Сумма модулей: Модуль комплексного числа, формула и примеры

Posted on by alexxlab

Содержание

Модуль суммы не превосходит сумму модулей. Общие понятия о модуле числа. Вопросы на закрепление знаний материала

Модуль числа вводится новое понятие в математике. Разберем подробно, что такое модуль числа и как с ним работать?

Рассмотрим пример:

Мы вышли из дома в магазин. Прошли 300 м, математически это выражение можно записать как +300, смысл числа 300 от знака “+” не поменяется. Расстояние или модуль числа в математике это одно и тоже можно записать так: |300|=300. Знак модуля числа обозначается двумя вертикальными линиями.

А потом в обратном направлении прошли 200м. Математически обратный путь мы можем записать как -200. Но мы не говорим так “мы прошли минус двести метров”, хотя мы вернулись, потому что расстояние как величина остается положительной. Для этого в математике ввели понятие модуля. Записать расстояние или модуль числа -200 можно так: |-200|=200.

Свойства модуля.

Определение:
Модуль числа или абсолютная величина числа – это расстояние от отправной точки до точки назначения.

Модуль целого числа не равного нулю, всегда положительное число.

Записывается модуль так:

1. Модуль положительного числа равно самому числу.
| a|= a

2. Модуль отрицательного числа равно противоположному числу.
|- a|= a

3. Модуль нуля, равен нулю.
|0|=0

4. Модули противоположных чисел равны.
| a|=|- a|= a

Вопросы по теме:
Что такое модуль числа?
Ответ: модуль — это расстояние от отправной точки до точки назначения.

Если перед целым числом поставить знак “+” , что произойдет?
Ответ: число не поменяет свой смысл, например, 4=+4.

Если перед целым числом поставить знак “-” , что произойдет?
Ответ: число изменится на , например, 4 и -4.

У каких чисел одинаковый модуль?
Ответ: у положительных чисел и нуля модуль будет тот же.

Например, 15=|15|.

У каких чисел модуль – противоположное число?
Ответ: у отрицательных чисел, модуль будет равен противоположному числу. Например, |-6|=6.

Пример №1:
Найдите модуль чисел: а) 0 б) 5 в) -7?

Решение:
а) |0|=0
б) |5|=5
в)|-7|=7

Пример №2:
Существуют ли два различных числа, модули которых равны?

Решение:
|10|=10
|-10|=10

Модули противоположных чисел равны.

Пример №3:
Какие два противоположных числа, имеют модуль 9?

Решение:
|9|=9
|-9|=9

Ответ: 9 и -9.

Пример №4:
Выполните действия: а) |+5|+|-3| б) |-3|+|-8| в)|+4|-|+1|

Решение:
а) |+5|+|-3|=5+3=8
б) |-3|+|-8|=3+8=11
в)|+4|-|+1|=4-1=3

Пример №5:
Найдите: а) модуль числа 2 б) модуль числа 6 в) модуль числа 8 г) модуль числа 1 д) модуль числа 0.

Решение:

а) модуль числа 2 обозначается как |2| или |+2| это одно и тоже.
|2|=2

б) модуль числа 6 обозначается как |6| или |+6| это одно и тоже.
|6|=6

в) модуль числа 8 обозначается как |8| или |+8| это одно и тоже.
|8|=8

г) модуль числа 1 обозначается как |1| или |+1| это одно и тоже.
|1|=1

д) модуль числа 0 обозначается как |0|, |+0| или |-0| это одно и тоже.
|0|=0

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Уравнения с модулями, методы решений. Часть 1.

Прежде чем приступать к непосредственному изучению техник решения таких уравнений, важно понять суть модуля, его геометрическое значение. Именно в понимании определения модуля и его геометрическом смысле, заложены основные методы решения таких уравнений. Так называемый, метод интервалов при раскрытии модульных скобок, настолько эффективен, что используя его возможно решить абсолютно любое уравнение или неравенство с модулями. В этой части мы подробно изучим два стандартных метода: метод интервалов и метод замены уравнения совокупностью.

Однако, как мы убедимся, эти методы, всегда эффективные, но не всегда удобные и могут приводить к долгим и даже не очень удобным вычислениям, которые естественно потребуют большего времени на их решение. Поэтому важно знать и те методы, которые решение определенных структур уравнений значительно упрощают. Возведение обеих частей уравнения в квадрат, метод введения новой переменной, графический метод, решение уравнений, содержащих модуль под знаком модуля. Эти методы мы рассмотрим в следующей части.

Определение модуля числа. Геометрический смысл модуля.

Первым делом познакомимся с геометрическим смыслом модуля:

Модулем числа а (|а|) называют расстояние на числовой прямой от начала координат (точки 0) до точки А(а) .

Исходя из этого определения рассмотрим некоторые примеры:

|7|

— это расстояние от 0 до точки 7, конечно оно равно 7. → | 7 |=7

|-5|- это расстояние от 0 до точки -5 и оно равно: 5. → |-5| = 5

Все мы понимаем расстояние не может быть отрицательным! Поэтому |х| ≥ 0 всегда!

Решим уравнение: |х |=4

Это уравнение можно прочитать так: расстояние от точки 0 до точки x равно 4. Ага, получается, от 0 мы можем двигаться как влево так и вправо, значит двигаясь влево на расстояние равное 4 мы окажемся в точке: -4, а двигаясь вправо окажемся в точке: 4. Действительно, |-4 |=4 и |4 |=4.

Отсюда ответ х=±4.

При внимательном изучении предыдущего уравнения можно заметить, что: расстояние вправо по числовой прямой от 0 до точки равно самой точке, а расстояние влево от 0 до числа равно противоположному числу! Понимая, что вправо от 0 положительные числа, а влево от 0 отрицательные, сформулируем

определения модуля числа: модулем (абсолютной величиной) числа х (|х|) называется само число х , если х ≥0, и число –х , если х

Здесь нам надо найти множество точек на числовой прямой расстояние от 0 до которых будет меньше 3, давайте представим числовую прямую, на ней точка 0, идем влево и считаем один (-1), два (-2) и три (-3), стоп. Дальше пойдут точки, которые лежат дальше 3 или расстояние до которых от 0 больше чем 3, теперь идем вправо: один, два, три, опять стоп. Теперь выделяем все наши точки и получаем промежуток х:(-3;3).

Важно, чтобы вы это четко видели, если пока не получается, нарисуйте на бумаге и посмотрите, чтобы эта иллюстрация была вам полностью понятна, не поленитесь и попробуйте в уме увидеть решения следующих заданий:

|х |=11, х=? |х|=-5, х=?

|х |

|x |>2, х-? |x|> -3, х-?

|π-3|=? |-х²-10|=?

|√5-2|=? |2х-х²-3|=?

|х²+2|=? |х²+4|=0

|х²+3х+4|=? |-х²+9| ≤0

Обратили внимание на странные задания во втором столбце? Действительно, расстояние не может быть отрицательным поэтому: |х|=-5- не имеет решений, конечно же оно не может быть и меньше 0, поэтому: |х| -3 являются все числа.

После того как вы научитесь быстро видеть рисунки с решениями читайте дальше.

Определение модуля может быть дано следующим образом: Абсолютной величиной числа a (модулем) называется расстояние от точки, изображающей данное число a на координатной прямой, до начала координат. Из определения следует, что:

Таким образом, для того чтобы раскрыть модуль необходимо определить знак подмодульного выражения. Если оно положительно, то можно просто убирать знак модуля. Если же подмодульное выражение отрицательно, то его нужно умножить на «минус», и знак модуля, опять-таки, больше не писать.

Основные свойства модуля:

Некоторые методы решения уравнений с модулями

Существует несколько типов уравнений с модулем, для которых имеется предпочтительный способ решения. При этом данный способ не является единственным. Например, для уравнения вида:

Предпочтительным способом решения будет переход к совокупности:

А для уравнений вида:

Также можно переходить к почти аналогичной совокупности, но так как модуль принимает только положительные значения, то и правая часть уравнения должна быть положительной. Это условие нужно дописать в качестве общего ограничения для всего примера. Тогда получим систему:

Оба этих типа уравнений можно решать и другим способом: раскрывая соответствующим образом модуль на промежутках где подмодульное выражение имеет определённый знак. В этом случае будем получать совокупность двух систем. Приведем общий вид решений получающихся для обоих типов уравнений приведённых выше:

Для решения уравнений в которых содержится более чем один модуль применяется метод интервалов , который состоит в следующем:

  • Сначала находим точки на числовой оси, в которых обращается в ноль каждое из выражений, стоящих под модулем.
  • Далее делим всю числовую ось на интервалы между полученными точками и исследуем знак каждого из подмодульных выражений на каждом интервале. Заметьте, что для определения знака выражения надо подставить в него любое значение x из интервала, кроме граничных точек. Выбирайте те значения x , которые легко подставлять.
  • Далее на каждом полученном интервале раскрываем все модули в исходном уравнении в соответствии с их знаками на данном интервале и решаем полученное обычное уравнение. В итоговый ответ выписываем только те корни этого уравнения, которые попадают в исследуемый промежуток. Еще раз: такую процедуру проводим для каждого из полученных интервалов.

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

  1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
  2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике . На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
  3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Модулем рационального числа называют расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.

Так как расстояние (длина отрезка) может выражаться только положительным числом или нулём, можно сказать, что модуль числа не может быть отрицательным.

Свойства модуля:

Модуль положительного числа равен самому числу.
|a| = a, если a > 0;

Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
|-a| = a, если a

Модуль нуля равен нулю.
|0| = 0, если a = 0;

Противоположные числа имеют равные модули.
|-a| = |a|;

Примеры модулей рациональных чисел:

4.Основные методы решения иррациональных уравнений и неравенств.

Мы называем уравнение или неравенство иррациональным, если оно содержит переменную под радикалами, то есть под знаками квадратного, кубического и т. д. корня. Иррациональные урав- нения и неравенства обладают определённой спецификой.

Напомним, что область допустимых значений (сокращённо ОДЗ) уравнения или неравенства есть множество значений переменной, при которых обе части данного уравнения или неравенства имеют смысл. В любой задаче можно обойтись без поиска (и без упоминания) ОДЗ, так что особой необходимости в этом понятии нет. Но и вреда в нём тоже нет2 ; более того, в отдельных ситуациях нахождение ОДЗ оказывается весьма полезным. Так, в некоторых иррациональных уравнениях и неравенствах дело не доходит до каких-либо специфических приёмов — достаточно пристального взгляда и учёта ОДЗ.

Равносильные преобразования

Мы переходим к рассмотрению стандартных видов иррациональных уравнений и неравенств. Здесь предварительный поиск ОДЗ оказывается, как правило, ненужным шагом; наиболее эффективно эти задачи решаются с помощью соответствующих равносильных переходов. Уравнения вида √ A = √ B

Начнём с примера.

Пусть надо решить уравнение √ x = √ 2x + 1. В силу монотонности функции √ x подкоренные выражения должны быть равны: x = 2x+1, откуда x = −1. Однако подстановка этого значения x в уравнение даёт отрицательные числа под радикалами; следовательно, x = −1 не является корнем данного уравнения, и потому оно не имеет решений. Теперь рассмотрим общую ситуацию. Пусть имеется уравнение √ A = √ B, где A и B — некоторые выражения, содержащие переменную. Тогда, во-первых, подкоренные выражения должны быть равны: A = B. Во-вторых, оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными; но в силу их равенства достаточно потребовать неотрицательности одного из них. Таким образом, имеем: √ A = √ B ⇔ (A = B, A > 0 или √ A = √ B ⇔ (A = B, B > 0. При этом естественно требовать не отрицательности того выражения, которое устроено проще.

5.Посторение графиков функции, аналитические выражения которого содержат модуль.:

Модуль числа – это расстояние от точки отсчёта до точки соответсвующей этой точке.

Алгоритм построения графика y=|f(x)|.

1.Строим график y=f(x)

2.Участки графика, лежащие выше оси абсцисс, оставить без изменения.

3.Участки, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отобразить относительно этой оси.

Алгоритм построения графика y=f(|x|).

1.Построим график y=f(x).

2.удалим все точки находящиеся слева оси OY.

3.Все точки, лежащие на оси ОУ и справа от неё ,отразим симметрично относительно оси ОУ.

Алгоритм построения графика |y|=|f(x)|

1.Строим график y=f(x).

2.строим график y=|f(x)|.

3.Осуществить его зеркальное отображение относительно оси Ох.

6.Cвойства и график квадратной функции y=ax+bx+c

Функция, которую можно задать формулой y=ax2+bx+c, где a,b,c∈R и a≠0,

называется квадратичной функцией.

Областью определения функции y=ax2+bx+c (допустимыми значениями аргумента x) являются все действительные числа (R).

Графиком квадратичной функции является парабола.

абсциссу вершины параболы (xo;yo) можно вычислить по формуле:

Чтобы построить график квадратичной функции необходимо:

1) вычислить координаты вершины параболы: x0=−b/2a и y0, которую находят, подставив значение x0 в формулу функции,

2) отметить вершину параболы на координатной плоскости, провести ось симметрии параболы,

3) определить направление ветвей параболы,

4) отметить точку пересечения параболы с осью Oy,

5) составить таблицу значений, выбрав необходимые значения аргумента x.

Решив квадратичное уравнение ax2+bx+c=0, получаем точки пересечения параболы с осью Ox или корни функции (если дискриминант D>0)

если D

Уравнения с модулем: учет области значений

Очень часто в уравнениях под знаком модуля стоят довольно сложные конструкции, которые было бы крайне затруднительно раскрывать, а затем решать «напролом». Для таких случаев существует множество приемов и замечаний, позволяющих значительно ускорить вычисления.

Одним из таких приемов является учет области значений модуля (учителя называют это решение методом следствий). Суть его можно описать одним простым предложением: «Сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю».

Сегодня мы продолжаем изучать конструкции, содержащие знак модуля функции и переходим уже к более сложным конструкциям, когда ихдва, либо само уравнение содержит нестандартную функцию.

Немного теории

Для начала вспомним определение модуля: модулем числа $x$ называется либо само это число (при условии, что оно неотрицательное), либо минус это число, если оно отрицательно:

\[\left| x \right|=\left\{ \begin{align}& x,x\ge 0 \\& -x,x<0 \\\end{align} \right.\]

Данная запись является алгебраическим определением, потому что здесь используется только алгебраическая терминология и никак не привлекается геометрия. {2}}+x-2 \right|=0\]

Чтобы решить такое выражение, давайте для начала вспомним, как решается простейшая конструкция с модулем, т.е уравнение вида $\left| f \right|=g$.

Решаются она довольно просто. Рассматривается два случая: в первом случае $f$ неотрицательно — в этом случае модуль функции снимается без всяких изменений и получается, что $f$ равно $g$. А во втором случае $f$ отрицательно — в этом случае модуль раскрывается со знаком «минус», как мы уже знаем из определения. Запишем совокупность систем:

\[\left| f \right|=g=>\left[ \begin{align}& \left\{ \begin{align}& f\ge 0 \\& f=g \\\end{align} \right. \\& \left\{ \begin{align}& f<0 \\& -f=g \\\end{align} \right. \\\end{align} \right.\]

Но все это работает только при условии, что модуль функции в выражении один, а у нас сегодня сразу два. Что делать в такой ситуации?

Давайте заметим, что при сложении двух модулей возникает выражение, значение которого 0. Но, с другой стороны, мы можем записать следующее:

\[\left| x-{{x}^{3}} \right|\ge 0\]

\[\left| {{x}^{2}}+x-2 \right|\ge 0\]

В этом случае сумма вышеописанных двух элементов также будет давать некое число (назовем его $k$), которое больше или равняется 0. {6}}=0 \\\end{align} \right.\]

Решаем каждое из этих выражений:

\[\left\{ \begin{align}& x=2 \\& x=0 \\\end{align} \right.\]

Мы получаем, что корень должен быть одновременно равен и 2 и 0. Это невозможно, поэтому решением данного выражения является пустое множество. Пусть вас не смущают подобные ответы при решении задач с модулями. Как и при работе с любыми другими функциями, накладывающими ограничения на область определения или значения в рамках задачи, в процессе решения сложных выражений с модулями функции вполне может оказаться, что этих решений просто не существует.

Ключевые моменты

  1. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. В результате уравнение, которое само по себе далеко не тривиальное, разбивается на систему из двух отдельных уравнений, каждое из которых решается существенно проще.
  2. Тот факт, что модуль сам по себе является неотрицательным значением, можно использовать и иначе, например, когда с одной стороны стоит модуль функции (эта сторона неотрицательна), а с другой стороны — функция, которая меньше нуля или равна нулю. {6}}=0\]

    Мы снова видим сумму двух функций, каждая из которых неотрицательна. Запомните этот прием, он очень эффективен при работе со всевозможными функциями, о которых точно известно, что они принимают лишнее отрицательное значение.

    Смотрите также:

    1. Нестандартные уравнения с модулем
    2. Дробно-рациональные уравнения с модулем
    3. Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (легкий)
    4. Сводный тест по задачам B15 (2 вариант)
    5. Как решать простейшие логарифмические уравнения
    6. Задача B4: вклад в банке и проценты

    В уравнении сумма равна 0

    Мы уже рассматривали уравнения, равные нулю (типа «произведение равно нулю»). К виду «произведение равно нулю» сводятся многие уравнения из разных разделов алгебры.

    Если в уравнении сумма равна нулю, в некоторых случаях его можно решить, применяя следующее свойство функций:

    Сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда каждая из функций равна нулю.

    Таким образом, уравнение

       

    где

       

       

       

       

    равносильно системе уравнений

       

    В частности,

       

       

    где 2n — чётное натуральное число

       

       

    Примеры уравнений, решение которых основано на этом свойстве функций.

       

    ОДЗ: x∈R.

    Сумма модулей равна нулю, если каждое из слагаемых равно нулю. Поэтому данное уравнение равносильно системе

       

    Найдём корни каждого уравнения:

       

    Оба модуля обращаются в нуль при x=2.

    Ответ: 2.

       

    ОДЗ: x∈[-4;2].

    Сумма корней чётной степени равна нулю, если каждое из слагаемых рано нулю. Следовательно, это уравнение равносильно системе

       

    Решаем каждое уравнение:

       

    Оба слагаемых обращаются в нуль при x= -4.

    Ответ: -4.

    Для нахождения корней достаточно решить только одно из уравнений и проверить, удовлетворяют ли полученные корни остальным уравнениям системы.

       

       

    ОДЗ: x∈(-∞; 1]U[9; ∞).

    Сумма неотрицательных функций равна нулю, если каждая каждая из функций равна нулю:

       

    Корень третьего уравнения — x=9 — удовлетворяет также 1-му и 2-му уравнениям системы.

    Ответ: 9.

       

    ОДЗ: x∈[-1; 1].

    Правая часть уравнений — сумма неотрицательных функций. Соответственно, уравнение равносильно системе

       

    Корни второго уравнения

       

    x=1 и x= -1. Оба корня удовлетворяют и первому уравнению.

    Ответ: ±1.

    Как в другие уравнения из курса алгебры, решаемые с применением свойств функций,  уравнения, в которых сумма неотрицательных функций равна нулю, при первом рассмотрении могут производить впечатление сложных. На самом деле, решить их достаточно просто, если помнить соответствующий теоретический материал.

    Прямая сумма модулей — Примеры задач

    В абстрактной алгебре прямая сумма — это конструкция, которая объединяет несколько модулей в новый, более крупный. В некотором смысле прямая сумма модулей — это «самый общий» модуль, который содержит данные модули как подпространства.

    Наиболее известные примеры этой конструкции встречаются при рассмотрении векторных пространств (модулей над полем) и абелевых групп (модулей над кольцом Z целых чисел). Конструкция также может быть расширена для покрытия банаховых и гильбертовых пространств.

    Конструкция векторных пространств и абелевых групп

    Мы даем конструкцию первой в этих двух случаях в предположении, что у нас есть только два объекта. Затем мы обобщаем на произвольное семейство произвольных модулей. Ключевые элементы общей конструкции более четко определяются при более глубоком рассмотрении этих двух случаев.

    Конструкция для двух векторных пространств

    Предположим, что V и W — векторные пространства над полем K .Мы можем превратить декартово произведение V × W в векторное пространство над K , определив операции покомпонентно:

    • ( v 1 , w 1 ) + ( v 2 , w 2 ) = ( v 1 + v 2 , ш 1 + ш 2 )
    • α ( v , w ) = (α v , α w )

    для v , v 1 , v 2 дюймов V , w , w 1 , w 2 в W и α в K .

    Результирующее векторное пространство называется прямой суммой V и W и обычно обозначается знаком плюса внутри круга:

    Не удалось выполнить синтаксический анализ (MathML с резервным SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов обеспечения доступности): недопустимый ответ («Расширение Math не может подключиться к Restbase.») С сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1. / «:): {\ displaystyle V \ oplus W}

    Подпространство V × {0} из V ⊕ W изоморфно V и часто идентифицируется с V ; аналогично для {0} × W и W .(См. Внутреннюю прямую сумму ниже.) С этой идентификацией верно, что каждый элемент V ⊕ W может быть записан одним и только одним способом как сумма элемента V и элемента Вт . Размер V ⊕ W равен сумме размеров V и W .

    Эта конструкция легко обобщается на любое конечное число векторных пространств.

    Конструкция для двух абелевых групп

    Для абелевых групп G и H , которые записываются аддитивно, прямое произведение также называется прямой суммой.Таким образом, мы превращаем декартово произведение G × H в абелеву группу, определяя операции покомпонентно:

    • ( г 1 , ч 1 ) + ( г 2 , г 2 ) = ( г 1 + г 2 , h 1 + h 2 )

    для г 1 , г 2 дюймов G и h 1 , h 2 дюймов Н .

    Обратите внимание, что мы также можем расширить операцию взятия целых кратных до прямой суммы:

    для г в G , h в H и n целое число. Это аналогично расширению скалярного произведения векторных пространств до указанной выше прямой суммы.

    Результирующая абелева группа называется прямой суммой из G и H и обычно обозначается знаком плюса внутри круга:

    Не удалось выполнить синтаксический анализ (MathML с резервным SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов специальных возможностей): недопустимый ответ («Расширение Math не может подключиться к Restbase.») с сервера» https://wikimedia.org/api/rest_v1/ «:): {\ displaystyle G \ oplus H}

    Подпространство G × {0} из G ⊕ H изоморфно G и часто идентифицируется с G ; аналогично для {0} × H и H . (См. Внутреннюю прямую сумму ниже.) С этой идентификацией верно, что каждый элемент G ⊕ H может быть записан одним и только одним способом как сумма элемента G и элемента из H .Ранг G ⊕ H равен сумме рангов G и H .

    Эта конструкция легко обобщается на любое конечное число абелевых групп.

    Построение произвольного семейства модулей

    Следует заметить явное сходство между определениями прямой суммы двух векторных пространств и двух абелевых групп. Фактически каждый из них является частным случаем построения прямой суммы двух модулей.Кроме того, изменяя определение, можно учесть прямую сумму бесконечного семейства модулей. Точное определение выглядит следующим образом.

    Предположим, что R — некоторое кольцо, а { M i : i in I } — семейство левых модулей R , индексированных набором I . Затем определяется прямая сумма для { M i } как набор всех функций α с областью I , таких что α ( i ) ∈ M i для все i ∈ I и α ( i ) = 0 для всех, кроме конечного числа индексов i .

    Две такие функции α и β можно добавить, записав (α + β) ( i ) = α ( i ) + β ( i ) для всех i (обратите внимание, что это снова ноль для все, кроме конечного числа индексов), и такую ​​функцию можно умножить на элемент r из R , записав ( r α) ( i ) = r (α ( i )) для все и . Таким образом, прямая сумма становится левым модулем R . Обозначим его через

    Не удалось выполнить синтаксический анализ (MathML с резервным SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов специальных возможностей): недопустимый ответ («Расширение Math не может подключиться к Restbase.») с сервера» https://wikimedia.org/api/rest_v1/ «:): {\ displaystyle \ bigoplus_ {i \ in I} M_i}

    Недвижимость

    При правильной идентификации мы снова можем сказать, что каждый элемент x прямой суммы может быть записан одним и только одним способом как сумма конечного числа элементов M i .

    Если M i на самом деле являются векторными пространствами, то размерность прямой суммы равна сумме размеров M i .То же верно и для ранга абелевых групп и длины модулей.

    Каждое векторное пространство над полем K изоморфно прямой сумме достаточно большого количества копий K , поэтому в определенном смысле следует учитывать только эти прямые суммы. Это неверно для модулей над произвольными кольцами.

    Тензорное произведение распределяется по прямым суммам в следующем смысле: если N — некоторый правильный R -модуль, то прямая сумма тензорных произведений N на M i (что являются абелевыми группами) естественно изоморфно тензорному произведению N на прямую сумму M i .

    Прямые суммы также коммутативны и ассоциативны, что означает, что не имеет значения, в каком порядке формируется прямая сумма.

    Группа линейных гомоморфизмов R из прямой суммы в некоторую левую R -модуль L естественно изоморфна прямому произведению групп R -линейных гомоморфизмов из M i до L .

    Внутренняя прямая сумма

    Предположим, что M — это некий модуль R , а M i — это подмодуль M для каждых i в I . Если каждое x в M может быть записано одним и только одним способом как сумма конечного числа элементов M i , то мы говорим, что M — это внутренняя прямая сумма субмодулей M i . В этом случае M естественно изоморфна (внешней) прямой сумме M i , как определено выше.

    Прямое слагаемое из M является подмодулем N , так что есть еще какой-то подмодуль N ‘ из M , такой, что M является внутренней внутренней прямой суммой N и N ′ .

    Категориальная интерпретация

    На языке теории категорий прямая сумма является копроизведением и, следовательно, копределом в категории левых R -модулей, что означает, что она характеризуется следующим универсальным свойством. Для каждых i в I учитывайте естественное вложение

    Не удалось выполнить синтаксический анализ (MathML с резервным SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов специальных возможностей): недопустимый ответ («Расширение Math не может подключиться к Restbase. «) с сервера» https://wikimedia.org/api/rest_v1/ «:): {\ displaystyle j_i: M_i \ rightarrow \ bigoplus_ {i \ in I} M_i}

    , который отправляет элементы M i тем функциям, которые равны нулю для всех аргументов, кроме i . Если f i : M i → M являются произвольными линейными картами R для каждого i , тогда существует ровно одна линейная карта R

    Не удалось выполнить синтаксический анализ (MathML с резервным SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов специальных возможностей): недопустимый ответ («Расширение Math не может подключиться к Restbase.») с сервера» https://wikimedia.org/api/rest_v1/ «:): {\ displaystyle f: \ bigoplus_ {i \ in I} M_i \ rightarrow M}

    так, что f o j i = f i для всех i .

    Прямая сумма модулей с дополнительной структурой

    Если модули, которые мы рассматриваем, несут некоторую дополнительную структуру (например, норму или внутренний продукт), то прямая сумма модулей часто может также содержать эту дополнительную структуру.В этом случае мы получаем копродукт в соответствующей категории всех объектов, несущих дополнительную структуру. Два наиболее ярких примера относятся к банаховым и гильбертовым пространствам.

    Прямая сумма банаховых пространств

    Прямая сумма двух банаховых пространств X и Y является прямой суммой X и Y , рассматриваемых как векторные пространства, с нормой || ( x , y ) || = || x || X + || y || Y для всех x дюймов X и y дюймов Y .

    Как правило, если X i , где i пересекает набор индексов I , представляет собой набор банаховых пространств, то прямая сумма ⊕ i ∈ I X i состоит из всех функций x с доменом I , так что x ( i ) ∈ X i для всех i ∈ I и

    Не удалось выполнить синтаксический анализ (MathML с резервным SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов специальных возможностей): недопустимый ответ («Расширение Math не может подключиться к Restbase. «) с сервера» https://wikimedia.org/api/rest_v1/ «:): {\ displaystyle \ sum_ {i \ in I} \ | x (i) \ | _ {X_i} \ mbox {конечно. }}

    Норма рассчитывается исходя из вышеуказанной суммы. Прямая сумма с этой нормой снова является банаховым пространством.

    Например, если мы возьмем индексный набор I = N и X i = R , то прямая сумма ⊕ i ∈ N будет пробелом l 1 , который состоит из всех последовательностей ( a i ) вещественных чисел с конечной нормой || a || = ∑ i | a i |.

    Прямая сумма гильбертовых пространств

    Если дано конечное число гильбертовых пространств H 1 , …, H n , можно построить их прямую сумму, как указано выше (поскольку они являются векторными пространствами), а затем повернуть прямую сумму в гильбертово пространство, определив внутренний продукт как:

    Не удалось выполнить синтаксический анализ (MathML с резервным SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов специальных возможностей): недопустимый ответ («Расширение Math не может подключиться к Restbase. «) с сервера» https://wikimedia.org/api/rest_v1/ «:): {\ displaystyle \ langle (x_1, …, x_n), (y_1, …, y_n) \ rangle = \ langle x_1, y_1 \ rangle + … + \ langle x_n, y_n \ rangle}

    Это превращает прямую сумму в гильбертово пространство, которое содержит данные гильбертовы пространства как взаимно ортогональные подпространства.

    Если дано бесконечно много гильбертовых пространств H i для i в I , мы можем провести такое же построение; обратите внимание, что при определении внутреннего продукта только конечное число слагаемых будет отличным от нуля.Однако результатом будет только внутреннее пространство продукта, и оно не будет полным. Затем мы определяем прямую сумму гильбертовых пространств H i как завершение этого внутреннего пространства продукта.

    В качестве альтернативы и эквивалентно, можно определить прямую сумму гильбертовых пространств H i как пространство всех функций α с областью определения I , так что α ( i ) является элементом H i для каждых i в I и:

    Не удалось выполнить синтаксический анализ (MathML с резервным SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов специальных возможностей): недопустимый ответ («Расширение Math не может подключиться к Restbase. 2 <\ mathcal {1}}

    Тогда скалярное произведение двух таких функций α и β определяется как:

    Не удалось выполнить синтаксический анализ (MathML с резервным SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов обеспечения доступности): недопустимый ответ («Расширение Math не может подключиться к Restbase.») С сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1. / «:): {\ displaystyle \ langle \ alpha, \ beta \ rangle = \ sum_i \ langle \ alpha_i, \ beta_i \ rangle}

    Это пространство полно, и мы получаем гильбертово пространство.

    Например, если мы возьмем индексный набор I = N и X i = R , то прямая сумма ⊕ i ∈ N будет пробелом l 2 , который состоит из всех последовательностей ( a i ) вещественных чисел с конечной нормой Не удалось выполнить синтаксический анализ (MathML с запасным вариантом SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов обеспечения доступности): недопустимый ответ («Расширение Math не может подключиться к Restbase. 2} . Сравнивая это с примером для банаховых пространств, мы видим, что прямая сумма банахова пространства и прямая сумма гильбертова пространства не обязательно совпадают. Но если имеется только конечное число слагаемых, то прямая сумма банахова пространства изоморфна прямой сумме гильбертова пространства.

    Каждое гильбертово пространство изоморфно прямой сумме достаточно большого числа копий основного поля (либо R , либо C ).

    de: Direkte Summe es: Suma directa fr: somme directe он: סכום ישר ja: 直 和

    (PDF) Подмодули типов и разложение модулей по прямой сумме

    98 J.DAUNS AND Y. ZHOU

    (4) ⇒ (2). Пусть K — естественный класс. Чтобы показать (2), достаточно показать

    , что для любых подмодулей X и Y из M, если X и Yare в K, тогда

    будет X + Y. По лемме Цорна существует подмодуль Pmaximal

    относительно X⊆P∈K и подмодуль Qmaximal относительно

    до Y⊆Q∈K. Тогда P и Q дополняют подмодули M,

    P∩Q≤ePand P∩Q ≤eQ. Таким образом, P и Q оба являются закрытием

    P∩Qin M. Если P = Q, по (4) существует 0– = X⊆P + Q, такое, что

    P∩X = 0 и X → P∩Q.Тогда X∈K и P⊂P⊕X∈K, противоречие

    . Итак, P = Q и, значит, X + Y⊆P∈K.

    (5) ⇒ (1). Предположим, что (1) не выполняется. Тогда существуют подмодули типа

    T1- = T2 Mof типа K для естественного класса K. Отсюда следует

    , что T1∩T2- = 0, T1∩T2≤eTifor i = 1,2, и T1∩T2 не является существенным

    . в T1 + T2. Таким образом, существует 0  = A⊆T1 + T2, такое что

    T1∩T2∩A = 0. Отсюда следует, что Ti∩A = 0fori = 1,2. Поскольку

    каждый Ti является подмодулем типа M, мы имеем Ti⊥A. Мы знаем, что

    A = A / (T1∩A) ∼

    = (A + T1) / T1⊆ (T2 + T1) / T1∼

    = Т2 / (Т1∩Т2).Тогда

    A∼

    = B / (T1∩T2) для некоторых B с T1∩T2≤eB⊆T2. Обратите внимание, что B⊥A,

    и поэтому B∩A = 0 иB⊕A⊆M.

    (3) ⇒ (5). Предположим, что существует вложение X⊕ (X / Y) α

    → M

    , где Y — собственный существенный подмодуль X и X⊥ (X / Y). Возьмем

    x∈X, но x / ∈Y, и пусть m1 = α (x) и m2 = α (x + Y). Тогда m1R⊥

    m2R. Чтобы в этом убедиться, пусть m1aR ∼

    = m2bR для некоторых a, b ∈R. Отсюда следует, что

    α (xaR) ∼

    = α ((x + Y) bR). Это дает xaR ∼

    = (x + Y) bR.Должно быть

    xaR = 0, поскольку X⊥ (X / Y). Итак, m1aR = 0. Таким образом, m1R⊥m2R.

    Кроме того, m⊥

    1⊆m⊥

    2 и m⊥

    2 / m⊥

    1≤eR / m⊥

    1.Wenextprovem2 = 0,

    , что дает противоречие. Определим β: m1R → m2R по β (m1r) = m2r,

    r∈R. Тогда β является гомоморфизмом и ker (β) = m1m⊥

    2. Пусть L будет замыканием типа

    для ker (β) inm1R. Определим f: m1R → m1R⊕m2R (⊆M)

    как f (x) = x + β (x), x∈m1R. Тогда это мономорфизм. Поскольку L

    является замыканием типа ker (β) inm1R, f (ker (β)) параллельно f (L).Это

    дает, что ker (β) параллельно f (L). Пусть Ltc и f (L) tc — замыкания типа

    Земли f (L) inM соответственно. Тогда и Ltc, и f (L) tc

    являются замыканиями типа ker (β) в M. По (3) Ltc = f (L) tc. Отсюда следует, что

    L + f (L) является параллельным расширением L. Примечание L — это подмодуль типа

    m1R. Так как m1R⊥m2R, Lis — подмодуль типа для m1R⊕m2R. Это

    означает, что L = L + f (L), т.е. f (L) ⊆L. Отсюда следует, что β (L) ⊆L.

    % PDF-1.4 % 1299 0 объект > эндобдж xref 1299 84 0000000016 00000 н. 0000005026 00000 н. 0000005262 00000 п. 0000005299 00000 н. 0000005711 00000 н. 0000006892 00000 н. 0000008087 00000 н. 0000008126 00000 н. 0000008230 00000 н. 0000008337 00000 н. 0000009038 00000 н. 0000009439 00000 н. 0000010111 00000 п. 0000010773 00000 п. 0000011953 00000 п. 0000013144 00000 п. 0000014336 00000 п. 0000014424 00000 п. 0000014889 00000 п. 0000015366 00000 п. 0000018184 00000 п. 0000018783 00000 п. 0000019360 00000 п. 0000019580 00000 п. 0000022712 00000 п. 0000023068 00000 п. 0000023579 00000 п. 0000024158 00000 п. 0000024722 00000 п. 0000025289 00000 п. 0000025989 00000 п. 0000026975 00000 п. 0000028131 00000 п. 0000028370 00000 п. 0000029003 00000 п. 0000029376 00000 п. 0000032070 00000 п. 0000040573 00000 п. 0000046099 00000 п. 0000053285 00000 п. 0000054607 00000 п. 0000055047 00000 п. 0000055259 00000 п. 0000055334 00000 п. 0000055597 00000 п. 0000055720 00000 п. 0000055847 00000 п. 0000056000 00000 п. 0000056289 00000 п. 0000056568 00000 п. 0000056779 00000 п. 0000057014 00000 п. 0000057195 00000 п. 0000057402 00000 п. 0000057609 00000 п. 0000057783 00000 п. 0000057962 00000 п. 0000058151 00000 п. 0000058296 00000 п. 0000058450 00000 п. 0000058633 00000 п. 0000058836 00000 п. 0000058971 00000 п. 0000059180 00000 п. 0000059333 00000 п. 0000059498 00000 п. 0000059696 00000 п. 0000059911 00000 н. 0000060132 00000 п. 0000060399 00000 п. 0000060620 00000 п. 0000060791 00000 п. 0000060994 00000 п. 0000061243 00000 п. 0000061374 00000 п. 0000061531 00000 п. 0000061696 00000 п. 0000061843 00000 п. 0000062022 00000 п. 0000062215 00000 п. 0000062470 00000 п. 0000062693 00000 п. 0000062878 00000 п. 0000001976 00000 н. трейлер ] / Назад 657036 >> startxref 0 %% EOF 1382 0 объект > поток h ޼ X} p w: IOdYX6’F` $ FDb; 2F $ ňƤӤl 1n $$ q $ VII * @! 4LEBgȄINNvg

    Теория модулей

    , часть II: Генерация модулей, прямые суммы и свободные модули

    сентябрь 15-е, 2017 г.

    Определение: Пусть $ R $ — кольцо с единицей, а $ N_1, \ dots, N_n $ — модули над $ R $.Тогда:

    • $ N_1 + \ dots + N_n $ состоит из всех конечных сумм элементов $ {n_1 + \ dots + n_n} $, так что $ n_i \ in N_i $.
    • Для любого подмножества $ A $ из $ M $ пусть $ RA = {r_1a_1 + \ dots + r_na_n} $, так что $ r_i \ in R $, $ a_i \ in A $ и $ m \ in \ mathbb {Z} $ . По соглашению, если $ A = \ emptyset $, мы определяем $ RA = {0} $. В самом деле, если $ A = {a_1, \ dots, a_n} $, то мы можем написать $ RA = Ra_1 + \ dots + Ra_n $ и сказать, что $ RA $ — это подмодуль , порожденный $ A $ .
    • Подмодуль $ N $ в $ M $ конечно порожден, если существует некоторое конечное подмножество $ A $ в $ M $, такое что $ N = RA $.
    • Подмодуль $ N $ циклический, если $ N = Ra $ для некоторого элемента $ a \ in M ​​$.

    Обратите внимание, что если $ R $ имеет идентификатор, то $ RA = A $.

    Примеры
    • Для $ \ mathbb {Z} $ — модуля модули, порожденные $ A \ subset M $, являются просто подгруппами, порожденными $ A $.
    • Кольцо $ R $ с единицей — это циклический модуль, порожденный $ 1 $. Любой подмодуль — идеал. В частности, подмодуль, который является циклическим, в точности является главным идеалом. В частности, PID — это просто (коммутативная) область целостности с единицей, так что каждый $ R $ -подмодуль $ R $ является циклическим.2 (v), \ точки \}

      $

      Для некоторого $ v \ in V $ как векторного пространства над $ F $.

      Определение: Пусть $ M_1, \ dots, M_k $ — набор $ R $ -модулей. Затем мы определяем прямой продукт:

      $$ M_1 \ раз \ точки \ раз M_k

      $

      , который состоит из всех $ k $ -наборов модулей и, очевидно, также является $ R $ -модулем. С конечным числом $ k $ мы говорим, что прямая сумма $ M_1 \ oplus \ times \ oplus M_k $ является их прямым произведением.

      Предложение

      TFAE:

      • Карта $ \ pi: N_1 \ times \ dots \ times N_k \ rightarrow N_1 + \ dots + N_k $ определяется как $ \ pi: (a_1, \ dots, a_k) \ mapsto a_1 + \ dots + a_k $.$ \ pi $ — изоморфизм.
      • $ N_j \ cap (N_1 + \ dots + N_ {j-1} + N_ {j + 1} + \ dots N_k) = 0 $ для любого выбора $ j $.
      • Каждый $ x \ in N_1 + \ dots + N_k $ может быть записан однозначно как $ a_1 + \ dots + a_k $ для $ a_i \ in N_i $.

      Определение: $ R $ -модуль $ F $ называется свободным на подмножестве $ A $ в $ F $, если для любого ненулевого $ x \ in F $ существуют уникальные ненулевые элементы $ r_1, \ dots, r_n \ in R $ так, чтобы:

      $$ x = r_1a_1 + \ точки r_na_n

      $

      И в этом случае мы говорим, что $ A $ — это базис или набор генераторов для $ F $. Если $ R $ — коммутативное кольцо, размер $ A $ называется рангом $ F $.

      Важным отличием здесь является то, что $ r_i $ и $ a_i $ уникальны, тогда как в прямой сумме уникальны только $ a_i $.

      Теорема

      Для любого множества $ A $ существует свободный $ R $ -модуль $ F (A) $ на множестве $ A $. Если $ M $ — это любой $ R $ -модуль и $ \ varphi: A \ rightarrow M $ отображение множества, то существует единственный гомоморфизм модулей $ \ Phi $, так что следующая диаграмма коммутирует (где $ j $ обозначает включение $ A $ в $ F (A) $).n $ (если $ R $ имеет тождество).

      Доказательство состоит в следующем. Сначала пусть $ F (A) = {0} $, если $ A = \ emptyset $. В противном случае пусть $ F (A) $ будет набором всех (множества) функций $ f: A \ rightarrow R $, так что $ f (a) = 0 $ для всех, кроме конечного числа $ a $.

      Действительно, мы можем увидеть, что $ A $ включен в $ F (A) $, построив функцию $ f_a $ так, что $ f_a (a) = 1 $ и $ f_a (b) = 0 $ для всех $ b \ neq a $. n $ (в некотором смысле «простейший» модуль).

      Следствие
      • Если $ F_1, F_2 $ — свободные модули над $ A $, между ними существует единственный изоморфизм, тождественный на $ A $.
      • Если $ F $ — любой свободный $ R $ -модуль с базисом $ A $, то $ F \ cong F (A) $.

      По сути, это утверждение, что универсальные объекты уникальны.

      Загрузите эту страницу в формате PDF:

      Примечание. Изображения заменены подписями.

      Ссылка на PDF

      Последние сообщения

      4.3 | y \ in \ mathbb {F} \} \), то уравнение (4.4.2) остается в силе.

      Если \ (U = U_1 + U_2 \), то для любого \ (u \ in U \) существуют \ (u_1 \ in U_1 \) и \ (u_2 \ in U_2 \) такие, что \ (u = u_1 + u_2. \)

      Если так получилось, что \ (u \) можно однозначно записать как \ (u_1 + u_2 \), то \ (U \) называется прямой суммой \ (U_1 \) и \ (U_2. \)

      Определение 4.4.3: Прямая сумма

      Предположим, что каждый \ (u \ in U \) может быть однозначно записан как \ (u = u_1 + u_2 \) для \ (u_1 \ in U_1 \) и \ (u_2 \ in U_2 \).{2m + 1} \}. \]
      Тогда \ (\ mathbb {F} [z] = U_1 \ oplus U_2. \)

      Предложение 4.4.6 . Пусть \ (U_1, U_2 \ subset V \) — подпространства. Тогда \ (V = U_1 \ oplus U_2 \) тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

      1. \ (V = U_1 + U_2; \)
      2. Если \ (0 = u_1 + u_2 \) с \ (u_1 \ in U_1 \) и \ (u_2 \ in U_2 \), , то \ (u_1 = u_2 = 0. \)

      Доказательство.
      \ ((«\ Rightarrow») \) Предположим, \ (V = U_1 \ oplus U_2 \).Тогда по определению выполняется условие 1. Конечно, \ (0 = 0 + 0 \), и, поскольку по уникальности это единственный способ записать \ (0 \ in V \), мы имеем \ (u_1 = u_2 = 0 \).

      \ ((«\ Leftarrow») \) Предположим, что выполнены условия 1 и 2. По условию 1 имеем, что для всех \ (v \ in V \) существуют \ (u_1 \ in U_1 \) и \ (u_2 \ in U_2 \) такие, что \ (v = u_1 + u_2 \). Предположим, \ (v = w_1 + w_2 \) с \ (w_1 \ in U_1 \) и \ (w_2 \ in U_2 \). Вычитая два уравнения, получаем

      \ [0 = (u_1 — w_1) + (u_2 — w_2), \]

      , где \ (u_1 — w_1 \ in U_1 \) и \ (u_2 — w_2 \ in U_2 \).По условию 2 это подразумевает \ (u_1 — w_1 = 0 \) и \ (u_2 — w_2 = 0 \), или, что эквивалентно, \ (u_1 = w_1 \) и \ (u_2 = w_2 \), как требуется.

      Предложение 4.4.7. Пусть \ (U_1, U_2 \ subset V \) — подпространства. Тогда \ (V = U_1 \ oplus U_2 \) тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

      1. \ (V = U_1 + U_2; \)
      2. \ (U_1 \ cap U_2 = \ {0 \}. \)

      Доказательство.
      \ ((«\ Rightarrow») \) Предположим, \ (V = U_1 \ oplus U_2 \).Тогда по определению выполняется условие 1. Если \ (u \ in U_1 \ cap U_2 \), то \ (0 = u + (−u) \) с \ (u \ in U_1 \) и \ (- u \ in U_2 \) (почему?). По предложению 4.4.6 имеем \ (u = 0 \) и \ (- u = 0 \), так что \ (U_1 \ cap U_2 = \ {0 \}. \)

      \ ((«\ Leftarrow») \) Предположим, что выполнены условия 1 и 2. Чтобы доказать, что выполняется \ (V = U_1 \ oplus U_2 \), предположим, что

      \ [0 = u_1 + u_2, \ rm {~ где ~} u_1 \ в U_1 \ rm {~ и ~} u_2 \ в U_2. \ tag {4.3} \]

      По предложению 4.4.6 достаточно показать, что \ (u_1 = u_2 = 0 \).3 \ neq U_1 \ oplus U_2 \ oplus U_3 \), поскольку, например,

      \ [(0, 0, 0) = (0, 1, 0) + (0, 0, 1) + (0, -1, -1). \]

      Но \ (U_1 \ cap U_2 = U_1 \ cap U_3 = U_2 \ cap U_3 = \ {0 \} \), так что аналог предложения 4.4.7 не выполняется.

      Авторы

      Версии этого учебника в твердом и мягком переплете доступны на сайте WorldScientific.com.

      ACL — Лига аудиофилов

      Высококачественный, компактный, но обманчиво универсальный суммирующий миксер

      Вы можете ошибиться, если думаете, что SUM SUM — это киоск с веганской уличной едой азиатского фьюжн. И, давайте посмотрим правде в глаза, здесь, в Берлине, вероятно, так оно и есть. Тем не менее, это что-то еще более заманчивое и (по крайней мере, в модульной системе) гораздо более полезное.

      Не продавец пельменей

      SUM SUM предлагает две конфигурации суммирования: два набора трактов монофонического сигнала 6-в-1 или один стереоканал 6-в-1.

      Эти сигналы могут быть аудио или CV, и внутреннее усиление каждой строки может переключаться между Unity, усилением 0.Усиление 5 (-6 дБ) или 0,33 (-9,5 дБ)… все настраивается с помощью DIP-переключателей на задней панели модуля.

      Модуль Eurorack 3U, 6 HP, ширина , совместим с чемоданами Skiff

      Текущий розыгрыш:

      • + 12В: прибл. 20 мА
      • -12 В: прибл. 20 мА
      • 0 мА 5 В

      Глубина установки:

      Незапрошенная консультация

      Нам не нужно рассказывать вам, как можно использовать SUM SUM, но, поскольку вы здесь, мы сделаем несколько предложений.

      С точки зрения CV, он может комбинировать несколько источников модуляции — например, LFO, огибающую ADSR, ключевой повторитель и повторитель огибающей, — все они работают вместе для управления отсечкой фильтра. .

      И с точки зрения звука, он предлагает очень компактный способ объединения нескольких генераторов для унисонных патчей без ущерба для качества сигнала.

      Просто сексуально

      Иногда хочется, чтобы что-то делало то, что написано на коробке. Это СУММА СУММА. И его коробка роскошна и изготовлена ​​с любовью.

      прямая сумма

      Контекст

      Пределы и пределы

      пределы и коллимиты

      1-категориальный

      • предел и копредел

        • лимитов и копределов на примере

        • Коммутативность пределов и копределов

        • малый лимит

        • отфильтрованный colimit

        • колимит просеянный

        • подключенный лимит, широкий откат

        • сохраненный лимит, отраженный лимит, созданный лимит

        • продукт, продукт волокна, изменение базы, сопродукт, откат, выталкивание, изменение базы, эквалайзер, коэквалайзер, соединение, встреча, конечный объект, исходный объект, прямой продукт, прямая сумма

        • конечный предел

      • Канский добавочный номер

      • взвешенный лимит

      • конец и коэнда

      2-категоричный

      (∞, 1) -категория

      Модельно-категориальная

      Идея

      Понятие прямой суммы , или слабого прямого произведения , представляет собой понятие из алгебры, которое действительно имеет смысл в любой категории CC с нулевыми морфизмами (то есть любой категории, обогащенной над замкнутой моноидальной категорией заостренных множеств), поскольку пока существуют необходимые (со) пределы.

      Базовый и знакомый пример — прямая сумма V1⊕V2V_1 \ oplus V_2 двух векторных пространств V1V_1 и V2V_2 над некоторым полем или, в более общем смысле, двух модулей над некоторым кольцом. Как правило, для II — множество и {Vi} i∈I \ {V_i \} _ {i \ in I} — индексированное II семейство векторных пространств или модулей, их прямая сумма ⨁i∈IVi \ bigoplus_ {i \ in I } V_i — это набор формальных линейных комбинаций элементов в каждом из ViV_i. Это может частично мотивировать терминологию: элемент прямой суммы — это сумма элементов , по крайней мере, в этих случаях.

      Это обобщает двумя разными способами, которые мы называем прямых сумм и слабых прямых произведений . Во многих случаях (как в примере выше) они совпадают, но не всегда. Также во многих случаях прямые суммы будут такими же, как и сопутствующие продукты. В любом случае конечные слабые прямые продукты такие же, как и продукты, но бесконечные версии (почти всегда) разные.

      Терминология

      Название «слабый прямой продукт» происходит от понятия прямого продукта в алгебре для продукта в конкретной категории, который создается с помощью функтора забывчивости; слабый прямой продукт будет подобъектом прямого продукта (и всего прямого продукта в конечных случаях). Но здесь мы не будем ограничиваться контекстом такой конкретной категории.

      Термин «прямая сумма» происходит от конечного побочного продукта (одновременно продукта и сопутствующего продукта) в аддитивных категориях. Аддитивный характер этих побочных продуктов распространяется в бесконечном случае (где побочные продукты, как правило, больше не появляются) на побочные продукты, а не на продукт. Даже когда прямая сумма не совпадает с побочным продуктом, он все равно сохраняет часть этого аромата.

      В классических примерах CC прямая сумма и слабое прямое произведение совпадают.Однако приведенные ниже общие определения различают их в некоторых случаях, и мы используем термины «прямая сумма» и «слабый прямой продукт», чтобы лучше всего вызвать ощущения «как сопутствующий продукт» и «часть продукта».

      Определения

      Пусть 𝒞 \ mathcal {C} — категория с произведениями и копроизведениями, а также с нулевыми морфизмами. Пусть II — множество, и пусть (Ai) i∈I (A_i) _ {i \ in I} — II-индексированное семейство объектов в 𝒞 \ mathcal {C}, следовательно, функция A: I → Obj ( 𝒞) A: I \ to Obj (\ mathcal {C}).

      Теперь мы определим как прямую сумму, так и слабое прямое произведение этого семейства.AiA_i будем называть прямыми слагаемыми или (слабыми) прямыми множителями .

      Прямая сумма

      Здесь мы должны предположить, кроме того, что 𝒞 \ mathcal {C} — обычная категория (или иначе имеет хорошее представление об изображении).

      Определение

      Пусть rr — морфизм копроизведения ∐iAi \ coprod_i A_i в произведение ∏iAi \ prod_i A_i, характеризующийся наличием следующих компонентов

      (Ai → ∐A → r∏A → Aj) = {IdAiifi = j0ijifi ≠ j, \левый( A_i \ to \ coprod A \ stackrel {r} {\ to} \ prod A \ to A_j \правильно) знак равно \левый\{ \множество{ Id_ {A_i} & if \; я = j \\ 0_ {ij} & если \; я \ neq j ,} \правильно.\,

      , где 0ij0_ {ij} — нулевой морфизм от AiA_i к AjA_j.

      Прямая сумма по семейству {Ai} \ {A_i \} — это изображение

      ∐iAi → coimr⨁iAI → imr∏iAi \ coprod_i A_i \ overset {\ coim r} \ to \ bigoplus_i A_I \ overset {\ im r} \ to \ prod_i A_i

      морфизма рр.

      Слабое прямое произведение

      Здесь мы рассматриваем финишные изделия

      ∏i∈FAi \ prod_ {i \ in F} A_i

      , поскольку FF изменяется на конечных подмножествах индексного множества II. (В конструктивной математике используйте здесь «конечно индексированные» или «конечные по Куратовски» … хотя если II имеет разрешимое равенство, как это имеет место в обычных примерах, то каждое конечно индексированное подмножество II на самом деле конечно в самом строгом смысле.)

      Эти конечные произведения образуют прямую систему, индексируемую направленным множеством 𝒫finI \ mathcal {P} _ {fin} I конечных подмножеств II (упорядоченных по включению) с отображением

      ∏i∈FAi → ∏i∈GAi, \ prod_ {i \ in F} A_i \ to \ prod_ {i \ in G} A_i,

      , где F⊆GF \ substeq G, заданная формулой

      ∏i∈FAi≅∏i∈FAi × ∏i∈G ∖ F1 → (id, 0) ∏i∈FAi × ∏i∈G ∖ FAi≅∏i∈GAi. \ prod_ {i \ in F} A_i \ cong \ prod_ {i \ in F} A_i \ times \ prod_ {i \ in G \ setminus F} 1 \ stackrel {(id, 0)} {\ to} \ prod_ { i \ in F} A_i \ times \ prod_ {i \ in G \ setminus F} A_i \ cong \ prod_ {i \ in G} A_i. wk_i A_i определяется как направленный копредел этой прямой системы.

      Примеры

      Пример

      В категориях Grp или Ab (абелевых) групп прямая сумма и слабое прямое произведение согласуются. Для конечного числа объектов это то же самое, что и прямой продукт, который является продуктом в обеих категориях.

      Предложение

      В этих примерах прямая сумма также может быть описана в более элементарных терминах как подгруппа прямого произведения:

      ⨁i: IAi = {(ai) i: I | ess∀ (i: I), ai = 0}, \ bigoplus_ {i: I} A_i = \левый\{ (a_i) _ {i: I} \; | \; ess \ forall (i: I), \; a_i = 0 \правильно\} \ ,,

      , где «ess∀ess \ forall» означает «для всех, кроме конечного множества».Это проясняет, что прямая сумма равна прямому продукту, когда задействовано только конечное число объектов.

      Для 𝒞 = \ mathcal {C} = Ab, RRMod это группа формальных линейных комбинаций элементов в слагаемых.

      Пример

      Для RR кольца прямые суммы в категории RRMod или модулей над RR даются суммами на нижележащих абелевых группах.

      Пример

      В категории заостренных множеств прямая сумма и слабое прямое произведение различаются.p прямых сумм для 1≤p≤∞1 \ leq p \ leq \ infty, хотя я не знаю, каким универсальным свойствам они все удовлетворяют.) В этом случае прямая сумма совпадает с копроизведением, а слабое прямое произведение — то же самое, что и произведение даже для бесконечно большого числа объектов. См. Прямую сумму банаховых пространств.

      Внутренние прямые суммы

      Дан объект BB и семейство подобъектов? AiA_i группы BB (или, в более общем смысле, семейство морфизмов Ai → BA_i \ to B, или эквивалентно отображение ∐iAi → B \ coprod_i A_i \ to B), предположим, что существует прямая сумма ⨁iAi \ bigoplus_i A_i.Предположим далее, что отображение ∐iAi → B \ coprod_i A_i \ в B факторизуется через отображение ∐iAi → ⨁iAi \ coprod_i A_i \ в \ bigoplus_i A_i (что означает, что оно уникально множится, если ∐iAi → ⨁iAi \ coprod_i A_i \ to \ bigoplus_i A_i эпично, так как должно быть в обычной категории). Наконец, предположим, что (или) фактор-отображение ⨁iAi → B \ bigoplus_i A_i \ в B является изическим. Затем мы говорим, что BB — это внутренняя прямая сумма AiA_i.

      Напротив, абстрактно определенная прямая сумма ⨁iAi \ bigoplus_i A_i может называться внешней прямой суммой .Эти термины обычно используются с конкретными категориями, где AiA_i может быть задан независимо (для внешней прямой суммы) или как подмножество некоторого окружающего пространства (либо BB, либо что-то из того, что BB является подмножеством) для внутренней прямой суммы. В слишком абстрактном контексте разницы нет: с одной стороны, любая внутренняя прямая сумма тем более изоморфна любой внешней прямой сумме; с другой стороны, для внешней прямой суммы существует естественное отображение ∐iAi → ⨁iAi \ coprod_i A_i \ to \ bigoplus_i A_i, относительно которого внешняя прямая сумма является внутренней прямой суммой.

      .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *