Стереометрия теория – Смежные и вертикальные углы. Треугольник. Равнобедренный треугольник. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия

Стереометрия — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 28 апреля 2019; проверки требуют 3 правки. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 28 апреля 2019; проверки требуют 3 правки.

Стереоме́трия (от др.-греч. στερεός [стереос] «твёрдый; объёмный, пространственный» + μετρέω [метрео] «измеряю») — раздел евклидовой геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основными (простейшими) фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путём рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.

Не стоит путать этот раздел с планиметрией, поскольку в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (свойства плоских фигур), а в стереометрии — свойства фигур в пространстве (свойства пространственных фигур).

  • На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере две точки.
  • В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
  • Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
  • Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
  • Если две точки прямой лежат на одной плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости.
  • Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
  • Любая плоскость α разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что:
    1. любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены плоскостью α;
    2. любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью α.
  • Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, содержащей эти точки.

Многогранник представляет собой тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника, а стороны и вершины многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Многогранники могут быть выпуклыми и невыпуклыми . Выпуклый многогранник расположен по одну сторону относительно плоскости, проходящей через любую его грань .

  • В. В. Прасолов, И. Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989.
  • И. Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии (стереометрия). М.: Наука, 1984. — 160 с. (Библиотечка «Квант», Выпуск 31).

ru.wikipedia.org

Введение в стереометрию — урок. Геометрия, 10 класс.

Школьный курс геометрии состоит из планиметрии и стереометрии.

 

Планиметрия изучает фигуры и их свойства на плоскости. Образно говоря, планиметрия изучает всё, что можно нарисовать или начертить на листе бумаги.

Основные объекты планиметрии — это точки, линии и замкнутые фигуры (например: квадрат, треугольник, круг, трапеция, ромб). Множество всех точек, рассматриваемых в планиметрии, образует
плоскость
. Множество точек в планиметрии называется фигурой. Замкнутая фигура в планиметрии — это множество точек, ограниченных линией.Стереометрия изучает фигуры и их свойства в пространстве. Образно говоря, стереометрия изучает всё, что можно склеить из бумаги, сколотить из досок, построить из кирпичей и т. п.

Основными объектами стереометрии являются точки, прямые, плоскости и замкнутые пространственные фигуры (например: куб, пирамида, параллелепипед, шар, конус). Множество всех точек, рассматриваемых в стереометрии, называется пространством. Любое множество точек называется фигурой. Замкнутая фигура в стереометрии — это множество точек, ограниченных поверхностью.

Пример:

на анимированных иллюстрациях наглядно показаны связь и различие плоских и пространственных фигур.


Ваш браузер не поддерживает HTML5 видео

Ваш браузер не поддерживает HTML5 видео

Так как каждая прямая и каждая плоскость содержат какие-либо точки, то прямая и плоскость тоже являются фигурами стереометрии.
Плоскость бесконечна и делит пространство на две части.

Точки обозначаются прописными латинскими буквами: \(A, B, C, D, E, F…\)
Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: \(a, b, c, d, e, f…\)
Плоскости обозначаются греческими буквами: α,β,γ и т. д.

www.yaklass.ru

Стереометрия. Классификация и методы решения

Анна Малкова

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике – стереометрия. Если несколько лет назад с ним справлялся любой гуманитарий, то сейчас задача 14 состоит из двух пунктов.

Пункт (а) – доказательство какого-либо утверждения.

Пункт (б) – вычисление какой-либо величины.

Кстати, там есть и еще один, неявный пункт: построение чертежа. Без хорошего чертежа в этой задаче ничего не получится.

Есть небольшой секрет: то, что вы доказываете в пункте (а), чаще всего помогает решить пункт (б).

И оказывается, что Задачи 14 по стереометрии из Профильного ЕГЭ по математике обычно относятся к одному из нескольких типов – в зависимости от того, что нужно найти. И для каждого типа задач – свои способы решения.

Эта небольшая таблица будет вашим путеводителем. Вы увидите, что делать в той или иной задаче.

Типы задач Методы решения
Угол между прямыми

1) Находим угол между прямыми как угол треугольника (теорема косинусов). Пользуемся определением угла между скрещивающимися прямыми.

2) Возможно – применение теоремы о трех перпендикулярах

3) Векторно-координатный способ

Угол между прямой и плоскостью

1) По определению (как угол между прямой и ее проекцией на плоскость)

2) Векторно-координатный способ

3) В случае перпендикулярности прямой и плоскости – доказываем, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости

Угол между плоскостями
4) По определению (как угол между перпендикулярами, проведенными в этих плоскостях к линии их пересечения)

5) С помощью формулы площади прямоугольной проекции фигуры

6) Векторно-координатный способ – как угол между нормалями к плоскостям

Расстояние от точки до плоскости 1) По определению (как длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость)

2) С помощью метода объемов

3) Координатный способ. Пользуемся формулой расстояния от точки до плоскости.

Расстояние между скрещивающимися прямыми 1) По определению (как длину их общего перпендикуляра)

2) Как расстояние между одной из этих прямых и параллельной ей плоскостью, в которой лежит другая прямая.

3) Как расстояние между параллельными плоскостями, в которых лежат эти прямые.

Нахождение радиуса сферы, вписанной в многогранник

1) Находим центр сферы как точку, равноудаленную от всех граней многогранника

2) Разбиваем многогранник на пирамиды с общей вершиной в центре вписанной сферы. Представляем объем многогранника как сумму объемов этих пирамид.

 

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (справочник по математике для школьников - Геометрия

Прямые и плоскости в пространстве

Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия способы задания плоскости в пространствеСпособы задания плоскости в пространстве.
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве признак параллельности прямой и плоскости
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости.
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия взаимное расположение двух прямых в пространстве признак скрещивающихся прямых угол между скрещивающимися прямымиВзаимное расположение двух прямых в пространстве. Признак скрещивающихся прямых.Угол между скрещивающимися прямыми.
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия взаимное расположение двух прямых в пространствеВзаимное расположение двух прямых в пространстве
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия признак скрещивающихся прямыхПризнак скрещивающихся прямых
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия угол между скрещивающимися прямыми
Угол между скрещивающимися прямыми
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия взаимное расположение двух плоскостей в пространстве признаки параллельности плоскостейВзаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Признаки параллельности плоскостей.
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия взаимное расположение двух плоскостей в пространстве признаки параллельности плоскостейПризнаки параллельности плоскостей
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия взаимное расположение трех плоскостей в пространствеВзаимное расположение трех плоскостей в пространстве
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия двугранные углы углы между плоскостями перпендикулярность плоскостей
Двугранные углы. Углы между плоскостями. Перпендикулярность плоскостей
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия прямая перпендикулярная к плоскости признак перпендикулярности прямой и плоскости расстояние от точки до плоскостиПрямая, перпендикулярная к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Расстояние от точки до плоскости
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия прямая перпендикулярная к плоскости признак перпендикулярности прямой и плоскостиПрямая, перпендикулярная к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия cвойства перпендикуляра к плоскостиСвойства перпендикуляра к плоскости. Расстояние от точки до плоскости
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия ортогональная проекция прямой на плоскость угол между прямой и плоскостью теорема о трех перпендикулярах обратная теорема
Ортогональная проекция прямой на плоскость. Угол между прямой и плоскостью. Теорема о трех перпендикулярах
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия ортогональная проекция прямой на плоскостьПроекция точки на плоскость. Проекция прямой на плоскость
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия угол между прямой и плоскостьюУгол между прямой и плоскостью
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия теорема о трех перпендикулярах обратная теоремаТеорема о трех перпендикулярах. Обратная теорема
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия расстояние между фигурамиРасстояние между двумя фигурами
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямымиОбщий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Проекции геометрических фигур

Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия ортогональная проекция прямой на плоскость угол между прямой и плоскостью теорема о трех перпендикулярах обратная теоремаОртогональная проекция прямой на плоскость.Угол между прямой и плоскостью. Теорема о трех перпендикулярах
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия ортогональная проекция прямой на плоскостьПроекция точки на плоскость. Проекция прямой на плоскость
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия угол между прямой и плоскостьюУгол между прямой и плоскостью
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия теорема о трех перпендикулярах обратная теоремаТеорема о трех перпендикулярах. Обратная теорема
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия длина ортогональной проекции отрезка площадь ортогональной проекции треугольника площадь проекции многоугольникаДлина ортогональной проекции отрезка. Площадь ортогональной проекции многоугольника
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия длина ортогональной проекции отрезкаДлина ортогональной проекции отрезка
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия площадь проекции треугольникаПлощадь проекции треугольника
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия площадь проекции многоугольникаПлощадь проекции многоугольника

Призмы

Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия призма прямая наклонная правильная призма боковые грани боковая поверхность основания вершины боковые ребра ребро основания призмы теорема Эйлера высота диагональ призмы примеры призм параллелепипеды кубПризмы
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия призма боковые грани призмы боковая поверхность призмы основания призмы вершины призмы боковые ребра призмы ребро основания призмы теорема Эйлера высота призмы диагональ призмы примеры призмОсновные определения и свойства призм. Теорема Эйлера для призм
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия призма прямая призма наклонная призма правильная призмаВиды призм. Прямые и наклонные призмы. Правильные призмы
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия  призма прямая призма наклонная призма правильная призма примеры призм параллелепипед кубПримеры призм. Треугольные призмы. Четырехугольные призмы. Параллелепипеды
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия сечения призмы перпендикулярные сечения призмы сечения параллелепипеда сечения кубаСечения призмы. Перпендикулярные сечения призмы
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия сечения призмы сечения параллелепипеда сечения кубаСечения призмы
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия перпендикулярные сечения призмыПерпендикулярные сечения призмы
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия формулы для объема площади боковой поверхности и площади полной поверхности призмы прямой призмы правильной призмы параллелелепипеда прямого параллелепипеда прямоугольного параллелепипеда кубаФормулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности призмы

Пирамиды

Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия пирамида вершина пирамиды боковые ребра пирамиды ребра основание пирамиды боковые грани пирамиды правильная пирамида апофема тетраэдр основание высота боковая поверхность площадь боковой поверхности полная поверхность площадь полной поверхности объем пирамиды теорема ЭйлераПирамиды. Правильные пирамиды. Теорема Эйлера. Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности пирамиды
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия пирамида вершина пирамиды боковые ребра пирамиды ребра основания пирамиды боковые грани пирамиды основание высота боковая поверхность полная поверхность теорема ЭйлераПирамиды. Теорема Эйлера для пирамид
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия правильная пирамида апофема свойства правильной пирамидыПравильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия тетраэдр правильный тетраэдрТетраэдры. Правильные тетраэдры
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия  объем площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности пирамиды объем площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности правильной пирамидыФормулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности пирамиды
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды правильная усеченная пирамида апофема основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды площадь боковой поверхности усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды площадь полной поверхности для усеченной пирамиды теорема Эйлера объем усеченной пирамидыУсеченные пирамиды. Теорема Эйлера. Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности усеченной пирамиды
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия  усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды теорема ЭйлераУсеченные пирамиды. Теорема Эйлера для усеченных пирамид
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия правильная усеченная пирамида апофемаПравильные усеченные пирамиды
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия площадь боковой поверхности усеченной пирамиды площадь полной поверхности для усеченной пирамиды объем усеченной пирамидыФормулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности усеченной пирамиды

Октаэдры

Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия октаэдр площадь поверхности октаэдра объем октаэдраОктаэдр. Объем и площадь поверхности октаэдра
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия октаэдр теорема ЭйлераОктаэдр
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия Объем и площадь поверхности октаэдраОбъем и площадь поверхности октаэдра

Сферы и шары

Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия сфера шар шаровой слой сферический слой шаровой пояс сферический пояс основания высота сферический сегмент шаровой сегмент шаровой сектор площадь сферического сегмента площадь сферического пояса площадь сферы объем шара объем шарового сектора объем шарового слоя объем шарового сегментамСфера и шар. Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия сфера шар шаровой слой сферический слой шаровой пояс сферический пояс основания высота сферический сегмент шаровой сегмент шаровой сектор площадь сферического сегментаШар, сфера и их части
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия площадь сферического пояса площадь сферы объем шара объем шарового сектора объем шарового слоя объем шарового сегментаПлощади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия взаимное расположение сферы и плоскости в пространстве касательная плоскость пересечение по большому кругуВзаимное расположение сферы и плоскости в пространстве

Цилиндры

Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия цилиндр образующая цилиндра ось цилиндра осевое сечение цилиндра основание высота боковая поверхность полная поверхность объем цилиндра площадь боковой поверхности цилиндра площадь полной поверхности цилиндраЦилиндры
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия цилиндр образующая цилиндра ось цилиндра основание высота боковая поверхность полная поверхность цилиндраОсновные определения и свойства цилиндра
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия осевое сечение цилиндра перпендикулярное сечение цилиндраСечения цилиндра
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия объем цилиндра площадь боковой поверхности цилиндра площадь полной поверхности цилиндраОбъем цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия взаимное расположение цилиндра и плоскости в пространстве касательная плоскость осевое сечение цилиндраВзаимное расположение цилиндра и плоскости в пространстве

Конусы

Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия конус образующая конуса высота конуса основание конуса объем конуса конуса площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности конуса усеченный конус основания усеченного конуса высота усеченного конуса образующая усеченного конуса объем усеченного конуса площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности усеченного конусаКонусы. Усеченные конусы. Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия конус образующая конуса усеченный конус основание высота боковая поверхность полная поверхность конусаКонусы
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия усеченный конус основания высота боковая поверхность полная поверхность усеченного конусаУсеченные конусы
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия объем конуса площадь боковой поверхности конуса площадь полной поверхности конуса объем усеченного конуса площпдь боковой поверхности усеченного конуса площадь полной поверхностей усеченного конусаОбъем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия площадь сечения конуса плоскостью перпендикулярной к оси конуса площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конусаСечения конуса плоскостями, перпендикулярными к оси конуса, и плоскостями, проходящими через вершину конуса
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия площадь сечения конуса плоскостью перпендикулярной к оси конусаСечения конуса. Площадь сечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия площадь сечения конуса плоскостью проходящей через вершину конусаПлощадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса

Фигуры (тела) вращения

Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия тела вращения фигуры вращения ось вращения результат вращения конус усеченный конус цилиндр сфера шар шаровой слой шаровой сектор сферический поясФигуры (тела) вращения

Развертки поверхностей геометрических тел

Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия развертка поверхности треугольная призма прямой параллелепипед правильная шестиугольная призма правильная треугольная пирамида правильная четырехугольная пирамида правильная шестиугольная пирамида правильная треугольная усеченная пирамида правильная четырехугольная усеченная пирамида правильная шестиугольная усеченная пирамида цилиндр конус усеченный конусРазвертки поверхностей геометрических тел

Вписанные и описанные фигуры

Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной призмыЦилиндры, вписанные в призмы
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия цилиндры вписанные в призмы свойства призмы описанной около цилиндраЦилиндры, вписанные в призмы. Свойства призмы, описанной около цилиндра
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной призмыОтношение объемов цилиндра и описанной около него правильной n - угольной призмы
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия сфера описанная около цилиндра цилиндр вписанный в сферу отношение объемов цилиндра и описанной около него сферыСфера, описанная около цилиндра
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия призмы вписанные в цилиндры свойства призмы вписанной в цилиндр отношение объемов правильной призмы и описанного около нее цилиндраПризмы, вписанные в цилиндры
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия призмы вписанные в цилиндры свойства призмы вписанной в цилиндрПризмы, вписанные в цилиндр. Свойства призмы, вписанной в цилиндр
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия отношение объемов прямоугольного параллелепипеда и описанного около него цилиндраОтношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около этого параллелепипеда цилиндра
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия отношение объемов правильной призмы и описанного около нее цилиндраОтношение объема правильной n - угольной призмы к объему описанного около этой призмы цилиндра
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия сфера описанная около призмы свойства призмы вписанной в сферу радиус сферы описанной около правильной призмы отношение объемов правильной призмы и описанной около нее сферыПризма, вписанная в сферу
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия сфера описанная около призмы свойства призмы вписанной в сферуПризма, вписанная в сферу. Свойства призмы, вписанной в сферу
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия радиус сферы описанной около правильной призмыРадиус сферы, описанной около правильной n - угольной призмы
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия отношение объемов правильной призмы и описанной около нее сферыОтношение объема правильной n - угольной призмы к объему шара, ограниченного описанной около этой призмы сферой
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия конус вписанный в пирамиду свойства пирамиды описанной около конуса отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамидыКонус, вписанный в пирамиду
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия конус вписанный в пирамиду свойства пирамиды описанной около конусаКонус, вписанный в пирамиду. Свойства пирамиды, описанной около конуса
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамидыОтношение объемов конуса и описанной около него правильной n - угольной пирамиды
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия конус вписанный в цилиндр цилиндр описанный около конуса отношение объемов конуса и описанного около него цилиндраКонус, вписанный в цилиндр
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия конус вписанный в цилиндр цилиндр описанный около конусаКонус, вписанный в цилиндр
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия отношение объемов конуса и описанного около него цилиндраОтношение объемов конуса и описанного около него цилиндра
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия конус вписанный в призму призма описанная около конуса отношение объемов конуса и описанной около него правильной призмыКонус, вписанный в призму
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия конус вписанный в призму призма описанная около конусаКонус, вписанный в призму
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия отношение объемов конуса и описанной около него правильной призмыОтношение объемов конуса и описанной около него правильной n - угольной призмы
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия сфера описанная около конуса конус вписанный в сферу радиус сферы описанной около конуса отношение объемов конуса и описанной около него сферыСфера, описанная около конуса. Отношение объемов конуса и описанной около него сферы
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия конус описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в конус отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамидыПирамида, вписанная в конус
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия конус описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в конусПирамида, вписанная в конус. Свойства пирамиды, вписанной в конус
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамидыОтношение объемов конуса и вписанной в него правильной n - угольной пирамиды
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия цилиндр описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в цилиндр отношение объемов цилиндра и вписанной в него правильной пирамидыПирамида, вписанная в цилиндр
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия цилиндр описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в цилиндрПирамида, вписанная в цилиндр. Свойства пирамиды, вписанной в цилиндр
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия отношение объемов цилиндра и вписанной в него правильной пирамидыОтношение объемов цилиндра и вписанной в него правильной n - угольной пирамиды
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия сфера описанная около пирамиды свойства пирамиды вписанной в сферу радиус сферы описанной около правильной пирамиды радиус сферы описанной около правильного тетраэдра отношение объемов шара и вписанной в него правильной пирамидыПирамида, вписанная в сферу
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия сфера описанная около пирамиды свойства пирамиды вписанной в сферуПирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия радиус сферы описанной около правильной пирамиды радиус сферы описанной около правильного тетраэдраРадиус сферы, описанной около правильной n - угольной пирамиды
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия отношение объемов шара и вписанной в него правильной пирамидыОтношение объемов правильной n - угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия касательная прямая к сфере касательная плоскость к сфере сфера вписанная в цилиндр цилиндр описанный около сферы свойства цилиндра описанного около сферы отношение объемов сферы шара и описанного около нее цилиндраСфера, вписанная в цилиндр
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия касательная прямая к сфере касательная плоскость к сфереКасательная прямая к сфере. Касательная плоскость к сфере
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия сфера вписанная в цилиндр цилиндр описанный около сферы свойства цилиндра описанного около сферыСфера, вписанная в цилиндр
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия отношение объемов сферы шара и описанного около нее цилиндраОтношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия сфера вписанная в призму свойства прямой призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанного куба свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмыСфера, вписанная в призму
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия сфера вписанная в призму свойства прямой призмы описанной около сферыСфера, вписанная в призму. Свойства прямой призмы, описанной около сферы
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия отношение объемов сферы шара и описанного кубаОтношение объемов шара и куба, описанного около сферы, ограничивающей этот шар
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмыСвойства правильной призмы, описанной около сферы. Отношение объемов шара и правильной n - угольной призмы, описанной около сферы, ограничивающей этот шар
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия сфера вписанная в конус конус описанный около сферы отношение объемов сферы шара и описанного около нее конусаСфера, вписанная в конус
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия сфера вписанная в конус конус описанный около сферыСфера, вписанная в конус
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия отношение объемов сферы шара и описанного около нее конусаОтношение объемов шара и конуса, описанного около сферы, ограничивающей этот шар
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия биссекторная плоскость основное свойство биссекторной плоскости сфера вписанная в пирамиду свойства пирамиды описанной около сферы радиус сферы вписанной в правильную пирамиду радиус сферы вписанной в треугольную пирамиду радиус сферы вписанной в правильный тетраэдрСфера, вписанная в пирамиду
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия биссекторная плоскость основное свойство биссекторной плоскостиБиссекторная плоскость. Основное свойство биссекторной плоскости
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия сфера вписанная в пирамиду свойства пирамиды описанной около сферыСфера, вписанная в пирамиду. Свойства пирамиды, описанной около сферы
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия радиус сферы вписанной в правильную пирамиду радиус сферы вписанной в правильный тетраэдрРадиус сферы, вписанной в правильную n - угольную пирамиду
Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия радиус сферы вписанной в треугольную пирамидуСфера, вписанная в треугольную пирамиду. Формула для радиуса вписанной сферы

www.resolventa.ru

Основные понятия и аксиомы стереометрии

ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ

ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»

Учитель Математики Высшей категории

 

Основные понятия и аксиомы стереометрии


Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.
 Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.

Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.
 Плоскость. 

 Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.

На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит

 через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко

 это записывают так: А ∈ β, B ∈ β,

Аксиомы стереометрии и их следствия

Аксиома 1. 

 Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома 2. 

 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).

Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.


 

Аксиома 3. 

 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. 

В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой.

Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты

.

НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

Теорема 1. 

 Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.

Теорема 2. 

 Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

xn--j1ahfl.xn--p1ai

Планиметрия (Геометрия на плоскости) - Математика - Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Треугольник

К оглавлению...

При решении задач по геометрии помимо всех геометрических формул и свойств, которые будут приведены ниже, нужно очень хорошо помнить основные формулы по тригонометрии. Укажем для начала несколько основных свойств различных типов углов:

  • Смежные углы в сумме равны 180 градусов.
  • Вертикальные углы равны между собой.

Теперь перейдем к свойствам треугольника. Пусть имеется произвольный треугольник:

Произвольный треугольник

Тогда, сумма углов треугольника:

Формула Сумма углов треугольника

Запомните также, что сумма любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

Формула Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

Формула Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё

Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

Формула Полупериметр треугольника

Формула Герона для площади треугольника:

Формула Герона для площади треугольника

Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

Формула Площадь треугольника через радиус описанной окружности

Формула медианы (медиана - линия проведенная через некоторую вершину и середину противоположной стороны в треугольнике):

Формула медианы

Свойства медиан:

  • Все три медианы пересекаются в одной точке.
  • Медианы  делят  треугольник  на  шесть  треугольников  одинаковой  площади.
  • В точке пересечения медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершин.

Свойство биссектрисы (биссектриса - линия, которая делит некоторый угол на два равных угла, т.е. пополам):

Формула Свойство биссектрисы

Важно знать: Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис (все три биссектрисы пересекаются в этой одной точке). Формулы биссектрисы:

Формула биссектрисы

Формула биссектрисы

Основное свойство высот треугольника (высота в треугольнике - линия проходящая через некоторую вершину треугольника перпендикулярно противоположной стороне):

Формула Основное свойство высот треугольника

Все три высоты в треугольнике пересекаются в одной точке. Положение точки пересечения определяется типом треугольника:

  • Если треугольник остроугольный, то точка пересечения высот находится внутри треугольника.
  • В прямоугольном треугольнике высоты пересекаются в вершине прямого угла.
  • Если треугольник тупоугольный, то точка пересечения высот находится за пределами треугольника.

Формула высоты:

Формула высоты

Еще одно полезное свойство высот треугольника:

Формула Свойство высот треугольника

Теорема косинусов:

Формула Теорема косинусов

Теорема синусов:

Формула Теорема синусов

Центр окружности описанной около треугольника лежит на пересечении посерединных перпендикуляров. Все три посерединных перпендикуляра пересекаются в одной этой точке. Посерединный перпендикуляр - линия проведенная через середину стороны треугольника перпендикулярно ей.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

Формула Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

Формула Радиус окружности, описанной около правильного треугольника

Площадь правильного треугольника:

Формула Площадь правильного треугольника

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c - гипотенуза, a и b - катеты):

Формула Теорема Пифагора

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Формула Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

Формула Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника (h - высота опущенная на гипотенузу):

Формула Площадь прямоугольного треугольника

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

Формула Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника

Формула Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника

Формула Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника

Подобные треугольники - треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т.п.) пропорциональны. Сходственные стороны подобных треугольников - стороны, лежащие напротив равных углов. Коэффициент подобия - число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Отношение длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Признаки подобия треугольников:

  • По двум углам. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
  • По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
  • По трём сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

 

Трапеция

К оглавлению...

Трапеция - четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Длина средней линии трапеции:

Формула Длина средней линии трапеции

Площадь трапеции:

Формула Площадь трапеции

Некоторые свойства трапеций:

  • Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
  • Отрезок,  соединяющий  середины  диагоналей  трапеции,  равен  полуразности  оснований.
  • В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон находятся на одной прямой.
  • Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника. Треугольники, сторонами которых являются основания - подобны, а треугольники, сторонами которых являются боковые стороны - равновелики.
  • Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90 градусов, то отрезок соединяющий середины оснований равен полуразности оснований.
  • У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
  • У равнобедренной трапеции диагонали равны.
  • В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований.

 

Параллелограмм

К оглавлению...

Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

Формула Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

Формула Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними

Некоторые свойства параллелограмма:

  • Противоположные стороны параллелограмма равны.
  • Противоположные углы параллелограмма равны.
  • Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов.
  • Сумма всех углов параллелограмма равна 360 градусов.
  • Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.

 

Квадрат

К оглавлению...

Квадрат - четырёхугольник, у которого все стороны равны, а все углы равны по 90 градусов. Площадь квадрата через длину его стороны:

Формула Площадь квадрата через длину его стороны

Площадь квадрата через длину его диагонали:

Формула Площадь квадрата через длину его диагонали

Свойства квадрата – это все свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника одновременно.

 

Ромб и прямоугольник

К оглавлению...

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. Площадь ромба (первая формула - через две диагонали, вторая - через длину стороны и угол между сторонами):

Формула Площадь ромба

Свойства ромба:

  • Ромб является параллелограммом. Его противолежащие стороны попарно параллельны.
  • Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.
  • Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

Формула Площадь прямоугольника через две смежные стороны

Свойства прямоугольника:

  • Диагонали прямоугольника равны.
  • Прямоугольник является параллелограммом - его противоположные стороны параллельны.
  • Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
  • Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его не противоположных сторон (по теореме Пифагора).
  • Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.

 

Произвольные фигуры

К оглавлению...

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

Формула Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними

Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):

Формула Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности

Обобщённая теорема Фалеса: Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника

Сумма углов n-угольника:

Формула Сумма углов n-угольника

Центральный угол правильного n-угольника:

Формула Центральный угол правильного n-угольника

Площадь правильного n-угольника:

Формула Площадь правильного n-угольника

 

Окружность

К оглавлению...

Свойство касательных:

Свойство касательных

Свойство хорды:

Свойство хорды

Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

Формула Теорема о пропорциональных отрезках хорд

Теорема о касательной и секущей:

Формула Теорема о касательной и секущей

Теорема о двух секущих:

Формула Теорема о двух секущих

Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):

Формула Теорема о центральном и вписанном углах

Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):

Свойство вписанных углов

Свойство центральных углов и хорд:

Формула Свойство центральных углов и хорд

Свойство центральных углов и секущих:

Формула Свойство центральных углов и секущих

Длина окружности:

Формула Длина окружности

Длина дуги окружности:

Формула Длина дуги окружности

Площадь круга:

Формула Площадь круга

Площадь сектора:

Формула Площадь сектора

Площадь кольца:

Формула Площадь кольца

Площадь кругового сегмента:

Формула Площадь кругового сегмента

educon.by

Стереометрия - это... Что такое Стереометрия?

Стереометрия (от др.-греч. στερεός, «стереос» — «твёрдый, пространственный» и μετρέω — «измеряю») — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путем рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.

Не стоит путать этот раздел с планиметрией, поскольку в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (свойства плоских фигур), а в стереометрии — свойства фигур в пространстве (свойства пространственных фигур).

Аксиомы стереометрии

  • На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере две точки.
  • В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
  • Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
  • Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
  • Если две точки прямой лежат на одной плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости.
  • Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
  • Любая плоскость α разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что:
    1. любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены плоскостью α;
    2. любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью α.
  • Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, содержащей эти точки.

Многогранник

Многогранник представляет собой тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника, а стороны и вершины многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Многогранники могут быть выпуклыми и невыпуклыми . Выпуклый многогранник расположен по одну сторону относительно плоскости, проходящей через любую его грань .

Литература

  • В. В. Прасолов, И.Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989.
  • И.Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии (стереометрия). М.: Наука, 1984. — 160 с. (Библиотечка "Квант", Вып.31).

dic.academic.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *