Система линейных уравнений матричным методом: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.

Содержание

Найти решение системы линейных уравнений третьего, четвертого порядка матричным методом

Для решения системы линейных алгебраических уравнений ее записывают в матричной форме

где -матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных; — столбец неизвестных; — столбец свободных членов. После того, если для матрицы существует обратная матрица ( ) то система линейных уравнений имеет единственное решение и он находится за формулой

Поскольку перемножить матрицу на вектор столбец не складывает особенных трудностей, то большая проблема при вычислениях — найти обратную матрицу

В нахождении решения за приведенной формулой и заключается суть матричного метода.

Рассмотрим несколько примеров из сборника задач Дубовика В.П., Юрика І.І. «Высшая математика»

————————————

Задача.

Решить систему линейных алгебраических уравнений.

1) (1. 183)

2) (4. 182)

Решение.

1) Запишем систему трех линейных уравнений в матричной форме

Найдем обратную матрицу. Напомним, что

где — определитель матрицы , а — транспонированная матрица алгебраических дополнений элементов определителя матрицы.

Вычислим определитель матрицы

Матрица алгебраических дополнений состоит из элементов , которые вычисляются через миноры по правилу

Миноры — это определители на порядок меньшие от определителя , которые образуются вычеркиванием в нем -й строки и — го столбца. На первый взгляд звучит слишком запутано, но при вычислениях все станет понятно и просто.

Найдем алгебраические дополнения к определителю

Запишем найденную матрицу алгебраических дополнений

и протранспонируем ее

Находим обратную матрицу

С помощью обратной матрицы находим решение системы линейных уравнений

На етом решения примера завешено. Как видите никаких сложных вычислений в етом задании мы не делали.

2) Запишем систему линейных уравнений четвертого порядка в матричной форме

Поскольку все коэффициенты ненулевые то вычислять ее будет трудно. Выполним над системой линейных уравнений элементарные превращения чтобы превратить в нуль некоторые из коэффициентов.

От второй строки отнимем первую и последнюю строки

От третьей строки отнимем сумму первой и четвертой строки начальной системы

От четвертой строки отнимем первый

Из последней строки уже можем сказать что но будем придерживаться правил чтобы научиться решать большие системы уравнений.

Поскольку матрица стала разреженной то вычисление определителя и матрицы алгебраических дополнений упростятся. Найдем определитель матрицы, разложив его за четвертой строкой

Найдем матрицу алгебраических дополнений, раскладывая искомые детерминанты за строками и столбцами которые содержат больше всего нулей. Для самопроверки выпишу Вам вычисление только первой строки. Остальные попробуйте вычислить самостоятельно

После нахождения всех значений получим следующую матрицу дополнений

Поскольку определитель равен единице то обратная матрица с транспонированной матрицей дополнений совпадают

Подставим в матричную запись и найдем решение

При вычислениях систем линейных алгебраических уравнений третьего, четвертого порядка матричным методом придется находить большое количество алгебраических дополнений , которые собой являют определители второго и третьего порядка соответственно. Именно ошибки при их вычислении чаще всего становятся причиной неверного решения. Для избежания таких ситуаций нужно хорошо знать правила нахождения определителей второго, третьего порядка, а также правила чередования знаков возле миноров.

Изучайте их и получайте лишь верные решения !

———————————————-

Посмотреть материалы:

1.1 Описание метода. Решение систем линейных уравнений «матричным методом»

Похожие главы из других работ:

Автоматическое построение профилей нормального поведения веб-приложений

4.2 Описание метода

В основе метода лежит идея анализа связей между наборами параметров, поступающих в веб-приложение через HTTP-запросы, и операциями над объектами окружения, совершаемыми веб-приложениями в ответ на данные запросы…

Анализ тональности текстов на основе ДСМ-метода

1.2.2 Описание метода

ДСМ-метод — это метод автоматического порождения гипотез. Был предложен В. К. Финном в конце 1970-х гг. Свое название метод получил от инициалов известного английского философа, логика и экономиста Джона Стюарта Милля…

Деление чисел в нормализованной форме

1.2 Описание метода решения

Метод решения заключается в считывании из INPUT в файл чисел, переписывании чисел без разделения их на целую и дробную части, подсчитывании количества разрядов чисел, выбора большего разряда, и сдвига вправо на k разрядов меньшего числа…

Компрессия полутонового изображения

5. Описание метода jpeg

Для обобщения опыта разработки и использования методов сжатия неподвижных полутоновых и цветных изображений и разработки международного стандарта МККТТ и МОС в 1991 году была создана организация, состоящая из группы экспертов…

Нахождение корней уравнения методом Ньютона (ЛИСП-реализация)

2.1 Описание метода

Пусть корень x уравнения отделен на отрезке [a, b], причем и непрерывны и сохраняют определенные знаки при . Если на некотором произвольном шаге n найдено приближенное значение корня , то можно уточнить это значение по методу Ньютона. Положим…

Определение площади геометрической фигуры

Описание метода

Интеграл функции — аналог суммы последовательности. Неформально говоря, (определенный) интеграл является площадью части графика функции (в пределах интегрирования). Определение…

Применение симплекс-метода

Описание метода

Для решения задач линейного программирования существует множество методов. Рассмотрим один из них. Улучшенный (модифицированный) симплекс-метод Для начала расскажем, что такое симплекс-метод. Слово SIMPLEX в обычном смысле означает простой…

Программа для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Описание метода

Уравнения, содержащие производные от функции, возникают при решении многих научно-технических задач, причем существует большое разнообразие классов подобных уравнений. ..

Прямой метод вращения векового определителя

Описание метода

Идея метода Данилевского состоит в том, что матрица А приводится к “нормальной форме Фробениуса”, имеющей вид: . Характеристическое уравнение для матрицы Р имеет простой вид т.е…

Разработка игры «Frag the monster»

2 ОПИСАНИЕ МЕТОДА РАЗРАБОТКИ

Решение систем линейных уравнений «матричным методом»

1.1 Описание метода

Матричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем…

Решение систем линейных уравнений «матричным методом»

1.1 Описание метода

Матричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем…

Системы массового обслуживания

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МЕТОДА

. ..

Теория элитных групп

2. ОПИСАНИЕ МЕТОДА МОДЕЛИРОВАНИЯ

Эталон — объект внешний по отношению, как к исходной совокупности, так и к формируемой группе. Он привносится извне и вообще может иметь иную природу, чем сортируемые объекты…

Численное решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

2.1 Описание метода

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Состоит в постепенном понижении порядка системы и исключении неизвестных. Пусть исходная система выглядит следующим образом ,…

Примеры систем линейных уравнений: метод решения

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Линейное уравнение

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y — это неизвестные, значение которых надо найти, b, a — коэффициенты при переменных, c — свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Виды систем линейных уравнений

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 — функции, а (x, y) — переменные функций.

Решить систему уравненийэто значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака «равенство» часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Простые и сложные методы решения систем уравнений

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения — это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Решение систем методом подстановки

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе

Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:

Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.

Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:

Решение с помощью алгебраического сложения

При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Алгоритм действий решения:

  1. Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
  2. Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
  3. Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.

Способ решения введением новой переменной

Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.

Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.

Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.

Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 — a*c, где D — искомый дискриминант, b, a, c — множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.

Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.

Наглядный метод решения систем

Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.

Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.

Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.

Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.

В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.

Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.

Матрица и ее разновидности

Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. Матрица вида n*m имеет n — строк и m — столбцов.

Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей — вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.

Обратная матрица — это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.

Правила преобразования системы уравнений в матрицу

Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение — одна строка матрицы.

Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.

Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y — только во второй.

При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.

Варианты нахождения обратной матрицы

Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K-1= 1 / |K|, где K-1 — обратная матрица, а |K| — определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.

Определитель легко вычисляется для матрицы «два на два», необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта «три на три» существует формула |K|=a1b2c3 + a1b3c2 + a3b1c2 + a2b3c1 + a2b1c3 + a3b2c1. Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.

Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом

Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.

В примере anm — коэффициенты уравнений, матрица — вектор xn — переменные, а bn — свободные члены.

Далее необходимо найти обратную матрицу и умножить на нее исходную. Найти значения переменных в полученной единичной матрицы легко выполнимая задача.

Решение систем методом Гаусса

В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса — Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.

Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 — соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.

После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.

В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:

Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x3-2x4=11 и 3x3+2x4=7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных xn.

Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.

Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.

Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:

Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. Вертикальная черта отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.

Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака «стрелка» и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.

В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.

Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.

Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.

Решение систем линейных уравнений с использованием матриц

Если нужно, просмотрите матрицы , операции со строками матрицы и решение систем линейных уравнений прежде чем читать эту страницу.

То матричный метод решения систем линейных уравнений — это просто метод исключения в маскировке. При использовании матриц запись становится немного проще.

Предположим, у вас есть система линейных уравнений, например:

{ 3 Икс + 4 у знак равно 5 2 Икс − у знак равно 7

Первый шаг — преобразовать это в матрицу.Убедитесь, что все уравнения в стандартной форме ( А Икс + Б у знак равно С ) , и используйте коэффициенты каждого уравнения для формирования каждой строки матрицы. Это может помочь вам отделить правый столбец пунктирной линией.

[ 3 4 2 − 1 | 5 7 ]

Далее мы используем операции со строками матрицы изменить 2 × 2 матрица слева от единичная матрица .

Во-первых, мы хотим получить ноль в строке 1 , Столбец 2 . Итак, добавьте 4 раз ряд 2 грести 1 .

[ 11 0 2 − 1 | 33 7 ] → добавлен ( 4 × Ряд 2 ) к Ряд 1

Далее мы хотим 1 в левом верхнем углу.

[ 1 0 2 − 1 | 3 7 ] → разделенный Ряд 1 от 11

Теперь нам нужен ноль в левом нижнем углу.

[ 1 0 0 − 1 | 3 1 ] → добавлен ( − 2 × Ряд 1 ) к Ряд 2

Наконец, мы хотим 1 в строке 2 , Столбец 2 .

[ 1 0 0 1 | 3 − 1 ] → умноженный Ряд 2 от − 1

Теперь, когда у нас есть 2 × 2 единичная матрица слева, мы можем прочитать решения из правого столбца:

Икс знак равно 3 у знак равно − 1

Этот же метод можно использовать для н линейные уравнения в н неизвестные; в этом случае вы должны создать н × ( н − 1 ) матрица и используйте операции со строками матрицы, чтобы получить тождество н × н матрица слева.

Важная заметка: Если уравнения, представленные вашей исходной матрицей, представляют собой параллельные линии, вы не сможете получить единичную матрицу, используя операции со строками. В этом случае решения либо не существует, либо существует бесконечно много решений системы.

Решение линейных систем с использованием матриц

Систему уравнений можно представить в нескольких различных матричных формах. Один из способов состоит в том, чтобы реализовать систему как матричное произведение коэффициентов системы и вектор-столбца ее переменных.Квадратная матрица называется матрицей коэффициентов , потому что она состоит из коэффициентов переменных в системе уравнений:

Произведение матриц: 2x+4y+7z=43x+3y+2z=85x+6y+3z=0⟶[247332563][xyz]=[480]. \text{Произведение матриц: } \quad \begin{array}{c c c c c c c} 2x & + & 4y & + & 7z & = & 4\\ 3x & + & 3y & + & 2z & = & 8\\ 5x&+&6y&+&3z&=&0\ \end{массив} \longrightarrow \left[ \begin{массив}{c c c} 2 и 4 и 7\\ 3 и 3 и 2 \\ 5 и 6 и 3 \\ \конец{массив}\справа] \left[ \begin{массив}{с} Икс \\ у \\ z\\ \end{массив} \right] = \left[ \begin{массив}{c} 4\\ 8\\ 0 \end{массив} \right].

Произведение матриц: 2x3x5x​+++​4y3y6y​+++​7z2z3z​===​480​⟶⎣⎡​235​436​723​⎦⎤​⎣⎡​xyz​⎦⎤​=⎣⎡​480 ​⎦⎤​.

Альтернативное представление, называемое расширенной матрицей , создается путем сшивания столбцов матриц вместе и разделения вертикальной чертой. Матрица коэффициентов помещается слева от этой вертикальной черты, а константы в правой части каждого уравнения помещаются справа от вертикальной черты:

Расширенная матрица: 2x+4y+7z=43x+3y+2z=85x+6y+3z=0⟶[247433285630].\text{Расширенная матрица: } \quad \quad \begin{array}{c c c c c c c} 2x & + & 4y & + & 7z & = & 4\\ 3x & + & 3y & + & 2z & = & 8\\ 5x&+&6y&+&3z&=&0\ \end{массив} \longrightarrow \left[ \begin{массив}{c c c | в} 2 и 4 и 7 и 4\\ 3 и 3 и 2 и 8\\ 5 и 6 и 3 и 0 \end{массив}\right]. Расширенная матрица: 2x3x5x​+++​4y3y6y​+++​7z2z3z​===​480​⟶⎣⎡​235​436​723​480​⎦⎤​​.

Матрицами, представляющими эти системы, можно манипулировать таким образом, чтобы обеспечить легко читаемые решения.Эта манипуляция называется сокращением строки. Методы сокращения строк преобразуют матрицу в сокращенную эшелонированную форму строк без изменения решений системы.

Сокращенная -ступенчатая форма строки матрицы AAA (\big((обозначается rref(A)) \text{rref}(A)\big)rref(A)) представляет собой матрицу равной размерности, которая удовлетворяет:

  1. Крайний левый ненулевой элемент в каждой строке равен 1 1 1. Этот элемент называется опорным.
  2. Любой столбец может иметь не более 1 1 1 точки поворота.Если у столбца есть стержень, то остальные элементы в столбце будут равны 0 0 0.
  3. Для любых двух столбцов C1C_{1} C1​ и C2C_{2}C2​, которые имеют сводные значения в строках R1 R_{1} R1​ и R2, R_{2}, R2​ соответственно, если сводные значения находятся в C1 C_{1 } C1​ находится слева от точки поворота в C2 C_{2}C2​, тогда R1 R_{1} R1​ выше R2 R_{2} R2​. Другими словами, для любых двух опорных точек P1 P_{1}P1​ и P2P_{2}P2​, если P2 P_{2}P2​ находится справа от P1 P_{1}P1​, то P2 P_{2} P2​ ниже P1 P_{1}P1​.
  4. Строки, состоящие только из нулей, находятся внизу матрицы.

Чтобы преобразовать любую матрицу в ее уменьшенную ступенчатую форму строк, выполняется исключение Гаусса-Жордана. Есть три элементарные операции со строками, используемые для получения формы уменьшенного эшелона строк:

  1. Переключить два ряда.
  2. Умножить строку на любую ненулевую константу.
  3. Добавить скалярное число, кратное одной строке, к любой другой строке.

Найдите rref(A) \text{rref}(A)rref(A) методом исключения Гаусса-Жордана, где

A=[26−216−4−149].A = \left[ \begin{массив}{c c c} 2 и 6 и -2\\ 1 и 6 и -4 \\ -1 и 4 и 9 \\ \end{массив}\right].A=⎣⎡​21−1​664​−2−49​⎦⎤​.


Крайний левый элемент в первой строке должен быть равен 1, поэтому первая строка делится на 2:

[26−216−4−149]→Разделить первую строку на 2.[13−116−4−149]. \left[ \begin{массив}{c c c} 2 и 6 и -2\\ 1 и 6 и -4 \\ -1 и 4 и 9 \\ \конец{массив}\справа] \ce{->[\large \text{Разделить первую строку на 2. }]} \left[ \begin{массив}{c c c} 1 и 3 и -1\\ 1 и 6 и -4 \\ -1 и 4 и 9 \\ \end{массив}\right].⎣⎡​21−1​664​−2−49​⎦⎤​Разделите первую строку на 2.​⎣⎡​11−1 364​−1−49​⎦⎤​.

Верхний левый элемент является опорным, поэтому остальные элементы в первом столбце должны быть равны 0. Это можно сделать, вычитая первую строку из второй строки. Кроме того, первую строку можно добавить к третьей строке, чтобы получить необходимые нули в первом столбце:

.

[13−116−4−149]→RX2−RX1 и RX3+RX1[13−103−3078]. \left[ \begin{массив}{c c c} 1 и 3 и -1\\ 1 и 6 и -4 \\ -1 и 4 и 9 \\ \конец{массив}\справа] \ce{->[\large R_2 — R_1 \text{ и } R_3 + R_1]} \left[ \begin{массив}{c c c} 1 и 3 и -1\\ 0 и 3 и -3 \\ 0 и 7 и 8 \\ \end{массив}\right].⎣⎡​11−1​364​−1−49​⎦⎤​RX2​−RX1​ и  RX3​+RX1​​⎣⎡​100 337​−1−38​⎦⎤​.

Теперь, когда крайний левый столбец равен [100] \left[ \begin{array}{c} 1\\ 0 \\ 0 \\ \end{array}\right] ⎣⎡​100​⎦⎤​, средний элемент можно сделать равным 1, разделив вторую строку на 3:

[13−103−3078]→ Разделить вторую строку на 3 [13−101−1078]. \left[ \begin{массив}{c c c} 1 и 3 и -1\\ 0 и 3 и -3 \\ 0 и 7 и 8 \\ \конец{массив}\справа] \ce{->[\large \text{Поделить вторую строку на 3.}]} \left[ \begin{массив}{c c c} 1 и 3 и -1\\ 0 и 1 и -1 \\ 0 и 7 и 8 \\ \end{массив}\right].⎣⎡​100​337​−1−38​⎦⎤​Поделите вторую строку на 3.​⎣⎡​100 317​−1−18​⎦⎤​.

Верхний и нижний элементы во втором столбце можно сделать равными 0 с помощью соответствующих операций над строками:

[13−101−1078]→RX1−3 RX2 и RX3−7 RX2[10201−10015]. \left[ \begin{массив}{c c c} 1 и 3 и -1\\ 0 и 1 и -1 \\ 0 и 7 и 8 \\ \конец{массив}\справа] \ce{->[\large R_1 — 3R_2 \text{ и } R_3 — 7R_2]} \left[ \begin{массив}{c c c} 1 и 0 и 2\\ 0 и 1 и -1 \\ 0 и 0 и 15 \\ \end{массив}\right].⎣⎡​100​317​−1−18​⎦⎤​RX1​−3RX2​ и  RX3​−7RX2​​⎣⎡​100 010​2−115​⎦⎤​.

Теперь средний столбец [010] \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1\\ 0 \\ \end{array}\right] ⎣⎡​010​⎦⎤​, метод переходит к третьему столбцу путем деления третьей строки на 15:

[10201−10015]→ Разделить третью строку на 15[10201−1001]. \left[ \begin{массив}{c c c} 1 и 0 и 2\\ 0 и 1 и -1 \\ 0 и 0 и 15 \\ \конец{массив}\справа] \ce{->[\large \text{Разделить третью строку на 15} ]} \left[ \begin{массив}{c c c} 1 и 0 и 2\\ 0 и 1 и -1 \\ 0 и 0 и 1 \\ \end{массив}\right].⎣⎡​100​010​2−115​⎦⎤​Разделите третью строку на 15​⎣⎡​100 010​2−11​⎦⎤​.

На последнем этапе процесса к первой и второй строкам добавляются числа, кратные третьей строке, так что последний столбец становится [001]: \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1\\ \end{массив}\right]: ⎣⎡​001​⎦⎤​:

[10201−1001]→RX1−2 RX3 и RX2+RX3[100010001]. □ \left[ \begin{массив}{c c c} 1 и 0 и 2\\ 0 и 1 и -1 \\ 0 и 0 и 1 \\ \конец{массив}\справа] \ce{->[\large R_1 — 2R_3 \text{ и } R_2 + R_3 ]} \left[ \begin{массив}{c c c} 1 и 0 и 0\\ 0 и 1 и 0 \\ 0 и 0 и 1 \\ \end{массив}\right].\ _\квадратный ⎣⎡​100​010​2−11​⎦⎤​RX1​−2RX3​  и  RX2​+RX3​​​⎣⎡​100 010 001​⎦⎤​. □​

Отправьте свой ответ

A = [14−564022−1] A = \left[ \begin{array}{ccc} 1 и 4 и -5 \\ 6 и 4 и 0 \\ 2&2&-1\ \end{массив} \right] A=⎣⎡​162​442​−50−1​⎦⎤​

Какова сумма всех записей в rref(A)? \text{rref}(A)?rref(A)?

Примечание : rref(A)\text{rref}(A) rref(A) означает «уменьшенную эшелонированную форму строк» ​​матрицы A. А.А.


8.3: Системы линейных уравнений — обратные матрицы

Мы завершили раздел \ref{MatArithmetic}, показав, как мы можем переписать систему линейных уравнений в виде матричного уравнения \(AX=B\), где \(A\) и \(B\) — известные матрицы, а матрица решения \(X\) уравнения соответствует решению системы. В этом разделе мы развиваем метод решения такого уравнения. С этой целью рассмотрим систему

\[ \left\{ \begin{array}{rcr} 2x-3y & = & 16 \\ 3x+4y & = & 7 \\ \end{array} \right.\]

Чтобы записать это как матричное уравнение, мы следуем процедуре, описанной на странице \pageref{systemasmatrixeqn}. Мы находим матрицу коэффициентов \(A\), матрицу неизвестных \(X\) и постоянную матрицу \(B\) равными

.

\[ \begin{array}{ccc} A = \left[ \begin{array}{rr} 2 & -3 \\ 3 & 4 \\ \end{array} \right] & X = \left[ \ begin{array}{r} x \\ y \\ \end{array} \right] & B = \left[ \begin{array}{r} 16 \\ 7 \\ \end{array} \right] \ конец {массив}\]

Чтобы объяснить, как мы решаем матричное уравнение типа \(AX = B\), мы вернемся к решению аналогичного уравнения с действительными числами. {-1}\right)(5) & \stackrel{?}{=} & 5 & \text{Ассоциативное свойство умножения} \\ 1 \cdot 5 & \stackrel{?}{=} & 5 & \text {Обратное свойство} \\ 5 & \stackrel{\checkmark}{=} & 5 & \text{Мультипликативный идентификатор} \\ \end{массив} \]

Возвращаясь к теореме \ref{matrixmultprops}, мы знаем, что умножение матриц обладает как ассоциативным свойством, так и мультипликативным тождеством. Чего не хватает в миксе, так это мультипликативной обратной матрицы коэффициентов \(A\).{-1} & = & I_{2} \\ \left[ \begin{array}{rr} 2 & -3 \\ 3 & 4 \\ \end{массив} \right] \left[ \begin{массив }{rr} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \\ \end{array} \right] & = & \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right] \\ \left[ \begin{array}{rr} 2x_{1} — 3x_{3} & 2x_{2} — 3x_{4} \\ 3x_{1} +4x_{3} & 3x_{2} +4x_{4} \\ \end{массив} \right] & = & \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{массив} \right] \\ \end{массив} \]

Это дает еще две системы уравнений

\[\begin{array}{cc} \left\{ \begin{array}{rcr} 2x_{1}-3x_{3} & = & 1 \\ 3x_{1}+4x_{3} & = & 0 \\ \end{массив} \right. & \left\{ \begin{array}{rcr} 2x_{2}-3x_{4} & = & 0 \\ 3x_{2}+4x_{4} & = & 1 \\ \end{array} \right . \конец{массив}\]

В данный момент продолжать это предприятие может показаться абсурдным. В конце концов, целью было решить одну систему уравнений, и при этом мы создали еще две для решения. Помните, что целью этого обсуждения является разработка общего метода , который при использовании в правильных сценариях позволяет нам делать гораздо больше, чем просто решать систему уравнений.Если мы начнем решать эти системы, используя расширенные матрицы, используя приемы, описанные в разделе \ref{AugMatrices}, мы увидим, что обе системы не только имеют одну и ту же матрицу коэффициентов, эта матрица коэффициентов не что иное, как матрица \(A\) сам. (Мы вернемся к этому наблюдению чуть позже.)

\[ \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{rcr} 2x_{1}-3x_{3} & = & 1 \\ 3x_{1}+4x_{3} & = & 0 \\ \end{массив} \right. & \xrightarrow{\text{Кодировать в матрицу}} & \left[ \begin{array}{rr|r} 2 & -3 & 1 \\ 3 & 4 & 0 \\ \end{массив} \right] \\ \left\{ \begin{array}{rcr} 2x_{2}-3x_{4} & = & 0 \\ 3x_{2}+4x_{4} & = & 1 \\ \end{array} \ правильно. & \xrightarrow{\text{Кодировать в матрицу}} & \left[ \begin{array}{rr|r} 2 & -3 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \\ \end{массив} \right] \\ \конец{массив} \]

Чтобы решить эти две системы, мы используем Исключение Гаусса-Жордана , чтобы привести расширенные матрицы к сокращенной эшелонированной форме строк (детали оставляем читателю). Для первой системы получаем

\[ \begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rr|r} 2 & -3 & 1 \\ 3 & 4 & 0 \\ \end{array} \right] & \xrightarrow {\text{Исключение Гаусса Жордана}} & \left[ \begin{array}{rr|r} 1 & 0 & \frac{4}{17} \\ 0 & 1 & -\frac{3}{17} \\ \end{массив} \right] \\ \end{массив}\]

, что дает \(x_{1} = \frac{4}{17}\) и \(x_{3} = -\frac{3}{17}\).Чтобы решить вторую систему, мы используем точно такие же операции со строками в том же порядке, чтобы преобразовать ее расширенную матрицу в сокращенную ступенчатую форму строк (подумайте, почему это работает), и мы получим

.

\[ \begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rr|r} 2 & -3 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \\ \end{array} \right] & \xrightarrow {\text{Исключение Гаусса Жордана}} & \left[ \begin{array}{rr|r} 1 & 0 & \frac{3}{17} \\ 0 & 1 & \frac{2}{17} \ \\конец{массив} \right] \\ \конец{массив}\]

, что означает \(x_{2} = \frac{3}{17}\) и \(x_{4} = \frac{2}{17}\). {-1}\), мы использовали две расширенные матрицы, каждая из которых содержала те же записи, что и \(A\)

\[ \begin{array}{rcl} \left[ \begin{array}{rr|r} 2 & -3 & 1 \\ 3 & 4 & 0 \\ \end{array} \right] & = & \left[ \begin{tabular}{c|r} \multirow{2}{10pt}{\large \textit{A}} & 1 \\ & 0 \end{tabular} \right] \\ \left[ \ begin{array}{rr|r} 2 & -3 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \\ \end{array} \right] & = & \left[ \begin{tabular}{c|r} \multirow {2}{10pt}{\large \textit{A}} & 0 \\ & 1 \end{таблица} \right] \\ \end{массив} \]

Заметим также, что сокращенные эшелонированные формы строк этих расширенных матриц могут быть записаны как

\[ \begin{array}{rcl} \left[ \begin{array}{rr|r} 1 & 0 & \frac{4}{17} \\ 0 & 1 & -\frac{3}{17 } \\ \end{массив} \right] & = & \left[ \begin{tabular}{c|r} \multirow{2}{10pt}{\large \(I_{2}\)} & \( x_{1}\) \\ & \(x_{3}\) \end{таблица} \right]\\ \left[ \begin{array}{rr|r} 1 & 0 & \hphantom{-}\ frac{3}{17} \\ 0 & 1 & \frac{2}{17} \\ \end{array} \right] & = & \left[ \begin{tabular}{c|r} \multirow{ 2}{10pt}{\large \(I_{2}\)} & \(x_{2}\) \\ & \(x_{4}\) \end{табличный} \right] \end{массив} \]

, где мы идентифицировали записи слева от вертикальной черты как идентификатор \(I_{2}\), а записи справа от вертикальной черты — как решения для наших систем. Длинный и короткий процесс решения можно резюмировать как

\[ \begin{array}{ccc} \left[ \begin{tabular}{c|r} \multirow{2}{10pt}{\large \textit{A}} & 1 \\ & 0 \end{ tabular} \right] & \xrightarrow{\text{Исключение Гаусса Жордана}} & \left[ \begin{tabular}{c|r} \multirow{2}{10pt}{\large \(I_{2}\) } & \(x_{1}\) \\ & \(x_{3}\) \end{tabular} \right] \\ \left[ \begin{tabular}{c|r} \multirow{2}{ 10pt}{\large \textit{A}} & 0 \\ & 1 \end{tabular} \right] & \xrightarrow{\text{Исключение Гаусса Жордана}} & \left[ \begin{tabular}{c|r } \multirow{2}{10pt}{\large \(I_{2}\)} & \(x_{2}\) \\ & \(x_{4}\) \end{tabular} \right] \ конец {массив}\]

Поскольку операции со строками для обоих процессов одинаковы, вся арифметика слева от вертикальной черты в обеих задачах одинакова.Единственная разница между этими двумя процессами заключается в том, что происходит с константами справа от вертикальной черты. Пока мы сохраняем их разделенными на столбцы, мы можем объединить наши усилия в одну расширенную матрицу «сверхразмера» и описать описанный выше процесс как

.

\[ \begin{array}{ccc} \left[ \begin{tabular}{c|rr} \multirow{2}{10pt}{\large \textit{A}} & 1 & 0 \\ & 0 & 1 \end{tabular} \right] & \xrightarrow{\text{Исключение Гаусса Жордана}} & \left[ \begin{tabular}{c|rr} \multirow{2}{10pt}{\large \(I_{ 2}\)} & \(x_{1}\) & \(x_{2}\) \\ & \(x_{3}\) & \(x_{4}\) \end{tabular} \right ] \конец{массив}\]

У нас есть единичная матрица \(I_{2}\), появляющаяся как правая часть первой увеличенной матрицы большого размера и левая часть второй увеличенной матрицы большого размера.{-1}\) уникален.

  • \(A\) обратим тогда и только тогда, когда \(AX = B\) имеет единственное решение для каждой \(n \times r\) матрицы \(B\).
  • Доказательства свойств теоремы \ref{inversematrixprops} основаны на правильном сочетании определения и матричной арифметики. Чтобы установить первое свойство, предположим, что \(A\) обратима, и предположим, что матрицы \(B\) и \(C\) действуют как обратные для \(A\). То есть \(BA = AB = I_{n}\) и \(CA = AC = I_{n}\). {-1}\) и \(A\) обратимо.{-1} \\ \end{массив} \right] \end{массив}\]

    По сути, мы пытаемся найти единственное решение уравнения \(AX = I_{n}\), используя операции со строками.

    Что все это означает для системы линейных уравнений? Теорема \ref{inversematrixprops} говорит нам, что если мы запишем систему в виде \(AX=B\), то, если матрица коэффициентов \(A\) обратима, существует только одно решение системы \(-\ ), т. е. если \(А\) обратим, то система непротиворечива и независима.\footnote{Можно показать, что матрица обратима тогда и только тогда, когда она служит матрицей коэффициентов для системы уравнений, и эта система всегда непротиворечива. Это равносильно второму свойству в теореме \ref{inversematrixprops}, где матрицы \(B\) ограничены матрицами \(n \times 1\). Отметим, что из-за того, как определяется умножение матриц, возможность найти уникальные решения \(AX = B\) для \(n \times 1\) матриц \(B\) дает вам то же утверждение о решении таких уравнений для \(n \times r\) матриц \(-\), так как мы можем найти единственное решение для них по одному столбцу за раз. {-1}\) для решения следующих систем уравнений

  • \(\left\{ \begin{array}{rcl} 3x+y+2z & = & 26 \\-y+5z & = & 39 \\ 2x+y+4z&=& 117 \\ \end{array } \право.\)
  • \(\left\{ \begin{array}{rcl} 3x+y+2z & = & 4 \\-y+5z & = & 2 \\ 2x+y+4z&=& 5 \\ \end{array } \право.\)
  • \(\left\{ \begin{array}{rcl} 3x+y+2z & = & 1 \\-y+5z & = & 0 \\ 2x+y+4z&=& 0 \\ \end{array } \право.\)
  • Раствор

    1. Начнем с расширенной матрицы большого размера и перейдем к исключению Гаусса-Жордана.

    \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 3 & 1 & \hphantom{-} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 & 0 & 0 & 1 \\ \end{массив} \right] & \xrightarrow[\text{с \(\frac{1}{3}R1\)} ]{\text{Заменить \(R1\)}} & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & \frac{1}{3} & \hphantom{-}\frac{2}{3 } & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right ] \конец{массив}\]

    \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & \frac{1}{3} & \hphantom{-}\frac{2}{3} & \ frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \xrightarrow [\text{\)-2R1+R3\)}]{\text{Заменить \(R3\) на}} \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & \frac{1}{3} & \hphantom{-}\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1} {3} & \frac{8}{3} & -\frac{2}{3} & 0 & 1 \\ \end{массив} \right] \end{массив}\]

    \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & \frac{1}{3} & \hphantom{-}\frac{2}{3} & \ frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{8}{3} & -\frac {2}{3} & 0 & 1 \\ \end{массив} \right] & \xrightarrow[\text{with \((-1)R2\)}]{\text{Заменить \(R2\)} } & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & \hphantom{-}\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & \hphantom{-}0 \\ 0 & 1 & -5 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{8}{3} & -\frac{2} {3} & 0 & 1 \\ \end{массив} \right] \end{массив}\]

    \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & \hphantom{-}\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \ frac{1}{3} & 0 & \hphantom{-} 0 \\ 0 & 1 & -5 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{8}{ 3} & -\frac{2}{3} & 0 & 1 \\ \end{массив} \right] \xrightarrow[\text{\)-\frac{1}{3}R2+R3\)}] {\text{Замените \(R3\) на}} \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & \hphantom{-}\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & \hphantom{-}0 \\ 0 & 1 & -5 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{13}{3} & -\ frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 1 \\ \end{массив} \right] \end{массив}\]

    \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & \hphantom{-}\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \ frac{1}{3} & 0 & \hphantom{-}0 \\ 0 & 1 & -5 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{13}{3} & -\frac{ 2}{3} & \frac{1}{3} & 1 \\ \end{array} \right] & \xrightarrow[\text{с \(\frac{3}{13}R3\)}]{ \text{Заменить \(R3\)}} & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & \hphantom{-}\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -5 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{2}{13} & \frac{1} {13} & \frac{3}{13} \\ \end{массив} \right] \end{массив}\]

    \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & \hphantom{-}\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \ frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -5 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\ frac{2}{13} & \frac{1}{ 13} & \frac{3}{13} \\ \end{массив} \right] & \xrightarrow[\text{\begin{tabular}{c} Заменить \(R2\) на \\ \(5R3+R2 \) \end{tabular}}]{\text{\begin{tabular}{c} Заменить \(R1\) на \\ \(-\frac{2}{3}R3+R1\) \end{tabular }}} & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{17}{39} & -\frac{2}{39} & — \frac{2}{13} \\ 0 & 1 & 0 &-\frac{10}{13} & -\frac{8}{13} & \frac{15}{13} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{2}{13} & \frac{1}{13} & \frac{3}{13} \\ \end{массив} \right] \end{массив}\]

    \[\begin{array}{ccc} \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{17}{39} & -\frac{ 2}{39} & -\frac{2}{13} \\ 0 & 1 & 0 &-\frac{10}{13} & -\frac{8}{13} & \frac{15}{13 } \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{2}{13} & \frac{1}{13} & \frac{3}{13} \\ \end{массив} \right] & \xrightarrow[ \text{\)-\frac{1}{3}R2+R1\)}]{\text{Заменить \(R1\) на}} & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & \frac{9}{13} & \frac{2}{13} & -\frac{7}{13} \\ 0 & 1 & 0 &-\frac{10}{13} & — \frac{8}{13} & \frac{15}{13} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{2}{13} & \frac{1}{13} & \frac{3}{ 13} \\ \конец{массив} \right] \конец{массив}\]

    Находим \(A^{-1} = \left[ \begin{array}{rrr} \frac{9}{13} & \frac{2}{13} & -\frac{7}{13} \\ -\frac{10}{13} & -\frac{8}{13} & \frac{15}{13} \\ -\frac{2}{13} & \frac{1}{13} & \frac{3}{13} \\ \end{массив} \right]\). {-1}\).Читателю предлагается поразмыслить над этим «совпадением».}

    В примере \ref{matrixinverseex} мы видим, что нахождение одной обратной матрицы может позволить нам решить целое семейство систем линейных уравнений. Есть много примеров, где это пригодится «в дикой природе», и мы выбрали наш пример для этого раздела из области электроники. Мы также пользуемся этой возможностью, чтобы познакомить учащихся с тем, как мы можем вычислять обратные матрицы с помощью калькулятора.

    Пример \(\PageIndex{1}\):\label{circuitex}

    Рассмотрим электрическую схему ниже.\footnote{Авторы выражают благодарность Дону Антану из Общественного колледжа Лейкленда за разработку этого примера.} У нас есть две батареи с исходным напряжением \(V\!\!B_{1}\) и \(V\!\! B_{2}\), измеренное в вольтах \(V\), вместе с шестью резисторами с сопротивлениями от \(R_{1}\) до \(R_{6}\), измеренными в килоомах, \(k\Omega\ ). Используя закон Ома и закон напряжения Кирхгофа, мы можем связать напряжение, подаваемое в цепь двумя батареями, с падением напряжения на шести резисторах, чтобы найти четыре «сетчатых» тока: \(i_{1}\), \ (i_{2}\), \(i_{3}\) и \(i_{4}\), измеряется в миллиамперах, \(мА\). Если мы представим себе электроны, протекающие по цепи, мы можем представить себе источники напряжения как обеспечивающие «толчок», который заставляет электроны двигаться, резисторы как препятствия для преодоления электронами, а ток сетки как результирующую скорость потока электроны вокруг указанных петель.

    \centerline{\includegraphics{./MatricesGraphics/CircuitDiagram01.pdf}}

    Система линейных уравнений, связанных с этой схемой, равна

    .

    \[ \left\{ \begin{array}{rcl} \left(R_{1} + R_{3}\right)i_{1} — R_{3}i_{2} — R_{1}i_{ 4} & = & V\!\!B_{1} \\ -R_{3}i_{1} + \left(R_{2} + R_{3} + R_{4}\right)i_{2} — R_{4}i_{3} — R_{2}i_{4} & = & 0 \\ -R_{4}i_{2} + \left(R_{4} + R_{6}\right)i_ {3} — R_{6}i_{4} & = & -V\!\!B_{2} \\ -R_{1}i_{1} — R_{2}i_{2} — R_{6} i_{3} + \left(R_{1} + R_{2} + R_{5} + R_{6}\right)i_{4} & = & 0 \\ \end{массив} \right.\]

    1. Предполагая, что все сопротивления равны \(1 кОм), найдите токи сетки, если напряжение батареи равно
    2. \(V\!\!B_{1} = 10 В\) и \(V\!\!B_{2} = 5 В\)
    3. \(V\!\!B_{1} = 10 В\) и \(V\!\!B_{2} = 0 В\)
    4. \(V\!\!B_{1} = 0 В\) и \(V\!\!B_{2} = 10 В\)
    5. \(V\!\!B_{1} = 10 В\) и \(V\!\!B_{2} = 10 В\)
    6. Предполагая, что \(V\!\!B_{1} = 10 В\) и \(V\!\!B_{2} = 5 В\), найдите возможные комбинации сопротивлений, которые дадут найденные токи сетки. {-1} = \left[ \begin{array}{rrrr} 1.{-1}B\), где значение \(B\) определяется заданными значениями \(V\!\!B_{1}\) и \(V\!\!B_{2}\)

      \[\begin{array}{cccc} \text{1 (a)} \quad B = \left[ \begin{array}{r} 10 \\ 0 \\ -5 \\ 0 \end{array} \right], & \text{1 (b)} \quad B = \left[ \begin{array}{r} 10 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right], & \text {1 (c)} \quad B = \left[ \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ -10 \\ 0 \end{array} \right], & \text{1 (d)} \quad B = \left[ \begin{array}{r} 10 \\ 0 \\ 10 \\ 0 \end{массив} \right] \end{массив} \]

      1. \item Для \(V\!\!B_{1} = 10 В\) и \(V\!\!B_{2} = 5 В\) калькулятор дает \(i_{1} = 10 .625 \, \, мА\), \(i_{2} = 6,25 \, \, мА\), \(i_{3} = 3,125 \, \, мА\), и \(i_{4} = 5 \, \, мА\). Мы прилагаем скриншот калькулятора ниже для этой части (и только для этой части!) для справки.

      \centerline{\includegraphics[width=2in]{./MatricesGraphics/MATRIXINVERSE03.jpg}}

      1. \item Сохраняя \(V\!\!B_{1} = 10 В\) и устанавливая \(V\!\!B_{2} = 0 В\), мы устраняем влияние второй батареи . Получаем \(i_{1} = 16,25 \, \, мА\), \(i_{2} = 12,5 \, \, мА\), \(i_{3} = 11.25 \, \, мА\) и \(i_{4} = 10 \, \, мА\).
      2. \item Часть (c) является симметричной ситуацией части (b), поскольку мы обнуляем \(V\!\!B_{1}\) и делаем \(V\!\!B_{2} = 10\). Находим \(i_{1} = -11,25 \, \, мА\), \(i_{2} = -12,5 \, \, мА\), \(i_{3} = -16,25 \, \, мА\), \(i_{3} = -16,25 \, \, мА \) и \(i_{4} = -10 \, \, мА\), где минусы означают, что ток течет в противоположном направлении, как показано на диаграмме. Читателю предлагается изучить здесь симметрию и, если потребуется, поднести зеркало к диаграмме, чтобы буквально «увидеть», что происходит.
      3. \item Для \(V\!\!B_{1} = 10 В\) и \(V\!\!B_{2} = 10 В\) получаем \(i_{1} = 5 \, \, мА\), \(i_{2} = 0 \, \, мА\), \(i_{3} = -5 \, \, мА\) и \(i_{4} = 0 \, \, мА\). Токи сетки \(i_{2}\) и \(i_{4}\), равные нулю, являются следствием того, что обе батареи «толкаются» в равных, но противоположных направлениях, в результате чего суммарный поток электронов в этих двух областях компенсируется. .
      4. \item Теперь повернем столы и получим \(V\!\!B_{1} = 10 В\), \(V\!\!B_{2} = 5 В\), \(i_{1 } = 10.625 \, \, мА\), \(i_{2} = 6,25 \, \, мА\), \(i_{3} = 3,125 \, \, мА\) и \(i_{4} = 5 \ , \, мА\), а наши неизвестные — значения сопротивления. Переписав нашу систему уравнений, мы получим
      5. .

      \[ \left\{ \begin{array}{rcr} 5,625R_{1} + 4,375R_{3}& = & 10 \\ 1,25R_{2} — 4,375R_{3} + 3,125R_{4} & = & 0 \\ -3,125R_{4} — 1,875R_{6} & = & -5 \\ -5,625R_{1} — 1,25R_{2} + 5R_{5} + 1,875R_{6} & = & 0 \\ \end{массив} \right.\]

      Матрица коэффициентов для этой системы равна \(4 \times 6\) (4 уравнения с 6 неизвестными) и поэтому необратима.Однако мы знаем, что эта система непротиворечива, поскольку установка всех значений сопротивления равными \(1\) соответствует нашей ситуации в задаче 1а. Это означает, что у нас есть недоопределенная непротиворечивая система, которая обязательно зависима. Чтобы решить эту систему, мы закодируем ее в расширенную матрицу

      .

      \[ \left[ \begin{array}{rrrrrr|r} 5. 25 & 0 & 4.375 & 0 & \hphantom{1.2} 0 & 0 & 10 \\ 0 & 1.25 & -4.375 & 3.125 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3.125 & 0 & -1,875 & -5 \\ -5,625 & -1,25 & 0 & 0 & 5 & 1,875 & 0 \\ \end{массив} \right] \]

      и с помощью калькулятора запишите в сокращенную форму эшелона строк

      \[\left[ \begin{array}{rrrrrr|r} 1 & \hphantom{-1.}0 & 0.\overline{7} & \hphantom{-1.}0 & \hphantom{-1. }0 & 0 & 1.\overline{7} \\ 0 & 1 & -3,5 & 0 & 0 & -1,5 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0,6 & 1,6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \end{массив} \right] \]

      Расшифровав эту систему из матрицы, мы получим

      \[ \left\{ \begin{array}{rcr} R_{1} + 0.\overline{7}R_{3}& = & 1.\overline{7} \\ R_{2} — 3,5R_{3} — 1,5R_{6}& = & -4 \\ R_{4} + 0,6 R_{6} & = & 1.6 \\ R_{5}& = & 1 \\ \end{массив} \right.\]

      Мы можем найти \(R_{1}\), \(R_{2}\), \(R_{4}\) и \(R_{5}\), оставив \(R_{3}\) и \(R_{6}\) как свободные переменные. Размечая \(R_{3} = s\) и \(R_{6} = t\), мы имеем \(R_{1} = — 0. \overline{7}s + 1.\overline{7}\ ), \(R_{2} = 3,5s + 1,5t — 4\), \(R_{4} = -0,6t + 1,6\) и \(R_{5} = 1\). Поскольку значения сопротивления всегда положительны, нам нужно ограничить наши значения \(s\) и \(t\).Мы знаем \(R_{3} = s > 0\), и когда мы объединяем это с \(R_{1} = — 0.\overline{7}s + 1.\overline{7} >0\), мы получить \(0 0\) и с \(R_{4} = -0,6t + 1,6 > 0\), мы находим \(0 < t < \frac{8}{3}\ ). Чтобы наглядно представить неравенство \(R_{2} = 3,5s + 1,5t - 4 > 0\), нанесем прямую \(3,5s + 1,5t — 4 =0\) на \(st\)-плоскость и заштриховать соответственно.\footnote{См. раздел \ref{Неравенства} для обзора этой процедуры.} Наложение дополнительных условий \(0 < s < \frac{16}{7}\) и \(0 < t < \ frac{8}{3}\), мы находим наши значения \(s\) и \(t\), ограниченные областью, изображенной справа.Используя метод реестра, значения \(s\) и \(t\) вытягиваются из области \(\left\{ (s,t): 0 < s < \frac{16}{7}, \ , \, 0 < t < \frac{8}{3}, \, \, 3.5s+1.5t-4 > 0\right\}\). Читателю предлагается проверить, что решение, представленное в 1(а), а именно все значения сопротивления, равные \(1\), соответствуют паре \((s,t)\) в области.

      Авторы и авторство

      • Карл Стиц, доктор философии. (Общественный колледж Лейкленда) и Джефф Зигер, доктор философии. (Общественный колледж округа Лорейн)

      Правило Крамера с двумя переменными

      Правило Крамера — это еще один метод, позволяющий решать системы линейных уравнений с использованием определителей.

      С точки зрения обозначений, матрица представляет собой массив чисел, заключенный в квадратные скобки, а определитель представляет собой массив чисел, заключенный в две вертикальные черты.

      Обозначения

      Формула для нахождения определителя матрицы 2 x 2 очень проста.

      Краткий обзор:


      Определитель матрицы 2 x 2

      Краткие примеры нахождения определителей матрицы 2 x 2

      Пример 1 : Найдите определитель матрицы A ниже.


      Пример 2 : Найдите определитель матрицы B ниже.


      Пример 3 : Найдите определитель матрицы C ниже.

      Зная, как найти определитель матрицы 2 x 2, вы теперь готовы изучить процедуры или шаги по использованию правила Крамера. Вот так!


      Правила Крамера для систем линейных уравнений с двумя переменными

      • Присвойте имена каждой матрице

      матрица коэффициентов:     

      X – матрица:     

      Y – матрица:     

      К решить для переменной x.

      К решить для переменной y.

      Несколько моментов, которые следует учитывать при рассмотрении формулы:

      1) Столбцы \large{x}, \large{y} и постоянные члены \large{c} получаются следующим образом:

      2) Оба знаменателя при решении \large{x} и \large{y} совпадают. Они берутся из столбцов \large{x} и \large{y}.

      3) Глядя на числитель при решении для \large{x}, коэффициенты столбца \large{x} заменяются постоянным столбцом (красным).

      4) Таким же образом, чтобы найти \large{y}, коэффициенты \large{y}-столбца заменяются константным столбцом (выделено красным).


      Примеры решения систем линейных уравнений с двумя переменными с использованием правила Крамера

      Пример 1 : Решить систему с двумя переменными по правилу Крамера

      Начните с извлечения трех соответствующих матриц: коэффициента, \large{x} и \large{y}. Затем решите каждый соответствующий определитель.

      После того, как все три определителя вычислены, пришло время найти значения \large{x} и \large{y}  с помощью приведенной выше формулы.

      Я могу записать окончательный ответ как \large{\left( {x,y} \right) = \left({2, — 1} \right)}.


      Пример 2 : Решить систему с двумя переменными по правилу Крамера

      Настройте свои матрицы коэффициентов, \large{x} и \large{y} из заданной системы линейных уравнений. Затем вычислите их определители соответственно.

      Помните, что мы всегда вычитаем произведений диагональных элементов.

      • Для матрицы коэффициентов (используйте коэффициенты обеих переменных x и y )
      • Для X – матрица (столбец x заменить столбцом констант)
      • Для Y – матрица (столбец y заменить постоянным столбцом)

      Надеюсь, вы освоились с вычислением определителя двумерной матрицы.Чтобы окончательно решить необходимые переменные, я получаю следующие результаты…

      Записав окончательный ответ в виде точек, я получил \large{\left( {x,y} \right) = \left( {6, — 5} \right)}.


      Пример 3 : Решить систему с двумя переменными по правилу Крамера

      Эта проблема может быть легко решена методом исключения. Это связано с тем, что коэффициенты переменной x «одинаковые», но только противоположные по знаку ( +1 и −1 ). Чтобы решить эту проблему с помощью метода исключения, вы добавляете соответствующие столбцы, и переменная x исчезает – остается одношаговое уравнение в \large{y}. Я говорю об этом, потому что у каждой техники есть недостатки, и лучше выбрать самую эффективную. Всегда уточняйте у своего преподавателя, можно ли использовать другой подход, если метод не указан для данной проблемы.

      В любом случае, поскольку мы учимся решать по правилу Крамера, давайте продолжим и поработаем с этим методом.

      Я построю три матрицы ( коэффициент, \large{x} и \large{y}) и оценю их соответствующие определители.

      • Для X – матрица (записывается как D в верхнем регистре с нижним индексом x)
      • Для Y – матрица (записывается как D в верхнем регистре с нижним индексом y)

      После получения значений трех необходимых определителей я вычислю \large{x} и \large{y} следующим образом.

      Окончательный ответ в виде точек: \large{\left( {x,y} \right) = \left( { — 1,2} \right)} .


      Пример 4 : Решить по правилу Крамера систему с двумя переменными

      Поскольку мы уже рассмотрели несколько примеров, я предлагаю вам решить эту задачу самостоятельно. Затем сравните свои ответы с решением ниже.

      Если вы делаете это правильно с первого раза, это означает, что вы становитесь «профессионалом» в отношении правила Крамера. Если вы этого не сделали, попытайтесь выяснить, что пошло не так, и научитесь не совершать ту же ошибку в следующий раз. Так вы станете лучше в математике.Изучайте различные виды задач и, что более важно, выполняйте много самостоятельной практики.

      Вы должны получить ответ ниже…


      Пример 5 : Решить систему с двумя переменными по правилу Крамера

      В нашем последнем примере я включил ноль в столбец констант. Каждый раз, когда вы видите число ноль в столбце констант, я настоятельно рекомендую использовать правило Крамера для решения системы линейных уравнений. Почему? Потому что вычисление определителей для матриц \large{x} и \large{y} становится очень простым.Проверьте сами!

      Окончательное решение этой проблемы


      Практика с рабочими листами

      Вас также может заинтересовать:

      Правило Крамера 3×3

      Решение систем линейных уравнений с помощью матриц

      Решение систем линейных уравнений с помощью матриц

      Однородные и неоднородные системы линейных уравнений

      Система уравнений AX = B называется однородной системой, если B = O .Если B ≠ O, то это называется неоднородной системой уравнений.
      например, 2x + 5y = 0
      3x – 2y = 0
      представляет собой однородную систему линейных уравнений, тогда как система уравнений, заданная формулой
      , например, 2x + 3y = 5
      x + y = 2
      , является негомогенной системой линейных уравнений.

      Решение неоднородной системы линейных уравнений

      1. Матричный метод: если AX = B, то X = A -1 B дает единственное решение при условии, что A невырожденно.
        Но если A — сингулярная матрица i.е., если |А| = 0, то система уравнений AX = B может быть согласована с бесконечным числом решений или может быть несовместима.
      2. Ранговый метод решения неоднородной системы AX = B
        1. Запишите A, B
        2. Запишите расширенную матрицу [A : B]
        3. Приведите расширенную матрицу к форме Эшелона, используя элементарные операции со строками.
        4. Найдите количество ненулевых строк в A и [A : B], чтобы найти ранги A и [A : B] соответственно.
        5. Если ρ(A) ≠ ρ(A : B), система несовместна.
        6. ρ(A) = ρ(A : B) = количество неизвестных, то система имеет единственное решение.
        7. ρ(A) = ρ(A : B) < числа неизвестных, то система имеет бесконечное число решений.