Степени с рациональным показателем примеры решения: Примеры решения степени с рациональным показателем – Степень с рациональным показателем. Ее свойства. Свойства степени с рациональным показателем. Примеры решения задач — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 20.02.202114.03.2020 by alexxlab

Содержание

Степень с рациональным показателем. Ее свойства. Свойства степени с рациональным показателем. Примеры решения задач

Степень с рациональным показателем.

Ее свойства.

Свойства степени с рациональным показателем.

Примеры решения задач.

1.Упростите выражение:

а) 14а^2/5-10(а^1\5)²=14а^2/5-10а^1/5∙^2/1=14а^2/5-10а^2\5=4а^2/5;

б)3а^0,3:1,5а^-3,7= 3/1,5 а^0,3-(-3,7)= 2а^0,3+3,7=2а⁴;

в)в^-5,6∙11в^0,4=11в^-5,6+0,4=11в^-5,2.

2. Найдите значение выражения

а) (1/4)^3а:(4^-5а) при а=0,5.

Так, как 1/4=1/4¹= 4^-1, то

(4^-1)^3а:4^-5а=4^-3а:4^-5а=4^-3а-(-5а)=4^-3а+5а=4^2а, при а=0,5

4^{2∙ 0,5}=4¹=4.

2^4в

б)^{(^_______)^-1/3при в=-2.
^{2^-2в}
2^4в
^{(^______)^-1/3=( 2^4в-(-2в))^-1/3=
(2^4в+2в)^-1/3= (2^6в)^-1/3=2^{6в∙(-1/
3)}=2^-2в, при в = -2}
^{2^-2в}
^{2^-2∙
(-2)=2⁴=16.}
в) (а^а/2∙3^а)^-1 при а=-2.
(а^а/2∙3^а)^-1=
(а^а/2)^-1∙(3^а)^-1=а^-а/
2∙3^-а, при а=-2
(-2)^{-(-2) / 2}∙3^-(-2) =(-2)^{2 /
2}∙3²=(-2)¹∙9=-18
3. Вычислить.

3.Задания для
самостоятельного решения.
1.Упростите выражение:
а) 6^0,7/ 6^0,3;
в) а^7/6:а^-5/6;
б) к ^-5,3∙4к ^0,1; г) (а^3/2: а^-7/2)∙а³;
д) 4с^2/7+ 3(с^1/7)²;^{д) (4^3а∙ 4^-2а) ^-2.}
2. Найти значение выражения
а) 5^3в
^_____при
в=0,25;
^{5^-в}
^{б) 2^7с∙2^-3
спри с=-1/4;}
в) (16^-3)^{а / 6} при
а=-1/2;
г) (4^3а∙4^-2а
)^-2 при а=-1/4.
3. Упростите выражение

4.

5. Найти значение выражения

6. Упростите
выражение.

Урок 17. степень с рациональным и действительным показателем — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №17. Степень с рациональным и действительным показателем.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) понятие степени;
2) определение степени с рациональным и действительным показателем;
3) нахождения значения степени с действительным показателем.
Глоссарий по теме
Если n- натуральное число, , m— целое число и частное является целым числом, то при справедливо равенство:
.
При любом действительном х
и любом положительном а ) степень является положительным числом:
Но если основание степени а=0, то степень определяют только при
и считают, что
При выражение не имеет смысла.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения

Пример: вычислим
Мы можем представить , тогда
Таким образом, мы можем записать
или
На основании данного примера можно сделать вывод:
Если n- натуральное число,
, m— целое число и частное является целым числом, то при 0 справедливо равенство:
.
Напомним, что r-рациональное число вида , где m— целое число , n- натуральное число. Тогда по нашей формуле получим:

Таким образом, степень определена для любого рационального показателя r и любого положительного основания а.
Если , то выражение имеет смысл не только при 0, но и при а=0, причем, Поэтому считают, что при r
0 выполняется равенство
Пользуясь формулой степень с рациональным показателем можно представить в виде корня и наоборот.
Рассмотрим несколько примеров:
Отметим, что все свойства степени с натуральным показателем, которые мы с вами повторили, верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием, а именно, для любых рациональных чисел p и q и любых 0 и 0 ы следующие равенства:
;
;
Разберем несколько примеров, воспользовавшись данными свойствами:
Вычислим:
Упростить выражение:
В числителе вынесем общий множитель ab за скобки, в знаменателе представим корни в виде дробных показателей степени:
А теперь дадим определение степени с действительным показателем, на примере .
Пусть последовательность десятичных приближений с недостатком :
Эта последовательность стремится к числу , т.е.
Числа являются рациональными, и для них определены степени т.е. определена последовательность
Можно сделать вывод, что данная последовательность стремится к некоторому действительному числу, которое обозначают , т.е. .
Опредление степени с действительным показателем.
При любом действительном х и любом положительном а ) степень является положительным числом:
Но если основание степени а=0, то степень определяют только при и считают, что
При выражение не имеет смысла.
Для степени с действительным показателем сохраняются все известные свойства степени с рациональным показателем, из которых следует теорема.
Теорема. Пусть и . Тогда .
Доказательство:
По условию . Поэтому, по свойству 1 имеем
а^(х₂). Умножив обе части этого равенства на положительное число , получим . По свойству умножения степеней получаем: , т.е. .
Из данной теоремы вытекают три следствия:
Пусть Тогда
Пусть и
.
Пусть и
.
Эти теорема и следствия помогают при решении уравнений и неравенств, сравнении чисел.
Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. Сравнить числа
Сравним показатели
Т.к. , и 12 < 18, то .
Поэтому по теореме
Пример 2. Решим уравнение
.
Поэтому уравнение можно записать так:
Получим, , разделим на 2 обе части уравнения.
Следовательно,
Пример 3. Сравнить числа
Избавимся от корней, для это возведем оба числа в шестую степень, т.к. шесть делится — наименьшее общее кратное двух и трех:
Т.к. 0<8<9 и , то , т.е. .
Урок 10: Показатель рациональный — 100urokov.ru
План урока:
Степень с рациональным показателем
Свойства дробных степеней и операции с ними
Сравнение степеней

Степень с рациональным показателем
Напомним, что в 7 классе мы впервые познакомились с понятием степени, причем тогда рассматривались случаи, когда показателем степени является натуральное число. В 8 классе понятие степени было расширено, теперь в него включались случаи, когда показатель являлся целым числом. Настоятельно рекомендуем перечитать соответствующие уроки. Сегодня же мы можем сделать ещё один шаг вперед и рассмотреть степени с рациональными показателями.
При расширении понятия степени важно обеспечить то, чтобы уже известные правила работы с целыми степенями работали и для дробных показателей. Одно из свойств степеней выглядит так:
(a^m)ⁿ = a^mn
Подставим в эту формулу следующие значения переменных:
а = 3
m = 1/6
n = 6
Мы специально выбрали эти числа такими, чтобы произведение mn равнялось единице:
mn = (1/6)•6 = 1
Подставляем эти значения:
(3^1/6)⁶ = 3^1/6^•⁶ = 3¹ = 3
Получили, что
(3^1/6)⁶ = 3
Однако по определению корня n-ой степени число, дающее при возведении в шестую степень тройку, является корнем шестой степени из трех. То есть можно записать:
С помощью подобных преобразований нам удалось указать, чему равно число, возведенное в дробную степень. Аналогично можно показать, что для любого а > 0 справедлива формула:
Действительно, если возвести левую часть в n-ую степень, то получим:
(а^1/ⁿ)ⁿ = a^1/ⁿ^•ⁿ = a
Значит, по определению корня n-ой степени
Ограничение а > 0 необходимо для того, чтобы не рассматривать случаи, когда подкоренное выражение является отрицательным.
Продолжим наши рассуждения. Чему будет равна степень а^m^/ⁿ? Ясно, что дробь m/n можно представить в виде:
m/n = (1/n)•m
C учетом этого выполним преобразование:
В результате несложных преобразований нам удалось получить формулу, позволяющую возводить число в степень, у которой рациональный показатель!
Приведем несколько примеров вычисления дробных степеней:
Часто при вычислениях удобнее сначала извлечь корень из числа, а потом полученный результат возвести в степень:
Напомним, что одну и ту же дробь можно представить разными способами, например:
1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 0,5
Возникает вопрос – изменится ли значение дробной степени, если мы приведем дробь к новому знаменателю? Очевидно, что нет, но всё же убедимся в этом на примере. Сначала возведем в степень 1/2 число 25:
Теперь заменим дробь 1/2 на идентичную ей дробь 2/4:
Результат не изменился. В общем случае есть смысл максимально сократить дробь перед вычислением, чтобы избежать операций с большими числами. Особенно это касается десятичных дробей. Например, пусть необходимо вычислить значение выражения 81^0,25. По определению десятичной дроби можно записать, что 0,25 = 25/100. Тогда вычислить 81^0,25 можно так:
Согласитесь, возводить число 81 в 25-ую степень не очень легко! Поэтому поступим иначе. Сократим дробь 25/100:
0,25 = 25/100 = 25/(25•4) = 1/4
Теперь вычисления будет более простыми:
Вообще легко запомнить, что 0,25 = 1/4, а 0,5 = 1/2. Замена десятичных дробей обыкновенными дробями сильно упрощает вычисления. Приведем примеры:

Свойства дробных степеней и операции с ними
Когда мы изучали степени с целыми показателями, мы выяснили, что правила работы с ними ничем не отличаются от правил работы со степенями с натуральным показателем. Оказывается, эти же правила работают и для степеней с рациональным показателем. Сформулируем основные свойства дробных степеней.
Например, справедливы следующие действия:
5^0,5•5^2,5 = 5^{0,5 + 2,5} = 5³ = 125
19^5/3•19^1/3 = 19^{5/3 + 1/3} = 19² = 361
29,36^–0,37•29,36^1,37 = 29,36^{–0,37 + 1,37} = 29,36¹ = 29,36
Вот несколько примеров подобных вычислений:
17^4,5:17^3,5 = 17^4,5–3,5 = 17¹ = 1
4^9,36:4^6,36 = 4^9,36–6,36 = 4³ = 64
20¹²:20¹⁴ = 20^12–14 = 20^–2
Проиллюстрируем это правило примерами:
(6^0,25)⁸ = 6^0,25•8 = 6² = 36
(9^3/2)² = 9^(3/2)•2 = 9³ = 729
(25⁴)^0,125 = 25^4•0,125 = 25^0,5 = 5
Покажем, как можно применять данное правило:
4^1/6•16^1/6 = (4•64)^1/6 = 64^1/6 = 2
0,5^1,5•50^1,5 = (0,5•50)^1,5 = 25^1,5 = 25^1+0,5 = 25¹•25^0,5 = 25•5 = 125
4,9^0,5•10^0,5 = (4,9•10)^0,5 = 49^0,5 =7
Это правило можно применять следующим образом:
360^0,5:10^0,5 = (360:10)^0,5 = 36^0,5 = 6
500³:50³ = (500:50)³ = 10³ = 1000
6,25^1/4:0,01^1/4 = (6,25:0,01)^1/4 = 625^1/4 = 5
Заметим, что степени очень удобны тем, что с их помощью легко упростить работу с корнями, ведь если
то верное и обратное:
То есть любое выражение с корнями в виде степени с рациональным показателем.

Пример. Вычислите значение выражения
Решение. Корней много, поэтому для удобства заменим их степенями
Получили тоже самое выражение, но в более компактном виде. Посчитаем его значение:
(9^1/4)^1/5•3^9/10 = (9^0,25)^0,2•3^0,9 = 9^0,25•0,2•3^0,9 = 9^0,05•3^0,9 = (3²)^0,05•3^0,9 =
=3^2•0,05•3^0,9 = 3^0,1•3^0,9 = 3^0,1•0,9 = 3¹ = 3
Ответ: 3.

Пример. Упростите выражение
(81ⁿ⁺¹– 65•81ⁿ)^0,25
Решение. Степень 81ⁿ⁺¹можно представить как произведение:
81ⁿ⁺¹ = 81ⁿ•81¹ = 81•81ⁿ
С учетом этого можно записать:
(81ⁿ⁺¹– 65•81ⁿ)^0,25 = (81•81ⁿ– 65•81ⁿ)^0,25 = (81ⁿ(81 – 65))^0,25 =
= (81ⁿ•16)^0,25 = 81^0,25ⁿ •16^0,25 = 81^0,25ⁿ •16^1/4 = 2•81^0,25ⁿ
Ответ: 2•81^0,25ⁿ.

Сравнение степеней
Напомним, что из двух корней n-ой степени больше тот, у которого больше подкоренное выражение:
Отсюда следует вывод, что если a<b, то
а^1/ⁿ<b^1/ⁿ
теперь возведем каждую часть этого неравенства в степень m. Тогда получим неравенство:
а^m/ⁿ<b^m^/ⁿ
Получили, что из двух степеней с одинаковыми показателями меньше та, у которой меньше основание (правила сравнения будем нумеровать, чтобы на них удобнее было ссылаться):
В частности, справедливы следующие неравенства:
23^3,75< 24^3,75
63^4/3< 64^4/3
0,008^0,002< 0,008^0,002
Здесь мы рассматривали случаи, когда показатель степени является положительным числом. А что делать, если он отрицательный? Тогда степень следует «перевернуть», воспользовавшись уже известной вам формулой:
a^–ⁿ = 1/aⁿ = (1/а)ⁿ

Пример. Сравните выражения с рациональным показателем степени:
20^–3,14 и 50^–3,14
Решение. Избавимся от знака минус в показателе:
20^–3,14 = (1/20)^3,14 = 0,05^3,14
50^–3,14 = (1/50)^3,14 = 0,02^3,14
Получили две степени с одинаковым и, что принципиально важно, положительным показателем. Из них больше та, у которой больше основание. То есть из неравенства 0,02 < 0,05 следует, что
0,02^3,14< 0,05^3,14
Это означает, что
50^–3,14< 20^–3,14
Ответ: 50^–3,14< 20^–3,14.

Особенным является случай, когда показатель степени равен нулю. Напомним, что любое число в нулевой степени (кроме самого нуля) равно единице, а выражение 0⁰ не имеет смысл. Это значит, что числа в нулевой степени равны друг другу, даже если у них разные основания:
25⁰ = 26⁰ = 1
9,36⁰ = 9,37⁰ = 1
18,3546⁰ = 12,3647⁰ = 1
Несколько сложнее сравнивать числа, у которых одинаковые основания, но различные показатели. Здесь возможны три случая – основание либо равно единице, либо больше неё, либо меньше неё.
На основании этого правила можно записать, что:
5^3,14< 5^3,15
45^–0,563< 45^0,001
1,235^–5,623< 1,235^–4,958
Единица в любой степени равна самой себе. Поэтому, если у двух чисел в основании записана именно она, то они должны быть равны друг другу:
1^–7,56 = 1^–0,15 = 1^0,236 = 1^521,36 = 1
Осталось рассмотреть случай, когда основание меньше единицы (но всё равно положительное). В таком случае ситуация становится противоположной – чем больше степень, тем меньше число. Проиллюстрируем это на примере. Пусть надо сравнить числа 0,5^7,6 и 0,5^8,9. Заменим дробь 0,5 так, чтобы вместо нее получилась степень с основанием, большим единицы:
0,5 = 1/2 = 1/(2¹) = 2^–1
Итак, 0,5 = 2^–1. Тогда можно записать, что:
0,5^7,6 = (2^–1)^7,6 = 2^–7,6
0,5^8,9 = (2^–1)^8,9 = 2^–8,9
Такие числа мы уже умеем сравнивать. Так как
– 8,9 <– 7,6
то и
2^–8,9< 2^–7,6
Следовательно, 0,5^7,6> 0,5^8,9.
Например, справедливы неравенства:
0,99⁷> 0,99^7,24
0,57^15,36> 0,57^16,47
0,49^0,04> 0,49^0,05
Рассмотрим чуть более сложное задание на сравнение степеней, где надо использовать одновременно несколько правил.

Пример. Докажите, что
0,9^0,9 + 0,8^0,8 + 0,7^0,7< 28^1/3
Решение. Напрямую вычислить значение выражений в правой и левой части затруднительно. Однако мы можем усиливать неравенство, чтобы получить более простые выражения.
Усилить неравенство – это значит увеличить его меньшую или уменьшить большую часть. Например, неравенство 10 < 20 усилится, если вместо 10 написать большее число (11 < 20), или вместо 20 написать меньшее число (10 < 19). Очевидно, что если усиленное неравенство верное, то и изначальное (ослабленное) также справедливо.
Очевидно, что можно легко посчитать значение выражения 27^1/3:
Также ясно, что 27^1/3< 28^1/3 (правило 1). Усилим исходное неравенство:
0,9^0,9 + 0,8^0,8 + 0,7^0,7< 27^1/3 (1)
Действительно, если (1) справедливо, то мы можем записать двойное неравенство
0,9^0,9 + 0,8^0,8 + 0,7^0,7< 27^1/3< 28^1/3
Опустив здесь среднюю часть, получим исходное неравенство. Так как 27^1/3 = 3, мы можем переписать (1) так:
0,9^0,9 + 0,8^0,8 + 0,7^0,7<3 (2)
Далее будем работать с левой частью. Очевидно, что 0,8^0,8< 0,9^0,8 (снова используем правило 1). С другой стороны, 0,9^0,8< 0,9^0,7 (правило 3). Значит, можно записать двойное неравенство:
0,8^0,8< 0,9^0,8<0,9^0,7
или просто 0,8^0,8<0,9^0,7. Абсолютно аналогично можно записать, что
0,7^0,8< 0,9^0,7<0,9^0,7
Или 0,7^0,8<0,9^0,7. Наконец, в силу правила (3), 0,9^0,9<0,9^0,7. Итак, имеем три неравенства:
0,9^0,9<0,9^0,7
0,8^0,8<0,9^0,7
0,7^0,8<0,9^0,7
Их левые части стоят в (2). Следовательно, можно усилить (2):
0,9^0,7 + 0,9^0,7 + 0,9^0,7<3
3•0,9^0,7< 3
Поделим обе части на 3:
0,9^0,7< 1
Заменим единицу равным ему выражением 1^0,7:
0,9^0,7<1^0,7 (4)
Из правила 1 следует, что (4) справедливо. Но мы получили его, усиливая исходное неравенство. Из справедливости более сильного неравенства следует и справедливость более слабого. Следовательно, из справедливости (4) вытекает верность исходного неравенства, которое и надо было доказать.

Степень с рациональным показателем
Мы уже знакомы с понятием степени с целым показателем. Давайте разберемся, что такое степень с рациональным показателем.
Рациональный показатель – это выражение вида $\frac{p}{q}$, где $p$-некоторое целое число, а $q$ – натуральное число, причем $q\ge2$.
Определение
Положительное число $a$ в рациональной степени $\frac{p}{q}$ является арифметическим корнем степени $q$ из числа $a$ в степени $p$:
$$ a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}. $$Обращаем ваше внимание, что
$$ \sqrt[q]{p}=(\sqrt[p]{a})^p,$$Неважно в каком порядке – сначала извлечь корень или возвести в степень, от этого смысл выражения не теряется. Как удобнее, так и считайте. Пример 1
$$ 8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}=(\sqrt[3]{8})^2=2^2=4; $$
$$ 3^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{3}; $$
$$ 5^{\frac{3}{2}}=\sqrt{5^3};$$
$$ 7^{-\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{7^{-5}}.$$Теорема
Пусть есть некоторое положительное число $a$ и целое число $p$, тогда справедливы следующие соотношения: $$1.\; a^{\frac{p}{q}}=(a^{\frac{1}{q}})^p,$$
$$2.\; a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{p*k}{q*k}},$$
$$ 3.\;a^p= a^{\frac{pq}{q}}, $$где $k$ и $q$ – натуральные числа большие 1.
Давайте попробуем их доказать:
Из определения степени с рациональным показателем следует, что:
$$ a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}=(\sqrt[p]{a})^p=(a^{\frac{1}{q}})^p,$$Опять из определения и свойства корня n-й степени следует:
$$ a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}=\sqrt[q*k]{a^{p*k}}= a^{\frac{p*l}{q*k}}, $$Третья формула на наш взгляд очевидна, просто сократить степень справа и получите исходное выражение. Пример 2
$$a)\;8^{\frac{4}{3}}=(8^{\frac{1}{3}})^4=2^4=16;$$
$$б)\;4^{\frac{15}{5}}=4^{\frac{3}{1}}=4^3=64;$$
$$в)\;3^{-\frac{6}{2}}=3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}.$$Свойства степени с рациональным показателем
Пусть $a$ и $b$ – некоторые положительные числа, а числа $m$ и $n$ – рациональные числа. Тогда выполняются соотношения:
$$ 1. \;a^m*a^n=a^{m+n}. $$При умножении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели степени складываются.
$$2. \; a^m:a^n=a^{m-n}.$$При делении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели степени вычитаются.
$$3. \; (a^m)^n=a^{m*n}.$$При возведении степени с рациональным показателем в степень с рациональным показателем их показатели перемножаются.
$$4. \; (a*b)^n=a^n*b^n.$$Степень с рациональным показателем от произведения двух положительных чисел равна произведению степеней этих множителей.
$$ 5.\; (\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}.$$Степень с рациональным показателем от частного двух положительных чисел равна частному степеней этих чисел.
И еще два очень важных свойства степеней. Они вам понадобятся при решении показательных уравнений и неравенств.
Пусть опять есть некоторое положительное число $a>1$ и рациональные числа $n$ и $m$.
$$6.\;$$При $n \gt 0$ $a^n \gt 1$,
При $n \lt 0$ $0 \lt a^n \lt 1$.
$$7.$$Если же $a \gt 1$ и $n \gt m$, то
$$ a^n>a^m.$$Если $ 0 \lt a \lt 1 $ и $n \gt m$, то
$$ a^n \lt a^m.$$Разберем несколько примеров: Пример 3
$$ 3^{-\frac{3}{4}}*3^{-\frac{1}{4}}=3^{-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}=3^{-1}=\frac{1}{3};$$
$$ 2^{\frac{1}{2}}:2^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{3};$$
$$ (5^{-\frac{1}{2}})^{-4}=5^{(-\frac{1}{2})*(-4)}=5^2=25; $$
$$ (0,125)^{-\frac{2}{3}}*8^{-\frac{2}{3}}=(0,125*8)^{-\frac{2}{3}}=1^{-\frac{2}{3}}=1; $$
$$ (4,4)^{\frac{1}{3}}:(0,55)^{\frac{1}{3}}=(\frac{4,4}{0,55})^{\frac{1}{3}}=8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2;$$
$$ 3^{\frac{1}{3}} \lt 3^{\frac{1}{2}},$$Так как основание степени больше единицы $3 \gt 1$ и $\frac{1}{3} \lt \frac{1}{2}$.
$$ (\frac{1}{5})^{\frac{1}{3}} \gt (\frac{1}{5})^{\frac{1}{2}}, $$Так как $0 \lt \frac{1}{5} \lt 1$ и $\frac{1}{3} \lt \frac{1}{2}$
Электронная презентация «Степень с рациональным показателем»
Слайд 1
Степень с рациональным показателем 20 упражнений с решениями Выполнил: студент 1 курса 412 группы Зайцева Владимира Сергеевича ФГОУ СПО «Приморский политехнический колледж»Слайд 2
20 примеров решений степеней с рациональным показателем Пример 1 Пример 2 Пример 3 Пример 4 Пример 5 Пример 6 Пример 7 Пример 8 Пример 9 Пример 10 Пример 11 Пример 12 Пример 13 Пример 14 Пример 15 Пример 16 Пример 17 Пример 18 Пример 19 Пример 20 Правило :
Слайд 3
Пример 1 Ответ : Представить в виде корня n -ой степени : Правило :
Слайд 4
Ответ : Пример 2 Выполнить действия : Правило :
Слайд 5
Пример 3 Ответ :5 Упростить выражения : Правило :
Слайд 6
Пример 4 Ответ : a b Упростить выражения : Правило :
Слайд 7
Пример 5 Упростить выражения : Ответ : 2a Правило :
Слайд 8
Пример 6 Ответ : Упростить выражения : Правило :
Слайд 9
Пример 7 Упростить выражения : Ответ :0 Правило :
Слайд 10
Пример 8 Ответ : Выполнить действия : Правило :
Слайд 11
Пример 9 Найдите значение выражения : Ответ : 1 Правило :
Слайд 12
Пример 10 Ответ : 10000 Найдите значение выражения : Правило :
Слайд 13
Пример 11 Выполнить действия : Ответ : Правило :
Слайд 14
Пример 12 Записать в виде степени : Ответ : Правило :
Слайд 15
Пример 13 Выполнить действия : Ответ : Правило :
Слайд 16
Пример 14 Представьте выражение в виде степени с основанием X: Ответ : Правило :
Слайд 17
Пример 15 Представьте выражение в виде степени с основанием X: Ответ : Правило :
Слайд 18
Пример 16 Выполнить действия : Ответ : Правило :
Слайд 19
Пример 17 Сократить дробь : Ответ : Правило :
Слайд 20
Пример 18 Ответ :1 Упростить выражение : Правило :
Слайд 21
Пример 19 Ответ :x-1 Сократить дробь : Правило :
Слайд 22
Пример 20 Найдите значение выражения : Ответ : 8 Правило :
Слайд 23
Для любых рациональных чисел r и s и любых положительных а и b справедливы равенства : 1. a r * a s =a r+s . 2. a r :a s =a r-s . 3. ( a r ) s =a rs . 4. ( ab ) r =a r * a s . 5. Определение. Корнем n-й степени из числа a называется такое число, n-я степень которого равна a . Формулы и свойства степеней (степени с целыми показателями) a 1 = а, a 0 = 1 ( a ≠ 0), a -n = 1/ a n . 1° a m a n = a m+n ; 2° a m / a n = a m-n ; 3° ( ab ) n = a n b n ; 4° ( a m ) n = a mn ; 5° ( a / b ) n = a n / b n . Определение. Арифметическим корнем n-й степени из числа a называют неотрицательное число, n-я степень которого равна а.
Методическая разработка по математике на тему «Степени с рациональными показателями»
Практическое занятие
Тема: Нахождение значений степеней с рациональными показателями
Цель: Формирование умения решать задания на преобразование выражений, содержащих показатели степени; закрепить знания свойств степени с рациональным показателем.
Норма времени: (1час)
Методические указания
Выражение aⁿ называется степенью с натуральным показателем.
Число a называется основанием степени, а n — показателем степени. Третья степень числа называется кубом, вторая — квадратом. Первой степенью называется само число a.
Пусть a — любое действительное число; n — натуральное число, большее единицы. n-й степенью числа a называется произведение n множителей, каждый из которых равен a. Если n = 1, то по определению считают, что a¹ = a.
Если a≠0, то a⁰=1. Выражение 0⁰ не имеет смысла.
Если a≠0, и n– натуральное, то
Выражение 0^-n не имеет смысла.
Свойства степени:
Степень с рациональным показателем:
Пусть p – произвольное положительное рациональное число. Тогда это рациональное число можно представить в виде несократимой дроби
где m и n – натуральные числа.
Предположим также, что a – произвольное положительное действительное число.
  Степень, показатель которой есть положительное рациональное число, определяется по формуле:
  Степень, показатель которой есть отрицательное рациональное число, определяется по формуле:
Пример1.
Свойства степеней с рациональными показателями
Пример2.
;

Содержание работы
Выполните индивидуальные задания:
Упростите выражение.
3. Вычислите.
Контрольные вопросы

Дайте определение множества рациональных чисел?
Перечислите свойства степени с целым показателем.
Понятие степени с рациональным показателем.
Что можно сказать о свойствах степени числа с целым показателем и свойствах степени с рациональным показателем?
Можно ли представить отрицательное число в виде степени с рациональным показателем?
Тема урока «Степени с рациональным показателем»
Тема: Степени с рациональным показателем
Цель урока: рассмотрение свойств степени с рациональным показателем
Задачи урока: решение примеров с рациональным показателем
Ход урока:
I этап: Организационный момент, приветствие, проверка домашнего задания
II этап: Новая тема:
Пусть p – произвольное положительное рациональное число. Тогда это рациональное число можно представить в виде несократимой дроби
где m и n – натуральные числа. Предположим также, что a – произвольное положительноедействительное число.
Теперь мы можем дать определение степени с рациональным показателем.
  Определение. Степень, показатель которой есть положительное рациональное число, определяется по формуле:
  Определение. Степень, показатель которой есть отрицательное рациональное число, определяется по формуле: Определение. Степень с нулевым показателем определяется по формуле: a⁰= 1 .
Пример:.
Свойства степеней с рациональными показателями
Для степеней с рациональными показателями выполняются следующие свойства:
_{_Кроме_того_,_если_p_и_q_–_{произвольные}_{рациональные}_числа_,_то}
a^p a^q = a^{p + q}, a > 0 ,₍_a^p₎^q_{= a}^pq_{, a}_{> 0 ,(}_ab₎^p_{= a}^p_b^q_{, a}_{> 0 ,}_b_{> 0 ,}}