Собственные интегралы: Электронный учебник по математическому анализу

Содержание

Карпук А.Высшая математика для технических университетов. Интегральное исчислениефункций одной переменной (Минск, 2008).


Предисловие ..................................................... 3

Лекция 1.  Определение и свойства неопределенного интеграла ..... 4
Первообразная и неопределенный интеграл и их свойства.
Таблица основных неопределенных интегралов. Непосредственное
интефирование. Интегрирование подстановкой (замена переменной
интефирования). Интегрирование по частям. Задачи и упражнения.

Лекция 2.  Интегрирование рациональных функций ................. 17
Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование
рациональных функций в общем случае. Метод Остроградского.
Задачи и упражнения.

Лекция 3. Интегрирование некоторых иррациональных и
тригонометрических выражений ................................... 26
Интегралы вида  Интегрирование
дифференциального бинома.
Подстановки Чебышева.Интегралы вида . Интегралы вида . Подстановки Эйлера. Интегралы вида . Универсальная тригонометрическая подстановка. Интегралы вида Задачи и упражнения. Лекция 4. Определенный интеграл ............................... 44 Задачи, приводящие к определенному интегралу. Определение интеграла Римана. Интегральные суммы и их свойства. Классы интегрируемых по Риману функций. Основные свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Задачи и упражнения. Лекция 5. Методы вычисления определенных интегралов ........... 61 Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу. Формула Ньютона—Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегралы от четных, нечетных и периодических функций. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. Задачи и упражнения.
Лекция 6. Приближенные методы вычисления определенных интегралов . .................................................... 77
Понятие численного интегрирования. Квадратурные формулы прямоугольников. Квадратурная формула трапеций. Квадратурная формула Симпсона. Задачи и упражнения. Лекция 7. Геометрические приложения определенных интегралов ... 92 Площадь плоской фигуры в прямоугольной декартовой системе координат. Площадь криволинейной трапеции при параметрическом задании ее границы. Площадь плоской фигуры в полярной системе координат. Объем тела по известным площадям его параллельных сечений. Объем тела вращения. Вычисление длины дуги кривой в декартовой системе координат. Вычисление длины дуги кривой в полярной системе координат. Площадь поверхности вращения. Задачи и упражнения. Лекция 8. Физические приложения определенного интеграла ...... 134
Работа переменной силы. Давление жидкости на погруженную в нее вертикальную пластину. Масса неоднородного стержня и плоской кривой. Центр тяжести плоской кривой. Статические моменты плоской кривой. Первая теорема Гульдина. Моменты инерции плоской кривой. Статические моменты, моменты инерции и центр тяжести плоской фигуры. Вторая теорема Гульдина. Задачи и упражнения. Лекция 9. Несобственные интегралы 1-го рода .................. 161 Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Сходимость несобственных интегралов 1-го рода и ее геометрический смысл. Основные свойства несобственных интегралов 1-го рода: линейность, формула Ньютона — Лейбница, замена переменной интегрирования, интегрирование по частям, интегрирование неравенств. Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций (признаки сравнения). Признак Коши. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов Признаки Дирихле и Абеля. Главное значение несобственного интеграла 1-го рода. Задачи и упражнения.
Лекция 10. Несобственные интегралы 2-го рода .................. 184
Несобственные интегралы от неограниченных функций. Сходимость несобственных интегралов 2-го рода и ее геометрический смысл. Основные свойства несобственных интегралов 2-го рода: формула Ньютона—Лейбница, линейность, интегрирование неравенств, интегрирование по частям, замена переменной интегрирования. Признаки сравнения. Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимость. Главное значение несобственного интеграла 2-го рода. Задачи и упражнения. Лекция 11. Собственные интегралы, зависящие от параметра ...... 200
Собственные интегралы, зависящие от параметра, и их непрерывность. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. Правило Лейбница. Интегрирование собственных интегралов, зависящих от параметра. Задачи и упражнения. Лекция 12. Функциональные последовательности .................. 215 Функциональная последовательность и ее сходимость. Равномерная сходимость функциональных последовательностей: непрерывность предела, предельный переход под знаком интеграла и производной. Задачи и упражнения. Лекция 13. Несобственные интегралы, зависящие от параметра .... 227 Понятие несобственного интеграла, зависящего от параметра, и его равномерная сходимость. Признаки равномерной сходимости Вейерштрасса, Коши и Дирихле. Непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость по параметру несобственного интеграла, зависящего от параметра. Формула Фруллани. Понятие несобственного интеграла, зависящего от параметра, от неограниченной функции. Задачи и упражнения.
Лекция 14. Интегралы Эйлера ................................... 244
Гамма-функция: определение, равномерная сходимость, свойства. Формула дополнения. Бета-функция: определение, свойства, связь с гамма-функцией. Применение интегралов Эйлера к вычислению определенных интегралов. Задачи и упражнения. Лекция 15. Асимптотическое интегрирование ..................... 256 Асимптотика одного несобственного интеграла, зависящего от параметра. Асимптотика интегралов , . Интеграл Френеля. Ассимптотическая формула Лапласа для интегралов вида . Формула Стерлинга. Асимптотика интегралов . Задачи и упражнения.
Лекция 16. Элементы дифференциальной геометрии ................ 269
Дифференциал длины дуги кривой. Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента. Кривизна пространственной кривой. Формулы Френе. Кручение кривой. Уравнения характеристик пространственной кривой: уравнения главной нормали, би- нормали, касательной; уравнения нормальной, соприкасаю- щейся и спрямляющей плоскостей сопровождающего трехгранника кривой. Задачи и упражнения. Литература .................................................... 295

02. Определение и вычисление несобственных интегралов от разрывных фу

Если подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке и непрерывна в окрестности этой точки, то говорят о Несобственном интеграле от разрывной функции или Второго рода, который определяют опять-таки через предельный переход следующим образом:

(2)

Несобственный интеграл от разрывной функции ,

Называется сходящимся, если существуют оба конечных предела в правой части соотношения (2), и – расходящимся, если не существует или равен бесконечности хотя бы один из них. Если разрыв подынтегральной функции находится только в одной из граничных точек промежутка интегрирования (a или b), то есть имеет место лишь один предел в правой части соотношения (2), то говорят о несобственном интеграле второго рода с одной особой точкой.

Пример 3. Вычислить несобственные интегралы от разрывных функций или установить их расходимость:

A). б). в). .

Решения. а). Так как точка разрыва подынтегральной функции находится внутри промежутка интегрирования, то разбиваем его на два участка так, чтобы в каждом было по одной особенности на верхнем или нижнем пределе промежутка интегрирования. Итак, имеем:

;

Стало быть, исследуемый интеграл расходится. Если не учитывать, что подынтегральная функция терпит разрыв внутри промежутка интегрирования, то получим, естественно, неверный результат: .

б). Исследуемый интеграл с одной особенностью в точке . Далее имеем: ; стало быть, интеграл сходится и величина его равна .

в). В этом интеграле имеем две особые точки И соответственно на нижнем и верхнем концах промежутка интегрирования. По этой причине исследуемый интеграл разобьём на два интеграла, в каждом из которых будет по одной особенности. Итак, имеем:

; стало быть, исследуемый интеграл сходится и величина его равна .

Упражнение 3. Вычислить интегралы или установить их расходимость:

А). ; б). ; в). .

Как и в случае несобственных интегралов по бесконечному промежутку для сходящихся несобственных интегралов от разрывных функций также сохраняются основные свойства и формулы определенного интеграла.

Пример 4. Вычислить интегралы:

А). ; б). .

Решения. а). Данный интеграл имеет одну особенность в точке , где подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв. Проведём интегрирование по частям: пусть , ; тогда , ; далее имеем:

, так как

. Стало быть, исследуемый интеграл сходится и величина его равна (-4).

б). Данный интеграл имеет одну особенность в точке , подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв. Сделаем замену переменной: пусть , ; если , ; если , ; при этом исходный интеграл преобразуется следующим образом :

Стало быть, исследуемый интеграл сходится и величина его равна .

Как и в случае несобственного интеграла по бесконечному промежутку несобственные интегралы от разрывных функций могут превращаться в собственные интегралы при некоторых заменах переменных. Так, например, вычислим интеграл: Интеграл имеет одну особенность в точке где подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв. Сделаем замену переменной: пусть если если При этом заданный несобственный интеграл преобразуется в собственный интеграл следующим образом: (это уже собственный интеграл )

Несобственные интегралы от разрывных функций в некоторых случаях могут превращаться в собственные интегралы при интегрировании по частям. Так, например, вычислим интеграл: Этот интеграл имеет одну особую точку , где подынтегральная функция обращается в бесконечность. Реализуем метод интегрирования по частям: пусть и , тогда и далее имеем: (это уже собственный интеграл, который равен ).

Упражнение 4. Вычислить интегралы:

А). ; б). ; в). .

< Предыдущая   Следующая >

Глава 2. Собственные интегралы, зависящие от параметра

Пусть определена на , и при каждом значении функция интегрируема по Риману на отрезке . Тогда интеграл

(1)

называют собственным интегралом, зависящим от параметра . Наряду с интегралами вида (1) рассматривают интегралы более общего вида

, (2)

и определены на множестве , и их значения принадлежат .

2. 1. Непрерывность интеграла по параметру

Теорема 1. Если непрерывна в прямоугольнике , тогда непрерывна на . В частности, если непрерывна в прямоугольнике и , то

,

то есть, возможен предельный переход под знаком интеграла.

Теорема 2. Пусть функция непрерывна в прямоугольнике , а функции и непрерывны на отрезке , тогда непрерывна на .

2.2. Дифференцирование по параметру

Теорема 3. (I правило Лейбница).Если и непрерывны на , то дифференцируема на и имеет место формула

.

Теорема 4. (II правило Лейбница).Пусть и непрерывны на , а , имеют непрерывные производные на . Тогда тоже имеет производную на , причем

2.3. Интегрирование по параметру

Теорема 5. Если функция непрерывна в прямоугольнике , то интегрируема на отрезке , и справедливо равенство

.

2.4.Контрольные вопросы и задания

  1. Дайте определение собственного интеграла, зависящего от параметра.

  2. При каких условиях интеграл, зависящий от параметра, является непрерывной функцией?

  1. Найти .

  1. Доказать, что функция непрерывна на .

  1. Найти , если .

  2. Можно ли вычислить по правилу Лейбница , если при .

2.5.Образцы решения типовых задач

Пример 1. Вычислить .

Так как функция непрерывна на , можно применять теорему о непрерывности собственного интеграла с параметром. Имеем

.

Пример 2. Можно ли совершить предельный переход под знаком интеграла

.

Нет, нельзя. Переходя к пределу под знаком интеграла, получим ноль. Если вычислить интеграл, а затем перейти к пределу, то получим

.

Так как в точке функция терпит разрыв, теорему о предельном переходе применять нельзя.

Пример 3. Вычислить .

Рассмотрим функцию . Она непрерывна на прямоугольнике . Применяя теорему об интегрировании собственного интеграла по параметру, имеем

,

так как . Но так как , то .

Пример 4. Найти , если .

Так как функция непрерывно дифференцируема на , -непрерывно дифференцируемы на , непрерывна на , то

.

Глава 3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

3.1. Сходимость.

Равномерная сходимость

Пусть определена на и при каждом функция интегрируема по Риману на любом отрезке , и сходится. Тогда этот интеграл представляет собой функцию , определенную на множестве .

Определение 1. Если для каждого интеграл сходится, то интеграл называется сходящимся на множестве .

Условия при которых для несобственных интегралов, зависящих от параметра, справедливы теоремы, аналогичные для собственных интегралов, основаны на понятии равномерной сходимости интеграла.

Определение 2. Сходящийся на множестве интеграл называется равномерно сходящимся на этом множестве, если для любого существует такое ), что для всех и всех выполняется неравенство

.

В этом определении следует отметить аналогию с функциональными рядами . Равномерная сходимость функционального ряда равносильна равномерному стремлению к нулю остатка ряда .

Теорема 1. (Критерий Коши равномерной сходимости) Для того, чтобы несобственный интеграл равномерно сходился на множестве , необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало такое , что для всех и , удовлетворяющих условиям и и для всех выполнялось неравенство

.

Теорема 2. (sup-критерий равномерной сходимости) Для того, чтобы несобственный интеграл равномерно сходился на множестве , необходимо и достаточно, чтобы

Пример.

.

. Интеграл сходится на множестве неравномерно.

На множестве , сходимость равномерная, так как

.

ЭБ СПбПУ — Математический анализ. Интегралы, зависящие от параметра. Двойные интегралы. Криволинейные интегралы

Название: Математический анализ. Интегралы, зависящие от параметра. Двойные интегралы. Криволинейные интегралы
Авторы: Аксенов Анатолий Петрович
Организация: Санкт-Петербургский государственный технический университет. Физико-механический факультет
Выходные сведения: Санкт-Петербург, 2002
Коллекция: Учебная и учебно-методическая литература; Общая коллекция
Тематика: Интегралы; двойные интегралы; криволинейные интегралы; собственные интегралы; несобственные интегралы; кривые поверхности; интегралы Эйлера
УДК: 517. 37(075.8)
Тип документа: Учебное издание
Тип файла: PDF
Язык: Русский
Права доступа: Свободный доступ из сети Интернет (чтение, печать, копирование)
Расчет

— Какое условие определяет правильный интеграл?

исчисление — Какое условие определяет правильный интеграл? — Обмен математическим стеком
Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 176 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange
  1. 0
  2. +0
  3. Авторизоваться Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил

Просмотрено 265 раз

$ \ begingroup $

Я читаю Задач по исчислению одной переменной И. {a} _ {b} f (x) \ text {dx} $ — правильный интеграл, если $ \ lim_ {t \ to + b} f (x) $ — конечное значение и $ b \ neq \ infty $?

Создан 21 сен.

nlsnls

8,1996 золотых знаков2424 серебряных знака4949 бронзовых знаков

$ \ endgroup $ 1 $ \ begingroup $

Существует два вида несобственных интегралов на прямой:

  • Те, в которых область интеграции неограничена, с одной или обеих сторон (например,\ infty \ frac1 {(x + 1) \ sqrt x} \ dx = \ pi $). Интеграл является правильным тогда и только тогда, когда он удовлетворяет и из этих условий: область интегрирования и подынтегральное выражение ограничены.

    Следовательно, данные интегралы являются правильными, несмотря на их неопределенные точки, потому что в этих точках существуют конечные пределы (приближение на пути полностью в области интегрирования).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск