Угол ВАС + 55° + 90° = 180°

Угол ВАС = 35°

Нахождение центра круга

Мы можем использовать эту идею, чтобы найти центр круга:

• начертите прямой угол из любого места на окружности круга, затем нарисуйте диаметр в том месте, где две ножки касаются круга
• сделайте это снова, но с другим диаметром

Там, где пересекаются диаметры, находится центр!

Рисование круга

Когда мы знаем две противоположные точки на окружности, мы можем нарисовать эту окружность.

Вставьте несколько булавок или гвоздей в эти точки и используйте строительный угольник, например:

Циклический четырехугольник

Пример: Каков размер угла WXY?

Противоположные углы вписанного четырехугольника в сумме дают 180°

Угол WZY + Угол WXY = 180°

69° + угол WXY = 180°

Угол WXY = 111°

Доказательство теоремы Пифагора Евклида – Написание антологии

Евклидово доказательство теоремы Пифагора

Кэтрин Лоу ’18

MATH-386: Математический семинар

Статья Кэтрин представляет собой очень подробное изложение евклидовского доказательства теоремы Пифагора. Это доказательство не часто встречается за пределами курса геометрии для бакалавров. Кэтрин взялась за доказательство без предварительной работы по геометрии. Она работала, чтобы понять материал, а затем представила его логически и математически. Ее объяснения показывают полное понимание математических понятий, они подробны и ясны. Она использует сложные и утонченные математические рассуждения. Она правильно использует терминологию и обозначения во всей своей статье (в которой много обозначений). Ее статья является самостоятельным, математически простым для понимания (для тех, у кого есть опыт чтения доказательств) и логическим продолжением евклидовского доказательства теоремы Пифагора.

– Венди Вебер

В этой статье делается попытка доказать важную теорему из «Элементов» Евклида: доказательство Евклида теоремы Пифагора. Статья начинается с введения в «Элементы» и их истории. Далее в статье устанавливаются некоторые основополагающие принципы доказательств Евклида: определения, постулаты и общие понятия. Затем он перечисляет и объясняет некоторые из более ранних утверждений, которые необходимы для завершения более поздних доказательств.Затем доказывается предложение I.47, теорема Пифагора, за которым следует предложение I.48, обратное ему.

Одна из величайших работ по математике — «Начала» Евклида; Автор Уильям Данэм утверждает, что из всех когда-либо написанных книг «только Библия подверглась более тщательному изучению» (30). Элементы содержали 465 предложений в 13 книгах, охватывающих темы как геометрии, так и теории чисел. Следует отметить, что большинство теорем изначально не были работой Евклида, но он собрал работы других и представил их «ясно, организованно, логично» (Dunham 31).Одним из таких утверждений было доказательство Евклидом теоремы Пифагора. Евклид не был первым, кто доказал это, но этот постулат, в отличие от многих других, был полностью его собственной работой. Были опубликованы сотни доказательств теоремы Пифагора (Колпас), но доказательство Евклида было уникальным как по своему подходу, так и по своей организации, как и остальные «Элементы». Написанные в 300 г. до н.э., «Начала» Евклида остаются, пожалуй, самым важным текстом по математике.

Евклид начал «Элементы» с 23 определений.Он определил такие вещи, как линия, прямой угол и параллельные линии: «Параллельные прямые линии — это прямые линии, которые, находясь в одной плоскости и производясь бесконечно в обоих направлениях, не пересекаются друг с другом ни в одном направлении» (Данхем 33). . Обратите внимание, что Евклид определял параллельные прямые как линии, которые никогда не пересекаются, а не равноудаленные от них везде, как это часто делается.

Отсюда Евклид ввел пять постулатов. Это были самоочевидные утверждения, построенные на определениях; их не нужно было доказывать, и они принимались как данность.Постулат 1 гласил: «[Возможно] провести прямую линию из любой точки в любую точку» (Данхем 34). Другим важным постулатом, использованным в его доказательстве теоремы Пифагора, был постулат 4: «Все прямые углы равны друг другу» (Данхем 35). Для любого, кто изучал геометрию, эти утверждения неоспоримы, что и имел в виду Евклид.

Рисунок 1: Постулат 5

Самым противоречивым аспектом «Элементов» Евклида был постулат 5. В нем говорилось: «Если прямая линия, падающая на две прямые, образует внутренние углы с одной и той же стороны меньше двух прямых, то две прямые, если их провести бесконечно, пересекутся на та сторона, на которой углы меньше двух прямых» (Данэм 35).Другими словами, если α + β меньше двух прямых углов, прямые AB и CD пересекаются в некоторой точке (рис. 1). Этот постулат был гораздо сложнее и менее очевиден, чем предыдущие; многие математики считали, что на самом деле это была теорема, и ее не следует принимать за истину. Евклид, понимая это мнение, избегал использования постулата 5 в своих предложениях. Он вообще не использовал его в первых 28 предложениях.

Следуя постулатам, Евклид ввел пять общих понятий. Как и постулаты, это были признанные факты, которые не требовалось доказывать; однако общие понятия носили «более общий характер, не специфичный для геометрии», в отличие от постулатов (Dunham 36). Общее понятие 1 было эквивалентом транзитивного свойства сложения: «Вещи, которые равны одной и той же вещи, также равны друг другу» (Dunham 36). Общее понятие 2 гласило: «Если равные прибавляются к равным, все становится равным» (Dunham 36). С алгебраической точки зрения, если a = b, то a + c = b + c.

Чтобы доказать теорему Пифагора, Евклид использовал выводы из своих более ранних доказательств. Мы рассмотрим предложения, необходимые для доказательства этой и других теорем.

Рисунок 2: Предложение I.4

Рисунок 3: Предложения I.13 и I.14

Предложение I.4 доказало конгруэнтность двух треугольников; это широко известно как теорема сторона-угол-сторона, или SAS. Евклид доказал, что «если у двух треугольников две стороны и угол между ними равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого, то такие треугольники конгруэнтны во всех отношениях» (Данхем 39). На рисунке 2, если AC = DF, AB = DE и ∠CAB = ∠FDE, то эти два треугольника конгруэнтны. Это означает, что не только оставшиеся стороны и углы равны, но и два треугольника имеют одинаковую площадь.

В предложении I.8 Евклид доказал еще одну теорему сравнения. Если у двух треугольников все три стороны одного треугольника равны всем трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Это называется теоремой сторона-сторона-сторона, или SSS.

Евклид показал, как построить прямую, перпендикулярную другой прямой в предложении I.11. Он показал, что эту прямую можно провести из точки на прямой или из точки, не лежащей на прямой. Это предложение было одним из многих конструктивных доказательств. Предложение I.14 рассматривается, когда линия прямая. В I.13 Евклид показал, что если линия CBD на рисунке 3 прямая, то сумма углов ∠CBA и ∠ABD составляет два прямых угла.

Рисунок 4: Предложение I.16

Предложение I.14 противоположно этому: если ∠CBA и ∠ABD в сумме дают два прямых угла, то линия CBD является прямой линией. Предложение I.16 гласит: «В любом треугольнике, если одна из сторон произведена, внешний угол больше любого из внутренних и противоположных углов» (Данэм 41). То есть на рисунке 4 ∠DCA больше, чем ∠CBA или ∠BAC. Чтобы доказать это, Евклид разделил пополам отрезок AC линией BF, где BE = EF. Затем он нарисовал отрезок FC. Поскольку AE = EC по делению пополам, BE = EF по построению и ∠1 = ∠2 (поскольку вертикальные углы равны), мы видим, что ∆AEB и ∆CEF конгруэнтны по SAS, постулат I.4.Ясно, что ∠DCA больше, чем ∠FCE, а поскольку ∠FCE = ∠BAE, ∠DCA больше внутреннего угла ∠BAC. Аналогичным образом Евклид показал, что ∠DCA также больше внутреннего угла ∠CBA.

В предложении I.27 Евклид доказал, что «если прямая, падающая на две прямые, делает противоположные углы равными друг другу, прямые будут параллельны» (Данхем 44). Учитывая, что углы 1 и 2 на рис. 5 равны, он предположил, что прямые AB и CD пересекаются в точке G, и искал противоречие.В треугольнике, согласно предложению I.16, внешний угол ∠2 больше любого внутреннего угла. Однако, поскольку ∠1 = ∠2, имеем противоречие. Следовательно, прямые AB и CD никогда не пересекаются и по определению параллельны.

Рисунок 5: Предложение I.27

Другое доказательство конструкции было дано в предложении I.31. Здесь Евклид показал, как построить прямую, параллельную данной прямой, через точку, не принадлежащую данной прямой.

Рисунок 6: Предложение I.32

Предложение I.32 — хорошо известный факт геометрии: три внутренних угла любого треугольника в сумме дают два прямых угла. На рисунке 6 Евклид построил линию CE, параллельную линии BA. Следовательно, ∠1 равно ∠4, а ∠2 равно ∠5, как показано в предложении I.29. Итак, сумма внутренних углов ΔABC составила: ∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠4 + ∠5 + ∠3 = 2 прямых угла.

Это уравнение верно, потому что прямая BCD — прямая, равная двум прямым углам по Предложению I.14 (Данхэм 46).

В предложении I.41 Евклид доказал эквивалент уравнения A = ½bh для площади треугольника. Он показал, что если треугольник и параллелограмм имеют общее основание и лежат между одними и теми же параллельными прямыми (то есть имеют одинаковую высоту), то площадь параллелограмма вдвое больше площади треугольника. На рисунке 7 треугольник и параллелограмм делят отрезок базовой линии AB и попадают между параллельными прямыми AB и CD. Согласно предложению I.41, площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.

Рисунок 7: Предложение I.41

Последней теоремой, необходимой Евклиду для доказательства теоремы Пифагора, было предложение I.46. Здесь он показал, как построить квадрат из заданного отрезка. Следующим предложением было его доказательство теоремы Пифагора.

Теорема: В прямоугольных треугольниках квадрат стороны, опирающейся на прямой угол, равен квадратам сторон, образующих прямой угол (Данэм 48).

В отличие от типичного алгебраического понимания теоремы Пифагора как a² + b² = c², Евклид построил фактические квадраты BCED, ABFG и ACKH из сторон прямоугольного треугольника ΔABC, используя предложение I.46 (рис. 8). Эта форма стала называться «ветряной мельницей», когда доказательство Евклида стало популярным. Евклид стремился доказать, что площадь BCED равна сумме соответствующих площадей ABFG и ACKH.

Рисунок 8: «Ветряная мельница»

Рисунок 9: Треугольники ΔABD и ΔFBC

Евклид использовал предложение I.31, чтобы провести линию AL через A параллельно линии BD. Отсюда Евклид стремился доказать, что площадь квадрата ABFG равна площади прямоугольника BDLM, а площадь квадрата ACKH равна площади прямоугольника CELM. Чтобы показать, что отрезки CA и AG лежат на одной прямой, Евклид отметил, что ∠BAC был прямым углом по гипотезе, а ∠GAB был прямым углом по построению квадрата. Таким образом, два угла в сумме дают два прямых угла; по предложению I.14 прямая CG — прямая.

Используя постулат 1, Евклид провел отрезки AD и FC, образовав треугольники ΔABD и ΔFBC (рис. 9). Поскольку они являются сторонами одного квадрата, AB по построению равен FB. Аналогично, BD = BC. Мы видим, что: ∠ABD = ∠ABC + ∠CBD = ∠ABC + (прямой угол)

Аналогично, ∠FBC = ∠ABC + ∠FBA = ∠ABC + (прямой угол)

Следовательно, по постулату 4, который утверждает, что все прямые углы равны: ∠ABD = ∠ABC + (прямой угол) = ∠FBC

По предложению I. 4, доказывающему теорему сторона-угол-сторона, ΔABD и ΔFBC конгруэнтны, поскольку AB = FB, BD = BC и ∠ABD = ∠FBC.Используя предложение I.41, Евклид заметил, что площадь ΔABD и прямоугольника BDLM имеют общий отрезок базовой линии BD и лежат между параллельными прямыми BD и AL. Таким образом, площадь (прямоугольник BDLM) = 2 площади (ΔABD)

Точно так же ΔFBC и квадрат ABFG имеют общий отрезок базовой линии BF и попадают между параллельными прямыми BF и CG, поскольку мы показали, что CG действительно является прямой линией. Итак, Площадь (квадрат ABFG) = 2 Площадь (ΔFBC)

Мы уже показали, что ΔABD и ΔFBC конгруэнтны по SAS, поэтому мы можем заключить: Площадь (прямоугольник BDLM) = 2 Площадь (ΔABD) = 2 Площадь (ΔFBC) = Площадь (квадрат ABFG)

Следовательно, площадь (прямоугольник BDLM) = площадь (квадрат ABFG)

Рисунок 10: Треугольники ΔACE и ΔKCB

Евклид наполовину закончил свое доказательство.Затем он использовал аналогичный метод, чтобы показать, что площадь квадрата ACKH равна площади прямоугольника CELM. Отрезки AE и BK он провел так, чтобы получились треугольники ΔACE и ΔKCB (рис. 10). Поскольку ∠BAC — прямой угол по условию, а ∠CAH — прямой по построению, ∠BAH в сумме составляет два прямых угла, и по предложению I.14 прямая BAH — прямая.

Затем Евклид показал, что ΔACE конгруэнтно ΔKCB. Стороны AC и CK — две стороны одного квадрата, поэтому их длины равны. Точно так же BC и CE равны.Затем он доказал, что ∠KCB = ∠ACE: ∠KCB = ∠BCA + ∠ACK = ∠BCA + (прямой угол). Кроме того, ∠ACE = ∠BCA + ∠BCE = ∠BCA + (прямой угол). Следовательно, ∠KCB = ∠BCA + (прямой угол) = ∠ACE

Поскольку ΔACE и ΔKCB имеют две стороны и их внутренние углы равны, ΔACE конгруэнтно ΔKCB по SAS.

Возвращаясь к предложению I.41, Евклид заметил, что ΔACE и прямоугольник CELM имеют общее основание CE и попадают между параллельными прямыми CE и AL. Таким образом, Площадь (прямоугольник CELM) = 2 Площадь (ΔACE)

Кроме того, ΔKCB и квадрат ACKH имеют общее основание CK и попадают между параллельными прямыми CK и BH, поскольку мы уже доказали, что линия BH является прямой линией. Таким образом, Площадь (квадрат ACKH) = 2 Площадь (ΔKCB)

Поскольку ΔKCB и ΔACE конгруэнтны, их площади равны: Площадь (прямоугольник CELM) = 2 Площадь (ΔACE) = 2 Площадь (ΔKCB) = Площадь (квадрат ACKH)

Следовательно, площадь (прямоугольник CELM) = площадь (квадрат ACKH)

Наконец, поскольку площадь (квадрат BCED) = площадь (прямоугольник BDLM) + площадь (прямоугольник CELM)

имеем: Площадь (квадрат BCED) = Площадь (прямоугольник BDLM) + Площадь (прямоугольник CELM) = Площадь (квадрат ABFG) + Площадь (квадрат ACKH)

Итак, мы видим, что площадь квадрата на стороне, противоположной прямому углу, равна сумме площадей квадратов на двух других сторонах.Доказательство Евклида завершено.

Хотя теорема Пифагора хорошо известна, немногие знакомы с доказательством ее обратной. Евклид немедленно последовал за предложением I.47 с доказательством обратной теоремы Пифагора в I.48.

Рисунок 11: Предложение I. 48

Теорема: Если в треугольнике квадрат одной из сторон равен квадратам двух оставшихся сторон треугольника, то угол между оставшимися двумя сторонами треугольника прямой.

Из этой гипотезы Евклид построил ΔABC, приняв BC² = AB² + AC² (рис. 11). Затем он показал, что угол ∠BAC прямой. Он провел отрезок AE перпендикулярно AC, используя Предложение I.11. Затем он построил AD = AB и соединил D с C отрезком CD. Теперь у него было два треугольника: ΔBAC и ΔDAC.

Треугольники имеют общую сторону AC, и AD = AB по построению. Поскольку отрезки AC и AE перпендикулярны, угол ∠DAC должен быть прямым. По теореме Пифагора CD² = AD² + AC²

Замена AD = AB, CD² = AD² + AC² = AB² + AC²

Из нашей гипотезы CD² = AB² + AC² = BC²

Поскольку CD² = BC², CD должен быть равен BC.Поскольку все три стороны равны по длине, ΔBAC и ΔDAC конгруэнтны по SSS, предложение I.8. Но если они конгруэнтны, то ∠DAC = ∠BAC, поэтому угол ∠BAC должен быть прямым. Таким образом, обратная теорема Пифагора доказана.

Доказательство Евклидом теоремы Пифагора — лишь одно из 465 доказательств, включенных в «Элементы». В отличие от многих других доказательств в его книге, этот метод, скорее всего, был его собственной работой. Его доказательство уникально по своей организации, оно использует только определения, постулаты и предложения, истинность которых он уже доказал.Доказательство Евклида использует геометрический подход, а не алгебраический; обычно теорема Пифагора рассматривается в терминах a² + b² = c², а не в виде реальных квадратов. Другие предложения в «Элементах» содержат тот же уровень организации, ясности и изобретательности, что и предложения I.47 и I.48. «Начала» Евклида — математический шедевр, вполне заслуживающий внимания.

Процитировано работ

Данэм, Уильям. «Доказательство Евклида теоремы Пифагора». Путешествие через гениев: великие теоремы математики.Нью-Йорк: Wiley Science Editions, 1990. 27–60. Распечатать.

Колпас, Сид Дж. «Математическое сокровище: доказательство теоремы Пифагора Джеймса А. Гарфилда». Математическая ассоциация Америки.
Математическая ассоциация Америки, 2016. Интернет. 9 апреля 2017 г.

Теорема о центральном угле. В геометрии центральный угол опирается… | by Wojciech Wieczorek

В геометрии центральный угол, опирающийся на дугу, в два раза больше любого вписанного угла той же дуги.

Если бы ваш учитель математики начал урок с вопроса о ваших ассоциациях с теоремой о центральном угле, вы бы ответили, говоря о теореме Фалеса? Если да, то ответ будет: «Да, но только на одну треть.Это потому, что дуга, на которую можно опираться вписанным углом, может иметь полуокружность, большую или малую длину. Полукруг известен как теорема Фалеса. И мы начнем сначала с его объяснения; но непосредственно перед началом, для удобства чтения, давайте ознакомимся с определениями, которые будут использоваться.

Вершина: точка пересечения двух линий (в нашем случае).
Диаметр: Любой отрезок прямой линии, проходящий через центр окружности и концы которого лежат на этой окружности.Существует бесконечное количество возможностей для его рисования.
Хорда: отрезок прямой линии, соединяющий любые две точки на окружности, где диаметр является самым длинным.
Дуга: часть окружности круга.
Центральный угол: угол в центре круга между двумя радиусами.
Вписанный угол: угол вершины окружности между ее хордами.
Угол, образуемый дугой: Вершина, концы хорд которой охватывают данную дугу.

Когда диаметр проходит через центр окружности, то центральный угол, образуемый дугой полуокружности, равен просто 180° , без сомнения. И, если теория верна, любой вписанный угол, концы хорд которого лежат в соответствующих концах этого диаметра, должен быть вдвое меньше — 90° . Таким образом, у нас получился бы прямоугольный треугольник, где диаметр — это гипотенуза.

Обозначим концы диаметра как A и A’, их углы как α и α’, и вершину этого вписанного угла, ß , как B. Соединив их, мы получили треугольник. Более того, это будет прямоугольный треугольник, так как вписанный угол прямой; с диаметром, являющимся его гипотенузой.

Это выглядит так:

Готовы? Устойчивый? Идти! Чтобы доказать эту чрезвычайно полезную теорему.

Геометрическое доказательство для удобства

Обратите внимание, что отрезки от центра O окружности до вершин являются ее радиусами. И они делят треугольник AA’B на два других, но не на любые треугольники.Они должны быть равнобедренными, потому что у каждого две равные стороны, равные радиусу нашей окружности.

При этом оба угла между сторонами радиуса и 3-м коленом должны быть равны; следовательно, ß=α+α’.

А мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180° . Сложив все треугольники AA’B , мы получим:

Итак, действительно угол ß прямой.

qed

Доказательство Пифагора для небольшого развлечения

Первоначально я назвал этот раздел «Доказательство Пифагора», но мне так понравилось его писать, что пришлось обозначить дополнительное «для небольшого развлечения». здесь.

Считаем, что вписанный угол ∠ABA’, вдвое меньше центрального угла, прямой. Если это так, то должна выполняться теорема Пифагора.

Не беспокойтесь об угле θ ; это будет объяснено через секунду, но сначала давайте применим формулу, чтобы показать то, что мы пытаемся доказать, а именно:

Это θ — это просто угол, на который линия наклонена от начала координат. Вот и все.

Имея его, мы могли разложить нашу линию на составляющие по оси.И с небольшой помощью тригонометрии мы смогли их вычислить: компонент, записанных таким образом, известны как полярные координаты.

Вернемся к самому доказательству. Нам нужно разложить стороны по прямому углу на x, y -компонент, а затем по теореме Пифагора соединить обе их длины.

Длина AB :

Обратите внимание, что компонент x- представляет собой сложение r и r ⋅ cosθ .В то время как и состоят из одного значения.

Длина A’B :

Здесь стоит упомянуть длину x-компоненты, в отличие от той же ранее, заставляющей нас вычесть из r r ⋅ cosθ . Также посмотрите и сравните y-компоненты: они равны. Что, если подумать об этом, не должно быть сюрпризом.

Теперь мы можем вернуться к нашей исходной формуле, подставить эти значения и проверить, равны ли ее стороны или нет.

Как видно, все правильно — так и будет.

q.e.d

Что отличает большой (и малый) случай от случая Фалеса, так это тот факт, что теперь радиусы не образуют диаметр. Эти радиусы создают больший центральный угол, чем 180° . Это означает, что, если теорема все еще верна, любой вписанный угол, меньший в два раза, больше, чем 90° .

Это выглядит так:

Геометрическое доказательство

Для доказательства этого (и следующего) случая необходимы три вещи.Два из них нам уже известны: Отрезки от центра окружности до каждой вершины — это радиусы. И они делят нашу фигуру на два равнобедренных треугольника. Но какой третий?

Если «скопировать» OB, и повернуть вокруг перпендикулярной оси, отметив противоположную точку на окружности как B’ , то получится диаметр.

Теперь, проведя по одной дополнительной хорде от B’ к каждому A и A’ , мы могли бы разделить всю эту задачу на две, скажем, левую и правую.Где оба могут быть исследованы по теореме Фалеса, потому что BB’ — это диаметр, центральный угол равен 180° , а вписанный угол ∠BAB’ и ∠BA’B’ равен 90° . Конечно, ABB’ , A’BB’ — прямоугольные треугольники.

Левый выглядит так:

Найдя угол ∠AOB’ , мы узнаем, какова левая часть центрального угла. Что это может быть? Угол ∠BAB’ равен 90° , но так как его верхняя часть равна α , то нижняя часть должна быть 90°-α , а угол ∠AB’O должен быть таким же ! Итак, суммируя углы нижнего треугольника, получаем:

Таким образом, левая часть центрального угла действительно в два раза больше α.

Разложенная правая часть выглядит так:

И делаем все так же, как и с левой частью, получаем:

Значит, действительно, центральный угол в два раза больше любого вписанного, опирающегося на ту же дугу.

ч.д.д

Последний случай, когда центральный угол меньше 180° . Все шаги идентичны основному случаю. Но сначала давайте посмотрим, как это выглядит:

Геометрическое доказательство

Что мы делаем, так это предоставляем диаметр BB’ , который снова разделит нашу задачу на левую и правую части.

Левый:

Угол ∠BAB’ равен 90° , а его верхняя часть α . Таким образом, нижняя часть должна быть 90°-α. Угол ∠AB’O должен быть точно таким же. Таким образом, сумма углов нижнего треугольника:

После применения ситуация следующая:

Правый:

И в последний раз вписанный угол ∠BA’B’ равен 90 ° . Поскольку его верхняя часть равна α’ , нижняя должна быть равна 90°-α’ .Также угол ∠A’B’O имеет такой же размер. Суммируя углы нижнего треугольника, мы получаем:

, что дает:

Итак, в этом случае теорема о центральном угле также работает.

qed

Геометрия — 1206310 | CPALMS.org

В этом интерактивном учебном пособии в стиле ретро-видеоигры изучите процессы построения для построения биссектрисы угла, копирования угла и построения линии, параллельной заданной линии, через точку, не лежащую на этой линии, с помощью различных инструментов.

ПРИМЕЧАНИЕ. В этом учебном пособии используется как построение биссектрисы угла, так и построение для копирования угла в качестве возможности расширения, чтобы также построить линию, параллельную заданной линии, через точку, не находящуюся на линии. Учащиеся также учатся определять соответствующие углы, образующиеся при пересечении секущей параллельных прямых, и обнаруживают с помощью Geogebra, что эти углы равны.

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

Это вторая часть серии из двух частей. Научитесь выявлять ошибочные рассуждения в этой серии интерактивных руководств. Вы узнаете, что некоторые эксперты говорят о круглогодичных школах, какие исследования были проведены по поводу их эффективности и какие аргументы можно привести за и против круглогодичного обучения. Затем вы прочитаете речь в пользу круглогодичных школ и определите ошибочные рассуждения в аргументе, в частности использование поспешных обобщений.

Обязательно завершите первую часть перед второй! Нажмите ЗДЕСЬ , чтобы запустить первую часть.

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

Узнайте, как легко Кэти создает круговой логотип с надписью на шаблоне треугольного вымпела своей компании. Если она выполнит задание первой, она выиграет бонус в размере 1000 долларов США! Следуйте этому интерактивному руководству.

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

Научитесь выявлять ошибочные рассуждения в этом интерактивном учебном пособии по английскому языку, состоящем из двух частей. Вы узнаете, что некоторые эксперты говорят о круглогодичных школах, какие исследования были проведены по поводу их эффективности и какие аргументы можно привести за и против круглогодичного обучения.Затем вы прочитаете речь в пользу круглогодичных школ и определите ошибочные рассуждения в аргументе, в частности использование поспешных обобщений.

Обязательно завершите обе части этой серии! Нажмите ЗДЕСЬ , чтобы открыть вторую часть.

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

Спланируйте экспедицию на байдарке, научившись выполнять основные геометрические построения, включая копирование сегмента, построение биссектрисы сегмента, построение перпендикулярной биссектрисы сегмента и построение перпендикулярных сегментов с помощью различных инструментов в этом интерактивном учебном пособии.

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

Изучите инаугурационную речь президента Джона Ф. Кеннеди в этом интерактивном руководстве. Вы изучите аргумент Кеннеди, основное утверждение, более мелкие утверждения, причины и доказательства.

В четвертой части вы будете использовать то, что вы узнали из этой серии, чтобы оценить общую аргументацию Кеннеди.

Обязательно завершите предыдущие части этой серии перед тем, как приступить к части 4.

• Нажмите ЗДЕСЬ , чтобы запустить первую часть.
• Нажмите  ЗДЕСЬ  , чтобы запустить вторую часть.
• Нажмите  ЗДЕСЬ  , чтобы запустить третью часть.

Тип: оригинальное учебное пособие для учащихся

Узнайте, как построить вписанный квадрат в круг и почему в этом интерактивном руководстве используются определенные конструкции.

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

Изучите инаугурационную речь президента Джона Ф. Кеннеди в этом интерактивном руководстве. Вы изучите аргумент Кеннеди, основное утверждение, более мелкие утверждения, причины и доказательства.К концу этой серии из четырех частей вы должны быть в состоянии оценить его общую аргументацию.

В третьей части вы прочтете больше о речи Кеннеди и определите меньшее утверждение в этом разделе его речи. Вы также оцените соответствие этого меньшего утверждения основному утверждению и оцените причины и доказательства Кеннеди.

Обязательно выполните все четыре части этой серии!

• Нажмите ЗДЕСЬ , чтобы запустить первую часть.
• Нажмите  ЗДЕСЬ  , чтобы запустить вторую часть.
• Нажмите ЗДЕСЬ , чтобы запустить четвертую часть.

Тип: оригинальное учебное пособие для учащихся

Найдите расположение и зону покрытия вышек сотовой связи, чтобы определить центр и радиус круга по его уравнению, используя стратегию заполнения квадрата в этом интерактивном руководстве.

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

Узнайте, как построить вписанный правильный шестиугольник и равносторонний треугольник в окружность в этом интерактивном учебном пособии.

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

Узнайте, как описать окружность вокруг треугольника в этом интерактивном руководстве по конструкциям.Возьмите циркуль, линейку, карандаш и бумагу, чтобы следовать!

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

В этом интерактивном учебном пособии вы узнаете, как найти точку на направленном отрезке, которая делит его в заданном отношении.

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

Узнайте, как написать уравнение окружности, используя теорему Пифагора , зная ее центр и радиус, используя пошаговые инструкции в этом интерактивном руководстве.

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

Это вторая часть серии руководств, состоящей из двух частей.В этом интерактивном учебном пособии вы потренируетесь определять цель говорящего, используя речь пионера авиации Амелии Эрхарт. Вы изучите использование ею риторических призывов, включая этос, логос, пафос и кайрос. Наконец, вы оцените эффективность использования Эрхартом риторических призывов.

Обязательно сначала выполните первую часть. Щелкните здесь, чтобы запустить ЧАСТЬ ПЕРВУЮ.

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

Это первая часть серии руководств, состоящей из двух частей. В этом интерактивном учебном пособии вы потренируетесь определять цель говорящего, используя речь пионера авиации Амелии Эрхарт. Вы изучите использование ею риторических призывов, включая этос, логос, пафос и кайрос. Наконец, вы оцените эффективность использования Эрхартом риторических призывов.

Щелкните здесь, чтобы запустить ЧАСТЬ ВТОРАЯ .

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

Попрактикуйтесь в написании различных аспектов описательного эссе об ученых, использующих дроны для исследования ледников в Перу.Этот интерактивный учебник является четвертой частью серии из четырех частей. В этом заключительном уроке вы узнаете об элементах основного абзаца. Вы также создадите основной абзац с подтверждающими доказательствами. Наконец, вы узнаете об элементах заключения и потренируетесь в создании «подарка».

Это руководство является четвертой частью серии из четырех частей. Нажмите ниже, чтобы открыть другие руководства из этой серии.

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

Узнайте, как написать введение для описательного эссе в этом интерактивном руководстве.Этот учебник является третьей частью серии из четырех частей. В предыдущих уроках этой серии учащиеся проанализировали информационный текст и видео об ученых, использующих дроны для исследования ледников в Перу. Студенты также определили центральную идею и важные детали текста и написали эффективное резюме. В третьей части вы узнаете, как написать введение для описательного эссе об исследованиях ученых.

Это руководство является третьей частью серии из четырех частей. Нажмите ниже, чтобы открыть другие руководства из этой серии.

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

С помощью этого интерактивного учебного пособия вы научитесь строить биссектрису отрезка прямой с помощью линейки и циркуля.

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

Сравните и сопоставьте митоз и мейоз в этом интерактивном руководстве. Вы также свяжете их с процессами полового и бесполого размножения и их последствиями для генетической изменчивости.

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

Узнайте, как определить форму поперечного сечения, созданного пересечением секущей плоскости с пирамидой или призмой, в этом интерактивном учебном пособии на тему ниндзя.

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

В этом интерактивном учебном пособии вы узнаете, как использовать тригонометрические соотношения для определения высоты известных памятников и решить задачу из реальной жизни.

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

Используйте свойства, постулаты и теоремы, чтобы доказать теорему о треугольнике.В этом интерактивном уроке вы также узнаете, как доказать, что линия, параллельная одной стороне треугольника, пропорционально делит две другие стороны.

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

Изучите взаимосвязь между мутациями, клеточным циклом и неконтролируемым ростом клеток, который может привести к раку, с помощью этого интерактивного руководства.

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

В этом задании учащимся предлагается использовать сходство для решения задачи в контексте, который будет знаком многим, хотя большинство учащихся привыкли использовать интуицию, а не геометрические рассуждения, для подготовки кадра.

Тип: Задача решения проблем

В этой задаче учащимся дается изображение двух треугольников, которые кажутся подобными, но сходство которых нельзя доказать без дополнительной информации. Попросите учащихся предоставить последовательность преобразований подобия, которая отображает один треугольник в другой, используя определение подобия в терминах преобразований подобия.

Тип: Задача решения проблем

Целью этого задания является привлечение учащихся к геометрическому моделированию и, в частности, к выводу алгебраических взаимосвязей между переменными, вытекающими из геометрических ограничений.

Тип: Задача решения проблем

Используя таблицу диаметров монет разного достоинства, учащихся просят определить, сколько монет помещается вокруг центральной монеты.

Тип: Задача решения проблем

В этой задаче учащимся предлагается смоделировать явления на поверхности земли, исследуя видимость лампы маяка с лодки.

Тип: Задача решения проблем

Это задание на решение задач побуждает учащихся исследовать, почему солнечные затмения случаются редко, путем изучения радиуса Солнца и самого дальнего расстояния между Луной и Землей.

Тип: Задача решения проблем

Это задание на решение проблемы дает учащимся возможность доказать факт о четырехугольниках: если мы соединим середины произвольного четырехугольника, чтобы образовать новый четырехугольник, то новый четырехугольник будет параллелограммом, даже если первоначальный четырехугольник таковым не был.

Тип: Задача решения проблем

Это задание вовлекает учащихся в открытое задание по моделированию, в котором используется подобие прямоугольных треугольников.

Тип: Задача решения проблем

Это базовое задание по геометрии, предназначенное для того, чтобы помочь учащимся развить некоторые основные геометрические свойства, которые на первый взгляд могут показаться довольно очевидными.В этом случае основное свойство, о котором идет речь, состоит в том, что кратчайший путь от точки к линии встречается с линией под прямым углом, что имеет решающее значение для многих дальнейших разработок предмета.

Тип: Задача решения проблем

Это дает возможность смоделировать конкретную ситуацию с помощью математики. После того, как репрезентативная картина ситуации, описанной в задаче, будет нарисована (преподаватель может дать здесь указания по мере необходимости), решение задачи требует понимания определения функции синуса.

Тип: Задача решения проблем

В этом задании учащимся предлагается сделать выводы о линии после того, как она была увеличена в 2 раза.

Тип: Задача решения проблем

Цель этого задания — смоделировать знакомый объект, олимпийскую трассу, используя геометрические фигуры. Расчеты периметров этих фигур объясняют ступенчатый старт бегунов в беге на 400 метров.

Тип: Задача решения проблем

В этой задаче геометрия применяется к 400-метровой дорожке, чтобы найти ее периметр.

Тип: Задача решения проблем

В этом задании типографская сетка служит фоном для стандартной скрепки.Метрическая шкала измерений нарисована поперек нижней части сетки, а скрепка проходит в обоих направлениях немного за пределы сетки. Ученикам дают примерную длину скрепки и определяют количество одинаковых скрепок, сделанных из проволоки заданной длины.

Тип: Задача решения проблем

В этом задании учащиеся сделают набросок бумажной обертки от рожка для мороженого, с помощью этого наброска выведут формулу площади поверхности обертки и оценят максимальное количество оберток, которые можно вырезать из прямоугольного листа бумаги. .

Тип: Задача решения проблем

В этом задании на решение задач учащиеся должны найти площадь поверхности банки из-под газировки, вычислить, сколько кубических сантиметров алюминия она содержит, и оценить ее толщину.

Тип: Задача решения проблем

Это задача математического моделирования, направленная на разумную оценку чего-то, что слишком велико для точного подсчета, а именно количества листьев на дереве.

Тип: Задача решения проблем

Это задача математического моделирования, направленная на разумную оценку чего-то, что слишком велико для точного подсчета, а именно количества листьев на дереве.

Тип: Задача решения проблем

В этом задании по решению проблем учащимся предлагается применить понятия массы, объема и плотности в контексте реального мира, чтобы определить, сколько клеток содержится в организме человека.

Тип: Задача решения проблем

Отражая современность используемых технологий, это сложная задача по геометрическому моделированию, в которой учащиеся с нуля открывают для себя геометрические принципы, лежащие в основе программного обеспечения, используемого системами GPS.

Тип: Задача решения проблем

В этом задании на решение задач используется сказка об Архимеде и короне царя Сиракуз, чтобы определить объем и массу золота и серебра.

Тип: Задача решения проблем

Цель этого задания — познакомить учащихся с алгебраическим подходом к хорошо известному результату классической геометрии, а именно к тому, что точка X лежит на окружности диаметра AB, если угол ?AXB прямой

Тип: Задача решения проблем

В этом задании на решение задач учащимся предлагается найти площадь треугольника, используя единичные квадраты и отрезки.

Тип: Задача решения проблем

Это задание на решение проблем побуждает учащихся использовать идеи о линейных функциях, чтобы определить, когда определенные углы являются прямыми углами.

Тип: Задача решения проблем

Целью задания является анализ правдоподобного сценария реальной жизни с использованием геометрической модели. Задача требует знания формул объема для цилиндров и конусов, некоторых геометрических рассуждений, связанных с подобными треугольниками, а также уделяет внимание разумным приближениям и поддержанию разумного уровня точности во всем.

Тип: Задача решения проблем

В этом задании на решение задач учащимся предлагается показать отражение одного треугольника в другом треугольнике.

Тип: Задача решения проблем

В этой задаче мы рассматривали SSA.Критерии соответствия треугольника, SSS, SAS, ASA, требуют трех частей информации. Интересно, однако, что не всех трех частей информации о сторонах и углах достаточно, чтобы определить треугольник с точностью до конгруэнтности.

Тип: Задача решения проблем

Эта задача обеспечивает конкретную геометрическую постановку для изучения жестких преобразований плоскости.

Тип: Задача решения проблем

Это довольно прямое задание, направленное на то, чтобы учащиеся использовали ранее полученные результаты для изучения новых фактов о параллелограммах, а не для получения их из первых принципов.

Тип: Задача решения проблем

Это задание дает учащимся возможность применить теоремы о конгруэнтности треугольников в явном, интересном контексте.

Тип: Задача решения проблем

В этом задании на решение задач учащимся предлагается вписать равносторонние треугольники и правильные шестиугольники в круг с помощью циркуля и линейки.

Тип: Задача решения проблем

В этом задании на решение задач учащимся предлагается объяснить, почему данные треугольники равны, и построить отражения точек.

Тип: Задача решения проблем

Это задание дает учащимся возможность увидеть влияние отражений на явный объект и увидеть, что отражения не всегда коммутируют.

Тип: Задача решения проблем

Это задание является одним из серии заданий, использующих жесткие преобразования плоскости для изучения симметрии классов треугольников, при этом особое внимание в этом задании уделяется классу равносторонних треугольников

Тип: Задача решения проблем

В этом задании учащимся предлагается с помощью линейки и циркуля построить линию, через которую отражается треугольник.

Тип: Задача решения проблем

Целью этого задания является использование геометрических и алгебраических рассуждений для моделирования реального сценария. В частности, учащиеся в нескольких местах (явно или неявно) должны рассуждать о том, когда делать приближения разумно и когда округлять, когда использовать равенство или равенство.неравенства и выбор единиц измерения для работы (например, мм против см).

Тип: Задача решения проблем

Эта задача основана на выводе формулы объема сферы. Если сфера радиуса 1 заключена в цилиндр радиуса 1 и высоты 2, то объем, не занимаемый сферой, равен объему «двухвершинного конуса» с вершиной в центре сферы и основаниями, равными к основаниям цилиндра

Тип: Задача решения проблем

В этом задании сочетаются два навыка: использование отношения между касательным сегментом к окружности и радиусом, касающимся этого касательного сегмента, и вычисление длин дуг окружности с учетом радиусов и центральных углов.

Тип: Задача решения проблем

Это задание дает хорошую возможность использовать равнобедренные треугольники и их свойства, чтобы показать интересный и важный результат о треугольниках, вписанных в окружность: тот факт, что эти треугольники всегда прямоугольные, часто называют теоремой Фалеса.

Тип: Задача решения проблем

В этом задании на решение задач учащимся предлагается разместить пожарный гидрант на равном расстоянии от трех заданных точек.

Тип: Задача решения проблем

Эта конкретная задача по решению проблем демонстрирует соответствие между двумя треугольниками, демонстрируя перемещение, отражение и вращение.

Тип: Задача решения проблем

В этом задании отражения применяются к правильному восьмиугольнику, чтобы построить шаблон из четырех восьмиугольников, охватывающих четырехугольник: основное внимание в задании уделяется использованию свойств отражений для вывода о том, что четырехугольник на самом деле является квадратом.

Тип: Задача решения проблем

В этом задании отражения применяются к правильному шестиугольнику, чтобы построить шаблон из шести шестиугольников, заключающих в себе седьмой: основное внимание в задании уделяется использованию свойств отражений для получения этого шаблона из семи шестиугольников.

Тип: Задача решения проблем

В этом задании на решение учащимся предлагается разделить заданный угол пополам.

Тип: Задача решения проблем

Цель этого задания в первую очередь ориентирована на оценивание: учащимся предлагается продемонстрировать знания о том, как определять конгруэнтность треугольников.

Тип: Задача решения проблем

В этом задании на решение задач учащимся предлагается разместить склад (точку) на равном расстоянии от трех дорог (линий).

Тип: Задача решения проблем

Эта задача знакомит с центром описанной окружности треугольника и показывает, как его можно использовать для вписания треугольника в окружность.

Тип: Задача решения проблем

Эта задача показывает, что все три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке, используя характеристику биссектрисы отрезка как множества точек, равноудаленных от двух концов отрезка.

Тип: Задача решения проблем

В этом задании на решение задач учащимся предлагается найти точку пересечения перпендикуляра отрезка из центра окружности и касательной.

Тип: Задача решения проблем

Это задание предназначено для моделирования конкретной ситуации с геометрией. Размещение семи монет в виде круга — это конкретный и забавный эксперимент, который приводит к подлинному математическому вопросу: дает ли физическая модель с монетами понимание того, что происходит с семью кругами на плоскости?

Тип: Задача решения проблем

Эта задача моделирования включает в себя несколько различных типов геометрических знаний и решение задач: нахождение площадей секторов окружностей, использование тригонометрических соотношений для решения прямоугольных треугольников и разложение сложной фигуры, включающей несколько дуг окружности, на части, площади которых можно найти.

Тип: Задача решения проблем

В этом задании геометрические понятия, а именно свойства касательных окружностей и прямоугольных треугольников, применяются в ситуации моделирования. Ключевым геометрическим моментом в этой задаче является признание того, что линия обзора от вершины горы к горизонту касается земли.Затем мы можем использовать прямоугольный треугольник, в котором одна сторона касается окружности, а другая сторона является радиусом окружности, чтобы исследовать эту ситуацию.

Тип: Задача решения проблем

Эта задача обеспечивает построение биссектрисы угла путем сведения ее к биссектрисе угла с нахождением середины отрезка. Стоит соблюдать симметрию — как для нахождения середины, так и для биссектрисы цель состоит в том, чтобы разрезать объект на две равные части.

Тип: Задача решения проблем

Это задание на решение проблемы фокусируется на замечательном факте, который вытекает из построения вписанной окружности в треугольник: все биссектрисы трех углов треугольника ABC пересекаются в одной точке.

Тип: Задача решения проблем

В этом задании исследуются способы покрытия плоскости правильными многоугольниками в очень строгом порядке, называемом правильной мозаикой. Эти мозаики изучаются здесь с помощью алгебры, которая входит в картину через формулу измерения внутренних углов правильного многоугольника (которую, следовательно, следует ввести или повторить перед началом задачи). Цель задания — с помощью алгебры понять, какие замощения плоскости правильными многоугольниками возможны.

Тип: Задача решения проблем

В этом учебном пособии учащиеся будут использовать постулаты SSS, ASA, SAS и AAS для нахождения конгруэнтных треугольников

Тип: Учебник

В этом руководстве обсуждается разница между теоремой и аксиомой. Он также показывает, как использовать SSS в доказательстве.

Тип: Учебник

В этом руководстве обсуждаются постулаты SSS, SAS, ASA и AAS для конгруэнтных треугольников. Это также показывает, что AAA подходит только для сходства, а SSA не годится ни для того, ни для другого.

Тип: Учебник

В этом видео учащиеся узнают о конгруэнтных треугольниках и постулате «Сторона-Сторона-Сторона».

Тип: Учебник

С помощью интерактивного инструмента учащимся показано, как отразить отрезок прямой.Перед просмотром этого видео учащиеся должны иметь представление об уклоне и средней точке.

Тип: Учебник

В этом уроке используется средняя точка двух линий, чтобы найти линию отражения.

Тип: Учебник

Учащиеся увидят, что происходит, когда фигуру поворачивают вокруг начала координат на -270 градусов. Перед просмотром этого видео рекомендуется иметь представление о прямоугольных треугольниках.

Тип: Учебник

В этом учебном пособии учащимся показаны восемь углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых поперечной линией.Также в этом видео есть обзор треугольников.

Тип: Учебник

Прежде чем изучать какую-либо новую концепцию, важно, чтобы учащиеся выучили и использовали общий язык и последовательно обозначали концепции. Этот учебник знакомит учащихся с точкой, линией и плоскостью.

Тип: Учебник

В этом уроке учащиеся доказывают, что вертикальные углы равны. Перед просмотром этого видео учащиеся должны иметь представление о дополнительных ракурсах.

Тип: Учебник

Студенты будут использовать алгебру, чтобы найти меру вертикальных углов или углов, противоположных друг другу, когда две линии пересекаются. Перед просмотром этого видео учащиеся должны иметь представление о дополнительных и дополнительных ракурсах.

Тип: Учебник

В этом учебном пособии учащиеся будут использовать свои знания о дополнительных, смежных и вертикальных углах для решения задач, связанных с пересечением двух прямых.

Тип: Учебник

Этот учебник покажет учащимся, как использовать тригонометрию для поиска недостающей информации в прямоугольных треугольниках. В этом видео показаны рабочие примеры использования тригонометрических соотношений для поиска недостающей информации и оценки других тригонометрических соотношений.

Тип: Учебник

Этот туториал дает введение в тригонометрию.В этом ресурсе обсуждаются три основные функции тригонометрии: синус, косинус и тангенс.

Тип: Учебник

Параллельные прямые имеют одинаковый наклон и не имеют общих точек. Однако не всегда очевидно, описывают ли два уравнения параллельные прямые или одну и ту же прямую.

Тип: Учебник

Перпендикулярные линии имеют наклоны, которые являются отрицательными обратными величинами друг к другу, но почему?

Тип: Учебник

В этом видео обсуждается, как вычислить горизонтальное смещение снаряда, запущенного под углом.

Тип: Учебник

Обратная теорема Пифагора

Мы предполагаем, что вы знакомы с теоремой Пифагора.

Обратная теорема Пифагора:

Если квадрат длины наибольшей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

То есть в ΔABC, если c2=a2+b2, то ∠C — прямоугольный треугольник, ΔPQR — прямой угол.

Мы можем доказать это от противного.

Предположим, что c2=a2+b2 в ΔABC и треугольник , а не прямоугольный.

Теперь рассмотрим другой треугольник ΔPQR. Мы строим ΔPQR так, чтобы PR=a, QR=b и ∠R — прямой угол.

По теореме Пифагора (PQ)2=a2+b2.

Но мы знаем, что a2+b2=c2 и a2+b2=c2 и c=AB.

Итак, (PQ)2=a2+b2=(AB)2.

То есть (PQ)2=(AB)2.

Поскольку PQ и AB являются длинами сторон, мы можем извлечь положительные квадратные корни.

PQ=AB

То есть все три стороны ΔPQR конгруэнтны трем сторонам ΔABC. Таким образом, два треугольника конгруэнтны по свойству конгруэнтности стороны-стороны-стороны.

Поскольку ΔABC конгруэнтна ΔPQR, а ΔPQR — прямоугольный треугольник, ΔABC также должен быть прямоугольным.

Пример 1:

Проверить, является ли треугольник со сторонами 6 см, 10 см и 8 см прямоугольным.

Проверить, является ли квадрат длины самой длинной стороны суммой квадратов двух других сторон.

(10)2=?(8)2+(6)2  100=?64+36 100=100

Примените обратную теорему Пифагора.

Поскольку квадрат длины наибольшей стороны равен сумме квадратов двух других сторон, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным.

Следствие теоремы делит треугольники на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.

В треугольнике со сторонами a, b и c, где c — длина наибольшей стороны,

если c2

если c2>a2+b2, то треугольник тупоугольный.

Пример 2:

Проверить, является ли треугольник со сторонами 5, 7 и 9 единиц остроугольным, прямоугольным или тупоугольным.