Стереометрия — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 28 апреля 2019; проверки требуют 3 правки. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 28 апреля 2019; проверки требуют 3 правки.

Стереоме́трия (от др.-греч. στερεός [стереос] «твёрдый; объёмный, пространственный» + μετρέω [метрео] «измеряю») — раздел евклидовой геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основными (простейшими) фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путём рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.

Не стоит путать этот раздел с планиметрией, поскольку в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (свойства плоских фигур), а в стереометрии — свойства фигур в пространстве (свойства пространственных фигур).

• На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере две точки.
• В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
• Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
• Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
• Если две точки прямой лежат на одной плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости.
• Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
• Любая плоскость α разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что:
  1. любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены плоскостью α;
  2. любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью α.
• Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, содержащей эти точки.

Многогранник представляет собой тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника, а стороны и вершины многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Многогранники могут быть выпуклыми и невыпуклыми . Выпуклый многогранник расположен по одну сторону относительно плоскости, проходящей через любую его грань .

• В. В. Прасолов, И. Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989.
• И. Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии (стереометрия). М.: Наука, 1984. — 160 с. (Библиотечка «Квант», Выпуск 31).

ru.wikipedia.org

Введение в стереометрию — урок. Геометрия, 10 класс.

Школьный курс геометрии состоит из планиметрии и стереометрии.

 

Планиметрия изучает фигуры и их свойства на плоскости. Образно говоря, планиметрия изучает всё, что можно нарисовать или начертить на листе бумаги.

Основные объекты планиметрии — это точки, линии и замкнутые фигуры (например: квадрат, треугольник, круг, трапеция, ромб). Множество всех точек, рассматриваемых в планиметрии, образует плоскость. Множество точек в планиметрии называется фигурой. Замкнутая фигура в планиметрии — это множество точек, ограниченных линией.Стереометрия изучает фигуры и их свойства в пространстве. Образно говоря, стереометрия изучает всё, что можно склеить из бумаги, сколотить из досок, построить из кирпичей и т. п.

Основными объектами стереометрии являются точки, прямые, плоскости и замкнутые пространственные фигуры (например: куб, пирамида, параллелепипед, шар, конус). Множество всех точек, рассматриваемых в стереометрии, называется пространством. Любое множество точек называется фигурой. Замкнутая фигура в стереометрии — это множество точек, ограниченных поверхностью.

Пример:

на анимированных иллюстрациях наглядно показаны связь и различие плоских и пространственных фигур.

Ваш браузер не поддерживает HTML5 видео

Ваш браузер не поддерживает HTML5 видео

Так как каждая прямая и каждая плоскость содержат какие-либо точки, то прямая и плоскость тоже являются фигурами стереометрии.
Плоскость бесконечна и делит пространство на две части.

Точки обозначаются прописными латинскими буквами: \(A, B, C, D, E, F…\)
Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: \(a, b, c, d, e, f…\)
Плоскости обозначаются греческими буквами: α,β,γ и т. д.

www.yaklass.ru

Стереометрия. Классификация и методы решения

Анна Малкова

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике – стереометрия. Если несколько лет назад с ним справлялся любой гуманитарий, то сейчас задача 14 состоит из двух пунктов.

Пункт (а) – доказательство какого-либо утверждения.

Пункт (б) – вычисление какой-либо величины.

Кстати, там есть и еще один, неявный пункт: построение чертежа. Без хорошего чертежа в этой задаче ничего не получится.

Есть небольшой секрет: то, что вы доказываете в пункте (а), чаще всего помогает решить пункт (б).

И оказывается, что Задачи 14 по стереометрии из Профильного ЕГЭ по математике обычно относятся к одному из нескольких типов – в зависимости от того, что нужно найти. И для каждого типа задач – свои способы решения.

Эта небольшая таблица будет вашим путеводителем. Вы увидите, что делать в той или иной задаче.

Типы задач	Методы решения
Угол между прямыми	1) Находим угол между прямыми как угол треугольника (теорема косинусов). Пользуемся определением угла между скрещивающимися прямыми. 2) Возможно – применение теоремы о трех перпендикулярах 3) Векторно-координатный способ
Угол между прямой и плоскостью	1) По определению (как угол между прямой и ее проекцией на плоскость) 2) Векторно-координатный способ 3) В случае перпендикулярности прямой и плоскости – доказываем, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости
Угол между плоскостями	4) По определению (как угол между перпендикулярами, проведенными в этих плоскостях к линии их пересечения) 5) С помощью формулы площади прямоугольной проекции фигуры 6) Векторно-координатный способ – как угол между нормалями к плоскостям
Расстояние от точки до плоскости	1) По определению (как длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость) 2) С помощью метода объемов 3) Координатный способ. Пользуемся формулой расстояния от точки до плоскости.
Расстояние между скрещивающимися прямыми	1) По определению (как длину их общего перпендикуляра) 2) Как расстояние между одной из этих прямых и параллельной ей плоскостью, в которой лежит другая прямая. 3) Как расстояние между параллельными плоскостями, в которых лежат эти прямые.
Нахождение радиуса сферы, вписанной в многогранник	1) Находим центр сферы как точку, равноудаленную от всех граней многогранника 2) Разбиваем многогранник на пирамиды с общей вершиной в центре вписанной сферы. Представляем объем многогранника как сумму объемов этих пирамид.

 

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (справочник по математике для школьников — Геометрия

Прямые и плоскости в пространстве
	Способы задания плоскости в пространстве.
	Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости.
	Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Признак скрещивающихся прямых.Угол между скрещивающимися прямыми.
		Взаимное расположение двух прямых в пространстве
		Признак скрещивающихся прямых
		Угол между скрещивающимися прямыми
	Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Признаки параллельности плоскостей.
		Признаки параллельности плоскостей
	Взаимное расположение трех плоскостей в пространстве
	Двугранные углы. Углы между плоскостями. Перпендикулярность плоскостей
	Прямая, перпендикулярная к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Расстояние от точки до плоскости
		Прямая, перпендикулярная к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
		Свойства перпендикуляра к плоскости. Расстояние от точки до плоскости
	Ортогональная проекция прямой на плоскость. Угол между прямой и плоскостью. Теорема о трех перпендикулярах
		Проекция точки на плоскость. Проекция прямой на плоскость
		Угол между прямой и плоскостью
		Теорема о трех перпендикулярах. Обратная теорема
	Расстояние между двумя фигурами
	Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым. Расстояние между скрещивающимися прямыми
Проекции геометрических фигур
	Ортогональная проекция прямой на плоскость.Угол между прямой и плоскостью. Теорема о трех перпендикулярах
		Проекция точки на плоскость. Проекция прямой на плоскость
		Угол между прямой и плоскостью
		Теорема о трех перпендикулярах. Обратная теорема
	Длина ортогональной проекции отрезка. Площадь ортогональной проекции многоугольника
		Длина ортогональной проекции отрезка
		Площадь проекции треугольника
		Площадь проекции многоугольника
Призмы
	Призмы
		Основные определения и свойства призм. Теорема Эйлера для призм
		Виды призм. Прямые и наклонные призмы. Правильные призмы
		Примеры призм. Треугольные призмы. Четырехугольные призмы. Параллелепипеды
	Сечения призмы. Перпендикулярные сечения призмы
		Сечения призмы
		Перпендикулярные сечения призмы
	Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности призмы
Пирамиды
	Пирамиды. Правильные пирамиды. Теорема Эйлера. Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности пирамиды
		Пирамиды. Теорема Эйлера для пирамид
		Правильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды
		Тетраэдры. Правильные тетраэдры
		Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности пирамиды
	Усеченные пирамиды. Теорема Эйлера. Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности усеченной пирамиды
		Усеченные пирамиды. Теорема Эйлера для усеченных пирамид
		Правильные усеченные пирамиды
		Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности усеченной пирамиды
Октаэдры
	Октаэдр. Объем и площадь поверхности октаэдра
		Октаэдр
		Объем и площадь поверхности октаэдра
Сферы и шары
	Сфера и шар. Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей
		Шар, сфера и их части
		Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей
	Взаимное расположение сферы и плоскости в пространстве
Цилиндры
	Цилиндры
		Основные определения и свойства цилиндра
		Сечения цилиндра
		Объем цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра
	Взаимное расположение цилиндра и плоскости в пространстве
Конусы
	Конусы. Усеченные конусы. Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса
		Конусы
		Усеченные конусы
		Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса
	Сечения конуса плоскостями, перпендикулярными к оси конуса, и плоскостями, проходящими через вершину конуса
		Сечения конуса. Площадь сечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса
		Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса
Фигуры (тела) вращения
	Фигуры (тела) вращения
Развертки поверхностей геометрических тел
	Развертки поверхностей геометрических тел
Вписанные и описанные фигуры
	Цилиндры, вписанные в призмы
		Цилиндры, вписанные в призмы. Свойства призмы, описанной около цилиндра
		Отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной n — угольной призмы
	Сфера, описанная около цилиндра
	Призмы, вписанные в цилиндры
		Призмы, вписанные в цилиндр. Свойства призмы, вписанной в цилиндр
		Отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около этого параллелепипеда цилиндра
		Отношение объема правильной n — угольной призмы к объему описанного около этой призмы цилиндра
	Призма, вписанная в сферу
		Призма, вписанная в сферу. Свойства призмы, вписанной в сферу
		Радиус сферы, описанной около правильной n — угольной призмы
		Отношение объема правильной n — угольной призмы к объему шара, ограниченного описанной около этой призмы сферой
	Конус, вписанный в пирамиду
		Конус, вписанный в пирамиду. Свойства пирамиды, описанной около конуса
		Отношение объемов конуса и описанной около него правильной n — угольной пирамиды
	Конус, вписанный в цилиндр
		Конус, вписанный в цилиндр
		Отношение объемов конуса и описанного около него цилиндра
	Конус, вписанный в призму
		Конус, вписанный в призму
		Отношение объемов конуса и описанной около него правильной n — угольной призмы
	Сфера, описанная около конуса. Отношение объемов конуса и описанной около него сферы
	Пирамида, вписанная в конус
		Пирамида, вписанная в конус. Свойства пирамиды, вписанной в конус
		Отношение объемов конуса и вписанной в него правильной n — угольной пирамиды
	Пирамида, вписанная в цилиндр
		Пирамида, вписанная в цилиндр. Свойства пирамиды, вписанной в цилиндр
		Отношение объемов цилиндра и вписанной в него правильной n — угольной пирамиды
	Пирамида, вписанная в сферу
		Пирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу
		Радиус сферы, описанной около правильной n — угольной пирамиды
		Отношение объемов правильной n — угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды
	Сфера, вписанная в цилиндр
		Касательная прямая к сфере. Касательная плоскость к сфере
		Сфера, вписанная в цилиндр
		Отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар
	Сфера, вписанная в призму
		Сфера, вписанная в призму. Свойства прямой призмы, описанной около сферы
		Отношение объемов шара и куба, описанного около сферы, ограничивающей этот шар
		Свойства правильной призмы, описанной около сферы. Отношение объемов шара и правильной n — угольной призмы, описанной около сферы, ограничивающей этот шар
	Сфера, вписанная в конус
		Сфера, вписанная в конус
		Отношение объемов шара и конуса, описанного около сферы, ограничивающей этот шар
	Сфера, вписанная в пирамиду
		Биссекторная плоскость. Основное свойство биссекторной плоскости
		Сфера, вписанная в пирамиду. Свойства пирамиды, описанной около сферы
		Радиус сферы, вписанной в правильную n — угольную пирамиду
		Сфера, вписанная в треугольную пирамиду. Формула для радиуса вписанной сферы

www.resolventa.ru

Основные понятия и аксиомы стереометрии

ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ

ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»

Учитель Математики Высшей категории

 

Основные понятия и аксиомы стереометрии

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.
 Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.

Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.
 Плоскость. 

 Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.

На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит

 через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко

 это записывают так: А ∈ β, B ∈ β,

Аксиомы стереометрии и их следствия

Аксиома 1. 

 Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома 2. 

 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).

Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

 

Аксиома 3. 

 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. 

В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой.

Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты

.

НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

Теорема 1. 

 Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.

Теорема 2. 

 Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

xn--j1ahfl.xn--p1ai

Планиметрия (Геометрия на плоскости) — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Треугольник

К оглавлению…

При решении задач по геометрии помимо всех геометрических формул и свойств, которые будут приведены ниже, нужно очень хорошо помнить основные формулы по тригонометрии. Укажем для начала несколько основных свойств различных типов углов:

• Смежные углы в сумме равны 180 градусов.
• Вертикальные углы равны между собой.

Теперь перейдем к свойствам треугольника. Пусть имеется произвольный треугольник:

Тогда, сумма углов треугольника:

Запомните также, что сумма любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

Формула Герона для площади треугольника:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

Формула медианы (медиана — линия проведенная через некоторую вершину и середину противоположной стороны в треугольнике):

Свойства медиан:

• Все три медианы пересекаются в одной точке.
• Медианы  делят  треугольник  на  шесть  треугольников  одинаковой  площади.
• В точке пересечения медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершин.

Свойство биссектрисы (биссектриса — линия, которая делит некоторый угол на два равных угла, т.е. пополам):

Важно знать: Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис (все три биссектрисы пересекаются в этой одной точке). Формулы биссектрисы:

Основное свойство высот треугольника (высота в треугольнике — линия проходящая через некоторую вершину треугольника перпендикулярно противоположной стороне):

Все три высоты в треугольнике пересекаются в одной точке. Положение точки пересечения определяется типом треугольника:

• Если треугольник остроугольный, то точка пересечения высот находится внутри треугольника.
• В прямоугольном треугольнике высоты пересекаются в вершине прямого угла.
• Если треугольник тупоугольный, то точка пересечения высот находится за пределами треугольника.

Формула высоты:

Еще одно полезное свойство высот треугольника:

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Центр окружности описанной около треугольника лежит на пересечении посерединных перпендикуляров.

Все три посерединных перпендикуляра пересекаются в одной этой точке. Посерединный перпендикуляр — линия проведенная через середину стороны треугольника перпендикулярно ей.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

Площадь правильного треугольника:

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т.п.) пропорциональны. Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов. Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Отношение длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Признаки подобия треугольников:

• По двум углам. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
• По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
• По трём сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

 

Трапеция

К оглавлению…

Трапеция — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Длина средней линии трапеции:

Площадь трапеции:

Некоторые свойства трапеций:

• Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
• Отрезок,  соединяющий  середины  диагоналей  трапеции,  равен  полуразности  оснований.
• В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон находятся на одной прямой.
• Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника. Треугольники, сторонами которых являются основания — подобны, а треугольники, сторонами которых являются боковые стороны — равновелики.
• Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90 градусов, то отрезок соединяющий середины оснований равен полуразности оснований.
• У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
• У равнобедренной трапеции диагонали равны.
• В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований.

 

Параллелограмм

К оглавлению…

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

Некоторые свойства параллелограмма:

• Противоположные стороны параллелограмма равны.
• Противоположные углы параллелограмма равны.
• Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов.
• Сумма всех углов параллелограмма равна 360 градусов.
• Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.

 

Квадрат

К оглавлению…

Квадрат — четырёхугольник, у которого все стороны равны, а все углы равны по 90 градусов. Площадь квадрата через длину его стороны:

Площадь квадрата через длину его диагонали:

Свойства квадрата – это все свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника одновременно.

 

Ромб и прямоугольник

К оглавлению…

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):

Свойства ромба:

• Ромб является параллелограммом. Его противолежащие стороны попарно параллельны.
• Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.
• Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

Свойства прямоугольника:

• Диагонали прямоугольника равны.
• Прямоугольник является параллелограммом — его противоположные стороны параллельны.
• Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
• Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его не противоположных сторон (по теореме Пифагора).
• Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.

 

Произвольные фигуры

К оглавлению…

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):

Обобщённая теорема Фалеса: Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:

Сумма углов n-угольника:

Центральный угол правильного n-угольника:

Площадь правильного n-угольника:

 

Окружность

К оглавлению…

Свойство касательных:

Свойство хорды:

Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

Теорема о касательной и секущей:

Теорема о двух секущих:

Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):

Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):

Свойство центральных углов и хорд:

Свойство центральных углов и секущих:

Длина окружности:

Длина дуги окружности:

Площадь круга:

Площадь сектора:

Площадь кольца:

Площадь кругового сегмента:

educon.by

Стереометрия — это… Что такое Стереометрия?

Стереометрия (от др.-греч. στερεός, «стереос» — «твёрдый, пространственный» и μετρέω — «измеряю») — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путем рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.

Не стоит путать этот раздел с планиметрией, поскольку в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (свойства плоских фигур), а в стереометрии — свойства фигур в пространстве (свойства пространственных фигур).

Аксиомы стереометрии

• На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере две точки.
• В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
• Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
• Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
• Если две точки прямой лежат на одной плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости.
• Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
• Любая плоскость α разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что:
  1. любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены плоскостью α;
  2. любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью α.
• Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, содержащей эти точки.

Многогранник

Многогранник представляет собой тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника, а стороны и вершины многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Многогранники могут быть выпуклыми и невыпуклыми . Выпуклый многогранник расположен по одну сторону относительно плоскости, проходящей через любую его грань .

Литература

• В. В. Прасолов, И.Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989.
• И.Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии (стереометрия). М.: Наука, 1984. — 160 с. (Библиотечка «Квант», Вып.31).

dic.academic.ru