Собственные интегралы: Электронный учебник по математическому анализу — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 08.05.202001.05.2021 by alexxlab

Содержание

Карпук А.Высшая математика для технических университетов. Интегральное исчислениефункций одной переменной (Минск, 2008).

Предисловие ..................................................... 3
Лекция 1. Определение и свойства неопределенного интеграла ..... 4
Первообразная и неопределенный интеграл и их свойства.
Таблица основных неопределенных интегралов. Непосредственное
интефирование. Интегрирование подстановкой (замена переменной
интефирования). Интегрирование по частям. Задачи и упражнения.
Лекция 2. Интегрирование рациональных функций ................. 17
Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование
рациональных функций в общем случае. Метод Остроградского.
Задачи и упражнения.
Лекция 3. Интегрирование некоторых иррациональных и
тригонометрических выражений ................................... 26
Интегралы вида Интегрирование
дифференциального бинома. Подстановки Чебышева.Интегралы вида
. Интегралы вида . Подстановки
Эйлера. Интегралы вида .
Универсальная тригонометрическая подстановка. Интегралы вида
Задачи и упражнения.
Лекция 4. Определенный интеграл ............................... 44
Задачи, приводящие к определенному интегралу. Определение
интеграла Римана. Интегральные суммы и их свойства. Классы
интегрируемых по Риману функций. Основные свойства
определенного интеграла. Теорема о среднем. Задачи и
упражнения.
Лекция 5. Методы вычисления определенных интегралов ........... 61
Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу.
Формула Ньютона—Лейбница. Замена переменной в определенном
интеграле. Интегралы от четных, нечетных и периодических
функций. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
Задачи и упражнения.
Лекция 6. Приближенные методы вычисления определенных
интегралов . .................................................... 77
Понятие численного интегрирования. Квадратурные формулы
прямоугольников. Квадратурная формула трапеций. Квадратурная
формула Симпсона. Задачи и упражнения.
Лекция 7. Геометрические приложения определенных интегралов ... 92
Площадь плоской фигуры в прямоугольной декартовой системе
координат. Площадь криволинейной трапеции при параметрическом
задании ее границы. Площадь плоской фигуры в полярной системе
координат. Объем тела по известным площадям его параллельных
сечений. Объем тела вращения. Вычисление длины дуги кривой в
декартовой системе координат. Вычисление длины дуги кривой в
полярной системе координат. Площадь поверхности вращения.
Задачи и упражнения.
Лекция 8. Физические приложения определенного интеграла ...... 134
Работа переменной силы. Давление жидкости на погруженную в
нее вертикальную пластину. Масса неоднородного стержня и
плоской кривой. Центр тяжести плоской кривой. Статические
моменты плоской кривой. Первая теорема Гульдина. Моменты
инерции плоской кривой. Статические моменты, моменты инерции
и центр тяжести плоской фигуры. Вторая теорема Гульдина.
Задачи и упражнения.
Лекция 9. Несобственные интегралы 1-го рода .................. 161
Несобственные интегралы с бесконечными пределами
интегрирования. Сходимость несобственных интегралов 1-го
рода и ее геометрический смысл. Основные свойства
несобственных интегралов 1-го рода: линейность, формула
Ньютона — Лейбница, замена переменной интегрирования,
интегрирование по частям, интегрирование неравенств.
Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов
от неотрицательных функций (признаки сравнения). Признак
Коши. Абсолютная и условная сходимость несобственных
интегралов Признаки Дирихле и Абеля. Главное значение
несобственного интеграла 1-го рода. Задачи и упражнения.
Лекция 10. Несобственные интегралы 2-го рода .................. 184
Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Сходимость несобственных интегралов 2-го рода и ее
геометрический смысл. Основные свойства несобственных
интегралов 2-го рода: формула Ньютона—Лейбница, линейность,
интегрирование неравенств, интегрирование по частям,
замена переменной интегрирования. Признаки сравнения.
Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимость. Главное
значение несобственного интеграла 2-го рода. Задачи и
упражнения.
Лекция 11. Собственные интегралы, зависящие от параметра ...... 200
Собственные интегралы, зависящие от параметра, и их
непрерывность. Дифференцирование интегралов, зависящих
от параметра. Правило Лейбница. Интегрирование собственных
интегралов, зависящих от параметра. Задачи и упражнения.
Лекция 12. Функциональные последовательности .................. 215
Функциональная последовательность и ее сходимость.
Равномерная сходимость функциональных последовательностей:
непрерывность предела, предельный переход под знаком
интеграла и производной. Задачи и упражнения.
Лекция 13. Несобственные интегралы, зависящие от параметра .... 227
Понятие несобственного интеграла, зависящего от параметра,
и его равномерная сходимость. Признаки равномерной
сходимости Вейерштрасса, Коши и Дирихле. Непрерывность,
интегрируемость и дифференцируемость по параметру
несобственного интеграла, зависящего от параметра. Формула
Фруллани. Понятие несобственного интеграла, зависящего от
параметра, от неограниченной функции. Задачи и упражнения.
Лекция 14. Интегралы Эйлера ................................... 244
Гамма-функция: определение, равномерная сходимость,
свойства. Формула дополнения. Бета-функция: определение,
свойства, связь с гамма-функцией. Применение интегралов
Эйлера к вычислению определенных интегралов. Задачи и
упражнения.
Лекция 15. Асимптотическое интегрирование ..................... 256
Асимптотика одного несобственного интеграла, зависящего
от параметра. Асимптотика интегралов ,
. Интеграл Френеля. Ассимптотическая формула
Лапласа для интегралов вида .
Формула Стерлинга. Асимптотика интегралов . Задачи
и упражнения.
Лекция 16. Элементы дифференциальной геометрии ................ 269
Дифференциал длины дуги кривой. Кривизна плоской кривой.
Эволюта и эвольвента. Кривизна пространственной кривой.
Формулы Френе. Кручение кривой. Уравнения характеристик
пространственной кривой: уравнения главной нормали, би-
нормали, касательной; уравнения нормальной, соприкасаю-
щейся и спрямляющей плоскостей сопровождающего трехгранника
кривой. Задачи и упражнения.
Литература .................................................... 295

02. Определение и вычисление несобственных интегралов от разрывных фу

Если подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке и непрерывна в окрестности этой точки, то говорят о Несобственном интеграле от разрывной функции или Второго рода, который определяют опять-таки через предельный переход следующим образом:

(2)

Несобственный интеграл от разрывной функции ,

Называется сходящимся, если существуют оба конечных предела в правой части соотношения (2), и – расходящимся, если не существует или равен бесконечности хотя бы один из них. Если разрыв подынтегральной функции находится только в одной из граничных точек промежутка интегрирования (a или b), то есть имеет место лишь один предел в правой части соотношения (2), то говорят о несобственном интеграле второго рода с одной особой точкой.

Пример 3. Вычислить несобственные интегралы от разрывных функций или установить их расходимость:

A). б). в). .

Решения. а). Так как точка разрыва подынтегральной функции находится внутри промежутка интегрирования, то разбиваем его на два участка так, чтобы в каждом было по одной особенности на верхнем или нижнем пределе промежутка интегрирования. Итак, имеем:

;

Стало быть, исследуемый интеграл расходится. Если не учитывать, что подынтегральная функция терпит разрыв внутри промежутка интегрирования, то получим, естественно, неверный результат: .

б). Исследуемый интеграл с одной особенностью в точке . Далее имеем: ; стало быть, интеграл сходится и величина его равна .

в). В этом интеграле имеем две особые точки И соответственно на нижнем и верхнем концах промежутка интегрирования. По этой причине исследуемый интеграл разобьём на два интеграла, в каждом из которых будет по одной особенности. Итак, имеем:

; стало быть, исследуемый интеграл сходится и величина его равна .

Упражнение 3. Вычислить интегралы или установить их расходимость:

А). ; б). ; в). .

Как и в случае несобственных интегралов по бесконечному промежутку для сходящихся несобственных интегралов от разрывных функций также сохраняются основные свойства и формулы определенного интеграла.

Пример 4. Вычислить интегралы:

А). ; б). .

Решения. а). Данный интеграл имеет одну особенность в точке , где подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв. Проведём интегрирование по частям: пусть , ; тогда , ; далее имеем:

, так как

. Стало быть, исследуемый интеграл сходится и величина его равна (-4).

б). Данный интеграл имеет одну особенность в точке , подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв. Сделаем замену переменной: пусть , ; если , ; если , ; при этом исходный интеграл преобразуется следующим образом :

Стало быть, исследуемый интеграл сходится и величина его равна .

Как и в случае несобственного интеграла по бесконечному промежутку несобственные интегралы от разрывных функций могут превращаться в собственные интегралы при некоторых заменах переменных. Так, например, вычислим интеграл: Интеграл имеет одну особенность в точке где подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв. Сделаем замену переменной: пусть если если При этом заданный несобственный интеграл преобразуется в собственный интеграл следующим образом: (это уже собственный интеграл )

Несобственные интегралы от разрывных функций в некоторых случаях могут превращаться в собственные интегралы при интегрировании по частям. Так, например, вычислим интеграл: Этот интеграл имеет одну особую точку , где подынтегральная функция обращается в бесконечность. Реализуем метод интегрирования по частям: пусть и , тогда и далее имеем: (это уже собственный интеграл, который равен ).

Упражнение 4. Вычислить интегралы:

А). ; б). ; в). .

< Предыдущая		Следующая >

Глава 2. Собственные интегралы, зависящие от параметра

Пусть определена на , и при каждом значении функция интегрируема по Риману на отрезке . Тогда интеграл

(1)

называют собственным интегралом, зависящим от параметра . Наряду с интегралами вида (1) рассматривают интегралы более общего вида

, (2)

и определены на множестве , и их значения принадлежат .

2. 1. Непрерывность интеграла по параметру

Теорема 1. Если непрерывна в прямоугольнике , тогда непрерывна на . В частности, если непрерывна в прямоугольнике и , то

то есть, возможен предельный переход под знаком интеграла.

Теорема 2. Пусть функция непрерывна в прямоугольнике , а функции и непрерывны на отрезке , тогда непрерывна на .

2.2. Дифференцирование по параметру

Теорема 3. (I правило Лейбница).Если и непрерывны на , то дифференцируема на и имеет место формула

Теорема 4. (II правило Лейбница).Пусть и непрерывны на , а , имеют непрерывные производные на . Тогда тоже имеет производную на , причем

2.3. Интегрирование по параметру

Теорема 5. Если функция непрерывна в прямоугольнике , то интегрируема на отрезке , и справедливо равенство

2.4.Контрольные вопросы и задания

Дайте определение собственного интеграла, зависящего от параметра.
При каких условиях интеграл, зависящий от параметра, является непрерывной функцией?

Найти .

Доказать, что функция непрерывна на .

Найти , если .
Можно ли вычислить по правилу Лейбница , если при .

2.5.Образцы решения типовых задач

Пример 1. Вычислить .

Так как функция непрерывна на , можно применять теорему о непрерывности собственного интеграла с параметром. Имеем

Пример 2. Можно ли совершить предельный переход под знаком интеграла

Нет, нельзя. Переходя к пределу под знаком интеграла, получим ноль. Если вычислить интеграл, а затем перейти к пределу, то получим

Так как в точке функция терпит разрыв, теорему о предельном переходе применять нельзя.

Пример 3. Вычислить .

Рассмотрим функцию . Она непрерывна на прямоугольнике . Применяя теорему об интегрировании собственного интеграла по параметру, имеем

так как . Но так как , то .

Пример 4. Найти , если .

Так как функция непрерывно дифференцируема на , -непрерывно дифференцируемы на , непрерывна на , то

Глава 3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

3.1. Сходимость.

Равномерная сходимость

Пусть определена на и при каждом функция интегрируема по Риману на любом отрезке , и сходится. Тогда этот интеграл представляет собой функцию , определенную на множестве .

Определение 1. Если для каждого интеграл сходится, то интеграл называется сходящимся на множестве .

Условия при которых для несобственных интегралов, зависящих от параметра, справедливы теоремы, аналогичные для собственных интегралов, основаны на понятии равномерной сходимости интеграла.

Определение 2. Сходящийся на множестве интеграл называется равномерно сходящимся на этом множестве, если для любого существует такое ), что для всех и всех выполняется неравенство

В этом определении следует отметить аналогию с функциональными рядами . Равномерная сходимость функционального ряда равносильна равномерному стремлению к нулю остатка ряда .

Теорема 1. (Критерий Коши равномерной сходимости) Для того, чтобы несобственный интеграл равномерно сходился на множестве , необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало такое , что для всех и , удовлетворяющих условиям и и для всех выполнялось неравенство

Теорема 2. (sup-критерий равномерной сходимости) Для того, чтобы несобственный интеграл равномерно сходился на множестве , необходимо и достаточно, чтобы

Пример.

. Интеграл сходится на множестве неравномерно.

На множестве , сходимость равномерная, так как

ЭБ СПбПУ — Математический анализ. Интегралы, зависящие от параметра. Двойные интегралы. Криволинейные интегралы

Название:	Математический анализ. Интегралы, зависящие от параметра. Двойные интегралы. Криволинейные интегралы
Авторы:	Аксенов Анатолий Петрович
Организация:	Санкт-Петербургский государственный технический университет. Физико-механический факультет
Выходные сведения:	Санкт-Петербург, 2002
Коллекция:	Учебная и учебно-методическая литература; Общая коллекция
Тематика:	Интегралы; двойные интегралы; криволинейные интегралы; собственные интегралы; несобственные интегралы; кривые поверхности; интегралы Эйлера
УДК:	517. 37(075.8)
Тип документа:	Учебное издание
Тип файла:	PDF
Язык:	Русский
Права доступа:	Свободный доступ из сети Интернет (чтение, печать, копирование)

Расчет

— Какое условие определяет правильный интеграл?

исчисление — Какое условие определяет правильный интеграл? — Обмен математическим стеком

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 176 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

0
+0
Авторизоваться Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил 4 года, 7 месяцев назад

Просмотрено 265 раз

$ \ begingroup $

Я читаю Задач по исчислению одной переменной И. {a} _ {b} f (x) \ text {dx} $ — правильный интеграл, если $ \ lim_ {t \ to + b} f (x) $ — конечное значение и $ b \ neq \ infty $?

Создан 21 сен.

nlsnls

8,1996 золотых знаков2424 серебряных знака4949 бронзовых знаков

$ \ endgroup $ 1 $ \ begingroup $

Существует два вида несобственных интегралов на прямой:

Те, в которых область интеграции неограничена, с одной или обеих сторон (например,\ infty \ frac1 {(x + 1) \ sqrt x} \ dx = \ pi $). Интеграл является правильным тогда и только тогда, когда он удовлетворяет и из этих условий: область интегрирования и подынтегральное выражение ограничены.
Следовательно, данные интегралы являются правильными, несмотря на их неопределенные точки, потому что в этих точках существуют конечные пределы (приближение на пути полностью в области интегрирования).
Создан 21 сен.
Parcly TaxelParcly Taxel
82.-} f (x) $ должен иногда. Тогда это правильно.
Создан 21 сен.
ПолПол
19.3k55 золотых знаков3030 серебряных знаков6868 бронзовых знаков
$ \ endgroup $
Не тот ответ, который вы ищете? Посмотрите другие вопросы с метками исчисление или задайте свой вопрос.
Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript
Ваша конфиденциальность
Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в отношении файлов cookie.
Принимать все файлы cookie Настроить параметры
4.4: Определенный интеграл — математика LibreTexts
В предыдущем разделе мы определили площадь под кривой в терминах сумм Римана:
\ [A = \ lim_ {n → ∞} \ sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx. \]
Однако это определение имело ограничения. Мы требовали, чтобы \ (f (x) \) была непрерывной и неотрицательной. К сожалению, реальные проблемы не всегда соответствуют этим ограничениям. В этом разделе мы рассмотрим, как применить концепцию площади под кривой к более широкому набору функций с помощью определенного интеграла.
Определение и обозначения
Определенный интеграл обобщает понятие площади под кривой. Мы снимаем требования непрерывности и неотрицательности \ (f (x) \) и определяем определенный интеграл следующим образом.∗ _i) Δx, \]
при наличии лимита. Если этот предел существует, функция \ (f (x) \) называется интегрируемой на [a, b] или интегрируемой функцией.
Знак интеграла в предыдущем определении должен показаться знакомым. Мы видели аналогичные обозначения в главе «Применение производных», где мы использовали символ неопределенного интеграла (без a и b сверху и снизу) для представления первообразной. Хотя обозначения для неопределенных интегралов могут выглядеть аналогично обозначениям для определенного интеграла, они не совпадают. Определенный интеграл — это число. Неопределенный интеграл — это семейство функций. Позже в этой главе мы исследуем, как связаны эти концепции. Однако всегда следует уделять пристальное внимание обозначениям, чтобы мы знали, работаем ли мы с определенным интегралом или с неопределенным интегралом.
Интегральная система обозначений восходит к концу семнадцатого века и является одним из вкладов Готфрида Вильгельма Лейбница , которого часто считают соавтором исчисления вместе с Исааком Ньютоном.Символ интегрирования ∫ представляет собой удлиненную букву S, обозначающую сигму или суммирование. На определенном интеграле выше и ниже символа суммирования находятся границы интервала \ ([a, b]. \). Числа a и b являются значениями x и называются пределами интегрирования ; в частности, a — это нижний предел, а b — верхний предел. Чтобы уточнить, мы используем слово limit двумя разными способами в контексте определенного интеграла. Во-первых, мы говорим о пределе суммы при \ (n → ∞. \). Во-вторых, границы области называются пределами интегрирования .∗ _i) Δx \) существует и единственно. Это приводит к следующей теореме, которую мы сформулируем без доказательства.
Интегрируемые непрерывные функции
Если \ (f (x) \) непрерывно на \ ([a, b] \), то f интегрируемо на \ ([a, b]. \)
Функции, которые не являются непрерывными на \ ([a, b] \), могут быть интегрируемыми, в зависимости от характера разрывов. Например, функции с конечным числом скачков на отрезке интегрируемы.
Здесь также стоит отметить, что мы сохранили использование регулярного разбиения в суммах Римана.Это ограничение не является строго необходимым. Любое разбиение можно использовать для образования суммы Римана. Однако, если для определения определенного интеграла используется нерегулярное разбиение, этого недостаточно, поскольку количество подынтервалов стремится к бесконечности. Вместо этого мы должны принять предел, поскольку ширина самого большого подынтервала стремится к нулю. Это вводит немного более сложные обозначения в наши пределы и усложняет вычисления без особого дополнительного понимания, поэтому мы придерживаемся регулярных разбиений для сумм Римана.2dx. \) Используйте приближение правой конечной точки для генерации суммы Римана.
Решение
Сначала мы хотим установить сумму Римана. Исходя из пределов интегрирования, имеем \ (a = 0 \) и \ (b = 2 \). Для \ (i = 0,1,2,…, n \) пусть \ (P = {x_i} \) — регулярное разбиение \ ([0,2]. \), Тогда
\ [Δx = \ dfrac {b − a} {n} = \ dfrac {2} {n}. \]
Поскольку мы используем аппроксимацию правой конечной точки для генерации сумм Римана, для каждого i нам нужно вычислить значение функции на правом конце интервала \ ([x_ {i − 1}, x_i].3_0 (2x − 1) dx \).
Используйте аппроксимацию правой конечной точки для получения суммы Римана.
Подсказка
Используйте стратегию решения из примера.
Ответ
\ (6 \)
Вычисление определенных интегралов
Вычисление определенных интегралов таким способом может быть довольно утомительным из-за сложности вычислений. 2} \, dx \).4_2 (2х + 3) дх \).
Подсказка
Постройте график функции \ (f (x) \) и вычислите площадь под функцией на интервале \ ([2,4]. \)
Ответ
18 квадратных единиц
Площадь и определенный интеграл
При определении определенного интеграла мы сняли требование неотрицательности \ (f (x) \). Но как мы интерпретируем «площадь под кривой», когда \ (f (x) \) отрицательно?
Чистая подписанная площадь
Вернемся к сумме Римана.∗ _i) Δx = \]
(Площадь прямоугольников выше оси x) — (Площадь прямоугольников ниже оси x)
Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): для функции, которая частично отрицательна, сумма Римана — это площадь прямоугольников над осью x за вычетом площади прямоугольников под осью x.
Принимая предел как \ (n → ∞, \), сумма Римана приближается к площади между кривой над осью x и осью x, за вычетом площади между кривой под осью x и осью x, как показано на рисунке. nf (c_i) Δx = A_1 − A_2. \]
Величина \ (A_1-A_2 \) называется чистой подписанной областью .
Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): В пределе определенный интеграл равен площади A1 за вычетом площади A2 или чистой подписанной области.
Обратите внимание, что чистая подписанная площадь может быть положительной, отрицательной или нулевой. Если область над осью x больше, чистая подписанная область положительна. Если область под осью x больше, чистая подписанная область отрицательна. Если области выше и ниже оси x равны, чистая область со знаком равна нулю.
Пример \ (\ PageIndex {3} \): поиск чистой подписанной области
Найдите чистую площадь со знаком между кривой функции \ (f (x) = 2x \) и осью x на интервале \ ([- 3,3]. \)
Решение
Функция создает прямую линию, которая образует два треугольника: один от \ (x = −3 \) до \ (x = 0 \), а другой от \ (x = 0 \) до \ (x = 3 \) ( Фигура). Используя геометрическую формулу для площади треугольника \ (A = \ dfrac {1} {2} bh \), площадь треугольника A1 над осью равна
.
\ (A_1 = \ dfrac {1} {2} 3 (6) = 9 \),
, где 3 — основание, а \ (2 (3) = 6 \) — высота.3 _ {- 3} 2xdx = A_1 − A_2 = 9−9 = 0. \)
Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Площадь над кривой и под осью x равна площади под кривой и над осью x.
Анализ
Если A1 — это область выше оси x, а A2 — область ниже оси x, то чистая площадь равна \ (A_1-A_2 \). Поскольку площади двух треугольников равны, чистая площадь равна нулю.
Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)
Найдите чистую знаковую площадь \ (f (x) = x − 2 \) на интервале \ ([0,6] \), как показано на следующем рисунке.
Подсказка
Используйте метод решения, описанный в примере.
Ответ
6
Общая площадь
Одно из применений определенного интеграла — это нахождение смещения при заданной функции скорости. Если \ (v (t) \) представляет скорость объекта как функцию времени, тогда площадь под кривой сообщает нам, насколько далеко объект от своего исходного положения.Это очень важное применение определенного интеграла, и мы рассмотрим его более подробно позже в этой главе. А пока мы просто рассмотрим некоторые основы, чтобы понять, как это работает, изучая постоянные скорости.
Когда скорость постоянна, площадь под кривой равна скорости, умноженной на время. Эта идея уже хорошо знакома. Если автомобиль удаляется от исходного положения по прямой со скоростью 75 миль в час в течение 2 часов, то он находится в 150 милях от исходного положения (рисунок).2_075dt = 150 \).
Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): Площадь под кривой \ (v (t) = 75 \) показывает, как далеко автомобиль находится от начальной точки в данный момент времени.
В контексте смещения, чистая подписанная площадь позволяет нам учитывать направление. Если автомобиль движется прямо на север со скоростью 60 миль в час в течение 2 часов, он находится в 120 милях к северу от своей начальной позиции. 5_2−40 \, dt = 120-120 = 0.\]
В этом случае смещение равно нулю.
Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): Площадь над осью и область под осью равны, поэтому чистая подписанная область равна нулю.
Предположим, мы хотим знать, как далеко автомобиль проехал в целом, независимо от направления. В этом случае мы хотим знать область между кривой и осью x, независимо от того, находится эта область выше или ниже оси. Это называется общей площадью .
С графической точки зрения проще всего рассчитать общую площадь, добавив области над осью и области под осью (вместо вычитания областей под осью, как мы это делали с чистой подписанной областью).5_240dt = 120 + 120 = 240. \]
Формально объединяя эти идеи, мы даем следующие определения.
Определение: чистая подписанная площадь
Пусть \ (f (x) \) — интегрируемая функция, определенная на интервале \ ([a, b] \). Пусть \ (A_1 \) представляет область между \ (f (x) \) и осью x, которая лежит над осью, и пусть \ (A_2 \) представляет область между \ (f (x) \) и x — ось, лежащая ниже оси. b_af (x) dx = A_1 − A_2.b_a | f (x) | dx = A_1 + A_2. \]
Пример \ (\ PageIndex {4} \): определение общей площади
Найдите общую площадь между \ (f (x) = x − 2 \) и осью x на интервале \ ([0,6]. \)
Решение
Вычислить точку пересечения с x как \ ((2,0) \) (установить \ (y = 0, \) решить относительно x). Чтобы найти общую площадь, возьмите область ниже оси x на подынтервале \ ([0,2] \) и добавьте ее к области над осью x на подынтервале \ ([2,6] \) ( Фигура).
Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): Общая площадь между линией и осью x над \ ([0,6] \) равна \ (A_2 \) плюс \ (A_1 \).6_0 | (х − 2) | dx = A_2 + A_1. \)
Тогда, используя формулу площади треугольника, получаем
\ (A_2 = \ dfrac {1} {2} bh = \ dfrac {1} {2} ⋅2⋅2 = 2 \)
\ (A_1 = \ dfrac {1} {2} bh = \ dfrac {1} {2} ⋅4⋅4 = 8 \).
Таким образом, общая площадь составляет
\ (A_1 + A_2 = 8 + 2 = 10 \).
Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)
Найдите общую площадь между функцией \ (f (x) = 2x \) и осью x на интервале \ ([- 3,3]. \)
Подсказка
Просмотрите стратегию решения в примере.
Ответ
\ (18 \)
Свойства определенного интеграла
Свойства неопределенных интегралов применимы также к определенным интегралам. Определенные интегралы также имеют свойства, относящиеся к пределам интегрирования. Эти свойства вместе с правилами интегрирования, которые мы рассмотрим позже в этой главе, помогают нам манипулировать выражениями для вычисления определенных интегралов.
Правило: свойства определенного интеграла
1.2_1f (x) dx. \)
Подсказка
Используйте стратегию решения из примера и правило свойств определенных интегралов.
Ответ
\ (- 7 \)
Сравнительные свойства интегралов
Иногда изображение может рассказать нам о функции больше, чем результаты вычислений. Сравнение функций по их графикам, а также по их алгебраическим выражениям часто может дать новое понимание процесса интеграции.Интуитивно можно сказать, что если функция \ (f (x) \) находится над другой функцией \ (g (x) \), то область между \ (f (x) \) и осью x больше, чем область между \ (g (x) \) и осью x. Это верно в зависимости от интервала, в течение которого производится сравнение. Свойства определенных интегралов действительны независимо от того, \ (a b \). Однако следующие свойства относятся только к случаю \ (a≤b \) и используются, когда мы хотим сравнить размеры интегралов.
Теорема сравнения
и.2} \) и \ (g (x) = \ sqrt {1 + x} \) на интервале \ ([0,1] \).
Решение
Построение графиков этих функций необходимо, чтобы понять, как они сравниваются в интервале \ ([0,1]. \). Первоначально, когда графически построено на графическом калькуляторе, \ (f (x) \) оказывается выше \ (g (x )\) везде. Однако на интервале \ ([0,1] \) графики кажутся поверх друг друга. Нам нужно увеличить масштаб, чтобы увидеть, что на интервале \ ([0,1], g (x) \) находится выше \ (f (x) \). Две функции пересекаются в точках \ (x = 0 \) и \ (x = 1 \) (рисунок).1_0f (x) dx \) (рисунок). Тонкая заштрихованная область показывает, насколько велика разница между этими двумя интегралами в интервале \ ([0,1]. \)
Рисунок \ (\ PageIndex {9} \): (a) График показывает, что на интервале \ ([0,1], g (x) ≥f (x), \), где равенство выполняется только на концах интервал. (b) Просмотр того же графика с большим увеличением показывает это более четко.
Среднее значение функции
Нам часто нужно найти среднее значение набора чисел, например, среднюю оценку за тест.Предположим, вы получили следующие результаты тестов в своем классе алгебры: 89, 90, 56, 78, 100 и 69. Ваша семестровая оценка — это ваше среднее значение результатов теста, и вы хотите знать, какую оценку ожидать. Мы можем найти среднее значение, сложив все оценки и разделив их на количество оценок. В этом случае есть шесть результатов теста. Таким образом,
\ [\ dfrac {89 + 90 + 56 + 78 + 100 + 69} {6} = \ dfrac {482} {6} ≈80.33. \]
Таким образом, ваша средняя оценка за тест составляет примерно 80,33, что соответствует B- в большинстве школ.
Однако предположим, что у нас есть функция \ (v (t) \), которая дает нам скорость объекта в любой момент времени t, и мы хотим найти среднюю скорость объекта. Функция \ (v (t) \) принимает бесконечное количество значений, поэтому мы не можем использовать только что описанный процесс. К счастью, мы можем использовать определенный интеграл, чтобы найти среднее значение такой функции, как эта.
Пусть \ (f (x) \) непрерывно на интервале \ ([a, b] \) и пусть \ ([a, b] \) разделен на n подинтервалов шириной \ (Δx = (b − a ) / п \).b_af (x) dx. \]
Пример \ (\ PageIndex {8} \): поиск среднего значения линейной функции
Найдите среднее значение \ (f (x) = x + 1 \) на интервале \ ([0,5]. \)
Решение
Сначала изобразите функцию на указанном интервале, как показано на рисунке.
Рисунок \ (\ PageIndex {10} \): График показывает площадь под функцией \ ((x) = x + 1 \) над \ ([0,5]. \)
Область представляет собой трапецию, лежащую на ее стороны, поэтому мы можем использовать формулу площади для трапеции \ (A = \ dfrac {1} {2} h (a + b), \), где h представляет высоту, а a и b представляют две параллельные стороны.5_0x + 1dx = \ dfrac {1} {5} ⋅ \ dfrac {35} {2} = \ dfrac {7} {2} \).
Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)
Найдите среднее значение \ (f (x) = 6−2x \) на интервале \ ([0,3]. \)
Подсказка
Используйте формулу среднего значения и используйте геометрию для вычисления интеграла.
Ответ
3
Ключевые понятия
- 16. Рэмп С.М .: Методы проверки: точные результаты с использованием арифметики с плавающей запятой. Acta Numer. 19 , 287–449 (2010). https://doi.org/10.1017/S0962492005X. http: //www.ti3.tu-harburg.де / круп / интлаб /
- 17.
  Tucker, W .: Проверенные числа: краткое введение в строгие вычисления. Princeton University Press, Princeton (2011)
  MATH Google Scholar