единичном круге:

Попробуй # 5

Решите квадратное уравнение 2cos2θ + cosθ = 0.2cos2θ + cosθ = 0.

Решение тригонометрических уравнений с использованием фундаментальных тождеств

Хотя алгебру можно использовать для решения ряда тригонометрических уравнений, мы также можем использовать фундаментальные тождества, потому что они упрощают решение уравнений. Помните, что методы, которые мы используем для решения проблем, не совпадают с методами проверки личности. Здесь применяются основные правила алгебры, а не переписывание одной стороны идентичности для соответствия другой стороне. В следующем примере мы используем два тождества, чтобы упростить уравнение.

Пример 14

Использование идентичностей для решения уравнения

Используйте тождества, чтобы точно решить тригонометрическое уравнение в интервале 0≤x <2π.0≤x <2π.

Решение

Обратите внимание, что левая часть уравнения — это формула разности для косинуса.

Из единичного круга на рисунке 2 мы видим, что cosx = 32cosx = 32, когда x = π6,11π6.x = π6,11π6.

Пример 15

Решение уравнения с использованием формулы двойного угла

Точно решите уравнение, используя формулу двойного угла: cos (2θ) = cosθ. cos (2θ) = cosθ.

Решение

У нас есть три варианта выражения для замены двойного угла косинуса. Поскольку проще решать одну тригонометрическую функцию за раз, мы выберем тождество с двойным углом, включающее только косинус:

Итак, если cosθ = −12, cosθ = −12, тогда θ = 2π3 ± 2πkθ = 2π3 ± 2πk и θ = 4π3 ± 2πk; θ = 4π3 ± 2πk; если cosθ = 1, cosθ = 1, то θ = 0 ± 2πk.θ = 0 ± 2πk.

Пример 16

Решение уравнения с использованием идентификатора

Точно решите уравнение, используя тождество: 3cosθ + 3 = 2sin2θ, 0≤θ <2π. 3cosθ + 3 = 2sin2θ, 0≤θ <2π.

Решение

Если мы перепишем правую часть, мы можем записать уравнение через косинус:

Наши решения: 2π3,4π3, π.2π3,4π3, π.

Решение тригонометрических уравнений с несколькими углами

Иногда невозможно решить тригонометрическое уравнение с тождествами, имеющими кратный угол, например sin (2x) sin (2x) или cos (3x) .cos (3x). Столкнувшись с этими уравнениями, вспомните, что y = sin (2x) y = sin (2x) — это горизонтальное сжатие с коэффициентом 2 функции y = sinx.y = sinx. На интервале 2π, 2π мы можем изобразить два периода y = sin (2x), y = sin (2x), в отличие от одного цикла y = sinx.y = sinx. Такое сжатие графика приводит нас к выводу, что может быть в два раза больше перехватов или решений x для sin (2x) = 0sin (2x) = 0 по сравнению с sinx = 0. sinx = 0. Эта информация поможет нам решить уравнение.

Пример 17

Решение многоугольного тригонометрического уравнения

Решите точно: cos (2x) = 12cos (2x) = 12 на [0,2π). [0,2π).

Решение

Мы видим, что это уравнение является стандартным уравнением с углом, кратным углу.Если cos (α) = 12, cos (α) = 12, мы знаем, что αα находится в квадрантах I и IV. Хотя θ = cos − 112θ = cos − 112 даст решения только в квадрантах I и II, мы понимаем, что решения уравнения cosθ = 12cosθ = 12 будут в квадрантах I и IV.

Следовательно, возможные углы равны θ = π3θ = π3 и θ = 5π3.θ = 5π3. Итак, 2x = π32x = π3 или 2x = 5π3,2x = 5π3, что означает, что x = π6x = π6 или x = 5π6.x = 5π6. Имеет ли это смысл? Да, потому что cos (2 (π6)) = cos (π3) = 12. cos (2 (π6)) = cos (π3) = 12.

Есть еще возможные ответы? Вернемся к нашему первому шагу.

В квадранте I 2x = π3,2x = π3, поэтому x = π6x = π6, как указано. Давайте снова вращаемся по кругу:

, поэтому x = 7π6.x = 7π6.

Еще один оборот дает

x = 13π6> 2π, x = 13π6> 2π, поэтому это значение для xx больше 2π, 2π, поэтому оно не решение на [0,2π). [0,2π).

В квадранте IV 2x = 5π3,2x = 5π3, поэтому x = 5π6x = 5π6, как указано. Давайте снова вращаемся по кругу:

, поэтому x = 11π6.х = 11π6.

Еще один оборот дает

x = 17π6> 2π, x = 17π6> 2π, поэтому это значение для xx больше 2π, 2π, поэтому оно не решение на [0,2π). [0,2π).

Наши решения: π6,5π6,7π6, 11π6.π6,5π6,7π6 и 11π6. Обратите внимание, что всякий раз, когда мы решаем задачу в форме sin (nx) = c, sin (nx) = c, мы должны обойти единичный круг nn раз.

Решение задач прямоугольного треугольника

Теперь мы можем использовать все изученные нами методы для решения задач, связанных с применением свойств прямоугольных треугольников и теоремы Пифагора.Мы начнем с известной теоремы Пифагора, a2 + b2 = c2, a2 ​​+ b2 = c2, и смоделируем уравнение в соответствии с ситуацией.

Пример 18

Использование теоремы Пифагора для моделирования уравнения

Используйте теорему Пифагора и свойства прямоугольных треугольников, чтобы смоделировать уравнение, которое соответствует задаче.

Один из тросов, которыми центр колеса обозрения London Eye крепится к земле, необходимо заменить. Центр колеса обозрения находится на высоте 69,5 метров над землей, а второй якорь на земле находится в 23 метрах от основания колеса обозрения.Примерно какой длины кабель и каков угол подъема (от земли до центра колеса обозрения)? См. Рисунок 4.

Рисунок 4

Решение

Используя предоставленную информацию, мы можем нарисовать прямоугольный треугольник. Мы можем найти длину кабеля с помощью теоремы Пифагора.

Угол возвышения θ, θ, образованный вторым якорем на земле и тросом, идущим к центру колеса.Мы можем использовать касательную функцию, чтобы найти ее меру. Округлить до двух десятичных знаков.

Угол возвышения составляет примерно 71,7∘, 71,7∘, а длина кабеля составляет 73,2 метра. .

Пример 19

Использование теоремы Пифагора для моделирования абстрактной задачи

Правила безопасности OSHA требуют, чтобы основание лестницы располагалось на расстоянии 1 фута от стены на каждые 4 фута длины лестницы. Найдите угол, под которым лестница любой длины образует с землей, и высоту, на которой лестница касается стены.

Решение

Для лестницы любой длины основание должно находиться на расстоянии от стены, равном одной четвертой длины лестницы. Эквивалентно, если основание лестницы находится на расстоянии футов от стены фута, длина лестницы будет 4 на фута. См. Рисунок 5.

Рис. 5

Сторона, примыкающая к θθ, равна a , а гипотенуза равна 4a.4а. Таким образом,

Высота лестницы составляет 75,5∘75,5∘ с землей. Высота, на которой лестница касается стены, может быть найдена с помощью теоремы Пифагора:

Таким образом, лестница касается стены на высоте 15a15a футов от земли.

7.Упражнения из 5 частей

Устные

Всегда ли будут решения уравнений тригонометрических функций? Если нет, опишите уравнение, у которого не было бы решения. Объясните, почему да или почему нет.

При решении тригонометрического уравнения, включающего более одной тригонометрической функции, всегда ли мы хотим попытаться переписать уравнение так, чтобы оно выражалось в терминах одной тригонометрической функции? Почему или почему нет?

При решении линейных тригонометрических уравнений только с помощью синуса или косинуса, как мы узнаем, будут ли решения?

Алгебраический

Для следующих упражнений найдите все решения точно на интервале 0≤θ <2π.0≤θ <2π.

Для следующих упражнений решите точно на [0,2π). [0,2π).

2cos (3θ) = — 22cos (3θ) = — 2

cos (2θ) = — 32cos (2θ) = — 32

2cos (π5θ) = 32cos (π5θ) = 3

Для следующих упражнений найдите все точные решения на [0,2π). [0,2π).

сек (x) sin (x) −2sin (x) = 0sec (x) sin (x) −2sin (x) = 0

tan (x) −2sin (x) tan (x) = 0tan (x) −2sin (x) tan (x) = 0

2cos2t + cos (t) = 12cos2t + cos (t) = 1

2tan2 (t) = 3сек (t) 2tan2 (t) = 3сек (t)

2sin (x) cos (x) −sin (x) + 2cos (x) −1 = 02sin (x) cos (x) −sin (x) + 2cos (x) −1 = 0

tan2 (x) = — 1 + 2tan (−x) tan2 (x) = — 1 + 2tan (−x)

8sin2 (x) + 6sin (x) + 1 = 08sin2 (x) + 6sin (x) + 1 = 0

tan5 (x) = tan (x) tan5 (x) = tan (x)

Для следующих упражнений решайте методами, указанными в этом разделе, точно на интервале [0,2π). [0,2π).

sin (3x) cos (6x) −cos (3x) sin (6x) = — 0.9sin (3x) cos (6x) −cos (3x) sin (6x) = — 0.9

sin (6x) cos (11x) −cos (6x) sin (11x) = — 0,1 sin (6x) cos (11x) −cos (6x) sin (11x) = — 0,1

cos (2x) cosx + sin (2x) sinx = 1cos (2x) cosx + sin (2x) sinx = 1

6sin (2t) + 9sint = 06sin (2t) + 9sint = 0

9cos (2θ) = 9cos2θ − 49cos (2θ) = 9cos2θ − 4

cos (6x) −cos (3x) = 0cos (6x) −cos (3x) = 0

Для следующих упражнений решите точно на отрезке [0,2π). [0,2π). Если уравнения не учитываются, используйте формулу корней квадратного уравнения.

tan2x − 3tanx = 0tan2x − 3tanx = 0

sin2x + sinx − 2 = 0sin2x + sinx − 2 = 0

sin2x − 2sinx − 4 = 0sin2x − 2sinx − 4 = 0

5cos2x + 3cosx − 1 = 05cos2x + 3cosx − 1 = 0

3cos2x − 2cosx − 2 = 03cos2x − 2cosx − 2 = 0

5sin2x + 2sinx − 1 = 05sin2x + 2sinx − 1 = 0

tan2x + 5tanx − 1 = 0tan2x + 5tanx − 1 = 0

cot2x = −cotxcot2x = −cotx

−tan2x − tanx − 2 = 0 − tan2x − tanx − 2 = 0

Для следующих упражнений найдите точные решения на интервале [0,2π). [0,2π). Ищите возможности использовать тригонометрические тождества.

sin2x − cos2x − sinx = 0sin2x − cos2x − sinx = 0

sin2x + cos2x = 0sin2x + cos2x = 0

sin (2x) −sinx = 0sin (2x) −sinx = 0

cos (2x) −cosx = 0cos (2x) −cosx = 0.

2tanx2 − sec2x − sin2x = cos2x2tanx2 − sec2x − sin2x = cos2x

1 − cos (2x) = 1 + cos (2x) 1 − cos (2x) = 1 + cos (2x).

10sinxcosx = 6cosx10sinxcosx = 6cosx

−3sint = 15costsint − 3sint = 15costsint

4cos2x − 4 = 15cosx4cos2x − 4 = 15cosx

8sin2x + 6sinx + 1 = 08sin2x + 6sinx + 1 = 0

8cos2θ = 3−2cosθ8cos2θ = 3−2cosθ

6cos2x + 7sinx − 8 = 06cos2x + 7sinx − 8 = 0.

12sin2t + cost − 6 = 012sin2t + cost − 6 = 0

Графический

Для следующих упражнений точно алгебраически определите все решения тригонометрического уравнения, затем проверьте результаты, построив уравнение на графике и найдя нули.

6sin2x − 5sinx + 1 = 06sin2x − 5sinx + 1 = 0

8cos2x − 2cosx − 1 = 08cos2x − 2cosx − 1 = 0.

100tan2x + 20tanx − 3 = 0100tan2x + 20tanx − 3 = 0

2cos2x − cosx + 15 = 02cos2x − cosx + 15 = 0.

20sin2x − 27sinx + 7 = 020sin2x − 27sinx + 7 = 0

2tan2x + 7tanx + 6 = 02tan2x + 7tanx + 6 = 0

130tan2x + 69tanx − 130 = 0130tan2x + 69tanx − 130 = 0

Технологии

Для следующих упражнений используйте калькулятор, чтобы найти все решения до четырех знаков после запятой.

Для следующих упражнений решите уравнения алгебраически, а затем с помощью калькулятора найдите значения на интервале [0,2π).[0,2π). Округлить до четырех знаков после запятой.

tan2x + 3tanx − 3 = 0tan2x + 3tanx − 3 = 0

6tan2x + 13tanx = −66tan2x + 13tanx = −6

tan2x − secx = 1tan2x − secx = 1

sin2x − 2cos2x = 0sin2x − 2cos2x = 0

2tan2x + 9tanx − 6 = 02tan2x + 9tanx − 6 = 0

4sin2x + sin (2x) secx − 3 = 04sin2x + sin (2x) secx − 3 = 0

Расширения

Для следующих упражнений найдите все решения уравнений в точности на интервале [0,2π). [0,2π).

csc2x − 3cscx − 4 = 0csc2x − 3cscx − 4 = 0

sin2x − cos2x − 1 = 0sin2x − cos2x − 1 = 0

sin2x (1 − sin2x) + cos2x (1 − sin2x) = 0sin2x (1 − sin2x) + cos2x (1 − sin2x) = 0

3sec2x + 2 + sin2x − tan2x + cos2x = 03sec2x + 2 + sin2x − tan2x + cos2x = 0

sin2x − 1 + 2cos (2x) −cos2x = 1sin2x − 1 + 2cos (2x) −cos2x = 1

tan2x − 1 − sec3xcosx = 0tan2x − 1 − sec3xcosx = 0

sin (2x) sec2x = 0sin (2x) sec2x = 0

sin (2x) 2csc2x = 0sin (2x) 2csc2x = 0

2cos2x − sin2x − cosx − 5 = 02cos2x − sin2x − cosx − 5 = 0

1sec2x + 2 + sin2x + 4cos2x = 41sec2x + 2 + sin2x + 4cos2x = 4

Реальные приложения

У самолета достаточно бензина, чтобы долететь до города в 200 милях к северо-востоку от его текущего местоположения. Если пилот знает, что город находится в 25 милях к северу, на сколько градусов к северу от востока должен лететь самолет?

Если погрузочная рампа размещена рядом с грузовиком на высоте 4 фута, а ее длина составляет 15 футов, какой угол образует аппарель с землей?

Если погрузочная рампа расположена рядом с грузовиком на высоте 2 фута, а ее длина составляет 20 футов, то какой угол образует аппарель с землей?

Женщина наблюдает за запущенной ракетой на высоте 11 миль. Если она стоит в 4 милях от стартовой площадки, под каким углом она смотрит вверх из горизонтали?

Астронавт находится в запущенной ракете, которая сейчас находится на высоте 15 миль. Если мужчина стоит в 2 милях от стартовой площадки, под каким углом она смотрит на него сверху вниз из горизонтали? (Подсказка: это называется углом депрессии. )

Женщина стоит в 8 метрах от 10-метрового здания.Под каким углом она смотрит на вершину здания?

Мужчина стоит в 10 метрах от 6-метрового дома. Кто-то наверху здания смотрит на него сверху вниз. Под каким углом смотрит на него человек?

У здания высотой 20 футов есть тень длиной 55 футов. Какой угол подъема солнца?

У здания высотой 90 футов есть тень длиной 2 фута. Какой угол подъема солнца?

Прожектор на земле в 3 метрах от человека ростом 2 метра отбрасывает 6-метровую тень на стену в 6 метрах от человека.Под каким углом свет?

Прожектор на земле в 3 футах от женщины ростом 5 футов отбрасывает тень 15 футов высотой на стену в 6 футах от женщины. Под каким углом свет?

Для следующих упражнений найдите решение задачи со словами алгебраически. Затем воспользуйтесь калькулятором, чтобы проверить результат. Ответ округлите до десятых долей градуса.

Человек выполняет стойку на руках, при этом его ноги касаются стены, а руки находятся на расстоянии 1,5 фута от стены.Если рост человека 6 футов, какой угол у его ступни со стеной?

Человек выполняет стойку на руках, при этом ноги касаются стены, а руки находятся на расстоянии 3 футов от стены. Если рост человека 5 футов, какой угол у его ступни со стеной?

23-футовая лестница стоит рядом с домом. Если лестница соскользнет на расстоянии 7 футов от дома при недостаточном сцеплении с землей, под каким углом лестница должна быть расположена относительно земли, чтобы не поскользнуться?

Репетитор по математике — Экстра — Уравнения и неравенства

В этом разделе мы кратко рассмотрим элементарные методы, используемые для решения уравнения и неравенства.Мы сосредоточимся на проблемах, которые могут появиться, читатель может быть удивлен, увидев, как в игру вступают свойства функций в этой секции. Этот раздел состоит из частей Уравнения, Неравенства, Знаковые неравенства, Двойные неравенства, Разделение реальной линии и (In) равенства с триггерными функциями.

Уравнения

Рассмотрим уравнение с неизвестным размером x . Обычный способ решение уравнений состоит в том, чтобы выделить x с одной стороны.В общем продолжаем применив некоторые операции к обеим частям уравнения, что работает во многих случаях, но иногда мы должны быть осторожны, что и является темой этой части. Всем известно, что мы можем складывать или вычитать с обеих сторон свободно, но при делении или умножении уравнения мы должны быть более осторожно, так как это работает, только если мы не используем ноль для деление / умножение.

То, что не так широко понимается, — это еще один часто используемый прием.Во многих уравнения, у нас есть функция, от которой мы хотим избавиться, например уравнение ln ( x ) = 2 относится к этому типу. Большинство эффективный трюк — применить (к обеим сторонам) функцию, обратную к одной что мы хотим, чтобы функция и ее обратная функция исчезли, а затем отмените друг с другом. Функция, обратная логарифму, — это экспонента, поэтому мы делаем

e ^{ln ( x )} = e ² ,
x = e ² .

Однако это не всегда так просто. Рассмотрим следующие два примера.

Пример: Рассмотрим уравнение arcsin ( x ) = π / 2. Применяем обратное функция.

sin [arcsin ( x )] = sin [π / 2],
x = 1.

Теперь рассмотрим это уравнение: sin ( x ) = 1. Если мы проделайте аналогичную процедуру,

arcsin [sin ( x )] = arcsin [1],
x = π / 2,

мы получаем неправильный ответ.Как это возможно? Тогда каков правильный ответ?

Ключ к этому трюку — понятие обратной функции. Во-первых Например, синус — это функция, обратная арксинусу на интервале [-1,1]. Неужели х из этого интервала? В этом случае да, поскольку arcsin делает не принимать никаких других значений, поэтому данное уравнение уже ограничивает x в правую часть. Поэтому мы имеем дело с arcsin в регионе где он обратим и формула работает.

С другой стороны, arcsin — это не функция, обратная синусу, а только синус ограничен. Теперь нет гарантии, что x в уравнении из этого региона, а для x из других регионов у нас разные обратные функции. Поэтому поиск решения более сложен, и на самом деле существует бесконечно много правильных решений образуют π / 2 + 2 k π, где k — любое целое число.

У нас похожая проблема с корнями. Один из способов получить все решения:

= 3,
[] ² = 3 ² ,
x = 9.

Это сработало, потому что квадрат — это функция, обратная квадратному корню на интервал [0, ∞) и нет другие x разрешены в данном уравнении. По-другому не работает.

x ² = 16,
[ x ² ] ^1/2 = 16 ^1/2 ,
x = 4.

Опять же, проблема в том, что для получения обратного квадрата нам нужно ограничить его до [0, ∞), но теперь у нас нет гарантии, что x в уравнении от этого область, край. Правильный ответ здесь — 4 и 4.

Пока у нас были проблемы с отсутствующими решениями. Также возможно получить ложные решения. Фактически это опять же связано с проблемой с инверсией. Мы меняем уравнение и находим решение нового, но как нам знаете, что это тоже решение исходного уравнения? Это правда, если мы также можно вернуться назад, от последней формы к первой (данной) форме уравнение.Следовательно, операции, которые мы выполняем, также должны работать в противоположное направление. Другими словами, если у нас есть две взаимные функции инвертирует только где-то, то в одну сторону у нас проблемы и либо он всплывает на пути к раствору, или может укусить нас на обратном пути. смотреть на этот пример.

(2- x ² ) ^1/2 = x ,
[(2- x ² ) ^1/2 ] ² = x ² ,
2- x ² = x ² ,
2 x ² = 2,
x ² = 1,
x = 1, −1.

Вроде у нас два решения, но работает только одно, а именно x = 1. Обратите внимание, что такая проблема не возникает, когда мы работаем с логарифм и экспонента, нас также устроит кубический корень и кубический мощность и любая другая пара взаимно обратных функций, не требующая ограничение. В других случаях мы должны быть очень осторожны, в частности, это важно всегда проверять, что полученные нами решения действительно удовлетворяют уравнение, которое нам было дано, в исходном виде.

Универсального метода решения этих проблем не существует. Для популярных функции мы помним, что происходит, например, мы должны помнить, что квадратный корень из x ² это не x , а | x |. Иногда, если у нас есть обратные функции только на части реальная линия, это помогает разделить область, в которой мы решаем, на соответствующую детали, см. соответствующий раздел ниже.

Неравенства

С неравенством мы можем столкнуться со всеми проблемами, о которых говорилось выше, и некоторыми другими. Опять же, мы можем прибавить / вычесть из обеих частей неравенства без проблема, и все мы знаем, что при умножении / делении неравенства мы имеем чтобы узнать о знаке числа, на которое мы умножаем / делим. Если это число положительное, то мы сохраняем направление неравенства, но если оно отрицательный, мы должны отменить его.Если в этот термин входит неизвестное, то мы действительно не знаем знака, и мы должны решить неравенство несколько раз, чтобы охватить все возможные ситуации, см. раздел «Разделение реальной линии».

При применении некоторой функции к неравенству возникают две проблемы. Один о отмена обратных функций, что вызывает те же проблемы, что и раньше. Однако здесь мы должны быть осторожны уже при применении функции к неравенство, потому что не каждую функцию можно применить к неравенствам.В состояние простое. Могут применяться только монотонные функции; если функция, которую мы применяем, возрастает, мы сохраняем неравенство как было; если функция, которую мы применяем, уменьшается, тогда мы должны переключить направление неравенство. И снова, иногда применяемая функция бывает только монотонной. где-то и все становится еще интереснее.

Например, и логарифм, и экспонента являются возрастающими функциями. везде.Таким образом, мы можем решить неравенство e ^x <5 применяя логарифм к обеим сторонам, не меняя направления, получаем ln ( e ^x ) x x ² не монотонный, поэтому, как правило, мы не можем возвести в квадрат обе стороны неравенства, только при некоторых особых обстоятельствах (например, если мы каким-то образом знаем, что оба стороны положительны, так как на положительной полуоси квадрат увеличивается).

Для популярных функций у нас есть приемы решения неравенств. Если многочлены вовлечены, мы можем использовать подход с помощью графиков или трюк, описанный в часть Знаки неравенства. Рисунки также помогают при работе с тригонометрическими функций, другой подход показан в последнем часть здесь.

Знаковые неравенства

Под знаковыми неравенствами мы понимаем неравенства, в которых одна сторона равна 0, а затем точное значение выражения с другой стороны не имеет значения, важен только его знак.Эти неравенства могут быть решены довольно легко, если эта другая сторона может быть устранена. выражается как произведение и / или соотношение простых терминов, потому что знак продукт / соотношение можно легко определить по обозначениям его частей. Таким образом, это достаточно, чтобы исследовать признаки отдельных факторов, а затем как-то все вместе.

Если повезет, каждое такое простое выражение будет непрерывным и как таковое он меняет знаки контролируемым образом. Точнее, реальная линия разбивается на несколько областей, в каждой из которых это выражение имеет только один знак, и точки расщепления (где меняются знаки) — это именно те точки, где это выражение равно нулю.Так как в каждом регионе знак один и тот же везде, мы узнаем это, просто выбирая оттуда какую-то точку и заменяя его.

Например, x ² — 1 равно нулю при -1 и 1, поэтому вещественная прямая разбивается на области (−∞, −1), (- 1,1) и (1, ∞). С первого раза мы выберите, например, x = −2, подставьте и получите 3> 0, поэтому x ² — 1 положительный на первом области, аналогично узнаем, что это выражение отрицательно на втором регион и позитив по последнему региону.

Отсюда получаем процедуру решения знаковых неравенств.

Сначала мы находим нулевые точки всех факторов. Затем мы используем их, чтобы разделить настоящие линия в регионы. Для каждого региона мы находим признаки каждого фактора. Это выполняется путем выбора некоторой точки внутри этой области и замены ее на все факторы. Затем в каждом регионе мы складываем все признаки факторов с помощью алгебры знаков и получить знаки всего выражения.Напоследок На шаге собираем все области, где знак удовлетворяет заданному неравенству. Если неравенство точное, мы используем открытые интервалы. Если в него входит равенство, то мы включать конечные точки, но только если они не вызывают проблем в выражении.

Для линейных факторов это становится еще проще, поскольку линейные факторы меняют только знак один раз, в точке, где они равны нулю, поэтому для конкретного линейного фактора мы просто отметьте точку, где он равен нулю, а затем везде будет один знак справа, а другой слева.Чтобы найти, что есть что ( знаки идут — + или + -) мы просто замените одну точку, кроме нулевой точки.

Иногда мы разделяем не всю реальную строку, а только ее часть, это происходит, когда некоторые числа запрещены выражениями в неравенстве. Это случается не часто (обычно мы просто работаем с многочленами), но когда бывает, что это не проблема, как вы увидите в следующем примере.

Пример: Рассмотрим неравенство

У нас есть одна проблема: логарифм принимает только положительные числа. В соответствующее неравенство: x + 2> 0, поэтому с самого начала мы ограничиваем наши вычисления до x > −2. Теперь приступим к обычному алгоритм. Первые ноль баллов. Уравнения 3 — x = 0, x + 5 = 0, x — 1 = 0,2 x — 1 = 0, ln ( x + 2) = 0 есть решения x = 3, x = −5, x = 1, x = 1/2, и x + 2 = 1, то есть х = -1.

Мы упорядочиваем эти точки, а затем проверяем, как они разделяют регион. (−2, ∞) где мы за работой; в частности, мы видим, что x = −5 не падает там, и поэтому это не имеет значения. Получаем области (−2, −1), (- 1,1 / 2), (1/2,1), (1,3) и (3, ∞). К Для определения признаков в этих регионах воспользуемся таблицей.

Мы хотим, чтобы выражение было положительным, поэтому правильные области (−2, −1), (1/2,1) и (1,3).Так как неравенство также допускает ноль, проверяем какие конечные точки этих трех интервалов не вызывают проблем. Мы видим, что −2 выпадает из-за логарифма, 1/2 и 1 равняются нулю в знаменателе, поэтому единственное, что работает — 3. Ответ:

(−2, −1) ∪ (1/2,1) ∪ (1,3].

Обратите внимание, что это неравенство также может быть решено, если сначала избавиться от дробь, что означает, что мы хотели бы умножить обе части на знаменатель.Но для этого нам нужно было бы исследовать возможные признаки знаменатель, следовательно, нам пришлось бы разделить реальную линию и решить несколько неравенств (см. раздел «Расщепление реальная линия), скорее всего было бы намного хуже этого решения. Определение знаков — обычно самый быстрый способ. Поэтому мы часто преобразовать в этот тип и другие неравенства, например такие.

Точки разделения 2 и 7, мы видим, что решение (−∞, 2) ∪ (7, ∞).

Двойное неравенство

Двойное неравенство выглядит как эти два примера.

Обычно существует два возможных способа решения таких двойных неравенств. Один способ состоит в том, чтобы решить их оба одновременно, применяя операции ко всем трем стороны. Иногда это легко сделать, например, с первым примером.

Решение — интервал (−3,1).Однако второй пример выглядит не так привлекательно. Первый шаг был бы быть умножить все стороны на знаменатель x + 3, но поскольку мы не знаем его знак, нам пришлось бы разделить реальную линию и решить всю проблему дважды. Мы покажем эту процедуру в части ниже, посвященной разделению реального линии, вы увидите, что она немного длиннее.

Второй возможный способ — просто решить каждое неравенство отдельно и затем пересекаем решения (мы хотим, чтобы выполнялись оба неравенства).Это часто проще, особенно если мы можем изменить два неравенства на знак неравенства. Это был бы мой предпочтительный способ для второго примера. Отзывать что знак «вверх ногами-ви» обозначает логическое «и».

Разделение реальной строки

Часто мы оказываемся в ситуации, когда решаем (не) равенство, но шаг, который мы собираемся сделать требует определенных знаний, которых у нас нет, а именно признак некоторого выражения.Для этого есть две самые популярные причины: мы хотим умножить / разделить неравенство на какое-либо выражение, или мы хотим избавиться от абсолютного значения.

Если это выражение включает неизвестные x , то мы не знаем его знак. Затем нам нужно изучить обе возможности для знака, но каждый решение будет работать только на той части реальной линии, где это выражение имеет этот особый знак. Таким образом, мы фактически разделяем реальную линию по нужному нам знаку и решаем проблему в каждой части отдельно, в конце мы берем объединение частных решений.Однако учтите, что любые результат, полученный при решении в одной конкретной области, действителен только в пределах этот регион, то есть все части за пределами этого региона не должны приниматься во внимание (другими словами, любое решение, которое мы получаем в конкретном регионе, должно быть пересекались с этой областью, прежде чем мы будем использовать ее в дальнейшем).

В качестве примера вернемся ко второму двойному неравенству выше. Нам бы хотелось чтобы умножить все на x + 3, но для этого нам нужно чтобы знать его знак, чтобы мы знали, следует ли переключать направление движения неравенство.Есть две возможности, и нам нужно изучить обе. Мы видим что выражение положительно для x > −3 и отрицательный для x <−3, что определяет области в которые мы разделяем настоящие линия. Затем решаем проблему в каждом регионе отдельно.

Если у нас есть более сложные термины, мы найдем точки разделения для всех из них. а затем сделайте универсальное разбиение реальной линии так, чтобы на каждой области каждый хлопотный срок уже определен.

Пример: Рассмотрим двойное неравенство

Опять же, обратите внимание, как в каждой области мы пересекали полученное там решение. с этой областью в конце мы использовали union для соединения всех решений.

(In) равенство с триггерами

Здесь мы просто покажем один полезный трюк. Отправная точка здесь проста (in) равенства типа sin ( x ) = 1 или cos ( x ) <1/2. Лучший способ решить такие (не) равенства заключается в использовании соответствующего графа. Наверное, самый простой способ - сначала определить решение в течение одного периода, а затем добавить к нему периодичность.

Для первого равенства мы сначала заключаем, что в первом периоде синуса у нас есть решение x = π / 2, затем добавляем периодичность: x = π / 2 + 2 k π.

Второй пример работает аналогично. На картинке мы видим, что решение описывается неравенствами π / 3 < x <4π / 3, затем мы добавляем периодичность:

π / 3 + 2 k π < x <4π / 3 + 2 k π.

Что делать, если аргумент триггерной функции каким-то образом трансформируется? Рассмотрим неравенство cos (2 x + 1) <1/2.Как мы решаем это? Есть два популярных метода.

Один из методов — это прямое использование изображения, но на этот раз нам нужно нарисовать график. из cos (2 x + 1). Для опытного студента это должно быть нетрудно догадаться (см. Преобразования и график угадывание в функции — Обзор методов — Основные свойства реального функции). Однако это может быть сложно, поэтому некоторые люди (например, я) предпочитаю другой способ.

Второй метод использует обычный график соответствующей триггерной функции и сначала мы делаем вид, что в аргументе всего x .Мы находим решение, как и раньше, но затем вместо x мы ставим выражение в аргументе и решите относительно x . В нашем примере это будет как это.

Мы выразили ответ с помощью описания множества, а именно с помощью бесконечного union, но, как вы можете видеть, как только у вас есть решение, описанное с помощью неравенства, легко перейти на интервалы. Преимущество этого метод заключается в том, что мы можем использовать его также для более общих преобразований, которые трудно рисовать, например, решать такие неравенства: 0 ≤ загар ( x ² +1) <1.

Решите тригонометрические уравнения и неравенства в квадратичной форме

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Решение линейных неравенств