Свойства графика функций: область определения, нули функции, четность функции и все остальные.

Содержание

область определения, нули функции, четность функции и все остальные.

Функция - это одно из важнейших математических понятий. Функция - зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y), образуют область значений функции.

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x, а по оси ординат откладываются значения переменной y. Для построения графика функции необходимо знать свойства функции. Основные свойства функции будут рассмотрены далее!

Для построения графика функции советуем использовать нашу программу - Построение графиков функций онлайн. Если при изучении материала на данной странице у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме. Также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, химии, геометрии, теории вероятности и многим другим предметам!

Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.
Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции.

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7) Периодическость функции.

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Изучив данные свойства функции Вы без проблем сможете исследовать функцию и по свойствам функции сможете построить график функции. Также посмотрите материал про таблицу истинности, таблицу умножения, таблицу Менделеева, таблицу производных и таблицу интегралов.

Слишком сложно?

Свойства функции не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Свойства функции

В этой статье мы коротко суммируем сведения, которые касаются такого важного математического понятия, как функция. Мы поговорим о том, что такое  числовая функция и какие свойства функции необходимо знать и уметь исследовать.

Что такое  числовая функция? Пусть у нас есть два числовых множества: Х и Y, и  между этими множествами есть определенная зависимость. То есть каждому элементу х из множества Х по определенному правилу ставится в соответствие

 единственный элемент  y из множества Y.

Важно, что каждому элементу х из множества Х соответствует один и только один элемент y из множества Y.

Правило, с помощью которого каждому элементу из множества Х мы ставим в соответствие единственный элемент из множества Y, называется числовой функцией. 

Множество Х называется областью определения функции.

Множество Y называется множеством значений значений функции.

Равенство   называется уравнением функции. В этом уравнении    - независимая переменная, или аргумент функции.   - зависимая переменная.

Если мы возьмем все пары и поставим им в соответствие соответствующие точки координатной плоскости, то  получим график функции. График функции - это графической изображение зависимости между множествами Х и Y.

Свойства функции мы можем определить, глядя на график функции, и, наоборот, исследуя свойства функции мы можем построить ее график.

Основные свойства функций. 

1. Область определения функции.

Область определения функции D(y)-это множество всех допустимых значений аргумента x ( независимой переменной x), при которых выражение, стоящее в правой части уравнения функции   имеет смысл. Другими словами, это область допустимых значений выражения .

Чтобы по графику функции найти ее область определения, нужно, двигаясь слева направо вдоль оси ОХ, записать все промежутки значений х, на которых существует график функции.

2. Множество значений функции.

Множество значений функции  Е(y)- это множество всех значений, которые может принимать  зависимая переменная y.

Чтобы по графику функции  найти ее множество значений, нужно, двигаясь снизу вверх вдоль оси OY, записать все промежутки значений y, на которых существует график функции.

3.  Нули функции.

Нули функции - это те значения аргумента х, при которых значение функции (y) равно нулю.

Чтобы найти нули функции , нужно решить уравнение  . Корни этого уравнения и будут нулями функции .

Чтобы найти нули функции по ее графику, нужно найти точки пересечения графика с осью ОХ. Абсциссы точек пересечения и будут нулями функции  .

4. Промежутки знакопостоянства функции. 

Промежутки знакопостоянства функции - это такие промежутки значений аргумента, на которых функция сохраняет свой знак, то есть  или .

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции , нужно решить неравенства и  .

Чтобы найти  промежутки знакопостоянства функции  по ее графику, нужно

  • найти промежутки значений аргумента х, при которых график функции расположен выше оси ОХ - при этих значениях аргумента , 
  • найти промежутки значений аргумента х, при которых график функции расположен ниже оси ОХ - при этих значениях аргумента  .

5. Промежутки монотонности функции.

Промежутки монотонности функции - это такие промежутки значений  аргумента х, при которых функция возрастает или убывает.

Говорят, что функция   возрастает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента  , принадлежащих промежутку I таких, что   выполняется соотношение:.

Другими словами, функция   возрастает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Чтобы по графику функции определить промежутки возрастания функции, нужно, двигаясь  слева направо по линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вверх.

Говорят, что функция   убывает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента  , принадлежащих промежутку I таких, что   выполняется соотношение: .

Другими словами, функция   убывает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. 

Чтобы по графику функции определить промежутки убывания функции, нужно, двигаясь  слева направо вдоль линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вниз.

6. Точки максимума и минимума функции.

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность I точки , что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:

.

Графически это означает что точка с абсциссой  x_0 лежит выше других точек из окрестности I графика функции y=f(x).

Точка называется точкой минимума  функции , если существует такая окрестность I точки , что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:

Графически это означает что точка с абсциссой  лежит ниже других точек  из окрестности I графика функции .

Обычно мы находим точки максимума и минимума функции, проводя исследование функции с помощью производной.

 7. Четность (нечетность) функции.

Функция  называется четной, если выполняются два условия:

а) Для любого значения аргумента , принадлежащего области определения функции,   также принадлежит области определения функции.

Другими словами, область определения  четной функции симметрична относительно начала координат.

б)  Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение .

Функция называется нечетной, если выполняются два условия:

а) Для любого значения аргумента , принадлежащего области определения функции, также принадлежит области определения функции.

Другими словами, область определения нечетной функции симметрична относительно начала координат.

б)  Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение .

Все функции делятся на четные, нечетные, и те, которые не являются четными и не являются нечетными. Они называются функциями общего вида.

Чтобы определить четность функции, нужно:

а). Найти область определения функции , и определить, является ли она симметричным множеством.

Если, например,  число х=2 входит в область определения функции, а число х=-2 не входит, то D(y) не является симметричным множеством, и функция - функция общего вида.

Если область определения  функции - симметричное множество, то проверяем п. б)

б). В уравнение функции  нужно вместо х подставить -х, упростить полученное выражение, и постараться привести его к виду  или .

Если , то функция четная.

Если , то функция нечетная.

Если не удалось привести ни к тому ни к другому, то наша функция - общего вида.

График четной функции симметричен относительно оси ординат ( прямой OY ).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат ( точки (0,0) ).

8. Периодичность функции.

Функция называется периодической, если существует такое положительное число Т, что

  • для любого значения х из области определения функции, х+Т также принадлежит D(x)

В программе средней школы из числа периодических функций изучают только тригонометрические функции.

Предлагаю вам посмотреть  ВИДЕОУРОК, в котором  я рассказываю, как определить свойства функции по ее графику.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Урок 48. функции. свойства функций и их графики. исследование функций - Алгебра и начала математического анализа - 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №48. Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • функция, аргумент функции, значение функции
  • график функции, преобразование графика функции
  • свойства функции, исследование свойств функции

Глоссарий по теме урока

Определение

Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

х – независимая переменная, аргумент,

у - зависимая переменная, значение функции

Определение

Множество значений аргумента функции называется областью определения функции и обозначается D(y).

Определение

Множество значений, которые принимает сама функция, называется множеством значений функции и обозначается Е(у).

Определение

Функция у = f(х) называется четной, если она обладает двумя свойствами:

  1. область определения этой функции симметрична относительно 0;
  2. для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=f(х).

Функция у = f(х) называется нечетной, если она обладает двумя свойствами:

  1. область определения этой функции симметрична относительно 0;

для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=-f(х).

Определение

Значения аргумента, при которых значение функции равно 0, называются корнями (нулями) функции.

Определение

Функция у=f(x) возрастает на промежутке (а; в), если для любых х1, х2 из этого промежутка, таких, что х12, выполняется неравенство у12.

Функция у=f(x) убывает на промежутке (а; в), если для любых х1, х2 из этого промежутка, таких что, х12, выполняется неравенство у12.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл.– М.: Просвещение, 2015. С. 98-118, 271-307.

Дополнительная литература:

Шахмейстер А.Х. Построение и преобразование графиков. Параметры. Ч.2-3. СПб.: Петроглиф; М.: МЦНМО, 2016. 392 с. С.73-307.

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”.

https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Исследование функции и построение графика

Схема исследования функции на примере функции

1) Область определения функции

Знаменатель дроби не равен нулю:

Получили область определения

D(y)=

  1. Множество значений функции

Отыскание Е(у) можно свести к решению уравнения с параметром у. Все значения параметра у, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение, и составят Е (у).

Получили

  1. Четность / нечетность функции

D(y)= - симметрична относительно нуля

,

следовательно, функция четная и ее график симметричен относительно оси ОУ

  1. Нули функции

Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение

Уравнение не имеет действительных корней, значит, нулей у данной функции нет, ее график не пересекает ось ОХ

  1. Промежутки знакопостоянства

у>0 при

у<0 при

  1. Монотонность

Найдем производную

Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует: х=0, х=-1, х=1.

Определим знаки производной в полученных промежутках.

точки -1, 1 – выколоты, 0 - закрашена

Производная положительна, а значит, функция возрастает при .

Производная отрицательна, а значит, функция убывает при

  1. Экстремум

х=0 – стационарная точка.

В ней производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, х=0 – точка максимума.

Значение функции в точке максимума

  1. Дополнительные точки

у(0,5)= у(-0,5)=-5/3; у(2)=у(-2)=5/3; у(3)= у(-3)=5/4

  1. Отразим найденные свойства графически, построим график функции

2. Решение задачи на оптимизацию

Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин решаются по определенному плану.

В решении таких задач выделяют 3 основных этапа:

1 этап. «Перевод» задачи на язык функций:

  1. вводят независимую переменную х
  2. выявляют оптимизируемую величину у, для которой надо найти наибольшее или наименьшее значение
  3. выражают у через х и другие известные величины
  4. устанавливают по условию задачи границы изменения переменной х

2 этап. Исследуют составленную функцию на наибольшее или наименьшее значение (в зависимости от условия задачи) с помощью производной или элементарными средствами.

3 этап. Интерпретация найденного решения для поставленной задачи – «перевод» полученного математического результата на язык задачи.

Рассмотрим план решения на примере задачи.

Задача. В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t2 у.е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t2 у.е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у.е. в этом случае придется заплатить рабочим?

Решение:

1 этап. Ведем переменную, выразим нужные компоненты, составим искомую функцию.

Пусть на 1 объект направлено х рабочих, суточная зарплата которых составит 4x2 у.е.

Тогда на 2 объект направлено (24 - x) рабочих – суточная заработная плата (24 - x)2 (у.е.)

Всем рабочим нужно заплатить 4x2+(24 - x)2 = 5x2 -48x+576 (у.е.)

Причем 0≤ x ≤ 24, x ϵ N.

2 этап.

Рассмотрим функцию f(x)=5x2-48x+576.

Функция квадратичная, старший коэффициент положителен, следовательно, наименьшее значение в вершине при x0 = 4,8 .

3 этап. Перевод на язык задачи

Поскольку x ϵ N, подходящим будет ближайшее к вершине натуральное значение, x=5 (рабочих) – на 1 объекте.

24-5=19 (рабочих) – на 2 объекте.

Наименьшее значение f(5)=125+240-576=461 (у.е.) – наименьшая суточная выплата.

Примечание: исследовать функцию также можно было с помощью производной.

Ответ: 5 рабочих на 1 объекте, 19 – на втором, 461 у.е. – наименьшая суточная выплата.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Исследуйте функции на четность.

Функции

у=0

у=sin(x+5π/2)

у=lg(x+10)

Решение:

  1. у=0

область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля

у(-х)=0, что можно интерпретировать и как у(х), и как –у(х). К тому же график этой функции – прямая, совпадающая с осью ОХ, - симметричен относительно оси ОУ и относительно начала координат.

Данная функция одновременно четна и нечетна.

  1. у=sin(x+5π/2)

область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля

преобразуем функцию, применив формулы приведения: sin(x+5π/2)=cos x

у= cos x – четная функция, значит, исходная функция также четная

  1. у=lg(x+10)

логарифмируемое выражение должно быть положительным

x+10>0; x>-10

D(y): x>-10

Область определения несимметрична относительно 0, значит, в проверке второго условия нет необходимости, - функция общего вида.

Найдем область определения D(f)

Проверим второе условие

Полученное в результате подстановки –х в функцию выражение, очевидно, не равно f(x), не дает пока понимания о выполнении условия нечетности.

Зайдем с другого конца, выразим -f(x):

домножим на сопряженное

Теперь можем сделать вывод: f(-x)=-f(x), функция нечётная.

Ответ:

Функции

Четность / нечетность

у=0

и четная, и нечетная

у=sin(x+5π/2)

четная

у=lg(x+10)

общего вида

нечетная

2.

Решение:

Используем функциональный подход при решении данной задачи. Представим каждое из уравнений как функции. Построим их графики. Единственное решение системы будем интерпретировать как единственную точку пересечения графиков функций первого и второго уравнений.

Второе уравнение проще, но содержит параметр. Перепишем его в явном виде для функции, выразив у: у=-х+а.

В таком виде понятно, что данное уравнение задает множество прямых, параллельных у=-х.

Первое уравнение содержит квадратные корни, что накладывает ограничения: х≥-4, у<7

Сгруппируем в скобках первое, третье и пятое слагаемые, второе и четвертое, получим:

Приравнивая каждый из множителей числителя к нулю, получаем прямые: у=4, у=х+3, х=-4, точнее, с учетом ограничений, части прямых.

Выполним построения выделенных функций.

Условию задачи удовлетворяют только такие прямые второго уравнения у=-х+а, которые пересекают графики первого уравнения только в одной точке.

Анализируя рисунок, получаем: а ≤ -5, а ≥11, а=5.

Ответ:

Функции и Графики - сайт по математике и не только!!! СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Всё о Математических функциях и их графиках...

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ПЕРИОДИЧНОСТЬ

Функция f(x) называется периодической с периодом T > 0 , если для любого x из области определения
значения x + T и x - T также принадлежат области определения и f(x) = f(x + T) = f(x - T). При этом любое
число вида Tn, где n N, также является периодом этой функции.

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов. Чтобы построить график периодической функции нужно построить фрагмент графика на любом отрезке, длинной T (например [0;T]), а затем произвести последовательные параллельные переносы фрагмента графика
на T, 2T, 3T и т.д. вдоль оси x (вправо и влево)

НУЛИ ФУНКЦИИ

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента x0, при котором функция обращается в нуль:
f(x0) = 0.
В нуле функции её график имеет общую точку с осью x.



x1,x2,x3 - нули функции y = f(x)

МОНОТОННОСТЬ (ВОЗРАСТАНИЕ, УБЫВАНИЕ)

Функция y = f(x) называется возрастающей
на интервале (a; b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1x2, справедливо неравенство f(x1) f(x2).
Функция y = f(x) называется убывающей на интервале (a; b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1x2, справедливо неравенство f(x1) > f(x2).
ЭКСТРЕМУМЫ (МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ)
Внутренняя точка xmax области определения называется точкой максимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство: f(x1) f(xmax) называется максимумом этой функции.

xmax - точка максимума
ymax - максимум
Внутренняя точка xmin области определения называется точкой минимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство: f(x1) > f(xmin) называется максимумом этой функции.

xmax - точка минимума
ymax - минимума
АСИМПТОТЫ

Если график функции y = f(x) имеет бесконечную ветвь (ветви), у графика могут быть асимптоты. Асимптотой графика называется прямая, к которой неограниченно приближается точка графика при удалении этой точки по бесконечной ветви.

Вертикальная асимптота x = a Горизонтальная асимптота y = bНаклонная асимптота y = kx + b

Прямая x = a является вертикальной асимптотой, если хотя бы один из пределов
(предел справа) или (предел слева) равен бесконечности.

Прямая y = b является горизонтальной асимптотой, если существуют конечные пределы .

Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой, если существуют конечные пределы либо при x -> , либо при x -> - .

ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ

Понятие обратной функции применимо к функциям, обладающим следующим свойством: каждому значению y из области определения соответствует единственное значение x из области определения этой функции. Для многих функций это свойство выполняется лишь на части области определения, в частности (для функции y = x2 таким промежутком является, например, луч [0; ), для функции y =sin x - отрезок [- /2;/2]).

Функция g называется обратной для функции f, если каждому y из области значений функции f функция g ставит в соответствие такое x из области определения функции f, что y = f(x). Таким образом, если y = f(x), то x = g(y).

Функции f и g являются взаимно обратными.

  • Область определения функции f является областью значений функции g, а область значений
    функции f является областью определения функции g.
  • Графики взаимно обратных функций симметричны друг другу относительно прямой y = x
    (построение графика обратной функции)
НАХОЖДЕНИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФУНКЦИИ, ОБРАТНОЙ ДАННОЙ
  • Пользуясь формулой y = f(x), следует выразить x через y, а в полученной формуле x = g(y)
    заменить x на y, а y на x.
Пример:
Найти формулу для функции, обратной функции: .
Выразить x через y: x = 2y - 2.
Заменить x на y: y = 2x - 2.
Результат: функция y = 2x - 2 является обратной для функции .

Понятие функции. Основные свойства функций. Область определения и значения. Четность и нечетность. Периодичность, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность (возрастание, убывание), экстремумы (максимумы, минимумы), асимптоты





Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Понятие функции. Основные свойства функций. Область определения и значения. Четность и нечетность. Периодичность, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность (возрастание, убывание), экстремумы (максимумы, минимумы), асимптоты

Поделиться:   

Основные свойства функций. Понятие функции. Область определения и значения. Четность и нечетность. Периодичность, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность (возрастание, убывание), экстремумы (максимумы, минимумы), асимптоты. Алгоритм описания функции.

Понятие функции. Область определения и значения

  • Числовая функция y=f(x) это соответствие, которое каждому числу x (аргумент функции) из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y (значение функции)
  • Область определения функции D это множество значений х
  • Область значений функции E это множество значений y
  • График функции это множество точек координатной плоскости (x,y), таких, что y=f(x)

Понятие функции. Четность и нечетность

  • Функция f(x) четная, если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения  f(-x)=f(x)
  • График четной функции симметричен относительно оси y
  • Функция f(x) нечетная, если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения  f(-x)=-f(x)
  • График нечетной функции симметричен относительно начала координат

Понятие функции. Периодичность

  • Функция f(x) периодическая,  с периодом T>0, если для любого x из области определения значения x+T и x-T также принадлежат  области определениыя f(x)=f(x+T)=f(x-T)
  • График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов

Нули функции:

  • Нуль функции f(x)  - значение аргумента x, при котором функция обращается в нуль: f(x)=0
  • В нуле функции ее график имеет общую точку (пересекается) с осью x

Промежутки знакопостоянства:

  • Промежутки знакопостоянства  функции f(x) это промежутки, на которых функция сохраняет знак.

Монотонность (возрастание, убывание):

  • Определение возрастающей функции: Функция f(x) - возрастающая на интервале (a:b), если для любых x1 и x2 из этого интервала, таких, что x1<x2, справедливо неравенство f(x1)<f(x2)
  • Определение убывающей функции: Функция f(x) - возрастающая на интервале (a:b), если для любых x1 и x2 из этого интервала, таких, что x1<x2, справедливо неравенство f(x1)>f(x2)

Экстремумы (максимумы и минимумы):

  • Внутренняя точка xmax области определения функции называется точкой максимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство f(x)<f(xmax)
  • Значение ymax=f(xmax) называется максимум функции.
  • Внутренняя точка xmin области определения функции называется точкой минимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство f(x)>f(xmin)
  • Значение ymin=f(xmin) называется минимум функции.

Асимптоты:

  • Асимтота графика это прямая, к которой неограниченно приближается точка при удалении этой точки по бесконечной ветви:

Алгоритм описания функции:

  1. Область определения функции
  2. Область значения функции
  3. Является ли функция периодической
  4. Является ли функция четной или нечетной
  5. Точки пересечения графика с осями координат
  6. Промежутки знакопостоянства
  7. Интервалы возрастания и убывания
  8. Абсциссы и ординаты точек экстремума
  9. Наличие асимптот
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

Квадратичная функция: ее график и свойства 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Тема 4.

Всем привет! Сегодня мы поговорим об одной из самых важных функций, о квадратичной функции.

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать y = ax2 + bx + c, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Изучение квадратичной функции мы начнем с частного случая, а именно с функции y = ax2. Мы уже встречались с функцией y = x2, когда a = 1. Ее графиком является парабола.

Построим в одной системе координат

y = x2; y = 2x2; y = 3x2.

y = x2

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

9

4

1

0

1

4

9

y = 2x2

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

18

8

2

0

2

8

18

При любом x ≠ 0 значение функции y = x2 в 2 раза больше соответствующих значений функции y = x2. То есть график функции y = x2 можно получить из параболы y = x2 растяжением от оси x в 2 раза.

Аналогично, график функции y = 3x2 можно получить из графика функции y = x2 растяжением от оси x в 3 раза.

Построим теперь в одной системе координат графики функции y = x2, y=12x2, y=13x2.

y=12x2

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

4,5

2

0,5

0

0,5

2

4,5

Заметим, что при любом x ≠ 0 значения функции y=12x2меньше соответствующих значений функции y = x2 в 2 раза.

Таким образом, график функции y=12x2 можно получить из параболы y = x2 сжатием к оси x в 2 раза.

y=13x2

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

3

43

13

0

13

43

3

Аналогично график функции y=13x2 можно получить из графика функции = x2 сжатием к оси x в 3 раза.

Давай сделаем вывод:

График функции y = ax2 можно получить из параболы y = x2 растяжением от оси x в a раз, если a > 1, и сжатием к оси x в 1a раз, если 0 a

Рассмотрим теперь случай, когда a y=-13x2. Составим таблицу значений:

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-3

-43

-13

0

-13

-43

-3

Сравним графики функций y=13x2 и y=-13x2. При любом x ≠ 0 значения этих функций являются противоположными числами. Значит, соответствующие точки графиков симметричны относительно оси x.

То есть графики функций y = ax2 и y = -ax2 при a ≠ 0 симметричны относительно оси x. Графиком функции y = ax2, как и графиком функции y = x2 является парабола

Сформулируем свойства функции y = ax2 при a > 0.

  1. Область определения -∞;+∞;
  2. Область значений функций 0;+∞
  3. Если x = 0, то y = 0, т.е. график функции проходит через начало координат.
  4. Если x ≠ 0, то y > 0. График функции расположен в верхней полуплоскости.
  5. График функции симметричен относительно оси y.
  6. Функция убывает в промежутке -∞;0 и возрастает в промежутке 0;+∞.
  7. При x = 0 функция принимает наименьшее значение, равное 0. Наибольшего значения функции нет.

Сформулируем свойства функции y = ax2 при a

  1. Область определения -∞;+∞;
  2. Область значений функций -∞;0
  3. Если x = 0, то y = 0, т.е. график функции проходит через начало координат.
  4. Если x ≠ 0, то y
  5. График функции симметричен относительно оси y.
  6. Функция убывает в промежутке 0;+∞ и возрастает в промежутке -∞;0.
  7. При x = 0 функция принимает наибольшее значение, равное 0. Наименьшего значения функции нет.

От коэффициента a зависит направление ветвей параболы. Если a > 0, то ветви параболы направлены вверх, если a

Построение графика, симметричного данному относительно оси x, или сжатие к оси x – различные виды преобразований графиков функций. Преобразования графиков функции, рассмотренные нами сегодня для функций y = ax2, применимы к любой функции.

График функции y=-fx можно получить из графика функции y=fx с помощью симметрии относительно оси абсцисс.

График функции y=afx можно получить из графика функции y=fx с помощью растяжения от оси x в a раз, если a > 1, и сжатием к оси x в 1a раз, если 0

Свойства функции, для 9 класса по алгебре

Дата публикации: .

Ребята, мы продолжаем изучать числовые функции. Сегодня мы остановимся на такой теме, как свойства функции. Функции обладают многими свойствами. Вспомните, какие свойства мы с вами совсем недавно изучили. Правильно, область определения и область значений, они являются одними из ключевых свойств. Никогда не забывайте про них и помните, что функция всегда обладает этими свойствами.

В этом разделе, мы с вами определим некоторые свойства функций. Порядок, в котором мы будем их определять, рекомендую соблюдать и при решении задач.


Возрастание и убывание функции

Первое свойство, которое мы определим, это возрастание и убывание функции.

Функция называется возрастающей на множестве Х⊂D(f), если для любых х1 и х2, таких, что х1 < x2 - выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
Функция называется убывающей на множестве Х⊂D(f), если для любых х1 и х2, таких, что х1 < x2 - выполняется неравенство f(x1)>f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции.

Понятия "возрастание" и "убывание" функции очень легко понять, если внимательно посмотреть на графики функции. Для возрастающей функции: мы как бы поднимаемся в горку, для убывающей соответственно - спускаемся. Общий вид возрастающих и убывающих функции представлен на графиках ниже.


Возрастание и убывание функции в общем случае называется монотонностью. То есть, наша задача -это найти промежутки убывания и возрастания функции. В общем случае это формулируется так: найти промежутки монотонности или исследовать функцию на монотонность.

Пример

Исследовать на монотонность функцию $y=3x+2$.
Решение: Проверим функцию для любых х1 и х2 и пусть х1 < x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Поскольку, х1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Ограниченность функции

Функцию $y=f(x)$ называют ограниченной снизу на множестве Х⊂D(f), если существует такое число а, что для любых хϵХ выполняется неравенство f(x) < a.

Функцию $y=f(x)$ называют ограниченной сверху на множестве Х⊂D(f), если существует такое число а, что для любых хϵХ выполняется неравенство f(x) < a.2}≤4$, но это значит ограниченность сверху.
Ответ: наша функция ограниченна двумя прямыми $у=0$ и $у=4$.

Наибольшее и наименьшее значение

Наименьшим значение функции y= f(x) на множестве Х⊂D(f), называется некоторое число m, такое, что:
a) Существует некоторое х0, что $f(x0)=m$.
б) Для любого хϵХ, выполняется $f(x)≥f(x0)$.

Наибольшим значение функции y=f(x) на множестве Х⊂D(f), называется некоторое число m, такое что:
a) Существует некоторое х0, что $f(x0)=m$.
б) Для любого хϵХ, выполняется $f(x)≤f(x0)$.

Наибольшее и наименьшее значение принято обозначать yнаиб. и yнаим..

Понятия ограниченности и наибольшего с наименьшим значением функции тесно связаны. Выполняются следующие утверждения:
а) Если существует наименьшее значение у функции, то она ограничена снизу.
б) Если существует наибольшее значение у функции, то она ограничена сверху.
в) Если функция не ограничена сверху, то наибольшего значения не существует.2+16x≥0$. Найдем корни квадратного трехчлена $(2х+1)(2х-9)≥0$. При $х=-0,5$ и $х=4,5$ функция обращается в ноль, во всех остальных точках она больше нуля. Тогда, по определению, наименьшее значению функции равно нулю.
Ответ: yнаиб.=5 и yнаим.=0.

Ребята мы с вами еще изучали понятия выпуклости функции. При решении некоторых задач, нам это свойство может понадобиться. Это свойство, также легко определяется с помощью графиков.

Функция выпукла вниз, если любые две точки графика исходной функции соединить, и график функции окажется ниже линии соединения точек.

Функция выпукла вверх, если любые две точки графика исходной функции соединить, и график функции окажется выше линии соединения точек.

Функция непрерывна, если график нашей функции не имеет разрывов, например, как график функции выше.

Если требуются найти свойства функции, то последовательность поиска свойств такова:
а) Область определения.
б) Монотонность.2$,
в) $y=\frac{4}{x}$.

Свойства функций | Безграничная алгебра

Увеличивающие, убывающие и постоянные функции

Функции могут быть либо постоянными, либо увеличиваться при увеличении [latex] x [/ latex], либо уменьшаться при увеличении [latex] x [/ latex].

Цели обучения

Применить определения функций увеличения и уменьшения, чтобы определить, увеличивается ли функция, уменьшается или нет в заданном интервале

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Постоянная функция - это функция, значения которой не меняются независимо от ввода в функцию.
  • Возрастающая функция - это функция, при которой для каждого [latex] x_ {1} [/ latex] и [latex] x_ {2} [/ latex], удовлетворяющих [latex] x_ {2} [/ latex]> [latex] x_ {1} [/ latex], затем [latex] f (x_ {2}) \ geq f (x_ {1}) [/ latex]. Если оно строго больше чем, то оно строго возрастает.
  • Функция уменьшения - это функция, при которой для каждого [латекса] x_ {1} [/ latex] и [latex] x_ {2} [/ latex], удовлетворяющих [latex] x_ {2} [/ latex]> [latex] x_ {1} [/ latex], затем [latex] f (x_ {2}) \ leq f (x_ {1}) [/ latex]. Если он строго меньше, то он строго убывает.
Ключевые термины
  • убывающая функция : Любая функция действительной переменной, значение которой уменьшается (или остается постоянным) по мере увеличения переменной.
  • постоянная функция : функция, значение которой одинаково для всех элементов ее домена.
  • возрастающая функция : Любая функция действительной переменной, значение которой увеличивается (или остается постоянным) по мере увеличения переменной.

Графическое поведение функций

В рамках исследования того, как изменяются функции, мы можем определить интервалы, в течение которых функция изменяется определенным образом.Мы говорим, что функция - это , увеличивающаяся на в интервале, если значения функции увеличиваются по мере увеличения входных значений в пределах этого интервала. Точно так же функция - это , уменьшающая на интервале, если значения функции уменьшаются по мере увеличения входных значений в течение этого интервала.

  • Возрастающая функция - это функция, при которой для каждого [latex] x_1 [/ latex] и [latex] x_2 [/ latex], удовлетворяющих [latex] x_2> x_1 [/ latex], затем [latex] f (x_ {2} ) \ geq f (x_ {1}) [/ латекс]. Если оно строго больше, чем [latex] (f (x_2)> f (x_1)) [/ latex], то оно строго возрастает.
  • Функция уменьшения - это функция, при которой для каждого [латекса] x_1 [/ latex] и [latex] x_2 [/ latex], удовлетворяющих [latex] x_2> x_1 [/ latex], затем [latex] f (x_ {2}) \ leq f (x_ {1}) [/ латекс]. Если он строго меньше [latex] (f (x_2)

В терминах линейной функции [латекс] f (x) = mx + b [/ latex], если [latex] m [/ latex] положительный, функция увеличивается, если [latex] m [/ latex] отрицательное значение, оно уменьшается, и если [latex] m [/ latex] равно нулю, функция является постоянной функцией.3−12x [/ latex] увеличивается по оси [latex] x [/ latex] от отрицательной бесконечности до [latex] -2 [/ latex], а также от [latex] 2 [/ latex] до положительной бесконечности. Обозначение интервалов записывается как: [latex] (- ∞, −2) ∪ (2, ∞) [/ latex]. Функция убывает на интервале: [latex] (−2, 2) [/ latex].

Постоянные функции

В математике постоянная функция ion - это функция, значения которой не меняются, независимо от ввода в функцию. Функция является постоянной функцией, если [latex] f (x) = c [/ latex] для всех значений [latex] x [/ latex] и некоторой константы [latex] c [/ latex].График постоянной функции [latex] y (x) = c [/ latex] представляет собой горизонтальную линию в плоскости, проходящую через точку [latex] (0, c). [/ Latex]

Константа Функция: График [latex] f (x) = 4 [/ latex] иллюстрирует постоянную функцию.

Определение функционального поведения

Пример 1: Определите интервалы, в которых функция увеличивается, уменьшается или остается постоянной.

Посмотрите на график слева направо по оси [latex] x [/ latex]; первая часть кривой убывает от бесконечности до [latex] x [/ latex] -значения [latex] -1 [/ latex], а затем кривая увеличивается.Кривая увеличивается на интервале от [латекс] -1 [/ латекс] до [латекс] 1 [/ латекс], а затем снова уменьшается до бесконечности.

График функции возрастания и убывания: Для функции, изображенной выше, кривая уменьшается по интервалам: [latex] (- \ infty, -1) \ cup (1, \ infty) [/ latex] и увеличивается в интервале [латекс] (-1,1) [/ латекс].

Относительные минимумы и максимумы

Относительные минимумы и максимумы - это точки наименьшего и наибольшего значений в их окрестностях соответственно.

Цели обучения

Определение локальных и глобальных максимумов и минимумов заданной функции

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Минимумы и максимумы вместе известны как экстремумы.
  • Функция имеет глобальную (или абсолютную) точку максимума в [latex] x [/ latex] *, если [latex] f (x *) ≥ f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/ latex] .
  • Функция имеет глобальную (или абсолютную) точку минимума в [latex] x [/ latex] *, если [latex] f (x *) ≤ f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/ latex] .
  • Функция [latex] f [/ latex] имеет относительный (локальный) максимум r при [latex] x = b [/ latex], если существует интервал [latex] (a, c) [/ latex] с [латекс] a
  • Функция [latex] f [/ latex] имеет относительный (локальный) минимум в [latex] x = b [/ latex], если существует интервал [latex] (a, c) [/ latex] с [latex] a
  • Функции не обязательно имеют экстремумы. Например, любая строка [latex] f (x) = mx + b [/ latex], где [latex] m [/ latex] и [latex] b [/ latex] - константы, не имеет экстремумов, будь то локальные или глобальный.
Ключевые термины
  • максимум : Наибольшее значение набора.
  • экстремум : точка или значение, которое является максимумом или минимумом.
  • минимум : наименьшее значение набора.

Минимумы и максимумы широко используются в задачах оптимизации и искусственного интеллекта, где, учитывая ряд ограничений на ресурсы, мы хотим наилучшим образом использовать наши ресурсы.Например, мы можем захотеть максимизировать нашу прибыль, учитывая предметы, которые мы можем производить, и наши доступные ресурсы. В области искусственного интеллекта мы можем захотеть выяснить, какой план действий наименее затратный для робота (т. Е. Кратчайший путь). В идеале вам нужно найти глобальные минимумы для планов. Однако, поскольку времени для определения правильного плана не существует, искусственный интеллект часто просто находит локальные минимумы.

Определения минимумов и максимумов: относительные и глобальные

В математике максимум и минимум функции (известные вместе как экстремумы ). - это наибольшее и наименьшее значение, которое функция принимает в точке либо в данной окрестности (локальный или относительный экстремум), либо в области функции в ее целостность (глобальный или абсолютный экстремум).

Примеры относительных и глобальных экстремумов : На этом графике представлены примеры всех четырех возможностей: относительного (локального) максимума и минимума, а также глобального максимума и минимума.

В то время как некоторые функции увеличиваются (или уменьшаются) во всей своей области, многие другие нет. Значение входа, при котором функция изменяется от увеличения к уменьшению (по мере того, как мы идем слева направо, то есть по мере увеличения входной переменной), называется относительным максимумом. Если функция имеет более одного, мы говорим, что у нее есть локальные максимумы.Точно так же значение входа, при котором функция изменяется от уменьшения к увеличению по мере увеличения входной переменной, называется относительным минимумом. Форма множественного числа - локальные минимумы.

Функция также не возрастает и не убывает в экстремумах. Обратите внимание, что мы должны говорить о локальных экстремумах, потому что любой данный локальный экстремум, как определено здесь, не обязательно является наивысшим максимумом или наименьшим минимумом во всей области определения функции.

  • Функция [latex] f [/ latex] имеет относительный (local) maximum at [latex] x = b [/ latex], если существует интервал [latex] (a, c) [/ latex ] С [латексом] a
  • Аналогично, [latex] f [/ latex] имеет относительный (local) минимум at [latex] x = b [/ latex], если существует интервал [latex] (a, c) [/ latex] с [латексом] a

График минимума локального максимума: Для изображенной функции локальный максимум находится при значении [latex] y [/ latex], равном 16, и он возникает, когда [latex] x = -2 [/ latex]. Локальный минимум находится при значении [latex] y [/ latex], равном −16, и возникает, когда [latex] x = 2 [/ latex].

Функция имеет глобальный (или абсолютный) максимум точки в [latex] x [/ latex] *, если [latex] f (x ∗) ≥ f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/латекс]. Точно так же функция имеет глобальный (или абсолютный) минимум точки в [latex] x [/ latex], если [latex] f (x ∗) ≤ f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/латекс]. Глобальные экстремумы также являются относительными экстремумами.

Функции не могут иметь экстремумов, таких как строка [latex] y = x [/ latex]. Эта линия увеличивается к бесконечности и убывает к отрицательной бесконечности и не имеет относительных экстремумов.

Разделение относительного и глобального максимума и минимума

Пример 1: Найдите все максимумы и минимумы на графике ниже:

График относительных максимумов и минимумов: Эта кривая показывает относительный минимум при [латексе] (- 1, -2) [/ латекс] и относительный максимум при [латексе] (1,2) [/ латексе].

График достигает локального максимума в [latex] (1,2) [/ latex], потому что это самая высокая точка в открытом интервале около [latex] x = 1 [/ latex]. Локальный максимум - это координата y при [latex] x = 1 [/ latex], которая равна [latex] 2 [/ latex].

График достигает локального минимума в [latex] (- 1, -2) [/ latex], потому что это самая низкая точка в открытом интервале около [latex] x = -1 [/ latex]. Локальный минимум - это координата y [латекс] x = -1 [/ латекс], которая равна [латекс] -2 [/ латекс].

Пример 2:


Найдите все глобальные максимумы и минимумы на графике ниже:

Глобальный график максимальных и минимальных значений: Для функции, изображенной выше, абсолютный максимум происходит дважды при [latex] y = 16 [/ latex], а абсолютный минимум - при [latex] (3, -10) [/ latex] .

График достигает абсолютного максимума в двух местах, [latex] x = -2 [/ latex] и [latex] x = 2 [/ latex], потому что в этих местах график достигает своей наивысшей точки в домене. функции. Абсолютный максимум - координата y , которая равна [латекс] 16 [/ латекс].

На графике достигается абсолютный минимум при [latex] x = 3 [/ latex], потому что это самая низкая точка в области графика функции. Абсолютный минимум - координата y , которая равна [латекс] -10 [/ латекс].

Кусочные функции

Кусочная функция определяется несколькими подфункциями, каждая из которых применяется к отдельным интервалам входа

Цели обучения

Практика построения графиков кусочных функций и определение их областей и диапазонов

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Кусочные функции определяются с использованием общей функциональной нотации, где тело функции представляет собой массив функций и связанных поддоменов.
  • Абсолютное значение, [латекс] \ left | x \ right | [/ latex] - очень распространенная кусочная функция. Для действительного числа его значение равно [latex] -x [/ latex], когда [latex] x <0 [/ latex], и его значение равно [latex] x [/ latex], когда [latex] x \ geq0 [/ latex ].
  • Кусочные функции могут иметь горизонтальные или вертикальные пробелы (или и то, и другое) в своих функциях. Горизонтальный зазор означает, что функция не определена для этих входов.
  • Открытый кружок в конце интервала означает, что конечная точка не включена в интервал, т.е.е. строго меньше или строго больше чем. Закрашенный кружок означает, что конечная точка включена.
Ключевые термины
  • поддомен : домен, который является частью более крупного домена.
  • абсолютное значение : Для действительного числа - его числовое значение без учета знака; формально [latex] -1 [/ latex] умноженное на число, если число отрицательное, и число без изменений, если оно равно нулю или положительно.
  • кусочная функция : функция, в которой используется более одной формулы для определения вывода для разных частей домена.

В математике кусочная функция - это функция, в которой используется более одной формулы для определения выходных данных для разных частей домена. Кусочные функции определяются с использованием общепринятой функциональной нотации, где тело функции представляет собой массив функций и связанных интервалов. Мы используем кусочные функции для описания ситуаций, в которых правило или отношение изменяется, когда входное значение пересекает определенные «границы».

Построение графиков кусочных функций

Пример 1: Рассмотрим кусочное определение функции абсолютного значения:

[латекс] \ displaystyle \ left | x \ right | = \ left \ {\ begin {matrix} -x, & if \ x <0 \\ x, & if \ x \ geq0 \ end {matrix} \ right.[/ латекс]

Для всех значений [latex] x [/ latex] меньше нуля, используется первая функция [latex] (- x) [/ latex], которая отменяет знак входного значения, делая выходные значения положительными. Допустим [латекс] y = f (x) [/ latex], где [latex] f (x) = | x | [/ latex], некоторые примеры упорядоченных пар [latex] (x, | x |) [/ latex ]:

[латекс] \ displaystyle (-2,2) \\ (-1,1) \\ (-0,5,0,5) [/ латекс]

Для всех значений [latex] x [/ latex], больших или равных нулю, используется вторая функция [latex] (x) [/ latex], делая выходные значения равными входным значениям.Вот некоторые примеры заказанных пар:

[латекс] \ displaystyle (2,2) \ (1,1) \ (0,5,0,5) [/ латекс]

После нахождения и построения некоторых упорядоченных пар для всех частей («частей») функции результатом является V-образная кривая функции абсолютного значения, представленной ниже.

Кусочная функция: абсолютное значение: Кусочная функция, [латекс] \ left | x \ right | = \ left \ {\ begin {matrix} -x, & if \ x <0 \\ x, & if \ x \ geq0 \ end {matrix} \ right. [/ latex], является графиком функция абсолютного значения.2 [/ латекс]:

[латекс] \ Displaystyle f (-2) = 4 \\ f (-1) = 1 \\ f (0) = 0 \\ f (1) = 1 [/ латекс]

Эти точки удовлетворяют первой части функции и образуют следующие упорядоченные пары:

[латекс] \ displaystyle (-2,4) \\ (-1,1) \\ (0,0) \\ (1,1) [/ латекс]

Для средней части (части), [latex] f (x) = 3 [/ latex] (постоянная функция) для области [latex] 1

[латекс] \ displaystyle (1.5,3) \ (1.8, 3) \ (2,3) [/ латекс]

Для последней части (кусок) [latex] f (x) = x [/ latex] для домена [latex] x> 2 [/ latex] несколько упорядоченных пар:

[латекс] \ displaystyle (2.2, & if \ x \ leq 1 \\ 3, & if \ 1 2 \\ \ end {matrix} \ right. [/ Latex] состоит из трех частей ( куски). В зависимости от стоимости домена каждая часть отличается.

Обратите внимание на открытые и темные кружки на графике. Это связано с конкретными доменами для каждой части функции. Открытый кружок в конце интервала означает, что конечная точка не входит в интервал, т.е. строго меньше или строго больше чем. Закрашенный кружок означает, что конечная точка включена (равно).

Область определения функции начинается с отрицательной бесконечности и продолжается через каждую часть без пропусков до положительной бесконечности. Поскольку в [latex] x = 1 [/ latex] есть закрытая И открытая точка, функция там кусочно непрерывна. Когда [latex] x = 2 [/ latex], функция также кусочно-непрерывная. Следовательно, область определения этой функции - это набор всех действительных чисел, [latex] \ mathbb {R} [/ latex].

Диапазон начинается с самого низкого значения [latex] y [/ latex], [latex] y = 0 [/ latex] и продолжается до положительной бесконечности.2 [/ latex] включает эти значения. Следовательно, диапазон кусочной функции - это также набор всех действительных чисел, больших или равных [latex] 0 [/ latex], или всех неотрицательных значений: [latex] y \ geq 0 [/ latex].

Индивидуальные функции

Функция взаимно однозначного соответствия, также называемая инъективной функцией, никогда не отображает отдельные элементы своего домена в один и тот же элемент его кодомена.

Цели обучения

Используйте свойства взаимно-однозначных функций, чтобы определить, является ли данная функция взаимно-однозначной

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Функция «один к одному» имеет уникальный выход для каждого уникального входа.2 [/ latex] для [latex] x \ geq 0 [/ latex].
  • Чтобы проверить, является ли функция взаимно однозначной, выполните тест горизонтальной линии. Если какая-либо горизонтальная линия пересекает график более чем в одной точке, функция не взаимно однозначна.
  • Если каждый элемент диапазона функции соответствует ровно одному элементу ее домена, то функция называется взаимно однозначной.
Ключевые термины
  • инъективная функция : функция, которая сохраняет различимость: она никогда не отображает отдельные элементы своего домена в один и тот же элемент его кодомена.
Свойства однозначной функции

Функция взаимно однозначного соответствия , также называемая инъективной функцией, никогда не отображает отдельные элементы своей области в один и тот же элемент ее совместной области. Другими словами, каждый элемент диапазона функции соответствует ровно одному элементу ее домена. Иногда инъективная функция от [latex] X [/ latex] до [latex] Y [/ latex] обозначается [latex] f: X \ mapsto Y [/ latex] с помощью стрелки с заостренным хвостом. {2} [/ latex] (без ограничений домена) взаимно однозначной?

Один из способов проверить, является ли функция взаимно однозначной, - это построить график функции и выполнить тест горизонтальной линии.2 [/ latex] не проходит проверку горизонтальной линии и, следовательно, не является однозначной функцией. Если горизонтальная линия может проходить через две или более точек на графике функции, то функция не взаимно однозначна.

Другой способ определить, является ли функция взаимно однозначной, - это составить таблицу значений и проверить, соответствует ли каждый элемент диапазона ровно одному элементу домена. Список упорядоченных пар для функции:

[латекс] \ Displaystyle (-2,4) \\ (-1,1) \\ (0,0) \\ (1,1) \\ (2,4) [/ латекс]

Упорядоченные пары [latex] (- 2,4) [/ latex] и [latex] (2,4) [/ latex] не проходят определение один-к-одному, потому что элемент [latex] 4 [/ латекс] диапазона соответствует [латексу] -2 [/ латексу] и [латексу] 2 [/ латексу].Каждый уникальный вход должен иметь уникальный выход, поэтому функция не может быть взаимно однозначной. Также обратите внимание, что эти две упорядоченные пары образуют горизонтальную линию; что также означает, что функция не является взаимно однозначной, как было сказано ранее.

Пример 2: Функция [латекс] f (x) = \ left | x \ right | [/ latex] один к одному?

Это функция абсолютного значения, которая представлена ​​на графике ниже. Обратите внимание, что он не проходит тест горизонтальной линии. Поскольку каждый уникальный вход не имеет уникального выхода, эта функция не может быть взаимно однозначной.

График абсолютных значений: График функции, [латекс] f (x) = \ left | x \ right | [/ latex], не проходит проверку горизонтальной линии и, следовательно, не является однозначной функцией.

Симметрия функций

Два объекта обладают симметрией, если один объект может быть получен из другого преобразованием.

Цели обучения

Определить, демонстрирует ли данное отношение некоторую форму симметрии

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Функция имеет симметрию, если ее можно каким-либо образом преобразовать без изменения функции.
  • Функция может быть симметричной относительно точки, если ее можно повернуть на фиксированную величину вокруг этой точки, не изменяя ее.
  • Функция может быть симметричной относительно линии, если ее можно отразить над этой линией, не изменяя ее.
Ключевые термины
  • симметрия : математическое свойство, при котором объект может подвергаться преобразованию при сохранении своих свойств.

Симметрия

В математике объект, такой как форма или функция, обладает симметрией, если он может быть преобразован каким-либо образом, сохраняющим свойства математического объекта.В геометрии геометрическая форма или объект является симметричным, если его можно разделить на две или более идентичных части, которые расположены организованным образом. S означает, что объект является симметричным, если есть преобразование, которое перемещает отдельные части объекта, но не Не меняю общую форму.

Для функций функция демонстрирует симметрию, если каждая точка функции может быть изменена в соответствии с математическим правилом без изменения всей функции. Определение симметрии может включать построение графика функции или ее алгебраическое вычисление.

Типы симметричных функций

Функции и отношения могут быть симметричными относительно точки, линии или оси. Они также могут иметь симметрию после отражения.

Чтобы определить, имеет ли отношение симметрию, постройте график отношения или функции и посмотрите, является ли исходная кривая отражением самой себя над точкой, линией или осью. На изображении ниже показаны примеры отражения функции по оси [latex] x [/ latex] (вертикальное отражение) и по оси [latex] y [/ latex] (горизонтальное отражение).

Отражение : функция может быть отражена по оси [латекс] x [/ латекс] или [латекс] y [/ латекс]. Если функция выглядит так же после отражения, функция симметрична по этой оси.

На следующем графике ниже квадратичные функции обладают симметрией относительно линии, называемой осью симметрии. Ось делит U-образную кривую на две части кривой, которые отражаются над осью симметрии. 2 + 4x + 3 [/ latex] показывает ось симметрии относительно линии [latex] x = -2 [/ latex].Кривая разделена на две эквивалентные [латексные] 2 [/ латексные] половины. Обратите внимание, что точки пересечения [latex] x [/ latex] являются отраженными точками над осью симметрии и находятся на одинаковом расстоянии от оси.

Определение симметрии

Пример: Симметрия функции ниже?

Симметрия относительно точки: График выше имеет симметрию, поскольку помеченные точки отражаются над началом координат.

Граф имеет симметрию относительно начала координат или точки [latex] (0,0) [/ latex].Указанные точки [латекс] (1,3) [/ латекс] и [латекс] (- 1, -3) [/ латекс] отражаются поперек начала координат.

Четные и нечетные функции

Функции, которые имеют аддитивную инверсию, могут быть классифицированы как нечетные или четные в зависимости от их свойств симметрии.

Цели обучения

Определить, является ли функция четной, нечетной или ни одной

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Четность функции не обязательно показывает, является ли функция нечетной или четной.
  • Четные функции алгебраически определяются как функции, в которых для всех значений выполняется следующее соотношение: [latex] f (x) = f (-x) [/ latex].
  • Четная функция симметрична относительно оси [latex] y [/ latex]: для каждой точки [latex] (x, y) [/ latex] на графике соответствующая точка [latex] (- x, y) [/ latex] или наоборот тоже есть на графике.
  • Нечетные функции алгебраически определяются как функции, в которых выполняется следующее соотношение для всех значений: [latex] -f (x) = f (-x) [/ latex].
  • Нечетная функция симметрична относительно начала координат: для каждой точки [latex] (x, y) [/ latex] на графике соответствующая точка [latex] (- x, -y) [/ latex] или наоборот наоборот, тоже есть на графике. Другими словами, поворот графика [latex] на 180 [/ latex] градусов вокруг исходной точки приводит к тому же неизменному графику.
Ключевые термины
  • четность : Набор со свойством того, что все его элементы принадлежат одному из двух непересекающихся подмножеств, особенно набор целых чисел, разделенных на подмножества четных и нечетных элементов.
  • добавка обратная : Противоположная добавка.

Четные и нечетные определения

Функции могут быть классифицированы как «нечетные» или «четные» в зависимости от их состава. Эти метки коррелируют со свойствами симметрии функции.

Термины «нечетный» и «четный» могут применяться только к ограниченному набору функций. Чтобы функция была классифицирована как одна или другая, она должна иметь аддитивную обратную функцию. Следовательно, у него должен быть номер, который при добавлении к нему равен [latex] 0 [/ latex].3 \ right | [/ latex] имеет показатель степени, который является нечетным целым числом, [latex] 3 [/ latex], но также является четной функцией. Как мы можем проверить, четная или нечетная функция? Давайте посмотрим на их характеристики.

Четные функции

Четные функции алгебраически определяются как функции, в которых для всех значений [latex] x [/ latex] выполняется следующее соотношение:

[латекс] \ Displaystyle f (x) = f (-x) [/ латекс]

Чтобы проверить, является ли функция четной, любое выбранное значение [latex] x [/ latex] должно давать такое же выходное значение при замене в функцию как [latex] -x [/ latex].4 + 2x [/ latex], изображенный выше, не является даже потому, что график не является симметричным относительно оси [latex] y [/ latex]. Например, точка [latex] (- 1, -1) [/ latex] не отражается на точке [latex] (1, -1) [/ latex].

Мы можем подтвердить это графически: функции, которые удовлетворяют требованиям четности, симметричны относительно оси [latex] y [/ latex]. Следовательно, для каждой точки [latex] (x, y) [/ latex] на графике соответствующая точка [latex] (- x, y) [/ latex] или наоборот также находится на графике.

Нечетные функции

Нечетные функции алгебраически определяются как функции, в которых для всех значений [latex] x [/ latex] выполняется следующее соотношение:

[латекс] \ displaystyle -f (x) = f (-x) [/ latex]

Это отношение также может быть выражено как:

[латекс] \ displaystyle f (x) + f (-x) = 0 [/ латекс]

Чтобы проверить, является ли функция нечетной, отрицание функции (обязательно отрицание всех членов функции) должно давать тот же результат, что и замена значения [latex] -x [/ latex]. 3-9x [/ latex] нечетная, поскольку график симметричен относительно начала координат.Также можно проверить, что любая точка симметрична относительно начала координат: например, [latex] (- 1,8) [/ latex] дает [latex] (1, -8) [/ latex]? Да, эти две точки симметричны относительно начала координат.

Характеристики функций и их графиков

Результаты обучения

  • Определить, представляет ли отношение функцию.
  • Найдите значения функции.
  • Определить, является ли функция взаимно однозначной.
  • Используйте тест вертикальной линии для определения функций.
  • Изобразите функции в библиотеке функций.

Авиалайнер меняет высоту по мере увеличения расстояния от точки старта полета. Вес подрастающего ребенка со временем увеличивается. В каждом случае одно количество зависит от другого. Между двумя величинами существует взаимосвязь, которую мы можем описывать, анализировать и использовать для прогнозирования. В этом разделе мы разберем такие отношения.

Характеристики функций

Отношение - это набор упорядоченных пар.Набор первых компонентов каждой упорядоченной пары называется областью отношения, а набор вторых компонентов каждой упорядоченной пары называется диапазоном отношения. Рассмотрим следующий набор упорядоченных пар. Первые числа в каждой паре - это первые пять натуральных чисел. Второе число в каждой паре вдвое больше первого.

[латекс] \ влево \ {\ влево (1,2 \ вправо), \ влево (2,4 \ вправо), \ влево (3,6 \ вправо), \ влево (4,8 \ вправо), \ влево (5,10 \ вправо) \ вправо \} [/ латекс]

Домен [латекс] \ left \ {1,2,3,4,5 \ right \} [/ latex].Диапазон: [латекс] \ left \ {2,4,6,8,10 \ right \} [/ latex].

Обратите внимание, что значения в домене также известны как входных значений или значения независимой переменной и часто обозначаются строчной буквой [latex] x [/ latex]. Значения в диапазоне также известны как выходных значений или значения зависимой переменной и часто обозначаются строчной буквой [латекс] y [/ latex].

Функция [latex] f [/ latex] - это отношение, которое присваивает одно значение в диапазоне каждому значению в домене . Другими словами, значения [latex] x [/ latex] не используются более одного раза. В нашем примере, который связывает первые пять натуральных чисел с числами, удваивающими их значения, это отношение является функцией, потому что каждый элемент в домене, [latex] \ left \ {1,2,3,4,5 \ right \} [/ latex] соединяется ровно с одним элементом в диапазоне, [latex] \ left \ {2,4,6,8,10 \ right \} [/ latex].

Теперь давайте рассмотрим набор упорядоченных пар, который связывает термины «четный» и «нечетный» с первыми пятью натуральными числами.Будет отображаться как

[латекс] \ left \ {\ left (\ text {odd}, 1 \ right), \ left (\ text {even}, 2 \ right), \ left (\ text {odd}, 3 \ right), \ left (\ text {even}, 4 \ right), \ left (\ text {odd}, 5 \ right) \ right \} [/ latex]

Обратите внимание, что каждый элемент в домене [latex] \ left \ {\ text {even,} \ text {odd} \ right \} [/ latex] - это , а не в паре с ровно одним элементом в диапазоне, [latex ] \ left \ {1,2,3,4,5 \ right \} [/ латекс]. Например, термин «нечетный» соответствует трем значениям из домена [латекс] \ left \ {1,3,5 \ right \} [/ latex], а термин «четный» соответствует двум значениям из диапазона, [латекс] \ left \ {2,4 \ right \} [/ латекс].Это нарушает определение функции, поэтому это отношение не является функцией.

На этом изображении сравниваются отношения, которые являются функциями, а не функциями.

(a) Это отношение является функцией, поскольку каждый вход связан с одним выходом. Обратите внимание, что input [latex] q [/ latex] и [latex] r [/ latex] оба дают output [latex] n [/ latex]. (б) Эта связь также является функцией. В этом случае каждый вход связан с одним выходом. (c) Это соотношение не является функцией, потому что input [latex] q [/ latex] связан с двумя разными выходами.

A Общее примечание: Функции

Функция - это отношение, в котором каждое возможное входное значение приводит ровно к одному выходному значению. Мы говорим: «Выход - это функция входа».

Входные значения составляют область , а выходные значения составляют диапазон .

Практическое руководство. Учитывая взаимосвязь между двумя величинами, определите, является ли взаимосвязь функцией.
  1. Определите входные значения.
  2. Определите выходные значения.
  3. Если каждое входное значение приводит только к одному выходному значению, связь является функцией. Если какое-либо входное значение приводит к двум или более выходам, связь не является функцией.

Пример: определение того, являются ли прайс-листы меню функциями

Меню кофейни состоит из позиций и их цен.

  1. Цена зависит от товара?
  2. Товар зависит от цены?
Показать решение
  1. Начнем с рассмотрения ввода как пунктов меню.Выходные значения - это цены. Каждый пункт в меню имеет только одну цену, поэтому цена является функцией этого элемента.
  2. Два пункта меню имеют одинаковую цену. Если мы рассматриваем цены как входные значения, а товары как выходные, то с одним и тем же входным значением может быть связано несколько выходных данных. Следовательно, товар не является функцией цены.

Пример: определение того, являются ли правила оценки класса функциями

В конкретном математическом классе общая процентная оценка соответствует среднему баллу.Является ли средний балл функцией процентной оценки? Является ли процентная оценка функцией среднего балла? В таблице ниже показано возможное правило присвоения баллов.

Процентная оценка 0–56 57–61 62–66 67–71 72–77 78–86 87–91 92–100
Средний балл 0,0 1,0 1,5 2.0 2,5 3,0 3,5 4,0
Показать решение

Для любой процентной оценки существует связанный средний балл, поэтому средний балл является функцией процентной оценки. Другими словами, если мы введем процентную оценку, на выходе получится конкретный средний балл.

В данной системе оценок существует диапазон процентных оценок, соответствующих одному и тому же среднему баллу. Например, учащиеся, получившие средний балл 3.0 может иметь различные процентные оценки от 78 до 86. Таким образом, процентная оценка не является функцией среднего балла.

Попробуйте

В таблице ниже перечислены пять величайших бейсболистов всех времен в порядке рангов.

Игрок Рейтинг
Бэйб Рут 1
Уилли Мейс 2
Тай Кобб 3
Уолтер Джонсон 4
Хэнк Аарон 5
  1. Является ли ранг функцией имени игрока?
  2. Имя игрока зависит от ранга?
Показать решение
  1. да
  2. да.(Примечание: если бы два игрока были разделены, скажем, на 4-м месте, то имя не зависело бы от ранга.)

Использование обозначения функций

Как только мы определим, что отношение является функцией, нам нужно отобразить и определить функциональные отношения, чтобы мы могли их понять и использовать, а иногда также, чтобы мы могли программировать их в компьютерах. Есть разные способы представления функций. Стандартное обозначение функций - это представление, упрощающее работу с функциями.

Чтобы представить «рост является функцией возраста», мы начинаем с определения описательных переменных [latex] h [/ latex] для роста и [latex] a [/ latex] для возраста. Буквы [latex] f, g [/ latex] и [latex] h [/ latex] часто используются для обозначения функций точно так же, как мы используем [latex] x, y [/ latex] и [latex] z [/ латекс] для обозначения чисел и [латекс] A, B [/ латекс] и [латекс] C [/ латекс] для представления наборов.

[латекс] \ begin {align} & h \ text {is} f \ text {of} a && \ text {Мы называем функцию} f; \ text {высота является функцией возраста}.\\ & h = f \ left (a \ right) && \ text {Мы используем круглые скобки для обозначения ввода функции} \ text {. } \\ & f \ left (a \ right) && \ text {Мы называем функцию} f; \ text {выражение читается как} '' f \ text {of} a ''. \ end {align} [/ latex]

Помните, мы можем использовать любую букву для названия функции; мы можем использовать обозначение [латекс] h \ left (a \ right) [/ latex], чтобы показать, что [latex] h [/ latex] зависит от [latex] a [/ latex]. Входное значение [latex] a [/ latex] должно быть помещено в функцию [latex] h [/ latex], чтобы получить выходное значение.Скобки указывают, что возраст вводится в функцию; они не указывают на умножение.

Мы также можем дать алгебраическое выражение в качестве входных данных для функции. Например, [латекс] f \ left (a + b \ right) [/ latex] означает «сначала добавьте [latex] a [/ latex] и [latex] b [/ latex], и результат будет входом для функции [латекс] е [/ латекс] ». Мы должны выполнять операции именно в таком порядке, чтобы получить правильный результат.

A Общее примечание: обозначение функций

Обозначение [латекс] y = f \ left (x \ right) [/ latex] определяет функцию с именем [latex] f [/ latex].Это читается как [latex] «y [/ latex] является функцией [latex] x». [/ Latex] Буква [latex] x [/ latex] представляет входное значение или независимую переменную. Буква [латекс] y [/ latex] или [латекс] f \ left (x \ right) [/ latex] представляет выходное значение или зависимую переменную.

Пример: использование обозначения функций для дней в месяце

Используйте обозначение функции для представления функции, вход которой является названием месяца, а выход - количеством дней в этом месяце в невисокосном году.

Показать решение

Количество дней в месяце является функцией названия месяца, поэтому, если мы назовем функцию [latex] f [/ latex], мы напишем [latex] \ text {days} = f \ left (\ text {месяц} \ справа) [/ латекс] или [латекс] d = f \ left (m \ right) [/ латекс].Название месяца - это вход в «правило», которое связывает определенное число (выход) с каждым входом.

Например, [латекс] f \ left (\ text {April} \ right) = 30 [/ latex], потому что в апреле 30 дней. Обозначение [латекс] d = f \ left (m \ right) [/ latex] напоминает нам, что количество дней, [latex] d [/ latex] (вывод), зависит от названия месяца, [ латекс] м [/ латекс] (вход).

Анализ решения

Мы должны ограничить функцию невисокосными годами. В противном случае у февраля было бы 2 выхода, и это не было бы функцией.Также обратите внимание, что входные данные функции не обязательно должны быть числами; входные данные функции могут быть именами людей, метками геометрических объектов или любым другим элементом, определяющим какой-либо вид вывода. Однако большинство функций, с которыми мы будем работать в этой книге, будут иметь числа как входы и выходы.

Пример: интерпретация обозначения функции

Функция [латекс] N = f \ left (y \ right) [/ latex] дает количество полицейских [latex] N [/ latex] в городе в году [latex] y [/ latex].Что означает [латекс] f \ left (2005 \ right) = 300 [/ latex]?

Показать решение

Когда мы читаем [латекс] f \ left (2005 \ right) = 300 [/ latex], мы видим, что входным годом является 2005. Значение для выходных данных, количество полицейских [латекс] N [/ latex] , равно 300. Помните, [латекс] N = f \ left (y \ right) [/ latex]. Выражение [латекс] f \ left (2005 \ right) = 300 [/ latex] говорит нам, что в 2005 году в городе было 300 полицейских.

Вопросы и ответы

Вместо обозначения, такого как [latex] y = f \ left (x \ right) [/ latex], могли бы мы использовать тот же символ для вывода, что и для функции, например [latex] y = y \ left (x \ right) [/ latex], что означает « y является функцией x

Да, это часто делается, особенно по прикладным предметам, использующим высшую математику, например физике и инженерии.Однако, исследуя математику, нам нравится различать такую ​​функцию, как [latex] f [/ latex], которая является правилом или процедурой, и выводом [latex] y [/ latex], который мы получаем, применяя [latex ] f [/ latex] к конкретному входу [latex] x [/ latex]. Вот почему мы обычно используем такие обозначения, как [латекс] y = f \ left (x \ right), P = W \ left (d \ right) [/ latex] и так далее.

Представление функций с помощью таблиц

Общий метод представления функций - в виде таблицы. Строки или столбцы таблицы отображают соответствующие входные и выходные значения.В некоторых случаях эти значения представляют все, что мы знаем об отношениях; в других случаях таблица предоставляет несколько избранных примеров из более полных отношений.

В таблице ниже перечислены входные числа каждого месяца (январь = 1, февраль = 2 и т. Д.) И выходное значение количества дней в этом месяце. Эта информация представляет все, что мы знаем о месяцах и днях для данного года (который не является високосным). Обратите внимание, что в этой таблице мы определяем функцию дней в месяце [latex] f [/ latex], где [latex] D = f \ left (m \ right) [/ latex] определяет месяцы целым числом. а не по имени.

Номер месяца, [латекс] м [/ латекс] (ввод) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Дней в месяце, [латекс] D [/ латекс] (вывод) 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31

В таблице ниже определяется функция [латекс] Q = g \ left (n \ right) [/ latex].Помните, что эта запись говорит нам, что [latex] g [/ latex] - это имя функции, которая принимает входные данные [latex] n [/ latex] и выдает на выходе [latex] Q [/ latex].

[латекс] n [/ латекс] 1 2 3 4 5
[латекс] Q [/ латекс] 8 6 7 6 8

В таблице ниже показан возраст детей в годах и их рост.В этой таблице показаны лишь некоторые из имеющихся данных о росте и возрасте детей. Мы сразу видим, что эта таблица не представляет функцию, потому что одно и то же входное значение, 5 лет, имеет два разных выходных значения, 40 дюймов и 42 дюйма.

Возраст в годах, [latex] \ text {} a \ text {} [/ latex] (ввод) 5 5 6 7 8 9 10
Высота в дюймах, [латекс] \ text {} h \ text {} [/ latex] (вывод) 40 42 44 47 50 52 54

Как: по таблице входных и выходных значений определить, представляет ли таблица функцию.
  1. Определите входные и выходные значения.
  2. Убедитесь, что каждое входное значение сопряжено только с одним выходным значением. Если это так, таблица представляет функцию.

Пример: определение таблиц, представляющих функции

Какая таблица, A, B или C, представляет функцию (если есть)?

Таблица A
Ввод Выход
2 1
5 3
8 6
Таблица B
Ввод Выход
–3 5
0 1
4 5
Таблица C
Ввод Выход
1 0
5 2
5 4
Показать решение

a) и b) определяют функции.В обоих случаях каждое входное значение соответствует ровно одному выходному значению. c) не определяет функцию, потому что входное значение 5 соответствует двум различным выходным значениям.

Когда таблица представляет функцию, соответствующие входные и выходные значения также могут быть указаны с использованием обозначения функции.

Функция, представленная a), может быть представлена ​​записью

[латекс] f \ left (2 \ right) = 1, f \ left (5 \ right) = 3, \ text {и} f \ left (8 \ right) = 6 [/ latex]

Аналогично, утверждения [латекс] g \ left (-3 \ right) = 5, g \ left (0 \ right) = 1, \ text {и} g \ left (4 \ right) = 5 [/ latex] представляют функцию в b).

c) нельзя выразить аналогичным образом, потому что он не представляет функцию.

Когда мы знаем входное значение и хотим определить соответствующее выходное значение для функции, мы оцениваем функцию. Оценка всегда дает один результат, потому что каждое входное значение функции соответствует ровно одному выходному значению.

Когда мы знаем выходное значение и хотим определить входные значения, которые будут производить это выходное значение, мы устанавливаем выход равным формуле функции и решаем для входа.Решение может дать более одного решения, потому что разные входные значения могут давать одно и то же выходное значение.

Определить, является ли функция взаимно однозначной

Некоторые функции имеют заданное выходное значение, соответствующее двум или более входным значениям. Например, на следующей биржевой диаграмме цена акции составляла 1000 долларов в пять разных дат, что означает, что было пять разных входных значений, которые все привели к одному и тому же выходному значению в 1000 долларов.

Однако некоторые функции имеют только одно входное значение для каждого выходного значения, а также имеют только один выход для каждого входа.Мы называем эти функции взаимно однозначными функциями. В качестве примера рассмотрим школу, в которой используются только буквенные оценки и десятичные эквиваленты, как указано в.

Буквенный класс Средний балл
A 4,0
B 3,0
С 2,0
D 1,0

Эта система оценок представляет собой функцию «один-к-одному», поскольку каждая вводимая буква дает один конкретный выходной средний балл, а каждый средний балл соответствует одной вводимой букве.

Чтобы наглядно представить эту концепцию, давайте еще раз посмотрим на две простые функции, схематически изображенные в пунктах (а) и (б) ниже.

Функция в части (a) показывает взаимосвязь, которая не является однозначной, потому что входы [latex] q [/ latex] и [latex] r [/ latex] оба дают выход [latex] n [/ latex ]. Функция в части (b) показывает взаимосвязь, которая является функцией «один-к-одному», потому что каждый вход связан с одним выходом.

Общее примечание: индивидуальная функция

Однозначная функция - это функция, в которой каждое выходное значение соответствует ровно одному входному значению.{2} [/ латекс]. Поскольку площади и радиусы являются положительными числами, существует ровно одно решение: [latex] r = \ sqrt {\ frac {A} {\ pi}} [/ latex]. Таким образом, площадь круга однозначно зависит от радиуса круга.

Попробуйте

  1. Является ли остаток функцией номера банковского счета?
  2. Является ли номер банковского счета функцией баланса?
  3. Является ли баланс однозначной функцией номера банковского счета?
Показать решение
  1. да, потому что каждый банковский счет (вход) имеет единственный баланс (выход) в любой момент времени. {2} + 2p [/ latex], решите относительно [латекс] h \ left (p \ right) = 3 [/ latex].{2} + 2p - 3 = 0 && \ text {Вычтите по 3 с каждой стороны}. \\ & \ left (p + 3 \ text {) (} p - 1 \ right) = 0 && \ text {Factor}. \ end {align} [/ latex]

    Если [латекс] \ left (p + 3 \ right) \ left (p - 1 \ right) = 0 [/ latex], либо [latex] \ left (p + 3 \ right) = 0 [/ latex] или [латекс] \ left (p - 1 \ right) = 0 [/ latex] (или оба они равны 0). Мы установим каждый коэффициент равным 0 и решим для каждого случая [латекс] p [/ латекс].

    [латекс] \ begin {align} & p + 3 = 0, && p = -3 \\ & p - 1 = 0, && p = 1 \ hfill \ end {align} [/ latex]

    Это дает нам два решения.Выход [латекс] h \ left (p \ right) = 3 [/ latex], когда вход либо [latex] p = 1 [/ latex], либо [latex] p = -3 [/ latex].

    Мы также можем проверить, построив график, как на рисунке 5. График проверяет, что [latex] h \ left (1 \ right) = h \ left (-3 \ right) = 3 [/ latex] и [latex] h \ left (4 \ справа) = 24 [/ латекс].

    Попробуйте

    Учитывая функцию [латекс] g \ left (m \ right) = \ sqrt {m - 4} [/ latex], решите [латекс] g \ left (m \ right) = 2 [/ latex].

    Вычисление функций, выраженных в формулах

    Некоторые функции определяются математическими правилами или процедурами, выраженными в форме уравнения .Если возможно выразить выход функции с помощью формулы , , включающей входную величину, то мы можем определить функцию в алгебраической форме. Например, уравнение [латекс] 2n + 6p = 12 [/ латекс] выражает функциональную взаимосвязь между [латексом] n [/ латексом] и [латексом] p [/ латексом]. Мы можем переписать его, чтобы решить, является ли [latex] p [/ latex] функцией [latex] n [/ latex].

    Практическое руководство. Для данной функции в форме уравнения напишите ее алгебраическую формулу.

    1. Решите уравнение, чтобы изолировать выходную переменную с одной стороны от знака равенства с другой стороной как выражение, которое включает только входную переменную.
    2. Используйте все обычные алгебраические методы для решения уравнений, такие как сложение или вычитание одной и той же величины с обеих сторон или с обеих сторон, или умножение или деление обеих сторон уравнения на одну и ту же величину.

    Пример: поиск уравнения функции

    Выразите отношение [латекс] 2n + 6p = 12 [/ latex] как функцию [latex] p = f \ left (n \ right) [/ latex], если это возможно.

    Показать решение

    Чтобы выразить отношение в этой форме, нам нужно иметь возможность записать отношение, где [latex] p [/ latex] является функцией [latex] n [/ latex], что означает запись его как [latex] p = [/ latex] выражение, включающее [latex] n [/ latex].

    [латекс] \ begin {align} & 2n + 6p = 12 \\ [1 мм] & 6p = 12 - 2n && \ text {Subtract} 2n \ text {с обеих сторон}. \\ [1mm] & p = \ frac {12 - 2n} {6} && \ text {Разделите обе стороны на 6 и упростите}. \\ [1 мм] & p = \ frac {12} {6} - \ frac {2n} {6} \\ [1 мм] & p = 2- \ frac {1} {3} n \ end {align} [/ latex ]

    Следовательно, [латекс] p [/ latex] как функция [latex] n [/ latex] записывается как

    [латекс] p = f \ left (n \ right) = 2- \ frac {1} {3} n [/ latex]

    Анализ решения

    Важно отметить, что не все отношения, выраженные уравнением, также можно выразить как функцию с формулой.{y} [/ latex], если мы хотим выразить [latex] y [/ latex] как функцию [latex] x [/ latex], не существует простой алгебраической формулы, включающей только [latex] x [/ latex] что равно [латекс] y [/ латекс]. Однако каждый [latex] x [/ latex] действительно определяет уникальное значение для [latex] y [/ latex], и существуют математические процедуры, с помощью которых [latex] y [/ latex] может быть найден с любой желаемой точностью. В этом случае мы говорим, что уравнение дает неявное (подразумеваемое) правило для [latex] y [/ latex] как функции [latex] x [/ latex], даже если формулу нельзя записать явно.

    Оценка функции, заданной в табличной форме

    Как мы видели выше, мы можем представлять функции в виде таблиц. И наоборот, мы можем использовать информацию в таблицах для написания функций, и мы можем оценивать функции с помощью таблиц. Например, насколько хорошо наши питомцы вспоминают теплые воспоминания, которыми мы с ними делимся? Существует городская легенда, что у золотой рыбки память 3 секунды, но это всего лишь миф. Золотая рыбка может помнить до 3 месяцев, в то время как бета-рыба имеет память до 5 месяцев.И хотя продолжительность памяти щенка не превышает 30 секунд, взрослая собака может запоминать 5 минут. Это скудно по сравнению с кошкой, у которой объем памяти составляет 16 часов.

    Функция, которая связывает тип питомца с продолжительностью его памяти, легче визуализировать с помощью таблицы. См. Таблицу ниже.

    Домашнее животное Объем памяти в часах
    Щенок 0,008
    Взрослая собака 0.083
    Кот 16
    Золотая рыбка 2160
    Бета-рыба 3600

    Иногда оценка функции в табличной форме может быть более полезной, чем использование уравнений. Здесь вызовем функцию [латекс] П [/ латекс].

    Домен функции - это тип домашнего животного, а диапазон - это действительное число, представляющее количество часов, в течение которых хранится память домашнего животного.Мы можем оценить функцию [latex] P [/ latex] при входном значении «золотая рыбка». Мы бы написали [латекс] P \ left (\ text {goldfish} \ right) = 2160 [/ latex]. Обратите внимание, что для оценки функции в табличной форме мы идентифицируем входное значение и соответствующее выходное значение из соответствующей строки таблицы. Табличная форма для функции [latex] P [/ latex] кажется идеально подходящей для этой функции, больше, чем запись ее в форме абзаца или функции.

    Практическое руководство. Для функции, представленной в виде таблицы, определите конкретные выходные и входные значения.


    1. Найдите данный вход в строке (или столбце) входных значений.
    2. Определите соответствующее выходное значение в паре с этим входным значением.
    3. Найдите заданные выходные значения в строке (или столбце) выходных значений, отмечая каждый раз, когда это выходное значение появляется.
    4. Определите входное значение (я), соответствующее заданному выходному значению.

    Пример: оценка и решение табличной функции

    Используя приведенную ниже таблицу,

    1. Вычислить [латекс] g \ left (3 \ right) [/ latex].
    2. Решите [латекс] g \ left (n \ right) = 6 [/ latex].
    [латекс] n [/ латекс] 1 2 3 4 5
    [латекс] г (п) [/ латекс] 8 6 7 6 8
    Показать решение
    • Вычисление [latex] g \ left (3 \ right) [/ latex] означает определение выходного значения функции [latex] g [/ latex] для входного значения [latex] n = 3 [/ latex].Выходное значение таблицы, соответствующее [latex] n = 3 [/ latex], равно 7, поэтому [latex] g \ left (3 \ right) = 7 [/ latex].
    • Решение [latex] g \ left (n \ right) = 6 [/ latex] означает определение входных значений, [latex] n [/ latex], которые дают выходное значение 6. В таблице ниже показаны два решения: [ латекс] n = 2 [/ латекс] и [латекс] n = 4 [/ латекс].
    [латекс] n [/ латекс] 1 2 3 4 5
    [латекс] г (п) [/ латекс] 8 6 7 6 8

    Когда мы вводим 2 в функцию [latex] g [/ latex], на выходе получаем 6.Когда мы вводим 4 в функцию [latex] g [/ latex], наш результат также равен 6.

    Попробуйте

    Используя таблицу из предыдущего примера, оцените [латекс] g \ left (1 \ right) [/ latex].

    Показать решение

    [латекс] г \ влево (1 \ вправо) = 8 [/ латекс]

    Поиск значений функций из графика

    Оценка функции с помощью графика также требует нахождения соответствующего выходного значения для данного входного значения, только в этом случае мы находим выходное значение, глядя на график.Решение функционального уравнения с использованием графика требует нахождения всех экземпляров данного выходного значения на графике и наблюдения за соответствующими входными значениями.

    Пример: чтение значений функций из графика

    Учитывая график ниже,

    1. Вычислить [латекс] f \ left (2 \ right) [/ latex].
    2. Решите [латекс] f \ left (x \ right) = 4 [/ latex].
    Показать решение
    1. Чтобы оценить [латекс] f \ left (2 \ right) [/ latex], найдите точку на кривой, где [latex] x = 2 [/ latex], затем прочтите [latex] y [/ latex] - координата этой точки.Точка имеет координаты [latex] \ left (2,1 \ right) [/ latex], поэтому [latex] f \ left (2 \ right) = 1 [/ latex].
    2. Чтобы решить [latex] f \ left (x \ right) = 4 [/ latex], мы находим выходное значение [latex] 4 [/ latex] по вертикальной оси. Двигаясь горизонтально по линии [latex] y = 4 [/ latex], мы обнаруживаем две точки кривой с выходным значением [latex] 4: [/ latex] [latex] \ left (-1,4 \ right) [/ латекс] и [латекс] \ влево (3,4 \ вправо) [/ латекс]. Эти точки представляют два решения [латекс] f \ left (x \ right) = 4: [/ latex] [latex] x = -1 [/ latex] или [latex] x = 3 [/ latex].Это означает [латекс] f \ left (-1 \ right) = 4 [/ latex] и [latex] f \ left (3 \ right) = 4 [/ latex], или когда ввод [латекс] -1 [ / latex] или [latex] \ text {3,} [/ latex] вывод будет [latex] \ text {4} \ text {.} [/ latex] См. график ниже.

    Попробуйте

    Используя график, решите [латекс] f \ left (x \ right) = 1 [/ latex].

    Показать решение

    [латекс] x = 0 [/ латекс] или [латекс] x = 2 [/ латекс]

    Определение функций с помощью графиков

    Как мы видели в примерах выше, мы можем представить функцию с помощью графика.Графики отображают множество пар ввода-вывода на небольшом пространстве. Предоставляемая ими визуальная информация часто упрощает понимание взаимоотношений. Обычно мы строим графики с входными значениями по горизонтальной оси и выходными значениями по вертикальной оси.

    Наиболее распространенные графики называют входное значение [latex] x [/ latex] и выходное значение [latex] y [/ latex], и мы говорим, что [latex] y [/ latex] является функцией [latex] x [ / latex] или [latex] y = f \ left (x \ right) [/ latex], если функция называется [latex] f [/ latex].График функции - это набор всех точек [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex] в плоскости, которая удовлетворяет уравнению [латекс] y = f \ left (x \ right) [/ latex ]. Если функция определена только для нескольких входных значений, то график функции представляет собой только несколько точек, где координата x каждой точки является входным значением, а координата y каждой точки является соответствующее выходное значение. Например, черные точки на графике на графике ниже говорят нам, что [латекс] f \ left (0 \ right) = 2 [/ latex] и [latex] f \ left (6 \ right) = 1 [/ latex ].Однако набор всех точек [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex], удовлетворяющих [latex] y = f \ left (x \ right) [/ latex], является кривой. Показанная кривая включает [латекс] \ left (0,2 \ right) [/ latex] и [latex] \ left (6,1 \ right) [/ latex], потому что кривая проходит через эти точки.

    Тест с вертикальной линией может использоваться для определения того, представляет ли график функцию. Вертикальная линия включает все точки с определенным значением [latex] x [/ latex]. Значение [latex] y [/ latex] точки, где вертикальная линия пересекает график, представляет собой выход для этого входного значения [latex] x [/ latex].Если мы можем нарисовать любую вертикальную линию , которая пересекает график более одного раза, тогда график , а не определяет функцию, потому что это значение [latex] x [/ latex] имеет более одного вывода. Функция имеет только одно выходное значение для каждого входного значения.

    Как сделать. Для данного графика используйте тест вертикальной линии, чтобы определить, представляет ли график функцию.

    1. Проверьте график, чтобы увидеть, пересекает ли нарисованная вертикальная линия кривую более одного раза.
    2. Если такая линия есть, график не представляет функцию.
    3. Если ни одна вертикальная линия не может пересекать кривую более одного раза, график действительно представляет функцию.

    Пример: применение теста вертикальной линии

    Какой из графиков представляет функцию [латекс] y = f \ left (x \ right)? [/ Latex]

    Показать решение

    Если какая-либо вертикальная линия пересекает график более одного раза, отношение, представленное на графике, не является функцией. Обратите внимание, что любая вертикальная линия будет проходить только через одну точку двух графиков, показанных в частях (a) и (b) графика выше.Из этого можно сделать вывод, что эти два графика представляют функции. Третий график не представляет функцию, потому что при максимальном значении x вертикальная линия пересекает график более чем в одной точке.

    Попробуйте

    Представляет ли приведенный ниже график функцию?

    Тест горизонтальной линии

    После того, как мы определили, что график определяет функцию, простой способ определить, является ли функция взаимно однозначной, - это использовать тест горизонтальной линии .Проведите через график горизонтальные линии. Горизонтальная линия включает все точки с определенным значением [latex] y [/ latex]. Значение [latex] x [/ latex] точки, где вертикальная линия пересекает функцию, представляет вход для этого выходного значения [latex] y [/ latex]. Если мы можем нарисовать любую горизонтальную линию , которая пересекает график более одного раза, тогда график , а не представляет собой взаимно-однозначную функцию, потому что это значение [latex] y [/ latex] имеет более одного входа.

    Как сделать. Имея график функции, используйте тест горизонтальной линии, чтобы определить, представляет ли график функцию взаимно-однозначного соответствия.

    1. Проверьте график, чтобы увидеть, пересекает ли нарисованная горизонтальная линия кривую более одного раза.
    2. Если такая строка есть, функция не взаимно однозначная.
    3. Если ни одна горизонтальная линия не может пересекать кривую более одного раза, функция взаимно однозначна.

    Пример: применение теста горизонтальной линии

    Рассмотрим функции (a) и (b), показанные на графиках ниже.

    Являются ли какие-либо функции взаимно однозначными?

    Показать решение

    Функция в (а) не взаимно однозначна.Горизонтальная линия, показанная ниже, пересекает график функции в двух точках (и мы даже можем найти горизонтальные линии, которые пересекают его в трех точках).

    Функция в (b) взаимно однозначная. Любая горизонтальная линия будет пересекать диагональную линию не более одного раза.

    Определение основных функций набора инструментов

    В этом тексте мы исследуем функции - формы их графиков, их уникальные характеристики, их алгебраические формулы и способы решения с ними проблем.Учимся читать, начинаем с алфавита. Когда мы учимся арифметике, мы начинаем с чисел. При работе с функциями также полезно иметь базовый набор стандартных элементов. Мы называем их «функциями набора инструментов», которые образуют набор базовых именованных функций, для которых нам известны график, формула и специальные свойства. Некоторые из этих функций запрограммированы на отдельные кнопки на многих калькуляторах. Для этих определений мы будем использовать [latex] x [/ latex] в качестве входной переменной и [latex] y = f \ left (x \ right) [/ latex] в качестве выходной переменной.

    Мы будем часто видеть эти функции набора инструментов, комбинации функций набора инструментов, их графики и их преобразования на протяжении всей этой книги. Будет очень полезно, если мы сможем быстро распознать эти функции набора инструментов и их возможности по имени, формуле, графику и основным свойствам таблицы. Графики и примерные значения таблицы включены в каждую функцию, показанную ниже.

    Ключевые концепции

    • Отношение - это набор упорядоченных пар. Функция - это особый тип отношения, в котором каждое значение домена или вход приводит ровно к одному значению диапазона или выходу.
    • Функциональная нотация - это сокращенный метод соотнесения ввода с выводом в форме [латекс] y = f \ left (x \ right) [/ latex].
    • В табличной форме функция может быть представлена ​​строками или столбцами, относящимися к входным и выходным значениям.
    • Чтобы оценить функцию, мы определяем выходное значение для соответствующего входного значения. Алгебраические формы функции можно оценить, заменив входную переменную заданным значением.
    • Чтобы найти конкретное значение функции, мы определяем входные значения, которые дают конкретное выходное значение.
    • Алгебраическая форма функции может быть записана из уравнения.
    • Входные и выходные значения функции можно определить по таблице.
    • Связь входных значений с выходными значениями на графике - еще один способ оценить функцию.
    • Функция взаимно однозначна, если каждое выходное значение соответствует только одному входному значению.
    • График представляет функцию, если любая вертикальная линия, проведенная на графике, пересекает график не более чем в одной точке.
    • График представляет собой взаимно однозначную функцию, если любая горизонтальная линия, проведенная на графике, пересекает график не более чем в одной точке.

    Глоссарий

    зависимая переменная
    выходная переменная
    домен
    набор всех возможных входных значений для отношения
    функция
    отношение, в котором каждое входное значение дает уникальное выходное значение
    Тест горизонтальной линии
    метод проверки взаимно однозначности функции путем определения того, пересекает ли какая-либо горизонтальная линия график более одного раза
    независимая переменная
    входная переменная
    вход
    каждый объект или значение в домене, который относится к другому объекту или значению посредством отношения, известного как функция
    индивидуальная функция
    функция, для которой каждое значение вывода связано с уникальным значением ввода
    выход
    каждый объект или значение в диапазоне, который создается, когда входное значение вводится в функцию
    диапазон
    набор выходных значений, которые являются результатом входных значений в отношении
    отношение
    комплект заказанных пар
    тест вертикальной линии
    способ проверки того, представляет ли график функцию, путем определения того, пересекает ли вертикальная линия график не более одного раза

    Свойства графиков функций

    Приведенные ниже вопросы были разработаны, чтобы помочь вам глубже понять свойства графиков функций , которые имеют большое значение в математическом анализе.Возможно, вам потребуется просмотреть некоторые определения и теоремы, связанные с графиками функций, чтобы ответить на вопросы ниже. Подробнее о построении графиков можно прочитать на этом сайте.

    Вопросы с решениями

    Вопрос 1

    Верно или неверно . Область определения функции - это набор всех действительных значений, для которых функция является действительной.
    Ответ:
    Верно.

    Вопрос 2

    Верно или неверно .Знак первой производной заданной функции f сообщает вам об интервале (ах), где f (x) положительно, отрицательно или равно нулю.
    Ответ:
    Неверно.
    Знак первой производной информирует вас об интервале (ах), в котором f увеличивается, уменьшается или остается постоянным.

    Вопрос 3

    Верно или неверно . Знак второй производной заданной функции f сообщает вам о вогнутости графика f.
    Ответ:
    Верно.

    Вопрос 4

    Верно или неверно . Горизонтальная асимптота графика заданной функции f определяется путем нахождения предела, если он существует, для f (x) при приближении x к 0.
    Ответ:
    Неверно.
    Горизонтальная асимптота может быть определена путем нахождения предела f (x), когда x приближается к + или - бесконечности (очень большие или очень маленькие значения).

    Вопрос 5

    Верно или неверно . Любое значение x, которое делает знаменатель рациональной функции f равным нулю, представляет собой вертикальную асимптоту графика f.
    Ответ:
    Неверно.
    Не всегда. Пусть f (x) = (x + 3) / (x 2 -9).
    Разложите знаменатель на множители и упростите, чтобы получить f (x) = 1 / (x - 3).
    Хотя x = - 3 делает знаменатель равным 0, при x = - 3 нет вертикальной асимптоты; на самом деле есть дыра.

    Вопрос 6

    Верно или неверно . Горизонтальная асимптота может пересекать график функции.
    Ответ:
    Верно.
    Пример: f (x) = sin x / x

    Вопрос 7

    Верно или неверно .Х-точки на графике функции соответствуют нулям функции.
    Ответ:
    Верно.

    Вопрос 8:
    Верно или неверно . Граф не может разрезать свою вертикальную асимптоту.
    Ответ:
    Верно. {2} -1 \).{2} -2 х-1 \)

    Ответ
    1. вниз
    2. вверх

    Найдите ось симметрии и вершину параболы

    Посмотрите еще раз на Рисунок 9.6.10 . Вы видите, что мы можем сложить каждую параболу пополам, и тогда одна сторона окажется поверх другой? «Линия сгиба» - это линия симметрии. Мы называем ее осью симметрии параболы.

    Мы снова показываем те же два графика с осью симметрии.{2} + b x + c \) равно \ (x = - \ frac {b} {2 a} \).

    Итак, чтобы найти уравнение симметрии каждой из парабол, которые мы построили на графике выше, мы подставим в формулу \ (x = - \ frac {b} {2 a} \).

    Обратите внимание, что это уравнения, изображенные пунктирными синими линиями на графиках.

    Точка параболы, которая является самой низкой (парабола открывается вверх) или самой высокой (парабола открывается вниз), лежит на оси симметрии. Эта точка называется вершиной параболы.

    Мы можем легко найти координаты вершины, потому что знаем, что она находится на оси симметрии.{2} -6 x + 2 \) найти:

    1. ось симметрии
    2. вершина

    Решение :

    а.

    Ось симметрии - это вертикальная линия \ (x = - \ frac {b} {2 a} \).
    Подставьте значения \ (a, b \) в уравнение. \ (x = - \ frac {-6} {2 \ cdot 3} \)
    Упростить. \ (х = 1 \)
    Ось симметрии - прямая \ (x = 1 \).

    б.

    Вершина - это точка на линии симметрии, поэтому ее координата \ (x \) будет \ (x = 1 \). Найдите \ (f (1) \).
    Упростить.
    Результат - координата \ (y \).{2} -4 x-3 \) найти:

    1. ось симметрии
    2. вершина
    Ответ
    1. \ (х = 1 \)
    2. \ ((1, -5) \)

    Найдите точки пересечения параболы

    Когда мы строили линейные уравнения, мы часто использовали точки пересечения \ (x \) и \ (y \), чтобы построить графики линий. Определение координат точек пересечения также поможет нам построить график парабол.

    Помните, что в точке пересечения \ (y \) значение \ (x \) равно нулю.{2} +4 х + 3 \)

    Фактор. \ (0 = (х + 1) (х + 3) \)
    Использовать свойство нулевого произведения. \ (x + 1 = 0 \ quad x + 3 = 0 \)
    Решить. {2} +4 x + 3 \).{2} +4 х + 3 \)
    Этот квадратичный коэффициент не учитывается, поэтому мы используем квадратичную формулу.
    \ (a = -1, b = 4, c = 3 \)
    Упростить.
    \ (x = \ frac {-2 (2 \ pm \ sqrt {7})} {- 2} \)
    \ (x = 2 \ pm \ sqrt {7} \)
    \ (x \) - точки пересечения - это \ ((2+ \ sqrt {7}, 0) \) и \ ((2- \ sqrt {7}, 0) \).{2} -2 х-8 \).

    Решение :

    Чтобы найти \ (y \) - точку пересечения, пусть \ (x = 0 \) и решит относительно \ (f (x) \).
    \ (f (0) = - 8 \)
    Если \ (x = 0 \), то \ (f (0) = - 8 \). Перехватчик \ (y \) - это точка \ ((0, -8) \).
    Чтобы найти \ (x \) - точку пересечения, положим \ (f (x) = 0 \) и решим относительно \ (x \).
    Решите на множитель. \ (0 = (х-4) (х + 2) \)
    \ (4 = х \ квад-2 = х \)
    Если \ (f (x) = 0 \), то \ (x = 4 \) или \ (x = -2 \). \ (X \) - точки пересечения - это точки \ ((4,0) \) и \ ((- 2,0) \).{2} + b x + c \). Графики этих функций представляют собой параболы. \ (X \) - пересечения парабол происходят там, где \ (f (x) = 0 \).

    Например:

    Квадратное уравнение

    Квадратичная функция

    Решениями квадратичной функции являются значения \ (x \) точек пересечения \ (x \) - .

    Ранее мы видели, что квадратные уравнения имеют решения \ (2, 1 \) или \ (0 \). На графиках ниже показаны примеры парабол для этих трех случаев.{2} -4 х-5 \)

    Ответ

    \ (y \) - перехват: \ ((0, -5) \) \ (x \) - перехватывает \ ((- 1,0), (5,0) \)

    Графические квадратичные функции с использованием свойств

    Теперь у нас есть все, что нужно для построения графика квадратичной функции. Нам просто нужно собрать их вместе. В следующем примере мы увидим, как это сделать. {2} -6x + 8 \), используя его свойства.{2} -6x + 8 \)

    Ось симметрии - это линия \ (x = - \ frac {b} {2 a} \).

    Ось симметрии

    \ (x = - \ frac {b} {2 a} \)

    \ (x = - \ frac {(- 6)} {2 \ cdot 1} \)

    \ (х = 3 \)

    Осью симметрии является прямая \ (x = 3 \).

    Шаг 3 : Найдите вершину. Вершина находится на оси симметрии.{2} -6 (\ color {red} {3} \ color {black} {)} + 8 \)

    \ (f (3) = - 1 \)

    Вершина равна \ ((3, -1) \).

    Шаг 4 : Найдите точку пересечения \ (y \). Найдите точку, симметричную точке пересечения \ (y \) поперек оси симметрии.

    Находим \ (f (0) \).

    Мы используем ось симметрии, чтобы найти точку, симметричную пересечению \ (y \). Пересечение \ (y \) находится на \ (3 \) единицах слева от оси симметрии \ (x = 3 \).{2} -6 (\ color {red} {0} \ color {black} {)} + 8 \)

    \ (f (0) = 8 \)

    Перехватчик \ (y \) равен \ ((0,8) \).

    Точка симметрична \ (y \) - точка пересечения:

    Дело в \ ((6,8) \).

    Шаг 5 : Найдите точки пересечения \ (x \). При необходимости найдите дополнительные баллы.

    Решаем \ (f (x) = 0 \).

    Мы можем решить это квадратное уравнение факторингом.{2} -6x + 8 \)

    \ (\ color {красный} {0} \ color {черный} {=} (x-2) (x-4) \)

    \ (х = 2 или х = 4 \)

    \ (x \) - точки пересечения - это \ ((2,0) \) и \ ((4,0) \). {2} + 2x-8 \), используя его свойства.{2} -8x + 12 \), используя его свойства.

    Ответ

    Здесь мы перечисляем шаги, которые необходимо предпринять для построения графика квадратичной функции.

    Построение квадратичной функции с использованием свойств

    1. Определите, открывается ли парабола вверх или вниз.
    2. Найдите уравнение оси симметрии.
    3. Найдите вершину.
    4. Найдите точку пересечения \ (y \). Найдите точку, симметричную точке пересечения \ (y \) поперек оси симметрии.{2} -4 x-3 \), используя его свойства.

      Решение :

      Поскольку \ (a \) равно \ (2 \), парабола открывается вверх.

      Чтобы найти уравнение оси симметрии, используйте \ (x = - \ frac {b} {2 a} \). \ (x = - \ frac {b} {2 a} \)
      \ (x = - \ frac {-4} {2 \ cdot 2} \)
      \ (х = 1 \)
      Уравнение оси симметрии: \ (x = 1 \).
      Вершина находится на прямой \ (x = 1 \).
      Найдите \ (f (1) \).
      \ (f (1) = 2-4-3 \)
      \ (\ f (1) = - 5)
      Вершина равна \ ((1, -5) \).
      Перехват \ (y \) - происходит, когда \ (x = 0 \).
      Найдите \ (f (0) \).
      Упростить. \ (f (0) = - 3 \)
      Перехватчик \ (y \) - это \ ((0, -3) \).
      Точка \ ((0, -3) \) находится на одну единицу левее линии симметрии. Точка, симметричная \ (y \) - точка пересечения равна \ ((2, -3) \)
      Точка на одну единицу правее линии симметрии равна \ ((2,3) \).{2} -4 (2) (3)}} {2 (2)} \)
      Упростить.
      Упростите внутри корня. \ (x = \ frac {4 \ pm \ sqrt {40}} {4} \)
      Упростим радикал. \ (x = \ frac {4 \ pm 2 \ sqrt {10}} {4} \)
      Разложите на множители GCF. \ (x = \ frac {2 (2 \ pm \ sqrt {10})} {4} \)
      Удалите общие множители. \ (x = \ frac {2 \ pm \ sqrt {10}} {2} \)
      Запишите в виде двух уравнений. \ (x = \ frac {2+ \ sqrt {10}} {2}, \ quad x = \ frac {2- \ sqrt {10}} {2} \)
      Приблизительные значения. \ (x \ приблизительно 2,5, \ quad x \ приблизительно-0,6 \)
      Приблизительные значения точек пересечения \ (x \) - \ ((2.5,0) \) и \ ((- 0.6,0) \).
      Постройте параболу, используя найденные точки.{2} -6 x + 5 \), используя его свойства.

      Ответ

      Решение максимальных и минимальных приложений

      Знание того, что вершина параболы является самой низкой или самой высокой точкой параболы, дает нам простой способ определить минимальное или максимальное значение квадратичной функции. Координата y вершины - это минимальное значение параболы, которая открывается вверх. Это максимальное значение параболы, которая открывается вниз. {2} +2 x-8 \).{2} +2 х-8 \)

      Поскольку \ (a \) положительно, парабола открывается вверх. Квадратное уравнение имеет минимум.
      Найдите уравнение оси симметрии. \ (x = - \ frac {b} {2 a} \)
      \ (x = - \ frac {2} {2 \ times 1} \)
      \ (х = -1 \)
      Уравнение оси симметрии: \ (x = -1 \).{2} +2 х-8 \)
      Найдите \ (f (-1) \).
      \ (ф (-1) = 1-2-8 \)
      \ (f (-1) = - 9 \)
      Вершина равна \ ((- 1, -9) \).
      Поскольку парабола имеет минимум, \ (y \) - координата вершины является минимальным \ (y \) - значением квадратного уравнения. Минимальное значение квадратичного равно \ (- 9 \), и это происходит, когда \ (x = -1 \).{2} +16 х-11 \).

      Ответ

      Максимальное значение квадратичной функции равно \ (5 \), и это происходит, когда \ (x = 2 \).

      Мы использовали формулу

      для расчета высоты в футах, \ (h \), объекта, взлетающего в воздух с начальной скоростью \ (v_ {0} \) через \ (t \) секунд.

      Эта формула является квадратичной функцией, поэтому ее график представляет собой параболу. Решая координаты вершины \ ((t, h) \), мы можем определить, сколько времени потребуется объекту, чтобы достичь максимальной высоты.{2} +176 t + 4 \) моделирует высоту удара волейбольного мяча прямо вверх со скоростью \ (176 \) футов в секунду с высоты \ (4 \) футов.

      1. За сколько секунд волейбольный мяч достигнет максимальной высоты?
      2. Найдите максимальную высоту волейбольного мяча.

      Решение :

      Поскольку \ (a \) отрицательно, парабола открывается вниз. Квадратичная функция имеет максимум.

      а. Найдите уравнение оси симметрии.

      \ (\ begin {array} {l} {t = - \ frac {b} {2 a}} \\ {t = - \ frac {176} {2 (-16)}} \\ {t = 5.5 } \ end {array} \)

      Уравнение оси симметрии \ (t = 5,5 \).

      Вершина находится на прямой \ (t = 5.5 \).

      Максимум происходит, когда \ (t = 5,5 \) секунд.

      г. Найдите \ (h (5.5) \).

      Используйте калькулятор, чтобы упростить.

      \ (h (t) = 488 \)

      Вершина равна \ ((5.5,488) \).

      Поскольку парабола имеет максимум, \ (h \) - координата вершины является максимальным значением квадратичной функции.{2} +128 t + 32 \) используется для определения высоты камня, брошенного вверх с высоты \ (32 \) футов со скоростью \ (128 \) футов / сек. Сколько времени потребуется, чтобы камень достиг максимальной высоты? Какая максимальная высота?

      Ответ

      Камню потребуется \ (4 \) секунды, чтобы достичь максимальной высоты в \ (288 \) футов. {2} + b x + c \):

      • \ (y \) - перехват
        • Пусть \ (x = 0 \) и решит относительно \ (f (x) \).
      • \ (x \) - перехватывает
        • Пусть \ (f (x) = 0 \) и решит относительно \ (x \).
    5. Как построить график квадратичной функции, используя свойства.
      1. Определите, открывается ли парабола вверх или вниз.
      2. Найдите уравнение оси симметрии.
      3. Найдите вершину.
      4. Найдите точку пересечения \ (y \).Найдите точку, симметричную пересечению y поперек оси симметрии.
      5. Найдите \ (x \) - точки пересечения. При необходимости найдите дополнительные баллы.
      6. Постройте параболу.
    6. Минимальные или максимальные значения квадратного уравнения
      • \ (y \) - координата вершины графика квадратного уравнения
      • минимальное значение квадратного уравнения, если парабола открывается вверх на .{2} + bx + c \).
    7. Родительские функции - типы, свойства и примеры

      При работе с функциями и их графиками вы заметите, как графики большинства функций выглядят одинаково и следуют схожим шаблонам. Это потому, что функции, имеющие одинаковую степень, будут следовать аналогичной кривой и использовать одни и те же родительские функции.

      Родительская функция представляет собой простейшую форму семейства функций.

      Это определение прекрасно описывает родительские функции.Мы используем родительские функции, чтобы направлять нас при построении графиков функций, которые находятся в том же семействе. В этой статье мы:

      • Рассмотрим все уникальные родительские функции (возможно, вы уже сталкивались с некоторыми ранее).
      • Узнайте, как определить родительскую функцию, которой принадлежит функция.

      Возможность идентифицировать и графически отображать функции с использованием их родительских функций может помочь нам лучше понять функции, так чего же мы ждем?

      Что такое родительская функция?

      Теперь, когда мы понимаем, насколько важно для нас овладение различными типами родительских функций, давайте сначала начнем понимать, что такое родительские функции и как их семейства функций зависят от их свойств.

      Определение родительской функции

      Родительские функции - это простейшая форма данного семейства функций . Семейство функций - это группа функций, которые имеют одинаковую высшую степень и, следовательно, одинаковую форму для своих графиков .

      На приведенном выше графике показаны четыре графика, которые демонстрируют U-образный график, который мы называем параболой. Поскольку все они имеют одинаковую высшую степень двойки и одинаковую форму, мы можем сгруппировать их в одно семейство функций.Сможете угадать, к какой семье они принадлежат?

      Все эти четыре функции являются квадратичными, и их простейшая форма будет y = x 2 . Следовательно, родительской функцией для этого семейства является y = x 2 .

      Поскольку родительские функции являются простейшей формой данной группы функций, они могут сразу дать вам представление о том, как будет выглядеть данная функция из того же семейства.

      Какие бывают типы родительских функций?

      Пришло время освежить наши знания о функциях, а также узнать о новых функциях.Как мы уже упоминали, знакомство с известными родительскими функциями поможет нам лучше и быстрее понять и построить графики функций.

      Почему бы нам не начать с тех, которые мы, возможно, уже узнали в прошлом?

      Первые четыре родительские функции содержат многочлены с возрастающей степенью. Давайте посмотрим, как ведут себя их графики, и отметим область и диапазон соответствующих родительских функций.

      Функции констант

      Функции констант - это функции, которые определяются своей соответствующей константой c.Все функции-константы будут иметь горизонтальную линию в качестве графика и содержать только константу в качестве члена.

      Все постоянные функции будут иметь все действительные числа в качестве домена и y = c в качестве диапазона. У каждого из них также есть точка пересечения по оси y в точке (0, c).

      Движение объекта в состоянии покоя - хороший пример постоянной функции.

      Линейные функции

      Линейные функции имеют x как член с наивысшей степенью и общую форму y = a + bx.Все линейные функции имеют прямую линию в виде графика .

      Родительская функция линейных функций - это y = x, , и она проходит через начало координат. Область и диапазон всех линейных функций: , все действительные числа .

      Эти функции представляют отношения между двумя объектами, которые линейно пропорциональны друг другу.

      Квадратичные функции

      Квадратичные функции - это функции с 2 в качестве высшей степени .Все квадратичные функции возвращают параболу в качестве своего графика . Как обсуждалось в предыдущем разделе, квадратичные функции имеют y = x 2 в качестве родительской функции .

      Вершина родительской функции y = x 2 лежит в начале координат. Он также имеет область всех действительных чисел и диапазон [0, ∞) . Обратите внимание, что эта функция увеличивается, когда x положительна , и уменьшается, когда x отрицательна .

      Хорошее применение квадратичных функций - движение снаряда.Мы можем наблюдать за движением снаряда объекта, построив график квадратичной функции, которая его представляет.

      Кубические функции

      Давайте перейдем к родительской функции многочленов с 3 в качестве высшей степени . Кубические функции имеют общую родительскую функцию y = x 3 . Эта функция на увеличивается по всему домену .

      Как и в случае с двумя предыдущими родительскими функциями, график y = x 3 также проходит через начало координат.Его домен и диапазон равны (-∞, ∞) или также все действительные числа.

      Функции абсолютного значения

      Родительская функция функций абсолютного значения - y = | x | . Как показано на графике родительской функции, ожидается, что функции абсолютного значения вернут V-образные графики .

      Вершина y = | x | также находится в начале координат. Поскольку он проходит на обоих концах оси x, y = | x | имеет область в (-∞, ∞). Абсолютные значения никогда не могут быть отрицательными, поэтому родительская функция имеет диапазон [0, ∞) .

      Мы используем функции абсолютного значения, чтобы подчеркнуть, что значение функции всегда должно быть положительным.

      Радикальные функции

      Двумя наиболее часто используемыми радикальными функциями являются функции извлечения квадратного корня и кубического корня .

      Родительская функция функции извлечения квадратного корня - y = √x . Его график показывает, что его значения x и y никогда не могут быть отрицательными.

      Это означает, что область и диапазон y = √x равны [0, ) . Начальная точка или вершина родительской функции также находится в в начале координат . Родительская функция y = √x также увеличивается на во всей области .

      Давайте теперь изучим родительскую функцию функций кубического корня. Подобно функции извлечения квадратного корня, ее родительская функция выражается как y = x .

      На графике показано, что родительская функция имеет домен и диапазон (-∞, ∞) .Мы также можем видеть, что y = ∛x составляет , увеличиваясь во всей области .

      Экспоненциальные функции

      Экспоненциальные функции - это функции, в экспоненте которых есть алгебраические выражения. Их родительская функция может быть выражена как y = b x , где b может быть любой ненулевой константой. График родительской функции, y = e x , показан ниже, и из него мы видим, что он никогда не будет равен 0 .

      И когда x = 0, y проходит через ось y при y = 1.Мы также можем видеть, что родительская функция никогда не находится ниже оси Y, поэтому ее диапазон составляет (0, ). Его домен , однако, может быть полностью действительным числом . Мы также можем видеть, что эта функция увеличивается на во всей области.

      Одним из наиболее распространенных приложений экспоненциальных функций является моделирование роста населения и сложных процентов.

      Логарифмические функции

      Логарифмические функции являются функциями, обратными экспоненциальным функциям. Его родительская функция может быть выражена как y = log b x , где b - ненулевая положительная константа. Давайте посмотрим на график, когда b = 2 .

      Как и экспоненциальная функция, мы можем видеть, что x никогда не может быть меньше или равным нулю для y = log 2 x. Следовательно, его домен (0, ∞) . Однако его диапазон содержит все действительные числа . Мы также можем видеть, что эта функция увеличивается на во всей области.

      Мы используем логарифмические функции для моделирования природных явлений, таких как сила землетрясения.Мы также применяем его при вычислении скорости распада периода полураспада в физике и химии.

      Взаимные функции

      Взаимные функции - это функции, которые содержат числитель-константу и знаменатель x. Его родительская функция - y = 1 / x .

      Как видно из графика, ни x, ни y никогда не могут быть равны нулю. Это означает, что его домен и диапазон равны (-∞, 0) U (0, ∞) . Мы также можем видеть, что функция на убывает во всей области .

      На протяжении всего нашего пути с функциями и графиками есть много других родительских функций, но эти восемь родительских функций относятся к , наиболее часто используемым и обсуждаемым функциям .

      Вы даже можете резюмировать то, что вы узнали, создав таблицу, показывающую все свойства родительских функций.

      Как найти родительскую функцию?

      Что, если нам дана функция или ее график, и нам нужно идентифицировать ее родительскую функцию? Мы можем сделать это, запомнив важные свойства каждой функции и определив, какие из родительских графиков, которые мы обсуждали, соответствуют заданному.

      Вот несколько наводящих вопросов, которые могут нам помочь:

      • Какая наивысшая степень функции?
      • Содержит ли он квадратный корень или кубический корень?
      • Функция находится в экспоненте или знаменателе?
      • График функции увеличивается или уменьшается?
      • Каков домен или диапазон функции?

      Если мы сможем ответить на некоторые из этих вопросов путем проверки, мы сможем вывести наши варианты и в конечном итоге идентифицировать родительскую функцию.

      Давайте попробуем f (x) = 5 (x - 1) 2 . Мы видим, что наивысшая степень f (x) равна 2 , поэтому мы знаем, что эта функция является квадратичной функцией. Следовательно, его родительская функция - y = x 2 .

      Почему бы нам не построить график f (x) и также не подтвердить наш ответ?

      На графике мы видим, что он образует параболу, подтверждая, что его родительская функция равна y = x 2 .

      Просмотрите первые несколько разделов этой статьи и свои собственные заметки, а затем давайте попробуем задать несколько вопросов, чтобы проверить наши знания о родительских функциях.

      Пример 1

      Графики пяти функций показаны ниже. Какие из следующих функций не относятся к данному семейству функций?

      Решение

      Функции, представленные графиками A, B, C и E, имеют аналогичную форму, но смещены вверх или вниз. Фактически, эти функции представляют собой семейство экспоненциальных функций . Это означает, что все они имеют общую родительскую функцию: y = b x .

      С другой стороны, график D представляет логарифмическую функцию, поэтому D не принадлежит к группе экспоненциальных функций.

      Пример 2

      Какие из следующих функций не принадлежат к данному семейству функций?

      • y = 5x 2
      • y = -2x 2 + 3x - 1
      • y = x (3x 2 )
      • y = (x - 1) (x + 1)

      Решение

      Функция y = 5x 2 имеет наивысшую степень двойки, поэтому она является квадратичной функцией.Это означает, что его родительская функция y = x 2 . То же самое и для y = -2x 2 + 3x - 1. Исходя из этого, мы можем подтвердить, что рассматриваем семейство квадратичных функций.

      Применяя разность полных квадратов к четвертому варианту, получаем y = x 2 - 1. Это также квадратичная функция. Остается третий вариант.

      В развернутом виде y = x (3x 2 ) становится y = 3x 3, , и это показывает, что наивысшая степень равна 3.Следовательно, он не может быть частью данного семейства функций.

      Пример 3

      Определите родительскую функцию следующих функций на основе их графиков. Также определите область и диапазон каждой функции.

      Решение

      Начнем с f (x). Мы видим, что его график имеет параболу, поэтому мы можем сказать, что f (x) является квадратичной функцией .

      • Это означает, что f (x) имеет родительскую функцию y = x 2 .
      • График простирается по обе стороны от x, поэтому он имеет область : (-∞, ∞) .
      • Парабола никогда не опускается ниже оси x, поэтому ее диапазон составляет [0, ∞) .

      Основываясь на графике, мы видим, что значения x и y функции g (x) никогда не будут отрицательными. Они также показывают возрастающую кривую, которая напоминает график функции квадратного корня .

      • Следовательно, родительская функция g (x) равна y = √x .
      • График простирается до правой части x и никогда не меньше 2, поэтому он имеет область [2, ∞) .
      • Парабола никогда не опускается ниже оси x, поэтому ее диапазон составляет [0, ∞) .

      График h (x) показывает, что их значения x и y никогда не будут равны 0. Симметричные кривые также похожи на график обратных функций.

      • Это означает, что h (x) имеет родительскую функцию y = 1 / x.
      • Пока x и y никогда не равны нулю, h (x) по-прежнему действителен, поэтому он имеет как домен , так и диапазон (-∞, ∞) .

      Прямые линии, представляющие i (x), говорят о том, что это линейная функция.

      • Имеет родительскую функцию y = x.
      • График простирается по обе стороны от x и y, поэтому он имеет область и диапазон (-∞, ∞) .

      Пример 4

      Определите родительскую функцию для следующих функций.

      • f (x) = x 3 - 2x + 1
      • g (x) = 3√x + 1
      • h (x) = 4 / x
      • i (x) = e x + 1

      Решение

      • Наивысшая степень f (x) равна 3, поэтому это кубическая функция.Это означает, что у него есть родительская функция y = x 3 .
      • Функция g (x) имеет радикальное выражение 3√x. Поскольку у нее есть член с квадратным корнем, функция является функцией квадратного корня и имеет родительскую функцию y = √x.
      • Мы видим, что x находится в знаменателе h (x), поэтому он обратный. Следовательно, его родительская функция - y = 1 / x .
      • Показатели степени содержат x, поэтому одно это говорит нам о том, что i (x) - экспоненциальная функция.Следовательно, его родительская функция может быть выражена как y = b x , где b - константа. Для случая i (x) у нас есть y = e x в качестве его родительской функции.

      Практические вопросы

      1. Графики пяти функций показаны ниже. Какие из следующих функций не относятся к данному семейству функций?

      2. Какие из следующих функций не относятся к данному семейству функций?

      • y = 4x 3
      • y = -3x 3 + 4x 2 + 5x - 1
      • y = x (5x 2 )
      • y = (x - 1) (x + 1) (х + 2)

      3.Определите родительскую функцию следующих функций.

      • f (x) = x 3 - 2x + 1
      • g (x) = 3√x + 1
      • h (x) = 1 / (x + 1)
      • i (x) = e x + 1

      4. Определите родительскую функцию для следующих функций на основе их графиков. Также определите область и диапазон каждой функции.

      5. Опишите разницу между f (x) = -5 (x - 1) 2 и его родительской функцией. Каков домен и диапазон f (x)?

      6.Пусть a и b - две ненулевые константы. Опишите разницу между g (x) = ax + b и его родительской функцией. Каков домен и диапазон f (x)?

      Изображения / математические рисунки создаются с помощью GeoGebra.

      Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

      Функции и их графики

      Функции: \ (f \), \ (g \), \ (y \), \ (u \)
      Аргумент (независимая переменная): \ (x \)
      Набор натуральных чисел: \ (\ mathbb {N} \)
      Набор действительных чисел: \ (\ mathbb {R} \)
      Основание натурального логарифма: \ (e \)

      Натуральные числа: \ (n \)
      Целые числа: \ (k \)
      Действительные числа: \ (a \), \ (b \), \ (c \), \ (d \)
      Угол: \ (\ alpha \)
      Период функции: \ (T \)

      1. Понятие функции - одно из важнейших в математике.Это определяется следующим образом. Пусть даны два множества \ (X \) и \ (Y \). Если для каждого элемента \ (x \) в множестве \ (X \) есть ровно один элемент (изображение) \ (y = f \ left (x \ right) \) в множестве \ (Y \), то говорят, что функция \ (f \) определена на множестве \ (X \). Элемент \ (x \) называется независимой переменной, и, соответственно, выход \ (y \) функции называется зависимой переменной. Если мы рассмотрим наборы чисел \ (X \ subset \ mathbb {R} \), \ (Y \ subset \ mathbb {R} \) (где \ (\ mathbb {R} \) - множество действительных чисел), тогда функция \ (y = f \ left (x \ right) \) может быть представлена ​​в виде графика в декартовой системе координат \ (Oxy \).
      2. Четная функция
        \ (f \ left ({- x} \ right) = f \ left (x \ right) \)
      3. Нечетная функция
        \ (f \ left ({- x} \ right) = -f \ left (x \ right) \)
      4. Периодическая функция
        \ (f \ left ({x + kT} \ right) = f \ left (x \ right), \)
        где \ (k \) - целое число, \ (T \) - период функция.
      5. Обратная функция
        Дана функция \ (y = f \ left (x \ right) \). Чтобы найти обратную ему функцию, необходимо решить уравнение \ (y = f \ left (x \ right) \) для \ (x \), а затем поменять местами переменные \ (x \) и \ (y \) .{- 1}} \ left (x \ right) \). Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой \ (y = x \).
      6. Составная функция
        Предположим, что функция \ (y = f \ left (u \ right) \) зависит от промежуточной переменной \ (u \), которая, в свою очередь, является функцией независимой переменной \ (x \): \ (и = г \ влево (х \ вправо) \). В этом случае связь между \ (y \) и \ (x \) представляет собой «функцию функции» или составную функцию, которую можно записать как \ (y = f \ left ({g \ left (x \верно-верно)\).Двухслойные составные функции можно легко обобщить на произвольное количество «слоев».
      7. Линейная функция
        \ (y = ax + b, \) \ (x \ in \ mathbb {R} \).
        Здесь число \ (a \) называется наклоном прямой. Он равен тангенсу угла между прямой линией и положительным направлением оси \ (x \): \ (a = \ tan \ alpha \). {- x}}}}} {2} \ normalsize}, \) \ (х \ в \ mathbb {R}.{- x}}}} \ normalsize}, \) \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne 0. \)
      8. Функция обратного гиперболического синуса
        \ (y = {\ mathop {\ rm arcsinh} \ nolimits} \, x, \) \ (x \ in \ mathbb {R}. \)
      9. Функция обратного гиперболического косинуса
        \ (y = {\ mathop {\ rm arccosh} \ nolimits} \, x, \) \ (x \ in \ left [{1, \ infty} \ right). \)
      10. Функция обратной гиперболической касательной
        \ (y = {\ mathop {\ rm arctanh} \ nolimits} \, x, \) \ (x \ in \ left ({-1,1} \ right). \)
      11. Функция обратного гиперболического котангенса
        \ (y = {\ mathop {\ rm arccoth} \ nolimits} \, x, \) \ (x \ in \ left ({- \ infty, - 1} \ right) \ cup \ left ({1, \ infty} \ right).\)
      12. Обратная гиперболическая секущая функция
        \ (y = {\ mathop {\ rm arcsech} \ nolimits} \, x, \) \ (x \ in \ left ({0,1} \ right]. \)
      13. Обратная гиперболическая функция косеканса
        \ (y = {\ mathop {\ rm arccsch} \ nolimits} \, x, \) \ (x \ in \ mathbb {R}, \; x \ ne 0. \)

      Свойства функций и графиков

      Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

      Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

      Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

      Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

      Вы должны включить следующее:

      Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса - изображению, ссылке, тексту и т. д. - относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

      Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

      Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
      101 S. Hanley Rd, Suite 300
      St. Louis, MO 63105

      Или заполните форму ниже:

      .

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

      2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
      тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск