Возведение в степень произведения и степени

 

               Возведение в степень произведения и степени

Вспомнив переместительное и сочетательное свойства умножения, мы с помощью примера показываем, как возвести произведение в степень, и формулируем правило. Аналогично, на примере выясняем, как возвести степень в степень, и также формулируем правило. В конце урока решаем примеры для закрепления полученных знаний на практике.

Конспект урока «Возведение в степень произведения и степени»

  

Вопросы занятия:

·  повторить переместительное и сочетательное свойство умножения;

·  на примере показать, как возвести произведение в степень;

·  сформулировать правило возведения произведения в степень.

Материал урока

Прежде, чем приступить к изучению нового материала, вспомним, что:

Также вспомним переместительное и сочетательное свойства умножения.

А теперь давайте преобразуем выражение:

Вообще, для любых чисел а и b и натурального числа n верно равенство:

Таким образом, можем сформулировать определение.

Чтобы возвести в степень произведение, нужно каждый множитель возвести в эту степень и результаты перемножить.

Например,

Следует также отметить, что свойство степени произведения распространяется на степень трёх и более множителей.

А теперь разберёмся с возведением степени в степень. Для этого рассмотрим выражение, которое представляет собой степень, основание которой само является степенью.

Вообще, для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n верно равенство:

Сформулируем определение.

При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели степеней перемножают.

Например,

Пример.

Пример.

 

Что такое степень числа. Возведение в степень произведение и частного Сформулируйте правило возведения в степень произведения

Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

Число c является n -ной степенью числа a когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

a m ·a n = a m + n .

2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

(a/b) n = a n /b n .

5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

(a m) n = a m n .

Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .

Операции с корнями.

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

Формулу a m :a n =a m — n можно использовать не только при m > n , но и при m n .

Например . a 4:a 7 = a 4 — 7 = a -3 .

Чтобы формула a m :a n =a m — n стала справедливой при m=n , нужно присутствие нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

Например . 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n , необходимо извлечь корень n -ой степени из m -ой степени этого числа а .

Основная цель

Ознакомить учащихся со свойствами степеней с натуральными показателями и научить выполнять действия со степенями.

Тема “ Степень и её свойства ” включает три вопроса:

• Определение степени с натуральным показателем.
• Умножение и деление степеней.
• Возведение в степень произведения и степени.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение степени с натуральным показателем, большим 1. Приведите пример.
2. Сформулируйте определение степени с показателем 1. Приведите пример.
3. Каков порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, содержащего степени?
4. Сформулируйте основное свойство степени. Приведите пример.
5. Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Приведите пример.
6. Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Приведите пример.
7. Сформулируйте правило возведения в степень произведения. Приведите пример. Докажите тождество (ab) n = a n b n .
8. Сформулируйте правило возведения степени в степень. Приведите пример. Докажите тождество (а m) n = а m n .

Определение степени.

Степенью числа a с натуральным показателем n , большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а . Степенью числа а с показателем 1 называется само число а .

Степень с основанием а и показателем n записывается так: а n . Читается “ а в степени n ”; “ n- я степень числа а ”.

По определению степени:

а 4 = а а а а

. . . . . . . . . . . .

Нахождение значения степени называют возведением в степень .

1. Примеры возведения в степень:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Найти значения выражений:

а) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

б) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Вариант 1

а) 0,3 0,3 0,3

в) b b b b b b b

г) (-х) (-х) (-х) (-х)

д) (ab) (ab) (ab)

2. Представьте в виде квадрата числа:

3. Представьте в виде куба числа:

4. Найти значения выражений:

в) -1 4 + (-2) 3

г) -4 3 + (-3) 2

д) 100 — 5 2 4

Умножение степеней.

Для любого числа а и произвольных чисел m и n выполняется:

a m a n = a m + n .

Доказательство:

Правило : При умножении степеней с одинаковыми основаниями основания оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

а) х 5 х 4 = х 5 + 4 = х 9

б) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

в) b 2 b 5 b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

г) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

д) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

а) 2 3 2 = 2 4 = 16

б) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

Вариант 1

1. Представить в виде степени:

а) х 3 х 4 е) х 2 х 3 х 4

б) а 6 а 2 ж) 3 3 9

в) у 4 у з) 7 4 49

г) а а 8 и) 16 2 7

д) 2 3 2 4 к) 0,3 3 0,09

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 2 2 2 3 в) 8 2 5

б) 3 4 3 2 г) 27 243

Деление степеней.

Для любого числа а0 и произвольных натуральных чисел m и n, таких, что m>n выполняется:

a m: a n = a m — n

Доказательство:

a m — n a n = a (m — n) + n = a m — n + n = a m

по определению частного:

a m: a n = a m — n .

Правило : При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Определение: Степень числа а, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице :

т.к. а n: a n = 1 при а0 .

а) х 4:х 2 = х 4 — 2 = х 2

б) у 8:у 3 = у 8 — 3 = у 5

в) а 7:а = а 7:а 1 = а 7 — 1 = а 6

г) с 5:с 0 = с 5:1 = с 5

а) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

б) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

в)

г)

д)

Вариант 1

1. Представьте в виде степени частное:

2. Найдите значения выражений:

Возведение в степень произведения.

Для любых а и b и произвольного натурального числа n:

(ab) n = a n b n

Доказательство:

По определению степени

(ab) n =

Сгруппировав отдельно множители а и множители b, получим:

=

Доказанное свойство степени произведения распространяется на степень произведения трех и более множителей.

Например:

(a b c) n = a n b n c n ;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

Правило : При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результат перемножают.

1. Возвести в степень:

а) (a b) 4 = a 4 b 4

б) (2 х у) 3 =2 3 х 3 у 3 = 8 х 3 у 3

в) (3 а) 4 = 3 4 а 4 = 81 а 4

г) (-5 у) 3 = (-5) 3 у 3 = -125 у 3

д) (-0,2 х у) 2 = (-0,2) 2 х 2 у 2 = 0,04 х 2 у 2

е) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Найти значение выражения:

а) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

б) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000

в) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

г) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

д)

Вариант 1

1. Возвести в степень:

б) (2 а с) 4

д) (-0,1 х у) 3

2. Найти значение выражения:

б) (5 7 20) 2

Возведение в степень степени.

Для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n:

(а m) n = а m n

Доказательство:

По определению степени

(а m) n =

Правило: При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают .

1. Возвести в степень:

(а 3) 2 = а 6 (х 5) 4 = х 20

(у 5) 2 = у 10 (b 3) 3 = b 9

2. Упростите выражения:

а) а 3 (а 2) 5 = а 3 а 10 = а 13

б) (b 3) 2 b 7 = b 6 b 7 = b 13

в) (х 3) 2 (х 2) 4 = х 6 х 8 = х 14

г) (у у 7) 3 = (у 8) 3 = у 24

а)

б)

Вариант 1

1. Возвести в степень:

а) (а 4) 2 б) (х 4) 5

в) (у 3) 2 г) (b 4) 4

2. Упростите выражения:

а) а 4 (а 3) 2

б) (b 4) 3 b 5+

в) (х 2) 4 (х 4) 3

г) (у у 9) 2

3. Найдите значение выражений:

Приложение

Определение степени.

Вариант 2

1ю Запишите произведение в виде степени:

а) 0,4 0,4 0,4

в) а а а а а а а а

г) (-у) (-у) (-у) (-у)

д) (bс) (bс) (bс)

2. Представьте в виде квадрата числа:

3. Представьте в виде куба числа:

4. Найти значения выражений:

в) -1 3 + (-2) 4

г) -6 2 + (-3) 2

д) 4 5 2 – 100

Вариант 3

1. Запишите произведение в виде степени:

а) 0,5 0,5 0,5

в) с с с с с с с с с

г) (-х) (-х) (-х) (-х)

д) (ab) (ab) (ab)

2. Представьте в виде квадрата числа: 100 ; 0,49 ; .

3. Представьте в виде куба числа:

4. Найти значения выражений:

в) -1 5 + (-3) 2

г) -5 3 + (-4) 2

д) 5 4 2 — 100

Вариант 4

1. Запишите произведение в виде степени:

а) 0,7 0,7 0,7

в) х х х х х х

г) (-а) (-а) (-а)

д) (bс) (bс) (bс) (bc)

2. Представьте в виде квадрата числа:

3. Представьте в виде куба числа:

4. Найти значения выражений:

в) -1 4 + (-3) 3

г) -3 4 + (-5) 2

д) 100 — 3 2 5

Умножение степеней.

Вариант 2

1. Представить в виде степени:

а) х 4 x 5 е) х 3 х 4 х 5

б) а 7 а 3 ж) 2 3 4

в) у 5 у з) 4 3 16

г) а а 7 и) 4 2 5

д) 2 2 2 5 к) 0,2 3 0,04

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 3 2 3 3 в) 16 2 3

б) 2 4 2 5 г) 9 81

Вариант 3

1. Представить в виде степени:

а) а 3 а 5 е) у 2 у 4 у 6

б) х 4 х 7 ж) 3 5 9

в) b 6 b з) 5 3 25

г) у у 8 и) 49 7 4

д) 2 3 2 6 к) 0,3 4 0,27

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 3 3 3 4 в) 27 3 4

б) 2 4 2 6 г) 16 64

Вариант 4

1. Представить в виде степени:

а) а 6 а 2 е) х 4 х х 6

б) х 7 х 8 ж) 3 4 27

в) у 6 у з) 4 3 16

г) х х 10 и) 36 6 3

д) 2 4 2 5 к) 0,2 2 0,008

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 2 6 2 3 в) 64 2 4

б) 3 5 3 2 г) 81 27

Деление степеней.

Вариант 2

1. Представьте в виде степени частное:

2. Найдите значения выражений:

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Понятие возведения в степень

Начнем с формулирования базовых определений.

Определение 1

Возведение в степень — это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова «вычисление значение степени» и «возведение в степень» означают одно и то же. Так, если в задаче стоит «Возведите число 0 , 5 в пятую степень», это следует понимать как «вычислите значение степени (0 , 5) 5 .

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен a . Это можно записать так:

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Пример 1

Условие: возведите — 2 в степень 4 .

Решение

Используя определение выше, запишем: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16 .

Возьмем пример посложнее.

Пример 2

Вычислите значение 3 2 7 2

Решение

Данную запись можно переписать в виде 3 2 7 · 3 2 7 . Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Пример 3

Выполните возведение в квадрат числа π .

Решение

Для начала округлим его до сотых. Тогда π 2 ≈ (3 , 14) 2 = 9 , 8596 . Если же π ≈ 3 . 14159 , то мы получим более точный результат: π 2 ≈ (3 , 14159) 2 = 9 , 8695877281 .

Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени (ln 6) 3 или преобразовать, если это возможно: 5 7 = 125 5 .

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Пример 4

Так, (− 9) 1 = − 9 , а 7 3 , возведенное в первую степень, останется равно 7 3 .

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени — целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1 . Ранее мы уже поясняли, что 0 -я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0 , и a 0 = 1 .

Пример 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 — не определен.

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1 a z , где а — любое число, а z — целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.

Пример 6

Возведите 2 в степень — 3 .

Решение

Используя определение выше, запишем: 2 — 3 = 1 2 3

Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .

Тогда ответ таков: 2 — 3 = 1 2 3 = 1 8

Пример 7

Возведите 1 , 43 в степень — 2 .

Решение

Переформулируем: 1 , 43 — 2 = 1 (1 , 43) 2

Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

В итоге у нас вышло (1 , 43) — 2 = 1 (1 , 43) 2 = 1 2 , 0449 . Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).

Ответ: (1 , 43) — 2 = 10000 20449

Отдельный случай — возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a — 1 = 1 a 1 = 1 a .

Пример 8

Пример: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 — 1 = 13 9 6 4 — 1 = 1 6 4 .

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: a m n = a m n при любом положительном a , целом m и натуральном n .

Определение 2

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n -ной степени.

У нас есть равенство a m n = a m n , которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде a m n = a n m . Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m / n , то сначала мы извлекаем корень n -ной степени из а, потом возводим результат в степень с целым показателем m .

Проиллюстрируем на примере.

Пример 9

Вычислите 8 — 2 3 .

Решение

Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8 — 2 3 = 8 — 2 3

Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата: 8 — 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8 — 2 3 = 8 — 2 3 = 8 3 — 2

После этого извлечем корень 8 3 — 2 = 2 3 3 — 2 = 2 — 2 и результат возведем в квадрат: 2 — 2 = 1 2 2 = 1 4

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.

Пример 10

Возведите 44 , 89 в степень 2 , 5 .

Решение

Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь: 44 , 89 2 , 5 = 44 , 89 5 2 .

А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501 , 25107

Ответ: 13 501 , 25107 .

Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями — довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0 m n можно придать такой смысл: если m n > 0 , то 0 m n = 0 m n = 0 ; если m n

Как возвести число в иррациональную степень

Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считают на компьютере из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a , то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:

Пример 11

Вычислите приближенное значение 2 в степени 1,174367….

Решение

Ограничимся десятичным приближением a n = 1 , 17 . Проведем вычисления с использованием этого числа: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Если же взять, к примеру, приближение a n = 1 , 1743 , то ответ будет чуть точнее: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 , 1743 ≈ 2 , 256833 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1

Произведение степеней

Запомните!

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

a m · a n = a m + n , где «a » — любое число, а «m », «n » — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

• Упростить выражение.
  b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Представить в виде степени.
  6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
• Представить в виде степени.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Важно!

Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

Свойство № 2

Частное степеней

Запомните!

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

= 11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44

Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 − 4

Ответ: t = 3 4 = 81

Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

• Пример. Упростить выражение.
  4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.
  = = = = = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Важно!

  Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

  Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

  Будьте внимательны!

  Свойство № 3

  
  Возведение степени в степень

  Запомните!

  При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

  (a n) m = a n · m , где «a » — любое число, а «m », «n » — любые натуральные числа.

  
  

  Свойства 4

  
  Степень произведения

  Запомните!

  При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

  (a · b) n = a n · b n , где «a », «b » — любые рациональные числа; «n » — любое натуральное число.

  • Пример 1.
    (6 · a 2 · b 3 · c) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
    
  • Пример 2.
    (−x 2 · y) 6 = ((−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6) = x 12 · y 6

  Важно!

  Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

  (a n · b n)= (a · b) n

  То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

  • Пример. Вычислить.
    2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Пример. Вычислить.
    0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1

  В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

  Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216
  

  Пример возведения в степень десятичной дроби.

  4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

  Свойства 5

  
  Степень частного (дроби)

  Запомните!

  Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

  (a: b) n = a n: b n , где «a », «b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

  • Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

Тема урока: Возведение в степень произведения, частного и степени

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний

Формируемые результаты:

Предметные. Закрепить навыки применения свойств степени с натуральным показателем

Личностные. Формировать умение планировать свои действия в соответствии с учебным заданием

Метапредметные. Развивать понимание сущности алгебраических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом

Планируемые результаты: Учащиеся научится применять свойства степени с натуральным показателем для вычисления значения выражений и преобразование выражений, содержащих степени.

Оборудование: карточки, мультимедийный проектор, сигнальные карточки для рефлексии.

Организационная структура урока:

1 . Организационный момент.

Здравствуйте, дорогие ребята! Я очень рада вас видеть. Начнем урок математики

Какие трудности были при выполнении д/з?

Рефлексия.

Перед каждым учеником лежат кружки трёх цветов: красный, зеленый, синий.

Расскажите мне о своём настроении с помощью цветных кружочков (красный – радостное, я уверен, что на уроке узнаю много нового, уверен в своих знаниях.

Зелёный – спокойное; я уверен в своих знаниях.

Синий – тревожное; я не уверен в себе).

Я немного подниму вам настроение словами Пуассона: «Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и её преподаванием».

Давайте украшать нашу жизнь!

2. Сообщение темы и цели урока.

Сегодня мы продолжим изучение темы: «Возведение в степень произведения частного и степени»,

закрепим все изученные действия со степенями,

будем учиться рассуждать, логически мыслить и доказывать свою точку зрения.

3. Блиц-опрос по правилам темы.

Как перемножить степени с одинаковыми основаниями? Приведите примеры.

Как поделить степени с одинаковыми основаниями?

Чему равна степень числа а, не равного 0, с нулевым показателем?

Как возвести в степень произведение?

Как возвести степень в степень?

4. Устный счет.

Кому принадлежат эти слова?

«Среди всех наук, открывающих человеку путь к познанию законов природы, самая могущественная, самая великая наука – математика».

/Софья Васильевна Ковалевская/

Первая женщина – ученый-математик.

Вы узнаете, выполнив задания устного счета.

К – Чему равна сторона квадрата, если его площадь равна 49см 2 . (7см)

О – Квадрат какого числа равен ? ()

В – х 3 х 4 (х 7 )

А – х 6 : х 2 (х 4 )

Л – (х 3 ) 3 (х 9 )

Е —
(m 3 )

В —
(m 8 )

С —
(m 10 )

К – (- 2) 3 (-8)

А — — 2 2 (-4)

Я — 2 0 (1)

5. Закрепление изученного.

Мы повторили правила возведения произведения в степень и степени в степень.

Теперь закрепим на практических заданиях.

Несколько человек займутся исследованием. (Слайд)

Работа в парах.

1) Докажите, что квадраты противоположных чисел равны.

2) Докажите, что кубы противоположных чисел противоположны.

3) Как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 2 раза; в 3 раза; в 10 раз; в n раз?

4) Как изменится объём куба, если его ребро увеличить в 2 раза; в 3 раза; в 10 раз; в n раз?

6. Рефлексия: покажите мне своё настроение.

7. Физминутка: «Согласен – не согласен»

Качните головой, если согласны со мной или нет.

1) (у 2 ) 3 = у 5 (нет)

2) (-3) 3 = -27 (да)

3) (-х) 2 = -х 2 (нет)

4) График функции у = 1,3х проходит через начало координат. (да)

8.

3 · () 2 – 0,5 2

а) -1; б) — 1; в) -1; г) 1

2) Упростите выражение:

а) m 10 ; б)m 4 ; в) m 2 ; г) m 8 .

3) Вычислите:

А) 3; б) 9; в) : г)

4) Какое выражение надо подставить вместо (*), чтобы получилось тождество:

Х 8 : (*) = х 4

А) х 4 ; б) х 2 ; в) х 8 ; г) х 12

Проверка теста по слайду:

9. Поиграем «Найди ошибку!»

1) а 15 : а 3 = а 5

2) –z · z 5 · z 0 = — z 6 — верно

3)
=

4)(у 4 у) 2 = у 10 — верно

Выпишите неверные задания и решите верно.

10. Итог урока.

Чему научились на уроке?

11. Д/з

№ 458, 457 (слайд)

Доклады о С.В. Ковалевской.

12. Рефлексия.

Покажите, с какими чувствами вы уходите с урока?

Слайд: Удачи!

ФИ:

Самостоятельная работа. (тест)

1) Найдите значение выражения:

3· () 2 – 0,5 2

а) -1; б) — 1; в) -1; г) 1

2) Упростите выражение:

а) m 10 ; б)m 4 ; в) m 2 ; г) m 8 .

3) Вычислите:

а) 3; б) 9; в) : г)

4) Какое выражение надо подставить вместо (*), чтобы получилось тождество:

х 8 : (*) = х 4

а) х 4 ; б) х 2 ; в) х 8 ; г) х 12

Оценка:

Самостоятельная работа. (тест)

1) Найдите значение выражения:

3· () 2 – 0,5 2

а) -1; б) — 1; в) -1; г) 1

2) Упростите выражение:

Технологическая карта урока алгебры в 7 классе по теме «Возведение в степень произведения и степени»

Стародымова Г.Д.,

учитель математики МБОУ СОШ № 38,

г. Сургут

Технологическая карта урока алгебры в 7 классе по теме «Возведение в степень произведения и степени»

Тип урока:

 урок оргодеятельстного типа

Авторы учебника:

учебник «Алгебра, 7 класс.», авторы Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е.Феоктистов. — М.: Мнемозина, 2012г.  

Цель урока:

Cоздать условия для овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, при изучении смежных дисциплин, продолжения образования.

Задачи урока:

Образовательная: закрепить у учащихся умение преобразовывать числовые и буквенные выражения, содержащие степень, совершенствовать вычислительный навык, включая округление и оценку результатов действий.

Развивающая: способствовать формированию метапредметных умений, развивать познавательные процессы, память, воображение, наблюдательность, расширение кругозора.

Воспитательная: воспитание ответственного отношения к труду, воли и настойчивости в достижении конечных результатов, ответственного отношения к коллективной деятельности, умения оценивать свою работу и работу товарищей; воспитание культуры математической речи.

Планируемые образовательные результаты (личностные, метапредметные, предметные):

 Проявлять внимание и интерес к учебному процессу, умение анализировать, оценивать ситуацию, оценивать собственную учебную деятельность и деятельность одноклассников, свои достижения и достижения одноклассников, сравнивать различные точки зрения, умение ясно и точно излагать свои мысли. Планировать цель деятельности до получения результата, планировать решение задачи, вносить изменения в процесс, воспроизводить информацию по памяти, необходимую для решения задачи, сравнивать различные объекты, воспринимать текст с учетом поставленной учебной задачи. Владеть символьным языком математики, владение навыками выполнения устных и письменных вычислений, включая округление и оценку, владение навыками преобразования числовых и буквенных выражений, содержащих степень.

Оборудование:

 Учебник, мультимедиа проектор, компьютер, презентация, оценочный лист.

 

Организационный момент

Дидактические задачи этапа: подготовка учащихся к работе на уроке, обеспечение мотивации и принятия учащимися цели и познавательной деятельности на уроке.

Слайд 1

Зачем учить математику?

В1267 году на этот вопрос английский философ Роджер Бэкон ответил так:

«Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества».

Приветствие учащихся, проверка наличия всех учащихся на уроке, проверка готовности класса к уроку.

Постановка целей и задач урока.

Предлагает в конце урока ответить на вопрос «Зачем вам нужна математика?»

Приветствуют учителя, организуют свое рабочее место. В тетрадях записывают число, классная работа.

Ставят себе цель выполнить предложенные задания, достичь той отметки, которую желают получить за урок, в конце урока ответить на вопрос учителя.

Записывают тему урока.

Личностные: самоопределение, самосознание. Целеполагание.

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

Познавательные: уметь поставить и решить проблему.

1. Актуализация и пробное учебное действие

Дидактические задачи этапа: установление правильности и осознанности усвоения учебного материала; выявление пробелов и неверных представлений и их коррекция.

Слайд 2(заполняют пропущенные места в таблице)

Степенью числа а с натуральным показателем n называется произведение n множителей, каждый из которых равен а. Степень числа а с показателем, равным 1 равна а.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями складывают, а основание оставляют прежним.

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя делимого вычитают показатель делителя.

При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.

При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают.

Степень числа а, не равного нулю, с нулевым показателем равна 1.

Слайд 3 (находят примеры, в которых допущена ошибка)

Организует повторение пройденного материала. Разбирает допущенные ошибки (если имеются).

Повторяют теоретический материал в процессе заполнения пропущенных мест в формулировках свойств. Записывают в тетради свойство, соответствующее формулировке, используя буквенную символику.

Выполняют устно преобразования выражений, содержащих степени, комментируя решение.

Исправляют ошибки.

Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи. Восприятие, обобщение и систематизация знаний. Усвоение способов, путей, средств.

Коммуникативные: умение слушать и слышать, вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении вопроса.

1. Этап включения изученного в систему знаний.

Дидактическая задача этапа: обеспечение усвоения учащимися знаний и способов действий на уровне применения в знакомой и измененной ситуациях.

Слайд 4 (самостоятельная работа №1)

Слайд 5 (обмениваются тетрадями, проверяют ответы по таблице, заполняют зачетный лист)

Слайд 6 (решают задачу №1) – работа в паре

Слайд 7 (проверяют решение по образцу, заполняют зачетный лист)

Организует самостоятельную работу, работу в паре, индивидуальную работу учащихся (работает с отдельными учениками).

Корректирует деятельность учащихся.

Самостоятельно, работая в паре и индивидуально, выполняют учебные действия, которые требуют применения знаний в знакомой и измененной ситуациях.

Регулятивные: контроль в форме сличения собственного и чужого результата с эталоном, коррекция.

Оценка –оценивание качества и уровня усвоения, коррекция.

Коммуникативные: умение ориентироваться на позицию партнера, осуществление совместного контроля.

Личностные6 личная ответственность.

Познавательные6 умение составить самостоятельно программу для данной модели задачи, следуя поставленной цели.

Слайд 8 (самостоятельная работа №2) — решают задачу №2

Консультирует, советует, помогает.

Осуществляют самоконтроль и взаимоконтроль для установления правильности выполнения заданий.

Слайд 9 (индивидуальная работа, решают задачу №3)

Слайд 10 (проверяют решение задачи по образцу, заполняют зачетный лист)

Слайд 11 (самостоятельная работа №3, обмениваются тетрадями, проверяют ответы по образцу, заполняют зачетный лист)

Формулируют затруднения и осуществляют коррекцию самостоятельно, организуют взаимопомощь.

1. Подведение итогов работы.

Дидактическая задача этапа: дать анализ и оценку успешности достижения цели и наметить перспективу последующей работы.

Слайд 12 (заполняют зачетный лист)

Учитель знакомит с критериями оценивания, консультирует.

Предлагает ответить на вопрос: «Зачем вам нужна математика?»

Учащиеся дают оценку деятельности по её результатам – самооценивание, оценивание результатов деятельности товарищей – заполняют оценочные листы.

Получают информацию о реальных результатах учения.

Отвечают на вопрос учителя – формулируют своё собственное мнение.

Познавательные: умение целенаправленно воспринимать информацию, анализировать её, делать на её основе выводы о возможности использования полученных результатов в учёбе и жизни.

Познавательные: умение целенаправленно воспринимать информацию, анализировать её, делать на её основе выводы о возможности использования полученных результатов в учёбе и жизни.

1. Рефлексия.

Дидактическая задача этапа: мобилизация учащихся на рефлексию своего поведения – способов деятельности, общения, усвоение принципов саморегуляции и сотрудничества.

Слайд 12 (заполняют оценочный лист)

Просит выразить своё эмоциональное состояние по отношению «к себе» и «об уроке».

Выражают своё эмоциональное состояние – заполняют в оценочном листе строку «эмоциональная оценка».

Познавательные: умение целенаправленно воспринимать информацию, анализировать её, делать на её основе выводы о возможности использования полученных результатов в учёбе и жизни.

Познавательные: умение целенаправленно воспринимать информацию, анализировать её, делать на её основе выводы о возможности использования полученных результатов в учёбе и жизни.

1. Информация о домашнем задании.

Дидактическая задача этапа: обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

№432, №433, №434

Составить кроссворд с математическими терминами из темы «Степень и её свойства».

Объявляет домашнее задание. Даёт инструкцию обучающимся по его выполнению.

Записывают домашнее задание. Желающие записывают творческое задание.

Регулятивные: волевая саморегуляция. Оценка своих возможностей, выбор посильного уровня задания.

Личностные: адекватное реагирование на трудности. Оценка своих возможностей, выбор посильного уровня задания.

7

Если Вы являетесь автором этой работы и хотите отредактировать, либо удалить ее с сайта — свяжитесь, пожалуйста, с нами.

Самостоятельная работа «Возведение в степень произведения». 7 класс.

1. 1. Возведите  в  степень  произведение:

а) (xyz)⁸ ; б) (0,1b)⁴ ; в) (-4m)³

1. 2. Представьте  произведение  в  виде  степени:

а) x⁵y⁵ ; б) — 27c³ ; в) 49a²b²

1. 3. Вычислите  значение  выражения,  используя  свойство  степени  произведения: а)(¹/₄ )^{4 .}20⁴;

б)  5^{3 .} 2³; в) 0,5^{3 .} 60³; г) ( —1,2)^{4 .} (1 ²/₃ )⁴

Степень числа и как её найти.

Как возвести число в степень #

 Уже во втором классе на уроках математики дети сталкиваются с такими величинами, как площадь и объем. Учителя рассказывают, что площадь измеряется в квадратных сантиметрах или метрах и  так далее, а объем — в кубических. Дети просто запоминают и пишут см² или м² или мм³. Очень немногие в тот момент задумывались, что же означает приписанная в верхнем уголке единицы длины цифра. По-настоящему со степенью мы познакомимся в пятом классе, а если хотите это сделать самостоятельно, можете и раньше :))

Что такое степень числа?

Как вы знаете, с помощью произведения удобно записывать сумму нескольких одинаковых слагаемых. Например 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 * 7

А если это будет не сумма, а произведение одинаковых чисел? Например, множитель 5 взять 7 раз: 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5? Для более краткого обозначения такого произведения математики и придумали степень.

5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 5⁷ 

Выражение  5⁷ называют «степень», читается как пять в седьмой степени или седьмая степень числа 5. При этом 5 — основание степени, а 7 — показатель степени.

Число 7 показывает, сколько одинаковых множителей содержит произведение.

Как возвести число в степень?

Чтобы найти степень, нужно основание перемножить на себя столько раз, сколько написано в показателе.

          25  125  625 3125 15625
5⁷ = 5  *  5  *  5  *  5  *   5    *    5  *  5 = 78125
                       7 раз

Тут иногда возникает путаница оттого, что дети считают не количество цифр основания, а количество знаков умножения. Считать нужно цифры, а не знаки умножения. 5 * 5 — это уже вторая степень, потому что пятерки две.  5 * 5 * 5 = 5³,    5 * 5 * 5 * 5 = 5⁴ и так далее.

Рассмотрим еще примеры:

3² = 3 * 3 = 9
2³ = 2 * 2 * 2 = 8
а⁴ = а * а * а * а
(5b)² = 5b * 5b

Вторую степень числа называют «квадрат числа». Например, 3² читается как «три в квадрате» или квадрат числа три.

Третью степень числа называют «куб числа». Например 2³ читается как «два в кубе» или куб числа два.

Может ли показатель степени быть равным 1? Да, может. Но если любое число взять 1 раз, то получится то же самое число, то есть а¹ = а. А поскольку не принято рассматривать произведения, состоящие из одного множителя, то единичку в показателе степени обычно не пишут.

Например 8¹ = 8, 456¹ = 456

Возведение числа в степень — это арифметическое действие

Если в выражение входит степень, то сначала выполняют возведение в степень, а потом — остальные действия в приоритетном порядке.

Например: 5 * 2² = 5 * 4 = 20
                   5 + 2² = 5 + 4 = 9

 

А теперь вы поняли, что такое см²?  Правильно, это   см * см. Именно так мы находим площадь прямоугольника, умножая длину одной стороны в см на длину другой.  
А мм³?   Это мм * мм * мм. Так мы находим объем.

Чтобы закрепить знания о степени числа, посмотрите видео:

лучших программ бакалавриата в области разработки продуктов 2022

Степень бакалавра — это программа бакалавриата, обычно первая степень, которую получают профессионалы. Он может стоять сам по себе или использоваться в качестве отправной точки для получения степени магистра или доктора философии. Программы бакалавриата обычно длятся от трех до четырех лет и завершаются путем сочетания лабораторных работ, лекций и самостоятельного обучения. Что такое бакалавр в области разработки продуктов? Этот де… Читать далее

Степень бакалавра — это программа бакалавриата, обычно первая степень, которую получают профессионалы.Он может стоять сам по себе или использоваться в качестве отправной точки для получения степени магистра или доктора философии. Программы бакалавриата обычно длятся от трех до четырех лет и завершаются путем сочетания лабораторных работ, лекций и самостоятельного обучения.

Что такое бакалавр в области разработки продуктов? Эта степень часто служит ответвлением или дополнением к маркетинговому опыту. Основное внимание уделяется наблюдению за тем, как продукт проходит путь от концепции к дизайну, маркетингу и внешнему виду в торговом зале.Хотя эта программа на получение степени часто фокусируется на дизайне одежды и маркетинге, существуют также программы бакалавриата для дизайна продуктов в других областях, а также те, которые имеют более общую направленность.

Преимущества получения степени бакалавра в области разработки продуктов в первую очередь связаны с гибкостью степени. Эта программа на получение степени включает в себя элементы маркетинга, экономики, финансов и менеджмента для подготовки выпускников с всесторонним образованием в областях, связанных с бизнесом, продажами и розничной торговлей.

Стоимость бакалавриата в области разработки продуктов варьируется в зависимости от того, какой университет выбирают студенты. Программа обычно занимает четыре года, что следует учитывать при определении общих затрат на получение степени.

Большинство выпускников со степенью бакалавра в области разработки продуктов выбирают работу в сфере розничной торговли. Они могут работать в существующей компании в качестве менеджера по закупкам или розничной торговле, либо работать на себя в качестве дизайнера, декоратора или личного покупателя.Поскольку степень дает хороший обзор отрасли розничной торговли, выпускники имеют большую гибкость, когда дело доходит до карьеры, которой они могут заниматься.

Онлайн-обучение — отличный способ получить степень бакалавра в области разработки продуктов по собственному графику, даже если вы уже работаете полный рабочий день. Найдите свою программу ниже и свяжитесь напрямую с приемной школой по вашему выбору, заполнив ведущую форму.

Другие варианты в рамках этой области обучения: 

Что я могу сделать со степенью дизайнера продукта?

Изучение дизайна продукта дает вам широкие теоретические знания и набор практических навыков, необходимых для создания новых продуктов

Варианты работы

Работы, непосредственно связанные с вашей степенью, включают: многие работодатели принимают заявления от выпускников с любой степенью, поэтому не ограничивайте свое мышление перечисленными здесь вакансиями.

Потратьте несколько минут, чтобы ответить на вопросы викторины «Подбор вакансий» и выяснить, какая профессия вам подходит. Найдите промышленного дизайнера в вашем районе и спросите, можете ли вы пройти у него стажировку во время учебы в университете. В некоторых случаях трудоустройство может даже привести к постоянной работе.

Ищите конкурсы продуктов или промышленного дизайна, в которых вы могли бы принять участие, или выставки, в которых вы могли бы принять участие. Все, что может добавить к вашему портфолио, будет полезно. Вы должны будете быть в состоянии продемонстрировать широту своей работы и любых специализированных интересов.

Будьте в курсе отраслевых тенденций и разработок, читая журналы по дизайну, чтобы узнавать о новых технологиях.

Найдите вакансии и узнайте больше об опыте работы и стажировках.

Типичные работодатели

Вы можете найти работу как в частном, так и в государственном секторе. Работа в частном секторе может включать промышленную продукцию для внутреннего и промышленного рынка.Работа в государственном секторе может включать проектирование интерактивных объектов, таких как информационные пункты и оборудование, используемое такими службами, как полиция, пожарная служба и скорая помощь.

В число работодателей входят:

• производители промышленных и бытовых товаров
• производители автомобилей
• дизайнеры торговых точек
• розничные торговцы.

Возможна также самозанятость или работа в консультационной фирме по дизайну. Узнайте больше о том, как начать бизнес.

Найдите информацию о работодателях в сфере творчества и дизайна, машиностроения и производства и других сферах занятости.

Работодатели нанимают выпускники дизайна продукта Now

Radio Access Designer

• BT
• BT
• Различные места
• £ 34,501- £ 37 000
Просмотреть больше творческих искусств и дизайн рабочие места

Навыки для вашего CV

Степень в дизайне продукта или промышленный дизайн развивает ваши навыки творческого дизайна и дает вам технические возможности, необходимые для творческого использования методов производства и материалов.Это также дает вам другие навыки, которые ценятся многими работодателями, такие как:

• навыки презентации
• коммуникативные навыки
• способность работать в срок
• коммерческие и предпринимательские навыки
• навыки решения проблем
• способность проявлять инициативу и работать независимо
• навыки работы в команде
• визуальное и пространственное мышление
• общие и специальные навыки в области ИТ, такие как автоматизированное проектирование (САПР).

Дальнейшее обучение

Можно получить степень магистра в области промышленного дизайна или дизайна продукции. Также доступны специализированные курсы, такие как дизайн продукта и инновации, а также дизайн продукта и управление развитием. Другой вариант — закончить аспирантуру, чтобы специализироваться в смежной области, такой как интерьер, графический или выставочный дизайн.

Вы можете получить профессиональную квалификацию в соответствующих отраслевых органах или получить квалификацию, связанную с бизнесом, например, степень магистра делового администрирования (MBA) или степень магистра в области управления проектами.

Чтобы найти интересующий вас курс, найдите курсы для аспирантов по дизайну продукции.

Чем занимаются выпускники в области дизайна продуктов?

Пять из десяти лучших должностей, занимаемых выпускниками производственного дизайна, связаны с дизайном. Помимо дизайна продукта, в другие области входят промышленные, графические, интерьерные и веб-дизайнеры. Инженеры-профессионалы, инженеры-механики, плотники и столяры также входят в первую десятку заявленных вакансий.

Пункт назначения	Процент
Работающий	80.3
Дополнительное исследование	2.4
5.4
5.4
безработных	60124
Другое
Другое	5.3

Направления выпускника для дизайна продукции Другое

Тип Работа	процент
Искусство, дизайн и СМИ	34.3
Engineering	19,1
Розничная торговля, кейтеринг и обслуживание клиентов	10.7
квалифицированные торги, ремесла и профессиональная работа	6.5
39. 49	39.4

Виды работы, введенные в Великобритании

, узнайте, что другие выпускники занимаются после окончания своих степеней в том, что выпускники делать?

Данные о направлениях выпускников от Агентства статистики высшего образования.

Узнайте больше

• Творческие и культурные навыки — Совет по профессиональным навыкам для творческой индустрии предоставляет консультации по вопросам карьеры и подробную информацию об оплачиваемых стажировках, стажировках и другом обучении.

, написанные agcas редакторов

декабря 2021

© Copyright

© Copyright

© Copyright

© Copyright

© Copyright

· Отказ от ответственности

Вы также можете понравиться …

Схема выпускника

аспирантура архитектор

вид на работу

аспирантура

Архитектор (апрель 2022 г.)

Посмотреть вакансию

Магистр управления продуктами @ Университет Карнеги-Меллона

Если вы хотите подать заявку на отказ от GMAT/GRE, вы должны сделать следующее:

Отправьте письмо в приемную комиссию (путем загрузки в ваше заявление) с адресом:

• Пожалуйста, обсудите ваш средний балл бакалавриата и любой другой средний балл степени. Для предоставления отказа мы ищем только тех, у кого исключительно высокий средний балл.
• Пожалуйста, поделитесь любыми замечательными академическими достижениями, о которых нам следует знать.
• Пожалуйста, поделитесь с нами, если у вас есть ученая степень магистра? Это в области, связанной с STEM? Существуют ли специальные курсы, демонстрирующие вашу способность преуспеть в учебной программе MSPM?
• Поделитесь, если у вас есть признанная сертификация в области управления продуктами, например.г. ISPMA, Pragmatic Institute, AIPMM, сертифицированный владелец продукта Scrum, сертифицированный менеджер продукта (группа 280), сертификат сертифицированного лидера инноваций, ProductSchool, Black Bolt Product Management и т. д.

Также :

• Пожалуйста, укажите, если у вас есть 10 или более лет профессионального опыта работы. Уточните, пожалуйста, ваши роли и содержание работы по отношению к роли в управлении продуктом.
• Расскажите, пожалуйста, занимали ли вы должность менеджера по продукту и сколько лет.Пожалуйста, опишите работу и роль помимо того, что указано в вашем резюме/резюме, и конкретно о ваших достижениях в этой роли, которые имеют отношение к степени MSPM.

Курсы тестирования:


Кандидатам на отказ от тестирования может потребоваться выполнить следующие курсы и предъявить подтверждение об окончании:

ПРИМЕЧАНИЕ. Если вам будет отказано в отказе от участия, мы сохраним ваше заявление, и если вы будете приняты, вы должны будете предоставить результаты теста для зачисления или рассмотрения вас, когда вы предоставите результаты теста.

степеней онлайн-дизайна продуктов: они того стоят?

Новые и интересные продукты являются краеугольным камнем любого растущего бизнеса. Чтобы оставаться актуальными и оставаться в тренде, выживая на высококонкурентных рынках, компаниям необходимо понимать своих клиентов и создавать бесшовные продукты. Талантливые дизайнеры продуктов несут ответственность за весь этот процесс.

Дизайнеры продуктов — творческие специалисты, которые проводят исследования рынка, выявляют потребности клиентов, генерируют идеи продуктов, разрабатывают прототипы продуктов, проверяют идеи, контролируют тестирование пользователями, создают конечные продукты и обновляют существующие продукты.Они необходимы для любого бизнеса, основанного на продуктах, и направлены на решение проблем, снижение затрат и получение прибыли для компании. Самое главное, дизайнеры продуктов делают клиентов счастливыми.

Играя такую ​​ключевую роль в успехе или неудаче компании, хорошие дизайнеры продуктов пользуются большим спросом в бизнес-сообществе. В результате карьера в области дизайна продуктов обеспечивает отличные перспективы трудоустройства и высокие зарплаты.

Если вы творчески решаете проблемы и разбираетесь в дизайне, карьера в этой области должна быть идеальной для вас.В этой статье мы обсудим, с чего начать, и зададимся вопросом: стоит ли того получение степени дизайнера продукта? Мы также рассмотрим альтернативные, более целенаправленные образовательные программы, основанные на дизайне, которые могут вам больше подойти.

Начни карьеру дизайнера продукта

Узнайте, как создавать более интеллектуальные веб-сайты от профессионалов отрасли, 100% онлайн, с гарантией карьерного роста после окончания учебы.

Посмотреть нашу учебную программу



Типы продуктового дизайна Степени

Степень бакалавра в области дизайна продукта

Многие университеты и институты по всему миру предлагают степени бакалавра в области дизайна продукта.Получение степени бакалавра — традиционный путь для многих начинающих дизайнеров продуктов. Степень бакалавра в хорошо известном университете уважается во всем мире.

Бакалавриат по дизайну продукции обучает широкому кругу навыков, необходимых для реализации проектов от первоначальной концепции до конечного продукта. Вы изучите основные концепции дизайна продукта, используемые инструменты и методы, прототипирование, САПР, механические и цифровые производственные системы, а также изучение материалов.

Чтобы дать вам лучшее представление о том, что происходит, вот список некоторых университетов, предлагающих степени по дизайну продукции:

Бакалавр наук по дизайну продукции Стэнфордского университета

Предлагается машиностроительным факультетом университета, программа следует учебной программе машиностроения с дополнительными курсовыми работами по студийному искусству и психологии.Курс посвящен дизайнерскому мышлению, инструментам визуального мышления и быстрому прототипированию для стимулирования инноваций. Дизайнеры, получившие диплом Стэнфордского университета, могут синтезировать бизнес-факторы и технологические факторы для создания новых продуктовых систем.

Продолжительность: 4 года

Стоимость: $80 000

Бакалавр гуманитарных наук в области дизайна продуктов Новой школы архитектуры и дизайна

Миссия этой программы состоит в том, чтобы сформировать из студентов профессиональных дизайнеров и подготовить их к работе в реальном мире. проектов на мировых рынках.Программа снабдит вас способностями к стратегическому и творческому мышлению. После выпуска вы будете готовы занять должность начального уровня в проектно-производственной компании, где сможете решать сложные задачи проектирования.

Продолжительность: 4 года

Стоимость: $ 23 000

Бакалавр дизайна в области промышленного дизайна Университета Иллинойса

Эта программа обучает студентов сочетать аспекты материального и концептуального изготовления для создания систем продукта.Что наиболее важно, программа фокусируется на ориентированности на пользователя и оптимальном видении продукта как на основных принципах, которым необходимо следовать при создании продуктов и услуг.

Продолжительность: 4 года

Стоимость: 49 000 долларов США

Бакалавр наук в области проектирования продукции и технологии производства Университета штата Уичито

Эта программа посвящена системному проектированию, разработке продуктов, автоматизированному проектированию, цепочке поставок и аналитика, качество производства и производительность.Если вы планируете карьеру в области дизайна и производства продукции, программа бакалавриата Государственного университета Уичито — хороший выбор для вашей карьеры.

Продолжительность: 4 года.

Стоимость: 16 800 долларов США

Степень магистра в области дизайна продукции

Степень магистра побуждает студентов специализироваться в определенной области обучения, и существует множество вариантов, если вы хотите получить степень магистра в области дизайна продукции. Степень магистра дизайна продукта обеспечит более глубокое понимание концепций дизайна и может повысить ваш потенциальный доход.

Есть несколько университетов, которые предлагают степень магистра в области дизайна продукта.

Магистр изящных искусств в области промышленного дизайна Рочестерского технологического института

Учебная программа ориентирована на проекты, что требует от студентов проведения обширных исследований в области технологий и методологий дизайна. Программа поощряет междисциплинарное сотрудничество, предоставляя студентам востребованные знания в области дизайна и широкие возможности для карьерного роста.

Зарегистрируйтесь в этой программе, если вы хотите получить ценные навыки проектирования продуктов с нуля.

Продолжительность: 2 года.

Стоимость: $ 49,709

Магистр изящных искусств в области промышленного дизайна Школы дизайна Парсонса | The New School

Это инновационная программа, предназначенная для подготовки учащихся к преодолению парадоксальных сил, действующих в индустрии дизайна. Студенты узнают, как производить товары как в локальном, так и в глобальном контексте.

Продолжительность:  2 года.

Магистр изящных искусств в области дизайна освещения школы дизайна Парсонс | Новая школа

Парсонс был первым, кто придумал программу по дизайну освещения. Школа занимается подготовкой лидеров в этой области в течение последних трех десятилетий. Учебная программа концентрируется на взаимосвязи между теорией, техническими аспектами, энергосбережением, социально-экономическими и экологическими аспектами естественного, а также искусственного (электрического) света.

Этот курс идеален, если вы хотите специализироваться в этой нишевой области дизайна продукта.

Продолжительность: 2 года.

Магистр искусств в области декоративно-прикладного искусства и истории дизайна Колумбийского колледжа искусств и наук | Университет Джорджа Вашингтона

Учебный план программы основан на культурных и исторических темах дизайна. Студенты получают знания в области истории материальной культуры, архитектуры и интерьеров. Программа также предлагает стажировки в исторических организациях, которые помогают студентам подготовиться к карьере дизайнера декоративных изделий.

Продолжительность: 2 года

Можете ли вы стать дизайнером продукта без диплома?

, если ваша цель — стать дизайнером продукта, нет формального требования иметь ученую степень. Некоторые работодатели могут даже предпочесть альтернативное образование с упором на практическое обучение и обучение соответствующим навыкам.

Степени имеют фиксированную учебную программу и длятся 4 года, что означает, что иногда они могут не успевать за меняющимися тенденциями в дизайне. Учащиеся, обучающиеся по более целенаправленным программам, демонстрируют высокую мотивацию в разработке продуктов и четко определенные карьерные цели.

Альтернативы диплому по дизайну продукта

Сертификаты по дизайну продукта

Вам не нужна степень, чтобы преуспеть в этой области: вы можете записаться на онлайн-курс по дизайну продукта или программу сертификации, чтобы получить необходимые навыки.

Программы сертификации дают вам возможность подтвердить свои навыки в определенной области. По сравнению со степенями они намного более доступны и могут быть завершены в течение нескольких недель. Как правило, они больше подходят для существующих профессионалов, которым требуется переподготовка, а не для новичков, которые хотят учиться с нуля.

Наличие сертификата на разработку продукта подтверждает вашу компетентность и показывает, что вы привержены профессии. Сертификация также помогает в карьерном росте и демонстрирует потенциальным работодателям, что вы идете в ногу с тенденциями дизайна и остаетесь актуальными.

Некоторые популярные сертификаты дизайна продукта включают:

• Инновации через дизайн: думай, делай, ломай, повторяй Сиднейский университет
• Выполнение спринтов по дизайну продукта Университета Вирджинии Технологический институт
• Учебный курс по дизайну UX/UI, Thinkful

Учебные курсы по дизайну продуктов для карьеры

Учебные курсы — это динамичные программы обучения, разработанные для обучения студентов всему, что им нужно для получения хорошо оплачиваемой работы. Они идеально подходят для людей с четким направлением карьеры. В отличие от 4-летней программы обучения, учебные курсы по дизайну продукта сосредоточены только на необходимых дизайнерских навыках. Это делает их более доступной, более целенаправленной и быстрой альтернативой дипломам.

Чтобы начать свою карьеру, запишитесь на наш учебный курс по дизайну UX/UI. Он составлен опытными профессионалами, чтобы упростить ваше обучение.

Следующие шаги

Надеюсь, теперь вы лучше понимаете свои возможности и готовы стать следующим Стивом Джобсом (шаг за шагом).Чтобы подготовиться к будущей карьере, загляните в наш блог о дизайне продуктов, где вы найдете другие статьи на тему UX и UI-дизайна. Вы услышите рассказы профессиональных дизайнеров из первых рук, таких как один из наших наставников, который также работает UX-дизайнером в Apple.

Начни карьеру дизайнера продукта

Узнайте, как создавать более интеллектуальные веб-сайты от профессионалов отрасли, 100% онлайн, с гарантией карьерного роста после окончания учебы.

Посмотреть нашу учебную программу



Муниципальный колледж Макомба — Разработка продукции

В программе разработки продуктов Macomb вы изучите основы черчения, моделирования и сборки, а также получите практические знания в области программного обеспечения для автоматизированного проектирования (САПР), которое предпочитают сегодняшние лидеры отрасли.Вы познакомитесь с промышленным чертежом, проектными спецификациями, черными и цветными металлами и операциями прессования. В вашем проекте Capstone вы будете работать в составе многопрофильной команды, занимающейся исследованием, проектированием, производством и сборкой продукта в течение одного семестра.

3 основных причины выбрать Macomb для разработки продуктов

1. Узнайте об индустрии программного обеспечения САПР, используя
2. Занимайтесь онлайн или в удобное для вас время
3. Доступ к трудоустройству через Career Services

Курсы по разработке продуктов в Macomb

• Основы CATIA
• Замысел проекта и анализ
• Принципы проектирования
• Промышленные процессы и процессы обработки материалов
• Введение в SolidWorks и трехмерное параметрическое твердотельное моделирование
• Детализация и дизайн шаблона и приспособления
• Расширенный NX
• Основы NX
• Дизайн и производство пластмасс
• Процесс разработки продукта
• Студенческий проект Capstone
• Теория изготовления листового металла

Возможности карьерного роста в сфере разработки продуктов

Компания Macomb объединилась с Burning Glass Technologies, чтобы предоставить вам самую актуальную информацию о профессиях, на которые вы сможете претендовать после успешного завершения этой программы.

Данные о вакансиях могут дать вам представление о работодателях, ищущих кандидатов на работу, о том, где находятся эти вакансии, и о средней предлагаемой зарплате. Используйте инструмент Career Insights Tool, чтобы просмотреть информацию о стране, штате или городе.

Данные предоставлены Burning Glass Technologies и взяты из образцов большой площади. Данные не взяты из результатов учащихся или программ Macomb Community College.

 

 

Услуги по трудоустройству

Служба карьеры Macomb — это ваш мост от образования к трудоустройству.Он предлагает множество бесплатных ресурсов, включая оценку навыков и интересов, составление резюме, семинары по успешности, трудоустройство и многое другое.

Пути передачи

Кредиты, полученные в рамках программы Macomb по разработке продуктов, будут переведены во многие колледжи и университеты Мичигана.

Если вы намереваетесь перевестись и получить степень бакалавра, поговорите с консультантом Macomb или научным руководителем как можно скорее после того, как вы подали заявку в Macomb, чтобы спланировать наилучший путь.

лучших степеней магистра в области дизайна продукта 2022

Степень магистра в области дизайна продукта — это программа последипломного образования, целью которой является передача навыков, которые должны позволить выпускникам программы создавать новые продукты; продукты, ориентированные на рынок. Дизайн продукта фокусируется на создании продуктов с намерением продать. Магистерская программа гарантирует, что выпускники программы смогут генерировать идеи, оценивать их, а затем превращать… Читать далее

Степень магистра в области дизайна продукта — это программа последипломного образования, целью которой является передача навыков, которые должны позволить выпускникам программы создавать новые продукты; продукты, ориентированные на рынок. Дизайн продукта фокусируется на создании продуктов с намерением продать. Магистерская программа гарантирует, что выпускники программы имеют возможность генерировать идеи, оценивать их, а затем превращать их в новый продукт. Существует несколько этапов производства продукта, таких как экономичное производство продукта, но обеспечивающее сохранение удобства использования, функциональности и внешнего вида продукта. На мастера по дизайну продукции возложена ответственность за то, чтобы продукт выглядел великолепно, отвечал потребностям рынка и мог выгодно конкурировать с другими продуктами в той же нише.При прохождении магистерской программы студентам прививаются навыки анализа потребностей клиентов, исследования потребительских тенденций, прогнозирования возможных сценариев и способов удовлетворения различных требований потребителей. Существуют экологические и юридические требования, которым должны соответствовать продукты, которые также учитываются разработчиком продукта.

Магистерская программа по дизайну продукции — увлекательная программа. Постоянно изобретаются внешний вид продуктов, предпочтения клиентов и новые технологии изготовления продуктов.Таким образом, студенты должны быть знакомы с самыми последними технологиями. Программа охватывает разработку продукта с самого начала до момента запуска продукта. Учитывая постоянный спрос на продукты и новые продукты, возможности карьерного роста для выпускников этой программы многочисленны.

Другие варианты в рамках этой области обучения: 

Читать меньше

лучших программ магистратуры в области разработки продуктов 2022

Для тех, кто хочет быть в авангарде дизайна и инноваций, Мастер в области разработки продуктов предлагает навыки, необходимые для достижения успеха в современном мире высоких технологий. С этой степенью студенты изучают как технические, так и деловые навыки, необходимые для высших руководящих должностей в технологических областях. Что такое Мастер в области разработки продуктов? Мастер в области разработки продуктов сочетает в себе инженерные знания… Читать далее

Для тех, кто хочет быть в авангарде дизайна и инноваций, степень магистра в области разработки продуктов предлагает навыки, необходимые для достижения успеха в современном мире высоких технологий.С этой степенью студенты изучают как технические, так и деловые навыки, необходимые для высших руководящих должностей в технологических областях.

Что такое Мастер в области разработки продуктов? Мастер в области разработки продуктов сочетает в себе инженерные ноу-хау с навыками управления. Получение степени обычно занимает от одного до двух лет, в зависимости от программы и темпа обучения. Курсовая работа может включать стратегию проектирования, принципы управления, бережливое развитие, корпоративные системы, исследования рынка, маркетинг продукции, а также бизнес и финансы. Интегрируя образовательную базу с практическими исследованиями и передовым промышленным опытом, студенты готовы руководить проектированием и разработкой новых продуктов.

Мастер в области разработки продуктов дает техническим специалистам преимущество в конкурентной среде. Студенты покидают программу, готовясь возглавить различные группы технических специалистов в решении проблем и разработке инновационных решений и продуктов.

Затраты на получение степени магистра разработки продуктов сильно различаются.Потенциальные студенты должны свериться с конкретной интересующей их программой, чтобы узнать больше о стоимости и вариантах обучения.

Выпускники со степенью магистра в области разработки продуктов могут занять руководящие должности в области технологий в самых разных отраслях. От банков до фирм по разработке программного обеспечения предприятиям нужны профессионалы, обладающие как техническими навыками, так и деловой смекалкой, чтобы руководить исследованиями и разработками. Имея ученую степень в области разработки продуктов, студенты имеют широкий выбор карьеры.Независимо от того, являетесь ли вы техническим специалистом, работающим полный рабочий день, который хочет сделать следующий шаг по карьерной лестнице, или инженером, надеющимся освоить эффективные управленческие навыки, чтобы возглавить команду, степень магистра в области разработки продуктов может открыть новые возможности.

Имея полный рабочий день, неполный рабочий день и онлайн-варианты, доступные как на национальном, так и на международном уровне, существует программа, разработанная для любого графика. Найдите свою программу ниже и свяжитесь напрямую с приемной школой по вашему выбору, заполнив ведущую форму.

Другие варианты в рамках этой области обучения: 

.