Следствия теоремы косинусов | Треугольники
Рассмотрим два следствия теоремы косинусов.
Следствие 1
(свойство диагоналей параллелограмма)
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
По свойству параллелограмма AB=CD, AD=BC.
Поэтому сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон:
Дано:
ABCD — параллелограмм,
AC и BD — диагонали.
Доказать:
Доказательство:
1) Рассмотрим треугольник ABD.
По теореме косинусов:
2) Аналогично, из треугольника ADC
3) Сложим полученные равенства почленно:
4) По свойствам параллелограмма, AB=CD,
поэтому
и
Что и требовалось доказать.
Следствие 2.
Второе следствие теоремы косинусов непосредственно вытекает из нее:
Материал по математике «Теорема косинусов и ее следствия»
Теорема косинусов.
Теорему косинусов знали еще древние греки: ее доказательство содержится во II книге «Начал» Евклида (IV век до н.э.), где излагается геометрическая алгебра, с помощью геометрических чертежей даются решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Алгебраической символики тогда не существовало. Доказал теорему косинусов Евклид в 325 году до н.э.
Теорема:
квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Дано: ∆АВС
Доказать, что ВС2 = АС2+АВ 2–2АС*АВ*cos∠A
Доказательство:
Рассмотрим векторное равенство.
Т. к. АС=АВ+ВС
то ВС=АС-АВ
Возведём обе части в квадрат (скалярно), тогда получим:
Так как ab=│a│*│b│*cos(a;b), то ВС2=АС2+АВ2–2АС*АВ*cos∠A , что и требовалось доказать.
Следствие из теоремы косинусов.
Следствие:
квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон ± удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак «+» ставится, когда противолежащий угол тупой, а знак «-» ставится, когда этот угол острый.
1) Рассмотрим треугольник АВС, где ∠ А – острый
Проведем CD⊥AB
Т. к. треугольник АСD — прямоугольный, то:
b =с*cosα, следовательно, AD=AC*cosα, тогда ВС2=АС2+АВ2–2АС*АВ.
2) Рассмотрим треугольник АВС, где ∠ А – тупой (∠А>90°).
∆АDС – прямоугольный:
AD= AC*cos∠DAC= AC*cos(180°- α)=-AC*cosА или AC*cosА =-AD
Т. е. ВС2=АС2+АВ2 –+2 АD*АВ
Но это – доказательство одного частного случая теоремы, одной стороны треугольника. Другие две стороны находятся аналогично и по соответствующим формулам:
1) по теореме: а) АС2 =АВ2+ВС2–2АВ*ВС*cos∠В;
б) АВ2= АС2+ВС2–2АС*ВС*cosС;
в) если один из углов прямой, то имеем треугольник АВС – прямоугольный и стороны вычисляются по теореме Пифагора: a2+b2=c2
2) a) по следствию острого угла:
а. 1) АВ2=АС2+ВС2–2 АD*AС; а. 2) АС2= АВ2
+ВС2-2ВС*СD.б) По следствию тупого угла:
б.1) АВ2=АС2+ВС2+2АD×ВС;
б. 2) АС2=АВ2+ВС2+2 ВС*СD.
Две теоремы косинусов для четырехугольника.
В практике нередко возникают задачи, решение которых опирается на метрические соотношения в четырехугольнике. Так, в геодезии приходится иметь дело с выяснением взаимного расположения четырех пунктов, в технике – с расчетами четырёхзвёздных шарнирных механизмов и т.п.
Из всего многообразия возникающих здесь вопросов нами рассматриваются лишь две теоремы, которые по аналогии с соответствующими теоремами для треугольника естественно называются теоремами для четырехугольника. Эти теоремы интересны сами по себе, богаты вытекающими из них следствиями, и могут с успехом применяться при решении различных метрических задач.
Теорема 1.
Квадрат стороны выпуклого четырехугольника равен сумме квадратов трех других сторон без удвоенных произведений пар этих сторон и косинусов углов между ними.
Доказательство №1:
Дано: ∆AMD
Доказать, что x2=a2+b2+c2–2ab*cosβ–2bc*cosγ–2ac*cosμ
Доказательство:
1) Построим ABCE – параллелограмм. Имеем: ∠ECD=∠AMD=μ.
Весь материал — в документе.
Теорема косинусов. Следствия из теоремы косинусов. 9-й класс
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока: Урок – семинар.
Вид урока: Урок формирования умений и навыков, применения теоремы косинусов, ее следствий при решении задач и доказательства теорем.
Цели урока:
- Образовательные:
1. Совершенствовать навыки решения задач с использованием теоремы косинусов и ее следствий.
2. Вывести формулу о медиане треугольника и показать применение этой формулы при решении задач.
3. Ознакомить учащихся с методом дополнительных построений при выводе формул и при решении задач. - Развивающая:
1. Формирование и совершенствование умений обобщать путем сравнения, постановка и решение проблем, рассуждение по аналогии, оперирование уже знакомыми геометрическими понятиями и фактами.
2. Развивать психологические характеристики личности учащихся: выдвижению гипотез, формированию проблем.
3. Развивать психические свойства: память, воображение. - Воспитательные:
1. Отрабатывать навыки устной речи.
2. Воспитывать умение слушать друг друга и учителя.
Ход урока
1. Организационный момент.
- Приветствие.
- Сегодня мы с вами продолжим работу по теме : “Теорема косинусов и ее следствия”. Используя метод дополнительного построения, выведем формулы для вычисления медиан треугольника и применим ее при решении задач.
2. Проверка домашнего задания.
- Устно формулируем теорему косинусов, ее следствия.
- Анализируем ответы и этапы решения домашних задач.
№ 1.
Определите вид треугольника заданного своими сторонами 17, 8,15.
Решение:
Наибольший угол лежит против стороны, равной 17, то по следствию из теоремы косинусов:
Треугольник прямоугольный.
Ответ: треугольник прямоугольный.
№ 2.
Найдите сторону АВ в треугольнике АВС,
№3
Найдите сторону АС равнобедренного треугольника АВС , если АВ=ВС=4 и медиана АД равна 3.
3. Вывод формулы для вычисления медианы треугольника, если известны все стороны треугольника.
Найдите медиану треугольника АВС с известными сторонами а,в,с.
Отложим отрезок ДК на продолжении медианы ВД, равный ВД. Соединим точки А, К и С,К. Получившийся четырехугольник параллелограмм по признаку( диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам).
Применим следствие из теоремы косинусов для параллелограмма:
ВК2 + АС2 = 2АВ2 + 2ВС2
Значит, (2mв)2 + в2 = 2с2 + 2а2 или 4mв2 = 2с2 + 2а2 – в2
Запишем аналогичные формулы, для медиан проведенные к другим сторонам:
Решим домашнюю задачу с использованием этой формулы.
Делаем вывод о том, какое решение рациональней.
4. Вопрос: Можно ли найти сторону треугольника, если известны все ее медианы? Выведем формулу для вычисления стороны треугольника по ее медианам. Для этого воспользуемся опять дополнительным построением.
Учащийся у доски выводит формулу.
– Какое дополнительное построение будем проводить?
– Какую фигуру получили и почему?
– Какую теорему будем применять?
– Вывод?
Применим следствие из теоремы косинусов для параллелограмма АОСО1:
Аналогично для других сторон :
Зная метод вывода формулы, всегда можно ее получить.
Применим эту формулу для решения задач. Учащиеся самостоятельно решают, затем
проверка на доске.
№ 1 В треугольнике АВС сторона АС равна 20, а медианы , проведенные к другим сторонам равны 18 и 24 соответственно. Найдите третью медиану треугольника.
Метод дополнительного построения используется и при решении задач.
№ 2 Найдите площадь остроугольного треугольника АВС,
5. Подведение итогов урока:
- Какие новые формулы изучили на уроке?
- Какой метод применяли для доказательства теорем и решения задач?
6. Домашнее задание:
1. Найдите площадь треугольника, если две стороны его соответственно равны 27 и 29, а медиана проведенная к третьей стороне равна 26.
2. Найдите площадь остроугольного треугольника АВС,
Бертран РёссельМатематика, правильно понятая, обладает не только истинной, но так же величайшей красотой.
Теорема косинусов и синусов. Доказательство и примеры
Тригонометрия широко применяется не только в разделе алгебра — начала анализа, но также и в геометрии. В связи с этим, разумно предположить о существовании теорем и их доказательств, связанных с тригонометрическими функциями. Действительно, теоремы косинусов и синусов выводят очень интересные, а главное полезные соотношения между сторонами и углами треугольников.
Теорема косинусов
С помощью данной формулы можно вывести любую из сторон треугольника:
Доказательство утверждения выводится на основе теоремы Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Из вершины C опустим высоту h к основанию фигуры, в данном случае абсолютно не важна ее длина. Теперь, если рассмотреть произвольный треугольник AСВ, то можно выразить координаты точки C через тригонометрические функции cos и sin.
Вспомним определение косинуса и распишем соотношение сторон треугольника ACD: cos α = AD/AC | умножим обе стороны равенства на AC; AD = AC * cos α.
Длину AC примем за b и получим выражение для первой координаты точки С:
x = b * cosα. Аналогично, находим значение ординаты С: y = b * sin α. Далее применим теорему Пифагора и выразим h поочередно для треугольника ACD и DCB:
Очевидно, что оба выражения (1) и (2) равны между собой. Приравняем правые части и приведем подобные:
На практике данная формула позволяет найти длину неизвестной стороны треугольника по заданным углам. Теорема косинусов имеет три следствия: для прямого, острого и тупого угла треугольника.
Заменим величину cos α привычной переменной x, тогда для острого угла треугольника ABC получим:
Если же угол окажется прямым, то 2bx исчезнет из выражения, так как cos 90° = 0. Графически второе следствие можно представить следующим образом:
В случае тупого угла знак «-»перед двойным аргументом в формуле сменится на «+»:
Как видно из объяснения, ничего сложного в соотношениях нет. Теорема косинусов есть не что иное, как переложение теоремы Пифагора в тригонометрических величинах.
Практическое применение теоремы
Задание 1. Дан треугольник ABC, у которого сторона BC = a = 4 см, AC = b = 5 см, а cos α = ½. Необходимо найти длину стороны AB.
Чтобы правильно произвести расчет, нужно определить угол α. Для этого стоит обратиться к таблице значений для тригонометрических функций, согласно которой арккосинус равен 1/ 2 для угла в 60°. Исходя из этого, воспользуемся формулой первого следствия теоремы:
Задание 2. Для треугольника ABC известны все стороны: AB =4√2,BC=5,AC=7. Требуется найти все углы фигуры.
В данном случае не обойтись без чертежа условий задачи.
Так как значения углов остаются неизвестными, для поиска решений следует использовать полную формулу для острого угла.
По аналогии нетрудно составить формулы и рассчитать значения и других углов:
В сумме три угла треугольника должны составить 180 °: 53 + 82 + 45 = 180, следовательно, решение найдено.
Теорема синусов
Теорема гласит, что все стороны произвольного треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Записываются соотношения в виде тройного равенства:
Классическое доказательство утверждения проводят на примере фигуры вписанной в окружность.
Чтобы убедиться в правдивости высказывания на примере треугольника ABC на рисунке, необходимо подтвердить тот факт, что 2R = BC / sin A. Затем доказать, что и прочие стороны соотносятся с синусами противоположных углов, как 2R или D окружности.
Для этого проводим диаметр круга из вершины B. Из свойства углов вписанных в окружность ∠GCB – прямой, а ∠CGB либо равен ∠CAB, либо (π — ∠CAB). В случае с синусом последнее обстоятельство не значительно, так как sin (π –α) = sin α. На основании приведенных умозаключений можно утверждать, что:
sin ∠CGB = BC/ BG или sin A = BC/2R,
2R=BC/sinA.
Если рассматривать другие углы фигуры, получим расширенную формулу теоремы синусов:
Типовые задания на отработку знания теоремы синусов сводятся к поиску неизвестной стороны или угла треугольника.
Как видно из примеров, решение подобных задач не вызывает затруднений и заключается в проведении математических расчетов.
Похожие статьи
Рекомендуем почитать:
Теорема косинусов
Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте, вспомним: формулы для вычисления площади треугольника и параллелограмма.
Формулы для вычисления площади треугольника:
Формулы для вычисления площади параллелограмма:
Теорема синусов:
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Расширенная теорема синусов:
Расстояние между двумя точками:
Сегодня на уроке мы с вами сформулируем и докажем теорему косинусов.
Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус
угла между ними.
Докажем это.
Что и требовалось доказать.
Частным случаем теоремы косинусов является теорема Пифагора.
Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник и запишем для него теорему косинусов.
,
Именно поэтому теорему косинусов называют обобщенной теоремой Пифагора.
Задача. Найти
сторону треугольника
, если:
а) ,
; б)
,
;
в) ,
.
Решение.
Запишем теорему косинуса для стороны AB.
а)
б)
в)
Задача. Найти
косинус наибольшего угла треугольника , если стороны этого
треугольника равны: а)
,
,
; б)
,
,
;
в) ,
,
.
Решение.
а)
−
треугольник остроугольный
б)
−
треугольник тупоугольный
в)
− треугольник
прямоугольный
Давайте подробнее рассмотрим выражения для косинуса угла.
В знаменателе дроби всегда находится положительное число, потому что стороны треугольника могут иметь только положительные длины. Значит, знак косинуса зависит от числителя. В числителе у нас находится разность.
Пусть наибольшая сторона
треугольника, тогда если:
ü
, то треугольник
остроугольный
ü
, то треугольник
прямоугольный
ü
, то треугольник
тупоугольный
Задача. Определить вид треугольника со сторонами:
а) 23, 25, 34; б) 7, 24, 25; в) 6, 7, 9.
Решение.
Эту задачу мы будем решать двумя способами: с помощью только что сформулированных утверждений и вычислив косинус наибольшего угла.
а) Решая первым
способом, мы получим, что в первом случае у нас тупоугольный треугольник. ,
треугольник
тупоугольный.
Давайте проверим это.
Косинус отрицательный, значит, наибольший угол треугольника – тупой, то есть треугольник тупоугольный.
б) ,
треугольник
прямоугольный
в) ,
треугольник
остроугольный
Решая эту задачу, мы убедились в том, что утверждения действительно справедливы для любого треугольника. Эти утверждения называют следствием из теоремы косинусов.
Пусть наибольшая сторона
треугольника, тогда если:
ü
, то треугольник
остроугольный
ü
, то треугольник
прямоугольный
ü
, то треугольник
тупоугольный
Задача. Доказать, что для произвольного треугольника справедлива формула:
.
Доказательство.
Это формула называется формулой медиан треугольника.
Задача. В
треугольнике найти длины всех
медиан, если
,
,
.
Решение. Воспользуемся только что доказанной формулой. Очевидно, что будут выполняться аналогичные формулы для медиан к сторонам b и c. Тогда несложно вычислить длины всех медиан треугольника…
Задача. Доказать,
что для любого параллелограмма .
Решение.
Задача. Стороны
параллелограмма равны и
. Одна из диагоналей
равна
. Найти вторую
диагональ.
Решение.
Воспользуемся только что доказанным утверждением.
Задача. Две
стороны треугольника равны и
,
. Найти третью сторону
треугольника.
Решение.
Для нахождения неизвестной стороны, воспользуемся теоремой косинуса.
Запишем основное тригонометрическое тождество и найдем, что
или
Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы сформулировали и доказали теорему косинусов. Вывели следствие их этой теоремы. Познакомились с формулой для нахождения длины медианы треугольников, а также познакомились с формулой связывающей диагонали и стороны параллелограмма.
План-конспект урока (геометрия, 9 класс) на тему: Урок геометриии в 9 классе по теме «Теорема косинусов. Следствия из теоремы косинусов»
Тема «Теорема косинусов. Следствия из теоремы косинусов»
Цель урока:
- Повторить ранее изученный теоретический материал, изучить теорему косинусов и её следствия, учить делать теоретические обобщения.
- Развивать логику мышления при решении специально подобранных задач.
- Воспитывать потребность в доказательстве высказанной гипотезы.
Тип урока: урок ознакомления с новым материалом
Оборудование урока: ноутбук, мультимедийный проектор, интерактивная доска.
Ход урока
- Сообщение темы, цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности.
- Подготовка к изучению нового материала че рез повторение и актуализацию опорных знаний
(Фронтальная работа с классом)
- Рис.1. Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если известны длины катетов a и b.
Рис.1
- Рис.1. Как найти катет a, если известны длина гипотенузы c и В.
- Рис.1.Как найти катет b, если известны длина гипотенузы с и А.
- Чему равен квадрат расстояния между точками А (х1; у1) и В (х2; у2).
Рис.2
- Рис 2.Найти координаты точки A, если OA = a и угол между положительной полуосью OX и лучом OA равен .
- Рис.3. a | | b. Что вы можете сказать об углах 1 и 2. Односторонние,1 +2 = 1800 . Если 2 = , тогда 1 = 1800 —
- Чему равны: sin(1800 — ) = ? cos(1800 — ) = ?
Рис.3
- Изучение нового материала.
Учащимся предлагается задача на готовом чертеже. Теорема синусов для решения этой задачи не подходит, поскольку из трех известных элементов треугольника не известны сторона и противолежащий угол.
Первый способ решения задачи. (Устно) Рис.4
Дано: Проведём CH – высоту.
ABC, 1) Прямоугольный ACH:
AC = b, AB = c. AH = bcosA, CH =
A или CH = bsinA
__________________ BH = AB – AH.
Найти: CB2 = a2 = Ch3 + Bh3
BC = a = ? a = .
Второй способ решения задачи. Координатный метод.
- Введём прямоугольную систему координат с началом в точке А так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси AX, а точка С имела положительную ординату.
Решение записывают все учащиеся.
Рис.5
- Запишем координаты точек:
B(c; 0) ; C(bcosA; bsinA).
- Найдём квадрат стороны BC:
BC2 = a2 = (bcosA — c)2 + (bsinA)2 =
= b2cos2A – 2bccosA + c2 + b2sin2A =
= b2(cos2A + sin2A) + c2 – 2bccosA =
= b2 + c2 – 2bccosA.
a2 = b2 + c2 – 2bccosA — теорема косинусов
b2 = a2 + c2 – 2accosB
c2 = b2 + a2 – 2abcosC
Вывод: Таким образом, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
По теореме косинусов можно найти любую сторону треугольника, зная длины двух других сторон и угол между ними.
Теорему косинусов иногда называют обобщённой теоремой Пифагора. Почему? Объясните.
Если С = 900, то cosC = 0 и 2abcosC = 0, тогда c2 = a2 + b2.
Вывод: Теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов.
Рассмотрим следствия из теоремы косинусов. Рис.6
1 следствие.
Дано: Решение:
ABC Возможны 2 случая:
AC = b, а) A – острый, то cosA > 0,
AB = c, б) A – тупой, то cosA
AH = bc
а) Если A – острый, тогда
Найти: a по теореме косинусов
a2 = b2 + c2 – 2bccosA
В прямоугольном ACH: bc = bcosA. Так как A – острый, то cosA > 0, тогда a2 = b2 + c2 – 2bcc, то есть квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение одной из них на проекцию другой.
Случай, когда угол, лежащий против неизвестной стороны тупой рассмотреть самостоятельно. Следующий урок начнём с проверки этого задания. (т.к. cosA 2 = b2 + c2 + 2bccosA, т.е. квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон плюс удвоенное произведение одной из них на проекцию другой.
2 следствие. Рис.7
Дано:
ABCD – параллелограмм,
AB = CD =a,
BC = AD = b.
Найти: d12 + d22 .
Решение: ABC: d12 = a2 + b2 – 2abcosB.
ABD: d22 = a2 + b2 – 2abcosA = a2 + b2 – 2abcos(1800 — B) = a2 + b2 + 2abcosB.
d12 + d22 = a2 + b2 – 2abcosB + a2 + b2 + 2abcosB = a2 + b2 + a2 + b2.
d12 + d22 = 2 a2 + 2 b2.
Вывод: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
3 следствие. Рис.8
Дано:
ABC,
AB = c,
AC = b,
BC = a.
Найти: ma .
Решение: Достроим ABC до параллелограмма ABA1C.
AA12 + BC2 = 2b2 + 2c2 . BC = a, 2ma = AA1 .
(2ma)2 + a2 = 2b2 + 2c2
4ma2 = 2(b2 + c2) – a2
ma2 = mb =
ma = mc =
Вывод: В любом треугольнике со сторонами a,b и c длины медиан ma, mb, mc вычисляются по формулам: ma = , mb = ,
mc = .
- Первичное осмысление и закрепление свя зей и отношений в объектах изучения
Задача:
В треугольнике две стороны равны 20 см и 21 см, а синус угла между ними равен 0,6 . Найти третью сторону. Сколько решений имеет задача?
Рис.9
Дано: Решение:
sin = 0,6 , sin = 0,6 может быть острым
AB = 20 см, или тупым.
AC = 21 см.
1 случай: — острый
Найти: BC.
BC2 = AB2 + AC2 – 2ABACcos.
Так как — острый, то cos>0.
Тогда cos = = = = 0.8
BC = = = 13(см).
2 случай: — тупой.
BC2 = AB2 + AC2 – 2ABACcos Рис.10
Так как — тупой, то cos
cos = -= — = -0.8
BC = = (см).
Ответ: 1) BC = 13 см. 2) BC = см.
5. Домашняя работа: п. 98 №1025(б, в, г).
6. Подведение итогов урока.
Терема косинусов на занятиях с репетитором по математике — Колпаков Александр Николаевич
Формулировка: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Для произвольного треугольника ABC и его сторон a,b и с (противолежащих к соответствующим вершинам) это равенство можно записать и для двух других сторон:
Теорема косинусов используется для решения треугольников в двух главных ситуациях:
1) Когда даны две стороны и угол между ними, а требуется найти последнюю сторону:
2) Когда даны все три стороны треугольника, а требуется найти его углы:
Иногда репетитор по математике рекомендует использовать теорему косинусов в задаче с двумя данными сторонами и углом, не лежащим между ними. В этом случае а) придется решать квадратное уравнение и отбирать среди полученных корней длину реальной стороны. б) такая ситуация не характерна для задач с ЕГЭ по математике, так как не всегда однозначно задает треугольник. Если угол не лежит между сторонами, то циркулем и линейкой можно построить двух разных треугольника с такими элементами.
Теорема косинусов иногда называют расширенной теоремой Пифагора или обобщением теоремы Пифагора, ибо при угле 90 градусов из указанных выше равенств получается . Как любое обобщение она намного универсальнее и эффективнее частного случая и применяется к большему числу реальных ситуаций (в отличае от искусственных задач ГИА и ЕГЭ по математике, расчитанных на программу 8 класса).
Доказательство теоремы косинусов
Все известные мне доказательства связаны с векторами и координатами. В учебнике Атанасяна оно проводится через координаты точек, а в учебнике Погорелове используется понятие «скалярное произведение векторов». Проведем доказательство по Атанасяну. Оно, как мне кажется больше всего подходит репетитору по математике для работы, так как имеет меньшую зависимость от соседних тем.
Докажем равенство для стороны а и угла А. Для этого введем систему координат как показано на рисунке (ось Ох направляется вдоль стороны АС). Точка B при этом получит координаты B (cCosA;cSinA). Это единственный сложный для слабого или среднего ученика факт, который репетитор по математике, работающий по учебнику Атанасяна, должен отдельно рассмотреть. Cложным он является часто по причине того, что не подкреплен в программе достаточным количеством задач и после изучения теоремы косинусов не используется. В случае с данным расположеним точек (когда — острый) репетитору по математике достаточно обратиться к определению косинуса и синуса острого угла в прямоугольных треугольниках с пунктирными сторонами.
Даленейшее доказательство строится на алгебраических и тригонометрических выкладках. К ним необходимо добавить знание формулы расстояния между двумя точками.
Применяем формулу сокращенного усножения к квадрату суммы:
Выносим за скобку:
. Используем основное тригонометрическое тождество и получаем
и в итоге
Любознательному ученику репетитор по математике может показать редкое доказательство теоермы косинусов. Проведем в треугольнике ABC высоту BH и запишем АВ=АН+НВ или с=bCosA+aCosB. Если угол B — тупой, то АВ=АН-НВ и с учетом того, что косинусы смежных углов противоположны, снова получим равенство с=bCosA+aCosB. Поэтому оно не зависит от вида треугольника. запишем аналогичные формулы для а и b:
a=cCosB+bCosC и b=aCosC+cCosA. Умножая их соответственно на а и b и вычитая из их суммы равнство с=bCosA+aCosB получим равенсто
Торема косинусов позволяет объяснить весьма полезное на практике свойство диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон. Для того, чтобы в этом убедиться достаточно записать теорему косинусов для каждой диагонали и сложить полученные равенства.
Примеры задач, в которых так или иначе можно (или нужно) использовать теорему косинусов:
1) В треугольнике со сторонами 2,3 и 4 найдите длину медианы, проведенную к большей стороне.
2) В том же треугольнике найдите длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.
3) В треугольнике АВС отрезок, соединяющий середины АВ и ВС, равен 3 дм, а сторона АВ равна 7дм, угол С равен . Найдите ВС.
4) Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С находится на расстоянии и
от вершин А и В. Надите катеты треугольника.
Полноценная подготовка к ЕГЭ по математике невозможна без решения задач на теорему косинусов. В варианте ЕГЭ она может встретится или в номере B4 или в C4. Постепенно я буду переносить на страницу интересные задачи С4 из моей дидактической базы и с пробных экзаменов. Репетиторы, не забудьте, что в ГИА, как на ЕГЭ, теорема косинусов может проявиться и в первой и во второй части варианта.
Колпаков Александр Николаевич,
репетитор по математике в Москве. Подготовка к ЕГЭ