Урок алгебры в 9-м классе по теме «Решение систем уравнений второй степени»

Цели урока:

Образовательные:

• обобщение, систематизация и углубление знаний учащихся по изучаемой теме,
• формирование умений применять разные способы решения систем уравнений;

Воспитательные:

• развитие творческих способностей учеников,
• привитие интереса к изучаемому предмету;

Развивающие:

• формирование навыков самостоятельной деятельности,
• выработка внимания.

Ход урока

I. Организационный момент. (сл. 1-2)

Презентация.

II. Актуализация.

1) 4 ученика получают индивидуальное задание:

  

2) Остальные учащиеся класса работают устно: (сл. 3)

а) Что называется решением системы уравнений? (Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство)

б) Что значит решить систему уравнений?

(Решить систему уравнений – значит найти все её решения или доказать, что решений нет)

в) Какие способы решения систем двух уравнений с двумя переменными вы знаете? (сл. 4) (графический способ, способ подстановки, способ сложения)

г) Какие способы предложите для решения следующих систем уравнений

 

На слайдах показать решение этих систем (сл. 4-5):

Ответ: (-5;-3), (-1,25;0,75)

Ответ: (5;1), (-2/3;5)

д) Сколько решений может иметь система уравнений:

3.  

Прослушать ответы учащихся и показать на слайдах (сл. 6-8)

1.  

    

 

 

III. Проверка индивидуального задания.

Показать на слайде последовательность решения системы уравнений (индивидуальное задание, данное в начале урока), задавая при этом вопросы (сл. 9):

– Как бы вы стали решать эту систему?

– Как называется уравнение ?

– Как его решать?

1. y=-3/x,
2. x²+(-3/x)²=10,
3. x -10x²+9=0,
4. 4) x²=t, t>0.
5. t²-10t+9=0,
6. t =1 или t =9,
7. x²=1 или x²=9
   x=1, x=-1 или x=3, x=-3.

Ответ: (1;-3), (-1;3), (3;-1), (-3;1).

IV. Следующий этап урока – тестовая проверочная работа, рассчитанная на 15 минут.

Условия заданий показать на слайдах (сл. 10-16)

Объяснить учащимся, что работа проводится по бальной системе.

№1	№2	№3	№4	№5	№6
1 балл	1 балл	1 балл	2 балла	2 балла	3 балла

Шкала перевода баллов в оценки:

• 10 баллов – 5;
• 8-9 баллов – 4;
• 5-7 баллов – 3.

Приложение.

Далее учащиеся сдают работы и сравнивают по ответам на слайдах (сл. 17-24)

Ответы:

1 вариант	2 вариант
1) б	1) а
2) в, г	2) б, в
3) б	3) б
4) б	4) в
5) в	5) в
6) показать на экране	6) показать на экране

V. Следующий этап урока – творческая работа учащихся (сл.25-35)

Даётся слово 3 учащимся, которые получили задание найти в пособии Д.А. Мальцева «Алгебра 9 класс. Итоговая аттестация-2009. Предпрофильная подготовка» и в сборнике заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы системы уравнений по своим темам.

1 ученик. Тема «Решение систем целых уравнений с двумя переменными введением новых переменных» (ученик показывает решение систем из № 11 и № 12 части II пособия Мальцева на интерактивной доске, а остальные учащиеся записывают в тетрадях).

На дом предлагаются задания из экзаменационного сборника – № 108 (1 и 2) части II.

2 ученик. Тема «Решение систем дробно-рациональных уравнений с двумя переменными введением новых переменных» (ученик объясняет решение системы из № 114 части II экзаменационного сборника и № 7 части II пособия Мальцева, а остальные смотрят и слушают).

На дом предлагаются задания из экзаменационного сборника — № 113-116 и из пособия Мальцева № 8 части II.

№ 114.

Ответ: (1/3;-1/2)

№ 7

Ответ: (1,5;2,5)

3 ученик. Тема «Решение систем уравнений с двумя переменными с помощью формул сокращённого умножения» (ученик объясняет решение системы из № 543 части I экзаменационного сборника и № 13 и № 5 части II пособия Мальцева, а остальные смотрят и слушают)

На дом предлагаются задания из экзаменационного сборника — № 543, № 544 и из пособия Мальцева № 6 и № 14 части II.

№ 543.

Ответ: (7;3)

№ 13

Ответ: (3;2), (-3;2), (3;-2), (-3;-2).

№ 5

Ответ: (-3;8), (8;-3), (3;-8), (-8;3).

Далее всем ученикам выступающие раздаются копии заданий по 2 и 3 темам, чтобы легче было справиться с домашним заданием.

Учитель уточняет домашнее задание: решить не менее пяти систем, предложенных выступающими с презентациями.

VI. Учитель показывает ещё один приём, когда почленно сложив обе части уравнений и вычтя почленно из одного уравнения другое, можно получить равносильную систему уравнений.

1. 
   Ответ: (7;3)

2. 
   Ответ: (7;3)

3. 
   Ответ: (3;2), (3;-2), (-3;2), (-3;-2).

VII. Итог урока (сл. 36)

Продолжите предложение:

– Сегодня я на уроке повторил…

– Сегодня я на уроке научился (узнал)…

– Сегодня на уроке мне понравилось…

(сл. 37)

Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. 9-й класс

Цели урока:

1. Обучение составлению системы уравнений по условию задачи.
2. Повышение интереса к решению текстовых задач.

Ход урока

I. Устный счет (8 мин)

Является ли решением уравнения х+2у=5 пара чисел: а) (0;1) б) (3;-1) в) (-1;3)

1. Является ли решением системы уравнений ,

пара чисел: а) х=1, у=6 б)х=3, у=2

2. Решите систему уравнений:

3. Определите степень уравнения:

• А) х-у-1,2=0
• Б)
• В)
• Г)

II. Изучение нового материала (10 мин)

При решении задач можно вводить две переменные и составлять систему уравнений.

Решить задачу двумя способами: «Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 7 см больше другого».

Решение:

1 способ— с помощью одной переменной.

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен х см, а второй катет – х+7 см. Используя теорему Пифагора, составим уравнение:

х²+(х+7)²=13²

х²+х²+14х+49-169=0

2х²+14х-120=0

х²+7х-60=0

Д=49-4х1х(-60)=289

х₁=-12, х₂=5

корень х=-12 не удовлетворяет условию х>0.

Один катет равен 5 см, второй 12 см

2 способ— с помощью введения двух переменных.

Пусть первый катет х см, второй катет у см (х>0, у>0)

,

,

,

2у²+14у-120=0

у²+7у-60=0

у1=5, у2=-12 (не удовл. условию)

если у=5, то х=7+5=12

один катет равен 5 см, второй катет 12 см

Ответ: 12 см, 5 см

III. Закрепление нового материала (10 мин)

Решение задач:

1. Прямоугольный газон обнесён изгородью, длина которой 30 м. Площадь газона 56 м². Найдите длины сторон газона?

Решение: пусть х м –длина газона, у-ширина газона.

,

,

у²-15у+56=0

у₁=7, у₂=8

х₁=8, х₂=7

Ответ: 7 см, 8 см

2. Двое рабочих совместно могут выполнить заданную работу за 12 дней. Если первый рабочий сделает половину работы, а затем второй – вторую половину, то вся работа будет закончена за 25 дней нужно каждому из рабочих в отдельности для выполнения работы?

Решение: пусть для выполнения всей работы первому рабочему потребуется х дней, а второму у дней, тогда за 1 день первый выполняет 1/х часть, а второй 1/у часть всей работы. Работая совместно, всю работу они выполняют за 12 дней.

Таким образом 12(1/х+1/у)=1.

Пусть теперь работа выполняется рабочими поочередно. Тогда для выполнения половины всей работы первому потребуется 1/2:1/х=х/2 дней, а второму 1/2: 1/у=у/2 дней.

,

,

,

,

,

х=20 или х=30

у=50-х

Одному рабочему для выполнения всей работы требуется 20 дней, а другому 30 дней.

Ответ: 20 дней, 30 дней

Решаем по учебнику: №455, №457 (15 мин)

IV. Итог урока.

Домашнее задание: №456, №458, №460 (2 мин)

Презентация.

Урок решения одной задачи по алгебре в 9 классе по теме Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными

Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными

Методическая разработка

урока решения одной задачи

по алгебре в 9 «Б» классе

Учитель Корзунова Раиса Ивановна,

высшая квалификационная категория

Бехтеевка

2015

Цели урока:

— способствовать формированию навыков исследовательской деятельности обучающихся;

— развивать потребность в нахождении рациональных приемов и способов создания модели и решения математической задачи;

— воспитывать познавательную активность на всех этапах урока

Оборудование:

интерактивная доска, проектор, на столах табличка – руководство к действию:

Не ограничивайте полёт своей фантазии, и нестандартные решения всегда найдутся. А.Н.Колмогоров

Структура урока

I Актуализация знаний

Добрый день, друзья. Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.

Д. Пойа

Перед тем, как входить в воду, т.е. перед решением задачи проведем математическую разминку.

1.Что значит решить систему уравнений с двумя переменными?

2.Способы решения систем уравнений, известные вам к сегодняшнему уроку.

3.Алгоритм решения системы уравнений с двумя переменными, одно из которых уравнение второй степени, а другое линейное.

4.Что представляет собой график уравнения x²+y²=r²

5.Что представляет собой графическое решение уравнения xy=a ?

6.Сколько решений может иметь система двух уравнений второй степени с двумя переменными?

А теперь можете смело входить в воду

Задания по группам

I группа На индивидуальных системах координат покажите решение уравнения x²+y²=10

II группа На индивидуальных системах координат (прозрачных) покажите решение уравнения xy=-3

III группа Сколько решений имеет система уравнений групп I и II? Покажите это наложением систем координат.

А теперь покажите решение этой системы уравнений аналитически

Решение:1) xy=-3; отсюда

Кратко объясните это решение. К какому уравнению вы пришли в ходе решения уравнения?

Вопросы группам

I В чем преимущества аналитического способа решения?

Преимущество заключается в следующем: получены точные решения системы

II Есть ли недостатки этого способа? Если есть, то укажите их.

К сожалению, недостатки есть: решение занимает больший промежуток времени, чем хотелось бы.

Итак, какие выводы о решении заданной системы уравнений можно сделать на первом этапе урока

Обучающиеся делают выводы

На этом этапе урока нашу работу можно подтвердить следующими словами Н.Е.Жуковского: «В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии»

II «Погружение» в глубину знаний

Итак, на предыдущем этапе урока мы успешно проплыли часть пути, встретились с загадками и проблемами водного мира. А теперь переходим к следующему этапу урока – «погружению» в глубину знаний.

Перед дорогой по доброй русской традиции повернитесь лицом друг к другу и улыбнитесь. На интерактивной доске появляется высказывание

Три пути ведут к знанию:

— путь размышления – это путь самый благородный;

— путь подражания – это путь самый легкий;

— путь опыта – это путь самый горький.

Конфуций, древний мыслитель и философ Китая

Работая в группах, выберете свой путь и «откройте» для себя новые способы решения этой системы уравнений и учитесь их применять.

В каждой группе на столе находится высказывание современного выдающегося ученого А.Н.Колмогорова:

«Не ограничивайте полёт своей фантазии, и нестандартные решения обязательно найдутся».

Вспомните нестандартные методы решения уравнений, которые использовались на уроках, на занятиях элективного курса. Как только у вас возникают идеи, сразу предлагайте их для обсуждения.

I группе предлагаю применить графический способ решения, остальным группам выбор не ограничиваю.

I группа предлагает графический способ решения (показывает на интерактивной доске), на местах в этой группе находят решение с помощью планшетного компьютера.

II группа

Мы предлагаем следующую модель решения (краткая запись с комментариями)

Умножим второе уравнение системы на 2 и сложим затем с первым, получим систему, равносильную заданной:

(1)

последняя распадается на две более простые системы:

(2) (3)

Каждое решение системы (1) является решением хотя бы одной из систем (2) или (3) и наоборот, каждое решение систем (2) и (3) является решением системы (1). Системы (2) и (3) является симметричными.

Реализовать созданную модель предлагаем III группе

III группа

Мы начали решать так же, но далее пошли другим путем. Мы умножили второе уравнение на -2 и вновь сложили с первым уравнением. Получили

Рассматривая каждое уравнение первой строки совместно с каждым уравнение второй строки, приходим к четырем системам линейных уравнений:

Решая устно способом подстановки каждую систему, приходим к тому же множеству решений. Созданную нами модель предлагаем завершить II группе.

I группа

Тогда в принципе и первоначальную систему уравнений можно решить методом подбора?

Да, это тоже один из способов решения системы.

Вопрос I группе:

В каком случае это достигается легко и быстро? (В случае удобных коэффициентов)

III Подведение итогов этапа урока

Итак, на этом этапе урока мы рассмотрели 3 различные модели решения системы уравнений второй степени с двумя переменными.

Подведем итоги нашей творческой деятельности

Представители групп оценивают свою деятельность

I группа

Мы с полной уверенностью можем сказать, что «открытые» нами нестандартные способы решения систем уравнений запомнятся нам для предстоящей итоговой аттестации, потому что мы работали с одной задачей в разных ситуациях.

2) Я выражаю мнение группы: нам больше всего понравился графический способ решения, потому что он самый короткий и самый красивый

II группа

Мы не совсем согласны с вами. Все подходы к решению поставленной задачи хороши. Везде мы получали изящные, красивые решения.

III группа

Пусть наша группа в своем решении пошла не совсем коротким путем, но зато наш путь был оригинальным, с изюминкой.

III группа

Нам известно, что в контрольно-измерительных материалах к подготовке к экзамену во второй части имеются системы уравнений и задачи, которые решаются с помощью уравнений или систем уравнений.

Учитель

Подумайте и предложите названия своих способов решения системы уравнений, которую мы решаем на сегодняшнем уроке.

На этом этапе урока вы продолжали учиться создавать модели решения задач

Очень приятно, что во всех нестандартных ситуациях на этом этапе урока мы с вами в ходе сотрудничества ощущали радость познания математических законов красоты. Никакая другая наука не имеет таких возможностей выбора методов решения задач. Дальнейшее углубление в знания этой темы состоится в старшей школе при изучении различных видов уравнений и их систем. Для того, чтобы уверенно чувствовать себя в мире различных математических задач, уметь их решать, надо решать их много.

IV этап урока

Реализация моделей решения системы уравнений.

Творческое задание

Составьте текстовую задачу, которая будет сведена к решению заданной системы уравнений

Обучающиеся предлагают для обсуждения составленные условия задач

V Итог урока

VI Домашнее задание дифференцированное

1 группа

Задача:

Два студента и два школьника решают 10 задач. Первый студент и два школьника решат их за 7 минут. Второй студент и два школьника решат их за 10 минут. Два студента решат эти задачи за 12 минут. За какое время решат все задачи два школьника и два студента?

Выяснить, можно ли решить задачу двумя способами: а) с помощью уравнения; б) с помощью системы уравнений. Решите задачу возможными способами.

2 группа и 3 группа творческое задание:

Составить систему уравнений второй степени с двумя переменным и применить к ее решению новые способы, которые можно создать дополнительно.

Разработка открытого урок по алгебре для 9 класса на тему «Решение систем уравнений с двумя переменными»

Разработала Иванова А.Н. учитель математики и информатики

ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО АЛГЕБРЕ ЗА 9 КЛАСС

Тема: «Решение систем уравнений с двумя переменными»

Цели и задачи:

1. Образовательные:. систематизировать и закрепить знания умения и навыки по решению систем неравенств и уравнений второй степени с двумя переменными, проведение диагностики усвоения знаний и умения поданной теме.

2. Коррекционно – развивающие: отработка внимательности и точности при выполнении заданий, развивать познавательные процессы, память, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность, выработать критерии оценки своей работы. Умение анализировать проделанную работу и адекватно ее оценить.

3. Воспитательные: воспитание интереса к предмету через игровые моменты урока, занимательные задачи, воспитание культуры мышления, культур ы речи, культуры поведения, воспитание сознательной дисциплины, понимания важности и значимости науки

Ход урока

1. Организованный момент

Представьте себе, что наш класс – НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ (слайд2)

Все вы ученики – сотрудники этого института, сотрудники различных лабораторий проблемам математики. Вас всех пригласили принять участие в заседании ученого совета этого НИИ, чтобы обсудить тему «Решение систем неравенств и уравнений второй степени».(слайд 3)

В процессе работы мы с вами должны выполнить некоторые задачи и достичь некоторые цели нашего мероприятия. (Цели обсуждают дети и говорят). Также мы должны проконтролировать и оценить свои знания. И выставить в оценочный лист баллы за свои достижения

Оценочный лист

Лаборатория теоретиков

(5 баллов)

Лаборатория исследований

(4 балла)

Лаборатория эрудитов

(2 балла)

Лаборатория раскрытия тайн

(5 баллов)

Активность на уроке

(5 баллов)

Всего

Оценка

Оценка 5: 20-21 баллов

Оценка 4: 14-19 баллов

Оценка 3: ниже 14 баллов

Прочитаем девиз нашего заседания (слайд 3)

Открыли тетради и записали тему урока со слайда «Решение систем неравенств и уравнений с двумя переменными»

2. Актуализация знаний. Итак, Лаборатория теоретиков (слайд 4). Вспомните теоретический материал и продолжите предложения.

Теперь проверим и оценим работу (слайд 5)

3. Из лаборатории теоретиков переходим в «Лабораторию исследований»

Выберите листок с таким названием. Вы видите неравенства, уравнения. В паре обсудите верно или неверно запись и найдите ошибку, запишите верный результат.

Задание

Решение/

утверждение

Верно/

неверно

Способ сложения:

⇒

З х=36

х=12 Ответ (12,16)

?

—3х=0

-х(х+3)=0

?

(х-7)(х+2)(х-18)≤0

(х-7)(х+2)(х-18)=0 произведение =0, когда х=7 или х=-2 или х=18

?

(0,6-2х)(х-3,9) >0

(0,6-2х)(х-3,9) =0 произведение =0 , когда

Х=0,6 или х=3,9

?

Проверьте работу своего сотрудника и поставьте баллы ему в оценочный лист

Задание

Решение/утверждение

Верно/неверно

Способ сложения:

⇒

З х=36

х=12 Ответ (12,16)

Не верно (1 балл)

—3х=0

-х(х+3)=0

Ответ: 0, -3

Не верно (1 балл)

(х-7)(х+2)(х-18)=0

(х-7)(х+2)(х-18)=0 произведение =0, когда х=7 или х=-2 или х=18

Верно (1 балл)

(0,6-2х)(х-3,9) =0

(0,6-2х)(х-3,9) =0 произведение =0 , когда

Х=0,6 или х=3,9

Не верно (1 балл)

4. Закончив исследования переходим в «Лабораторию эрудитов»

Составьте уравнения с двумя переменными

Ответы

Сумма двух натуральных чисел равна 16

1 балл

Периметр прямоугольника равен 12 см

1 балл

Одна из сторон прямоугольника на 8 см больше другой

1 балл

Произведение двух натуральных чисел равно 28

1 балл

Диагональ прямоугольника равна 5 см

1 балл

Ответы для самопроверки, баллы выставляем в оценочные листы.

Составьте уравнения с двумя переменными

Ответы

Сумма двух натуральных чисел равна 16

х + у = 8

Периметр прямоугольника равен 12 см

2*(а+в) = 12

Одна из сторон прямоугольника на 8 см больше другой

а – в = 8

Произведение двух натуральных чисел равно 28

х*у = 28

Диагональ прямоугольника равна 5 см

=

5. Перед вами сложная лаборатория «Лаборатория раскрытия тайн»

Задача с алгебраическим смыслом. Работа по группам (1 группа старший научный сотрудник Созинова Ирина, 2 группа – ст. научный сотрудник Кузьмин Кирилл)

Для 1 группы, решаем на месте.

Задача 1. Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 35. Найти эти числа.

Решение:

Первый этап – переведем словесную модель на математический язык. Пусть  x и y – искомые числа. По условию  

Эта нелинейная система представляет собой математическую модель реальной ситуации.

Второй этап – работа с математической моделью.

 

 

;

 

Ответ:

Проверяет старший научный сотрудник и выставляет баллы в оценочный лист.

Задание на вторую группу, решаем у доски. Задача на работу

Задача 2. Один тракторист может спахать поле за 20 часов, другой может вспахать – за 30 часов. Найти время работы если они будут работать вместе.

Для решения строим таблицу

Ответ 12 часов совместной работы

Проверяет старший научный сотрудник и выставляет баллы в оценочный лист.

6. Гимнастика для ума. (слайд 10)

Выступление ученика. Мы поработали во всех лабораториях, а теперь отдохнем и посмотрим некоторые математические фокусы. Есть много математических фокусов, но самым элегантным математически фокусом является возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5.

Проведем соответствующие рассуждения для числа 85.

85²=7225

Как быстро получить результат? 8*9=72 и 5*5=25

35²=1225

3*4=12 и 5*5=25

15²=

25²=

7. Теперь, подсчитайте то количество баллов, которое вы набрали за работу в наших лабораториях и добавьте количество баллов, которое каждый из вас поставил себе за активность на уроке.

8. Итоги урока.

Наши цели были какие в начале урока?

Мы достигли их?

Ученики проводят анализ своих ошибок.

9. Рефлексия. Стратегия «Лестница успеха». Подсчитали общее количество полученных балов. Выставленные баллы распределим на лестнице

10. Спасибо за урок.