Степени с рациональным показателем примеры решения: Примеры решения степени с рациональным показателем – Степень с рациональным показателем. Ее свойства. Свойства степени с рациональным показателем. Примеры решения задач

Степень с рациональным показателем. Ее свойства. Свойства степени с рациональным показателем. Примеры решения задач

Степень с рациональным показателем.

Ее свойства.

Свойства степени с рациональным показателем.

Примеры решения задач.

1.Упростите выражение:

а) 14а2/5-10(а1\5)2=14а2/5-10а1/52/1=14а2/5-10а2\5=4а2/5;

б)3а0,3:1,5а-3,7= 3/1,5 а0,3-(-3,7)= 2а0,3+3,7=2а4;

в)в-5,6∙11в0,4=11в-5,6+0,4=11в-5,2.

2. Найдите значение выражения

а) (1/4):(4-5а) при а=0,5.

Так, как 1/4=1/41= 4-1, то

(4-1):4-5а=4-3а:4-5а=4-3а-(-5а)=4-3а+5а=4, при а=0,5

42∙ 0,5=41=4.

2

б)(_______)-1/3 при в=-2.

2-2в

2

( ______)-1/3 =( 24в-(-2в))-1/3= (24в+2в)-1/3

= (2)-1/3=26в∙(-1/ 3)=2-2в, при в = -2

2-2в

2-2∙ (-2)=24=16.

в) (аа/2∙3а)-1 при а=-2.

а/2∙3а)-1= (аа/2)-1∙(3а)-1-а/ 2∙3, при а=-2

(-2)-(-2) / 2∙3-(-2) =(-2)2 / 2∙32=(-2)1∙9=-18

3. Вычислить.

3.Задания для самостоятельного решения.

1.Упростите выражение:

а) 60,7/ 60,3; в) а7/6-5/6;

б) к -5,3∙4к 0,1; г) (а3/2: а-7/2)∙а3;

д) 4с2/7+ 3(с

1/7 )2 ; д) (4∙ 4-2а) -2.

2. Найти значение выражения

а) 5

_____при в=0,25;

5

б) 27с∙2-3 с при с=-1/4;

в) (16-3)а / 6 при а=-1/2;

г) (4∙4-2а)-2 при а=-1/4.

3. Упростите выражение

4.

5. Найти значение выражения

6. Упростите выражение.

Урок 17. степень с рациональным и действительным показателем - Алгебра и начала математического анализа - 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №17. Степень с рациональным и действительным показателем.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие степени;

2) определение степени с рациональным и действительным показателем;

3) нахождения значения степени с действительным показателем.

Глоссарий по теме

Если n- натуральное число, , m- целое число и частное является целым числом, то при справедливо равенство:

.

При любом действительном х и любом положительном а ) степень является положительным числом:

Но если основание степени а=0, то степень определяют только при

и считают, что

При выражение не имеет смысла.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Пример: вычислим

Мы можем представить , тогда

Таким образом, мы можем записать

или

На основании данного примера можно сделать вывод:

Если n- натуральное число, , m- целое число и частное является целым числом, то при

0 справедливо равенство:

.

Напомним, что r-рациональное число вида , где m- целое число , n- натуральное число. Тогда по нашей формуле получим:

Таким образом, степень определена для любого рационального показателя r и любого положительного основания а.

Если , то выражение

имеет смысл не только при 0, но и при а=0, причем, Поэтому считают, что при r0 выполняется равенство

Пользуясь формулой степень с рациональным показателем можно представить в виде корня и наоборот.

Рассмотрим несколько примеров:

Отметим, что все свойства степени с натуральным показателем, которые мы с вами повторили, верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием, а именно, для любых рациональных чисел p и q и любых 0 и 0 ы следующие равенства:

  1. ;
  2. ;

Разберем несколько примеров, воспользовавшись данными свойствами:

  1. Вычислим:

  1. Упростить выражение:

В числителе вынесем общий множитель ab за скобки, в знаменателе представим корни в виде дробных показателей степени:

А теперь дадим определение степени с действительным показателем, на примере .

Пусть последовательность десятичных приближений с недостатком :

Эта последовательность стремится к числу , т.е.

Числа являются рациональными, и для них определены степени т.е. определена последовательность

Можно сделать вывод, что данная последовательность стремится к некоторому действительному числу, которое обозначают , т.е. .

Опредление степени с действительным показателем.

При любом действительном х и любом положительном а ) степень является положительным числом:

Но если основание степени а=0, то степень определяют только при и считают, что

При выражение не имеет смысла.

Для степени с действительным показателем сохраняются все известные свойства степени с рациональным показателем, из которых следует теорема.

Теорема. Пусть и . Тогда .

Доказательство:

По условию . Поэтому, по свойству 1 имеем
а^(х₂). Умножив обе части этого равенства на положительное число , получим . По свойству умножения степеней получаем: , т.е. .

Из данной теоремы вытекают три следствия:

  1. Пусть Тогда
  2. Пусть и

.

  1. Пусть и

.

Эти теорема и следствия помогают при решении уравнений и неравенств, сравнении чисел.

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Сравнить числа

Сравним показатели

Т.к. , и 12 < 18, то .

Поэтому по теореме

Пример 2. Решим уравнение

.

Поэтому уравнение можно записать так:

Получим, , разделим на 2 обе части уравнения.

Следовательно,

Пример 3. Сравнить числа

Избавимся от корней, для это возведем оба числа в шестую степень, т.к. шесть делится - наименьшее общее кратное двух и трех:

Т.к. 0<8<9 и , то , т.е. .

Урок 10: Показатель рациональный - 100urokov.ru

План урока:

Степень с рациональным показателем

Свойства дробных степеней и операции с ними

Сравнение степеней

 

Степень с рациональным показателем

Напомним, что в 7 классе мы впервые познакомились с понятием степени, причем тогда рассматривались случаи, когда показателем степени является натуральное число. В 8 классе понятие степени было расширено, теперь в него включались случаи, когда показатель являлся целым числом. Настоятельно рекомендуем перечитать соответствующие уроки. Сегодня же мы можем сделать ещё один шаг вперед и рассмотреть степени с рациональными показателями.

При расширении понятия степени важно обеспечить то, чтобы уже известные правила работы с целыми степенями работали и для дробных показателей. Одно из свойств степеней выглядит так:

(am)n = amn

Подставим в эту формулу следующие значения переменных:

а = 3

m = 1/6

n = 6

Мы специально выбрали эти числа такими, чтобы произведение mn равнялось единице:

mn = (1/6)•6 = 1

Подставляем эти значения:

(31/6)6 = 31/66 = 31 = 3

Получили, что

(31/6)6 = 3

Однако по определению корня n-ой степени число, дающее при возведении в шестую степень тройку, является корнем шестой степени из трех. То есть можно записать:

1gfhdh

С помощью подобных преобразований нам удалось указать, чему равно число, возведенное в дробную степень. Аналогично можно показать, что для любого а > 0 справедлива формула:

2gdfh

Действительно, если возвести левую часть в n-ую степень, то получим:

1/n)n = a1/nn = a

Значит, по определению корня n-ой степени

3gdfg

4gfhj

Ограничение а > 0 необходимо для того, чтобы не рассматривать случаи, когда подкоренное выражение является отрицательным.

Продолжим наши рассуждения. Чему будет равна степень аm/n? Ясно, что дробь m/n можно представить в виде:

m/n = (1/n)•m

C учетом этого выполним преобразование:

5hgfhf

В результате несложных преобразований нам удалось получить формулу, позволяющую возводить число в степень, у которой рациональный показатель!

6hfgj

Приведем несколько примеров вычисления дробных степеней:

7hfgh

Часто при вычислениях удобнее сначала извлечь корень из числа, а потом полученный результат возвести в степень:

8hgfgh

Напомним, что одну и ту же дробь можно представить разными способами, например:

1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 0,5

Возникает вопрос – изменится ли значение дробной степени, если мы приведем дробь к новому знаменателю? Очевидно, что нет, но всё же убедимся в этом на примере. Сначала возведем в степень 1/2 число 25:

9hgfh

Теперь заменим дробь 1/2 на идентичную ей дробь 2/4:

10hdgh

Результат не изменился. В общем случае есть смысл максимально сократить дробь перед вычислением, чтобы избежать операций с большими числами. Особенно это касается десятичных дробей. Например, пусть необходимо вычислить значение выражения 810,25. По определению десятичной дроби можно записать, что 0,25 = 25/100. Тогда вычислить 810,25 можно так:

11gfdg

Согласитесь, возводить число 81 в 25-ую степень не очень легко! Поэтому поступим иначе. Сократим дробь 25/100:

0,25 = 25/100 = 25/(25•4) = 1/4

Теперь вычисления будет более простыми:

12fdgf

Вообще легко запомнить, что 0,25 = 1/4, а 0,5 = 1/2. Замена десятичных дробей обыкновенными дробями сильно упрощает вычисления. Приведем примеры:

13hjui

 

Свойства дробных степеней и операции с ними

Когда мы изучали степени с целыми показателями, мы выяснили, что правила работы с ними ничем не отличаются от правил работы со степенями с натуральным показателем. Оказывается, эти же правила работают и для степеней с рациональным показателем. Сформулируем основные свойства дробных степеней.

14ghj

Например, справедливы следующие действия:

50,5•52,5 = 50,5 + 2,5 = 53 = 125

195/3•191/3 = 195/3 + 1/3 = 192 = 361

29,36–0,37•29,361,37 = 29,36–0,37 + 1,37 = 29,361 = 29,36

15jli

Вот несколько примеров подобных вычислений:

174,5:173,5 = 174,5–3,5 = 171 = 1

49,36:46,36 = 49,36–6,36 = 43 = 64

2012:2014 = 2012–14 = 20–2

16nhf

Проиллюстрируем это правило примерами:

(60,25)8 = 60,25•8 = 62 = 36

(93/2)2 = 9(3/2)•2 = 93 = 729

(254)0,125 = 254•0,125 = 250,5 = 5

17hgj

Покажем, как можно применять данное правило:

41/6•161/6 = (4•64)1/6 = 641/6 = 2

0,51,5•501,5 = (0,5•50)1,5 = 251,5 = 251+0,5 = 251•250,5 = 25•5 = 125

4,90,5•100,5 = (4,9•10)0,5 = 490,5 =7

18hfgh

Это правило можно применять следующим образом:

3600,5:100,5 = (360:10)0,5 = 360,5 = 6

5003:503 = (500:50)3 = 103 = 1000

6,251/4:0,011/4 = (6,25:0,01)1/4 = 6251/4 = 5

Заметим, что степени очень удобны тем, что с их помощью легко упростить работу с корнями, ведь если

19jghj

то верное и обратное:

20gkj

То есть любое выражение с корнями в виде степени с рациональным показателем.

 

Пример. Вычислите значение выражения

21khjk

Решение. Корней много, поэтому для удобства заменим их степенями

22gfg

Получили тоже самое выражение, но в более компактном виде. Посчитаем его значение:

(91/4)1/5•39/10 = (90,25)0,2•30,9 = 90,25•0,2•30,9 = 90,05•30,9 = (32)0,05•30,9 =

=32•0,05•30,9 = 30,1•30,9 = 30,1•0,9 = 31 = 3

Ответ: 3.

 

Пример. Упростите выражение

(81n+1– 65•81n)0,25

Решение. Степень 81n+1можно представить как произведение:

81n+1 = 81n•811 = 81•81n

С учетом этого можно записать:

(81n+1– 65•81n)0,25 = (81•81n– 65•81n)0,25 = (81n(81 – 65))0,25 =

= (81n•16)0,25 = 810,25n •160,25 = 810,25n •161/4 = 2•810,25n

Ответ: 2•810,25n.

 

Сравнение степеней

Напомним, что из двух корней n-ой степени больше тот, у которого больше подкоренное выражение:

23jhgk

Отсюда следует вывод, что если a<b, то

а1/n<b1/n

теперь возведем каждую часть этого неравенства в степень m. Тогда получим неравенство:

аm/n<bm/n

Получили, что из двух степеней с одинаковыми показателями меньше та, у которой меньше основание (правила сравнения будем нумеровать, чтобы на них удобнее было ссылаться):

24hhgk

В частности, справедливы следующие неравенства:

233,75< 243,75

634/3< 644/3

0,0080,002< 0,0080,002

Здесь мы рассматривали случаи, когда показатель степени является положительным числом. А что делать, если он отрицательный? Тогда степень следует «перевернуть», воспользовавшись уже известной вам формулой:

an = 1/an = (1/а)n

 

Пример. Сравните выражения с рациональным показателем степени:

20–3,14 и 50–3,14

Решение. Избавимся от знака минус в показателе:

20–3,14 = (1/20)3,14 = 0,053,14

50–3,14 = (1/50)3,14 = 0,023,14

Получили две степени с одинаковым и, что принципиально важно, положительным показателем. Из них больше та, у которой больше основание. То есть из неравенства 0,02 < 0,05 следует, что

0,023,14< 0,053,14

Это означает, что

50–3,14< 20–3,14

Ответ: 50–3,14< 20–3,14.

 

Особенным является случай, когда показатель степени равен нулю. Напомним, что любое число в нулевой степени (кроме самого нуля) равно единице, а выражение 00 не имеет смысл. Это значит, что числа в нулевой степени равны друг другу, даже если у них разные основания:

250 = 260 = 1

9,360 = 9,370 = 1

18,35460 = 12,36470 = 1

Несколько сложнее сравнивать числа, у которых одинаковые основания, но различные показатели. Здесь возможны три случая – основание либо равно единице, либо больше неё, либо меньше неё.

25jkgjk

На основании этого правила можно записать, что:

53,14< 53,15

45–0,563< 450,001

1,235–5,623< 1,235–4,958

Единица в любой степени равна самой себе. Поэтому, если у двух чисел в основании записана именно она, то они должны быть равны друг другу:

1–7,56 = 1–0,15 = 10,236 = 1 521,36 = 1

Осталось рассмотреть случай, когда основание меньше единицы (но всё равно положительное). В таком случае ситуация становится противоположной – чем больше степень, тем меньше число. Проиллюстрируем это на примере. Пусть надо сравнить числа 0,57,6 и 0,58,9. Заменим дробь 0,5 так, чтобы вместо нее получилась степень с основанием, большим единицы:

0,5 = 1/2 = 1/(21) = 2–1

Итак, 0,5 = 2–1. Тогда можно записать, что:

0,57,6 = (2–1)7,6 = 2–7,6

0,58,9 = (2–1)8,9 = 2–8,9

Такие числа мы уже умеем сравнивать. Так как

– 8,9 <– 7,6

то и

2–8,9< 2–7,6

Следовательно, 0,57,6> 0,58,9.

26jhj

Например, справедливы неравенства:

0,997> 0,997,24

0,5715,36> 0,5716,47

0,490,04> 0,490,05

Рассмотрим чуть более сложное задание на сравнение степеней, где надо использовать одновременно несколько правил.

 

Пример. Докажите, что

0,90,9 + 0,80,8 + 0,70,7< 281/3

Решение. Напрямую вычислить значение выражений в правой и левой части затруднительно. Однако мы можем усиливать неравенство, чтобы получить более простые выражения.

Усилить неравенство – это значит увеличить его меньшую или уменьшить большую часть. Например, неравенство 10 < 20 усилится, если вместо 10 написать большее число (11 < 20), или вместо 20 написать меньшее число (10 < 19). Очевидно, что если усиленное неравенство верное, то и изначальное (ослабленное) также справедливо.

Очевидно, что можно легко посчитать значение выражения 271/3:

27hgfh

Также ясно, что 271/3< 281/3 (правило 1). Усилим исходное неравенство:

0,90,9 + 0,80,8 + 0,70,7< 271/3 (1)

Действительно, если (1) справедливо, то мы можем записать двойное неравенство

0,90,9 + 0,80,8 + 0,70,7< 271/3< 281/3

Опустив здесь среднюю часть, получим исходное неравенство. Так как 271/3 = 3, мы можем переписать (1) так:

0,90,9 + 0,80,8 + 0,70,7<3 (2)

Далее будем работать с левой частью. Очевидно, что 0,80,8< 0,90,8 (снова используем правило 1). С другой стороны, 0,90,8< 0,90,7 (правило 3). Значит, можно записать двойное неравенство:

0,80,8< 0,90,8<0,90,7

или просто 0,80,8<0,90,7. Абсолютно аналогично можно записать, что

0,70,8< 0,90,7<0,90,7

Или 0,70,8<0,90,7. Наконец, в силу правила (3), 0,90,9<0,90,7. Итак, имеем три неравенства:

0,90,9<0,90,7

0,80,8<0,90,7

0,70,8<0,90,7

Их левые части стоят в (2). Следовательно, можно усилить (2):

0,90,7 + 0,90,7 + 0,90,7<3

3•0,90,7< 3

Поделим обе части на 3:

0,90,7< 1

Заменим единицу равным ему выражением 10,7:

0,90,7<10,7 (4)

Из правила 1 следует, что (4) справедливо. Но мы получили его, усиливая исходное неравенство. Из справедливости более сильного неравенства следует и справедливость более слабого. Следовательно, из справедливости (4) вытекает верность исходного неравенства, которое и надо было доказать.

 

Степень с рациональным показателем

Мы уже знакомы с понятием степени с целым показателем. Давайте разберемся, что такое степень с рациональным показателем.

Рациональный показатель – это выражение вида \(\frac{p}{q}\), где \(p\)-некоторое целое число, а \(q\) – натуральное число, причем \(q\ge2\).

Определение

Положительное число \(a\) в рациональной степени \(\frac{p}{q}\) является арифметическим корнем степени \(q\) из числа \(a\) в степени \(p\):

$$ a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}. $$

Обращаем ваше внимание, что

$$ \sqrt[q]{p}=(\sqrt[p]{a})^p,$$

Неважно в каком порядке – сначала извлечь корень или возвести в степень, от этого смысл выражения не теряется. Как удобнее, так и считайте.

Пример 1 $$ 8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}=(\sqrt[3]{8})^2=2^2=4; $$ $$ 3^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{3}; $$ $$ 5^{\frac{3}{2}}=\sqrt{5^3};$$ $$ 7^{-\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{7^{-5}}.$$

Теорема

Пусть есть некоторое положительное число \(a\) и целое число \(p\), тогда справедливы следующие соотношения:

$$1.\; a^{\frac{p}{q}}=(a^{\frac{1}{q}})^p,$$ $$2.\; a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{p*k}{q*k}},$$ $$ 3.\;a^p= a^{\frac{pq}{q}}, $$

где \(k\) и \(q\) – натуральные числа большие 1.

Давайте попробуем их доказать:

Из определения степени с рациональным показателем следует, что:

$$ a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}=(\sqrt[p]{a})^p=(a^{\frac{1}{q}})^p,$$

Опять из определения и свойства корня n-й степени следует:

$$ a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}=\sqrt[q*k]{a^{p*k}}= a^{\frac{p*l}{q*k}}, $$

Третья формула на наш взгляд очевидна, просто сократить степень справа и получите исходное выражение.

Пример 2 $$a)\;8^{\frac{4}{3}}=(8^{\frac{1}{3}})^4=2^4=16;$$ $$б)\;4^{\frac{15}{5}}=4^{\frac{3}{1}}=4^3=64;$$ $$в)\;3^{-\frac{6}{2}}=3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}.$$

Свойства степени с рациональным показателем

Пусть \(a\) и \(b\) – некоторые положительные числа, а числа \(m\) и \(n\) – рациональные числа. Тогда выполняются соотношения:

$$ 1. \;a^m*a^n=a^{m+n}. $$

При умножении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели степени складываются.

$$2. \; a^m:a^n=a^{m-n}.$$

При делении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели степени вычитаются.

$$3. \; (a^m)^n=a^{m*n}.$$

При возведении степени с рациональным показателем в степень с рациональным показателем их показатели перемножаются.

$$4. \; (a*b)^n=a^n*b^n.$$

Степень с рациональным показателем от произведения двух положительных чисел равна произведению степеней этих множителей.

$$ 5.\; (\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}.$$

Степень с рациональным показателем от частного двух положительных чисел равна частному степеней этих чисел.

И еще два очень важных свойства степеней. Они вам понадобятся при решении показательных уравнений и неравенств.

Пусть опять есть некоторое положительное число \(a>1\) и рациональные числа \(n\) и \(m\).

$$6.\;$$

При \(n \gt 0\) \(a^n \gt 1\),

При \(n \lt 0\) \(0 \lt a^n \lt 1\).

$$7.$$

Если же \(a \gt 1\) и \(n \gt m\), то

$$ a^n>a^m.$$

Если \( 0 \lt a \lt 1 \) и \(n \gt m\), то

$$ a^n \lt a^m.$$

Разберем несколько примеров:

Пример 3 $$ 3^{-\frac{3}{4}}*3^{-\frac{1}{4}}=3^{-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}=3^{-1}=\frac{1}{3};$$ $$ 2^{\frac{1}{2}}:2^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{3};$$ $$ (5^{-\frac{1}{2}})^{-4}=5^{(-\frac{1}{2})*(-4)}=5^2=25; $$ $$ (0,125)^{-\frac{2}{3}}*8^{-\frac{2}{3}}=(0,125*8)^{-\frac{2}{3}}=1^{-\frac{2}{3}}=1; $$ $$ (4,4)^{\frac{1}{3}}:(0,55)^{\frac{1}{3}}=(\frac{4,4}{0,55})^{\frac{1}{3}}=8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2;$$ $$ 3^{\frac{1}{3}} \lt 3^{\frac{1}{2}},$$

Так как основание степени больше единицы \(3 \gt 1\) и \(\frac{1}{3} \lt \frac{1}{2}\).

$$ (\frac{1}{5})^{\frac{1}{3}} \gt (\frac{1}{5})^{\frac{1}{2}}, $$

Так как \(0 \lt \frac{1}{5} \lt 1\) и \(\frac{1}{3} \lt \frac{1}{2}\)

Электронная презентация "Степень с рациональным показателем"

Слайд 1

Степень с рациональным показателем 20 упражнений с решениями Выполнил: студент 1 курса 412 группы Зайцева Владимира Сергеевича ФГОУ СПО «Приморский политехнический колледж»

Слайд 2

20 примеров решений степеней с рациональным показателем Пример 1 Пример 2 Пример 3 Пример 4 Пример 5 Пример 6 Пример 7 Пример 8 Пример 9 Пример 10 Пример 11 Пример 12 Пример 13 Пример 14 Пример 15 Пример 16 Пример 17 Пример 18 Пример 19 Пример 20 Правило :

Слайд 3

Пример 1 Ответ : Представить в виде корня n -ой степени : Правило :

Слайд 4

Ответ : Пример 2 Выполнить действия : Правило :

Слайд 5

Пример 3 Ответ :5 Упростить выражения : Правило :

Слайд 6

Пример 4 Ответ : a b Упростить выражения : Правило :

Слайд 7

Пример 5 Упростить выражения : Ответ : 2a Правило :

Слайд 8

Пример 6 Ответ : Упростить выражения : Правило :

Слайд 9

Пример 7 Упростить выражения : Ответ :0 Правило :

Слайд 10

Пример 8 Ответ : Выполнить действия : Правило :

Слайд 11

Пример 9 Найдите значение выражения : Ответ : 1 Правило :

Слайд 12

Пример 10 Ответ : 10000 Найдите значение выражения : Правило :

Слайд 13

Пример 11 Выполнить действия : Ответ : Правило :

Слайд 14

Пример 12 Записать в виде степени : Ответ : Правило :

Слайд 15

Пример 13 Выполнить действия : Ответ : Правило :

Слайд 16

Пример 14 Представьте выражение в виде степени с основанием X: Ответ : Правило :

Слайд 17

Пример 15 Представьте выражение в виде степени с основанием X: Ответ : Правило :

Слайд 18

Пример 16 Выполнить действия : Ответ : Правило :

Слайд 19

Пример 17 Сократить дробь : Ответ : Правило :

Слайд 20

Пример 18 Ответ :1 Упростить выражение : Правило :

Слайд 21

Пример 19 Ответ :x-1 Сократить дробь : Правило :

Слайд 22

Пример 20 Найдите значение выражения : Ответ : 8 Правило :

Слайд 23

Для любых рациональных чисел r и s и любых положительных а и b справедливы равенства : 1. a r * a s =a r+s . 2. a r :a s =a r-s . 3. ( a r ) s =a rs . 4. ( ab ) r =a r * a s . 5. Определение. Корнем n-й степени из числа a называется такое число, n-я степень которого равна a . Формулы и свойства степеней (степени с целыми показателями) a 1 = а, a 0 = 1 ( a ≠ 0), a -n = 1/ a n . 1° a m a n = a m+n ; 2° a m / a n = a m-n ; 3° ( ab ) n = a n b n ; 4° ( a m ) n = a mn ; 5° ( a / b ) n = a n / b n . Определение. Арифметическим корнем n-й степени из числа a называют неотрицательное число, n-я степень которого равна а.

Методическая разработка по математике на тему "Степени с рациональными показателями"

Практическое занятие

Тема: Нахождение значений степеней с рациональными показателями

Цель: Формирование умения решать задания на преобразование выражений, содержащих показатели степени; закрепить знания свойств степени с рациональным показателем.

Норма времени: (1час)

Методические указания

Выражение an называется степенью с натуральным показателем.

Число a называется основанием степени, а n - показателем степени. Третья степень числа называется кубом, вторая - квадратом. Первой степенью называется само число a.

Пусть a - любое действительное число; n - натуральное число, большее единицы. n-й степенью числа a называется произведение n множителей, каждый из которых равен a. Если n = 1, то по определению считают, что a1 = a.

Если a≠0, то a0=1. Выражение 00 не имеет смысла.

Если a≠0, и n– натуральное, то

Выражение 0-n не имеет смысла.

Свойства степени:

hello_html_7c7c74bd.gif

hello_html_36d29422.gif

hello_html_m1ee99be0.gif

hello_html_745f9c48.gif

hello_html_m1634cfee.gif

hello_html_m41540030.gif

hello_html_m650892cb.gif

Степень с рациональным показателем:

    Пусть p – произвольное положительное рациональное число. Тогда это рациональное число можно представить в виде несократимой дроби

hello_html_336b7e96.gif

где m и n – натуральные числа.

Предположим также, что a – произвольное положительное действительное число.

      Степень, показатель которой есть положительное рациональное число, определяется по формуле:

hello_html_m34a4c208.gif

      Степень, показатель которой есть отрицательное рациональное число, определяется по формуле:

hello_html_m1fc3469c.gif

 Пример1.

hello_html_1425991.gif

Свойства степеней с рациональными показателями

Пример2.

  1. hello_html_m1508ebe3.png;

  2. hello_html_m7668c8b1.png

 

Содержание работы

Выполните индивидуальные задания:

  1. Упростите выражение.

3. Вычислите.

Контрольные вопросы

  1. Дайте определение множества рациональных чисел?

  2. Перечислите свойства степени с целым показателем.

  3. Понятие степени с рациональным показателем.

  4. Что можно сказать о свойствах степени числа с целым показателем и свойствах степени с рациональным показателем?

  5. Можно ли представить отрицательное число в виде степени с рациональным показателем?

Тема урока "Степени с рациональным показателем"

Тема: Степени с рациональным показателем

Цель урока: рассмотрение свойств степени с рациональным показателем

Задачи урока: решение примеров с рациональным показателем

Ход урока:

I этап: Организационный момент, приветствие, проверка домашнего задания

II этап: Новая тема:

Пусть p – произвольное положительное рациональное число. Тогда это рациональное число можно представить в виде несократимой дроби

где m и n – натуральные числа. Предположим также, что a – произвольное положительноедействительное число.

      Теперь мы можем дать определение степени с рациональным показателем.

      Определение. Степень, показатель которой есть положительное рациональное число, определяется по формуле:

      Определение. Степень, показатель которой есть отрицательное рациональное число, определяется по формуле:  Определение.  Степень с нулевым показателем определяется по формуле: a= 1 .

Пример:.

Свойства степеней с рациональными показателями

     Для степеней с рациональными показателями выполняются следующие свойства:

      Кроме того, если p и q – произвольные рациональные числа, то

a p a q = a p + q,       a > 0 , (a p q = a pq,       a > 0 ,(abp = a p b q,       a > 0 ,       b > 0 ,

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *