сравнение чисел — «Шпаргалка ЕГЭ»

Решение задачи

В видео уроке показано решение задачи ОГЭ по математике на тему «координатная прямая: сравнение чисел». Анализируется условие задачи. Рассматривается отдельно каждый ответ с целью определения наименьшего, а затем наибольшего значений, для их последующего расположения в порядке возрастания (от меньшего к большему).
В ходе решения используется принципы:
— нахождение квадрата целого числа;
— «избавление» от иррациональности в знаменателе;
— выделение целого числа из неправильной дроби;
— введение (и выведение) числа под знак (из-под знака) корня;
— сравнение величин корней чисел на основе сравнения самих чисел;
— определение большего и меньшего значения при сравнении двух чисел;
— отображение чисел на координатной прямой;
После тождественных преобразований и получения промежуточных результатов, проводится анализ того, какое из полученных выражений наибольшее (т.е. лежит правее всех остальных на координатной прямой), а какое – наименьшее (соответственно лежит левее всех остальных на координатной прямой). Используется принцип соответствия величины числа и месте его расположения на координатной прямой: «что больше – то правее, и наоборот». Таким образом выясняется, что точке А координатной прямой соответствует значение выражения 3), точке B–1), точке C–4) и D–2). Записывается конечный ответ: 3142.

Решение данной задачи поможет ученикам 9 класса при подготовке к ОГЭ. Данный видео урок также предназначен для учащихся 8-10 и 11 классов при изучении тем: «Понятие квадратного корня из неотрицательного числа», «Иррациональные числа», «Свойства квадратных корней», «Внесение множителя под знак корня», «Вынесение множителя из-под знака корня», «Преобразование рациональных выражений», «Преобразование иррациональных выражений».

Положительные и отрицательные числа. Координатная прямая

1.	Положительные и отрицательные числа	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Выбор чисел из данных.
2.	Температура воздуха	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Определение изменения температуры.
3.	Расположение двух чисел на координатной прямой	2 вид — интерпретация	лёгкое	1 Б.	Расположение двух чисел на координатной прямой (слева, справа).
4.	Координата точки	2 вид — интерпретация	лёгкое	1 Б.	Координата точки, рисунок.
5.	Название точки	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Название точки, рисунок.
6.	Расстояние до нуля	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Сравнение расстояний до нуля.
7.	Точка, симметричная данной относительно точки 0	1 вид — рецептивный	среднее	2 Б.	Определение координаты точки, симметричной данной относительно точки \(0\).
8.	Расстояние между точками на координатной прямой	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Расстояние между точками на координатной прямой.
9.	Неотрицательные и неположительные числа	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Неотрицательные и неположительные числа, выбор чисел.
10.	Координата точки, симметричной данной точке	2 вид — интерпретация	сложное	4 Б.	Координата точки, симметричной данной точке. Центр симметрии — точка с заданной координатой.
11.	Координата центра симметрии	2 вид — интерпретация	сложное	4 Б.	Координата центра симметрии.
12.	Координаты трёх точек	2 вид — интерпретация	сложное	3 Б.	Координаты трёх точек.

Разработка урока «Сравнение чисел»

Тема: «Сравнение чисел»

Цели:

• Вывести вместе с учащимися правила сравнения положительных и отрицательных чисел;

• Учить сравнивать рациональные числа;

• Способствовать развитию наблюдательности, самостоятельности, умения анализировать, сравнивать,

• Воспитывать познавательную активность, инициативу учащихся.

• Формировать умения работать в группе;

Ход урока.

I. Оргмомент.

– Здравствуйте ребята. Садитесь!

В течение нескольких уроков мы изучаем новые для вас числа. Мы познакомились с понятиями положительное число, отрицательное число, противоположные числа, целые числа.

— А сейчас я прочитаю вам четверостишие, а вы попробуйте определить тему нашего урока и чем мы будем заниматься сегодня на уроке, т.е. цель нашего урока.

Числа отрицательные новые для нас

Лишь совсем недавно изучил наш класс

Сразу же прибавилось нам теперь мороки:

Изучить все правила сравнения на уроке.

— И так, вы правильно определили тему « Сравнение чисел» и на уроке мы будем учиться сравнивать числа.

А как успешно мы это выполним, узнаем в конце урока. Когда отправим в путешествие в страну знаний.

Девизом урока будут слова И.Гёте

«Цифры (числа) не управляют миром,

но они показывают, как управляется мир».

II. Актуализация знаний.

— Ребята, давайте вспомним название главы, которую мы начали изучать несколько уроков назад.

— Правильно! Рациональные числа.

— Изучение этой большой темы мы начали необычным образом. Мы разработали большой тематический проект. Вспомним его основные моменты.

Проект «Рациональные числа»

Проблемный вопрос:

Чем определена необходимость введения в математику рациональных чисел?

Цель исследования:

Выяснить, для чего необходимы рациональные числа в математике.

Задачи проекта:

• Осознать, что введение в математику рациональных чисел обусловлено потребностями практики, а также внутренними потребностями математики;

• Познакомиться с понятиями: координатная прямая, координата точки, положительные числа, отрицательные числа, противоположные числа, целые числа;

• Установить связь между числами и их положением на координатной прямой;

• Вывести правила сравнения рациональных чисел;

• Познакомиться с правилами сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел;

• Познакомиться с правилами умножения и деления положительных и отрицательных чисел; с понятием рационального числа;

Гипотеза:

Использование рациональных чисел необходимо в математике.

Ход исследования:

• Рассмотреть ряд ситуаций, указывающих на недостаточность наличия только положительных чисел;

• Изучить дополнительную литературу для того, чтобы узнать историю возникновения отрицательных чисел;

• Познакомились с понятиями: координатная прямая, координата точки, положительные числа, отрицательные числа, противоположные числа;

• Отработать навыки работы с координатной прямой на практических упражнениях;

• Научиться сравнивать рациональные числа;

• Отрабатывать умение выполнять сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел;

• Формировать умение выполнять умножение и деление положительных и отрицательных чисел;

• Формировать умения работы с рациональными числами;

— Сегодня на уроке мы постараемся разработать и защитить мини — проекты по теме «Сравнение чисел» и тем самым исследовать еще одну задачу проекта.

(для этого класс разделен на 4 группы по 4-5 человек, каждая группа сидит отдельно за своим столом)

III. Устный счет.

Прежде чем приступить к основному этапу исследования необходимо повторить пройденный материал, который потребуется нам для исследования.

А вам ребята, следующее задание.

1. Назовите координаты точек, изображенных на координатной прямой

— Назовите точки, которые лежат левее нуля, правее нуля.

— Где на координатной прямой расположена точка с меньшей координатой?

— Где на координатной прямой расположена точка с большей координатой?

-Какие координаты точек, которые лежат левее нуля, правее нуля?

2. Между какими целыми числами на координатной прямой расположено число:

а) 2,6 б) -3 в) 0 г) -0,8

3. Сравните числа:

2,5 и 2,1

½ и 0,5

11/9 и 1

1 и 12/17

4/5 и 7/10

4. Игра «Найди соответствие»

7 -0,1

5,3 -1/2

-0,1 -5,3

0,5 -7

5. «Восстанови равенство»

│12│=

│7,08│=

│- 6,32│=

│0│=

│ -72│=

IV. Изучение нового материала.

– Молодцы! С первым заданием вы справились. А теперь пора перейти к исследованию.

— Каждая группа получает свой мини — проект на исследование правила сравнения.

Исследование осуществляется по алгоритму.

Пользуясь алгоритмом исследования, вы его выполняете. А потом защищаете проект правила сравнения. (8-10 мин)

Мини – проекты

I группа. Вывести правило сравнения двух отрицательных чисел.

II группа. Вывести правило сравнения отрицательных чисел и нуля.

III группа. Вывести правило сравнения положительных чисел и нуля.

IV группа. Вывести правило сравнения положительных и отрицательных чисел.

На доске готовится запись:

I. II. III. IV.

Отриц. число и нуль

Пол. число и нуль

Отриц. и пол. число

Защита мини – проектов.

– На сколько вы нас убедили, проверим сейчас на примере.

Алгоритмы исследования.

Группа 1.

1. Отметьте точки на координатной прямой: А(3), В( 5), С(2), D(1,5), O(0).

2. Объясните, как расположены точки относительно нуля?

3. Сравните с помощью координатной прямой числа:

3 и 0 5 и 0 2 и 0 1,5 и 0

4. Сформулируйте правило сравнения любого положительного числа и нуля.

Приведите свои примеры.

Группа 2.

1. Отметьте на координатной прямой точки: А(-3), В( -5), С(-2), D(-1,5), O(0).

2. Объясните, как расположены точки относительно нуля?

3. Что говорят про координату точки, которая расположена левее.

4. Сравните с помощью координатной прямой числа:

-3 и 0 -5 и 0 0 и -2 0 и -1,5

5. Сделайте вывод о сравнении любых отрицательных чисел с нулем.

Приведите свои примеры.

Группа 3

1. Отметьте на координатной прямой точки: А(-3), В( -2).

2. Точка, с какой координатой лежит левее?

3. Найдите модули этих чисел.

4. Сравните модули. Какой из двух модулей больше?

5. Сравните числа -3 и -2. Какое число будет меньше?

6. Какое из двух отрицательных чисел будет меньше?

7. Сделайте вывод.

8. Отметьте на координатной прямой точки: С(-5), D(-1).

9. Точка с какой координатой лежит правее?

10. Найдите модули этих чисел.

11. Сравните модули. Какой из двух модулей меньше?

12. Сравните числа -3 и -2. Какое число будет больше?

13. Какое из двух отрицательных чисел будет больше?

14. Сделайте вывод.

Приведите свои примеры.

Группа 4.

1. Отметьте на координатной прямой точки: А(-5), В( 2), С(-0,5), D(4), O(0).

2. Точки с какими координатами лежат левее точки О(0), какие правее О(0)?

3.Выполните сравнение:

-5 и 2 -0,5 и 2 4 и -0,5 -5 и 4 -0,5 и 4

4. Какое больше из чисел положительное или отрицательное?

5. Сформулируйте правило сравнения отрицательных и положительных чисел.

Приведите свои примеры.

— И так, результатом нашего исследования стали правила сравнения.

(зачитываются правила).

V. Закрепление материала.

1) Работа с учебником.

— Ребята, откройте ваши учебники на странице …

-Найдите в тексте учебника эти правила. Прочитайте еще раз. Отметьте их карандашом. И выучите к следующему уроку.

-А сейчас закрепим правила на практике, выполним № …

( каждый ученик у доски выполняет по одному неравенству, опираясь на правила)

2) « Покажи знания»

— Проверим, как вы усвоили новый материал, выполнив небольшое тестирование. Ребята на столе у вас лежат тестовые задания, выполните их. Каждый сам рассчитывает только на свои силы.

На листочке с тестом напишите фамилию, номер правильного ответа обведите кружком.

Проверим работу, если задание выполнено верно ставим знак «+» , не верно «-»

Тест.

1.Укажите верное неравенство.

1)-5>2;

2)-20<-40;

3)-48<-36;

4)0<-15;

2. Укажите неверное неравенство.

1)4>0;

2)-5>-4;

3)7>-12;

4)0>-9;

3.Расположите числа -100, -200 и 50 в порядке возрастания

1)-100, -200,50;

2)50, -100, -200;

3)-200, -100,50;

4)50, -200,-100;

4.Укажите наименьшее число.
1) -13,97;
2) 6,3;
3) 53,8;
4) 0;

5.Сколько целых чисел удовлетворяют неравенству

-8 < х< 4?

1)12;

2)10;

3)9;

4)11;

Проверяем

3) Расшифруй слово.

— Для того, чтобы расшифровать слово вам необходимо расставить числа в порядке возрастания. Затем заменить каждое число буквой.

У вас получится слово. Что означает это слово, мы узнаем из следующего слайда.

Расшифрованное слово запишите в тетради.

Ответ: БРАХМАГУПТА

Историческая справка.

Брахмагупта – индийский математик, который жил в VII веке. Одним из первых он начал использовать положительные и отрицательные числа. Положительные числа он называл «имущество», отрицательные – «долги».

VI. Подведение итогов.

— Вернемся к нашему большому проекту и той задаче, которую мы с вами определили для исследования на уроке: вывести правила сравнения чисел.

Как вы думаете, справились мы с этой задачей? Научились ли мы сравнивать числа?

Повторим эти правила в следующем задании. Вопрос для каждого цеха по очереди.

«Установи истину»

1.Положительное число всегда больше отрицательного.

2. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого больше.

3.Отрицательное число всегда меньше нуля.

4. Положительное число всегда меньше нуля.

7. Д/з. Рефлексия.

Ребята у вас на столе лежат смайлики трех видов:

— Я хорошо понял, как сравнивают числа

— Я не все понял, у меня были ошибки

— Я не понял, как сравнивают числа

Ваша задача выберите смайлик своего успеха на уроке.

Молодцы. Спасибо за урок!

Неравенства, сравнение чисел, математических выражений, обозначение, примеры, тесты

Тестирование онлайн

Сравнение чисел

Координатная прямая — это прямая с выбранными на ней началом отсчета, направлением и единичным отрезком.

Направление вправо от нуля считают положительным, влево — отрицательным.

Каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой и наоборот, каждая точка — единственное число.

Обозначение:

Из двух чисел то больше, которое на координатной прямой расположено правее.

1) Всякое положительное число больше нуля и отрицательного числа;

2) Всякое отрицательное число меньше нуля;

3) Из двух отрицательных чисел больше то, которое без учета знака меньше. Например, -3,8>-5,1

Неравенства

Если два математических выражения A и В соединить одним из знаков , то получим неравенство.

Неравенство называется числовым, если каждая из его частей является числовым выражением.

Неравенство может быть верным (если представляет собой истину) или неверным.

Неравенства называются строгими. Неравенства называются нестрогими. Нестрогое неравенство означает, что либо , либо

Вместо двух неравенств употребляется запись . Такое неравенство называется двойным.