Свойства графика функций: область определения, нули функции, четность функции и все остальные. — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 04.07.197021.12.2021 by alexxlab

Содержание

область определения, нули функции, четность функции и все остальные.

Функция — это одно из важнейших математических понятий. Функция — зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y), образуют область значений функции.

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x, а по оси ординат откладываются значения переменной y.

Для построения графика функции необходимо знать свойства функции. Основные свойства функции будут рассмотрены далее!

Для построения графика функции советуем использовать нашу программу — Построение графиков функций онлайн. Если при изучении материала на данной странице у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме. Также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, химии, геометрии, теории вероятности и многим другим предметам!

Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции — это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.
Область значений функции — это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции.

Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого

х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = — f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция — неограниченная.

7) Периодическость функции.

Функция f(x) — периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Изучив данные свойства функции Вы без проблем сможете исследовать функцию и по свойствам функции сможете построить график функции. Также посмотрите материал про таблицу истинности, таблицу умножения, таблицу Менделеева, таблицу производных и таблицу интегралов.

Слишком сложно?

Свойства функции не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Свойства функции

В этой статье мы коротко суммируем сведения, которые касаются такого важного математического понятия, как функция. Мы поговорим о том, что такое числовая функция и какие свойства функции необходимо знать и уметь исследовать.

Что такое числовая функция

? Пусть у нас есть два числовых множества: Х и Y, и между этими множествами есть определенная зависимость. То есть каждому элементу х из множества Х по определенному правилу ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.

Важно, что каждому элементу х из множества Х соответствует один и только один элемент y из множества Y.

Правило, с помощью которого каждому элементу из множества Х мы ставим в соответствие единственный элемент из множества Y, называется числовой функцией.

Множество Х называется областью определения функции.

Множество Y называется множеством значений значений функции.

Равенство называется уравнением функции. В этом уравнении — независимая переменная, или аргумент функции. — зависимая переменная.

Если мы возьмем все пары и поставим им в соответствие соответствующие точки координатной плоскости, то получим

график функции. График функции — это графической изображение зависимости между множествами Х и Y.

Свойства функции мы можем определить, глядя на график функции, и, наоборот, исследуя свойства функции мы можем построить ее график.

Основные свойства функций.

1. Область определения функции.

Область определения функции D(y)-это множество всех допустимых значений аргумента x ( независимой переменной x), при которых выражение, стоящее в правой части уравнения функции имеет смысл. Другими словами, это область допустимых значений выражения .

Чтобы по графику функции найти ее область определения, нужно, двигаясь слева направо вдоль оси ОХ, записать все промежутки значений х, на которых существует график функции.

2. Множество значений функции.

Множество значений функции Е(y)— это множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная y.

Чтобы по графику функции найти ее множество значений, нужно, двигаясь снизу вверх вдоль оси OY, записать все промежутки значений y, на которых существует график функции.

3. Нули функции.

Нули функции — это те значения аргумента х, при которых значение функции (y) равно нулю.

Чтобы найти нули функции , нужно решить уравнение . Корни этого уравнения и будут нулями функции .

Чтобы найти нули функции по ее графику, нужно найти точки пересечения графика с осью ОХ. Абсциссы точек пересечения и будут нулями функции .

4. Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции — это такие промежутки значений аргумента, на которых функция сохраняет свой знак, то есть или .

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции , нужно решить неравенства и .

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции по ее графику, нужно

найти промежутки значений аргумента х, при которых график функции расположен выше оси ОХ — при этих значениях аргумента ,
найти промежутки значений аргумента х, при которых график функции расположен ниже оси ОХ — при этих значениях аргумента .

5. Промежутки монотонности функции.

Промежутки монотонности функции — это такие промежутки значений аргумента х, при которых функция возрастает или убывает.

Говорят, что функция возрастает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента , принадлежащих промежутку I таких, что выполняется соотношение:.

Другими словами, функция возрастает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Чтобы по графику функции определить промежутки возрастания функции, нужно, двигаясь слева направо по линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вверх.

Говорят, что функция убывает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента , принадлежащих промежутку I таких, что выполняется соотношение: .

Другими словами, функция убывает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Чтобы по графику функции определить промежутки убывания функции, нужно, двигаясь слева направо вдоль линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вниз.

6. Точки максимума и минимума функции.

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность I точки , что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:

Графически это означает что точка с абсциссой x_0 лежит выше других точек из окрестности I графика функции y=f(x).

Точка называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность I точки , что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:

Графически это означает что точка с абсциссой лежит ниже других точек из окрестности I графика функции .

Обычно мы находим точки максимума и минимума функции, проводя исследование функции с помощью производной.

7. Четность (нечетность) функции.

Функция называется четной, если выполняются два условия:

а) Для любого значения аргумента , принадлежащего области определения функции, также принадлежит области определения функции.

Другими словами, область определения четной функции симметрична относительно начала координат.

б) Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение .

Функция называется нечетной, если выполняются два условия:

Другими словами, область определения нечетной функции симметрична относительно начала координат.

б) Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение .

Все функции делятся на четные, нечетные, и те, которые не являются четными и не являются нечетными. Они называются функциями общего вида.

Чтобы определить четность функции, нужно:

а). Найти область определения функции , и определить, является ли она симметричным множеством.

Если, например, число х=2 входит в область определения функции, а число х=-2 не входит, то D(y) не является симметричным множеством, и функция — функция общего вида.

Если область определения функции — симметричное множество, то проверяем п. б)

б). В уравнение функции нужно вместо х подставить -х, упростить полученное выражение, и постараться привести его к виду или .

Если , то функция четная.

Если , то функция нечетная.

Если не удалось привести ни к тому ни к другому, то наша функция — общего вида.

График четной функции симметричен относительно оси ординат ( прямой OY ).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат ( точки (0,0) ).

8. Периодичность функции.

Функция называется периодической, если существует такое положительное число Т, что

для любого значения х из области определения функции, х+Т также принадлежит D(x)

В программе средней школы из числа периодических функций изучают только тригонометрические функции.

Предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК, в котором я рассказываю, как определить свойства функции по ее графику.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Свойства основных функций. Алгебра, 9 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Исследование функции на ограниченность Сложность: лёгкое	1
2.	Возрастающая и убывающая функции Сложность: лёгкое	1
3.	Возрастание или убывание функции Сложность: лёгкое	1
4.	Интервалы знакопостоянства функции Сложность: среднее	1
5.	График функции вида y = \|x + а\| Сложность: среднее	3
6.	График функции вида y = \|x\| + а Сложность: среднее	2
7.	Нули функции Сложность: среднее	3
8.	Исследование функции Сложность: среднее	3
9.	График квадратной функции с модулем Сложность: сложное	4
10.	Монотонность, наибольшее значение функции Сложность: сложное	3
11.	Исследование функции Сложность: сложное	13

Построение и решение графиков Функций

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Графический способ — наглядно.
Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Не обязательно делать чертеж на целый тетрадный лист, можно выбрать удобный для вас масштаб, который отразит суть задания.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

стационарные и критические точки;
точки экстремума;
нули функции;
точки разрыва функции.

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

Найти область определения функции.

Найти область допустимых значений функции.

Проверить не является ли функция четной или нечетной.

Проверить не является ли функция периодической.

Найти нули функции.

Найти промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна.

Найти асимптоты графика функции.

Найти производную функции.

Найти критические точки в промежутках возрастания и убывания функции.

На основании проведенного исследования построить график функции.

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Как решаем:

Упростим формулу функции:

Задача 2. Построим график функции

Как решаем:

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

Как решаем:

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a < 0.
Точка пересечения с осью Oy — c = 0.
Координата вершины

Ветви вверх, следовательно, a > 0.
Точка пересечения с осью Oy — c = 0.
Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a < 0.
Точка пересечения с осью Oy — c > 0.
Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b < 0.

Задача 4. Построить графики функций:

а) y = 3x — 1

б) y = -x + 2

в) y = 2x

г) y = -1

Как решаем:

Воспользуемся методом построения линейных функций «по точкам».

а) y = 3x — 1

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

б) y = -x + 2

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

в) y = 2x

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

г) y = -1

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.

Задача 5. Построить график функции

Как решаем:

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

а) y = x² + 1

б)

в) y = (x — 1)² + 2

г)

д)

Как решаем:

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

y = x²

Сдвигаем график вверх на 1:

y = x² + 1

б)

Преобразование в одно действие типа f(x — a).

y = √x

Сдвигаем график вправо на 1:

y = √x — 1

в) y = (x — 1)² + 2

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.

y = x²

Сдвигаем график вправо на 1:

y = (x — 1)²

Сдвигаем график вверх на 2:

y = (x — 1)² + 2

г)

Преобразование в одно действие типа

y = cos(x)

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Функции и Графики — сайт по математике и не только!!! СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Всё о Математических функциях и их графиках.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ПЕРИОДИЧНОСТЬ

Функция f(x) называется периодической с периодом T > 0 , если для любого x из области определения
значения x + T и x — T также принадлежат области определения и f(x) = f(x + T) = f(x — T). При этом любое
число вида Tn, где n N, также является периодом этой функции.

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов. Чтобы построить график периодической функции нужно построить фрагмент графика на любом отрезке, длинной T (например [0;T]), а затем произвести последовательные параллельные переносы фрагмента графика
на T, 2T, 3T и т.д. вдоль оси x (вправо и влево)

НУЛИ ФУНКЦИИ

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента x₀, при котором функция обращается в нуль:
f(x₀) = 0.
В нуле функции её график имеет общую точку с осью x.

x₁,x₂,x₃ — нули функции y = f(x) МОНОТОННОСТЬ (ВОЗРАСТАНИЕ, УБЫВАНИЕ)

Функция y = f(x) называется возрастающей
на интервале (a; b), если для любых x₁ и x₂ из этого интервала таких, что x₁x₂, справедливо неравенство f(x₁) f(x₂).

Функция y = f(x) называется убывающей на интервале (a; b), если для любых x₁ и x₂ из этого интервала таких, что x₁x₂, справедливо неравенство f(x₁) > f(x₂).

ЭКСТРЕМУМЫ (МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ)

Внутренняя точка x_max области определения называется точкой максимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство: f(x₁) f(x_max) называется максимумом этой функции.

x_max — точка максимума
y_max — максимум

Внутренняя точка x_min области определения называется точкой минимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство: f(x₁) > f(x_min) называется максимумом этой функции.

x_max — точка минимума
y_max — минимума

АСИМПТОТЫ

Если график функции y = f(x) имеет бесконечную ветвь (ветви), у графика могут быть асимптоты. Асимптотой графика называется прямая, к которой неограниченно приближается точка графика при удалении этой точки по бесконечной ветви.


Вертикальная асимптота x = a	Горизонтальная асимптота y = b	Наклонная асимптота y = kx + b

Прямая x = a является вертикальной асимптотой, если хотя бы один из пределов
(предел справа) или (предел слева) равен бесконечности.

Прямая y = b является горизонтальной асимптотой, если существуют конечные пределы .

Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой, если существуют конечные пределы либо при x -> , либо при x -> — .

ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ

Понятие обратной функции применимо к функциям, обладающим следующим свойством: каждому значению y из области определения соответствует единственное значение x из области определения этой функции. Для многих функций это свойство выполняется лишь на части области определения, в частности (для функции y = x² таким промежутком является, например, луч [0; ), для функции y =sin x — отрезок [- /2;/2]).

Функция g называется обратной для функции f, если каждому y из области значений функции f функция g ставит в соответствие такое x из области определения функции f, что y = f(x). Таким образом, если y = f(x), то x = g(y).

Функции f и g являются взаимно обратными.

Область определения функции f является областью значений функции g, а область значений
функции f является областью определения функции g.
Графики взаимно обратных функций симметричны друг другу относительно прямой y = x
(построение графика обратной функции)

НАХОЖДЕНИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФУНКЦИИ, ОБРАТНОЙ ДАННОЙ

Пользуясь формулой y = f(x), следует выразить x через y, а в полученной формуле x = g(y)
заменить x на y, а y на x.

Пример:
Найти формулу для функции, обратной функции: .
Выразить x через y: x = 2y — 2.
Заменить x на y: y = 2x — 2.
Результат: функция y = 2x — 2 является обратной для функции .

Зачет по алгебре и началам анализа по теме «Функция и её свойства», 10-й класс

Цели:

Проверить знания о свойствах функции, знание всех определений.
Уметь по графику определять свойства функций.
Уметь, используя свойства функций, строить схематически её график.
Показать умение работать в коллективе.
Показать смекалку, сообразительность, быстроту мышления.

Виды работ:

I. Диктант (на знание определений) — 25′

II. Лабораторно-практическая работа (исследование функции по графику) — 20′

III. Письменная работа — 25′ “Построить схематически график функции с предварительным исследованием по схеме”.

IV. Урок-соревнование — 45′

Ход зачёта

I. Оборудование зачёта:

Проектор, экран.
Индивидуальные карточки для лабораторно – практической работы.
Модель координатной плоскости с индивидуальными заданиями.
Графики, выполненные на компьютере и проецируемые на доску с помощью проектора.

II. Диктант. (25′)

Дайте определение числовой функции.
Что такое аргумент функции?
Что называется областью определения функции?
Что такое область значения функции?
Что называется графиком функции?
Какие преобразования графиков функций вы знаете? Перечислите.
Дайте определение чётной функции.
Какая функция называется нечётной?
Назовите особенность графика чётной функции.
Какова особенность графика нечётной функции?
Какая функция называется периодической?
Какая функция называется возрастающей на множестве Р?
Какая функция называется убывающей на множестве Р?
Какая точка называется точкой минимума функции?
Какая точка называется точкой максимума функции?
Как называются точки max и min?

III. Лабораторно-практическая работа. — (20′)

Каждому учащемуся выдаётся индивидуальная карточка и листок бумаги для ответов. Карточки 8 вариантов (Приложение №1).

IV. Письменная работа.

Задание: “Построить схематически эскиз графика заданной функции, предварительно исследовав её по общей схеме”.

Карточки трёх видов

V. Урок-соревнование по теме “Функция”

Цели:

Обобщить полученные знания по свойствам функции.
Уметь определять по графику все свойства функции.
Знать определения свойств функции.
Уметь работать коллективно, уважая друг друга.

Класс разбит на две команды. Все задания подготовлены на доске. За каждый правильный ответ команда получает жетон.

Ход урока

I. Устные упражнения.

1. Найдите область определения функции:

а) f (x) = 1/x	б) g (x) = v
в) h (x) = 1/	г) f (x) =

2. Найдите нули функции:

а) y = 3x + 1

б) y = x? — 9

3. Пусть f (x) = x + 1/x

Сравните

f (3) и f (-3)

f (-5) и -f (5)

4. Найдите множество значений функции:

у = x? — 2

f (x) = cos x

5. Пусть f (3) = -5; f (-4) = 3;

Найдите f (-3) и f (4), если

а) f (x) – чётная

б) f (x) – нечётная

в) f (x) – периодическая, с периодом Т = 2.

Какое значение функция y = sin x принимает на [?; 2?] ровно один раз.

II. На рисунке изображена часть графика функции с областью определения [-3; 3]. Постройте график функции, если известно, что она а) чётная б) нечётная

Ответы: Приложение №2

Учащиеся выполняют это задание в парах на отдельных листочках и сдают учителю.

III. На рисунке даны 4 графика функции и записаны 4 формулы.

1. 2.

3. 4.

2)^{y =^{2 – x}}
3) y = x²+ 4x + 3
4) y = |x – 1|

Вопросы:
Какой формулой задаётся каждый из графиков?

Как называется каждый из графиков?

Назовите области определения и области значения этих графиков.

Какие из этих графиков являются чётными, а какие нечётными?

Команды дают устные ответы в порядке поднятия руки.
IV. Даны графики функций: (проецируются на экран)
а) y = cos x
Постройте график функции y = cos x – 1
б) y = sin x
Постройте график функции y = sin x + 1
Команды выполняют данные задания на месте и отвечают на вопрос “Какой вид преобразования функции здесь используется?”
Листки с выполненными заданиями сдаются учителю.
V. Проявите смекалку.
Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функций, можно обратиться к пословицам, ведь пословицы – это отражение устойчивых закономерностей, выверенных многовековым опытом народа.
На доске написаны пословицы:
“Чем дальше в лес, тем больше дров”.

“Выше меры конь не скачет”.

“На пол упало, на половину пропало”.

Изобразите пословицы при помощи графика. Как вы её понимаете?
Ответы: Приложение №3.
Команды на листках выполняют задания и сдают их учителю.
VI. Отгадайте загадки и шараду.

1. Загадка. О какой кривой идёт речь?

Как утомительны вечные спуски,
Как утомительны вечные взлёты!…
В каждой ложбинке,
На каждой вершине –
Тщетна надежда – мечта о привале,
Об остановке и передышке. (синусоида)

2. Загадка. Какое свойство функции описывается в стихотворении?

“У попа была собака, он её любил.
Она съела кусок мяса, он её убил.
В землю закопал, надпись написал
…………………………………… ” (периодичность)

3. Шарада. Угадай функцию.

Привычное слово кудлатой наседки
Поставьте на первое место.
На месте втором, посмотрите-ка – нота,
Важна для любого оркестра.
На третьем – одна одинокая буква
Пятнадцатая в алфавите.
Один из волос на мордашке котёнка
На месте четвёртом прочтите. (косинус)

VII. Отгадайте кроссворд по теме “Функция”.
(Кроссворд прилагается) Приложение №4.
Кроссворд и вопросы к нему получают обе команды. Отгадывают командой.
VIII. Составьте существительные из слова “тригонометрическая”.
Лучше всех задание выполнили:
Ларионова Д. – 64 слова
Никонов Е. – 57 слов
Бандеров С. – 54 слова
Дурнева М. – 52 слова

Итоги урока.
Оценки выставляют каждому всей командой по % участию каждого в выполнении заданий.
Основные свойства функций. Справочник репетитора по математике
Данная страница справочника представляет собой виртуальную шпаргалку по математике для учеников и методическое справочное пособие для репетиторов. Тема «свойства функций», адаптированное для разных уровней учащихся 8-9класов. В нем перечислены определения основных понятий и свойств, виды функций, термины и обозначения, принятые в математике. Репетитору по математике показаны образцы рисунков, которые должны остаться в теради ученика. Информация изложена как на строгом и формальном математическом языке (для среднего и сильного ученика), так на простом (бытовом) уровне, доступном для понимания широкому кругу посетителей сайта. Каждый такой перевод с математического языка на русский отмечен одним из следующих указателей: «пояснение репетитора по математике», «редакция репетитора по математике» или «уточнение репетитора по математике». В этих — переводах вы встретите несколько моих собственных уникальных дополнений и комментариев к классическим фомулировкам, которые я использую на занятиях со слабым учеником.
Определение функции: функцией или функциональной зависимостью называется такое соответствие f (x) при котором числу x из множества X сопоставляется некоторое единственное число из множества Y.
Редакция репетитора по математике: функцией называется закон или правило, по которому можно найти число y (значение какой-нибудь величины), если известно число x (значение какой-нибудь другой величины).
При этом букву x называют независимой переменной (или аргументом), а букву y — зависимой переменной. Число, которое подставляется вместо x, называется значением переменной (или значением аргумента), а число y, которому оно соответствует, называется значением функции.
График функции — множество точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.
Пояснение репетитора по математике Графиком функции называется линия на координатной плоскости, каждая точка которой имеет следующие координаты: первая (абсцисса) — это значение аргумента x , а вторая (ордината) — найденное для этого икса значение функции y.
Свойства функции:
1) Что такое область определения функции? Область определения функции (О.О.Ф) — это множество всех значений переменной x, которые имеют соответствующие им значения функции.
Редакция репетитора по математике: область определения — множество значений переменной x, у которых можно найти y.
Обозначения области определения Для обозначения области определения используются следующие знаки:
Как найти область определения по графику? Область определения — это промежутки на оси Ох, над которыми (или под которыми) имеются части графика.
2) Что такое область значений функции? Областью значений функции (О.З.Ф) называется множество всех ее значений.
Редакция репетитора по математике:областью значений функции можно назвать часть оси ОY, состоящую из игреков, у которых есть соответствующие им иксы.
Как найти область значений по графику?: область значений функции — это промежутки на оси OY, слева или справа от которых (в горизонтальной полоске) находятся части графика.
3) Возрастание и убывание функции.
Какая функция называется возрастающей?Функция называется возрастающей, если для любой пары значений аргументов и из неравенства следует неравенство .
Редакция репетитора по математике: Функцию можно назвать возрастающей на промежутке, если, большему из любых двух взятых из него чисел всегда соответствует большее значение функции. Для графика это будет означать то, что при движении по нему карандашом слева направо карандаш будет подниматься вверх.
Какая функция называется убывающей? Функция называется убывающей, если для любой пары значений аргументов и из неравенства следует неравенство
Промежуток отрицательного знака — это множество тех значений переменной х, у которых соответствующие значения функции меньше нуля (y).
Как найти все такие промежутки по графику? Определите промежутки оси ОХ, у которых соответствующие кусочки графика ниже оси Ох.
Как их найти без графика? Составьте и решите неравенство f (x) Оформление: , если
5) Нули функции:Число a называется нулем функции, если соответствующее ему значение функции равно нулю, то есть f (a)=0.
Редакция репетитора по математике: нулями функции называются такие числа х, у которых соответствующие игреки равны нулю.
Как найти нули функции без графика? Составьте и решите уравнение f (x)=0, то есть приравняйте аналитическое выражение функции (правую часть ее записи) к нулю.
Как найти по графику? Определите абсциссы точек пересечения графика с осью Ох.
Оформление: , если
7) Четность и нечетность функции.
а) Четность. Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого верно равенство .
Редакция репетитора по математике:функция называется четной, если любым двум противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.
Уточнение репетитора по математике: равенство можно получить только тогда, когда функция имеет симметричную область определения, поэтому проверку этой симметричности при решении задач часто опускают.
Как определить четность функции по графику?График четной функции должен быть симметричен оси Оу.
Пояснения репетитора по математике: симметрия графика означает то, что он состоит из двух частей, одна из которых является зеркальным отражением другой.
8) Нечетность. Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого верно равенство .
Редакция репетитора по математике:функция называется нечетной, если любым двум противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.
Уточнение репетитора по математике: равенство можно получить только тогда, когда функция имеет симметричную область определения, поэтому проверку этой симметричности при решении задач часто опускают.
Как определить нечетность функции по графику?График нечетной функции должен быть симметричен началу координат, Пояснения репетитора по математике: симметрия означает то, что если какая-то точка лежит на графике, то и симметричная ей точка (с противоположными координатами) тоже должна лежать на графике.
9) Наименьшее и наибольшее значение функции.
Число a называется наименьшим значением функции на промежутке, если для любого значения аргумента из этого промежутка верно неравенство .
Число a называется наибольшим значением функции на промежутке, если для любого значения аргумента из этого промежутка верно неравенство .
Материалы для подготовки к ГИА по математике, 9 класс. {2} -1 \).{2} -2 х-1 \)
Ответ
вниз
вверх
Найдите ось симметрии и вершину параболы
Посмотрите еще раз на Рисунок 9.6.10 . Вы видите, что мы можем сложить каждую параболу пополам, и тогда одна сторона окажется поверх другой? «Линия сгиба» — это линия симметрии. Мы называем это осью симметрии параболы.
Мы снова показываем те же два графика с осью симметрии.{2} + b x + c \) равно \ (x = — \ frac {b} {2 a} \).
Итак, чтобы найти уравнение симметрии каждой из парабол, которые мы построили на графике выше, мы подставим в формулу \ (x = — \ frac {b} {2 a} \).
Обратите внимание, что это уравнения, изображенные пунктирными синими линиями на графиках.
Точка параболы, которая является самой низкой (парабола открывается вверх) или самой высокой (парабола открывается вниз), лежит на оси симметрии. Эта точка называется вершиной параболы.
Мы можем легко найти координаты вершины, потому что знаем, что она находится на оси симметрии.{2} -6 x + 2 \) найти:
ось симметрии
вершина
Решение :
а.
Ось симметрии — это вертикальная линия \ (x = — \ frac {b} {2 a} \).
Подставьте значения \ (a, b \) в уравнение. \ (x = — \ frac {-6} {2 \ cdot 3} \)
Упростить.{2} -6 х + 2 \)
Вершина — это точка на линии симметрии, поэтому ее \ (x \) — координата будет \ (x = 1 \). Найдите \ (f (1) \).
Упростить.
Результат — координата \ (y \). \ (f (1) = — 1 \)
Вершина равна \ ((1, -1) \). {2} +4 x + 3 \).{2} -4 (-1) (3)}} {2 (-1)} \)
Упростить. \ (x = \ frac {-4 \ pm \ sqrt {28}} {- 2} \)
\ (x = \ frac {-4 \ pm 2 \ sqrt {7}} {- 2} \)
\ (x = \ frac {-2 (2 \ pm \ sqrt {7})} {- 2} \)
\ (x = 2 \ pm \ sqrt {7} \)
\ (x \) — точки пересечения — это \ ((2+ \ sqrt {7}, 0) \) и \ ((2- \ sqrt {7}, 0) \).{2} -2 х-8 \)
Решите на множитель. \ (0 = (х-4) (х + 2) \)
\ (0 = x-4 \ quad 0 = x + 2 \)
\ (4 = х \ квад-2 = х \)
Если \ (f (x) = 0 \), то \ (x = 4 \) или \ (x = -2 \). \ (X \) — точки пересечения — это точки \ ((4,0) \) и \ ((- 2,0) \). {2} +2 x-8 \).{2} -2 x-15 \\ 0 & = (x-5) (x + 3) \\ x-5 & = 0 \ quad x + 3 = 0 \\ x & = 5 \ quad x = -3 \\ (5,0) & \ text {and} (- 3,0) \\ & x \ text {-intercepts} \ end {align} \)
Решениями квадратичной функции являются значения \ (x \) точек пересечения \ (x \) — .
Ранее мы видели, что квадратные уравнения имеют решения \ (2, 1 \) или \ (0 \). На графиках ниже показаны примеры парабол для этих трех случаев. Поскольку решения функций дают \ (x \) — точки пересечения графиков, количество \ (x \) — точек пересечения равно количеству решений.{2} -4 х-5 \)
Ответ
\ (y \) — перехват: \ ((0, -5) \) \ (x \) — перехватывает \ ((- 1,0), (5,0) \)
Графические квадратичные функции с использованием свойств
Теперь у нас есть все, что нужно для построения графика квадратичной функции. Нам просто нужно собрать их вместе. В следующем примере мы увидим, как это сделать. {2} -6x + 8 \), используя его свойства.{2} -6x + 8 \)
Ось симметрии — это линия \ (x = — \ frac {b} {2 a} \).
Ось симметрии
\ (x = — \ frac {b} {2 a} \)
\ (x = — \ frac {(- 6)} {2 \ cdot 1} \)
\ (х = 3 \)
Осью симметрии является прямая \ (x = 3 \).
Шаг 3 : Найдите вершину. Вершина находится на оси симметрии.{2} -6 (\ color {red} {3} \ color {black} {)} + 8 \)
\ (f (3) = — 1 \)
Вершина равна \ ((3, -1) \).
Шаг 4 : Найдите точку пересечения \ (y \) -. Найдите точку, симметричную точке пересечения \ (y \) поперек оси симметрии.
Находим \ (f (0) \).
Мы используем ось симметрии, чтобы найти точку, симметричную пересечению \ (y \). Пересечение \ (y \) находится на \ (3 \) единицах слева от оси симметрии \ (x = 3 \).{2} -6 (\ color {red} {0} \ color {black} {)} + 8 \)
\ (f (0) = 8 \)
Перехватчик \ (y \) — это \ ((0,8) \).
Точка симметрична \ (y \) — точка пересечения:
Дело в \ ((6,8) \).
Шаг 5 : Найдите точки пересечения \ (x \). При необходимости найдите дополнительные баллы.
Решаем \ (f (x) = 0 \).
Мы можем решить это квадратное уравнение факторизацией.{2} -6x + 8 \)
\ (\ color {красный} {0} \ color {черный} {=} (x-2) (x-4) \)
\ (х = 2 или х = 4 \)
\ (x \) — точки пересечения — это \ ((2,0) \) и \ ((4,0) \). {2} + 2x-8 \), используя его свойства.{2} -8x + 12 \), используя его свойства.
Ответ
Здесь мы перечисляем шаги, которые необходимо предпринять, чтобы построить график квадратичной функции.
Построение квадратичной функции с использованием свойств
Определите, открывается ли парабола вверх или вниз.
Найдите уравнение оси симметрии.
Найдите вершину.
Найдите точку пересечения \ (y \). Найдите точку, симметричную точке пересечения \ (y \) поперек оси симметрии.{2} -4 x-3 \), используя его свойства.
Решение :
41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449
55170 27618 38606 26133
Когда используется основание e , экспоненциальная функция принимает вид f (x) = e ^x.Икс. На калькуляторах TI-8x он находится слева как a [2 ^nd] [Ln]. В экспоненциальная функция с основанием e иногда сокращается как exp (). Одно общее место это аббревиатура появляется при написании компьютерных программ. Я упоминаю об этом, поэтому, когда я пишу exp (x), ты знаешь о чем я говорю.
Сложные проценты
Сумма на вашем сберегательном счете может быть вычислена с экспоненциальной функцией. Каждый период (я предположим, ежемесячно), вы получаете 1/12 годовой процентной ставки (r), применяемой к вашему счету.Новый сумма на счете составляет 100% от того, с чего вы начали, плюс r% / 12 от того, с чего вы начали. Это означает, что теперь у вас есть (100% + r% / 12) того, с чего вы начали. В следующем месяце вы будет то же самое, за исключением того, что он будет основан на том, что у вас было в конце первого месяца.
Непонятно, знаю. На странице 304 текста есть объяснение, но полученная формула для Сложный процент равен A = P (1 + i) ⁿ.
A — это сумма на счете.P — это принципал, с которого вы начали. я — периодическая ставка, которая представляет собой годовой процент (записанный в виде десятичной дроби) r, разделенный по количеству периодов в году, м. n — количество периодов начисления сложных процентов, что равно количество периодов в году, м, умноженное на время в годах, т. Формула Я показал выше немного отличается от формулы в книге, но согласен с формулой, которую вы будете использовать, если вы пойдете по конечной математике (Math 160). В конечной математике есть целая глава о финансах и задействованных формулах.
Непрерывное соединение и рост / распад
Раньше было постоянное начисление процентов. Ты не найти его больше, потому что он дает максимальную отдачу от инвестиций, и банки в бизнесе, чтобы сделать деньги, как и любое другое коммерческое учреждение.
Модель для непрерывного компаундирование: A = P e ^rt.
A — сумма, P — основная сумма, r — годовая процентная ставка (написано в виде десятичной дроби), а t — время в годах. e — основание для натурального логарифма.
Однако непрерывная модель имеет смысл для роста населения и радиоактивного распада. Радиоактивность изотопа не меняется раз в месяц в конце месяца, а не меняется. постоянно меняется.
Экспоненциальная модель: y = A e ^kt,
, где y — количество, присутствующее в момент времени t. А — начальное количество, а k — скорость роста (если положительна) или скорость распада. (если отрицательный).
Сравните свойства функций в графическом виде — видео и стенограмма урока
Линейные функции
Линейные функции действительно легко распознать. Фактически, почти каждый график линии является функцией. Фактически, все это функции: y = 20 x , y = ¾ x + 3, даже график y = 4 является функцией.
Поскольку \ (a \) равно \ (2 \), парабола открывается вверх.
Чтобы найти уравнение оси симметрии, используйте \ (x = — \ frac {b} {2 a} \). \ (x = — \ frac {b} {2 a} \)
\ (x = — \ frac {-4} {2 \ cdot 2} \)
\ (х = 1 \)
Уравнение оси симметрии: \ (x = 1 \).{2} -4 х-3 \)
Найдите \ (f (0) \).
Упростить. \ (f (0) = — 3 \)
Перехватчик \ (y \) — это \ ((0, -3) \).
Точка \ ((0, -3) \) находится на одну единицу левее линии симметрии. Точка, симметричная \ (y \) — точка пересечения равна \ ((2, -3) \)
Точка на одну единицу правее линии симметрии равна \ ((2,3) \).{2} -4 (2) (3)}} {2 (2)} \)
Упростить. \ (x = \ frac {-4 \ pm \ sqrt {16 + 24}} {4} \)
Упростить внутри корня. \ (x = \ frac {4 \ pm \ sqrt {40}} {4} \)
Упростим радикал. \ (x = \ frac {4 \ pm 2 \ sqrt {10}} {4} \)
Разложите на множители GCF. \ (x = \ frac {2 (2 \ pm \ sqrt {10})} {4} \)
Удалите общие множители. \ (x = \ frac {2 \ pm \ sqrt {10}} {2} \)
Запишите в виде двух уравнений. \ (x = \ frac {2+ \ sqrt {10}} {2}, \ quad x = \ frac {2- \ sqrt {10}} {2} \)
Приблизительные значения. \ (x \ приблизительно 2,5, \ quad x \ приблизительно-0,6 \)
Приблизительные значения точек пересечения \ (x \) — \ ((2.5,0) \) и \ ((- 0.6,0) \).
Постройте параболу, используя найденные точки.{2} -6 x + 5 \), используя его свойства.
Ответ
Решите максимум и минимум приложений
Знание того, что вершина параболы является самой низкой или самой высокой точкой параболы, дает нам простой способ определить минимальное или максимальное значение квадратичной функции. {2} +2 x-8 \).{2} +2 х-8 \)
Поскольку \ (a \) положительно, парабола открывается вверх. Квадратное уравнение имеет минимум.
Найдите уравнение оси симметрии. \ (x = — \ frac {b} {2 a} \)
\ (x = — \ frac {2} {2 \ times 1} \)
\ (х = -1 \)
Уравнение оси симметрии: \ (x = -1 \).{2} +2 х-8 \)
Найдите \ (f (-1) \).
\ (ф (-1) = 1-2-8 \)
\ (f (-1) = — 9 \)
Вершина равна \ ((- 1, -9) \).
Поскольку парабола имеет минимум, \ (y \) — координата вершины является минимальным \ (y \) — значением квадратного уравнения. {2} +176 t + 4} \\ {h (t) = — 16 (5.{2} +176 (5.5) +4} \ end {array} \)
Используйте калькулятор, чтобы упростить.
\ (ч (т) = 488 \)
Вершина равна \ ((5.5,488) \).
Поскольку парабола имеет максимум, \ (h \) — координата вершины является максимальным значением квадратичной функции.
Максимальное значение квадратичной функции составляет \ (488 \) футов, и это происходит, когда \ (t = 5.5 \) секунд.
Через \ (5.5 \) секунд волейбольный мяч достигнет максимальной высоты \ (488 \) футов.
Упражнение \ (\ PageIndex {21} \)
Решайте, округляя ответы до ближайшей десятой.{2} +128 t + 32 \) используется для определения высоты камня, брошенного вверх с высоты \ (32 \) футов со скоростью \ (128 \) футов / сек. Сколько времени потребуется, чтобы камень достиг максимальной высоты? Какая максимальная высота?
Ответ
Камню потребуется \ (4 \) секунды, чтобы достичь максимальной высоты в \ (288 \) футов. {2} +208 t \) .Когда ракета достигнет максимальной высоты? Какая будет максимальная высота?
Ответ
Ракете потребуется \ (6.5 \) секунд, чтобы достичь максимальной высоты \ (676 \) футов.
Родительские функции — Типы, свойства и примеры
При работе с функциями и их графиками вы заметите, как графики большинства функций выглядят одинаково и следуют схожим шаблонам. Это потому, что функции, имеющие одинаковую степень, будут следовать аналогичной кривой и использовать одни и те же родительские функции.
Родительская функция представляет собой простейшую форму семейства функций.
Это определение прекрасно описывает родительские функции. Мы используем родительские функции, чтобы направлять нас при построении графиков функций, которые находятся в том же семействе. В этой статье мы:
Рассмотрим все уникальные родительские функции (возможно, вы уже сталкивались с некоторыми ранее).
Узнайте, как определить родительскую функцию, которой принадлежит функция.
Возможность идентифицировать и графически отображать функции с помощью их родительских функций может помочь нам лучше понять функции, так чего же мы ждем?
Что такое родительская функция?
Теперь, когда мы понимаем, насколько важно для нас овладение различными типами родительских функций, давайте сначала начнем понимать, что такое родительские функции и как их семейства функций зависят от их свойств.
Определение родительской функции
Родительские функции — это простейшая форма данного семейства функций . Семейство функций — это группа функций, которые имеют одинаковую наивысшую степень и, следовательно, одинаковую форму для своих графиков .
На приведенном выше графике показаны четыре графика, которые демонстрируют U-образный график, который мы называем параболой. Поскольку все они имеют одинаковую наивысшую степень двойки и одинаковую форму, мы можем сгруппировать их в одно семейство функций. Сможете угадать, к какой семье они принадлежат?
Все эти четыре функции являются квадратичными, и их простейшая форма будет y = x ². Следовательно, родительской функцией для этого семейства является y = x ².
Поскольку родительские функции являются простейшей формой данной группы функций, они могут сразу дать вам представление о том, как будет выглядеть данная функция из того же семейства.
Какие бывают типы родительских функций?
Пришло время освежить наши знания о функциях, а также узнать о новых функциях.Как мы уже упоминали, знакомство с известными родительскими функциями поможет нам лучше и быстрее понять и построить графики функций.
Почему бы нам не начать с тех, которые мы, возможно, уже узнали в прошлом?
Первые четыре родительские функции содержат многочлены с возрастающей степенью. Давайте посмотрим, как ведут себя их графики, и отметим область и диапазон соответствующих родительских функций.
Функции констант
Функции констант — это функции, которые определяются своей соответствующей константой c. Все функции-константы будут иметь горизонтальную линию в качестве графика и содержать только константу в качестве члена.
Все постоянные функции будут иметь все действительные числа в качестве домена и y = c в качестве диапазона. У каждого из них также есть точка пересечения по оси y в точке (0, c).
Движение объекта в состоянии покоя — хороший пример постоянной функции.
Линейные функции
Линейные функции содержат член с наивысшей степенью x и общую форму y = a + bx.Все линейные функции имеют прямую линию в виде графика .
Родительская функция линейных функций — это y = x, , и она проходит через начало координат. Область и диапазон всех линейных функций: , все действительные числа .
Эти функции представляют отношения между двумя объектами, которые линейно пропорциональны друг другу.
Квадратичные функции
Квадратичные функции — это функции, у которых 2 в качестве высшей степени . Все квадратичные функции возвращают параболу в качестве своего графика . Как обсуждалось в предыдущем разделе, квадратичные функции имеют y = x ² в качестве родительской функции .
Вершина родительской функции y = x ² лежит в начале координат. Он также имеет область всех действительных чисел и диапазон [0, ∞) . Обратите внимание, что эта функция увеличивается, когда x положительна , и уменьшается, когда x отрицательна .
Хорошим применением квадратичных функций является движение снаряда.Мы можем наблюдать за движением снаряда объекта, построив график квадратичной функции, которая его представляет.
Кубические функции
Давайте перейдем к родительской функции многочленов с 3 наивысшей степенью . Кубические функции имеют общую родительскую функцию y = x ³ . Эта функция на возрастает по всему домену .
Как и в случае с двумя предыдущими родительскими функциями, график y = x ³ также проходит через начало координат.Его домен и диапазон равны (-∞, ∞) или также все действительные числа.
Функции абсолютного значения
Родительская функция функций абсолютного значения — y = | x | . Как показано на графике родительской функции, функции абсолютного значения должны возвращать V-образные графики .
Вершина y = | x | также находится в начале координат. Поскольку он проходит на обоих концах оси x, y = | x | имеет область в (-∞, ∞). Абсолютные значения никогда не могут быть отрицательными, поэтому родительская функция имеет диапазон [0, ∞) .
Мы используем функции абсолютного значения, чтобы подчеркнуть, что значение функции всегда должно быть положительным.
Радикальные функции
Двумя наиболее часто используемыми радикальными функциями являются функции извлечения квадратного корня и кубического корня .
Родительская функция функции извлечения квадратного корня — y = √x . Его график показывает, что его значения x и y никогда не могут быть отрицательными.
Это означает, что область и диапазон y = √x равны [0, ∞ ) . Начальная точка или вершина родительской функции также находится в в начале координат . Родительская функция y = √x также увеличивается на во всей области .
Давайте теперь изучим родительскую функцию функций кубического корня. Подобно функции извлечения квадратного корня, ее родительская функция выражается как y = ∛ x .
На графике показано, что родительская функция имеет домен и диапазон (-∞, ∞) .Мы также можем видеть, что y = ∛x составляет , увеличиваясь во всей области .
Экспоненциальные функции
Экспоненциальные функции — это функции, в экспоненте которых есть алгебраические выражения. Их родительская функция может быть выражена как y = b ^x , где b может быть любой ненулевой константой. График родительской функции, y = e ^x, , показан ниже, и из него мы видим, что никогда не будет равно 0 .
И когда x = 0, y проходит через ось y при y = 1.Мы также можем видеть, что родительская функция никогда не находится ниже оси Y, поэтому ее диапазон составляет (0, ∞ ). Его домен , однако, может быть полностью вещественным числом . Мы также можем видеть, что эта функция на увеличивается по всей своей области.
Одним из наиболее распространенных приложений экспоненциальных функций является моделирование роста населения и сложных процентов.
Логарифмические функции
Логарифмические функции являются функциями, обратными экспоненциальным функциям. Его родительская функция может быть выражена как y = log _b x , где b — ненулевая положительная константа. Давайте посмотрим на график, когда b = 2 .
Как и экспоненциальная функция, мы видим, что x никогда не может быть меньше или равным нулю для y = log ₂ x. Следовательно, его домен (0, ∞) . Однако его диапазон содержит все действительные числа . Мы также можем видеть, что эта функция на увеличивается по всей своей области.
Мы используем логарифмические функции для моделирования природных явлений, таких как сила землетрясения.Мы также применяем его при вычислении скорости распада периода полураспада в физике и химии.
Взаимные функции
Взаимные функции — это функции, которые содержат числитель констант и знаменатель x. Его родительская функция — y = 1 / x .
Как видно из графика, ни x, ни y никогда не могут быть равны нулю. Это означает, что его домен и диапазон равны (-∞, 0) U (0, ∞) . Мы также можем видеть, что функция убывает во всей области .
На протяжении всего нашего пути с функциями и графиками есть много других родительских функций, но эти восемь родительских функций относятся к , наиболее часто используемым и обсуждаемым функциям .
Вы даже можете резюмировать то, что вы узнали, создав таблицу, показывающую все свойства родительских функций.
Как найти родительскую функцию?
Что, если нам дана функция или ее график, и нам нужно идентифицировать ее родительскую функцию? Мы можем сделать это, запомнив важные свойства каждой функции и определив, какие из родительских графиков, которые мы обсуждали, соответствуют заданному.
Вот несколько наводящих вопросов, которые могут нам помочь:
Какая наивысшая степень функции?
Содержит ли он квадратный корень или кубический корень?
Функция находится в экспоненте или знаменателе?
График функции увеличивается или уменьшается?
Каков домен или диапазон функции?
Если мы сможем ответить на некоторые из этих вопросов путем проверки, мы сможем вывести наши варианты и в конечном итоге идентифицировать родительскую функцию.
Давайте попробуем f (x) = 5 (x — 1) ². Мы видим, что наивысшая степень f (x) равна 2 , поэтому мы знаем, что эта функция является квадратичной функцией. Следовательно, его родительская функция — y = x ² .
Почему бы нам не построить график f (x) и также не подтвердить наш ответ?
На графике мы видим, что он образует параболу, подтверждая, что его родительская функция равна y = x ².
Просмотрите несколько первых разделов этой статьи и свои собственные заметки, а затем давайте попробуем задать несколько вопросов, чтобы проверить наши знания о родительских функциях.
Пример 1
Графики пяти функций показаны ниже. Какие из следующих функций не относятся к данному семейству функций?
Решение
Функции, представленные графиками A, B, C и E, имеют аналогичную форму, но смещены вверх или вниз. Фактически, эти функции представляют собой семейство экспоненциальных функций . Это означает, что все они имеют общую родительскую функцию: y = b ^x.
С другой стороны, график D представляет логарифмическую функцию, поэтому D не принадлежит к группе экспоненциальных функций.
Пример 2
Какие из следующих функций не принадлежат к данному семейству функций?
y = 5x ²
y = -2x ² + 3x — 1
y = x (3x ²)
y = (x — 1) (x + 1)
Решение
Функция y = 5x ² имеет наивысшую степень двойки, поэтому она является квадратичной функцией.Это означает, что его родительской функцией является y = x ². То же самое и для y = -2x ² + 3x — 1. Исходя из этого, мы можем подтвердить, что рассматриваем семейство квадратичных функций.
Применяя разность полных квадратов к четвертому варианту, получаем y = x ² — 1. Это также квадратичная функция. Остается третий вариант.
В развернутом виде y = x (3x ²) становится y = 3x ^3,, и это показывает, что он имеет 3 наивысшую степень.Следовательно, он не может быть частью данного семейства функций.
Пример 3
Определите родительскую функцию следующих функций на основе их графиков. Также определите область и диапазон каждой функции.
Решение
Начнем с f (x). Мы можем видеть, что у него есть парабола для своего графика, поэтому мы можем сказать, что f (x) является квадратичной функцией .
Это означает, что f (x) имеет родительскую функцию y = x ² .
График продолжается по обе стороны от x, поэтому он имеет область (-∞, ∞) .
Парабола никогда не опускается ниже оси x, поэтому ее диапазон составляет [0, ∞) .
Основываясь на графике, мы видим, что значения x и y функции g (x) никогда не будут отрицательными. Они также показывают возрастающую кривую, которая напоминает график функции квадратного корня .
Следовательно, родительская функция для g (x) равна y = √x .
График простирается до правой стороны от x и никогда не может быть меньше 2, поэтому он имеет область [2, ∞) .
Парабола никогда не опускается ниже оси x, поэтому ее диапазон составляет [0, ∞) .
График h (x) показывает, что их значения x и y никогда не будут равны 0. Симметричные кривые также похожи на график обратных функций.
Это означает, что h (x) имеет родительскую функцию y = 1 / x.
Пока x и y никогда не равны нулю, h (x) по-прежнему действителен, поэтому он имеет как домен , так и диапазон (-∞, ∞) .
Прямые линии, представляющие i (x), говорят о том, что это линейная функция.
Он имеет родительскую функцию y = x.
График простирается по обе стороны от x и y, поэтому он имеет область и диапазон (-∞, ∞) .
Пример 4
Определите родительскую функцию для следующих функций.
f (x) = x ³ — 2x + 1
g (x) = 3√x + 1
h (x) = 4 / x
i (x) = e ^{x + 1}
Решение
Наивысшая степень f (x) равна 3, поэтому это кубическая функция.Это означает, что у него есть родительская функция y = x ³ .
Функция g (x) имеет радикальное выражение 3√x. Поскольку у нее есть член с квадратным корнем, функция является функцией квадратного корня и имеет родительскую функцию y = √x.
Мы видим, что x находится в знаменателе h (x), поэтому он обратный. Следовательно, его родительская функция — y = 1 / x .
Показатели степени содержат x, поэтому одно это говорит нам о том, что i (x) — экспоненциальная функция.Следовательно, его родительская функция может быть выражена как y = b ^x, где b — константа. Для случая i (x) у нас есть y = e ^x в качестве его родительской функции.
Практические вопросы
1. Графики пяти функций показаны ниже. Какие из следующих функций не относятся к данному семейству функций?
2. Какие из следующих функций не относятся к данному семейству функций?
y = 4x ³
y = -3x ³ + 4x ² + 5x — 1
y = x (5x ²)
y = (x — 1) (x + 1) (х + 2)
3.Определите родительскую функцию следующих функций.
f (x) = x ³ — 2x + 1
g (x) = 3√x + 1
h (x) = 1 / (x + 1)
i (x) = e ^{x + 1}
4. Определите родительскую функцию следующих функций на основе их графиков. Также определите область и диапазон каждой функции.
5. Опишите разницу между f (x) = -5 (x — 1) ² и его родительской функцией. Каков домен и диапазон f (x)?
6.Пусть a и b — две ненулевые константы. Опишите разницу между g (x) = ax + b и его родительской функцией. Каков домен и диапазон f (x)?

Изображения / математические рисунки создаются с помощью GeoGebra.
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок
Постоянная функция — определение, график, свойства, примеры
Постоянная функция используется для представления величины, которая остается постоянной в течение времени, и считается самой простой из всех типов функций с действительным знаком.Постоянные функции — это линейные функции, графики которых представляют собой горизонтальные линии на плоскости. Максимальные оценки, которые можно получить на экзамене, можно рассматривать как один из реальных примеров постоянных функций.
Постоянная функция имеет одинаковый выход даже с разными входными значениями. В этой статье давайте узнаем о постоянных функциях, их определении и графиках с решенными примерами.
Что такое постоянная функция?
Постоянная функция — это функция, имеющая один и тот же диапазон для разных значений домена.Графически постоянная функция представляет собой прямую линию, параллельную оси x. Область функции — это значение x, представленное на оси x, а диапазон функции — y или f (x), который отмечен относительно оси y.
Любая функция может считаться постоянной функцией, если она имеет вид y = k, где k — константа, а k — любое действительное число. Он также записывается как f (x) = k. Здесь необходимо отметить, что значение f (x) всегда будет «k» и не зависит от значения x.В общем, мы можем определить постоянную функцию как функцию, которая всегда имеет одно и то же постоянное значение, независимо от входного значения.
Вот несколько примеров постоянных функций:
f (x) = 0
f (x) = 1
f (х) = π
f (х) = 3
f (х) = -0,3412454
f (x) равно любому другому действительному числу, о котором вы только можете подумать.
Одна из интересных особенностей константной функции заключается в том, что мы можем ввести любое действительное число, которое мы хотим для x, и мы можем мгновенно узнать значение функции в этом x без каких-либо вычислений.
Как найти постоянную функцию?
В этом разделе давайте научимся различать постоянную функцию и функцию, которая не является постоянной функцией. Чтобы узнать, является ли функция постоянной функцией, выполните следующие действия:
Проверьте, можно ли получить разные выходы для разных входов. Если это возможно, то это не постоянная функция
Но если можно получить один и тот же вывод независимо от входных значений, тогда это постоянная функция.
Рассмотрим функцию y = x + 2. Можно ли в этом примере получить разные выходные данные, варьируя входные значения? Ответ положительный, потому что:
Если мы введем x = 1, мы получим y = 1 + 2 или y = 3
Если мы введем x = 2, то получим y = 2 + 2 или y = 4.
Поскольку мы получаем разные выходные данные, варьируя входные значения, это не постоянная функция.
Рассмотрим функцию y = 3. Здесь мы можем заметить, что независимо от нашего значения x или ввода, y всегда будет 3.
Если x = 3, y = 3 или если x = 5, y = 3
y всегда равно 3, независимо от того, что мы вводим.
Поскольку мы не можем получить разные выходные данные, варьируя входные значения, это постоянная функция.
Графики постоянных функций
Вам может быть интересно, как постоянная функция будет выглядеть на координатной плоскости. Если вы когда-нибудь видели горизонтальную линию на графике, значит, вы видели график постоянной функции. Постоянная функция относится к функции с действительным знаком, в определении которой нет переменной. Рассмотрим постоянную функцию f (x) = 3, где f: R → R.
Это означает, что он всегда будет генерировать результат, равный 3, независимо от того, какие входные значения мы предоставим
Значит, некоторые точки на его графике могут быть (-1, 3), (2, 3), (4, 3) и т. Д.
Давайте посмотрим на график постоянной функции f (x) = 3 ниже.
Итак, график f (x) = 3 представляет собой горизонтальную линию, поскольку координаты y всех точек такие же (как 3).Следовательно, графики всех постоянных функций представляют собой горизонтальные линии.
Характеристики постоянной функции
Все постоянные функции пересекают вертикальную ось согласно значению их константы, и они не пересекают горизонтальную ось, поскольку они параллельны ей. Кроме того, постоянные функции являются непрерывными, поскольку они представляют собой горизонтальные линии, которые непрерывно проходят с обеих сторон без каких-либо разрывов. Вот некоторые из важных характеристик постоянной функции:
Наклон постоянной функции
Постоянная функция — это линейная функция с общим форматом y = mx + k, где m и k — константы.Таким образом, постоянная функция, которая имеет вид f (x) = k (или) y = k, может быть записана как y = 0x + k. Сравнивая это уравнение с формой пересечения наклона y = mx + b, мы получаем, что его наклон равен m = 0. Таким образом, наклон постоянной функции равен 0.
Область и диапазон постоянной функции
Постоянная функция — это линейная функция, диапазон которой содержит только один элемент независимо от количества элементов домена. Поскольку постоянная функция определена для всех реальных значений x:
Его доменом является набор всех действительных чисел R.Итак, домен = R
Поскольку постоянная функция f (x) = k приводит только к одному выходу, то есть k, ее диапазон — это набор с одним элементом k. Диапазон = {k}
Производные постоянной функции
Постоянная функция — самая простая из всех функций, поэтому ее производную легче вычислить. Мы можем использовать прямую подстановку, чтобы найти производную постоянной функции. Правило дифференцирования постоянной функции f (x) равно
.
\ (\ frac {d} {d x} (c) = 0 \)
Из приведенного выше дифференцирования видно, что производная постоянной функции равна нулю.Кроме того, даже если производная постоянной функции равна нулю, каждая функция с производной, равной нулю, не может рассматриваться как постоянная функция. Кроме того, производная считается наклоном функции в любой заданной точке, и мы уже знаем, что наклон постоянной функции всегда равен 0. Давайте рассмотрим пример, чтобы понять постоянные функции и их соответствующую производную. Постоянная функция y = -1, а ее производная y ‘= 0.
Предел постоянной функции
По свойствам пределов предел постоянной функции равен такой же постоянной.Например, если функция y = 7, то предел этой функции равен 7. Это можно представить как:
\ (\ lim _ {x \ rightarrow a} C = C \ text {.} \)
Постоянные функции в реальном мире
Так много мест, где постоянные функции находят свое применение в реальной жизни. Здесь постоянные функции используются для моделирования ситуаций, когда один параметр является постоянным и не зависит от других независимых параметров. Вот несколько примеров постоянных функций в реальном мире:
Цена любого товара в универмаге — 3 доллара.
На книжной распродаже цена любой книги составляет 10 долларов.
Экзамен, на котором каждому студенту была присуждена звезда, независимо от того, насколько усердно они все работали.
Сумка стоимостью 30 долларов бесплатна для всех покупок, превышающих 300 долларов.
Школьная столовая, в которой каждому ребенку был подан бутерброд независимо от его класса и возраста
Связанные статьи о функции константы
Ознакомьтесь со следующими страницами, посвященными постоянным функциям
Важные примечания по постоянной функции
Вот список из нескольких моментов, которые следует помнить при изучении постоянной функции
График постоянной функции никогда не может быть кривой.
График постоянной функции всегда представляет собой горизонтальную линию.
Алгебраическая функция — это постоянная функция, если в ее определении нет переменной.
Часто задаваемые вопросы о функции констант
Что такое постоянная функция в алгебре?
Постоянная функция — это функция, имеющая один и тот же диапазон для разных значений домена. Графически постоянная функция представляет собой прямую линию, параллельную оси x.
Что такое уравнение постоянной функции?
Уравнение постоянной функции имеет вид f (x) = k, где k — постоянное и любое действительное число. Пример постоянной функции: f (x) = 4.
Как узнать, постоянна ли функция?
Чтобы определить, является ли функция постоянной функцией, выполните следующие действия:
Проверьте, можно ли получить разные выходы для разных входов. Если это возможно, то это не постоянная функция
Но если можно получить один и тот же вывод независимо от входных значений, тогда это постоянная функция.
Например, f (x) = 5 является постоянной функцией, так как выход 5 остается неизменным независимо от входа, подаваемого в функцию.
Является ли постоянная функция линейной?
Да, постоянная функция — это линейная функция, поскольку графики как постоянной, так и линейной функции представляют собой прямые линии на плоскости. Таким образом, постоянная функция всегда линейна, в частности, это всегда горизонтальная линия.
Может ли постоянная функция быть включенной?
Да, постоянная функция f (x) = k может быть функцией on, только если ее область значений совпадает с ее диапазоном (который равен {k}).
Какова степень постоянной функции?
Степень постоянной функции равна нулю, поскольку константа k может быть записана как f (x) = kx ⁰.
Является ли постоянная функция сюръективной?
Нет, постоянная функция не сюръективна, так как не взаимно однозначна. Постоянная функция — это функция, выходное значение которой остается неизменным для всех предоставленных ей входных значений. Следовательно, постоянная функция не сюръективна. Он может быть сюръективным, только если codomain равен диапазону, то есть {k}.
Является ли постоянная функция инъективной?
Нет, постоянная функция не является инъективной. Постоянная функция — это функция, в которой выходное значение одинаково для каждого входного значения, переданного ей. Поскольку инъективная функция никогда не отображает два разных входных значения в одно и то же выходное значение. Следовательно, постоянная функция не может считаться инъективной.
Что такое производная постоянной функции?
Производная любой постоянной функции считается нулевой (dk / dx = 0)
Экспоненциальных функций и их графиков
4.1 — Экспоненциальные функции и их графики
Экспоненциальные функции
До сих пор мы имели дело с алгебраическими функциями. Алгебраические функции — это функции, которые могут быть выражены с помощью арифметических операций и значения которых либо рациональны, либо являются корнем рациональное число. Теперь мы будем иметь дело с трансцендентными функциями. Трансцендентный функции возвращают значения, которые не могут быть выражены как рациональные числа или корни рациональных числа.
Алгебраические уравнения в большинстве случаев можно решить вручную.Трансцендентные функции часто могут можно решить вручную с помощью калькулятора, необходимого, если вы хотите десятичное приближение. тем не мение когда трансцендентные и алгебраические функции смешиваются в уравнении, графическом или числовом методы иногда являются единственным способом найти решение.
Простейшая экспоненциальная функция: f (x) = a ^x, a> 0, а ≠ 1
Причины ограничений просты. Если a≤0, то когда вы возведете его в рациональную степень, вы можете не получить реальный номер.Пример: если a = -2, то (-2) ^0,5 = sqrt (-2), что нереально. Если a = 1, тогда независимо от того, что такое x, значение f (x) равно 1. Это довольно скучная функция, и это, безусловно, не один на один.
Напомним, что у однозначных функций есть несколько свойств, которые делают их желательными. Они имеют инверсии, которые также являются функциями. Их можно применить к обеим сторонам уравнения.
Графики экспоненциальных функций
График y = 2 ^x показан справа.Вот некоторые свойства экспоненциальной функции, когда основание больше 1.
График проходит через точку (0,1)
Домен — все вещественные числа
Диапазон: y> 0.
График увеличивается
График асимптотичен по оси x, когда x приближается к отрицательная бесконечность
График неограниченно увеличивается по мере приближения x положительная бесконечность
График непрерывный
График плавный
Каким будет перевод, если вы замените каждый x на -Икс? Это было бы отражение относительно оси y.Мы тоже знайте, что когда мы возводим базу в отрицательную силу, один результат состоит в том, что берется обратное число. Так, если бы мы построили график y = 2 ^-x, график был бы отражение относительно оси y y = 2 ^x, и функция будет быть эквивалентным y = (1/2) ^x.
График y = 2 ^-x показан справа. Свойства экспоненциальная функция и ее график при базисе дано от 0 до 1.
График проходит через точку (0,1)
Домен — все вещественные числа
Диапазон: y> 0.
График убывает
График асимптотичен относительно оси x, когда x стремится к положительной бесконечности
График неограниченно увеличивается по мере приближения x к отрицательной бесконечности
График непрерывный
График плавный
Обратите внимание, что единственная разница в том, увеличивается или уменьшается функция, и поведение на левом и правом концах.
Переводы экспоненциальных графиков
Вы можете применить то, что знаете о переводах (из раздела 1.5) чтобы помочь вам нарисовать график экспоненциальных функций.
Горизонтальный перенос может влиять на увеличение / уменьшение (если умножается на отрицательное), левостороннее / правостороннее поведение графика и точка пересечения по оси Y, но это не изменит местоположение горизонтальной асимптоты.
Вертикальное смещение может влиять на увеличение / уменьшение (если умножается на отрицательное), точку пересечения по оси Y и положение горизонтальной асимптоты. Не изменится ли график без границ или является асимптотическим (хотя он может меняться, если он асимптотический) влево или правильно.Икс приблизится к трансцендентному числу е .
Показанные предельные обозначения взяты из расчетов. Обозначение предела — это способ спросить, что происходит с выражением, когда x приближается к показанному значению. Предел — это разделительная линия между исчислением и алгеброй. Исчисление — это алгебра с понятием предела. Люди всегда я не могу понять этого страха перед расчетом. Само исчисление простое. Причина люди не преуспевают в исчислении не из-за исчисления, а из-за того, что они плохие по алгебре.
Значение e составляет приблизительно 2,718281828. Вот чуть более точный, но не более полезное, приближение.
2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45716 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187
21540 89149
Линейные функции
Но есть линейное уравнение одного типа, которое не является функцией.Вы можете подумать, что это может быть? Это должно быть что-то другое, как кошка в аквариуме!
Взгляните на этот график:
Линейное уравнение, не являющееся функцией
Это равняется:
Эта линия — не функция, как этот кот — не рыба.
Почему? Вы помните определение функции? Функция — это алгебраическая взаимосвязь, в которой каждый вход имеет один отдельный выход.Помните, что вход имел специальное имя: Домен — это набор входных значений ( x ), а диапазон — это набор выходных значений ( y ). Таким образом, определение функции означает, что для каждого значения x существует ровно одно значение y , ни больше ни меньше.
Это все равно что описать, что такое домашняя рыба. У рыбы есть глаза, рот, жабры и плавники. В алгебре это работает примерно так же.
y = 2 x — 2.Для x = 0, y = -2. Для x = 1, y = 0, а для x = 2, y = 2.
Давайте посмотрим на другую функцию:
Для x = 0, y = 3. Для x = 4, y = 6. Для x = 8, y = 9.
Еще одна функция:
Для x = 0, y = 4.Для x = 1, y = 4. Для x = 2, y = 4. y всегда будет равно 4! Независимо от того, что мы вкладываем в нашу функциональную машину, она всегда дает 4.
Удовлетворяет ли это нашему определению функции? Функция — это алгебраическое отношение, в котором каждый вход имеет один отдельный выход. Когда x = 0, y = 4. 4 является единственным выходом для x = 0. Другого нет. Когда x = 1, y = 4.4 — единственный выход для x = 1. Других нет. Когда x = 2, y = 4. 4 является единственным выходом для x = 2. Других нет. Каждый раз, когда мы что-то вводим, мы получим только один ответ.
Давайте посмотрим на отношение, которое не является функцией:
Когда x = 1 . .. Как мы можем выразить это уравнением? Мы не можем положить его туда. x всегда равно 4.Ладно, начнем сначала. Когда x = 4, чему равно y ? Посмотрите на график. Давай просто выберем один. y = 1. Когда x = 4, тогда y = 2. Когда x = 4, тогда y = 10.
Посмотрите на t-таблицу (в правой части изображения выше). Теперь давайте посмотрим на таблицу для функции ниже. Проверьте еще один, и еще, и еще:
Это таблицы для функций.
Заметили разницу?
Функция — это алгебраическая взаимосвязь, в которой каждый вход имеет один отдельный выход.Обратите внимание, что для всех функций, когда мы вводим 1 вход, мы получаем другой результат? Отчетливый вывод? Но когда отношение не является функцией, каждый раз, когда мы вводим другое значение y , мы получаем одно и то же значение для x . Каждый элемент диапазона имеет одинаковое значение в домене.
Графики нелинейных функций
Давайте посмотрим на некоторые графики нелинейных функций. Что ж, это, очевидно, график, но это функция или нет?
Давайте посмотрим немного ближе.Когда x = -2, y = 4. Когда x = -1, y = 1. Когда x = 0, тогда y = 0. Когда x = 1, y = 1. Когда x = 2, y = 4 Не являются ли повторяющиеся значения диапазона y = 1 и y = 4 функцией?
Функция — это алгебраическая взаимосвязь, в которой каждый вход имеет один отдельный выход. Вот вопрос: если я введу -1 в свою функцию, получу ли я что-нибудь кроме 1? Если я введу 0 в функцию, получу ли я что-нибудь кроме 0? Если я введу 2 в уравнение, получу ли я что-нибудь кроме 4? Вот почему это уравнение является функцией!
Рассмотрим еще одно нелинейное уравнение.2 = х . Посмотрим, является ли это функцией. Когда x = 0, тогда y = 0. Пока все хорошо! Когда x = 1, чему равно y ? Посмотрите на график:
Это не функция.
Это означает, что когда x равно 1, y равно 1 и -1. Это не функция! Функция — это алгебраическое отношение, в котором каждый вход имеет один отдельный выход.Это соотношение показывает, что для x = 1 возможны два исхода. Следовательно, это не функция.
Тест вертикальной линии
Есть очень простой способ определить, является ли график функцией. Мы называем это тестом вертикальной линии. Если у нас есть график отношения, и мы проведем по нему вертикальную линию, он будет попадать только в одну точку за раз, если отношение является функцией. Если вертикальная линия когда-либо касается более чем одной точки на графике за раз, связь не является функцией.
Как насчет этого?
Конечная нефункциональность
Если задуматься, это отношение имеет бесконечное количество выходов для этого 1 входа! Это крайняя нефункция!
Сводка урока
Функция — это алгебраическая связь, в которой каждый вход имеет один отдельный выход. Это дает уникальный график. Графики функций могут быть линейными. Каждое значение x указывает только одно значение y .
Есть один тип линейной зависимости, который не является функцией, и это когда график представляет собой вертикальную линию. Этот график показывает, что для x = 4 существует несколько значений y :
. Этот график не является функцией.
Самый простой способ проверить, представляет ли график функцию, — это использовать тест вертикальной линии. Если вертикальная линия касается только одной точки на линии за раз, вы знаете, что у вас есть функция.Если вертикальная линия когда-либо касается более чем одной точки одновременно, график не является представлением функции.
Теперь распознать функции так же просто, как отличить рыбу от того, что не рыба!
Результаты обучения
После этого урока вы сможете:
Определить функцию
Объясните, как определить, является ли график функцией
9.
6 Графические квадратичные функции с использованием свойств — промежуточная алгебра 2e
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
Распознать график квадратичной функции
Найдите ось симметрии и вершину параболы
Найдите точки пересечения параболы
Графики квадратичных функций с использованием свойств
Решите максимальные и минимальные приложения
Будьте готовы 9.16
Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.
Постройте график функции f (x) = x2f (x) = x2, нанеся точки.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 3.54.
Будьте готовы 9.17
Решите: 2×2 + 3x − 2 = 0,2×2 + 3x − 2 = 0.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 6.45.
Будьте готовы 9.18
Вычислить −b2a − b2a, когда a = 3 и b = −6.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1. 21.
Распознать график квадратичной функции
Ранее мы очень кратко рассмотрели функцию f (x) = x2f (x) = x2, которую мы назвали квадратной функцией. Это была одна из первых рассмотренных нами нелинейных функций. Теперь построим график функций вида f (x) = ax2 + bx + cf (x) = ax2 + bx + c, если a ≠ 0.a ≠ 0. Мы называем эту функцию квадратичной функцией.
Квадратичная функция
Квадратичная функция, где a , b и c — действительные числа, а a ≠ 0, a ≠ 0 — это функция вида
f (x) = ax2 + bx + cf (x) = ax2 + bx + c
Мы построили квадратичную функцию f (x) = x2f (x) = x2 путем нанесения точек.
У каждой квадратичной функции есть график, который выглядит следующим образом. Мы называем эту фигуру параболой.
Давайте попрактикуемся в построении параболы путем нанесения нескольких точек.
Пример 9.
42
График f (x) = x2−1.f (x) = x2−1.
Решение
Построим график функции, нанеся точки.
Выберите целые значения для x ,
подставьте их в уравнение
и упростите, чтобы найти f (x) f (x).

Запишите значения упорядоченных пар в диаграмму.
Постройте точки, а затем соедините их
плавной кривой. Результатом
будет график функции
f (x) = x2−1f (x) = x2−1.
Попробуйте 9,83
График f (x) = — x2.f (x) = — x2 ..
Попробуйте 9,84
График f (x) = x2 + 1. f (x) = x2 + 1.
Все графики квадратичных функций вида f ( x ) = ax ² + bx + c являются параболами, открывающимися вверх или вниз. См. Рисунок 9.2.
Рисунок 9.2
Обратите внимание, что единственное различие между двумя функциями — отрицательный знак перед квадратичным членом ( x ² в уравнении графика на рисунке 9.2). Когда квадратичный член положительный, парабола открывается вверх, а когда квадратичный член отрицательный, парабола открывается вниз.
Ориентация параболы
Для графика квадратичной функции f ( x ) = ax ² + bx + c , если
Пример 9.43
Определите, открывается ли каждая парабола вверх или вниз:
f (x) = — 3×2 + 2x − 4f (x) = — 3×2 + 2x − 4 ⓑ f (x) = 6×2 + 7x − 9. f (x) = 6×2 + 7x − 9.
Решение
ⓐ
1 » data-label=»»>
Найдите значение « a ».
Поскольку « a » отрицательно, парабола откроется вниз.
ⓑ
Найдите значение « a ».
Так как « a » положителен, парабола откроется вверх.
Попробуйте 9,85
Определите, является ли график каждой функции параболой, которая открывается вверх или вниз:
ⓐ f (x) = 2×2 + 5x − 2f (x) = 2×2 + 5x − 2 ⓑ f (x) = — 3×2−4x + 7. f (x) = — 3×2−4x + 7.
Попробуйте 9,86
Определите, является ли график каждой функции параболой, которая открывается вверх или вниз:
ⓐ f (x) = — 2×2−2x − 3f (x) = — 2×2−2x − 3 ⓑ f (x) = 5×2−2x − 1.f (x) = 5×2−2x − 1.
Найдите ось симметрии и вершину параболы
Посмотрите еще раз на Рисунок 9.2. Вы видите, что мы можем сложить каждую параболу пополам, и тогда одна сторона окажется поверх другой? «Линия сгиба» — это линия симметрии. Мы называем это осью симметрии параболы.
Мы снова показываем те же два графика с осью симметрии. См. Рисунок 9.3.
Рисунок 9.3
Уравнение оси симметрии может быть получено с помощью квадратичной формулы.Мы опустим вывод здесь и перейдем непосредственно к использованию результата. Уравнение оси симметрии графика f ( x ) = ax ² + bx + c имеет вид x = −b2a. x = −b2a.
Итак, чтобы найти уравнение симметрии каждой из парабол, которые мы построили на графике выше, мы подставим в формулу x = −b2a.x = −b2a.
Обратите внимание, что это уравнения, изображенные пунктирными синими линиями на графиках.
Точка параболы, которая является самой низкой (парабола открывается вверх) или самой высокой (парабола открывается вниз), лежит на оси симметрии.Эта точка называется вершиной параболы.
Мы можем легко найти координаты вершины, потому что знаем, что она находится на оси симметрии. Это означает, что его координата
x равна −b2a. − b2a. Чтобы найти координату x вершины, мы подставляем значение координаты x в квадратичную функцию.
Ось симметрии и вершина параболы
График функции f ( x ) = ax ² + bx + c — парабола, где:
осью симметрии является вертикальная линия x = −b2a. х = −b2a.
вершина является точкой на оси симметрии, поэтому ее координата x равна −b2a. − b2a.
y -координата вершины находится путем подстановки x = −b2ax = −b2a в квадратное уравнение.
Пример 9.44
Для графика f (x) = 3×2−6x + 2f (x) = 3×2−6x + 2 найдите:
ⓐ ось симметрии ⓑ вершина.
Попробуйте 9,87
Для графика f (x) = 2×2−8x + 1f (x) = 2×2−8x + 1 найдите:
ⓐ ось симметрии ⓑ вершина.
Попробуйте 9,88
Для графика f (x) = 2×2−4x − 3f (x) = 2×2−4x − 3 находим:
ⓐ ось симметрии ⓑ вершина.
Найдите точки пересечения параболы
При построении линейных уравнений мы часто использовали точки пересечения x и y , чтобы построить графики линий. Определение координат точек пересечения также поможет нам построить график парабол.
Помните, что в точке пересечения y значение x равно нулю.Итак, чтобы найти перехват y , мы подставляем x = 0 в функцию.
Давайте найдем точки пересечения и двух парабол, показанных на рис. 9.4.
Рисунок 9.4
Результат перехвата x , когда значение f ( x ) равно нулю. Чтобы найти интервал x , мы полагаем f ( x ) = 0. Другими словами, нам нужно будет решить уравнение 0 = ax ² + bx + c для х .
f (x) = ax2 + bx + c0 = ax2 + bx + cf (x) = ax2 + bx + c0 = ax2 + bx + c
Решение таких квадратных уравнений — именно то, что мы сделали ранее в этой главе!
Теперь мы можем найти точки пересечения x двух рассматриваемых нами парабол. Сначала мы найдем точки пересечения параболы x , функция которой равна x ( x ) = x ² + 4 x + 3.
Теперь мы найдем точки пересечения x параболы, функция которой равна f ( x ) = −x ² + 4 x + 3.
Мы будем использовать десятичные аппроксимации интервалов x , чтобы мы могли найти эти точки на графике,
(2 + 7,0) ≈ (4.6,0) (2−7,0) ≈ (−0.6,0) (2 + 7,0) ≈ (4.6,0) (2−7,0) ≈ (- 0,6,0)
Соответствуют ли эти результаты нашим графикам? См. Рисунок 9.5.
Рисунок 9.5
Найдите точки пересечения параболы
Чтобы найти точки пересечения параболы с функцией f (x) = ax2 + bx + c: f (x) = ax2 + bx + c:
y-interceptx-intercepts Letx = 0 и решает forf (x). Пусть f (x) = 0 и решит относительно x.y-перехватчикаx-перехватчиков Letx = 0 и решит относительно f (x). Пусть f (x) = 0 и решит относительно x.
Пример 9.45
Найдите точки пересечения параболы, функция которой f (x) = x2−2x − 8.f (x) = x2−2x − 8.
Решение
7″ summary=»Table 8.1 » data-label=»»>
Чтобы найти точку пересечения y — , пусть x = 0x = 0 и
решит относительно f (x) f (x).
Когда x = 0x = 0, тогда f (0) = — 8f (0) = — 8.
Пересечение y — — это точка (0, −8) (0, −8).
Чтобы найти точку пересечения x — , пусть f (x) = 0f (x) = 0 и
решит относительно xx.
Решите на множитель.
Когда f (x) = 0f (x) = 0, тогда x = 4orx = −2x = 4orx = −2.
Пересечения x — — это точки (4,0) (4,0) и
(−2,0) (- 2,0).
Попробуйте 9,89
Найдите точки пересечения параболы, функция которой равна f (x) = x2 + 2x − 8. f (x) = x2 + 2x − 8.
Попробуйте 9,90
Найдите точки пересечения параболы, функция которой f (x) = x2−4x − 12.f (x) = x2−4x − 12.
В этой главе мы решали квадратные уравнения вида ax ² + bx + c = 0.Мы решили для x , и результаты были решениями уравнения.
Теперь мы смотрим на квадратичные функции вида f ( x ) = ax ² + bx + c . Графики этих функций представляют собой параболы. x — пересечения парабол происходят там, где f ( x ) = 0.
Например:
Квадратное уравнение Квадратная функция x2−2x − 15 = 0 (x − 5) (x + 3) = 0x − 5 = 0x + 3 = 0x = 5x = −3Letf (x) = 0.f (x) = x2−2x − 150 = x2−2x − 150 = (x − 5) (x + 3) x − 5 = 0x + 3 = 0x = 5x = −3 (5,0) и (−3 , 0) x-пересекает Квадратное уравнение Квадратичная функция x2−2x − 15 = 0 (x − 5) (x + 3) = 0x − 5 = 0x + 3 = 0x = 5x = −3 Letf (x) = 0. f (x) = x2−2x − 150 = x2−2x − 150 = (x − 5) (x + 3) x − 5 = 0x + 3 = 0x = 5x = −3 (5,0) и (−3,0) x- точки пересечения
Решениями квадратичной функции являются значения x точек пересечения x — .
Ранее мы видели, что квадратные уравнения имеют 2, 1 или 0 решений. На графиках ниже показаны примеры парабол для этих трех случаев. Поскольку решения функций дают x — точек пересечения графиков, количество точек пересечения x — совпадает с количеством решений.
Ранее мы использовали дискриминант для определения количества решений квадратичной функции вида ax2 + bx + c = 0.ax2 + bx + c = 0. Теперь мы можем использовать дискриминант, чтобы узнать, сколько точек пересечения x имеется на графике.
Перед тем, как найти значения перехватов x , вы можете оценить дискриминант, чтобы знать, сколько решений ожидать.
Пример 9.46
Найдите точки пересечения параболы для функции f (x) = 5×2 + x + 4. f (x) = 5×2 + x + 4.
Попробуйте 9.91
Найдите точки пересечения параболы, функция которой равна f (x) = 3×2 + 4x + 4. f (x) = 3×2 + 4x + 4.
Попробуйте 9. 92
Найдите точки пересечения параболы, функция которой f (x) = x2−4x − 5.f (x) = x2−4x − 5.
Графические квадратичные функции с использованием свойств
Теперь у нас есть все, что нужно для построения графика квадратичной функции.Нам просто нужно собрать их вместе. В следующем примере мы увидим, как это сделать.
Пример 9.47
Как построить квадратичную функцию с помощью свойств
График f ( x ) = x ² −6 x + 8, используя его свойства.
Попробуйте 9.93
График f ( x ) = x ² + 2 x — 8, используя его свойства.
Попробуй 9.94
График f ( x ) = x ² — 8 x + 12, используя его свойства.
Здесь мы перечисляем шаги, которые необходимо предпринять, чтобы построить график квадратичной функции.
How To
Чтобы построить график квадратичной функции, используя свойства.
Шаг 1. Определите, открывается ли парабола вверх или вниз.
Шаг 2. Найдите уравнение оси симметрии.
Шаг 3. Найдите вершину.
Шаг 4.Найдите перехват y . Найдите точку, симметричную пересечению и поперек оси симметрии.
Шаг 5. Найдите точки перехвата x . При необходимости найдите дополнительные баллы.
Шаг 6. Постройте параболу.
Нам удалось найти перехваты x в последнем примере с помощью факторинга. Мы также находим перехваты x в следующем примере с помощью факторинга.
Пример 9.
48
График f ( x ) = — x ² + 6 x — 9, используя его свойства.
Решение
Поскольку a равно −1−1, парабола открывается вниз.
Чтобы найти уравнение оси симметрии, используйте
x = −b2ax = −b2a.
Ось симметрии x = 3x = 3.
Вершина находится на прямой x = 3x = 3.
Найдите f (3) f (3).
Вершина равна (3,0). (3,0).
Перехват y происходит, когда x = 0x = 0. Найдите f (0) f (0).
Заменить x = 0x = 0.
Упростить.
Перехват y равен (0, −9). (0, −9).
Точка (0, −9) (0, −9) находится на три единицы левее линии симметрии. Точка на три единицы правее линии симметрии равна (6, −9) (6, −9).
Точка, симметричная точке пересечения y , равна (6, −9) (6, −9)
Перехват x происходит, когда f (x) = 0f (x) = 0.
Найдите f (x) = 0f (x) = 0.
Разложите на множители GCF.
Разложите на множители трехчленное.
Решите для x .
Соедините точки, чтобы построить параболу.
Попробуйте 9.95
График f ( x ) = −3 x ² + 12 x — 12, используя его свойства.
Попробуйте 9.96
График f ( x ) = 4 x ² + 24 x + 36, используя его свойства.
Для графика f ( x ) = — x ² + 6 x — 9, вершина и пересечение x были одной и той же точкой. Помните, как дискриминант определяет количество решений квадратного уравнения? Дискриминант уравнения 0 = — x ² + 6 x — 9 равен 0, поэтому существует только одно решение.Это означает, что существует только одна точка пересечения x , и это вершина параболы.
Сколько x -перехватов вы ожидаете увидеть на графике f ( x ) = x ² + 4 x + 5?
Пример 9.
49
График f ( x ) = x ² + 4 x + 5, используя его свойства.
Решение
Поскольку a равно 1, парабола открывается вверх.
Чтобы найти ось симметрии, найдите x = −b2ax = −b2a.
Уравнение оси симметрии: x = −2x = −2.
Вершина находится на прямой x = −2.x = −2.
Найдите f (x) f (x), когда x = −2.х = -2.
Вершина равна (−2,1) (- 2,1).
Перехват y происходит, когда x = 0x = 0.
Найдите f (0) .f (0).
Упростить.
Перехват y равен (0,5) (0,5).
Точка (−4,5) (- 4,5) находится на две единицы левее линии симметрии
.
Точка на две единицы правее линии симметрии
равна (0,5) (0,5).
Точка, симметричная точке пересечения границы и , равна (−4,5) (- 4,5).
Перехват x происходит, когда f (x) = 0f (x) = 0.
Найдите f (x) = 0f (x) = 0.
Проверить дискриминант.
Поскольку значение дискриминанта отрицательное, не существует
реального решения и, следовательно, нет x -перехвата.
Соедините точки, чтобы построить параболу. Вы можете
выбрать еще две точки для большей точности.
Попробуй 9.97
График f ( x ) = x ²-2 x + 3, используя его свойства.
Попробуйте 9.98
График f ( x ) = −3 x ² — 6 x — 4, используя его свойства.
Найти перехват y , найдя f (0), легко, не правда ли? Иногда нам нужно использовать квадратичную формулу, чтобы найти точки пересечения x .
Пример 9,50
График f ( x ) = 2 x ² — 4 x — 3, используя его свойства.
Решение
Так как равно 2, парабола открывается вверх.
Чтобы найти уравнение оси симметрии, используйте
x = −b2ax = −b2a.
Уравнение оси симметрии
: x = 1. х = 1.
Вершина находится на прямой x = 1x = 1.
Найдите f (1) f (1).
Вершина равна (1, −5). (1, −5).
Перехват y происходит, когда x = 0x = 0.
Найдите f (0) f (0).
Упростить.
Перехват y равен (0, −3). (0, −3).
Точка (0, −3) (0, −3) находится на одну единицу левее линии симметрии
. Точка, симметричная относительно точки пересечения
y — (2, −3) (2, −3)
Точка на одну единицу правее линии симметрии
равна (2, −3) (2, −3).
Перехват x происходит, когда y = 0y = 0.
Найдите f (x) = 0f (x) = 0.
Используйте квадратичную формулу.
Заменить значения a, b, a, b и c.c.
Упростить.
Упростить внутри радикала.
Упростим радикал.
Разложите на множители GCF.
Удалите общие множители.
Запишите в виде двух уравнений.
Приблизительные значения.
Приблизительные значения интерцептов
x : (2,5,0) (2,5,0) и
(-0,6,0). (- 0,6,0).
Постройте параболу, используя найденные точки.
Попробуйте 9,99
График f ( x ) = 5 x ² + 10 x + 3, используя его свойства.
Попробуйте 9.100
График f ( x ) = −3 x ² — 6 x + 5, используя его свойства.
Решите максимум и минимум приложений
Знание того, что вершина параболы является самой низкой или самой высокой точкой параболы, дает нам простой способ определить минимальное или максимальное значение квадратичной функции. Координата y вершины — это минимальное значение параболы, которая открывается вверх.Это максимальное значение параболы, которая открывается вниз. См. Рисунок 9.6.
Рисунок 9.6
Минимальные или максимальные значения квадратичной функции
Координата y вершины графика квадратичной функции
минимальное значение квадратного уравнения, если парабола открывается вверх на .
максимальное значение квадратного уравнения, если парабола открывается вниз .
Пример 9.51
Найдите минимальное или максимальное значение квадратичной функции f (x) = x2 + 2x − 8. f (x) = x2 + 2x − 8.
Попробуйте 9.101
Найдите максимальное или минимальное значение квадратичной функции f (x) = x2−8x + 12. f (x) = x2−8x + 12.
Попробуйте 9.102
Найдите максимальное или минимальное значение квадратичной функции f (x) = — 4×2 + 16x − 11.f (x) = — 4×2 + 16x − 11.
Мы использовали формулу
h (t) = — 16t2 + v0t + h0h (t) = — 16t2 + v0t + h0
для расчета высоты в футах, h , объекта, взлетающего в воздух с начальной скоростью v ₀, через t секунд.
Эта формула является квадратичной функцией, поэтому ее график представляет собой параболу. Решая координаты вершины ( t, h ), мы можем найти, сколько времени потребуется объекту, чтобы достичь максимальной высоты. Затем мы можем рассчитать максимальную высоту.
Пример 9,52
Квадратное уравнение h ( t ) = −16 t ² + 176 t + 4 моделирует высоту волейбольного удара прямо вверх со скоростью 176 футов в секунду с высоты 4 фута.
ⓐ За сколько секунд волейбольный мяч достигнет максимальной высоты? Ⓑ Найдите максимальную высоту волейбольного мяча.
Решение
h (t) = — 16t2 + 176t + 4h (t) = — 16t2 + 176t + 4
Поскольку и отрицательны, парабола открывается вниз.
Квадратичная функция имеет максимум.

Ⓐ
Найдите уравнение оси симметрии. t = −b2at = −1762 (−16) t = 5.5t = −b2at = −1762 (−16) t = 5.5
Уравнение оси симметрии t = 5.5.t = 5.5.
Вершина находится на прямой t = 5.5.t = 5.5. Максимум достигается при t = 5,5t = 5,5 секунды.

Ⓑ
Найдите h (5.5) .h (5.5).

Используйте калькулятор, чтобы упростить. h (t) = — 16t2 + 176t + 4h (t) = — 16 (5.5) 2 + 176 (5.5) + 4h (t) = 488h (t) = — 16t2 + 176t + 4h (t) = — 16 (5. 5) 2 + 176 (5.5) + 4h (t) = 488
Вершина равна (5,5,488). (5,5,488).
Поскольку парабола имеет максимум, координата h вершины является максимальным значением квадратичной функции.
Максимальное значение квадратичной функции составляет 488 футов, и это происходит, когда t = 5,5 секунды.
Через 5,5 секунды волейбольный мяч достигнет максимальной высоты 488 футов.
Попробуйте 9.103
Решайте, округляя ответы до ближайшей десятой.
Квадратичная функция h ( t ) = −16 t ² + 128 t + 32 используется для определения высоты камня, брошенного вверх с высоты 32 фута со скоростью 128 фут / сек. Сколько времени потребуется, чтобы камень достиг максимальной высоты? Какая максимальная высота?
Попробуйте 9. 104
Путь игрушечной ракеты, подбрасываемой вверх от земли со скоростью 208 фут / сек, моделируется квадратичной функцией ч ( т ) = −16 т ² + 208 т .Когда ракета достигнет максимальной высоты? Какая будет максимальная высота?
Раздел 9.6. Упражнения
Практика ведет к совершенству
Распознать график квадратичной функции
В следующих упражнениях нарисуйте функции, нанося точки.
232.
f (x) = — x2−1f (x) = — x2−1
Для каждого из следующих упражнений определите, раскрывается ли парабола вверх или вниз.
233.
ⓐ f (x) = — 2×2−6x − 7f (x) = — 2×2−6x − 7 ⓑ f (x) = 6×2 + 2x + 3f (x) = 6×2 + 2x + 3
234.
ⓐ f (x) = 4×2 + x − 4f (x) = 4×2 + x − 4 ⓑ f (x) = — 9×2−24x − 16f (x) = — 9×2−24x − 16
235.
ⓐ f (x) = — 3×2 + 5x − 1f (x) = — 3×2 + 5x − 1 ⓑ f (x) = 2×2−4x + 5f (x) = 2×2−4x + 5
236.
ⓐ f (x) = x2 + 3x − 4f (x) = x2 + 3x − 4 ⓑ f (x) = — 4×2−12x − 9f (x) = — 4×2−12x − 9
Найдите ось симметрии и вершину параболы
В следующих функциях найдите ⓐ уравнение оси симметрии и ⓑ вершину его графика.
237.
f (x) = x2 + 8x − 1f (x) = x2 + 8x − 1
238.
f (x) = x2 + 10x + 25f (x) = x2 + 10x + 25
239.
f (x) = — x2 + 2x + 5f (x) = — x2 + 2x + 5
240.
f (x) = — 2×2−8x − 3f (x) = — 2×2−8x − 3
Найдите точки пересечения параболы
В следующих упражнениях найдите точки пересечения параболы, функция которой дана.
242.
f (x) = x2 + 10x − 11f (x) = x2 + 10x − 11
243.
f (x) = x2 + 8x + 12f (x) = x2 + 8x + 12
245.
f (x) = — x2 + 8x − 19f (x) = — x2 + 8x − 19
246.
f (x) = — 3×2 + x − 1f (x) = — 3×2 + x − 1
247.
f (x) = x2 + 6x + 13f (x) = x2 + 6x + 13
248.
f (x) = x2 + 8x + 12f (x) = x2 + 8x + 12
249.
f (x) = 4×2−20x + 25f (x) = 4×2−20x + 25
250.
f (x) = — x2−14x − 49f (x) = — x2−14x − 49
251.
f (x) = — x2−6x − 9f (x) = — x2−6x − 9
252.
f (x) = 4×2 + 4x + 1f (x) = 4×2 + 4x + 1
Графические квадратичные функции с использованием свойств
В следующих упражнениях построите график функции, используя ее свойства.
254.
f (x) = x2 + 4x − 12f (x) = x2 + 4x − 12
256.
f (x) = x2−6x + 8f (x) = x2−6x + 8
257.
f (x) = 9×2 + 12x + 4f (x) = 9×2 + 12x + 4
258.
f (x) = — x2 + 8x − 16f (x) = — x2 + 8x − 16
259.
f (x) = — x2 + 2x − 7f (x) = — x2 + 2x − 7
261.
f (x) = 2×2−4x + 1f (x) = 2×2−4x + 1
262.
f (x) = 3×2−6x − 1f (x) = 3×2−6x − 1
263.
f (x) = 2×2−4x + 2f (x) = 2×2−4x + 2
264.
f (x) = — 4×2−6x − 2f (x) = — 4×2−6x − 2
265.
f (x) = — x2−4x + 2f (x) = — x2−4x + 2
267.
f (x) = 5×2−10x + 8f (x) = 5×2−10x + 8
268.
f (x) = — 16×2 + 24x − 9f (x) = — 16×2 + 24x − 9
269.
f (x) = 3×2 + 18x + 20f (x) = 3×2 + 18x + 20
270.
f (x) = — 2×2 + 8x − 10f (x) = — 2×2 + 8x − 10
Решение максимальных и минимальных приложений
В следующих упражнениях найдите максимальное или минимальное значение каждой функции.
271.
f (x) = 2×2 + x − 1f (x) = 2×2 + x − 1
272.
y = −4×2 + 12x − 5y = −4×2 + 12x − 5
274.
y = −x2 + 4x − 5y = −x2 + 4x − 5
В следующих упражнениях решите. Округлите ответы до ближайшей десятой.
277.
Стрела выпущена вертикально вверх с платформы высотой 45 футов со скоростью 168 футов / сек.Используйте квадратичную функцию h ( t ) = −16 t ² + 168 t + 45, найдите, сколько времени потребуется стрелке, чтобы достичь максимальной высоты, а затем найдите максимальную высоту.
278.
Камень бросается вертикально вверх с платформы высотой 20 футов со скоростью 160 футов / сек. Используйте квадратичную функцию h ( t ) = −16 t ² + 160 t + 20, чтобы найти, сколько времени потребуется камню, чтобы достичь максимальной высоты, а затем найдите максимальную высоту.
279.
Мяч бросается вертикально вверх от земли с начальной скоростью 109 футов / сек. Используйте квадратичную функцию h ( t ) = −16 t ² + 109 t + 0, чтобы определить, сколько времени потребуется мячу, чтобы достичь максимальной высоты, а затем найдите максимальную высоту. .
280.
Мяч бросается вертикально вверх от земли с начальной скоростью 122 фут / сек. Используйте квадратичную функцию h ( t ) = −16 t ² + 122 t + 0, чтобы определить, сколько времени потребуется мячу, чтобы достичь максимальной высоты, а затем найдите максимальную высоту. .
281.
Владелец компьютерного магазина оценивает, что, взимая x долларов за каждый компьютер, он может продавать 40 — x компьютеров каждую неделю. Квадратичная функция R ( x ) = — x ² +40 x используется для определения выручки, R , полученной, когда продажная цена компьютера составляет x . цена продажи, которая даст ему максимальный доход, а затем найти сумму максимального дохода.
282.
Розничный торговец, продающий рюкзаки, оценивает, что, продав их по цене x доллара за штуку, он сможет продавать 100 — x рюкзаков в месяц. Квадратичная функция R ( x ) = — x ² +100 x используется для нахождения R , полученного при продажной цене рюкзака x . Найдите продажную цену, которая принесет ему максимальный доход, а затем найдите сумму максимального дохода.
283.
Розничный торговец, продающий модные ботинки, оценивает, что, продав их по цене x доллара за штуку, он сможет продавать 70 — x ботинок в неделю. Используйте квадратичную функцию R ( x ) = — x ² +70 x , чтобы найти доход, полученный при средней цене продажи пары модных ботинок x . Найдите цену продажи, которая принесет ему максимальный доход, а затем найдите сумму максимального дохода в день.
284.
Компания сотовой связи подсчитала, что, взимая x долларов каждый за определенный сотовый телефон, они могут продавать 8 — x сотовых телефонов в день. Используйте квадратичную функцию R ( x ) = — x ² +8 x , чтобы найти доход, полученный за день, когда продажная цена сотового телефона составляет x . Найдите цену продажи, которая даст им максимальный доход в день, а затем найдите сумму максимального дохода.
285.
Владелец ранчо собирается оградить загон с трех сторон у реки. Ему нужно максимально увеличить площадь загона, используя 240 футов ограждения. Квадратное уравнение A (x) = x120 − x2A (x) = x120 − x2 дает площадь загона A для длины x загона вдоль реки. Найдите длину загона вдоль реки, которая даст максимальную площадь, а затем найдите максимальную площадь загона.
286.
Ветеринар огораживает прямоугольную площадку для бега на открытом воздухе напротив своего здания для собак, о которых он заботится.Ему нужно максимально увеличить площадь, используя 100 футов ограждения. Квадратичная функция A (x) = x50 − x2A (x) = x50 − x2 дает площадь A собачьего бега для длины x здания, граничащего с собачьим бегом. Найдите длину строения, которое должно граничить с собачьим бегом, чтобы обеспечить максимальную площадь, а затем найдите максимальную площадь для собачьего бега.
287.
Землевладелец планирует построить огороженный прямоугольный дворик за своим гаражом, используя свой гараж как одну из «стен».«Он хочет максимизировать площадь, используя 80 футов ограждения. Квадратичная функция A ( x ) = x (80-2 x ) дает площадь патио, где x — ширина одной стороны. Найдите максимальную площадь патио.
288.
Семья из трех маленьких детей только что переехала в дом с двором, который не огорожен. Предыдущий владелец дал им 300 футов ограждения, чтобы они использовали его для ограждения части своего заднего двора. Используйте квадратичную функцию A (x) = x150 − x2A (x) = x150 − x2, чтобы определить максимальную площадь огороженного участка во дворе.
Письменное упражнение
289.
Чем отличаются графики функций f (x) = x2f (x) = x2 и f (x) = x2−1f (x) = x2−1? Мы изобразили их в начале этого раздела. В чем разница между их графиками? Как их графики совпадают?
290.
Объясните процесс нахождения вершины параболы.
291.
Объясните, как найти точки пересечения параболы.
292.
Как можно использовать дискриминант при построении графика квадратичной функции?
Самопроверка
ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.
ⓑ После просмотра контрольного списка, думаете ли вы, что хорошо подготовились к следующему разделу? Почему или почему нет?
Графики основных функций
Основные функции
В этом разделе мы графически изображаем семь основных функций, которые будут использоваться на протяжении всего курса. Каждая функция отображается в виде точек. Помните, что f (x) = y и, следовательно, f (x) и y могут использоваться как взаимозаменяемые.
Любая функция вида f (x) = c, где c — любое действительное число, называется постоянной функцией. Любая функция вида f (x) = c, где c — действительное число.. Постоянные функции линейны и могут быть записаны как f (x) = 0x + c. В этой форме ясно, что наклон равен 0, а точка пересечения y равна (0, c). Оценка любого значения для x , например x = 2, приведет к c .
График постоянной функции представляет собой горизонтальную линию. Домен состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из одного значения { c }.
Далее мы определяем функцию идентичности Линейную функцию, определяемую формулой f (x) = x.е (х) = х. Оценка любого значения для x приведет к тому же значению. Например, f (0) = 0 и f (2) = 2. Идентификационная функция является линейной, f (x) = 1x + 0, с наклоном m = 1 и y -пересечение (0, 0).
И домен, и диапазон состоят из действительных чисел.
Функция возведения в квадрат Квадратичная функция, определяемая формулой f (x) = x2. , Определяемая формулой f (x) = x2, является функцией, полученной возведением в квадрат значений в области определения. Например, f (2) = (2) 2 = 4 и f (−2) = (- 2) 2 = 4.Результат возведения в квадрат ненулевых значений в домене всегда будет положительным.
Результирующий изогнутый график называется параболой. Изогнутый график, образованный функцией возведения в квадрат. Область состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из всех y -значений, больших или равных нулю [0, ∞).
Кубическая функция Кубическая функция, определяемая как f (x) = x3., Определяемая как f (x) = x3, возводит все значения в области в третью степень.Результаты могут быть положительными, нулевыми или отрицательными. Например, f (1) = (1) 3 = 1, f (0) = (0) 3 = 0 и f (−1) = (- 1) 3 = −1.
Домен и диапазон состоят из всех действительных чисел ℝ.
Обратите внимание, что функции константы, тождества, возведения в квадрат и куба являются примерами основных полиномиальных функций. Следующие три основные функции не являются полиномами.
Функция абсолютного значения Функция, определенная как f (x) = | x |., Определенная как f (x) = | x |, является функцией, выходные данные которой представляют расстояние до начала координат на числовой прямой.Результат вычисления функции абсолютного значения для любого ненулевого значения x всегда будет положительным. Например, f (−2) = | −2 | = 2 и f (2) = | 2 | = 2.
Область функции абсолютного значения состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из всех y -значений, больших или равных нулю [0, ∞).
Функция квадратного корня Функция, определяемая как f (x) = x., Определяемая как f (x) = x, не определяется как действительное число, если значения x отрицательны.Следовательно, наименьшее значение в домене равно нулю. Например, f (0) = 0 = 0 и f (4) = 4 = 2.
Домен и диапазон состоят из действительных чисел, больших или равных нулю [0, ∞).
Обратная функция Функция, определенная как f (x) = 1x., Определенная как f (x) = 1x, является рациональной функцией с одним ограничением на область определения, а именно x ≠ 0. Обратное значение x , очень близкое к нулю, очень велико. Например,
f (1/10) = 1 (110) = 1⋅101 = 10f (1/100) = 1 (1100) = 1⋅1001 = 100f (1/1000) = 1 (11000) = 1⋅10001 = 1000
Другими словами, когда значения x приближаются к нулю, их обратные значения будут стремиться либо к положительной, либо к отрицательной бесконечности.Это описывает вертикальную асимптоту — вертикальную линию, к которой график становится бесконечно близким. по оси y . Кроме того, там, где значения x очень большие, результат обратной функции очень мал.
f (10) = 110 = 0,1 f (100) = 1100 = 0,01 f (1000) = 11000 = 0,001
Другими словами, когда значения x становятся очень большими, результирующие значения y стремятся к нулю. Это описывает горизонтальную асимптоту — горизонтальную линию, к которой график становится бесконечно близким, где значения x стремятся к ± ∞.по оси x . После нанесения ряда точек можно определить общий вид обратной функции.
И область, и диапазон обратной функции состоят из всех действительных чисел, кроме 0, который может быть выражен с использованием обозначения интервала следующим образом: (−∞, 0) ∪ (0, ∞).
Таким образом, основными полиномиальными функциями являются:
Основные неполиномиальные функции:
Кусочно-определенные функции
Кусочная функция — функция, определение которой изменяется в зависимости от значений в домене., или функция разделения Термин, используемый при ссылке на кусочную функцию., — это функция, определение которой изменяется в зависимости от значения в домене. Например, мы можем записать функцию абсолютного значения f (x) = | x | как кусочная функция:
f (x) = | x | = {x, если x≥0 − x, если x <0
В этом случае используемое определение зависит от знака значения x . Если значение x положительно, x≥0, то функция определяется как f (x) = x. И если значение x отрицательное, x <0, тогда функция определяется как f (x) = - x.
Ниже приведен график двух частей на одной прямоугольной координатной плоскости:
Пример 1
График: g (x) = {x2, если x <0x, если x≥0.
Решение:
В этом случае мы строим график функции возведения в квадрат по отрицательным значениям x и функции квадратного корня по положительным значениям x .
Обратите внимание на открытую точку, используемую в начале координат для функции возведения в квадрат, и на закрытую точку, используемую для функции извлечения квадратного корня.Это было определено неравенством, которое определяет область определения каждой части функции. Вся функция состоит из каждой части, нанесенной на одну и ту же координатную плоскость.
Ответ:
При оценке значение в домене определяет подходящее определение для использования.
Пример 2
Для функции h найти h (−5), h (0) и h (3).
ч (t) = {7t + 3ift <0−16t2 + 32tift≥0
Решение:
Используйте h (t) = 7t + 3, где t отрицательно, на что указывает t <0.
h (t) = 7t + 5h (−5) = 7 (−5) + 3 = −35 + 3 = −32
Если t больше или равно нулю, используйте h (t) = — 16t2 + 32t.
h (0) = — 16 (0) +32 (0) h (3) = 16 (3) 2 + 32 (3) = 0 + 0 = −144 + 96 = 0 = −48
Ответ: h (−5) = — 32, h (0) = 0 и h (3) = — 48
Попробуй! График: f (x) = {23x + 1, если x <0x2, если x≥0.
Ответ:
Определение функции может отличаться в разных интервалах домена.
Пример 3
График: f (x) = {x3, если x <0x, если 0≤x≤46, если x> 4.
Решение:
В этом случае постройте график кубической функции на интервале (−∞, 0). Изобразите тождественную функцию на интервале [0,4]. Наконец, постройте график постоянной функции f (x) = 6 на интервале (4, ∞). И поскольку f (x) = 6, где x> 4, мы используем открытую точку в точке (4,6). Если x = 4, мы используем f (x) = x и, таким образом, (4,4) — это точка на графике, обозначенная закрытой точкой.
Ответ:
Функция наибольшего целого числа Функция, которая присваивает любое действительное число x наибольшему целому числу, меньшему или равному x , обозначается f (x) = [[x]]., Обозначается f (x) = [[x]] , присваивает наибольшее целое число, меньшее или равное любому действительному числу в своем домене. Например,
f (2,7) = [[2,7]] = 2f (π) = [[π]] = 3f (0,23) = [[0,23]] = 0f (−3,5) = [[- 3,5]] = — 4
Эта функция связывает любое действительное число с наибольшим целым числом, меньшим или равным ему, и ее не следует путать с округлением.
Пример 4
График: f (x) = [[x]].
Решение:
Если x — любое действительное число, то y = [[x]] — наибольшее целое число, меньшее или равное x .
⋮ −1≤x <0⇒y = [[x]] = - 10≤x <1⇒y = [[x]] = 01≤x <2⇒y = [[x]]] = 1 ⋮
Используя это, мы получаем следующий график.
Ответ:
Область определения наибольшей целой функции состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из набора целых чисел ℤ.Эту функцию часто называют минимальной функцией — термин, используемый для обозначения наибольшей целочисленной функции. и имеет множество приложений в информатике.
Основные выводы
Постройте точки для определения общей формы основных функций. Следует запомнить форму, а также домен и диапазон каждого из них.
Основные полиномиальные функции: f (x) = c, f (x) = x, f (x) = x2 и f (x) = x3.
Основные неполиномиальные функции: f (x) = | x |, f (x) = x и f (x) = 1x.
Функция, определение которой изменяется в зависимости от значения в домене, называется кусочной функцией. Значение в домене определяет подходящее определение для использования.
Тематические упражнения
Часть A: Основные функции
Сопоставьте график с определением функции.
Оценить.
f (x) = x; найти f (−10), f (0) и f (a).
f (x) = x2; найти f (−10), f (0) и f (a).
f (x) = x3; найти f (−10), f (0) и f (a).
f (х) = | х |; найти f (−10), f (0) и f (a).
f (x) = x; найти f (25), f (0) и f (a), где a≥0.
f (x) = 1x; найти f (−10), f (15) и f (a), где a ≠ 0.
f (x) = 5; найти f (−10), f (0) и f (a).
f (x) = — 12; найти f (−12), f (0) и f (a).
График f (x) = 5 с указанием области определения и диапазона.
График f (x) = — 9 и укажите область определения и диапазон.
Функция кубического корня.
Найдите точки на графике функции, определенной как f (x) = x3, со значениями x в наборе {−8, −1, 0, 1, 8}.
Найдите точки на графике функции, определенной как f (x) = x3, со значениями x в наборе {−3, −2, 1, 2, 3}. Воспользуйтесь калькулятором и округлите до ближайшей десятой.
Постройте график функции корня куба, определяемый как f (x) = x3, путем нанесения точек, найденных в предыдущих двух упражнениях.
Определите область и диапазон функции кубического корня.
Найдите упорядоченную пару, которая задает точку P .
Часть B: кусочные функции
Постройте график кусочных функций.
g (x) = {2, если x <0x, если x≥0
g (x) = {x2, если x <03, если x≥0
h (x) = {xifx <0xifx≥0
h (x) = {| x |, если x <0x3ifx≥0
f (x) = {| x |, если x <24ifx≥2
f (x) = {xifx <1xifx≥1
g (x) = {x2ifx≤ − 1xifx> −1
g (x) = {- 3ifx≤ − 1x3ifx> −1
h (x) = {0ifx≤01xifx> 0
h (x) = {1xifx <0x2ifx≥0
f (x) = {x2ifx <0xif0≤x <2−2ifx≥2
f (x) = {xifx <−1x3if − 1≤x <13ifx≥1
g (x) = {5ifx <−2x2if − 2≤x <2xifx≥2
g (x) = {xifx <−3 | x | если − 3≤x <1xifx≥1
h (x) = {1xifx <0x2if0≤x <24ifx≥2
h (x) = {0ifx <0x3if0 2
Оценить.
f (x) = {x2ifx≤0x + 2ifx> 0
Найдите f (−5), f (0) и f (3).
f (x) = {x3ifx <02x − 1ifx≥0
Найдите f (−3), f (0) и f (2).
g (x) = {5x − 2ifx <1xifx≥1
Найдите g (−1), g (1) и g (4).
g (x) = {x3ifx≤ − 2 | x | ifx> −2
Найдите g (−3), g (−2) и g (−1).
h (x) = {- 5ifx <02x − 3if0≤x <2x2ifx≥2
Найдите h (−2), h (0) и h (4).
h (x) = {- 3xifx≤0x3if0 4
Найдите h (−5), h (4) и h (25).
f (x) = [[x − 0,5]]
Найдите f (−2), f (0) и f (3).
f (x) = [[2x]] + 1
Найдите f (−1.2), f (0.4) и f (2.6).
Оцените по графику f .
Найдите f (−4), f (−2) и f (0).
Найдите f (−3), f (0) и f (1).
Найдите f (0), f (2) и f (4).
Найдите f (−5), f (−2) и f (2).
Найдите f (−3), f (−2) и f (2).
Найдите f (−3), f (0) и f (4).
Найдите f (−2), f (0) и f (2).
Найдите f (−3), f (1) и f (2).
Стоимость автомобиля в долларах выражается через количество лет, прошедших с момента приобретения нового автомобиля в 1975 году:
Определите стоимость автомобиля в 1980 году.
В каком году автомобиль оценивается в 9 000 долларов?
Стоимость единицы нестандартных ламп в долларах зависит от количества произведенных единиц в соответствии со следующим графиком:
Какова стоимость единицы, если производится 250 нестандартных ламп?
Какой уровень производства минимизирует удельные затраты?
Продавец автомобилей получает комиссию на основе общего объема продаж каждый месяц x в соответствии с функцией: г (х) = {0.03x, если 0≤x <20 00000 долларов США, 05x, если 20 000 долларов США≤x <50 000,07 долларов США, x, если x ≥ 50 000 долларов США
Если общий объем продаж продавца за месяц составляет 35 500 долларов, какова его комиссия в соответствии с функцией?
Сколько ей потребуется для перехода на следующий уровень в структуре комиссионных?
Аренда лодки стоит 32 доллара за час, а каждый дополнительный час или неполный час стоит 8 долларов.Постройте график стоимости аренды лодки и определите стоимость аренды лодки на 412 часов.
Часть C: Обсуждение
Объясните начинающему изучающему алгебру, что такое асимптота.
Изучите и обсудите разницу между функциями пола и потолка.Какие приложения вы можете найти, которые используют эти функции?
ответы
f (−10) = — 10, f (0) = 0, f (a) = a
f (−10) = — 1000, f (0) = 0, f (a) = a3
f (−10) = 5, f (0) = 5, f (a) = 5
Домен: ℝ; диапазон: {5}
{(−8, −2), (−1, −1), (0,0), (1,1), (8,2)}
f (−5) = 25, f (0) = 0 и f (3) = 5
г (-1) = — 7, г (1) = 1 и г (4) = 2
ч (-2) = — 5, ч (0) = — 3 и ч (4) = 16
f (−2) = — 3, f (0) = — 1 и f (3) = 2
f (−4) = 1, f (−2) = 1 и f (0) = 0
f (0) = 0, f (2) = 8 и f (4) = 0
f (−3) = 5, f (−2) = 4 и f (2) = 2
f (−2) = — 1, f (0) = 0 и f (2) = 1
.
Posted in Разное
Навигация по записям
Горький на дне проблематика таблица: Три правды в пьесе “На дне” Горького в таблице
Конкурс русский медвежонок 2019 официальный сайт задания и ответы: дата проведения, задания и ответы
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя *
Email *
Сайт

Найти:
Рубрики
Воспитание
Детям
Идеи
Полезно
Родителям
Советы
Разное
2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск